Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Aceleración tardía en Cosmología de Gravedad de Alto Orden T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: FÍSICO P R E S E N T A : Owen Nadir Hernández Blancas TUTOR Dr. Gustavo Alfredo Arciniega Durán Ciudad Universitaria, CD. MX., 2024 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. Datos del alumno Datos del tutor Hernández Blancas Owen Nadir 316186980 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Física Dr. Gustavo Alfredo Arciniega Dúran Datos del jurado Presidente: Dra. Mariana Vargas Magaña Vocal Externo: Dr. Sébastien Mickaël Marc Fromenteau Suplente: Dr. Josué De Santiago Sanabria Suplente Externo: Dra. Gabriella Piccinelli Bocchi i A mi hermana Sissy, quien siempre me acompañó en los momentos estresantes de la vida con las mejores risas. A mi mamá Laura, que siempre me brindó el cuidado, el amor y la hospitalidad, haciendo crecer a una persona feliz, cálida y risueña. A mi papá Edgar, quien me ha enseñado el coraje y la motivación para siempre ser persistente y alcanzar mis metas con la mejor actitud. A mamá Nene y mamá Paty, por darme los platos de comida más deliciosos y siempre consentirme. A mi amada Andy, quien me hace crecer todos los días a su lado, por darme la seguridad de brindarle amor a quien te nutre. A la familia López Angeles, por recibirme cálidamente en su hogar y regalarme grandes momentos. A mis amigos de la facultad, Leo, Jimena e Ireric, quienes hicieron mis momentos universitarios muy rebeldes y únicos. Agradecimientos Agradezco a mi familia por siempre brindarme el amor, la comprensión y la mo- tivación para llevar a cabo esta etapa tan importante en mi vida, subiendo el primer escalón en mi vida profesional. Agradezco al Dr. Gustavo A. Arciniega Durán y a la Dra. Luisa G. Jaime González, quienes me guiaron con paciencia a lo largo de este proyecto; por brindarme y transmitirme su pasión por temas relacionados con la cosmología. Espero seguir aprendiendo de personas tan comprometidas con la cien- cia y, en especial, con sus alumnos. Asimismo, agradezco al equipo de Gravedad de Alto Orden de la Facultad de Ciencias por nutrir este trabajo con sus comentarios y permitirme ser parte de este equipo. iii Resumen Se proponen modelos alternativos sin la influencia de la constante cosmológica Λ en el marco de la gravedad modificada, con la intención de ajustar datos observacio- nales que demuestran la expansión del universo. Para esto, se construyó un código en el lenguaje Python para la evaluación de los modelos planteados y del modelo ΛCDM. Finalmente, se encontraron dos modelos que reproducen de forma viable la expansión acelerada en la época tardía, lo que abre el panorama para la comprensión e interpretación física de la energía oscura. En el capítulo 1 se abordan conceptos inherentes a la teoría de la Relatividad General (GR), con especial énfasis en la constante cosmológica Λ, acompañados de un breve contexto histórico sobre el interés en modelar la dinámica del universo a lo largo de sus principales épocas. En el capítulo 2 se introduce la teoría de grave- dad modificada: Inflación Geométrica con aceleración tardía (GILA, por sus siglas en inglés), la cual sugiere añadir correcciones geométricas en la acción que describe la gravedad en GR, considerando Λ = 0. Esta teoría propone densidades lagrangianas construidas a partir de contracciones de orden n del tensor de Riemann. Al aplicar la métrica FLRW en el marco de GILA, se presentan modificaciones en las ecuaciones de Friedmann, las cuales proporcionan nuevas formas de evolución del universo. En el capítulo 3 se proponen cinco familias de funciones de clase hiperbólica basadas en series convergentes. Estas funciones tienen un impacto significativo en las soluciones H(z) derivadas de las ecuaciones modificadas de Friedmann. En el capítulo 4 se de- talla la creación del algoritmo encargado de calcular las nuevas H(z). Para este fin, se replicaron los resultados reportados en GILA y ΛCDM en cada etapa del universo iv RESUMEN v mediante dos métodos numéricos: el método de la secante para la búsqueda de raíces en ecuaciones trascendentales y el método de Runge-Kutta de orden 4 para la reso- lución de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales. Los resultados de estos métodos se compararon a través del logaritmo en base 10 del error relativo. Posteriormente, se implementó el cálculo del módulo de distancia µ para supernovas tipo Ia. En el capítulo 5 se calculan las soluciones H(z) de las funciones hiperbólicas F (H) construidas en el capítulo 3, así como el cálculo de sus respectivos módulos µ. Por último, se comparan los resultados obtenidos con las curvas gráficas que descri- ben tanto GILA como ΛCDM mediante la prueba χ2. En el capítulo 6 se analiza la viabilidad de estos nuevos modelos para describir la expansión acelerada del universo considerando Λ = 0. Se ofrecen, además, posibles líneas de investigación que podrían contribuir al entendimiento de la naturaleza de la energía oscura. Índice general Agradecimientos iii Resumen iv 1. Introducción 1 1.1. Modelo FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Distancia Luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Módulo de la distancia µ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. ΛCDM (Λ Cold Dark Matter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Problemas de ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Cosmología en Gravedad Quasitopológica Generalizada (GQTG) 12 2.1. Inflación Geométrica (GI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Inflación Geométrica con aceleración tardía (GILA) . . . . . . . . . . 13 3. Modelos alternativos para cosmología 17 3.1. Funciones hiperbólicas F (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.1. Seno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2. Coseno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.3. Seno y coseno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.4. Seno hiperbólico inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.5. Coseno hiperbólico inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 vi ÍNDICE GENERAL vii 4. Integración numérica 23 4.1. Paqueterías elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.1. Mathplotlib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.2. NumPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.3. SciPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.4. Pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Bases de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. Datos de H(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2. Supernovas tipo Ia (SNeIa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3. Implementación del modelo ΛCDM para el cálculo de H(z) . . . . . . 31 4.4. F (H) para GILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4.1. Implementación del método de la secante para encontrar solu- ciones a la primera ecuación de Friedmann modificada . . . . 34 4.4.2. Implementación del método de Rungen-Kutta de orden 4 pa- ra encontrar soluciones en la segunda ecuación de Friedmann modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5. Comparación de resultados entre los métodos de la secante y Runge- Kutta 4 para GILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.6. Cálculo del módulo de la distancia µ para Supernovas tipo Ia . . . . . 43 4.7. Implementación de nuevas F (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.7.1. Primera clase: sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.7.2. Segunda clase: cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7.3. Tercera clase: sinh y cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.7.4. Cuarta clase: sinh−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.7.5. Quinta clase: cosh−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.8. Búsqueda de valores para (λ, β, L, L) para nuevas propuestas de F (H) usando el programa GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.8.1. Construcción de campo de pruebas . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.8.2. Ajuste manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ÍNDICE GENERAL viii 5. Análisis y resultados 57 5.1. Resultados de sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2. Resultados de cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3. Resultados de sinh y cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4. Resultados de sinh−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5. Resultados de cosh−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. Conclusiones 77 A. Métodos numéricos 79 A.1. Método de la Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 A.1.1. Definición del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A.1.2. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A.2. Reglas del Traprecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.2.1. Regla simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 A.2.2. Regla compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 A.3. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.3.1. Método de Euler (Runge-Kutta de orden 1) . . . . . . . . . . 87 A.3.2. Rugen-Kutta de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.3.3. Rugen-Kutta orden 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Índice de figuras 4.1. Reproducción de las soluciones de (2.3) y (2.4) referentes a la evolución de H̃ = H(z)/H0 para los modelos ΛCDM, así como los casos L = 0.90/H0, L = 0.95/H0 y L = 1.00/H0 en GILA para z ≲ 3. . . . . . . 24 4.2. Reproducción de las soluciones referentes a la evolución de ln(H̃) en LGILA = 0.90/H0, LGILA = 0.95/H0, LGILA = 1.00/H0 y ΛCDM [16], considerando el cambio de variable α = ln(a(t)). El área verde oscuro corresponde a la zona prohibida impuesta por la densidad de Planck, el área verde claro corresponde a la época inflacionaria donde − Ḣ H2 ≪ 1, y el área morada inicia en el tamaño del universo cuando ocurre el CMB. 25 4.3. Evolución de H(z) calculada a partir del método de la secante para los modelos ΛCDM, LGILA = 0.90/H0, LGILA = 0.95/H0 y LGILA = 1.00/H0. Se adjuntan los puntos alusivos a la base de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1 y se considera H0 = 70. . . . . . . . . . . 37 4.4. Panel a) Evolución del parámetro H(z) para ΛCDM y LGILA = 0.90/H0, junto con la base de datos de relojes cosmológicos. Se adjunta la com- paración de la curva referente a GILA calculada por los métodos de la secante y RK4. Panel b) Logaritmo en base 10 del error relativo σR de las soluciones H(z), calculadas y comparadas entre la secante y RK4. 42 ix ÍNDICE DE FIGURAS x 4.5. Panel superior: Reproducción de los módulos de la distancia µ para ΛCDM y GILA, del artículo [16] en todos sus casos, junto con los datos de supernovas tipo Ia provenientes de la colección Pantheon+SH0ES. Panel inferior: Diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6. Interfaz construida en Geogebra para un ajuste manual en los paráme- tros (λ, β, L, L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1. Panel superior: Soluciones H(z) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39] de las ecua- ciones modificadas de Friedmann para la función hiperbólica F (H) de primera clase (3.6), GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el con- junto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. . . . . 59 5.2. Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de primera clase (3.6) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . 61 5.3. Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de segunda clase (3.11) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. . . . . 63 5.4. Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de segunda clase (3.11) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . 64 ÍNDICE DE FIGURAS xi 5.5. Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de tercera clase (3.17) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM . . . . . 67 5.6. Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de tercera clase (3.17) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . 68 5.7. Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de cuarta clase (3.21) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel in- ferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. . 70 5.8. Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de cuarta clase (3.21) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . 71 5.9. Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de quinta clase (3.25) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel in- ferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. . 74 5.10. Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de quinta clase (3.25) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. . . . . . . . . . . . . . 75 Capítulo 1 Introducción De acuerdo con la Relatividad General (GR), el efecto de la materia y la radiación dentro del universo es la desaceleración de su expansión. Sin embargo, las pruebas observacionales [1] apuntan completamente en la dirección opuesta: el universo se está expandiendo de forma acelerada. Este descubrimiento sugiere un escenario en el cual la cosmología derivada de la Relatividad General debe ser reinterpretada o modifica- da. Algunos modelos han ganado relevancia al introducir una sustancia desconocida que ejerce presiones negativas y que domina en gran medida la expansión acelerada en un universo tardío. Si esto resultara ser cierto, el cosmos estaría compuesto apro- ximadamente en un 70 % por esta sustancia desconocida, también llamada energía oscura. Otra posibilidad sería la revisión de nuestra comprensión de la gravedad a escalas cosmológicas, lo que podría estimular la exploración de nuevas alternativas mediante herramientas matemáticas más sofisticadas. Respecto a la constante cosmológica Λ, esta se introduce en la parte geométrica de las ecuaciones de campo de Einstein de la siguiente forma: Rµν − 1 2 Rgµν + Λgµν = 8πG c4 Tµν . (1.1) Inicialmente, A. Einstein la introdujo en 1917 para un universo estático y finito [2]. Sin embargo, con las observaciones de E. Hubble de 1929 [3] sobre el movimiento de 1 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2 las nebulosas y su relación lineal con el observable de corrimiento al rojo (redshift), se demostró que el universo se encuentra en expansión. Posteriormente, en 1931, Eins- tein abandonaría la idea de incluir la constante cosmológica en un modelo basado en el trabajo de A. Friedmann para un universo no estático [4]. Es cierto que G. Gamow, junto con otros físicos, persuadió a Einstein de reconsiderar su rechazo inicial de la constante cosmológica. Gamow escribió una carta a Einstein en la que sugirió que abandonar la constante cosmológica podría haber sido un error y que Einstein podría ser el primero en explicar la expansión del universo utilizando esta constante [5]. Dadas las circunstancias, la constante cosmológica fue abandonada por otros cien- tíficos de la época. Por otro lado, en 1980, A. H. Guth propuso una alternativa que enfrentaba otro de los problemas más importantes para la cosmología del Big Bang: la inflación. En ese contexto, se exponía la inconsistencia sobre la homogeneidad del universo, a pesar de que ciertas regiones del universo estaban causalmente desco- nectadas. Además de requerir un valor en Ωk demasiado preciso para producir un universo plano, el llamado problema de ajuste fino. En el universo inflacionario, se resolvían estas dos incógnitas, pero se agregaba el desafío de encontrar una transición final y suave para el período de expansión exponencial, llamado problema de la salida agraciada [6]. Una de las cosas más sorprendentes de esta época es su duración, del orden de 10−32 segundos, durante la cual el universo experimentó un incremento en su tamaño a lo menos de e60 veces. De igual forma, el modelo inflacionario brinda pre- dicciones para la generación de ondas gravitacionales y perturbaciones primordiales [7]. La propuesta que acompaña a la inflación es el efecto de una partícula hipoté- tica, el inflatón. El inflatón se introduce como un campo escalar ϕ en la acción de Einstein-Hilbert para explicar los eventos poco después de la explosión del Big Bang. Su función principal es llenar la pequeña región del universo inicial con un campo escalar distribuido homogéneamente y explicar la ausencia de defectos topológicos en las observaciones [8]. Queda claro que, desde el descubrimiento de la Relatividad General, han surgido muchas dudas respecto a las condiciones necesarias para la ge- neración de nuestro universo. Por lo tanto, se necesitan mediciones que nos den pistas CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3 para desarrollar una teoría física que explique la creación y la dinámica del universo en sus principales etapas. En el campo de la cosmología, el descubrimiento del Fondo Cósmico de Microon- das (CMB) ha sido una de las mayores pruebas para determinar la composición del universo. El CMB sucede cuando los fotones dejaron de interactuar con los electrones (last-scattering), la radiación electromagnética se liberó y viajó a través del espacio de manera libre. Esta radiación es la prueba que confirma que nuestro universo estuvo en una época en la que su temperatura era muy elevada, al mismo tiempo que la materia y la radiación se encontraban en equilibrio. Actualmente, la temperatura ha disminuido hasta 2.725 K [9]. Además, al medir las temperaturas provenientes de la radiación del CMB en diferentes direcciones del cielo, se observa la presencia de fluc- tuaciones de temperatura, también llamadas anisotropías, las cuales caracterizan las propiedades físicas del origen del universo, así como su composición [10]. Se cree que esta composición de densidad de energía es aproximadamente un 4.5 % de bariones y leptones, un 22 % de materia oscura fría (CDM) y el 72 % restante se atribuye a la energía oscura, la cual se cree que es responsable de la aceleración en la expansión del cosmos [7]. Es interesante conocer las proporciones que dominaron durante la evolución del universo, la cual se puede dividir en tres épocas: la dominada por la radiación (z ≳ 3000), la dominada por la materia (3000 ≳ z ≳ 0.5) y la dominada por la energía oscura (z ≲ 0.5). La edad del universo también actúa como una restricción para los modelos que buscan describir su evolución. Esta edad se determina mediante mediciones de las edades de las estrellas más antiguas en los cúmulos globulares, que son los objetos observables más antiguos conocidos [11]. Se estima que su edad está en el rango de aproximadamente 12Gyr ≲ t0 ≲ 15Gyr [12], lo que ofrece un valor mínimo para la edad del universo. La época alusiva a la aceleración tardía es en la actualidad uno de los misterios que la comunidad científica enfrenta. Se piensa que la presión ejercida por la energía oscura posee gravedad repulsiva y sirve como ’combustible’ CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4 de la expansión [5]. No obstante, no se tienen suficientes pruebas para demostrar su naturaleza. Lo cierto es que el estudio de la expansión acelerada es un nuevo panorama para la creación de nuevo conocimiento. Una de las interpretaciones físicas de la energía oscura es su papel como energía del vacío, lo que implica su relación con la constante cosmológica Λ. En el contexto de la teoría cuántica de campos, no existe el vacío absoluto, sino que está lleno de fluctuaciones cuánticas en todo el espacio. Estas fluctuaciones en el vacío dan lugar a una enorme densidad de energía del vacío [13], sin embargo, los cálculos de Zel’dovich [14] señalaban una contribución de Λ completamente diferente a la calculada por la electrodinámica cuántica, con diferencias de hasta 120 órdenes de magnitud. Por otro lado, algunos autores creen que modelar la expansión del universo va más allá de incorporar la energía oscura como explicación. Como alternativa, se proponen las teorías de gravedad modificada [15], en las cuales algunos prescinden completamente de la constante cosmológica Λ [16]. Esto podría implicar ajustes en la relatividad general de Einstein o la introducción de nuevas teorías gravitatorias. Los defensores de esta idea argumentan que la gravedad modificada podría ofrecer una explicación más fundamentada y menos especulativa para la aceleración cósmica. 1.1. Modelo FLRW En 1917, Einstein publicó su artículo Cosmological Considerations in the General Theory of Relativity, donde modelaba un universo cilíndrico con curvatura indepen- diente al tiempo [2]. Casi al mismo tiempo, de Sitter propuso un universo con forma esférica en su artículo On Einstein’s Theory of Gravitation, and its Astronomical Con- sequences [17]. No fue sino hasta 1922 que A. Friedmann encontró otra solución para las ecuaciones de campo para un universo con curvatura variable o dependiente del tiempo [18] haciendo que los casos de Einstein y de Sitter fueran un caso particular de su solución. Esto último hizo que los físicos de la época prestaran atención y criticaran el trabajo de Friedmann [4]. Aproximadamente una década después de la publicación de Friedmann, G. Lemaître finalmente llegó a las mismas ecuaciones que Friedmann CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5 y reportó la ecuación de conservación de la energía [19]: dρ dt + 3H(ρ+ P ) = 0, (1.2) donde ρ representa la densidad de energía de los fluidos que están inmersos en el uni- verso, P es la presión ejercida por dichos fluidos y H es la evolución correspondiente a la constante de Hubble. Lo que hace interesantes las conclusiones de Lemaître es la vinculación entre la constante cosmológica Λ y la masa del universo a través de la relación de Einstein 1 M ∝ √ Λ = 1 R0 , además de notar que el universo crece desde un radio mínimo R0 a expandirse sin límite [19]. Particularmente, entre 1935 y 1937, H. P. Robertson y A. G. Walker demostraron que la métrica (1.3) era adecuada para describir un universo no estático, isotrópico y homogéneo [20, 21], tal como lo plantea el principio cosmológico [22]. La métrica FLRW (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker) considera a k como la constante encargada de la curvatura del espacio, mientras que el factor de escala a(t) influye en el cambio de distancias del universo: ds2 = −dt2 + a2(t) [ dr2 1 + kr2 + r2dΩ2 ] , con k = {−1, 0, 1}. (1.3) La métrica FLRW describe regiones a escalas cosmológicas, donde la dinámica de expansión del cosmos se representa mediante el factor de escala y su relación con el redshift mediante la ecuación a(z) = (1 + z)−1 [23]. Finalmente, al introducir la métrica FLRW en las ecuaciones de campo sin constante cosmológica, se obtiene: H2 ≡ ( ȧ a )2 = 8πG 3 ρ− k a2 , con ρ = ∑ i ρi, (1.4) siendo esta la primera ecuación de Friedmann. Sus soluciones dependen en gran me- dida de las ecuaciones de estado (EoS) Pi = ωiρi que están asociadas a cada fluido i involucrado en el contenido de materia de nuestro universo. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 6 1.2. Distancias Si se redefine la coordenada radial de forma dχ ≡ dr/ √ 1− kr2, donde χ representa la distancia comóvil y expresa la distancia que hay entre dos objetos astronómicos teniendo en cuenta la expansión del universo; es útil debido a que otras clases de distancias se definen a partir de ella. Dicho esto, la métrica FLRW puede reescribirse como: ds2 = dt2 − a2(t)[dχ2 + S2 k(χ)dΩ 2], (1.5) donde Sk(χ) =              sinh(χ) si k = −1 χ si k = 0 sin(χ) si k = 1. (1.6) De esta nueva expresión para FLRW, el factor Sk(χ) que multiplica el elemento de ángulo sólido dΩ2 es llamado distancia métrica D. Para un universo plano k = 0, la distancia métrica y la distancia comóvil son la misma. En términos del redshift, la distancia comóvil χ se puede calcular de la siguiente manera: χ(z) = ∫ t0 t1 dt a(t) = ∫ z 0 dz H(z) . (1.7) La principal desventaja de las distancias presentadas es que no son observables [24], por lo que se necestan definir nuevas distancias apartir de propiedades físicas que nuestros instrumentos puedan detectar. 1.2.1. Distancia Luminosa Una propiedad que está presente en los cuerpos astronómicos al observarlos a través de telescopios es la intensidad de luz que emiten y la fracción que logramos detectar. Las supernovas de tipo Ia (SNeIa) son objetos cuya luminosidad L es con- CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 7 sistente, por lo que se las denomina candelas estándar. Además de esto, otra forma de medir distancias es a partir del flujo luminoso F (energía que atraviesa una unidad de área por unidad de tiempo). F está relacionado con la luminosidad L y la distancia comóvil χ de la siguiente manera: F = L 4πχ2 . (1.8) Esta expresión debe generalizarse en el contexto de un universo en expansión, considerando las dependencias L(χ) y χ(z) [25]. En [24] se explica que la expresión (1.8) debe modificarse por tres razones fundamentales: "At the time t0 that the light reaches the Earth, the proper area of a sphere drawn around the supernova and passing through the Earth is 4πd2m. The fraction of the light received in a telescope of aperture A is therefore A/4πd2m"[24]. "The rate of arrival of photons is lower than the rate at which they are emitted by the redshift factor 1/(1 + z)"[24]. "The energy E0 of the photons when they are received is less than the energy E1 with which they were emitted by the same redshift factor 1/(1 + z)"[24]. Dados los puntos anteriores, el flujo luminoso F de forma generalizada en un universo en expansión se expresa como: F = L 4πD2(1 + z)2 = L 4πd2L , (1.9) por lo tanto, la distancia luminosa dL se define a partir de la distancia métrica D mediante la siguiente expresión dL = (1 + z)D. 1.3. Módulo de la distancia µ(z) Otra característica que acompaña a las SNeIa y está relacionada con sus distancias luminosas dL es el módulo de la distancia µ. Este se define como µ = M −m, donde CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 8 M es la magnitud absoluta y m la magnitud aparente. La magnitud absoluta se define como la magnitud que tendría un cuerpo luminoso si estuviera a una distancia de 10 pc, mientras que la magnitud aparente clasifica el brillo que tiene un cuerpo astronómico visto desde la Tierra. La dependencia de µ con respecto a z se establece a través de la distancia luminosa dL, siguiendo explícitamente la ecuación [26]: µ(z) = log10 ( dL(z) 1 Mpc ) + 25 (1.10) 1.4. ΛCDM (Λ Cold Dark Matter) En relatividad especial, un observador inercial A puede representar su espacio- tiempo de manera local con la métrica de Minkowski, ηµν . Si se desea conocer las coordenadas de los mismos eventos medidos por A desde un observador B con distinta velocidad, basta con aplicar transformaciones de Lorentz en las coordenadas para adaptarlas a B. Sin embargo, estas transformaciones de Lorentz no alteran el intervalo de Minkowski entre dos eventos arbitrarios, haciéndolo invariante y el mismo para todos los sistemas de referencia inerciales. Algo similar debería pasar con el vacío; dos observadores de sistemas de referencia diferentes deberían ver el mismo vacío. Esta idea invita a considerar el tensor de energía para la constante cosmológica Λ de la forma [27]: TΛ µν = ρΛgµν , (1.11) siendo ρΛ una constante. Dicho esto, esta nueva componente del tensor de energía sugiere la existencia de un fluido perfecto con presión negativa, es decir, pΛ = −ρΛ. En consecuencia, el tensor (1.11) da como resultado las ecuaciones de campo: Gµν = 8πG(Tµν + ρΛgµν). (1.12) En primera instancia, la constante cosmológica Λ ha sido uno de los mayores puntos de interés en el campo de la cosmología. Fue añadida en 1917 por Einstein CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 9 a las ecuaciones de campo de la Relatividad General con la intención de modelar el comportamiento de un universo estático. Para este universo se tomó en cuenta el Principio Cosmológico, que indica la uniformidad en la distribución de materia, lo que significa que el cosmos tiene la característica de ser homogéneo e isotrópico a grandes escalas. Sin embargo, poco después, Hubble y Lemaître demostrarían la relación lineal entre el desplazamiento al rojo de una galaxia y la distancia a la que se encuentra de nosotros [3, 19], proporcionando la primera evidencia para concluir que el cosmos no es estático. Fue hasta en los 30’s, O. Heckmann remarcó que en un universo no estático, la existencia de materia en el universo no requiere forzosamente una curvatura espacial positiva [4]. A partir de esta idea, Einstein y de Sitter [28] propusieron un modelo de expansión del cosmos considerando un universo plano y Λ = 0. Este modelo presenta el concepto de densidad crítica ρc, el cual es fundamental en la cosmología actual. La densidad crítica se define como: ρc = 3H2 0 8πG , y es sumamente útil para clasificar los escenarios del destino del universo según sea su relación con la densidad de energía real ρ; para esto, se introduce el parámetro de densidad Ω, definido como el cociente entre la densidad del universo ρ y la densidad crítica ρ, es decir, Ω = ρ/ρc. Las primeras semillas del modelo ΛCDM se encuentran en las observaciones de F. Zwicky [29] sobre las velocidades de las galaxias en el cúmulo Coma. Estas velocidades no podían ser explicadas únicamente por la materia visible contenida en el cúmulo. Las densidades tendrían que ser, por lo menos, 400 veces más grandes de lo esperado, razón por la cual Zwicky mencionó por primera vez la materia oscura fría (CDM), cuya propiedad es la no visibilidad. Acompañado de esto, las observaciones de V. Ru- bin en las regiones externas de galaxias espirales demostraron que los componentes de estas se movían a la misma rapidez que los componentes del centro. Se concluyó que estas galaxias estaban rodeadas de materia invisible que supera entre 5 y 10 veces la CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 10 materia bariónica [30]. Este hecho, conocido como el problema de rotación de galaxias, proporcionó un nuevo argumento para las conclusiones de Zwicky. Finalmente, du- rante los años 90, el campo del estudio de las supernovas de tipo Ia tomaba peso para el descubrimiento de una nueva cosmología. Estas supernovas de tipo Ia (SNeIa), de las cuales se ha comentado que poseen una particularidad en la luminosidad emitida, demostraron que la expansión del universo se estaba acelerando [4]. En este escenario, el modelo ΛCDM demostraba un excelente ajuste en las mediciones de los módulos de distancia µ de las SNeIa. Sin embargo, se incorporó un componente del cual se desconocía su naturaleza y sus interacciones con la materia, este es llamado energía oscura. En términos matemáticos, la implementación de la energía oscura es a través de la constante cosmológica. Si se aplica la métrica FLRW (1.3) en las ecuaciones de campo (1.12), el resultado será la primera ecuación de Friedmann [31]: H(z) = H0 [ Ω0 m(1 + z)3 + Ω0 r(1 + z)4 + Ωk(1 + z)2 + ΩΛ ]1/2 (1.13) siendo Ω0 m la contribución de la materia, Ω0 r de la radiación, Ωk de la curvatura del espacio y ΩΛ proveniente de la energía oscura. Además, se cumple la relación a(t) = (1 + z)−1 1.5. Problemas de ΛCDM El modelo ΛCDM está construido sobre la base de suponer que la relatividad general es la teoría adecuada para explicar la evolución de un universo que cumple el principio cosmológico a escalas mayores que 100Mpc. Sin embargo, el primer pro- blema al que se enfrenta este modelo es la gran discrepancia entre las observaciones y los valores teóricos para calcular el valor de la constante cosmológica Λ. Por otro lado, surge la dificultad de explicar de manera consistente la igualdad actual entre las densidades de materia Ωm y la energía oscura ΩΛ, a pesar de que evolucionan de manera muy diferente por sí solas. Acompañado de esto, en el orden ≲ 1Mpc, el modelo ΛCDM muestra inconsistencias en escalas de galaxias, lo que ha incentivado a generar formas alternativas de modelar la energía oscura. Este desafío ha llevado CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 11 a la exploración de teorías modificadas de la gravedad y otros enfoques innovadores para abordar las discrepancias observadas [32]. La inclusión de la energía oscura ha generado un debate continuo, donde se con- templa la posibilidad de una dinámica inhomogénea para este fluido, lo que podría dar lugar a la formación de cúmulos de energía oscura a gran escala. Esto sugiere que la detección de estos cúmulos descartaría la noción de la energía del vacío. Por lo tanto, también se opta por explorar nuevas formas de expresar la ecuación de estado (EoS) de esta sustancia para describir las detecciones que demuestran la aceleración tardía del universo. Sin embargo, estas técnicas para la detección de la energía oscura pueden presentar errores sistemáticos, como los errores fotométricos de desplazamien- to al rojo y la incertidumbre en la evolución de los picos máximos de luminosidad para supernovas tipo Ia [5]. En última instancia, la propuesta de incluir la energía oscura es uno de los tantos recursos que permiten abrir el panorama para examinar la veracidad de la teoría de la Relatividad General, que actualmente domina el campo de la gravedad. De ser de- mostrada la insuficiencia de GR para describir fenómenos a escalas cosmológicas, nos encontraríamos ante una de las mayores y gratificantes épocas para introducir nue- vass áreas de la física. Este desafío no solo representaría un paso adelante en nuestro entendimiento del universo, sino que también podría abrir la puerta a revolucionarios descubrimientos que transformarían nuestra comprensión del cosmos y de las leyes fundamentales que lo rigen. Capítulo 2 Cosmología en Gravedad Quasitopológica Generalizada (GQTG) Es evidente que la constante cosmológica Λ y su significado en la naturaleza repre- sentan uno de los principales problemas de la física moderna, lo que ha provocado que ciertos autores sientan la necesidad de realizar cambios estructurales en las ecuaciones que rigen la gravedad. Algunos de ellos han propuesto modelos y teorías inflacionarias sin de la necesidad de utilizar los campos del inflatón ϕ [33, 34]. Una de estas teo- rías es Cosmología de Gravedad Cúbica Einsteiniana (CECG), que logra modelar la inflación del universo utilizando correcciones geométricas en la Relatividad General a través de contracciones del tensor de Riemann en la acción S. El trabajo de CECG ha motivado a otras teorías para emplear órdenes mayores en dichas contracciones y explorar sus implicaciones en la física de los agujeros negros y la cosmología [34]. Esta colección de teorías ha puesto en discusión si la acción de Einstein-Hilbert es un caso particular de una serie infinita de términos de curvatura de orden mayor. Este conjunto de teorías que emplean modificaciones en los términos de curvatura forman una familia llamada GQTG. 12 CAPÍTULO 2. COSMOLOGÍA EN GRAVEDAD QUASITOPOLÓGICA GENERALIZADA (GQTG)13 2.1. Inflación Geométrica (GI) Particularmente en GQTG, la parte referente GI, que es una generalización pa- ra los órdenes de curvatura, utiliza esta clase de correcciones de orden infinito para explicar la aceleración de un universo temprano dominado por radiación. Además, es capaz de modelar la transición a los resultados de ΛCDM de manera suave y repro- duce soluciones estables para agujeros negros tipo Schwarzschild [35, 36]. Asimismo, se han explorado los parámetros de slow-roll para demostrar la viabilidad de una época inflacionaria y su consistencia con las constricciones inflacionarias de Planck, concluyendo que GI crea escenarios adecuados para estudiar un universo temprano [37]. Los resultados de GI han llegado a explicar otras épocas principales del univer- so, como la nucleosíntesis del Big Bang (BBN) y su aceleración tardía. Esta última proporciona la misma aceleración que predice la Relatividad General para el universo con la inclusión de la constante cosmológica [38]. En términos analíticos, la acción propuesta por GI tiene la siguiente estructura: S = ∫ d4x √−g 2κ [ −2Λ +R + ∞ ∑ n=3 α(n)R(n) ] , (2.1) donde cada R(n) se refiere a una densidad lagrangiana que se construye a partir de es- calares de curvatura obtenidos de contracciones de Riemann de orden n, mientras que α(n) representa la escala de energía y la constante de acoplamiento correspondientes a cada n. 2.2. Inflación Geométrica con aceleración tardía (GI- LA) En el reciente artículo [16] se utilizó GI para explorar la posibilidad de generar un universo con expansión acelerada en su época tardía sin utilizar la constante cosmológica, es decir, Λ = 0. Igualmente, se conserva la propiedad de explicar la CAPÍTULO 2. COSMOLOGÍA EN GRAVEDAD QUASITOPOLÓGICA GENERALIZADA (GQTG)14 inflación sin recurrir al inflatón, lo que significa que la acción (2.1) adquiere la forma: S = ∫ d4x √−g 2κ [ R + ∞ ∑ n=3 α(n)R(n) ] . (2.2) En este modelo, se considera un universo isotrópico y homogéneo, lo que implica que se utilizó la métrica FLRW. En el caso k = 0, la acción (2.2) conduce a las ecuaciones modificadas de Friedmann de segundo orden, dadas por: 3F (H) = κρ, (2.3) Ḣ H F ′(H) = κ(ρ+ P ), (2.4) con Ḣ = dH(t) dt , F ′(H) = dF (H) dH , ρ la densidad de energia, P la presión y la función F (H) esta dada por: F (H) = H2 + ∞ ∑ n=3 α(n)H 2n. (2.5) Al estar en presencia de una teoría de gravedad modificada, las funciones de las densidades de energía tienden a cambiar a las de ΛCDM. En este caso, ρ sigue cumpliendo con los resultados de la ecuación de continuidad ρ ∝ a−3(ω+1) y sigue relación: ρ = ρm + ρr = 3F (H0) κ [ Ωm a3 + Ωr a4 ] . (2.6) donde ρm representa la materia y ρr representa la radiación. Por otro lado, la presión cumple la ecuación de estado P = ωρ, lo que deriva en la ecuación: P = Pm + Pr = ωr 3F (H0) κ [ Ωr a4 ] , con ωm = 0 y ωr = 1/3. (2.7) Los resultados para la expansión acelerada de un universo tardío radican en la manipulación de las series que gobiernan a F (H), de modo que los coeficientes α(n) pueden dividirse en dos clases: λ̃(n)L2(n−1) y β̃(m)L 2(m−1) . De esta forma, la nueva CAPÍTULO 2. COSMOLOGÍA EN GRAVEDAD QUASITOPOLÓGICA GENERALIZADA (GQTG)15 expresión para F (H) es: F (H) = H2 + ∞ ∑ n=3 λ̃(n)L2(n−1)H2n + ∞ ∑ m=3 β̃(m)L 2(m−1) H2m, (2.8) siendo λ̃(n) y β̃(m) funciones que dependen de los números naturales n y m, y L y L son números referentes a las escalas de energía del modelo. Finalmente, si F (H) es escrita de la forma: F (H) = H2 + ∞ ∑ n=3 λn+1 n!L2 (LH)2(p+nq) + ∞ ∑ m=3 (−1)m+1β m+1 m!L 2 (LH)2(r+ms), (2.9) donde p, q, r y s son números enteros fijos que satisfacen la condición q = ks, con k siendo un entero arbitrario. En este escenario, las series de F (H) convergen a la expresión: F (H) = H2 +H2pλL2p−2eλ(LH)2q −H2rβL 2r−2 e−β(LH)2s . (2.10) Esta F (H) se introduce en las ecuaciones modificadas de Friedmann (2.3) y (2.4) y se procede a encontrar las soluciones a los problemas diferenciales de Ḣ. Los resultados de GILA para modelar la evolución completa del universo consideran las proporciones Ωr = 8.4× 10−5 [16], considerando ρrad observada en [39] y Ωm = 1−Ωr = 0.999916. De esta forma, la salida para el período inflacionario se completa en ln (a/a0) ∼ −35, resuelve el problema del horizonte [38] y simula el régimen de aceleración tardía a bajas escalas de energía, tal como lo haría el modelo del universo con la constante cosmológica. En resumen, el trabajo [16] identifica diez propiedades que la teoría GILA cumple de manera consistente, las cuales son: 1. El espectro del vacío consiste únicamente en el gravitón y la teoría está libre de campos fantasma [40]. 2. Cumple con soluciones para agujeros negros de tipo Schwarzschild [40]. 3. La cosmología está bien planteada como un problema de valores iniciales [33, CAPÍTULO 2. COSMOLOGÍA EN GRAVEDAD QUASITOPOLÓGICA GENERALIZADA (GQTG)16 35]. 4. Se produce un mecanismo geométrico como un agente de expansión para el período inflacionario del universo temprano [33, 35]. 5. El período inflacionario tiene una salida agraciada al régimen de Relatividad General [33, 35]. 6. Resuelve problemas de planitud, horizonte y ausencia de defectos topológicos [38]. 7. Las predicciones inflacionarias, en la aproximación de slow-roll, son consistentes con las restricciones impuestas por el satélite Planck [37]. 8. Se satisfacen las predicciones del BNN [38]. 9. La escala de sonido, definida por r∗, puede variar sus valores respecto a GR, con la posibilidad de aliviar la tensión de σ8 y H0 [38]. 10. Se produce una época de aceleración tardía sin invocar a la constante cosmoló- gica [16]. Considerar la teoría de gravedad modificada de GILA es un ejemplo de las dis- cusiones que actualmente se están llevando a cabo para explicar la expansión del universo. GILA presenta un escenario que permite reinterpretar la influencia de la energía oscura como una característica de correcciones geométricas en el contexto de la aceleración tardía del cosmos. Esto abre la puerta para explorar posibilidades de construir e implementar nuevas propuestas para la función F (H) en (2.5). Capítulo 3 Modelos alternativos para cosmología En contraste con los modelos cosmológicos que recurren a la energía oscura, GILA ofrece una reinterpretación de la gravedad mediante correcciones geométricas. A es- calas cosmológicas, las ecuaciones modificadas de Friedmann (2.3) y (2.4) introducen una función F (H) construida mediante series convergentes, lo que abre nuevas vías de investigación para modelar la expansión acelerada en la época tardía del universo. En este escenario, el interés de este trabajo es explorar series que converjan a funciones hiperbólicas de la naturaleza sinh y cosh para ajustar observaciones cosmológicas en el rango 0 ≤ z ≤ 2.5. La teoría expuesta en GILA [16] construye la función F (H) a partir de una serie convergente de la forma: F (H) = H2 + ∞ ∑ n=3 α(n)H 2n, (3.1) siendo α(n) la función de números enteros que engloba las escalas de energía y las constantes de acoplamiento para cada n. Dado que la serie empieza en n = 3, el primer término al abrir la suma debe ser mayor o igual al orden H6. En consecuencia, se le exige unas condiciones específicas en los exponentes que dominan a F (H). 17 CAPÍTULO 3. MODELOS ALTERNATIVOS PARA COSMOLOGÍA 18 3.1. Funciones hiperbólicas F (H) En general, se pueden expresar funciones de índole hiperbólica mediante las si- guientes series convergentes: λL2r−2H2r sinhq[λ(LH)2p] = λL2r−2H2r q ∏ i=1   ∞ ∑ n(i)=1 λ2n(i)−1 (LH)2p(2n(i)−1) (2n(i) − 1)!   . (3.2) βL 2r′−2 H2r′ coshq′ [β(LH)2p ′ ] = βL 2r′−2 H2r′ q′ ∏ i=1   ∞ ∑ n(i)=1 β2n(i)−2 (LH)2p ′(2n(i)−2) (2n(i) − 2)!   .(3.3) donde r, q, p, r ′ , q ′ y p ′ son numeros enteros, L y L son coeficientes para representar la escala de energía, mientras que λ y β son parámetros de acoplamiento gravitacional. Es importante considerar un detalle en la construcción de las nuevas propuestas para F (H), dado que las unidades de L y L son [1/H0] se debe conservar la adimensio- nalidad del argumento de las funciones hiperbólicas con los exponentes 2p y 2p ′ . Por otro lado, los términos L 2r′−2 H2r′ y L2r−2H2r fuera de las funciones hiperbólicas son para tener consistencia con las unidades del orden [H2]. Aclarado lo anterior, nos en- contramos en el escenario adecuado para manipular estas series y explorar sus efectos en las ecuaciones modificadas de Friedmann, brindando así una visión más completa de las posibles dinámicas y evolución del cosmos. 3.1.1. Seno hiperbólico Considerando la serie convergente (3.2) con q = 1, la función (3.1) referente a F (H) puede escribirse como: F (H) = H2 + λL2r−2H2r ∞ ∑ n=1 λ2n−1 (LH)2p(2n−1) (2n− 1)! , (3.4) cuya serie converge a: CAPÍTULO 3. MODELOS ALTERNATIVOS PARA COSMOLOGÍA 19 F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p]. (3.5) Los exponentes deberían cumplir las siguientes condiciones: si r = 1 entonces p > 1. Por otro lado, si p = 1 entonces r > 1. Particularmente, para el caso r = 2 y p = 1, la función de F (H) puede expresarse de la forma: F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2]. (3.6) La expansión de Taylor de la ecuación (3.6) es: F (H) = H2 + L4λ2H6 + 1 6 L8λ4H10 + 1 120 L12λ6H14 +O[H15]. (3.7) Esto significa que α(n) en la ecuación (3.1) para la primera propuesta de seno hiperbólico debe escribirse como: α(n) =      λn−1 (n−2)! L2n−2, si n es impar, 0, si n es par. (3.8) 3.1.2. Coseno hiperbólico De la serie convergente (3.3) con q′ = 1, la ecuación (3.1) se puede escribir como: F (H) = H2 + βL 2r′−2 H2r′ ∞ ∑ n=1 β2n−2 (LH)2p ′(2n−2) (2n− 2)! , (3.9) y su serie converge como: F (H) = H2 + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ]. (3.10) Los exponentes deben cumplir las condiciones r′ ≥ 3 y q′ ≥ 1. En particular, para el caso r′ = 3 y p′ = 1, la función de F (H) adquiere la forma: F (H) = H2 + βL 4 H6 cosh[β(LH)2]. (3.11) CAPÍTULO 3. MODELOS ALTERNATIVOS PARA COSMOLOGÍA 20 La expansión de Taylor de la ecuación (3.11) es: F (H) = H2 + βL4H6 + 1 2 β3L8H10 + 1 24 β5L12H14 +O[H15] (3.12) En consecuencia, la función α(n) en (3.1) para el coseno hiperbólico se reescribe como: α(n) =      βn−2 (n−3)! L 2n−2 , si n es impar, 0, si n es par. (3.13) 3.1.3. Seno y coseno hiperbólico La construcción de esta F (H) es similar al caso en solitario del sinh y cosh. Sin embargo, los coeficientes α(n) pueden dividirse en dos clases de funciones λ̃(n) y β̃(m), de manera que (3.1) adquiere la forma: F (H) = H2 + ∞ ∑ n=3 λ̃(n)H2n + ∞ ∑ m=3 β̃(m)H2m. (3.14) En esta situación, considerando la ecuación anterior y las series convergentes (3.2) y (3.3) con q = q′ = 1, la función F (H) puede expresarse como: F (H) = H2+λL2r−2H2r ∞ ∑ n=1 λ2n−1 (LH)2p(2n−1) (2n− 1)! +βL 2r′−2 H2r′ ∞ ∑ n(i)=1 β2n−2 (LH)2p ′(2n−2) (2n− 2)! , (3.15) cuyas series convergen a: F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p] + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ]. (3.16) Las condiciones que cumplen r y p son las mismas expuestas en la construcción del seno hiperbólico; análogamente para r′ y p′ y el coseno hiperbólico. Particularmente, para el caso r = 2, p = 1, r′ = 3 y p′ = 1, la función F (H) adopta la forma: CAPÍTULO 3. MODELOS ALTERNATIVOS PARA COSMOLOGÍA 21 F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2] + βL 4 H6 cosh[β(LH)2]. (3.17) La expansión de Taylor de la función (3.17) tiene la estructura: F (H) = H2 + ( L4λ2 + L 4 β ) H6 + ( 1 6 L8λ4 + 1 2 L 8 β3 ) H10 +O[H11] (3.18) Lo que indica que las funciones λ̃(n) y β̃(n) deben ser iguales a las expuestas en (3.8) y (3.13), respectivamente. 3.1.4. Seno hiperbólico inverso Otra posible construcción de F (H) basada en la serie convergente (3.2) con q = −1 es: F (H) = H2 − λLr−2Hr ( ∞ ∑ n=1 λ2n−1 (LH)(2n−1)p (2n− 1)! ) −1 , (3.19) cuya serie converge a: F (H) = H2 − λLr−2Hr sinh−1(λ(LH)p), (3.20) donde los exponentes r y p deben satisfacer las condiciones r ≥ 7 y p ≤ r − 6. En este contexto, las condiciones deben garantizar que el término sea de un orden igual o superior a H6 al expandir el término de la función del seno inverso. Particularmente. el caso r = 7 y p = 1 hace que la función F (H) se escriba como: F (H) = H2 − λL5H7 sinh−1 (λLH) , (3.21) y la expansión de Taylor de dicha función sea: H2 − L4H6 + 1 6 L6λ2H8 − 7 360 L8λ4H10 + 31 15120 L10λ6H12 +O[H13]. (3.22) CAPÍTULO 3. MODELOS ALTERNATIVOS PARA COSMOLOGÍA 22 3.1.5. Coseno hiperbólico inverso Finalmente, la última construcción para F (H) basada en la serie convergente (3.3) con q′ = −1 es: F (H) = H2 − βL r′−2 Hr′ ( ∞ ∑ n=1 β2n−2 (LH)(2n−2)p′ (2n− 2)! ) −1 , (3.23) cuya serie converge a: F (H) = H2 − βL r′−2 Hr′ cosh−1(β(LH)p ′ ). (3.24) Los exponentes r′ y p′ deben cumplir r′ ≥ 6 y p′ > 0, garantizando órdenes superiores o iguales a H6 en la expansión del término de la función coseno inverso. Tomando el caso donde r′ = 6 y p′ = 1, la función (3.24) puede escribirse como: F (H) = H2 − βL 4 H6 cosh−1(βLH), (3.25) donde la expansión de Taylor de la anterior función F (H) cumple: H2 − βL 4 H6 + 1 2 β3L 6 H8 − 5 24 β5L 8 H10 + 61 720 β7L 10 H12 +O[H13]. (3.26) Una vez construidas las cinco nuevas propuestas de F (H), se necesita la imple- mentación de un código computacional que permita obtener las soluciones de las ecuaciones modificadas de Friedmann cuando estas F (H) se encuentran involucra- das. Capítulo 4 Integración numérica Se exploró el campo de estudio que ofrece la teoría GILA para modelar la ex- pansión tardía del universo. La finalidad de esta sección es construir una herramien- ta computacional que permita obtener soluciones de las ecuaciones modificadas de Friedmann (2.3) y (2.4), considerando las nuevas propuestas hiperbólicas de F (H). Asimismo, para validar el código, se replicaron los resultados de GILA [16] para todas las épocas del universo, sin introducir la constante cosmológica Λ ni el campo escalar del inflatón ϕ. El código se escribió en el lenguaje computacional Python v3.9.7. Se utilizó la interfaz interactiva de Jupyter Notebook, la cual forma parte del software Anaconda. Jupyter Notebook permite trabajar con entornos virtuales y aislados que sirven para administrar las dependencias y paqueterías empleadas en el proyecto. Para la validación del correcto funcionamiento del código, se replicaron los resul- tados de GILA con (2.10) utilizando dos métodos distintos (ver figuras 4.1 y 4.2): 1. Utilizando el método de la secante para la búsqueda de soluciones en la primera ecuación modificada de Friedmann (2.3). 2. Empleando el método de Runge-Kutta 4 (RK4) para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden en la segunda ecuación modificada de Friedmann (2.4). 23 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24 Figura 4.1: Reproducción de las soluciones de (2.3) y (2.4) referentes a la evolución de H̃ = H(z)/H0 para los modelos ΛCDM, así como los casos L = 0.90/H0, L = 0.95/H0 y L = 1.00/H0 en GILA para z ≲ 3. Las soluciones de ambas ecuaciones fueron comparadas utilizando el error log10 (σR) para verificar la consistencia de GILA, donde σR es el error relativo entre los valo- res. Una vez validado el código, se compararon los resultados con bases de datos referentes a relojes cosmológicos, los cuales son excelentes candidatos observacionales para el estudio de la aceleración tardía del universo. Además, se implementó en el código un algoritmo propio para calcular el módulo de la distancia µ para superno- vas tipo Ia, así como la comparación con las supernovas recopiladas por el proyecto Pantheon+SH0ES. Previo a la implementación de las propuestas hiperbólicas F (H) dentro del código, se construyó un campo de pruebas adicional en el software Geogebra. En este campo, se ajustaron manualmente los parámetros que gobiernan estas nuevas F (H). Geogebra ofrece diversas funcionalidades que facilitan la visualización de puntos y gráficos, así CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 25 Figura 4.2: Reproducción de las soluciones referentes a la evolución de ln(H̃) en LGILA = 0.90/H0, LGILA = 0.95/H0, LGILA = 1.00/H0 y ΛCDM [16], consideran- do el cambio de variable α = ln(a(t)). El área verde oscuro corresponde a la zona prohibida impuesta por la densidad de Planck, el área verde claro corresponde a la época inflacionaria donde − Ḣ H2 ≪ 1, y el área morada inicia en el tamaño del universo cuando ocurre el CMB. como los efectos que provocan los deslizadores que se definen para modular F (H). Seguido de esto, se encontraron las soluciones de la segunda ecuación modificada de Friedman para cada función hiperbólica F (H), expuestas en el capítulo 3, utilizando el método de RK4. Posteriormente, se compararon las curvas gráficas obtenidas con aquellas replicadas por GILA para el caso L = 0.90/H0 en [16], el cual simula de manera óptima la aceleración tardía del universo, y se validaron con los datos de relojes cosmológicos. Finalmente, para cada F (H) hiperbólica, se calculó su módulo de la distancia µ, y se comparó con los resultados obtenidos por GILA y con las supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 26 4.1. Paqueterías elementales Al inicio de un código, es importante definir en el entorno las bibliotecas o libre- rías con las funciones próximas a utilizar. Sus ventajas radican en la reutilización de códigos con algoritmos desarrollados y probados anteriormente. De esta forma, los códigos reducen en gran medida el esfuerzo computacional y promueven el ahorro de tiempo. Por otro lado, los desarrolladores de dichas bibliotecas tienden a dar mante- nimiento a las funciones con constantes actualizaciones, con la finalidad de ampliar la gama de herramientas que puedan implementar otros usuarios. 4.1.1. Mathplotlib Desde la descripción del portal de la librería, Matplotlib es una biblioteca que permite crear figuras interactivas de forma animada o estática. Esta paquetería está dividida en dos interfaces: Pyplot y Axes. En el caso de esta tesis, es conveniente usar Pyplot ya que proporciona herramientas convenientes y sencillas para crear figuras lo suficientemente personalizables. Sin embargo, la interfaz Axes permite al usuario un mayor control en la personalización de los ejes. 1 import matplotlib.pyplot as plt Código 4.1: Interfaz Pyplot de la librería Matplotlib Se utilizó Matplotlib 3.4.3 (ver código 4.1), lanzado el 13 de agosto de 2021, versión adecuada para Python 3.9.7. Es importante asegurarse de que ambas versiones sean compatibles para evitar errores de visualización externos y garantizar el correcto funcionamiento computacional. 4.1.2. NumPy La biblioteca NumPy ofrece una amplia variedad de funciones que permiten tra- bajar con problemas de álgebra lineal, transformadas de Fourier y la generación de números aleatorios, por mencionar algunos. Todo esto bajo la flexibilidad del uso CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 27 de arreglos multidimensionales, lo cual optimiza el rendimiento del hardware. Esta biblioteca de alto nivel, diseñada para lenguajes como C, Fortran o Python, ofrece simplificar cálculos de arreglos o vectores, lo que facilita la obtención de resultados para posteriormente ser graficados. 1 import numpy as np Código 4.2: Librería NumPy La versión utilizada fue NumPy 1.20.3 (ver código 4.2), lanzada en mayo de 2021 y compatible con la versión de Python previamente mencionada. 4.1.3. SciPy Funcionalmente, SciPy es una extensión de NumPy, ya que agrega herramientas para el tratamiento computacional de estructuras de datos con elementos multidi- mensionales. Esta biblioteca tiene una sintaxis de alto nivel, lo que la hace accesible a cualquier usuario. Entre sus sub-bibliotecas, se encuentra la llamada integrate, que contiene diversas funciones especializadas para el cálculo de integrales en dominios definidos. Una de estas funciones es trapz, encargada de calcular el área debajo de la función que describe un conjunto de puntos de naturaleza (x, y) por medio de la regla del trapecio compuesta. La versión utilizada fue SciPy 1.7.1 (ver código 4.3), lanzada agosto del 2021. 1 from scipy.integrate import trapz Código 4.3: Función ’trapz’ importada de la libreria Scipy 4.1.4. Pandas La paquetería Pandas ofrece una excelente lista de herramientas para la organi- zación de ciencia de datos. Las ventajas de Pandas van desde el filtrado, selección o unión de cadenas de datos para ser mostrados en tablas con una interfaz sencilla CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 28 de entender. Estos bancos de datos pueden ser supervisados y limpiados para evitar valores faltantes o la eliminación de estos. Dicha biblioteca tiene grandes sinergias con Matplotlib o NumPy debido al tratamiento algebraico y la visualización de arreglos multidimensionales. Estos arreglos son almacenados en estructuras como DataFra- mes, lo que reduce el esfuerzo para construir gráficos sofisticados. La versión utilizada fue Pandas 1.3.4 (ver código 4.4), lanzada en octubre de 2021. 1 import pandas as pd Código 4.4: Librería Pandas 4.2. Bases de datos En esta sección se explican las bases de datos empleadas para verificar los re- sultados en la teoría detrás de la cosmología GQTG. Estos conjuntos de datos son referentes a datos H(z), específicamente, las mediciones provenientes de relojes cos- mológicos (CC) [41, 42] y supernovas tipo Ia, este último proveniente del programa Pantheon+ [43]. 4.2.1. Datos de H(z) El primer set de datos utilizado para evaluar las soluciones de (2.3) y (2.4), cal- culadas por los modelos expuestos, se refiere al parámetro H y su evolución respecto a z. Estas mediciones se llevan a cabo mediante dos metodologías: 1) Una consiste en la extracción de H(z) a partir de la información que proporcionan las oscilaciones acústicas de bariones (BAO). Esta técnica de medición de H(z) derivadas de las BAO se divide en dos sub-métodos: ’Shape Method’ y ’Peak Method’, los cuales pueden ser consultados a detalle en artículos científicos especializados sobre la materia [44, 45]. 2) El otro método consiste en estimar diferencias de edad en la evolución de galaxias a distintos corrimientos al rojo [41]. Este último método es conocido como relojes cosmológicos (CC). Se utilizaron un total de 31 puntos provenientes de CC (tabla CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29 4.1), estos con el formato (z,H(z)± σH) en el dominio 0.070 ≤ z ≤ 1.965 y serán de utilidad para la validación de los modelos propuestos por la cosmología modificada GQTG. z H(z)± σ Referencia z H(z)± σ Referencia 0.070 69.00± 19.6 [46] 0.478 80.90± 9.00 [47] 0.090 69.00± 12.0 [48] 0.480 97.00± 62.0 [49] 0.120 68.60± 26.2 [46] 0.593 104.0± 13.0 [50] 0.170 83.00± 8.00 [48] 0.679 92.00± 8.00 [50] 0.179 75.00± 4.00 [50] 0.781 105.0± 12.0 [50] 0.199 75.00± 5.00 [50] 0.875 125.0± 17.0 [50] 0.200 72.90± 29.6 [46] 0.880 90.0± 40.0 [49] 0.270 77.00± 14.0 [48] 0.900 117.0± 23.0 [48] 0.280 88.80± 36.6 [46] 1.037 154.0± 20.0 [50] 0.352 83.00± 14 [50] 1.300 168.0± 17.0 [48] 0.380 83.00± 13.5 [47] 1.363 160.0± 33.6 [51] 0.400 95.00± 17.0 [48] 1.430 177.0± 18.0 [48] 0.401 77.00± 10.2 [47] 1.530 140.0± 14.0 [48] 0.425 87.10± 11.2 [47] 1.750 202.0± 40.0 [48] 0.449 92.80± 12.9 [47] 1.965 186.5± 50.4 [51] 0.470 89.00± 34.0 [52] Tabla 4.1: Valores de H(zi) con sus respectivos errores σH provenientes de la técnica CC [41, 42]. Relojes cosmológicos A grandes rasgos, la técnica de relojes cosmológicos consiste en estimar por espec- troscopia las edades de las galaxias. Específicamente, se calcula la diferencia de edades ∆t entre dos galaxias que se formaron al mismo tiempo y que presentan diferencias muy pequeñas en su redshift ∆z [53]. Una vez determinados los valores anteriores, se aproxima la tasa de cambio dz/dt ≈ ∆z/∆t y guarda relación con H(z) de la siguiente manera: H(a(z)) = ȧ a = (1 + z) da dz dz dt = − 1 + z (1 + z)2 dz dt = − 1 1 + z dz dt (4.1) CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 30 H(z) ≈ − 1 1 + z ∆z ∆t (4.2) Una de las ventajas de este método es que sus mediciones son independientes del modelo [54], lo que lo hace ideal para la evaluación de nuevas soluciones H(z) provenientes de (2.3) y (2.4) bajo la influencia de las F (H) construidas en el capítulo 3. 4.2.2. Supernovas tipo Ia (SNeIa) Trabajar con Supernovas Tipo Ia (SNeIa) es interesante cuando se trata de estu- diar la aceleración tardía del universo, debido a que proporcionan una luminosidad consistente y dependiente del redshift z. Por lo tanto, son un excelente recurso para estudiar la expansión del cosmos. Estas supernovas son explosiones termonucleares provocadas por la destrucción de una enana blanca en un sistema binario. Dichas estrellas están compuestas por carbono y oxígeno [55, 56]. En el desarrollo del código, se utilizó la colección de Pantheon, la cual está com- puesta por un total de 1701 SN, siendo 1550 de naturaleza SNe [31], cada una con sus respectivas distancias registradas en el dominio 0.00122 ≤ z ≤ 2.2613. El proyecto Pantheon+ es una compilación de supernovas archivadas provenientes de los equipos: Sloan Digital Sky Survey (SDSS), Supernova Legacy Survey (SNLS), Pan-STARRS1 (Pan-STARRS Telescope and Rapid Response System 1) y el Telescopio Espacial Hubble (HST). Estos equipos han proporcionado numerosas imágenes que forman grandes catálogos de galaxias, principalmente para estudiar y modelar el comporta- miento de la energía oscura y su influencia en la expansión del universo [57, 58]. En términos analíticos, el módulo de la distancia de las SNeIa puede determinarse con la distancia luminosa dL con la expresión. µ(z) = M −m = 5 log10 [ dL(z) 1Mpc ] + 25. (4.3) CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 31 Para un universo plano con k = 0, la distancia luminosa se expresa como dL(z) = c H0 (1 + z)D(z), siendo c la velocidad de la luz y la función D(z) = ∫ z 0 H0 H(z′) dz′. (4.4) 4.3. Implementación del modelo ΛCDM para el cálcu- lo de H(z) En el estudio de la expansión del universo, es innegable que, en algunos modelos, las ecuaciones físicas no contengan la influencia de la constante cosmológica Λ. Entre sus posibles interpretaciones, se encuentra la existencia de un tipo de energía capaz de modelar el efecto de Λ. Esta energía extraña es catalogada como energía oscura y se cree que efectúa una presión negativa lo suficientemente fuerte como para ser considerada el motor de la expansión del cosmos. El modelo más popular para describir la influencia de la energía oscura es el modelo ΛCDM. Por lo tanto, es importante tener sus soluciones como referencia para las soluciones de GILA. En el caso de ΛCDM se consideró un universo plano k = 0, una proporción de radiación Ω0 r = 8.4×10−5 que está de acuerdo con las observaciones del satélite Planck [39] y el cambio de variable a(z) = 1 1+z ; la ecuación anterior puede escribirse como: H(a) = H0 [ Ω0 ma −3 + Ω0 ra −4 + ΩΛ ]1/2 , con ΩΛ = 1− Ω0 m − Ω0 r. (4.5) Para incorporar la ecuación (4.5) en el código de Python, es conveniente implemen- tar el cambio de variable α = ln ( a a0 ) ya que es eficaz para computar las predicciones de H(z). Sus ventajas radican en mapear grandes dominios de desplazamiento al rojo con ligeros cambios en α, esto sin la necesidad de calcular grandes números de forma directa, lo que promueve el uso innecesario de recursos computacionales. Dicho lo CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 32 anterior, el cambio de variable da como resultado: H(a) = H0 [ Ω0 me ln(a−3) + Ω0 re ln(a−4) + ΩΛ ]1/2 (4.6) H(α) = H0 [ Ω0 me −3α + Ω0 re −4α + ΩΛ ]1/2 (4.7) Para el caso de un universo dominado por un 31 % de materia bariónica y 69 % de energía oscura, la ecuación anterior fue implementada y graficada junto a los puntos (z,H) provenientes de el set de datos de relojes cosmológicos. 1 Om =0.310 2 Or =8.4*10**( -5) 3 def LCDM(alpha): 4 return H0 * (Om*np.exp(-3*alpha)+Or*np.exp(-4*alpha)+ (1-Om-Or)) **(1/2) Código 4.5: Primera ecuación de Friedmann en el modelo ΛCDM (Cambio de variable) En el caso de la función (4.7) (código 4.5), las soluciones se pueden obtener me- diante la tabulación para cada valor de α. De esta forma, las curvas de las gráficas que describen la expansión del cosmos por parte de ΛCDM se recopilaron y manipularon para, posteriormente, encontrar las soluciones referentes al módulo de la distancia µ para Supernovas tipo Ia. 4.4. F (H) para GILA Se replicaron los resultados de [16] para la verificación del código y su correcto funcionamiento. Para esto, se programó la ecuación (2.10) con valores p = 4, q = 2. r = 1 y s = 4, dicha ecuación adopta la forma (ver código 4.6): F (H) = H2 + λH8L6eλ(LH)4 − βH2e−β(LH)8 . (4.8) 1 def F(H): CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 33 2 F=H**2 + H**8 * L**6 * lamb * np.exp(lamb * (L*H)**4) - H **2 * Lbar **0 * beta * np.exp(-beta*(Lbar*H)**8) 3 return F Código 4.6: Definición de la función (4.8) en el código de Python. Así mismo, su derivada respecto al parámetro de Hubble H es (código 4.7): dF (H) dH = 2H+8λH7L6eλ(LH)4−2βHe−β(LH)8+4λ2H11L10eλ(LH)4+8β2H9L 8 e−β(LH)8 (4.9) 1 def dF(H): 2 p1=8*H**7 * lamb * L**6 * np.exp(lamb*(L*H)**4) 3 p2=-2*H*beta*np.exp(-beta*(Lbar*H)**8) 4 p3=4*H**11 * lamb **2 * L**10 * np.exp(lamb*(L*H)**4) 5 p4=8* beta **2 * Lbar **8 * H**9 * np.exp(-beta*(Lbar*H)**8) 6 return 2*H + p1 + p2 + p3 + p4 Código 4.7: Definición de la función (4.9) en el código de Python. El objetivo destinado para estas funciones es la búsqueda de soluciones consisten- tes en ambas ecuaciones de Friedmann alusivas a la cosmología GQTG. El cumpli- miento de este objetivo asegura el correcto cálculo de datos y, en consecuencia, una herramienta para investigar diferentes propuestas de F (H). Los formatos de progra- mación presentados para las funciones (4.8) y (4.9) son óptimos para ser introducidos en las ecuaciones de Friedmann modificadas, especialmente en la segunda ecuación modificada, ya que presenta un problema multivariable de ecuaciones diferenciales. No obstante, su simplificación se discute posteriormente en la sección (4.4.2) de este capítulo. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 34 4.4.1. Implementación del método de la secante para encon- trar soluciones a la primera ecuación de Friedmann mo- dificada Antes de explicar el código, es importante destacar el tratamiento previo que se da a la ecuación modificada de Friedmann. Para empezar, el método de la secante tiene la finalidad de encontrar raíces σ en ecuaciones de la naturaleza f(σ) = 0. Dicho esto, la ecuación (2.3) debe ser escrita como: 3F (H)− κρ = 0, con ρ = ρm + ρr = 3F (H0) κ [ Ωm a3 + Ωr a4 ] , (4.10) Para mantener el mismo formato de la ecuación (4.7) proveniente del modelo ΛCDM, se aplica a la ecuación (4.10) el cambio de variable α = ln (a) que permite administrar los recursos computacionales. De esta forma, aplicando lo anterior dicho, la densidad total de energía puede ser expresada como: ρ = 3F (H0) κ [ Ωme ln(a−3) + Ωre ln(a−4) ] (4.11) ρ = 3F (H0) κ [ Ωme −3α + Ωre −4α ] (4.12) 1 rho_mogr =0.999916 2 rho_rogr =8.4*10**( -5) 3 kappa =8*np.pi 4 def Friedmann_1(h): 5 rho_mogi=rho_mogr 6 rho_rogi=rho_rogr 7 rho_total =(3*F(H0)/kappa)*( rho_mogi*np.exp(-3* alpha) + rho_rogi* np.exp(-4*alpha)) 8 result =3*F(h)-kappa*rho_total 9 return result Código 4.8: Definición de la primera ecuación de Friedmann modificada (4.10) con la densidad total de energía (4.12) en el código de Python. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 35 Una vez definida la ecuación de Friedmann en la cosmología GQTG (código 4.8), se empleó el método de la secante para encontrar sus soluciones (código 4.9), siendo este un método que genera aproximaciones de forma iterativa para encontrar raíces de una función. Para el caso de esta tesis, este método es suficiente, ya que su convergencia no es lineal, lo que significa que la búsqueda de raíces es rápida si se eligen correctamente los extremos del dominio donde se desea encontrar la solución. Al ser una derivación del método de Newton-Raphson, el método de la secante posee una menor velocidad de convergencia. Sin embargo, este método tiene la ventaja de no requerir el cálculo de derivadas de las funciones, lo que simplifica completamente el desarrollo del código al evitar el cálculo de derivadas para nuevas propuestas de F (H). En términos analíticos, la ecuación del método de la secante se puede expresar como xn+1 = xn − xn − xn−1 f(xn)− f(xn−1) f(xn), (4.13) donde xn y xn−1 son las aproximaciones de la raíz en la n-ésima y (n − 1)-ésima iteracción, respectivamente, y f(xn) y f(xn−1) los valores de la función en esas apro- ximaciones. En la escritura del código, no es recomendable programar el método basándose en la definición de un número n de iteraciones, ya que esto puede resultar en una precisión fluctuante y poco confiable. Para resolver esto, conviene definir un valor de tolerancia δ que considere un nivel de precisión suficiente para detener los cálculos. Esto evita la necesidad de adivinar el número de iteraciones necesarias para alcanzar la precisión deseada (ver código 4.9). 1 def secante(f, x0 , x1 , delta =1e-9): 2 n=0 3 f0 = f(x0) 4 f1 = f(x1) 5 res = [[x0, f(x0), np.nan], #nan es el paso inicial del Data Frame 6 [x1 , f(x1), x1 - x0],] 7 while True: 8 x2 = x1 - f1 * (x1 - x0) / (f1 - f0) #secante CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 36 9 f2 = f(x2) 10 res.append ([n,x2]) #f2 , x2-x1]) 11 if abs(f2) < delta: 12 break 13 f0 = f1 14 f1 = f2 15 x0 = x1 16 x1 = x2 17 n+=1 18 return res[len(res) -1] Código 4.9: Programación del método de la secante a partir de la ecuación (4.13) considerando un valor de tolerancia δ. Antes de ingresar la función programada en el código 4.8, se utilizó un bucle de tipo for que recorre los posibles valores de α en la ecuación (4.10) (código 4.10). Estos valores de α se calculan previamente utilizando un redshift, que indica hasta dónde se desean encontrar soluciones, y utilizando las relaciones: α = ln (a) y a = 1 1 + z =⇒ α = − ln (1 + z) . (4.14) 1 hubble_fh =[] 2 alp =[# Valores deseados para \alpha] 3 4 for i in alp: 5 alpha=i 6 H_f=secante(Friedmann_1 ,a,b)[1] 7 H_f=abs(H_f) 8 hubble_fh.append(H_f) Código 4.10: Búsqueda de soluciones para (4.10) por método de la secante. Una vez programada nuestra herramienta computacional para F (H) expuesta en (4.8), se replicaron los resultados de [16] calculando tres soluciones de la ecuación (4.10) en los casos L = 0.90/H0, L = 0.95/H0 y L = 1/H0 (figura 4.3). Estas curvas comparten los parámetros β = 1, λ = 1 y L = 10−27/H0. Por último, se consideró CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 37 Figura 4.3: Evolución de H(z) calculada a partir del método de la secante para los modelos ΛCDM, LGILA = 0.90/H0, LGILA = 0.95/H0 y LGILA = 1.00/H0. Se adjun- tan los puntos alusivos a la base de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1 y se considera H0 = 70. un universo compuesto por aproximadamente el 99.9916% de materia bariónica y el resto conformado por radiación. 4.4.2. Implementación del método de Rungen-Kutta de orden 4 para encontrar soluciones en la segunda ecuación de Friedmann modificada Para verificar si el método computacional es consistente, las soluciones provenien- tes de ambas ecuaciones modificadas de Friedmann deben ser las mismas. Por lo tanto, lo siguiente a tratar es la incorporación de nuevo código para obtener solu- ciones derivadas de la segunda ecuación. Antes de hacerlo, el tratamiento algebraico es importante para definir el tipo de problema y elegir un método adecuado. Ahora bien, la segunda ecuación modificada de Friedmann es CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 38 −Ḣ H F ′(H) = κ(ρ+ P ), con Ḣ = dH dt y F ′(H) = dF dH . (4.15) Si se analiza la ecuación anterior teniendo en cuenta la densidad de energía (4.12), es evidente que se presenta un problema multivariable para una ecuación diferencial, siendo (t, α,H) las variables implicadas. Una primera impresión podría sugerir que se necesita un método computacional más complejo. No obstante, el cambio de variable α = ln (a) vuelve a ser de utilidad ya que, Ḣ = dH dt = dH dα dα dt y dα dt = d ln (a) dt = ȧ a , (4.16) =⇒ Ḣ = dH dα ȧ a = dH dα H. (4.17) Por otro lado, las presiones ejercidas en el universo por cada fluido perfecto ahora se encuentran involucradas. Estas contribuyen en la expansión del universo y cumplen la ecuación de estado Pi = ωiρi. En el caso de la tesis, se trabajó nuevamente con un universo cuyo contenido es materia bariónica y radiación, siendo sus ecuaciones de estado ωm = 0 y ωr = 1/3, respectivamente. En consecuencia, la presión total obtiene la forma: P = ωmρm + ωrρr = F (H0) κ Ωre −4α. (4.18) Sustituyendo (4.17) y (4.18) en (4.15), la expresión se puede reescribir como −dH dα F ′(H) = κ(ρ+ P ) =⇒ dH dα = −κ(ρ+ P ) F ′(H) . (4.19) Se ha mencionado que el cambio de variable α = ln (a) es útil para administrar los recursos computacionales (código 4.11). Además, este cambio permitió reducir el problema a uno de ecuaciones diferenciales ordinarias, por lo que se utilizó el método de Runge-Kutta de orden 4 (RK4) en el código 4.12. Este método numérico posee la virtud de ser uno de los más empleados para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. En general, es un método que equilibra el uso de memoria y la pre- CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 39 cisión para acercarse a la solución real. 1 def Hubble_fh(H,alpha): 2 rho_mogi=rho_mogr 3 rho_rogi=rho_rogr 4 rho_total =(3*F(H0)/kappa)*( rho_mogi*np.exp(-3* alpha) + rho_rogi* np.exp(-4*alpha)) 5 Press =(3*F(H0)/(3* kappa))*rho_rogi*np.exp(-4* alpha) 6 return -kappa*( Press+rho_total)/(dF(H)) Código 4.11: Definición en el código de la segunda ecuación modificada de Friedmann (4.19) Considerando condiciones iniciales y(x0) = y0, la técnica numérica RK4 tiene como objetivo encontrar una aproximación de la función y(x), que depende de x, dentro de un intervalo definido [a, b]. Esto se logra a partir de una función f(x, y), que describe la tasa de cambio de y(x). RK4 es un método iterativo que forma parte de una familia de métodos numéricos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales. En este caso, se consideran ecuaciones diferenciales de la forma: dy(x) dx = f(x, y(x)), con y0 = y(x0). (4.20) En general, los métodos de Runge-Kutta están diseñados para emplear un tamaño de paso h. La diferencia del método RK4 con respecto al resto de los métodos radica en que RK4 calcula cuatro pendientes ponderadas en diferentes puntos dentro de cada intervalo [xn, xn+1] y las utiliza para determinar el valor de la función en el siguiente punto con la expresión [59]: yn+1 = yn + h 6 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] , (4.21) donde CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 40 k1 = f(xn, yn), k2 = f(xn + h 2 , yn + h 2 k1), k3 = f(xn + h 2 , yn + h 2 k2), k4 = f(xn + h, yn + hk3). (4.22) Usualmente, los códigos de RK4 están implementados para encontrar soluciones con la condición x ≥ a en un dominio [a, b]. Sin embargo, la relación (4.14) nos dice si z → ∞ =⇒ α → −∞. (4.23) Dadas las condiciones iniciales (α0 = 0, H0), el método de RK4 debe ser progra- mado para encontrar soluciones con la condición α ≤ α0 en un dominio [a, b]. Esto se soluciona definiendo un paso negativo h hasta llegar a: a = − ln (1 + zdeseado) . (4.24) 1 def rk4(f, a, b, xo , N): 2 h = (b - a) / N 3 x = [xo] 4 5 for i in range(N-1): 6 k1 = h * f(x[i], a + h * (i+1)) 7 k2 = h * f(x[i] + 0.5 * k1 , a + h * (i+1) + 0.5 * h) 8 k3 = h * f(x[i] + 0.5 * k2 , a + h * (i+1) + 0.5 * h) 9 k4 = h * f(x[i] + k3, a + h * (i+1) + h) 10 x.append(x[i] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6) 11 return x Código 4.12: Definición del método RK4 con las ecuaciones (4.21) y (4.22) Finalmente, es evidente que la ecuación dH(α) dα = f(α,H(α)), con f(α,H(α)) = −κ(ρ+ P ) F ′(H) , (4.25) CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 41 cumple con el formato para el método RK4, por lo que se calcularon las soluciones únicamente para L = 0.90/H0 con los parámetros restantes iguales al caso del método de la secante. Se fijó un tamaño de paso h = 10−6 y se definió el dominio z ∈ [0, 2.4], siendo este adecuado para la visualización y comparación con las bases de datos de supernovas y relojes cosmológicos. 4.5. Comparación de resultados entre los métodos de la secante y Runge-Kutta 4 para GILA La comparación de los resultados obtenidos mediante métodos numéricos diferen- tes es fundamental para validar las soluciones derivadas de las ecuaciones modificadas de Friedmann que ofrece GILA. Específicamente, se empleó el método de la secante para obtener las soluciones de (2.3) y el método RK4 para las de (2.4). Verificar estos métodos nos permite evaluar la precisión, convergencia y eficiencia computacional. Además, nos brinda la oportunidad de comprender las limitaciones de cada método en este contexto. En el método de la secante, se utilizó un valor de tolerancia δ = 10−9, lo que hace que sus soluciones sean las más cercanas a las soluciones reales. Sin embargo, la com- paración con el método RK4 confirma la consistencia de la teoría GILA. Acompañado de esto, el método de la secante tiene la desventaja al definir el dominio donde los valores H son calculados, haciéndolo inconsistente si no se conoce esto con exactitud. Por otro lado, para valores de redshift z ≥ 2.5, el valor de H puede crecer a valores muy grandes, lo que provoca que el método requiera más tiempo de cómputo y me- moria. Dicho lo anterior, se calculó el logaritmo en base 10 del error relativo entre los dos métodos de la siguiente manera: log10 (σR) = log10 ( |Hsecante −HRK4| |Hsecante| ) . (4.26) Este parámetro representa una medida logarítmica de la precisión del cálculo nu- CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 42 mérico de RK4, proporcionando una forma conveniente de visualizar las diferencias entre los métodos. Al tomar log10 (σR), los errores relativamente pequeños se repre- sentan como valores negativos, mientras que los errores grandes se representan como valores positivos. Esta comparación permite una representación fácil para interpretar los cálculos numéricos. Figura 4.4: Panel a) Evolución del parámetro H(z) para ΛCDM y LGILA = 0.90/H0, junto con la base de datos de relojes cosmológicos. Se adjunta la comparación de la curva referente a GILA calculada por los métodos de la secante y RK4. Panel b) Logaritmo en base 10 del error relativo σR de las soluciones H(z), calculadas y comparadas entre la secante y RK4. Al hacer la comparación de ambos métodos con el set de datos de relojes cosmo- lógicos, la figura 4.4.a visualmente demuestra que RK4 calcula la misma curva que las soluciones del método de la secante. Sin embargo, esto no es suficiente, por lo que la figura 4.4.b indica que la diferencia de resultados es relativamente pequeña, presentando números negativos log10 (σR) < −6 en todo el dominio de z. Con la vali- dación del correcto cálculo de soluciones por el método RK4, lo siguiente es calcular las curvas referentes al módulo de la distancia µ para las supernovas tipo Ia en la teoría de GILA. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 43 4.6. Cálculo del módulo de la distancia µ para Su- pernovas tipo Ia Figura 4.5: Panel superior: Reproducción de los módulos de la distancia µ para ΛCDM y GILA, del artículo [16] en todos sus casos, junto con los datos de supernovas tipo Ia provenientes de la colección Pantheon+SH0ES. Panel inferior: Diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. Después de validar el cálculo de resultados para ambas ecuaciones modificadas de Friedmann mediante el código, el siguiente paso es realizar la interpolación de los CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 44 puntos provenientes de Pantheon+ que corresponden al módulo de la distancia µ(z) para supernovas tipo Ia. El primer problema a tratar es el cálculo de la función de la distancia D(z) en la ecuación (4.4), que contiene una función explícita H(z). Para el caso de ΛCDM, se puede derivar una función H(z) a partir de (4.5) y utilizando un poco de álgebra, se tiene: H(z) = H0 [ ΩGR m (1 + z)3 + ΩGR Λ ]1/2 . (4.27) Por otro lado, en el caso de GILA, la situación es completamente diferente, ya que la ecuación es trascendental, lo que significa que no será sencillo encontrar una función H(z) de forma explícita. No obstante, se cuenta con las listas de soluciones para las ecuaciones modificadas de Friedmann. Afortunadamente, la librería SciPy nos ofrece una amplia gama de herramientas para aproximar el valor de las integrales. Previo a eso y tomando en cuenta la estructura de (4.4), es evidente que se necesitan listas adicionales que constantemente actualicen y recopilen (zi, Hi) para ser usados como los límites de la integral. Con esto, se utilizó la función trapz de SciPy, que implementa la regla del trapecio compuesta para aproximar funciones. Esta regla es discutida en el apéndice a fondo, pero es importante visualizar la ecuación detrás de ella para discutir el código. Tiene la forma: ∫ b a f(x) dx ≈ h 2 [f(a) + 2 n−1 ∑ i=1 f(xi) + f(b)] (4.28) La aproximación por la regla del trapecio compuesta depende únicamente de va- lores (xi, f(xi)), y como la función D(z) es de este tipo, la función trapz es adecuada para calcular el módulo de la distancia µ. Una vez aclarada la aproximación, lo si- guiente a programar es: dL(z) = c H0 (1 + z)D(z), (4.29) para finalmente ser intruducido en (4.3). Con el código 4.13 implementado, se re- plicaron las soluciones de µ publicadas en [16]. Estas soluciones son para los casos CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 45 L = 0.90/H0, L = 0.95/H0 y L = 1/H0, así como las diferencias de cada una de estas curvas respecto a la de ΛCDM. La reproducción de los módulos µ para los modelos GILA y ΛCDM en la figu- ra 4.5 evidencia que disponemos de una herramienta suficiente para explorar nuevas propuestas de modelos cosmológicos y sus implicaciones al momento de ajustar los datos de supernovas tipo Ia y relojes cósmicos. Esto abre la puerta a investigaciones más detalladas sobre la evolución del universo y otras cuestiones fundamentales en cosmología. Además, proporciona una base sólida para evaluar la validez de diferentes teorías y para mejorar nuestra comprensión del cosmos. 1 z_=[# Valores de redshift asociados a los valores de H(z) en la lista hubble_fh] 2 hubble_ =[H0/i for i in hubble_fh] 3 z_lim=np.array ([]) 4 hubble_lim=np.array ([]) 5 mu_ =[] 6 7 for i in range(len(z_)): 8 if i==0: 9 z_lim = np.append(z_lim , z_[i]) 10 hubble_lim = np.append(hubble_lim , hubble_[i]) 11 12 else: 13 z_lim = np.append(z_lim , z_[i]) 14 hubble_lim = np.append(hubble_lim , hubble_[i]) 15 16 x = np.array(z_lim) 17 y = np.array(hubble_lim) 18 x_interp = np.linspace(x.min(), x.max(), 1000) # Crear puntos x interpolados 19 y_interp = np.interp(x_interp , x, y) # Interpolar los valores de y 20 CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 46 21 area_curva = trapz(y_interp , x_interp) 22 dl=(c/H0)*(1+z_[i])*area_curva #Distancia luminosa 23 mu=5*np.log10(dl/1) +25 24 mu_.append(mu) Código 4.13: Código para el cálculo del módulo de la distancia µ en la ecuación (4.3) 4.7. Implementación de nuevas F (H) Una vez programado el código en Python y comprobpar que calcula correctamen- te, corresponde obtener las soluciones de las ecuaciones modificadas de Friedmann y realizar las pruebas para validar los cálculos con los resultados de GILA, lo siguiente a incorporar son las propuestas hiperbólicas construidas en el capítulo 3. Antes de definir las nuevas funciones F (H) en Python, se utilizó un parámetro auxiliar f para especificar la clase de función hiperbólica con la que opera el código para calcular las nuevas soluciones. 1 f = int(input (" Ingresa el n m e r o asociado a la funcion F(H)= ")) Código 4.14: Parámetro auxiliar f para cambiar entre las nuevas F (H). La ventaja de implementar el parámetro f en el código 4.14 es la flexibilidad para cambiar la función F (H) de manera práctica. Para esto, se clasificaron en cinco clases las nuevas funciones hiperbólicas, siendo: 1ra clase: F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p] 2da clase: F (H) = H2 + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ] 3ra clase: F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p] + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ] 4ta clase: F (H) = H2 − λL5H7 sinh−1 (λLH) 5ta clase: F (H) = H2 − βL 4 H6 cosh−1 ( βLH ) CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 47 Es importante destacar que el script del código está abierto a nuevas clases de funciones F (H), las cuales no necesariamente deben ser de naturaleza hiperbólica. En este contexto, basta con definirlas como de sexta clase o superior. Además, las funciones hiperbólicas fueron programadas en su forma general. Inicialmente, esta im- plementación se ideó para explorar las posibles combinaciones de los enteros r, r′, p, p′ y sus efectos en las ecuaciones modificadas de Friedmann. Con lo anterior en mente, la implementación implica escribir explícitamente la función F (H) y su derivada F ′(H). Esta estructura garantiza la compatibilidad con la función del código 4.4.2 y, por lo tanto, permite su integración en el método de RK4 para encontrar las soluciones de (2.4). 4.7.1. Primera clase: sinh La primera clase (f = 1) es aquella construida en la ecuación (3.5), por lo que su forma explícita es: F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p]. (4.30) Por otro lado, la derivada F ′(H) = dF dH puede ser relativamente larga para la zona visible del script, por lo que conviene programarla de la siguiente manera (ver código 4.15): dF dH = p1(H) + p2(H) + p3(H), (4.31) donde p1(H) = 2H, p2(H) = 2rH2r−1λL2r−2 sinh [ λ(LH)2p ] , p3(H) = 2pH2r+2p−1λ2L2r+2p−2 cosh [ λ(LH)2p ] . 1 if f==1: 2 print("Sinh(x)") CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 48 3 def F(H): 4 F=H**2 + lamb * H**(2*r) * L**(2*r-2) * np.sinh(lamb*(L*H) **(2*p)) 5 return F 6 7 def dF(H): 8 p1=2*H 9 p2=2*r * H**(2*r-1) * L**(2*r-2) * lamb * np.sinh(lamb*(H*L) **(2*p)) 10 p3=2*p * H**(2*r+2*p-1) * L**(2*r+2*p-2) * lamb **2 * np.cosh (lamb*(H*L)**(2*p)) 11 return p1+p2+p3 Código 4.15: Definición de las funciones de clase uno (4.30) y (4.31) en el código. 4.7.2. Segunda clase: cosh Para la segunda clase (f = 2) construida en la ecuación (3.10), su forma explícita es: F (H) = H2 + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ]. (4.32) De igual forma, la derivada F ′(H) es larga para la zona visible del script, por lo que su programación sigue el formato: dF dH = p1(H) + p2(H) + p3(H), (4.33) donde p1(H) = 2H, p2(H) = 2r′H2r′−1βL 2r′−2 cosh [ β(LH)2p ′ ] , p3(H) = 2p′H2r′+2p′−1β2L 2r′+2p′−2 sinh [ β(LH)2p ′ ] . 1 if f==2: CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 49 2 print("Cosh(x)") 3 def F(H): 4 F=H**2 + beta * H**(2*r) * Lbar **(2*r-2) * np.cosh(beta*( Lbar*H)**(2*p)) 5 return F 6 7 def dF(H): 8 p1=2*H 9 p2=2*r * H**(2*r-1) * Lbar **(2*r-2) * beta * np.cosh(beta*( H*Lbar)**(2*p)) 10 p3=2*p * H**(2*r+2*p-1) * Lbar **(2*r+2*p-2) * beta **2 * np. sinh(beta*(H*Lbar)**(2*p)) 11 return p1+p2+p3 Código 4.16: Definición de las funciones de clase dos (4.32) y (4.33) 4.7.3. Tercera clase: sinh y cosh La tercera clase (f = 3) se define mediante la ecuación (3.16), lo que la convierte en la más desafiante de programar debido a la mayor cantidad de términos en com- paración con las dos clases anteriores. Su función F (H) sigue la siguiente estructura: F (H) = H2 + λL2r−2H2r sinh[λ(LH)2p] + βL 2r′−2 H2r′ cosh[β(LH)2p ′ ]. (4.34) De modo que su derivada F ′(H) se programó siguiendo el formato: dF dH = p1(H) + p2(H) + p3(H) + p4(H) + p5(H), (4.35) donde CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 50 p1(H) = 2H, p2(H) = 2rH2r−1λL2r−2 sinh [ λ(LH)2p ] , p3(H) = 2pH2r+2p−1λ2L2r+2p−2 cosh [ λ(LH)2p ] , p4(H) = 2r′H2r′−1βL 2r′−2 cosh [ β(LH)2p ′ ] , p5(H) = 2p′H2r′+2p′−1β2L 2r′+2p′−2 sinh [ β(LH)2p ′ ] . 1 if f == 3: 2 print("Sinh(x) y Cosh(x)") 3 def F(H): 4 F1 = H**2 + lamb * H**(2*r) * L**(2*r-2) * np.sinh(lamb*(L*H )**(2*p)) 5 F2 = beta * H**(2*s) * Lbar **(2*s-2) * np.cosh(beta*(Lbar*H) **(2*m)) 6 return F1 + F2 7 8 def dF(H): 9 p1 = 2*H 10 p2 = 2*r * H**(2*r-1) * L**(2*r-2) * lamb * np.sinh(lamb*(H *L)**(2*p)) 11 p3 = 2*p * H**(2*r+2*p-1) * L**(2*(r-1)+2*p) * lamb **2 * np. cosh(lamb*(H*L)**(2*p)) 12 p4 = 2*s * H**(2*s-1) * Lbar **(2*s-2) * beta * np.cosh(beta *(H*Lbar)**(2*m)) 13 p5 = 2*m * H**(2*s+2*m-1) * Lbar **(2*(s-1)+2*m) * beta **2 * np.sinh(beta*(H*Lbar)**(2*m)) 14 return p1 + p2 + p3 + p4 + p5 Código 4.17: Definición de las funciones de clase tres (4.34) y (4.35) 4.7.4. Cuarta clase: sinh−1 La función de clase cuatro (f = 4) fue programada de manera explícita para los casos r = 7 y p = 1, ya que estos exponentes serán cruciales para satisfacer las CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 51 condiciones de la sección 3.1.4. Dicho esto, la forma de la función F (H) es: F (H) = H2 − λL5H7 sinh−1 (λLH) , (4.36) y su derivada fue escrita en el siguiente formato: dF dH = p1(H)− p2(H) + p3(H), (4.37) donde p1(H) = 2H, p2(H) = 7H6λL5 sinh−1(λLH), p3(H) = H7λ2L6 cosh(λLH) sinh2(λLH) . 1 if f==4: 2 def F(H): 3 return H**2 - lamb * H**7 * L**5 * (np.sinh(lamb*L*H))**(-1) 4 5 def dF(H): 6 p1=2*H 7 p2=lamb * 7*H**6 * L**5 * (np.sinh(lamb*L*H))**(-1) 8 p3=lamb **2 * L**6 * H**7 * (np.cosh(lamb*L*H)/(np.sinh(lamb* L*H))**2) 9 return p1-p2+p3 Código 4.18: Definición de las funciones de clase 4 (4.36) y (4.37) 4.7.5. Quinta clase: cosh−1 De forma similar a la función de clase cuatro, la función de clase cinco (f = 5) fue programada de manera explícita en el caso r′ = 6 y p′ = 1, ya que estos exponentes satisfacen las condiciones de la sección 3.1.5. Dicho esto, la forma de la función F (H) es: CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 52 F (H) = H2 − βL 4 H6 cosh−1 ( βLH ) , (4.38) y su derivada fue escrita en el siguiente formato: dF dH = p1(H)− p2(H) + p3(H), (4.39) donde p1(H) = 2H, p2(H) = 6H5βL 4 cosh−1(βLH), p3(H) = H6β2L 5 sinh(βLH) cosh2(βLH) . 1 if f==5: 2 def F(H): 3 return H**2 - beta * H**6 * Lbar **4 * (np.cosh(beta*Lbar*H)) **( -1) 4 5 def dF(H): 6 p1=2*H 7 p2=beta * 6*H**5 * Lbar **4 * (np.cosh(beta*Lbar*H))**( -1) 8 p3=beta **2 * Lbar **5 * H**6 * (np.sinh(beta*Lbar*H)/(np.cosh (beta*Lbar*H))**2) 9 return p1-p2+p3 Código 4.19: Definición de las funciones de clase 5 (4.38) y (4.39) Finalmente, los enteros (r, r′, p, p′) en las potencias deben cumplir las condiciones expuestas en el capítulo 3. El siguiente paso es encontrar los posibles valores de los parámetros (λ, β, L, L) mediante un ajuste manual que permita visualizar las dife- rencias entre las soluciones de las funciones hiperbólicas y las expuestas por GILA y ΛCDM. Una vez ajustados estos parámetros, el código es capaz de mostrar explícita- mente los resultados de las nuevas soluciones para las funciones hiperbólicas F (H). Se presenta públicamente el código empleado para la realización de este proyecto a CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 53 través del siguiente enlace: https://bit.ly/3ULXLBU, donde los archivos presentados son dos: el primero titulado ’Gravedad de alto or- den.ipynb’, del cual se ha expuesto en general su funcionamiento a lo largo de este capítulo; el segundo archivo titulado ’Ajustes (Campo de pruebas).gbb’ corresponde a una herramienta de ajuste empírico programado en Geogebra, cuyo funcionamiento se explica en la siguiente sección. 4.8. Búsqueda de valores para (λ, β, L, L) para nuevas propuestas de F (H) usando el programa GeoGe- bra Al incorporar las nuevas ecuaciones para F (H), es evidente que se tienen que buscar nuevos parámetros (λ, β, L, L) que sean adecuados para encontrar la evolución del universo que mejor se ajuste con los datos observacionales. Hay métodos compu- tacionales muy sofisticados para encontrar valores libres, tales como la aplicación de redes neuronales recurrentes o de tipo bayesiano [42]. Sin embargo, estas herramientas son demasiado potentes para nuestros propósitos en esta tesis, que es encontrar una F (H) que cualitativamente se pegue a los datos observacionales. Dicho esto, un ajuste manual es suficiente para analizar y descartar los resultados provenientes de las pro- puestas. Más tarde será evidente que no todas las funciones modulan correctamente la expansión acelerada del cosmos. Ahora bien, se puede hacer este ajuste manual en la interfaz de Python, no obstante, la visualización de las gráficas requiere compilar y actualizar de forma rudimentaria el script del código. Se necesita un programa que sea visual, sencillo y tenga una velocidad alta de actualización. La propuesta es utilizar el programa graficador Geogebra. Este contiene deslizadores que pueden representar a los parámetros libres, el usuario puede monitorear puntos a su gusto y contiene una interfaz amigable que reduce la dificultad de uso. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 54 4.8.1. Construcción de campo de pruebas Para iniciar la búsqueda, necesitamos ’programar’ las ecuaciones de la cosmología GQTG. En este punto, hemos mostrado en la sección 4.5. que ambas ecuaciones modificadas de Friedmann son consistentes al comparar los métodos RK4 y la secante, lo que significa que podemos confiar en el código que usaremos para encontrar las soluciones. Antes de eso, se necesita definir en GeoGebra los deslizadores asociados a (λ, β, L, L). Para el caso de L y L, es importante no olvidar que sus magnitudes dependen de H0, por lo que es conveniente utilizar valores auxiliares Laux y Laux que logren ajustarse con deslizadores y multipliquen escalarmente a L y L, es decir, definimos: L = Laux 1 H0 y L = Laux 1 H0 . (4.40) Con los 4 primeros deslizadores definidos para (λ, β, L, L) en el rango de [0, 5], se programa la ecuación deseada para F (H) con la estructura: q(H) = F (H)deseada (4.41) Similar al caso de la secante en la primera ecuación modificada de Friedmann (4.10) y considerando la densidad de energía (4.12), se necesita conocer las raíces para un determinado α = − ln (1 + z). De esta manera, se define la función: g(H) = 3q(H)− κρ, con ρ = 3q(H0) κ [ Ωme −3α + Ωre −4α ] . (4.42) Esta última ecuación requiere la creación de dos deslizadores adicionales, uno para α y otro para H0. Si los deslizadores están listos, la siguiente tarea es identificar la intersección de la curva g(H) y el eje y = 0, y marcarla con la herramienta de ’punto’ para una sencilla localización. Finalmente, para completar la construcción, se necesita tener las referencias de los modelos ΛCDM y GILA. En el caso de GILA, solo se adjunta su respectiva función F (H) y se marca el punto alusivo a la raíz. Sin embargo, para ΛCDM, se define una función a partir de (4.7) de la forma: CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 55 s(H) = H −H0 [ ΩGR m eln(a −3) + ΩGR r eln(a −4) + ΩGR Λ ]1/2 , (4.43) con ΩGR m = 0.31, ΩGR r = 8.4×10−5 y ΩGR Λ = 0.69, y se marca con un punto la raíz que describe la curva s(H). Es recomendable etiquetar y distinguir con colores los puntos de las raíces provenientes de GILA y ΛCDM. Estos dos puntos son la referencia para hacer el ajuste manual de la nueva F (H), por lo que conviene etiquetar esta tercera raíz como GQTG. Finalmente, el campo de pruebas está construido. 4.8.2. Ajuste manual Si se tiene activo el plano cartesiano en Geogebra y se visualizan los deslizadores previamente expuestos, se podrá manipular la interfaz mostrada en la figura 4.6. Este ajuste manual es un método de prueba y error, con la finalidad de hacer que los mo- delos de la cosmología GQTG coincidan con ΛCDM o GILA. Inicialmente tenemos que identificar el comportamiento de los puntos que describen estos modelos, por lo que es necesario visualizar los tres puntos al mismo tiempo y compararlos. Respecto al deslizador para α, este se define en un dominio [−∞, 0]. Su función en el movimiento de los puntos es desplazar, de manera creciente, el valor de las raíces H(α). Este deslizador representa el cambio de α(z), por lo que es necesario moverlo para verificar las diferencias que hay entre las raíces a medida que aumenta el redshift. Por otro lado, el deslizador referente a H0 está abierto a ser manipulado para probar nuevos valores de la constante de Hubble debido al problema de la tensión de Hubble. Este problema es uno de los más interesantes para la comunidad científica debido a que exhibe una discrepancia en el valor de la constante de Hubble [32]. Los métodos para medir su valor son a partir del estudio de supernovas tipo Ia o el fondo cósmico de microondas [60]. Con la aclaración anterior, es recomendable iniciar el ajuste fi- jando un α ∼ −0.7 para notar la separación de los tres puntos, así como obtener una buena resolución que nos permita identificar las diferencias. CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 56 Figura 4.6: Interfaz construida en Geogebra para un ajuste manual en los parámetros (λ, β, L, L) El objetivo del ajuste es sencillo: simular el movimiento del punto de GQTG y que sea similar al de ΛCDM, moviendo los parámetros de los deslizadores (λ, β, L, L). En general, para cualquier F (H), no se percibió un rango definido donde el movimiento de los puntos sea muy diferente entre ellos. No obstante, algunas funciones no logran modular un comportamiento entre ΛCDM y GILA para α < −0.5. Esto será discutido en el capítulo 5. Capítulo 5 Análisis y resultados Se obtuvieron las soluciones H(z) de la segunda ecuación modificada de Fried- mann (2.4) mediante la integración numérica por el método de RK4 para las cinco clases de funciones hiperbólicas F (H), provenientes de los modelos expuestos en el capitulo 3. Para controlar el comportamiento de estas soluciones se llevó a cabo un minucioso proceso de comparación utilizando el ajuste manual de Geogebra. Durante esta comparación, se identificaron cuidadosamente los rangos para los valores ten- tativos de los parámetros θ = (λ, β, L, L) que mejor se ajustaban visualmente a las curvas representativas de los modelos ΛCDM y GILA, hasta un redshift z donde las diferencias se volvían empíricamente evidentes. En cada clase de la función F (H), se calcularon las soluciones H(z) para tres sub-casos con distintos parámetros L y L dentro de los rangos identificados en el software GeoGebra, a cada sub-caso se le cal- culó su respectiva χ2 H en referencia al conjunto de los 31 datos de relojes cosmológicos. El estimador χ2 se calcula siguiendo la expresión: χ2 = N ∑ i=1 [Di(zi)− y(zi|θ)]2 σ2 i , (5.1) donde Di representa los valores del conjunto de datos observacionales en zi, así como el error asociado σi a cada medición; y(zi) representa el valor teórico de la varia- ble que se intenta estimar en el mismo zi; y finalmente, N es el número de datos registrados. Una herramienta util es chi by eye plantea que el valor de χ2 debe ser 57 CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 58 aproximadamente igual al número de grados de libertad, definido por ν = N − m, donde m es el número de parámetros libres [61]. Los mejores ajustes se determina- rán conforme χ2/ν sea más pequeño, es decir, las diferencias entre los datos reales y los valores predichos por el modelo son pequeñas en comparación a las incertidumbres. En un paso posterior, se procedió a calcular los módulos de distancia µ y sus χ2 µ para las respectivas funciones hiperbólicas F (H), con el propósito de comparar- los con los 1701 datos de supernovas tipo Ia expuestas por Pantheon+. Además, se determinaron las diferencias ∆µ entre los módulos µF (H) de estas nuevas curvas y los módulos µΛ predichos por el modelo ΛCDM. Este análisis detallado proporcionó valiosa información sobre la concordancia entre las soluciones obtenidas y los datos observacionales, así como la efectividad de los modelos en la descripción del universo en expansión. Cabe destacar que los grados de libertad son νH = 30 y νµ = 1700, ya que en todos los modelos se varió un solo parámetro libre. 5.1. Resultados de sinh La función de clase uno, cuya estructura se obtiene de la ecuación (3.5) para el caso r = 2 y p = 1: F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2]. (5.2) Para esta función F (H) y su derivada F ′(H) en (4.31), se estudiaron los pará- metros L = 0.95/H0, L = 0.75/H0 y L = 0.55/H0, compartiendo el valor λ = 1.2. Posteriormente, estos parámetros se introdujeron en la segunda ecuación modificada de Friedmann (2.4). Esto permitió calcular, mediante el método de RK4, su influencia en las soluciones. De las χ2 H calculadas en la tabla 5.1, el sub-caso L = 0.55/H0 es el que mejor ajusta los datos de la tabla 4.1 en el conjunto de las soluciones provenientes de la primera F (H). Sin embargo, ΛCDM y LGILA = 0.90/H0 son los modelos que mejor CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 59 Figura 5.1: Panel superior: Soluciones H(z) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39] de las ecuaciones modificadas de Friedmann para la función hiperbólica F (H) de primera clase (3.6), GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. ajustan los datos observacionales. Además de esto, en la figura 5.1 se observa que las curvas generadas por la función F (H) de clase uno siguen de cerca las curvas corres- pondientes a ΛCDM y GILA en un intervalo aproximado de z ∼ [0, 0.7]. Dentro de este intervalo, las soluciones del caso L = 0.95/H0 se aproximan más a las soluciones CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 60 de LGILA = 0.90/H0, mientras que las soluciones de L = 0.75/H0 muestran una leve tendencia a replicar la curva asociada a ΛCDM. Es evidente que la reducción del pará- metro L en la función (3.6) conlleva a un mayor crecimiento en H(z), esta observación fue considerada durante el proceso de ajuste. Sin embargo, a pesar de estos esfuer- zos, las soluciones eventualmente pierden completamente su concordancia con GILA y ΛCDM. En todos los casos para z ≳ 1.2, el crecimiento de los H(z) predichos por esta función hiperbólica (3.6) sigue un patrón cóncavo, que difiere significativamente del patrón convexo esperado para los H(z) predichos por las soluciones de GILA y ΛCDM. Esta discrepancia entre las formas de crecimiento indica una inconsistencia fundamental entre las predicciones de la función hiperbólica F (H) de clase uno y los modelos de referencia. En el cálculo de los módulos de distancia µ, las pruebas χ2 µ de la tabla 5.1 demues- tran que los subcasos L = 0.95/H0 y L = 0.75/H0 presentan mejores ajustes que el modelo LGILA = 0.90/H0 para datos de Supernovas SNeIa, siendo el primer subcaso el mejor entre el conjunto proveniente de la función (3.6). No obstante, siguen siendo peores que los resultados de ΛCDM. Al analizar la figura 5.2, se revela que los µ del caso L = 0.95/H0 mantienen diferencias mínimas con µΛ en el intervalo z ∼ [0, 0.4]. Por otro lado, los µ para el caso L = 0.75/H0 presentan diferencias más pronuncia- das 0 > ∆µ > −0.1, especialmente en un intervalo z ∼ [0, 1.0]. Finalmente, el caso L = 0.55/H0 es el que más discrepa de los resultados µΛ de ΛCDM. Al explorar otras posibles combinaciones de los exponentes r y p dentro de las condiciones expuestas en la sección 3.1.1, el comportamiento de las soluciones H(z) y µ(z) presentan un cre- cimiento genérico de tipo cóncavo. Además, difieren completamente de los resultados de GILA y ΛCDM. En cuanto al cambio de signo en la función F (H) de clase uno, no se encontraron soluciones con los parámetros λ y L expuestos en las figuras 5.1 y 5.2, por lo que estas soluciones probablemente se encuentren en otros rangos λ y L. Estos hallazgos sugieren que, aunque las predicciones de la primera función hiper- bólica presentan diferencias notables y poco eficientes para describir en su totalidad CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 61 Figura 5.2: Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de primera clase (3.6) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ pre- dichos por ΛCDM. la evolución del universo, la búsqueda manual de los rangos para los parámetros L y λ es una técnica adecuada para evaluar de forma temprana el comportamiento de una función sin la utilización de ajustes más sofisticados. Esto promueve el descarte de funciones que no tienen caso investigar, permitiendo así una selección más precisa CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 62 Caso χ2 H (relojes cosmológicos) χ2 H/νH χ2 µ (SNeIa) χ2 µ/νµ ΛCDM 14.893 0.496 824.254 0.484 LGILA = 0.90 23.962 0.798 992.254 0.583 L = 0.95, λ = 1.2 73.026 2.434 873.559 0.513 L = 0.75, λ = 1.2 47.556 1.585 882.359 0.519 L = 0.55, λ = 1.2 35.860 1.195 1290.608 0.759 Tabla 5.1: Pruebas χ2 para las soluciones H(z) (figura 5.1) y µ(z) (figura 5.2) de los modelos ΛCDM, GILA y los subcasos de la función hiperbólica F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2]. y efectiva de modelos para su análisis en estudios cosmológicos. 5.2. Resultados de cosh La función de clase dos, cuya estructura se obtiene de la ecuación (3.10) para el caso r′ = 3 y p′ = 1, es decir: F (H) = H2 + ηL 4 H6 cosh[η(LH)2]. (5.3) Para esta función F (H) y su derivada F ′(H) en (4.33), se determinaron los pa- rámetros L = 0.95/H0, L = 0.75/H0 y L = 0.55/H0, compartiendo el valor η = 1.2. De manera similar al caso sinh, se calcularon las soluciones de la segunda ecuación modificada de Friedmann utilizando estos parámetros mediante el método de RK4 para esta segunda función hiperbólica F (H). De la tabla 5.2 referente a las χ2 H , ninguna de las soluciones H(z) provenien- tes de F (H) de segunda clase tiene un mejor ajuste que los modelos ΛCDM y LGILA = 0.90/H0. De estos nuevos modelos, el subcaso L = 0.55/H0 es el que mejor se ajusta a los datos de la tabla 4.1. No obstante, su ajuste es peor en comparación con el caso L = 0.55/H0 en la F (H) de primera clase (tabla 5.1). Las soluciones H(z) derivadas de la función hiperbólica F (H) de segunda clase se graficaron en la figura 5.3, con el objetivo de comparar su comportamiento con el de las curvas de GILA y ΛCDM. Dentro de un rango z ∼ [0, 0.6], se observó que la curva correspondiente CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 63 Figura 5.3: Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de segunda clase (3.11) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cosmológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. al caso L = 0.95/H0 mantiene un comportamiento similar a LGILA = 0.90/H0. Por otro lado, la curva de L = 0.75/H0 representa valores H(z) ligeramente superiores a los de ΛCDM en el intervalo z ∼ [0, 0.5]. Además, se observó que las H(z) predichas por la función hiperbólica F (H) de clase dos aumentaban conforme el parámetro L CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 64 disminuía. Sin embargo, el crecimiento para todos los casos era de tipo cóncavo, lo cual contrasta completamente con el comportamiento creciente y convexo caracterís- tico de GILA y ΛCDM. Figura 5.4: Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de segunda clase (3.11) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ pre- dichos por ΛCDM. CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 65 Los estimadores χ2 µ de la tabla 5.2 demuestran que ΛCDM sigue siendo el mejor ajuste para los datos de supernovas SNeIa. Los sub-casos L = 0.95/H0 y L = 0.75/H0 presentan mejoras en su ajuste respecto al modelo LGILA = 0.90/H0, siendo el se- gundo sub-caso el mejor resultado de las nuevas soluciones µ, incluso mejor que los resultados del caso sinh. En la figura 5.4 se presenta la gráfica del módulo de la dis- tancia µ. En ella, se pueden observar diferencias notables entre las nuevas curvas y las mostradas por GILA y ΛCDM para un z > 1.5. Asimismo, se representan las diferencias ∆µ con respecto a µΛ. En esta gráfica, se observa que para z relativamen- te pequeño, el caso L = 0.95/H0 presenta ligeras diferencias de µ en comparación con ΛCDM, mientras que el caso L = 0.75/H0 muestra mayores discrepancias ∆µ en un intervalo de z ∼ [0, 0.7]. Sin embargo, para valores z > 1.5, las diferencias ∆µ discrepan completamente de los módulos µ referentes a ΛCDM y GILA. La explora- ción de los exponentes r′ y p′ presenta un comportamiento genérico en las soluciones H(z) y µ(z), similar al caso sinh. Estas difieren completamente de los resultados de ΛCDM y GILA. Respecto al cambio de signo en la función F (H) de clase dos, no se encontraron soluciones con los parámetros η y L expuestos en las figuras 5.3 y 5.4. Por lo tanto, deben buscarse nuevos rangos de η y L donde se encuentren dichas soluciones. Caso χ2 H (relojes cosmológicos) χ2 H/νH χ2 µ (SNeIa) χ2 µ/νµ ΛCDM 14.893 0.496 824.254 0.484 LGILA = 0.90 23.962 0.798 992.254 0.583 L = 0.95, η = 1.2 89.910 2.997 939.592 0.552 L = 0.75, η = 1.2 57.845 1.928 866.487 0.509 L = 0.55, η = 1.2 39.098 1.303 1300.425 0.764 Tabla 5.2: Pruebas χ2 para las soluciones H(z) (figura 5.3) y µ(z) (figura 5.4) de los modelos ΛCDM, GILA y los subcasos de la función hiperbólica F (H)H2 + ηL 4 H6 cosh[η(LH)2]. El análisis de esta función F (H) de clase dos apunta en la misma dirección que el caso sinh, lo que sugiere que las predicciones son poco eficientes para describir la historia de la expansión universal. Se cree que la similitud en los resultados se debe a los comportamientos análogos del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico en CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 66 escalas amplias. Ambas funciones experimentan un crecimiento exponencial conforme el argumento aumenta, sin embargo, difieren específicamente en cuanto a la tasa de crecimiento. 5.3. Resultados de sinh y cosh La función F (H) de clase tres, cuya estructura deriva de la ecuación (3.16) para el caso r = 2, p = 1, r′ = 3 y p′ = 1, es decir: F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2] + ηL 4 H6 cosh[η(LH)2]. (5.4) Se procedió al cálculo de las soluciones de la segunda ecuación modificada de Friedmann utilizando el método RK4, con el fin de analizar la influencia de la función F (H) de clase tres y su derivada (4.35) en el estudio de la expansión del universo. Para este propósito, se identificaron los parámetros compartidos λ = η = 1.2, L = 0.55/H0, y se generaron gráficas de H(z) para representar los casos L = 0.95/H0, L = 0.75/H0 y L = 0.55/H0. En la comparación con el conjunto de datos de la tabla 4.1, los estimadores χ2 H de la tabla 5.3 reflejan que los nuevos ajustes siguen siendo deficientes en compa- ración con ΛCDM y GILA. De estas nuevas soluciones, el subcaso L = 0.55/H0 es el mejor resultado que ha proporcionado esta clase de F (H). En la figura 5.5, las curvas derivadas de la función hiperbólica F (H) de clase tres exhiben un crecimiento cóncavo, una característica que contrasta con el crecimiento convexo observado en GILA y ΛCDM. Para estas soluciones de (2.4), se mantiene la propiedad de generar valores mayores de H(z) a medida que L disminuye. Sin embargo, la característica notable de estas nuevas soluciones es su mayor alcance en z, destacándose la curva L = 0.55/H0 como la que se acerca más a modular el comportamiento de ΛCDM en un intervalo z ∼ [0, 0.9]. Sin embargo, para z > 0.9, las diferencias entre las soluciones son notablemente evidentes, lo que sugiere que este modelo no es viable. CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 67 Figura 5.5: Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de tercera clase (3.17) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cos- mológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM Respecto a los χ2 µ de la tabla 5.3, los casos L = 0.95/H0 y L = 0.75/H0 presen- tan mejores ajustes que el modelo LGILA = 0.90/H0, siendo el segundo sub-caso el mejor modelo de las tres soluciones provenientes de la tercera clase hiperbólica de F (H) para describir los datos observacionales µ en supernovas SNeIa. No obstante, CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 68 Figura 5.6: Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de tercera clase (3.17) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ pre- dichos por ΛCDM. ΛCDM se mantiene como el modelo que mejor ajusta dichos módulos. Finalmente, es de esperarse que las gráficas del módulo de la distancia µ, presentes en la figura 5.6, posean características y comportamientos similares a los casos por separado del sinh y cosh. Está claro que ninguna de las primeras tres propuestas para F (H) ha CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 69 Caso χ2 H (relojes cosmológicos) χ2 H/νH χ2 µ (SNeIa) χ2 µ/νµ ΛCDM 14.893 0.496 824.254 0.484 LGILA = 0.90 23.962 0.798 992.254 0.583 L = 0.95, L = 0.55, λ = η = 1.2 89.408 2.980 938.820 0.552 L = 0.75, L = 0.55, λ = η = 1.2 58.668 1.955 856.097 0.503 L = 0.55, L = 0.55, λ = η = 1.2 37.134 1.237 1035.157 0.608 Tabla 5.3: Pruebas χ2 para las soluciones H(z) (figura 5.5) y µ(z) (figura 5.6) de los modelos ΛCDM, GILA y los sub-casos de la función hiperbólica F (H) = H2 + λL2H4 sinh[λ(LH)2] + ηL 4 H6 cosh[η(LH)2]. proporcionado un modelo lo suficientemente viable para explicar la aceleración tardía del universo. Esto implica que se deben explorar funciones F (H) diferentes a esta naturaleza hiperbólica para encontrar un modelo más adecuado. 5.4. Resultados de sinh−1 Se han descartado las tres primeras propuestas hiperbólicas de F (H). Sin embargo, para este cuarto caso, se modifica la estructura de F (H), siendo la ecuación construida en (3.21) y cuya expresión es: F (H) = H2 − λL5H7 sinh−1 (λLH) . (5.5) En esta propuesta, se introdujo la influencia del exponente entero q = −1 en la función (3.20). De esta manera, los parámetros son λ = 2.75 de forma compartida, y se dividen en los sub-casos L = 2.25/H0, L = 2.20/H0 y L = 2.15/H0. Por lo tanto, se calcularon las soluciones de la segunda ecuación modificada de Friedmann utilizando el método de RK4 para expresar gráficamente las funciones H(z) bajo la influencia de la función F (H) de clase cuatro. Según los estimadores χ2 H de la tabla 5.4, ninguno de los subcasos derivados de la F (H) supera el ajuste referente a los resultados de ΛCDM. No obstante, compiten muy de cerca con dicho modelo y estas nuevas H(z) se ajustan significativamente me- jor que el modelo LGILA = 0.90/H0, siendo el sub-caso L = 2.25/H0 el mejor ajuste. CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 70 Figura 5.7: Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de cuarta clase (3.21) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cos- mológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. La figura 5.7, muestra un cambio significativo en comparación a los resultados con las tres clases anteriores de F (H), siendo esta cuarta clase la que reproduce un cre- cimiento convexo, similar al de las curvas de referencia. Al examinar detenidamente estas nuevas soluciones, se pueden apreciar pequeñas diferencias visuales en relación CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 71 Figura 5.8: Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de cuarta clase (3.21) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, jun- to con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ predichos por ΛCDM. con ΛCDM; para z ≲ 1.5, estas soluciones presentan menores diferencias ∆H respec- to a LGILA = 0.90/H0, en especial en el caso L = 2.25/H0. En z > 1.5, la solución L = 2.25/H0 se ajusta muy de cerca al modelo de LGILA = 0.90/H0, mientras que L = 2.20/H0 hace lo propio para ΛCDM. Estos primeros resultados sugieren que el ajuste manual ha permitido encontrar valores de (λ, L) competentes para (5.5), lo CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 72 que indica que esta función F (H) de clase cuatro es candidata para ser explorada con herramientas más sofisticadas. Caso χ2 H (relojes cosmológicos) χ2 H/νH χ2 µ (SNeIa) χ2 µ/νµ ΛCDM 14.893 0.496 824.254 0.484 LGILA = 0.90 23.962 0.798 992.254 0.583 L = 2.25, λ = 2.75 15.632 0.521 832.045 0.489 L = 2.20, λ = 2.75 16.391 0.546 833.769 0.490 L = 2.15, λ = 2.75 17.325 0.577 837.143 0.492 Tabla 5.4: Pruebas χ2 para las soluciones H(z) (figura 5.7) y µ(z) (figura 5.8) de los modelos ΛCDM, GILA y los sub-casos de la función hiperbólica F (H) = H2 − λL5H7 sinh−1 (λLH). Los estimadores χ2 µ de la tabla 5.4 demuestran que ΛCDM es el modelo que mejor ajusta los µ observacionales de las SNeIa. No obstante, los resultados derivados de esta cuarta clase de F (H) son sumamente competentes con ΛCDM y superan signi- ficativamente a LGILA = 0.90/H0, siendo L = 2.25/H0 el subcaso que mejor ajuste produce a los datos. Posteriormente, se construyó la figura 5.8 referente al módulo de la distancia µ para supernovas tipo Ia. En esta gráfica, las diferencias entre los módulos µ predichos por ΛCDM y los predichos bajo la influencia de (3.21) no son evidentemente visibles, debido a la escala logarítmica que usa (4.3). Sin embargo, el panel inferior de la misma figura revela que para z ≲ 1.2, las nuevas soluciones tienen discrepancias ∆µ notables; no obstante, estas se ajustan mejor que el caso LGILA = 0.90/H0 a los módulos µΛ predichos por ΛCDM. Para z > 1.2, las solu- ciones presentan un gran acercamiento a los resultados de ΛCDM, siendo el caso L = 2.25/H0 que mejor se aproxima a los módulos µΛ. Lo expuesto anteriormente es significativo porque muestra que esta nueva pro- puesta de F (H), formulada en la ecuación (3.21), produce soluciones H(z) y µ(z) competentes a los resultados de ΛCDM que la misma propuesta de GILA en su caso LGILA = 0.90/H0. Además, estos hallazgos subrayan la importancia de considerar a F (H) de clase cuatro en el contexto de la cosmología actual. CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 73 5.5. Resultados de cosh−1 Para el quinto y último caso referente a la construcción de F (H) en (3.25), cuya expresión es: F (H) = H2 − ηL 4 H6 cosh−1[ηLH], (5.6) el rango de sus parámetros fueron encontrados mediante ajuste en GeoGebra, sien- do η = 2.025 el parámetro compartido y dividiéndose en los casos L = 3.20/H0, L = 3.175/H0 y L = 3.15/H0. Al igual que en las cuatro clases anteriores, se calcula- ron las soluciones H(z) de la segunda ecuación modificada de para la función F (H) de la clase cinco mediante el método RK4 y fueron comparadas con los resultados alusivos a los modelos LGILA = 0.90/H0 y ΛCDM. Para este caso, los estimadores χ2 H de la tabla 5.5 reflejan que ΛCDM es el mo- delo que mejor ajusta los datos observacionales de la tabla 4.1. Por otro lado, las soluciones H(z) provenientes de la función F (H) de quinta clase superan significa- tivamente el ajuste del modelo LGILA = 0.90/H0, siendo el subcaso L = 3.20/H0 el que mejores resultados produce. Las soluciones H(z) para esta función F (H) de clase cinco se presentan en la figura 5.9. Para z ≲ 1.0, las soluciones mantienen me- nores discrepancias ∆H en comparación con LGILA = 0.90/H0, siendo la solución L = 3.20/H0 la que mejor aproxima la curva que describe el modelo ΛCDM. Por otro lado, para z ≳ 1.5, el caso L = 3.20/H0 muestra un comportamiento muy cercano al descrito por LGILA = 0.90/H0, mientras que para z ≳ 2, el caso L = 3.175/H0 presenta una aproximación a las soluciones H(z) de ΛCDM. Es importante destacar que el crecimiento convexo se conserva en los resultados para la función de clase cinco. Para las predicciones de los módulos de distancia µ, las pruebas χ2 µ de la tabla 5.5 demuestran que el modelo ΛCDM es el que mejor ajusta los datos observacionales de CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 74 Figura 5.9: Panel superior: Soluciones H(z) de las ecuaciones modificadas de Fried- mann para la función hiperbólica F (H) de quinta clase (3.25) con H0 = 67.32 Km s Mpc [39], GILA con L = 0.90/H0 y ΛCDM. Adjunto el conjunto de datos de relojes cos- mológicos de la tabla 4.1. Panel inferior: Diferencias ∆H en comparación con las soluciones de ΛCDM. las SNeIa. Por otro lado, las soluciones µ provenientes de la función F (H) de clase cinco producen mejores ajustes que el modelo LGILA = 0.90/H0, siendo nuevamente el caso L = 3.20/H0 el que presenta los mejores resultados. Se construyó la figura 5.10 donde se comparan con las curvas de los módulos en los modelos ΛCDM y CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 75 Figura 5.10: Panel superior: Módulos de distancia µ predichos por la influencia de F (H) de quinta clase (3.25) con H0 = 73.04 Km s Mpc [62], ΛCDM y GILA con L = 0.90/H0, junto con la colección de datos de supernovas tipo Ia provenientes de Pantheon+SH0ES. Panel inferior: diferencias ∆µ en comparación con los µΛ pre- dichos por ΛCDM. LGILA = 0.90/H0. Lo destacable del gráfico son las diferencias evidentes de ∆µ de la función F (H) de clase cinco, siendo menores que el caso LGILA = 0.90/H0 en todo el rango presentado en z. En todo el gráfico, el caso L = 3.20/H0 es el que mejor se aproxima a los módulos µΛ predichos por ΛCDM. Finalmente, estos últimos resultados CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS 76 apuntan a postular a la función F (H) de (3.25) como candidata a ser analizada con ajustes computacionales más sofisticados, así como la búsqueda de soluciones H(z) a épocas tempranas del universo. Caso χ2 H (relojes cosmológicos) χ2 H/νH χ2 µ (SNeIa) χ2 µ/νµ ΛCDM 14.893 0.496 824.254 0.484 LGILA = 0.90 23.962 0.798 992.254 0.583 L = 3.20, η = 2.025 17.257 0.575 849.539 0.499 L = 3.175, η = 2.025 18.503 0.616 857.976 0.504 L = 3.15, η = 2.025 20.058 0.668 867.573 0.510 Tabla 5.5: Pruebas χ2 para las soluciones H(z) (figura 5.9) y µ(z) (figura 5.10) de los modelos ΛCDM, GILA y los subcasos de la función hiperbólica F (H) = H2 − ηL 4 H6 cosh−1[ηLH]. Capítulo 6 Conclusiones La construcción del código presentado ha facilitado la exploración de nuevas es- tructuras para la función F (H) y su impacto en las soluciones de las ecuaciones modificadas de Friedmann en el marco teórico que presenta la teoría GILA, así como la reproducción de los resultados obtenidos por el modelo ΛCDM. Además, el méto- do de ajuste manual en GeoGebra es capaz de encontrar de forma temprana rangos hipotéticos para los parámetros (L,L, λ, β) que modelen un comportamiento similar a los resultados de los modelos referentes. Una vez determinado el hipotético ajuste, el código de Python proporciona una visualización de las curvas gráficas relacionadas con las nuevas soluciones de las ecuaciones modificadas de Friedmann, acompañadas de su χ2. En este contexto, estas herramientas en conjunto actúan como un filtro que facilita el descarte temprano de funciones F (H) para estudiar la aceleración tardía del universo y ahorra esfuerzos al tratar de estudiarlas con ajustes más sofisticados. Respecto a las funciones hiperbólicas F (H) estudiadas en este proyecto de inves- tigación, las soluciones H(z) obtenidas de las ecuaciones modificadas de Friedmann, bajo la influencia de las tres primeras clases hiperbólicas de la función F (H), mues- tran divergencias en comparación con los resultados propuestos por GILA y ΛCDM para valores de z ≳ 1.0. Esto se debe a que los crecimientos de las nuevas predic- ciones no son de tipo convexo, como se esperaría. Por otro lado, los nuevos módulos de distancia µ(z) siguen de cerca a ΛCDM y compiten con los resultados de GILA 77 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES 78 para z ≲ 1.5. Sin embargo, persisten en su divergencia en valores altos de z. Por este motivo, se descartan las tres primeras clases hiperbólicas de F (H) para la exploración y modulación de las etapas tardías del universo. Las soluciones H(z) y µ(z) asociadas a las funciones F (H) de naturaleza hiperbólica inversa son las que mejor reproducen la expansión tardía del cosmos, ya que su crecimiento convexo es mejor que el ajuste de GILA y competente con el de ΛCDM en el intervalo z ∈ [0, 2.5]. Esta naturaleza de funciones muestra una modulación viable y, por lo tanto, emergen como candidatas prometedoras para explorar las etapas tempranas de la evolución universal. Como una vía para futuros trabajos, el equipo de ’Gravedad de Alto Orden’ de la Facultad de Ciencias de la UNAM promueve la búsqueda de soluciones para las épocas tempranas del universo, teniendo en cuenta las funciones viables expuestas en este trabajo. Esto incluye la exploración de nuevas configuraciones de la función F (H) basadas en la naturaleza hiperbólica inversa, así como el análisis numérico mediante la búsqueda de parámetros con ajustes computacionales más complejos. Por último, estas conclusiones fomentan la búsqueda de nuevas configuraciones de las funciones F (H) de naturaleza exponencial, utilizadas en GILA, con el objetivo de ampliar el panorama en la interpretación física de la energía oscura en un universo en expansión. Apéndice A Métodos numéricos El uso de métodos numéricos fue una de las principales herramientas empleadas en el programa computacional de este trabajo, lo que destaca la importancia de estu- diarlos detalladamente para comprender las condiciones y escenarios en los que estos métodos operan de manera efectiva. Esta comprensión es crucial para garantizar la precisión y fiabilidad de los resultados obtenidos a partir de estos métodos numéri- cos. En esta sección del apéndice se presenta el estudio de tres métodos utilizados: la Regla de la Secante, la Regla del Trapecio Compuesto y el Método de Runge-Kutta de orden 4. Se estudió la Regla de la Secante debido a su implementación para encontrar raíces equivalentes a las soluciones de la primera ecuación modificada de Friedmann (2.3) que ofrece la teoría GILA. La conveniencia de utilizar esta regla se debe a su efectividad y precisión para calcular las soluciones de ecuaciones que presentan carac- terísticas trascendentales. En este caso, la volatilidad de la función F (H) produce en (2.3) circunstancias donde existen ecuaciones que no permiten despejar una función explícita de H(z). Por lo tanto, este método tiene todas las características necesarias para ser utilizado con éxito. El segundo método empleado fue el método de resolución de ecuaciones diferencia- les ordinarias llamado Runge-Kutta de orden 4 (RK4), el cual calculó las soluciones 79 APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 80 de la segunda ecuación modificada de Friedmann (2.4) con la influencia de la función F (H) y su derivada dF dH . De igual forma, la trascendencia que provoca F (H) dificultó la búsqueda de encontrar una función H(z), por lo que se aplicaron técnicas algebrai- cas para adaptar la ecuación (2.4) al formato (4.19), mediante el cambio de variable α = ln(a). De esta forma, se calcularon las soluciones de la segunda ecuación modifi- cada de Friedmann y se compararon con las soluciones de (2.3) calculadas con la regla de la secante, con el propósito de verificar y asegurar la precisión del código en Python. Finalmente, la regla del trapecio se utilizó para calcular la integral presente en la ecuación (4.3) mediante un integrador pre-programado que ofrece la función trapz en la biblioteca SciPy. Como se ha mencionado anteriormente, al ser difícil encontrar una función explícita H(z), la regla del trapecio nos ofrece una alternativa para aproximar integrales donde esta función esté involucrada. Su ventaja más destacable es el uso exclusivo de los valores (xk, f(xk)) que describen la curva gráfica, lo cual es ideal para el problema que se presenta al calcular el módulo de la distancia µ para supernovas tipo Ia. A.1. Método de la Secante El método de la secante es un recurso numérico-computacional para encontrar soluciones de ecuaciones en una variable. Este tiene similitudes con el método de Newton-Raphson. Sin embargo, el método de la secante es capaz de encontrar raíces sin la necesidad de recurrir a la derivada de la función. Como su nombre indica, se entiende como una línea formada por dos puntos contenidos en la función. Geométricamente, esta línea forma una secante con la curva que describe f(x) en el plano cartesiano, a diferencia del método de Newton-Raphson, que encuentra raíces utilizando tangentes en la función. APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 81 A.1.1. Definición del método Para comprender la construcción numérica de este método, recordemos la expre- sión de Newton-Raphson para encontrar las raíces α de una función f(x) ∈ C2[a, b], donde f(α) = 0 con α ∈ (a, b). El método consiste en la sucesión xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) donde x0 = a y x1 = b. (A.1) La aproximación hacia la solución α será cada vez más favorable mientras n → ∞. Por otro lado, la derivada de la función f(x) puede ser aproximada por f ′(x) = df(x) dx ≈ ∆f(x) ∆x = f(xn)− f(xn−1) xn − xn−1 (A.2) La ecuación anterior considera una aproximación mediante diferencias finitas y no-infinitesimales. Sustituyendo la ecuación (A.2) en (A.1), obtenemos la expresión iterativa del método de la secante: xn+1 = xn − xn − xn−1 f(xn)− f(xn−1) f(xn) (A.3) A.1.2. Convergencia Se define el orden de convergencia de una sucesión {xn}∞n=0 que converge a un valor α, con xn ̸= α para todo n ∈ N y sean p > 0 y C > 0. Si ĺım n→∞ |xn+1 − α| |xn − α|p = C, (A.4) Entonces se dice que la sucesión {xn}∞n=0 converge a α con orden p y una constante de error asintótica C. Se puede demostrar la convergencia del método de la secante asumiendo un xn = α+ ϵn con ϵn lo suficientemente pequeño. Sustituyendo este valor en la ecuación (A.3), adopta la forma de ϵn+1 = ϵn − ϵn − ϵn−1 f(α + ϵn)− f(α + ϵn−1) f(α + ϵn). (A.5) APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 82 Por otro lado, dado que al menos la función es f(x) ∈ C2[a, b], la expansión de Taylor de la función f(α + ϵn) es f(α + ϵn) = f(α) + f ′(α)ϵn + f ′′(α) 2! ϵ2n +O(ϵ3n). (A.6) Por hipótesis del método, la condición f(α) = 0 puede aproximar a la ecuación anterior de la forma f(α + ϵn) ≈ f ′(α)ϵn + f ′′(α) 2! ϵ2n. (A.7) De esta manera, proponemos la variable M = f ′′(α) 2f ′(α) y las aproximaciones para las funciones f(α + ϵn) y f(α + ϵn−1) son f(α + ϵn) ≈ f ′(α)ϵn [1 +Mϵn] y f(α + ϵn−1) ≈ f ′(α)ϵn−1 [1 +Mϵn−1] . (A.8) Estas aproximaciones pueden ser sustituidas en (A.5) y tienen como resultado ϵn+1 = ϵn − ϵnf ′(α)(ϵn − ϵn−1) [1 +Mϵn] f ′(α)(ϵn − ϵn−1) [1 +M(ϵn + ϵn−1)] , (A.9) ϵn+1 = ϵn − ϵn [1 +Mϵn] 1 +M(ϵn + ϵn−1) , (A.10) ϵn+1 = Mϵnϵn−1 1 +M(ϵn + ϵn−1) ≈ Mϵnϵn−1. (A.11) Esto último significa que mientras n → ∞, el error irá disminuyendo hasta el punto de ser 0, lo que nos lleva a utilizar la definición de convergencia (A.4) con xn = α + ϵn de la forma |xn+1 − α| |xn − α|p = |ϵn+1| |ϵn|p ≈ C =⇒ |ϵn+1| ≈ C|ϵn|p. (A.12) Sustituyendo la ecuación (A.11) en (A.12), encontramos que APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 83 |M ||ϵn||ϵn−1| ≈ C|ϵn|p =⇒ |ϵn| |ϵn−1| 1 p−1 ≈ ( |M | C ) 1 p−1 = C. (A.13) Por la recurrencia de la definición de convergencia, el termino |ϵn|/|ϵn−1| 1 p−1 cumple dicha definición. Por este motivo, p = 1 p− 1 =⇒ p2 − p− 1 = 0, (A.14) ∴ p = 1 + √ 5 2 = φ ≈ 1.6180... (A.15) Es de esperarse que el método de Newton-Raphson posea mayor eficacia para encontrar raíces debido a su orden de convergencia cuadrático, siendo mayor al del método de la secante. Sin embargo, la naturaleza de este trabajo nos incita a utilizar el método de la secante para aprovechar su ventaja de omitir la derivada de la función f(x) [63]. A.2. Reglas del Traprecio Uno de los recursos más importantes de la rama del cálculo ha sido la integración de funciones; esta nos permite conocer el área debajo de la curva representada en el plano cartesiano. Sin embargo, la existencia de funciones que no presentan primitivas que sean funciones elementales inspira la creación de técnicas que nos permitan co- nocer el resultado de su integral sin importar esta limitante. Una de estas técnicas es la famosa regla de los trapecios. Este método consiste en aproximar la integral definida a partir de un número de n trapecios. A nivel computacional, este método tiene grandes ventajas, ya que no se necesitan funciones de forma explícita; basta con tener un conjunto con el suficiente número de puntos (x, f(x)) que describan de manera óptima el comportamiento de la función. APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 84 A.2.1. Regla simple En el caso simple, la función f(x) debe ser continua y positiva en el intervalo [a, b] [64]. De esta forma, se propone la idea de aproximar la función por una recta g(x) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), esta nueva función es f(x) ≈ g(x) = f(a) + f(b)− f(a) b− a (x− a). (A.16) Ahora bien, en el mismo dominio, las integrales de ambas funciones también pue- den ser aproximadas bajo el mismo argumento. ∫ b a f(x) dx ≈ ∫ b a g(x) dx, (A.17) ∫ b a g(x) dx = ∫ b a f(a) +M(x− a) dx, con M = f(b)− f(a) b− a . (A.18) Después de ciertos cálculos, la integral de f(x) en [a, b] puede ser aproximada por ∫ b a f(x) dx ≈ ∫ b a g(x) dx = b− a 2 [f(a) + f(b)]. (A.19) La anterior expresión permite aproximar la integral de la función f(x) conociendo únicamente el valor de los extremos f(a) y f(b). Sin embargo, la función f(x) puede presentar complejidades en su curva, lo que significa que una simple recta no es suficiente para aproximar su comportamiento, y por lo tanto, su integral. Para esto, la regla de los trapecios puede extenderse al uso de más rectas que simulen la curva de f(x). A.2.2. Regla compuesta El planteamiento del problema tiene hipótesis similares al caso anterior: se busca aproximar la integral de una función continua y positiva. Sin embargo, para este caso, múltiples segmentos de rectas simulan el comportamiento de f(x). Primero, APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 85 el intervalo [a, b] debe ser dividido en n sub-intervalos, cada uno con la longitud de h = b−a n , cumpliendo a = xo < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. (A.20) Posteriormente, los segmentos de recta formados por los puntos (xi, f(xi)) per- miten construir n cantidad de trapecios, cuyas áreas somos capaces de calcular. Por consiguiente, la integral de f(x) puede ser aproximada por ∫ b a f(x) dx ≈ n ∑ i=0 ∫ xi+1 xi f(xi)+Mi(x−xi) dx, con Mi = f(xi+1)− f(xi) xi+1 − xi , (A.21) ∫ b a f(x) dx ≈ ∫ x1 x0 f(x0) +M0(x− x0) dx+ ∫ x2 x1 f(x1) +M1(x− x1) dx+ ... (A.22) Utilizando la regla del del trapecio simple (A.19) en cada uno de los términos de la ecuación anterior y considerando h = xi+1−xi, la ecuación (A.22) se puede reescribir como: ∫ b a f(x) dx ≈ x1 − x0 2 [f(x0) + f(x1)] + x2 − x1 2 [f(x1) + f(x2)] + ..., (A.23) ∫ b a f(x) dx ≈ h 2 [f(a) + f(x1) + f(x1) + ...+ f(xn−1) + f(xn−1) + f(b)]. (A.24) Agrupando todos los términos, la expresión reportada en los textos es ∫ b a f(x) dx ≈ h 2 [f(a) + 2 n−1 ∑ i=1 f(xi) + f(b)]. (A.25) APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 86 A.3. Métodos de Runge-Kutta Gran parte de las simulaciones computacionales presentan problemas de ecua- ciones diferenciales ordinarias. Algunas de ellas pueden llegar a ser trascendentes y difíciles de resolver de forma analítica. No obstante, hay métodos numéricos que nos ayudan a aproximar las soluciones descritas por funciones dependientes de varias va- riables. En nuestro caso, nos interesan las ecuaciones que buscan reconstruir funciones y(x) partir de condiciones iniciales y(xo = a) = y0, en un dominio x ∈ [a, b] y tienen la estructura dy(x) dx = f(x, y(x)) ⇒ dy(x) dx − f(x, y(x)) = 0. (A.26) Ante estas situaciones, los métodos de Runge-Kutta son los comúnmente emplea- dos para encontrar soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales. Sus ventajas radican en lograr un equilibrio notable entre precisión y carga computacional para construir simulaciones. Esta familia de métodos se inspira en los trabajos de Martin W. Kutta y Carl D. T. Runge, siendo la idea original de Runge presentada en un ar- tículo de 1894 y finalmente reinterpretada por Kutta en 1901. La idea para entender la formulación del método de Runge-Kutta surge a partir del método del trapecio [63]. En términos generales, los métodos de Runge-Kutta pueden ser definidos como constantes actualizaciones de puntos que son calculados por medio de sucesiones para cada coordenada (x, y) a partir de un tamaño de paso h. Su forma general, a cualquier orden p, tienen la estructura: yn+1 = yn + a1k1 + a2k2 + a3k3 + ...+ apkp. (A.27) Donde los ki cumplen: APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 87 k1 = f(xn, yn), k2 = f(xn + α2h, yn + β2k1), k3 = f(xn + α3h, yn + β3k2), ... kp = f(xn + αph, yn + βpkp−1). (A.28) Las constantes βi, αi y ai, dependen completamente del orden del Runge-Kutta; estos pueden ser calculados en relación a las series de Taylor. A.3.1. Método de Euler (Runge-Kutta de orden 1) Uno de los primeros puntos de partida es el método de Euler. Este tiene la ventaja de ser sencillo de entender y, por lo tanto, de computar. Sin embargo, su precisión para acercarse a la solución real es muy baja. Este método es un excelente punto de partida para entender métodos de Runge-Kutta de órdenes mayores. Para comprenderlo, las ecuaciones Runge-Kutta de orden p = 1 son yn+1 = yn + a1k1, con k1 = f(xn, yn). (A.29) Por otro lado, para encontrar el valor de a1, la aprocimación por expansión de Taylor para la función y(x) en un valor xn+1 = xn + h nos dice y(xn+1) ≈ y(xn) + hy′(xn). (A.30) Igualando las ecuaciones (A.29) y (A.30), se concluye concluir que a1 = h. El análisis de los errores también es algo que debe tomarse en cuenta, por lo que otra de las ventajas del método de Euler es la sencillez de estudiar los errores númericos, a pesar de casi nunca ser empleado en la práctica, esto debido a la aparición de métodos más sofisticados [65]. APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 88 A.3.2. Rugen-Kutta de orden 2 Se ha hablado de la existencia de métodos de Runge-Kutta que son más precisos que el método de Euler. Para refinar la precisión de la solución numérica, el método puede elevar su orden, en particular, a un orden 2. De forma similar al caso anterior, las ecuaciones del Runge-Kutta para p = 2 son yn+1 = yn + ak1 + bk2, (A.31) donde los términos k1 y k2 cumplen k1 = f(xn, yn) y k2 = f(xn + αh, yn + βk1). (A.32) Sustituyendo (A.40) en (A.39), el método de Runge-Kutta de orden 2 utiliza la expresión yn+1 = yn + af(xn, yn) + bf(xn + αh, yn + βk1). (A.33) El siguiente paso es encontrar los valores de las constantes a, b, α y β. Para lograrlo, se recurre nuevamente a las expansiones de Taylor y, de esta forma, se encuentran los valores al comparar ambas expresiones. En primera, se realiza una aproximación del tercer término de la ecuación (A.33) mediante una serie de Taylor aplicada a una función de dos variables, es decir, f(xn + αh, yn + βk1) ≈ f(xn, yn) + ∆xfx(xn, yn) + ∆yfy(xn, yn). (A.34) Donde ∆x = αh y ∆y = βk1 = βf(xn, yn). Posteriormente, se sustituye la ecua- ción (A.34) en (A.33) y reagrupando, se tiene yn+1 = yn + (a+ b)f(xn, yn) + αbhfx(xn, yn) + bβf(xn, yn)fy(xn, yn). (A.35) APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 89 Antes de continuar con el desarrollo, observemos que la segunda derivada de la función y(x) satisface y′′(x) = d dx f(x, y) = fx(x, y) + fy(x, y)f(x, y) = fx(x, y) + fy(x, y)y ′. (A.36) Con (A.36), somos capaces de reescribir una serie de Taylor para y(x) en xn+1 = xn + h, utilizando términos de f y sus respectivas parciales, siendo: y(xn+1) ≈ y(xn) + hf(xn, y(xn)) + h2 2 [fx(xn, y(xn)) + fy(xn, y(xn))y ′(xn)] . (A.37) Nuevamente, comparando (A.35) y (A.37), se obtienen las ecuaciones: a+ b = h, αbh = h2 2 y bβ = h2 2 . (A.38) Siendo α = 1, a = b = h 2 y β = h los valores de la solución. De esta forma, el método de Runge-Kutta de orden dos es reescrito como yn+1 = yn + h 2 (k1 + k2), (A.39) k1 = f(xn, yn) y k2 = f(xn + h, yn + hk1). (A.40) A.3.3. Rugen-Kutta orden 4 Es evidente que Runge-Kutta (RK) es más preciso a medida que aumenta el orden. Sin embargo, computacionalmente es más exigente. En la práctica, muchos códigos de investigación optan por utilizar hasta el orden 4, ya que este ofrece un excelente equilibrio en el uso de recursos computacionales y su solución numérica presenta li- geras diferencias en comparación con la solución real. APÉNDICE A. MÉTODOS NUMÉRICOS 90 En este orden, las constantes se calculan mediante comparaciones con expansiones de Taylor, de manera similar a los dos anteriores. No obstante, los cálculos son lige- ramente más exigentes debido a la incorporación de nuevos términos, lo que implica la necesidad de calcular más constantes. Se omitieron los calculos. Se han omitido los cálculos por razones de concisión. No obstante, el resultado está respaldado por diversas fuentes [63, 65] y sigue una estructura establecida yn+1 = yn + h 6 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] , (A.41) k1 = f(xn, yn), k2 = f(xn + h 2 , yn + h 2 k1), k3 = f(xn + h 2 , yn + h 2 k2), k4 = f(xn + h, yn + hk3). (A.42) Hablar del error de truncamiento es elemental cuando trabajamos con este tipo de métodos numéricos, ya que representa la diferencia entre la solución computacional y la solución exacta. Por ejemplo, el error local de truncamiento para RK2 es de O(h2), lo que significa que en cada paso se realizan dos evaluaciones. Otro caso sería el RK4, cuyo error de truncamiento es de O(h4), indicando que en cada paso se llevan a cabo cuatro evaluaciones [65]. Bibliografía [1] S. Perlmutter et at. “Measurements of Ω and Λ from 42 high-redshift supenovae”. En: Astrophys. J. (1999). doi: 10.1086/307221. [2] C. 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