UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CIENCIAS SOBRE LA TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: MATEMÁTICO P R E S E N T A : RAÚL ALVAREZ PATIÑO DIRECTOR DE TESIS DR. PABLO SUÁREZ SERRATO 2014 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. Hoja de Datos del Jurado 1 DATOS DEL ALUMNO Apellido Paterno: Apellido Materno: Nombre(s): Universidad: Facultad: Carrera: Número de Cuenta: 2 DATOS DEL TUTOR Grado: Nombre(s): Apellido Paterno: Apellido Materno: 3 DATOS DEL SINODAL 1 Grado: Nombre(s): Apellido Paterno: Apellido Materno: 4 DATOS DEL SINODAL 2 Grado: Nombre(s): Apellido Paterno: Apellido Materno: 5 DATOS DEL SINODAL 3 Grado: Nombre(s): Apellido Paterno: Apellido Materno: 6 DATOS DEL SINODAL 4 Grado: Nombre(s): Apellido Paterno: Apellido Materno: 7 DATOS DEL TRABAJO ESCRITO Título: Subtítulo: Número de Páginas: Año: 1 DATOS DEL ALUMNO Alvarez Patiño Raúl Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Matemáticas 304794373 2 DATOS DEL TUTOR Dr. Pablo Suárez Serrato 3 DATOS DEL SINODAL 1 Dr. Eugenio Garnica Vigil 4 DATOS DEL SINODAL 2 Dr. Héctor Hugo García Compeán 5 DATOS DEL SINODAL 3 Dr. Oscar Alfredo Palmas Velasco 6 DATOS DEL SINODAL 4 Dr. Gabriel Ruiz Hernández 7 DATOS DEL TRABAJO ESCRITO Sobre la Teoría de Seiberg-Witten 113 2014 Agradecimientos En primer lugar le agradezco a todos y cada uno de los miembros de mi fami- lia por su apoyo incondicional. A mi madre María Elena y a mi padre Raúl por su dedicación constante y por brindarme los medios que me han llevado hasta este punto de mi vida. A mi hermano Rodrigo Alberto por su compañía. De manera muy especial, quiero agradecer y dedicar este trabajo a mis primos Claudia y Roberto por la ayuda que me brindaron en momentos difíciles. Sin su apoyo seguramente hoy no estaría escribiendo esto. En segundo lugar, me gustaría darle las gracias a todos los profesores de la Facultad de Ciencias de la UNAM que me formaron y que me mostraron el bello camino matemático que he de seguir el resto de mi vida. Un apartado muy especial en mi memoria merecen los profesores: Lic. Antonio Guzmán, Dr. Alberto Güijosa, Dr. Eduardo Nahmad, Dr. Oscar Palmas, Dr. Miguel Alcubierre, Lic. Rosa María Hernández y el Dr. Santiago López de Medrano. Gracias a todos ustedes por su generosidad intelectual y su entusiasmo al momento de transmitirme sus conoci- mientos. En este mismo ánimo quiero darle las gracias a mi asesor, el Dr. Pablo Suáres, por el apoyo y paciencia que me brindó durante el tiempo en el que realicé el pre- sente trabajo. Por último y no por eso es menos importante mencionar a los amigos que me acompañaron durante mi estancia en la Facultad de Ciencias; Alejandra Mayor- ga, Aurea Nuñez, Carlos Lopez, Daniel Miranda, Edward Reyes, Fidencio Cruz, Gabriela Morales, Jatziri Chávez, Juan Carlos Castro, Juan Carlos Gil, Mariana Cabrera, Marianela Vélez, Raymundo Hernandez, Roque Veloz y Xochitl Morales. A todos ustedes, infinitas gracias por todo. Raúl Alvarez Patiño. Ciudad Universitaria, México D.F. a 21 de Agosto de 2014. iii Prefacio Una variedad topológica de dimensión n es un espacio de Hausdorff M que está modelado localmente por Rn dotado de la topología usual. Es decir, el espacio topológico M tiene una cubierta por subconjuntos abiertos distinguidos U ⊆ M junto con una colección de homeomorfismos ΦU : U → ΦU (U) ⊆ Rn que sirven para describir a M mediante coordenadas locales inducidas por la aplicación ΦU . A la pareja (U ,ΦU ) descrita anteriormente se le conoce como carta y a la colección de todas las cartas de M se le llama atlas. La equivalencia entre este tipo de espacios es obvia; dos variedades topológicas son equivalentes si son homeomorfas. Algunas variedades topológicas admiten un refinamiento adicional de su atlas, llamada estructura diferenciable, la cual permite extender las nociones del cálculo a la categoría de variedades. La definición de estructura diferenciable esencialmente requiere que cada vez que dos cartas coordenadas U y V tengan intersección no vacía, el correspondiente cambio de coordenadas ΦV ◦ Φ−1 U : ΦU (U ∩ V) → ΦV(U ∩ V), sea una función suave. Una variedad topológica es diferenciable, o suave, si su atlas admite una estructura diferenciable. La equivalencia entre variedades diferenciables es bastante más sutil; dos variedades suaves M y N son difeomorfas si existe un homeomorfismo ϕ : M → N tal que al restringirlo a cualquier carta coordenada U ⊆ M se verifican las siguientes condiciones: primero, ϕ(U) está contenida en una carta coordenada V ⊆ N . En segundo lugar se pide que la representación coordenada de ϕ inducida por la aplicación ΦV ◦ ϕ ◦Φ−1 U : ΦU (U) → ΦV(V) sea un difeomorfismo entre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano. Una equivalencia que verifica las condiciones antes mencionadas se le llama difemorfismo. Es fácil ver que esta noción de equivalencia entre variedades suaves implica que la dimensión es invariante bajo difeomorfismos. Bastante más complicado es verificar este hecho en la categoría topológica. Es así que llegamos a la siguiente conclusión; cualesquiera dos variedades homeomorfas tienen la misma dimensión; por lo tanto, podemos clasificar a las variedades por su dimensión. Esta primera clasificación es bastante burda ya que usualmente existe una infinidad de varieda- des no equivalentes de la misma dimensión. Por tanto, es natural preguntarse por otro tipo de invariantes más poderosos que permitan distinguir entre las distintas variedades de la misma dimensión. Una de los primeros invariantes fue descubierto por el matemático suizo Georges de Rham. Este invariante, llamado cohomología de de Rham, emplea exhaustiva- mente la estructura diferenciable de una variedad y por tanto solo está definido en la categoría suave. La cohomología de de Rham permite en muchos casos decidir si dos variedades de la misma dimensión son o no difemorfas. Esquemáticamente, la construcción de la cohomología de de Rham es como sigue. v vi PREFACIO Para cada variedad diferenciable M de dimensión n se define un álgebra real graduada H∗ dR(M ;R) := H0 dR(M ;R)⊕ · · · ⊕Hn dR(M ;R). En grado p, el espacio vectorial Hp dR(M ;R) es el cociente dado por el espacio vec- torial de todas las p-formas ω que satisfacen a la ecuación diferecial parcial lineal dω = 0 divididas por el subespacio de todos los elementos de la forma ω = dθ. En la definición anterior el operador lineal d : Ωp−1(M) → Ωp(M) es la derivada exterior asociada a M (ver por ejemplo [7]). La definición de H∗ dR(M ;R) hace uso de la identidad d2 = 0 de la siguiente manera; si ω satisface dω = 0, entonces ω′ := ω + dθ también pertenece al núcleo de d sin importar la elección de la p− 1 forma θ. Existe otra construcción conceptualmente distinta y mucho más general que asocia a cada espacio topológico X un álgebra real graduada H∗(X;R) := ⊕ p≥0 Hp(X;R) conocida como cohomología singular de X. De nueva cuenta, H∗(X;R) es la ho- mología de un cierto complejo C∗(X;R) que en grado p se construye a partir del R-espacio vectorial dual de todos los mapas continuos del simplejo de dimensión p en X. Es importante resaltar que H∗(X;R) solo depende del tipo de homotopía X. Así, la cohomología singular determina un invariante topológico en el caso en que X sea una variedad topológica. En 1931 de Rham demostró que si X es una variedad suave, H∗ dR(X;R) y H∗(X;R) son canónicamente isomorfas como álgebras reales graduadas. En particular, el supuesto invariante diferenciable H∗ dR(X;R) solo detecta cambios en la estructura homotópica de la variedad y no en la estructura suave. Empleando métodos relativamente indirectos, John Milnor encontró los pri- meros ejemplos explícitos de variedades homeomorfas con estructuras diferenciales inequivalentes. Lo que Milnor demostró en su famoso artículo de 1956 [29] es que la esfera de dimensión 7 admite estructuras diferenciables exóticas, es decir, estruc- turas suaves que no son equivalentes a la estrucutra diferenciable heredada de la estructura canónica de R8. Durante aproximadamente 30 años de investigación se encontraron otros ejem- plos de variedades suaves con estructuras exóticas, así como invariantes que per- mitieran distinguir distintas estructuras suaves. Se han logrado avances en este sentido pero hoy en día sigue siendo un problema abierto el encontrar un procedi- miento sistemático (definido para cualquier variedad suave) que permita responder las preguntas derivadas del fenómeno de exoticidad. Este trabajo pretende explicar de manera detallada una construcción parti- cular que produce, entre otras cosas, un invariante de la estructura suave de una 4-variedad lisa. Este invariante, conocido desde entonces como invariante de Seiberg- Witten, fue introducido por el físico estadounidense Edward Witten [43, 44] en 1994 y está basado en trabajos previos que, curiosamente, surgieron como resultado de la investigación sobre teorías topológicas cuánticas de campo [42] y del estudio de algunas dualidades que presentan las teorías súpersimétricas en cuatro dimensiones [45, 46]. Es importante señalar que dicha construcción, que a continuación descri- bimos de manera breve, tiene severas limitaciones; quizá la más importante es que solamente funciona en el caso de variedades de dimensión 4 cerradas y orientable. PREFACIO vii Las condiciones sobre la frontera y de compacidad impuestas sobre la variedad se pueden relajar pero no es posible, o por lo menos no es claro para el autor, como eliminar las restricciones sobre la dimensión y sobre la orientabilidad de la variedad en cuestión. La idea fundamental de la construcción del invariante de Seiberg-Witten es muy similar a la construcción de la cohomología de de Rham. Supongamos que M es una 4-variedad cerrada y orientable con una métrica riemanniana g de clase C∞. Como antes, lo que se hace es considerar el espacio de soluciones a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales definidas sobre la variedad riemanniana M por medio de la métrica g, módulo cierta redundancia debida a la presencia de una simetría que actúa en el espacio de configuración asociado a las ecuaciones, conocidas como ecuaciones de Seiberg-Witten. A diferencia de la cohomología de de Rham, la teoría de Seiberg-Witten es lige- ramente no lineal. Esta característica produce un espacio de soluciones generalmen- te no lineal. De manera un poco más precisa resulta que, bajo ciertas condiciones topológicas sobre M no muy restrictivas, uno puede eligir dentro de un conjunto denso a la métrica riemanniana de manera tal que el espacio de soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten modulo redundancias sea una variedad suave, orien- table, compacta y de dimensión finita. La construcción descrita produce al final un conjunto de espacios de soluciones cuya clase de cobordismo dependen únicamente de la estructura diferenciable de M . Es en este sentido decimos que existe una simi- litud con la teoría de de Rham. En el primer caso uno asocia a M un álgebra real graduada H∗ dR(X;R), en el segundo caso, a M se le asocia una clase de cobordismo de espacios. En ambos casos, el invariante se extrae de un sistema de ecuaciones diferenciales en M módulo cierta redundancia. Hemos redactado el presente trabajo de manera que sea accesible a los lecto- res con conocimientos básicos de geometría y topología diferencial. Sin embargo, el autor ha decidido discutir todos los preliminares escenciales para entender las ecua- ciones de Seiberg-Witten. A lo largo del texto se proporcionan referencias suficientes para cubrir cualquier tema que el autor haya omitido. También se proporciona una gran cantidad de ejemplos de los conceptos centrales. Esta tesis está estructurada de la siguiente manera. El primer capítulo esta dedicado a introducir una estructura lineal, conocida como álgebra de Clifford, que permite definir una de las variables presentes en las ecuaciones de Seiberg-Witten; a saber, los espinores. El primer capítulo concluye al exhibir una relación que existe entre el espacio de representación que define a los espinores en cuatro dimensiones y el espacio de bivectores auto duales de R4. Cabe mencionar que dicha relación es fundamental para entender la definición de las ecuaciones de Seiberg-Witten. En el segundo capítulo se ofrecen algunas nociones generales de la teoría de haces vectoriales necesarias para desarrollar la teoría de obstrucciones de haces vectoriales con estructuras especiales, de entre las cuales, la más relevante para es- te trabajo es la de estrucutra espinorial. El segundo capítulo contiene también una revisión somera del concepto de conexión en un haz vectorial y la correspondiente curvatura. Todas las nociones introducidas en el segundo capítulo son necesarias para dar la definición del operador de Dirac que interviene directamente en las ecua- ciones de Seiberg-Witten. En la sección 6 del segundo capítulo se prueban algunas propiedades del operador de Dirac y se demuestra la fórmula de Weitzenböck, que será relevante para la teoría de Seiberg-Witten. viii PREFACIO Finalmente, en el tercer y último capítulo de esta tesis se discuten las ecuaciones de Seiberg-Witten, así como la redundancia mencionada en los párrafos anteriores. Hacia la mitad del capítulo 3 se introduce el espacio móduli de monopolos (ver definición 3.1), es decir, el espacio de clases de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten relacionadas a través de la acción de cierto grupo de Lie que lla- maremos grupo de norma (ver definición 2.1). En la sección 3.2 se demuestra el teorema fundamental de la teoría de Seiberg-Witten en el caso en que M sea una 4-variedad simplemente conexa. Este teorema afirma que el espacio de monopolos es, genéricamente, una variedad suave, compacta, orientable y de dimensión finita. Solo hasta el final del tercer capítulo se da una idea panorámica de la construcción del invariante de Seiberg-Witten a partir del espacio de monopolos. Raúl Alvarez Patiño. Ciudad Universitaria, México D.F. a 20 de Agosto de 2014. Índice general Agradecimientos iii Prefacio v Capítulo 1. Geometría Espinorial 1 1. Motivación Física 1 2. Álgebras de Clifford 3 3. Grupos Spin y SpinC 11 4. La Representación Espinorial de SpinC 21 Capítulo 2. Estructuras Spin y el Operador de Dirac 33 1. Haces Vectoriales 33 2. Teoría de Obstrucciones y Cohomología de Čech 40 3. Obstrucciones para la Existencia de Estructuras Spin 52 4. Preliminares de Geometría Diferencial 58 4.1. Conexiones en Haces Vectoriales 58 4.2. La Curvatura de una Conexión 64 4.3. El Operador de Hodge y la Topología de las 4-Variedades 69 5. El Haz de Espinores y la Conexión Spin 74 6. El Operador de Dirac 79 Capítulo 3. Teoría de Seiberg-Witten 91 1. Las Ecuaciones de Seiberg-Witten 91 2. El Grupo de Norma y su Acción en el Espacio de Configuraciones 97 3. El Espacio Moduli de Monopolos 100 3.1. Compacidad del Espacio Moduli de Monopolos 100 3.2. El Espacio Moduli de Monopolos es una Variedad Suave 104 3.3. Comentarios Finales Sobre los Invariantes de Seiberg-Witten 108 Apéndice. Bibliografía 111 ix Capítulo 1 Geometría Espinorial En la primera parte del presente capítulo se introduce el concepto de espinor, haciendo énfasis en el papel fundamenta que juegan estos objetos en la descripción cuántica del electrón. Después se estudiarán a detalle las álgebras de Clifford con el fin de investigar las propiedades básicas de los grupos spin así como algunas de sus representaciones. A manera de ejemplo, se demostrará que la formulación espinorial de la electrodinámica cuántica tiene una interpretación geométrica natural. Asu- mimos que el lector está familiarizado con el concepto de variedad suave y algunas nociones básicas de álgebra lineal. En [7], [3] se cubre gran parte de este material. 1. Motivación Física Las tres primeras décadas del siglo XX atestiguaron una revolución en la física estimulada principalmente por novedosos experimentos que confrontaban seriamen- te las ideas que durante siglos habían fundamentado el entendimiento de la natu- raleza. Planck cuestionaba el carácter continuo de la energía, los modelos atómicos de Bohr-de Broglie comenzaban a ganar terreno y la concepción del espacio y del tiempo cambiaba radicalmente gracias a las notables contribuciones de Einstein, Minkowski y Hilbert. Todo el intenso trabajo desarrollado en este periodo encontró síntesis en los postulados de la mecánica cuántica impulsada entre otros por; Born, Heisenberg, Pauli, von Neumann y Schrödinger. De entre los mayores logros de la teoría se destaca la completa determinación del espectro energético para el átomo de Hidrógeno así como la solución del problema de espectroscopia para algunos átomos más complicados, sin embargo, aún se estaba lejos de tener un formalismo consistente que describiera la interacción entre los átomos que constituyen la materia y campos electromagnéticos externos, en este sentido las observaciones experimentales mas contundentes fueron: a) El efecto Zeeman anómalo descubierto en octubre de 1896 mostraba que las lineas de emisión y absorción de átomos se veían modificadas por campos magnéticos externos. b) Los experimentos de Stern-Gerlach en 1921 y de Phipps-Taylor en 1927, que consistían en dirigir un haz de átomos (de plata en el primer caso y de hidrógeno en el segundo) a una región de campo magnético. La observación fundamental fue que el haz se parte en dos al salir del campo magnético. De los resultados antes mencionados se desprenden dos conclusiones: (a) exis- te una contribución al momento magnético de los átomos, adicional al momento magnético orbital, que modifica la estructura fina del espectro energético y (b) se presenta en dos polarizaciones, de manera aparentemente aleatoria para un mismo tipo de átomo. 1 2 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL La esencia del problema al que se enfrentaban los físicos de aquel entonces radica en que no existe una justificación teórica para este nuevo momento magnético dentro de la electrodinámica clásica. Fue hasta octubre de 1925 cuando G. E. Uhlenbeck y S. A. Goudsmit al introducir un nuevo grado de libertad para el electrón, al que llamaron spin, lograran un progreso significativo hacia la solución del problema [48, 38]. Este nuevo parámetro se interpretó en aquel entonces como una especie de rotación intrínseca del electrón responsable de producir el momento magnético extra. Esta hipótesis genero una problemática conceptual incluso mayor que la que pretendía resolver. Pauli en particular mostró que un electrón debía girar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz para poder tener las propiedades magnéticas prescritas por la teoría de Uhlenbeck-Goudsmit. Se necesitaron tres años más y uno de los mas brillantes físicos de la historia para esclarecer por completo el misterio entorno al spin. La respuesta requirió la incorporación de la relatividad especial a los postulados de la mecánica cuántica, me refiero a la electrodinámica cuántica, o QED por sus siglas en ingles, desarrollada en 1928 por Paul Adrien Maurice Dirac [9]. En este artículo se propone que ψ, la función de onda 1 del electrón, es una solución a la ecuación (1.1) ( i~γµ∂µ −mc ) ψ = 0, donde ~ es una constante con unidades de momento angular, llamada constante de Planck, m es la masa del electrón y c representa el valor de la velocidad de la luz en el vacío. Los coeficientes γµ, conocidos como matrices de Dirac, son constantes caracterizadas por la relación (1.2) γµγν + γνγµ = −2ηµν , µ, ν = 0, 1, 2, 3. con ηµν las componentes de la métrica de Minkowski diag(−1, 1, 1, 1). Cabe destacar que la ecuación (1.1) es de primer orden para preservar la acción isométrica del grupo ortogonal O(1, 3) en espacio de Minkowski R1,3, simetría que relaciona sistemas de referencia inerciales en la teoría de la relatividad especial. Observe que la ecuación de Dirac solo tiene sentido si ψ es un elemento del espacio en donde el conjunto de matrices gamma actúa. A los elementos de este espacio se les conoce como espinores de Dirac. Por otro lado, la identidad (1.2) implica que el operador /∂ := iγµ∂µ está relacionado con operador de Laplace tres dimensional ∆ mediante la ecuación (1.3) /∂ 2 = −∂20 +∆. Adelantamos que una forma ligeramente distinta de las relaciones (1.1) , (1.2) y (1.3) se volverán cruciales para el desarrollo posterior de la geometría espinorial. La ecuación de Dirac corresponde a un electrón libre, esto es, se desprecia la influencia de cualquier campo distinto a ψ. Para obtener la teoría con interacciones, es necesario introducir en la ecuación (1.1) el cuadripotencial electromagnético Aµ asociado al campo externo, esto se logra con la sustitución (1.4) ∂µ 7→ ∂µ + ieAµ, donde e denota la carga eléctrica del electrón. El lector familiarizado con el for- malismo de la electrodinámica clásica reconocerá de inmediato que el termino eAµ tiene unidades de momento, lo que es de esperarse en vista del termino ∂µ, varia- ble canónicamente conjugada al cuadrimomento pµ. Muy importante para nosotros 1Actualmente ψ se interpreta como un campo cuántico y no como una función de onda. 2. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 3 sera también la llamada regla de acoplamiento mínimo (1.4) que estudiaremos en secciones posteriores ( seciones 1 y 6 ) y que en términos prácticos no es otra co- sa que una corrección a la energía cinética. La sencilla sustitución (1.4) sienta la base conceptual para el desarrollo de las teorías de norma que en sus versiones no abelianas, i.e. no lineales, han demostrado ser ingredientes fundamentales en el entendimiento de la física de altas energías, ya que hasta este momento, resultan ser el mejor modelo de las interacciones materia-radiación incluso en situaciones cualitativamente distintas a la electrodinámica cuántica. En esta dirección, el ejem- plo más destacado es la teoría de Yang-Mills [47] concebida originalmente para describir algunos aspectos relacionados a las interacciones nucleares. Por último, recomendamos al lector interesado en una exposición más amplia de QED consultar [8] para un breve resumen de las propiedades básicas y [15] pp. 221-372 para una discusión detallada de la teoría. En [27] puede encontrarse un resumen en orden cronológico de la teoría del electrón dirigido a lectores de inclinación matemática. 2. Álgebras de Clifford En la presente sección, V denotara un R-espacio vectorial de dimensión n <∞ que servirá de modelo local para el espacio-tiempo. Para esto, dotaremos a V de una estructura métrica generalizada definida en términos de una forma bilineal simétrica y no degenerada. A continuación daremos un breve resumen de la teoría de formas bilineales y sus correspondientes espacios cuadráticos. Definición 2.1. Una forma bilineal real b definida en V es una aplicación R-bilineal b : V × V → R. Decimos además que b es: • Simétrica si para cada pareja (v, w) ∈ V × V se satisface la relación b(v, w) = b(w, v). • No degenerada si las aplicaciones lineales b1w := b(w, · ) , b2w := b( · , w) establecen isomorfismos entre V y su espacio dual V ∗ := HomR(V,R) para todo elemento w ∈ V distinto de cero. En adelante, forma bilineal se entenderá como: real, simétrica y no degenerada. Observación 2.2. El espacio de formas bilineales simétricas suele denotase por Sym2V ∗. Mas generalmente SymmV ∗ se define como el espacio de todas las aplicaciones m-lineales f : V × · · · × V → R simétricas, es decir, que satisfacen f(v1, . . . , vi, vi+1, . . . vm) = f(v1, . . . , vi+1, vi, . . . vm), 1 ≤ i ≤ m. A tales funcionales se les llama simplemente m-formas simétricas, estas forman un espacio vectorial real de dimensión determinada por el coeficiente binomial (2.1) dimSymmV ∗ = ( n+m− 1 m ) , n = dimV. En particular dimSym2V ∗ = n(n+1)/2. Note además que a diferencia de ΛpV SympV 6= 0 cuando p > n. Observación 2.3. Respecto a una base {e1, . . . , en} de V la forma bilineal b tiene asociada una matriz simétrica n× n con coeficientes Bij := b(ei, ej). Así, b es no degenerada sí y solo sí la matriz B = ( Bij ) tiene rango n. 4 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Dada una forma bilineal b : V ×V → R podemos construir una forma cuadráti- ca asociada, denotada por qb, mediante la correspondencia v 7→ b(v, v). Al fijar una base {e1, . . . , en} →֒ V se induce una identificación V ≃ Rn que realiza la forma asociada a b como un polinomio homogéneo de segundo grado cuya matriz de coefi- cientes es por construcción simétrica. La expresión para qb se escribe directamente en términos de las coordenadas como xixjBij = vtBv, v = xiei. Consideremos ahora un polinomio homogéneo de segundo grado q definido en V y sea Q = (Qij) la correspondiente matriz de coeficientes. Si además Q = Qt decimos que q es una forma cuadrática en V . En esta situación definimos la forma bilineal asociada a q, denotada por bq, mediante la identidad de polarización (2.2) 2bq(u, v) := q(u+ v)− q(u)− q(v). Un cálculo simple muestra que, con las elecciones anteriores, la identidad de polarización se escribe en términos de Q como 2bq(u, v) = utQv + vtQu. La discusión anterior revela que bajos las condiciones apropiadas, la teoría de formas bilineales es equivalente a la teoría de formas cuadráticas. Más precisamente, es fácil verificar que b 7→ qb , q 7→ bq son correspondencias inversas. En resumen, hemos visto que un isomorfismo V ≃ Rn identifica Sym2V ∗ con el conjunto de formas cuadráticas definidas en V . Por tanto, en algunas ocasiones, no haremos distinción entre los elementos de estos dos conjuntos. La siguiente proposición caracteriza una forma bilineal b por el número de valores propios positivos y negativos. Debido a que este es un resultado ampliamente conocido, únicamente lo enunciamos y referimos al lector al texto [34] pp. 269-270 donde puede encontrar una prueba completa de esta afirmación. Proposición 2.1 (Ley de inercia de Sylvester). Existe una base de V para la cual b = −idr ⊕ ids. Es decir, b está representada por la matriz (2.3) ( −1r 0 0 1s ) , donde 1r es la matriz identidad de r × r , 1s es la identidad de s × s y 0 representa matrices de ceros de dimensiones adecuadas. Una consecuencia inmediata de la proposición 2.1 es que dos formas bilineales b y b̂ definidas en V son equivalentes sobre los reales sí y solo sí Tr b = Tr b̂. Al inva- riante Tr b = s− r se le denomina signatura de b. En otras palabras, la proposición anterior asegura que una forma bilineal b está completamente determinada por la pareja de números ( rk b,Tr b ) = (s+ r, s− r) conocida como inercia. Definición 2.4. Un espacio cuadrático es una pareja (V, q), donde q representa a toda una clase de equivalencia de formas cuadráticas definidas en V 2. En vista de la proposición 2.1 eventualmente usaremos la notación V r,s para referirnos a un espacio cuadrático de dimensión r+ s cuya forma bilineal asociada bq sea la forma diagonal de inercia (r + s, s− r). 2Esto quiere decir que consideraremos como iguales a dos parejas (V, q) y (V, q′) siempre que q y q′ sean formas equivalentes. 2. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 5 Ejemplo 2.1. El ejemplo paradigmático de espacio cuadrático es sin duda el espacio euclidiano, definido por la pareja ( Rn, ‖ ‖2 ) . Ejemplo 2.2. Otro ejemplo importante, bien conocido en física es el antes mencionado espacio-tiempo de Minkowski R1,3 = ( R4, η ) cuya forma bilineal bη está representada por la matriz diagonal     −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     . El signo negativo en la primer entrada de bη está relacionado con el valor de la velocidad de la luz y el hecho que es constante para todos los sistemas de referencia asociados a observadores inerciales. Otro aspecto importante de la forma bilineal η es que determina la estructura causal del espacio-tiempo [35], es decir, establece la diferencia entre presente, pasado y futuro para cada observador inercial. Sea W un espacio vectorial y ( V, q ) un espacio cuadrático. Una transformación lineal T :W → V induce una forma cuadrática T ∗q en W definida como T ∗q = q◦T que dota a W de estructura de espacio cuadrático. Si además W tiene definida una forma cuadrática q̂, decimos que T es una isomería si q̂ = T ∗q. De esta definición se sigue inmediatamente que el conjunto (2.4) O(V, q) := { T ∈ AutV | T ∗q = q } forma un grupo bajo la composición de transformaciones conocido como grupo de isometrias de ( V, q ) . Cuando q se representa en forma diagonal, el grupo de isometrias de (V, q) ≃ V r,s se denota por O(r, s) y en este caso se llama grupo ortogonal generalizado de tipo (r, s). Si Q es la matriz de coeficientes de q, es fácil ver que q ◦ T = q sí y solo sí (2.5) T tQT = Q, o equivalentemente, T tQ = QT−1. Por otra parte, recordemos que T ∈ AutV si y solamente si detT 6= 0. En consecuencia el grupo de automorfísmos de V es un conjunto abierto del espacio vectorial n2-dimensional EndV obtenido como el complemento de la imagen inversa de {0} ⊂ R bajo la función continua det : EndV → R. Los argumentos del párrafo anterior prueban que AutV es una variedad dife- renciable de dimensión n2. Este resultado nos sugiere la siguiente Proposición 2.2. O(V, q) es un grupo de Lie de dimensión n(n− 1)/2. Demostración. Considere la aplicación suave Φ : AutV → Sym2V ∗ definida como Φ(T ) = q ◦ T . Claramente O(V, q) = Φ−1(q), entonces debemos probar que q es un valor reglar de Φ para todo elemento T ∈ O(V, q) [14]. La diferencial de Φ en T tiene la siguiente expresión (2.6) dTΦ(X) = T tQX +XtQT , X ∈ TTAutV ≃ EndV. Usando la ecuación (2.5) vemos que el miembro derecho de (2.6) se re escribe como QT−1X +XtQT . Sea A ∈ TΦ(T )Sym 2V ∗ ≃ Sym2V ∗ arbitrario. Aplicando dTΦ al elemento B := T QA obtenemos dT (B) = Q2A+AtQtQ. 6 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Por la proposición 2.1 podemos suponer a Q en su representación diagonal, así tenemos que Qt = Q y Q2 = 1. En consecuencia dTΦ(B) = A+At = 2A. Entonces 1/2B es una solución a la ecuación dT (X) = A, que es lo que buscábamos. Es claro que las operaciones del grupo, al ser funciones racionales no singulares de las componentes de T , dotan a O(V, q) con una estructura de grupo compatible con la estructura diferenciarle encontrada en párrafos anteriores. Por último, de (2.1) y el teorema del valor regular concluimos que n(n+ 1) 2 = Codim{q} = CodimO(V, q) = n2 − dimO(V, q). Una ligera manipulación algebraica prueba que la dimensión del grupo de iso- metrias es exactamente n(n− 1)/2 como se afirmaba.  Corolario 2.1. El álgebra de Lie del grupo de isometrias de (V, q), denotada por o(V, q), es isomorfa a (2.7) Ker didΦ = { X ∈ EndV |QX +XtQ = 0 } . Demostración. o(V, q) ≃ TidO(V, q) ≃ Ker didΦ.  Es importante resaltar que la dimensión de O(V, q) es independiente de la sig- natura de q, esta es una de las pocas propiedades que tienen en común los grupos de isometrias para distintas elecciones de q. Por ejemplo, cuando q es la forma euclidiana usual ‖ ‖2, el correspondiente grupo de isometrias es una variedad com- pacta con dos componentes conexas indicadas por el signo del determinante (Si T ∈ O(V, ‖ ‖2) entonces (detT )2 = 1). En contraste, los grupos de isometrias de tipo (r, s) son siempre no compactos y con cuatro componentes conexas. Sin embargo, hay otra propiedad topológica especial que comparten todos estos grupos, a saber, la existencia de un grupo que cubre dos veces a O(V, q) mediante un homomorfismo suave. Veremos más adelante que en la mayoría de los casos, el recubrimiento se restringe a un homomorfismo entre el grupo ortogonal especial asociado al espacio cuadrático (V, q) (2.8) SO(V, q) := { T ∈ O(V, q) | detT = 1 } y un recubrimiento universal que a su vez resulta ser un grupo de Lie, llamado Spin(V, q). Para esto introducimos a continuación el formalismo de álgebras de Clifford, que es el contexto natural de la relación entre SO(V, q) y Spin(V, q). Definición 2.5. Sea (V, q) un espacio cuadrático. Un álgebra de Clifford Cℓ(V, q) es una R-álgebra asociativa y con unidad generada por V sujeta a la relación (2.9) v2 + q(v)1 = 0 , v ∈ V. Observación 2.6. La identidad de polarización (2.2) en la página 4 implica que la ecuación (2.9) es equivalente a la ecuación (2.10) uv + vu+ 2bq(u, v)1 = 0. Explícitamente tenemos que (u+ v)2 + q(u+ v)1 se desarrolla como u2 + v2 + uv + vu+ q(u+ v)1 = uv + vu+ [q(u+ v)− q(u)− q(v)] 1. Note además que la ecuación (1.2) en la página 2 es un caso particular de (2.10) para q = η definida en el ejemplo 2.2. En analogía con [u, v], es común denotar a la expresión uv + vu como {u, v} y llamarlo anticonmutador de u y v. 2. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 7 Teorema 2.2. Para cada espacio cuadrático (V, q) existe un modelo no trivial para el álgebra de Clifford Cℓ(V, q) de dimensión 2dimV . Demostración. Sea T (V ) el álgebra tensorial de V definida como ⊕ m≥0 V ⊗m donde V ⊗m denota al producto tensorial de m copias de V y V ⊗0 := R. Definimos Iq(V ) como el ideal bilateral generado por elementos de la forma v⊗v+ q(v)1 para cada v ∈ V . Es claro que (2.11) T (V )Iq(V ) es un R-álgebra asociativa y con unidad en donde se satisface la relación (2.9) y en consecuencia es un candidato para Cℓ(V, q). Veamos que V ⊗1 := V puede identificarse con su imagen bajo la proyección canónica πq : T (V ) → Cℓ(V, q). Para esto debemos probar que V interseca trivialmente a Iq(V ). Sea θ ∈ Iq(V )∩ V , por un lado θ es una suma finita de la forma ∑ i xi ⊗ [vi ⊗ vi + q(vi)1]⊗ yi; xi ∈ V ⊗pi , yi ∈ V ⊗qi , que está agrupada de manera tal que a diferentes valores del índice i correspon- den elementos xi, yi de distinto grado. También suponemos que en la suma anterior no hay términos con vi = 0. Por otra parte, θ ∈ V implica que los términos de grado distinto a uno en la suma anterior deben ser todos iguales a cero, es decir ∑ i xi ⊗ vi ⊗ vi ⊗ yi = 0(2.12) ∑ j [q(vj)1]xj ⊗ yj = 0.(2.13) Donde j se ha elegido en (2.13) de manera que degxj + degyj sea igual a cero o estrictamente mayor que uno. Con estas consideraciones, tenemos que θ = ∑ k 6=j [q(vk)xk1] yk, donde degxk = 0 , degyk = 1. La ecuación (2.12) se satisface en el álgebra tensorial T (V ) sí y solo sí se anula término a término. En particular xk ⊗ vk ⊗ vk ⊗ yk = 0 para cada posible valor de k. Como vk 6= 0 deducimos que xk = 0 o bien yk = 0, ambos casos impli- can que θ = 0 como se afirmaba. Por ultimo consideremos una base q-ortonormal { e1, . . . , en} →֒ V , esto es, una base que induce un isomorfismo de espacios cuadrá- ticos (V, q) ≃ V r,s. Como hemos visto, Cℓ(V, q) está generada como R-álgebra por todos los productos de la forma ei1 · · · eik . Veamos que el producto anterior contiene a lo mas k factores distintos. En efecto, si hubiese elementos repetidos usamos la relación (2.10) para llevar estos elementos, mediante permutaciones sucesivas, uno al lado del otro. Dado que estos elementos forman una base q-ortonormal, al final se obtiene un factor ±1 por cada permutación realizada así como por cada pareja de vectores básicos repetidos. Por lo tanto asumiremos de ahora y en adelante que en un monomio ei1 · · · eik los índices tiene el orden i1 < · · · < ik. De lo anterior se sigue inmediatamente que (2.14) dim Cℓ(V, q) = n∑ k=0 ( n k ) = 2n. Esto completa la prueba del teorema.  8 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Corolario 2.3. Cℓ(V, q) está caracterizada universalmente por la relación (2.9). Es decir, para cualquier R-álgebra asociativa con unidad A y cada trans- formación lineal ϕ : V → A con la propiedad (2.15) [ϕ(v)] 2 + q(v)1A = 0. Existe un único morfismo de R-álgebras ϕ∗ : Cℓ(V, q) → A que hace conmutativo el diagrama (2.16) V ϕ ""❋ ❋❋ ❋❋ ❋❋ ❋❋ ❋❋   // Cℓ(V, q) ϕ∗  ✤ ✤ ✤ ✤ A. En particular Cℓ(V, q) es única salvo isomorfismo. Demostración. Cualquier aplicación lineal ϕ : V → A induce un homomor- fismo de R-álgebras ϕ̂ : T (V ) → A que extiende ϕ al álgebra tensorial de V [13]. Este morfismo está definido en los generadores del álgebra tensorial como 1 7→ 1 vi1 ⊗ · · · ⊗ vik 7→ ϕ(vi1) · · ·ϕ(vik). La ecuación (2.15) implica que ϕ̂ se anula en el ideal Iq(V ) y en consecuencia ϕ̂ se factoriza a través de la proyección canónica πq : T (V ) → Cℓ(V, q) mediante un único morfismo ϕ∗ : Cℓ(V, q) → A que actúa en los generadores del álgebra de Clifford como ϕ∗ (vi1 · · · vik) = ϕ (vi1) · · ·ϕ (vik). Es claro que ϕ∗ hace conmutativo el diagrama (2.16). Supongamos ahora que ( Cl(V, q) , j : V →֒ Cl(V, q) ) es otro modelo de álgebra de Clifford para (V, q). Los monomorfismos lineales j : V →֒ Cl(V, q), j : V →֒ Cℓ(V, q) inducen morfismos j∗ : Cℓ(V, q) → Cl(V, q), j∗ : Cl(V, q) → Cℓ(V, q) tales que j ◦ j∗ = j , j ◦ j∗ = j. Se sigue entonces que j ◦ (j∗ ◦ j∗) = j y j ◦ (j∗ ◦ j∗) = j. Así Im (j∗ ◦ j∗ − 1) ⊆ ker j, Im (j∗ ◦ j∗ − 1) ⊆ ker j. Esto solo es posibles si j∗ y j∗ son morfismos inversos.  Observación 2.4. Usando la unicidad asegurada por el corolario anterior, es sencillo verificar que (ϕ ◦ φ)∗ = ϕ∗ ◦ φ∗ para cualesquiera dos aplicaciones lineales ϕ y φ que preserven las correspondientes formas cuadráticas y es aún más fácil ver que idV ∗ = idCℓ(V,q). En otras palabras, Cℓ( ) es un funtor covariante [13] de la categoría de espacios cuadráticos en la categoría de R-álgebras. Consideremos ahora un elemento T ∈ O(V, q), de acuerdo con la observación anterior la acción canónica O(V, q) × V → V se extiende naturalmente a una ac- ción de O(V, q) en Cℓ(V, q). Más aún, es fácil ver que el homomorfismo asociado O(V, q) → Aut Cℓ(V, q) es inyectivo, esto quiere decir que podemos pensar a O(V, q) como un subgrupo de Aut Cℓ(V, q). En particular la involución P : V → V definida como P (v) = −v induce la descomposición (2.17) Cℓ(V, q) = Cℓ0(V, q)⊕ Cℓ1(V, q) donde Cℓ0(V, q) := Ker (P∗ − id) se denomina parte par del álgebra de Clifford y Cℓ1(V, q) := Ker (P∗ + id) es la parte impar. Observe que Cℓ0(V, q) , (resp. Cℓ1(V, q)) 2. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 9 está generado por productos con un número par (resp. impar) de elementos básicos en V , de ahí el nombre de estos subespacios. También se satisface (2.18) Cℓi(V, q) · Cℓj(V, q) ⊆ Cℓi+j(V, q) , i+ j mód 2. Un álgebra con las propiedades (2.17) (2.18) se llama álgebra Z2-graduada o brevemente súperalgebra. Así Cℓ(V, q) es un ejemplo de súperalgebra. El siguiente resultado nos sera de utilidad más adelante. Proposición 2.3. Existe un isomorfismo de R-álgebras (2.19) Cℓ(r, s) ≃ Cℓ0(r, s+ 1) donde Cℓ(r, s) := Cℓ(V r,s). Demostración. Sea {e1, . . . , es+1} una base q-ortonormal para V r,s+1, se si- gue entonces de la definición que V r,0 = SpanR{e1, . . . , er}, V 0,s+1 = SpanR{er+1, . . . , es+1}. Identificando V r,s con SpanR{ei | i 6= r + 1} podemos definir la transformación lineal ϕ : V r,s → Cℓ0(r, s+1) dada en los generadores por ϕ(ei) = er+1ei. Así para cada v ∈ V r,s se cumple [ϕ(v)] 2 = ∑ i,j 6=r+1 vivj er+1 ei er+1 ej = ∑ i,j 6=r+1 vivj eiej = v2 = −q(v). Donde hemos usado que e2r+1 = −1 y {er+1, ek} = 0 para todo valor admisible de k. Así, la propiedad universal (2.15) implica que ϕ induce un morfismo de R- álgebras ϕ∗ : Cℓ(r, s) → Cℓ0(r, s+ 1). Esta aplicación es un epimorfismo pues ei1 · · · ei2k = (−1)k e2kr+1(ei1 · · · ei2k) = ±(er+1ei1) · · · (er+1ei2k) = ϕ∗(±ei1 · · · ei2k). La inyectividad de ϕ∗ se verifica de manera similar.  Estamos ahora en condiciones de definir los grupos mas importantes de este trabajo, pero antes queremos concluir con esta sección calculando algunas de las álgebras de Clifford de espacios de dimensión baja. Para esto usaremos la convención introducida en la definición 2.4 del espacio cuadrático V r,s. Ejemplo 2.3. El primer ejemplo sale un poco del esquema establecido hasta ahora ya que si tomamos como forma cuadrática en V a la forma totalmente dege- nerada q ≡ 0, obtenemos que Cℓ(V, 0) es isomorfa al álgebra exterior de V definida como ΛV := ⊕ 0≤p≤n ΛpV. Esto sigue inmediatamente de la relación (2.9) en la página 6. Observe que, en general, existe un isomorfismo como espacios vectoriales q : ΛV → Cℓ(V, q) para todo espacio cuadrático (V, q) definido en los generadores como ei1 ∧ · · · ∧ eik 7→ ei1 · · · eik . Algunos autores llaman a esta aplicación isomorfismo de cuantización. Ejemplo 2.4. Salvo equivalencia existe dos espacios cuadráticos unidimensio- nales denotados como R1,0 y R0,1. Por otra parte, resulta que el álgebra tensorial de R se identifica naturalmente con el álgebra de polinomios en una variable R[x], por lo tanto se tiene un isomorfismo obvio Cℓ(0, 1) ≃ C. El álgebra correspondiente a R1,0 es la suma directa de dos copias de los reales como álgebra sobre si mismo. El isomorfismo Cℓ(1, 0) ≃ R⊕ R está inducido por 1 7→ (1, 1) , e 7→ (1,−1). 10 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Ejemplo 2.5. Sea {e1, e2} una base ortonormal de R0,2. Las correspondencias i 7→ e1 , j 7→ e2 y k 7→ e1e2 identifican el álgebra de Clifford Cℓ(0, 2) con los cuaternios H. Ejemplo 2.6. Cℓ(0, 3) ≃ H⊕H. Esto puede verificarse fácilmente notando que el morfismo de R-álgebras inducido por la biyección (1, 0) 7→ 1 + e1e2e3 2 (0, 1) 7→ 1− e1e2e3 2 (i, 0) 7→ e1e2 − e3 2 (0, i) 7→ e1e2 + e3 2 (j, 0) 7→ e2e3 − e1 2 (0, j) 7→ e2e3 + e1 2 (k, 0) 7→ e3e1 − e2 2 (0, k) 7→ e3e1 + e2 2 satisface las relaciones que definen el álgebra de Clifford correspondiente. Por supuesto, aquí {e1, e2, e3} es una base ortonormal de R0,3. Observe además que respecto a la descomposición anterior, Cℓ0(0, 3) ≃ H se encaja diagonalmente en H⊕H y la copia de R3 →֒ Cℓ(0, 3) se identifica con el espacio de cuaternios puros α de la forma (α,−α). Ejemplo 2.7. Sea {γµ | 0 ≤ µ ≤ 3} una base ortonormal para el espacio-tiempo de Minkowski R1,3. Entonces Cℓ(1, 3) ≃ Mat2×2(H) está inducido por γ0 7→ ( 0 1 1 0 ) , γ1 7→ ( 0 i i 0 ) , γ2 7→ ( 0 j j 0 ) , γ3 7→ ( 0 k k 0 ) . Existe otra representación que se obtiene al remplazar los elementos 1, i, j, k por las matrices de Pauli extendidas σ0 = ( −1 0 0 −1 ) , σ1 = ( 0 1 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) , σ3 = ( 1 0 0 −1 ) de tal manera que las matrices γi para i = 1, 2, 3 sean antisimétricas por blo- ques, es decir, que el bloque superior derecho sea igual a menos el bloque inferior izquierdo (2.20) γ0 7→ ( 0 σ0 σ0 0 ) , γi 7→ ( 0 σi −σi 0 ) donde σµ = ηµνσν . A esta representación, usual en textos de teoría cuántica, se le conoce con el nombre de representación quiral o representación de Weyl. Ejemplo 2.8. Para obtener la representación matricial del álgebra de Clifford en 4 dimensiones euclidianas Cℓ(0, 4) en la base quiral o de Weyl simplemente identificamos los generadores {γµ | 1 ≤ µ ≤ 4} con las matrices (2.21) γµ 7→ ( 0 eµ −(eµ)† 0 ) donde eµ denota el análogo euclidiano de las matrices de Pauli. Explícitamente e1 = ( 1 0 0 1 ) , e2 = ( 0 −1 1 0 ) , e3 = ( 0 i i 0 ) , e4 = ( i 0 0 −i ) . Note que a diferencia de la matrices de Pauli; (eµ)2 = −id2×2. De hecho, {eµ | 1 ≤ µ ≤ 4} es una base para una representación de los cuaternios H ≃ Cℓ(0, 2). 3. GRUPOS Spin Y SpinC 11 Ejemplo 2.9. El álgebra de Clifford del “tiempo-espacio” de Minkowski R3,1, generado por elementos ortonormales {γ0, . . . , γ3}, es isomorfa a Mat4×4(R). La identificación se induce por la correspondencia γ0 7→ ( −iσ2 0 0 iσ2 ) , γ1 7→ ( σ1 0 0 σ1 ) , γ2 7→ ( σ3 0 0 σ3 ) , γ3 7→ ( 0 σ3 σ3 0 ) . Matemáticamente no es sorprendente observar que Cℓ(1, 3) y Cℓ(3, 1) no son isomorfas como R-álgebras asociativas. Sin embargo, este resultado advierte un problema de ambigüedad desde el punto de vista de la física, en donde se usan de manera indistinta los espacios R1,3 y R3,1 como modelos del espacio-tiempo. Es- to se soluciona formalmente tras notar que la complexificación Cℓ(1, 3) ⊗R C y su contraparte simétrica Cℓ(3, 1)⊗R C resultan isomorfas a Mat4×4(C) como álgebras asociativas complejas. Este hecho se justifica teóricamente si se interpreta a la com- plexificación como una forma de asignar carga eléctrica a los campos espinoriales que describen al electrón. Concluimos la sección mencionado que el álgebra de Clifford de cualquier espa- cio cuadrático V r,s puede calcularse usando algunos de los isomorfismos dados en los párrafos anteriores junto con un par de resultados adicionales que pueden con- sultarse en el capítulo I, sección 4 de [16]. De esta clasificación se sigue que todas las álgebras de Clifford se identifican ya sea con el álgebras de matrices Mat2k×2k(F) si s+1 /≡ r mód 4 o bien con Mat2k×2k(F)⊕Mat2k×2k(F) si s+1 ≡ r mód 4 para algún valor adecuado de k, y donde F es una de las tres posibles R-álgebras de división R,C,H. 3. Grupos Spin y SpinC Comencemos notando que cualquier elemento v ∈ V que no es anulado por q representa un elemento invertible de Cℓ(V, q). Es claro que el elemento inverso v−1 está dado por −1/q(v) v. Más generalmente podemos considerar el grupo de unidades Cℓ×(V, q) asociado al álgebra Cℓ(V, q). Este grupo actúa por conjugación en el álgebra de Clifford. Es decir, existe un homomorfismo de grupos Ad : Cℓ×(V, q) −→ Aut Cℓ(V, q)(3.1) ξ 7−→ Adξ llamado representación adjunta Adξ x = ξ x ξ−1.(3.2) La siguiente proposición muestra que la restricción de esta representación a los elementos invertibles de V →֒ Cℓ(V, q) preservan este encaje y en consecuencia puede considerarse como una acción en V . Proposición 3.1. Sean v, w ∈ V tal que q(v) 6= 0. Entonces −Adv actúa como una reflexión a través del hiperespacio q-ortogonal a v, esto es (3.3) −Adv w = w − 2 bq(w, v) q(v) v. Además se satisface la ecuación Ad∗v q = q. Demostración. De las identidades; v−1 = −1/q(v) v , {w, v} = −2bq(w, v) se sigue inmediatamente que −q(v)Adv w = vwv = −v2w − 2bq(w, v)v = q(v)w − 2bq(w, v)v. 12 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Para ver que la acción adjunta preserva la forma cuadrática q, recordemos que q(v) se obtiene de evaluar la forma bilineal asociada bq en la diagonal de V × V . (Ad∗v q) (w) = q [ −w + 2 bq(w, v) q(v) v ] = q (−w)− 4 [ bq(w, v) ]2 q(v) + q [ 2 bq(w, v) q(v) v ] .  De regreso a la discusión general, recordemos que la naturaleza funtorial de las álgebras de Clifford permite identificar a O(V, q) con un subgrupo de Aut Cℓ(V, q) que preserva el subespacio V →֒ Cℓ(V, q) así como la estructura de súperalgebra de Cℓ(V, q) definida anteriormente por 2.17 , 2.18 en la página 9. Una consecuencia inmediata de la proposición 3.1 es que la imagen de la representación adjunta está contenida en el subgrupo antes mencionado. Observe además que Adtv = Adv para todo t ∈ R× y todo elemento v ∈ V , este hecho nos conduce de manera natural a la siguiente Definición 3.1. Denotamos como Pin(V, q) al subgrupo de Cℓ×(V, q) generado por los elementos v ∈ V tales que q(v) = ±1, es decir por elementos en la q-esfera unitaria contenida en V . Es para nosotros de suma importancia el subgrupo (3.4) Spin(V, q) := Pin(V, q) ∩ Cℓ0(V, q). En otras palabras, Pin(V, q) es el grupo de todos los productos de elementos en la q-esfera unitaria mientras que Spin(V, q) está generado por aquellos monomios con un numero par de factores unitarios. Observación 3.2. Pin(V, q) contiene una base de Cℓ(V, q) como espacio vec- torial mientras que Spin(V, q) contiene una base del subespacio vectorial Cℓ0(V, q). En consecuencia • Dos representaciones (reales o complejas) de Cℓ0(V, q) cuyas restricciones a Spin(V, q) coinciden son necesariamente representaciones isomorfas. • Si A un módulo (real o complejo) sobre Cℓ0(V, q) y A′ ⊂ A es invariante bajo la acción de Spin(V, q), entonces A′ es un Cℓ0(V, q)-submódulo. Las afirmaciones análogas para Pin(V, q) y Cℓ(V, q) son igualmente ciertas. Veamos a continuación algunos ejemplos explícitos de estos grupos asociados a las álgebras de Clifford que calculamos en la página 9. Ejemplo 3.1. Dado que Cℓ(0, 1) ≃ C tenemos que Pin(0, 1) es el grupo cíclico de orden 4 generado por ±i mientras que Spin(0, 1) es el subgrupo de orden dos generado por ±1. En resumen Pin(0, 1) ≃ Z4 y Spin(0, 1) ≃ Z2. Ejemplo 3.2. Bajo el isomorfismo Cℓ(0, 2) ≃ H el circulo unitario contenido en plano se identifica con los cuaternios de la forma cos θi + sen θj. Es fácil ver que el producto de cualesquiera dos de estos elementos pertenece al circulo unitario contenido en el plano generado por 1 y k = ji, por lo tanto Spin(0, 2) ≃ U(1). Ejemplo 3.3. Spin(0, 3) ≃ SU(2). Para ver esto considere la transformación lineal real Θ : R0,4 −→ Mat2×2(C) (v0, v1, v2, v3) 7→ ( v0 + iv3 −v1 + iv2 v1 + iv2 v0 − iv3 ) . 3. GRUPOS Spin Y SpinC 13 Un par de cálculos elementales prueban que para cada v = (v0, v1, v2, v3) las siguientes relaciones se satisfacen detΘ(v) = ‖ v ‖2 , Θ(v)†Θ(v) = ‖ v ‖2 12 donde † denota la conjugación hermítica en Mat2×2(C) y 12 denota la identidad de 2 × 2. Por lo tanto, la esfera unitaria S3 →֒ R0,4 se mapea bajo Θ en el grupo unitario especial (3.5) SU(2) := { U ∈ Mat2×2(C) |UU† = 12 detU = 1 } . Como Spin(0, 3) ⊂ Cℓ0(0, 3) ≃ H ≃ R0,4 está generado por la esfera unitaria, la afirmación se sigue. De acuerdo con la proposición 3.1 la representación adjunta actúa en V por isometrias que salvo un signo (miembro izquierdo de (3.3)) son reflexiones, esto quiere decir que Ad : Cℓ×(V, q) → O(V, q) no se comportan bien con respecto a la orientación. Por ejemplo, cuando la dimensión de V es impar, Adv preserva la orientación para cada v ∈ V . En contraste, una reflexión siempre invierte la orien- tación. La manera de remediar esta situación es introducir un signo adicional en la representación adjunta mediante P∗. A esta modificación, plenamente discutida en [16], se le denomina representación adjunta torcida. Este problema no es relevante para nosotros pues únicamente nos interesa la restricción de esta representación al subgrupo Spin(V, q) que al estar contenido en la parte par de Cℓ(V, q), actúa en V mediante transformaciones que preserva orientación. De ahora y en adelante Ad : Spin(V, q) → SO(V, q) hará referencia a esta restricción a menos que explícitamente se indique lo contrario. Para estudiar las propiedades de este mapeo, conviene introducir a la discusión una versión general del resultado clásico de la geometría euclidiana bidimensional que caracteriza a cualquier rotación como una composición de hasta dos reflexiones. La generalización de este resultado a otros espacios cuadráticos se conoce como teorema de Cartan- Dieudonné, que a continuación enunciamos. El lector encontrará en [1] pp. 129-130 o bien en [50] pp. 10-12 una discusión detallada de este resultado. Teorema 3.1 (Cartan-Dieudonné). Todo elemento del grupo de isometrias O(V, q) se escribe como una composición de a lo mas dimV reflexiones. Por otra parte, es claro que el núcleo de la representación adjunta está for- mado de todos los elementos en Spin(V, q) que conmutan con cada vector en V . Las siguientes proposiciones caracterizan al conjunto de elementos en Cℓ(V, q) que conmutan con todos los elementos de V , así como su intersección con Spin(V, q). Proposición 3.2. Sea Z [ Cℓ(V, q) ; V ] := { ξ ∈ Cℓ(V, q) | [ ξ , v ] = 0 ∀ v ∈ V } . Entonces Z [ Cℓ(V, q) ; V ] = { R si n = dimV es par R⊕ R si n = dimV es impar. En el primer caso, R está generado por 1; en el segundo caso, R⊕R está generado por 1 y e1 · · · en. 14 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Demostración. Es claro que cualquier múltiplo escalar de 1 es un elemento central. Consideremos ahora una base q-ortonormal {e1, . . . , en} →֒ V . Dado que cualquier elemento conmuta con sigo mismo, es fácil verificar mediante un cálculo directo que (3.6) ej (ei1 · · · eik) = (−1)s(i1,...,ik,j) (ei1 · · · eik) ej donde el signo (−1)s(i1,...,ik,j) está dado por (3.7) s(i1, . . . , ik, j) = { (−1)k−1 si j = ik0 para algún 1 ≤ k0 ≤ k (−1)k si j 6= ik0 para todo 1 ≤ k0 ≤ k. Si la dimensión de V es par, vemos que [ e1 · · · en , ej ] 6= 0 para cada 1 ≤ j ≤ n. Así que en este caso, es imposible para un elemento en Z [ Cℓ(V, q) ; V ] tener una componente no nula de grado n. Si por el contrario V tiene dimensión impar, e1 · · · en conmuta con cada generador de V , consecuentemente [ e1 · · · en , v ] = 0 para todo v ∈ V . En este caso, los elementos de Z [ Cℓ(V, q) ; V ] genéricamente pueden tener componente no cero de grado n. Supongamos ahora que existe ξ ∈ Z [ Cℓ(V, q) ; V ] de la forma ξ0 1 + ξk ei1 · · · eik + ξn e1 · · · en, ξ0, ξk, ξn ∈ R; con ξn = 0 si n es par y arbitrario en caso contrario. La elección de ξ implica que ξk [ eii · · · eik , v ] = 0 para cada v ∈ V . Observando las ecuaciones (3.6) , (3.7) notamos que siempre podemos elegir v de manera que [ eii · · · eik , v ] 6= 0. Por lo tanto, la única manera de no entrar en contradicción con la elección de ξ es que ξk = 0. Esto prueba que Z [ Cℓ(V, q) ; V ] consta únicamente de los espacios enunciados al principio de esta proposición.  Observación 3.2. Como Cℓ(V, q) es un álgebra asociativa generada por V no- tamos que Z [ Cℓ(V, q) ; V ] no es otra cosa que el centro del álgebra, que denotaremos por Z [ Cℓ(V, q) ] . Se sigue inmediatamente de la proposición 3.2 que la intersección de Z [ Cℓ(V, q) ] con la parte par del álgebra de Clifford está generada por los múltiplos escalares de 1. En particular, Z [ Cℓ(V, q) ] ∩ Spin(V, q) está contenido en el grupo de elementos invertibles R×. Específicamente se tiene la siguiente Proposición 3.3. Spin(V, q) ∩ Z [ Cℓ(V, q) ] = {±1 }. Demostración. Sea ( · ) t la involución de Cℓ(V, q) inducida por la aplicación v1 ⊗ · · · ⊗ vk 7→ vk ⊗ · · · ⊗ v1. Usando esta aplicación definimos el homomorfismo norma N : Cℓ×(V, q) → R× como N(ξ) = ξ P∗(ξ t). Un cálculo directo muestra que la imagen de N restringido a Spin(V, q) está contenida en {±1 }. Adicionalmente observe que N : Spin(V, q) ∩ Z [ Cℓ(V, q) ] → {±1 } actúa elevando al cuadrado su argumento. Por lo tanto, cualquier elemento central contenido en Spin(V, q) es un real no nulo cuyo cuadrado es igual a 1.  Teorema 3.3. Para cada espacio cuadrático (V, q) la representación adjunta completa la sucesión exacta corta (3.8) 1 −→ Z2 −→ Spin(V, q) −→ SO(V, q) −→ 1. Más aún, si (V, q) tiene dimensión al menos dos y es distinto al espacio hiperbólico V 1,1, Ad presenta a Spin(V, q) como un recubrimiento doble no trivial de SO(V, q). 3. GRUPOS Spin Y SpinC 15 Demostración. El teorema de Cartan-Dieudonné 3.1 implica que Ad es un epimorfismo. Las proposiciones 3.2 y 3.3 prueban que KerAd ≃ Z2 estableciendo así la primera parte del teorema. En [39] se demuestra, usando teoría de recubrimientos, la existencia de una única estructura diferenciable que convierte a Spin(V, q) es un grupo de Lie. Con respecto a esta estructura de grupo de Lie, el recubrimiento doble Ad : Spin(V, q) → SO(V, q) resulta ser una morfismo suave entre grupos de Lie, esto es, un homomorfismo de grupos de Lie. En particular, la sucesión (3.8) induce vía diferenciación la siguiente sucesión exacta de espacio vectoriales 0 −→ spin(V, q) ≃−→ so(V, q) −→ 0 que exhibe a la representación adjunta Ad : Spin(V, q) → SO(V, q) como un difeomorfismo local y en particular como un recubrimiento. Supongamos ahora que V tiene dimensión al menos 2 y es distinto al espacio hiperbólico. Para ver que este recubrimiento doble es no trivial, basta mostrar que podemos conectar 1 con −1 mediante una trayectoria ξ : [0, 1] → Spin(V, q). Nuestras hipótesis garantiza que podemos encontrar dos elementos linealmente independientes e1, e2 ∈ V tales que q(e1) = q(e2) = 1 o bien q(e1) = q(e2) = −1. En función del signo que adquiere q en e1 y e2, las trayectorias ξ±(t) := ± cos(πt) + sin(πt)e1 e2 comienzan en ±1, terminan en ∓1 y se factorizan como ξ+(t) = [ cos (π 2 t ) e1 + sin (π 2 t ) e2 ] [ sin (π 2 t ) e2 − cos (π 2 t ) e1 ] ξ−(t) = [ cos (π 2 t ) e1 − sin (π 2 t ) e2 ] [ sin (π 2 t ) e2 + cos (π 2 t ) e1 ] , mostrando así que ξ±(t) ∈ Spin(V, q) para cada valor de t.  Corolario 3.4. Para n ≥ 3, Spin(0, n) es el recubrimiento universal de SO(0, n). Demostración. El teorema de clasificación de recubrimientos sobre un espa- cio X “suficientemente conexo” 3 (ver [18, 17]) establece una biyección natural, llamada conexión de Galois, entre los subgrupos de índice k del grupo fundamental π1 (X) y los recubrimientos de k hojas sobre X. Como π1 (SO(0, n)) = Z2 cuando n ≥ 3, el corolario se sigue inmediatamente.  Un cálculo similar al realizado anteriormente muestra que para 1 ≤ i < j ≤ n, las curvas ξij(θ) := cos θ + sin θeiej se encuentran inmersas en Spin(V, q) si n ≥ 2 y pasan por el elemento identidad cuando θ = 0. Por tanto, los n(n − 1)/2 generadores infinitesimales de Spin(V, q) determinados por ξ′ij(0), son eiej ∈ spin(V, q) ⊂ cl×(V, q) := Cℓ×(V, q). Por otro lado, bajo el isomorfismo de espacios vectoriales q : Cℓ(V, q) → ΛV inducido por ei1 · · · eik 7→ ei1 ∧ · · · ∧ eik , el álgebra de Lie de Spin(V, q) se identifica con el espacio de bivectores Λ2V . Este espacio nos da una base para el álgebra de Lie so(V, q) asociada al grupo SO(V, q) vía la correspondencia que a cada bivector v ∧ w le asocia la transformación que actúa en los elementos x ∈ V de la siguiente forma (3.9) v ∧ w(x) := bq(v, x)w − bq(w, x)v. Esta construcción establece un isomorfismo entre spin(V, q) y so(V, q) solo al nivel de espacios vectoriales. Para obtener el isomorfismo como álgebras de Lie, 3Por ejemplo un espacio con el tipo de homotopía de un CW complejo, o en nuestro caso, una variedad suave, satisfacen las hipótesis de este teorema. 16 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL usamos la diferencial de la representación adjunta calculada en la identidad y que denotaremos simplemente por ad. Corolario 3.5. El isomorfismo ad : spin(V, q) → so(V, q) satisface (3.10) ad(eiej) = 2ei ∧ ej , ad−1(ei ∧ ej) = 1 4 [ei, ej ] . Demostración. Una sencilla aplicación de la regla de la cadena muestra que [ ξ−1 ij ]′ (0) = −ξ′ij(0) = −eiej . Luego, como ad(eiej) ∈ so(V, q) ⊂ EndV , evaluamos la diferencial de la representación adjunta en un elemento w ∈ V para determinar la forma de ad(eiej) para i < j ≤ n ad(eiej)(w) = eiejw − weiej = eiejw − [−eiw − 2bq(w, ei)] ej = eiejw + eiwej + 2bq(w, ei)ej = eiejw + ei [−ejw − 2bq(w, ej)] + 2bq(w, ei)ej = 2 [bq(w, ei)ej − bq(w, ej)ei] = 2ei ∧ ej(w). Finalmente: [ei, ej ] = eiej − ejei = 2eiej = 4 ad−1(ei ∧ ej).  Ahora vamos a usar los resultado establecidos hasta el momento para determi- nar el grupo más relevante para este trabajo, que es Spin(0, 4). Ejemplo 3.4. En el ejemplo 3.3 exhibimos un isomorfismo R-lineal Θ entre el espacio euclidiano R0,4 y las matrices Mat2×2(C). Esta identificación induce dos acciones isométricas de SU(2): una derecha SU+(2)×R0,4 → R0,4 y una izquierda R0,4 × SU−(2) → R0,4 que además preservan orientación. Así, podemos definir un homomorfismo SU+(2)× SU−(2) → SO(0, 4) (U+, U−) 7→ U+Θ(·)U† − que evaluado en un elemento v ∈ R0,1 es igual a U+Θ(v)U † −. Es claro que esta aplicación es dos a uno con dominio S3 × S3, que es una variedad simplemente conexa. Así, este homomorfismo es el recubrimiento universal de SO(0, 4) y por lo tanto, Spin(0, 4) ≃ SU+(2)× SU−(2). Por razones que quedaran claras más adelante, necesario discutir la versión compleja de las construcciones que hemos realizado hasta el momento. Es decir, de- bemos estudiar la complexificación del álgebra de Clifford Cℓ(V, q), definida como CℓC(V, q) = Cℓ(V, q)⊗R C, así como también los análogos complejos de Pin(V, q) y Spin(V, q), que por consistencia denotaremos como PinC(V, q) y SpinC(V, q) respec- tivamente. En adelante, los productos tensoriales se toman sobre el campo real a menos que explícitamente se indique otra cosa. Proposición 3.4. La aplicación J : CℓC(V, q) → CℓC(V, q) definida en los generadores ξ ⊗ z como J(ξ ⊗ z) = ξ ⊗ iz es una estructura compleja. Demostración. La construcción conocida como extensión de escalares garan- tiza que J es una transformación R-lineal bien definida [13]. Es claro que J2 = −id, por lo tanto J es una estructura compleja en CℓC(V, q).  3. GRUPOS Spin Y SpinC 17 La extensión R-lineal de J convierte a CℓC(V, q) en un espacio vectorial sobre C de dimensión compleja 2n que contiene como subespacio real a la copia álgebra de Clifford dada por Cℓ(V, q)⊗ 1. Es por esto que de ahora y en adelante usaremos la notación reducida zξ para referirnos a ξ ⊗ z, así J(ξ ⊗ 1) = iξ. Debido a la naturaleza funtorial del producto tensorial, los resultado que hemos obtenido con anterioridad para las álgebras de Clifford reales se generalizan al caso de las álgebras complexificadas. En particular, la versión compleja del corolario 2.3 implica que CℓC(V, q) ≃ Cℓ(V ⊗ C, q ⊗ C) como álgebras complejas. Aquí, q ⊗ C es la forma cuadrática compleja inducida por la extensión a V ⊗ C de la forma bilineal real bq. Observe que al escribir la forma cuadrática q en su representación diagonal diag(−1, . . . ,−1, 1, . . . , 1), q ⊗ C admite una descripción diagonal equivalente a la forma cuadrática estándar diag(1, . . . , 1). En otras palabras, sobre el campo de los número complejos existe un único espacio cuadrático de dimensión compleja n que puede pensarse como la complexificación del espacio euclidiano real de dimensión n. De esta manera, obtenemos como una consecuencia inmediata de la proposición 2.3 y el párrafo anterior la siguiente Proposición 3.5. Para cada n, existe un isomorfismo de C-álgebras (3.11) CℓC(n) ≃ CℓC0 (n+ 1). Ejemplo 3.5. En el ejemplo 2.4 mostramos que Cℓ(0, 1) ≃ C, por lo tanto se tiene que CℓC(1) ≃ C ⊗ C. Más aún, se puede probar que la transformación lineal inducida por (1, 0) 7→ 1 2 (1⊗ 1 + i⊗ i) (0, 1) 7→ 1 2 (1⊗ 1− i⊗ i) es un isomorfismo complejo entre C⊕ C y C⊗ C. Ejemplo 3.6. Hemos visto en el ejemplo 2.5 que Cℓ(0, 2) ≃ H. Por otra parte, a cada cuaternio α1 + βi + γj + δij = α1 + βi + (γ1 + δi)j, le podemos asociar un número hipercomplejo z + wj definiendo z = α1 + βi y w = γ1 + δi. Con estas identificaciones en mente podemos pensar al álgebra de Clifford Cℓ(0, 2) como el conjunto de todas las matrices con entradas complejas de la forma (3.12) ( z −w w z ) . Más aún, es fácil ver que la construcción anterior define un monomorfismo R- lineal Cℓ(0, 2) → Mat2×2(C) que tras extender escalares, resulta ser un isomorfismo complejo. Por lo tanto CℓC(2) ≃ Mat2×2(C). El siguiente enunciado nos permite determinar, inductivamente y salvo isomor- fismo, la serie completa de álgebras de Clifford complexificadas. Teorema 3.6. Para toda n ∈ N existe un isomorfismo de álgebras complejas (3.13) CℓC(n+ 2) ≃ CℓC(n)⊗C Cℓ(2). Demostración. Sea {e1, . . . en} una base ortonormal de un subespacio com- plejo W ⊂ V ⊗C de codimensión dos y {ǫ1, ǫ2} una base ortonormal del subespacio 18 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL complementario W⊥. Definimos ϕ : V ⊗ C → CℓC(n) ⊗C Cℓ(2) en los generadores de acuerdo a la correspondencia ej ϕ7−→ iej ⊗ ǫ1ǫ2 1 ≤ j ≤ n, ǫk ϕ7−→ 1⊗ ǫk 1 ≤ k ≤ 2. Como la estructura de álgebra en CℓC(n) ⊗C Cℓ(2) está dada por el producto tensorial de las estructuras en cada uno de los factores, el elemento identidad está dado por el producto de las identidades 1⊗ 1. Así tenemos que [ϕ(ej)] 2 = (iej ⊗ ǫ1ǫ2) 2 = i2e2j ⊗ (ǫ1ǫ2) 2 = (−1)2 ⊗−ǫ21ǫ22 = −(q ⊗ C)(ej)1⊗ 1. De manera análoga se verifica que [ϕ(ǫk)] 2 + (q ⊗ C)(ǫk)1 ⊗ 1 = 0. Entonces, usando la versión compleja de la propiedad universal (2.3) y la extensión de escala- res, ϕ induce un único morfismo de C-álgebras ϕ∗ : CℓC(n+2) → CℓC(n)⊗C Cℓ(2). Es claro de la definición de ϕ que ϕ∗ es un epimorfismo más aún, como el dominio y el rango tienen dimensión compleja 2n+2, concluimos que ϕ∗ es un isomorfismo, estableciendo así el enunciado del teorema.  Corolario 3.7. Para cada valor de k ≥ 0 se tiene (3.14) CℓC(n) ≃ { Mat2k×2k(C)⊕Mat2k×2k(C) si n = 2k + 1 Mat2k×2k(C) si n = 2k. Demostración. Las propiedades de bilinealidad de ⊗C implican que (C⊕ C)⊗C Mat2k×2k(C) ≃ Mat2k×2k(C)⊕Mat2k×2k(C) ∀ k Matk×k(C)⊗C Matr×r(C) ≃ Matkr×kr(C) ∀ k, r. El resultado se sigue de aplicar recursivamente el teorema 3.6 partiendo de los casos básicos k = 0 y k = 1 establecidos en los ejemplos 3.5 y 3.6.  El lector puede comparar el teorema 3.6 con los resultados de [16] pp. 33 para convencerse de que la teoría de representaciones de las álgebras complexificadas CℓC(r + s) es bastante más simple que la de su contraparte real Cℓ(r, s), que como hemos mencionado en la página 11, queda determinada por las álgebras de división: R , C y H de manera similar a la de la serie de álgebras complexificadas. El siguiente enunciado concreta de manera rigurosa esta afirmación. Teorema 3.8. Sea Υr,s y ΥC r,s el número cardinal de los conjuntos de cla- ses de isomorfismo de representaciones irreducibles reales de Cℓ(r, s) y CℓC(r + s) respectivamente. Entonces, ambos números son finitos e iguales a (3.15) Υr,s = { 2 si s+ 1 ≡ r mód 4 1 en otro caso (3.16) ΥC r,s = { 2 si s+ r ≡ 0 mód 2 1 en otro caso. Demostración. Sea F una de las tres álgebras de división reales. El teorema de Wedderburn [13] establece que las álgebras de matrices Matm×m(F) son, salvo isomorfismo, las únicas R-álgebras simples. En particular, el espacio vectorial real Fm es, salvo isomorfismo, el único módulo simple sobre Matm×m(F). En otras palabras, la representación tautológica ρτ : Matm×m(F) × Fm → Fm es la única representación irreducible. Así, A := Mat+m×m(F) ⊕ Mat−m×m(F) es 3. GRUPOS Spin Y SpinC 19 un álgebra real semisimple con dos representaciones irreducibles ρ± := ρτ ◦ π±, donde π± es la proyección de A en cada uno de sus sumandos. Las representaciones ρ+ y ρ− son inequivalentes, puesto que cada isomorfismo de representaciones Φ cumple que Φ ◦ ρ+ ◦ Φ−1 = ρ−, ecuación imposible de satisfacer para el elemento (1+,−1−) ∈ A. Por lo tanto, ρ± representa a las únicas dos clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de A. Puesto que la serie de álgebras de Clifford reales así como sus complexificaciones están determinadas por el álgebra de matrices Matm×m(F) para ciertos valores particulares de m iguales a 2k; el teorema se sigue del corolario 3.7 para el caso complejo, y de la clasificación de las álgebras de Clifford dada en el capítulo I, sección 4 de [16] para el caso real.  Ahora vamos a concentrar nuestra atención en el análogo complejo de los grupos Spin(V, q) que hemos estudiado hasta el momento. Definición 3.3. Considere el grupo de elementos invertibles Cℓ× C (n) contenido en CℓC(n). Definimos al subgrupo PinC(n) ⊂ Cℓ× C (n) como el grupo generado por Pin(n) y U(1). Análogamente, SpinC(n) está generado por Spin(n) y U(1). En otras palabras tenemos que, como conjuntos PinC(n) = { zξ ∈ Cℓ× C (n) | z ∈ U(1) , ξ ∈ Pin(n) } SpinC(n) = { zξ ∈ Cℓ× C (n) | z ∈ U(1) , ξ ∈ Spin(n) } . De acuerdo con la definición de CℓC(n), podemos pensar a Spin(n) × U(1) como un subgrupo de AutC CℓC(n). Con esta aclaración en mente, vamos a dar una caracterización de SpinC(n) como el espacio de órbitas de una acción de Z2 en Spin(n)×U(1). Proposición 3.6. SpinC(n) ≃ Spin(n)×Z2 U(1) para cada n ∈ N. Demostración. Por definición de SpinC(n), existe un epimorfismo natural Spin(n) × U(1) → SpinC(n) definido como (ξ, z) 7→ zξ. Es claro que el núcleo de este homomorfismo consiste de las parejas (α, α−1) tales que α ∈ Spin(n) ∩ U(1). Una ligera modificación del argumento dado en la prueba de la proposición 3.3 muestra que también en el caso complejo Spin(n) ∩ U(1) = {(±1,±1)} ≃ Z2. Por lo tanto, Z2 actúa como un subgrupo normal de Spin(n)×U(1).  El siguiente párrafo está basado en los ejemplos 3.1 , 3.2 y 3.3 proporcionados en la página 12, y en el resultado 3.4 en la página 16. Ejemplo 3.7. Sabemos que Spin(0, 1) ≃ Z2, así, de acuerdo con la caracteri- zación anterior tenemos que SpinC(1) ≃ Z2 ×Z2 U(1) ≃ U(1). Ejemplo 3.8. Como Spin(0, 2) ≃ U(1), se tiene que SpinC(2) ≃ U(1)×Z2 U(1). Ejemplo 3.9. Usando que Spin(0, 3) ≃ SU(2), definimos el homomorfismo natural SU(2)×U(1) −→ U(2) (U, z) 7−→ zU de inmediato notamos que zU es un elemento del grupo unitario bidimensional, más aún, dado cualquier elemento U ′ ∈ U(2) es fácil ver que la pareja (z−1U ′, z) con 20 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL z := √ detU ′ va a U ′ bajo el homomorfismo en cuestión. Como cualquier elemento en el núcleo de este homomorfismo satisface U = z−1 12 ∈ U(2) ∩U(1), obtenemos que 1 = detU = det z−1 12 = z−2. Por lo tanto z = ±1 y U = ±12. Ejemplo 3.10. Veamos que SpinC(4) se identifica con el producto de dos copias de U(2) fibrado por el determinante. Para esto, recordemos la definición de producto fibrado. Dados tres grupos G,H,K y homomorfismos α : G → K , β : H → K, se define el producto fibrado (3.17) Gα×βH := { (g, h) ∈ G×H | α(g) = β(h) } . Es fácil ver que Gα×βH es un subgrupo del producto G×H; que hace conmutar el siguiente diagrama respecto de las proyecciones ΠG(g, h) := g , ΠH(g, h) := h Gα×βH ΠH // ΠG  H β  G α // K. Además, Gα×βH es un pull-back en la categoría de grupos [13]. De regreso al ejemplo que nos compete, apliquemos la construcción anterior a los grupos G = H = U(2), K = U(1) y α = β = det para verificar que la aplicación SU+(2)× SU−(2)×U(1) −→ U+(2)×det U−(2) ( (U+, U−), z ) 7−→ (zU+, zU−) es un epimorfismo con núcleo Z2 4. La aplicación en cuestión es un homo- morfismo bien definido ya que se satisface la identidad det zU+ = z2 detU+ = z2 = det zU−. Es un epimorfismo pues por el ejemplo 3.9 sabemos que coordenada a coor- denada es sobre. Si (zU+, zU−) es el elemento identidad, se sigue inmediatamente que U± = ±12 y z = ±1, así, el núcleo de SU+(2)× SU−(2)×U(1) → U+(2)×det U−(2) es isomorfo a Z2. Finalmente, como Spin(0, 4) ≃ SU+(2)×SU−(2), el enun- ciado al inicio de este ejemplo queda probado. Para concluir esta sección, veamos como se relaciona SpinC(n) con los grupos de rotaciones U(1) y SO(n). Teorema 3.9. Las siguientes sucesiones son exactas para cada n ∈ N. (3.18) 1 −→ Z2 −→ SpinC(n) ϑ−→ SO(n)×U(1) −→ 1 (3.19) 1 −→ U(1) −→ SpinC(n) AdC −−→ SO(n) −→ 1. Si además n ≥ 2, cada uno de estos recubrimientos5 es no trivial. Demostración. El homomorfismo 3.18 está definido como ϑ(zξ) = (Adξ, z 2). Es claro que este es un epimorfismo dos a uno. El homomorfismo z 7→ z2 es un recu- brimiento doble no trivial, igualmente lo es la representación adjunta cuando n ≥ 2 4Ahora y en adelante, U+(2)×det U−(2) será la notación para U+(2)det×detU−(2) 5Formalmente, SpinC(n) es un U(1)-haz principal sobre SO(n), que es no trivial si n ≥ 3, y no un recubrimiento como afirmamos en el teorema 3.9. 4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 21 como vimos en 3.4. Esto demuestra la primera parte del enunciado. El homomor- fismo AdC en la sucesión 3.19 es la extensión compleja de la representación adjunta que actúa en CℓC(n) por conjugación. Observe que AdC es invariante respecto de la acción de C× dada por la multiplicación escalar, es decir AdCzξ = AdCξ = Adξ para todo z ∈ C×, pero a diferencia de su contraparte real, SpinC(n) contiene por defi- nición a una copia de U(1) ⊂ C×. La observación anterior junto con la proposición 3.3 muestran que KerAdC ≃ Z2 ×Z2 U(1) ≃ U(1).  Observación 3.10. En el caso de SpinC(4) ≃ U+(2)×detU−(2), el homomorfis- mo ϑ factoriza al homomorfismo determinante det : SpinC(4) → U(1) definido como det(U+, U−) = detU+, es decir, det = π ◦ ϑ, con π la proyección canónica sobre el factor unitario de SO(4) × U(1). Para ver esto, basta reescribir un elemento dado (U+, U−) ∈ SpinC(4) como el producto z(Ũ+, Ũ−), donde z := √ detU+ ∈ U(1) y (Ũ+, Ũ−) := (z−1U+, z −1U−) ∈ SU+(2)× SU−(2) ≃ Spin(4). 4. La Representación Espinorial de SpinC A lo largo de nuestra exposición ha quedado demostrado que las álgebras de Clifford guardan una estrecha relación con el grupo de isometrias de un espacio cuadrático V r,s. Esto en ultima instancia nos llevo a deducir la existencia de una versión simplificada de los grupos de rotaciones SO(r, s), a saber, Spin(r, s). Es- tos grupos gozan de la extraordinaria propiedad de contar con al menos tantas representaciones como SO(r, s). Para hacer explicita esta afirmación, supongamos que ρ̂ : SO(r, s) → AutFW es una representación lineal sobre un campo arbitrario F; entonces la aplicación Ad ◦ ρ̂ es una representación de Spin(r, s) inducida por una representación de SO(r, s). En vista de la sucesión exacta 3.19, ciertamente ocurre un fenómeno análogo en el caso del grupo SpinC(r + s). Por lo tanto, una pregunta natural es si el reciproco de estos enunciado son igualmente ciertos, es decir, ¿Todas las representaciones de Spin(r, s) y SpinC(r + s) estarán inducidas por representaciones de SO(r, s)? La siguiente proposición nos da condiciones necesarias y suficientes para que una representación de Spin(r, s) descienda a una representación de SO(r, s). Proposición 4.1. Sea ρ : Spin(r, s) → AutRW una representación no trivial. Entonces, existe una representación ρ̂ : SO(r, s) → AutRW que hace conmutativo el diagrama (4.1) Spin(r, s) ρ // Ad  AutRW SO(r, s). ρ̂ 99s s s s s s sí y solo sí ρ(−1) = 1. Demostración. Es claro que si ρ se factoriza a través ρ̂, necesariamente ocurre que −1 ∈ Ker ρ. Para probar que esta condición es también suficiente, basta notar que ρ̂([ξ]) := ρ(ξ) es un homomorfismo de grupos bien definido para cada miembro [ξ] ∈ Spin(r, s)/Z2 ≃ SO(r, s). Como [ξ] consta de los elementos ±ξ, lo único que hay que verificar es que ρ(−ξ) = ρ(ξ); pero esta última afirmación es consecuencia directa de la hipótesis ρ(−1) = 1.  22 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Observación 4.1. Un segundo de reflexión en torno a los argumentos propor- cionados en la prueba anterior, revela que en realidad la afirmación contenida en 4.1 es cierta para cualquier campo F 6= Z2. Es decir, W puede ser un espacio vectorial sobre un campo arbitrario F con la obvia excepción de Z2. Como hemos mencionado en la página 11, cada álgebra de Clifford Cℓ(r, s) se identifican ya sea con un álgebra de matrices con coeficientes en R,C,H o bien con la suma directa de dos copias de estas mismas álgebras. Asociado a este isomorfismo, se tiene un espacio de representación Σ (r, s) que adquiere una estructura de módulo izquierdo sobre Cℓ(r, s). A partir de esta construcción se obtiene una representación natural (4.2) ∆r,s : Spin(r, s) → AutRΣ (r, s) dada por la restricción a Spin(r, s) ⊂ Cℓ0(r, s) ⊂ Cℓ(r, s) del isomorfismo en cuestión. Claramente, ∆r,s es una representación genuina de Spin(r, s) pues manda a −1 en si mismo. El teorema 3.8 implica que esta representación, conocida con el nombre de representación espinorial real, es: irreducible si s + 1 ≡ r mód 4, o bien una suma directa de dos representaciones irreducibles. Más aún, esta es una representación distinguida, puesto que es la única representación de Spin(r, s) que automáticamente se extiende a una representación irreducible del álgebra ambiente Cℓ(r, s). La generalización de la proposición 4.1 para el caso de los grupos SpinC(r+ s) requiere de algunas precisiones. Definición 4.1. De acuerdo con el teorema 3.8 y el corolario 3.7, existe una representación ∆C r,s : Spin(r, s) → AutCΣ C (r, s), llamada representación espinorial compleja, obtenida de restringir el isomorfismo complejo CℓC(n) ≃ { Mat2k×2k(C)⊕Mat2k×2k(C) si n = 2k + 1 Mat2k×2k(C) si n = 2k, a la copia de Spin(r, s) dentro de SpinC(r + s) ⊂ CℓC0 (r + s) ⊂ CℓC(r + s). Supongamos que W es un espacio vectorial real con una estructura compleja J y que G es un grupo. Un homomorfismo ρ : G → AutRW es una representación compleja de G si la acción G ×W → W inducida por la representación conmuta con el automorfísmo real J . Análogamente, si existen aplicaciones I, J,K ∈ AutRW tales que I2 = J2 = K2 = −idW , se dice que W tiene una estructura quaternio- nica. Una representación que conmuta con las transformaciones I, J,K se llama representación quaternionica. Observación 4.2. La representación espinorial compleja ∆C r,s es una represen- tación compleja de Spin(r, s). Proposición 4.2. Sea ρ : Spin(r, s) → AutCW una representación compleja tal que ρ(−1) = −1. Entonces ρ se extiende naturalmente a una representación compleja ρC : SpinC(r + s) → AutCW . Demostración. Como ρ es una representación compleja, por definición con- muta con la acción U(1) ×W → W inducida por la multiplicación escalar. Esto muestra que ρ̃C(ξ, z) := zρ(ξ) es una representación compleja de Spin(r, s)×U(1). Finalmente, nuestra hipótesis garantiza que (−1,−1) ∈ Ker ρ̄C; así, por la propo- sición 3.6, ρ̃C desciende a una representación ρC como se buscaba.  4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 23 La proposición anterior implica que la representación espinorial compleja ∆C r,s se extiende automáticamente a una representación compleja de SpinC(r + s), que de nueva cuenta no se factoriza a través de SO(n) vía la extensión compleja de la representación adjunta AdC. El resto de la sección esta dedicado a entender con lujo de detalle la escisión del álgebra de Clifford que da origen a la representación espinorial compleja en el caso particular del espacio euclidiano n-dimensional. Para esto, dotamos a CℓC(n) de una estructura adicional, en términos de una descomposición ortogonal en subespacios propios del siguiente operador Definición 4.3. Considere {e1, . . . en} →֒ V una base ortonormal orientada, y sea [ · ] : Q → Z la función parte entera. Definimos el operador de quiralidad (4.3) Γn+1 C := i[ n+1 2 ]e1 · · · en, que actúa por multiplicación a la izquierda en el álgebra de Clifford CℓC(n). Observación 4.4. Bajo un cambio de base ǫj = T kj ek 1 ≤ j, k ≤ n determina- do por un elemento T = (T kj ) ∈ GL(n), los correspondientes elementos de volumen orientados están relacionados de acuerdo con ǫ1 · · · ǫn = (detT )e1 · · · en, en parti- cular, Γn+1 C es invariante bajo la acción inducida de SO(n) en CℓC(V ). Esto prueba que el operador de quiralidad es un objeto bien definido una vez que se ha elegido una orientación de V . Un cálculo elemental muestra que el elemento de volumen orientado e1 · · · en satisface la relación (e1 · · · en)2 = (−1)s(n), donde s(n) es igual a la suma de los pri- meros n−1 números naturales. En consecuencia, el operador de quiralidad satisface la relación ( Γn+1 C )2 = (−1)s ′(n), donde s′(n) = [n+ 1 2 ] + n(n+ 1) 2 . Es fácil ver que s′(n) es un número par sin importar el valor de n y por lo tanto, ( Γn+1 C )2 = 1. Asociado a los valores propios del operador de quiralidad, se tiene la siguiente descomposición del álgebra de Clifford complexificada (4.4) CℓC(n) = CℓC(n)+ ⊕ CℓC(n)− donde CℓC(n)± es el subálgebra correspondiente al valor propio ±1. El subes- pacio CℓC(n)+ comúnmente se llama parte de quiralidad derecha del álgebra de Clifford complexificada mientras que CℓC(n)− es la parte de quiralidad izquierda. Observación 4.5. De acuerdo con la ecuación 3.7 en la página 14, el operador de quiralidad pertenece al centro del álgebra de Clifford complexificada si n es impar. Si n es par, Γn+1 C está en el centro de CℓC0 (n) y anticonmuta con cualquier elemento en CℓC1 (n). La observación anterior sugiere que debemos estudiar por separado la descom- posición 4.4, conocida como descomposición quiral o descomposición de Weyl, en función de la paridad de n. Proposición 4.3. Supongamos que n es impar. Entonces CℓC(n)± son subál- gebras mutuamente ortogonales respecto al producto en el álgebra e isomorfas a CℓC0 (n). 24 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Demostración. Como la acción de Γn+1 C en CℓC(n) intercambia los subes- pacios CℓC0 (n) y CℓC1 (n) tenemos que CℓC0 (n) ∩ CℓC(n)± = 0. En consecuencia, la restricción (4.5) CℓC0 (n) →֒ CℓC(n)։ CℓC(n)± define un isomorfismo de álgebras reales. Por otra parte, si ξ± ∈ CℓC(n)± entonces ξ+ξ− = (Γn+1 C ξ+)(−Γn+1 C ξ−) = −(Γn+1 C )2ξ+ξ− = −ξ+ξ−  Corolario 4.2. La descomposición quiral de CℓC(2k+1) coincide con la des- composición en suma directa de álgebras de matrices dada por el corolario 3.7 en la página 18. Demostración. CℓC(2k + 1) ≃ CℓC(2k + 1)+ ⊕ CℓC(2k + 1)− ≃ CℓC0 (2k + 1)⊕ CℓC0 (2k + 1) ≃ CℓC(2k)⊕ CℓC(2k) ≃ Mat2k×2k(C)⊕Mat2k×2k(C).  Proposición 4.4. Supongamos que n es par. Entonces CℓC0 (n) se descompone en una suma directa de sub-álgebras CℓC0 (n)± mutuamente ortogonales respecto al producto en el álgebra e isomorfas a CℓC(n− 2). Demostración. Definimos CℓC0 (n)± := CℓC0 (n)∩Ker(Γn+1 C ±1). La demostra- ción de la primera parte de esta proposición es análoga a la prueba anterior. Para establecer la segunda parte del enunciado, observe que (4.6) CℓC0 (n)+ ≃ CℓC(n− 1)+ ≃ CℓC0 (n− 1) ≃ CℓC(n− 2). Las identificaciones de los extremos están inducidas por el isomorfismo 2.19 en la página 9, el segundo isomorfismo es consecuencia de la proposición anterior.  Observación 4.3. Para n un número par, existe una escisión CℓC1 (n)± de CℓC1 (n) análoga a la descomposición descrita en la proposición anterior. Los siguientes resultados condensan en un par de enunciados toda la informa- ción que hasta ahora hemos obtenido. Teorema 4.4. Sea ∆C 2k : CℓC(2k) → EndCΣ C(2k) la representación subyacente a la representación espinorial compleja de Spin(2k) (ver 4.1). Entonces, la acción de Γ2k+1 C induce una descomposición ortogonal respecto del producto de Clifford (4.7) ΣC(2k) = ΣC +(2k)⊕ ΣC −(2k) invariante bajo la acción izquierda de CℓC0 (2k). Además, la multiplicación por elementos de CℓC1 (2k) intercambia ΣC +(2k) y ΣC −(2k). Finalmente, la multiplicación 4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 25 de Clifford induce isomorfismos EndCΣ C +(2k) ≃ CℓC0 (2k)+(4.8) EndCΣ C −(2k) ≃ CℓC0 (2k)−(4.9) HomC ( ΣC −(2k),Σ C +(2k) ) ≃ CℓC1 (2k)+(4.10) HomC ( ΣC +(2k),Σ C −(2k) ) ≃ CℓC1 (2k)−.(4.11) Demostración. Por definición de ΣC(2k), ∆C 2k es un isomorfismo de álgebras. En particular se tiene que ( Γ2k+1 C )2 ∈ Ker∆C 2k = 1. En otras palabras, ΣC ±(2k) son espacios propios del operador de quiralidad asociados a los valores propios ±1. Estos subespacios son invariantes bajo la acción de la parte par del álgebra de Clifford ya que Γ2k+1 C pertenece al centro de CℓC0 (2k). La descomposición (4.7) es ortogonal por la proposición anterior. Finalmente, como Γ2k+1 C anticonmuta con los elementos de CℓC1 (2k), es fácil ver que las partes par e impar del álgebra de Clifford actúan como afirma el teorema.  Corolario 4.5. La representación ∆C 2k se descompone como la suma de dos representaciones irreducibles inequivalentes ∆C ± : Spin(2k) → AutCΣ C ±(2k) cada una de dimensión 2k−1 mientras que ∆C 2k+1 es una representación irreducible de dimensión compleja 2k para Spin(2k + 1). Demostración. Debido a que la parte par del álgebra de Clifford se identifica con el álgebra de Clifford correspondiente a un subespacio de codimensión uno, las representaciones del álgebra de Clifford relevantes para construir ∆C 2k y ∆C 2k+1 son (respectivamente) CℓC(2k − 1) ≃ Mat2k−1×2k−1(C)⊕Mat2k−1×2k−1(C) CℓC(2k) ≃ Mat2k×2k(C). Por lo tanto, el corolario se sigue de la observación 3.2 en la página 12.  Corolario 4.6. Para cualquier valor de n, el enunciado del corolario anterior también es valido para la representación compleja ∆̂C n : SpinC(n) → AutCΣ C(n) definida como la extensión canónica de la representación espinorial compleja ∆C n. Demostración. En vista de la proposición 4.2, solo hay que verificar que ∆C n(−1) = −1, condición que se satisface trivialmente por la definición de la repre- sentación espinorial compleja. Finalmente, como ∆C n y ∆̂C n actúan sobre el mismo espacio vectorial ΣC(n), la afirmación se sigue.  Para finalizar la sección, vamos a describir brevemente un par de propiedades geométricas adicionales que enriquecen las representaciones espinoriales que hemos estado estudiando. Proposición 4.5. Para toda representación real ρ : Cℓ(n) → EndRW existe un producto interno 〈 , 〉 que induce una acción ortogonal de Sn−1 →֒ Rn →֒ Cℓ(n) en W . Más aún, si ρ es compleja o quaternionica, 〈 , 〉 puede elegirse de manera que tanto las estructuras compleja J o quaternionica I, J,K sean isometrías. Demostración. Sea 〈 , 〉0 un producto interno, invariante bajo J si ρ es com- pleja o invariante bajo I, J,K si ρ es quaternionica y consideremos G el grupo 26 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL generado por una base ortonormal {e1, . . . , en} →֒ Cℓ(n). Como G es un grupo finito, podemos definir (4.12) 〈v, w〉 := ∑ g∈G 〈ρ(g)v, ρ(g)w〉0 para todo (v, w) ∈ W ×W . Es fácil ver que la forma bilineal definida ante- riormente es un producto interno invariante bajo las mismas estructuras que 〈 , 〉0. Dado un generador ek ∈ G, notamos que el miembro derecho de 〈ρ(ek)v, ρ(ek)w〉 = ∑ g∈G 〈ρ(gek)v, ρ(gek)w〉0 tiene exactamente los mismos sumandos que el miembro derecho de (4.12) pero reagrupados de acuerdo a la biyección g 7→ gek, es decir, 〈ρ(ek)v, ρ(ek)w〉 = 〈v, w〉. Más aún, 〈ρ(ek)v, w〉 = 〈ρ(e2k)v, ρ(ek)w〉 = −〈w, ρ(ek)w〉, por tanto, los generadores {ek | 1 ≤ k ≤ n} actúan por transformaciones anti-simétricas respecto de 〈 , 〉. Finalmente, dado un elemento arbitrario ξ = ξkek ∈ Sn−1 tenemos que 〈ρ(ξ)v, ρ(ξ)w〉 = ∑ g∈G 〈ρ(gξ)v, ρ(gξ)w〉0 = ∑ g∈G n∑ k,l=1 ξkξlΘkl(g) = ∑ g∈G   n∑ k=1 (ξk)2Θkk(g) + ∑ k 6=l ξkξlΘkl(g)   = n∑ k=1 (ξk)2〈v, w〉 = 〈v, w〉 donde Θkl(g) := 〈ρ(gek)v, ρ(gel)w〉0. En el argumento anterior hemos usado la antisimetría de Θkl para cancelar el segundo término en el miembro derecho de la tercera ecuación y la hipótesis ∑n k=1(ξ k)2 = 1 en la cuarta linea.  Corolario 4.7. Para cada generador ξ de Cℓ(n), ρ(ξ) es antisimétrica. Demostración. Para ξ = 0 el resultado es trivialmente cierto. Si ξ 6= 0, tenemos que ξ̃ := ξ ‖ ξ ‖ es de norma uno, en consecuencia 〈ρ(ξ)v, w〉 = 〈ρ(ξ̃ξ)v, ρ(ξ̃)w〉 = 1 ‖ ξ ‖2 〈ρ(ξ2)v, ρ(ξ)w〉 = −〈v, ρ(ξ)w〉.  Corolario 4.8. Las representaciones espinoriales complejas ∆C n y sus exten- siones canónicas ∆̂C n a SpinC(n) son representaciones unitarias. Demostración. Por definición, el grupo Spin(n) está generado por productos de un número par de elementos en la esfera unitaria de Rn →֒ CℓC(n). Así, ∆C n es unitaria para cada n ∈ N por el resultado anterior. Finalmente, como ΣC(n) es de la forma Ck, es claro que el producto interno 〈 , 〉 discutido anteriormente se construye a partir del producto hermitiano usual 〈ψ, χ〉0 = χ†ψ. Esto nos permite extender 4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 27 la definición de 〈 , 〉 de manera que la representación ∆̂C n : SpinC(n) → AutCΣ C(n) sea también unitaria, puesto que se satisface la identidad 〈∆̂C n(zξ)ψ, ∆̂ C n(zξ)χ〉 = zz̄〈∆C n(ξ)ψ,∆ C n(ξ)χ〉 = 〈ψ, χ〉 para cada elemento zξ ∈ SpinC(n) ≃ Spin(n)×Z2 U(1).  Para fijar ideas, vamos a materializar la construcción descrita previamente en algunos ejemplos concretos. Ejemplo 4.1. Como vimos en el ejemplo 3.6 en la página 17, CℓC(2) se iden- tifica con Mat2×2(C) vía el isomorfismo complejo ∆C 2 inducido por Cℓ(2) ≃ H ∋ α1 + βi+ γj + δij 7→ ( α1 + βi −γ + δi γ + δi α1− βi ) . Es fácil ver que bajo ∆C 2 , e1e2 tiene autovalores ±i, y que conmuta con el operador de quiralidad Γ3 C = ie1e2. Esto nos permite ver que e1e2 actúa en ΣC ± = C± por ∓i. Por lo tanto, la descomposición quiral de la representación espinorial compleja de Spin(2) es ∆C +(z) = ( z̄ 0 0 0 ) , ∆C −(z) = ( 0 0 0 z ) debido a que Spin(2) ≃ U(1) está generado por los elementos 1, e1e2. Ejemplo 4.2. De acuerdo con los resultados generales obtenidos hasta ahora, Spin(3) tiene una única representación espinorial compleja de dimensión 2. Por otra parte, sabemos que Spin(3) ≃ SU(2) admite una representación en C2. Por tanto, la representación fundamental de SU(2) es la representación espinorial compleja de Spin(3). Ejemplo 4.3. Por último, la descomposición de Weyl de la representación espinorial compleja de Spin(4) ≃ SU+(2)× SU−(2) se obtiene de la representación fundamental de cada uno de los factores unitarios. Existe una manera alternativa de construir directamente la representación del álgebra de Clifford complexificada en dimensiones pares que da origen a la re- presentación espinorial compleja. Esta representación se construye a partir del isomorfismo de cuantización entre CℓC(2n) y el álgebra exterior complexificada ΛCR 2n := (ΛR2n) ⊗R C ≃ Λ(R2n ⊗R C) ≃ ΛCn. Para dotar al álgebra exterior de un producto de Clifford, se define la contracción x: Λ1Cn ×ΛpCn → Λp−1Cn entre vectores v y generadores ω = ω1 ∧ · · · ∧ ωp de la componente p-homogénea como vxω = p ∑ k=1 (−1)k+1〈v, ωk〉0 ω(k) donde ω(k) = ω1 ∧ · · · ∧ωk−1 ∧ωk+1 ∧ · · · ∧ωp y 〈 , 〉0 es el producto hermitiano usual en Cn. Es claro que vx se extiende a un operador C-lineal en el álgebra exterior tal que, tras un par de cálculos, satisface la relación vxvx= 0 para todo v ∈ Λ1Cn. De esta manera obtenemos una aplicación C-lineal ϕC : Cn → EndCΛC n definida como ϕC(v) = v ∧ −vx. Usando que v ∧ v∧ = 0, se deduce que 28 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL ( ϕ C(v) )2 ω = −{vx , v∧}ω = − [vx(v ∧ ω) + v ∧ (vxω)] = − [ 〈v, v〉0ω + p ∑ k=2 (−1)k+1〈v, ωk〉0 v ∧ ω (k) + v ∧ ( p ∑ k=1 (−1)k+1〈v, ωk〉0 ω (k) )] = −‖ v ‖2 ω. Es decir, ( ϕC(v) )2 = −‖ v ‖2 id, en particular KerϕC = 0. Por lo tanto, ϕC induce un isomorfismo complejo ϕC ∗ : CℓC(2n) → EndCΛC n. La dimensión com- pleja de la representación inducida por ϕC es 2n y como este valor coincide con la dimensión compleja de la representación espinorial compleja concluimos que ϕC ∗ : CℓC(2n) → EndCΛC n es un isomorfismo como álgebras de Clifford. Desta- camos que al remplazar el producto hermitico 〈 , 〉0 en la fórmula que define la contracción vx por un producto interno euclidiano obtenemos una representación real ϕ sin importar la dimensión del espacio euclidiano Rn. Este resultado nos su- giere una conexión entre el álgebra de Clifford y el álgebra exterior. A continuación presentamos la relación que existe entre el producto de Clifford y el operador es- trella de Hodge ⋆ : ΛpRn → Λn−pRn que definiremos a continuación. Adelantamos que el operador de Hodge juega un papel fundamental en la teoría de 4-variedades gracias a la propiedad única de mapear el espacio de 2-formas en si mismo a través de un isomorfismo. Como vimos al inicio de este capitulo, asociado a una forma cuadrática q defini- da en un espacio vectorial real V de dimensión n, existe una única forma bilineal bq que satisface q(v) = bq(v, v). Con esta notación en mente, consideremos la siguiente Definición 4.6. Sea (V, q) un espacio cuadrático. Para cada 1 ≤ p ≤ n, se define la extensión de la forma cuadrática q en los generadores del espacio de p- vectores ΛpV mediante la siguiente fórmula (4.13) bq(v1 ∧ · · · ∧ vp , w1 ∧ · · · ∧wp) := det bq(vi, wj), 1 ≤ i, j ≤ p, vi, wj ∈ V. Es claro que la construcción anterior determina una estructura de espacio cua- drático para ΛpV , más aún, si q es un producto interno positivo definido, su exten- sión a p-vectores lo es también. Geométricamente, la extensión de q a ΛpV mide el volumen del paralelogramo generado por los vectores {v1, . . . , vp}6. Si {ǫ1, . . . , ǫn} es una base orientada de V , entonces Q := q(ǫ1∧· · ·∧ǫn) es el q- volumen absoluto del paralelogramo generado por los elementos básicos ǫk. Con esta elección de base obtenemos un generador canónico para la n-ésima potencia exterior ΛnV dado por el elemento invariante de volumen µ := √ |Q | ǫ1 ∧ · · · ∧ ǫn, que es independiente de coordenadas y que además representa la orientación positiva de V . En particular, para cualquier espacio vectorial real W y cualquier transformación lineal T ∈ HomR(W,Λ nV ) existe una única funcional φT ∈W ∗ que determina a T mediante la ecuación T (w) = φT (w)µ. Para un n− p-vector fijo γ, la construcción anterior aplicada a la pareja W = ΛpV , T = • ∧ γ 7, garantiza la existencia de una p-forma φγ ∈ (ΛpV ) ∗ tal que 6Hablamos del volumen relativo a la forma q en el subespacio generado por {v1, . . . , vp} 7 • ∧ γ es la transformación lineal α 7→ α ∧ γ 4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 29 α ∧ γ = φγ(α)µ. Como además, V tiene una forma cuadrática q, φγ(α) se puede escribir como bq(α, β) para un único β ∈ ΛpV . Esta última afirmación se sigue del Teorema de representación de Riesz [34]. En resumen, hemos construido un isomorfismo lineal entre Λn−pV y ΛpV , inducido por el isomorfismo de Riesz, dado por la correspondencia γ 7→ β. Este hecho motiva la siguiente definición. Definición 4.7 (Dual de Hodge). Dados α y β p-vectores exteriores, definimos el dual de Hodge de β como el único elemento ⋆β ∈ Λn−pV que, vía el isomorfismo descrita en el párrafo anterior, satisface la ecuación (4.14) α ∧ ⋆β = bq(α, β)µ. Es claro que el isomorfismo ΛpV ≃ Λn−pV aludido previamente es precisamente el operador estrella de Hodge ⋆ : ΛpV → Λn−pV . Note que la definición que hemos dado de este operador es independiente de coordenadas. Además, esta definición no impone restricciones adicionales sobre la signatura de la forma bilineal bq, sin embargo, en el resto de este trabajo asumiremos que la forma cuadrática q es positivo definida, a menos que explícitamente se indique lo contrario. La siguiente proposición nos da una expresión concreta del dual de Hodge en términos de una base ortonormal {ei1 ∧ · · · ∧ eip | i1 < · · · < ip} →֒ ΛpV inducida por una base ortonormal orientada positivamente {e1, . . . , en} →֒ V . Para tal efecto, recordamos que el tensor totalmente antisimetrico de Levi-Civita en n dimensiones está definido como (4.15) ǫi1··· in :=    +1 si (i1, . . . , in) es una permutación par de {1, . . . , n} −1 si (i1, . . . , in) es una permutación impar de {1, . . . , n} 0 en cualquier otro caso. Una propiedad bien conocida de este tensor es que permite calcular el determi- nante de una matriz T = (Tij) 1 ≤ i, j ≤ n mediante la fórmula detT = ǫi1··· inT1i1 · · · Tnin . Proposición 4.6. Sea {ei1 ∧ · · · ∧ eip | i1 < · · · < ip} una base ortonormal de ΛpV como en el párrafo anterior, y sea ω = 1 p! ω i1··· ip ei1 ∧ · · · ∧ eip un p vector fijo. Entonces (4.16) ⋆ ω = 1 (n− p)! ωi1··· ipǫ i1··· ip,jp+1··· jnejp+1 ∧ · · · ∧ ejn donde qij := bq(ei, ej) se ha usado para bajar los índices de las componentes de ω. Explícitamente ωi1··· ip = qi1k1 · · · qipkp ωk1··· kp . Además, se ha adoptado el convenio de Einstein donde índices repetidos, uno arriba y uno abajo, se suman sobre todos los valores posibles. Demostración. Esta proposición es muy sencilla de demostrar una vez que se cuenta con las observaciones adecuadas. Comencemos notando que (4.17) q(ei1 ∧ · · · ∧ eip , ej1 ∧ · · · ∧ ejp) = δi1··· ip j1··· jp . 30 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Donde el símbolo de Kronecker generalizado δi1··· ip j1··· jp está definido como δi1··· ip j1··· jp :=    +1 si i1, . . . , ip son todos distintos y (j1, . . . , jp) es una permutación par de (i1, . . . , ip) −1 si i1, . . . , ip son todos distintos y (j1, . . . , jp) es una permutación impar de (i1, . . . , ip) 0 en cualquier otro caso. Este es el sentido preciso en el cual la base {ei1 ∧ · · · ∧ eip | i1 < · · · < ip} es ortonormal. Observe que el símbolo de Kronecker generalizado es totalmente antisimetrico en los índices i1, . . . , ip y por separado en j1, . . . , jp. En particular, Ai1··· ipδi1··· ip j1··· jp = Aj1··· jp para todo elemento totalmente antisimetrico Ai1··· ip Finalmente, tenemos que ǫi1···in = δi1··· in1 ··· n y en consecuencia ǫi1···ikjk+1··· jnejk+1 ∧ · · · ∧ ejn = (n− k)! ǫi1··· ik[jk+1···jn]e[jk+1 ∧ · · · ∧ ejn] donde los índices jk+1 · · · jn encerrados por el símbolo [ · · · ] deben sumarse únicamente sobre los posibles órdenes lexicográficos jk+1 < · · · < jn. Para probar la fórmula 4.16, elegimos un p-vector α = 1 p! α k1··· kp ek1 ∧ · · · ∧ ekp y tomamos ω ∈ ΛpV como indican las hipótesis de esta proposición. Debemos entonces mostrar que, usando la expresión (4.16) para el dual de Hodge de ω, se satisface la relación α ∧ ⋆ω = bq(α, ω)µ. Por un lado bq(α, ω)µ = 1 p! αk1··· kp ωi1··· ipδk1··· kp i1··· ip µ = 1 p! αk1··· kp ωk1··· kp µ = α[k1··· kp] ω[k1··· kp] e1 ∧ · · · ∧ en. Por otra parte α ∧ ⋆ω = 1 (n− p)! (p!)2 α k1··· kp ωi1··· ip ǫ i1··· ip jp+1··· jn ek1 ∧ · · · ∧ ekp ∧ ejp+1 ∧ · · · ∧ ejn = α [k1··· kp] ω[i1··· ip] ǫ [i1··· ip] [jp+1··· jn] e[k1 ∧ · · · ∧ ekp] ∧ e[jp+1 ∧ · · · ∧ ejn] = α [k1··· kp] ω[k1··· kp] e1 ∧ · · · ∧ en. Para pasar del penúltimo al último renglón del cálculo anterior, hemos usado el siguiente argumento combinatorio. Los índices en el grupo de las j’s deben ser todos distintos a los índices del grupo de las k’s, ya que ambos grupos aparecen en un producto exterior con n términos. Como los índices en el grupo de las i’s aparecen en el símbolo de Levi-Civita junto a los índices j’s, estos deben diferir por completo y por tanto, la única posibilidad es que los índices i asuman, salvo permutaciones, los mismos valores que el grupo de las k’s.  Usando la fórmula del operador de Hodge que acabamos de dar, se de demuestra con la misma lógica combinatoria, que (4.18) ⋆2 = (−1)p(n−p) id : ΛpV → ΛpV. 4. LA REPRESENTACIÓN ESPINORIAL DE SpinC 31 Así, cuando p es par, el operador de Hodge es una involución de ΛpV para todo V y es una estructura compleja en p-vectores cuando p es impar y la dimensión de V es par. De esta observación se desprende la siguiente Proposición 4.7. Existe una escisión por subespacios tridimensionales Λ2 ±R 4 de los bivectores en cuatro dimensiones inducida por los autovalores del operador de Hodge ⋆ : Λ2R4 → Λ2R4. Demostración. Supongamos que {e1, . . . , e4} es una base ortonormal de R4. Entonces el espacio de bivectores está generado por {e1 ∧ e2 , e1 ∧ e3 , e1 ∧ e4 , e2 ∧ e3, e2 ∧ e4 , e3 ∧ e4}. A manera de ejemplo, calculemos explícitamente el dual de Hodge de e2 ∧ e3 usando la fórmula 4.16. ⋆(e2 ∧ e3) = 1 2! ǫ ij 23 ei ∧ ej = 1 2 ( ǫ 14 23 e1 ∧ e4 + ǫ 41 23 e4 ∧ e1 ) = 1 2 ( ǫ 14 23 e1 ∧ e4 + (−1ǫ 14 23 )(−1e1 ∧ e4) ) = ǫ 14 23 e1 ∧ e4 = e1 ∧ e4. De manera análoga se deducen los otros duales. El resultado de este cálculo es ⋆(e1 ∧ e2) = +e3 ∧ e4 ⋆(e2 ∧ e3) = +e1 ∧ e4 ⋆(e1 ∧ e3) = −e2 ∧ e4 ⋆(e2 ∧ e4) = −e1 ∧ e3 ⋆(e1 ∧ e4) = +e2 ∧ e3 ⋆(e3 ∧ e4) = +e1 ∧ e2. De los cálculos anteriores se ve que, en efecto, ⋆2 = id. En particular, vemos que los únicos autovalores posibles para el dual de Hodge son ±1. Definiendo Λ2 ±R 4 como los espacios propios asociados a los valores propios ± obtenemos en resultado. Se deja al lector verificar que (4.19) {e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 , e1 ∧ e3 − e2 ∧ e4 , e1 ∧ e4 + e2 ∧ e3} es una base para Λ2 +R 4 y que (4.20) {e1 ∧ e2 − e3 ∧ e4 , e1 ∧ e3 + e2 ∧ e4 , e1 ∧ e4 − e2 ∧ e3} genera Λ2 −R 4.  Definición 4.8. Decimos que un bivector α es autodual si α ∈ Λ2 +R 4. Un bivector β es antiautodual si ⋆β = −β. La descomposición Λ2R4 = Λ2 +R 4 ⊕ Λ2 −R 4 se llama descomposición de dualidad. El siguiente corolario nos dice que, en cuatro dimensiones, podemos pensar a los espinores de quiralidad positiva como bivectores autoduales y viceversa. Esto será de suma importancia cuando escribamos las ecuaciones de Seiberg-Witten. Para esto, denotamos por µ al elemento invariante de volumen e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 inducido por una base ortonormal {e1, . . . , e4} de V . 32 1. GEOMETRÍA ESPINORIAL Corolario 4.9. Supongamos que V es el espacio euclidiano real de dimensión cuatro. Bajo el isomorfismo de cuantización complexificado q ⊗ id : ΛV ⊗ C → CℓC(V ) definido en los generadores como ei1 ∧ · · · ∧ eik 7→ ei1 · · · eik , el subespacio que corresponde a CℓC0 (4)+ es (1− µ)C⊕ Λ2 +V ⊗ C 8. Demostración. Primero vamos a encontrar una base adecuada para CℓC0 (4)+, para esto, recordamos que Cℓ0(4) =W1 ⊕W2 ⊕W4, donde W1 = SpanR{1}, W2 = SpanR{ei1ei2 | 1 ≤ i1 < i2 ≤ 4}, W4 = SpanR{e1e2e3e4}. Es claro que la acción del operador de quiralidad Γ5 C = −e1e2e3e4 deja fijo a W2 e intercambia W1 con W4. Un cálculo muy sencillo muestra que el siguiente diagrama conmuta W2 ⊗ C q⊗ id  Γ5 C // W2 ⊗ C q⊗ id  Λ2V ⊗ C ⋆⊗ id // Λ2V ⊗ C. Es decir, la parte de quiralidad positiva de W2, denotada como W+ 2 , está dada por q−1Λ2 +V . Por último, es fácil ver que 1 − e1e2e3e4 ∈ W1 ⊕ W4 genera un subespacio W+ 1 de quiralidad positiva. Por lo tanto, CℓC0 (4)+ =W+ 1 ⊗C⊕W+ 2 ⊗C más aún, bajo el isomorfismo de cuantización complexificado, W+ 1 ⊗C corresponde con (1− µ)C y W+ 2 ⊕ C corresponde con Λ2 +V ⊗ C como se buscaba.  La relación descrita anteriormente, única del universo cuadridimensional, se puede llevar aún más lejos, ya que, como se vio en corolario 3.5 en la página 16, el álgebra de Lie de SO(n) se identifica naturalmente con el espacio de bivectores Λ2Rn sin importar el valor de n. Por otra parte, sabemos que en el caso particular de n = 4 se tiene una descomposición dual de los bivectores. De este par de hechos, se deduce que la descomposición (4.21) spin(4) ≃ so(4) ≃ Λ2R4 ≃ Λ2 +R 4 ⊕ Λ2 −R 4 corresponde con la descomposición del álgebra de Lie so(4) ≃ su+(2)⊕ su−(2) inducida por el isomorfismo Spin(4) ≃ SU+(2)× SU−(2). Recordamos que su(2) es el espacio de endomorfísmos de C2 anti-unitarios (U † = −U) de traza cero. Esto nos permite interpretar a los espinores de quiralidad positiva (negativa) como ciertas rotaciones infinitesimales. Esto se puede verificar de manera explicita si se calcula el operador de quiralidad Γ5 C = −e1e2e3e4 en la base de Weyl propuesta en el ejemplo 2.8 en la página 10. 8(1− µ)C denota al subespacio complejo generado por el elemento 1− µ ∈ ΛV Capítulo 2 Estructuras Spin y el Operador de Dirac Hasta ahora hemos trabajado en un espacio cuadrático (V, q) de dimensión real n. El objetivo de este capítulo es extender las construcciones geométricas que he- mos descrito en secciones anteriores a la categoría de variedades diferenciables de dimensión n que, de ahora y en adelante, supondremos: reales, cerradas (i.e. com- pactas y sin frontera), conexas, orientables y dotadas de una métrica Riemanniana g. La manera de hacer esto es pensar en las construcciones que hemos realizado como construcciones infinitesimales; más precisamente, podemos suponer que el es- pacio cuadrático está dado por la pareja (V, q), donde V es el espacio tangente a la variedad, digamos Mn, en un punto arbitrario p ∈ Mn y q es la métrica rieman- niana g evaluada en el punto en cuestión; en símbolos (V, q) = (TpM n, gp). Esto no es suficiente, ya que como sabemos, la aproximación de Mn dada por su espacio tangente en p es solo infinitesimal. Para pasar de una construcción lineal infinite- simal a una de carácter local, existe la noción de trivialización local. Por último, para pasar de lo local a lo global, requerimos que las funciones de transición que definen la trivialización cumplan la llamada condición de cocíclo, esta construcción básicamente define el haz tangente de Mn, denotado como TMn. Este es el orden de ideas que vamos a seguir en el futuro inmediato. A continuación describiremos algunos de los detalles fundacionales de la teoría general de haces vectoriales. El lector interesado encontrara en las referencias [7], [19], [5] una descripción deta- llada de esta teoría. Al final del capítulo introducimos el operador de Dirac que es uno de los ingredientes en las ecuaciones de Seiberg-Witten. 1. Haces Vectoriales Definición 1.1. Un haz vectorial real de rango k sobre un espacio topológico conexo X es una tripleta (E,X, π) donde E es un espacio topológico y π : E → X es una aplicación continua sujeta a las siguientes restricciones: 1) π−1(x) := Ex tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión k para todo punto x ∈ X. 2) Existe una cubierta abierta U := {Uα}α∈A de X y una colección de ho- meomorfismos Φ := {Φα : Uα × Rk → π−1 (Uα)}α∈A tales que el siguiente diagrama es conmutativo para cada elección de α ∈ A (1.1) Uα × Rk Φα // proyα ##● ●● ●● ●● ●● ●● π−1 (Uα) πα {{✈✈ ✈✈ ✈✈ ✈✈ ✈✈ ✈ Uα. 33 34 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Donde πα denota la restricción de π a Uα y proyα es la proyección obvia de Uα × Rk sobre Uα. 3) Para todo abierto Uα y todo punto x ∈ Uα, la función Φα,x : Rk → Ex definida como Φα,x(v) = Φα(x, v) es una transformación R-lineal. En otras palabras, Φα es lineal en la segunda coordenada cada vez que se fija la primera coordenada. Observación 1.2. La pareja (U,Φ) requerida por la propiedad 2) se llama trivialización local del haz π : E → X, Ex = π−1(x) es la fibra sobre x y Rk se llama la fibra típica del haz. Las condiciones en la definición de arriba implican que la fibra típica y la fibra sobre cada punto x en la base se identifican linealmente a través de Φα,x; que es un isomorfismo lineal con inversa inducida por el homeomorfismo Φ−1 α . Un haz vectorial complejo de rango k se define de manera análoga, sustituyendo la fibra típica por Ck y requiriendo además que Φα,x sea C-lineal. En adelante, F denotara ya sea al campo de los número reales o al de los complejos, dependiendo del contexto. Finalmente, decimos que E es el espacio total, X es la base del haz vectorial (E,X, π) y π su proyección. A veces nos referiremos a una haz vectorial indicando únicamente su espacio total. Observación 1.3. Si requerimos que los objetos y morfismos involucrados en la definición anterior “pertenezcan” a la categoría diferenciable, diremos que el haz es suave. Explícitamente, un haz vectorial (real o complejo) de rango k es un haz vectorial suave si: los espacios base y total son variedades diferenciables, además se pide que tanto las trivializaciones como la proyección del haz sean aplicaciones suaves. Por supuesto, este es el concepto de interés en este trabajo, por lo que de ahora y en adelante todos los haces vectoriales que se discutan serán asumidos suaves a menos que se indique lo contrario. Supongamos que π : E → Mn es un haz vectorial suave (real o complejo) de rango k sobre una variedad Mn. De las propiedades 2 y 3 en la definición de haz vectorial se sigue que para todo abierto Uαβ := Uα ∩Uβ no vacío, el valor de la función Φαβ := Φ−1 α ◦Φβ en una pareja (x, v) de Uαβ×F es de la forma (x,Kαβ(x)v) para alguna función diferenciable (1.2) Kαβ : Uαβ −→ GL(k;F), llamada función de transición. De hecho, Kαβ es la función definida por la relación Kαβ(p)(v) := Φαβ(p, v). En el párrafo anterior, GL(k;F) es el grupo de matrices invertibles k × k con coeficientes en F = R si el haz es real o F = C si π : E → Mn es un haz complejo. Es fácil ver que para todo abierto Uαβγ := Uα ∩ Uβ ∩ Uγ no vacío se tiene el siguiente diagrama conmutativo Uαβγ × Rk Φαβ // Φαγ 77 Uαβγ × Rk Φβγ // Uαβγ × Rk . Se tiene además la obvia relación Φ−1 αβ = Φβα sobre cualquier Uαβ 6= ∅. Estas ecuaciones se traducen en términos de las funciones de transición en la condición de cocíclo (1.3) KαβKβγ Kγα = 1 para todo Uαβγ 6= ∅. 1. HACES VECTORIALES 35 Esta condición es tan poderosa que de hecho determina la estructura del haz vectorial. Explícitamente, si se cuenta con una familia {(Vab, Ķab)}(a,b)∈A2 donde Vab se obtiene de intersecar dos a dos los miembros Va de una cubierta abierta de Mn y Ķab : Vab → GL(k;F) es una familia de funciones suaves que satisfacen la condición de cocíclo, entonces existe un haz vectorial E → Mn con fibra típica Fk, trivializado por la cubierta {Va}a∈A y que tiene como funciones de transición precisamente a las funciones Ķab. Dicho haz vectorial se obtiene identificando Va×Fk con Vb × Fk mediante Ķab siempre que Vab 6= ∅. Si G es un subgrupo de Lie de GL(k;F), decimos que π : E →Mn es un G-haz vectorial si podemos encontrar una trivialización local tal que las correspondientes funciones de transición tomen todas valores en G. En esta situación, llamamos a la familia {(Uαβ ,Kαβ)}(α,β)∈A2 un G-cocíclo estructural de E si Kαβ : Uαβ → G satisface (1.3). Este procedimiento se conoce como reducción del grupo estructural de GL(k;F) a G. Una pregunta natural que nos siguiere esta definición es; ¿Cuando podemos reducir el grupo de estructural de un haz vectorial de rango k de GL(k;F) a un subgrupo dado G? Antes de abordar esta pregunta (en una formulación un poco más general), veamos algunos ejemplos de haces vectoriales que utilizaremos más adelante. Ejemplo 1.1. Si Mn es una variedad diferenciable, existe por definición una cubierta abierta de Mn cuyos elementos son precisamente las cartas de la estructura diferenciable. Para cualesquiera dos cartas ( U , (u1, . . . , un) ) ( V, (v1, . . . , vn) ) con intersección no vacía, se tiene que KUV(p) := ( ∂ui ∂vj ∣ ∣ ∣ p ) determina un elemento bien definido en GL(n;R) para todo punto p ∈ U∩V. La regla de la cadena garantiza que KUV satisface la condición de cocíclo. El haz que determina el sistema antes mencionado es ni más ni menos que el haz tangente de Mn, denotado por TMn. La diferenciabilidad de las funciones KUV es consecuencia de la correspondiente suavidad de las coordenadas locales u1, . . . , vn; esto muestra que el haz tangente es un haz suave. Una sección suave del haz tangente se llama un campo vectorial sobre Mn. Ejemplo 1.2. Si {Kαβ : Uαβ → G}(α,β)∈A2 son los cocíclos estructurales de un G-haz vectorial E → Mn, es fácil ver que las funciones K∗ αβ := (K−1 αβ ) t = Kt βα también satisfacen la condición de cocíclo y por tanto determinan un G-haz vecto- rial llamado el haz dual de E, denotado como E∗ → Mn. Un ejemplo particular muy importante de esta construcción es el haz cotangente a Mn, denotado como T ∗Mn, que por definición es el haz dual del haz tangente de Mn. Los elementos de Γ∞(T ∗Mn) se llaman 1-formas diferenciales. Ejemplo 1.3. En general, es posible extender “fibra a fibra” las construcciones functoriales de la categoría de F-espacios vectoriales VectF a la categoría de F-haces vectoriales (que definiremos enseguida). Supongamos que E →Mn y E →Mn son dos haces vectoriales (ambos reales o ambos complejos) con funciones de transición KE αβ y KE αβ respectivamente. Considere F : VectF × VectF → VectF uno de los siguientes bifunctores: ( ∗ )⊕( ∗ ) , ( ∗ )⊗( ∗ ) , ( ∗ )∧( ∗ ) , Sym( ∗ , ∗ ) , Hom( ∗ , ∗ ), entonces se define el haz vectorial F (E, E) →Mn como el haz vectorial determinado 36 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC por las funciones de transición K F (E,E) αβ := F (KE αβ ,K E αβ). Se deja al lector la tarea de verificar la condición de cocíclo para estas funciones. Supongamos que π : E → Mn es un haz vectorial. Una función s : Mn → E se llama una sección global de E si π ◦ s = id : Mn → Mn. En otras palabras, la sección s asigna a cada punto p ∈ Mn un elemento s(p) ∈ Ep. El conjunto de todas las secciones del haz E se denota como Γ(E), al subconjunto de las secciones continuas (suaves), se le denota como Γ0(E) ( Γ∞(E) ) respectivamente. Dado U abierto en Mn, decimos que s es una sección local de Mn si s es una sección global de U. Denotamos por Γloc(E) al conjunto de todas las secciones locales, y como Γ0 loc(E) , Γ∞ loc(E) a los conjuntos análogos correspondientes. Además, observe que toda sección, global o no, es un mapeo uno a uno; y que todo elemento de Γ∞(E) una inmersión inyectiva. Estas dos condiciones implican, dada la supuesta compacidad de la variedad Mn, que cada sección s ∈ Γ∞(E) es de hecho un encaje suave [14]; esto quiere decir que s establece un difeomorfismo entre Mn su imagen dentro del espacio total E. Como Ep es un espacio vectorial para cada punto p ∈Mn, se tiene que todo haz vectorial tiene al menos una sección, llamada sección cero, definida como 0(p) = 0p, donde 0p denota al neutro aditivo de la fibra sobre p. Esto permite dotar a Γ(E) con la estructura de un módulo izquierdo sobre el anillo de funciones en Mn con valores en F, usualmente denotado como Maps(Mn;F). Las operaciones de suma y producto están definidas fibra a fibra, es decir, si p ∈ Mn, s, s′ ∈ Γ(E) y f ∈ Maps(Mn;F) se define (s+ s′)(p) = s(p) + s′(p) (fs)(p) = f(p)s(p). Más aún, si elegimos s, s′ y f continuas o diferenciables, entonces los corres- pondientes elementos s + s′ y fs resultan ser también aplicaciones continuas o diferenciables, según sea el caso. Esto quiere decir que Γ0(E) y Γ∞(E) son módulos sobre C0(Mn;F) y C∞(Mn;F) respectivamente. Note además que la construcción anterior en particular define una estructura de F-espacio vectorial para Γ(E) de dimensión infinita. Resulta ser que la estructura algebraica de módulo descrita anteriormente es- tá íntimamente relacionada con la estructura topológica del haz E en el sentido de la existencia de una correspondencia biyectiva entre generadores linealmente independientes Γ0 loc(E) y trivializaciones locales de E; que además puede restrin- girse a Γ∞ loc(E) si E es diferenciable. Para ser más explícitos, supongamos que π : E → Mn es un haz vectorial suave de rango k. Si s1, . . . , sk ∈ Γ∞ loc (E) es un conjunto linealmente independientes respecto a la estructura de módulo, entonces cualquier vp ∈ Ep se escribe de manera única como combinación lineal de la for- ma a1(p)s1(p) + · · · + ak(p)sk(p) para cada punto p en el dominio de definición U de dicho conjunto de secciones locales. De esta manera obtenemos una aplica- ción π−1 (U) → U × Fk dada por vp 7→ (p, a1(p), . . . , ak(p)) que resulta ser una trivialización local diferenciable de E. Inversamente, si Φ : U × Fk → π−1 (U) es una trivialización local de E y ek es elemento de alguna base para Fk, entonces la correspondencia sk(p) := Φ(p, ek) claramente define un conjunto de k secciones lo- cales de E que son linealmente independientes respecto de la estructura de módulo. El lector puede consultar [36] para una descripción más detallada del módulo de secciones de un haz vectorial sobre una variedad. 1. HACES VECTORIALES 37 Definición 1.4. Sean π : E → Mn y π̃ : E → M̃m haces vectoriales. Un morfismo de haces entre E y E es una pareja de aplicaciones f : M̃m → Mn , τ : E → E que preserva las fibras, es decir, que hace conmutativo el siguiente cuadrado (1.4) E τ // π̃  E π  M̃m f // Mn, con la propiedad de que τp := τ |Ep es una transformación lineal de Ep en Ef(p). Nos referimos al morfismo de haces (τ, f) diciendo que τ cubre a f . Es claro que la definición anterior satisface todos los axiomas que hacen de la clase de todos los haces vectoriales una categoría cuyos objetos son por supuesto haces vectoriales (sobre variedades suaves) y cuyos morfismos están definidos por 1.4. En el caso particular en que Mn = M̃m (y por tanto m = n) y f = id, decimos que τ es un morfismo de haces sobre Mn; adicionalmente si E = E , τ se llama un endomorfísmo de E. Bajo estas mismas hipótesis, decimos que τ es un automorfismo de E si existe τ−1 : E → E endomorfismo de haces vectoriales que invierta la aplicación τ . Es fácil ver que un morfismo de haces sobre la misma base es un automorfismo sí y solo sí su restricción a fibras es un isomorfismo lineal. Note que existe una versión ligeramente más general de equivalencia de haces dada por aplicaciones que cubre a un difeomorfismo de la base. El siguiente concepto esclarece la distinción entre automorfísmos de haces que cubren la identidad y automorfísmos que cubren un difeomorfismo arbitrario de la base; veremos además que este concepto no se limita a esta situación. Definición 1.5. Supongamos que π : E →Mn es un haz vectorial y f : M̃m → Mn es una aplicación suave. Definimos el haz inducido por f como el haz vectorial sobre M̃m con espacio total el subespacio de M̃m × E dado por (1.5) f∗E := { (p̃, v) ∈ M̃m × E | f(p̃) = π(v) } . La proyección f∗π : f∗E → M̃m está definida como la restricción a f∗E de la proyección M̃m × E → M̃m. Observación 1.6. Supongamos que E es un G-haz vectorial trivializado por la cubierta {Uα}α∈A, y con funciones de transición Kαβ : Uαβ :→ G. La definición anterior implica que f∗E es un G-haz vectorial trivializado por abiertos de la forma f−1Uα. Las correspondientes funciones de transición f∗Kαβ están dadas por la composición Kαβ ◦ f : f−1 (Uαβ) → G. Observación 1.7. La clase de isomorfismo de f∗E solo depende de la clase de homotopía de f [19]. El haz inducido f∗E está dotado de un morfismo canónico de haces vectoriales Πf : f∗E → E definido como Πf (p̃, v) = v que cubre a f , es decir; satisface que π ◦ Πf = f ◦ f∗π. El diagrama que esquematiza la propiedad antes mencionada tiene la importante característica universal de ser un cuadrado cartesiano, esto es; 38 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC para todo espacio X y cualesquiera funciones q : X → M̃m, ζ : X → E tales que f ◦ q = π ◦ ζ, existe una única función (q, ζ) : X → f∗E tal que hace conmutativos todos los triángulos y cuadrados del siguiente diagrama (1.6) X ζ !! q !! (q, ζ) ❈ ❈ !!❈ ❈ f∗E Πf // f∗π  E π  M̃m f // Mn. Más aún, si q y ζ son ambas continuas o diferenciables, entonces (q, ζ) es a su vez continua o diferenciable. Usando esta propiedad universal fácilmente se demuestra la naturalidad de esta construcción respecto a la composición de aplicaciones entre las bases, esto es; dado un haz E →Mn y funciones f : M̃m → Nr y h : Nr →Mn, existe un isomorfismo canónico entre el haz inducido por h ◦ f y el haz h∗(f∗E). Así mismo, se cumple que (id)∗ = id. Esta importante propiedad de naturalidad es la clave para entender la diferencia entre automorfismos de haces de la forma (τ, f) con f un difeomorfismo en la base y aquellos de la forma (τ, id). Ya que por una parte se tienen por la propiedad universal, isomorfismos: E ≃ f∗E, E ≃ (f−1)∗E . Por otro lado, la naturalidad implica que E ≃ (f−1)∗E ≃ (f−1)∗ (f∗E) ≃ (f−1 ◦ f)∗E = E. Note que el automorfismo que se obtiene de la cadena de isomorfismos en el párrafo anterior cubre a la identidad. Es por esto que en esta sección usaremos la noción de equivalencia de haces que cubren a la identidad. Veamos ahora como es la descripción local de un automorfismo de G-haces vectoriales en términos de las funciones de transición. Para esto, definimos la familia de difeomorfismos {Φταβ := Φ−1 α ◦ τ ◦ Φβ : Uαβ × Rk → Uαβ × Rk}(α,β)∈A2 ; donde {(Uα,Φα)}α∈A es una trivialización local del haz vectorial π : E → Mn y τ es un automorfismo de E que cubre a la identidad de la base Mn. Un cálculo elemental muestra que Φτα := Φταα es un difeomorfismo de Uα × Fk con inversa (Φτα) −1 dada por Φ−1 α ◦ τ−1 ◦ Φα. De hecho, las definiciones de haz vectorial y de automorfismo garantizan que Φτα es lineal una vez que se fija un punto p ∈ Uα en la primera coordenada. En particular, Φτα induce funciones suaves bien definidas τα : Uα → G dadas por la regla de correspondencia τα(p)v := Φτα(p, v). Por lo tanto, la familia Φτ := {Φτα}α∈A determina una nueva trivialización local (U,Φτ ) de π : E → Mn. Asociadas a esta trivialización se tienen funciones de transición Kτ αβ : Uαβ → G. Proposición 1.1. Sea G un subgrupo de Lie de GL(k : F) y π : E →Mn un G- haz vectorial con funciones de transición Kαβ. Si τ : E → E es un automorfismo de haces vectoriales que cubre la identidad, entonces las funciones de transición Kτ αβ satisfacen la condición de cofrontera (1.7) Kτ αβ = τ−1 α Kαβ τβ , sobre todo Uαβ 6= ∅. En particular, {(Uαβ ,Kτ αβ)}(α,β)∈A2 es un G-cocíclo estructural de E. Y más aún, una familia de funciones {τα : Uα → G}α∈A que satisfacen una ecuación de 1. HACES VECTORIALES 39 la forma (1.7) determinan de manera única un automorfismo de E que cubre a la identidad de la base. Demostración. Consideremos un abierto Uαβ no vacío. Por definición, τβ re- laciona las trivializaciones Φ y Φτ para todo elemento (p, v) ∈ Φ−1 β (Uαβ) mediante la igualdad Φτβ(p, v) = Φβ(p, τβ(v)v). Usando la definición de los cocíclos estruc- turales Kαβ vemos que Φτβ(p, v) = Φα(p,Kαβ(p)τβ(p)v). Razonando de la misma manea se obtiene que Φτα(p,K τ αβ(p)v) = Φα(p, τα(p)K τ αβ(p)v). Finalmente, como Φτβ(p, v) = Φτα(p,K τ αβ(p)v), deducimos que Kτ αβ = τ−1 α Kαβ τβ como se buscaba. Es claro que esta relación implica que Kτ αβ satisface la condición de cocíclo (1.3) en la página 34. Supongamos ahora que K̂αβ sonG-cocíclos estructurales asociados a otra trivia- lización local {(Uα, Φ̂α)}α∈A de E con la propiedad K̂αβ = τ−1 α Kαβ τβ . Para ver que τα : Uα → G induce un único automorfismo de E, definimos Tα : Uα×Fk → Uα×Fk como Tα(p, v) = (p, τα(p)v). El automorfismo buscado τ : E → E estará determi- nado por la condición τ |π(Uα) = Φα ◦ Tα ◦ Φ̂−1 α siempre y cuando probemos que esta definición no depende de Uα; esto ocurre precisamente cuando Φα ◦ Tα ◦ Φ̂−1 α y Φβ ◦ Tβ ◦ Φ̂−1 β coincidan en Uαβ para todos los abiertos Uα y Uβ con intersección no vacía. Considere (p, v) ∈ Uαβ y e := Φ̂β(p, v), por un lado tenemos que ( Φβ ◦ Tβ ◦ Φ̂−1 β ) (e) = Φβ ( p, τβ(p)v ) = Φα ( p,Kαβ(p) τβ(p)v ) = Φα ( p, τα(p)K̂αβ(p)v ) = ( Φα ◦ Tα )( p, K̂αβ(p)v ) . Finalmente, usando que Φ̂α(p, K̂αβ(p)v) = Φ̂β(p, v), junto con la definición de e, concluimos que (Φβ ◦Tβ ◦ Φ̂−1 β )(e) = (Φα ◦Tα ◦ Φ̂−1 α )(e). Esto muestra que τ está bien definida, lo que da por terminada esta prueba.  De la discusión anterior se desprende la siguiente conclusión; un G-haz vectorial π : E → Mn está determinado por sus G-cocíclos estructurales salvo una elección de funciones de transición relacionados a través de la ecuación (1.7). Obviamente, la condición de cofrontera establece una relación de equivalencia en el conjunto de trivializaciones de E. Esto en pocas palabras implica que la clase de isomorfismo de E está totalmente determinada por la clase de sus G-cocíclos módulo la relación de cofrontera. A continuación vamos a presentar un modelo natural que precisamente describe al conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales de rango k sobre una variedad suave Mn fija. Para motivar esta definición, supongamos por un mo- mento que G es un grupo abeliano. En notación aditiva, el neutro aditivo de G se escribe como 0 y el inverso de un elemento g ∈ G como −g. Con estas convenciones, consideremos un G haz vectorial π : E →Mn descrito localmente por un G-cocíclo estructural {(Uαβ ,Kαβ)}(α,β)∈A2 . En esta notación, la relación de cocíclo (1.3) en la página 34 se lee (1.8) Kβγ −Kαγ +Kαβ = 0 donde se ha hecho uso explicito de la relación Kγα = −Kαγ junto con la hipótesis de que G es abeliano. Análogamente, si {(Uαβ ,Kτ α,β)}(α,β)∈A2 es otra 40 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC familia de G-cocíclos, la relación de cofrontera (1.7) en la página 38 toma la forma (1.9) Kτ αβ −Kαβ = τβ − τα. La manera en la que se han escrito las relaciones anteriores nos sugiere la existencia de una teoría de cohomología asociada a la cubierta U = {Uα}α∈A. Las siguientes definiciones hacen precisa esta afirmación. 2. Teoría de Obstrucciones y Cohomología de Čech Definición 2.1. Sean U = {Uα}α∈A una cubierta abierta de Mn y G un grupo de Lie abeliano. Dado un entero no negativo p, definimos el espacio de cocadenas de Čech de grado p, denotado por Čp (U ; G), como (2.1) ∏ (α0,...,αp)∈Ap+1 C∞ (Uα0,...,αp ; G ) . Arriba C∞ (Uα0,...,αp ; G ) denota al grupo abeliano de todas las funciones sua- ves del abierto Uα0,...,αp := Uα0 ∩ · · · ∩ Uαp con valores en G y Ap+1 denota al producto cartesiano de p+ 1 copias de A. Observación 2.2. Recordemos que desde el inicio asumimos que Mn es una variedad compacta; esto nos permite suponer sin perder generalidad que la cubierta U contiene un número finito de elementos. Así, Čp (U ; G) es un grupo abeliano finitamente generado por elementos c̄ de la forma (cα0,...,αp , . . . , cν0,...,νp), donde cada una de las entradas cι0,...,ιp es un elemento de C∞ (Uι0,...,ιp ; G ) . Finalmente, definimos C∞ (∅ ; G) como el grupo trivial cuyo único elemento es 0 ∈ G. De esta manera asignamos el grupo trivial a una familia Uι0 , . . . ,Uιp de abiertos ajenos entre si. Observación 2.3. Si G es un grupo discreto como por ejemplo Z o Zk, entonces para todo entero no negativo p, el conjunto de p-cocadenas de Čech Čp (U ; G) consta de funciones localmente constante. Dados abierto Uι0,...,ιp , Uιp+1 , denotamos por ̺ι0,...,ιp+1 al encaje Uι0,...,ιp+1 →֒ Uι0,...,ιp . Esta aplicación induce para cada p ≥ 0 un homomorfismo de grupos ̺pι0,...,ιp+1 : C∞ (Uι0,...,ιp ; G ) → C∞ (Uι0,...,ιp+1 ; G ) , definido en componentes como cι0,...,ιp 7→ cι0,...,ιp ◦ ̺ι0,...,ιp+1 . Este morfismo se llama homomorfismo de restricción inducido en grado p por ̺ι0,...,ιp+1 . Definición 2.4. Si p ≥ 0, definimos la codiferencial de Čech en grado p δ̌ : Čp (U ; G) → Čp+1 (U ; G) como el homomorfismo de grupos inducido por la correspondencia que a cada generador c̄ = (. . . , cι0,...,ιp , . . . ) de las p cocadenas de Čech le asigna la p+1-cocadena δ̌c̄ cuyas componentes están dadas por la ecuación (2.2) ( δ̌c̄ ) ι0,...,ιp+1 = p+1 ∑ µ=0 (−1)µcι0,...,ι̂µ,...,ιp+1 ◦ ̺ι0,...,ιp+1 donde ι̂µ denota la supresión del índice ιµ. Si p ≤ −1, definimos Čp (U ; G) = 0, y en consecuencia, δ̌p = 0. 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 41 Figura 1. Generador típico c̄ = (cα0,...,α3 , . . . , cδ0,...,δ3) de Č3 (U ; G). De esta manera obtenemos una sucesión de grupos grupos y homomorfismos graduados1 por p ∈ Z (2.3) · · · // Čp−1 (U ; G) δ̌ // Čp (U ; G) δ̌ // Čp+1 (U ; G) // · · · , denotada como ( Č, δ̌ ) . Teorema 2.1. La sucesión ( Č, δ̌ ) es un complejo de cocadenas, es decir, la composición sucesiva δ̌ ◦ δ̌ : Čp (U ; G) → Čp+2 (U ; G) es nula para toda p ∈ Z. En símbolos, δ̌2 = 0. Demostración. La prueba de este teorema no es más que el cálculo usual que se hace en homología singular. Sea c̄ = (. . . , cι0,...,ιp , . . . ) un generador de las p-cocadenas de Čech. Directamente de las definiciones se obtiene que ( δ̌2c̄ ) ι0,...,ιp+2 = p+2 ∑ ν=0 (−1)ν [ p+1 ∑ µ=0 (−1)µcι0,...,ι̂ν ,...ι̂µ,...,ιp+2 ◦ ̺ι0,...,ιp+1 ◦ ̺ι0,...,ιp+2 ] = p+2 ∑ ν=0 (−1)ν [ p+1 ∑ µ=0 (−1)µcι0,...,ι̂ν ,...ι̂µ,...,ιp+2 ◦ ̺ι0,...,ιp ] = ̺pι0,...,ιp+2       p+2 ∑ ν=0 (−1)ν [ p+1 ∑ µ=0 (−1)µcι0,...,ι̂µ,...ι̂ν ,...,ιp+2 ] ︸ ︷︷ ︸ ⊛       . 1Estamos usando el término graduado para referirnos a la asignación p 7→ Čp (U ; G) y no en el sentido de grupo Z-graduado. 42 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Afirmamos que el argumento de ̺pι0,...,ιp+2 denotado por comodidad como ⊛ en la ecuación anterior se anula idénticamente. Para ver esto, realizamos el desarrollo de la suma sobre el índice ν. El resultado se lee ⊛ = (−1)0 [ p+1 ∑ µ=0 cι1,ι2,...,ι̂µ,...,ιp+2 ] + (−1)1 [ p+1 ∑ µ=0 cι0,ι2,...,ι̂µ,...,ιp+2 ] ... + (−1)p+1 [ p+1 ∑ µ=0 cι0,...,ι̂µ,...,ιp,ιp+2 ] + (−1)p+2 [ p+1 ∑ µ=0 cι0,...,ι̂µ,...,ιp,ιp+1 ] . Haciendo el desarrollo explícito de la suma sobre µ obtenemos ⊛ = (−1)0 [ (−1)0cι2,...,ιp+2 + · · ·+ (−1)p+1cι1,...,ιp+1 ] + (−1)1 [ (−1)0cι2,...,ιp+2 + · · ·+ (−1)p+1cι0,...,ιp+1 ] ... + (−1)p+1 [ (−1)0cι1,...,ιp+2 + · · ·+ (−1)p+1cι0,...,ιp ] + (−1)p+2 [ (−1)0cι1,...,ιp+1 + · · ·+ (−1)p+1cι0,...,ιp ] . De este último desarrollo vemos que cada término en la suma aparece dos veces con signos contrarios, esto verifica que ⊛ = 0 como se afirmaba.  Definición 2.5. La imagen del homomorfismo δ̌ : Čp−1 (U ; G) → Čp (U ; G) se llama el grupo de p-cofronteras de Čech y se denota como B̌p (U ; G). Similarmente, el núcleo de δ̌ : Čp (U ; G) → Čp+1 (U ; G) se llama el grupo de p-cocilos de Čech y se denota por Žp (U ; G). El teorema anterior implica que B̌p (U ; G) es un subgrupo de Žp (U ; G) para todo p ∈ Z. Finalmente, definimos el p-ésimo grupo de cohomologia de Čech con coeficientes en G asociado a la cubierta U como el cociente (2.4) Ȟp (U ; G) := Žp (U ; G) B̌p (U ; G) . Observación 2.6. Es claro de las definiciones que: Ȟp (U ; G) = 0 para toda p ≤ −1 y que Ȟ0 (U ; G) = Ker δ̌0 puesto que δ̌−1 = 0. Considerando que un elemento c̄ ∈ Č0 (U ; G) es una colección de funciones suaves de la forma cα : Uα → G, vemos que δ̌c̄ = 0 si y solo si para todo α, β ∈ A se cumple que cα◦̺αβ = cβ◦̺αβ , es decir, cα coincide con cβ en Uα∩Uβ . Esto implica la existencia una única función diferenciable c :Mn → G tal que c restringida a Uα es precisamente la componente α de c̄ denotada como cα. Por lo tanto, existe un isomorfismo canónico entre la cohomologia de Čech en grado cero y el grupo de funciones suaves de Mn con valores en G Ȟ0 (U ; G) ≃ C∞ (Mn ; G) . 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 43 Independientemente de la elección de cubierta abierta para Mn. En particu- lar, si G es un grupo discreto se sigue de la observación 2.3 que Ȟ0 (Mn ; G) es precisamente el espacio de funciones continuas localmente constantes. Es decir, Ȟ0 (Mn ; G) ≃ Gm donde m es el número de componentes conexas de Mn. La interpretación de los grupos de cohomologia de Čech para p ≥ 1 de ninguna manera es obvia; de hecho en muchas ocasiones esta depende del contexto concreto y de la elección de G. Sin embargo, el caso p = 1 debería resultar absolutamente claro para nosotros, ya que como hemos visto, la ecuación (1.8) implica que los G-cocíclos estructurales (U,Kαβ) asociados a un G- haz vectorial E →Mn son en realidad 1- cocíclos de Čech; y más aún, la proposición 1.1 junto con la ecuación (1.9) aseguran que la clase de cohomologia de Čech que representan dichos cocíclos determinan la clase de isomorfismo del haz E → Mn. En pocas palabras, el primer grupo de cohomologia de Čech con coeficientes en G asociado a U representa al conjunto de clases de isomorfismo de G-haces vectoriales que admiten una trivialización sobre la cubierta U de Mn. Este último punto es una deficiencia de la construcción, ya que de las definiciones dadas hasta este momento no podemos garantizar que todos los posibles G-haces vectoriales sobre Mn puedan ser trivializados por la cubierta U, la cual hemos fijado desde el inicio. Para resolver este problema, introducimos el siguiente concepto. Definición 2.7. Sean U = {Uα}α∈A y V = {Vβ}β∈B dos cubiertas abiertas de Mn. Un refinamiento de U por V es una función r : B → A tal que Vβ ⊆ Ur(β) para todo β ∈ B. Decimos que V es más fina que U si existe un refinamiento r de U por V, y lo indicamos con la notación V ≺ U. Supongamos que V ≺ U a través de un refinamiento r, entonces para cada número entero p existe un morfismo řp : Čp (U, G) → Čp (V, G) definido en un elemento c̄ ∈ Čp (U, G) como (řq c̄)β0,...,βp = cr(β0),...,r(βp)|Vβ0,...,βp . Proposición 2.1. Sean V y U dos cubiertas abiertas de la variedad Mn y r un refinamiento de U por V. Entonces: a) Los cuadrados en el diagrama · · · // Čp−1 (U ; G) δ̌ // řp−1  Čp (U ; G) δ̌ // řp  Čp+1 (U ; G) // řp+1  · · · · · · // Čp−1 (V ; G) δ̌ // Čp (V ; G) δ̌ // Čp+1 (V ; G) // · · · son conmutativos para todo p ∈ Z. b) Si s : B → A es otro refinamiento de U por V, existe una colección de homomorfismos de grupos Hq : Čp (V;G) → Čp−1 (U;G) tal que (2.5) δ̌p−1Hp +Hp+1δ̌p = řp − šp 44 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC para todo entero p. Esta propiedad suele esquematizarse por el diagrama · · · // Čp−1 (U ; G) δ̌ // řp−1 − šp−1  Čp (U ; G) δ̌ // řp − šp  Hp qq qq qq xxqqq qq Čp+1 (U ; G) // řp+1 − šp+1  Hp+1 qq qq q xxqq qq · · · · · · // Čp−1 (V ; G) δ̌ // Čp (V ; G) δ̌ // Čp+1 (V ; G) // · · · . Demostración. Sea c̄ ∈ Čp−1 (U ; G). Directamente de las definiciones se obtiene que ( řpδ̌c̄ ) β0,...,βp = [ p ∑ µ=0 (−1)µc r(β0),..., ˆr(βµ),...,r(βp) ◦ ̺r(β0),...,r(βp) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Vβ0,...,βp = p ∑ µ=0 (−1)µc r(β0),..., ˆr(βµ),...,r(βp) ◦ ̺β0,...,βp . En el razonamiento anterior se ha usado que Vβ0,...,βp está contenido en Ur(β0),...,r(βp) para cada posible valor de p. Por otra parte, se tiene que ( δ̌řp−1c̄ ) β0,...,βp = p ∑ µ=0 (−1)µ(řp−1c̄)β0,...,βp = p ∑ µ=0 (−1)µc r(β0),..., ˆr(βµ),...,r(βp) ◦ ̺β0,...,βp . Esto prueba el inciso a) de esta proposición. Para demostrar el inciso restante, definimos para cada p > 0 un homomorfismo Hp : Čp (U ; G) → Čp−1 (V ; G) tal que a cada cocadena c̄ ∈ Čp (U ; G) le asigna la cocadena Hpc̄ formada por las componentes (Hpc̄)β0,...,βp = p ∑ ν=0 (−1)νcs(β0),...,s(βν)r(βν),...r(βp) |Vβ0,...,βp . Para cada p ≤ 0, definimos Hp = 0. Veamos que con esta elección de Hp se satisface la ecuación (2.5). Comencemos con el primer caso no trivial, esto es cuando p = 0. Como H0 = 0, solo hay que verificar la relación H1δ̌c̄ = ( ř0 − š0 ) c̄ para todo generador c̄ ∈ Č0 (U ; G), pero de acuerdo con la definición, el valor de H1δ̌ en tal elemento está dado por ( H1δ̌c̄ ) β0 = ( δ̌c̄ ) s(β0)r(β0) que claramente coincide con ( ř0 − š0 ) c̄ = cr(β0)−cs(β0). Consideremos ahora el caso p = 1, sea c̄ un generador de las 1-cocadenas de Čech asociado a la cubierta U. Directamente de las definiciones tenemos que ( δ̌H1c̄ ) β0β1 = [( H1c̄ ) β1 − ( H1c̄ ) β0 ] ◦ ̺β0β1 = [ cs(β1)r(β1) − cs(β0)r(β0) ] |Vβ0β1 . 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 45 Por otra parte, tenemos que ( H2δ̌c̄ ) β0β1 = [( δ̌c̄ ) s(β0)r(β0)r(β1) − ( δ̌c̄ ) s(β0)s(β1)r(β1) ] |Vβ0β1 = [ cr(β0)r(β1) − cs(β0)r(β1) + cs(β0)r(β0)+ − cs(β1)r(β1) + cs(β0)r(β1) − cs(β0)r(β1) ] |Vβ0β1 . Comparando las últimas ecuaciones vemos que en efecto ( δ̌0H1 +H2δ̌1 ) c̄ = [ cr(β0)r(β1) − cs(β0)s(β1) ] |Vβ0β1 = ( ř1 − š1 ) c̄. Los casos restantes se establece de manera análoga desarrollando las expresiones de Hp junto con la expresión para la codiferencial de Čech.  En general, si (C, δ) y (D, d) son complejos de grupos, decimos que una familia de morfismos de grupos ρp : Cp → Dp indicada por p ∈ Z es una aplicación de cocadenas si ρ conmuta con las correspondientes codiferenciales, es decir; dp+1 ◦ ρp = ρp+1 ◦ δp, para toda p. De manera similar, dos aplicaciones de cocadenas ρ1, ρ2 : (C, δ) → (D, d) son homotópicas si existe una familia de homomorfismos Hp : Cp → Dp−1, que satisfa- cen la condición de homotopía δp−1Hp +Hp+1dp = ρp1 − ρp2, para toda p. A tal conjunto de morfismos se le llama una homotopía entre los complejos (C, δ) y (D, d). La importancia de estos conceptos radica en las siguientes propiedades inmediatas de las definiciones: toda aplicación de cadenas ρ : (C, δ) → (D, d) induce un morfismo de módulos a nivel cohomologico ρp : Hp(C, δ) → Hp(D, d), definido como [c] 7→ [ρp(c)] para cada valor de p, y además, cualesquiera dos morfismos de cocadenas homotópicos inducen exactamente el mismo morfismo entre los módulos de cohomologia de grado correspondiente. Con estas consideraciones en mente, la proposición anterior implica que el morfismo (2.6) RU V : Ȟp (U ; G) → Ȟp (V ; G) está determinado de manera única por la relación V ≺ U sin importar la elección de refinamiento. Es claro que la relación ≺ es simétrica y transitiva. Esto en otras palabras quiere decir que el conjunto de cubiertas abiertas de Mn denotado como Cub(Mn) es un conjunto dirigido; que como tal determina para cada p un sistema de grupos y homomorfismos ( Ȟp (U ; G) , RU V ) definidos para toda cubierta V más fina que U. Este sistema de grupos y homomorfismos satisface las condiciones: (∗) ǐd p A = idČp(U ;G) (∗∗) Para cualesquiera tres cubiertas U , V y W relacionadas por la cadena V ≺ U ≺ W, el siguiente diagrama es conmutativo para cada p ∈ Z Čp (W ; G) RW U // RW V 44 Čp (U ; G) RU V // Čp (V ; G) . 46 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Que definen el concepto de sistema dirigido de grupos. Asociado a este sistema dirigido se tienen los correspondientes limites directos definidos para todo p ∈ Z como el siguiente cociente (2.7) lim−→ U Ȟp (U ; G) := ⊕ U∈Cub(Mn) Ȟ p (U ; G) G(∼) donde G(∼) denota al grupo abeliano generado por la relación; (U, c) ∼ (V, c′) si RW U (U, c) = RW V (V, c′) para alguna cubierta W ∈ Cub (Mn) refinada tanto por U como por V. Por supuesto en la definición anterior c y c′ son elementos de Ȟp (V ; G) y Ȟp (U ; G) respectivamente. Intuitivamente, los elementos del limite directo son clases de cohomología de Čech de grado p representadas por cocíclos x ∈ Žp (U , G) y y ∈ Žp (V , G) que eventualmente se vuelven iguales, en el sentido de que existe una cubierta abierta suficientemente fina para la cual x y y coinciden en cada una de las posibles intersecciones de los miembros en la cubierta. En el caso particular en que p = 1, lo que se obtiene con este límite es un avatar para el conjunto de clases de isomorfismo de todos los G-haces vectoriales sobre Mn. De hecho esta afirmación se puede establecer con todo rigor observando que dos G-haces vectoriales E y E de rango k sobre Mn, trivializados sobre cubiertas U y V no necesariamente iguales son isomorfos si y solo si las correspondientes clases representadas por los cocíclos estructurales (U,KE) y (V,KE) coinciden en el limite. Este hecho se verifica usando el refinamiento común de U y V, denotado como V ∩U, que está dado por todas las posibles intersecciones de elementos en estas cubiertas. Todo lo anterior nos motiva a hacer la siguiente definición. Definición 2.8. Sea Mn una variedad diferenciable compacta. Para cada nú- mero entero p, definimos el p-ésimo grupo de cohomología de Čech de Mn con coeficientes en G como (2.8) Ȟp (Mn ; G) := lim−→ U Ȟp (U ; G) . Observación 2.9. Para cada grupo G, cada cubierta abierta U de Mn y cada entero p, existe un morfismo canónico Ȟp (U ; G) → Ȟp (Mn ; G) definido por el diagrama (2.9) Ȟp (U ; G)   // ⊕ U∈Cub(Mn) Ȟ p (U ; G) // // Ȟp (Mn ; G) . Observación 2.10. Una mirada detenida a la construcción que hemos dado de la cohomología de Čech de Mn revela que esta teoría es completamente fun- ctorial. Esto es, para cada variedad diferenciable hemos asociado una colección de grupos abelianos Ȟ∗ ( • ; G) parametrizada por los enteros de manera tal que ca- da aplicación suave f : Nm → Mn induce una familia de morfismos de grupos f∗ : Ȟ∗ (Mn ; G) → Ȟ∗ (Nm ; G) que preserva composiciones y manda identidades en identidades. En grado 1, el morfismo f1 es básicamente la construcción del G-haz vectorial inducido por f . Para fijar las ideas que hemos discutido en esta sección, veamos que la coho- mología de Čech de Mn en grado uno con coeficientes en GL(1;C) clasifica salvo isomorfismo a todos los posibles GL(1;C)-haces vectorial complejos sobre Mn. Lla- mamos a este tipo de haces vectoriales simplemente como haces de lineas complejos. 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 47 Recordemos que GL(1;C) se identifica canónicamente con el grupo multiplicativo de los complejos no nulos C∗. Comencemos notando que el conjunto de clases de isomorfismo de haces de lineas complejos diferenciables sobre Mn, denotado usualmente como Pic∞ (Mn), tiene una estructura de grupo abeliano definida de la siguiente manera: Si [L1], [L2] son elementos de Pic∞ (Mn), definimos [L1] · [L2] como la clase de isomorfismo del haz L1 ⊗C L2. El inverso [L]−1 se define como la clase de isomorfismo representada por el haz asociado al cocíclo estructural ( U,K−1 αβ ) , donde Kαβ : Uαβ → C∗ son las funciones de transición de L. Finalmente, el neutro es la clase de isomorfismo del haz trivial C ×Mn que corresponde al cocíclo (Mn,1 :Mn → C∗) donde 1 es la función constante con valor 1. Para ver que el producto en Pic∞ (Mn) está bien definido, basta ver que el pro- ducto L1⊗CL2 está determinado salvo cofronteras por la elección de C∗-cocíclos es- tructurales ( U,KL1 αβ ) y ( V,KL2 ab ) asociados a L1 y a L2. Supongamos que ( U, K̂L1 αβ ) , ( V, K̂L2 ab ) es otra pareja de cocíclos que representan a [L1] y a [L2] respectiva- mente. Entonces L1⊗CL2 está representado tanto por el cocíclo ( U ∩ V , KL1 αβK L2 ab ) como por el cocíclo ( U ∩ V , K̂L1 αβK̂ L2 ab ) . Por otra parte, nuestras hipótesis garanti- zan la existencia de colecciones de funciones suaves τα : Uα → C∗ y Ta : Va → C∗ tales que K̂L1 αβ = τ−1 α KL1 αβτβ K̂L2 ab = T−1 α KL2 ab Tb. De la ecuación anterior vemos que ( U ∩ V , K̂L1 αβK̂ L2 ab ) = ( U ∩ V , (ταTa)−1KL1 αβK L2 ab (Tbτβ) ) . Por supuesto, todas las funciones involucradas en la relación anterior deben restringirse a la intersección Uα ∩ Va para toda (α, a) ∈ A × B. Esto prueba que distintas elecciones de representantes para [L1] y [L2] inducen representantes de [L1 ⊗C L2] que difieren por una cofrontera, como se afirmaba. Es claro que [L]−1 solo depende del representante L, y además es un inverso multiplicativo de [L]. Esto muestra que en efecto, (Pic∞(Mn),⊗C, [C×Mn]) es un grupo abelinao. Como hemos descrito en la página 35, para cada trivialización Φα : Uα × C → π−1 (Uα) de un haz de lineas complejo L→Mn existe una correspondiente sección local sα : Uα → L que genera la fibra sobre cada punto p ∈ Uα. Esto implica que sα no se anula sobre su dominio; y en particular cαβ := sα sβ : Uαβ → C∗ es una función suave que trivialmente satisface la condición de cocíclo sobre cada Uαβγ no vacío. Por lo tanto, cαβ representa una clase bien definida en el primer grupo de cohomología de Čech de con coeficientes en C∗ asociado a la cubierta U := {Uα}α∈A. Definición 2.11 (Primera Clase de Chern). Supongamos que L → Mn un haz de lineas complejo trivializado por la cubierta U como en el párrafo anterior. La imagen de (U, [cαβ ]) ∈ Ȟ1 (U ; C∗) bajo el morfismo canónico Ȟ1 (U ; C∗) → 48 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Ȟ1 (Mn ; C∗) se llama primera clase de Chern de L, y se denota simplemente como c1(L). Teorema 2.2 (Clasificación de Haces de Lineas Complejos). Supongamos que Mn es una variedad lisa. La aplicación c1 : Pic∞(Mn) → Ȟ1 (M ; C∗) definida como [L] 7→ c1(L) es un isomorfismo de grupos abelianos. Demostración. Consideremos un haz de lineas complejo L → Mn triviali- zado sobre la cubierta U = {Uα}. Veamos primero que c1(L) es independiente de la elección de secciones locales sα : Uα → C∗. Si s̃α es cualquier otra sección local sobre Uα, entonces por ser sα un generador local de la fibra sobre cada punto en Uα, existe una función fα : Uα → C∗ tal que s̃α = fαsα. La función c̃αβ := s̃α/s̃β claramente satisface c̃αβ = (fα/fβ) cαβ . En otras palabras c̃αβc −1 αβ = fα fβ = (δ̌f)αβ donde f ∈ Č0 (U ; C∗) está definida por la colección de las fα. Esto muestra que c̃αβ y cαβ son cohomologicamente equivalentes. Ahora veamos que c1(L) tampoco depende de la elección de cubierta. Dada cualquier otra cubierta V = {Va}, sabemos que U∩V es un refinamiento común de U y V. Esto nos permite suponer sin perdida de generalidad que V es más fina que U. Sea r : B → A un tal refinamiento, entonces para cualquier abierto Va existe un abierto Ur(a) tal que Va ⊆ Ur(a). Así, la primera clase de Chern de L representada por c ∈ Ȟ1 (U ; C∗) con componentes cαβ = (. . . , sα/sβ , . . . ) satisface (ř1c)ab = ( . . . , sr(a)/sr(b)|Vab , . . . ) . Luego, por la primera parte de esta proposición, tenemos que c̃ab := ( . . . , sr(a)/sr(b)|Vab, . . . ) ∈ Ȟ1 (V ; C∗) también representa la primera clase de Chern de L. En otras palabras RU V(V, c̃) = RU U(U, c), de manera que c̃ y c coinciden en el límite. Esto prueba que la primera clase de Chern de L es independiente de la trivialización. Para ver que c1(L1⊗CL2) = c1(L1)c1(L2) para cualesquiera dos clases [L1], [L2] ∈ Pic∞(Mn) tomamos representantes c1αβ = s1α/s 1 β y c2αβ = s2α/s 2 β de las clases de Chern de L1 y L2 respectivamente. Supongamos además que L1 y L2 están triviali- zadas sobre la misma cubierta. Recordemos que la correspondencia entre secciones locales s y trivializaciones Φ está determinada por la formulada s(p) = Φ(p, v) para todo p ∈ Uαβ . Aquí, v es un generador como espacio vectorial de la fibra típica. En particular, se tiene que siγ(p) = ΦLi αβ(p, 1) para toda γ ∈ A e i = 1, 2. Por de- finición de las funciones de transición se tiene que KLi αβ(p)(1) = ΦLi αβ(p, 1). De esta manera vemos que toda sección local sL1⊗L2 α de L1 ⊗C L2 sobre Uαβ es de la forma sL1 α · sL2 α para algún par de secciones locales sL1 α ∈ Γ(Uαβ , L1) , sL2 α ∈ Γ(Uαβ , L2) 2. En particular, obtenemos que c1(L1 ⊗C L2) se puede representar por el elemento s1αs 2 α s1βs 2 β = ( s1α s1β )( s2α s2β ) . Que precisamente representa al producto de c1(L1) · c1(L2), tal y como se buscaba. Como el haz trivial Mn × C tiene una sección global p 7→ (p, 1) no cero, se tiene trivialmente que c1(Mn × C) es el neutro multiplicativo de Ȟ1 (Mn ; C∗). Y más aún, si la clase de isomorfismo de un haz de lineas L cumple que c1(L) es trivial, entonces podemos tomar un representante de la primera clase de Chern 2Usamos la notación Γ(Uαβ , Li) para enfatizar que el soporte de sLi α es precisamente Uαβ . 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 49 de L con componentes cαβ = sα/sβ tal que la condición de cofrontera cαβ = (δ̌f)αβ se satisface sobre Uαβ para alguna 0-cocadena de Čech f con componentes fα : Uα → C∗. Observe que la condición de cofrontera es equivalente a que las secciones Sα := sα/fα coincidas dos a dos en las intersecciones Uαβ no vacías. Por tanto Sα define una sección global no nula de L que es además diferenciable. Esto muestra que L está en la clase de isomorfismo del haz trivial; en particular, c1 es un monomorfismo. La correspondencia entre secciones locales y trivializaciones muestra que c1 es también un epimorfismo. Esto concluye la prueba del teorema de clasificación.  Relacionado con el hecho de que todo haz de lineas complejo admite una es- tructura unitaria, tenemos el siguiente Corolario 2.3. El isomorfismo dado por la primera clase de Chern se facto- riza a través del morfismo Ȟ1 ( Mn ; S1 ) → Ȟ1 (Mn ; C∗) inducido por la inclusión de S1 →֒ C∗. En otras palabras, c1(L) toma valores en en grupo unitario S1 para todo haz de lineas L. Demostración. Sea [L] una clase de isomorfismo de haz de lineas complejo. Sabemos de la prueba anterior que el representante cαβ = sα/sβ de la primera clase de Chern de [L] es invariante bajo dilataciones sγ 7→ zsγ para z ∈ C∗. Más aún, vimos que c1(L) no depende de las secciones sα , sβ usadas para construir cαβ . Por tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que sα y sβ son secciones locales unitarias respecto de alguna métrica hermitiana en L. Un argumento de particiones de la unidad [7] muestra que tales métricas siempre existen para cualquier haz vectorial complejo sobre Mn.  El resultado anterior siguiere la necesidad de extender la cohomología de Čech para incluir el caso de coeficientes en subgrupos de Lie G ⊆ GL(k ; F) no necesaria- mente abelianos. Desafortunadamente esto no es posible, al menos en los términos de antes. Aún cuando en general Čp (U ; G) es un grupo finitamente generado para cada valor de p, el problema para definir los grupos Ȟp (U ; G) radica en que no existe una definición consistente que convierta a la codiferencial δ̌ en un morfismo de grupos. Esto por supuesto está relacionado con el hecho de que en un grupo no necesariamente abeliano existe más de un orden posible para los factores de un producto de la forma ab−1cd−1, mismos que entran en la definición de la codife- rencial de Čech en grados positivos. Sin embargo, es posible utilizar las relaciones de cocíclo y cofrontera para construir una función δ̌1 : Č1 (U;G) → Č2 (U;G) que actúe multiplicando 1-cocadenas de Čech exactamente en el orden de la ecuación (1.3) en la página 34. De manera similar se construye un conjunto Ȟ1 (U ; G) para grupos no abelianos cuyos elementos sirvan como parámetros de las distintas clases de isomorfismos de G-haces vectoriales. Explícitamente definimos Ž1 (U ; G) = { Kαβ ∈ Č1 (U;G) |KαβKβγKγα = 1 } Ȟ1 (U ; G) = Ž1 (U ; G) ∼ . Donde identificamos elementos distintos de Ž1 (U ; G) si satisfacen la condi- ción de cofrontera para haces vectoriales (1.7) en la página 38. Así, definimos Ȟ1 (Mn ; G) para un grupo de Lie arbitrario sustituyendo en la definición 2.7 la 50 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC suma directa sobre la familia de cubiertas U de la variedad Mn por la unión disjunta ∐ U Ȟ 1 (U ; G) y dividimos por la misma relación de equivalencia. En otras pala- bras, olvidamos toda la estructura algebraica de complejo de cocadenas y tomamos el límite en la categoría de conjuntos. De esta manera se obtiene una estructu- ra remanente de conjunto para Ȟ1 (Mn ; G) que tiene además un punto marcado correspondiente al G-haz trivial. Ver de este modo al conjunto de clases de iso- morfismo de G-haces vectoriales de rango k sobre Mn tiene algunas ventajas, por ejemplo; veremos a continuación que podemos aprovechar la versión en la categoría de conjuntos marcados del teorema fundamental del álgebra homológica [40], que enunciamos a continuación en su versión cohomológica. Teorema 2.4. Sean (G, δG) , (H, δH) y (K, δK) complejos de cocadenas en la categoría de grupos, con graduación entera. Supongamos además que (2.10) 0 // (G, δG) η // (H, δH) θ // (K, δK) // 0 es una sucesión exacta de complejos de cocadenas. Entonces la sucesión exacta corta inducida en cohomología por la sucesión de complejos (2.10) se conecta por una colección de morfismos ∂ : Hp (K, δK) → Hp+1 (G, δG) de tal manera que la sucesión (2.11) · · · // Hp (G, δG) ηp // Hp (H, δH) θp // Hp (K, δK) EDBC GF ∂@A //❴❴❴❴❴ Hp+1 (G, δG) ηp+1 // Hp+1 (H, δH) θp+1 // Hp+1 (K, δK) // · · · es exacta en todos sus nodos. Observación 2.5. Si los grupos subyacentes a los complejos (G, δG) , (H, δH) Y (K, δK) son abelianos recuperamos por completo la estructura algebráica obtenien- do así una sucesión exacta larga de grupos en todos los grados de la cohomología. En este caso, el morfismo de conexión ∂ : Hp(K, δK) → Hp+1(G, δG) está dado de la siguiente manera. Se toma un representante k de una clase de cohomolo- gía [k] ∈ Hp(K, δK). Como θ es un epimorfismo, k es de la forma θ(h). Luego 0 = δK(k) = δK ◦ θ(h) = θ ◦ δH(h), es decir, δH(h) ∈ Ker θ = Im η. Entonces, δH(h) = η(g) para algún g ∈ Gp+1. Finalmente, 0 = δ2H(h) = δH ◦ η(g) = η ◦ δG(g); así, δG(g) ∈ Ker η = 0. Esto prueba que g ∈ Gp+1 representa una clase en Hp+1(G, δG) que de hecho es la imagen de [k] bajo el morfismo de conexión ∂. Se deja al lector verificar que en efecto ∂ [k] := [g] no depende de las elecciones realizadas en el procedimiento descrito anteriormente. La observación anterior nos permite dar una versión alternativa de la primera clase de Chern como un elemento de Ȟ2 (Mn ; Z) usando la sucesión exponencial (2.12) 0 // Č∗ (U ; 2πZ) ι // Č∗ (U ; R) exp // Č∗ (U ; S1 ) // 0 . 2. TEORÍA DE OBSTRUCCIONES Y COHOMOLOGÍA DE ČECH 51 Como Ȟp (Mn ; R) = 0 para toda p ∈ Z [6], se tiene que ∂ : Ȟ1 (Mn ; C∗) ≃→ Ȟ2 (Mn ; 2πZ).3 Este isomorfismo, que de hecho es canónico, se realiza de la si- guiente manera; fijamos un haz de lineas complejo L trivializado sobre una cubier- ta {Uα}α∈A cuyos miembros sean todos simplemente conexos (tal elección siem- pre es posible) y consideramos un representante de primera clase de Chern da- do por cαβ : Uαβ → S1. Luego, levantamos este cocíclo mediante la exponencial exp : R → S1 a una cocadena de Čech θαβ : Uαβ → R. Es decir, escribimos cαβ en la forma exp(iθαβ). Así 1 = (δ̌c)αβγ = eiθβγ e−iθαγ eiθαβ = ei(θβγ−θαγ+θαβ). Por lo tanto, la cocadena Θαβγ := 1/2π(θβγ − θαγ + θαβ) toma valores enteros. Más aún, por la observación 2.3 en la página 40 se tiene que Θαβγ es constante en componentes conexas deMn. De hecho, Θαβγ es un 2-cocíclo de Čech que determina una clase en Ȟ2 (Mn ; Z) que por construcción representa a ∂c1(L). SiMn es conexa es fácil ver que siempre es posible elegir una rama para el logaritmo complejo de manera que (2.13) Θαβγ := 1 2π [ log(cβγ)− log(cαγ) + log(cαβ) ] donde cada uno de los cocíclos cαβ está definido sobre dominios Uαβ simple- mente conexos (esto es necesario para definir a la función log). Observe además que las identidades logarítmicas usuales no aplican en la de- finición de Θαβγ ya que en general los logaritmos en cada uno de los sumandos tienen dominios distintos y por lo tanto pueden tener ambigüedades en cuanto a la elección de sus respectivas ramas. Ahora tenemos todas las definiciones necesarias para atacar la pregunta plan- teado en la página 35 replanteada en los siguientes términos; dados subgrupos de Lie G ⊂ GL(k;F) y H ⊂ GL(r;F) y un homomorfismo θ : G→ H, ¿Que relaciones existen entre la categoría de G-haces vectoriales y la categoría de H-haces?, am- bas sobre una misma variedad base Mn. Es claro que esta situación incluye como casos particular a las preguntas; ¿Cuando podemos reducir el grupo estructural de GL(k;F) a G ⊂ GL(k;F) para un G dado? y ¿Cuando podemos levantar H-cocíclos estructurales a G-cocíclos a lo largo de un recubrimiento G → H? Comencemos estudiando un ejemplo bien conocido en geometría riemanniana de una reducción estructural. Dada una métrica riemanniana g ∈ Γ ( Sym2T ∗Mn ) (que siempre existe por un argumento de particiones de la unidad [7]), podemos reducir el grupo estructural del haz tangente TMn del grupo general lineal GL(n;R) al grupo ortogonal O(n;R) simplemente ortonormalizando mediante el procedimiento de Gram-Schmidt seccio- nes locales generadoras asociadas a las distintas trivializaciones locales. Sin embar- go, sabemos que existen obstrucciones topológicas relacionadas con el concepto de orientabilidad que no necesariamente permiten llevar esta construcción al nivel del grupo especial ortogonal SO(n;R). A manera de ejemplo veamos que tipo de obs- trucciones ocurren para los O(k;R)-haces vectoriales. Para esto usamos la sucesión exacta asociada a la función determinante (2.14) 1 → SO(k;R) → O(k;R) → Z2 → 1. 3Para pasar de la sucesión exacta larga asociada a una cubierta U derivada del teorema 2.4 a una sucesión larga asociada a Mn se toma el límite sobre todas las cubiertas. Como el límite es un funtor exacto [13], la sucesión obtenida de esta manera es exacta en todos sus nodos. 52 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Ejemplo 2.1 (Orientación de Haces). Supongamos que un elemento [U, E] del espacio de cohomología de Čech con coeficientes en el grupo ortogonal Ȟ1 (Mn ; O(k;R)) representa a la clase de isomorfismo de un O(k;R)-haz vectorial con funcio- nes de transición Kαβ. Entonces det1[U, E] está representado por cocíclos w(1) αβ := detKαβ : Uαβ → Z2 que determinan en el límite una clase w1(E) ∈ Ȟ1 (Mn ; Z2) llamada primera clase de Stiefel-Whitney. Así, el problema de la orientabilidad del haz E se traduce en términos de la primera clase de Stiefel-Whitney en la condición w1(E) = 1. En particular, vemos que una variedad Mn es orientable si y solo si w1(TM n) = 1. 3. Obstrucciones para la Existencia de Estructuras Spin En esta sección definimos una sub-clase de variedades, llamadas variedades spin, que serán fundamentales para los desarrollos por venir. Supongamos que (Mn, g) es una variedad riemanianna de dimensión n ≥ 2 con w1(TM n) = 1 (es decir, Mn es una variedad orientable). Usando la métrica riemanianna podemos trivializar al haz tangente por abiertos Uα geodésicamente convexos. Esto en particular garan- tiza que Uαβ es simplemente conexo. 4 De esta manera vemos que el problema de levantamiento [18] (3.1) Spin(4) Ad  Uαβ ;;✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ Kαβ // SO(4). asociado al recubrimiento doble no trivial (ver 3.8 en la página 14) 1 −→ Z2 −→ Spin(n) Ad−→ SO(n;R) −→ 1 tiene solución K̃αβ : Uαβ −→ Spin(n). Esto de ninguna manera garantiza que los datos (Uαβ , K̃αβ) determinen un Spin(n)-haz vectorial pues en general la función w (2) αβγ := K̃αβK̃βγK̃γα no es idénticamente 1 sobre toda la variedad. Observe que el diagrama conmutativo (3.1) implica que w (2) αβγ ∈ KerAd = Z2. Veamos que (Uαβ , w(2) αβγ) es es un 2-cocíclo de Čech. Primero, como todo elemento de Z2 es su 4La métrica riemanianna no es esencial para trivializar a TMn por abiertos simplemente conexos. La misma definición de variedad es suficiente para hacer esto es posible. 3. OBSTRUCCIONES PARA LA EXISTENCIA DE ESTRUCTURAS SPIN 53 propio inverso, tenemos que ( δ̌w(2) ) αβγδ = w (2) βγδ w (2) αγδ w (2) αβδ w (2) αβγ = [ K̃βγ K̃γδ K̃δβ ] [ K̃αγ K̃γδ K̃δα ] [ K̃αβ K̃βδ K̃δα ] [ K̃αβ K̃βγ K̃γα ] = [ ±K̃βδ K̃δβ ] [ ±K̃αδ K̃δα ]2 [ ±K̃αγ K̃γα ] = K̃ββ ( K̃αα )3 = K̃ββK̃αα = (±1)2. Hemos usado la relación Ad ( K̃µν K̃νσ ) = Kµν Kνσ = Kµσ para deducir que K̃µν K̃νσ = ±K̃µσ (la fibra sobre Kνσ(p) es ±K̃νσ(p)). La clase w2(TM n) ∈ Ȟ2 (Mn ; Z2) inducida en el límite por el 2-cocíclo (Uαβ , w(2) αβγ) se llama segun- da clase de Stiefel-Whitney de Mn. Decimos que Mn es una variedad Spin(n) si su segunda clase de Stiefel-Whitney es trivial. Esta definición simplemente significa que la variedad Mn admite un Spin(n)-haz vectorial bien definido cuyas funcio- nes de transición son levantamientos a lo largo del recubrimiento doble Ad de las funciones de transición del haz tangente orto-normalizado. A una tal elección de levantamientos K̃αβ se le llama simplemente una estructura Spin(n) para Mn. Por supuesto, la definición de la segunda clase de Stiefel-Whitney se extiende para incluir SO(k)-haces vectoriales más generales que el haz tangente. Sin embargo, el ejemplo principal que tendremos en mente será el del haz tangente a una variedad orientable. Desafortunadamente, no todas las variedades de dimensión cuatro son Spin(4). Por ejemplo, un célebre teorema debido a Rokhlin establece que las 4-variedades Spin(4) tienen signatura divisible por dieciséis [31]. Este resultado implica que CP2, y más generalmente la suma conexa de k copias del plano proyectivo complejo no es Spin(4) si k < 16. Esto nos obliga a introducir una nueva estructura para los haces vectoriales orientables conocida como estructura SpinC(n), que en cierto sentido es el análogo complexificado de una estructura Spin(n). Este es el concepto más importante de está sección, ya que este tipo de estructura siempre está presente en el haz tangente de una 4-variedad lisa. Para motivar la definición recordemos que para todo entero n ≥ 0, el grupo SpinC(n) completa la sucesión exacta (3.2) 1 −→ Z2 −→ SpinC(n) ϑ−→ SO(n)× S1 −→ 1 donde ϑ(zξ) := (Adξ, z 2). Observe que ϑ determina una pareja de homomorfis- mos p1 : SpinC(n) → SO(n) y p2 : SpinC(n) → S1 definidos como p1 = proySO(n)◦ϑ , p2 := proyS1 ◦ ϑ. Supongamos que tenemos un SpinC(n)-haz vectorial E → Mk 54 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC con cocíclos estructurales (Uαβ ,KE αβ). Entonces los homomorfismos anteriores com- pletan el diagrama conmutativo (3.3) SO(n) KE αβ : Uαβ K (1) αβ 44✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐ K (2) αβ **❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ ❯❯❯ // SpinC(n) p1 ::✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉ p2 $$■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■ S1. Es fácil ver que las funciones K(1) αβ y K(2) αβ satisfacen la relación de cocíclo. Definición 3.1. Una estructura SpinC(n) para un SO(n)-haz vectorial E → Mk con cocíclos estructurales (Uαβ ,KE αβ) es un levantamientoKE αβ : Uαβ → SpinC(n) tal que p1◦KE αβ = KE αβ y (Uαβ ,KE αβ) satisface las relaciones de cocíclo. El SpinC(n)- haz E →M4 determinado por (Uαβ ,KE αβ) tiene asociado un haz de lineas complejo det E → Mk definido por el cocíclo (Uαβ , p2 ◦KE αβ) que se llama haz determinante de la estructura SpinC(n). En particular, decimos que Mk es una variedad SpinC(k) si su haz tangente TMk admite una estructura SpinC(k). Como hemos visto, asociado a cualquier SpinC(n)-haz vectorial E se tiene una pareja de haces vectoriales (E1, E2) con grupos estructurales SO(n) y S1 respecti- vamente. Esta sencilla observación implica que el morfismo inducido por ϑ en el primer conjunto de cohomología de Čech (3.4) ϑ1 : Ȟ1 ( Mk ; SpinC(n) ) → Ȟ1 ( Mk ; SO(n) ) × Ȟ1 ( Mk ; S1 ) lleva la clase de isomorfismo de [E ] en la pareja ([E1], [E2]). Y más aún, por exactitud de la sucesión larga asociada a (3.2) vemos que ϑ1 [E ] = ([E1], [E2]) si y solo si la clase ∂ ([E1], [E2]) es trivial en Ȟ2 ( Mk ; Z2 ) . En otras palabras, el núcleo5 de la aplicación de conexión ∂ : Ȟ1 ( Mk ; SO(n) ) × Ȟ1 ( Mk ; S1 ) → Ȟ2 ( Mk ; Z2 ) es la obstrucción a la existencia de SpinC(n)-haces vectoriales sobre Mk. Ana- licemos la estructura del espacio de obstrucción Ker ∂. Para esto, consideramos primero la clase de isomorfismo de un SO(n)-haz vectorial E →Mk con cocíclos es- tructurales (Uαβ ,KE αβ) con Uαβ simplemente conexo para cualquier posible elección de índices α, β. Si [E] es la primera componente de ϑ1 [E ] para algún SpinC(n) haz vectorial E con funciones de transición KE αβ , entonces al factorizar la parte Spin(n) de KE αβ tendríamos una nueva función K̃E αβ tal que Ad ◦ K̃E αβ = KE αβ . Es decir, la parte Spin(n) del cocíclo KE αβ levanta a Spin(n) el cocíclo estructural KE αβ . Como hemos visto antes, este tipo de levantamientos no necesariamente determinan haces Spin(n) bien definidos debido a una posible falla en la elección de signos provenien- te del núcleo Z2 ≃ KerAd. La segunda clase de Stiefel-Whitney w2(E) representa 5El núcleo de una aplicación marcada f : (X,x0) → (Y, y0) es la preimagen de y0 bajo f . 3. OBSTRUCCIONES PARA LA EXISTENCIA DE ESTRUCTURAS SPIN 55 precisamente esta obstrucción. De hecho, la ambigüedad en el signo del levanta- miento K̃E αβ se debe en este caso a que un elemento en SpinC(n) ≃ Spin(n)×Z2 S1 se representa indistintamente por ξz o bien como −ξ−z para ξ ∈ Spin(n) y z ∈ S1. Un fenómeno análogo ocurre cuando consideramos la clase de isomorfismo de un haz de lineas L→Mk en vez de la clase de E →Mk. El recubrimiento doble en este caso es z 7→ z2 y la pregunta relevante es la siguiente: ¿Bajo que condiciones existe un haz de lineas √ L→Mk tal que √ L⊗C √ L ≃ L? Como antes, analicemos esta pregunta en términos de la sucesión exacta (3.5) · · · −→ Ȟ2 ( Mk ; Z ) 2×−→ Ȟ2 ( Mk ; Z ) mód 2−→ Ȟ2 ( Mk ; Z2 ) −→ · · · inducida por la sucesión exacta corta de coeficientes 0 → Z → Z → Z2 → 0. La existencia del haz de lineas √ L → Mk implica que 2 c1( √ L) = c1(L) y por tanto c1(L) = 0 mód 2. De nuevo, la exactitud de la sucesión (3.5) implica que c1(L) = 0 mód 2 es también condición suficiente para la existencia de una raíz √ L de L. Juntando estas dos piezas de información, deducimos que el morfismo de co- nexión ∂ : Ȟ1 ( Mk ; SO(n) ) × Ȟ2 ( Mk ; S1 ) → Ȟ1 ( Mk ; Z2 ) está definido como ∂ ([E], [L]) = w2(E) + c̃1(L), donde w2(E) es la segunda clase de Stiefel-Whitney de E y c̃1(L) es la reducción modulo 2 de la primera clase de Chern de L. Note que la ecuación w2(E) + c̃1(L) = 0 implica que la segunda clase de Stiefel-Whitney de E y la reducción módulo 2 de la primera clase de Chern de L son cohomólogas en Ȟ2 ( Mk ; Z2 ) . Esto quiere decir que al representar las clases w2(E) y c̃1(L) por cocíclos w(2) αβγ = K̃E αβK̃ E βγK̃ E γα y ωαβγ = K √ L αβ K √ L βγ K √ L γα con K̃E αβ : Uαβ → Spin(n) y K √ L αβ : Uαβ → S1 tales que; Ad(K̃E αβ) = KE αβ y ( K √ L αβ )2 = KL αβ ; se tendría que w (2) αβγ y ωαβγ difieren a lo más por la cofrontera de una 1-cocadena εαβ : Uαβ → Z2 que permite cancelar los signos −1 en donde sea necesario. Para ver esto explíci- tamente se define K ′ αβ := εαβK √ L αβ y fácilmente se verifica que KE αβ := K ′ αβK̃ E αβ satisfacen las relaciones de cocíclo y por tanto determinan un SpinC(n)-haz vectorial E →Mk. En resumen, hemos probado el siguiente. Teorema 3.1. Un SO(n)-haz vectorial E →Mk admite una estructura SpinC(n) si y solo si existe un haz de lineas complejo L→Mk tal que w1(E) ≡ c1(L) mód 2. Observación 3.2. De el teorema anterior se sigue que todo Spin(n)-haz vec- torial es un SpinC(n)-haz vectorial. De hecho, al fijar una estructura Spin(n) se obtiene una estructura SpinC(n) inducida por el morfismo Spin(n) →֒ Spin(n)×U(1) π ։ SpinC(n). El haz determinante de esta estructura SpinC(n) canónica es trivial ya que la imagen de Spin(n) bajo el morfismo antes mencionado es precisamente π (Spin(n)× 1). El Teorema 3.4, resultado principal de esta sección, es consecuencia directa de algunos isomorfismos bien conocidos en topología algebraica (ver por ejemplo [6] , [18]). De estos, el más importante para nosotros es el siguiente. Teorema 3.3. Si G es un grupo discreto, entonces para todo entero p ≥ 0 se tiene que Ȟp (Mn ; G) es canónicamente isomorfa a la cohomología singular de Mn con coeficientes en G, denotada usualmente como Hp(Mn ; G). 56 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Teorema 3.4. [Hirzebruch-Hopf] Toda 4-variedad lisa y orientable admite una estructura SpinC(4). Demostración. Por el teorema 3.1 es suficiente encontrar un levantamiento entero de la segunda clase de Stiefel-Whitney w2(TM 4) ∈ Ȟ2 ( M4 ; Z2 ) a lo largo del morfismo inducido por el recubrimiento Z ։ Z2. Esto ocurre precisamente cuando w2(TM 4) pertenece al núcleo del morfismo de conexión β : Ȟ2 ( M4 ; Z2 ) → Ȟ3 ( M4 ; Z ) conocido con el nombre de homomorfismo de Bockstein. Por simplicidad, nos restringiremos al caso simplemente conexo, aún que apuntamos que el resultado es válido en total generalidad [12]. Del Teorema 3.3 se sigue que Ȟ3 ( M4 ; Z ) ≃ H3(M4 ; Z). Finalmente, la dualidad de Poincaré y el teorema de Hurewicz implican que H3(M4 ; Z) ≃ H1(M 4 ; Z) = 0 si M4 es simplemente conexa. Lo anterior prueba que Kerβ = Ȟ2 ( M4 ; Z2 ) , en particular βw2(TM 4) = 0 como se buscaba.  Para finalizar la presente sección estudiamos con mayor detalle al conjunto de clases de isomorfismo de estructuras SpinC(4) para una 4-variedad M4 denotado simplemente como SpinC(M4). Del teorema 3.1 vemos que existe una aplicación bien definida ℑ : SpinC(M4) → Ȟ2 ( M4 ; Z ) (3.6) [E ] 7→ c1(det E) que presenta a SpinC(M4) como un “espacio afín” modelado sobre Ȟ2 ( M4 ; Z ) ; esto quiere decir que, dada una estructura [E ] ∈ SpinC(M4) y un elemento x ∈ Ȟ2 ( M4 ; Z ) podemos formar una nueva clase z = c1(det E)+2x con la propiedad de que z ≡ c1(det E) mód 2. En particular, z corresponder con un haz de lineas Lz que determina un elemento en la fibra ℑ−1(z) ∈ SpinC(M4). La siguiente proposición dice que cualesquiera dos puntos en una fibra de ℑ “difieren” por un elemento en Ȟ2 ( M4 ; Z ) . La imagen de la aplicación ℑ es precisamente el conjunto de todas las clases x ∈ Ȟ2 ( M4 ; Z ) que satisfacen la relación x ≃ w2(M) mód 2. A tales elementos se les llama característicos. El siguiente argumento se basa en la no existencia de clases de 2-torsión en Ȟ2 ( M4 ; Z ) ; esta condición se satisface, por ejemplo, cuando M4 es simplemente conexa (ver [18, p. 196]). Proposición 3.1. Supongamos que Ȟ2 ( M4 ; Z ) no tiene clases de 2-torsión. Entonces existe una acción libre y transitiva de Ȟ2 ( M4 ; Z ) en SpinC(M4) y en Ȟ2 ( M4 ; Z ) que hace equivariante a la aplicación ℑ. Demostración. Identificando Ȟ2 ( M4 ; Z ) con el grupo abeliano de clases de isomorfismo de haces vectoriales suaves Pic∞(M4) mediante el isomorfismo inducido por la primera clase de Chern podemos definir acciones Pic∞(M4)× SpinC(M4) → SpinC(M4) ([L], [E ]) 7→ [E ⊗C L] Pic∞(M4)× Ȟ2 ( M4 ; Z ) → Ȟ2 (M ; Z) ([L], x) 7→ x+ 2c1(L). 3. OBSTRUCCIONES PARA LA EXISTENCIA DE ESTRUCTURAS SPIN 57 Usando cocíclos estructurales se verifica fácilmente que (3.7) det(E ⊗C L) = det E ⊗C L 2. De hecho, la ecuación anterior implica que diagrama SpinC(M4) ℑ // ⊗CL  Ȟ2 ( M4 ; Z ) +2c1(L)  SpinC(M4) ℑ // Ȟ2 ( M4 ; Z ) . Conmuta para todo elemento [L] ∈ Pic∞(M4). Esto prueba que la aplicación ℑ : SpinC(M4) → Ȟ2 ( M4 ; Z ) es equivariante respecto a las acciones previamente definidas. Veamos que las acciones son libres y transitivas. Para esto, observe que la acción de Pic∞(M4) en Ȟ2 ( M4 ; Z ) es la acción de Pic∞(M4) en SpinC(M4) bajo la identificación Pic∞(M4) ≃ Ȟ2 ( M4 ; Z ) y por tato una acción es libre y transitiva si y solo si la otra lo es. Para la transitividad, trabajamos con los cocíclos estructurales (Uαβ ,K(1) αβ ) (Uαβ ,K(2) αβ ) correspondientes a elementos [E1], [E2] ∈ SpinC(M4). Si (Uαβ ,KTM4 αβ ) denota el cocíclo estructural de TM4, tenemos que p1 ◦K(1) αβ = KTM4 αβ = p1 ◦K(2) αβ para cada (α, β). En otras palabras K(1) αβ ( K (2) αβ )−1 pertenecen al núcleo de p1. Es fácil ver que Ker p1 ≃ S1×Z2 Z2 ≃ S1, esto quiere decir que Kαβ := K (1) αβ ( K (2) αβ )−1 es una 1-cocadena de Čech con valores en S1. Note que los factores Spin(4) de las funciones K(1) αβ , K(2) αβ difieren a lo más por un signo bien definido globalmente, esto nos permite suponer que los levantamientos a Spin(4) asociados a estas funciones son idénticos. Así, al factorizar K(i) αβ (i = 1, 2) como un producto K̃TM4 αβ H (i) αβ , con K̃TM4 αβ levantamiento a Spin(4) del cocíclo KTM4 αβ y Hi αβ los cocíclos estructurales del los haces determinantes det Ei, vemos que Kαβ = H (1) αβ ( H (2) αβ )−1 cumple con relaciones de cocíclo. Por tanto, el cocíclo (Uαβ ,Kαβ) determinan un haz de lineas L→M4 que por construcción satisface E1 = E2 ⊗C L. Finalmente, si [L] ∈ Pic∞(M4) es tal que E ⊗C L ≃ E para algún elemento [E ] ∈ SpinC(M4), entonces las funciones de transición de E y de L denotadas como KE αβ y KL αβ satisfacen para cada (α, β) la ecuación KE αβK L αβ = KE αβ . Esta relación claramente implica que KL αβ = 1 para cada (α, β). Esto muestra que L es un haz de lineas trivial.  Observación 3.5. Supongamos que f :M4 →M4 es un difeomorfismo tal que det df : Λ4TM4 → R siempre tiene signo positivo, es decir, f es un difeomorfismo que preserva orientación y consideremos E →M4 una estructura SpinC(4). Enton- ces, las propiedades de functorialidad asociadas al haz inducido por f implican que f∗E →M4 es de nuevo una estructura SpinC(4). Esto quiere decir que el grupo de difeomorfismos de M4 que preservan orientación Diff+(M4) actúa en SpinC(M4) 58 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC de la siguiente manera Diff+(M4)× SpinC(M4) → SpinC(M4)(3.8) (f, [E ]) 7→ f∗E . Esta acción sera sumamente importante hacia el final de este trabajo. 4. Preliminares de Geometría Diferencial En esta sección estudiaremos los operadores geométricos necesarios para defi- nir las ecuaciones de Seiberg-Witten. Asumiremos que el lector está familiarizado con las nociones básicas de geometría diferencial. En particular, con los conceptos centrales de álgebra exterior y formas diferenciales. La breve exposición que a con- tinuación presentamos de estos temas está basada esencialmente en [7]. Para una introducción rápida a estas ideas el lector puede consultar [49]. A lo largo de la presente sección trabajaremos por completo en la categoría de objetos diferencia- bles. Por lo tanto, Γ(E) denotará al modulo de secciones suaves de un haz vectorial E definido sobre una variedad diferenciable Mn. Así mismo, F denotara tanto al campo de los números reales como al de los números complejos, a menos de que se indique una elección especifica. Finalmente definimos para cada entero no negativo p el espacio de p-formas diferenciales con valores en E, denotado por Ωp(Mn;E), como el módulo de secciones suaves Γ (ΛpT ∗M ⊗F E). Note que Ω0(M ;E) ≃ Γ(E) y que Ωp(M ;E) coincide con el espacio de p-formas diferenciales Ωp(M) si E es el haz trivial Mn × R. 4.1. Conexiones en Haces Vectoriales. Una conexión en un GL(k;F)-haz vectorial E →Mn es una aplicación ∇ : Ω0(Mn;E) → Ω1(Mn;E) que satisface las siguientes condiciones: 1. (Aditividad) Para cualesquiera dos secciones s1, s2 ∈ Γ(E), ∇(s1 + s2) = ∇s1 +∇s2. 2. (Regla de Leibniz) Para toda s ∈ Γ(E) y toda función suave f ∈ C∞(Mn;F) (F = R,C en función de si E es real o complejo), ∇(fs) = df ⊗ s+ f∇s. La definición anterior implica que ∇(rs) = r∇s para cualquier función constan- te r : Mn → F. De la misma manera se verifica inmediatamente que la aditividad implica que ∇0 = 0. En otras palabras, cualquier conexión ∇ en E es F-lineal respecto a la estructura de F-espacio vectorial de Γ(E). Esta sencilla observación implica que el valor de una conexión en cada punto p ∈ Mn está determinado por la matriz asociada a la representación en coordenadas de la transformación lineal ∇p : Ep → T ∗ pM n ⊗ Ep. De hecho, esta propiedad se extiende a una trivialización local de E gracias a que la definición ?? implica que toda conexión es un operador local6. Por tanto, basta determinar la forma de una conexión sobre alguna triviali- zación local de E. Supongamos que {si | 1 ≤ i ≤ k} es un conjunto de generadores 6Un operador O : Γ(E) → Γ(E) es local si para cualesquiera dos secciones s1, s2 ∈ Γ(E) tales que s1|U = s2|U para algún abierto U ⊆Mn se tiene que (Os1)|U = (Os2)|U . 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 59 locales de E trivializado sobre algún abierto V y (U, xµ) es un sistema de coor- denadas locales de Mn totalmente contenido en V, entonces sobre U tenemos la relación (4.1) ∇si = Γjiµ dx µ ⊗ sj donde dxµ son los generadores del haz cotangente trivializado sobre U inducidos por el sistema de coordenadas locales y Γ jiµ es una función suave definida en U con valores en F para cada elección fija de los índices (i, µ, j). Resulta conveniente organizar al conjunto de funciones Γjiµ, llamados símbolos de la conexión ∇, en una función matricial de 1-formas ωji := Γjiµ dx µ llamada simplemente matriz de conexión asociada a ∇. Con esta definición tenemos que ∇si = ωji ⊗ sj . El valor de la conexión ∇ en cualquier otra sección local s = f isi definida sobre U se escribe en términos de la matriz de conexión como ∇(f isi) = (df j+ωjkf k)⊗sj . Usando la definición ?? se deduce la relación que satisface la matriz de conexión asociada a ∇ cuando cambiamos de trivialización local. Para esto, consideremos dos trivializaciones locales de E, digamos U y Ũ con intersección no vacía. Asociadas a estas trivializaciones tenemos conjuntos de generadores locales para Γ(E) denotados como {sj | 0 ≤ j ≤ k} y {s̃i | 0 ≤ i ≤ k} respectivamente. Estas elecciones implican la existencia de una aplicación matricial A con valores en GL(k;F) determinada por k2 funciones suaves Aij tales que la relación s̃j = Aijsi se satisface en U ∩ Ũ. Así ∇s̃j = ∇(Aijsi) = dAij ⊗ si +Aijω r i ⊗ sr = [ dArj +Aijω r i ] ⊗ sr = [ dArj +Aijω r i ] ⊗ (A−1)ℓr s̃ℓ = [ dArj(A −1)ℓr +Aijω r i (A −1)ℓr ] ⊗ s̃ℓ. Por tanto, las matrices de conexión ω̃ = (ω̃ij) y ω = (ωij) asociadas a las trivializaciones U y a Ũ satisfacen (4.2) ω̃ = dA ·A−1 +A · ω ·A−1, en U ∩ Ũ. La formula (4.2) es fundamental en la teoría de conexiones; por ejemplo, cual- quier familia de funciones suaves con valores matriciales definidas en los abiertos de una trivialización de E con valores en GL(k;F) que satisfagan la relación an- terior determinan una única conexión en E. Usando este resultado junto con un argumento de particiones de la unidad se puede demostrar que el espacio de cone- xiones de E, denotado por ConGL(k;F)(E), es no vacío para cualquier haz E. De hecho, la matriz de conexión nos permite entender el significado preciso de una co- nexión. Este se puede leer directamente del isomorfismo entre espacios vectoriales V ∗⊗W ≃ HomF(V,W ) definido de manera que a cada generador v∗⊗w le asocia la transformación lineal dada por V ∋ v 7→ v∗(v)w, considerando por supuesto que en el caso de una conexión v∗ corresponde con la 1-forma ωji para cada elección fija de índices (i, j). Esto quiere decir que la matriz de conexión ω nos permite comparar, al menos localmente, las fibras de E a lo lardo de alguna dirección específica de 60 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Mn determinada por un campo vectorial X ∈ Γ(TMn). Explícitamente se define la derivada covariante de una sección s ∈ Γ(E) a lo largo de un campo vectorial X ∈ Γ(TMn) como ∇Xs = ω(X)s. Sustituyendo en la ecuación anterior la expresión en coordenadas locales de s = f isi y evaluando la derivada covariante a lo largo del campo tangente X = ∂µ inducido por la µ-esima coordenada obtenemos la bien conocida formula para la derivada covariante en coordenadas locales ∇µs = ∂µf j sj + Γjiµf i sj . Las operaciones lineales usuales entre haces vectoriales son compatibles con las conexiones. Por ejemplo, si ∇E es una conexión en E y ∇E es una conexión en E , se tienen conexiones inducidas en los haces: E ⊕ E , E ⊗ E , definidas como sigue ∇E⊕E(s⊕ s′) := ∇Es⊕∇Es′(4.3) ∇E⊗E(s⊗ s′) := ∇Es⊗ s′ + s⊗∇Es′.(4.4) Es fácil ver que si ωE y ωE son las matrices de conexión asociadas a ∇E y ∇E respectivamente, entonces las matrices de conexión asociadas a ∇E⊕E y a ∇E⊗E están dadas por ωE ⊕ ωE y por ωE ⊗ idΓ(E) + idΓ(E) ⊗ ωE respectivamente. Simi- larmente, una conexión ∇ en un haz vectorial E determina de manera inductiva una única conexión en ΛkE denotada como ∇∧k que satisface para todo e ∈ Γ(E) y todo f ∈ Γ(Λk−1E) la regla de Leibniz (4.5) ∇∧k(e ∧ f) = ∇e ∧ f + e ∧ ∇∧k−1f. Esta ultima definición resulta ser un caso particular de la conexión inducida en el producto tensorial de k copias de E, ⊗k E, si consideramos a ΛkE como un subhaz del producto tensorial dado por la imagen la aplicación alternante Altk : ⊗k E →⊗k E. La acción de la aplicación alternante en un generador e1⊗ · · ·⊗ ek se lee Altk(e1 ⊗ · · · ⊗ ek) = 1 k! ∑ π∈Sk sigπ eπ(1) ⊗ · · · ⊗ eπ(k) donde Sk es el grupo simétrico de orden k! definido por todas las permutaciones del conjunto con k elementos {1, . . . , k} y sig : Sk → {−1, 1} define la paridad de cualquier permutación π ∈ Sk. Resulta natural pensar en el tipo de condiciones que es necesario imponer a una conexión para que preserve las estructuras geométricas adicionales inducidas en un haz vectorial dotado de un grupo estructural G ⊂ GL(k;F). Para motivar la defi- nición por venir supongamos que (Mn, g) es una variedad riemanniana orientable. Una conexión ∇ en TMn es ortogonal si la relación (4.6) dg(X,Y ) = g(∇X,Y ) + g(X,∇Y ) se satisface como 1-formas diferenciales en el siguiente sentido; primero, g(X,Y ) es una función suave con valores en los reales positivos y por tanto el término dg(X,Y ) hace sentido como una 1-forma. Si Z ∈ Γ(TMn) es un campo vectorial, se define g(∇X,Y )(Z) simplemente como g(∇ZX,Y ). Para deducir versión local de la condición (4.6) consideramos valores particulares de X = Xµ, Y = Xν , Z = ∂σ donde Xµ y Xν son secciones locales ortonormales respecto de g y ∂σ es un generador canónico del haz tangente asociado a un sistema de coordenadas locales. 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 61 La elección de los campos X y Y implica que las funciones componentes de la métrica gµν = g(Xµ, Yν) son localmente constantes con valores δµν . En particular dgµν = 0. Sustituyendo estos valores de vuelta en la ecuación (4.6) y notando que ∇σXρ = (Γjρkdx k ⊗Xj)(∂σ) = Γjρkdx k(∂σ)Xj = Γjρkδ k σXj = ΓjρσXj deducimos que 0 = g(∇σXµ, Xν) + g(Xµ,∇σXν) = Γαµσg(Xα, Xν) + Γβνσg(Xµ, Xβ) = Γαµσδαν + Γβνσδµβ = Γνµσ + Γµνσ. Multiplicando la ecuación anterior por la 1-forma dxσ obtenemos finalmente que la matriz de conexión ω = (ωji ) asociada a ∇ satisface ωνµ + ωµν = 0. Es decir, en notación matricial ω = −ωt. Esto demuestra que las conexiones ortogonales tienen asociadas matrices con valores en el álgebra de Lie so(n). Observe que una conexión ∇ en el haz tangente de una variedad riemanniana (Mn, g) es ortogonal si y solo si la métrica g es paralela respecto de la conexión ∇⊗2 en el haz Sym2(T ∗Mn) inducida por la conexión ∇ (definición (4.3)); esto es, ∇⊗2 satisface ∇⊗2g = 0. Escribiendo la métrica g = gµν dx µ ⊗ dxν como una sección de Sym2(T ∗Mn) es fácil ver que la ecuación ∇⊗2g = 0 es equivalente a dgµν = ωαµgαν + ωβν gβµ donde ω = (ωαβ ) es la matriz de conexión de ∇. Para un G-haz vectorial arbi- trario tenemos la siguiente Definición 4.1. Decimos que una conexión ∇ : Ω0(Mn;E) → Ω1(Mn;E) en un G-haz vectorial E →Mn es una G-conexión si la matriz asociada a la conexión toma valores en el álgebra de Lie g asociada al grupo estructural G. El espacio de G-conexiones del haz E se denota por ConG(E). Observación 4.2. A veces es conveniente pensar la definición anterior en tér- minos más generales de una representación arbitraria ρ : G → GL(k;F) del grupo de Lie G. La definición de una G conexión ∇ en este contexto simplemente requiere que la matriz de conexión asociada a ∇ tome valores en la imagen de la diferencial dρ : g → gl(k;F). Recuerde que todo grupo de Lie admite al menos una representa- ción suave, llamada representación adjunta7, inducida por la acción por conjugación de G en si mismo TG [7]. Razonando exactamente como en el párrafo anterior se puede demostrar que la matriz de conexión ω asociada a un haz E → Mn con grupo estructural U(n) o SU(n) satisface ω + ω† = 0. Como antes, ( · )† denota al conjugado hermitico de una matriz, definido como la composición de la transposición usual seguida de 7La representación adjunta que hemos definido para los grupos Spin(n) y SpinC(n) coincide con la representación adjunta como grupos de Lie, pero en este caso la imagen es el grupo ortogonal. 62 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC la conjugación compleja actuando en cada una de las entradas. A este tipo de conexiones se les conoce con el nombre de conexiones unitarias. Ejemplo 4.1. Supongamos que L → Mn es un haz de lineas complejo dotado de una métrica hermitiana h. De la misma manera que en el caso riemanniano, la métrica reduce a U(1) el grupo estructural de L. Por tanto, si A es la matriz asociada a una U(1)-conexión entonces la ecuación A = −A† significa en este caso que A es una 1-forma en Mn con valores puramente imaginarios. Esto concuerda perfectamente con el hecho de que u(1) ≃ iR. Un ejemplo menos trivial de G-conexiones que además involucra una represen- tación no trivial es el siguiente. Ejemplo 4.2. Sea E un Spin(n)-haz sobre una variedad riemanniana (Mk, g). En vista de que se tiene un recubrimiento doble Ad : Spin(n) → SO(n) deduci- mos que cada conexión ortogonal ∇ ∈ ConSO(n)(E) determina una única Spin(n)- conexión ∇̃ de manera tal que las correspondientes matrices de conexión están relacionadas a través del isomorfismo ad : spin(n) → so(n). Si ω̃ = ω̃µνeµeν y ω = ωµνeµ ∧ eν son las matrices de conexión asociadas a ∇̃ y a ∇ respectivamente, sabemos por el corolario 3.5 en la página 16 que (4.7) ad(ω̃) = ω̃µνad(eµeν) = 2 ω̃µνeµ ∧ eν . Por lo tanto, la relación entre las matrices de conexión es ω̃ = 1 2ω. Una conexión geométrica muy importante es la conexión de Levi-Civita ∇g asociada a la variedad riemanniana (Mn, g) que se distingue de cualquier otra co- nexión ortogonal en tanto que es la única SO(n)-conexión que es libre de torsión. Esto significa que el tensor de torsión T∇g (v, w) := ∇g v w − ∇g w v − [v, w] se anula idénticamente para cualesquiera dos campos tangentes v, w. Esta condición se redu- ce a una simetría en los índices de los símbolos de la conexión dada por Γαµν = Γανµ. El teorema fundamental de la geometría riemanniana establece que los símbolos de la conexión ó símbolos de Christoffel están determinados por los componentes gµν la métrica riemanniana [7]. De hecho, Γαµν = gαβΓ β µν están dados por la expresión 1 2 (∂αgµν + ∂µgνα − ∂νgαµ) . Para finalizar esta breve discusión de la teoría de conexiones vamos a estable- cer un sencillo resultado que describe la estructura del espacio de G-conexiones de un G-haz vectorial arbitrario. Este resultado entrara más adelante en la discusión cuando estudiemos las ecuaciones de Seiberg-Witten. Primero, una pequeña defini- ción. Supongamos que G es un grupo de Lie de dimensión k. Para cada g ∈ G fijo se tiene un difeomorfismo Cg : G→ G definido como la conjugación por el elemento g, esto es, Cg(x) := g ·x ·g−1. Como cualquier otro difeomorfismo de G en si mismo que fija a la identidad e ∈ G, Cg determina un automorfismo Ad(g) del álgebra de Lie g definido por la diferencial deCg en el elemento neutro e ∈ G. La regla de la cadena implica que Ad(g) ◦Ad(h) = Ad(gh), obviamente Ad(e) = idg. Por lo tanto la asignación g 7→ Ad(g) define una representación real Ad : G → GL(g) conocida como representación adjunta. No es difícil demostrar que Ad(g)(X) = g ·X · g−1 y que ad := deAd : g → gl(k) está dada por el corchete [ , ] : g ⊗R g → g del álgebra de Lie; explícitamente ad(X) · Y = −[X,Y ]. 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 63 Ahora, si E es un G-haz vectorial sobre la variedad Mn con funciones de tran- sición Kαβ : Uαβ → G, definimos el haz adjunto de E, denotado por Ad(E) →Mn como el G-haz vectorial asociado a los cocíclos estructurales {Uαβ ,Ad◦Kαβ}8 y con fibras isomorfas a g. De hecho el corchete de Lie definido fibra a fibra admite una extensión que dota al haz adjunto Ad(E) de estructura de haz de álgebras de Lie. Observe que la relación que satisface la matriz de conexión ω bajo un cambio de coordenadas representado por función g : U ⊆Mn → G se mantiene válida en caso de que ω esté asociada a una G-conexión. Más aún, con las definiciones anteriores, la relación entre la descripción de ω en las coordenadas asociadas a la trivialización U y la matriz ω̃ asociada a cualquier otra trivialización Ũ tal que U ∩ Ũ 6= ∅ se reescribe como (4.8) ω̃ = dg · g−1 +Ad(g)ω. El término dg · g−1 es la forma invariante de Maurer-Cartan, es una 1-forma diferencial con valores en el álgebra de Lie g; es la única 1-forma que es invariante bajo la traslación por la derecha Rg(x) = g · x y está formada por las 1-formas duales a los campos fundamentales de G invariantes por la derecha que generan el álgebra de Lie g [7]. La manera de interpretar la expresión dg · g−1 es como sigue: el término dg es una matriz cuya (i, j)-ésima entrada está dada por dgji , donde gji es una función coordenada asociada al elemento g ∈ G inducida por la aplicación Ad : G → GL(g) que presenta a G como un grupo de matrices. Por supuesto, con base en está aclaración la multiplicación dg · g−1 está dada por el producto usual de matrices en GL(g). Existe toda una teoría alternativa para describir G-haces vectoriales dotados de una G-conexión que involucra G-haces principales y ciertas representaciones equi- variantes que permite entender con todo detalle el significado geométrico preciso de cada uno de los términos de la ecuación (4.8). Esta nueva formulación es equivalente a la teoría que hemos presentado en este trabajo. A grandes rasgos, la equivalencia está dada en términos de un funtor covariante que a cada G-haz vectorial E le asocia su haz de marcos Fr(E); la fibra sobre un punto x ∈ Mn del haz de mar- cos está formada por todas las bases de Ex y la acción de G que dota a Fr(E) de una estructura de G-haz principal consiste en transformar cada vector en una base específica de Ex por los elementos de G. Una conexión en un G-haz principal π : P → Mn se obtiene a partir de cierta 1-forma G-equivariante ω : TP → g que, salvo isomorfismo, escinde el haz tangente de P como g ⊕ π∗TM . Dado un G-haz principal P y una representación lineal ρ : G → GL(V ) se construye el haz asociado P ×ρ V que tiene como espacio total al espacio de órbitas de la acción G×P ×V → P ×V dada por g · (p, v) = (pg−1, ρ(g)v). P ×ρ V tiene estructura de G-haz vectorial y su haz de marcos isomorfo a P . Una conexión en el haz principal P determina una G-conexión en el haz asociado P ×ρ V y vice versa esencialmente jalando las formas de conexión bajo ciertas secciones adecuadas. El lector puede encontrar todos los detalles de esta equivalencia en [37] y en [16]. Proposición 4.1. El espacio de G-conexiones de un haz vectorial E →Mn es un espacio afín modelado sobre Ω1(Mn; Ad(E)). 8El hecho de que Ad sea una representación garantiza que Ad ◦Kαβ satisface la condición de cocíclo. 64 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Demostración. Vamos a probar que existe una acción libre y transitiva de Ω1(Mn; ad(E)) como grupo abeliano sobre el espacio de G-conexiones ConG(E). Para este fin consideramos la aplicación Ω1(Mn; Ad(E))× ConG(E) −→ ConG(E) (A,∇) 7→ ∇+A.(4.9) Para ver que esta aplicación está bien definida recordemos que cualquier 1- forma A actúa en una sección s de E como A ⊗ s. De esta observación es claro que ∇ + A satisface la propiedad de aditividad. Por construcción, todo elemento A ∈ Ω1(Mn; Ad(E)) satisface Ad(g)A = g · A · g−1 para toda g : U → G definida en un abierto U ⊆ Mn. En particular, ∇ + A satisface la ley de transformación (4.8). Para ver que se satisface la regla de Leibniz elegimos una función suave f ∈ C∞ (Mn;F) y una sección s ∈ Γ(E). Luego (∇+A)(fs) = ∇(fs) +A⊗ (fs) = df ⊗ s+ f∇s+ f(A⊗ s) = df ⊗ s+ f(∇s+A⊗ s) = df ⊗ s+ f(∇+A)s. Esto prueba que ∇+A ∈ ConG(E). Es claro que la aplicación (4.9) determina una acción de la parte aditiva de Ω1(Mn; Ad(E)) sobre el espacio de G-conexiones. Esta acción es libre puesto que dada A ∈ Ω1(Mn; Ad(E)) tal que ∇ + A = ∇ para alguna G-conexión ∇, entonces ∇s + A ⊗ s = ∇s y así A ⊗ s = 0 para toda posible elección de s ∈ Γ(E), lo cual implica que A = 0. Finalmente para demostrar la transitividad, consideremos dos conexiones ∇0,∇1 ∈ ConG(E). La diferencia ∇0 −∇1 actúa en una sección fs como (∇0 −∇1)(fs) = ∇0(fs)−∇1(fs) = df ⊗ s+ f∇0s− df ⊗ s− f∇1s = f(∇0 −∇1)s que por definición es la forma en la que un elemento de A ∈ Ω1(Mn; Ad(E)) actúa en la sección fs. Así, A := ∇0−∇1 ∈ Ω1(Mn; ad(E)) satisface ∇0 = ∇1+A. Esto concluye la prueba de la proposición.  4.2. La Curvatura de una Conexión. Es importante resaltar que, aún cuando el resultado anterior implica que el espacio de G-conexiones de E hereda una estructura lineal una vez fija una conexión base, las G-conexiones en general no se transforman como secciones de ningún haz vectorial. Esto se debe a que la forma de Maurer-Cartan que aparece en la ecuación (4.8) vuelve inhomogenea a la ley de transformación que satisface la matriz asociada a una G-conexión. Para construir una sección local de un G-haz vectorial a partir de una conexión ∇ ∈ ConG(E) definimos inductivamente para cada entero p ≥ 1 la derivada exterior covariante respecto de ∇ (4.10) d∇ : Ωp(Mn;E) → Ωp+1(Mn;E) por medio de la regla de Leibniz (4.11) d∇(θ ⊗ e) = dθ ⊗ e+ (−1)pθ ∧∇e. 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 65 Por ejemplo, si θ es la 1-forma que se obtiene al fijar la i-ésima columna de la matriz de conexión ω = (ωji ) asociada a ∇ y {sj} ⊂ Γ(E) es una base local, tenemos que d∇ ◦ ∇(si) = d∇(ωji ⊗ sj) = dωji ⊗ sj − ωji ∧∇sj = ( dωji − ωai ∧ ωja ) ⊗ sj = F ji ⊗ sj define un operador F∇ = d∇ ◦ ∇ : Ω0(Mn;E) → Ω2(Mn;E) representado por la matriz con entradas F ji ∈ Ω2 (Mn). La acción de una 2-forma ordinaria θ ∧ κ ∈ Ω2 (Mn) en una pareja de campos tangentes v, w ∈ Γ(TMn) está dada por la formula θ ∧ κ(v, w) := θ(v)κ(w)− θ(w)κ(v). Recuerde también que la matriz de 1-formas ω = (ωji ) asociada a cualquier conexión ∇ se evalúa en un vector tangente ∂σ inducido por un sistema de coorde- nadas locales {xµ} para producir una matriz (para cada valor de σ) con coeficientes en C∞(Mn,R) dados por la expresión ωji (∂σ) = (Γjiµ)dx µ(∂σ) = Γjiµδ µ σ = Γjiσ. Con estas consideraciones en mente deducimos que el término ω∧ω = (ωai ∧ωja) actúa en la pareja de vectores (∂µ, ∂ν) como sigue ωai ∧ ωja(∂µ, ∂ν) = ΓaiµΓ j aν − ΓaiνΓ j aµ. De manera análoga se verifica que dωji (∂µ, ∂ν) = dΓjiν(∂µ)− dΓjiµ(∂ν) = ∂µΓ j iν − ∂νΓ j iµ. Por lo tanto, para cada elección de índices (i, j), las componentes de 2-forma (F ji )µν := F jiµν respecto de la base local {dxµ ∧ dxν | 1 ≤ µ, ν ≤ n} se leen (4.12) F jiµν = ∂µΓ j iν − ∂νΓ j iµ + ΓaiνΓ j aµ − ΓaiµΓ j aν . Dicho de otra manera, la expresión local independiente de coordenadas para la matriz F ji es precisamente 1/2F jiµνdx µ ∧ dxν . Observación 4.3. El Operador de Curvatura se define como el conmutador de derivadas covariantes, es decir: (4.13) [∇µ,∇ν ]si = (∇µ∇ν −∇ν∇µ)si = F jiµν sj . Por tanto, el valor de la 2-forma F∇ en la pareja de campos tangentes (∂µ, ∂ν) define un endomorfismos de E denotado como (F∇)µν 9. Recuerde que para haces vectoriales de rango finito, digamos E → Mn y E → Mn, se tiene un isomorfismo Hom(E, E) ≃ E ⊗ E∗. En particular, End(E) = E ⊗ E∗ y así (F∇)µν = F jiµν sj ⊗ si. 9En general, cada pareja de campos vectoriales suaves (X,Y ) ∈ TMn × TMn define un endomorfismo F∇(X,Y ) : E → E dado por la expresión F∇(X,Y ) = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ]. 66 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Donde {sk} y {sk} son marcos locales duales de E y E∗. Por lo tanto (4.14) (F∇)µν := [∇µ,∇ν ] = F jiµνsj ⊗ si es una sección suave del haz de endomorfismos End(E) → Mn. En conclu- sión, (F∇)µν dx µ ∧ dxν es la expresión local invariante que presenta a F∇ como un elemento de Ω2(Mn; End(E)). De hecho, F∇ se transforma bajo la representación adjunto asociada a cambios de coordenadas inducidos por aplicaciones de la variedad con valores en G. Para ver esto, consideremos ∇ ∈ ConG(E). Observemos primero que los términos dω y ω ∧ ω que definen a F∇ son ambas 2-formas en M que punto a punto toman valores en g. Para ver que F∇ tiene las propiedades de transformación adecuadas bajo cambios de coordenadas, consideremos ω̃ y ω las matrices de ∇ asociadas a dos trivializaciones no ajenas Ũ y U de E. Para cualquier cambio de coordenadas g : Ũ∩U → G la ecuación (4.8) establece que la descripción de la matriz de conexión en las coordenadas asociadas a U se relaciona con su contraparte Ũ precisamente mediante la ecuación ω̃ · g = g · ω + dg. Aplicando la deriva exterior a esta última relación y usando las relaciones d(g · θ) = dg ∧ θ − g · dθ , d(θ · g) = dθ · g + θ ∧ dg, válidas para cualquier 1-forma θ, obtenemos dω̃ · g − ω̃ ∧ dg = dg ∧ ω − g · dω. Sustituyendo el término dg = ω̃ ·g−g ·ω, derivado de nueva cuenta de la relación (4.8), y cancelando el factor común ω̃ ∧ g · ω = ω̃ · g ∧ ω deducimos finalmente que (dω̃ − ω̃ ∧ ω̃) · g = g · (dω − ω ∧ ω) . En otras palabras, la descripción de la 2-forma F∇ respecto a las coordenadas U y la correspondiente representación F̃∇ asociada a Ũ están relacionadas por la representación adjunta (4.15) F̃∇ = g · F∇ · g−1. Definición 4.4. La forma de curvatura (o simplemente curvatura) de la co- nexión ∇ ∈ ConG(E) es la 2-forma F∇ ∈ Ω2(Mn; Ad(E)) definida por la matriz de conexión ω por medio de la relación dω − ω ∧ ω. Definición 4.5. Decimos que una conexión ∇ ∈ ConG(E) es plana si su cur- vatura F∇ se anula idénticamente. La curvatura de una conexión es un objeto privilegiado que juega un papel fundamental en geometría diferencial. Por ejemplo, el teorema fundamental de la geometría riemanniana establece que la conexión de Levi-Civita ∇g está totalmente determinada por la métrica, de manera que resulta natural definir la curvatura de una variedad riemanniana (Mn, g) como la curvatura de su conexión de Levi- Civita. En el caso particular de la conexión ∇g, la forma de curvatura R∇g se conoce comúnmente como tensor de Riemann, las componentes Rjiµν del tensor de Riemann se encuentran sustituyendo los símbolos de Christoffel en la ecuación (4.12). Es bien sabido que R∇g es un importante invariante que caracteriza a la geometría intrínseca de Mn. 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 67 Proposición 4.2 (Identidades de curvatura). El tensor de Riemann Rαβkl aso- ciado a cualquier variedad riemanniana satisface Rαβkl +Rβαkl = 0(4.16) Rαβkl +Rαβlk = 0(4.17) Rαβkl +Rαklβ +Rαlβk = 0(4.18) Rαβkl −Rklαβ = 0.(4.19) Demostración. El grupo estructural del haz tangente de cualquier n-variedad riemanniana se puede reducir al grupo ortogonal O(n). Por lo tanto, el tensor de Riemann Rijkl es antisimetrico en los índices (i, j) y por separado en los índices (k, l) simplemente por que es una 2-forma con valores en el álgebra de matrices antisimétricas o(n). Sea ωαβ = Γαβνdx ν la matriz asociada a la conexión de Levi- Civita. Como los simbolos de Christoffel Γαβν son simétricos en los índices (β, ν), vemos que dxβ ∧ ωαβ = 0. Aplicando la derivada exterior a esta ecuación tenemos dxβ ∧ dωαβ = dxβ ∧ (Fαβ + ωαµ ∧ ωµβ ) = dxβ ∧ Fαβ = 0. Sustituyendo la expresión Fαβ = 1 2R α βkldx k ∧ dxl en la ecuación anterior obte- nemos la tercera identidad de la proposición. Finalmente, para demostrar la cuarta identidad de curvatura, usamos la tercera identidad en la forma Rαβkl +Rαklβ +Rαlβk = 0 Rβαkl +Rβklα +Rβlαk = 0. Sustrayendo estas dos ecuaciones y usando la antisimetria del tensor de Rie- mann en los indices (α, β) obtenemos (A) 2Rαβkl +Rαklβ +Rβkαl +Rαlβk +Rβlkα = 0. Similarmente se tiene la identidad (B) 2Rklαβ +Rkαβl +Rkβlα +Rlαkβ +Rlβαk = 0. Comparando las ecuaciones (A) y (B) vemos que las propiedades de antisimetria implican que Rαβkl = Rklαβ .  El tensor de Riemann es también un concepto central en la teoría de la relati- vidad general; las ecuaciones de campo de Einstein escritas en coordenadas locales y sin constante cosmológica (4.20) Rµν − 1 2 Rgµν = 8πGTµν describen la dinámica del campo gravitacional modelado por la métrica g = gµνdx µ ⊗ dxν del espacio-tiempo que en este caso es una 4-variedad Lorentziana. Los términos de las ecuaciones de de Einstein son de distinta naturaleza y son un ejemplo más de la perfecta simbiosis física-matemáticas. Primero, el miembro derecho de (4.20) es el tensor de energía-momento Tµν que está asociado a la distri- bución de materia y que sirve como fuente de la interacción gravitacional. G es la constante introducida por Isaac Newton en su famosa ley de gravitación universal. En contraste, el miembro izquierdo de las ecuaciones de Einstein (4.20) es pura- mente geométrico; Rµν representan las componentes del llamado tensor de Ricci o curvatura de Ricci. Este tensor resulta que resulta ser simétrico se construye a 68 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC partir de la forma de curvatura simplemente tomando la traza de las componentes del tensor de Riemann (4.21) Rµν := Rjµjν . La manera invariante de definir el tensor de Ricci es la siguiente. Definición 4.6. Sea (Mn, g) una variedad riemanniana; R∇g = 1 2R i jµνdx µ ∧ dxν el tensor de Riemann asociado a la conexión de Levi-Civita ∇g y {eµ | 1 ≤ µ ≤ n} una base ortonormal. El tensor de Ricci de la variedad riemanniana (Mn, g) es la forma bilineal definida para toda pareja (X,Y ) ∈ TMn × TMn por medio de la expresión (4.22) Ricc(X,Y ) = − n∑ k=1 g (R∇g (ek, X)ek , Y ) . Proposición 4.3. El tensor de Ricci no depende de la elección de marco or- tonormal y es simétrico. Demostración. Si {êν} es cualquier otro marco ortonormal de TMn, existe una matriz ortogonal Aij tal que êk = Ajkej . Así n∑ k=1 g (R∇g (êk, X)êk , Y ) = n∑ k=1 AikA j kg (R∇g (ei, X)ej , Y ) . Usando que Aik y Ajk son matrices ortogonales, deducimos que ∑ k A i kA j k = δij . Esto prueba que la definición (4.22) es independiente del marco ortonormal. Ahora calculamos las componentes Rµν = Ricc(eν , eµ) del tensor de Ricci. Rµν = − n∑ k=1 g (R∇g (ek, eν)ek , eµ) = − n∑ k=1 δµjR j kkν = Rkµkν . Note que en el cálculo anterior hemos usado que la base {eµ} es ortonormal junto con la propiedad de antisimetría del tensor de Riemann en los índices (µ, k). La simetría Rabcd = Rcdab implica que Rµν = Rνµ. Por tanto, el tensor de Ricci es simétrico como se afirmaba.  De manera similar, la curvatura escalar o escalar de Ricci R se obtiene tomando la traza del tensor de Ricci; esto es, R := Rµµ = Rµµµµ. Adelantamos que la curvatura escalar aparecerá más adelante en está misma sección. Recientemente, LeBrun y otros [26, 25, 24] hán encontrado una sorprendente relación entre la teoría de Einstein y la teoría de Seiberg-Witten; los invariantes de Seiberg-Witten detectan cuando ciertas 4-variedades admiten métricas de Einstein que por definición son aquellas métricas que satisfacen las ecuaciones de Einstein en el vació, es decir con Tµν ≡ 0. Usando ciertas funciones analíticas G-invariantes que dependen de la forma de curvatura de una conexión ∇ ∈ ConG(E) se pueden construir formas globales en Mn. La identidad de Bianchi implica, entre otras cosas, que todas estas formas construidas a partir de funciones analíticas de la curvatura son cerradas. Un pro- cedimiento denominado transgresión establece que estas funciones de la curvatura son independientes de ∇ (salvo formas exactas) y por tanto representan invariantes topológicos de la clase de isomorfismo del G-haz vectorial E → Mn. Estos inva- riantes se conocen como clases características, la teoría de Chern-Weil describe la 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 69 manera precisa en la que la curvatura F∇ da lugar a estas clases de grado par en la cohomología de de Rham de H2k dR (Mn;F) [49]. Ejemplo 4.3. Sea L→Mn un haz de lineas complejo dotado de una conexión unitaria ∇ con matriz de conexión A ∈ Ω1(Mn; Ad(L)) cuya única entrada está dada por la 1-forma local Aµdxµ. Como el grupo estructural de L es abeliano, la representación adjunta de U(1) en u(1) ≃ iR es trivial. Por tanto, la curvatura de ∇ es una 2-forma global en Mn con valores puramente imaginarios que localmente está dada por la simple expresión FA = dA. Está ultima relación se deduce de la formula (4.12) observando que A ∧ A(∂µ, ∂ν) = AµAν − AνAµ = 0. Más aún, FA es cerrada ya que localmente está representada por la forma exacta dA. Esto quiere decir que i/2π FA representa una clase10 en H2 dR(M n;R) que solo depende de la clase de isomorfismo de L → Mn. En [31] se demuestra que bajo el morfismo de grupos H2 (Mn;Z) → H2 dR (Mn;R) inducido por el morfismo de coeficientes Z → R, la primera clase de Chern de L, c1(L), corresponde con el elemento [i/2π FA] ∈ H2 dR(M n;R). Es decir, [i/2π FA] es una clase entera. 4.3. El Operador de Hodge y la Topología de las 4-Variedades. Con- sideremos un sistema local de coordenadas {x1, . . . , xn} definido en un abierto de la variedad Mn. La métrica riemanniana g induce un producto interno en el haz co- tangente, denotado como g∗ que está definido en los generadores {dxµ | 1 ≤ µ ≤ n} como g∗(dxµ, dxν) = gµν , donde gµν son las componentes de la matriz inversa de la representación en coordenadas locales de g , gµνdxµ ⊗ dxν . En particular, cada una de las potencias exteriores ΛpT ∗Mn recibe una forma cuadrática simétrica y positivo definida, denotada también por g∗, que actúa localmente en los generadores como (4.23) g∗ (dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp , dxν1 ∧ · · · ∧ dxνp) = det    gµ1ν1 · · · gµ1νp ... . . . ... gµpν1 · · · gµpνp    . La métrica riemanniana también nos permite definir sobre la variedad Mn una forma de volumen global dnx ∈ Ωn (Mn) dada en coordenadas locales por la bien conocida expresión (4.24) dnx = √ | det g | dx1 ∧ · · · ∧ dxn. Así obtenemos un isomorfismo de haces ⋆ : ΛpT ∗Mn → Λn−pT ∗Mn definido en cada punto m ∈ Mn por el operador de Hodge asociado al espacio cuadrático (ΛpT ∗ mM n, g∗m). Note que este isomorfismo depende de la elección de métrica rie- manniana g ∈ Sym2T ∗Mn. Equivalentemente, pensaremos a la estrella de Hodge como un morfismo de módulos ⋆ : Ωp (Mn) → Ωn−p (Mn) caracterizado por la relación (4.25) β ∧ ⋆θ = g∗(β, θ) dnx para toda β, θ ∈ Ωp (Mn) . Supongamos que θ ∈ Ωp (Mn) se expresa localmente como 1 p! θµ1...µp dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp . 10La forma de curvatura FA es localmente exacta, esto no quiere decir que la clase de coho- mología que representa i/2π FA sea trivial. Si lo fuera, la matriz de conexión A sería una 1-forma definida globalmente y este no es el caso; Aµ se transforma bajo cambios de coordenadas de acuerdo con la ecuación (4.8). 70 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Entonces ⋆θ se escribe en coordenadas como ⋆θ = 1 (n− p)! θµ1...µp ǫµ1...µp νp+1...µn dxνp+1 ∧ · · · ∧ dxνn donde ǫµ1...µp νp+1...µn depende de la paridad de la permutación (µ1, . . . , νn) ∈ Sn de la siguiente manera ǫµ1...µp νp+1...µn = { sig(µ1, . . . , νn) si todas las entradas de (µ1, . . . , νn) son distintas 0 en cualquier otro caso. Hemos visto que el operador de Hodge satisface ⋆2 = (−1)p(n−p) idΛpT∗Mn . En particular, el haz de 2-formas en una 4-variedad M4 se descompone como la suma directa de dos subhaces reales de rango 3 Λp±T ∗M4 asociados a los auto-valores ±1 del operador de Hodge. Esto a su vez implica una descomposición en suma directa del espacio de 2-formas de M4 (4.26) Ω2 ( M4 ) = Ω2 + ( M4, g ) ⊕ Ω2 + ( M4, g ) . Por supuesto Ω2 ± ( M4, g ) , al ser el núcleo del operador de proyección P± := 1/2 ( idΩ2(M4) ± ⋆ ) , depende de la elección de métrica riemanniana g. Como antes, llamamos a los elementos de Ω2 + ( M4, g ) formas autoduales y a los elementos de Ω2 − ( M4, g ) los llamamos formas anti-autoduales. La descomposición de dualidad (4.26), característica de las 4-variedades 11, no solo nos da información muy valiosa de la estructura de M4. Los siguientes resulta- dos nos dicen que la importancia de la descomposición de dualidad del espacio de 2-formas en una 4-variedad es de carácter topológico. Teorema 4.1. Para toda 4-variedad cerrada M4, la descomposición Ω2 ( M4 ) = Ω2 + ( M4, g ) ⊕ Ω2 + ( M4, g ) , induce una escisión H2 dR ( M4 ; R ) = H2 + ( M4, g ) ⊕H2 − ( M4, g ) . Demostración. Primero, para toda n-variedad suave Mn y cualquier entero no negativo p definimos la forma bilineal (que por abuso de lenguaje llamamos producto interno L2) (· , ·)L2 : Ωp (Mn)⊗R Ωp (Mn) −→ R (4.27) (α, β)L2 = ∫ Mn α ∧ ⋆β α, β ∈ Ωp (Mn) . Se puede probar que (· , ·)L2 es no degenerado en todos los casos. Note que el producto L2 es simétrico si p es par y antisimetrico si p es impar. Como es usual, se define la “norma” L2 de una p-forma α por medio de la expresión ‖α ‖2L2 = (α, α)L2 . Las ecuaciones (4.23) y (4.25) garantizan que ‖α ‖L2 ≥ 0. Más aún, ‖α ‖L2 = 0 si y solo si α = 0. Esto justifica parcialmente nuestro uso abusivo de los términos producto interno y norma. Veamos que en el caso n = 4 y p = 2, la descomposición de dualidad (4.26) es ortogonal respecto al producto L2 recién definido. Para tal efecto, consideramos una 2-forma arbitraria θ. Sean θ± = 1/2 (1± ⋆) θ ∈ Ω± ( M4, g ) las proyecciones de θ a la parte dual y antiautodual respectivamente. Dado que el producto exterior entre formas de grado par es conmutativo, es fácil ver que α ∧ ⋆β = ⋆α ∧ β para 11Más generalmente de dimensión 4k para k ∈ N. 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 71 cuales quiera α, β ∈ Ω2 ( M4 ) ; en otras palabras, el operado de Hodge actuando en las 2-formas de una 4-variedad es auto-adjunto respecto del producto L2. De esto se sigue que (θ+, θ−)L2 = (⋆θ+, θ−)L2 = (θ+, ⋆θ−)L2 = −(θ+, θ−)L2 . Así (θ+, θ−)L2 = 0 como se afirmaba. En particular, si θ es una 2-forma cerrada entonces dθ+ + dθ− = 0. Tomando el producto interno de está expresión consigo misma obtenemos que 0 = ∥ ∥ dθ+ + dθ− ∥ ∥ L2 = ∥ ∥ dθ+ ∥ ∥ L2 + ∥ ∥ dθ− ∥ ∥ L2 + 2 ∫ M4 dθ+ ∧ dθ−. Es claro que dθ+ ∧ dθ− = d(θ+ ∧ dθ−). Como la variedad M4 es cerrada, el teorema de Stokes implica que la integral del término dθ+ ∧ dθ− es idénticamente cero, así ‖ dθ+ ‖L2 + ‖ dθ− ‖L2 = 0. Como el producto L2 es positivo definido, concluimos que dθ± = 0. Esto quiere decir que cualquier clase de cohomología [θ] ∈ H2 dR ( M4;R ) se escribe como una suma de la forma [θ+] + [θ−], donde θ± representa la partes auto dual ( anti-auto dual ) de θ. Estos resultados nos motivan a definir los subespacios H± ( M4, g ) como las imágenes de Ω2 ± ( M4 ) ∩ Ker d bajó la proyección canónica Ker d → H2 dR (Mn;R). Solo resta probar que H+ ( M4, g ) interseca trivialmente a H− ( M4, g ) . Supongamos que x ∈ H+ ( M4, g ) ∩ H− ( M4, g ) . Por definición, x admite dos representaciones distintas dadas por formas cerradas; α ∈ Ω2 + ( M4 ) y β ∈ Ω2 + ( M4 ) . Estas elecciones implican que α−β es una 2-forma exacta, digamos dλ. Afirmamos que bajo estás condiciones, α = β = 0. Comencemos notando que dλ ∧ dλ y dλ ∧ ⋆dλ son formas exactas. Claramente dλ ∧ dλ = d(λ ∧ dλ). Por otra parte d(λ ∧ ⋆dλ) = dλ ∧ ⋆dλ− λ ∧ d ⋆ dλ = dλ ∧ ⋆dλ. La ultima igualdad se sigue del hecho de que d ⋆ dλ = d ⋆ (α − β) es cerrada. Nuevamente, el teorema de Stokes implica que dλ ∧ dλ y dλ ∧ ⋆dλ tienen integral nula. Sustituyendo las relaciones dλ = α − β , ⋆dλ = α + β en el enunciado del teorema de Stokes y usando que α ∧ β = 0 obtenemos relaciones ‖α ‖L2 = ‖β ‖L2 ∫ Mn α ∧ α = ∫ Mn β ∧ β. Como α es autodual, ∫ Mn α ∧ α = ‖α ‖L2 es no negativo. Por otro lado, β ∈ Ω2 − (Mn) implica que ∫ Mn β ∧ β = − ∫ Mn β ∧ ⋆β = −‖β ‖L2 ≤ 0 de esta manera vemos que 0 ≤ ‖α ‖L2 = ‖β ‖L2 ≤ 0. Por lo tanto α = β = 0. Esto concluye la demostración.  Ahora vamos a discutir las implicaciones que tiene el resultado que acabamos de probar dentro de la teoría de 4-variedades. Para esto, consideremos primero un par de elementos α, β ∈ Ω2 ( M4 ) . La 4-forma α ∧ β es cerrada simplemente por que es una forma de dimensión 4, por lo tanto α ∧ β representa una clase en H4 dR ( M4;R ) que se evalúa en la clase fundamental [M4] ∈ H4 ( M4;R ) para 72 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC producir un invariante topológico de M4 denotado por I = I(α, β) ∈ R. Recuerde que la evaluación de un elemento [µ] ∈ H4 dR ( M4;R ) con [M4] es (4.28) 〈 [µ], [M4] 〉 := ∫ M4 µ. El invariante I solo depende de la clase de cohomología de α y de β. Como el producto cuña entre formas de dimensión par es conmutativo, basta probar que I solo depende de la clase de cohomología de α. Entonces, si β es una 2-forma cerrada y α = a+ dλ, tenemos que α ∧ β = a ∧ β + dλ ∧ β = a ∧ β + d(λ ∧ β). Así α ∧ β y a ∧ β son formas cohomologicamente equivalentes. De esta manera obtenemos una forma bilineal simétrica bien definida QM4 : H2 dR ( M4;R ) ⊗R H 2 dR ( M4;R ) −→ R (4.29) QM4([α], [β]) = 〈 [α ∧ β], [M4] 〉 llamada forma de intersección de M4. La dualidad de Poincaré implica que la forma de intersección es unimodular, es decir, detQM4 = ±1. Es bien sabido que para toda n-variedad Mn y para cualquier valor de p ∈ N, Hp dR (Mn;R) es un espacio vectorial real de dimensión finita. Los enteros bp(Mn) := dimRH p dR (Mn;R) se llaman números de Betti de la variedad. Como cualquier otra forma cuadrática en un espacio vectorial real de dimensión finita,QM4 está completamente caracterizada por los subespacios maximales H± (QM4) en donde la forma de intersección QM4 es positiva (+) o negativa (-) definida. Corolario 4.2. Para toda 4-variedad cerrada y orientable M4 se tiene que H2 ± ( M4, g ) = H± (QM4) . En particular, H2 ± ( M4, g ) es independiente de la métrica usada para definir el operador de Hodge que da lugar a la descomposición (4.26). En vista del corolario anterior denotaremos de ahora y en adelante a los sub- espacio H2 ± ( M4, g ) simplemente como H2 ± ( M4 ) . Demostración. En la prueba del teorema 4.1 vimos que QM4([α], [α]) = ‖α ‖L2 ≥ 0 para todo elemento [α] ∈ H2 + ( M4, g ) . De manera similar, si [β] ∈ H2 − ( M4, g ) entonces QM4([β], [β]) = −‖β ‖L2 ≤ 0. Por tanto H2 ± ( M4, g ) ⊆ H± (QM4). La contención reciproca es consecuencia de la definición de los subes- pacios H± (QM4).  Definición 4.7. SeaM4 una 4-variedad cerrada y orientable. Definimos b±2 (M 4) como la dimensión real de los subespacios H2 ± ( M4 ) ⊆ H2 dR ( M4;R ) . Claramente b2(M 4) = b+2 (M 4) + b−2 (M 4). Similarmente, definimos la signatura de M4, σ(M4), como la signatura de su forma de intersección, esto es (4.30) σ(M4) := b+2 (M 4)− b−2 (M 4). La información cohomologicamente interesante de una 4-variedad cerrada, co- nexa y orientable está concentrada en las dimensiones; 1, 2 y 3. La dualidad de Poin- caré implica que b3(M4) = b1(M 4). Así, cuando M4 es una variedad simplemente conexa, H1 dR ( M4;R ) = 0. En particular, b3(M2) = 0. Es decir, la información cohomológica de una 4-variedad simplemente conexa está totalmente determinada por el segundo grupo de cohomología. La forma de intersección que hemos defini- do en los párrafos anteriores es tan solo una parte de esta información. Usando el 4. PRELIMINARES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL 73 producto copa ⌣ : Hp ( M4;Z ) ⊗Z H q ( M4;Z ) → Hp+q ( M4;Z ) se puede construir una forma de intersección en la cohomología de coeficientes enteros H2 ( M4;Z ) QZ M4 : H2 ( M4;Z ) ⊗Z H 2 ( M4;Z ) −→ Z (4.31) QZ M4(x, y) = 〈x ⌣ y, [M4] 〉. Usando resultados de J. H. C. Whitehead [41], John Milnor [30] estableció que los invariantes de la forma cuadrática QZ M4 determinan por completo el tipo de homotopía (orientado) de la 4-variedad M4 en el caso simplemente conexo12. Este resultado clásico de finales de los años 50’s fue mejorado enormemente por M. Freedman en 1983. El célebre teorema de Freedman establece que cualquier forma bilineal simétrica y unimodular sobre los enteros es la forma de intersección de al- guna 4-variedad topológica con grupo fundamental trivial. Más aún, los invariantes algebraicos de la forma de intersección QZ M4 determinan por completo el tipo de ho- meomorfismo de M4. En resumen, la forma de intersección con coeficientes enteros es el invariante que clasifica por completo a las 4-variedades simplemente conexas. Sorprendentemente, en el mismo año de la publicación del trabajo de Freedman, S. Donaldson [11] demostró, entre otras cosas, que esta clasificación no se puede especializar para incluir variedades diferenciables. Teorema 4.3 (S. Donaldson, 1983). Sea M4 una 4-variedad suave, simplemen- te conexa y orientable con forma de intersección QZ M4 positivo definida. Entonces QZ M4 es equivalente, sobre los enteros, a la forma cuadrática estándar x21 + · · · + x2b2(M4). La prueba del teorema de Donaldson se destaca por su originalidad ya que introdujo una serie de técnicas, muy novedosas en aquel entonces y que hoy en día siguen vigentes. De hecho, estas ideas son el precedente inmediato de la teoría de Seiberg- Witten. Básicamente, Donaldson encontró que el espacio de soluciones autoduales de las ecuaciones de Yang-Mills (Y-M) dA FA = 0 dA ⋆ FA = 0 con número de instanton 1 permite construir un cobordismo entre la variedad M4 donde está definido el sistema (Y-M) y una unión ajena de b2(M4) copias de planos proyectivos complejos con orientaciones posiblemente distintas. El teorema 4.3 se sigue inmediatamente, pues la signatura es un invariante de la clase de co- bordismo de una 4-variedad suave. Las ecuaciones de Yang-Mills están escritas en términos de una conexión unitaria A en un SU(2)-haz vectorial suave E →M4 , la extensión canónica dA de la derivada covariante a las formas con valores en Ad(E) inducida por A y la correspondiente curvatura FA. El operador de Hodge implícito en las ecuaciones de Yang-Mills está dado por la extensión natural a las formas suaves con coeficientes en Ad(E) ⋆ = ⋆⊗ idΓ(Ad(E)) : Ω p(M4; Ad(E)) → Ωn−p(Mn; Ad(E)). Es claro que esta nueva versión del operador de Hodge es un automorfismo con espectro discreto {±1}. Obviamente, la extensión del operador de Hodge que hemos 12Cabe mencionar que el trabajo de Milnor fue presentado en el Symposium Internacional de Topología Algebraica, organizado en 1958 por S. Lefschetz en nuestra Universidad Nacional Autónoma de México. 74 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC definido en el párrafo anterior para el caso particular de Ωp(M4; Ad(E)) tiene sen- tido para el modulo de formas con valores en cualquier otro G-haz vectorial sobre una variedad suave, sin importar la dimensión de esta. En adelante, tácitamente asumiremos estas extensiones y no haremos más referencia de su definición. En par- ticular, cuando la dimensión de la variedad Mn es 4, tenemos una descomposición de dualidad análoga a (4.26) de las 2-formas con valores en E. Así, la curvatura F∇ de cualquier conexión en E se parte como la suma de una parte dual F+ ∇ y una parte antiautodual F− ∇ . Por supuesto, las soluciones autoduales son aquellas con F− A = 0. Este tipo de soluciones se conocen comúnmente con el nombre de instantones. Esta terminología fue introducida por los físicos que, durante décadas, han estudiado las ecuaciones de Yang-Mills por motivos de interés físico totalmente ajenos a la teoría de 4-variedades. Con esto damos por terminada esta pequeña excursión al fascinante mundo de las 4-variedades y regresamos al tema que nos compete en esta sección, que es el operador de Dirac. 5. El Haz de Espinores y la Conexión Spin Cuando una variedad riemanianna (Mn, g) es Spin(n) es posible construir ha- ces vectoriales Σn (Mn, g) y ΣC n (M n, g), llamados haces de espinores, asociados a la representación espinorial real ∆n en el primer caso y a la representación espinorial compleja ∆C n en el segundo caso. Esto se logra componiendo por la izquierda a la representación en cuestión con las funciones de transición que levantan a Spin(n) los SO(n)-cocíclos estructurales del haz tangente TMn. Si la variedad (Mn, g) es SpinC(n) se construyen haces vectoriales Σ̂n (Mn, g) y Σ̂C n (M n, g) procediendo como en el caso Spin(n) pero sustituyendo las representaciones ∆n , ∆C n por las corres- pondientes extensiones ∆̂n, ∆̂ C n : SpinC(n) → AutCΣ C(n). Aún cuando las fibras de los haces ΣC n (M n, g) , Σ̂C n (M n, g) coinciden como espacios vectoriales complejos, estos haces se distinguen como haces vectoriales con grupos estructurales Spin(n) y SpinC(c) respectivamente. La diferencia radica en que el haz de espinores ΣC n (M n, g) tiene una acción trivial de U(1) inducida por la estructura compleja de las fibras mientras que el haz de espinores cargados13 Σ̂C n (M n, g) porta fibra a fibra una representación no trivial de U(1) asociada al haz determinante de la estructura SpinC(n) de Mn. En cualquiera de los dos casos, la proposición 4.5 en la página 25 y un sencillo argumento de particiones de la unidad garantizan que los haces de espinores pueden ser equipados con una métrica hermitiana h invariante bajo la acción del grupo es- tructural. Cuando n = 4, la métrica unitaria h coincide con la métrica unitaria usual en C2 dada por h(ψ, χ) = χ†ψ. Asumiremos implícitamente de ahora y en adelante que los haces de espinores están dotados de tal métrica unitaria. Por supuesto, la fibra de los haces de espinores depende tanto de la elección de representación (real o compleja) así como también del del valor particular de n. Los corolarios 4.5 y 4.6 en la página 25 establecen que las representaciones espinoriales ∆2n y ∆̂2n se escinden como la suma directa de dos representaciones irreducibles e inequivalentes cada una de dimensión compleja 2n−1. Cabe recordar que esta descomposición está inducida por la acción del operador de quiralidad Γ2n+1 C en el álgebra de Clifford CℓC(2n). Esta descomposición se preserva puntualmente a través de cada fibra en el 13Esta terminología viene de conceptos de física que no discutiremos. En adelante, no haremos distinción entre los haces ΣC n (Mn, g) y Σ̂C n (Mn, g) 5. EL HAZ DE ESPINORES Y LA CONEXIÓN SPIN 75 haz de espinores. Para obtener una descomposición del haz de espinores como suma directa de subhaces cuyas fibras correspondan con la escisión quiral se construye para cada valor de n un haz de álgebras de Clifford Cℓ(TMn, g) →Mn de manera que la fibra sobre cada punto p ∈Mn coincida exactamente con el álgebra de Clif- ford Cℓ(TpMn, gp). Como haces vectoriales reales, el haz de álgebras de Clifford se define como ΛTMn, es decir (5.1) Cℓ(TMn, g) := ⊕ 0≤j≤n ΛjTMn. La contracción x: Λ1TpM n×ΛkTpM n → Λk−1TpM n se extiende a ΛTMn de la siguiente manera. Si {v, v1, . . . , vk} , son secciones locales de TMn = Λ1TMn sobre un abierto de U ⊆ Mn, consideramos el k-vector ω := v1 ∧ · · · ∧ vk ∈ Γ(ΛkTMn). Con estas elecciones definimos para cada punto p ∈ U vxω(p) := k∑ i=1 (−1)i+1gp (v(p), vi(p)) ω (i)(p) donde ω(i)(p) se obtiene suprimiendo el i-ésimo vector vi(p) ∈ TpM n en el pro- ducto exterior v1(p) ∧ · · · ∧ vk(p) y gp (v(p), vi(p)) es la evaluación de la métrica g en los vectores tangentes v, vi basados en el punto p. Es claro que la contrac- ción definida anteriormente depende de manera suave del punto p. De esta manera obtenemos un operador C∞ (Mn,R)-lineal ϕ : Γ (TMn) → Γ (EndRΛTM n) defi- nido como ϕ(v) = v ∧ −vx que satisface (ϕ(v)) 2 = −‖ v ‖2 id (ver p. 28). Por lo tanto, ϕ determina una estructura multiplicativa suave definida en los genera- dores v de ΛTMn como v · ω := ϕ(v)(ω) para todo ω ∈ Γ (ΛTMn) que fibra a fibra se reduce al producto de Clifford estudiado extensivamente en las secciones anteriores. Esta multiplicación promueve a ΛTMn a un haz suave de álgebras de Clifford con las características requeridas al inicio de esta pequeña discusión. Para determinar la forma de los cambios de coordenadas en Cℓ(TMn, g) basta observar que la acción natural del grupo ortogonal SO(n) en el haz tangente de Mn induce una acción de SO(n) sobre Cℓ(TMn, g). Si Kαβ es un SO(n)-cocíclo estructural de TMn definimos Kαβ ∗ (v1 · · · vk) := Kαβ(v1) · · ·Kαβ(vk) para todo generador local v1 · · · vk ∈ Γ (Cℓ(TMn, g)). Para promover la descomposición quiral del álgebra de Clifford CℓC(2n)+ ⊕ CℓC(n)− a una descomposición por subhaces del haz de álgebras de Clifford debemos recordar que CℓC(2n)± son subespacios asociados a los autovalores ±1 del operador de quiralidad, que en ciertas dimensiones involucra la multiplicación por la unidad compleja i en CℓC(2n) ≃ Cℓ(2n) ⊗R C. Comenzamos definiendo para cada entero no negativo n el haz tangente complexificado TCM n de una variedad suave Mn simplemente como el producto tensorial TMn⊗C; donde C denota al haz de lineas trivial Mn ×C. El producto tensorial que define al haz tangente complexificado se toma respecto de C∞ (Mn;R). Observe que TCMn es un haz complejo de rango n. La acción de z ∈ C fibra a fibra es de la forma z ·(v⊗ζ) = v⊗zζ. Con esta construcción en mente, definimos CℓC(TMn, g) = Cℓ(TCMn, gC); en la definición anterior, gC denota a la obvia extensión compleja de la métrica riemanniana g. De esta manera obtenemos una acción bien definida del operador de quiralidad en CℓC(TMn, g) para cada n y por tanto la descomposición quiral CℓC(TMn, g)+ ⊕ CℓC(TMn, g)− para n par. 76 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC En el caso particular en el que la dimensión de la variedad es 2n, podemos des- cribir explícitamente el haz tangente complexificado de manera intrínseca identifi- cando R2n con Cn de la manera usual (x1, y1, . . . , xn, yn) 7→ (x1+iy1, . . . , xn+iyn). Este isomorfismo R-lineal induce, vía las diferenciales de las cartas, una estructura casi compleja J : TM2n → TM2n que actúa en los generadores {∂/∂xk , ∂/∂yk | 1 ≤ k ≤ n} asociados a un sistema de coordenadas locales de tal manera que J ( ∂ ∂xk ) = + ∂ ∂yk J ( ∂ ∂yk ) = − ∂ ∂xk . El automorfismo real J identifica las fibras del haz tangente con Cn (como espacios vectoriales complejos) y por tanto dota de estructura casi-compleja a cual- quier potencia exterior ΛkTCM 2n. Estas consideraciones implican que el operador ϕ se extiende a una representación compleja ϕC ∗ : CℓC(TM2n, g) → ΛTCM 2n que fibra a fibra da lugar a la representación espinorial compleja. Como antes, el ope- rador de quiralidad Γ2n+1 C : Γ ( CℓC(TM2n, g) ) → Γ ( CℓC(TM2n, g) ) definido como Γ2n+1 C = i[ 2n+1 2 ] e1 · · · e2n para una elección de secciones ortonormales {e1, . . . , e2n} (respecto de g) nos permite escindir el haz de espinores como una suma (5.2) ΣC 2n ( M2n, g ) = ΣC + ( M2n, g ) ⊕ ΣC − ( M2n, g ) donde ΣC ± ( M2n, g ) son subhaces del haz de espinores asociados a las funciones de transición ∆C ± ◦ K̃αβ (K̃αβ son levantamientos a Spin(2n) de los cocíclos estruc- turales de TM2n). Esto se debe a que el operador de quiralidad, al ser invariante bajo la acción de SO(2n), es independiente de la elección de secciones ortonormales usadas para definirlo. Observemos que la construcción que hemos dado del haz de álgebras de Clifford garantiza que todos los demás resultados obtenidos en las prime- ras cuatro secciones del presente trabajo se “globalizan” a la categoría de haces. En particular, se tiene una acción por conjugación del grupo Spin(2n) en las fibras de Cℓ(TM2n, g) y de CℓC(TM2n, g). Esta acción conmuta puntualmente con la acción CℓC(TM2n, g) × ΣC 2n ( M2n, g ) → ΣC 2n ( M2n, g ) dada por el producto de Clifford. Por ejemplo, dados ξ ∈ Γ ( CℓC(TM2n, g) ) , α ∈ SpinC(2n) y ψ ∈ Γ ( ΣC 2n ( M2n, g )) se cumple que (αξα−1) · (αψ) = α(ξ · ψ). Por tanto convierten a los haces de espinores en haces de módulos sobre el haz de álgebras de Clifford. A este tipo de módulos se le llama simplemente módulos de Clifford. De nueva cuenta recalcamos que el teorema 4.4 se generaliza al caso de haces. En particular, tenemos que la parte par del haz de álgebras de Clifford CℓC0 (TMn, g) preserva la descomposición quiral de los haces de espinores mientras que la acción por producto de Clifford de la parte impar CℓC1 (TMn, g) intercambia la quiralidad de los espinores. En el caso de una variedad SpinC(n) sabemos que localmente el haz de espinores cargados Σ̂C n (TM n, g) se ve como el el haz de espinores usuales “torcido” por el haz determinante de la estructura SpinC(n). El grupo SpinC(n) actúa en el haz de espinores cargados de tal manera que el factor U(1) transforma las coordenadas en el haz determinante y Spin(n) actúa en el resto del haz de espinores como lo hace en el haz de espinores usuales. De estas observaciones deducimos que el haz de espinores hereda la descomposición quiral del haz de espinores. Así mismo, la 5. EL HAZ DE ESPINORES Y LA CONEXIÓN SPIN 77 acción de SpinC(n) en el haz de espinores cargados conmuta con la acción por multiplicación de Clifford de CℓC(TMn, g) y por tanto Σ̂C n (M n, g) tiene estructura la estructura de un haz de módulos de Clifford. Definición 5.1. Sea ΣC n (M n, g) → Mn el haz de espinores asociado a una estructura Spin(n) de la variedad Mn. Definimos la conexión spin ∇̃ g como la única Spin(n)-conexión que corresponde con la conexión de Levi-Civita ∇n bajo la asociación descrita en el ejemplo 4.2 en la página 62. Hemos probado en las primeras secciones de este trabajo que que la represen- tación espinorial compleja ∆n es una representación unitaria respecto a la métrica hermitiana construida en la proposición 4.5. Por lo tanto la conexión spin es una conexión unitaria para el haz de espinores ΣC n (M n, g). Proposición 5.1. Supongamos que (Mn, g) es una variedad riemanniana do- tada de la conexión de Levi-Civita ∇g. Entonces: a) Existe una única conexión ∇Cℓ en CℓC(TMn, g) inducida por la conexión de Levi-Civita que es una derivación respecto del producto de Clifford, es decir, ∇Cℓ satisface (5.3) ∇Cℓ(v · w) = (∇gv) · w + v · (∇gw) para cualquier pareja de campos tangentes v, w ∈ Γ(TMn). En parti- cular obtenemos que ∇Cℓ(ξ1 · ξ2) = ( ∇Cℓξ1 ) · ξ2 + ξ1 · ( ∇Cℓξ2 ) para ξ1, ξ2 ∈ Γ (Cℓ(TMn, g)) arbitrarios. b) Para todo campo espinorial ψ ∈ Γ ( ΣC nM n, g ) y toda sección suave ξ del haz de álgebras de Clifford se tiene (5.4) ∇̃g(ξ · ψ) = ( ∇Cℓξ ) · ψ + ξ · ( ∇̃gψ ) . Demostración. Como haces vectoriales el haz de álgebras de Clifford está definido como ⊕ k ΛkTMn. Como la cualquier conexión en un haz vectorial induce una única conexión en las potencias exteriores de dicho haz, se tiene en particular que ∇Cℓ := ⊕ 0≤k≤n (∇g)∧k es una conexión en Cℓ(TMn, g). En la definición anterior se sobre entiende que (∇g)∧0 es la derivada exterior actuando en Λ0TMn := C∞ (Mn;R), (∇g)∧1 := ∇g y (∇g)∧k satisface la regla de Leibniz (4.5). La unicidad de ∇Cℓ está garantizada por la definición siempre y cuando se cumpla la relación (5.3). Para cualesquiera dos campos tangentes v y w se tiene por definición de producto de Clifford que v · w = v ∧ w − g(v, w). Considerando que ∇g es ortogonal tenemos que ∇Cℓ(v · w) = (∇g)∧2(v ∧ w)− dg(v, w) = (∇gv) ∧ w + v ∧ (∇gw)− g(∇gv, w)− g(v,∇gw) = (∇gv) ∧ w − g(∇gv, w) + v ∧ (∇gw)− g(v,∇gw) = ∇gv · w + v · ∇gw. Un argumento inductivo muestra que ∇Cℓ(ξ1 · ξ2) = ( ∇Cℓξ1 ) · ξ2 + ξ1 · ( ∇Cℓξ2 ) , pues toda sección del haz de álgebras de Clifford se escribe como el producto de vectores tangentes. 78 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Finalmente, recordemos que la representación espinorial compleja está inducida por una representación del álgebra de Clifford. Así, dado que el haz de espinores es un módulo de Clifford respecto al producto de secciones de Cℓ(TMg, g), se tiene que un campo espinorial arbitrario ψ ∈ Γ(ΣC n (M n, g) es de la forma ψi1,...,i2kei1 · · · ei2k , donde {ei1 , . . . , ei2k} es una colección de campos vectoriales de Mn ortonormales dos a dos respecto de la métrica riemanniana g. Así, dado ξ ∈ Γ(Cℓ(TMn, g)) se tiene que los valores de ∇̃gψ y de ∇̃g(ξ · ψ) están totalmente determinados por los valores de ∇Cℓ en productos de la forma v · ei1 · · · ei2k , donde v ∈ Γ(TMn) es un factor en la descomposición como producto de Clifford para ξ. Por tanto la primera parte de esta proposición implica el inciso b).  La proposición anterior implica que en el caso de una variedad de dimensión par, el operador de quiralidad Γ2n+1 C : Γ(Cℓ(TMn, g)) → Γ(Cℓ(TMn, g)) es paralelo respecto de la conexión ∇Cℓ. Esto es una consecuencia inmediata del sigue del cálculo ∇Cℓe1 · · · e2n = (∇ge1)e2 · · · e2n + · · ·+ e1 · · · e2n−1(∇ge2n) = ωi11 ⊗ ei1e2 · · · e2n + · · ·+ ωi2n2n ⊗ e1e2 · · · ei2n(5.5) = ∑ (−1)s ωi2i1 ⊗ ei3 · · · êi4 · · · êi5 · · · ei2n . La suma en la ultima linea del cálculo anterior toma valores en el conjunto P2n de las 2n(2n − 1) permutaciones cíclicas (i1, . . . , i2n) del conjunto {1, 2, . . . , 2n} que tienen como primeras dos entradas a las componentes fuera de la diagonal de la matriz de conexión. La expresión ei1 · · · êi4 · · · êi5 · · · ei2n denota al producto (ordenado de manera que i1 ≤ · · · ≤ i2n) de 2(n − 1) vectores básicos obtenido a partir del elemento de volumen e1 · · · e2n suprimiendo dos factores distintos ei4 , ei5 . El signo de cada uno de los sumandos en la fórmula anterior está determinado por cierta función s : P2n → {0, 1} que satisface s(i1, i2, . . . , i2n) = s(i2, i1, . . . , i2n). Esta última propiedad junto con la anti-simetría de ω garantizan que el sumando indicado por a la permutación (i1, i2, . . . , i2n) cancela al término correspondiente a la permutación (i2, i1, . . . , i2n) en la ecuación (5.5). En particular, ∇Cℓe1 · · · e2n = 0 como se buscaba. A partir de este sencillo resultado deducimos que la conexión spin preserva la descomposición quiral ΣC n ( M2n, g ) = ΣC + ( M2n, g ) ⊕ ΣC − ( M2n, g ) en el sentido de que ∇̃g se parte como la suma directa ∇̃g = ∇̃+g ⊕ ∇̃−g de conexiones (5.6) ∇̃±g : Ω0(Mn; ΣC ± (Mn, g)) → Ω1(Mn; ΣC ± (Mn, g)) definidas en los sub-haces de quiralidad derecha a izquierda respectivamente. Esto se debe a que la ecuación ∇CℓΓ2n+1 C = 0 implica que la conexión spin ∇̃g conmuta con los proyectores 1/2 ( id± Γ2n+1 C ) asociados a la descomposición qui- ral del haz de espinores. La parte de quiralidad derecha ∇̃+g y la de quiralidad izquierda ∇̃−g de la conexión spin son conexiones unitarias pues la escisión quiral de la representación espinorial de Spin(2n), ∆C 2n = ∆C + ⊕ ∆C −, está inducida por representaciones unitarias de Spin(2n− 1). 6. EL OPERADOR DE DIRAC 79 6. El Operador de Dirac Definición 6.1. Supongamos que Mn es una variedad Spin(n) dotada de una métrica riemanniana g. Sea ΣC n (M n, g) el haz de espinores Mn y ∇̃g la conexión Spin(n) asociada a g. El operador de Dirac /D : Γ ( ΣC (Mn, g) ) → Γ ( ΣC (Mn, g) ) está definido por la composición (6.1) Ω0(M4; ΣC n (M n, g)) ∇̃g −→ Ω1(M4; ΣC n (M n, g)) /c−→ Ω0(M4; ΣC n (M n, g)) donde /c es la contracción inducida por el producto de Clifford con los elementos de una base ortonormal local de 1-formas {eµ | 1 ≤ µ ≤ n}. En otras palabras, la expresión local del operador de Dirac se lee (6.2) /Dψ = eµ · ∇̃g µ ψ para cualquier campo espinorial ψ ∈ Γ ( ΣC (Mn, g) ) . La definición del operador de Dirac admite diversas generalizaciones. Por ejem- plo, podemos hablar del operador de Dirac para cualquier Spin(n)-haz S → Mn y su correspondiente modulo de Clifford. Otra extensión posible, que de hecho es relevante para nosotros, es el de una variedad SpinC(n). La definición requiere la siguiente precisión. Como hemos visto, un SO(n)-haz vectorial E → Mn admite una estructura SpinC(n) si y solo si existe un haz de lineas complejo L → Mn, llamado haz determinante de la estructura SpinC(n), que satisface w2(E) ≡ c1(L) mód 2. También hemos probado que toda 4-variedad orientable es SpinC(4) y que el haz de espinores asociado tiene la forma ΣC 4 (M 4, g) ⊗ √ L, donde √ L → Mn y ΣC 4 (M 4, g) solo están definidos localmente. Estos espacios son ejemplos de G-haces vectoriales virtuales, en el sentido de que están definidos por los mismos datos que un haz vectorial pero sus funciones de transición (con valores en el grupo G) no necesariamente satisfacen las condiciones de cocíclo. Como cualquier conexión en un G-haz vectorial es un operador local, podemos extender la noción de G-conexión para incluir a los G-haces vectoriales virtuales y así poder hablar de G-conexiones en haces vectoriales virtuales. Consideremos es el haz dual al haz tangente complexificado T ∗ C Mn que defi- nimos en la página 75 y denotemos por Ωp C (Mn; ΣC n (M n, g) ⊗ √ L) al conjunto de secciones suaves del haz de formas diferenciales complejas con coeficientes en el haz de espinores, esto es Ωp C (Mn; ΣC n (M n, g)⊗ √ L) := Γ ( ΛpT ∗ CM n ⊗C ΣC n (M n, g) ) . Note que el conjunto de 1-formas complejas actúa por multiplicación de Clifford en el haz de spinores. Dada una 1-forma con coeficientes complejos A = Aµe µ y un campo espinorial ψ ∈ Γ(ΣC n (M n)) se tiene que (6.3) A · ψ := (Aµe µ) · ψ. Similarmente, se tiene una acción por multiplicación de Clifford de Ω2(Mn; iR) sobre las secciones del haz de espinores. Dada una 2-forma ω = 1/2ωµνe µ ∧ eν y un espinor ψ definimos (6.4) ω · ψ := 1 2 ωµν ad −1(eµ ∧ eν) · ψ = 1 4 ωµν e µeν · ψ. 80 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC El factor adicional de 1/2 viene del isomorfismo ad : spin(n) → so(n) presentado en el corolario 3.5 en la página 16. Con estas aclaraciones en mente hacemos la siguiente Definición 6.2. Supongamos que (M4, g) es una variedad orientable con al- guna estructura SpinC(4). Consideremos una conexión unitaria A en el haz virtual determinante √ L → M4 asociado a la estructura SpinC(4) de M4. Definimos el operador de Dirac torcido por la conexión A (6.5) /DA : Ω0(M4; ΣC 4 ( M4, g ) ⊗ √ L) −→ Ω0(M4; ΣC 4 ( M4, g ) ⊗ √ L). Como el operador de Dirac asociado a la conexión ∇A := ∇̃g⊗A. Es decir, /DA está definido como antes por la composición /c ◦ ∇̃g ⊗A. Más adelante daremos algunos ejemplos del operadores de Dirac; pero antes vamos a establecer un resultado que nos dice que el operador de Dirac torcido por cualquier conexión es un concepto bien definido. Para esto hacemos la siguiente Observación 6.3. El haz de espinores ΣC 4 ( M4, g ) es un haz complejo, por tanto podemos identificar una sección ψ⊗z del haz ΣC 4 ( M4, g ) ⊗ √ L con la sección zψ. Bajo esta identificación, la matriz de conexión asociada a ∇A toma la forma ω+A idΓ(ΣC 4 (M4,g)) 14, donde ω y A son las matrices correspondiente a las conexión spin y a la conexión unitaria en el haz determinante de la estructura SpinC(4). Por lo tanto, las expresiones que determinan la acción de los operadores de Dirac se leen /D zψ = dz · ψ + z /Dψ(6.6) /DA ψ = /Dψ +A · ψ(6.7) /DA zψ = dz · ψ + z /DA ψ.(6.8) Proposición 6.1. Los operadores /D y /DA están bien definidos. Demostración. Básicamente debemos probar que los operadores de Dirac definidos arriba no dependen de la elección de base {eµ | 1 ≤ µ ≤ n} usada para determinar su expresión local. Cada forma êν en cualquier otra base ortonormal está relacionado con los generadores originales mediante la relación êν = T ναe α, donde T = (T να ) es una función matricial con valores en el grupo especial ortogonal SO(n) que está definida en la trivialización local asociada al comarco {eµ | 1 ≤ µ ≤ n}. Denotemos por un momento como /̂D al operador de Dirac calculado en las coordenadas asociadas a êν . Usando las propiedades de linealidad que tiene cualquier conexión ∇ junto con la bilinealidad del producto de Clifford vemos que /̂D = êν · ∇̃g T ν β eβ = T ναe α · ( T νβ ∇̃g β ) = ( T ναT ν β ) eα · ∇̃g β . 14En general, si ω y ω̃ son matrices asociadas a conexiones ∇ y ∇̃ en haces vectoriales E y E respectivamente, entonces la matriz de conexión de ∇⊗∇̃ es precisamente ω⊗ idΓ(E)+idΓ(E)⊗ ω̃. 6. EL OPERADOR DE DIRAC 81 Ahora, es claro que T ναT ν β es la componente (α, β) del producto T tT . Como T ∈ SO(n), se tiene que T ναT ν β = δαβ . Por tanto ( T ναT ν β ) eα · ∇̃g β = eβ · ∇̃g β . Es decir, el operador de Dirac en las coordenadas con gorro coincide con el operador de Dirac en las coordenadas originales. Esto muestra que el operador de Dirac está bien definido. El cálculo para demostrar que el operador de Dirac torcido está bien definido es exactamente el mismo que acabamos de realizar.  Recordemos que la representación espinorial compleja ∆C k se escinde como la suma directa de dos representaciones cuando k es par. Dichas representaciones defi- nen a los espinores de quiralidad izquierda y derecha. Más aún, esta descomposición induce una escisión por subhaces ΣC 2n ( M2n, g ) = ΣC + ( M2n, g ) ⊕ ΣC − ( M2n, g ) que fibra a fibra corresponden con la descomposición quiral de la representación espinorial compleja. También hemos visto en la ecuación (5.6) en la página 78 que la conexión Spin(n) se parte en la suma directa de dos conexiones que preservan la descomposición quiral del haz de espinores. Denotemos por ∇̂g ± a las conexiones en ΣC ± ( M2n, g ) . Con todo esto, podemos definir las componentes quirales /D ± y /D ± A de los operadores de Dirac /D ± := /c ◦ ∇̂g ± /D ± A := /c ◦ ∇̂g ± ⊗A. Usando que al multiplicar un espinor por cualquier elemento de la parte impar del álgebra de Clifford intercambiamos la quiralidad del espinor junto con el hecho de que las conexiones ∇̃g ± preservan la quiralidad, es fácil ver que los operadores de Dirac toma la forma /D = ( 0 /D − /D + 0 ) , /DA = ( 0 /D − A /D + A 0 ) .(6.9) Ejemplo 6.1. Supongamos que M4 = R4 con coordenadas locales (x0, . . . , x3) está dotado de la métrica euclidiana usual g = δµν dx µ ⊗ dxν . Como R4 es contráctil, todos los grupos de cohomología en dimensiones mayores a cero se anulan. En particular H2(R4) = 0 y así R4 es trivialmente una variedad SpinC(4). De hecho, el haz tangente de R4 es trivial. Esto implica que el haz de espinores ΣC 4 ( R4, g ) es isomorfo al haz trivial R4 × C4. De esta manera, tenemos que los generadores {γ0, . . . , γ3} del álgebra de Clifford Cℓ(4) son constantes que se pueden identificar con las matrices γµ = ( 0 σµ −σµ 0 ) donde σµ son las matrices de Pauli σ0 = ( 1 0 0 1 ) , σ1 = ( 0 1 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) , σ3 = ( 1 0 0 −1 ) . Como las componentes de la métrica euclidiana son constantes con valores δµν , los símbolos de Christoffel asociados a la conexión métrica de R4 son todos nulos. En 82 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC particular, la conexión spin ∇̃g queda determinada por la derivada exterior usual. Por lo tanto, el operador de Dirac /D = γµ∂µ asociado a la estructura canónica Spin(4) sobre R4 tiene la forma (6.10) ( 0 σµ∂µ σµ∂µ 0 ) , donde σµ∂µ = ( ∂0 + ∂3 ∂1 − i∂2 ∂1 + i∂2 ∂0 − ∂3 ) determina las componentes izquierdas y derechas del operador de Dirac. La relación {γµ, γν} = −2δµν implica que /D 2 = (γµ∂µ) (γ ν∂ν) = γµγν∂µ∂ν = (γµ)2∂2µ + ∑ µ 6=ν γµγν∂µ∂ν = (γµ)2∂2µ. Es decir, el cuadrado del operador de Dirac es igual al operador matricial    −∆ . . . −∆    donde ∆ es el operador Laplaciano ∂21 + · · ·+∂24 que actúa en funciones suaves con valores reales. Ejemplo 6.2. Las matrices σ1, σ2 definidas en el ejemplo anterior generan una copia de Cℓ(2). Por lo tanto, el operador de Dirac /∂ correspondiente al espacio euclidiano (R2, g) generado por los vectores e1, e2 está determinado por el operador de Cauchy-Riemann ∂ = 1 2 (∂1+ i∂2) y su operador conjugado complejo ∂ = 1 2 (∂1− i∂2). Explícitamente, (6.11) /D = 2 ( 0 ∂ ∂ 0 ) . Recuerde que una función f : C → C es holomorfa si y solo si ∂f = 0; es decir, f está en el núcleo del operador de Cauchy-Riemann. Como el haz de espinores sobre R2 es el haz trivial R2 ×C2, tenemos que una sección ψ ∈ Γ(ΣC 2 ( R2, g ) ) está determinada por una pareja de funciones suaves χ1, χ2 : R2 → C. Así, la ecuación de Dirac /∂ψ = 0 para un campo espinorial libre es equivalente al sistema ∂χ1 = 0 ∂χ2 = 0. En otras palabras, χ1 es una función anti-holomorfa y χ2 es holomorfa. De esta manera vemos que la geometría espinorial en R2 generaliza el calculo diferencial de una variable compleja. Si consideramos una conexión unitaria A = 1 2 ia sobre cualquier haz de lineas L→ R2 obtenemos que el operador de Dirac con coeficientes en L es (6.12) /∂A = 2 ( 0 ∂ −A ∂ +A 0 ) 6. EL OPERADOR DE DIRAC 83 El siguiente ejemplo, que enunciamos a manera de proposición por que nos sera útil más adelante, es de hecho un poco más general que los ejemplos que hemos discutido hasta el momento. Para entenderlo requerimos extender la definición que dimos del operador de Dirac torcido. Consideremos una 4-variedad riemanniana (M4, g). Sean E →M4 un G-haz vectorial con una G-conexión ∇ arbitraria. Defi- nimos el operador de Dirac con coeficientes en E (o torcido por ∇) como el operador de Dirac asociado a la conexión ∇̃g ⊗∇. Proposición 6.2. Sea (M4, g) una 4-variedad riemanniana cerrada y orienta- da. Consideremos la conexión ∇̂g⊗(∇̂g)∗ inducida por la conexión espinorial usual ∇̃g en el haz de endomorfismos del haz de espinores EndC ( ΣC 4 ( M4, g )) ≃ ΣC 4 ( M4, g ) ⊗C ΣC 4 ( M4, g )∗ . Entonces el operador de Dirac torcido por la conexión ∇̂g ⊗ (∇̂g)∗ se identifica naturalmente con el operador d+ δ : ΛT ∗M4 → ΛT ∗M4. Demostración. Recordemos que el teorema 4.4 nos dice que la representación espinorial compleja induce un isomorfismo entre CℓC(4) y el álgebra de endomorfis- mos EndC ( ΣC(4) ) . Como EndC ( ΣC(4) ) se identifica naturalmente con el producto de ΣC 4 y su espacio dual, vemos que las posibles obstrucciones a la existencia del haz de espinores se cancelan al considerar el producto ΣC 4 ( M4, g ) ⊗C ΣC 4 ( M4, g )∗ ≃ EndC ( ΣC 4 ( M4, g )) ≃ CℓC(TM4, g). Por lo tanto, CℓC(TM4, g) →M4 es un haz bien definido para toda 4-variedad orientada. Ya que CℓC(TM4, g) = ΛTM4 como haces vectoriales reales, debemos identificar el haz tangente con el haz cotangente usando la métrica riemanniana. Esto se logra de la siguiente manera; si v ∈ TM4 definimos la 1-forma θv := g(v, ◦) que se evalúa en un vector tangente w para producir una función suave con valores reales θv(w) = g(v, w). En coordenadas, este isomorfismo se reduce a bajar los índices de las componentes de v = vνeν por medio de las entradas gµν del tensor métrico, es decir, θv tiene coordenadas vµ = gµνv ν respecto a la base dual eµ = g(eµ, ◦). Veamos que la derivada exterior d : Ωp(M4) → Ωp+1(M4) se puede escribir como θµ ∧ ∇µ, donde ∇ es la conexión inducida por la conexión de Levi-Civita de (M4, g) en la p-ésima potencia exterior del haz cotangente ΛpT ∗M4 y θν es una base ortonormal dual (respecto del isomorfismo inducido por la métrica) al marco local eµ ∈ Γ(TM4). Es fácil ver que esta elección de marcos garantiza que el operador θν ∧∇ν es invariante bajo la acción de SO(4), el grupo estructural del haz cotangente. En particular, θµ ∧∇µ es un operador global bien definido. Ahora, para una 0-forma suave f :M4 → R, se tiene por definición que ∇νf = df(eν) = eνf . Pasando al marco inducido por coordenadas xµ tales que dxµ es un marco ortonormal, obtenemos que dxν ∧∇ν(f) = df(∂ν)dx ν = ∂νfdx ν = df . Ahora notamos que ∇ es libre de torsión para cada p; en el caso particular de p = 1 esto significa que todos los símbolos de la conexión Γαµν son simétricos respecto a los índices (µ, ν). De manera que dxν ∧∇ν(dx α) = Γαµνdx ν ∧ dxµ = 0 y por tanto para cualquier 1-forma ω = ωαdx α tenemos dxν ∧∇ν(ω) = dxν ∧ (∂νωβ + ωαΓ α νβ)dx β = ∂νωβdx ν ∧ dxβ = dωβ ∧ dxβ = dω. Para probar que el operador θν ∧ ∇ν coincide con la derivada exterior en las formas de grado mayor a 1, factorizamos cualquier p-forma, con p ≥ 2, como el 84 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC producto de una 1-forma ω y una p− 1-forma ϑ y después aplicamos el método de inducción sobre la dimensión de la forma. Este argumento inductivo nos dice que es suficiente mostrar que θν ∧∇ν satisface la regla de Leibniz d(ω ∧ ϑ) = dω + (−1)degω ω ∧ dϑ. Esta afirmación se verifica inmediatamente θν ∧∇ν(ω ∧ ϑ) = θν ∧ [(∇νω) ∧ ϑ+ ω ∧ (∇νϑ)] = (θν ∧∇νω) ∧ ϑ+ (−1)degω ω ∧ (θν ∧∇νϑ) . El operador δ : Ωp(M4) → Ωp−1(M4) es por definición el adjunto de la derivada exterior respecto al producto L2 en p-formas definido por la ecuación (4.27) en la página 70. Consideremos α ∈ Ωp(M4) y β ∈ Ωp+1(M4). Por la primera parte de este ejemplo, tenemos que (α, dβ)L2 = ∫ M4 g(α, θν ∧∇νβ). Usando las definiciones se puede demostrar que para toda q-forma α, los ope- radores de contracción αx: Ωp(M4) → Ωp−q(M4) y de multiplicación exterior α∧ : Ωp(M4) → Ωp+q(M4) son adjuntos respecto de la métrica inducida en Ω∗(M4) por la métrica riemanniana g; esto es, g(αxω, β) = g(ω, α ∧ β) para cualquier otra forma β de dimensión tal que degω = q + degβ. De esto se sigue que ∇ν es una derivación con respecto de la contracción con α. En efecto, como ∇ es compatible con la métrica, tenemos por una parte que (6.13) ∂νg(ω, α ∧ β) = ∂νg(αxω, β) = g(∇ν [αxω], β) + g(αxω,∇νβ). La definición de ∇ garantiza que ∇ν(α ∧ β) = (∇να) ∧ β + α ∧ (∇νβ). Así tenemos por otra parte que ∂νg(ω, α ∧ β) = g(∇νω, α ∧ β) + g(ω, [∇να] ∧ β) + g(ω, α ∧ [∇νβ])(6.14) = g(αx∇νω, β) + g([∇να]xω, β) + g(αxω,∇νβ). La afirmación se sigue de comparar la ecuación (6.13) con la ecuación (6.14). Usando estos resultados podemos reescribir el producto (α, dβ)L2 de la siguiente manera ∫ M4 g(α, θν ∧∇νβ) = ∫ M4 g(θνxα,∇νβ) = ∫ M4 ∂νg(θ ν xα, β)− g(∇ν [θ ν xα], β) = ∫ M4 ∂νg(θ ν xα, β)(∂ν)− g([∇νθ ν ]xα, β)− g(θνx[∇να], β). Definiendo para cada 1 ≤ ν ≤ 4 la función real ων := g(θνxα, β) vemos que la 1-forma ω = ωνdx ν determina la 4-forma exacta d ⋆ ω que coincide con ∂νg(θ νxα, β)dx1 ∧ · · · ∧ dx4. Por tanto, la integral del primer término es idéntica- mente cero. La integral de g(∇νθ νxα, β) también se anula ya que en cada punto p ∈ Mn existe un sistema de coordenadas tal que ∇νθ ν(p) = 0. De esta manera vemos que (α, dβ)L2 = (−θνx∇να, β)L2 . La unicidad de los operadores adjuntos implica que δ = −θνx∇ν . 6. EL OPERADOR DE DIRAC 85 Finalmente, bajo el isomorfismo Cℓ(TM4, g) ≃ EndC ( ΣC 4 ( M4, g )) la conexión ∇̃g ⊗ (∇̃g)∗ se corresponde con la conexión de Clifford ∇Cℓ definida en la página 77. Por lo tanto, el operador de Dirac con coeficientes en Cℓ(TM4, g) se lee (6.15) eν · ∇̃g ν ⊗ ∇̃g ν 7→ θν · ∇Cℓ ν = (θν ∧ −θνx)∇ν = d+ δ  Los ejemplos anteriores destacan algunas de las propiedades más importantes del operador de Dirac. Primero, /D es un operador diferencial de primer orden definido en cualquier variedad riemanniana (Mn, g) que en coordenadas geodésicas normales toma la forma 6.10. Segundo, el operador de Dirac es la raíz de un cierto operador diferencial de segundo orden. En el caso del espacio plano, este operador está determinado por el Laplaciano escalar. Finalmente, el operador de Dirac torcido por el haz de espinores coincide con el operador d+ δ, que como veremos en breve, codifica cierta información cohomológica de la variedad donde está definido. Estos ejemplos particulares sugieren la posibilidad de generalizar estas propiedades. Proposición 6.3. Supongamos que (Mn, g) es una variedad riemanniana ce- rrada y orientable con una estructura Spin(n) o SpinC(n). Entonces los operadores de Dirac /D y /DA son formalmente auto-adjuntos (χ, /Dψ)L2 = ( /Dχ,ψ)L2(6.16) (χ, /DA ψ)L2 = ( /DA χ, ψ)L2(6.17) respecto al producto L2 inducido en el haz de espinores por el producto interno definido fibra a fibra como en la proposición 4.5 en la página 25. Demostración. Alrededor de cualquier punto p ∈ Mn existe un sistema de coordenadas locales tal que los símbolos de cualquier conexión se anulan en p. En particular, los símbolos de Christoffel ∇g νe µ = 0 en p. Denotemos por 〈 , 〉 el producto interno en las fibras del haz de espinores para el cual las representaciones espinoriales ∆n y ∆C n actúan por isometrias. Con esta elección de coordenadas tenemos que en el punto p 〈χ, /Dψ〉 = 〈χ, eµ · ∇̃g µ ψ〉 = −〈eµ · χ, ∇̃g µ ψ〉 = 〈∇̃g µ(e µ · χ), ψ〉 − ∂µ〈eν · χ, ∇̃g ν ψ〉 = 〈(∇g µe µ) · χ, ψ〉+ 〈eµ · ∇̃g µ χ, ψ〉 − ∂µ〈eν · χ, ∇̃g ν ψ〉 = 〈 /Dχ,ψ〉 − ∂µ〈eν · χ, ∇̃g ν ψ〉. Note que hemos usado la identidad (5.4) de la proposición 5.1 en la página 77. Integrando ambos lados de la igualdad anterior y cancelando la integral del término de frontera −∂µ〈eν ·χ, ∇̃g ν ψ〉 se obtiene el resultado. La afirmación correspondiente para /DA se deduce notando que A, al ser una conexión unitaria, está representada por una 1-forma con coeficientes Aµ puramente imaginarios, por lo tanto 〈χ,Aµeµ · ψ〉 = Aµ〈χ, eµ · ψ〉 = −Aµ〈−eµ · χ, ψ〉 = 〈Aµeµ · χ, ψ〉. Así, 〈χ, /DA ψ〉 = 〈χ, /D ψ〉+ 〈χ,A ·ψ〉 = 〈 /D χ,ψ〉+ 〈A ·χ, ψ〉 = 〈 /DA χ, ψ〉.  86 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Corolario 6.1. Si Mn es de dimensión par y admite una estructura Spin(n) o una estructura SpinC(n), entonces los operadores /D ± y /D ± A asociados a la des- composición quiral del haz de espinores son mutuamente adjuntos, es decir; ( /D + )† = /D − (6.18) ( /D + A) † = /D − A .(6.19) Demostración. Sean O : V → V y Q : W → W una pareja de operadores lineales. Consideremos la transformación lineal L : V ⊕W → V ⊕W dada por ( 0 O Q 0 ) . Es fácil ver que el adjunto de L, denotado por L†, es igual a ( 0 Q† O† 0 ) . En particular, si L es auto-adjunto, vemos que Q† = O. En dimensiones pares, los operadores de Dirac /D y /DA tiene la forma del operador L (ver (6.9)). El resultado se sigue de la proposición anterior.  La siguiente fórmula relaciona la curvatura de la conexión ∇A = ∇̃g⊗A con el cuadrado del operador de Dirac /D 2 A = /D † A /DA. Esta identidad de tipo Bochner nos será de gran ayuda para estudiar la naturaleza de las soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten. Proposición 6.4 (Fórmula de Weitzenböck). Sea (Mn, g) como en la proposi- ción anterior. Denotemos por R a la curvatura escalar de la conexión de Levi-Civita en TM4 y por FA a la curvatura de una conexión unitaria A asociada al haz de- terminante de la estructura SpinC(n). Entonces para todo campo de espinores ψ, el operador de Dirac /DA satisface la identidad (6.20) /D 2 A ψ = (∇A)† ∇A ψ + 1 4 Rψ + 1 2 FA · ψ donde (∇A)† es el adjunto L2 de la conexión ∇A y FA · ψ es la acción por multiplicación de Clifford de la 2-forma de curvatura sobre ψ. En particular, si la variedad Mn solo tiene estructura Spin(n) la fórmula de Weitzenböck se reduce a la identidad de Lichnerowicz (6.21) /D 2 ψ = (∇̃g)t ∇̃g ψ + 1 4 Rψ. Demostración. Fijemos un punto p ∈Mn y un sistema de coordenadas nor- males definidas en una vecindad U de p. Consideremos {ei} y {ei} marcos ortonor- males duales definidos en U . Entonces para todo punto en la vecindad normal de p se tiene que /D 2 A ψ = eµ∇A µ ( eν∇A ν ψ ) = eµ [ (∇µe ν)∇A ν ψ + eν∇A µ∇A ν ψ ] = ∑ µ eµeµ∇A µ∇A µψ + ∑ µ<ν eµeν [∇A µ ,∇A ν ]ψ. 6. EL OPERADOR DE DIRAC 87 Por la observación 4.3 en la página 65 sabemos que el conmutador [∇A µ ,∇A ν ] está determinado por las componentes F ijµν de la curvatura F∇A asociada a la conexión ∇A mediante la expresión F ijµνsi ⊗ sj = Fijµνs i ⊗ sj donde {si⊗sj} es una base local para el haz de endomorfismos del haz de espi- nores. De hecho, F∇A es una 2-forma con valores en el álgebra de Lie de SpinC(4), que es isomorfa a Cℓ0(4)⊕ iR. En particular, los elementos si ⊗ sj son de la forma eiej . Como ∇A se obtiene acoplando la conexión spin ∇̃g con la conexión unitaria A, se tiene que la matriz de conexión asociada a ∇A toma la forma ω̃ + A, con ω̃ la matriz de la conexión spin; por lo tanto, Fijµν es la suma del tensor de cur- vatura R̃ijµν de la conexión spin y la curvatura de la conexión unitaria en el haz determinante δij(FA)µν . Como la curvatura de la conexión spin toma valores en el álgebra de Lie de Spin(n), deducimos que R̃ijµν es anti-simétrico en los índices (i, j). Usando que ∑ µ<ν(FA)µνe µeν · ψ = 1 2FA · ψ, obtenemos que /D 2 A ψ = − ∑ µ ∇A µ∇A µψ + ∑ µ<ν R̃ijµν e µeνeiej ψ + 1 2 FA · ψ. Usando que R̃ijµν está relacionado con el tensor de Riemann Rijµν de la co- nexión de Levi-Civita por medio de la identidad 2R̃ijµν = Rijµν junto con las propiedades de antisimetría en los índices (i, j) y (µ, ν) así como la simetría del tensor de Riemann Rijµν = Rµνij , podemos reescribir el segundo término en la ecuación anterior como ∑ µ<ν R̃ijµν e µeνeiej = −1 8 ∑ i,j,ν,µ Rjiµνe µeνeiej = −1 8 ∑ j ( ∑ i 6=µ 6=ν Rjiµνe µeνei + ∑ i=µ µ 6=ν Rjµµνe µeνeµ + ∑ i=ν µ 6=ν Rjνµνe µeνeν ) ej . Es fácil ver que la identidad Rjiνµ +Rjνµi +Rjµiν = 0 implica que ∑ i 6=µ 6=ν Rijνµe µeνei = 0 . 88 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Ahora usamos de nueva cuenta la simetría Rjµµν = Rµνjµ para simplificar los términos restantes. Para esto vamos a suponer que µ y ν toman valores distintos. ∑ j,µ,ν ( Rjµµνe µeνeµ +Rjνµνe µeνeν ) ej = ∑ j,µ,ν ( −Rjµµνeνeµeµ +Rjνµνe µeνeν ) ej = ∑ j,µ,ν Rjµµνe νej +Rjννµe µej = 2 ∑ j,µ,ν Rjµµνe νej = 2 ∑ µ,ν Rµνµνe νeν = −2R. Por lo tanto, ∑ µ<ν R̃ijµν e µeνeiej = 1 4R. En [32] se identificar el termino −∑µ∇A µ∇A µ con el operador (∇A)†∇A. Finalmente, la formula de Lichnerowicz (6.21) se obtiene observando que el operador de Dirac /D desacoplado de la conexión A tiene curvatura FA idénticamente nula.  Otra propiedad analítica que comparten los operadores de Dirac /D y /DA es que ambos son ejemplos de operadores elípticos de primer orden. Recordemos que la definición un operador diferencial de orden k, digamos D : Γ(E) → Γ(E), requiere que la iteración de k conmutadores [. . . [D, f1], . . . , fk] ∈ Hom(E, E) es un morfismo no trivial de haces vectoriales para toda k-tupla de funciones suaves con valores reales (f1, . . . , fk). El conmutador que aparece en arriba se define inductivamente como sigue. Para cada función suave f y cada sección s ∈ Γ(E), [D, f ]s := D(fs)− fDs. Por ejemplo, consideremos E = ΛpT ∗Mn, E = Λp+1T ∗Mn y D la derivada exterior d. Si f ∈ C∞(Mn,R) y ω es cualquier p-forma, entonces [d, f ]ω = df ∧ ω. Por lo tanto, [d, f ] es el morfismo de haces df∧◦, que es no trivial en cada dimensión. Esto muestra que la derivada exterior es un operador diferencial de primer orden. De manera análoga se verifica que cualquier conexione ∇ es un ejemplo de operador diferencial de primer orden, puesto que [∇, f ]s = df ⊗ s. El símbolo de un operador diferencial está dado por (6.22) σk(D)(f1, . . . , fk) := 1 k! [. . . [D, f1], . . . , fk]. Si E y E son haces vectoriales complejos, el símbolo de un operador diferencial D : Γ(E) → Γ(E) es (6.23) σC k (D) = ik σk(D). En [33] se demuestra que un operador diferencial cumple con las siguientes pro- piedades; a) es totalmente simétrico; es decir, es invariante bajo permutaciones de los argumentos (f1, . . . , fk) y b) solo depende de las 1-formas ξi = dfi. Note que (a) y (b) implican que el símbolo de cualquier operador diferencial está completamente determinado por su valor en el producto simétrico de k copias de ξ = df , es decir en la sección ξk = ξ ⊙ · · · ⊙ ξ. Finalmente, decimos que un operador diferencial D es elíptico si su símbolo es un isomorfismo para toda ξ 6= 0. Los símbolos de los operadores de Dirac /D y /DA están dados por el producto de Clifford. Sea (Mn, g) una variedad riemanniana con una estructura Spin(n) o 6. EL OPERADOR DE DIRAC 89 SpinC(n), ξ una 1-forma en Mn con coeficientes complejos y ψ un campo suave de espinores. Entonces σC 1 ( /D)(ξ)ψ = σC 1 ( /DA)(ξ)ψ = iξ · ψ. Note que hemos usado la linealidad sobre las funciones de la 1-forma A para cancelar el término [A, f ]ψ. Como ξ · ξ = −g(ξ, ξ) es distinto de cero si ξ 6= 0, los símbolos asociados a los operadores de Dirac son inveritibles, mostrando así que /D y /DA son operadores elípticos de primer orden como se había afirmado. Los operadores elípticos asociados a haces vectoriales sobre variedades compac- tas son especialmente importantes, pues son ejemplos importantes de una familia de operadores llamados de Fredholm15. Supongamos que Mn es compacta y orien- table. Sea D : Γ(E) → Γ(E) un operador elíptico F-lineal, donde F denota por igual al campo de los números reales o complejos. El índice de D, denotado por IndF D, se define como la diferencia entre las dimensiones (respecto a F) del núcleo y del conúcleo de D. IndF D = dimF KerD − dimF CokerD. Recuerde que el conúcleo se define como el cociente Coker := Γ(E)/ImD. Si D∗ es el adjunto de D, existe un isomorfismo canónico entre el núcleo de D∗ y el conúcleo de D. En particular (6.24) IndF D = dimF KerD − dimF KerD∗. El célebre teorema de índice de Atiyah-Singer [2] relaciona el índice de cual- quier operador elíptico D con información topológica de Mn. Más precisamente, el enunciado del teorema establece que IndCD se puede calcular evaluando en la clase fundamental [Mn] el término de dimensión n que resulta de multiplicar, en el anillo de cohomología racional H∗(Mn;Q), la clase de Todd T(Mn) y el cáracter de Chern Ch(D) asociado a D. Por ejemplo, el operador de Dirac asociado al haz de álgebras de Clifford de una 4-variedad cerrada y orientada M4 siempre es elíptico y por tanto tiene un índice bien definido. De hecho, haciendo uso de la proposición 6.2 en la página 83 vamos a demostrar que Proposición 6.5. El índice de la parte derecha de operador de Dirac, denotada por (d + δ)+ : Ω+(M4) → Ω−(M4) coincide con la característica de Euler de la variedad χ(M4). Es decir (6.25) IndR(d+ δ)+ = 4∑ k=0 (−1)k bk(M 4). Demostración. El isomorfismo CℓC(TM4, g) ≃ ΛT ∗M4 como haces vecto- riales reales se promueve a un isomorfismo de álgebras tal que Ω1(M4) · Ωpar ⊂ Ωimpar(M4) Ω1(M4) · Ωimpar ⊂ Ωpar(M4). Es decir, la parte par (impar) del haz de álgebras de Clifford corresponde exac- tamente con el subespacio Ωpar(M4) (Ωimpar(M4)) respectivamente. Definiendo Ω+(M4) = Ω0(M4)⊕ Ω2(M4)⊕ Ω4(M4), Ω−(M4) = Ω0(M1)⊕ Ω3(M4). 15Un operador lineal entre espacios de Banach O : B → B̃ es de Fredholm si la imagen de O es un subespacio cerrado y tanto el núcleo como el conúcleo son de dimensión finita. 90 2. ESTRUCTURAS SPIN Y EL OPERADOR DE DIRAC Vemos que el operador d + δ preserva la graduación Ω+(M4) ⊕ Ω−(M4) del espacio de formas diferenciales. Así, tenemos que d + δ se escinde como la suma directa de los operadores (d+ δ)+ : Ω+(M4) → Ω−(M4), (d+ δ)− : Ω−(M4) → Ω+(M4). Es fácil ver que (d+ δ)+ es el adjunto de (d+ δ)−. Más aún, las equivalencias (d+ δ)ω = 0 ⇐⇒ dω = 0, δω = 0 ⇐⇒ (d+ δ)2ω = 0. Implican que el núcleo de (d + δ)+ se identifica con el espacio de formas ar- mónicas de dimensión par Hpar(M4). De la misma manera se tiene un isomorfismo Ker(d+ δ)− ≃ Himpar(M4). El teorema de Hodge establece que cada clase de coho- mologia admite un único representante armónico, es decir, en el núcleo de (d+ δ)2. En particular, Hp(M4) ≃ Hp dR(M 4) para cada p. Usando la expresión (6.24) junto con la discusión anterior concluimos que IndR(d+ δ)+ = dimR Ker(d+ δ)+ − dimR Ker(d+ δ)− = dimR Hpar(M4)− dimR Himpar(M4) = dimR ( H0(M4)⊕H2(M4)⊕H4(M4) ) − dimR ( H1(M4)⊕H3(M4) ) = b0(M 4) + b2(M 4) + b4(M 4)− b1(M 4)− b3(M 4) = χ(M4).  Para una 4-variedad orientable M4 con una estructura SpinC(4) asociada al haz determinante L → M4 podemos considerar el operador de Dirac con coeficientes en el haz virtual √ L→M4 /D + A : Γ ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) → Γ ( Σ̂C − ( M4, g ) ⊗ √ L ) . En [31] se demuestra que el índice del operador /D + A está dado por la signatura de la variedad, σ(M4), y la primera clase de Chern del haz determinante c1(L). Teorema 6.2. (6.26) IndC /D + A = −1 8 σ(M4) + 1 2 ∫ M4 c1(L) 2 En el ejemplo 6.2 vimos que la parte derecha del operador de Dirac en el plano es precisamente el operador de Cauchy-Riemann ∂ = 1 2 (∂1 + i∂2), que tiene como núcleo al conjunto de funciones holomorfas. Una propiedad bien conocida de las funciones holomorfas es que satisfacen el teorema de identidad, que establece que una función holomorfa definida en un dominio conexo D ⊂ R2 que se anula en un abierto propiamente contenido en D debe anularse idénticamente. Este resultado se extiende al conjunto de todos los operadores de Dirac acoplados a una conexión arbitraria de cualquier haz vectorial, cualquiera que esta sea. El lector interesado puede encontrar en [4] una sección completa dedicada a probar este resultado, conocido como propiedad de continuación única. Más adelante usaremos el siguiente caso particular. Teorema 6.3. Cualquier solución Ψ ∈ Γ(Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L) de la ecuación de Dirac /D − A Ψ = 0 que se anulé en un subconjunto abierto V ⊂ M4 debe anularse idénticamente sobre la componente conexa que contiene a V . Capítulo 3 Teoría de Seiberg-Witten En los capítulos anteriores hemos desarrollado la base teórica que finalmente nos permite introducir el tema central de este trabajo; las ecuaciones de Seiberg-Witten. Irónicamente, resulta particularmente difícil motivar el sistema de ecuaciones que estamos a punto de estudiar, principalmente por que este sistema tiene sus orígenes en trabajos de física teórica realizados en 1994 por Nathan Seiberg en colaboración con Edward Witten que, a primera vista, parecían estar totalmente desconecta- dos de los avances matemáticos de la época. En cierto sentido, las ecuaciones de Seiberg-Witten describen una versión dual de la teoría de instantones derivada de las ecuaciones de Yang-Mills. En lo que resta de este trabajo abordaremos las ecua- ciones de Seiberg-Witten desde un punto de vista geométrico y dejaremos de lado cualquier interpretación física posible. El lector puede encontrar en [22] y en [28] una explicación informal de como es que la teoría de Seiberg-Witten y la teoría de instantones, pensadas con el enfoque de la física teórica, se relacionan con la topolo- gía suave de las 4-variedades. Las aplicaciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten a la teoría de 4-variedades aparecieron originalmente en [43]. 1. Las Ecuaciones de Seiberg-Witten De ahora y en adelante, (M4, g) denota una 4-variedad riemanniana suave, cerrada, orientada, conexa y simplemente conexa, es decir, con π1(M 4) = 0. Esta condición sobre el grupo fundamental la satisface cualquier variedad riemanniana con curvatura de Ricci no negativa [16]. Por el teorema de Hirzebruch-Hopf, existe una estructura SpinC(4) con haz determinante L → M4 asociada M4. Sea A una conexión unitaria en L y consideremos un campo de espinores de quiralidad derecha ψ, es decir, una sección del haz Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L→M4. Recuerde que Σ̂C 4 ( M4, g ) ⊗√ L admite una métrica suave invariante bajo la acción de SpinC(4) definida en las fibras que se restringe a una métrica hermitiana 〈 , 〉 del haz de espinores derechos. Las ecuaciones de Seiberg-Witten determinan a la pareja (A,ψ), que por ahora elegimos al menos de clase C1, mediante la relación (S-W) /D + A ψ = 0 F+ A = −1 4 〈eµeνψ, ψ〉eµ ∧ eν , donde F+ A denota la parte auto-dual de la curvatura FA = dA asociada a la conexión A y {eµ}, {eµ} son marcos locales ortonormales mutuamente duales. Es fácil ver que el miembro derecho de la ecuación de curvatura es independiente de la elección de marcos ortonormales y por tanto representa un elemento de Ω2(M4). Proposición 1.1. La 2-forma η(ψ) := − 1 4 〈eµeνψ, ψ〉eµ ∧ eν tiene coeficientes puramente imaginarios y es auto-dual. 91 92 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN Demostración. Basta probar que 〈eµeνψ, ψ〉 = −〈eµeνψ, ψ〉 cuando los índi- ces µ y ν toman valores distintos. Si µ 6= ν entonces 〈eµeνψ,ψ〉 = −〈eνψ, eµψ〉 = 〈ψ, eνeµψ〉 = −〈ψ, eµeνψ〉 = −〈eµeνψ, ψ〉. Para ver que η(ψ) es invariante bajo el operador estrella de Hodge, hay que recordar que la acción del operador de Hodge en Λ2TM4 induce un automorfismo de Ω2(M4) que bajo el isomorfismo de cuantización eµ ∧ eν 7→ eµeν , corresponde con la acción por producto de Clifford del operador de quiralidad Γ5 C = −e1 . . . e4 en CℓC(4) (corolario 4.9 en la página 32). Así, vemos directamente de la expresión ⋆η(ψ) = −1 4 〈Γ5 C eµeνψ, ψ〉 ⋆ (eµ ∧ eν) que todos los posibles signos negativos que se obtiene del operador estrella se can- celan con los signos correspondientes al operador de quiralidad. Esto prueba que η(ψ) es aut-dual.  La proposición anterior garantiza que las ecuaciones de Seiberg-Witten están bien definidas globalmente. Más adelante vamos a hacer uso del siguiente resultado. Proposición 1.2. Para todo ψ ∈ Γ ( Σ̂C 4 ( M4, g ) ⊗ √ L ) se tienen las identi- dades | η(ψ) |2 = 1 2 |ψ |4(1.1) η(ψ) · ψ = 1 2 |ψ |2 ψ.(1.2) Demostración. Como η(ψ) es autodual, tenemos que η(ψ) ∧ η(ψ) = | η(ψ) |2 e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4. Un simple cálculo demuestra que η(ψ) ∧ η(ψ) = 1 2 ( Ω12Ω34 − Ω13Ω24 +Ω14Ω23 ) e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4, donde Ωij = 〈eiejψ,ψ〉 denota a la componente (i, j) de η(ψ). Así | η(ψ) |2 = 1 2 ( Ω12Ω34 − Ω13Ω24 +Ω14Ω23 ) . Recordemos que en la base Weyl (véase el ejemplo 2.8 en la página 10 y 4.21 en la página 32), la parte derecha del álgebra de Clifford CℓC(4) está generada por las matrices e1 = ( 1 0 0 1 ) , e2 = ( 0 −1 1 0 ) , e3 = ( 0 i i 0 ) , e4 = ( i 0 0 −i ) , note que {e2, e3, e4} forman una base para la representación real usual del álgebra de Lie su(2). En particular, se tiene las relaciones: e2e4 = e3 , e3e4 = −e2 , e2e3 = −e4. Por tanto | η(ψ) |2 = −1 2 ( 〈e2ψ,ψ〉2 + 〈e3ψ, ψ〉2 + 〈e4ψ, ψ〉2 ) 1. LAS ECUACIONES DE SEIBERG-WITTEN 93 Escribiendo a ψ como un vector de dos componentes (ψ1, ψ2)t se tiene que 〈e2ψ , ψ〉 = ψ1ψ2 − ψ1ψ2 〈e3ψ , ψ〉 = i ( ψ1ψ2 + ψ1ψ2 ) 〈e4ψ , ψ〉 = i (∣ ∣ψ1 ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ψ2 ∣ ∣ 2 ) . Así, ∑3 µ=2〈eµψ, ψ〉2 = − |ψ |4. Esto demuestra la identidad (1.1). Para de- mostrar la identidad (1.2) notamos que η(ψ) corresponde con el endomorfismo − 1 4 ∑ µ<ν Ωµνe µeν . Usando de nueva cuenta las relaciones: Ω23 = −Ω14 , Ω24 = Ω13 , Ω34 = −Ω12 junto con los cálculos hechos previamente se obtiene que −1 4 ∑ µ<ν Ωµνe µeν = −1 2 [ Ω12e 2 +Ω13e 3 +Ω14e 4 ] , es decir, la acción de la 2-forma η(ψ) en las secciones del haz de espinores está dada por el endomorfismo (1.3) 1 2 (∣ ∣ψ1 ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ψ2 ∣ ∣ 2 2ψ1ψ2 2ψ1ψ2 ∣ ∣ψ2 ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ψ1 ∣ ∣ 2 ) . De esto se sigue inmediatamente que η(ψ) · ψ = 1 2 |ψ |2 ψ como se afirmaba.  Observación 1.1. El endomorfismo (1.3) se puede escribir como la parte libre de traza del operador ψ ⊗ ψ que actúa en cualquier campo espinorial χ como ψ⊗ψ(χ) = 〈χ , ψ〉ψ. Explícitamente, la matriz (1.3) es la representación coordenada del endomorfismo (1.4) q(ψ) := ψ ⊗ ψ − 1 2 |ψ |2 id. Para fines de la teoría que estamos a punto de desarrollar es conveniente intro- ducir un parámetro adicional τ ∈ Ω2(M4; iR) que jugará el papel de una perturba- ción del sistema (S-W). Definición 1.1. Sea L→Mn el haz determinante de una estructura SpinC(4) para M4. Denotemos por ConU(1)(L) al espacio de conexiones unitarios en L y por Ω2 +(M 4; iR) al espacio de 2-formas auto duales con valores puramente imaginarios. Definimos la aplicación de Seiberg-Witten SWτ : ConU(1)(L)×Γ ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) −→ Γ ( Σ̂C − ( M4, g ) ⊗ √ L ) ×Ω2 +(M 4; iR), mediante la regla de correspondencia (1.5) SWτ (A,ψ) = ( /D + A ψ , F + A − η(ψ)− τ). Por comodidad introducimos la siguiente notación. El espacio de configuracio- nes para la estructura SpinC(4) asociada al haz determinante L → M4 se define como C(L) = ConU(1)(L)× Γ ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) . Similarmente, el rango del mapeo de Seiberg-Witten asociado a L es R(L) = Γ ( Σ̂C − ( M4, g ) ⊗ √ L ) × Ω2 +(M 4; iR). Hasta el momento no hay razón alguna para creer que las ecuaciones de Seiberg- Witten tienen solución para una 4-variedad arbitraria. De hecho, el resultado más 94 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN importante en la teoría consiste en demostrar que el espacio de soluciones a las ecua- ciones de Seiberg-Witten, modulo cierta simetría que presentamos en la siguiente sección, es una variedad suave, compacta y orientable de dimensión finita. Esto quie- re decir que para cualquier 4-variedad lisa, las ecuaciones de Seiberg-Witten siempre admiten familias enteras de soluciones relacionadas entre si por medio de la acción de un cierto de grupo. De manera muy general, adelantamos que las técnicas que permiten demostrar la existencia de soluciones a las ecuaciones (S-W) involucran el estudio del mapeo de Seiberg-Witten en una completación adecuada del espacio de configuraciones; este análisis impone ciertas condiciones de regularidad sobre las variables de SWτ . Por ahora presentamos algunos resultados preliminares que nos permiten en- tender el espacio de soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten en una clase particular de variedades riemannianas. Para esto únicamente se requieren configu- raciones (A,ψ) ∈ C(L) de clase C1. Definición 1.2. Consideremos como antes una 2-forma autodual con coefi- cientes puramente imaginarios τ ∈ Ω2 +(M 4; iR). La energía de una configuración (A,ψ) se define como (1.6) Eτ (A,ψ) = ∫ M4 ∣ ∣ ∣ /D + A ψ ∣ ∣ ∣ 2 + ∣ ∣F+ A − η(ψ)− τ ∣ ∣ 2 . ComoM4 es compacta, la energía de cualquier configuración (A,ψ) es finita. De esta manera tenemos definido un funcional Eτ : C(L) → R que a cada configuración (A,ψ) le asocia su energía Eτ (A,ψ). De ahora y en adelante nos referiremos a Eτ como el funcional de energía. Obviamente, las configuraciones que satisfacen las ecuaciones de Seiberg-Witten (1.7) SWτ (A,ψ) = 0 minimizan absolutamente el funcional de energía Eτ . Proposición 1.3. Para la perturbación τ = 0 el funcional de energía E0 sa- tisface la identidad (1.8) E0(A,ψ) = ∫ M4 | ∇Aψ |2 + ∣ ∣F+ A ∣ ∣ 2 + R 4 |ψ |2 + 1 2 |ψ |4 , donde R representa la curvatura escalar de (M4, g). Demostración. Por la fórmula de Weitzenböck (ecuación (6.20) en la pági- na 86), se tiene para todo campo espinorial ψ que (1.9) ∣ ∣ ∣ /D + A ψ ∣ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣∇Aψ ∣ ∣ 2 + R 4 |ψ |2 + 1 2 〈FA · ψ , ψ〉. Recodemos que FA se parte como suma directa de su componente dual F+ A y su componente anti-dual F− A . Además, los valores de F− A corresponden fibra a fibra con espinores de quiralidad izquierda. Usando que en dimensiones pares los espinores de quiralidad derecha son ortogonales (respecto del producto de Clifford) a los epinores de quiralidad izquierda (teorema 4.4 en la página 24) obtenemos que FA · ψ = F+ A · ψ. Por otra parte ∣ ∣F+ A − η(ψ) ∣ ∣ 2 = ∣ ∣F+ A ∣ ∣ 2 + | η(ψ) |2 − 2g ( F+ A , η(ψ) ) . 1. LAS ECUACIONES DE SEIBERG-WITTEN 95 Ahora, −2g ( F+ A , η(ψ) ) = − 1 4 〈eµeνψ , ψ〉g ( F+ A , eµ ∧ eν ) . Observe que el tér- mino g(F+ A , eµ∧eν) representa a las componentes (F+ A )µν de F+ A respecto del marco eµ ∧ eν . Así, −2g ( F+ A , η(ψ) ) = −1 4 ∑ µ,ν 〈(F+ A )µνeµeνψ , ψ〉 = −1 2 〈F+ A · ψ , ψ〉, cancela al término 1 2 〈F + A · ψ , ψ〉. Sumando la norma al cuadrado de /D + A ψ con la norma al cuadrado de F+ A − η(ψ), usando que | η(ψ) |2 = 1 2 |ψ |4 e integrando se obtiene la expresión (1.8).  Lema 1.1. Sea (A,ψ) una solución de las ecuaciones de Seiberg-Witten SW(A,ψ) = 0. Supongamos que |ψ | alcanza su máximo en un punto p ∈ M4; entonces ψ ≡ 0, o bien si ψ(p) 6= 0 se tiene la desigualdad (1.10) R(p) + |ψ |2 (p) ≤ 0 donde R denota, como antes, a la curvatura escalar de (M4, g). Demostración. Sea (A,ψ) es una solución a las ecuaciones de Seiberg-Witten (S-W) como en las hipótesis del lema. Usando la formula de Weitzenböck y tomando producto interno con ψ obtenemos la relación 〈ψ , (∇A)†∇Aψ〉+ R 4 |ψ |2 + 1 2 〈ψ , η(ψ) · ψ〉 = 0. Note que 〈ψ , η(ψ) · ψ〉 = 1 2 |ψ |4 (identidad (1.2)) implica que el término 〈ψ , (∇A)†∇Aψ〉 es real. Así, 〈ψ , (∇A)†∇Aψ〉 = 〈(∇A)†∇Aψ , ψ〉. Como ∇A pre- serva el producto interno en el haz de espinores, se tiene que − ∑ µ ∂2 ∂xµ∂xµ |ψ |2 = − ∑ µ 〈∇A µ∇A µψ , ψ〉 − 〈ψ , ∇A µ∇A µψ〉 − 2〈∇A µψ , ∇A µψ〉 = 〈(∇A µ ) †∇A µψ , ψ〉+ 〈ψ , (∇A µ ) †∇A µψ〉 − 2 ∑ µ ∣ ∣∇A µψ ∣ ∣ 2 = 2〈(∇A µ ) †∇A µψ , ψ〉 − 2 ∑ µ ∣ ∣∇A µψ ∣ ∣ 2 . Por lo tanto, 〈(∇A µ ) †∇A µψ , ψ〉 = ∆ |ψ |2+2 ∑ µ ∣ ∣∇A µψ ∣ ∣ 2 sobre toda la variedad. En la ecuación anterior, ∆ denota al laplaciano de Hodge −⋆d⋆d que en coordenadas locales está representado por el operador −∑µ ∂2 ∂xµ∂xµ . En particular, si p ∈ M4 es un máximo de |ψ | entonces ∆ |ψ |2 (p) ≥ 0. Estas consideraciones implican que R(p) 4 |ψ |2 (p) + 1 4 |ψ |4 (p) ≤ 0. Como p es un máximo de |ψ | y ψ 6≡ 0 podemos dividir la desigualdad anterior por el factor |ψ |2 (p) para obtener la desigualdad (1.10).  Corolario 1.2. Si (M4, g) es de curvatura escalar no negativa todas las solu- ciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten tienen ψ ≡ 0. Si además, b+2 (M 4) > 0, para una elección genérica de métrica riemanniana g, las soluciones a las ecuacio- nes de Seiberg-Witten en (M4, g) son conexiones planas y espinores ψ ≡ 0. 96 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN Demostración. Supongamos que (A,ψ) es una configuración que satisface las ecuaciones de Seiberg-Witten SW(A,ψ) = 0. Si la curvatura escalar de (M4, g) es no negativa, se sigue inmediatamente del lema anterior que ψ ≡ 0. Ahora, la teoría de Chern-Weil [49, 31] establece que la curvatura de cualquier conexión unitaria A representa a la primera clase de Chern c1(L) ∈ H2(M4;Z) ⊂ H2 dR(M 4;R) del haz determinante L→M4 (ver ejemplo 4.3 en la página 69). El factor de normalización 1/2πi hace que c1(L) = [1/2πiFA] sea una clase entera. Hemos visto que bajo las hipótesis del presente corolario cualquier solución suave a las ecuaciones de Seiberg- Witten es de la forma (A, 0); en este caso, la ecuación de curvatura se reduce a F+ A = 0. En particular; (1.11) [1/2πiFA] ∈ H2 −(M 4) ∩H2(M4;Z)/Torsión. La intersección H2 −(M 4) ∩H2(M4;Z)/Torsión es un conjunto de puntos aisla- dos. Esto se debe a que H2(M4;Z)/Torsión es una retícula1 que como espacio es una subvariedad de dimensión cero. En particular, H2 −(M 4) ∩H2(M4;Z)/Torsión es inestable bajo cambios en la métrica riemanniana de (M4, g). En contraste, la condición R ≥ 0 es estable bajo pequeñas perturbaciones genéricas de la métrica. Dado que por hipótesis H2 −(M 4) es un subespacio de codimensión b+2 (M 4) > 0, podemos elegir de manera genérica una métrica para M4 de curvatura escalar no negativa para mover H2 −(M 4) dentro de H2 dR ( M4;R ) tal manera que H2 −(M 4) ∩H2(M4;Z)/Torsión = 0. Esta condición implica que [F− A ] = 0 y así [1/2πiFA] = 0. En otras palabras, FA es una 2-forma exacta, i.e., FA = dB. Así, A − B es una conexión unitaria de curvatura FA−B = d(A − B) = 0 que resuelve las ecuaciones de Seiberg-Witten SW(A−B, 0) = 0.  Observación 1.3. El corolario 4.2 en la página 72 demuestra que H2 ±(M 4) es independiente (como conjunto) de la elección de métrica riemanniana para M4; sin embargo, al cambiar la métrica en M4 se modifican puntualmente todos los elementos de H2 ±(M 4). Por ejemplo, cambiando la métrica por un factor de escala λ : M4 → (0,∞) ⊂ R cambiamos la longitud de las 2-formas y esto puede afectar severamente las clase de cohomología en H2 ±(M 4). Para una perturbación τ distinta de cero, se tiene el siguiente Proposición 1.4. Para toda configuración (A,ψ) ∈ C(L) se tiene la identidad (1.12) Eτ (A,ψ) + 1 8 ‖ψ ‖2L2 = E0(A,ψ) + ∫ M4 F+ ∧ τ + | η(ψ)− τ |2 . Demostración. De nuevo, usando la formula de Weitzenböck y el hecho de que τ es auto-dual, se tiene tras un cálculo elemental que Eτ (A,ψ) = ∫ M4 ∣ ∣∇Aψ ∣ ∣ 2 + ∣ ∣F+ A ∣ ∣ 2 + R 4 |ψ |2 + F+ A ∧ τ + | η(ψ)− τ |2 = E0(A,ψ)− ‖ψ ‖2L2 + ∫ M4 F+ A ∧ τ + | η(ψ)− τ |2 para toda configuración (A,ψ).  1Sea V un espacio vectorial real y R ⊂ V . Decimos que R es una retícula generada por los elementos v1, v2, . . . si todo elemento de R es una combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . con coeficientes enteros. 2. EL GRUPO DE NORMA Y SU ACCIÓN EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIONES 97 La fórmula (1.12) nos dice que una configuración de la forma (A, 0), con A una conexión de curvatura anti-auto dual (instanton abeliano), no puede ser solución de las ecuaciones de Seiberg-Witten SWτ (A, 0) = 0 si τ es distinta de cero. De hecho, podemos asegurar que Corolario 1.4. Supongamos que M4 tiene b+2 (M 4) > 0. Entonces para toda elección de τ 6= 0, las ecuaciones (1.7) perturbadas por τ no admiten soluciones con ψ ≡ 0. Demostración. Para llegar a una contradicción supongamos que existe una solución de las ecuaciones SWτ (A, 0) = 0 de la forma (A, 0), con τ no cero. En estas condiciones la ecuación de curvatura derivada de las ecuaciones de Seiberg- Witten dice que F+ A = τ . Si además, b+2 (M 4) > 0, concluimos que τ representa una clase no trivial en la misma clase de cohomología que F+ A ; que es una clase entera. Por tanto, podemos elegir τ de manera que [τ ] no forme parte de la retícula H2 ( M4;Z ) ⊂ H2 dR ( M4;R ) , lo que es absurdo.  2. El Grupo de Norma y su Acción en el Espacio de Configuraciones Toda teoría en física está definida por un conjunto de ecuaciones escritas en un lenguaje independiente de coordenadas; sin embargo, en muchas ocasiones uno debe elegir un sistema de referencia particular para describir una situación dentro de la teoría. Más aún, distintas elecciones de sistemas coordenadas usualmente están relacionados por transformaciones que conforman el llamado grupo de simetría de la teoría. La teoría de Seiberg-Witten, al igual que la teoría de Yang-Mills, son ejemplos de una sub-familia de teorías, llamadas de norma, asociadas a un cierto G-haz principal. La acción del grupo en el haz principal induce una acción en el espacio de configuraciones de la teoría. Requerir que la teoría sea independiente de coordenadas es equivalente a pedir que las ecuaciones sean invariantes bajo la acción en el espacio de configuraciones inducida por el grupo de norma. Definición 2.1 (Grupo de Norma). Sea q : L → M4 el haz determinante asociado a una estructura SpinC(4). El grupo de norma de L, denotado por G(L), es el grupo automorfismos del haz L. De acuerdo con la definición anterior, un elemento λ ∈ Diff(L) es una trans- formación de norma2 si λ : L → L preserva las fibras de q : L → L. Es decir, si el diagrama de abajo es conmutativo L λ // q ❇ ❇❇ ❇❇ ❇❇ ❇❇ L q ~~⑤⑤ ⑤⑤ ⑤⑤ ⑤⑤ ⑤ M4, Además se requiere que λ ∈ G(L) actúe por automorfismos lineales en cada fibra de q : L→M4. Observación 2.2. El grupo de norma de L → M4 es abeliano. Más aún, si L tiene una métrica hermitiana 〈 , 〉, G(L) contiene un subgrupo normal G(L, 〈 , 〉) 2Del ingles Gauge transformation. Otros autores emplean como un sinónimo el término trans- formación de calibración. 98 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN que consiste de todos los automorfismos de L que preservan 〈 , 〉. Los elementos de G(L, 〈 , 〉) se representan por funciones locales con valores en U(1). El grupo de norma que nos será útil para desarrollar la teoría de Seiberg- Witten es precisamente el grupo normal G(L,< , >), que de ahora y en adelante denotaremos simplemente como G(L). Este grupo actúa naturalmente en el espacio de configuraciones C(L) así como en el contradominio R(L) del mapeo de Seiberg- Witten. Definición 2.3 (Acciones del Grupo de Norma). Dado λ ∈ G(L), (A,ψ) ∈ C(L) y (χ, ω) ∈ R(L) denotamos por λ · (A,ψ) y λ · (χ, ω) a las aplicaciones (2.1) G(L)× C(L), −→ C(L), G(L)×R(L) −→ R(L) ( λ, (A,ψ) ) 7→ ( A− λ−1dλ, λψ ) , ( λ, (χ, ω) ) 7→ ( λχ, ω ) . Note que las correspondencias definidas arriba determinan acciones izquierdas del grupo grupo de norma G(L) en el espacio de configuraciones C(L) así como en el codominio del mapeo de Seiberg-Witten R(L). Sea X un espacio y G un grupo topológico. Supongamos que existe una acción continua G y X. El estabilizador de un punto x ∈ X bajo la acción G y X, denotada como Gx, es el conjunto de todos los elementos en G que tienen a x como punto fijo. Es fácil ver que Gx es un subgrupo de G para toda x ∈ X. La órbita de x es el conjunto de todos los elementos de la forma g · x con g ∈ G. Es bien conocido que los estabilizadores de una acción G y X determinan en buena medida la topología del espacio de órbitas X/G. Por ejemplo, la acción de Z2 en la 3-bola unitaria D3 ⊂ R3 generada por la relflexión (x, y, z) 7→ (x, y,−z) es suave; además, el estabilizador de cualquier punto de la forma (x, y, 0) es todo Z2. Sin embargo, el espacio de órbitas D3/Z2 no es una variedad diferenciable por que tiene esquinas en la clase de puntos representados por (x, y, 0). En contraste, la acción antipodal de Z2 en la 2-esfera S2 ⊂ R3 es suave y sin puntos fijos. El espacio de orbitas es una variedad suave difeomorfa al plano proyectivo real RP 2. Decimos que una acción G y X es libre si tiene estabilizadores triviales en todos los puntos de X. Una acción G y X es propiamente discontinua si la proyección canónica X → X/G es un recubrimiento. Es fácil ver que toda acción propiamente discontinua es libre. En [10] se demuestra que Teorema 2.1. Si X es una variedad suave, G es un grupo de Lie y G y X es suave y propiamente discontinua, el espacio de órbitas X/G es una variedad diferenciable. La discusión anterior nos conduce naturalmente a estudiar los estabilizadores de la acción G(L) y C(L). Proposición 2.1. Supongamos que M4 es conexa. Sea L → M4 el haz deter- minante de alguna estructura SpinC(4). Entonces los estabilizadores de la acción del grupo de norma G(L) en el espacio de configuraciones C(L) satisfacen (2.2) G(L)(A,ψ) ≃ { U(1) si ψ = 0 0 si ψ 6= 0. Demostración. Consideremos un elemento λ :M4 → U(1) en el estabilizador de una configuración (A,ψ). Por definición, tenemos que A − λ−1dλ = A. Está 2. EL GRUPO DE NORMA Y SU ACCIÓN EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIONES 99 condición implica que dλ = 0; es decir, λ es localmente constante y por tanto constante por la hipótesis de conexidad impuesta sobre M4. La segunda coordenada de λ·(A,ψ) nos dice que λψ = ψ. Entonces, si ψ no se anula idénticamente, existe un punto x ∈Mm tal que la ecuación λ(x)ψ(x) = ψ(x) tiene por por solución λ(x) = 1. Esto prueba que λ es constante con valor 1. Si ψ se anula en todos los puntos de M4, solo podemos concluir que λ es constante. En este caso, el isomorfismo G(L)(A,0) → U(1) está inducido por la evaluación en un punto x ∈ M4 cualquiera, es decir, por λ 7→ λ(x).  Definición 2.4. Una configuración (A,ψ) ∈ C(L) es irreducible si ψ 6= 0. En otro caso, (A,ψ) es una configuración reducible. El teorema 2.1 nos dice que las configuraciones deseables son las irreducibles. Estas configuraciones forman un conjunto abierto dentro del espacio de configura- ciones C(L) . El corolario 1.4 nos dice que bajo la hipótesis b+2 (M 4) > 0, el espacio de soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten perturbadas por una 2-forma no nula está totalmente contenido en el subespacio de configuraciones irreducibles. Proposición 2.2. El mapeo de Seiberg-Witten SWτ es equivariante bajo las acciones del grupo de norma G(L) definidas arriba. En otras palabras, el diagrama (2.3) C(L) SWτ // λ ·  R(L) λ ·  C(L) SWτ // R(L) es conmutativo para toda λ ∈ G(L). Demostración. Para demostrar la proposición basta hacer un cálculo muy simple. Por un lado, λ · SWτ ( A,ψ ) = λ · ( D+ Aψ , F + A − η(ψ)− τ ) = ( λD+ Aψ , F + A − η(ψ)− τ ) , por otra parte, SWτ ◦λ· ( A,ψ ) = SWτ ( A−λ−1dλ , λψ ) = ( /D + A−λ−1dλ(λψ) , F + A−λ−1dλ−η(λψ)−τ ) . La curvatura de una conexión unitaria B en L está dada por dB, en particular FA−λ−1dλ = dA− d(λ−1dλ) = FA + λ−2dλ ∧ dλ = FA. Por tanto la parte autodual de la curvatura asociada a la conexión A− λ−1dλ coincide con F+ A . La 2-forma η es claramente invariante bajo acción del grupo de norma. Finalmente usamos las identidades (6.6) en la página 80 para deducir que /DA−λ−1dλ(λψ) = /D(λψ)+(A−λ−1dλ)·(λψ) = λ( /Dψ+A·ψ)+dλ·ψ−dλ·ψ = λ /DA ψ. Como /D + A se obtiene del operador de dirac /DA aplicando una proyección lineal, concluimos que D+ A−λ−1dλ(λψ) = λ /D + A ψ. Esto concluye la prueba.  De la proposición anterior se sigue que, en caso de existir, las soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten forman un conjunto invariante bajo la acción del grupo de norma en el espacio de configuración. Una consecuencia inmediata del corolario 1.4 es que 100 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN Corolario 2.2. La acción del grupo de norma en el espacio de soluciones a las ecuaciones SWτ (A,ψ) = 0 es libre si τ 6= 0 y b+2 (M 4) > 0. 3. El Espacio Moduli de Monopolos Esta sección está dedicada a probar que, bajo ciertas condiciones sobre el in- variante topológico b+2 (M 4), el espacio de soluciones a las ecuaciones de Seiberg- Witten perturbadas es una variedad suave orientable y compacta de dimensión finita. 3.1. Compacidad del Espacio Moduli de Monopolos. Definición 3.1. Sea L → M4 el haz determinante asociado a una estructura SpinC(4) y τ ∈ Ω2 + ( M4; iR ) una 2-forma auto-dual. Definimos el espacio moduli de Monopolos Mτ (L) como (3.1) Mτ (L) := SW−1 τ (0)/G(L). Observación 3.2. El espacio moduli de monopolos es un subconjunto del es- pacio ambiente C(L)/G(L). La topología que elegimos para el espacio moduli de monopolos es la topología de subespacio heredada de la topología de identificación inducida por las normas de Sobolev en el espacio de configuración. La compacidad del espacio del moduli de monopolos también se basa en cier- tas propiedades de los espacios de Sobolev asociados a las normas de Sobolev. Para introducir estos conceptos es necesario recordar que la conexión ∇A defi- nida en el haz de espinores derechos Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L define una sección suave ∇Aψ ∈ Γ ( T ∗M4 ⊗ Σ̂C − ( M4, g ) ⊗ √ L ) . Por otra parte, la conexión de Levi-Civita ∇g asociada a la métrica g induce una conexión (∇g)t en el haz cotangente de M4. Con estas consideraciones en mente podemos definir una nueva conexión en el haz T ∗M4 ⊗ Σ̂C − ( M4, g ) ⊗ √ L dada por (∇g)t ⊗∇A. De esta manera, definimos (3.2) (∇A)2ψ := ( (∇g)t ⊗∇A ) ◦ ∇Aψ. De manera inductiva se define para cada entero k > 0 el operador (∇A)k : Γ ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) → Γ ( ⊗kT ∗M4 ⊗ Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) . Definición 3.3 (Normas de Sobolev). Sean p y k enteros positivos, y ψ un campo espinorial derecho. La norma de Sobolev ‖ ‖p,k : Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L → R se define como (3.3) ‖ψ ‖p,k := (∫ M4 |ψ |p + ∣ ∣∇Aψ ∣ ∣ p + · · ·+ ∣ ∣ (∇A)kψ ∣ ∣ p )1/p . La aplicación ‖ ‖p,k satisface los axiomas que la convierten en una norma. La completación del módulo de secciones del haz de espinores derechos Σ̂C + ( M4, g ) ⊗√ L en la norma de Sobolev se llama espacio de Sobolev y se denota (3.4) Γpk ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) . Para todo valor admisible de la pareja (p, k), el espacio de Sobolev asociado al modulo de secciones del haz de espinores derechos es un espacio de Banach de dimensión infinita. De hecho, Γ2 k ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) es un espacio de Hilbert para 3. EL ESPACIO MODULI DE MONOPOLOS 101 toda k. De ahora y en adelante, la topología en cualquier espacio de Sobolev será la topología inducida por la correspondiente norma de Sobolev. La importancia de los espacios de Sobolev se debe a los siguientes teoremas que a continuación enunciamos y que usaremos más adelante. El lector interesado encontrará en [16] una sección completa dedicada a presentar detalladamente la teoría de espacios de Sobolev para haces vectoriales hermitianos dotados de una conexión unitaria; así como las pruebas de los siguientes resultados. Teorema 3.1 (De encaje de Sobolev). Sea (M4, g) una variedad riemanniana compacta y orientable. Supongamos que E → M4 es un haz vectorial suave. Sean Γpk(E) el espacio de Sobolev correspondiente y Cq(E) el espacio de secciones de E de clase Cq. Entonces existe un encaje continuo (3.5) Γpk(E) → Cq(E), para toda pareja (p, k) tal que k − 4/p > q. Teorema 3.2 (De Rellich). Sean (M4, g) y E como en el teorema de encaje de Sobolev. Entonces, la inclusión Γpk+1(E) →֒ Γpk(E) es compacta para todo (p, k). Observación 3.3. La compacidad de la inclusión Γpk+1(E) →֒ Γpk(E) significa lo siguiente; dada una sucesión {ψn} tal que ‖ψn ‖p,k+1 ≤ C para toda n, existe una subsucesión {ψ′ n} ⊆ {ψn} que es de Cauchy en la norma ‖ ‖p,k y por tanto converge en Γpk(E). En pocas palabras, basta acotar uniformemente una sucesión en Γpk+1(E) para extraer una subsucesión convergente en Γpk(E). La proposición 4.1 en la página 63 nos dice que el espacio de conexiones unitarias del haz determinante L→M4 es un espacio afín modelado sobre el espacio vectorial Ω1(M4; Ad(L)) = Ω1(M4; iR). Esto quiere decir que si elegimos de una vez por todas una conexión base A ∈ ConnU(1)(L) podemos obtener cualquier otra conexión sumando a A una 1-forma adecuada a ∈ Ω1(M4; iR). Esta elección de conexión base nos permite trasladar la estructura de espacio vectorial al conjunto de conexiones unitarias en L. Asumiremos esta identificación hasta terminar esta sección. Las consideraciones anteriores nos permiten definir una norma de Sobolev para el espacio de conexiones ‖ ‖p,k : Ω1(M4; iR) → R. Así, tenemos para cada pareja de enteros positivos (p, k) un espacio de Banach definido por la completación en la norma de Sobolev del espacio de conexiones unitarias en L, denotado como ConnU(1) p k (L). Esto nos permite definir (3.6) Cpk(L) := Γpk ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) × ConnU(1) p k (L). De manera similar se tiene el espacio de Banach de todas las transformaciones de norma Gpk(L). El siguiente resultado de análisis nos dice que el grupo de norma Gpk(L) actúa en el espacio de configuraciones Cpk(L). Teorema 3.4. Sean (M4, g) como en el Teorema 3.1, E → M4 y F → M4 haces vectoriales suaves. Entonces para k − 4/p > 0 existe una multiplicación con- tinua (3.7) Γpk(E)⊗ Γpk(F ) → Γpk(E ⊗ F ). Note que si E es isomorfo al haz trivial C×M4 →M4 y F es un haz complejo, entonces E ⊗ F ≃ F . En particular, Γpk(F ) es un álgebra de Banach compleja si k − 4/p > 0. Como un caso particular del teorema anterior tenemos el siguiente. 102 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN Corolario 3.5. La acción del grupo de norma Gpk(L) definida como en (2.1) dota al espacio de Sobolev Γpk ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) de estructura de álgebra de Ba- nach compleja para todo (p, k) tal que k − 4/p > 0. Finalmente, vamos a hacer uso del siguiente resultado, conocido como desigual- dad elíptica fundamental. Teorema 3.6. Considere E →Mn y F →Mn dos haces vectoriales sobre una variedad riemanniana, compacta y orientable Mn. Sea D : Γ(E) → Γ(F ) un ope- rador elíptico. Entonces para toda s ∈ Γ(E) existe una constante C independiente de s tal que (3.8) ‖ s ‖p,k+1 ≤ C [ ‖ s ‖p,k + ‖Ds ‖p,k ] . Si además D tiene núcleo trivial, entonces el termino ‖Ds ‖p,k puede omitirse en la desigualdad (3.8). Observación 3.7. Los teoremas de encaje de Sobolev junto con la desigual- dad elíptica fundamental permiten controlar la regularidad de las soluciones a la ecuación Ds = σ. Por ejemplo; si σ es una sección suave de F → Mn y podemos acotar ‖ s ‖p,k0 para alguna pareja (p, k0) entonces la desigualdad (3.8) implica que la norma Lpk de s está acotada para toda (p, k) con k > k0. En particular, si (p, k0) están en un rango en el que se satisfacen las hipótesis del teorema de encaje de Sobolev, entonces s ∈ CK para alguna K = K(p, k0). A este fenómeno se le conoce como regularidad elíptica. Ahora estamos listos para demostrar la primera parte del teorema fundamental de la teoría de Seiberg-Witten. Teorema 3.8 (De compacidad). Sea M4 una 4-variedad suave, cerrada y orientada. Adicionalmente, supongamos que M4 es simplemente conexa, es de- cir, que π1(M 1) = 0. Si τ ∈ Ω2 + ( M4; iR ) es no nula, entonces toda sucesión {(An, ψn)}n∈N de soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten (1.7) perturbadas por τ admite una subsucesión que converge a una solución suave. La demostración del teorema anterior se basa en el siguiente. Lema 3.1. Con las hipotesis del teorema de compacidad se tiene que toda co- nexión unitaria en ConnU(1)(L) es equivalente bajo la acción del grupo de norma a una conexión de la forma A + a, con A suave y a ∈ Ω1 ( M4; iR ) cocerrada, es decir, tal que δa = 0. Demostración del teorema de compacidad. Las ecuaciones de Seiberg- Witten perturbadas por una 2-forma suave τ 6≡ 0 en la norma donde la conexión A+ a tiene δa = 0 (Norma de Coulomb) se leen (S-W-C) /D + A ψ = a · ψ (da)+ = η(ψ)− F+ A + τ δa = 0. Supongamos que {(ψn, aa)}n∈N es una sucesión de soluciones a las ecuaciones (S-W-C). El lema 1.1 implica que ψn está acotado en la norma Lp para toda n ∈ N 3. EL ESPACIO MODULI DE MONOPOLOS 103 sin importar el valor de p. Observe que las ultimas dos ecuaciones de Seiberg-Witten relacionan las variables (ψn, an) por medio del operador de Dirac (d+ δ)+ : Ω1(M4; iR) → Ω0(M4; iR)⊕ Ω2 +(M 4 ; iR) estudiado en la proposición 6.5. La desigualdad elíptica fundamental implica que an está acotado en la norma Lp1 para toda p y toda n. En efecto, ‖ an ‖p,1 ≤ C [ ‖ an ‖p + ∥ ∥ (d+ δ)+an ∥ ∥ p ] = C [ ‖ an ‖p + ∥ ∥ η(ψn)− F+ A + τ ∥ ∥ p ] , como el termino η(ψn)−F+ A +τ es por lo menos continuo tenemos que ‖ an ‖p,1 está acotado. Recuerde que an es de clase C0, esto significa en particular que an · ψn ∈ Γp0 ( Σ̂C + ( M4, g ) ⊗ √ L ) por el corolario 3.5. Esto nos permite usar la de- sigualdad elíptica fundamental aplicada a la primera ecuación del sistema (S-W-C) para acotar la norma ‖ψ ‖p,1 para todo valor de p. De nuevo, Cp1 (L) es un álgebra de Banach con respecto de la multiplicación inducida por la acción del grupo de norma si p > 4; así tenemos que an · ψn está acotado en Lp1. Como η(ψn) es por lo menos de clase C1, vemos que ‖ an ‖p,2 está acotado para toda p. Esto implica de nueva cuenta que ψn está acotado en Lp2. Solo hasta este punto podemos valernos de la regularidad del termino η(ψn)− F+ A + τ para acotar las normas sucesivas de las variables (ψn, an). Para continuar con el procedimiento de regularización usamos que el operador (d + δ)+ tiene nú- cleo trivial por hipótesis (b1(M4) = 0.) Esto nos permite omitir en la desigualdad fundamental la contribución adicional asociada con las normas de η(ψn)−F+ A + τ . De esta manera vemos que (ψn, an) está acotado en Lpk para todo k, todo n y todo p > 4. Por el teorema de Rellich, podemos extraer de {(ψn, an)}n∈N una subsuce- sión que, por los teoremas de encaje de Sobolev, converge a una solución suave de (S-W-C).  Demostración del Lema 3.1. Sea A una conexión unitaria cualquiera de- finida en el haz determinante L → M4. Como M4 es simplemente conexa, toda transformacion de norma λ : M4 → S1 queda determinada por un levantamiento u :M4 → R mediante la relación λ = exp(2πiu). Usando tal levantamiento la acción del grupo de norma en el espacio de conexiones unitarias se simplifica, tomando la forma A ∈ ConnU(1)(L) 7→ A− 2πidu. Por tanto, para probar la existencia de una transformacion de norma λ tal que λ · A tenga una matriz de conexión cocerrada basta encontrar una aplicación suave u : M4 → R tal que δ(A+ du) = 0. En otras palabras, debemos resolver la ecuación de Poisson ∆u = −δA. La condición necesaria y suficiente para resolver la ecuación escalar ∆f = g en una variedad riemanniana arbitraria es que g ∈ Ω0(M4) sea ortogonal al espacio de funciones armónicas H0(M4) con respecto al producto L2 [39]. Recuerde que H0(M4) está generado por la función constante c1 : M4 → R con valor 1. El valor del producto interno (1, δA)L2 es igual a ∫ M4 c1 ∧ ⋆δA = − ∫ M4 d ⋆ A, que es idénticamente cero por el teorema de Stokes. Esto significa que la ecuación de Poisson ∆u = −δA admite al menos una solución. Ahora pasamos a demostrar la unicidad de las soluciones. Supongamos que A+ a0 y A+ a1 son dos conexiones 104 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN unitarias equivalentes bajo la acción del grupo de norma tales que δa0 = δa1 = 0. Esta ultima ecuación es equivalente a la condición d(a0 − a1) = 0. Ahora, como M4 es simplemente conexa, se tiene que b1(M4) = 0; así, a0 − a1 = df para alguna función suave f con valores reales. Pero ‖ a0 − a1 ‖2L2 = (df, a0 − a1)L2 = (f, δ[a0 − a1])L2 = 0. Por lo tanto, a0 = a1. Esto demuestra la unicidad y concluye la prueba del lema 3.1.  Observación 3.9. La compacidad de Mτ es independiente de cualquier con- dición adicional sobre el grupo fundamental π1(M4). Hemos elegido discutir el caso simplemente conexo por que los argumentos que demuestran la compacidad del espacio moduli de monopolos se simplifican enormemente. El argumento para una 4-variedad con grupo fundamental arbitrario puede consultarse en [32]. 3.2. El Espacio Moduli de Monopolos es una Variedad Suave. A lo largo de esta sección implícitamente asumimos que el espacio de configuraciones Cpk(L), el contradominio de la aplicación de Seiberg-Witten Rp k(L) y el grupo de norma Gpk(L), para p ≥ 2, son variedades suaves modeladas sobre un espacio de Banach de dimensión infinita y que las acciones del grupo de norma Gpk(L) definidas en estos espacios son suaves. En lo subsecuente omitimos los índices (p, k) en los espacios C(L), G(L), R(L) y en cualquier otro en el que tenga sentido la notación de índices (p, k) teniendo en cuenta que siempre se tratan con las completaciones asociadas a la normas de Sobolev. En [20] se demuestra que G(L) y C(L) es una acción suave . Una excelente referencia que presenta la teoría clásica de variedades suaves sin asumir que están modeladas en espacios de Banach de dimension finita es [23]. Para probar que el espacio moduli de monopolos Mτ es una variedad suave, vamos a demostrar que 0 ∈ R(L) es un valor regular de la aplicación de Seiberg- Witten SWτ : C(L) → R(L). Este hecho, junto con el teorema de Sard-Smale implican que Mτ es una variedad suave para una elección genérica de perturbacio- nes τ ∈ Ω1(M4; iR). En el enunciado anterior, un elemento es genérico si pertenece a un conjunto residual, que es por definición una intersección numerable de abiertos densos. Este programa requiere una extensión del teorema del valor regular para incluir mapeos entre variedades de dimensión infinita. La manera de hacer esto es introduciendo la noción de aplicación de Fredholm, que juegan el papel de las sumersiones. Definición 3.4. Supongamos que M y N son variedades de Banach y que F :M → N es un mapeo suave. Decimos que F es de Fredholm en un punto p ∈M si la diferencial de F en p, dpF : TpM → TF (p)N , es una aplicación de Fredholm. Observación 3.5. Una aplicación lineal real O : V →W es Fredholm si: i) El núcleo KerO es de dimensión finita. ii) La imagen ImO es cerrada. iii) La codimensión de ImO en W es finita. El índice de O se define como dimR KerO − dimR CokerO. El teorema del valor regular para variedades de dimensión infinita establece que si F : M → N es de Fredholm y q ∈ N es un valor regular, entonces F−1(q) 3. EL ESPACIO MODULI DE MONOPOLOS 105 es una subvariedad de M de dimensión finita dada por el índice de Fredholm de la aplicación dpF , donde p ∈ F−1(q). La discusión anterior implica que debemos estudiar el espacio tangente de las variedades C(L), G(L) y R(L). Comencemos esta investigación notando que el es- pacio tangente al espacio de configuraciones en un punto arbitrario (ψ,A) se parte como la suma directa TψΓ ( Σ̂C 4 ( M4, g ) ) ⊕TAΓ(iΛ1T ∗M4), donde Γ(iΛ1T ∗M4) denota a las 1-formas en M4 con valores puramente imagi- narios. Como ambos factores son espacios vectoriales complejos, podemos identificar estos espacios tangentes con sus espacios vectoriales subyacentes mediante traslacio- nes. Es decir, todo vector tangente en el punto (A,ψ) es de la forma (ψ+tχ,A+tB) con (χ,B) ∈ C(L). De manera similar se tiene una identificación del espacio tan- gente al espacio vectorial R(L) con la variedad base. Proposición 3.1. La diferencial de la aplicación de Seiberg-Witten en una configuración arbitraria (ψ,A), d(ψ,A) SWτ : T(A,ψ)C(L) → TSWτ (A,ψ)R(L), está dada por la aplicación lineal (3.9) ( ψ + tχ,A+ tB ) 7→ ( /DA χ+B · ψ , F+ B − 1 2 Im(〈eµeνψ, χ〉)eµ ∧ eν ) . Demostración. La diferencial d(ψ,A) SWτ evaluada en un vector tangente de la forma (ψ+tχ,A+tB) es simplemente d dt SWτ (ψ+tχ,A+tB)|t=0. Desarrollando esta ultima expresión se obtiene el resultado.  Dado que estamos interesados en soluciones a las ecuaciones de Seiberg-Witten salvo una transformación de norma, es necesario encontrar la expresión precisa de la linealización de acción del grupo de norma en el espacio de configuraciones. De nueva cuenta, como el grupo de norma es un grupo de Lie de dimensión infinita, basta determinar el espacio tangente en la identidad para conocer el espacio tangente TλG(L) para cualquier otra transformación de norma no trivial λ. Pero el grupo de norma G(L) admite un recubrimiento Maps(M4;R) → Maps(M4;S1) inducido por el recubrimiento universal R → S1. Como Maps(M4;R) ≃ Ω0(M4; iR) es un espacio vectorial de dimensión infinita, vemos que el espacio tangente a la identidad del grupo de norma se identifica con el espacio vectorial de la funciones con valores puramente imaginarios definidas enM4. Con respecto a esta identificación, la acción infinitesimal del grupo de norma en el espacio tangente al espacio de configuración está dada por la aplicación L : Ω0(M4; iR) → Γ(Σ̂C + ( M4, g ) )⊕ Ω1(M4; iR) f 7→ (fψ,−df). Ahora estamos listos para dar un modelo local del espacio tangente del espacio moduli en un monopolo [ψ,A] ∈ Mτ (L). Proposición 3.2. Supongamos que (ψ,A) satisface la ecuación SWτ (ψ,A) = 0. Denotemos por S a la diferencial de la aplicación de Seiberg-Witten evaluada en la configuración (ψ,A). Entonces, la siguiente sucesión de espacios vectoriales y transformaciones lineales (3.10) 0 → Ω0(M4; iR) L→ C(L) S→ R(L) → 0 106 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN es un complejo de cadenas. Demostración. Es claro que L ◦ 0 = 0 y que 0 ◦ S = 0. Veamos ahora que S ◦ L = 0 para toda solución (ψ,A) de las ecuaciones de Seiberg-Witten. Esto se sigue del cálculo S ◦ L(fψ,−df) = ( /DA(fψ)− df · ψ , F+ −df − 1 2 Im(〈eµeνψ, fψ〉)eµ ∧ eν ) = ( f /DA ψ , − 1 2 Im(−f〈eµeνψ, ψ〉)eµ ∧ eν ) . En el argumento anterior hemos usado que F−df = −d2f = 0. Ahora, como 〈eµeνψ, ψ〉 es puramente imaginario, el término Im(−f〈eµeνψ,ψ〉) es idénticamente cero ya que f asume valores puramente imaginarios. Por lo tanto, si (ψ,A) satisface las ecuaciones de Seiberg-Witten entonces /DA ψ = 0 y se tiene que S ◦ L = 0.  Definición 3.6. El complejo de cadenas (3.10) se llama complejo de defor- mación y se denota por C∗ SW(ψ,A). La homología del complejo de deformación se denota como H∗ SW(ψ,A) y está dada por H0 SW(ψ,A) = KerL, H1 SW(ψ,A) = KerS/ ImL, H2 SW(ψ,A) = CokerS. Note que H2 SW(ψ,A) = 0 implica que Mτ es una variedad suave. Observación 3.10. La interpretación geométrica del complejo de deformación es muy sencilla. Como hemos visto, la aplicación L es precisamente la linealización de la acción del grupo de norma en el espacio de configuraciones. Así, la condición S ◦ L = 0 determina (a primer orden) las órbitas de la acción del grupo de norma que pasan por soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten. Este tipo de órbi- tas corresponden con lo puntos del espacio moduli de monopolos y las direcciones tangentes a estas órbitas son las direcciones en el espacio tangente de Mτ . De la proposición anterior solo podemos garantizar que ImL ⊂ KerS. La ho- mología del complejo de deformación en grado 1, H1 SW(ψ,A), no dice exactamente cuales direcciones corresponden a órbitas de la acción G(L) y C(L) que no pasan por soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten y cuales otras direcciones si lo hacen. En este sentido, podríamos afirmar que el espacio tangente a Mτ en un monopolo arbitrario es precisamente H1 SW(ψ,A). Esto no es del todo cierto; los términos de H∗ SW(ψ,A) en grado 0 y 2 representan obstrucciones a este hecho. Esta obstrucción se distingue incluso al nivel de las dimensiones, para ver esto basta calcular la caracteristica de Euler del complejo de deformación C∗ SW(ψ,A): (3.11) −χ(C∗ SW(ψ,A)) = dimRH 1 SW(ψ,A)−(dimRH 0 SW(ψ,A)+dimRH 2 SW(ψ,A)) que en general es distinta de dimRH 1 SW(ψ,A) = dimR Mτ . Teorema 3.11 (De Transversalidad). H0 SW(ψ,A) = 0. Además, si b+2 (M 4) > 0 el espacio de obstrucción H2 SW(ψ,A) es trivial para una elección genérica de perturbación τ ∈ Ω2 +(M 4; iR) distinta de la perturbación cero. Demostración. Una función f ∈ Ω0(M4) pertenece al núcleo de L si y solo si df = 0 y fψ = 0 para todo ψ ∈ Γ(Σ̂C + ( M4, g ) ). Esto quiere decir que f es constante. Dado un punto cualquiera x ∈M4 siempre es posible construir un campo de espinores ψ tal que ψ(x) 6= 0. En vista de la ecuación f(x)ψ(x) = 0, la única posibilidad es que f(x) = 0 y así f ≡ 0. Esto prueba que H1 SW(ψ,A) = KerL = 0 para toda configuración (ψ,A) ∈ C(L). 3. EL ESPACIO MODULI DE MONOPOLOS 107 Consideremos ahora una 2 forma auto-dual τ 6≡ 0. Por el corolario 1.4, sabemos que la condición topológica b+2 (M 4) > 0 garantiza que todas las soluciones de SWτ (ψ,A) = 0 tiene ψ 6≡ 0. Afirmamos que bajo estas condiciones la diferencial de la aplicación F : C(L)× Ω2 +(M 4; iR) → Γ(Σ̂C − ( M4, g ) )× Ω2 +(M 4; iR) F (ψ,A, τ) = (SWτ (ψ,A), τ) en una solución (ψ,A) de las ecuaciones de Seiberg-Witten es un epimorfismo. Denotemos por f a la diferencial de F calculada en el punto (ψ,A, τ) tal que (ψ,A) es una solución de las ecuaciones de Seiberg-Witten perturbadas por la 2-forma τ . Para cualquier vector tangente (χ,B, ω) ∈ T(ψ,A,τ)C(L) × Ω2 +(M 4; iR) se tiene que f(χ,B, ω) = (S(χ,B), ω). Note que la imagen de f está foliada por copias del subespacio {0}×Ω2 +(M 4; iR) obtenidas mediante traslaciones afines del parámetro ω. Por lo tanto, para probar que Coker f = 0 podemos suponer que ω ≡ 0. Sea (Ψ, 0) ∈ Γ(Σ̂C − ( M4, g ) ) × Ω2 +(M 4; iR) ortogonal a la imagen de f restringida al subespacio C(L)× {0} con respecto del producto L2 dado por ∫ M4 〈 /D+ A χ+B · ψ , Ψ〉. Usando las propiedades de los operadores /D + A y B· con respecto al producto interno definido arriba, vemos que ∫ M4 〈 /D+ A χ+B · ψ , Ψ〉 = (χ+ ψ , ( /D − A +B·)Ψ)L2 . Como (χ + ψ , ( /D − A +B·)Ψ)L2 = 0 para toda elección de χ y de B, podemos tomar χ ≡ 0 y B ≡ 0. Así, D− AΨ = 0 en todos los puntos de M4. Como ψ no se anula idénticamente, vemos que U := M4 \ Suppψ es un abierto no vacío de M4 sobre el cual se cumple la relación Ψ = 0. Esto se debe a que /D + A ψ = 0 en todo M4 y así 0 = (ψ , /D − A Ψ)L2 = ( /D + A ψ , Ψ)L2 ⇒ Ψ = 0 en U . El teorema de identidad 6.3 implica que Ψ ≡ 0. Esto prueba que la (0, 0) ∈ Γ(Σ̂C − ( M4, g ) )×Ω2 +(M 4; iR) es el único vector ortogonal a la imagen de f restrin- gida a C(L)× {0}; por lo tanto la imagen de f cubre todo su contradominio.  Corolario 3.12. Para una elección genérica de τ ∈ Ω2 +(M 4; iR), el espacio moduli de monopolos Mτ es una variedad suave. El espacio tangente a Mτ en un monopolo [ψ,A] es isomorfo a H1 SW(ψ,A). Además (3.12) dimR Mτ = c1(L) 2[M4]− 2χ(M4)− 3σ(M4) 4 . Demostración. Lo único que hace falta demostrar es que la dimensión del espacio moduli de monopolos está dada por la ecuación (3.12). Supongamos que (ψ,A) es una solución de las ecuaciones de Seiberg-Witten. El complejo de defor- mación C∗ SW(ψ,A) está formado por operadores elípticos. Más aún, C∗ SW(ψ,A) es un ejemplo de complejo elíptico. Esto quiere decir que la sucesión de símbolos indu- cida por las diferenciales del complejo de deformación es exacta lejos de la sección cero de todos sus términos. Una extensión del teorema de índice de Atiyah-Singer permite calcular la característica de euler χ(C∗ SW(ψ,A)) en términos del índice de 108 3. TEORÍA DE SEIBERG-WITTEN los operadores que conforman el complejo C∗ SW(ψ,A). Note que podemos descartar los términos de orden cero en las diferenciales S y L de C∗ SW(ψ,A) para obtener nuevos complejos C∗ 1 : 0 → Ω0(M4; iR) d→ Ω1(M4; iR) d+→ Ω2 +(M 4; iR) → 0 C∗ 2 : 0 → 0 → Γ(ΣC + ( M4, g ) ) /D+ A→ Γ(ΣC − ( M4, g ) ) → 0 tales que C∗ 1 ⊕ C∗ 2 es homotópico a C∗ SW(ψ,A). En particular, χ(C∗ SW(ψ,A)) = χ(C∗ 1 ⊕ C∗ 2 ) = χ(C∗ 1 ) + χ(C∗ 2 ). Es claro que χ(C∗ 2 ) = −IndR /D + A = −2IndC /D + A. Usando el teorema de índice para el operador de Dirac /D + A 6.2 deducimos que χ(C∗ 2 ) = σ(M4)− c1(L) 2[M4] 4 . La homología del complejo C∗ 1 es H0(C ∗ 1 ) = Ker d H1(C ∗ 1 ) = Ker d+/ Im d H2(C ∗ 1 ) = Ω2 +(M 4; iR)/ Im d+. Por lo tanto se tiene que H0(C ∗ 1 ) = H0(M4;R) y que H2(C ∗ 2 ) se identifica natural- mente con H2 +(M 4;R). Resulta que H1(C ∗ 1 ) ≃ H1(M4;R). Así χ(C∗ 1 ) = b0(M4) + b2+(M 4)− b1(M4) = 1 2 [ χ(M4) + σ(M4) ] . En el cálculo anterior hemos usado la dualidad de Poincaré para identificar los números de Betti complementarios. Por lo tanto dimR Mτ = σ(M4)− c1(L) 2[M4] 4 − 1 2 [ χ(M4) + σ(M4) ] = c1(L) 2[M4]− 2χ(M4)− 3σ(M4) 4 .  3.3. Comentarios Finales Sobre los Invariantes de Seiberg-Witten. Hemos visto que a cada 4-variedad riemanniana, cerrada y orientable (M4, g) corres- ponde una familia de espacios Mτ parametrizados por Ω2(M4; iR) dotados de una estructura de variedad suave de dimensión finita que además son compactos para una elección genérica de perturbación τ ∈ Ω2(M4; iR). Una investigación detallada revela que Mτ admite una orientación independiente de la elección del parámetro de perturbación [31] , [32]. Supondremos de ahora y en adelante que la 2-forma τ se elige de tal manera que Mτ tenga todas las características descritas anteriormente. Las propiedades de orientabilidad y compacidad simplifican enormemente el estudio de algunos inva- riantes topológicos clásicos del espacio moduli de monopolos como son: H∗(Mτ ), H∗(Mτ ) y la clase de cobordismo orientado |Mτ | que, apropiadamente tratados, producen invariantes de la estructura diferenciable de M4. Una objeción a esta úl- tima afirmación es que la asociación M4 Mτ depende implícitamente de varias 3. EL ESPACIO MODULI DE MONOPOLOS 109 estructuras adicionales impuestas sobre M4 y elegidas de manera aparentemente arbitraria; por ejemplo, uno puede preguntarse sobre la dependencia de Mτ con respecto de la elección de: métrica riemanniana, orientación, y de manera más fun- damental, de la elección de estructura SpinC(4). La respuesta a estas preguntas depende esencialmente del valor de b2+(M 4). El caso más sencillo ocurre cuando b2+(M 4) ≥ 2; en estas condiciones el espacio moduli de monopolos Mτ varia por cobordismos cuando se perturba la métrica a lo largo de una trayectoria genérica en el espacio de métricas riemannianas de M4. Este hecho implica en particular que la clase de cobordismo de Mτ permanece constante como función de la mé- trica riemanniana definida en M4; por tanto, un primer invariante de la tripleta (M4, O(M4), s), donde O(M4) denota una orientación de M4 y s es una estructu- ra SpinC(4) en M4, es precisamente la clase de cobordismo orientado |Mτ |. Aún cuando esta asociación define un invariante, resulta un tanto inútil en la práctica. Una manera más inteligente de aprovechar las características fundamentales del espacio moduli de monopolos consiste en construir ciertas formas diferenciales que representen clases no triviales O1, . . . ,Ok ∈ H∗(Mτ ;R). De esta construcción se obtiene invariantes numéricos de la forma 〈Oi1 ∪ · · · ∪ Oir ; [Mτ ]〉 = ∫ Mτ Oi1 ∧ · · · ∧ Oir que cambian de signo al cambiar la orientación de M4 y que por lo demás solo dependen de la estructura SpinC(4). Para una estructura Spin(4) fija, se tiene un número finito de espacios moduli no vacíos y por tanto un número finito de inva- riantes, que de hecho detectan cambios en la estructura diferenciable de M4. Este es el enfoque original propuesto por Witten en [43] y es un caso particular de un programa mucho más ambicioso para construir invariantes topológicos de una n- variedad N a partir de una teoría de norma definida en N . Este tipo de teorías se conocen como teorías topológicas cuánticas de campo y fueron propuestas por Wit- ten en su artículo de 1988 [42]. En [21] se discute detalladamente la construcción de invariantes topológicos a partir de teorías topológicas cuánticas de campo. Bibliografía [1] E. Artin. Geometric Algebra. 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