Universidad Nacional Autónoma de
México
Posgrado en Ciencias Físicas
CARACTERIZACIÓN DE PULSOS
ULTRACORTOS EN LA REGIÓN
FOCAL DE SISTEMAS
REFRACTIVOS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
D O C T O R A E N C I E N C I A S ( F Í S I C A )
PRESENTA:
LEONOR GARCÍA MARTÍNEZ
DIRECTOR DE TESIS:
DRA. MARTHA ROSETE AGUILAR
2012
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Agradecimientos
La gratitud es uno de los sentimientos más humanos y sinceros que existen, última-
mente he experimentado este sentimiento de manera intensa, por lo que me siento pro-
fundamente emocionada y en deuda con la vida, por lo que quiero expresar los siguientes
agradecimientos.
Doy gracias a la Dra. Martha Rosete Aguilar, quien confió en mí desde el primer día
que me presente en su oficina y decidió ayudarme a concluir mis estudios de doctorado.
Sin su ayuda, no hubiera podido llevar esto a cabo.
Agradezco a los doctores Neil Bruce, Jesús Garduño y Roberto Ortega por la aceptación
y ayuda que me brindaron durante mi estancia en el CCADET.
Agradezco a mis sinodales Martha Rosete, Neil Bruce, Roberto Ortega, Víctor Romero
Rochín, Alejandro Reyes Esqueda, Miguel García Rocha y Rubén Ramos García, por la
revisión a este trabajo de tesis, que se ha visto enriquecido con sus comentarios.
Doy gracias por tener a mis padres, ya que gracias a ellos he podido tener la educación
que tengo y la determinación que me ha llevado a concluir este trabajo de tesis, y a
valorar el bien que hay en mi vida, por cuidarme tanto y siempre ayudarme. Doy gracias a
la vida por la cantidad enorme de amor que he recibido de mi esposo Constantino, de mis
hermanas Aida y Azucena, y por dejarme experimentar un amor tan profundo por mis
sobrinos Valeria, Ximena, Ángel, Ian y Rudy. También por tener la amistad de Alfonso.
En este tiempo pude tener excelentes amigos, Cristtel sin duda es una pieza fundamen-
tal en este trabajo de tesis, sin ella no hubiera llegado a trabajar con la Dra. Martha Rosete.
La lista de buenos amigos afortunadamente es larga y a ellos agradezco su compañía, los
buenos momentos que pasamos y toda la ayuda que me han brindado. Cristtel, Laura, Ari-
adna y Juan, Mercedes, Selene, Lucía, Marusia y Francisco, Jorge y Ana, Jonathan, Eliut,
Kike, Jeanette, Carla y Álvaro, Azalia, Olivia, Roberto Álvarez, Eleazar, Yanet, Verónica,
Hugo, Cesar, Samuel, Hector, Horacio, Gustavo, Mauricio, Josué, Jacqueline, Ismael; Oli,
Nay, Emma, Paty y Roberto Pineda. Todos ustedes han formado parte importante en mi
vida y espero continúe así.
Agradezco a mis compañeros del CCADET, por lo buena compañía durante estos dos
años. Dulce, Alejandro, Briseida, Sergio, Flor, Miguel, Fernando, Gabriel, Carlos Román,
Dra. Martha Rosete, Dr. Neil Bruce, Dr. Jesús Garduño, Dr. Antonio, y Dr. Roberto
iii
iv Agradecimientos
Ortega.
Agradezco la ayuda económica que me brindo CONACyT, durante mis primeros años
del doctorado. También a DGAPA-UNAM (PAPIIT-IN101609-3), y toda la ayuda económi-
ca que de alguna manera llego a mis manos, OSA Foundation, Educación a Distancia GDF,
SEP, UNAM.
Agradezco a los profesores de la Universidad Nacional Autónoma de México que me
han formado como profesionista, pero más que a todos ellos, a la Dra. Martha Rosete.
iv
Resumen
En el presente trabajo se estudia el enfoque de pulsos de luz láser ultrarrápidos por
sistemas ópticos refractivos usando la teoría de la difracción. Los sistemas ópticos estu-
diados son lentes simples, dobletes acromáticos y dobletes apocromáticos. Cada sistema
refractivo produce dispersión. El ensanchamiento temporal del pulso producido por la dis-
persión de la velocidad de grupo o GVD se estudia desarrollando en serie de Taylor el
número de onda en función de la frecuencia hasta el tercer orden. Se analiza el ensan-
chamiento temporal de los pulsos sólo por el efecto de tercer orden de GVD, así como el
ensanchamiento temporal del pulso generado por la aberración cromática, efecto conocido
como la diferencia del tiempo de propagación o PTD, y el ensanchamiento espacial del
pulso generado por la aberración esférica de cada sistema. Se usan los segundos momentos
del campo eléctrico, para determinar el ensanchamiento espacial y temporal del pulso al
propagarse por la lente. Se define la calidad de la señal como el inverso del producto de
estas dos cantidades. Para determinar el campo eléctrico del pulso en la región focal del
sistema óptico es necesario calcular una integral sobre las frecuencias del pulso. Cuando
se hace la aproximación de que el ancho de frecuencias es mucho menor que la frecuencia
de la onda portadora y solo se expande el número de onda hasta el segundo orden, la
solución de la integral es analítica. Si alguna de estas dos aproximaciones no se hace, la
integral tiene que resolverse de forma numérica. Hemos usado el método de integración de
Gauss-Legendre para calcular la integral sobre las frecuencias de forma numérica cuando
se expande el número de onda hasta el tercer orden. Se hace un análisis del número de
parámetros y anchos de banda asociados a cada pulso según su duración para usar de
manera adecuada el método de integración de Gauss-Legendre y haciendo una expansión
hasta el segundo orden del número de onda con respecto a la frecuencias, el resultado se
compara con la solución analítica de la integral para verificar los resultados obtenidos con
el método de Gauss-Legendre.
Usando los segundos momentos del campo eléctrico en espacio y tiempo, se obtiene
una curva de la calidad de la señal a lo largo del eje óptico cerca de la región focal, para
diferentes sistemas ópticos y para diferentes duraciones del pulso. La calidad de la señal
da información de cómo los diferentes efectos que producen el ensanchamiento temporal
y espacial del pulso reducen la intensidad pico del pulso respecto a la intensidad pico de
v
vi Resumen
un pulso enfocado por un sistema ideal.
Se ha verificado la existencia de un segundo pulso. Este segundo pulso, que recibe el
nombre de "boundary pulse”, es generado por la difracción de pulsos en el borde de la
lente y aparece sobre el eje óptico de la lente pero en posiciones alejadas de la vecindad
del foco paraxial. Se estudia la difracción del campo sin la aproximación que el ancho
de banda asociado al pulso es mucho menor a la frecuencia central de la onda portadora
(∆ω/ω0 → 0). Este análisis es expuesto por primera vez en la literatura.
vi
Summary
In the present work we study the focusing of ultrashort laser pulses by refractive optic
systems by using diffraction theory. The optical systems are singlet lenses, achromatic
doublets and apochromatic doublets. Each refractive system produces dispersion. The
temporal spreading of the pulse produced by the group velocity dispersion or GVD is
studied by expanding the wave number as function of the frequency in a Taylor series up to
third order. We analyze the temporal spreading of the pulses generated by the third order
of GVD effect only, as well as the temporal spreading due to the chromatic aberration,
effect known as propagation time difference (PTD), and the spatial spreading due to the
aberrations of the optical system. The second moments of the electric field are used to
determine the space and temporal pulse widths. The quality of the signal is defined as the
inverse of the product of these two quantities. In the calculation of the electric field of the
pulse at the focal region of the optical system, an integral over frequencies has to be solved.
Under the assumption that the bandwidth is smaller than the frequency of the carrier and
by expanding the wave number in a Taylor series up to second order, the integral over
frequencies has an analytical solution, otherwise the integral has to be solved numerically.
The Gauss-Legendre quadrature method has been used to calculate the integral over the
frequencies when the wave number is expanded up to third order. An analysis of the
number of parameters and bandwidths associated to each pulse according to its duration
has been done by using the Gauss-Legendre quadrature method and the expansion up
to second order of wavenumber respect to the frequency. The results of this analysis are
compared with the analytical solution of the integral to verify the numerical calculations
given by the Gauss-Legendre method. By using the second moments of the electric field in
space and time, a curve of the quality of the signal is obtained along the optical axis near
the focal region for different optical systems and pulse durations. The quality of the signal
gives information on how the different effects that produce temporal and spatial spreading
of the pulse will decrease the peak intensity of the pulse as compared to the peak intensity
of a pulse focused by an ideal optical system. The existence of a second pulse has been
verified. This second pulse called boundary pulse is created by the diffraction of pulses
at the edge lens and appears at positions far away from the paraxial focus of the lens.
Finally, we study the diffraction of the field without the approximation that the bandwidth
vii
viii Summary
associated to the pulse is much less than the wave of the carrier frequency ∆ω/ω0 → 0.
This analysis is exposed for the first time in the literature.
viii
Introducción
Desde el nacimiento del láser en el año de 1960 [1], la física y la ingeniería se han visto
beneficiadas por tener una herramienta con las propiedades de coherencia característica del
láser. La intensidad que se puede obtener de láseres pulsados aumenta considerablemente
respecto a la emisión continua [2]. Por esta razón el conocimiento de los mecanismos físicos
involucrados por los cuales se puede obtener luz pulsada de corta duración, ha sido uno
de los pilares dentro del estudio teórico y experimental del láser [3]. Dentro del diseño
experimental, se han desarrollado técnicas que permiten medir la duración temporal de
los pulsos, como lo son la autocorrelación óptica [4–8], pues no es posible con la tecnología
actual, tomar lecturas del orden de 10−15 segundos, debido al tiempo de respuesta de
cualquier equipo electrónico. Sorprendentemente pulsos de láser de picosegundos (10−12
segundos) han sido posibles desde la mitad de los años setenta. Con la introducción de la
técnica de amarre de modos [9], (donde los modos del láser se forzan a mantener la misma
fase), el láser de titanio-zafiro y los láseres de fibra ultrarrápida ambos en 1990, permitieron
la construcción de un sistema de estado sólido que requiere de cuidados mínimos. Debido
a que los pulsos de láseres ultrarrápidos son ensanchados por la óptica, estos pueden llegar
a perder su intensidad inicial, por lo que pocas veces se usan pulsos menores a 100fs en
aplicaciones comerciales, dejando el tema de láseres pulsados menores a 100fs al campo de
la investigación.
Mientras que para la escala de nanosegundos y picosegundos los sistemas ópticos se
comportan como si ellos estuvieran siendo iluminados por luz monocromática [10], el uso
de luz pulsada del orden de femtosegundos (1× 10−15s), trae nuevos efectos. Estos efectos
han sido mostrados teóricamente y experimentalmente [11,12,15,16], obteniéndose que el
enfocamiento de pulsos de luz ultracorta por lentes con aberración cromática da al pulso
un ensanchamiento temporal y un patrón de difracción modificado comparado con aquel
formado por iluminación monocromática, lo que, por supuesto, disminuye la intensidad
de los pulsos y afecta la operación de dispositivos ópticos, tales como son los microscopios
de escaneamiento láser (LSM’s), cuando son usados en conjunto con pulsos de luz de
femtosegundos.
En este panorama, la generación, diagnóstico y aplicación de pulsos ultracortos, re-
quieren elementos ópticos adecuados, esto quiere decir, elementos ópticos que no cambien
ix
x Introducción
las características temporales y espaciales del pulso, o si lo llegan a hacer, entonces que
lo hagan en una forma que sea comprendida, ya que en muchos experimentos los pulsos
necesitan ser enfocados sobre el eje óptico para alcanzar altas intensidades, las cuales son
obtenidas normalmente usando lentes.
Por la naturaleza de los pulsos de luz láser, estos tienen un ancho de banda asociado,
por lo que la aberración cromática es un efecto importante, que provoca que los pulsos
que tocan el borde de la lente, lleguen al plano focal un intervalo de tiempo ∆T ′ antes
que aquellos que se propagan por el centro de la lente, este efecto es conocido como
PTD por sus siglas en inglés (Propagation Time Difference). Otro efecto importante se
obtiene del resultado de la dispersión que sufre la luz por los elementos ópticos, provocando
una distorsión del pulso, debida a la dispersión de la velocidad de grupo por el material
óptico, este efecto al que se le ha llamado GVD (Group Velocity Dispersion), cobra mayor
importancia mientras la duración del pulso sea menor [13,18]. El efecto de GVD de tercer
orden, es un efecto de importancia para la calidad de la señal, para pulsos menores a
20fs [14, 22]. Por otra parte las aberraciones propias de la lente son un factor importante
que modifica las características espaciales del pulso [19–21]. La calidad de la señal que se
puede obtener del enfocamiento de luz pulsada, depende en gran medida del conocimiento
y control de estos tres efectos [22] y de la posición sobre el eje óptico z en donde se coloque
el detector.
Figura 1: Pulso de luz deformado por los efectos de GVD, PTD y aberración esféica, cuando se propaga
por una lente y se observa en una posición z diferente a la del foco paraxial.
El grupo de Marcos Dantus de la universidad de Michigan [23–27], ha investigado los
conceptos teóricos del control de coherencia que han permitido obtener un láser de pulsos
de femtosegundos que pueden ser caracterizados y compensados con ayuda de dispositivos
x
xi
como el MIIPS (Multiphoton Intrapulse Interference Phase Scan) [17], con lo que ahora
es posible tener pulsos con una duración de hasta 4.6fs [23]. La técnica consiste en medir
la segunda derivada de la fase φ′′(ω) y con ayuda de un modelador de pulsos compensar
la deformación sufrida por el pulso en tiempo real. Otras técnicas para la compresión de
pulsos se han logrado con rejillas de difracción [53], chirp mirrors, fibras ópticas o pares
de prismas [54], donde el pulso se propaga a través de estos elementos ópticos, para poder
compensar la cantidad de chirp (el cambio en la frecuencia instantánea) que adquirió el
pulso al propagarse a través de otro medio dispersivo.
Figura 2: En la imagen se muestra la morfología de las características de micromaquinado obtenidas sobre
una oblea de Si (100). El efecto de la forma del pulso sobre la morfología de perforación de
hoyos, fue investigado usando dos pulsos de diferente duración. En este experimento, TL es un
pulso sin chirp con una duración de 35fs y Chirped es un pulso de 1ps cuya duración se obtuvo
introduciendo chirp al pulso. La condiciones experimentales de potencia y enfocamiento fueron
los mismos excepto por la duración del pulso. Es claro que el pulso TL da características limpias
comparado con pulsos con un chirp alto donde el derretimiento puede ser visto claramente.
Debido a la alta intensidad que se puede alcanzar con pulsos de luz láser, las aplica-
ciones que se han dado a estos pulsos son diversas, entre las que se encuentra el corte de
tejido biológico con gran precisión [28–32], el tratamiento óptico de nanomateriales [33–35],
la generación de plasmas [36, 37]. Debido a la duración de los pulsos, del orden de fem-
tosegundos, ha sido posible introducir a los pulsos de láser en la espectroscopía ultrar-
rápida [38], así como en el estudio de la interacción de luz con la materia, donde ha sido
posible estudiar procesos atómicos y moléculares con resoluciones temporales a escalas
de tiempo de los procesos átomicos [39–41]. El micro-maquinado [42–44], es una de las
aplicaciones en la industria donde los pulsos ultrarrápidos muestran dar ventajas sobre
el modo continuo (CW) o sistemas de pulsos largos. Los pulsos ultrarrápidos (del orden
de 1 × 10−15s), en principio son capaces de ablación en un material, a una taza que es
más rápida que el fundido térmico de la muestra. Este estudio ha sido investigado desde
1980 [45]. Sin embargo, es posible causar derretimiento y otros indeseables resultados con
láseres de pulsos ultracortos, es por esto que es importante determinar que tan cortos
deben ser los pulsos para poder cortar sin derretir. El grupo de Dantus, ha encontrado
que la eficiencia del corte y el umbral de ablación disminuyen conforme el ancho de banda
xi
xii Introducción
del pulso aumenta. Cuando un pulso de 35fs está limitado por su ancho de banda (TL), es
decir, que el pulso no tiene chirp, es posible hacer cortes del orden de sub-micras de manera
limpia, esto se puede observar en la morfología de micro-maquinado sobre una oblea de
silicio, figura indicada con (TL), mientras que el corte que se obtiene con el láser de 1ps
que no esta limitado en su ancho de banda, tiene defectos en sus bordes (Chirped), [23].
Otro campo que se ha visto beneficiado con el uso de pulsos ultracortos, es la micro-
scopía de dos fotones. Los métodos que se emplean para la obtención de las imágenes,
dependen de la habilidad de enfocar el láser en spots de tamaño muy pequeño, además
mientras más corto sea el pulso la calidad en la imagen aumenta, por ejemplo, para pulsos
de 100fs comparados con pulsos de 12fs, la señal aumenta 8 veces, lo que se puede observar
en la figura 2, [23], donde se muestran tres imágenes de la misma sección de hígado de
ratón, obtenidas con microscopía de dos fotones, la mejor imagen se obtiene con luz pulsa-
da de 12fs, usando un objetivo apocromático. La ganancia en la señal es aproximadamente
8 veces mayor al usar pulsos de 12fs que para pulsos de 100fs.
Figura 3: Se muestran tres imágenes de la misma sección de hígado de ratón, obtenidas con microscopía
de dos fotones. Las imágenes se han obtenido con pulsos de láser de 12fs y 100fs, para la
longitud de onda central de 810nm., mediante un objetivo Zeiss LD C Apocromático 40x/1.1
NA.
Los pulsos de láser que trataremos, se han estudiado en función del diseño de un láser
pulsado, actualmente en fabricación en el laboratorio de pulsos ultracortos del CCADET,
donde por la técnica de amarre de modos [46], se han podido obtener pulsos de 200fs con
una longitud de onda central de 810nm y se desea alcanzar duraciones de 20fs [47].
El objetivo de este trabajo de tesis es determinar como el campo de un pulso de luz
del orden de femtosegundos, es modificado por el efecto de la dispersión de velocidad
de grupo (GVD) de tercer orden, el efecto de la diferencia del tiempo de propagación
(PTD) y la aberración esférica producida por el sistema refractivo. Los sistemas refractivos
xii
xiii
que se estudian son lentes simples, dobletes acromáticos y dobletes apocromáticos, cuyas
aperturas numéricas estan dentro del rango de 0.15 a 0.33. Los pulsos estudiados tiene
una duración entre 4.5fs y 200fs. Los resultados mostrados son teóricos. Con base en este
conocimiento podremos determinar las condiciones bajo las cuales se obtiene el valor más
alto de la intensidad del pulso. El estudio del efecto de GVD de tercer orden, es presentado
por primera vez en la literatura.
En el Capítulo 1, se presentan los conocimientos teóricos bajo los cuales se determina
la difracción de un pulso de luz al propagarse por un sistema refractivo, también se men-
cionan las aproximaciones físicas que permiten abordar el problema. Se supone que sobre
el sistema óptico (lentes simples o dobletes) el pulso de láser incide iluminando de manera
uniforme, teniendo luz colimada que se propaga paralela al eje óptico de las lentes, por
lo que el frente del pulso que incide sobre la lente es plano. Una iluminación homogénea
sobre toda la lente es una condición deseable en microscopía, ya que la resolución espacial
aumenta al iluminar toda la lente, esto quiere decir, que iluminando toda la lente se pueden
obtener imágenes a escalas más finas. Los pulsos de luz se han modelado suponiendo que
las frecuencias están moduladas por una Gaussiana. Otra aproximación importante es
suponer que el ancho de banda asociado a un pulso, es una cantidad pequeña comparada
con la frecuencia de la onda portadora del pulso con lo que (∆ω/ω0 → 0). Con esta última
aproximación y realizado una expansión del número de onda respecto a la frecuencia, hasta
el segundo orden, se llega a una expresión integral en espacio y en frecuencias, la integral
en las frecuencias tiene una solución analítica en cambio para la coordenada en espacio,
se debe resolver tomando un método numérico adecuado. En la presente tesis hemos anal-
izado a los pulsos cuando se expande a tercer orden el número de onda, en cuyo caso la
solución de la integral en las frecuencias debe resolverse con un método numérico, lo mismo
que en la coordenada espacial. Cuando se expande hasta el tercer orden y se desprecia el
término de segundo orden, sobre el pulso se tiene unicamente el efecto de GVD de tercer
orden. La corrección del segundo orden de GVD, se puede obtener colocando un par de
prismas en el trayecto del láser. En el análisis se expande en serie de Taylor el número
de onda alrededor de la frecuencia central de la onda portadora. La expansión en serie
de Taylor hace posible estudiar los efectos de PTD y GVD de manera independiente, lo
que da la oportunidad de determinar cómo cada uno de estos efectos ensancha al pulso,
indicando qué tipo de lente, de las estudiadas, proporcionará la mejor calidad de la señal.
En el Capítulo 2, se estudia el método de integración de Gauss-Legendre. Este método
tiene dos ventajas importantes sobre el método de integración por rectángulos las cuales
son: reducción en el tiempo de cálculo y reducción en los errores numéricos. El análisis
del efecto de GVD de tercer orden que se expone en esta tesis, ha sido posible gracias
al método de integración de Gauss-Legendre, el cual ha reducido el tiempo de cálculo
en un 95 % respecto al tiempo requerido con el método de integración de rectángulos.
Los resultados que se expondrán en este trabajo hubieran sido prácticamente imposible si
hubiésemos usado el método de rectángulos pues el tiempo de cálculo del campo del pulso
difractado con el método de rectángulos es de aproximadamente 6 días (el cual aumenta
aún más si se intenta disminuir el error numérico) y con el método de Gauss-Legendre el
xiii
xiv Introducción
tiempo de calculo es de 70 minutos. Sin embargo, el uso del método de Gauss-Legendre no
es trivial, por lo que se mostrarán varios cálculos que nos permitirán probar la eficiencia
y funcionalidad del método de Gauss-Legendre.
Una vez probada la efectividad del método de integración de Gauss-Legendre, en el
Capítulo 3 se estudia el campo de un pulso difractado por lentes simples hechas del vidrio
BK7, las cuales tienen diferentes diámetros pero la misma distancia focal. El estudio se
basa en el trabajo reportado por Bor [48], donde se analiza la difracción de pulsos de luz que
han sido enfocados por lentes simples de BK7 de diferentes diámetros y la misma distancia
focal, considerando únicamente el efecto de PTD, los pulsos tienen una duración de 6fs
(TFWHM=6fs) y una longitud de onda de la portadora igual a 620nm. En este capítulo se
extiende el estudio para tomar en cuenta el efecto de GVD de tercer orden y la aberración
esférica de la lente. Para cada pulso difractado por el sistema óptico, se ha realizado un
análisis del ensanchamiento temporal y espacial que sufre el pulso al ser enfocado, con
ayuda de los segundos momentos del campo eléctrico, en una vecindad alrededor de la
región focal, calculando el inverso de la multiplicación de estas dos cantidades, la cual
hemos nombrado la calidad de la señal y mostramos que esta cantidad es una cantidad
análoga a la intensidad del pulso.
En el Capítulo 4 estudiamos la calidad de la señal para dobletes acromáticos hechos
de los vidrios LaK22 y SF6 (doblete comercial tomado del catálogo de Edmund [99]), con
diferentes aperturas numéricas (0.15, 0.2, 0.24, 0.3 y 0.33), cuando por ellos se propaga un
pulso de 10fs de duración. En el Capítulo 5, tomando el doblete acromático de apertura
numérica de 0.15, se estudia el efecto de PTD, aberración esférica y de GVD de tercer
orden, para pulsos de diferente duración. En busca de una mejora en la calidad de la
señal, se diseñaron dobletes apocromáticos con apertura numérica de 0.15, los resultados
se exponen en el Capítulo 6. Cabe señalar que los dobletes apocromáticos que se exponen,
son diseño de la Dra. Martha Rosete.
Debido a la reducción en el tiempo de cálculo, hemos podido estudiar la calidad de la
señal fuera de la zona paraxial. La calidad de la señal es un concepto que hemos introducido
como medida de la desviación de un pulso enfocado por una lente ideal y una real. Cuando
se analiza la calidad de la señal, podemos determinar la posición de señal máxima en la
que esta ocurre y en la mayoría de los casos estudiados, hemos determinado que la señal
máxima no se obtiene en la posición del foco paraxial, sino en una posición cercana a la
lente. De los resultados obtenidos es claro que el efecto de GVD de tercer orden es un
efecto importante para pulsos con duración menor a 20fs.
Dado que el ancho de banda de un pulso de luz es pequeño comparado con la frecuencia
central del pulso, se puede tomar el límite que el ancho de banda asociado a un pulso
determinado, es una cantidad pequeña comparada con la frecuencia de la onda portadora,
∆ω/ω0 → 0, lo cual reduce los cálculos en el estudio del campo difractado de los pulsos
de luz láser, esta aproximación la podemos encontrar en todos los desarrollos hasta ahora
expuestos en la literatura [10, 13, 22, 49–51].
El método de integración de Gauss-Legendre, nos ha permitido estudiar la calidad de
la señal de los pulsos sin la aproximación ∆ω/ω0 → 0. En el Capítulo 7 se pueden ver
xiv
xv
algunos resultados sin dicha aproximación, para diferentes sistemas refractivos de aper-
tura numérica igual a 0.15 y para pulsos de 20fs. Con lo que hemos determinado que la
aberración esférica de la lente provoca una calidad en la señal mayor que la predicha al
considerar ∆ω/ω0 → 0.
En el Capítulo 8, se ha estudiado la difracción producida en el borde de la lente, lo que
genera un pulso secundario sobre el eje óptico. Se verifica la expresión de Bor et.al. [52]
para la posición del pulso secundario.
Los resultados obtenidos en los Capítulos 2, 5, 6 y 8, permitieron la publicación de un
artículo en la revista Applied Optics [22], el cual se anexa al final del trabajo de tesis.
Finalmente en el Capítulo 9, se presenta una discusión de los resultados obtenidos en esta
Tesis. Al final de este capítulo se mencionarán los cálculos que aún están pendientes y que
darán pauta a otros trabajos de investigación.
Por último en los Apéndices A y B se presentan los desarrollos numéricos que determi-
nan el campo difractado del pulso en la región focal del sistema refractivo. En el Apéndice
C se encuentran los datos de cada lente que ha sido estudiada. En el Apéndice D, se mues-
tran las imágenes de algunos perfiles de intensidad de pulsos estudiados en el Capítulo
4.
xv
Índice general
Índice general xvii
1. Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas 1
1.1. Conceptos básicos sobre los pulsos de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Modelo de Sellmeier para el índice de refracción . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Superposición de modos con fase constante y fase aleatoria . . . . . . . . . 10
1.5. Número de modos que forman un pulso de luz láser . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Criterios para la duración temporal de pulsos gaussianos . . . . . . . . . . 14
1.7. Aberraciones de Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1. Aberración Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8. Lente delgada como una transformación de fase . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9. Dispersión de la velocidad de grupo (GVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10. Diferencia en el tiempo de propagación (PTD) . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11. Transformación espacial y temporal de un pulso que ha pasado por una lente. 37
1.12. Segundos momentos, como medida del ensanchamiento espacial y temporal 43
2. Método de integración de Gauss-Legendre 45
2.1. Traslación del método de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2. Análisis de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Análisis del la lente simple de BK7, f=30mm . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Estudio de una lente simple de BK7 57
3.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda, con base en
la solución analítica en la integral de las frecuencias . . . . . . . . . . . . . 59
3.2. Análisis en base al método de integración de Gauss-Legendre . . . . . . . . 61
3.3. Análisis considerando tercer orden de GVD, PTD y Aberración Esférica . . 67
3.4. Análisis para λ0 = 810nm y Tint=10fs y Tint=20fs. . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1. Análisis considerando el tercer orden de GVD y PTD, para pulsos
con duración de 10fs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xvii
xviii ÍNDICE GENERAL
3.4.2. Análisis considerando PTD, para pulsos con duración de 20fs . . . . 73
4. Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-
SF6), con diferentes aperturas numéricas. 77
4.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Análisis general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5. Estudio del doblete acromático, LaK22-SF6, de distancia focal f0=40mm,
para pulsos de diferente duración 87
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda . . . . . . . 89
6. Análisis de dobletes apocromáticos 97
6.1. Comparación de la calidad de la señal de los dobletes LaK22-SF6 y FK51-
KzFSN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7. Estudio de la difracción creada por el borde de la lente 111
8. Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0 119
9. Conclusiones 127
9.1. Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A. Análisis del campo cerca de la región focal, considerando
la expansión del número de onda hasta segundo orden 133
B. Análisis del campo cerca de la región focal, considerando
la expansión del número de onda hasta tercer orden 145
C. Características físicas de las lentes 157
D. Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4 159
D.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm . . . . . . . . . . . . . . . 160
D.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm . . . . . . . . . . . . . . . 166
D.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm . . . . . . . . . . . . . . . 173
D.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm . . . . . . . . . . . . . . . 179
D.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm . . . . . . . . . . . . . . . 185
Bibliografía 191
xviii
CAPÍTULO 1
Estudio de la propagación de pulsos
ultracortos en lentes refractivas
En esta tesis estudiaremos pulsos de luz láser que han sido enfocados por algún tipo de
sistema refractivo. Para comprender cada uno de los fenómenos que afectan a los pulsos en
el trayecto dentro de estos sistemas, en este capítulo trataremos las características de la luz
pulsada y algunas características de las lentes, como son las aberraciones. Comenzaremos
por abordar las características principales de los pulsos de luz, la formación de dichos
pulsos, la velocidad de fase y la velocidad de grupo, indicaremos el criterio para determinar
la duración temporal de un pulso gaussiano. El estudio de las aberraciones de la lente,
nos permitirá comprender el ensanchamiento espacial del pulso. Explicaremos el efecto
producido por la diferencia del tiempo de propagación, conocido como PTD (Propagation
Time Difference) así como el efecto de la dispersión de la velocidad de grupo (GVD por sus
siglas en inglés Group Velocity Dispersion) que producen un ensanchamiento temporal al
pulso y que provienen del hecho que la luz es pulsada. Dado que al pasar un pulso gaussiano
por una lente, se pierde la forma gaussiana, estudiaremos como es posible determinar el
ancho espacial y temporal de pulsos no gaussianos y como podemos determinar la calidad
de la señal cerca de la región focal del sistema refractivo.
1.1. Conceptos básicos sobre los pulsos de luz
La propagación de pulsos de luz láser en medios lineales, puede modelarse en términos
de la superposición de ondas planas de diferente frecuencia. Los pulsos de luz láser son
paquetes de ondas electromagnéticas, por lo que estan completamente descritas en tiempo
y espacio por el campo eléctrico. Mediante ondas planas, que son solución de las ecuaciones
de Maxwell, describiremos a los pulsos y los efectos que llegan a dispersarlo.
Las ecuaciones que describen la propagación del campo eléctrico y magnético, ~E y ~H ,
de una perturbación en un medio esta descrita por las ecuaciones de onda de Maxwell:
1
2 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
∇2 ~E =
1
c2
∂2 ~E
∂t2
∇2 ~H =
1
c2
∂2 ~H
∂t2
(1.1)
donde c = (µ0ǫ0)
−1/2 es la velocidad de la luz en el vacío. Cada componente del vector ~E
y ~H satisface la ecuación escalar de onda:
∂2U
∂x2
+
∂2U
∂y2
+
∂2U
∂z2
=
1
u2
∂2U
∂t2
(1.2)
donde la cantidad U puede ser cualquiera de las componentes del campo Ex, Ey, Ez, Hx,
Hy y Hz. u es la velocidad con la que se propaga la componente U .
Si consideramos el caso especial en el que la variación espacial del campo ocurre en
sólo una dirección, en particular en la dirección z, el operador ∇2 se reduce a ∂2/∂z2 y la
ecuación de onda (1.2) se reduce a la ecuación de onda unidimensional
∂2U
∂z2
=
1
u2
∂2U
∂t2
(1.3)
Por sustitución directa podemos verificar que la ecuación
U(z, t) = U0cos(kz − ωt) (1.4)
es una solución a la ecuación (1.3) y de hecho es la ecuación de una onda armónica plana.
La manera más sencilla de crear una señal pulsada es superponiendo dos ondas planas
en fase que viajan en la misma dirección y cuyas frecuencias y números de onda difieren
ligeramente [65, 87]. Supongamos dos ondas planas viajando en la dirección z, cada una
de ellas descrita por su número de onda k1 y k2 y su frecuencia ω1 y ω2
U1(z, t) = U01 cos(k1z − ω1t + ϕ1) U2(z, t) = U02 cos(k2z − ω2t + ϕ2) (1.5)
suponiendo que tienen la misma amplitud igual a U0 y que ambas tienen fase inicial igual
a cero (ϕ1 = ϕ1 = 0), la superposición de estas dos ondas es:
U(z, t) = U0[cos(k1z − ω1t) + cos(k2z − ω2t)] (1.6)
usando la identidad:
cos α + cos β = 2 cos
1
2
(α + β) cos
1
2
(α − β) (1.7)
la ecuación (1.6) se puede escribir como:
U(z, t) = 2U0[cos
1
2
((k1 + k2)z − (ω1 + ω2)t) cos
1
2
((k1 − k2)z − (ω1 − ω2)t)] (1.8)
Si definimos, las cantidades ω̄ y k̄, como la frecuencia angular promedio y el número de
propagación promedio respectivamente, entonces estas cantidades son:
ω̄ ≡ 1
2
(ω1 + ω2) y k̄ ≡ 1
2
(k1 + k2), (1.9)
2
1.1. Conceptos básicos sobre los pulsos de luz 3
similarmente las cantidades ωm y km como la frecuencia de modulación y el número de
propagación de modulación, como
ωm ≡ 1
2
(ω1 − ω2) y km ≡ 1
2
(k1 − k2) (1.10)
entonces el campo eléctrico queda definido por:
U(z, t) = 2U0 cos(kmz − ωmt)
︸ ︷︷ ︸
onda envolvente
cos(k̄z − ω̄t)
︸ ︷︷ ︸
onda portadora
(1.11)
La perturbación se puede considerar como una onda viajera de frecuencia ω̄ que tiene una
amplitud modulada o variable en el tiempo Um(z, t) tal que
U(z, t) = Um(z, t) cos(k̄z − ω̄t) (1.12)
donde
Um(z, t) = 2U0 cos(kmz − ωmt) (1.13)
La frecuencia de modulación ωm corresponde a la frecuencia de la envolvente de la curva.
Si la onda portadora no estuviera modulada, entonces cada cresta de la portadora viajaría
en la dirección positiva de la coordenada z, con la velocidad de fase usual
v ≡ − (∂ϕ/∂t)z
(∂ϕ/∂z)t
(1.14)
donde la fase se puede leer de la ecuación (1.12), i.e., ϕ = (k̄z − ω̄t), con ello, la velocidad
de fase y por lo tanto, la velocidad de la onda portadora es [96]
v =
ω̄
k̄
(1.15)
En la figura (1.1) podemos ver a la onda portadora U ′(z, t) = cos(k̄z − ω̄t) en un
instante de tiempo a la distancia z, también se observa a la onda un cierto tiempo ∆t
después, como U ′(z, t+∆t), esta última curva se desplaza en la dirección positiva de las z
por una distancia ∆z = v ∆t, la cual es la distancia entre cualesquiera dos puntos cuyas
fases se corresponden, digamos los puntos PP ′. Ésta es la razón por la que la velocidad v
es conocida como la velocidad de fase.
3
4 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Figura 1.1: Gráfica de U ′ vs. z al tiempo t y t + ∆t posterior. (U ′ campo de la onda portadora).
Por otra parte, la envolvente de la onda se desplaza con una velocidad diferente, cono-
cida como la velocidad de grupo, vg. De la ecuación (1.11), se tiene que la envolvente de
modulación es
Um(x, t) = 2U0 cos(kmx − ωmt) (1.16)
a partir de la definición (1.14), la velocidad con la que avanza la envolvente esta dada por
vg =
ωm
km
=
ω2 − ω1
k2 − k1
=
∆ω
∆k
(1.17)
cuando estas diferencias son infinitesimales, la velocidad de grupo queda definida por la
derivada de la frecuencia respecto al número de onda [75–77]
vg =
dω
dk
(1.18)
por lo tanto, la velocidad de la onda envolvente puede ser diferente a la velocidad de la onda
portadora. Esta diferencia de velocidades es fundamental en el estudio del ensanchamiento
de pulsos al propagarse en medios dispersores.
Considerando la relación de dispersión ω = kv (que de manera general: | ~k |= ω
√
µǫ),
podemos derivar respecto a k, de lo que obtenemos la siguiente relación:
dω
dk
= v
dk
dk
+ k
dv
dk
vg = v + k
dv
dk
(1.19)
Por lo que hemos obtenido la relación entre la velocidad de fase v y la velocidad de grupo
vg. Para medios que no son dispersores, tal que dv/dk = 0 entonces la velocidad de fase
y la velocidad de grupo son iguales, vg = v. En todo medio óptico la velocidad de fase
4
1.1. Conceptos básicos sobre los pulsos de luz 5
v es una función de la frecuencia angular, este es el fenómeno conocido como dispersión,
donde el índice de refracción es función de la frecuencia. La dispersión es responsable de
la separación de la luz blanca en sus componentes al pasar por un prisma, la imagen de
este fenómeno lo ubicamos bien, por el famoso experimento de Newton.
A partir de la relación de dispersión ω = vk, y considerando que en un medio el índice
de refracción esta definido como la razón de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad
de la luz en un medio, n = c/v, entonces tenemos la siguiente relación
ω = kv =
kc
n
(1.20)
Figura 1.2: Se muestra la onda portadora modulada por la onda envolvente. La onda envolvente viaja
a la velocidad de grupo vg, mientras que la onda portadora se desplaza con la velocidad de
fase v.
En medios dispersores, la velocidad con la que viaja una onda por estos medios, depende
de la longitud de onda y por lo tanto, el índice de refracción es diferente para diferentes
longitudes de onda. Así que, en general n es una cantidad que depende de λ, o del número
de onda k = 2π/λ, i.e., n = n(k), más adelante estudiaremos el modelo de Sellmeier, el
cual nos permitira conocer el valor del índice de refracción como función de k. Conociendo
n = n(k) y de la relación de dispersión (1.20), podemos derivar respecto al número de
onda, con lo que obtenemos la siguiente relación [93]
dω
dk
=
c
n
dk
dk
− kc
n2
dn
dk
vg =
c
n
(
1 − k
n
dn
dk
)
vg = v
(
1 − k
n
dn
dk
)
(1.21)
De nuevo hemos encontrado la relación entre la velocidad de grupo vg y la velocidad de
fase v, ahora en función del cambio del índice de refracción con el número de onda. De
5
6 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
manera natural se define el índice de refracción de grupo, como
ng ≡ c
vg
(1.22)
1.2. Dispersión
Cuando un dieléctrico se somete a un campo eléctrico, la distribución de cargas de las
nubes electrónicas del dieléctrico se distorsionan por la influencia del campo ~E, tal que
hay una separación de las cargas positivas y negativas en el medio, generando momentos
eléctricos dipolares. El momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina la
polarización eléctrica, ~P . Para la mayor parte de los materiales ~P y ~E son proporcionales
y se pueden relacionar por
(ǫ − ǫ0) ~E = ~P , (1.23)
donde ǫ0 es la permitividad del vacío (ǫ0 = 8,8542× 10−12C2N−1m−2) y ǫ la permitividad
eléctrica del medio. La permitividad de un material se puede expresar en términos de ǫ0
como
ǫ = Keǫ0 (1.24)
donde Ke es la constante diélectrica o permitividad relativa, es una constante sin dimen-
siones.
Un modelo sencillo de un dieléctrico es aquel que considera a los electrones exteriores
o de valencia ligados a sus átomos o moléculas por una fuerza elástica restauradora [65],
que es proporcional al desplazamiento x de los electrones del punto de equilibrio (meω
2
nx),
donde ωn es la frecuencia natural del oscilador. El átomo se parece así a un oscilador
armónico forzado clásico. Si sobre el dieléctrico incide un campo eléctrico ~E(t) que se
aplica en la dirección x, la fuerza FE ejercida sobre un electrón de carga e por el campo
de una onda armónica de frecuencia ω, se puede expresar como
FE = eE(t) = eE0 cos ωt (1.25)
De la segunda ley de Newton se tiene la ecuación de movimiento
eE0 cos ωt− meω
2
nx = me
d2x
dt2
(1.26)
La solución a este problema esta dado por
x(t) =
e
me(ω2
n − ω2)
E0 cos ωt (1.27)
Sin la fuerza aplicada por el campo, el electrón oscilará con la frecuencia natural ωn.
El momento dipolar que esta definido por la carga multiplicada por el desplazamiento,
si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarización eléctrica es
P = exN (1.28)
6
1.2. Dispersión 7
Figura 1.3: Distorsión de la nube electrónica en respuesta a un campo aplicado ~E.
Sustituyendo x, se obtiene
P =
e2NE(t)
me(ω2
n − ω2)
(1.29)
De la ecuación (1.23), la permitividad eléctrica del medio esta determinada por
ǫ = ǫ0 +
P (t)
E(t)
= ǫ0 +
e2N
me(ω2
n − ω2)
(1.30)
Por otra parte, el índice de refracción de un medio, esta determinado por la razón entre
las velocidades de una onda electromagnética en el vacío y en la materia. Siendo que en
el vacío la velocidad de la luz esta dada por
√
ǫ0µ0 y en el medio por
√
ǫµ. Donde µ0 es
la permeabilidad del vacío definida por 4π × 10−7Ns2C−2 y µ la permeabilidad del medio
particular.
n =
c
v
=
√
ǫµ
ǫ0µ0
(1.31)
A excepción de los materiales ferromagnéticos, para la mayoría de las sustancias µ ≈ µ0,
por ejemplo, para el diamante µ/µ0 ≈ 0,999978, por lo que se puede aproximar al índice
de refracción de un medio por
n2 ≈ ǫ
ǫ0
(1.32)
Sustituyendo (1.30) en (1.32), llegamos a la expresión
n2(ω) = 1 +
Ne2
ǫ0me
( 1
ω2
n − ω2
)
(1.33)
A esta expresión se le conoce como la ecuación de dispersión. Haciendo los cambios apropi-
ados se puede encontrar n(λ). En el modelo se ha supuesto una sola frecuencia natural ωn,
pero si hay N moléculas por unidad de volumen, cada una con fj osciladores que tienen
frecuencias naturales ωnj , donde j = 1, 2, 3... en este caso
n2(ω) = 1 +
Ne2
ǫ0me
∑
j=1
( fj
ω2
nj − ω2
)
(1.34)
7
8 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Ahora ωnj serían las frecuencias características a las cuales un átomo puede absorber o
emitir energía radiante. En un modelo cuántico fj son las probabilidades de transición
atómica.
En el modelo dado por (1.33), no se han considerado los efectos de amortiguamiento,
si se consideran, en la ecuación de movimiento aparecería un termino proporcional a la
velocidad γdx/dt. La solución (1.33) se ve modificada como
n2(ω) = 1 +
Ne2
ǫ0me
∑
j=1
( fj
ω2
nj − ω2 + iγjω
)
(1.35)
Los sólidos sin color como los vidrios ópticos con los que se trabajará en esta tesis, tienen
frecuencias naturales mayores a las del visible, en el ultravioleta. En los casos en los que
ω2
nj >> ω2 entonces ω puede ser despreciada de (1.33) dando un índice de refracción
esencialmente constante en esa región. Cuando ω aumenta a ωnj, entonces (ω2
nj − ω2)
disminuye y n aumenta gradualmente con la frecuencia, a este efecto se llama dispersión
normal. En la región ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, los
osciladores comenzarán a resonar y habrá una absorción de energía de la onda incidente.
Cuando ωnj = ω, el término de amortiguamiento que aparece en la ecuación (1.35), se hace
dominante, las regiones cercanas a ωnj mostradas en la figura (1.7a) son llamadas bandas
de absorción, en estas bandas dn/dω es negativa y se dice que el proceso es dispersión
anómala. Todas las sustancias poseen bandas de absorción en alguna región del espectro
electromagnético.
Figura 1.4: Índice de refracción vs la frecuencia. Se muestran las bandas de absorción.
Por lo tratado en la sección anterior, sabemos que la velocidad de fase v y la velocidad
de grupo vg, estan relacionadas por la ecuación
vg = v
(
1 − k
n
dn
dk
)
(1.36)
Para la región donde el valor dn/dk es positivo, i.e., en la región de dispersión normal,
la velocidad de grupo es menor a la velocidad de fase [79]. En cambio para la región de
dispersión anómala dn/dk < 0 por lo que vg > v [87].
8
1.3. Modelo de Sellmeier para el índice de refracción 9
En el caso en el que la velocidad de fase o el índice de refracción no cambia con la
frecuencia, la velocidad de fase y de grupo son las mismas, en partícular en el vacío
vg = v = c. (1.37)
1.3. Modelo de Sellmeier para el índice de refracción
A partir de la teoría clásica de dispersión, se puede hacer un modelo del índice de
refracción de fase como función de la longitud de onda, esta es la fórmula de Sellmeier, [81].
Donde se supone que el medio contiene partículas limitadas por fuerzas elásticas, las cuales
pueden vibrar con una frecuencia natural ω0, lo que indica que en ausencia de una fuerza
periódica, las partículas vibraran con una frecuencia ω0. El paso de ondas de luz a través del
medio pone en acción una fuerza periódica sobre las partículas, que causa que estas vibren.
Si la frecuencia de la onda de luz es ω, diferente a ω0, las vibraciones serán forzadas a la
frecuencia ω y la respuesta será pequeña, en cambio, cuando la frecuencia de la luz es ω0,
la respuesta de las partículas será grande, y el sistema estará en resonancia. Este modelo
matemático lo propuso Sellmeier en 1871, donde el índice de refracción esta determinado
por la siguiente ecuación
n2(λ0) = 1 +
B1λ
2
0
λ2
0 − C1
+
B2λ
2
0
λ2
0 − C2
+
B3λ
2
0
λ2
0 − C3
(1.38)
donde λ0 es la longitud de onda asociada a la frecuencia natural de vibración de las
partículas y tiene unidades de micras, B1, B2, B3, C1, C2 y C3 son constantes las cuales
estan calculadas para cada vidrio y se encuentran en catálogos de vidrios ópticos, tal
como el catálogo de Schott (Optical Glass) [97], estos valores son evaluados a partir de
los índices de refracción medidos experimentalmente. Los valores de los coeficientes B′s y
C ′s, se encuentran en el apéndice C, para los vidrios que se utilizan en esta tesis.
Dado que la frecuencia esta relacionada con la longitud de onda por la relación:
ω =
2πc
λ
(1.39)
la derivada respecto a la frecuencia, esta relacionada con la derivada respecto a la longitud
de onda:
d
dω
=
d
d
(
2πc
λ
) =
d
−2πc
λ2 dλ
= − λ2
2πc
d
dλ
(1.40)
La segunda derivada se obtiene con la expresión:
d2
dω2
=
d
dω
( d
dω
)
=
d
dω
(
− λ2
2πc
d
dλ
)
=
λ2
(2πc)2
(
λ2 d2
dλ2
+ 2λ
d
dλ
)
(1.41)
9
10 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Y la tercer derivada queda expresada
d3
dω3
=
d
dω
( d2
dω2
)
= − λ3
(2πc)3
(
λ3 d3
dλ3
+ 6λ2 d2
dλ2
+ 6λ
d
dλ
)
(1.42)
Estas derivadas se encuentran en el análisis del campo del pulso al propagarse por la
lente, en los parámetros a1, a2 y a3, los cuales estan definidos a continuación:
a1 ≡ 1
ω0
+
1
n0
dn(ω)
dω
|ω=ω0
a2 ≡ 1
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
a3 ≡ 1
2ω0n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0 +
1
6n(ω0)
d3n(ω)
dω3
|ω=ω0
(1.43)
La descripción completa del campo del pulso y de como se modifica al propagarse por
la lente, se encuentra en los apéndices A y B.
1.4. Superposición de modos con fase constante y fase
aleatoria
En general el campo eléctrico emitido por un láser de pulsos se puede escribir como la
superposición de ondas planas [84], como se describe en la siguiente ecuación:
U(t) =
∑
n
En exp i[(ω0 + nω)t + φn] (1.44)
donde ω0 es la frecuencia de la onda portadora. La suma se hace sobre los modos de
oscilación proporcionados por el medio activo, como lo puede ser un cristal de titanio-
zafiro, dentro del rango de frecuencias ∆ω, φn corresponde a la fase del n-ésimo modo.
Cuando las fases φn, asociadas a cada onda plana, son iguales para algún tiempo,
digamos para el tiempo t = 0, tal que la diferencia de fase entre ellos es cero, la super-
posición de estos campos es una señal pulsada. En este caso se dice que los modos estan
amarrados [88].
A continuación en la figura (1.5), se superponen tres campos eléctricos, el resultado de
ésta superposición es el campo UTotal, del cual se obtiene el perfil de intensidad I(t), al
elevar al cuadrado el campo resultante de la superposición. Cuando la diferencia de fase
es igual a cero en el tiempo t = 0, se obtiene un perfil de intensidad pulsado. En cambio,
para el caso en el que las fases de los campos φn, sea aleatoria para todo tiempo, de tal
forma que la diferencia de fase es distinta de cero para cualquier tiempo, la señal obtenida
no será pulsada, lo que se aprecia en la figura (1.6).
10
1.4. Superposición de modos con fase constante y fase aleatoria 11
Figura 1.5: Como resultado de la superposición de los campos cuya diferencia de fase es igual a cero
para algún tiempo, se crean pulsos definidos en el perfil de intensidad.
Figura 1.6: Como resultado de la superposición de campos que a cualquier tiempo, tienen una diferencia
de fase diferente de cero, el perfil de intensidad es aleatorio y no muestra señales pulsadas.
11
12 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
1.5. Número de modos que forman un pulso de luz
láser
De manera experimental, es posible obtener luz pulsada de un láser mediante la técnica
de amarre de modos, donde se forza a que los modos oscilantes del láser, mantengan una
fase constante. Con esta técnica se pueden crear pulsos desde 10−12s o picosegundos hasta
10−15s o femtosegundos [46]. El amarre de modos puede generar un tren de pulsos con una
separación regular [67]. El láser de titanio zafiro (T i : Al2O3) es el cristal más utilizado
para la generación de pulsos de femtosegundos, por ser uno de los cristales con mayor
ancho de banda de ganancia [82].
El campo resultante (1.44), describe una señal pulsada mientras las fases φn sean fijas
i.e. sean iguales a una constante, en el caso de que esas constantes sean iguales a cero, el
campo de un pulso de luz se puede describir como [84]:
U(t) =
∑
n
En exp i[(ω0 + nω)t] (1.45)
(a) (b)
Figura 1.7: En (a) se observan N-modos de oscilación de un láser, para un pulso de ancho de banda ∆ω,
con una frecuencia de repetición ω, en (b) el período de repetición T ⋆ entre los pulsos.
Esta señal, es una señal que se repite como se puede ver en la figura (1.5), formando
un tren de pulsos. El período de repetición esta dado por
T ⋆ =
2π
ω⋆
(1.46)
Donde ω⋆ es la frecuencia de repetición de la señal pulsada.
El ancho temporal de cada pulso que se define como el tiempo entre el pico y el primer
cero en el perfil de intensidad, esta dado por
τ =
T ⋆
N
(1.47)
12
1.5. Número de modos que forman un pulso de luz láser 13
Por otra parte, la duración temporal esta dada por τ = 1/∆ν, donde ω = 2πν, entonces
N puede aproximarse a [84, 85]
N ≈ ∆ω
ω⋆
(1.48)
esto es la razón entre el ancho de banda asociado al pulso y la frecuencia de espaciamiento
entre los pulsos.
En el laboratorio de pulsos ultracortos del CCADET se generan pulsos con una tasa
de repetición de 76MHz, equivalente a una frecuencia de ω⋆ ≈477MHz.
Para pulsos de duración de τ = 100fs, el ancho de frecuencias asociado considerando
que las frecuencias que forman el pulso, están moduladas por una función rectángular,
i.e., frecuencias de igual amplitud como las que se muestran en la figura (1.7a), es ∆ω ≈
2π/τ ≈6.28×1013Hz, por lo que el número de modos que forman al pulso esta determinado
por
N =
∆ω
ω⋆
≈ 131, 579 (1.49)
Para un pulso de 10fs, este valor incrementa a 1,315,789, por lo que para la escala de tiem-
pos de femtosegundos, la suma de ondas planas puede ser reemplazada por una integral.
En el caso en el que la modulación de las frecuencias que forman al pulso, sea por medio
de una modulación gaussiana, la relación entre el ancho en frecuencias y la duración del
pulso τ esta determinado por ∆ν∆τ =0.44, [82, 85]. Con esta relación, se puede calcular
el ancho asociado en frecuencias dada una duración del pulso. Por ejemplo para 10fs, el
ancho de banda asociado es de ∆ω =2.76×1014Hz, y el número de modos que forman al
pulso es N =579,582.
La amplitud escalar U(z, t) puede ser entendida como una de las componentes del
vector del campo electromagnético. Si A(k) denota la amplitud de la componente de la
onda plana con vector de onda k el pulso puede ser descrito como
U(z, t) =
∫ ∞
−∞
A(k)ei(ω(k)t−kz)dk (1.50)
Esta expresión satisface las ecuaciones de Maxwell, dado que el integrando es la solución de
onda plana básica de la misma ecuación. Tomando a U(z, t) en un tiempo dado, digamos
t = 0, entonces A(k) es formalmente la transformada de Fourier de U(z, 0). Nos referiremos
por consiguiente a |A(k)|2 como el espectro de Fourier del campo U(z, t). Si la densidad
de energía electromagnética de un pulso de luz láser se asocia con el valor absoluto de
la amplitud al cuadrado, entonces la velocidad de grupo representa el transporte de la
energía.
Un resultado importante es que el ancho temporal del pulso es independiente del
número de modos de oscilación contenidos en ∆ω [85]. Esto permite contemplar un número
menor de modos a los obtenidos de la ecuación (1.49), para el cálculo numérico, de tal
manera que se reduce el tiempo de computo.
13
14 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
1.6. Criterios para la duración temporal de pulsos gaus-
sianos
Los pulsos de láser son paquetes de ondas electromagnéticas y por ello, pueden definirse
sin ambigüedad en espacio y en tiempo, ya que pueden ser caracterizados por las cantidades
relacionadas con el campo eléctrico [3, 82].
Consideremos un pulso con una envolvente gaussiana e−αt2 que se propaga en un medio
dispersivo con una frecuencia de la onda portadora igual a ω0. El modelo de envolvente
gaussiana, es una buena aproximación a los pulsos que se pueden obtener experimental-
mente en el laboratorio de pulsos ultracortos del CCADET, como se puede ver en la figura
(1.8), donde se muestra la señal de un pulso obtenida en el laboratorio y la curva gaussiana
que se aproxima a dicha señal.
Figura 1.8: Perfil de intensidad de un pulso obtenido en el laboratorio de pulsos ultracortos del CCADET
(línea punteada). Ajuste gaussiano (línea continua).
El pulso de entrada puede definirse en el plano z = 0, de la siguiente forma, [83]
U(z = 0, t) = e−αt2eiω0t
= eiω0t
∫ ∞
−∞
F (Ω)eiΩtdΩ (1.51)
donde F (Ω) es la transformada de Fourier de la envolvente e−αt2 , dada por
F (Ω) =
√
1
4πα
e−
Ω2
4α (1.52)
El espectro de frecuencias se ha tomado como una distribución gaussiana centrada en
ω0, Ω = ω − ω0. El campo a la distancia z, se obtiene multiplicando cada una de las
14
1.6. Criterios para la duración temporal de pulsos gaussianos 15
componentes de frecuencia (ω0 + Ω) de la ecuación (1.51) por la exponencial exp[−iβz],
donde β = β(ω0 + Ω) expandimos β(ω0 + Ω) alrededor de ω0, hasta el segundo orden:
β(ω0 + Ω) = β(ω0) +
dβ
dω
∣
∣
∣
ω0
Ω +
1
2
(d2β
dω2
)
Ω2 (1.53)
se obtiene que el campo puede expresarse como
E(z, t) = ei(ω0t−β0z)
∫ ∞
−∞
dΩF (Ω) exp
{
i
[
Ωt − Ωz
vg
− 1
2
d
dω
( 1
vg
)
Ω2z
]}
(1.54)
donde
β0 ≡ β(ω0),
dβ
dω
=
1
vg
=
1
velocidad de grupo
(1.55)
La envolvente del campo esta dada por la integral
ε(z, t) =
∫ ∞
−∞
dΩF (Ω) exp
{
iΩ
[(
t − z
vg
)
− 1
2
d
dω
( 1
vg
)
Ωz
]}
(1.56)
=
∫ ∞
−∞
dΩF (Ω) exp
{
iΩ
[(
t − z
vg
)
− aΩz
]}
(1.57)
donde:
a ≡ 1
2
d
dω
( 1
vg
)
= − 1
2vg
dvg
dω
(1.58)
Después de sustituir F (Ω) de la ecuación (1.52), la ecuación (1.56) se puede escribir como
ε(z, t) =
√
1
4πα
∫ ∞
−∞
exp
{
−
[
Ω2
( 1
4α
+ iaz
)
− iΩ
(
t − z
vg
)]}
dΩ (1.59)
Haciendo la integración se obtiene
ε(z, t) =
1√
1 + i4aαz
exp
[
− (t − z/vg)
2
1/α + 16a2z2α
]
exp
[
i
4az(t − z/vg)
2
1/α2 + 16a2z2
]
(1.60)
Esta expresión nos indica el campo ε en la posición z al tiempo t. Para determinar la
duración temporal del pulso, se puede considerar el criterio FWHM (Full Width at Half
Maximum), [66,74], que consiste en tomar 2 veces el ancho temporal medido del perfil de
intensidad (ε(z, t)ε∗(z, t)) a la mitad de su valor máximo, igualamos ε(z, t)ε∗(z, t) a 1/2,
con lo que se obtiene
15
16 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
exp
[
−
2(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]
=
1
2
(1.61)
ln
{
exp
[
−
2(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]}
= ln
(1
2
)
(1.62)
t − z
vg
=
√
ln 2
2
( 1
α
+ 16a2z2α
)
(1.63)
(1.64)
el tiempo del pulso esta determinado por 2 veces la cantidad anterior, i.e., TFWHM =
2(t − z
vg
), con lo que se obtiene
TFWMH(z) =
√
2 ln 2
√
1
α
+ 16a2z2α (1.65)
para z = 0, se obtiene la duración del pulso inicial medido con el mismo criterio
T0,FWHM =
(2 ln 2
α
)1/2
(1.66)
Figura 1.9: Duración temporal medida a la mitad del perfil de intensidad.
Después de que el pulso se ha propagado una distancia L en algún medio sufrirá un
ensanchamiento temporal, determinado por:
TFWHM(z) = T0,FWHM
√
1 +
( 8aL ln 2
T 2
0,FWHM
)2
(1.67)
Para distancias grandes donde aL >> T 2
0,FWHM , se obtiene
TFWHM(L) =
(8 ln 2)aL
T0,FWHM
(1.68)
16
1.6. Criterios para la duración temporal de pulsos gaussianos 17
tomando la definición del valor de a dado por (1.58) esta expresión puede escribirse como
TFWHM(L) =
4 ln 2
v2
g
dvg
dω
L
T0,FWHM
(1.69)
Otro criterio se define, para cuando la duración del pulso se toma a la altura 1/e
directamente del campo ε(z, t), en este caso al no tomar el complejo conjugado de ε(z, t),
se tiene la expresión:
exp
[
−
(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]
=
1
e
(1.70)
ln
{
exp
[
−
2(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]}
= ln
(1
e
)
(1.71)
t − z
vg
=
√
1
α
+ 16a2z2α (1.72)
(1.73)
Por lo que el tiempo medido de esta manera, en campo, esta determinado por T = t − z
vg
T =
√
1
α
+ 16a2z2α (1.74)
Figura 1.10: Duración temporal de un pulso gaussiano medida a 1/e en campo.
Hay un criterio más para medir la duración temporal de pulsos gaussianos y consiste
en tomar el ancho temporal en el perfil de intensidad, cuando la intensidad máxima cae
a 1/e de su valor máximo. Si se tiene un perfil de intensidad normalizado, por lo que el
valor máximo alcanzado es igual a 1, el ancho del perfil a 1/e (1/e=0.3678) describe el
valor Tint. Este es el criterio con el que se ha determinado la duración del pulso en ésta
tesis. Cuando se toma la referencia a 1/e la duración del tiempo estaría dada por Tint,
para determinar este valor igualamos ε(z, t)ε∗(z, t) al valor 1/e, tal que:
17
18 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
exp
[
−
2(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]
=
1
e
(1.75)
ln
{
exp
[
−
2(t − z
vg
)2
(1/α) + 16a2z2α
]}
= −1 (1.76)
t − z
vg
=
√
1
2
( 1
α
+ 16a2z2α
)
(1.77)
En el perfil de intensidad el ancho total temporal es 2(t − z
vg
), con ello se obtiene que
la duración del pulso es:
Tint = 2
√
1
2
( 1
α
+ 16a2z2α
)
=
√
2
( 1
α
+ 16a2z2α
)
(1.78)
A partir de las ecuaciones (1.74) y (1.78), se tiene que Tint =
√
2T .
Figura 1.11: Duración temporal de un pulso gaussiano medida a 1/e en intensidad.
De las relaciones (1.65) y (1.78), se tiene que TFWHM =
√
ln 2Tint.
Siendo la velocidad de la luz en el vacío c = 3×108m/s, el tiempo que le toma recorrer
la distancia de 810nm es t = 2,7 × 10−15s. El valor de λ0 = 810nm es de interes pues es
la longitud de onda con la que trabaja el láser pulsado que se tiene en el laboratorio de
pulsos ultracortos del CCADET. Si tenemos un pulso de luz láser con una longitud de
onda de la portadora λ0 = 810nm, en t = 2,7 × 10−15s, el campo eléctrico habrá descrito
una oscilación completa, con base en ello graficamos los campos y el perfil de intensidad,
la gráfica para dicho pulso define un ciclo.
A continuación se muestra la oscilación del campo para un pulso con una duración
Tint = 2,7fs medido con el criterio 1/e, también para la duración 2,7/
√
2, lo que cor-
responde a T = 2,7fs. Después se muestran las oscilaciones del campo considerando el
criterio FWHM para las mismas duraciones del pulso, en este caso el tiempo TFWHM se
indica como τp que corresponde a la notación del libro de Diels [82]. Y finalmente medido
a 1/2 pero en campo, lo que se indica con la letra τ .
18
1.6. Criterios para la duración temporal de pulsos gaussianos 19
Duración medida a 1/e
(a) Tint = 2,7fs (b) Tint = 2,7fs
(c) T = 2,7fs (d) T = 2,7fs
Duración medida a 1/2
(e) τp = 2,7fs (f) τp = 2,7fs
(g) τ = 2,7fs (h) τ = 2,7fs
Figura 1.12: Se muestran las oscilaciones del campo eléctrico de pulsos creados con una modulación
gaussiana, para λ = 810nm y con diferentes duraciones. La figura (b) muestra un ancho
de 2.7fs medidos a 1/e en el perfil de intensidad U2, a este tiempo se ha llamado Tint, la
figura (a) muestra el perfil del campo eléctrico asociado. La figura (c) muestra el campo
U con un ancho de 2.7fs medidos a 1/e, a esta duración temporal se ha nombrado T , la
figura (d) es el perfil de intensidad asociado a dicho campo. La figura (f) muestra el perfil
de intensidad con ancho 2.7fs medidos a 1/2 correspondiente a τp o TFWHM , la figura
(e) muestra el campo asociado. De manera análoga a la presentación de la figura (c), se
presentan la figura (g), la cual muestra perfiles con duración de 2.7fs medidos en campo a
la mitad del valor máximo, el perfil de intensidad asociado a este campo, se presenta en la
figura (h).
19
20 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
A continuación se muestran las oscilaciones de pulsos de diferentes duraciones con una
frecuencia de la portadora de λ0 = 810nm. El tiempo de cada pulso ha sido tomado cuando
la intensidad cae a 1/e de su valor máximo en el perfil de intensidad, Tint.
Campo Intensidad
Figura 1.13: Oscilaciones del campo eléctrico de pulsos creados con una modulación gaussiana, con
diferentes duraciones medidos a 1/e en el perfil de intensidad, para λ0 = 810nm.
20
1.7. Aberraciones de Seidel 21
Campo Intensidad
Figura 1.14: Oscilaciones del campo eléctrico de pulsos creados con una modulación gaussiana, con
diferentes duraciones medidos a 1/e en el perfil de intensidad, para λ0 = 810nm.
1.7. Aberraciones de Seidel
Cuando se busca una imagen de un objeto con la ayuda de una lente, la imagen
resultante puede tener diferencias respecto al objeto original, tanto de color como de forma,
a estas diferencias se les ha dado el nombre de aberraciones. Existen dos clasificaciones
principales entre las aberraciones, las aberraciones cromáticas, las cuales surgen del hecho
que el índice de refracción es función de la frecuencia y las aberraciones monocromáticas,
que tienen lugar aún cuando la luz del objeto sea altamente monocromática. A su vez las
21
22 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
aberraciones monocromáticas se dividen en dos subgrupos: las aberraciones que deterioran
la imagen haciéndola confusa como son la aberración esférica, coma y astigmatismo y las
aberraciones que deforman la imagen como lo son la curvatura de campo de Petzval y la
distorsión.
En la aberración cromática cada frecuencia tiene un foco distinto y experimenta una
desviación distinta. Esto hace que la imagen no se forme en un único punto, sino que
dependiendo de la longitud de onda, cada punto del objeto va a diferentes puntos en la
imágen, llegando a obtener imágenes de distinto color.
A continuación se presentan las expresiones para las diferentes aberraciones monocromáti-
cas y se pondra énfasis en la aberración esférica, la cual usaremos en las siguientes secciones.
Cuando se obtiene la imagen de algún objeto, que ha sido enfocado por una lente,
las modificaciones observables en la imagen, se deben a que el frente de onda que viaja
desde el objeto hasta el detector, va modificándose por las características de la lente. A la
diferencia del frente de onda ideal (o la imagen ideal, Σ) y el frente de onda real (la imagen
detectada Σ′) se le denomina aberración del frente de onda. Esta cantidad es medible y
la denotaremos con la letra W (x, y) = Σ′ − Σ, en la figura (1.15), se puede observar el
sistema de coordenadas.
Figura 1.15: Sistema de coordenadas.
Para abordar el problema de describir W , se supone que el sistema es rotacionalmente
simétrico, i.e., que se tiene invariancia ante rotaciones, por lo tanto, la descripción de W
debe ser función de x2 + y2, ξ2 + η2 y xξ + yη, tal que
W (x, y, ξ, η) = W (x2 + y2, ξ2 + η2, xξ + yη)
por la simétria rotacional, la descripción puede simplificarse, de tal manera que W es una
función de:
W (x, y, η) = W (x2 + y2, η2, yη)
La forma más sencilla de evaluar la diferencia entre los frentes de onda, W = Σ′ − Σ, es
considerar que los frentes de onda son superficies que se pueden describir por medio de
22
1.7. Aberraciones de Seidel 23
desarrollos polinomiales, de tal forma que
W (x, y, η) = a1(x
2 + y2) + a2(yη) + a3η
2 +
+ b1(x
2 + y2)2 + b2(x
2 + y2)(yη) +
+ b3(yη)2 + b4η
2(x2 + y2) +
+ b5η
2(yη) + b6(η
4)2 + ...
donde los puntos suspensivos indican términos de orden superior en x, y y η. En x = 0,
y = 0, se debe tener W = 0, pues se esta sobre el eje, por lo tanto, a3η
2 + b6η
4 =
0, lo que conduce a a3 = b6 = 0. El término a1(x
2 + y2) corresponde al desenfoque y
a2(yη) corresponde al efecto de la inclinación sobre la imagen, estos dos efectos no son
considerados como aberración. Los cinco términos que restan (b1, b2, b3, b4, b5) se conocen
como las aberraciones de Seidel [91], pues fue él quien describió en base a polinomios, la
diferencia de los frentes de onda, descrita por la siguiente expresión
W (x2, y2, η) =
SI
8
(
x2 + y2
ρ2
)2
+
SII
2
(
x2 + y2
ρ2
)(
y
ρ
)(
η
ηmax
)
+
SIII
2
(
y
ρ
)2(
η
ηmax
)2
+
(SIII + S
IV
)
4
(
x2 + y2
ρ2
)(
η
ηmax
)2
+
SV
2
(
y
ρ
)(
η
ηmax
)3
donde ρ corresponde al radio de la lente. Los coeficientes S son los llamados términos
de Seidel, cada uno determina un tipo de aberración en la imagen. Para cada término a
continuación se indica el nombre del tipo de aberración asociada.
SI = −A2h∆
(u
n
)
Aberración esférica (1.79)
SII = −AAh∆
(u
n
)
Aberración de coma (1.80)
SIII = −A
2
h∆
(u
n
)
Astigmatismo (1.81)
SIV = −H2c∆
( 1
n
)
Curvatura de campo (1.82)
SV =
A
A
(SIII + SIV ) Distorsión (1.83)
Donde A = ni = n′i′ es el invariante de refracción, ρ es la altura del rayo paraxial marginal
en la pupila de salida, (el radio de la lente en nuestra siguiente descripción) ∆(u/n) =
23
24 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
u′/n′−u/n, donde n, n′ son los índices de refracción antes y después de refractarse el rayo
y u, u′ son los ángulos del rayo paraxial marginal con el eje óptico antes y después de
refractarse. A = ni = n′i
′
, donde i, i
′
son los ángulos de incidencia y refracción del rayo
paraxial marginal. c = 1/R denota la curvatura de la superficie. H = nuη es el invariante
integral de Lagrange y η es la altura del objeto.
En la figura (1.16), se describen las coordenadas de un rayo refractado por una super-
ficie esférica de radio R que separa dos medios, el primero de índice de refracción n y el
segundo de índice de refracción n′.
Figura 1.16: Refracción de un rayo por una superficie esférica de radio R
1.7.1. Aberración Esférica
Los rayos paralelos al eje óptico reflejados (caso de los espejos) o refractados (caso
de las lentes) se concentran en el foco, sin embargo, ese punto focal es diferente para
los rayos que son paraxiales que para los que van alejados del eje de la lente. Los rayos
marginales (no paraxiales) se desvían en su refracción de tal forma que son enfocados
antes del foco de los rayos paraxiales. La distancia comprendida entre la intersección con
el eje, de un rayo cualquiera y el foco paraxial, f0 es conocida como la aberración esférica
longitudinal de dicho rayo [56–58]. De manera similar, en la dirección perpendicular al
eje óptico, se define la aberración esférica transversal. Adicionalmente cuando los rayos
paralelos se propagan en dirección paralela al eje óptico de la lente, entonces solo se
introduce aberración esférica. En la presente tesis suponemos que incide un haz colimado,
i.e., rayos paralelos, propagandose paralelos al eje óptico de la lente.
24
1.7. Aberraciones de Seidel 25
Figura 1.17: Aberración esférica longitudinal.
Para encontrar la aberración esférica longitudinal (AEL), de una lente, podemos supon-
er por simplicidad que la lente es una lente delgada. La ecuación de Gauss para una lente
delgada establece que la distancia focal f , depende del índice de refracción y de los radios
de curvatura de las superficies esféricas que forman la lente de la forma [65, 78]:
1
f
=
(n − nm
nm
)( 1
R1
− 1
R2
)
(1.84)
donde nm es el índice de refracción que rodea la lente, si la lente está en aire, entonces
nm = 1, por lo que la distancia focal de una lente delgada, esta descrita por la ecuación
1
f
= (n − 1)
( 1
R1
− 1
R2
)
(1.85)
donde n es el índice de refracción del vidrio de la lente, R1 y R2 son los radios de curvatura
de la lente. Para el caso de un doblete, la distancia focal efectiva de este sistema esta
definida por la ecuación:
1
f
=
1
f01
+
1
f02
(1.86)
donde la distancia focal de cada una de las lentes que lo conforman esta determinado por:
1
f01
= (n1 − 1)
( 1
R1
− 1
R2
)
(1.87)
1
f02
= (n2 − 1)
( 1
R2
− 1
R3
)
(1.88)
25
26 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Figura 1.18: Radios de curvatura de un doblete.
Donde n1, R1 y R2 corresponden al índice de refracción y los radios de curvatura de
la lente 1. Para la lente 2, el índice de refracción es n2, y los radios de curvatura son R2
y R3. En un doblete, las lentes quedan cementadas, es decir el radio de curvatura es el
mismo sobre la superficie de contacto. Los índices de refracción, n1 y n2 son los índices
de refracción para la frecuencia de la onda portadora. Cada lente tiene un grosor central
dado por d1 y d2. La aberración de la lente o doblete, esta determinado por el número de
onda ka, multiplicado por la diferencia del frente de onda W (x, y; η)
Θ(x, y; η) = kaW (x, y; η) (1.89)
Las coordenadas a las que se hace mención, estan descritas en las figuras (1.15). ka es el
número de onda asociado a cada frecuencia del pulso en el aire.
Para un doblete, la diferencia de fase W , puede ser descrito en términos de la suma
de las funciones de Seidel S1 y S2 [91]. La función de Seidel que describe la aberración
esférica para una lente delgada, cuando el diafragma esta localizado en la lente, esta dada
por la expresión:
S(ρ) =
ρ4
4f 3
[( n
n + 1
)2
+
( n + 2
n(n − 1)2
)(
B +
(2(n2 − 1)C
n + 2
)2
− nC2
n + 2
)]
(1.90)
donde B es el factor de forma definido por
B =
ς1 + ς2
ς1 − ς2
(1.91)
donde ς1 = 1/R1, ς2 = 1/R2 y C es el factor conjugado descrito por
C =
u + u′
u − u′
(1.92)
donde u y u′ son los ángulos del rayo paraxial marginal en el espacio objeto y en el espacio
imagen, respectivamente medidos respecto al eje óptico de la lente, figura (1.16).
La aberración esférica puede evitarse con un diafragma (disco opaco centrado en el eje
con un orificio central) que elimine los rayos no paraxiales, sin embargo, también se reduce
la resolución de la lente.
26
1.8. Lente delgada como una transformación de fase 27
1.8. Lente delgada como una transformación de fase
Una lente esta compuesta por un material que es ópticamente denso, normalmente un
vidrio de índice de refracción cercano a n ≈ 1,5 por lo que la velocidad de la propagación
óptica es menor que la propagación en el aire. La descripción de una lente delgada puede
hacerse si el rayo que incide a cierta altura en una de sus superficies sale con una altura
similar, por lo que es despreciable la traslación de un rayo dentro de la lente. Una lente
delgada siempre retrasa la fase de un frente de onda incidente una cantidad proporcional
a su espesor en cada punto.
(a) (b)
Figura 1.19: Esquema de la lente, en (a) se muestra la vista frontal y las coordenada de la lente, en
(b) la lente vista de perfil, donde se aprecian el ancho máximo d y el ancho ∆ para las
coordenadas (x, y).
Siendo d el máximo espesor de la lente a lo largo del eje óptico y ∆(x, y) el espesor que
tiene en las coordenadas (x, y). El defase total sufrido por la onda al atravesar la lente por
el punto de coordenadas (x, y), se puede escribir como:
Φ(x, y) = kn∆(x, y) + k[d − ∆(x, y)] (1.93)
donde n es el índice de refracción del material, kn∆(x, y) el defase introducido por la lente
y k[d−∆(x, y)] el introducido por el espacio restante que queda entre los dos planos. Por
lo que los números de onda empleados son diferentes, mientras que en la lente el número
de onda es kℓ, en el aire toma el valor ka. De tal forma que la fase queda
Φ(x, y) = kℓnℓ∆(x, y) + kana[d − ∆(x, y)] (1.94)
Podemos aproximar na ≈ 1. De manera equivalente, el efecto producido por una lente se
puede representar por medio de una transformación de fase:
tℓ = eikadei(kℓnℓ−ka)∆(x,y) (1.95)
El campo U ′
ℓ(x, y) sobre un plano inmediatamente detrás de la lente se relaciona con el
campo incidente sobre un plano inmediatamente delante de la lente por la expresión:
U ′
ℓ(x, y) = tℓUℓ(x, y) (1.96)
27
28 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Para tener una descripción completa vamos a determinar la función ∆(x, y) que es la
función espesor y que determina los efectos de la lente.
(a) (b) (c)
Figura 1.20: Esquema de los anchos de la lente, dividida en tres partes.
Tomando que el radio de curvatura de cada superficie convexa sea considerado positivo
y el de cada superficie cóncava negativo. En la figura (1.20a) el radio de curvatura de la
superficie de la izquierda de la lente es un número positivo R1, mientras que el radio de
curvatura de la superficie de la derecha es negativo R2, figura (1.20c).
Para calcular el espesor ∆(x, y) se divide a la lente en tres partes, como se muestra en
la figura (1.20) y escribimos la función espesor como la suma de las tres funciones espesor
individuales:
∆(x, y) = ∆1(x, y) + ∆2(x, y) + ∆3(x, y) (1.97)
Por las indicaciones en la figura sobre la geometría de las superficies, la primer función
espesor esta determinada por:
∆1(x, y) = ∆01(x, y) − (R1 −
√
R2
1 − x2 − y2)
= ∆01(x, y) − R1
(
1 −
√
1 − x2 + y2
R2
1
)
(1.98)
La segunda componente de la función espesor corresponde a una lámina de vidrio de
espesor ∆02 constante. La tercer componente viene dada por:
∆3(x, y) = ∆03(x, y) − (R2 −
√
R2
2 − x2 − y2)
= ∆03(x, y) + R2
(
1 −
√
1 − x2 + y2
R2
2
)
(1.99)
Sumando las tres expresiones se obtiene la función del espesor total, dada por:
∆(x, y) = d − R1
(
1 −
√
1 − x2 + y2
R2
1
)
+ R2
(
1 −
√
1 − x2 + y2
R2
2
)
(1.100)
28
1.8. Lente delgada como una transformación de fase 29
donde d = ∆01 + ∆02 + ∆03. Si ahora se considera a las partes del frente de onda situadas
cerca de la lente, es decir a los rayos paraxiales, por lo que sólo se toman valores de x y y
suficientemente pequeños tal que se puede aproximar la raíz por:
√
1 − x2 + y2
R2
1
≈ 1 − x2 + y2
2R2
1
,
√
1 − x2 + y2
R2
2
≈ 1 − x2 + y2
2R2
2
(1.101)
La transformación de fase es sólo para la región paraxial, esta misma aproximación se
toma en la óptica geométrica. De esta manera la función espesor esta descrita por:
∆(x, y) = d − x2 + y2
2
(
1
R1
− 1
R2
)
(1.102)
Sustituyendo (1.102) en la fase, se tiene:
Φ = kad + (kℓnℓ − ka)
[
d − x2 + y2
2
( 1
R1
− 1
R2
)]
= kℓnℓd + (ka − kℓnℓ)
(x2 + y2
2
)( 1
R1
− 1
R2
)
(1.103)
obtenemos la transformación producida por la lente:
tℓ = eikℓnℓd exp
{
− i(kℓnℓ − ka)
x2 + y2
2
(
1
R1
− 1
R2
)}
(1.104)
Esta ecuación representa los efectos de una lente delgada sobre una perturbación incidente.
Por ejemplo, si se tiene una onda plana que incide de manera normal sobre la lente, si la
distribución del campo Uℓ en el plano tangente a la cara anterior de la lente tiene el valor
constante 1, las ecuaciones (1.95) y (1.104) indican que el campo a la salida de la lente es:
U ′
ℓ(x, y) = eikℓnℓd exp
{
− i(kℓnℓ − ka)
x2 + y2
2
(
1
R1
− 1
R2
)}
(1.105)
Si la distancia focal es positiva, la onda esférica converge hacia el punto focal, situado en el
eje de la lente o eje óptico. Esta aproximación depende de la aproximación paraxial que se
ha considerado, cuando no se toma esta aproximación, se deben considerar las aberraciones
monocromáticas de la lente, en este trabajo consideraremos la aberración esférica de la
lente, dado que suponemos que el haz de luz llega colimado a la lente, paralelo al eje óptico
de ésta.
Una de las propiedades más importantes de una lente convergente es que mediante
una transformada de Fourier bidimensional, se puede describir su efecto sobre una onda
plana que incide sobre ella y llega al foco de la misma. Si suponemos que la iluminación
es monocromática, bajo esta suposición el sistema es coherente y lo que interesa es la
distribución de la amplitud en un plano frente a la lente, como por ejemplo, el plano focal
imagen de la lente.
29
30 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Figura 1.21: Configuración para la transformada de Fourier de una lente convergente.
Considerando una onda plana monocromática de amplitud A con transmitancia tA(x, y)
que incide normalmente sobre una lente convergente de distancia focal f iluminándola de
manera uniforme, como se muestra en la figura (1.21), entonces la perturbación sobre la
lente es:
U ′
ℓ(x, y) = AtA(x, y) (1.106)
Las dimensiones finitas de la abertura de la lente pueden ser tenidas en cuenta si se asocia
la función pupila P (x, y) definida por:
P (x, y) =
{
1 dentro de la lente
0 fuera de la lente
(1.107)
De la expresión (1.104), la distribución de amplitud detrás de la lente, i.e., cuando ha
pasado por la lente es:
U ′
ℓ(x, y) = Uℓ(x, y)P (x, y)eikℓnℓd exp
{
− i(kℓnℓ − ka)
x2 + y2
2
(
1
R1
− 1
R2
)}
(1.108)
Para determinar la distribución Uz(x2, y2) en el plano z localizado cerca de la posición
focal, se aplica la fórmula de difracción de Fresnel [94], el campo Uz esta descrito por:
Uz(x2, y2) ≈
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
U ′
ℓ(x, y) exp
{
ika
2z
((x − x2)
2 + (y − y2)
2)
}
dxdy (1.109)
Sustituyendo (1.108) en (1.109) se obtiene:
Uz(x2, y2) ≈
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
Uℓ(x, y)P (x, y)eikℓnℓd
× exp
{
− i(kℓnℓ − ka)
x2 + y2
2
(
1
R1
− 1
R2
)}
× exp
{
ika
2z
((x − x2)
2 + (y − y2)
2)
}
dxdy (1.110)
Por lo que, la distribución de campo Uz es proporcional a la transformada de Fourier
bidimensional de la parte del campo incidente limitada por la abertura de la lente.
30
1.9. Dispersión de la velocidad de grupo (GVD) 31
1.9. Dispersión de la velocidad de grupo (GVD)
El campo eléctrico de un pulso de femtosegundos antes de la lente en el plano A, es la
superposición de ondas planas monocromáticas, si t0 es el tiempo en el plano A, esto se
puede escribir como
EA(t0) =
1
π
∫ ∞
0
F (ω) exp(iωt0)dω (1.111)
t0 es el tiempo local en el plano A.
Figura 1.22: Una lente convierte ondas monocromáticas planas en un patrón de difracción de Airy. De-
bido a la aberración cromática, las diferentes componentes de Fourier de un pulso ultracorto,
son enfocadas en diferentes posiciones sobre el eje óptico. El frente del pulso frente a la
lente puede ser calculado como la superposición de los patrones de Airy de las componentes
de Fourier individuales.
La lente convierte a las ondas monocromáticas planas en ondas esféricas con un radio
de curvatura igual a f(ω) que convergen en el punto focal F . En la figura podemos ver
que la curva w, es el frente de fase justo detrás de la lente. Para conocer el campo eléctrico
en el punto Q, se debe calcular mediante la integral de difracción, indicada en la ecuación
(1.109).
Inicialmente en el plano A se ha considerado la fase igual a cero, después que el pulso
ha pasado por la lente, sobre la superficie w, la fase esta dada por:
ϕ(ω) =
ωn(ω)d
c
(1.112)
donde d es el grosor de la lente sobre el eje óptico, [95]. Para estudiar la evolución del
pulso en el tiempo, se expande la fase ϕ(ω) respecto a la frecuencia, con lo que se obtiene:
ϕ(ω) = ϕ(ω0) + (ω − ω0)
dϕ
dω
+
1
2
(ω − ω0)
2d2ϕ
dω2
+
1
6
(ω − ω0)
3d3ϕ
dω3
+ ... (1.113)
Cada término, tiene una repercusión distinta sobre el pulso que llega a una posición cercana
a la focal:
31
32 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
El término ϕ(ω0) es el cambio en la fase de la onda portadora, pero no tiene un
efecto sobre la forma del pulso, por lo que un pulso que se ha propagado por una
lente, después de la lente tendra la misma forma.
El término dϕ
dω
indica el tiempo que tarda el pulso en viajar por la lente y llegar a la
posición z, es una contante conocida como el retraso de grupo τg = z/vg. La forma
del pulso no es afectada por éste término.
El término d2ϕ
dω2 da un chirp lineal al pulso, el cambio de la variación temporal en
la frecuencia óptica instantánea a través del pulso al propagarse por un medio dis-
persivo. Este término corresponde a la dispersión de velocidad de grupo de segundo
orden, GVD de segundo orden.
El término d3ϕ
dω3 suma un chirp cuadrático al pulso, o sea un chirp no lineal. Los
términos cúbicos y mayores llegan a tener gran importancia cuando la duración del
pulso es menor a 20fs, esto se muestra en el capítulo 5. Este término corresponde a
la dispersión de velocidad de grupo de tercer orden, GVD de tercer orden.
A continuación se explica que es un pulso con chirp. Si la fase del pulso ϕ(t) varía con el
tiempo, de tal forma que la frecuencia instantanea varia con el tiempo, se dice que el pulso,
es un pulso con chirp [82,86]. La primer derivada de la fase se relaciona con la frecuencia
instantanea del pulso de la forma:
ω(t) = ω0 +
d
dt
ϕ(t) (1.114)
donde la frecuencia central del pulso es ω0. En la figura (1.23), se observa un pulso donde
su frecuencia varia con el tiempo, es decir, un pulso con chirp. Donde las oscilaciones de
la onda portadora no se encuentran igualmente espaciadas.
Figura 1.23: Campo eléctrico de un pulso con chirp.
En este trabajo de tesis los pulsos que inciden sobre la lente los hemos modelado como
pulsos sin chirp, también llamados pulsos limitados por su ancho de banda. Al pasar estos
32
1.9. Dispersión de la velocidad de grupo (GVD) 33
pulsos por la lente, se introduce chirp en los pulsos por la dispersión del material. En todo
el trabajo de tesis, el término que introduce chirp lineal en el pulso se hace igual a cero. La
justificación para hacer esto, es que el chirp lineal es un efecto que puede ser compensado
introduciendo la misma cantidad de chirp lineal, pero de signo contrario [54, 55], al pulso
que incide sobre la lente. De manera expeimental, se utiliza un compresor el cual puede
estar basado en un par de prismas de baja dispersión para introducir chirp lineal al pulso
que incide sobre la lente. Adicionalmente, para pulsos con duraciones temporales por
debajo de 30fs, el chirp lineal que introduce la lente al pulso domina sobre los otros efectos
que generan un ensanchamiento temporal en el pulso. Al compensar el chirp lineal es más
fácil observar el ensanchamiento temporal del pulso por chirp cuadrático o el generado por
la aberración cromática de la lente.
A partir de la derivada de segundo orden de la fase, que se indica en la ecuación (1.115),
la dispersión del material genera la dispersión de la velocidad de grupo o GVD [49,60].
ϕ(ω) = ϕ(ω0) + (ω − ω0)
dϕ
dω
+
1
2
(ω − ω0)
2d2ϕ
dω2
+
1
6
(ω − ω0)
3d3ϕ
dω3
+ ...
︸ ︷︷ ︸
Términos de GVD
(1.115)
La dispersión de la velocidad de grupo de segundo orden esta definida por la segunda
derivada del número de onda respecto a la frecuencia:
GVD =
d2k
dω2
=
d
dω
( 1
vg
)
(1.116)
Tomando la definición de a, (1.58) GVD= 2a.
El pulso debido a la dispersión por GVD, sufre un ensanchamiento en tiempo dado por
la ecuación (1.69). Este efecto es de suma importancia en el ensanchamiento temporal del
pulso.
Figura 1.24: Efecto de GVD sobre un pulso gaussiano que se propaga por una lente. Se observa que el
pulso se parte, perdiendo su forma gaussiana.
33
34 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Así que los términos de GVD estan dados por las derivadas a partir de la derivada de
segundo orden descritas en (1.115).
1.10. Diferencia en el tiempo de propagación (PTD)
Algunas aplicaciones importantes en las que se emplean pulsos de láser, requieren una
mayor intensidad, ésta se puede alcanzar enfocando el pulso con ayuda de una lente. Sin
embargo, el uso de lentes, para enfocar luz pulsada trae un efecto que ensancha al pulso,
conocido como PTD o diferencia en el tiempo de propagación. En esta sección trataremos
este tema.
Supongamos que sobre una lente ideal, incide luz colimada, propagándose paralela al
eje óptico de una lente. Por el principio de Fermat, en una lente ideal, el tiempo que le
lleva a las ondas viajar del frente de fase al punto focal de la lente es el mismo.
Suponiendo que sobre la lente ideal incide un frente de fase plano, después de pasar por
la lente ideal, el frente de fase es esférico, (el frente de fase es la superficie de fase constante,
en cambio el frente de pulso es la superficie que une los puntos de máxima intensidad de
los pulsos). Si sobre la misma lente incide un frente de pulso plano que coincide con el
frente de fase, al pasar por la lente ideal el frente del pulso no es esférico, sino que está
distorsionado como se muestra en (1.25).
Figura 1.25: Distorsión de un frente de pulso al pasar por una lente ideal (en fase).
En una lente ideal, de acuerdo con el principio de Fermat, la trayectoria óptica a lo
largo del rayo entre el frente de fase de entrada y el punto focal, es independiente de la
coordenada r. La lente transforma el frente de onda plano, en un frente de onda esférico
que converge en el foco paraxial. Tratando al aire como vacío, entonces sólo cuando el
pulso esta viajando a través de la lente, experimenta la velocidad de grupo vg diferente
34
1.10. Diferencia en el tiempo de propagación (PTD) 35
a la velocidad de fase v = c/n. El resultado es un frente de pulso que tiene un retraso
respecto al frente de fase esférico, dependiendo de la cantidad de vidrio por la que haya
viajado. La velocidad de grupo es:
vg =
( dk
dω
)−1
=
c
n − λℓ
dn
dλ
(1.117)
donde λℓ es la longitud de la onda en el vacío. La diferencia en el tiempo de propagación
(PTD por sus siglas en inglés Propagation Time Difference), entre el frente de fase y el
frente del pulso después que ha pasado por la lente, depende de la coordenada r y esta
determinado por:
∆T =
(1
v
− 1
vg
)
L(r) (1.118)
donde L(r) es el grosor de la lente a la altura r. Una forma en la que se modela el pulso
que pasa por una lente, es que por cada rayo, se tiene un pulso de la misma duración
Tint, el pulso viaja sobre la trayectoría indicada por el rayo [102]. El retraso ∆T (r) es la
diferencia entre el tiempo en el que llega el pulso que viaja por la lente a la altura r del
eje y el pulso que viaja por el borde de la lente. El pulso que viaja sobre el eje (r = 0)
llegará retrasado al plano focal de una lente positiva comparado con el pulso que pasa a
la distancia r > 0. Para una lente esférica delgada, el grosor L esta dado por:
L(r) =
r2
0 − r2
2
( 1
R1
− 1
R2
)
(1.119)
donde R1 y R2 son los radios de curvatura de la lente y r0 es el semidiámetro de la lente.
Sustituyendo las expresiones para la velocidad de grupo (1.117) y para el grosor de la lente
(1.119) en la ecuación (1.118) obtenemos la diferencia en el tiempo de llegada entre dos
pulsos que pasan a través de la lente, a diferentes alturas, indicadas por el borde y a la
altura r:
∆T ′(r) = ∆T (r) − ∆T (r0)
=
r2
0 − r2
2c
( 1
R1
− 1
R2
)(
λ
dn
dλ
)
=
r2
0 − r2
2c
λ
d
dλ
(1
f
)
(1.120)
donde la distancia focal f es:
1
f
= (n − 1)
( 1
R1
− 1
R2
)
(1.121)
La ecuación (1.120) muestra la conexión entre la dependencia radial del atraso del pulso
y la cromáticidad de la lente:
∆T ′(r) ≈ d
dλ
( 1
f
)
(1.122)
35
36 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Para un haz que incide sobre la lente a una altura rb la duración temporal del pulso en el
foco puede ser estimado con la diferencia en el tiempo de llegada ∆T ′ de un pulso sobre
un rayo axial y el pulso que pasa por la lente a rb, [73].
∆T ′(rb) =
r2
b
2c
λ
d
dλ
( 1
f
)
(1.123)
Esta ecuación puede reescribirse en términos de la derivada del índice de refracción
respecto a la longitud de onda,
∆T ′(rb) =
r2
b
2c
λ
d
dλ
(1
f
)
(1.124)
=
r2
b
2c
λ
d
dλ
(
(n − 1)
( 1
R1
− 1
R2
))
=
r2
b
2c
λ
f(n − 1)
dn
dλ
En lo sucesivo llamaremos PTD a la diferencia del tiempo de llegada de un pulso que se
propaga por el eje óptico y el que pasa por la altura rb, indicado por la cantidad ∆T ′(rb),
i.e., PTD= ∆T ′(rb), [95].
Figura 1.26: Los pulsos propagándose a diferentes alturas de una lente, llegan con una diferencia de
tiempo dada por la diferencia en el tiempo de propagación.
En la figura los colores de los pulsos son solo esquemáticos para mostrar el hecho de
que pulsos propagándose a diferentes alturas llegan en diferentes tiempos. Todos los pulsos
tienen la misma frecuencia de la onda portadora.
Así que además de la dispersión del pulso por el efecto de GVD, hay un ensanchamiento
del pulso por la aberración cromática de la lente.
36
1.11. Transformación espacial y temporal de un pulso que ha pasado por una
lente. 37
En términos de la frecuencia angular podemos expresar a la diferencia del tiempo de
propagación del pulso marginal y el que viaja por el centro de la lente de radio a con la
relación
∆T ′ =
a2k0
2f0(n0 − 1)
dn
dω
∣
∣
∣
ω=ω0
(1.125)
donde a es el semidiámetro de la lente circular, f0 la distancia focal para la frecuencia ω0,
k0 = ω0/c es el vector de onda de la frecuencia ω0 de la portadora y n0 = n(ω0) es el índice
de refracción del material.
Como hemos mencionado, el efecto de PTD proviene de la aberración cromática como
lo expresa la ecuación (1.123). Se origina debido a que la luz de un pulso láser no es
monocromática, pues para la longitud de onda de la portadora se tiene un ancho de
banda asociado. Las distintas frecuencias del pulso tienen distintas velocidades dentro del
material de las lentes y por lo tanto distinto índice de refracción. Por lo que, el efecto de
PTD, puede ser anulado si usamos lentes acromáticas ideales i.e., aquellas que cumplan
d
dλ
(1
f
)
= 0 (1.126)
En la práctica las lentes acromáticas tienen un remanente de color llamado espectro
secundario que genera PTD, en cuyo caso es necesario usar una lente apocromática, las
cuales, no tienen dicho remanente de color.
1.11. Transformación espacial y temporal de un pulso
que ha pasado por una lente.
Para tener una descripción completa de la evolución espacial y temporal de un pulso
cerca del foco paraxial, en esta sección vamos a estudiar como el campo de un pulso de
luz que se enfoca por una lente, es afectado por los efectos de la aberración esférica de la
lente (A), por la dispersión de la velocidad de grupo (GVD) y la diferencia en el tiempo
de propagación (PTD).
La figura (1.27) muestra la geometría de una lente delgada circular de semidiámetro a y
distancia focal f0, las coordenadas de la lente están descritas por (x1, y1), las coordenadas
en el plano imagen por las coordenadas (x2, y2).
37
38 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Figura 1.27: Las coordenadas de la lente estan caracterizadas por (x1, y1), las coordenadas del plano
focal por (x2, y2).
Sobre la lente incide un pulso de luz formado por la superposición de ondas planas
monocromáticas cuya amplitud esta determinada por A(∆ω). La iluminación esta deter-
minada por la función U0, en el desarrollo de este trabajo la iluminación siempre será
uniforme e igual a 1 y estará limitada por la pupila P (x1, y1). En el marco de la óptica de
Fourier, el campo a la distancia z frente a la lente que ha sido afectado por el cambio de
fase producido por la lente y la aberración esférica, esta dado por:
U(x2, y2, z, ∆ω) ≈
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
dx1dy1P (x1, y1)U0(x1, y1)A(∆ω)
× Φ(x1, y1)e
−iΘ(x1,y1)ei ka
2z
[(x2−x1)2+(y2−y1)2] (1.127)
Las funciones que se indican en la ecuación (1.127), son las siguientes:
P : función pupila
U0: iluminación (uniforme)
Θ: aberración esférica
Φ: fase producida por la lente
A: amplitud del pulso (gaussiano)
El cambio de fase producido por la lente y por la propagación de la onda en el aire, esta
descrito por el término de fase
Φ(x1, y1) = eikℓnℓd exp
{
− i(kℓnℓ − ka)
(x1 + y1)
2
2
( 1
R1
− 1
R2
)}
(1.128)
donde kℓ denota el número de onda en la lente y ka denota el número de onda en el aire.
R1 y R2 son los radios de curvatura de la superficie de la lente y d es el grosor de la lente
a lo largo del eje óptico.
38
1.11. Transformación espacial y temporal de un pulso que ha pasado por una
lente. 39
Un pulso de luz láser es caracterizado por su frecuencia central o frecuencia de la onda
portadora ω0 y su ancho de banda ∆ω alrededor de ω0. Típicamente ∆ω << ω0, por lo
que podemos estudiar la evolución del pulso en el tiempo expandiendo ω(k) alrededor del
valor k0 en términos de la serie de Taylor, o el número de onda con respecto a la frecuencia.
La expansión puede tomarse hasta cierto orden, al tomarlo hasta segundo o tercer orden,
se describen los efectos de GVD de segundo y tercer orden.
Expandiendo el número de onda alrededor de la frecuencia central ω0 a tercer orden,
el número de onda queda expresado por:
kℓnℓ =
ω0
c
n(ω0) +
d
dω
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
+
1
2
d2
dω2
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2
+
1
6
d3
dω3
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
3 (1.129)
donde ω−ω0 = ∆ω describe el intervalo de frecuencias que forman al pulso. Si la expansión
se realiza hasta el segundo orden, el último renglón de la ecuación (1.129) no aparece. Con
esta expansión se puede analizar la propagación temporal del pulso. A continuación se
presenta de forma breve un análisis de las modificaciones que sufre el campo hasta la
posición z frente a la lente sobre el eje óptico de la misma. El desarrollo completo, a
segundo y tercer orden se encuentra en el apéndice A y B respectivamente.
kℓnℓ =
ω
c
n(ω) ≈ k0n0[1 + a1∆ω + a2(∆ω)2 + a3(∆ω)3] (1.130)
donde ∆ω es el ancho espectral del pulso incidente, y los factores a1, a2, y a3, estan
definidos en las siguientes expresiones:
a1 ≡ 1
ω0
+
1
n0
dn(ω)
dω
|ω=ω0
a2 ≡ 1
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
a3 ≡ 1
2ω0n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0 +
1
6n(ω0)
d3n(ω)
dω3
|ω=ω0
(1.131)
La diferencia entre el número de onda en la lente por el índice de refracción de la lente y
el número de onda en el aire por el índice de refracción en el aire, que permite calcular el
cambio de fase producido por la lente y por la propagación de la onda en el aire, se puede
expresar por la relación:
kℓnℓ − kana =
ω
c
[n(ω) − 1] ≈ k0(n0 − 1)[1 + b1∆ω + b2(∆ω)2] (1.132)
39
40 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Donde el número de onda k0 es igual al número de onda evaluado para la frecuencia de
la onda portadora k0 = k(ω0) y el índice de refracción n0, también se evalúa para la
frecuencia de la onda portadora, n0 = n(ω0). Los valores b1,2 pueden obtenerse de a1,2
reemplazando n0 por n0 − 1, donde se ha aproximado el valor del índice de refracción del
aire, na ≈ 1, que corresponde al vacío. El desarrollo completo de estas operaciones se tiene
en el apéndice A y B. La distancia focal de la lente para la frecuencia ω0 esta descrita por
1
f0
= (n0 − 1)
( 1
R1
− 1
R2
)
(1.133)
Si la lente funciona como pupila, descrita por una abertura circular de radio ρ, entonces
ρ = a y la pupila puede ser descrita por:
P (x1, y1) =
{
1 x2
1 + y2
1 = r2
1 = (ρr)2 donde r ∈ [0, 1]
0 otro caso
(1.134)
Debido a la simetría circular de la pupila, es conveniente definir coordenadas polares
(r, θ), donde
r1 =
√
x2
1 + y2
1 tan(θ) = y1/x1
y además se introducen las coordenadas ópticas [15], donde r2 es la coordenada radial en
el plano imagen y z es la coordenada sobre el eje óptico medida a partir del foco paraxial,
de tal forma, que si z = f0 la coordenda u toma el valor de cero
u ≡ ρ2k0
( 1
f0
− 1
z
)
, v ≡ ρr2k0
f0
,
el número de Fresnel esta definido por:
N = ρ2k0/2f0
Además se supone que el pulso tiene una modulación gaussiana, por lo que
A(∆ω) = A0e
−(T∆ω
2
)2
donde T es la duración del pulso, medida en el campo a 1/e. Una vez que se ha integrado
sobre el ángulo θ, el campo a la distancia z frente a la lente, esta descrito por la expresión:
U(u, v, ∆ω) = A0
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)
× e
[ iv2
4N
](1+∆ω
ω0
)
e−i r2u
2 J0
(
vr
(
1 +
∆ω
ω0
))
(1.135)
40
1.11. Transformación espacial y temporal de un pulso que ha pasado por una
lente. 41
donde J0 es la función de Bessel de orden cero. En la ecuación (1.135), se han definido los
siguientes parámetros:
τ ′ ≡ k0(n1d1a
1
1 + n2d2a
2
1) (1.136)
δ′ ≡ k0(n1d1a
1
2 + n2d2a
2
2) (1.137)
γ′ ≡ k0(n1d1a
1
3 + n2d2a
2
3) (1.138)
τ ≡ k0ρ
2
2
((n01 − 1)b1
1
R1
− (n01 − 1)b1
1
R2
+
(n02 − 1)b2
1
R2
− (n02 − 1)b2
1
R3
− k0ρ
2
2ω0f0
)
+
u
2ω0
τ ≡ PTD +
u
2ω0
(1.139)
δ ≡ ρ2k0
2
((n01 − 1)b1
2
R1
− (n01 − 1)b1
2
R2
+
(n02 − 1)b2
2
R2
− (n02 − 1)b2
2
R3
)
(1.140)
γ ≡ ρ2k0
2
((n01 − 1)b1
3
R1
− (n01 − 1)b1
3
R2
+
(n02 − 1)b2
3
R2
− (n02 − 1)b2
3
R3
)
(1.141)
Estos parámetros se pueden leer en el trabajo de Kempe [15], únicamente el primer término
del parámetro τ , es el término que describe la diferencia del tiempo de propagación PTD.
Por lo que, en la ecuación (1.139) lo hemos escrito explicitamente, ya que en el artículo
de Kempe, solo menciona que τ es el término relacionado con PTD.
La amplitud en términos del tiempo se obteniene calculando la transformada de Fourier
de esta última relación, de tal manera que
U(u, v, t) ∝
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i∆ωtU(u, v, ω) (1.142)
Haciendo el cálculo correspondiente y considerando que el ancho de frecuencias es mucho
menor a la frecuencia central, i.e. ∆ω/ω0 → 0, se puede expresar la amplitud del campo
como
U(u, v, t) ∝ A0
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)A(ω)e−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]e−i∆ω[t−τ ′+τ(u)r2]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)
× J0(rv)e−
iur2
2 (1.143)
Considerando la iluminación uniforme tal que U0(r) = 1, se obtiene
U(u, v, t) ∝
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdre−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]e−i∆ω[t−τ ′+τ(u)r2]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)
× J0(rv)e−
iur2
2 (1.144)
41
42 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Los parámetros τ, τ ′ tienen las dimensiones de tiempo δ, δ′ de tiempo al cuadrado y
γ, γ′ de tiempo al cubo. Estos valores están determinados por la frecuencia central ω0 del
pulso y los parámetros de la lente f0 y n0, a la frecuencia de la onda portadora.
Los términos de fase que contienen δ y δ′ son causados por la dispersión de la velocidad
de grupo GVD, dentro del material de la lente y se identifican como el efecto de GVD de
segundo orden. El término δ′(∆ω)2 es la responsable de la modulación de la fase obtenida
por un pulso cuando ha pasado por el eje óptico de la lente, donde el grosor es d. El término
de fase δr2(∆ω)2 causa un chirp que depende de r y es un resultado del enfocamiento de
la lente. El ensanchamiento del pulso a segundo orden puede evitarse con un dispositivo
compuesto por un par de prismas [54].
Los términos de fase que contienen γ y γ′ son causados por la dispersión de la velocidad
de grupo GVD de tercer orden. Estos términos cobran mayor importancia cuando la
duración del pulso es menor a 20fs, esto se muestra en el capítulo 5. Cuando se toma la
expansión del número de onda hasta el segundo orden, estos términos no aparecen en el
desarrollo.
La relación (1.144) muestra un retraso en tiempo, τ ′, en la amplitud de las ondas
parciales, lo que contribuye al patrón de difracción. Este retardo que es independiente
del radio r, i.e. τ ′ no es de interés en esta discusión, pues sólo provoca un corrimiento
en el tiempo en el que llega el pulso a la posición z sobre el eje óptico y no provoca una
distorsión del pulso.
El retraso τ − u/2ω0, en el plano focal es igual al retraso en el tiempo entre el frente
del pulso (o el frente descrito por la superficie de intensidad máxima) y el frente de
fase (descrito por la superficie de fase constante). Este retraso es el efecto como PTD o
diferencia en el tiempo de propagación.
Cuando se realiza la expansión hasta el segundo orden y se toma la aproximación
∆ω/ω0 → 0, la integral sobre las frecuencias tiene solución analítica, y el campo difractado
en la región paraxial tiene la siguiente forma
U(u, v, t) =
∫ 1
0
rdre−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)ei( v2
4N
− r2u
2
)
× J0(vr)
√
π
(T 2/4) − i(δ′ − r2δ)
e
(t−τ ′+r2τ)2
T2
−4i(δ′−r2δ) (1.145)
Por lo que debe resolverse la integral en espacio con ayuda de un método numérico. En
este trabajo no consideraremos el efecto de GVD de segundo orden, pues este efecto puede
corregirse con un par de prismas, por lo que los términos de δ y δ′ no aparecen en nuestra
expresión final del campo difractado
U(u, v, t) =
∫ 1
0
rdre−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)ei( v2
4N
− r2u
2
)
× J0(vr)
√
π
(T 2/4)
e
(t−τ ′+r2τ)2
T2 (1.146)
42
1.12. Segundos momentos, como medida del ensanchamiento espacial y
temporal 43
En los capítulos siguientes a esta expresión se ha llamado ”la solución análitica en las
frecuencias”.
Cuando se toma la expansión del número de onda a tercer orden, la expresión del
campo difractado es (1.144), en este caso, la integral en frecuencias no tiene una solución
analítica, por lo que la solución en espacio y en frecuencias, debe encontrarse con algún
método numérico.
A partir de la expresión del campo difractado, podemos determinar la intensidad del
pulso en tiempo y en espacio, las cuales estan determinadas por las expresiones [110,111]:
I(t) ∝
∫ ∞
0
dvv|U(v, t)|2 (1.147)
I(v) ∝
∫ ∞
−∞
dt|U(v, t)|2 (1.148)
El término de v en la expresión de I(t) se debe al jacobiano de las coordenadas polares.
1.12. Segundos momentos, como medida del ensanchamien-
to espacial y temporal
Para medir la duración temporal de un pulso con un perfil gaussiano, se puede usar
un criterio de medición como el medir a 1/e del perfil de intensidad dando la medida Tint.
Sin embargo, por el efecto de GVD, el pulso se parte perdiendo su forma gaussiana y se
debe usar otra forma de medir el ancho del pulso, tanto en espacio como en tiempo. Para
pulsos que no tienen una forma gaussiana, es mejor tomar la medición del ancho del pulso
con ayuda de los segundos momentos del campo eléctrico. De manera general siendo f(x)
una función que depende de la variable x, el momento de orden n para x, esta definido
por, [82]:
< xn >=
∫ ∞
−∞
xn|f(x)|2dx
∫ ∞
−∞
|f(x)|2dx
(1.149)
Un buen criterio para el ancho de la distribución es la desviación cuadrática media, definida
por:
< ∆x >=
√
< x2 > − < x >2 (1.150)
La representación explicita en el dominio del tiempo (t) y espacio (v), esta determinada
por:
< τp >′ =
[ 1
Wp
∫ ∞
−∞
t2I(t)dt − 1
W2
p
(∫ ∞
−∞
tI(t)dt
)2]1/2
(1.151)
< τv >′ =
[ 1
Wv
∫ ∞
−∞
v2I(v)dv − 1
W2
v
(∫ ∞
−∞
vI(v)dv
)2]1/2
(1.152)
43
44 Estudio de la propagación de pulsos ultracortos en lentes refractivas
Donde W en espacio es:
Wv =
∫ ∞
−∞
dv|U(v, t)|2 (1.153)
y en tiempo:
Wp =
∫ ∞
0
dt|U(v, t)|2. (1.154)
Si un pulso de duración temporal Tint viaja a través de una lente, sufrirá un ensanchamiento
en espacio por las aberraciones de la lente y en tiempo por la dispersión de la velocidad de
grupo y la diferencia del tiempo de propagación, de tal forma que el pulso después de la
lente, tendrá un ancho temporal igual a < τp >′ y en espacio igual a < τv >′. Si el pulso ha
pasado por una lente ideal, para luz pulsada (aquella que no produce ensanchamiento por
los efectos de PTD, GVD y que no tiene aberraciones), no sufrira estos ensanchamientos
por lo que la cantidad
< τp >≡ < τp >′
Tint
tendrá el valor de 1. De manera similar, si el pulso no es ensanchado en espacio, tal que la
imagen de éste en la posición del foco paraxial esta limitada por difracción, en cuyo caso
el ancho en espacio vale < τv >0, el valor de
< τv >=
< τv >′
< τv >0
será igual a 1.
Ahora se tiene la medida del ensanchamiento en espacio y en tiempo del pulso aún
cuando este no tenga una forma gaussiana. Definimos la ”calidad de la señal” S, como
el inverso de las cantidades, < τp > y < τv > tal que
S ≡ 1
< τp >< τv >
(1.155)
De tal manera que el valor máximo de la calidad de la señal es 1. El valor 1 se obtendrá
cuando el pulso este limitado por difracción y no sufra distorsión temporal por el efecto
de PTD y GVD.
44
CAPÍTULO 2
Método de integración de
Gauss-Legendre
Para estudiar el campo eléctrico de un pulso de luz, cuando este ha sido enfocado
por una lente, considerando el efecto de GVD de tercer orden, es necesario resolver dos
integrales, una sobre el espacio r y otra sobre las frecuencias ω, que se desciben en la
ecuación (1.144). Cuando se hace la expansión del número de onda hasta segundo orden y
la aproximación ∆ω/ω0 → 0, la integral sobre frecuencias tiene solución analítica, pero la
integral en el espacio debe resolverse numéricamente. Se ha encontrado que el método de
rectángulos da resultados confiables (por comparación con los resultados reportados por
Kempe et.al. [15]), en un tiempo de 36 minutos. Para cuando la expansión del número de
onda se toma hasta tercer orden, la integral sobre las frecuencias requiere una solución
numérica, sin embargo, el método de rectángulos da resultados en un tiempo de aproxi-
madamente seis días, por lo que su uso es altamente ineficiente. En la búsqueda por un
método que redujera el tiempo de cálculo se estudio un método recursivo propuesto por
Rosete et.al. [51], cuyos resultados fueron verificados numéricamente en la propagación de
un pulso a través de un pedazo de vidrio. Sin embargo, errores numéricos en el método
para pulsos con duración menor a 15 femtosegundos propagándose distancias mayores a
10mm a través de un material altamente dispersivo, limitó su uso en la propagación de
pulsos ultracortos a través de lentes.
Dado este escenario, se buscó un método de cuadratura, que diera resultados confiables
en un tiempo aceptable para resolver la integral sobre las frecuencias y encontramos que
el método de cuadraturas de Gauss-Legendre ha cumplido con estas espectativas. A con-
tinuación se expone como se determina su algoritmo en el intervalo (−1, 1) y como puede
ser extendido a cualquier otro intervalo.
Si comparamos el método de integración de Gauss-Legendre con otros métodos como el
de Simpson o el trapecio, el método de cuadraturas de Gauss-Legendre, es el método que
proporciona la respuesta más confiable con el menor número de pasos [89, 103]. La regla
45
46 Método de integración de Gauss-Legendre
de Gauss-Legendre con N nodos es exacta para funciones polinomiales de grado igual o
menor a 2N − 1 y su fórmula de cuadratura para alguna función f continua en [−1, 1] es:
∫ 1
−1
f(x)dx =
N∑
k=1
wN ,kf(xN ,k) + EN (f) (2.1)
Donde la función f es evaluada en los valores fijos xN ,k y multiplicada por el factor de
peso wN ,k correspondiente a ese nodo. Los nodos xN ,k y los pesos wN ,k que hay que usar,
están tabulados y pueden conseguirse fácilmente en manuales de funciones matemáti-
cas [90]. Los nodos son de hecho las raíces de los polinomios de Legendre y los pesos
correspondientes se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.
El error se calcula de la siguiente manera:
EN (f) =
f 2N (c)22N−1(N !)4
((2N )!)3((2N + 1))!
(2.2)
Donde se evalua la derivada 2N de la función f en algún punto c que este dentro del
intervalo [−1, 1]. Mientras el número N sea mayor, el error disminuye considerablemente.
2.1. Traslación del método de Gauss-Legendre
Suponiendo que tenemos los nodos {xN ,k}Nk=1 y los pesos {wN ,k}Nk=1, necesarios para
aplicar la regla de Gauss-Legendre con N nodos en el intervalo [−1, 1]. Entonces para
aplicar el método de Gauss-Legendre al intervalo [a, b], se puede usar el cambio de variable
t =
a + b
2
+
b − a
2
x con dt =
b − a
2
dx (2.3)
con ello se obtiene
∫ b
a
f(t)dt =
∫ 1
−1
f
(a + b
2
+
b − a
2
x
)b − a
2
dx (2.4)
lo que proporciona la fórmula de cuadratura
∫ b
a
f(t)dt =
b − a
2
N∑
k=1
wN ,kf
(a + b
2
+
b − a
2
xN ,k
)
+ EN (f) (2.5)
Las fórmulas de integración de Gauss-Legendre tienen una precisión muy alta, con un
número N de nodos, se tiene una precisión de n = N + 1, esto debe tenerse en cuenta
si hay que realizar muchas integrales de funciones parecidas sobre un mismo intervalo,
para determinar el grado de precisión que deseamos, considerando el tiempo de ejecución
del programa y la estimación del error. Después que se determina el número N de nodos
46
2.1. Traslación del método de Gauss-Legendre 47
necesarios para obtener dichas integrales con la precisión deseada, es posible usar la regla
de Gauss-Legendre con N nodos para calcular todas las integrales.
Los nodos y los pesos son almacenados en dos matrices, llamadas A y W respectiva-
mente. En el programa que se muestra a continuación se consideran 7 nodos y pesos, i.e.
N = 7, y esta escrito dentro del lenguaje de programación MATLAB.
%.....Integral de Gauss-Legendre con 7 nodos....
format long
a=-0.377745; %límite inferior
b=0.377745; %límite superior
c=(b-a)/2;
d=(a+b)/2;
q=40.5758; %datos del problema
r=190.711;
% los nodos:
A=[0.94910 -0.94910 0.74153 -0.74153 ...
0.40584 -0.40584 0.00000];
% los pesos
W=[0.12948 0.12948 0.27970 0.27970 ...
0.38183 0.38183 0.41795];
% La función a evaluar es:
% f(x)=exp(q*x^2 + i*r*x^3)
for i=1:7
x(i)=d + c*A(i); %cálculo del nuevo argumento
f(i)=I*r*(x(i))^3; %término asociado a r
g(i)=-q*((x(i))^2) ; %término asociado a q
k(i)=f(i)+g(i); %suma de los términos anteriores
e(i)=exp(k(i)); %calculo de la exponencial
h(i)= W(i)*e(i); %se multiplica por el valor correspondiente
del peso
end
H1=[h]; %se crea el vector h, cuyas entradas son
el resultado de cada iteración
H2=sum(H1); %suma de todas las componentes de h
Int=c*H2 %se multiplica por la diferencia del intervalo entre 2,
%obteniendose el resultado final de la integral
47
48 Método de integración de Gauss-Legendre
2.2. Análisis de parámetros
En esta sección se estudia la validez del método de integración de Gauss-Legendre.
Para determinar la validez, se han comparado los valores de los segundos momentos del
campo eléctrico en tiempo < τp > y espacio < τv >, obtenidos con la solución analítica de
la integral de frecuencias y obtenidos cuando la integral se resuelve usando el método de
Gauss-Legendre, cuando el número de onda se expande hasta segundo orden.
Del análisis de los valores de los segundos momentos del campo eléctrico, se determinan
los parámetros que son necesarios en el algoritmo que determina el perfil de intensidad en
la región focal después de que el pulso de luz se ha propagado por la lente. Sabemos que se
deben realizar dos integrales para obtener el campo difractado, una en espacio denotado
por la variable r y la otra en frecuencias ω, si además deseamos conocer el valor de la
intensidad en el dominio del tiempo y del espacio, debemos realizar dos integrales más,
para encontrar I(t) e I(v), dando un total de cuatro integrales, cada una de estas integrales
se han obtenido por medio de ciclos for. La integral para conocer el campo difractado en
espacio, i.e. sobre r, fue resuelta por medio del método de rectángulos, modelado por
un ciclo for dentro de MATLAB, Nr denota el valor de las iteraciones en el espacio. Por
medio de un análisis se ha determinado que 64 iteraciones son suficientes para encontrar un
resultado confiable, i.e. Nr=64, esto se ha determinado por comparación con los resultados
expuestos en el artículo [15]. El número de iteraciones necesarias para resolver la integral
sobre ω utilizando el algoritmo de Gauss-Legendre, N se ha determinado por ensayo y
error, encontrándose que son necesarios 96 nodos y pesos en las matrices A y W. Una vez
determinados estos valores, se deben tomar un número de iteraciones para encontrar el
valor de las integrales I(t) e I(v), las cuales fueron resueltas con el método de rectángulos.
Para I(v), el número de iteraciones esta especificado por el valor Nv, y para I(t) por Nt.
A continuación se muestran los resultados de los segundos momentos del campo eléctrico,
calculados por la integral analítica y de Gauss-Legendre en las frecuencias, dependiendo
de los valores Nv y Nt.
Se ha realizado el estudio de un pulso propagándose por una lente simple de BK7 cuyo
semidiámetro es de 6mm y la distancia focal es de 30mm, la duración del pulso es de 10fs
y tiene una longitud de onda de la portadora igual a λ0 = 810nm, se ha considerado que
la lente es iluminada de manera uniforme por el haz pulsado.
Figura 2.1: Lente simple de BK7, cuya apertura numérica es NA=0.20
48
2.2. Análisis de parámetros 49
Como se ha mencionado anteriormente, el número de onda se expande hasta el segun-
do orden en las frecuencias alrededor de la frecuencia central. En las siguientes figuras
se muestran los pulsos en el foco paraxial de la lente simple BK7. Se ha supuesto que la
dispersión de velocidad de grupo (GVD) es cero para todos los órdenes, y solo se considera
el efecto que produce la aberración esférica (A=1) y la diferencia del tiempo de propa-
gación (PTD=1). En el cálculo de la integral analítica en frecuencias, se han considerado
los parámetros Nv=Nt=256, y para el método de Gauss-Legendre se han considerado
Nv=Nt=512, con ello se han obtenido los siguientes datos.
BK7, z=zfoco
Nv=Nt < τp > < τv >′
I. Analítica 256 6.4453 2.0184 ×10−5
M. Gauss-Legendre 512 11.815 2.0184×10−5
Figura 2.2: La primer figura muestra la distribución de la intensidad del pulso en el foco paraxial,
obtenido con la solución analítica a la integral sobre la frecuencia (Nv=Nt=256), la segunda
se ha obtenido con la solución obtenida con el método de Gauss-Legendre de la misma integral
sobre las frecuencias (Nv=Nt=512). Tint = 10fs, λ0 = 810nm, PTD=1, A=1, GVD=0.
Los resultados mostrados, indican un error numérico en el método de Gauss-Legendre.
Analizando los datos, los errores numéricos en el ancho espacial son despreciables, pero
no para el ancho temporal.
Para determinar si el programa donde se calcula la integral sobre las frecuencias de
manera analítica da valores diferentes a los expuestos con Nv=Nt=256, se corrió el progra-
ma con Nv=Nt=512. Los resultados con Nv=Nt=512 fueron los siguientes < τp >= 6,44
y < τv >′= 2,01×10−5. Estos resultados nos dejan ver un comportamiento asintótico a los
valores < τp >= 6,44 y < τv >′= 2,01 × 10−5, por lo que es necesario analizar los valores
obtenidos con la solución obtenida usando el método de Gauss-Legendre al calcular la
integral y diferentes valores de Nv y Nt.
A continuación se comparan los resultados al tomar los valores Nv=Nt=400 en ambas
integrales.
49
50 Método de integración de Gauss-Legendre
BK7 z=zfoco
Nv=Nt < τp > < τv >′
I. Analítica 400 6.4457 2.0161 ×10−5
M. Gauss-Legendre 400 6.4457 2.0161×10−5
Figura 2.3: Tomando Nv=Nt=400 se comparan los resultados obtenidos con la solución analítica y el
método de Gauss-Legendre. Tint = 10fs, λ0 = 810nm, PTD=1, A=1, GVD=0.
Tomando ahora Nv=Nt=700, para un pulso de 10fs, que se propaga por la lente de BK7
con diámetro d = 12mm, considerando la aberración esférica y la diferencia del tiempo de
propagación. Podemos ver el perfil de intensidad (Uabs) y los valores de < τp > y < τv >′.
BK7 z=zfoco, PTD=1, A=1, λ = 810nm, d=12mm, 10fs, Nv=Nt=700
Nv=Nt < τp > < τv >′
Analítica 700 6.4461 2.0143 ×10−5
Gauss-Legendre 700 44.251 1.9521×10−5
Figura 2.4: Se comparan los segundos momentos en espacio y tiempo obtenidos de la solución analítica
a la integral de frecuencias (primer figura) y con la de Gauss-Legendre (segunda figura), con
Nv=Nt=700 para la lente de 12mm de diámetro, Tint =10fs, λ = 810nm. PTD=1, A=1,
GVD=0.
En el siguiente caso, se han tomado las mismas características de la lente f=30mm,
PTD=1, A=1, el pulso ilumina de manera uniforme a la lente, pero considerando que la
lente tiene un diamétro d=10mm, que la longitud de onda de la portadora ahora tiene
50
2.2. Análisis de parámetros 51
el valor λ =620nm, el pulso tiene una duración de 6fs y Nv=Nt=700. Se comparan los
resultados obtenidos a segundo orden en la expansión del número de onda.
BK7 z=zfoco, PTD=1, A=1, λ = 620nm, d=10mm, 6fs, Nv=Nt=700
Nv=Nt < τp > < τv >′
Analítica 700 3.7580 1.6152 ×10−5
Gauss-Legendre 700 3.7720 1.6148×10−5
Figura 2.5: Distribución de la intensidad en la posición focal. Se comparan los segundos momentos
obtenidos a segundo orden con la solución analítica a la integral de frecuencias (primer
figura) y con la de Gauss-Legendre (segunda figura), con Nv=Nt=700 para la lente de 10mm
de diámetro, Tint =6fs, λ = 620nm. PTD=1, A=1, GVD=0.
Con estos resultados concluimos que la integración de Gauss-Legendre es sensible a los
parámetros de estudio. Por lo que de los valores de Nv y Nt, son una cantidad importante
a determinar en la búsqueda de un resultado confiable. Mientras que si el pulso tiene una
longitud de onda de la portadora λ = 620nm, una duración de 6fs y se propaga por una
lente cuyo diámetro es 10mm, los resultados en los anchos temporales y espaciales con
Nv=Nt=700, coinciden para la solución analítica y la de Gauss-Legendre, pero difieren
para el caso de λ = 810nm, duración del pulso de 10fs y un diámetro de la lente de 12mm.
Para determinar cual de los parámetros usados es el que afecta el resultado a con-
tinuación se estudian tres casos, tomando el siguiente conjunto de valores (Tint =6fs-
λ0 = 620nm-d=10mm- Nv=Nt=700), analizaremos los siguientes casos:
Caso 1: Tint =6fs-λ0 = 810nm-d=10mm
Caso 2: Tint =6fs-λ0 = 620nm-d=12mm
Caso 3: Tint =10fs-λ0 = 620nm-d=10mm
En este caso hemos considerado PTD=1, A=0, GVD=0, la iluminación sobre la lente es
uniforme. Cada uno de ellos se obtiene con Nv=Nt=700 y Nv=Nt=400. Los resultados
son los siguientes:
Caso 1: 6fs-λ = 810nm-d=10mm- Nv=Nt=700
51
52 Método de integración de Gauss-Legendre
BK7 z=zfoco, PTD=1, A=0
Nv=Nt < τp > < τv >′
Analítica 400 5.7863 1.3134×10−5
Analítica 700 5.7861 1.3131×10−5
Gauss-Legendre 700 5.7887 1.3125×10−5
Figura 2.6: Los resultados obtenidos en el caso 1. Se muestra la distribución de intensidad del pulso
obtenido con el método de Gauss-Legendre.
Caso 2: 6fs-λ = 620nm-d=12mm- Nv=Nt=700
BK7 z=zfoco, PTD=1, A=0
Nv=Nt < τp > < τv >′
Analítica 400 11.771 1.2193×10−5
Analítica 700 11.771 1.2190×10−5
Gauss-Legendre 700 11.939 1.2199×10−5
Figura 2.7: Los resultados obtenidos en el caso 2. Se muestra la distribución de intensidad del pulso
obtenido con el método de Gauss-Legendre.
Caso 3: 10fs-λ = 620nm-d=10mm- Nv=Nt=700
BK7 z=zfoco, PTD=1, A=0
Nv=Nt < τp > < τv >′
Analítica 400 4.9947 8.9400×10−6
Analítica 700 4.9946 8.9386×10−6
Gauss-Legendre 700 38.194 8.7590×10−6
Figura 2.8: Los resultados obtenidos en el caso 3. Se muestra la distribución de intensidad del pulso
obtenido con el método de Gauss-Legendre.
Por los resultados expuestos, concluimos que el manejo de los valores Nv y Nt, y
la duración del pulso son determinantes en los resultados, hay que elegirlos de manera
adecuada, teniendo como base los resultados de la solución analítica a la integral sobre las
frecuencias.
52
2.2. Análisis de parámetros 53
A continuación se expone la distribución de la intensidad para cuando el valor de Nt y
Nv es igual a 400, Nr=64, considerando tres métodos de integración: la solución analítica
en la integral de frecuencias, con el método de Gauss-Legendre y usando el método de
rectángulos. Se comparan los valores obtenidos de los segundos momentos en tiempo y
espacio, y también se compara el tiempo de cálculo en minutos en cada caso, los resultados
se exponen en la tabla (2.9).
BK7 z=zfoco, 96 nodos, Nv=Nt=400, Nr=64
Método de Integración < τp > < τv >′ tcalculo(min)
Analítica 6.4457 2.0161 ×10−5 36
Gauss-Legendre 6.4457 2.0161×10−5 70
Rectángulos 5.8349 2.0319×10−5 8709
Figura 2.9: Segundos momentos en tiempo y espacio, obtenidos con tres métodos de integración. Los
valores mostrados corresponden a pulsos que se han propagado hasta la posición del foco
paraxial de la lente de BK7 indicada. Se muestra la distribución de la intensidad para cada
caso, en el mismo orden. Tint = 10fs, λ0 = 810nm, PTD=1, A=1, GVD=0.
De los resultados expuestos en la tabla (2.9), podemos determinar que el método de
Gauss-Legendre con 96 nodos proporciona los mismos resultados que la integral analítica
en las frecuencias. Los resultados obtenidos con el método de rectángulos en las frecuencias,
difieren del resultado analítico. El tiempo de cálculo con el método de Gauss-Legendre es
95 % menor que el tiempo de cálculo con el método de rectángulos.
Debido a los resultados encontrados, hemos considerado obtener los resultados del
campo difractado con ayuda de la integral de Gauss-Legendre con los parámetros, Nv =
Nt = 400 y Nr = 64.
También se ha estudiado el ancho de frecuencias ∆ω, alrededor de la frecuencia cen-
tral para el cual los resultados nos proporcionan resultados confiables. En este caso se
determinó la confiabilidad de los resultados partiendo del hecho que un pulso después de
propagarse por una lente delgada que no presenta aberración esférica (A=0), ni cromática
por lo cual el efecto de PTD es igual a cero, y donde la dispersión de la velocidad de grupo
es nula (GVD=0), no sufrirá un ensanchamiento temporal ni espacial. Es decir, que un
pulso que incide sobre la lente con una duración temporal de Tint segundos, después de
propagarse por esta lente, debe tener la misma duración temporal, tal que < τp > debe ser
igual a 1. Así hemos calculado los valores de ∆ω, para cada una de las duraciones de pulso
53
54 Método de integración de Gauss-Legendre
que estudiaremos en los siguientes capítulos. Encontrando que, para Nv = Nt = 400,
Nr = 64, el rango usado para los pulsos con una longitud de onda de la portadora igual
a λ = 810nm, son:
Nv=Nt=400, Nr=64, 96 nodos (G-L)
Duración temporal Tint (fs) ∆ω(1/s) ∆λ(nm)
4.5 ±1,2 × 1015 835
6 ±1,1 × 1015 765
10 ±0,8 × 1015 556
15 ±0,5 × 1015 348
20 ±0,4 × 1015 278
30 ±0,3 × 1015 208
200 ±0,2 × 1014 13
Los valores del ancho espacial se ha obtenido a partir de la relación:
∆λ =
λ2
0
c
∆ω
2π
(2.6)
considerando λ0=810nm.
2.3. Análisis del la lente simple de BK7, f=30mm
Una vez que se han determinado los valores de los parámetros involucrados en el
estudio del campo del pulso que ha sido enfocado por una lente, a continuación se analiza
el campo de un pulso de 10fs, cuya longitud de onda de la onda portadora es λ = 810nm.
La lente tiene un diámetro de 12mm y una distancia focal de 30mm, el material del que
esta hecho la lente es del vidrio BK7, que es un vidrio de baja dispersión. Se analiza como
la aberración esférica y la aberración cromática modifica al pulso cuando éste se encuentra
en la posición del foco paraxial de la lente.
Se han analizado cuatro casos, en todos ellos se ha despreciado el efecto de GVD a todos
los ordenes, i.e. GVD=0. En el primer caso se supone que no hay aberración cromática ni
esférica, indicado por PTD=0, A=0. En el segundo se ha considerado sólo la aberración
esférica de la lente, indicado por A=1 PTD=0, en el tercer caso se ha considerado sólo
la aberración cromática, i.e., PTD=1 y A=0, finalmente el caso, donde la lente presenta
aberración cromática y esférica, i.e., PTD=1, A=1.
La figura 2.10(a) muestra el pulso que se ha propagado por la lente con las mismas
características del pulso de entrada, por lo que tiene una duración de Tint =10fs y esta
limitado por difracción. En la figura 2.10(b) observamos un ensanchamiento del pulso en
espacio debido a la aberración esférica de la lente. En la figura 2.10(c) se observa un
ensanchamiento en la coordenada temporal, provocado por el efecto de PTD. Finalmente,
el efecto de PTD y aberración esférica parten al pulso en dos partes como se aprecia en la
figura 2.10(d).
54
2.3. Análisis del la lente simple de BK7, f=30mm 55
(a) PTD=0, A=0 (b) PTD=0, A=1
(c) PTD=1, A=0 (d) PTD=1, A=1
Figura 2.10: Se muestra la distribución de la intensidad de un pulso enfocado por una lente simple de
BK7 de distancia focal 30mm y diámetro igual a 12mm, para diferentes condiciones de
PTD y aberración esférica (A). En todos los casos GVD=0 a todos los ordenes.
En la siguiente tabla, se enlistan los valores obtenidos de < τp > y < τv > para
una lente de BK7, para los casos que se muestran en la figura (2.10). Los valores de
< τv > se normalizaron respecto al caso de PTD=0, A=0, en este caso tenemos una
imagen limitada por difracción, para estas condiciones el ancho espacial tiene el valor de
< τv >0= 3,3183 × 10−6.
De los resultados expuestos en la figura (2.11) podemos determinar que el efecto pro-
ducido por la diferencia en el tiempo de propagación reduce la calidad de la señal del
pulso, (1/(< τp >< τv >)), en mayor cantidad que los efectos de aberración esférica. Por
lo que, si se desea aumentar la calidad de la señal, se debe corregir en mayor medida la
aberración cromática del sistema óptico.
Los resultados expuestos son en la posición del foco paraxial de la lente, z = zf .
Después que el pulso se ha enfocado por la lente, debido a la aberración esférica (A=1),
55
56 Método de integración de Gauss-Legendre
BK7, zfo , 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
PTD A < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 1 1 1
0 1 1 5.8556 0.1707
1 0 5.0324 2.9783 0.0667
1 1 6.4471 6.0757 0.0255
-0.3 0.0 0.3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Foco paraxial 
BK7, f=30mm, a=6mm, t=10fs, Segundo orden (Analitica) 
                                   Lente Delgada
 PTD=0, A=0
 PTD=0, A=1
 PTD=1, A=0
 PTD=1, A=1
1/
(<
p><
v>)
z( m)
Figura 2.11
la calidad de la señal disminuye un 83 %, debido a la aberración cromática (PTD=1) un
93 %, y hasta un 97 % al considerar ambas.
56
CAPÍTULO 3
Estudio de una lente simple de BK7
Ya se determinó la expresión del campo difractado de un pulso que ha sido enfocado
por una lente y el método de integración más eficaz para su evaluación, así como los
parámetros en el ancho de frecuencias y el número de iteraciones necesarias para obtener
los mismos resultados que los que se obtienen con la integración analítica en las frecuencias.
En este capítulo estudiaremos la difracción de un pulso de femtosegundos al ser enfocado
por una lente simple de BK7. En la primer sección, realizaremos una comparación de los
resultados obtenidos de los segundos momentos del campo en espacio y tiempo, con dos
métodos de integración, el primero a partir de la solución analítica de la integral en las
frecuencias, y posteriormente a partir del método de cuadraturas de Gauss-Legendre para
resolver la misma integral.
Figura 3.1: Aberración cromática longitudinal de una lente simple.
En la figura (3.1), se muestra una lente simple, enfocando luz blanca. Para una lente
57
58 Estudio de una lente simple de BK7
simple, la luz de diferentes longitudes de onda, se enfoca en posiciones diferentes sobre el
eje óptico. La distancia entre los puntos focales correspondientes a las longitudes de onda
extremas en un intervalo espectral, se conoce como la aberración cromática longitudinal.
La aberración cromática es proporcional al efecto de PTD, por esta razón para lentes
simples, este efecto es el que provoca una disminución mayor de la calidad de la señal.
En base al artículo de Bor ”Distortion of a 6 fs Pulse in the Focus of a BK7 Lens", [48]
se estudian pulsos que han sido enfocados por varias lentes simples de BK7, considerando
únicamente el efecto de la aberración cromática (PTD). La distancia focal de las lentes es
de f0 = 30mm.
En ese trabajo, [48], se estudian pulsos con una duración de 6fs a la mitad del perfil
de intensidad, con este criterio la duración del pulso esta determinada por TFWHM que
mencionamos en el capítulo 1. Siendo la duración del pulso a la mitad (1/2), del perfil de
intensidad igual a 6fs, el ancho en el perfil de intensidad a 1/e, es de Tint = 7,2fs, dado
que estas duraciones estan relacionadas por la siguiente expresión:
Tint = TFWHM/
√
ln 2 (3.1)
Este resultado lo podemos ver de manera grafica en la figura (3.2)
Figura 3.2: Duración temporal de un pulso medido en el perfil de intensidad a la mitad del perfil, a esta
duración se le indica como TFWHM , y a 1/e que corresponde a Tint.
La longitud de onda de la onda portadora del pulso, que se indica en el trabajo de Bor
es λ0 = 620nm. El estudio se presenta para lentes de diferentes radios a=0.5mm, a=1mm,
a=2mm, a=3.5mm y a=5mm. El análisis se torna interesante pues al tratar de concentrar
en espacio y tiempo la energía de un pulso por medio de las diferentes lentes, se tiene un
juego entre las propiedades de difracción obtenidas de la transformada de Fourier, donde
se sabe que mientras más pequeña sea una abertura (a), por la que la luz pasa, el patrón de
difracción resultante sobre una pantalla es cada vez más grande (∝ 1/a), obteniendose una
intensidad menor. Sin embargo, mientras más grande sea el radio de la lente, la diferencia
en el tiempo de propagación (PTD), será mayor (∝ a2) provocando una disminución en
la intensidad. Debido a estos dos efectos, no es trivial encontrar el radio de la lente que
dará la señal máxima. En este capítulo estudiaremos la calidad de la señal en la posición
del foco paraxial, para determinar el radio óptimo.
58
3.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda, con base
en la solución analítica en la integral de las frecuencias 59
En cada una de las secciones siguientes, se pueden ver los perfiles de intensidad (el
módulo al cuadrado del campo difractado) para los pulsos al ser enfocados por las diferentes
lentes. En orden ascendente se muestran los resultados para: a=0.5mm, a=1mm, a=2mm,
a=3.5mm y a=5mm. Al igual que en el artículo de Bor, se muestra el perfil de intensidad en
tres diferentes posiciones sobre el eje óptico, en la primera columna los resultados obtenidos
estan en la posición del foco paraxial de la lente, indicado por z0 = f0, las imágenes de
la segunda columna corresponden al perfil de intensidad del pulso a 150 micras hacia la
lente, medidas a partir de la posición del foco paraxial y la tercera columna corresponde
a la misma distribución a 300 micras hacia la lente. El diámetro de la lente es d = 2a.
Figura 3.3: La figura muestra esquematicamente las posiciones donde se estudia el campo.
3.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número
de onda, con base en la solución analítica en la in-
tegral de las frecuencias
En esta sección se presentan los perfiles de intensidad para los pulsos enfocados por
la lente de BK7, obtenidos a partir de la expansión del número de onda respecto a la fre-
cuencia central hasta el segundo orden. La expresión del campo difractado, se ha obtenido
de la solución analítica de la integral en las frecuencias, mientras que el campo difractado
en espacio se ha analizado con ayuda del método de rectángulos.
Los resultados se han obtenido considerando que el pulso que tiene una duración de
7.2fs, ha sido afectado únicamente por el efecto de PTD (PTD=1), para comparar con
los perfiles de intensidad mostrados en el trabajo de Bor, por lo que se han despreciado
los efectos producidos por la aberración esférica (A=0) y el efecto de la dispersión de la
velocidad de grupo a todos los ordenes (GVD=0). En las gráficas del perfil de intensidad,
se puede leer Uabs, esto indica el módulo del campo al cuadrado |U |2.
59
60 Estudio de una lente simple de BK7
z0 = f0 z0 − 150µm z0 − 300µm
a =
0,5mm
a =
1mm
a =
2mm
a =
3,5mm
a =
5mm
Figura 3.4: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos en la región focal de una lente simple de BK7.
La primer columna corresponde a la posición focal, la segunda columna en la posición de
150µm hacia la lente, medida a partir del foco paraxial y la última a 300µm hacia la lente.
En cada caso A=0, GVD=0 y PTD=1. Se ha considerado la expansión del número de
onda hasta segundo orden, el resultado ha sido obtenido con ayuda de la solución
análitica en frecuencias, Tint =7.2fs, λ0 =620nm. El valor de a indica el radio de la lente.
Para cada radio de la lente y para cada posición sobre el eje óptico, hemos verificado
que los perfiles mostrados son análogos a los mostrados en el trabajo de Bor [48].
60
3.2. Análisis en base al método de integración de Gauss-Legendre 61
3.2. Análisis en base al método de integración de Gauss-
Legendre
El perfil de intensidad de los pulsos mostrados en esta sección, corresponden a los
mismos casos descritos en la sección anterior, pero ahora los resultados se han obtenido
usando el método de Gauss-Legendre para resolver la integral en las frecuencias.
z0 = f0 z0 − 150µm z0 − 300µm
a =
0,5mm
a =
1mm
a =
2mm
a =
3,5mm
a =
5mm
Figura 3.5: Perfil de intensidad de los pulsos en la región focal de una lente simple de BK7. La primer
columna corresponde a la posición focal, la segunda columna a 150µm hacia la lente y la
última a 300µm hacia la lente. Para estos casos A=0, GVD=0 y PTD=1. Se ha consider-
ado la expansión del número de onda hasta segundo orden, el resultado en las
frecuencias ha sido obtenido con ayuda del método de Gauss-Legendre.
61
62 Estudio de una lente simple de BK7
En el mismo orden en el que se han presentado las distribuciones de intensidad, a
continuación se enlistan los valores del ancho espacial < τv >′ y temporal < τp >. Como
hemos indicado en el capítulo 1, cada uno de los segundos momentos se puede normalizar,
el segundo momento en tiempo, se normaliza al dividir entre el valor del tiempo del pulso
inicial, en este caso 7.2fs, por lo que el valor de < τp > es una cantidad sin unidades.
En el caso del segundo momento en espacio, solo se ha dividido por el factor 1 × 10−5
por sencillez. De manera formal, se debería dividir entre el segundo momento en espacio
resultante de una imagen limitada por difracción (< τv >0), correspondiente a cada lente,
esto es, cada valor de < τv >′ entre el ancho obtenido del segundo momento para cada
radio de la lente. Dado que la intensidad en el punto focal esta dada por If(t) = |Uf (t)|2,
la condición para que la energía sea la misma, independiente del diámetro de la lente es
que la amplitud del campo Uf(t), determinado por el valor de A0 en la ecuación (1.135)
del capítulo 1, sea proporcional a A0 ∼ 1/a. Si sustituimos el valor de A0 ∼ 1/a en la
expresión del segundo momento en espacio, < τv >′, la información ∼ 1/a se pierde, ya que
aparece en el numerador y denominador, de tal manera que la calidad de la señal siempre
es máxima para la lente con el radio de 0.5mm. Como lo que nos interesa es conocer el
radio de la lente que dará la señal máxima, hemos tomado el valor de < τv >′, como
indicamos.
BK7 , PTD=1, A=0, GVD=0, (Analítica)
d(mm) z(µm) < τp > < τv >′
1 z0 = f0 1.0023 3.0217
z0-150 1.0018 3.0308
z0-300 1.0013 3.0601
2 z0 = f0 1.0366 1.5337
z0-150 1.0287 1.6061
z0-300 1.0217 1.8428
4 z0 = f0 1.4809 0.9277
z0-150 1.3903 1.4280
z0-300 1.3042 3.1264
7 z0 = f0 3.4864 0.9695
z0-150 3.0976 2.1707
z0 -300 2.6386 4.8402
10 z0 = f0 6.8470 1.1155
z0-150 5.9711 2.3192
z0-300 3.7622 3.7937
BK7 , PTD=1, A=0, GVD=0, (G-L)
d(mm) z(µm) < τp > < τv >′
1 z0 = f0 1.0023 3.0217
z0-150 1.0018 3.0308
z0-300 1.0014 3.0601
2 z0 = f0 1.0366 1.5336
z0-150 1.0287 1.6061
z0-300 1.0217 1.8428
4 z0 = f0 1.4802 0.9274
z0-150 1.3897 1.4280
z0-300 1.3038 3.1268
7 z0 = f0 3.4834 0.9688
z0-150 3.0950 2.1714
z0-300 2.6364 4.8409
10 z0 = f0 6.8474 1.1154
z0-150 5.9711 2.3193
z0-300 3.7622 3.7937
Figura 3.6: Valores de < τp > y < τv >′, los valores de < τv >′ se han dividido por el factor 1 × 10−5.
En la primer tabla se estudia el campo cuando se ha realizado la expansión a segundo orden
para el número de onda, con ayuda de la integral analítica y considerando sólo el efecto
de PTD (i.e. A=0, GVD=0, PTD=1). En la segunda tabla se estudia la expansión hasta
segundo orden, con ayuda de la integral de Gauss-Legendre y considerando sólo el efecto de
PTD. Tint =7.2fs, λ0 =620nm.
62
3.2. Análisis en base al método de integración de Gauss-Legendre 63
Por los valores mostrados en las tablas (3.6), se comprueba que el método de inte-
gración de Gauss-Legendre da practicamente los mismos resultados que los obtenidos con
la solución analítica en la integral de las frecuencias.
A continuación en (3.7), se muestran graficamente los valores contenidos en la tabla
(3.6). El valor < τp >, como se mencionó en el capítulo 1, se ha obtenido al dividir
el segundo momento < τp >′ entre la duración del pulso inicial, Tint=7.2fs. El valor de
< τv >′ expuesto no tiene ninguna normalización.
-300 -200 -100 0
0
2
4
6
8
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=0, GVD=0
<
p>
z( m)
Figura 3.7: Segundos momentos < τp > y < τv >′ a segundo orden en la expansión del número de onda
con (PTD=1, A=0, GVD=0). Tint =7.2fs, λ0=620nm.
En las gráficas (3.8), se muestra la calidad de la señal obtenida con la solución analítica
en las frecuencias y con el método de Gauss-Legendre.
-300 -200 -100 0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=0, GVD=0  (Analítica) 
1/
<
p>
<
v>
'
z( m)
-300 -200 -100 0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=0, GVD=0  (G-L) 
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
1/
<
p>
<
v>
'
z( m)
Figura 3.8: Las gráficas muestran la calidad de la señal obtenida para la aproximación de segundo orden
en el número de onda (análitica y G-L). PTD=1, A=0, GVD=0. λ0 = 620nm Tint = 7,2fs.
Lente de BK7, f=30mm.
63
64 Estudio de una lente simple de BK7
Si consideramos el efecto de PTD de la óptica geométrica indicado en el capítulo 1,
cuya ecuación esta determinada por: (1.124):
∆T ′(rb) =
r2
b
2c
λ
f(n − 1)
dn
dλ
(3.2)
siendo a = rb, podemos encontrar el valor de la diferencia del tiempo de propagación.
De los valores de los coeficientes de Sellmeier para BK7 que se muestran en el apéndice
C, obtenemos que el índice de refracción para la longitud de onda de λ0 =620nm, es
n=1.5155, la derivada del índice de refracción respecto a la longitud de onda evaluado en
620nm es igual a dn/dλ = −0,036µm−1. Con estos valores, hemos encontrado el valor de
PTD para cada una de las lentes indicadas. El valor obtenido, se ha comparado con el valor
de < τp >′ de la óptica física, que proporciona la duración exacta del pulso solo cuando los
pulsos tienen una envolvente gaussiana, pero cuando la forma del pulso es diferente a la
gaussiana, < τp >′, da una estimación de la duración del pulso. Estos valores se muestran
en la siguiente tabla (3.9):
BK7, λ0 =620nm, Tint=7.2fs, f0=30mm, z0 = f0
a(mm) N.A. ∆T ′(rb) (fs) < τp >′ (fs)
0.5 0.01 0.6 7.2
1 0.03 2.4 7.4
2 0.06 9.6 10.6
3.5 0.11 29.5 25.1
5 0.16 60.3 49.2
Figura 3.9: Comparación de los valores de PTD de la óptica geométrica (∆T ′(rb)) y la óptica física (<
τp >′) en la posición del foco paraxial. Los resultados muestran el valor del segundo momento
sin normalización. Los datos de óptica física se han obtenido al considerar únicamente el
efecto de PTD, i.e. A=0, GVD=0, PTD=1.
Cuando el valor de ∆T ′(a) es menor a la duración temporal del pulso, la óptica ge-
ométrica nos dice que el ensanchamiento en tiempo debido a la diferencia del tiempo de
propagación es despreciable [85]. Este resultado se puede ver en los valores de < τp >′
correspondientes, para las lentes cuyos radios son 0.5mm y 1mm. Para la lente de radio
2mm, la óptica geométrica predice que el pulso tiene una duración de 9.6fs, mientras que
la óptica física de 10.6fs, la diferencia entre estos valores es de 1fs, por lo que la ópti-
ca geométrica es una buena predicción. Para la lente de radio 3.5mm, a continuación se
muestra el perfil de intensidad contra el tiempo. A partir del valor máximo alcanzado,
se ha tomado la medida directamente de la gráfica, del ancho del pulso a 1/e con lo que
se ha determinado que la duración temporal es de 28.7fs, como se muestra en la figura.
Se observa que el pulso no tiene una envolvente gaussiana, y que el valor de 28.7fs es
intermedio al predicho por la óptica geométrica y el valor estimado de la óptica física.
64
3.2. Análisis en base al método de integración de Gauss-Legendre 65
Figura 3.10: Duración temporal del pulso medido directamente de la gráfica. Para un pulso con duración
inicial Tint =7.2fs, que ha sido enfocado por una lente simple de BK7 de radio a=3.5mm. El
resultado se muestra en el foco paraxial de la lente. PTD=1, GVD=0 y A=0, λ0=620nm.
Según el análisis de Bor [104], donde únicamente se considera el efecto de PTD, al ilu-
minar de manera uniforme una lente de semi-diámetro a con un pulso de luz de duración τ ,
la intensidad máxima en la posición del foco paraxial se obtendra, cuando el semidiámetro
cumple la relación:
a2
opt = f 2
0
Ks2cτ
ω0|f ′(ω0)|
(3.3)
donde aopt es el radio óptimo de la lente y τ es el tiempo del pulso medido con el criterio
FWHM. En caso de que el pulso incidente tenga una modulación gaussiana en frecuencias
el valor de Ks tiene el valor, Ks = 1,6816. La duración del pulso τ en la notación indicada
en el capítulo 1, esta determinado por TFHWM . En nuestros calculos se ha considerado el
tiempo medido a 1/e del perfil de intensidad τ =
√
ln 2Tint, por lo que el radio óptimo
esta determinado por
a2
opt = f 2
0
2(1,6816)c
√
ln 2Tint
ω0|f ′(ω0)|
(3.4)
Donde la derivada de la distancia focal respecto a la frecuencia, evaluado en la frecuencia
de la onda portadora es
f ′(ω0) =
df
dω
∣
∣
∣
ω0
= − λ2
2πc
( f
n0 − 1
)dn
dλ
∣
∣
∣
λ0
(3.5)
Considerando f = 30mm, n0 = 1,5155 para λ0 = 620nm, el valor de la frecuencia central
65
66 Estudio de una lente simple de BK7
es ω0 = 3,04PHz, con estos valores la ecuación (3.5) toma el valor de -4.29×10−4m/PHz,
(1PHz=1015Hz) [104].
Con estos valores y suponiendo Tint =7.2fs, el valor del radio óptimo es de a ≈2.05mm.
Figura 3.11: Perfil de intensidad para el pulso en el foco paraxial de la lente de BK7 con semidiámetro
igual a 2.05mm. PTD=1, A=0, GVD=0. λ0 = 620nm Tint =7.2fs. Lente de BK7, f=30mm.
Al tomar el valor a=2.05mm, el valor del segundo momento en espacio es < τv >′=
9,2095 × 10−6 y en tiempo < τp >= 1,5163, por lo que la calidad de la señal es igual a
SB =71.61×103. Donde el subíndice B indica la calidad de la señal para el radio óptimo
predicho por Bor.
La figura (3.12-a), muestra un máximo en el radio de 1.59mm, esta cantidad difiere
del diámetro óptimo indicado por la formula de Bor (a =2.05mm), por 0.46mm. Para
a =1.59mm, el valor del segundo momento en espacio es < τv >′= 1,0428 × 10−5 y en
tiempo < τp >= 1,2147, por lo que la calidad de la señal es igual a SM =78.94×103. SM
indica la calidad de la señal máxima que hemos encontrado en el análisis.
El comportamiento de la calidad de la señal respecto al radio de la lente, es análogo a
la curva de intensidad versus el radio de la lente, mostrada en la figura (3.12-b) la cual
fue tomada del artículo de Bor [52].
66
3.3. Análisis considerando tercer orden de GVD, PTD y Aberración Esférica67
(a) (b)
Figura 3.12: En la figura (a) se muestra la calidad de la señal para un pulso de Tint = 7,2fs, que
se ha enfocado por una lente simple de BK7, con una distancia focal f=30mm, los datos
corresponden a la posición del foco paraxial. El valor de < τv >′ se ha dividido por 1×10−5.
En la figura (b) se muestra la intensidad vs. radio de la lente, mostrada en el artículo de
Bor [52]. En ambos casos se ha considerado: PTD=1, GVD=0 y A=0, λ0=620nm.
Las gráficas (a) y (b) mostradas en la figura (3.12), tienen el mismo comportamiento,
indicando que la calidad de la señal es una medida análoga a la intensidad, sin embargo,
estas cantidades tienen unidades diferentes. Mientras que la intensidad es una medida de
la energía por unidad de área por unidad de tiempo, la calidad de la señal es el inverso de
la segundos momentos del campo eléctrico y no considera la energía del sistema, además
no tiene unidades.
La diferencia entre los máximos se debe a que el tratamiento del estudio del campo
difractado se ha abordado de manera diferente, mientras que Bor utiliza las funciones
de Lommel para encontrar la expresión del campo difractado, en nuestro caso, hemos
desarrollado una expansión en serie de Taylor del número de onda respecto a la frecuencia
central, como se trato en el Capítulo 1. Sin embargo, podemos decir que los resultados
expuestos predicen un máximo en la calidad de la señal o en la intensidad, para una lente
con radio aproximadamente de 2mm.
3.3. Análisis considerando tercer orden de GVD, PTD
y Aberración Esférica
El perfil de intensidad de los pulsos expuestos en la figura (3.13), es el resultado de la
difracción del campo por la lente simple de BK7, al considerarse los efectos de PTD, aber-
ración esférica y GVD de tercer orden. Los resultados se han obtenido al usar el método
67
68 Estudio de una lente simple de BK7
de Gauss-Legendre en la integral de las frecuencias. A pesar que la aberración cromáti-
ca para una lente simple es un efecto dominante sobre otras aberraciones, se observan
modificaciones respecto a los perfiles de intensidad mostrados en la figura (3.4).
z0 = f0 z0 − 150µm z0 − 300µm
a =
0,5mm
a =
1mm
a =
2mm
a =
3,5mm
a =
5mm
Figura 3.13: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos en la región focal paraxial de una lente
simple de BK7. La primera columna corresponde a la posición focal, la segunda columna
en la posición de 150µm hacia la lente y la última a 300µm hacia la lente. Para estos casos
A=1, GVD=1 (de tercer orden) y PTD=1. Tint = 7,2fs, λ0=620nm.
68
Uabs 
0.4 
o:r ... ~ 
x10- 4 ~ 2 -13 
0.4 
0.2 
2 
-4 
x10 
0.2 
0.1 
0 
2 
-4 
x10 
x10 
r(m) -5 -2 t(s) X 10 
Uabs 
0 ~ 
r(m) -2 -2 t(s) 
0 
r(m) 
-3 
x10 
Uabs 
-2 -2 
Uabs 
Uabs 
0 
t(s) 
2 
-13 
x10 
2 
-13 
x10 
-13 
10 
-13 
10 
Uabs 
0.4 
o:r ... ~ 
x10-4 ~ 2-13 
0.2 
0.1 
2 
-4 
x10 
0.04 
0.02 
0 
2 
-4 
x10 
1 
x10 
r(m) -5 -2 t(s) X 10 
Uabs 
0 ~ 
r(m) -2 -2 t(s) 
0 
r(m) 
-3 
x10 
Uabs 
-2 -2 
Uabs 
Uabs 
0 
t(s) 
2 
-13 
x10 
2 
-13 
x10 
Uabs 
0.4 
o:r ... ~ 
x10- 4 ~ 2 -13 
0.2 
0.1 
2 
-4 
x10 
r(m) -5 -2 t(s) X 10 
Uabs 
0 ~ 
r(m) -2 -2 t(s) 
-3 
x10 
Uabs 
Uabs 
Uabs 
-5 -2 
0 
t(s) 
2 
-13 
x10 
-13 
10 
2 
-13 
x10 
3.3. Análisis considerando tercer orden de GVD, PTD y Aberración Esférica69
La descripción cuantitativa de la calidad de la señal, se obtiene del inverso de los
segundos momentos del campo. A partir del valor de los segundos momentos se obtiene
la calidad de la señal considerando el tercer orden de GVD (GVD=1), el efecto de PTD
(PTD=1) y la aberración esférica (A=1) de la lente de BK7.
-300 -200 -100 0
1
2
3
4
5
6
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=1, GVD=1
<
p>
z( m)
-300 -200 -100 0
1.0x10-5
2.0x10-5
3.0x10-5
4.0x10-5
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=1, GVD=1
<
v>
'
z( m)
-300 -200 -100 0
0.0
0.2
0.4
0.6
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=1, GVD=1
1/
<
p>
<
v>
*
z( m)
 d=1mm
 d=2mm
 d=4mm
 d=7mm
 d=10mm
Figura 3.14: Segundos momentos en tiempo y espacio, y la calidad de la señal cuando se considera el
tercer orden en la expansión del número de onda, GVD=1, PTD=1 y A=1. Tint = 7,2fs,
λ0=620nm, f=30mm.
El valor de la calidad de la señal mostrado en la gráfica (3.14), se obtuvo considerando
< τv >′ dividida por el factor 1 × 10−5, por sencillez en la presentación, además que lo
interesante es la comparación de la calidad de la señal para los diferentes diámetros. En
esta gráfica se observa que el valor máximo se encuentra para la lente de diámetro de
4mm, en la posición del foco paraxial.
Haciendo un análisis más detallado, considerando la duración del pulso Tint =7.2fs, el
efecto de GVD, PTD y aberración esférica, la calidad de la señal respecto al radio de la
69
70 Estudio de una lente simple de BK7
lente, se muestra en la gráfica (3.15), donde se aprecia que el valor máximo se encuentra
en la posición de a =1.59mm, este es el valor del radio para el cual se encontro el máximo
de la calidad de la señal al tomar sólo el efecto de PTD. El valor del segundo momento
en espacio es < τv >′=1.0770×10−5 y en tiempo < τp >=1.5382, determinando la calidad
de la señal como SM =60.36×103. En la gráfica se aprecia la calidad de la señal para el
valor del radio óptimo predicho por Bor, la diferencia entre máximos es de 0.46mm. Si
ahora se consideran los efectos de GVD, PTD y aberración esférica, el valor del segundo
momento en espacio, para el radio de a =2.05mm indicado por Bor como el radio óptimo,
es < τv >′=1.0862×10−5 y en tiempo < τp >=1.7848, determinando la calidad de la señal
como SB =51.57×103.
Podemos concluir que aún considerando los efectos de GVD de tercer orden y la aber-
ración esférica, la predicción hecha por Bor para el radio óptimo, da un valor en la calidad
de la señal SB, cercana al valor de SM .
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
SBSM
Tint=7.2fs, 0=620nm, PTD=1, A=1, GVD=1
1/
<
p>
<
v>
'
a(mm)
Figura 3.15: La calidad de la señal para un pulso de Tint = 7,2fs, enfocado por lentes simples de BK7 de
diferentes radios, con una distancia focal f0=30mm, λ0=620nm. El valor de < τv >′ se ha
dividido por 1 × 10−5. Se han considerado los efectos de PTD, GVD y aberración esférica
(PTD=1, GVD=1 y A=1).
3.4. Análisis para λ0 = 810nm y Tint=10fs y Tint=20fs.
Debido a que en el laboratorio de láseres en el CCADET esta en construcción un
láser de luz pulsada a 20fs, con una longitud de onda de la portadora λ0 = 810nm, se ha
realizado un estudio para las lentes de BK7 que tratamos en las secciones previas, cuando
se ilumina de manera uniforme la lente, para pulsos de duración 10fs y 20fs.
En orden descendente se muestran los resultados para los diámetros d=1mm, d=2mm,
d=4mm, d=7mm y d=10mm. Como se hizo en las secciones previas, la primera columna
muestra el perfil de intensidad en la posición focal paraxial, la segunda a 150 micras hacia
la lente y la tercera columna a 300 micras hacia la lente.
70
3.4. Análisis para λ0 = 810nm y Tint=10fs y Tint=20fs. 71
3.4.1. Análisis considerando el tercer orden de GVD y PTD, para
pulsos con duración de 10fs
z0 = f0 z0 − 150µm z0 − 300µm
d =
1mm
d =
2mm
d =
4mm
d =
7mm
d =
10mm
Figura 3.16: Se muestran la distribución de intensidad para pulsos enfocados por lentes simples de BK7
de diferentes diámetros, con una frecuencia de la portadora igual a λ0 = 810nm y duración
Tint = 10fs. Se ha considerado la expansión hasta el segundo orden en la expansión
del número de onda, indicando en el programa de G-L PTD=1, A=0, GVD=0.
En la figura (3.17), se exponen graficamente los segundos momentos en tiempo y es-
pacio, con estos datos se determino la calidad de la señal, mostrada en la tercer gráfica.
71
72 Estudio de una lente simple de BK7
-300 -200 -100 0
1
2
3
4
Tint=10fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
 a=0.5mm
 a=1mm
 a=2mm
 a=3.5mm
 a=5mm
<
p>
z( m)
-300 -200 -100 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tint=10fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
 a=0.5mm
 a=1mm
 a=2mm
 a=3.5mm
 a=5mm
1/
<
p>
<
v>
'
z( m)
Figura 3.17: En el primer renglón se muestran los anchos temporales y espaciales, con ello se ha deter-
minado la calidad de la señal para pulsos de 10fs. La posición indicada por 0, corresponde
a la posición del foco paraxial, a partir de esta posición se ha desplazado hacia la lente
150µm y 300 µm. El valor de S esta escalado por el factor 1 × 10−5.
En la figura (3.17), se muestra el valor de < τp >, en esta podemos apreciar que
el ensanchamiento en tiempo para el pulso de 10fs en la posición del foco paraxial, es
máximo para el radio de a = 5mm y mínimo para la lente con radio a = 0,5mm, como es
de esperarse por el efecto de PTD, pues depende del semidiámetro al cuadrado a2.
En la figura (3.17), también podemos observar de manera gráfica el valor de < τv >′,
en la que podemos apreciar que el ensanchamiento espacial es mínimo en la posición del
foco paraxial y para la lente con radio de a =3.5mm. Adicionalmente en el foco paraxial, el
máximo de < τv >′, se obtiene para la lente con radio de 0.5mm, como es de esperarse por
las propiedades de la transformada de Fourier, donde el tamaño del patrón de difracción
es inversamente proporcional al tamaño de la abertura [94].
A partir de la formula de Bor (3.3), el radio óptimo para Tint=10fs y λ = 810nm, es
72
3.4. Análisis para λ0 = 810nm y Tint=10fs y Tint=20fs. 73
aopt = 2,86mm, la calidad de la señal para este caso es de SB=74.20×103. Para determinar
si este radio efectivamente da un valor de la señal mayor que en otro caso, se hizo el análisis
que se observa en la gráfica (3.18), donde se tiene la calidad de la señal como función del
radio de la lente, para el caso en el que sólo se considera el efecto de PTD figura (3.18-a),
y para el caso en el que además se considera el efecto de PTD, aberración esférica y GVD,
figura (3.18-b).
0 1 2 3 4 5
0.0
0.3
0.6
0.9
SBSM
Tint=10fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
1/
<
p>
<
v>
'
a(mm)
(a) amax = 2,3mm
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
SBSM
1/
<
p>
<
v>
'
Tint=10fs, 0=810nm, PTD=1, A=1, GVD=1
a(mm)
(b) amax = 1,8mm
Figura 3.18: La calidad de la señal para un pulso de Tint = 10fs, que ha sido enfocado por lentes de BK7
de diferentes radios. La distancia focal de la lente es constante f0 =30mm, λ0=810nm. Se
muestra el valor del radio óptimo, indicado por Bor.
En la figura (3.18-a), se muestra el caso en el que PTD=1, A=0 y GVD=0 en donde
el máximo de la calidad de la señal, SM , se alcanza para el valor a=2.3mm. En la figura
(3.18-b), se muestra el caso en el que PTD=1, A=1 y GVD=1 en donde el máximo de la
señal, SM , se alcanza para el valor a=1.8mm. El radio óptimo obtenido con la ecuación
(3.4) es igual a aopt=2.86mm, la cual fue derivada por Bor para el caso en el que PTD=1,
A=0 y GVD=0. En las figuras (3.18-a y 3.18-b) se muestra el radio óptimo obtenido con la
ecuación (3.4) con la línea vertical marcada como SB y cuyo valor es igual a aopt=2.86mm.
La diferencia entre el radio óptimo indicado por Bor (2.86mm) y el obtenido en la figura
(3.18-a) (i.e., 2.3mm) es de 0.53mm, por lo que para pulsos con duración de 10fs la formula
de Bor puede ser usada para buscar la calidad de la señal máxima.
3.4.2. Análisis considerando PTD, para pulsos con duración de
20fs
Para el caso en el que PTD=1, GVD=0 y A=0, tomando los radios mencionados en las
secciones previas y los mismos desenfocamientos, se ha analizado la señal cuando los pulsos
73
74 Estudio de una lente simple de BK7
tienen una duración de 20fs, en la figura (3.19) se muestran los perfiles de intensidad.
z0 = f0 z0 − 150µm z0 − 300µm
d =
1mm
d =
2mm
d =
4mm
d =
7mm
d =
10mm
Figura 3.19: Perfil de intensidad de pulsos que se han enfocado por una lente simple de BK7 cuando el
pulso tiene una duración temporal de 20fs, con una longitud de onda de la portadora de λ0 =
810nm, y una distancia focal f=30mm. Se ha considerado que no hay aberración esférica
solo cromática A=0, PTD=1. La solución ha sido encontrada con la integral analítica en
las frecuencias, GVD=0.
74
3.4. Análisis para λ0 = 810nm y Tint=10fs y Tint=20fs. 75
-300 -200 -100 0
0.9
1.2
1.5
1.8
2.1
Tint=20fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
 a=0.5mm
 a=1mm
 a=2mm
 a=3.5mm
 a=5mm
<
p>
z( m)
-300 -200 -100 0
0.0
2.0x10-5
4.0x10-5
Tint=20fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
 a=0.5mm
 a=1mm
 a=2mm
 a=3.5mm
 a=5mm
<
v>
'
z( m)
-300 -200 -100 0
0.3
0.6
0.9
1.2
1/
<
p>
<
v>
'
Tint=20fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
 a=0.5mm
 a=1mm
 a=2mm
 a=3.5mm
 a=5mm
z( m)
Figura 3.20: En el primer renglón se muestran los segundos momentos en tiempo y espacio respectiva-
mente para cada diámetro, con los datos obtenidos se encuentra la calidad de la intensidad.
La posición indicada por 0, corresponde a la posición del foco paraxial, a partir de esta
posición se ha desplazado hacia la lente 150µm y 300 µm.
En las gráficas (3.20), donde se muestra el valor de < τp > podemos apreciar que el
ensanchamiento en tiempo para el pulso de 20fs en la posición del foco paraxial, es máximo
para la lente con radio igual a a = 5mm y mínimo para la lente con radio de a = 0,5mm,
como es de esperarse por el efecto de PTD, pues depende del semidiámetro al cuadrado
a2.
De la gráfica de < τv >′ mostrada en (3.20), podemos apreciar que en el foco paraxial
el ensanchamiento espacial máximo se obtiene para la lente con radio igual a 0.5mm, como
se esperaba por las propiedades de la transformada de Fourier.
A partir de la formula mostrada por Bor en [104], el radio óptimo para Tint=20fs y
λ0=810nm, es aopt = 4,05mm, donde la calidad de la señal es SB =108.5×103. En los
resultados expuestos en la gráfica (3.20), la calidad de la señal en el foco paraxial es mayor
75
76 Estudio de una lente simple de BK7
para la lente con radio de a = 3,5mm, cuyo valor se aproxima a SM =117.5×103.
Realizando un análisis más detallado, podemos determinar el comportamiento de la
calidad de la señal para diferentes radios de la lente, los cuales se muestran en la figura
(3.21-a)
0 1 2 3 4 5
0.0
0.5
1.0
1.5
SBSM
Tint=20fs, 0=810nm, PTD=1, A=0, GVD=0
1/
<
p>
<
v>
'
a(mm)
(a) amax =3.2mm
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
SBSM
1/
<
p>
<
v>
'
a(mm)
Tint=20fs, 0=810nm, PTD=1, A=1, GVD=1
(b) amax =2mm
Figura 3.21: La calidad de la señal para un pulso de Tint = 20fs, que ha sido enfocado por lentes de BK7
de diferentes radios. La distancia focal de la lente es constante f0 =30mm, λ0=810nm. Se
muestra el valor del radio óptimo, indicado por Bor.
En la figura (3.21-a), el máximo de la calidad de la señal se alcanza para el valor
a=3.2mm en el que únicamente se considero los efectos de PTD, sin embargo, el máximo
de la calidad de la señal se alcanza para el valor a=2mm cuando además de los efectos
de PTD, se consideran los efectos de GVD y aberración esférica, como se muestra en la
figura (3.21-b).
Para el caso mostrado en la figura (3.21-b), el radio óptimo de Bor, no se puede
considerar una buena predicción, ya que la separación entre ellos es del 100 % el valor de
SM .
76
CAPÍTULO 4
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal
de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
En este capítulo se analiza la calidad de la señal de un pulso con duración Tint =10fs y
cuya longitud de onda de la portadora es λ0 =810nm, que ha sido enfocado por el doblete
acromático LaK22-SF6. Se presenta el estudio para diferentes aperturas numéricas, de 0.15
hasta 0.33. Cada doblete tiene un semidiámetro de 6mm.
Figura 4.1: Doblete acromático.
Un doblete acromático se obtiene al juntar dos lentes, una de baja dispersión y otra
de alta dispersión [68]. Según Herzberger [80], Chester Moor Hall, en 1773, fue el primero
que combinó dos lentes, una de tipo crown y otra de tipo flint, para diseñar un doblete
acromático. Un doblete acromático tiene la propiedad de tener un foco común para las
longitudes de onda azul y roja del espectro visible, se puede trabajar en otro rango espectral
77
78
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
diferente al visible, de tal forma que las longitudes de onda extremas del rango, llamadas
C y F , tengan esta propiedad, corrigiendo de manera significativa la aberración cromática
y por lo tanto el efecto de PTD. Al remanente de color que es la distancia entre los focos
para la longitud de onda verde y el foco de la longitud de onda roja y azul, se le conoce
como espectro secundario, [69–71].
Para un doblete acromático delgado, la potencia de una lente, se define como el inverso
de la distancia focal K = 1/f , por lo que la potencia total de un doblete esta dada por:
K(d) = K(d)1 + K(d)2 (4.1)
donde los subíndices 1 y 2, se refieren a las lentes componentes del doblete, y el subíndice
d significa que la potencia es evaluada a la longitud de onda promedio [100].
Dado que para una lente delgada con curvaturas de superficie ς1 y ς2 e índice de
refracción n, la potencia K = 1/f , esta dada por
K = (n − 1)(ς1 − ς2) (4.2)
se deduce que el cambio en potencia para un doblete acromático delgado en el rango de
longitudes de onda entre C y F , esta dado por
δK(C−F ) = (KC − KF )1 + (KC − KF )2 (4.3)
= K(d)1
[
nC − nF
nd − 1
]
1
+ K(d)2
[
nC − nF
nd − 1
]
2
(4.4)
= K(d)1ν(C−F )1 + K(d)2ν(C−F )2 (4.5)
donde ν(C−F ) es el poder de dispersión del vidrio en el rango de longitudes de onda entre
C y F y el inverso de esta cantidad es conocido como el poder de dispersión recíproco,
indicado por el valor V o número de Abbe
V(C−F ) =
nd − 1
nC − nF
=
1
ν(C−F )
(4.6)
Para que las longitudes de onda C y F tengan un foco común, el cambio en la potencia
debe ser igual a cero, por lo que
δK(C−F ) = K(d)1ν(C−F )1 + K(d)2ν(C−F )2 = 0 (4.7)
Esta última ecuación puede escribirse en términos de los números de Abbe
K(d)1
V(C−F )1
+
K(d)2
V(C−F )2
= 0 (4.8)
Las ecuaciones (4.1) y (4.8) son las ecuaciones que debe satisfacer un doblete acromático
de potencia K(d). Existe otro método de diseño de dobletes acromáticos en fase y en grupo,
realizado por Vaughan [72], con lo cual, es posible corregir el efecto producido por PTD.
78
79
Los dobletes acromáticos analizados en este capítulo, han sido tomados del catálogo
de Edmund Optics [99], los cuales han sido diseñados en el rango de frecuencias (750-
1100)nm, que esta dentro del rango del infrarrojo en el espectro electromagnético. Cada
doblete esta compuesto por los vidrios LaK22 y SF6, todos ellos de semidiámetro igual a
6mm y diferente distancia focal, por lo que se presentan diferentes aperturas numéricas.
El análisis realizado en este capítulo, es para pulsos con una duración de 10fs, que
corresponde al ancho total del perfil de intensidad a 1/e, por lo que la duración del pulso
se describe por Tint y una longitud de onda de la portadora λ0 = 810nm. La forma del
perfil de intensidad de algunos pulsos mencionados a continuación, se pueden ver en el
apéndice D.
En cada uno de los siguientes casos se muestra el efecto que tiene la aberración esférica,
el efecto de PTD y GVD de tercer orden, de manera independiente y después el resultado
de todos estos efectos, en la determinación de los anchos espaciales y temporales < τv > y
< τp > respectivamente, para diferentes posiciones sobre el eje óptico, con estos datos se
ha determinado la calidad de la señal en cada una de estas posiciones. A partir del foco
paraxial del doblete, hemos obtenido el valor de la calidad de la señal cada 50µm hacia
la lente y en la dirección contraria, hasta una distancia de 400µm en ambas direcciones.
También se ha analizado la calidad de la señal de los pulsos cuando no hay ninguno de los
efectos mencionados, con lo que se ha determinado como ésta ha sido afectada sólo por el
desenfocamiento.
Los valores de < τp >′ y < τv >′ han sido normalizados. Como mencionamos, en este
capítulo sólo hemos estudiado pulsos con una duración de 10fs, por lo que el valor de
< τp > es igual a < τp >′ /10fs. En cada caso el ensanchamiento espacial se obtiene
dividiendo el valor de < τv >′, entre el valor de < τv >0 que corresponde al ancho de
una imagen limitada por difracción. Este resultado se obtiene al considerar un pulso que
se ha propagado por el doblete sin que los efectos de aberración esférica, PTD y GVD lo
afecten, en el programa se indican como A=0, PTD=0 y GVD=0.
Figura 4.2: Se muestran dos posiciones sobre el eje óptico donde se calcula la calidad de la señal.
En las tablas de valores que en cada sección se mencionan, solo consideran los valores
del foco paraxial y el valor a 50 micras hacia la lente, esto se debe a que estos son los
puntos sobre el eje óptico para los cuales se obtienen los valores máximos.
79
80
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
4.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm
LaK22-SF6, 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
zfo zfo − 50µm
A PTD GVD < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 0 1 1 1 1.2489 12.876 0.0621
1 0 0 1 5.5141 0.1813 1.2964 3.9369 0.1959
0 1 0 1.0176 1.0077 0.9750 1.3592 12.806 0.0574
1 1 0 1.0134 5.5173 0.1788 1.4239 3.9566 0.1775
0 0 1 2.9512 1.0004 0.3386 2.9837 12.866 0.0260
1 1 1 2.9419 5.5185 0.0615 3.1294 3.9601 0.0806
Figura 4.3: Se compara la calidad de la señal para pulsos de 10fs y λ = 810nm, en la región focal de un
doblete acromático de apertura numérica 0.3. Los valores de < τv >′ se escalaron respecto
al valor de < τv >0= 1,8845× 10−6m.
80
4.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm 81
4.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm
LaK22-SF6, 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
zfo zfo − 50µm
A PTD GVD < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 0 1 1 1 1.1811 11.243 0.0753
1 0 0 1 5.6706 0.1763 1.0717 3.6599 0.2549
0 1 0 1.1207 1.0543 0.8462 1.4979 11.015 0.0606
1 1 0 1.0268 5.6887 0.1712 1.2145 3.6719 0.2242
0 0 1 2.9498 1.0004 0.3388 2.9941 11.232 0.0297
1 1 1 2.9070 5.68875 0.0604 3.0149 3.6747 0.0902
Figura 4.4: Se compara la calidad de la señal para pulsos de 10fs y λ0 = 810nm, en la región focal de un
doblete acromático de apertura numérica 0.3. Los valores de < τv >′ se escalaron respecto
al valor de < τv >0= 2,1196× 10−6.
81
82
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
4.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm
LaK22-SF6, 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
zfo zfo − 50µm
A PTD GVD < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 0 1 1 1 1.0755 7.0539 0.1318
1 0 0 1 2.2664 0.4412 1.0718 8.5938 0.1085
0 1 0 1.0006 1.0029 0.9990 1.0894 7.0432 0.1303
1 1 0 1.0850 8.5997 0.1071 1.1562 11.718 0.0738
0 0 1 2.3512 1.0002 0.4252 2.3871 7.0481 0.0594
1 1 1 2.3517 2.2657 0.1876 2.3856 8.6022 0.04873
Figura 4.5: Se compara la calidad de la señal para pulsos de 10fs y λ0 = 810nm, en la región focal de un
doblete acromático de apertura numérica 0.24. Los valores de < τv >′ se escalaron respecto
al valor de < τv >0= 2,7105× 10−6.
82
4.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm 83
4.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm
LaK22-SF6, 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
zfo zfo − 50µm
A PTD GVD < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 0 1 1 1 1.0361 4.7906 0.2014
1 0 0 1 3.4123 0.2930 1.0362 1.5305 0.6304
0 1 0 1.0670 1.0298 0.9100 1.1885 4.7683 0.1764
1 1 0 1.0662 3.3667 0.2784 1.1893 1.5726 0.5346
0 0 1 2.3493 1.0002 0.4255 2.3672 4.7902 0.0881
1 1 1 2.3811 3.3624 0.1249 2.4417 1.5763 0.2598
Figura 4.6: Se compara la calidad de la señal para pulsos de 10fs y λ0 = 810nm, en la región focal de un
doblete acromático de apertura numérica 0.2. Los valores de < τv >′ se escalaron respecto
al valor de < τv >0= 3,8373× 10−6.
83
84
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
4.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm
LaK22-SF6, 10fs, a=6mm , λ0 = 810nm
zfo zfo − 50µm
A PTD GVD < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
0 0 0 1 1 1 1.0113 2.5592 0.3863
1 0 0 1 2.6330 0.3797 1.0113 1.1646 0.8490
0 1 0 1.1035 1.0464 0.8658 1.1754 2.4564 0.3463
1 1 0 1.1029 2.5763 0.3519 1.1753 1.2359 0.6883
0 0 1 2.3404 1.0001 0.4272 2.3465 2.5570 0.1666
1 1 1 2.2647 2.5759 0.1703 2.3016 1.2353 0.3495
Figura 4.7: Se compara la calidad de la señal para pulsos de 10fs y λ0 = 810nm, en la región focal de un
doblete acromático de apertura numérica 0.2. Los valores de < τv >′ se escalaron respecto
al valor de < τv >0= 4,3996× 10−6.
84
4.6. Análisis general 85
4.6. Análisis general
A continuación se muestra la calidad de la señal para cada doblete, respecto al efecto
que tiene cada uno de manera independiente sobre ésta.
(a) PTD=0, A=0, GVD=0 (b) A=1, PTD=0, GVD=0
(c) A=0, PTD=1, GVD=0 (d) A=1, PTD=1, GVD=0
(e) A=0, PTD=0, GVD=1 (f) A=1, PTD=1, GVD=1
Figura 4.8: Efectos de cada término.
85
86
Pulsos de Tint =10fs, en la región focal de dobletes acromáticos (LaK22-SF6),
con diferentes aperturas numéricas.
De la figura (4.8-a), donde se consideran nulos los efectos de la aberración esférica
(A=0), la diferencia del tiempo de propagación (PTD=0) y la dispersión de la velocidad de
grupo (GVD=0), se observa que la calidad de la señal es máxima e igual a uno en la posición
del foco paraxial y que decae rápidamente conforme se desenfoca. En todos los casos la
señal es practicamente cero a partir de 200µm del foco paraxial de la lente. La calidad
de la señal i.e. 1/ < τp >< τv >, va disminuyendo a medida que la apertura numérica
es mayor, pues para el doblete de distancia focal f = 40mm se tiene una señal mayor en
la vecindad del foco paraxial y en orden descendente para los dobletes de distancia focal
f=30mm, f=25mm, f=20mm y f=18mm.
De los efectos estudiados, la aberración es la que tiene efectos mayores para la local-
ización de la calidad de la señal máxima. Por los resultados expuestos en la figura (4.8-b),
concluimos que la aberración esférica es menor para el doblete de distancia focal f=40mm
y aumenta al ir disminuyendo la distancia focal, lo que esta de acuerdo con la ecuación
(1.90).
El efecto de GVD de tercer orden provoca una disminución en la calidad de la señal de
manera más importante que el efecto de PTD y la aberración esférica, como se puede ver
al comparar las figuras (4.8-b) y (4.8-c), con la figura (4.8-e). El efecto de GVD se puede
correjir a todos los órdenes con un compresor de pulsos [24–27], la compresión de pulsos
puede hacerse a través de distintos medios como prismas y rejillas [61]. Un compresor
puede introducir la cantidad de chirp necesario para compensar el chirp en el pulso que se
genera en éste al pasar por la lente [62]. Al corregirse la señal de GVD a todos los órdenes,
la señal obtenida sería la mostrada en la gráfica (4.8-d), con base en ello se va a buscar
mejorar la calidad de la señal con dobletes apocromáticos que se presenta en el capítulo 6.
El efecto de GVD de tercer orden que se puede apreciar en la figura (4.8-e), disminuye
en gran medida la calidad de la señal. En la posición del foco paraxial, hay tres dobletes
que comparten el valor máximo de la calidad de la señal, estas son las de distancia focal
25mm, 30mm y 40mm, mientras que para los dobletes de distancia focal 18mm y 20mm,
el valor de la calidad de la señal en el foco paraxial es aún menor.
Todos estos efectos, atenuan la calidad de la señal de tal manera que el resultado se
expone en la gráfica (4.8-f), donde se puede apreciar que en orden descendente respecto a
la distancia focal, la señal se va debilitando cada vez más. Siendo mayor para el doblete
acromático de apertura numérica 0.15 y distancia focal 40mm. La señal máxima se obtiene
a 50µm hacia la lente y no en la posición del foco paraxial, debido a la aberración esférica.
Los valores de la calidad de la señal expuestos en la gráfica (4.8-d), se obtendrían si se
usara un sistema que compensara el efecto de GVD a todos los órdenes introducido por
la lente.
86
CAPÍTULO 5
Estudio del doblete acromático,
LaK22-SF6, de distancia focal
f0=40mm, para pulsos de diferente
duración
En este capítulo se estudia la distorsión que ha sufrido un pulso de luz cuya longitud
de onda de la onda portadora es de 810nm, después que ha pasado a través del doblete
acromático de distancia focal 40mm y semidiámetro a = 6mm, estudiado en el capítulo
anterior. Ahora vamos a estudiar como los efectos de GVD de tercer orden cobran im-
portancia conforme la duración del pulso va disminuyendo. El análisis de la dispersión
de la velocidad de grupo de tercer orden como se estudia en esta tesis, no es un tema
que se pueda encontrar en la literatura actual, sin embargo, se ha visto que la corrección
experimental de los términos de GVD mayores al tercer orden, mejoran la calidad de la
señal en imágenes obtenidas por medio de la microscopía de dos fotones [27], hasta 8 veces
mayor que con la corrección de sólo el segundo orden de GVD.
El doblete acromático formado por los vidrios LaK22-SF6, ha sido diseñado en el
rango infrarrojo de (750nm, 1100nm), y ha sido tomado del catálogo de Edmund [99].
Este doblete tiene una abertura numérica, NA=0.15.
La calidad de la señal y los segundos momentos presentados en cada gráfica se han
calculado para 17 posiciones diferentes del plano focal con respecto al foco paraxial. La
posición z=0µm corresponde a la posición del foco paraxial. Cada dato dista 50µm del
siguiente. A continuación se presenta la calidad de la señal para pulsos de diferente du-
ración, Tint = 30fs, Tint = 20fs, Tint = 10fs y Tint =4.5fs, cada una de ellas se muestra con
el resultado a segundo orden y a tercer orden de GVD. En el resultado a segundo orden,
sólo se ha considerado el efecto de PTD y la aberración esférica, ya que el efecto de GVD
de segundo orden se puede corregir, por lo que en este caso, todos los órdenes de GVD se
87
88
Estudio del doblete acromático, LaK22-SF6, de distancia focal f0=40mm,
para pulsos de diferente duración
f=40mm
a=6mm
d1 = 4,5mm
d1 = 2,5mm
NA = 0,15
Figura 5.1: Doblete acromático.
han tomado igual a cero. En las señales que se indican como tercer orden, se ha incluido
el efecto de GVD de tercer orden, así como el efecto de PTD y de aberración esférica.
Figura 5.2: Calidad de la señal obtenida para el doblete acromático LaK22-SF6, con los efectos de PTD
(PTD=1) y aberración esférica (A=1). En la señal indicada como segundo orden no se ha
considerado el efecto de GVD de ningún orden. En el caso indicado como tercer orden, se
ha tomado el efecto de GVD de tercer orden.
88
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda 89
En la figura (5.2), se concluye que el efecto de GVD de tercer orden, es un efecto que
cobra importancia al disminuir el tiempo del pulso. Para pulsos menores de 20fs, este efecto
no puede despreciarse [14, 18, 54, 108]. La calidad de la señal se ve seriamente disminuida
por este efecto, por lo que un compresor que solo corrige el segundo orden de GVD no es
suficiente para optimizar la señal.
Aún cuando el efecto de GVD sea nulo (GVD=0), la señal es atenuada al disminuir
el tiempo del pulso debido a la diferencia del tiempo de propagación, generada por el
remanente de color del doblete acromático y por la aberración esférica de éste.
Para verificar que el máximo en la señal, se encuentra a cercano a la distancia de 50
micras hacia la lente a partir del foco paraxial, se han estudiado los valores de la calidad
de la señal alrededor de este valor, los valores encontrados se muestran en la siguiente
figura (5.3).
Figura 5.3: Se muestra que la máxima intensidad se encuentra en una posición cercana a la distancia de
50 micras hacia la lente, medida a partir del foco paraxial.
Con estos resultados se ha comprobado que el valor máximo en la calidad de la señal
esta localizado en una posición cercana a la distancia de 50 micras hacia la lente, medida
a partir de la posición del foco paraxial, donde se localiza el círculo de mínima confusión.
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número
de onda
Para conocer como es la calidad de la señal para pulsos que se han propagado por
este doblete acromático, pero en el cual no se contemplan los efectos de la dispersión de la
velocidad de grupo, presentamos un análisis sobre los efectos de PTD y aberración esférica,
89
90
Estudio del doblete acromático, LaK22-SF6, de distancia focal f0=40mm,
para pulsos de diferente duración
para analizar como el pulso es ensanchado por estos dos efectos. Para pulsos con duración
de Tint = 4,5fs, se muestran las señales obtenidas.
-450 -300 -150 0 150 300 450
0
5
10
15
Foco paraxial 
LaKN22-SF6, f=40mm, a=6mm, t=4.5fs, Segundo orden (Analitica) 
                                         Lente Delgada
<
v>
z( m)
 PTD=0, A=0
 PTD=0, A=1
 PTD=1, A=0
 PTD=1, A=1
Figura 5.4: Calidad de la señal obtenida para el doblete acromático LaK22-SF6, para un pulso con
duración inicial de 4.5fs y λ = 810nm. Se muestra la calidad de la señal a diferentes distancias
respecto al foco paraxial. Se muestra el segundo momento en espacio y tiempo.
De la gráfica del momento < τv >, podemos ver que la aberración esférica produce
un ensanchamiento mínimo a la distancia de 50 micras a partir del foco paraxial, medido
hacia la lente. El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD y la aberración
esférica es de S ≈0.47.
90
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda 91
Siguiendo el mismo criterio, se presenta la calidad de la señal para un pulso que incide
sobre la lente con una duración de Tint = 10fs.
Figura 5.5: Se muestra la calidad de la señal y los segundos momentos en tiempo y espacio para el
doblete de distancia focal f=40mm para un pulso incidente de 10fs con una portadora de
810nm. Se hacen comparaciones con diferentes valores de la aberración y de PTD. El caso
de A=0 y PTD=0, simula una lente ideal sin aberración, ni PTD. El caso A=1, PTD=0,
simula el caso de una lente con aberración esférica. El caso A=0 y PTD=1 simula el caso de
una lente sin aberración esférica.
El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD y la aberración esférica
es de S ≈0.68.
A continuación se presenta un análisis similar para un pulso incidente con una duración
de Tint = 20fs.
91
92
Estudio del doblete acromático, LaK22-SF6, de distancia focal f0=40mm,
para pulsos de diferente duración
Figura 5.6: Se muestra la calidad de la señal y los segundos momentos en tiempo y espacio para el
doblete acromático de distancia focal f=40mm. Se muestran los resultados para un pulso de
duración 20fs y λ = 810nm.
El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD y la aberración esférica
es de S ≈0.78.
Si la duración del pulso incidente es de Tint = 200fs, la calidad de la señal y los segundos
momentos obtenidos al tomar el segundo orden en la expansión del número de onda, se
muestran en la figura (5.7). Se hacen comparaciones con diferentes valores de la aberración
y de PTD. El caso de A=0 y PTD=0, simula una lente ideal sin aberración. El caso A=1,
PTD=0, simula el caso de una lente con aberración esférica. El caso A=0 y PTD=1 simula
el caso de una lente sin aberración esférica pero con aberración cromática.
92
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda 93
Figura 5.7: Se muestra la calidad de la señal para el doblete de distancia focal f=40mm.
El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD y la aberración esférica
es de S ≈0.86.
Por las gráficas mostradas en (5.7), la calidad de la señal es la misma para los casos
en que PTD=0 y A=0 y para el caso PTD=1 y A=0, de lo que se concluye que para esta
duración del pulso, el efecto de PTD es despreciable. En las curvas donde se considera la
aberración esférica, i.e. las indicadas con A=1, se observa un desplazamiento del máximo
de la señal a 50 micras hacia la lente, por lo que concluimos que la aberración esférica
provoca este desplazamiento de la señal máxima. La calidad de la señal ha sido obtenida
al considerar la expansión del número de onda hasta el segundo orden, en donde hemos
supuesto que la dispersión de la velocidad de grupo es cero a todos los órdenes, i.e.,
GVD=0.
Los resultados del segundo momento en espacio, se exponen en la gráfica de < τv >,
93
94
Estudio del doblete acromático, LaK22-SF6, de distancia focal f0=40mm,
para pulsos de diferente duración
donde se observa que la aberración esférica provoca el desplazamiento del valor mínimo, a
50 micras hacia la lente, por lo que la aberración miníma no se obtiene en la posición del
foco paraxial, sino a 50 micras hacia la lente.
A continuación en la figura (5.8), se presenta la calidad de la señal para pulsos de 10fs,
que se han propagado por el doblete acromático, cuando se considera el efecto de GVD de
tercer orden, el efecto de PTD y la aberración esférica. Se analiza como cada uno de estos
términos afecta el ensanchamiento del pulso.
Figura 5.8: Calidad de señal y segundos momentos en tiempo y espacio, para pulsos con duración de
10fs. A=1, PTD=1 y GVD=1.
El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD, el efecto de GVD de
tercer orden y la aberración esférica, para pulsos de 10fs, es de S ≈0.35.
Finalmente estudiamos el efecto de GVD de tercer orden, en pulsos de duración de
94
5.1. Análisis a segundo orden en la expansión del número de onda 95
20fs. En la siguiente gráfica se compara la calidad de la señal cuando se consideran todos
los efectos (GVD=1, A=1, PTD=1) y cuando ninguno de ellos se considera.
Figura 5.9: Se muestra la calidad de señal contra distancia de desenfocamiento. Se muestra la intensidad
comparando el caso donde PTD=0 y A=0 respecto al caso PTD=1, A=1. En este último
caso observamos que el máximo no se encuentra en la posición focal paraxial, sino a 50
micras hacia la lente. Para en pulso con duración de t = 20fs y λ = 810nm.
El valor máximo de la señal cuando se tiene el efecto de PTD, el efecto de GVD de
tercer orden y la aberración esférica, para pulsos de 20fs, es de S ≈0.79. La calidad de
la señal, cuando no se tiene ninguno de estos efectos es igual a 1, por lo que hay una
disminución de más del 20 %, en este caso.
Los resultados de este capítulo muestran como la calidad de la señal, es gradualmente
disminuida al disminuir la duración del pulso. Aunque se utilizará el sistema de par de
prismas para corregir el efecto de GVD de segundo orden, la calidad de la señal toma
valores menores al 20 % del valor máximo para pulsos con duración de 20fs. En busca de
mejorar la calidad de la señal, en el siguiente capítulo se estudian dobletes apocromáti-
cos, en los cuales se hace la corrección del remanente de color existente en los dobletes
acromáticos.
95
CAPÍTULO 6
Análisis de dobletes apocromáticos
En este capítulo se estudia la calidad de la señal para varios dobletes apocromáticos
diseñados por la Dra. Martha Rosete, en la región IR (750nm, 1100nm). Todos los dobletes
tienen una distancia focal de 40mm y semidiámetro de 6mm.
Figura 6.1: Doblete Apocromático
Los dobletes acromáticos tienen un remanente de color, por lo que la aberración
cromática longitudinal no es estrictamente cero. Para corregir este remanente de color,
se deben emplear dobletes apocromáticos. Un doblete apocromático tiene la caracterís-
tica de tener un foco común para las longitudes de onda C y F , al igual que el doblete
acromático, pero además para la longitud de onda e. Las ecuaciones que se mencionaron
en el capítulo 4, (4.1) y (4.8) son las ecuaciones que debe satisfacer un doblete acromático
de potencia K(d), donde:
K(d) = K(d)1 + K(d)2 (6.1)
y para que las longitudes de onda C y F tengan un foco común, el cambio en la potencia
97
98 Análisis de dobletes apocromáticos
debe ser igual a cero, por lo que
δK(C−F ) = K(d)1ν(C−F )1 + K(d)2ν(C−F )2 = 0 (6.2)
Del capítulo 5 sabemos que el número de Abbe, que esta indicado por V es:
V(C−F ) =
nd − 1
nC − nF
=
1
ν(C−F )
(6.3)
y ν recibe el nombre del poder dispersivo del vidrio. También al número de Abbe se le
conoce como el poder de dispersión recíproca del vidrio. Con ello podemos escribir (6.2)
de la forma
K(d)1
V(C−F )1
+
K(d)2
V(C−F )2
= 0 (6.4)
Resolviendo las ecuaciones (6.1) y (6.2) simultaneamente, se obtiene
K(d)1 =
K(d)
1 − (1/ε)
; K(d)2 =
K(d)
1 − ε
(6.5)
donde
ε =
ν(C−F )2
ν(C−F )1
(6.6)
De las ecuaciones (6.5) y (6.6) podemos ver que si el poder dispersivo del vidrio de las
componentes positivas y negativas llegan a ser muy cercanas, i.e., ε se aproxima a la
unidad, entonces la potencia individual de las lentes se incrementa. Un incremento en
la potencia individual producirá un incremento en las aberraciones monocromáticas del
doblete. Por esta razón, es deseable mantener el poder de dispersión de las componentes
individuales tan diferentes como sea posible.
Para corregir el espectro secundario necesitamos llevar una tercer longitud de onda, e,
al foco paraxial de C y F , tal que además de las ecuaciones (6.1) y (6.2) otra ecuación
debe satisfacerse:
δK(C−e) = K(d)1ν(C−e)1 + K(d)2ν(C−e)2 = 0 (6.7)
Para satisfacer las ecuaciones (6.2) y (6.7) simultaneamente es necesario que
ε =
ν(C−F )2
ν(C−F )1
=
ν(C−e)2
ν(C−e)1
(6.8)
o
ν(C−F )2
ν(C−e)2
=
ν(C−F )1
ν(C−e)1
(6.9)
La razón ν(C−F )/ν(C−e) es conocido como la dispersión parcial relativa del vidrio, P .
P =
ν(C−F )
ν(C−e)
(6.10)
98
99
Figura 6.2: Lista de vidrios, catálogo de Schott.
Por lo tanto, podemos concluir que para traer las tres longitudes de onda a un foco
paraxial común necesitamos elegir dos vidrios con la misma dispersión parcial relativa.
P1 = P2 (6.11)
99
100 Análisis de dobletes apocromáticos
Pero también es necesario, elegir un par de vidrios con un poder dispersivo diferente, tan
diferente como sea posible para reducir las aberraciones monocromáticas.
Cuando se grafica la dispersión parcial relativa versus el inverso de la potencia de
dispersión, i.e., P versus V , se obtiene una relación lineal para la mayoría de los vidrios
ópticos [98]. A los vidrios que caen ”cerca"de la línea mostrada en la figura (6.2) se les
llama vidrios normales y anormales a los vidrios que se encuentran ”alejados” de ella.
Como podemos ver en la figura (6.2) prácticamente todos los vidrios se comportan como
normales en la región espectral donde P y V han sido evaluados y que corresponde al
rango entre las líneas C (656.3nm) y F(486.1nm). Por lo tanto, practicamente no hay pares
de vidrios normales que satisfagan tales condiciones, i.e., la corrección de la aberración
cromática longitudinal, la corrección del espectro secundario y mantener la curvatura de
las superficies suave para reducir las aberraciones de orden superior en una lente delgada.
A finales del año 1880, Abbe introdujo un vidrio de fluorita en las lentes de un micro-
scopio y se encontró que el espectro secundario fue reducido en un porcentaje muy alto.
Fue Abbe, quien le dio el nombre de corrección apocromática a la corrección del espectro
secundario.
Los dobletes apocromáticos que estudiaremos, fueron diseñados en la región infrarroja,
en el mismo rango espectral que los dobletes acromáticos de los capítulos 4 y 5. De tal
forma que la luz enfocada por estos dobletes para las longitudes de onda 750nm, 810nm y
1100nm, convergen en el foco paraxial del doblete.
Las características físicas de los dobletes apocromáticos que se estudian en este capítu-
lo, se muestran en la siguiente tabla. C indica la curvatura de cada una de las superficies
de las lentes. El espesor de cada lente esta determinado por el valor de d1 y d2. Al final
de la lista se agregó las características del doblete acromático de distancia focal 40mm
estudiado en el capítulo 5, estos datos se han obtenido del catálogo de Edmund.
Dobletes diseñados en el IR (λ0 = 810nm), f=40mm, a=6mm
Doblete C1(mm) C2(mm) C3(mm) d1(mm) d2(mm)
CaF2-BaLF4 (apo) 19.3747 -15.1623 -44.8017 6.0 3.0
FK51-K10 (apo) 23.9097 -8.3690 -70.1953 6.0 3.0
FK51-KzFSN2 (apo) 16.9444 -13.6914 -437.9819 4.5 2.5
FK51-KzFSN2∗ (apo) 16.1429 -13.3720 2115.0165 4.5 2.5
FK51-KzFSN2∗∗ (apo) 16.4450 -15.3211 -4044.73 4.5 2.5
LaK22-SF6 (acrom) 22.8100 -21.9100 -250.4900 4.5 2.5
Figura 6.3: Cn indica la curvatura de la superficie n, dn indica el grosor de la lente.
A continuación se muestra la calidad de la señal para un pulso de duración Tint =4.5fs
que se ha propagado por el doblete apocromático CaF2-BaLF4. También se muestran los
datos obtenidos de los segundos momentos en tiempo y espacio.
100
101
Figura 6.4: Se muestra la calidad de la señal y los anchos espacial y temporal para un doblete apoc-
romático con una duración t=4.5fs, analizadas hasta el segundo orden en la expansión del
número de onda.
A continuación se muestra la calidad de la señal para un pulso de duración Tint =4.5fs
que se ha propagado por el doblete apocromático FK51-K10. También se muestran los
datos obtenidos de los segundos momentos en espacio y tiempo. Se ha tomado la expansión
del número de onda hasta el segundo orden y se han considerado diferentes casos de
aberración esférica y cromática.
101
102 Análisis de dobletes apocromáticos
Figura 6.5: Calidad de señal y segundos momentos en tiempo y espacio, para un pulso de 4.5fs que se
ha propagado por el dobletes apocromático FK51-K10.
A continuación se presenta la calidad de la señal para el doblete apocromático FK51-
KzFSN2, desenfocado cada 50 micras sobre el eje óptico. Los resultados se han obtenido
al expandir el número de onda hasta el segundo orden. Cada curva presenta efectos difer-
entes, cuando se tiene PTD=0 y A=0, se muestra la señal en función únicamente del
desenfocamiento, en cambio cuando se considera la aberración esférica, indicado por A=1,
o la aberración cromática indicada por PTD=1, además del desenfocamiento la señal es
afectada por la aberración esférica y cromática.
102
103
Figura 6.6: Calidad de la señal y los segundos momentos en tiempo y espacio, para un pulso que se ha
propagado por el doblete con una duración de Tint = 4,5fs.
El análisis anterior, también se ha hecho para el mismo par de vidrios pero con difer-
entes curvaturas. La calidad de la señal se expone en las siguientes curvas.
103
104 Análisis de dobletes apocromáticos
Figura 6.7: Se muestra la calidad de la señal y los anchos temporal y espacial, para un doblete apoc-
romático con una duración t=4.5fs, analizadas hasta el segundo orden en la expansión del
número de onda, para el doblete apocromático FK51-KzFSN2∗.
Se han cambiado las curvaturas una vez más al doblete apocromático compuesto por
los vidrios FK51-KzFSN2, en busca de una reducción de la aberración esférica, los datos
obtenidos se muestran en las siguientes figuras.
104
105
Figura 6.8: Se muestra la calidad de la señal y los anchos temporal y espacial, para un doblete apoc-
romático con una duración t=4.5fs, analizadas hasta el segundo orden en la expansión del
número de onda, para el doblete apocromático FK51-KzFSN2∗∗.
Del análisis de las curvas de la señal para los últimos tres dobletes apocromáticos,
se concluye que se obtendrá un máximo en la señal para los dobletes apocromáticos
FK51-KzFSN2 y FK51-KzFSN2∗ a 50 micras hacia la lente, en cambio para el doblete
apocromático FK51-KzFSN2∗∗ se obtendrá a 100 micras alejandose de la lente.
En la siguiente figura se comparan las señales de todos los dobletes apocromáticos
estudiados. De los datos obtenidos se concluye que la señal máxima se obtendrá con el
doblete apocromático FK51-KzFSN2. Los valores de la señal máxima se presentan en la
siguiente tabla. Cada segundo momento, en tiempo y espacio, ha sido normalizado. El
valor de < τp >′ se ha normalizado con la duración inicial del pulso Tint. El valor del
ancho en espacio dado por el segundo momento < τv >′ se ha normalizado con el valor del
ancho < τv >0 del pulso que se ha propagado por una lente que no presenta aberración
105
106 Análisis de dobletes apocromáticos
esférica ni cromática, i.e., A=0 y PTD=0.
Tint=4.5fs, a=6mm , λ = 810nm, GVD=0, PTD=1, A=1
Doblete z ⋆(µm) < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
FK51-KzFSN2 zfo − 50 1.0009 1.1958 0.8280
FK51-KzFSN2∗ zfo − 50 1.1451 1.6775 0.5205
FK51-KzFSN2∗∗ zfo + 100 1.6977 3.0693 0.1902
FK51-K10 zfo + 100 1.3282 3.2125 0.2343
CaF2-BaLF4 zfo 1.7347 1.3865 0.4157
Figura 6.9: Se muestran los valores para los anchos espaciales y temporales, para la posisción z⋆, donde
el valor de 1/(< τp >< τv >) ha alcanzado el máximo. La posición del foco paraxial se ha
representado por zfo
.
106
6.1. Comparación de la calidad de la señal de los dobletes LaK22-SF6 y
FK51-KzFSN2 107
6.1. Comparación de la calidad de la señal de los dobletes
LaK22-SF6 y FK51-KzFSN2
En base a estos resultados se ha comparado la calidad de la señal de el doblete apoc-
romático FK51-KzFSN2 y el doblete acromático LaK22-SF6, de la misma apertura numéri-
ca 0.15, para un pulso de duración igual a Tint =4.5fs.
Tint=4.5fs, a=6mm, zfo − 50(µm), λ = 810nm, GVD=0, PTD=1, A=1
Doblete < τp > < τv > 1/(< τp >< τv >)
LaK22-SF6 1.6980 1.4825 0.3972
FK51-KzFSN2 1.0009 1.1958 0.8280
Figura 6.10: Se muestran los valores para los anchos temporales y espaciales, para la posisción zfo
−
50(µm), donde el valor de 1/(< τp >< τv >) ha alcanzado el máximo. Analizadas hasta el
segundo orden en la expansión del número de onda.
Los valores indicados en la tabla de la figura (6.10) muestran que la calidad de la señal
107
108 Análisis de dobletes apocromáticos
para el doblete apocromático es mayor al doble que la calidad obtenida con el doblete
acromático. Estos resultados dejan claro que el camino para optimizar la intensidad en
algún dispositivo, en el cual se necesite enfocar luz pulsada, los dobletes apocromáticos
son la mejor opción para pulsos con duraciones menores a 20fs.
A continuación se presenta la calidad de la señal cuando se ha considerado el término de
GVD de tercer orden (GVD=1), para el doblete acromático y apocromático, para pulsos
de duración Tint=4.5fs. En la misma gráfica se aprecia la calidad de la señal para ambos
dobletes cuando no se considera el término de GVD.
Figura 6.11: Calidad de la señal para los dobletes acromático (LaK22-SF6) y apocromático (FK51-
KzFSN2), considerando el efecto de PTD y aberración esférica y diferentes condiciones de
GVD, para pulsos con duración de 4.5fs.
Por los resultados mostrados en la figura (6.11), se puede observar que el efecto de
GVD de tercer orden para pulsos con duración Tint =4.5fs, disminuye la calidad de la
señal en forma considerable. Si es que se desea aumentar la calidad de la señal es necesario
usar un reconfigurador de pulsos como el MIIPS [24–27], en el cual se modula la fase del
pulso anulando los efectos de GVD de todos los órdenes.
A continuación se presenta el mismo análisis de la gráfica (6.11), pero ahora con-
siderando pulsos de duración Tint=10fs. Se presenta la calidad de la señal para el doblete
acromático y apocromático considerando el efecto de aberración cromática y esférica, para
el primer caso se toma el efecto de GVD de tercer orden y en el segundo caso no. De la
gráfica (6.12) se concluye que el máximo de la señal se obtiene a 50 micras hacia la lente,
medido a partir del foco paraxial. Cuando se ha corregido el efecto de GVD a todos los
órdenes (GVD=0), la lente apocromática da una calidad de señal, proxima a 0.9, este valor
es superior al alcanzado con el doblete acromático.
108
6.1. Comparación de la calidad de la señal de los dobletes LaK22-SF6 y
FK51-KzFSN2 109
Figura 6.12: Calidad de la señal para los dobletes acromático (LaK22-SF6) y apocromático (FK51-
KzFSN2), considerando el efecto de PTD y aberración esférica y diferentes condiciones de
GVD para pulsos con duración de 10fs.
Las siguientes imágenes muestran la misma sección de higado de ratón obtenidas con
microscopía de dos fotones con ayuda de un láser pulsado de 10fs y un objetivo apoc-
romático, por Dantus [25]. En la primera figura se observa la imagen obtenida cuando se
ha corregido la dispersión de la velocidad de grupo hasta el segundo orden y la segunda
figura cuando se ha corregido a todos los órdenes de GVD.
Figura 6.13: Imagen de la misma sección de tejido de ratón, obtenida compensado: (a) el segundo orden
de GVD, (b) el segundo orden y ordenes superiores de GVD, usando un láser pulsado de
10fs, con una longitud de onda de la portadora λ0 =800nm, usando un objetivo apoc-
romático. Marcos Dantus, et al. [25].
Son los resultados que se indican en la gráfica (6.14),los que se ven plasmados en la
109
110 Análisis de dobletes apocromáticos
figura (6.13), donde la calidad de la imagen se mejora, al corregir el efecto de GVD a
ordenes superiores al segundo orden.
Por último, estudiamos la calidad de la señal de pulsos de 20fs enfocados por el doblete
acromático y el doblete apocromático, sobre el eje óptico de cada sistema. La calidad de
la señal se ve disminuida por el efecto de PTD y aberración esférica.
-400 -200 0 200 400
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Foco paraxial
1/
<
p>
<
v>
z( m)
 Apocromática  
 Acromática
f0=40mm, a=6mm, Tint=20fs, PTD=1, A=1, GVD=0
Figura 6.14: Comparación de la calidad de la señal obtenida con el doblete acromátic (LaK22-SF6)
y el doblete apocromático (FK51-KzFSN2), considerando el efecto de PTD y aberración
esférica, para pulsos de 20fs. GVD=0.
La calidad de la señal se ha obtenido con los valores de los segundos momentos < τp >
y < τv >. El valor de < τv > ha sido escalado por el valor de < τv >0 igual a 4.3996×10−6
para el doblete acromático y 4.4207×10−6 para el doblete apocromático.
El valor máximo de la calidad de la señal, alcanzado por ambos dobletes se localiza a
50 micra hacia la lente. El valor máximo para el doblete acromático es 0.7846 y para el
doblete apocromático es 0.8385, por lo que, para pulsos de esta duración la diferencia en
la intensidad obtenida por los dobletes es pequeña.
110
CAPÍTULO 7
Estudio de la difracción creada por el
borde de la lente
En este capítulo estudiaremos como se ve afectado el pulso que se ha propagado por
una lente, cuando el pulso se observa a una distancia grande respecto a la posición del foco
paraxial |z| >> z0. Debido a la difracción en el borde de la lente y a la simetría circular
de ésta, se origina un pulso secundario sobre el eje óptico, el cual puede llegar antes o
después del pulso principal, según la distancia a la que se observe sea mayor o menor que
la distancia focal paraxial respectivamente.
Suponiendo que una lente es iluminada de manera uniforme por un pulso de femtose-
gundos, donde el frente del pulso que incide en la lente es plano y el campo eléctrico del
pulso, depende solamente del tiempo.
El campo en el plano A, puede describirse por la función [52]
h(t) = E0s(t) exp(iω0t) (7.1)
Donde s(t) es la envolvente del pulso, ω0 es la frecuencia de la onda portadora del pulso
y E0 es una constante. La duración temporal del pulso a la mitad del máximo en el perfil
de intensidad esta dado por τ . La envolvente del pulso es diferente de cero sólo dentro del
intervalo (−mτ, mτ).
La transformada de Fourier de una función g(ξ) se define como
G(µ) = Fξ(g(ξ)) =
∫ ∞
−∞
g(ξ)e−iµξdξ (7.2)
donde el subíndice ξ indica la variable de integración.
111
112 Estudio de la difracción creada por el borde de la lente
Figura 7.1: Esquema de la notación usada. z y r son las coordenadas cilíndricas del punto P , medidas
desde el plano focal de la frecuencia central y el eje óptico respectivamente.
La transformada inversa de Fourier, esta definida por
g(ξ) = F−1
µ (G(µ)) =
1
2π
∫ ∞
−∞
G(µ)eiµξdµ (7.3)
El campo eléctrico después de la lente, se puede expresar como:
Ẽ(z, r, t) =
ia2
0
4πc
∫ ∞
−∞
ωH(ω)
f(ω)
e−iMD0
(
C(u, v) + iS(u, v)
)
eiω(t− z
c
)dω (7.4)
Donde H(ω), es la transformada de Fourier de h(t). f(ω) es la distancia focal que depende
de la frecuencia, para una lente de radio a0 y grosor D0.
C(u, v) y S(u, v) pueden calcularse usando las funciones de Lommel. u y v son las
coordenadas adimensionales del punto P
u =
ω
c
(a0
f
)2
(z + f0 − f), v =
ω
c
a0
f
r (7.5)
El factor de fase φ0, esta determinado por φ0 = 2πD0n
′(λ0), donde n′(λ0) = dn/dλ
evaluado en λ0, n es el índice de refracción del material. El factor de fase es un término
que no aparece en la intensidad, al multiplicar el campo por su conjugado. M representa
las derivadas del segundo orden y mayores, de la serie de Taylor de kn(ω) = ωn(ω)/c
alrededor de ω0. En el cálculo que se presenta se ha supuesto que M es igual a cero, por lo
que todos los términos superiores al segundo orden de la dispersión han sido despreciados.
Sobre el eje óptico r = 0, teniendose v = 0, esto simplifica las expresiones de S y C
C(u, 0) =
sin(u/2)
u/2
S(u, 0) =
1 − cos(u/2)
u/2
(7.6)
112
113
Por lo que se puede expresar
i[C(u, 0) + iS(u, 0)] = i
[sin(u/2)
u/2
+ i
1 − cos(u/2)
u/2
]
=
exp(iu/2) − 1
u/2
(7.7)
El campo eléctrico sobre el eje óptico el campo eléctrico esta dado por:
E(z, t) = Ẽ(z, 0, t)
=
ia2
0
4πc
e−iφ0
∫ ∞
−∞
ωH(ω)
f(ω)
(
C(u, 0) + iS(u, 0)
)
eiω(t− z
c
)dω
=
a2
0
4πc
e−iφ0
∫ ∞
−∞
ωH(ω)
f(ω)
(exp(iu/2) − 1
u/2
)
eiω(t− z
c
)dω (7.8)
tomando ξ = t − z
c
, se puede escribir
Ẽ(z, 0, t) =
a2
0
4πc
e−iφ0
∫ ∞
−∞
ωH(ω)
f(ω)
(exp(iu/2) − 1
u/2
)
eiωξdω (7.9)
Expresado de esta forma, se puede relacionar con la transformada de Fourier inversa, dada
por la expresión (7.3)
Ẽ(z, 0, t) =
a2
0
4πc
e−iφ02πF−1
ω
(
ωH(ω)
f(ω)
exp(iu/2) − 1
u/2
)
=
a2
0
2c
e−iφ0F−1
ω
(
ωH(ω)
f(ω)
exp(iu/2) − 1
u/2
)
(7.10)
Para una lente sin aberración cromática, cada una de las ondas monocromáticas que
forman al pulso son enfocadas en el mismo punto, por lo que f(ω) = f0, con esto, la
expresión del campo difractado se reduce
Ẽ(z, 0, t) =
a2
0
2cf0
e−iφ0F−1
ω
(
ωH(ω)
exp(iu/2) − 1
u/2
)
(7.11)
Definimos Ta de la siguiente manera
Ta(z) =
(a0
f0
)2 z
2c
(7.12)
y con ella se define la función
Ba(u) =
eiωTa − 1
iωTa
Con estas definiciones el campo puede reescribirse como
Ẽ(z, 0, t) =
a2
0
2cf0
e−iφ0F−1
ω
(
H(ω)iωBa(ω)
)
(7.13)
113
114 Estudio de la difracción creada por el borde de la lente
Usando la convolución de la transformada de Fourier de dos funciones [101],
F−1
ω
(
H(ω)iωBa(ω)
)
= F−1
ω (H(ω))⊗ F−1
ω (iωBa(ω))
= h(ξ) ⊗ F−1
ω (iωBa(ω)) (7.14)
Para calcular ba(ξ), la transformada de Fourier inversa de iωBa(µ), resolvemos la sigu-
iente ecuación:
F−1
ω (iωBa(ω)) =
1
2π
∫ ∞
−∞
iωBae
iωξdω (7.15)
=
1
2π
∫ ∞
−∞
iω
(eiωTa − 1
iωTa
)
eiωξdω (7.16)
=
1
2πTa
∫ ∞
−∞
(eiωTa − eiωξ)dω (7.17)
=
δ(Ta + ξ) − δ(ξ)
Ta
(7.18)
A partir de este resultado se considera el caso cuando z 6= 0 y cuando z = 0, de ello se
obtiene
F−1
ω (iωBa(ω)) =
{
δ(ξ+Ta)−δ(ξ)
Ta
para Ta 6= 0 (z 6= 0)
δ′(ξ) para Ta = 0 (z = 0)
(7.19)
De este resultado la convolución de las funciones h(ξ) y ba(ξ), esta determinada por:
h(ξ) ⊗ F−1
ω (iωBa(ω)) =
{
h(ξ+Ta)−h(ξ)
Ta
para Ta 6= 0 (z 6= 0)
h′(ξ) para Ta = 0 (z = 0)
(7.20)
Sustituyendo en la ecuación 7.14, el campo difractado esta dado por la ecuación
Ẽ(z, 0, t) =
{
a2
0
2cf0Ta
e−iφ0(h(ξ + Ta) − h(ξ)) para Ta 6= 0 (z 6= 0)
a2
0
2cf0
e−iφ0h′(ξ) para Ta = 0 (z = 0)
(7.21)
sustituyendo el valor de ξ, podemos expresar al campo difractado por la lente de la forma:
Ẽ(z, 0, t) =



f0
z
e−iφ0
(
h(t − z
c
+ Ta) − h(t − z
c
)
)
para Ta 6= 0 (z 6= 0)
a2
0
2cf0
e−iφ0h′(t) para Ta = 0 (z = 0)
(7.22)
El desarrollo expuesto de la convolución de las funciones H(ω) y B(ω) en este capítulo,
es más sencillo que el que se puede leer en el trabajo de Bor, [52]. Esta última ecuación
indica que para z = 0, el campo difractado es igual a la derivada temporal del pulso
de entrada. Para puntos donde |Ta| >> τ , indica que estamos alejados del punto focal
114
115
paraxial, donde dos pulsos aparecen con una diferencia de tiempo Ta(z), lo que se puede
apreciar en la figura (7.2). El pulso predicho por la óptica geométrica, es llamado el pulso
principal, el otro pulso creado por la difracción en el borde de la lente, se define como el
pulso secundario o boundary wave pulse y llega después que el pulso principal si z < 0,
frente al punto focal paraxial y precede al pulso principal si z > 0, ubicando su posición
detrás del punto focal paraxial, [52].
Figura 7.2: Se muestra el pulso principal y el creado por la difracción en el borde de la lente, para cuando
la distancia z < 0 y z > 0. El resultado Ta se obtiene considerando PTD=0, A=0, GVD=0.
Se ha comprobado la existencia del pulso secundario, a través de mediciones experimen-
tales del espectro y la distribución de la intensidad radial de un pulso de femtosegundos
a través de una apertura circular, para cuando el tiempo de separación de los pulsos es
suficientemente grande comparado con la duración de los pulsos, predicho teóricamente y
medido experimentalmente por Horváth, et. al. [105–107]. El experimento descrito en [105],
se ha realizado con un láser de Ti:Zaf, con pulsos de duración de 20fs, con una longitud
de onda de la portadora de 800nm y un ancho de banda asociado de 55nm, enfocando al
pulso con una lente de distancia focal de 25mm.
A continuación se muestra el pulso que se ha propagado por un doblete acromático
115
116 Estudio de la difracción creada por el borde de la lente
(LaK22-SF6) de semidiámetro igual a 6mm y distancia focal de 40mm, bajo condiciones
ideales, i.e. A=0, PTD=0 y GVD=0. También se observa
Considerando A=0, PTD=0, GVD=0
(a) f0 − 1250µm (b) f0 + 1250µm
(c) f0 − 1250µm (d) f0 + 1250µm
Considerando A=1, PTD=1, GVD=1
(e) f0 − 1250µm (f) f0 + 1250µm
(g) f0 − 1250µm (h) f0 + 1250µm
Figura 7.3: Distribución de la intensidad para pulsos alejados 1250 micras del foco paraxial. Se observa
el pulso creado por la difracción en la orilla de la lente.
116
117
el pulso después de propagarse por el mismo doblete acromático, pero ahora consideran-
do los efectos de aberración esférica, cromática y GVD de tercer orden, (A=1, PTD=1 y
GVD=1), para dos posiciones de desenfocamiento, z = −1250µm y z = +1250µm medidas
a partir del foco paraxial z = 0µm.
El pulso originado por la difracción en el borde de la lente, puede observarse en la figura
(7.3). Midiendo directamente la separación de los máximos en la figura, hemos estimado
que la separación temporal entre los pulsos es de 47fs, por otra parte, calculamos Ta en base
a la ecuación (7.12), donde Horváth et.al. [52], predicen la existencia del pulso secundario
y se obtuvo Ta =46.85fs. Se observa que la distorsión en el pulso provocado por el efecto
de dispersión de tercer orden modifica tanto en el pulso principal como al generado en el
borde de la lente.
Con estos resultados, hemos verificado la presencia del pulso secundario, en la posición
indicada por Bor et.al., [52]. A pesar de considerar los efectos de aberración esférica,
cromática y GVD de tercer orden, la posición del pulso secundario es practicamente la
misma que cuando no se considera ninguno de estos efectos.
En el caso que se considere la aberración cromática de la lente (PTD=1), la expresión
que determina la distancia temporal entre el pulso principal y el boundary wave pulse,
es diferente. Para una lente acromática el calculo exacto de la transformada inversa de
Fourier en la ecuación (7.8) puede realizarse de una forma sencilla, pues u definida en la
ecuación (7.5) esta descrita como una función lineal en las frecuencias ω. Ahora tomando
una aproximación lineal de ω alrededor de ω0, se obtiene:
f(ω)
ω
u
2
=
a2
0
2c
z + f0 − f(ω)
f(ω)
≈ −a2
0
2c
f ′(ω0)
f(ω0)
∆ω (7.23)
y
u
2
≈ ∆ωT (7.24)
se obtiene:
ω
f(ω)
exp(iu/2) − 1
u/2
≈ − 2cf(ω)
a2
0f
′(ω)
exp(i∆ωT ) − 1
∆ω
(7.25)
donde ∆ω = ω − ω0 y
T = T (z) = −ω0f
′(ω0)
a2
0
2cf 2(ω0)
(7.26)
Al sustituir la ecuación (7.25) en la ecuación (7.8), el campo eléctrico puede ser escrito de
la forma:
E(z, t) = −i
f(ω0)
f ′(ω0)
e−iφ0F−1
ω
(
H(ω)ωB(∆ω)
)
|ξ=t−z/c (7.27)
donde la función B esta dada por
B(µ) =
eiµT − 1
iµ
117
118 Estudio de la difracción creada por el borde de la lente
siguiendo el mismo desarrollo que se mostró anteriormente, se obtiene que el campo que
ha sido enfocado por la lente, consta de dos pulsos separados por la distancia temporal T .
En la figura (7.4), se observa el pulso que ha sido enfocado por una lente de BK7, el
resultado se ha obtenido con la solución analítica en las frecuencias, considerando unica-
mente el efecto de PTD (i.e., PTD=1, A=0, GVD=0), se analizó un pulso que ilumina
de manera uniforme a una lente de diámetro igual a 10mm y distancia focal de 30mm,
cuya duración es de Tint = 7,2fs y una longitud de onda de la onda portadora igual a
λ0 = 620nm, de manera análoga al resultado mostrado por Bor, [52], en donde él considera
un pulso de 6fs medidos con el criterio TFWHM . Siendo la distancia focal de la lente 30mm,
se muestra el pulso sobre el eje óptico a una distancia de 200µm hacia la lente, en la posición
z = 29,8mm medidos a partir de la lente. La figura que se muestra corresponde al mismo
caso que la figura 6 del artículo de Horváth y Bor (1994) [52]. Midiendo directamente de
la gráfica, sobre los máximos de los pulsos, se estima que la separación entre máximos
es de aproximadamente 60fs. Tomando los valores a0 =5mm, f30mm, ω0=3.038PHz y
f ′(ω0)=-0.429mm/PHz, el tiempo estimado de T es igual a 60.32fs.
Figura 7.4: Se observa la distorsión de un pulso de Tint = 7,2fs y λ0 = 620nm, a una distancia de 200
micras del foco paraxial, debido a el pulso secundario.
El valor del segundo momento en tiempo < τp > es igual a 7.7188, mientras que en
espacio el valor del segundo momento < τv >′ es 2.4774×10−5.
En la literatura se menciona que la velocidad con la que se propaga el pulso creado
por la difracción en el borde de la lente, es un pulso que viaja a velocidades mayores a la
velocidad de la luz, se menciona que este resultado no contradice la teoría de la relatividad
general, pues el pulso es un fenómeno de la interferencia de la difracción creada en el borde
y no es una señal real, [52]. Sin embargo, los mismos autores, siete años más tarde, miden
la intensidad del boundary wave pulse, [106], sin mencionar alguna definición de señal que
clarifique lo antes expuesto.
118
CAPÍTULO 8
Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0
Dentro del análisis del campo difractado una vez que éste ha pasado por un sistema
refractivo, se han realizado varias aproximaciones, una de ellas es que el ancho de fre-
cuencias que genera el pulso, es mucho menor al valor de la frecuencia central del pulso,
i.e., ∆ω/ω0 → 0. Esta es una aproximación realizada en todos los trabajos que incluyen
una solución analítica [10, 15, 22, 59]. Sheppard [63, 64], menciona que el termino ∆ω/ω0,
tiene una influencia importante en la formación de imágenes, en particular en las imágenes
obtenidas por escaneo confocal, donde un láser de femtosegundos puede ser usado para
resolver una imagen. En este capítulo estudiaremos como este término afecta la calidad
de la señal para una lente simple de BK7, el doblete acromático LaK22-SF6 y el doblete
apocromático FK51-KzFSN2, cada uno de ellos tiene una distancia focal de 40mm y un
semidiámetro de 6mm. El análisis presentado se realiza para pulsos de 20fs y una longitud
de onda de la portadora igual a 810nm. Se ha considerado el efecto de PTD y la aberración
esférica del sistema.
El término ∆ω/ω0 se encuentra en tres términos de la integral que debemos resolver
para encontrar el campo difractado en la región focal. Estos términos se pueden identificar
en el desarrollo a segundo orden en la ecuación (A.37) del apéndice A, donde el campo
esta descrito por la siguiente ecuación:
U(r, u, v, z, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ir2∆ω
{
k0ρ2
2
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
)
+ u
2ω0
−
k0ρ2
2ω0
}
× e
−ik0
(ρr)2
2
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(8.1)
119
120 Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0
El primer término que incluye ∆ω/ω0, se encuentra en la aberración de la lente Θ, dentro
de la expansión del número de onda (ka)
Θ(r) = kaW (r) (8.2)
Donde el número de onda en el aire, esta descrito por
ka ≡ k0
(
1 +
∆ω
ω0
)
(8.3)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (8.2) y el valor de W definido en el capítulo 1,
la aberración esta descrita por la expresión
Θ(r) = −1
8
k0
(
1 +
∆ω
ω0
)
(S1 + S2)r
4 (8.4)
donde S1 y S2 son los coeficientes de Seidel, que estan definidos por las curvaturas de
las lentes y el índice de refracción de las mismas. En caso de tener una lente simple, solo
tenemos la contribución de uno de estos dos términos, en el programa de computo, el
coeficiente de Seidel S2 se iguala a cero.
El segundo término que incluye el término ∆ω/ω0, se encuentra relacionado con la
función de Bessel J0, el cual esta expresado por la siguiente relación
J0
(
vr
(
1 +
∆ω
ω0
))
(8.5)
al tomar la aproximación ∆ω/ω0 → 0, el término que contribuye a la amplitud del campo
es J0(vr). El último término, al que nombramos V , que incluye el término ∆ω/ω0, esta
descrito por la siguiente exponencial
V = exp
[(
1 +
∆ω
ω0
)( v2
4N
)]
(8.6)
Para obtener el campo en el plano focal, se obtiene la transformada de Fourier del
campo, una vez que ha viajado por la lente:
U(r, u, v, z, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i(∆ω)tU(r, u, v, z, ∆ω) (8.7)
Al considerar el término ∆ω/ω0, en la aberración esférica, el término de J0 y V , cada
uno de estos términos debe ser incluido dentro de la integral sobre las frecuencias, para
encontrar el campo cerca de la región focal.
De tal forma que el campo del pulso que ha sido enfocado por un sistema refractivo,
cerca de la región focal tomando el término ∆ω/ω0, esta expresado por la siguiente relación
120
121
U(r, u, v, z, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× e−i∆ω(t−τ ′+r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]e−i( r2u
2
)
× e
i( v2
4N
)(1+∆ω
ω0
)
J0
(
vr
(
1 +
∆ω
ω0
))
(8.8)
Sustituyendo el término de la aberración Θ, finalmente se obtiene:
U(r, u, v, z, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)e
i 1
8
k0(1+
∆ω
ω0
(S1+S2)r4)
eik0(n1d1+n2d2)
× e−i∆ω(t−τ ′+r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]e−i( r2u
2
)
× e
i( v2
4N
)(1+∆ω
ω0
)
J0
(
vr
(
1 +
∆ω
ω0
))
(8.9)
Esta ecuación es análoga a la ecuación (A.42), que se encuentra en el apéndice A, sin
embargo, en la ecuación (8.9), se han incluido los términos ∆ω/ω0 donde corresponden.
Los resultados expuestos han sido posibles gracias al método de integración de Gauss-
Legendre. Aún con ayuda de este método, el tiempo de calculo computacional ha llegado
a ser de 36 horas, este incremento se ha debido a la inclusión del término J0 en la integral
de las frecuencias.
En la figura (8.1), se muestra el perfil de intensidad de los pulsos con duración de
Tint =20fs, vistos en el plano (t, v). El primer renglón muestra el resultado considerando
que el término ∆ω/ω0 es igual a cero, en el segundo renglón cuando es diferente de cero
sólo en el término de V , en el tercer renglón cuando se ha tomado el término ∆ω/ω0
sólo en J0, después sólo en el número de onda que aparece en la aberración esférica Θ y
finalmente cuando es diferente de cero para todos los términos en los que aparece, i.e., V ,
J0 y Θ.
121
122 Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0
Apocromática Acromática BK7
∆ω
ωo
→ 0
V
J0
Θ
V , Θ,J0
Figura 8.1: Vista superior del perfil de intensidad, para un pulso de duración Tint = 20fs, después de
viajar por una lente refractiva.
En la figura (8.2), se observa el perfil de intensidad de pulsos de 20fs, que han sido
enfocados por diferentes sistemas refractivos de apertura numérica 0.15mm.
122
123
Apocromática Acromática BK7
∆ω
ωo
→ 0
V
J0
Θ
V , Θ,J0
Figura 8.2: Perfil de intensidad para un pulso de duración Tint = 20fs, al ser enfocado por el sistema
refractivo indicado.
Los datos que se muestran en la tabla (8.3), se han obtenido cuando la expansión del
número de onda se realiza a segundo orden, i.e., GVD=0, se ha considerado la aberración
esférica de la lente (A=1) y la aberración cromática (PTD=1). En el mismo orden en el
que se presentaron las figuras, se muestran los datos cuando el término ∆ω/ω0 = 0, y
después cuando se ha tomado el término ∆ω/ω0, en cada uno de los términos indicados.
Los segundos momentos en tiempo, se han normalizado con la duración del pulso, 20fs,
en cada caso, se ha obtenido < τp >= 1,0451. Los segundos momentos en espacio se
han normalizado respecto al segundo momento que se obtiene al no considerar el efecto
de la aberración esférica de la lente, ni el efecto de PTD, pero considerando ∆ω/ω0 en
123
124 Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0
los términos de V y de J0. Para el doblete apocromático este valor es igual a < τv >0=
4,3766× 10−6, para el doblete acromático < τv >0= 4,4040× 10−6, y para la lente simple
< τv >0= 5,2540 × 10−6.
f = 40mm, a=6mm , λ = 810nm, GVD=0, PTD=1, A=1, zf
t=20fs Apocromático Acromático BK7
∆ω
ωo
= 0 < τp >= 1,0108 < τp >= 1,1026 < τp >= 1,2761
< τv >= 5,5156 < τv >= 2,6146 < τv >= 4,7332
S = 0,1794 S = 0,3468 S = 0,1655
∆ω/ωo 6= 0 en V < τp >= 1,0106 < τp >= 1,0269 < τp >= 1,2752
< τv >= 5,5156 < τv >= 2,6146 < τv >= 4,7332
S = 0,1794 S = 0,37724 S = 0,1656
∆ω/ωo 6= 0 en J0 < τp >= 1,3010 < τp >= 1,1579 < τp >= 1,5579
< τv >= 5,5111 < τv >= 2,6316 < τv >= 4,7496
S = 0,1394 S = 0,3281 S = 0,1351
∆ω/ωo 6= 0 en Θ < τp >= 1,0050 < τp >= 1,0127 < τp >= 1,5060
< τv >= 1,0023 < τv >= 1,0043 < τv >= 1,0233
S = 0,9927 S = 0,9832 S = 0,6488
∆ω/ωo 6= 0 en v,Θ, J0 < τp >= 1,0502 < τp >= 1,0574 < τp >= 1,5406
< τv >= 1,0033 < τv >= 1,0053 < τv >= 1,0257
S = 0,9490 S = 0,9407 S = 0,6328
Figura 8.3: Valores del ancho espacial y temporal de un pulso dispersado por diferentes sistemas con
diferentes aproximaciones del valor ∆ω/ωo, en la posición del foco paraxial se ha representado
por z= fo.
De los datos en la tabla 8.3, se han obtenido las siguientes curvas, donde se expone la
calidad de la señal, así como los segundos momentos del campo eléctrico.
124
125
Figura 8.4: Calidad de señal y segundos momentos para diferentes sistemas refractivos, con diferentes
consideraciones del término ∆ω/ω0.
De los resultados expuestos en la tabla y las gráficas, se concluye que la calidad de la
señal es mayor cuando se considera el término ∆ω/ωo en todos los términos involucrados,
i.e., V , J0 y Θ. Por ejemplo para el doblete apocromático, se ha obtenido el valor de
S =0.1794 para el caso en el que ∆ω/ωo = 0, en cambio, cuando este término se incluye
en cada término, el valor de S es igual a 0.9490. Esto indica que la calidad de la señal en
el foco paraxial será 5.28 veces mayor que la que se había predicho con la aproximación
∆ω/ωo = 0. La aberración esférica provoca una disminución del segundo momento en
espacio < τv >, aumentando drásticamente el valor de la calidad de la señal. El doblete
apocromático, es el que da la calidad de la señal máxima.
Estos resultados, muestran la importancia del término ∆ω/ω0 para la calidad de la señal
del campo difractado. Como menciona Sheppard [63,64], no es trivial el despreciar el ancho
125
126 Análisis de la aproximación ∆ω/ω0 → 0
de banda, él menciona que este término tiene consecuencias importantes en la obtención
de imágenes, obtenidas por escaneo confocal, cuando un láser de pocos femtosegundos se
usa para resolver la imagen en tiempo. El análisis del término ∆ω/ω0, para la difracción
del campo de pulsos de menos de 20fs, debe profundizarse.
126
CAPÍTULO 9
Conclusiones
La expresión que proporciona el campo difractado de un pulso de luz que ha sido
enfocado por una lente, tiene dos integrales, una en espacio y otra en frecuencias. Si la
expansión del número de onda se realiza hasta segundo orden, la integral en frecuencias
tiene una solución analítica (ecuación (1.146)), en cambio, si se realiza una expansión
del número de onda hasta el tercer orden, la integral en frecuencias debe resolverse por
algún método numérico (ecuación (1.144)). En ambos casos, la integral en espacio debe
resolverse por un método numérico. En este trabajo de tesis, se ha estudiado por primera
vez en la literatura el efecto de la dispersión de la velocidad de grupo de tercer orden. Esto
ha sido posible a la implementación del método de integración de Gauss-Legendre, con ello
se ha determinado el tipo de sistema refractivo que da una mejor calidad de señal. En esta
tesis hemos definido la calidad de señal en términos de los segundos es espacio y tiempo
del campo eléctrico del pulso, para evaluar donde se obtiene la máxima concentración de
energía por unidad de área y de tiempo.
En el capítulo 2, se estudiaron los segundos momentos en espacio y tiempo (< τv >
y < τp >) por medio de la integración analítica en las frecuencias y con el método de
Gauss-Legendre, considerando en el último, 96 nodos, tomando la expansión del número
de onda hasta el segundo orden y 400 iteraciones en el cálculo de la intensidad en espacio y
tiempo, los resultados obtenidos por cada método de integración, difieren hasta un 1 % para
el segundo momento en tiempo y hasta 0.000006 % para el segundo momento en espacio.
Por otra parte, el tiempo de cálculo computacional para determinar el campo difractado al
usar el método de rectángulos para resolver la integral en espacio y conociendo la solución
analítica en las frecuencias es de 36 minutos, si ahora la integral sobre las frecuencias
se realiza con el método de Gauss-Legendre el tiempo de calculo es de 70 minutos y al
considerar el método de rectángulos para resolver la integral en frecuencias, el tiempo
de calculo es poco más de 6 días. Los resulados se obtuvieron con un procesador AMD
Phenom(tm) 8400 Tripe-Core Processor. Con estos resultados obtuvimos que el método
de Gauss-Legendre reduce en 95 % el tiempo de cálculo respecto al tiempo de cálculo
127
128 Conclusiones
necesario para realizar la integral sobre frecuencias mediante el método por rectángulos.
En el capítulo 3 se estudio con ayuda del método de Gauss-Legendre, el efecto que tiene
la diferencia del tiempo de propagación (PTD), en la calidad de la señal, cuando pulsos
con una longitud de onda de la portadora de λ0=620nm y una duración de Tint=7.2fs
iluminan de manera uniforme lentes simples de BK7. Se calculó la calidad de la señal para
lentes cuyo radio comprende desde 0.25mm hasta 5mm. Con ello se determinó la curva
de la calidad de la señal y se comparó con la curva de intensidad que se reporta en el
trabajo de Bor [52], de lo cual se concluye que la calidad de la señal es una medida que
describe el mismo comportamiento que la intensidad. Así que la cantidad ”calidad de la
señal” propuesta en este trabajo de tesis, determina una medida de la intensidad del pulso
al ser enfocado por una lente. En este resultado, radica la importancia de los resultados
posteriores, en donde se reporta la calidad de la señal. Al estudiar la calidad de la señal
para lentes de diferente radio, se determinó que la máxima calidad de la señal, se obtiene
para un radio muy cercano al predicho por Bor como óptimo, [52], con lo que confirmamos
su predicción. Se hizo un análisis del valor ∆T ′, el cual indica el valor del efecto de PTD
calculado de la óptica geométrica, y se comparó con el valor del segundo momento < τp >′
para los pulsos de 7.2fs en la posición del foco paraxial, con ello se comprobó que el
valor indicado por la óptica geométrica es cercano al valor de la óptica física. Después se
consideraron los efectos de GVD de tercer orden y la aberración esférica de la lente en el
calculo del campo difractado, para este caso encontramos que la calidad de señal es mayor
para la misma lente, si se considera unicamente el efecto de PTD. Por lo que la predicción
de Bor, para el radio óptimo es correcta a pesar de tener los efectos de GVD de tercer
orden y la aberración esférica de la lente. Este resultado se ha obtenido ya que se estudio
una lente simple, donde el efecto dominante es la aberración cromática. En este Capítulo
también se analizó el efecto de PTD, para pulsos de Tint =10fs, Tint =20fs y una longitud
de onda de la portadora de 810nm, considerando únicamente el efecto de PTD, el valor
de la calidad de la señal obtuvo máximos en posiciones cada vez más alejadas del valor
del radio óptimo de Bor, al aumentar la duración del pulso y aún más al considerar los
efectos de aberración esférica y de GVD.
En el capítulo 4, se analizaron dobletes acromáticos comerciales, fabricados con los
vidrios LaK22 y SF6, todos ellos de igual diámetro pero de diferente distancia focal,
f=18mm, f=20mm, f=25mm, f=30mm y f=40mm. Usando el método de Gauss-Legendre,
hemos evaluado la intensidad espacio-temporal de un pulso de 10fs y longitud de onda de la
onda portadora igual a λ0 = 810nm a lo largo del eje óptico de cada doblete, suponiendo
que el doblete es iluminado de manera uniforme y el haz colimado se propaga paralelo
al eje óptico de la lente. Hemos encontrado que la intensidad máxima no se encuentra
en el foco paraxial sino a 50µm hacia la lente, que corresponde a la posición para la
cual el ensanchamiento espacial del pulso es mínimo. Hemos supuesto que la dispersión
de la velocidad de grupo de segundo orden es cero, dado que es un efecto que se puede
corregir usando un compresor de pulsos basado en un par de prismas, por ello se estudió
solamente el efecto de tercer orden de GVD. Se encontró que la dispersión de la velocidad
de grupo de tercer orden disminuye la calidad de la señal para pulsos de 10fs de manera
128
129
importante, esto fue determinado ya que es posible manejar de manera independiente los
diferentes efectos, i.e., GVD, PTD y aberración esférica. Se encontró que la calidad de
la señal es máxima para el doblete de distancia focal de 40mm. Aún corrigiendo todos
los efectos de GVD, la calidad de la señal se ve disminuida por la aberración esférica y
el efecto de PTD, llegando a ser hasta del 70 % comparada con la calidad de señal ideal
(100 %), para el doblete de distancia focal de 40mm. La calidad de la señal es mayor para
el doblete acromático de apertura numérica 0.15, (NA=0.15), ó distancia focal 40mm y va
disminuyendo con la distancia focal de la lente, siendo mínima para el doblete de distancia
focal f0=18mm, (NA=0.33). De estos resultados concluimos que para obtener una calidad
de señal alta, para pulsos de duración menor a 10fs, se recomienda el uso de lentes de
apertura numérica de 0.15 o menor.
En el capítulo 5 analizamos la calidad de la señal de los pulsos de diferente duración
que son enfocados por el doblete acromático LaK22-SF6, cuya distancia focal es f=40mm
y apertura numérica igual a 0.15, la calidad de la señal se obtuvo a lo largo del eje óptico.
Mostramos que el efecto de GVD de tercer orden va cobrando importancia al disminuir
el tiempo del pulso. Mientras que para los pulsos de duración 20fs y 30fs, la calidad de
la señal es prácticamente la misma al considerar el efecto de tercer orden de GVD o no
considerarlo, los resultados son muy diferentes para pulsos de 10fs y 4.5fs, donde la calidad
de la señal se ve seriamente disminuida al considerar el efecto de tercer orden de GVD.
Por lo tanto, este efecto debe tenerse en cuenta para pulsos de duración menor a 20fs. Se
analizó el efecto que tiene la aberración cromática para pulsos de 4.5fs, 10fs, 20fs y 200fs,
al ser enfocados por el mismo doblete acromático, con lo que hemos podido entender que el
efecto de PTD es un efecto que se escala con la duración del pulso, siendo mayor mientras
la duración del pulso es menor.
En el capítulo 6, en busca de las condiciones que den una calidad de la señal optima,
se estudiaron diferentes dobletes apocromáticos, los cuales fueron diseñados por la Dra.
Martha Rosete. Se analizó la calidad de la señal de pulsos de Tint=4.5fs y longitud de
onda de la portadora igual a λ0 = 810nm, sobre el eje óptico, cuando son enfocados por
dobletes apocromáticos. El estudio se hizo considerando unicamente el efecto de PTD y
aberración esférica, i.e., sin el efecto de GVD. La apertura numérica de cada doblete fue de
0.15. Encontramos que el doblete apocromático formado por los vidrios FK51 y KzFSN2,
dió la mayor calidad en la señal. Se hizo una comparación de la calidad de la señal para
el doblete apocromático FK51-KzFSN2 y el doblete acromático LaK22-SF6, considerando
únicamente la aberración esférica de los dobletes y el efecto de PTD, obteniéndose que la
calidad de la señal mejora en un 50 % al usar el doblete apocromático.
Comparando la calidad de la señal obtenida cuando un pulso de 10fs es enfocado
por el doblete apocromático FK51-KzFSN2, al considerar una corrección del efecto de
GVD de segundo orden y cuando no se considera ningún orden de GVD, se observa que
la calidad de la señal en el último caso aumenta en un 19 % respecto al primer caso.
Este resultado puede compararse cualitativamente con imágenes obtenidas por microscopía
de dos fotones, donde se utilizan pulsos de láser del orden de femtosegundos. En estas
imágenes, se estudia la misma porción de tejido de ratón, con pulsos a los que solo se
129
130 Conclusiones
ha corregido el efecto de GVD de segundo orden, las imágenes obtenidas son de menor
calidad que las imágenes obtenidas cuando los pulsos utilizados tienen una corrección de
ordenes altos de GVD (GVD=0). Esto ha sido reportado por Dantus et.al. [25], en tal
experimento se ha utilizado una lente apocromática y un láser pulsado de 10fs, con una
longitud de onda de 800nm.
La diferencia entre la calidad de la señal que se obtiene cuando los pulsos son enfocados
por los dobletes acromáticos y apocromáticos, aumenta al disminuir la duración temporal
del pulso. Esto se mostró analizando pulsos de 4.5fs y 10fs, por lo que se recomienda el
uso de los dobletes apocromáticos en dispositivos en los que se necesite enfocar pulsos con
duración menor a 10fs.
Estudiamos el campo difractado por una lente a la distancia de 1250 micras del foco
paraxial sobre el eje óptico, donde hemos observado el pulso creado por la difracción en
el borde de la lente. Este pulso secundario fue predicho teóricamente por Bor y unos años
después, se verifico su existencia de manera experimentalmente por el mismo Bor y otros
autores. Se comprobó que la posición del pulso secundario es la distancia predicha por Bor,
esto se determinó considerando solo la difracción en el borde de la lente, sin incluir los
efectos de dispersión de la velocidad de grupo, la aberración esférica de la lente y el efecto
de la diferencia en el tiempo de propagación. Cuando se tienen los efectos de la aberración
esférica, PTD y el efecto de GVD, el pulso secundario se encuentra en la posición predicha
por Bor et.al., pero sufre un ensanchamiento debido a tales efectos.
Finalmente fue posible analizar la difracción del campo sin la aproximación ∆ω/ωo →
0, la cual se encuentra en todos los trabajos que muestran una solución analítica en la
integral de frecuencias. Hemos obtenido que la calidad de la señal al incluir el término
∆ω/ωo en la integral de las frecuencias, es mayor hasta 5 veces comparada con la calidad
de la señal obtenida cuando ∆ω/ωo → 0, para pulsos de 20fs que han sido enfocados por
un doblete apocromático. El tiempo de calculo computacional aumento a 36 horas, debido
a la inclusión de la función de Bessel de orden cero, en la integral que determina el campo
resultante.
9.1. Trabajo a futuro
En base a los resultados obtenidos, se plantea el siguiente trabajo a futuro:
1. Estudiar la difracción del campo de pulsos de luz láser, enfocada por sistemas re-
fractivos y considerando el efecto de la polarización.
2. Incorporar la integral en espacio, en el algoritmo de Gauss-Legendre, con lo que se
espera reducir el tiempo de cálculo y los errores numéricos.
3. Encontrar la calidad de la señal sobre el eje óptico para lentes simples, dobletes
acromáticos y apocromáticos, sin la aproximación ∆ω/ω0 = 0 para pulsos menores
a 20fs, así como de diferentes aperturas numéricas.
130
9.1. Trabajo a futuro 131
4. Estudiar el campo difractado del pulso en la región focal de las lentes, cuando el haz
que incide en la lente se propaga colimado pero haciendo un ángulo con respecto al
eje óptico de la lente. En este caso, se deberán tomar en cuenta no solo la aberración
esférica, sino también coma, astigmatismo y curvatura de campo.
131
APÉNDICE A
Análisis del campo cerca de la región
focal, considerando
la expansión del número de onda hasta
segundo orden
En este apéndice se muestra el desarrollo de la integral del campo, una vez que ha
pasado por la lente, el resultado final nos da el campo del pulso cerca de la región focal
paraxial. En el desarrollo se ha tomado la expansión del número de onda en serie de Taylor
alrededor de la frecuencia central ω0 de la portadora, hasta segundo orden. Haciendo este
desarrollo, el número de onda se puede expresar como:
kℓ =
ω0
c
n(ω0) +
d
dω
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0) +
1
2
d2
dω2
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2 (A.1)
Siendo la amplitud del campo en el plano focal
U(x2, y2, z, ∆ω) ≈
∫ ∞
−∞
dx1dy1P (x1, y1)U0(x1, y1)A(∆ω)Φ(x1, y1)e
−iΘ(x1,y1)
×ei ka
2z
[(x2−x1)2+(y2−y1)2] (A.2)
donde:
P : define la función pupila
A: define la amplitud del pulso
U0: indica la iluminación (gaussiana o uniforme)
Θ: indica la aberración esférica de la lente
133
134 Desarrollo a segundo orden
Figura A.1: Las coordenadas de la lente estan caracterizadas por (x1, y1), las coordenadas del plano
focal por (x2, y2).
La pupila de la lente se considera circular de radio ρ, por lo que esta definida por:
P (x1, y1) =
{
1 x2
1 + y2
1 ≤ r2
1 = (ρr)2 donde r ∈ [0, 1]
0 otro caso
(A.3)
El término de la fase una vez que el pulso a pasado a través de la lente es:
Φ(x1, y1) = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2
)( 1
R1
− 1
R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2
)( 1
R2
− 1
R3
) (A.4)
donde R1, R2 y R3 son las curvaturas que definen al doblete, reagrupando términos pode-
mos expresar el término de fase como:
Φ(x1, y1) = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)
× e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)
e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
) (A.5)
Las diferencias entre el número de onda de la lente y del aire, considerando que el
índice de refracción del aire es igual a 1 para ω0, se puede expresar como:
kℓ − ka =
ω0
c
n(ω0) −
ω0
c
(1) =
ω0
c
(n(ω0) − 1) = k0(n(ω0) − 1) (A.6)
Realizando el desarrollo de cada derivada de la ecuación (B.1) obtenemos
d
dω
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 =
n(ω0)
c
+
ω0
c
dn(ω)
dω
|ω=ω0
d2
dω2
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 =
d
dω
(n(ω)
c
+
ω
c
dn(ω)
dω
)
|ω=ω0
=
(2
c
dn(ω)
dω
+
ω
c
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0
134
135
Sustituyendo estas dos ecuaciones, el número de onda desarrollando hasta segundo
orden queda expresado como:
kℓ =
ω0
c
n(ω0) +
(n(ω0)
c
+
ω0
c
dn(ω)
dω
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
+
1
2
(2
c
dn(ω)
dω
+
ω
c
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2 (A.7)
al considerar que ∆ω = ω − ω0 y reagrupando términos, podemos expresar el número de
onda como:
kℓ =
ω0
c
n(ω0)
{
1 +
( 1
ω0
+
1
n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0
)
∆ω
+
1
2
( 2
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
+
1
n(ω)
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0 (∆ω)2
}
(A.8)
Nombrado
a1 ≡ 1
ω0
+
1
n0
dn(ω)
dω
|ω=ω0
a2 ≡ 1
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
así que la diferencia en la primer derivada (término ∼ ∆ω) y en la segunda derivada,
(término ∼ ∆ω2), se expresan como:
b1 =
1
ω0
+
1
n0 − 1
d(n(ω) − 1)
dω
|ω=ω0=
1
ω0
+
1
n0 − 1
d(n(ω))
dω
|ω=ω0
b2 =
1
ω0(n(ω0) − 1)
d(n(ω) − 1)
dω
|ω=ω0 +
1
2(n(ω0) − 1)
d2(n(ω) − 1)
dω2
|ω=ω0
=
1
ω0(n(ω0) − 1)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2(n(ω0) − 1)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
Si consideramos que tenemos dos vidrios en un doblete, tendremos b1
1 y b2
1 que determinan
las primeras derivadas para cada vidrio, así mismo b1
2 y b2
2 que determinan las segundas
derivadas para cada vidrio. Ahora, considerando que (B.5) es un término compuesto por
dos términos, donde el primero esta definido por:
E1 = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)
y el segundo:
E2 = e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)
e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
) (A.9)
135
136 Desarrollo a segundo orden
haciendo un poco de algebra podemos expresar cada uno de estos términos como:
E1 = ei(kℓ1d1+kℓ2d2) = eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2]) (A.10)
mientras que kℓ − ka = k0(n0 − 1)[1 + b1∆ω + b2(∆ω)2] por lo que el segundo término se
puede expresar como:
E2 = e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)+i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)+i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
)
= e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R3
) (A.11)
donde n01 = n(ω0) para la lente 1 y n02 = n(ω0) para la lente 2. El último término de
(B.2) será nombrado como E3
E3 = e
ika
2z
(
(x2−x1)2+(y2−y1)2
)
(A.12)
donde ka, se expande en serie de Taylor hasta el primer orden, así que ka queda definido
por
ka =
ω
c
|ω=ω0 +
1
c
dω
dω
|ω=ω0 (ω − ω0) =
ω0
c
+
∆ω
c
=
ω0
c
(
1 +
∆ω
ω0
)
= k0
(
1 +
∆ω
ω0
)
(A.13)
entonces podemos escribir a la ecuación (B.13) como
e
ika
2z
[(x2−x1)2+(y2−y1)2] = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2−x1)2+(y2−y1)2]
= e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)(x2
2−2x1x2+x2
1+y2
2−2y1y2+y2
1)
= e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (A.14)
sustituyendo (B.11), (B.12) y (B.15) en (B.2), la amplitud del campo esta determinada
por:
U(x2, y2, z, ∆ω) =
∫ ∞
−∞
dx1
∫ ∞
−∞
dy1P (x1, y1)U0(x1, y1)A(∆ω)e−iΘ(x1,y1)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2])
× e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R3
)
× e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (A.15)
136
137
de nuevo dividimos los términos en un conjunto de tres exponenciales, la primera es:
E1 = eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2]) (A.16)
la segunda
E2 = e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R3
) (A.17)
y la tercera
E3 = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (A.18)
multiplicamos este último término por un 1, en la forma
1 = e0 = e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
de tal forma que (B.19) queda
E3 = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)]e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (A.19)
reagrupando términos obtenemos
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1) e
ik0
2z
(∆ω
ω0
)(x2
1+y2
1)
︸ ︷︷ ︸
a
× e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)]
e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
︸ ︷︷ ︸
b
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (A.20)
los términos (a) y (b) se colocan dentro de la segunda exponencial E2, tal que
E2 = e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)(
x2
1+y2
1
2R3
)
× e
ik0
2z
(∆ω
ω0
)(x2
1+y2
1)
e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (A.21)
de tal manera que la tercer exponencial queda definida por:
137
138 Desarrollo a segundo orden
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)
[
(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
= e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0(1+
∆ω
ω0
)
[
x2
2+y2
2
2z
−
x1x2+y1y2
z
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (A.22)
se consideran las siguientes aproximaciones:
x2
2 + y2
2
2z
≈ x2
2 + y2
2
2f0
y
x1x2 + y1y2
z
=
x1x2 + y1y2
f0
(A.23)
debido a estas, rescribimos el término E3
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0(1+∆ω
ω0
)
[
x2
2+y2
2
2f0
−
x1x2+y1y2
f0
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (A.24)
Considerando que la potencia del doblete esta dado en términos del índice de refracción y
los radios de curvatura mediante la expresión
1
f0
=
1
f1
+
1
f2
= (n01 − 1)(
1
R1
− 1
R2
) + (n02 − 1)(
1
R2
− 1
R3
) (A.25)
entonces el término E2 se puede expresar por:
E2 = e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
1
f0
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
{
(n01−1)( 1
R1
− 1
R2
)+(n02−1)( 1
R2
− 1
R3
)
}
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
{
(n01−1)
R1
−
(n01−1)
R2
+
(n02−1)
R2
−
(n02−1)
R3
}
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
(A.26)
138
139
Debido a la simetría circular de la lente, se hace un cambio de coordenadas a coordenadas
polares para describir la lente y el plano focal
Coord. de la lente Coord. del plano focal
x1 = r1 cos θ x2 = r2 cos ϕ
y1 = r1 sen θ y2 = r2 sen ϕ
al considerar este cambio de coordenadas la función que describe la pupila queda definida
por
P (r, θ) =
{
1 x2
1 + y2
1 ≤ r2
1 = (ρr)2
0 otro caso
(A.27)
donde ρ es el semidiámetro de la lente. Tomando solo estas consideraciones, hacemos el
cambio de coordenadas cartesianas a polares
∫ ∞
−∞
dx1
∫ ∞
−∞
dy1 =
∫ ∞
0
rdr
∫ 2π
0
dθP (r, θ) =
∫ 1
0
rdr
∫ 2π
0
dθ (A.28)
Sustituyendo estos resultados en la expresión del campo, encontramos
U(z, ∆ω) =
∫ 1
0
rdr
∫ 2π
0
dθU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2])
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
ik0(1+
∆ω
ω0
)
{
r2
2
2f0
−
(ρr)r2 cos θ cos ϕ+(ρr)r2 sen θ sen ϕ
f0
}
e
−
ik0
2
(ρr)2( 1
f0
− 1
z
) (A.29)
Considerando sólo la parte angular, podemos ver que esta es una expresión conocida, la
función de orden cero de Bessel
∫ 2π
0
dθe
−i
k0
f0
(1+∆ω
ω0
)(ρrr2)(cos θ cos ϕ)
=
∫ 2π
0
dθe
−i
k0
f0
(1+∆ω
ω0
)(ρrr2)(cos(θ−ϕ))
= J0
(k0
f0
(1 +
∆ω
ω0
)(ρrr2)
)
(A.30)
Así que el campo queda definido por:
139
140 Desarrollo a segundo orden
U(z, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2])
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
ik0(1+∆ω
ω0
)
r2
2
2f0 e
−
ik0
2
(ρr)2( 1
f0
− 1
z
)
J0
(k0
f0
(1 +
∆ω
ω0
)(ρrr2)
)
(A.31)
Ahora se reescribe tomando en cuenta las coordenadas ópticas, donde
u ≡ ρ2k0
( 1
f0
− 1
z
)
, v ≡ ρr2k0
f0
, N =
ρ2k0
2f0
(A.32)
por lo que (B.33) se puede reescribir
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2])
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(A.33)
a partir de esta expresión se agrupan los términos con ∆ω y (∆ω)2
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
∆ω
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
− 1
zω0
)}
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(A.34)
Se suma y resta la cantidad k0ρ
2/2f0ω0 en la exponencial que contiene al término ∆ω
140
141
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
∆ω
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
− 1
zω0
)}
× e
−ir2∆ω(
k0ρ2
2f0ω0
−
k0ρ2
2f0ω0
)
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(A.35)
reescribiendo estos términos
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ir2∆ω
{
k0ρ2
2
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
)
+
k0ρ2
2ω0
[ 1
f0
− 1
z
]−
k0ρ2
2ω0
}
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(A.36)
haciendo el cambio a coordenadas ópticas, se tiene
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ir2∆ω
{
k0ρ2
2
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
)
+ u
2ω0
−
k0ρ2
2ω0
}
× e
−ik0
(ρr)2
2
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(A.37)
Definimos:
τ ′ ≡ k0(n1d1a
1
1 + n2d2a
2
1)
δ′ ≡ k0(n1d1a
1
2 + n2d2a
2
2)
τ ≡ k0ρ
2
2
((n01 − 1)b1
1
R1
− (n01 − 1)b1
1
R2
+
(n02 − 1)b2
1
R2
− (n02 − 1)b2
1
R3
)
−
( k0ρ
2
2ω0f0
− u
2ω0
)
δ ≡ ρ2k0
2
((n01 − 1)b1
2
R1
− (n01 − 1)b1
2
R2
+
(n02 − 1)b2
2
R2
− (n02 − 1)b2
2
R3
)
141
142 Desarrollo a segundo orden
Sustituyendo estas definiciones, y considerando que ∆ω/ω0 → 0, el campo queda descrito
por
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)ei(∆ω)2(δ′−r2δ)ei( v2
4N
−
r2u
2
)J0(vr) (A.38)
Siendo los pulsos considerados gaussianos, la amplitud del campo se puede expresar como
A(∆ω) = A0e
−(T∆ω
2
)2
sustituyendo la amplitud del campo en la expresión anterior
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (A.39)
Para obtener el campo en el plano focal, se obtiene la transformada de Fourier
U(r, u, v, z, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i(∆ω)tU(r, u, v, z, ∆ω) (A.40)
de tal manera que
U(u, v, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i(∆ω)t
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (A.41)
reescribiendo
U(u, v, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× e−i∆ω(t−τ ′+r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (A.42)
Definimos:
p2 =
T 2
4
− i(δ′ − r2δ)
q = −i(t − τ ′ + r2τ)
entonces
U(u, v, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× eq∆ωe−(∆ω)2[p2]ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (A.43)
142
143
La integral sobre d(∆ω) tiene solución analítica [90], de la forma
∫ ∞
−∞
dxe−p2x2±qx =
√
π
p2
e−q2/4p2
(A.44)
sustituyendo las variables correspondientes, podemos finalmente expresar el campo como
U(u, v, t) =
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei( v2
4N
−
r2u
2
)J0(vr)
√
π
(T 2/4) − i(δ′ − r2δ)
e
(t−τ ′+r2τ)2
T2
−4i(δ′−r2δ) (A.45)
Esta es la integral que ha sido programada, para obtener el campo en la vecindad del foco
paraxial considerando la expansión del número de onda, hasta el segundo orden.
143
APÉNDICE B
Análisis del campo cerca de la región
focal, considerando
la expansión del número de onda hasta
tercer orden
En este apéndice se muestra el desarrollo mencionado en al Apéndice A, pero con-
siderando la expansión en serie de Taylor del número de onda hasta el tercer orden,
alrededor de la frecuencia central ω0 que corresponde a la frecuencia de la onda portadora.
Haciendo este desarrollo, el número de onda se puede expresar como:
kℓ =
ω0
c
n(ω0) +
d
dω
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0) +
1
2
d2
dω2
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2
+
1
6
d3
dω3
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2 (B.1)
Siendo la amplitud del campo en el plano focal
U(x2, y2, z, ∆ω) ≈
∫ ∞
−∞
dx1dy1P (x1, y1)U0(x1, y1)A(∆ω)Φ(x1, y1)e
−iΘ(x1,y1)
×ei ka
2z
[(x2−x1)2+(y2−y1)2] (B.2)
donde:
P : define la función pupila
A: define la amplitud del pulso
U0: indica la iluminación (gaussiana o uniforme)
Θ: indica la aberración esférica de la lente
La pupila de la lente se considera circular de radio ρ, por lo que esta definida por:
145
146 Desarrollo a tercer orden
Figura B.1: Las coordenadas de la lente estan caracterizadas por (x1, y1), las coordenadas del plano
focal por (x2, y2).
P (x1, y1) =
{
1 x2
1 + y2
1 = r2
1 = (ρr)2 donde r ∈ [0, 1]
0 otro caso
(B.3)
El término de la fase una vez que el pulso a pasado a través de la lente es:
Φ(x1, y1) = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2
)( 1
R1
− 1
R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2
)( 1
R2
− 1
R3
) (B.4)
donde R1, R2 y R3 son las curvaturas que definen al doblete, reagrupando términos pode-
mos expresar el término de fase como:
Φ(x1, y1) = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)
× e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)
e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
) (B.5)
Las diferencias entre el número de onda de la lente y del aire, considerando que el
índice de refracción del aire es igual a 1 para ω0, se puede expresar como:
kℓ − ka =
ω0
c
n(ω0) −
ω0
c
(1) =
ω0
c
(n(ω0) − 1) = k0(n(ω0) − 1) (B.6)
146
147
Realizando el desarrollo de cada derivada de la ecuación (B.1) obtenemos
d
dω
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 =
n(ω0)
c
+
ω0
c
dn(ω)
dω
|ω=ω0
d2
dω2
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 =
d
dω
(n(ω)
c
+
ω
c
dn(ω)
dω
)
|ω=ω0
=
(2
c
dn(ω)
dω
+
ω
c
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0
d3
dω3
(ω
c
n(ω)
)
|ω=ω0 =
d
dω
(2
c
dn(ω)
dω
+
ω
c
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0
=
3
c
d2n
dω2
|ω=ω0 +
ω
c
d3n
dω3
|ω=ω0
Sustituyendo estas ecuaciones, el número de onda expandido hasta tercer orden queda
expresado por:
kℓ =
ω0
c
n(ω0) +
(n(ω0)
c
+
ω0
c
dn(ω)
dω
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
+
1
2
(2
c
dn(ω)
dω
+
ω
c
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
2
+
1
6
(3
c
d2n(ω)
dω2
+
ω
c
d3n(ω)
dω3
)
|ω=ω0 (ω − ω0)
3 (B.7)
al considerar que ∆ω = ω − ω0 y reagrupando términos, podemos expresar el número de
onda como:
kℓ =
ω0
c
n(ω0)
{
1 +
( 1
ω0
+
1
n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0
)
∆ω
+
1
2
( 2
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
+
1
n(ω)
d2n(ω)
dω2
)
|ω=ω0 (∆ω)2
+
1
6
( 3
ω0n(ω0)
d2n(ω)
dω2
+
1
n(ω)
d3n(ω)
dω3
)
|ω=ω0 (∆ω)3
}
(B.8)
Nombrado
a1 ≡ 1
ω0
+
1
n0
dn(ω)
dω
|ω=ω0
a2 ≡ 1
ω0n(ω0)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
a3 ≡ 1
2ω0n(ω0)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0 +
1
6n(ω0)
d3n(ω)
dω3
|ω=ω0
Siendo k0 = ω0/c, se puede expresar el número de onda como
kℓ = k0n0{1 + a1∆ω + a2(∆ω)2 + a3(∆ω)3} (B.9)
147
148 Desarrollo a tercer orden
De manera análoga al apéndice A, se definen los términos b
b1 =
1
ω0
+
1
n0 − 1
d(n(ω) − 1)
dω
|ω=ω0=
1
ω0
+
1
n0 − 1
d(n(ω))
dω
|ω=ω0
b2 =
1
ω0(n(ω0) − 1)
d(n(ω) − 1)
dω
|ω=ω0 +
1
2(n(ω0) − 1)
d2(n(ω) − 1)
dω2
|ω=ω0
=
1
ω0(n(ω0) − 1)
dn(ω)
dω
|ω=ω0 +
1
2(n(ω0) − 1)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0
b3 =
1
2ω0(n(ω0) − 1)
d2(n(ω) − 1)
dω2
|ω=ω0 +
1
6(n(ω0) − 1)
d3(n(ω) − 1)
dω3
|ω=ω0
=
1
2ω0(n(ω0) − 1)
d2n(ω)
dω2
|ω=ω0 +
1
6(n(ω0) − 1)
d3n(ω)
dω3
|ω=ω0
Si consideramos que tenemos dos vidrios en un doblete, tendremos b1
1 y b2
1 que determinan
las primeras derivadas para cada vidrio, así mismo b1
2 y b2
2 que determinan las segundas
derivadas para cada vidrio y finalmente b1
3 y b2
3 que determinan las derivadas terceras para
cada vidrio. Ahora, considerando que (B.5) es un término compuesto por dos términos,
donde el primero esta definido por:
E1 = ei(kℓ1d1+kℓ2d2)
y el segundo:
E2 = e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)
e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)
e
−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
) (B.10)
haciendo un poco de algebra podemos expresar cada uno de estos términos como:
E1 = ei(kℓ1d1+kℓ2d2) = eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2+a2
3(∆ω)3]) (B.11)
mientras que kℓ − ka = k0(n0 − 1)[1 + b1∆ω + b2∆ω] por lo que el segundo término se
puede expresar como:
E2 = e
−i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R1
)+i(kℓ1−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)−i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R2
)+i(kℓ2−ka)(
x2
1+y2
1
2R3
)
= e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R3
) (B.12)
donde n01 = n(ω0) para la lente 1 y n02 = n(ω0) para la lente 2. El último término de
(B.2) será nombrado como E3
E3 = e
ika
2z
(
(x2−x1)2+(y2−y1)2
)
(B.13)
148
149
donde ka, se expande en serie de Taylor hasta el primer orden, así que ka queda definido
por
ka =
ω
c
|ω=ω0 +
1
c
dω
dω
|ω=ω0 (ω − ω0) =
ω0
c
+
∆ω
c
=
ω0
c
(
1 +
∆ω
ω0
)
= k0
(
1 +
∆ω
ω0
)
(B.14)
entonces podemos escribir a la ecuación (B.13) como
e
ika
2z
[(x2−x1)2+(y2−y1)2] = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2−x1)2+(y2−y1)2]
= e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)(x2
2−2x1x2+x2
1+y2
2−2y1y2+y2
1)
= e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (B.15)
sustituyendo (B.11), (B.12) y (B.15) en (B.2), la amplitud del campo esta determinada
por:
U(x2, y2, z, ∆ω) =
∫ ∞
−∞
dx1
∫ ∞
−∞
dy1P (x1, y1)U0(x1, y1)A(∆ω)e−iΘ(x1,y1)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2])
× e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R3
)
× e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (B.16)
de nuevo dividimos los términos en un conjunto de tres exponenciales, la primera es:
E1 = eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]) (B.17)
la segunda
E2 = e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R3
) (B.18)
y la tercera
E3 = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)] (B.19)
multiplicamos este último término por un 1, en la forma
1 = e0 = e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
149
150 Desarrollo a tercer orden
de tal forma que (B.19) queda
E3 = e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
1+y2
1)+(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)]e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (B.20)
reagrupando términos obtenemos
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1) e
ik0
2z
(∆ω
ω0
)(x2
1+y2
1)
︸ ︷︷ ︸
a
× e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)[(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)]
e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
︸ ︷︷ ︸
b
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (B.21)
los términos (a) y (b) se colocan dentro de la segunda exponencial E2, tal que
E2 = e
−ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R1
)
× e
ik0(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
−ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R2
)
× e
ik0(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)(
x2
1+y2
1
2R3
)
× e
ik0
2z
(∆ω
ω0
)(x2
1+y2
1)
e
i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (B.22)
de tal manera que la tercer exponencial queda definida por:
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0
2z
(1+∆ω
ω0
)
[
(x2
2+y2
2)−2(x1x2+y1y2)
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1)
= e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0(1+
∆ω
ω0
)
[
x2
2+y2
2
2z
−
x1x2+y1y2
z
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (B.23)
se consideran las siguientes aproximaciones:
x2
2 + y2
2
2z
≈ x2
2 + y2
2
2f0
y
x1x2 + y1y2
z
=
x1x2 + y1y2
f0
(B.24)
debido a estas, rrescribimos el término E3
E3 = e
ik0
2z
(x2
1+y2
1)e
ik0(1+∆ω
ω0
)
[
x2
2+y2
2
2f0
−
x1x2+y1y2
f0
]
e
−i
k0
2f0
(x2
1+y2
1) (B.25)
La potencia de la lente simple esta dada por:
1
f0
= (n0 − 1)
( 1
R1
− 1
R2
)
(B.26)
150
151
mientras que la potencia del doblete esta dado en términos del índice de refracción y los
radios de curvatura mediante la expresión
1
f0
=
1
f1
+
1
f2
= (n01 − 1)(
1
R1
− 1
R2
) + (n02 − 1)(
1
R2
− 1
R3
) (B.27)
entonces el término E2 se puede expresar por:
E2 = e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
1
f0
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2)+b13(∆ω)3
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
{
(n01−1)( 1
R1
− 1
R2
)+(n02−1)( 1
R2
− 1
R3
)
}
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n01−1)(1+b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
× e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2 e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)
(n02−1)(1+b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
× e
ik0(
x2
1+y2
1
2
)(∆ω
ω0
) 1
z e
ik0
(x2
1+y2
1)
2
{
(n01−1)
R1
−
(n01−1)
R2
+
(n02−1)
R2
−
(n02−1)
R3
}
= e
−ik0(
x2
1+y2
1
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
(B.28)
Debido a la simetría circular de la lente, se hace un cambio de coordenadas a coordenadas
polares para describir la lente y el plano focal
Coord. de la lente Coord. del plano focal
x1 = r1 cos θ x2 = r2 cos ϕ
y1 = r1 sen θ y2 = r2 sen ϕ
al considerar este cambio de coordenadas la función que describe la pupila queda definida
por
P (r, θ) =
{
1 x2
1 + y2
1 = r2
1 = (ρr)2
0 otro caso
(B.29)
donde ρ es el semidiámetro de la lente. Tomando solo estas consideraciones, hacemos
el cambio de coordenadas cartesianas a polares
∫ ∞
−∞
dx1
∫ ∞
−∞
dy1 =
∫ ∞
0
rdr
∫ 2π
0
dθP (r, θ) =
∫ 1
0
rdr
∫ 2π
0
dθ (B.30)
151
152 Desarrollo a tercer orden
Sustituyendo estos resultados en la expresión del campo, encontramos
U(z, ∆ω) =
∫ 1
0
rdr
∫ 2π
0
dθU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2+a2
3(∆ω)3])
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
ik0(1+∆ω
ω0
)
{
r2
2
2f0
−
(ρr)r2 cos θ cos ϕ+(ρr)r2 sen θ sen ϕ
f0
}
e
−
ik0
2
(ρr)2( 1
f0
− 1
z
) (B.31)
Considerando sólo la parte angular, podemos ver que esta es una expresión conocida, la
función de orden cero de Bessel
∫ 2π
0
dθe
−i
k0
f0
(1+∆ω
ω0
)(ρrr2)(cos θ cos ϕ)
=
∫ 2π
0
dθe
−i
k0
f0
(1+∆ω
ω0
)(ρrr2)(cos(θ−ϕ))
= J0
(k0
f0
(1 +
∆ω
ω0
)(ρrr2)
)
(B.32)
Así que el campo queda definido por:
U(z, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2+a2
3(∆ω)3])
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
ik0(1+∆ω
ω0
)
r2
2
2f0 e
−
ik0
2
(ρr)2( 1
f0
−
1
z
)
J0
(k0
f0
(1 +
∆ω
ω0
)(ρrr2)
)
(B.33)
Ahora se reescribe tomando en cuenta las coordenadas ópticas, donde
u ≡ ρ2k0
( 1
f0
− 1
z
)
, v ≡ ρr2k0
f0
, N =
ρ2k0
2f0
(B.34)
por lo que (B.33) se puede reescribir
152
153
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1[1+a1
1∆ω+a1
2(∆ω)2+a1
3(∆ω)3]+n2d2[1+a2
1∆ω+a2
2(∆ω)2+a2
3(∆ω)3])
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R1
−
(n01−1)(b11∆ω+b12(∆ω)2+b13(∆ω)3)
R2
+
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R2
−
(n02−1)(b21∆ω+b22(∆ω)2+b23(∆ω)3)
R3
−(∆ω
ω0
) 1
z
}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(B.35)
a partir de esta expresión se agrupan los términos con ∆ω (∆ω)2 y (∆ω)3
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)+ik0(∆ω)3(n1d1a1
3+n2d2a2
3)
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
∆ω
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
− 1
zω0
)}
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(∆ω)3
(
(n01−1)b13
R1
−
(n01−1)b13
R2
+
(n02−1)b23
R2
−
(n02−1)b23
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(B.36)
Se suma y resta la cantidad k0ρ
2/2f0ω0 en la exponencial que contiene al término ∆ω
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
∆ω
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
− 1
zω0
)}
× e
−ir2∆ω(
k0ρ2
2f0ω0
−
k0ρ2
2f0ω0
)
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
−ik0( (ρr)2
2
)
{
(∆ω)3
(
(n01−1)b13
R1
−
(n01−1)b13
R2
+
(n02−1)b23
R2
−
(n02−1)b23
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(B.37)
153
154 Desarrollo a tercer orden
reescribiendo estos términos
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ir2∆ω
{
k0ρ2
2
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
)
+
k0ρ2
2ω0
[ 1
f0
− 1
z
]−
k0ρ2
2ω0
}
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(∆ω)3
(
(n01−1)b13
R1
−
(n01−1)b13
R2
+
(n02−1)b23
R2
−
(n02−1)b23
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(B.38)
haciendo el cambio a coordenadas ópticas, se tiene
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)
× eik0(n1d1+n2d2)+ik0∆ω(n1d1a1
1+n2d2a2
1)+ik0(∆ω)2(n1d1a1
2+n2d2a2
2)
× e
−ir2∆ω
{
k0ρ2
2
(
(n01−1)b11
R1
−
(n01−1)b11
R2
+
(n02−1)b21
R2
−
(n02−1)b21
R3
)
+ u
2ω0
−
k0ρ2
2ω0
}
× e
−ik0
(ρr)2
2
{
(∆ω)2
(
(n01−1)b12
R1
−
(n01−1)b12
R2
+
(n02−1)b22
R2
−
(n02−1)b22
R3
)}
× e
−ik0(
(ρr)2
2
)
{
(∆ω)3
(
(n01−1)b13
R1
−
(n01−1)b13
R2
+
(n02−1)b23
R2
−
(n02−1)b23
R3
)}
× e
i(1+∆ω
ω0
) v2
4N e−
ir2u
2 J0
(
vr(1 +
∆ω
ω0
)
)
(B.39)
Definimos:
τ ′ ≡ k0(n1d1a
1
1 + n2d2a
2
1)
δ′ ≡ k0(n1d1a
1
2 + n2d2a
2
2)
γ′ ≡ k0(n1d1a
1
3 + n2d2a
2
3)
τ ≡ k0ρ
2
2
((n01 − 1)b1
1
R1
− (n01 − 1)b1
1
R2
+
(n02 − 1)b2
1
R2
− (n02 − 1)b2
1
R3
)
−
( k0ρ
2
2ω0f0
− u
2ω0
)
δ ≡ ρ2k0
2
((n01 − 1)b1
2
R1
− (n01 − 1)b1
2
R2
+
(n02 − 1)b2
2
R2
− (n02 − 1)b2
2
R3
)
γ ≡ ρ2k0
2
((n01 − 1)b1
3
R1
− (n01 − 1)b1
3
R2
+
(n02 − 1)b2
3
R2
− (n02 − 1)b2
3
R3
)
Sustituyendo estas definiciones, y considerando que ∆ω/ω0 → 0, el campo queda descrito
por
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)A(∆ω)e−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)ei(∆ω)2(δ′−r2δ)ei(∆ω)3(γ′−r2γ)ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (B.40)
154
155
Siendo los pulsos considerados gaussianos, la amplitud del campo se puede expresar como
A(∆ω) = A0e
−(T∆ω
2
)2
sustituyendo la amplitud del campo en la expresión anterior
U(u, v, ∆ω) =
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (B.41)
Para obtener el campo en el plano focal, se hace la transformada de Fourier
U(r, u, v, z, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i(∆ω)tU(r, u, v, z, ∆ω) (B.42)
de tal manera que
U(u, v, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)e−i(∆ω)t
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× ei∆ω(τ ′−r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (B.43)
reescribiendo
U(u, v, t) =
∫ ∞
−∞
d(∆ω)
∫ 1
0
rdrU0(r)e
−iΘ(r)eik0(n1d1+n2d2)
× e−i∆ω(t−τ ′+r2τ)e−(∆ω)2[ T2
4
−i(δ′−r2δ)]ei(∆ω)3(γ′−r2γ)ei( v2
4N
− r2u
2
)J0(vr) (B.44)
Esta es la integral que ha sido programada, para obtener el campo en la vecindad del foco
paraxial considerando la expansión del número de onda, hasta el tercer orden.
155
APÉNDICE C
Características físicas de las lentes
Características de lentes y dobletes de semidiámetro a=6mm , λ = 810nm
Nombre Vidrios f(mm) NA R1(mm) R2(mm) R3(mm) t1(mm) t2(mm)
Lente Simple BK7 30 0.20 15.5 1 × 1040 1 × 1040 3 0
Lente Simple BK7 40 0.15 20.43 1 × 1040 1 × 1040 3 0
Doblete Acromático LaK22-SF6 18 0.33 12.0 -8.65 -37.28 8.0 2.5
Doblete Acromático LaK22-SF6 20 0.30 13.13 -9.59 -45.11 8.0 2.5
Doblete Acromático LaK22-SF6 25 0.24 15.55 -13.75 -84.13 4.5 2.5
Doblete Acromático LaK22-SF6 30 0.20 17.77 -16.46 -136.80 4.5 2.5
Doblete Acromático LaK22-SF6 40 0.15 22.81 -21.91 -250.49 4.5 2.5
Doblete Apocromático⋆ FK51-KZFSN2 40 0.15 16.94 -13.69 -437.98 4.5 2.5
Doblete Apocromático⋆ FK51-KZFSN2 40 0.15 28.99 -10.62 -39.94 6.0 3.0
Doblete Apocromático⋆ CAF2-LAFN21 40 0.15 15.48 -17.99 -47.37 6.0 3.0
Doblete Apocromático⋆ FK51-K10 40 0.15 23.90 -8.36 -70.19 6.0 3.0
Doblete Apocromático⋆ CAF2-BAK1 40 0.15 15.05 -14.13 -99.16 6.0 3.0
Doblete Apocromático⋆ CAF2-BALF4 40 0.15 19.37 -15.16 -44.80 6.0 3.0
Figura C.1: Características de los sistemas estudiados.
Las lentes marcadas con ⋆ en (C.1), son dobletes apocromáticos diseñados por la Dra.
Martha Rosete, en el intervalo (750nm, 1100nm), del espectro electromagnético. Por lo
que la luz de longitud de onda λ = 810nm, λ = 750nm y λ = 1100nm, coinciden en el foco
paraxial.
Coeficientes de Sellmeier
Vidrio B1 B2 B3 C1 C2 C3
BK7 1.0396121 2.31792344×10−1 1.01046945 6.00069867×10−3 2.00179144×10−2 1.03560653×102
LaK22 1.14229781 5.35138441×10−1 1.04088385 5.85778594×10−3 1.98546147×10−2 1.00834017×102
SF6 1.77931763 3.38149866×10−1 2.08734474 1.33714182×10−2 6.17533621×10−2 1.74017590×102
K10 1.15687082 6.42625444×10−2 8.72376139×10−1 8.09424251×10−3 3.86051284×10−2 1.04747730×102
BAK1 1.12365662 3.09276848×10−1 8.81511957×10−1 6.44742752×10−3 2.22284402×10−2 1.07297751×102
LAFN21 1.88298347 2.40214668×10−1 1.23537623 9.36029744×10−3 3.54026371×10−2 8.43919934×101
BALF4 1.29375981 1.58138572×10−1 9.47442773×10−1 7.80228251×10−3 3.21349048×10−2 1.09158657×102
KZFSN2 1.26169705 1.28881191×10−1 8.98521214×10−1 7.67420045×10−3 3.30129627×10−2 7.08271139×101
Figura C.2: Constantes de Sellmeier para la fórmula de dispersión, obtenidos del catálogo de Schott [97].
157
APÉNDICE D
Perfil de intensidad para los pulsos de
10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el
capítulo 4
En este apéndice se muestran las distribuciones de intensidad para los pulsos que han
sido enfocados con ayuda de los doblete acromático compuesto por los vidrios LaK22-
SF6, con diferentes distancias focales, todos con un semidiámetro igual a 6mm, tomados
del catalógo de Schott [97]. La duración del pulso se ha tomado a partir del peril de
intensidad a 1/e.
En cada lista de pulsos, se aprecia el pulso a -400µm, hacia la lente, esta medida se hace
a partir del foco paraxial, el signo negativo indica que nos hemos acercado a la lente. De la
misma manera apreciamos los pulsos a -200µm, 0µm, +200µm y +400µm, las distancias
positvas indican posiciones alejadas de la lente medidas a partir del foco paraxial.
Se ha estudiado el efecto que tiene la aberración esférica, el efecto de PTD y GVD
de manera independiente y después el resultado de todos estos efectos en la cálidad de la
señal de los pulsos. También se ha analizado la calidad de la señal de los pulsos cuando
no hay ninguno de estos efectos, con lo que se determina como ésta ha sido afectada sólo
por el desenfocamiento.
En todos los casos, la primer columna muestra el perfil de intensidad de los pulsos a
diferentes distancias de desenfocamiento medidos a partir del foco paraxial. La segunda
columna muestra el perfil de intensidad del pulso visto de arriba. La longitud de onda de
la portadora es λ = 810nm, la iluminación es uniforme.
159
160
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
D.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm
f0=18mm, A=0, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.1: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=18mm. en todos los casos se ha considerado que A=0,
PTD=0, GVD=0, por lo que el efecto es sólo por el desenfocamiento.
160
D.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm 161
f0=18mm, A=1, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.2: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete acromáti-
co de distancia focal f0=18mm, considerado únicamente el efecto de la aberración cromática,
i.e., A=1, PTD=0, GVD=0. 161
162
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=18mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.3: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=18mm, considerado únicamente el efecto de PTD, i.e.,
A=0, PTD=1, GVD=0. 162
D.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm 163
f0=18mm, A=1, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.4: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete acromáti-
co de distancia focal f0=18mm, considerado el efecto de PTD y la aberración esférica, i.e.,
A=1, PTD=1, GVD=0. 163
164
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=18mm, A=0, PTD=0, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.5: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=18mm, considerado únicamente el efecto de GVD, i.e.,
A=0, PTD=0, GVD=1. 164
D.1. Doblete acromático de distancia focal f0=18mm 165
f0=18mm, A=1, PTD=1, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.6: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete acromáti-
co de distancia focal f0=18mm, considerado los efectos de PTD, GVD y aberración esférica,
i.e., A=1, PTD=1, GVD=1. 165
166
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
D.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm
f0=20mm, A=0, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.7: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=20mm. en todos los casos se ha considerado que A=0,
PTD=0, GVD=0, por lo que el efecto es sólo por el desenfocamiento.
166
D.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm 167
f0=20mm, A=1, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.8: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete acromáti-
co de distancia focal f0=20mm, considerado únicamente el efecto de la aberración cromática,
i.e., A=1, PTD=0, GVD=0. 167
168
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=20mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=+400µm (b) z=+400µm
(c) z=+400µm (d) z=+400µm
Figura D.9: Dada la diferencia de escalas entre el pulso principal y el boundary, en la figura no se
pueden apreciar ambos pulsos. Cambiando la escala, podemos ver el pulso principal, el cual
es 3 ordenes menor que el boundary. Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos a la
distancia z + 400µm para t=10fs que han pasado por una doblete acromático de distancia
focal f0=20mm. Considerando A=1, PTD=0, GVD=0.
168
D.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm 169
f0=20mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.10: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=20mm, considerado únicamente el efecto de PTD, i.e.,
A=0, PTD=1, GVD=0. 169
170
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=20mm, A=1, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.11: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=20mm, considerado el efecto de PTD y la aberración
esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=0.170
D.2. Doblete acromático de distancia focal f0=20mm 171
f0=20mm, A=0, PTD=0, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.12: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=20mm, considerado únicamente el efecto de GVD, i.e.,
A=0, PTD=0, GVD=1. 171
172
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=20mm, A=1, PTD=1, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.13: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=20mm, considerado los efectos de PTD, GVD y aber-
ración esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=1.172
D.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm 173
D.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm
f0=25mm, A=0, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.14: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm. en todos los casos se ha considerado que A=0,
PTD=0, GVD=0, por lo que el efecto es sólo por el desenfocamiento.
173
174
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=25mm, A=1, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.15: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm, considerado únicamente el efecto de la aberración
cromática, i.e., A=1, PTD=0, GVD=0.174
D.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm 175
f0=25mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.16: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm, considerado únicamente el efecto de PTD, i.e.,
A=0, PTD=1, GVD=0.
175
176
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=25mm, A=1, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.17: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm, considerado el efecto de PTD y la aberración
esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=0.176
D.3. Doblete acromático de distancia focal f0=25mm 177
f0=25mm, A=0, PTD=0, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.18: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm, considerado únicamente el efecto de GVD, i.e.,
A=0, PTD=0, GVD=1. 177
178
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=25mm, A=1, PTD=1, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.19: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=25mm, considerado los efectos de PTD, GVD y aber-
ración esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=1.178
D.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm 179
D.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm
f0=30mm, A=0, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.20: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm. en todos los casos se ha considerado que A=0,
PTD=0, GVD=0, por lo que el efecto es sólo por el desenfocamiento.
179
180
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=30mm, A=1, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.21: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm, considerado únicamente el efecto de la aberración
cromática, i.e., A=1, PTD=0, GVD=0.180
D.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm 181
f0=30mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.22: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm, considerado únicamente el efecto de PTD, i.e.,
A=0, PTD=1, GVD=0. 181
182
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=30mm, A=1, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.23: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm, considerado el efecto de PTD y la aberración
esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=0.182
D.4. Doblete acromático de distancia focal f0=30mm 183
f0=30mm, A=0, PTD=0, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.24: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm, considerado únicamente el efecto de GVD, i.e.,
A=0, PTD=0, GVD=1. 183
184
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=30mm, A=1, PTD=1, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.25: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=30mm, considerado los efectos de PTD, GVD y aber-
ración esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=1.184
D.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm 185
D.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm
f0=40mm, A=0, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.26: Se muestra el perfil de intensidad de los pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm. en todos los casos se ha considerado que A=0,
PTD=0, GVD=0, por lo que el efecto es sólo por el desenfocamiento.
185
186
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=40mm, A=1, PTD=0, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.27: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm, considerado únicamente el efecto de la aberración
cromática, i.e., A=1, PTD=0, GVD=0.186
D.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm 187
f0=40mm, A=0, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.28: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm, considerado únicamente el efecto de PTD, i.e.,
A=0, PTD=1, GVD=0. 187
188
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=40mm, A=1, PTD=1, GVD=0
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.29: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm, considerado el efecto de PTD y la aberración
esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=0.188
D.5. Doblete acromático de distancia focal f0=40mm 189
f0=40mm, A=0, PTD=0, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.30: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm, considerado únicamente el efecto de GVD, i.e.,
A=0, PTD=0, GVD=1. 189
190
Perfil de intensidad para los pulsos de 10fs que se han propagado por los
dobletes acromáticos estudiados en el capítulo 4
f0=40mm, A=1, PTD=1, GVD=1
(a) z=-400µm (b) z=-400µm
(c) z=-200µm (d) z=-200µm
(e) z=0µm (f) z=0µm
(g) z=+200µm (h) z=+200µm
(i) z=+400µm (j) z=+400µm
Figura D.31: Se muestra el perfil de inetnsidad de pulsos de 10fs que han pasado por una doblete
acromático de distancia focal f0=40mm, considerado los efectos de PTD, GVD y aber-
ración esférica, i.e., A=1, PTD=1, GVD=1.190
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