FACULTAD DE CIENCIAS 
SOBRE LA PROPIEDAD DE KELLEY 
Y SUAVIDAD DE UN CONTINUO 
T E s 1 s 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
I 
i\11 A T E l\'I Á T 1 e A 
p R E s E N T A 
ALGEBRA ANA GUADALUPEtGUIIAR MARTh""f.FZ 
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. GERARDO ACOSTA GARCÍA 
2002 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
  
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
  
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
  
 
/.'il"/l IJ,( ,!,.J ···1.~\ ·1 ·1 .. -..I. 
_: .. ;1 I '.~1 ~--t.-.. 1 : 
.'·\t I ! . 
M. EN C. ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA 
Jefa de la División de Estudios Profesionales de la 
Facultad de Ciencias 
Presente 
Comunico a usted que hemos revisado el trabajo escrito: 
Sobre ·ia propiedad de Ke11ey y suavidad de• un continuo 
realizado por AJ.gebra Ana Guadalupe AguiJ.ar Martinez 
. . . 
con número de cuenta 9510.9.82:...6.: •. quién ~ubdó lo~ créditos de la carrera de 
. Dicho trabajo cuenta con nue~trn ~¿t~ a~r~~ato~o. · 
· .·.• Ate~t;.merite . 
::::T::· ::;~:;r;~:~=~::;,.¿···.· .. ·~(¡;.~=~~• .'º' .~~«..:-:"-.. ,/. / 
Propietario Dr. Javier Páe; cár<ie~a~ /,,.. 
Suplente Dr •. ·sergi~ Macias AJ.varez 
Suplente M.en e~ verón:Í.ca. ll!art:í.nez de ].a Vega y ~iansil.J.a L~ 
A mis padres. A Jose Luis. 
Agradecimientos 
Qnisicra agradecer en primer lngar a mi director ele Tesis, el ·.Dr. Gerarclo 
_.\costa García, por dirigirme en este trabajo, y por su amistad. Gracias 
también por sus recomendaciones y hasta por sus regaños. 
i\iluy especialmente, quiero agradecer al Dr. Alejandro Illanes Mejía, por 
las valiosas sugerencias y por todo el apoyo para la realización ele este trabajo. 
Gracias a mis sinodales por el tiempo invertido en este trabajo y por su 
ayuda para mejorarlo. 
Agradezco a todos mis profesores ele la carrera, por todos los conocimien-
tos profesionales y no profesionales también. En especial, al Dr. Javier Páez; 
que ha sido para mi un ejemplo a seguir y un amigo y al M. en C.· Jose 
Antonio Gómez Ortega. También a la Dra. Carmen Gómez Laveagá y la 
Dra. Bertha Tomé Arreola, gracias por su amistad. -
Gracias mamá, por hnberme enseñado a ser fuerte con tu ejemplo de.vida;. 
te mando tocio mi amor hasta donde te encuentras y un día nos· hemos de 
volver a ver. También a tí papá, sin tu amor, ejemplo y fortaleza en todas 
las etapas ele 1ni vida, esto no hubiera siclo posible. 
Gracias a .lose Luis, mi esposo y mi mejor amigo, por compartir su vida 
conmigo y por estar aquí siernpre, en las .buenas y en las malas y en todo 
este camino que hen1os recorrido juntos. Tu me das la fuerza. (Te amamos 
Pepito y yo.) 
A mi familia: Jose Luis, rnamá, papá, Guichis. Gracias por su amor 
incondicional. Soy afortunada en tenerlos. · 
Gracias a mis amigos del cubículo: Yesenia, Galo, Tonathiu,. Miguel An-
gel,... Y a mis amigos Rolando, Tito, John Y. Mayra. Sin ustedes, a este 
trayecto le hubiera faltado color. . - . .. : - · 
Gracias a tocias las personas que olvidé mencicmár y que me han e.nseñado. 
lecciones e.le vida. ·- .· · · - · 
iii 
iv AGRADECIMIENTOS 
Quisiera agradecer al Instituto de i\fatemáticas de la UNA;.\I, por darme 
la beca de lugar para concluir mi tesis de Licenciatura y al Programa de 
Apoyo a Proyectos de InYestigación e Inno,·ación Tecnológica, el cual me 
brindó la oportunidad de una beca económica para la terminación de este 
trabajo. 
Y gracias a mi UuiYersidacl, la UNAM, en la cual he pasado ya casi. S 
años desde el bachillenlto.y en la cual, también he aprendido cosas q~e para 
mí tienen un valor incalculable. 
Introducción. 
El presente trabajo se cncnentrn. situado en una rama de la Topología.de Con-
juntos llamada Teoría ele Continuos. Un continuo. es un espacio, métrico .Y 
0
que a su vez es compacto y .conexo.' Los hiperespacios de ,,y que éstudiaremos 
son las familias · · · · · · .· 
2X ={A e X: Aes cerrado .Y no vacío};: 
y 
C(X) = {A E 2-~ : A es conexo}, 
a los que se les da la llamada ·métrica de Hausdorff. 
El estudio de los Hiperespacios aparece alrededor de 1900 con los trabajos 
ele Hausclorff y Vietoris. La métrica de Hausdorff fué definida por Pompiu 
en 1905 y retomada por Hausdorff en 1906 en un contexto más general, que 
incluye a los hiperespacios de un continuo. Esta métrica aparece también en 
el famoso libro de Hausforff [23], publicado en 1914, en el cual se define por 
,·ez primera el concepto ele topología usando vecindades. Recordemos que la 
noción ele espacio métrico fue definida por Frechet en 1906. 
Entre 19:20 y 1930 se determinaron una buena cantidad de resultados 
con respecto a la estructura fundamental ele los hiperespacios. En 1922, por 
ejemplo, Vietoris probó en [41] que 2x es compacto y, en 1931, Borsuk y 
'.\[azurkiewicz probaron en [6] que 2x y C(X) son conexos por trayectorias. 
En 1942 apareció el artículo [30] ele .J. L. Keley, en el que se habla de una 
gran cantidad ele tópicos de la Teoría de Hiperespacios. En dicho artículo 
se introduce, por primera vez, la noción ele función ele \Vhitney, considera-
da hoy eu día como 11ua ele las herramientas más importantes en esta área. 
También en este artículo se establecen, por primera vez, las propiedades fun-
vi rNTR.o.6r.icc:rói\f. 
Clamen tales ele los continuos hereclitariamente indescomponibles y· se .define 
una propiedad, bajo la cual los hiperespacios son contraíbles. Esta propiedad 
se conoce, hoy en día, como la propiecla.rl de I<elle¡¡ 
La propiedad ele Kelley ha resultado ser, por sí misma, de gra:n interés, en 
buena parte, debido a su belleza. En 1977, por ejemplo, aparece un artículo 
ele R. \V. \Vardle (-1:2] dedicado exclusinunente al estudio de dicha propiedad. 
En él, se establecen \·arios resultados que han sido in1portantes y objeto ele 
estudio, en aras de encontrar generalizºaciones a los mis1nos. ~dás adelante 
en el capítulo 3, presentamos una serie ele resultados obtenidos por .J. J. 
Charatonik en el año ele 1983, que generalizan los de R. \N. \Vardle. 
Otra propiedad importante es la ele suavidad. Históricamente, dicha no-
ción se definió para una clase ele continuos llan1ados aban-icos y, posterior-
mente, se exteclió a. la clase de los continuos llamados dendroides. Después 
G. R. Gordh Jr. la generalizó para la clase de continuos que contienen pun-
tos ele unicoherencia hereditaria y, finalmente, T. Maékowiak la definió para 
cualquier continuo (35]. 
La intención ele este trabajo es estudiar, tanto la propiedad de Kelley, 
como el concepto ele suavidad como fue definido por T. Maékowiak. Con 
respecto a la Propiedad de Kelley, en el capítulo 2, presentamos una serie 
de propiedades fundamentales ele la misma, así como formas equivalentes 
de escribirla. También vemos su relación con algunos tipos de continuos y 
mostraremos una serie ele funciones, definidas en términos ele un continuo )(, 
cuya continuidad equivale al hecho de que )( posee la propiedad ele Kelley. 
En el capítulo 3 mostramos una serie ele resultados que involucran la 
preservación puntual ele la propiedad de Kelley. Dichos resultados se derivan 
del problema ele encontrar una clasificación de las funciones continuas que 
preservan la propiedad ele Kelley. En el capítulo 7 hacemos un estudio ele la 
clase de los continuos tales que todos sus subcontinuos poseen la propiedad 
de Kelley. 
En cuanto a la suavidad, seguimos básicamente el mismo modelo anterior. 
Primero, en el capítulo 4, presentamos una serie de propiedades fundamenta-
les ele la misma, así como formas equivalentes ele escribir dicha propiedad. En 
este mismo capítulo vemos que, una serie de resultados dados en términos 
vii 
ele la propiedad de Kelley, permanecen ,-álidos en el contexto de la.suavi-
dad. i\Iostramos, incluso, una función definida en términos .ele un continuo 
X, cuya continuidad equivale al hecho de que .'\ es suave. En. el capítülo o, 
estudiamos la presen·ación de la suavidad bajo funciones continuas. 
En el capítulo 4 vemos, también, como la noción ele sua\"idad se relaciona 
con la propiedad ele Kelley. En el capítulo 6 mostramos que la suavidad de los 
hipercspacios del continuo X implica la propiedad ele Kelley en X. También 
probamos qne la sn<wiclad del producto cartesiano .'C x }·-, ele los continuos 
.Y y l º implica que tanto .'C como Y tienen la propiedad ele Kelley. 
Este trabajo es autocontenido en la medida de lo posible. Suponemos 
que el lector est<1 familizarizaclo con los conceptos básicos ele la Topología ele 
Conjuntos, principalmente con los resultados fundamentales sobre espacios 
métricos, así como los de compacidad, conexidad y continuidad. En cuanto a 
los resultados básicos de la Teoría de Continuos, en el capítulo 1 presentamos 
una buena cantidad ele ellos. En la mayoría de los casos no incluimos las 
demostraciones ele los mismos, pero indicamos en dónde se puede encontrar 
una prueba ele ellos. 
La cantidad de artículos que se han escrito sobre la propiedad de Kelley, 
así como sobre la suavidad de un continuo, es tan amplia que es imposible 
abarcarlos tocios en un trabajo como lo es una Tesis ele Licenciatura. Sin 
embargo, en la bibliografía, se indican todos los artículos que se encontra-
ron en los cuales se estudian dichas nociones, en algunos casos de manera 
importante y, en otros, como auxiliar para la prueba de otros resultados. 
Quisiera i·esaltar que una buena parte ele las ideas que se presentan en 
este trabajo, fueron sugeridas por mi asesor el Dr. Gerardo Acosta García y 
por el DL .-\lejandro Illanes Mejía. 
viii INTRODUCCIÓN: 
, 
Indice General 
Agradecimientos 
Introducción.. 
1 · Nociones Fundamentales. 
1.1 Introducción. . ..... 
1.2 Hiperespacios de un Continuo. 
1.2.1 El Hiperespacio 2x ... 
1.2.2 El Hiperespacio C(X). 
1.3 Convergencia en 2x. 
1.4 La Función Unión. 
1.5 Elementos de Continuidad. 
1.6 Las Funciones Inducidas. 
l. 7 Funciones de \Vhitney. . . 
1.8 Confluencia ........ . 
1.8.1 Funciones Confluentes. 
1.9 Funciones Abiertas. . . . . . . 
1.10 Funciones i:vionótonas. 
1.11 . .\reos Ordenados y Conexidad 
por Trayectorias. . . . . . . . 
1.11. l Conexidad por Trayectorias. 
1.11.2 Arcos Ordenados .. . 
1.12 Conjuntos Separados .... . 
1.13 Continuos Descomponibles e 
Inclescomponibles ..... . 
1.14 Conexidad Local y en Pequeño. 
ix 
iii 
V 
1 
1 
1 
1 
6 
7 
12 
13 
18 
19 
20 
21 
24 
')-_¡;¡ 
25 
26 
26 
29 
30 
31 
ÍNDICE GENER.4.L 
1.15 Algunos Continuos Especiales. 
1.15.1 Abanicos. . ..... . 
1.15.2 Dos curvas sinoidales .. 
1.15.3 Peines y Seuclopeines .. 
1.16 Golpes en la Frontera.. 
1.17 Cornposantes e Irreclucibilidacl. 
1.17.1 La Estructura del Complemento ele una 
Composante. . . . . . . . . . . . . . . 
2 La Propiedad ele Kelley. 
2.1 Introducción. . ......... . 
2.2 Definición y Ejemplos. . . . . . . 
2.3 Conexidad y Propiedad ele Kelley 
2.4 Propiedad de Kelley con Sucesiones· 
2.5 Una Variante de la Propiedad ele Kelley. 
2.6 La Función a . ..... . 
2. 7 Continuos Homogéneos. 
2.8 Continuos no Métricos. 
2.9 Retracciones. . . . . . . 
2.10 Funciones Refinables ... 
2.11 Tres Funciones Especiales. 
2.11.1 La Función Fµ-
2.11.2 La Función F;;_. . . 
2.11.3 La Función L,... .. 
3 Preservación de la Propiedad de Kelley~ 
4 
3.1 Introducción. . ....... . 
3.2 Preservación Local. . . . . . . 
3.3 Homogeneidad Generalizada:; . 
Suavidad. 
4.1 Un Poco ele Historia. 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
Propiedades Fundamentales. . . . . . 
Una Caracterización de la Suavidad. 
El Conjunto S(p) . . 
La Función Fp. . . . . . . .. 
Suavidad Puntual. 
Conexidad en Pequeño.y Suavidad. 
33 
33 
34 
35 
37 
38 
40 
45 
45 
45 
49 
51 
53 
-55 
., 58 
59 
59 
60 
61 
61 
63 
63 
67 
67 
67 
80 
81 
81 
.82 
86 
87 
89 
91 
92 
·ÍNDICE GENERA.L 
4.8 . ¡:>ro¿ie~·ad de K~Hey .y Suavidad. 
5 Preservación de la Suavidad. 
5;1 · Inú:oducción. . .... 
5.2 Primera Demostración. 
5.3 Segunda demostración. 
5.4 Contraeje1nplos. . . . . 
6 S~avidad y P. de Kelley en Hiperespacios 
6.1 Introducción. . . . . . . . . . ... 
6.2 Generalización de Hiperespacios .. 
6.3 Espacios Producto. . ...... . 
7 Propiedad de Kelley Hereditaria. 
7.1 Introducción. . ...... . 
7.2 Definición y Ejemplos. . .. . 
7.3 Resultados Fundamentales: . 
7.4 El Teorema Principal. ... 
7.5 La Propiedad de Kelley y los oo-odos. 
xi 
95 
99 
99 
99 
102 
105 
109 
109 
109 
114 
119 
119 
119. 
123 
125 
132 
xii ÍNDICE GENER.4.L 
Capítulo 1 
Nociones Fundamentales. 
1.1 Introducción. 
El presente trabajo está enmarcado en el área de la Topología de Conjuntos 
llamada Teoría de Continuos e Hiperespacios. En este capítulo describiremos 
los conceptos fundamentales para el desarrollo del mismo. Es preciso decir 
que algunos resultados que enunciaremos sin demost~ación, se encuentran 
probados en [37]. En cada caso daremos la referencia pertinente. 
Definición 1.L Un continuo es un espac-io métrico no degenerddb>co·~e:i:o 
y co·rhpacto. · · ·.-•.. , · ··· ,,,, · 
' ' • 1 
Mientras no se diga otra cosa, la letra X representará ~-uri',co.ntilluo'éon 
métrica d. Además, convenimos en llamar a un espacio no degeriéradósitiene 
m:ois de un punto. De otra manera, diremos que es degenerado::·p),/':., ;:. ' . 
. ; - .. 
Definición 1.2. Un subcontinuo de ,,y es un subconjunto no vacío, cerrado 
y conexo de ,'(. 
Observemos que un subcontinuo puede ser degenerado, lo cual no sucede 
con los continuos. Ésta es la diferencia esencial entre estos dos conceptos. 
1.2 Hiperespacios de un Continuo. 
1.2.1 El Hiperespacio 2x. 
En Topología ele Conjuntos entendemos que un espacio es un conjunto con 
una determinada topología . .-\demás, es común llamar hiperespacios a ac¡ue-
1 
.' < •• ., -.·,, • ' , - • 
2 CAPÍTULO 1. -NOCIONES FUNDAiW~NT.-lLES. 
llas familias de subconj u~tos de un. esiacÍ~dado, que' cornpari~~;cietta~ pro-
piedades topológicas pai:tiCulares. Es natnral •. pensar'que uz;: IÍÍpéi'espacio 
posee a· su vez una topología, ctt1écstá expresacl<i.en térII1i~os'Cléla ·topología 
del espacio dado .... · . · ~- .¿ . : • < ~'. ::: .. )>.:.{\ .. ~'<fA:~ · c;;,:•iAr•;;.1 :·L~· -::-;~·,:. ·:· - - - - .; ;- • 1 , •• ' 
Un hiperespacio que;~stÚdi~rerTi6s:·e~ ~~t~-tr~b~JÓ, y d~not~~err10s p~r 2x, 
es el de los subconjunÚ>S cerrados y no vacíosde.X._:·'.L\sí •pÜes( . ' .. 
. · .· ·: ~-~~·f_L·~ -~··=·~~ ~~rr!~1~~; .. ~~tic~~.}: x·· : ..· 
Es fücil ~·er qüe la>familia 2x tiene más ~l~ u~ ~le1~ci!lto'. A continuación 
veremOl'; una nrnnera de asignarle uua topología a 2X Para est¿, consideremos 
primero· fa siguiente definición. .' ·· · :· '' · ·· ~·' · · .. C '.;"' · 
DefiniCión 1.3. Sean A E 2x y e > O •. · Entó~c~;, l~ ~~~~b:e i:te.'.'1 es el 
cónj"Unto· . .· . .' . ~ . ,::,, 
N(e, A)= { x e X: existe a e A tal que d(a, x) <·ef 
Dados un espacio métrico Y, un punto a E Y y un número .e > O, deno-
taremos por By(e', a) a la bola abierta de radio€ con centro en a. Cuando el 
contexto sea lo suficientemente claro, denotaremos By(E, a) simplemente por 
B(e, a). Si .-! es un subconjunto de Y, utilizamos la notación cly(A.), inty(A) 
y fr}-(.-l), para referirnos a la cerradura, el interior y la frontera de A en Y, 
rcspectivaniente. 
En el siguiente teorema enunciamos una serie de propiedades elementales 
de las nubes sobre los elementos de 2x. Por su simplicidad, la prueba. del 
mismo se omite. 
Teorema 1.4. Sean A, B, CE 2x y e, t5 > O. Entonces: 
l. N(e,.-1.)=Uae:.iB(e,a)j,':• 
2. si t5 <e, entonces.iV(ó::~)Hiz\r(e,~-1);, 
.' ., /> .--··.:,_,· ·.- .-·- .-·· ·• 
S. N (e, A) U Ú(t5, .4)::: 1V(Íi~~~{ é, 8} ,_.-l.); 
• . " .• - ,. 1; .•. ,- .••. ' 
4. si A cB; ént'o~é~~irc~·;:A.5·¿ iv~(é,B); 
5. N(e, A) UN(e,B) ~ N(E; A U B); 
. 1.2. HIPERESPACIOS ·DEUN.i CONTINUO. 3 
6. si A c.N(€; C).y.pcÚ(ó,B); entarides'··A i= 1V(€ +o;B)~, 
. ' .. . - . . ,, - ··.·: .. ·< " . 
' }_ .. ,:•.. . ·.-~-:y, ... :_-;,· ...... _~: __ :;.~_· ... : :.···~· -·•·.--,; '.· ··_1•··;,_-'":·. _._.,, :_"::;··"· ~,,., ~- :··· •' ·.·(· 
NotemosquésiA E. 2~~Y €.>,O eii.tonéés;dé la prirneraafirrnadón,del teo-
rema anie~io:r, .sé tien~·~i.~e elconjii~to 1V(~;Á.).·~s.;~bié'r.fa,'e.11 x.:obsérvén1os 
también.c¡ue•A Cl\'.(€/A):'· < >:';' .. ;<< .. ::;· . .>: :,.;,, · .... ·, >: . 
. • elez~:t~1t~t1;~~.0··~~~kri~o;• ~.~.ª ?r~~i·~~~df~~~,~~~.~~al.:''.c1~;~Í~~\·~~b~s;·•• .. dé, los 
Teor'ema í:s: :.sean ~4 ·:¿, ~0.· Jp ~-2~~ v''€: :. 6_1X :4 e ·;vci,B)~ entonces 
cl\·(A) e N(2~, Ei),. . " i X.· •, ·.· ·· •... >: < • 
· Demosfracióri. kix E·clx(A),';é~:ion.cés13(~~·;)nA~:0:.Por.tanto, existe 
a E B(€, x) n A Como A,c1X(€/B),,existe b E B tal qué d(a, b) < €. Luego 
• -< .;.-.'·:: ·'. •·. 
Corolario 1.6 .. Sean A c•..-Y, a e·..-Y y L> O. Si A e B(€,a), entonces 
clx(A) e B(2€, a). ., . ' . 
. --·.··-·,:---.. - ... _.-__ -.• 
Demostración. Notemos tjuétB(€, a) = N(€, {a}), por la primera propie-
dad del Teorema 1.4. <Entonces ~4 e N(€, {a}) y; por el teorema anterior, 
clx(A) e N(2€,.{a}) =j~(2€;,a).. · • 
Una manerá de: asignar una métrica en 2x se obtiene por medio de la 
función H: 2x x 2'.'° ··~··[O, 'oo) definida, para A y B E 2x, como 
H(.4,13) ~fof{€ >.O: A e N(€,B) y B c:N(~;'A)}. 
En el siguiente't~oréma mostramos que H es una míÚ~i~~(en:.2~y .. Además, 
indicamos u~a propiedad adicional de H, que se .utiliza:'i-a'có~ bi:i.s.ta~te fre-
cuencia en este trabajo;por lo que no será necesariorcitáTrsiquierá dicho 
resultado. . . . : . ''· ~</(;:':J;:~xj ;~;\', . 
Teorema l. 7. L~funci~~ H ~s una métrica pa~:~k:~ .. '·if:z~C:;~~~f2~i;;~4;;J3 ;il 2x 
y€> O, entonces FI(A, B) <€si y sólo si A. C.N(€¡B),'y 13' e N(€, A). 
. . . . "' . . -· '.· , ... ;. . 
4 
Demostración. a) Veamos que H está bien definid~--c~S~~~.A;•B:E ~x. 
Como A :/: 0, podemos elegir ao E A .. Como B es cerrado e1Í 'el compacto X, 
B también es un compacto. Por lo tanto, Bes acotáci6; dé'rnodo-que existen 
Xo E X y c5 > o tales que B e B(c5, Xo). ' '• ,,: <:•:• -:,:,>:< '·i·-.5''"' :.-;:.;. ' ' ' 
- :'::, ';: .. -.. <,~-~~~:::"~.~-~:y-,:::~\ ·;. ,;., . 
Sea E = d(a0 , :z:0 )+c5. Notemos que E > O~ AclE;~á.~;!_b c·)~(E,(l~) e ÍV(E, A.) 
pues dado b E B, se tiene que: · ·· · ';f;:·';{::¡¡ :':•;z".:;: <•; ' ·. ·. 
d(a0 , b) :S d(ao, xo)+ d(xo, b) < ~(dd~;f~)+6; 2\.,. 
Hemos demostrado que existe E > O tal qtre .B:.c N(E~ A) . . De manera 
similar, existe€¡> O tal que .4. e N(Ei)B). Sea'.€;:: max{e 1 ,E}. Entonces, 
B C N(E, A) C N(E2, A.) y A C N(E2;B), Por lo tanto, el conjunto con el 
cual definimos H(A, B) es no vacío y, <:Orno está acotádo i~feriormente por 
el nürnero O, H está bien definida. · 
.,··. - -: 
b) H(A, B) ;:::: O; pues es _el ínfin1o dé un,conjulifo de números mayores 
que O. 
c) H(.4., E) :::; H(B, ~4f pues, ~n Í~ defirii2ióri: ~le H, i~s :~onj~nt6s A y B 
juegan pa¡)eleS SiirlétfiC-os;::~;_~;~:\~:~~·~;~<~~-:-:-·· .. -. ~":.: :<~--~:_.¡· .. :·::l{?~~--::·;-.: 
d) H(A, Á).•d,;•·ü iJJ~;·,.flgr.·~~fiA,i~i'i#·Ii'.~eN~*ºs•'ciiré•-·-· • · 
i-~:~ --~·-~!:~·:> ;~~-- 1 ~,'.-~:~~~~::r~:i.~·',-,::~i~·,., ·:"{\''.f.> ;e•'.· • ~. 
e) Si H (::tr~~l~t f~i~~,v(<f '.~)} ;,. iiif (Ü, .,;¡ ;,.. O 
'~ · • .:-.:.--.:·: :,_,," .. « 
Para ver. e); ~i.{'pcinga.rÍló~:que iI(4, B). =·O. Der~ostremo~-~dmero. que 
B e A. Sea b E B:. Como A es cerrado basta probar·q~e b E cl,;:-:(.4):· Para 
obtenér loánterior, tornemos ó > O y veamos que:B(ó, b) n :A.:7(0. . 
. ' . . . . . . . . .. . . . .. . ' - . ' .,,. "- . '.; . :' : . ' . ~ . ,;,.. ·. 
Corno ó > o y o = inf{ E > o: A e iV(E,BY)'~)·2;1\Tc~>-~)},:t;~n~rrios -· 
que existe E > o tal que E < ó y B e N(E;A):;c·':'iV(ó, :A.):._oe.:ffiodo;que 
b E N(ó,A). Entonces, existe a e-A tal qúe:d(á,bY~ó:Esfo.nos:muestra 
que B(c5, b) n A # 0. Por lo tanto, b E clx(A) "= A. Así, B e A: De'mariera 
similar se demuestra que A e B. · ·- · -· · 
f) H(A., B) :S H(A, C) + H(C, B). 
· 1.2. HIPERES;ACIOS'DE UIV<C~NTINUO: · 5 . . . . 
Para. ver. f) )a:blib\rl'los :propi~dad~s de ínfimos, ·así corno. la parte 6 del 
Teorema 1.4> De, esta riia:riera: · '" 
-.~."' '" .:. ·:_',;,:-·:::.:_,: :~~~ -~··--.--- -
_·:>::: '-;"·:.:· ,' ~<_-· .. _~:. 
H(A; C) +H(B, C) ;g,; :ii1i0 :>Ó:.AcW(E,C) y e e N(E, A)} 
., ·. +>)i1f{~>.o: C.cN(ó,B) yB,c N(ó,C)} 
. :-"iiif{€.+:ó: e,'ó> O;A.CN(E,C),C C N(E,A), 
. C c·1V(ó;'B) yB e N(ó,C')} 
. ;::: . inf{E+o>O:A cN(E + c5,B) y Be N(E + c5,A)} 
inf{ X> O: A CN(~\, B) y Be N(A., A)} 
H(A,B). - .. 
Por lo tanto, H es una métrica en 2x. 
Para ver la segunda parte del enunciado, sean A, B E 2x y E> O. Supon-
gamos que H(A, B) <E. Como H(A, B) = inf{ 77 ;:>o: Ac,N(11,B) yB e 
N(r¡,A)}, existe O< T/ <E tal que A e N(11,'.B)'yB:c·N(11;j1).'Porél 
Teorema 1.4, inciso 2, tenemos que N(77, B):c.JYk.BfyiV(ry,'A(c N(E; A). 
Por lo tanto, A e N(E, B) y B .e N(E,.~4).:. •iC;,.~:··,.· :; / ·, ·; ·;; · .. 
• • : .· i ···~:;·~--~. v~_':._ '):· • " i';·~.~ :. ·· .... -
Finalmente, supongamos que A e .N(E,.B) y,B,,c N(E~A);· véárnos que 
existe O < ó' < E tal que A e N(c5', B),y B c'·1V(c5',A}'.'Primero observemos 
',' . - ._; . -- .• ..;; i ;'. ,,•···:: ¡_ ._ ·-~- ' ' 
.. .... que: 
es una familia ele abiertos en X que, ~·~ti ~ez, constituye una cubierta abierta 
ele .-l. Para ver esto último, sea a E A .. Como A e N(E, B), existe b E B tal 
que d(a, b) < E. Sea O < ó < E tal que d(a, b) < ó. Entonces a E N(ó, 13). 
Esto muestra que U es una cubierta abierta de A. Ahora bien, corno .4 es 
cornpacto, existen Ó¡, 82, ... , Ón con O< c5; <€,para cada ·i = 1, 2, ... , n tales 
que A e U7=t N(ó;, B). Sea 80 = rnax{ Ó¡, ... , Ón }. Notemos que, para cada 
i E { 1, 2, ... , n }, se tiene que N(ó;, B) e N(ó0 , B), por lo cual A e N(80 , B). 
Aclem<is O < c5o < € y ele, este modo, hemos probado que existe O <· 80 < E 
tal que A. e N(c5o, B). De la misma manera, existe O < Eo < E tal que 
B C J.V(Eo, .rl.). Entonces si tomamos ó' = max{c50 , Eo}, sucede que O < 6' < E, 
A e N(ó', B) y B e N(c5', A). Luego, por la definición de H, tenernos que 
H(A., B) :5 80 < E. Esto termina la prueba de este teorema. • 
6 CA.PÍTULO l. NOCIONES FUND.4.iWENTALES. 
A la función H se le llama la métrica de Hausdorff Observemos que H 
está definida en términos ele la métrica d ele .Y. Deberíamos entonces escribir 
Hd, en. lugar ele H. _.\ menos que entren en juego dos métricas, o que el 
contexto no sea lo suficientemente claro, la métrica ele Hausclorff se denotará 
simplemente por H. Las mismas consideraciones las haremos con la forma de 
denotar las nubes de elementos en 2x. En [37, Teorema 4.6] se prueba que 
la topología 7 en 2x, inducida por la métrica ele Hausdorff, es la misma si.se 
tienen métricas equivalentes ele .Y. 
Cabe mencionar que 2x es compacto, lo cual se demuestra en [38, Teorema • 
0.8]. J.\lé1s adelante se probará que 2x es conexo por trayectorias (ver Teorema 
1.61). Entonces, 2" es un continuo y poden1os hablar del hiperespaci6 de 
2x, el cual se define como: · ..... 
~,,; : ; ~·:.',~:. 
22 x = {A e 2x: A.esicer~adoy.noYaC,~é>}1{~,J,';/;'./:·}If)c';;,:"_ 
y resulta ser un continuo' baj6 l~_rnitfi~~-d~'H~J~Ji;~;¡~d~~i~f{~~6r~H, que 
denotamos por H 2 , y definimos de ma~era similar a Hi~AsÍpues;'para A, B E 
22X: . . :.·:· :.• .. '!c.· "·'·\>:··· .• . 
H2(A,B)·=Ínf{e> O: A c'JV(e,'Í3))·>B_c)V"(e',A)·}; 
donde: 
.. ;, ... 
1.2.2 El HiperespaC:io C(x): 
Otro hiperespaé:io ele X qu~, ~orisideraremosen este trabajo, es el de los 
subcontinuos de X. Dichó hiperespaé.io qúeº sé denotará poi: C(X), se define 
como: 
C(X) ,,,.-..; { ~4. E 2x:: A es conexo}. 
; .. : 
Notemos que X E. C(X) y que la restricción ·a C(X) ele la métrica de 
Hausdorff definida para 2x, hace de C(X) un espacio métrico, En (38, Teo-
rema 0.8] se puede ver la prueba de que C(:X) es compacto. iVIás adelante 
probaremos que C(X) es conexo por trayectorias (ver Teorema-1.60). Luego 
C(.X) es un continuo y podemos hablar de sus hiperespacios, los cuales son: 
- -
1.3. CONVERÓENCIA EN·2x-. 7 
2CCX>.=.fA •. f: C(X) A es.cerrado y rio vacío}, 
y 
' . 
C 2 (X) = C(C(X).) = {A E 2<;-"C'.~>: A. es conexo}. 
Y el hiperesp~cio de 2x': 
/ •;,, •. • • •• e 
C(2x) ='{A E 22 .x-: A es conexo}. 
1. 3 Convergencia en 2x. 
Dado un espacio métrico Y, la notación (Yn)n C Yindicará que (Yn)n es una 
sucesión en 1 ·. En vista de que 2x es un espacio métrico, podemos hablar de 
la convergencia de una sucesión en 2x, utilizando ·la definición usual. 
Definición. 1.8. La sucesión (An)n C 2x converge a un elemento A E 2X 
si para todo e> O existe N E N tal que H(An, A) < e para cada n 2: 1V. 
Si (A.,)n converge a A escribimos An --+A. Utilizando la noción anterior 
es sencillo demostrar el siguiente teorema. 
Teorema 1.9. Sean (An)n, (Bn)n e 2x tales que An -,-+ A y Bn --+ B para 
algunos A, BE 2x. Entonces An U B,.-,-+ A U B. ·· 
Notemos que, en la definición anterior, estamos pensancici que los ,ele-
mentos ele la sucesión (An)n son puntos de 2x. :Ótra manera de< hablar. de 
conve1·gencia en 2x, se obtiene pensando que cada. ·elemento· de la sucesión 
(An)n es un subconjunto ele )(. A continuaé:ión mostraremos la forma de 
hacer esto. 
Definición 1.10. Sea (An)n e 2x~Entori~es , 
lim inf An 
limsup A;:. 
{ x E X : para cada e > O existe N E N tal qÚ.e 
B(e, x) n An =/= 0 si n 2: N} y 
{ x E .Y: para cada e > O, existe .J e N infinito, 
tal que B(e, x) n An =/= 0 para cada n E .J} .. 
son el límite inferior y el límite superior de (An)n, respe~tivamente. 
8 · CAPÍTULO 1:. NOCIO!VESFUND.4.MENTALES. 
... -·~, 
Ahoraenún~iarn6sun teorémaquehabla acercad~ las propied~des el~ los 
límites inferior.y, ~Új)f,!~iorZStl prtteba pue_de ,,:e.rs.e.·. enJ38, T~()rema. 0~6). . 
.. . .. - ~· 
Teorema 1~i.1•:jj~da·c.ii.);; C:'.2x sé tiene q~e:·. 
2. lim inf· 0~';/· y 1i'lriiJ~A~ ~on s·ubconju;itos cerrados en X; 
"~~ ·-._._ . ' :' ' . 
4, si (Ank)~ e,s •. ui(a',s,ubsüces'ión de (A,.)n, entonces: 
·-::_-.'.· 
4.i. ·.lim i~fAJi ·'¿ timinfA,;~; 
4~2: .• liri1s~;.4~,J:s iidi ~tlpA": 
A contillu.acl~~-~r~~~Üt¡~w~ Ja noción d~ convergencia· en 2x,. en. términos 
de Ja Definición' l.10: '.· >: · · . . · · · 
,º~ '•' : J ... !··.'."-
Definición i.12; La suCe;i6,i (A,.;)nc 2x ~onverg~ a un' elemento A .E 2x, 
si: .- · · ·. · . , ... ;.; 
- ,_ -. - ~--'--. ,: , -,,_. r~'·' , -
~--tl = lim srip:·:~i~;:~~-~ ~-/'_\?~?:::,_<;t ... ~;i._. 
'' ~ .. ':::~:: 
Cuando (A,.)n converge a .4, de acuerdo con' I~:'defi~icfóii ~rite~i6r,. es-
cribimos limA,. =A. En (37, Teorema 4.11) se prii~ba.q'í.ie:1á.S;nociories de 
convergencia dadas en las definiciones '1.8 y 1.12 son equiválentes. 
Teorema 1.13. Sean (A,.),. e 2x y A. E 2x. Entonc~s ~~n ~ iÁ si y sólo si 
limA,. = .4. 
De esta manera, y este trabajo no es la excepción, podemos usar a conve-
niencia las nociones anteriores de convergencia. También, en este trabajo será 
conveniente utilizar una noción equivalente a los límites superior e inferior en 
términos de sucesiones. Antes de presentar dicha equivalencia, recordemos 
que si (Y, e) es un espacio métrico, 0 i= A. e Y y y E Y entonces la distancia 
del punto y al conjunto A está definida como 
D(y, A) = inf{ e(y, a): a E A}. 
Si el conjunto A es compacto, entonces: 
1.3. CONVERGE!YCI.4. EN2X;. 9 
D(y, A.) =; miri{ e(y, a) : a E A} 
por lo que existe ao E A tal que D(y,A) '= d(y, aó). Este resultado se utilizará 
con bastante frecuencia en el capítulo .4. Eí1 particular también se. usa en la 
demostración del siguiente teoren1a. 
1. x E lim inf.-1,. si y sólo si eri~sté ;J.n~ s:;ice;ión (xn)ii, de X tal que Xn --,7 x 
y Xn E An, para toda n É N.::;.\~} ~,,t>•}; ··. ·-~ .. . · .. .:,\': .... _~,;,\;~··· /• .; '. >/ .· ;·' 
2. ~' E<H:; •:P ~· :~~n¡;~¡i~:;:;,t;~~:~?~:·t~,~ ;~:e;.:::~:':'. 
Demostración. Priniero . .veamós .el'in'ci~,°: l.'~->: , · .... · · 
que 
(=>)Sea x EliminfAn. Para cacla.\{e Ntomemosxn: E Ande manera 
'~ .... ::,: ·;'.; < 
d(x, Xn) =D(x; An) 
Vamos a demostrar que x 11 ---+ x. T~m~m6~ € > O y N E N tales que 
B(E, x) n An # 0 para todo n 2':: N. Enton:ces, para cada n 2: N, podemos 
elegirª" E B(e, :i:) nAn. Por tanto d(x, an) <e. Por la forma en que· tomamos 
a Xn, sabemos también que d(x, x,.) :5 d(x, an)· Así podemos concluir que 
d(x, Xn) < E para todo n 2':: 1V. Luego Xn --+ x. 
( "*'=) Sea (xn)n una sucesión en X tal que Xn --+ x y Xn E An, para toda 
n EN. Veremos que x E lim inf An. Sea E> O. Entonces existe 1V EN tal que 
Xn E B(E, x) para toda n 2':: 1V. Por tanto B(e, x) n An =/= 0 para toda n 2':: 1V, 
lo cual nos _dice que x E lim inf An. 
Ahora veamos el inciso 2. 
( =>) Sea x E lim sup A,.. Sabemos que para todo e > O existe un sub-
conjunto infinito J de N tal que B(e, x) n An # 0, para todo n E J. En 
particular, cuando e= 1, existe J 1 e N infinito tal que B(l,x) n.411 # 0 para 
todo n E .11 . Por lo tanto, para n1 E J 1 , podemos elegir Xn, E B(l, x) n An,. 
También, para E= 11 existe J 2 e N infinito tal que B(1 1 x) n .411 # 0 para 
10 CAPÍTULO l. NQ_CIONES FUNDA.1WENT.4.LES . •. 
-:_<' 
todo n E J2. Como J 2 es infinito, existe n2 E J2 tal que n2 > n 1 : Ademá.S po~· 
demos elegir xn., E B(k, x) n A.n ... Procediendo de esta manera; éonstrliímos 
una sucesión de -números natural~s (n~)k tal que n1 < n2 < n3 < ·.: .-.y_-piintos · 
Xn, E B(f<,x) n .-\,.k, para cada k EN. Notemos que d(x,xn:;,}:<-+:y;~_como 
i-+ O, podemos concluir que Xn1.: -+ x. ··-·;·~·,.-_,·_,.'- ·-' ·,;_/- . ;_t·' 
·: :~. ~:·: :,. 
( <=) Como existen una sucesión de números naturalesn1 .< ii:2;<· ;n3 < · · · 
y puntos x,,. E A 11k, para toda k E N, tales que Xn• ---+ x, s'i. to.Íml:i:nos € > O 
tenemos que existe J{ E N tal que x 11 k E B(€,x) para todo_k 2: K. Esto 
implica que B(€,x) n.4.n• # 0 para todo k E {K,K+l,K+:i~:;.}, así que 
x E limsup.-\.,.. · · · • 
En el siguiente teorema mostramos que el límite cl~-~f1a'..sucesión en 2x 
se preserva bajo contenciones: Notemos eluso del Teoremá-l.13. 
. ~ . ' ·. . . . . ~- -· -., .. - ., . ' 
Teorema 1.15. Sean A; BE 2"'.~ (.4n)1l,(E;,)ri•(::'";'<';·.t~le~·que An 
Bn ~By .4.n.C Bn para·tOda.n.·E_.N<,E·rifori.c~s,~:~:.C<B;.' <.~-: - . 
---+A, 
' ··~ 
" ._, - .·. 
Demostración. Sean €. :> o'vd:e·.'.f~'(:;óri,,i:l'lirii infÁ_~ = A·~~i~te N E N 
tal que B(e, a) n .411 # 0 párait~'do·:~~~(iv::j.\cier!iás,.porhip(5€esis,'Ai. C:: Bn 
para toda n E N. Entonces;' B(~;;a)'i'\'BJ'é 0 p"á:ra· todÓ .n ,~· i\T;_, Por tanto 
a E lim inf En= R:. ".::; .. ,::~.·~éf-i~h~if·,~~;~['nJ~;~ .. ::[,',:·;;:};'?·.·'. >:·.:", '. .. · • 
Como consecuencia: mmed1ata•del;_teorema·antenor, .. tenemos el- s1gmente 
resultado: ;>~:c;;;,,s¡;;¡.··,;;;t,'.}·'i';:;;;':':·:" •·· ' . ,., · • ,: 
;.% 0~~!~?~-~:~!f~f ,~~lj:~i~~~i~~i~l~·;;f •n1~ ~rº~;;;e l~l 
- >,j, - '" ~ ..... ~-·-~ <:·. ,., ' '- ' .-,: . ,-· ·: ~ ., 
.• .. '.- . . ..•.• , -... •.•.' •. """11: .--:: .. ,._. .. :-,-,. . . "·. .- .-·X:. .., .,, ' . ',., ·' 
Teorema ·i.-17;' Sean:.4, B-.E 2<. ,y (An)n, (B;.);. e 2'. · .. tales'qu.e A~.;...:.+ A., 
Bn -r. E y Á,i n E~:=/= 0 pa·/a toda n E N. Entonces An B #, 0. <. -.\ 
- . . . '' ·, -''. . ' . -, . - , . -- . - ' - ' _.· - . - . . -- '• -- "-··· . . '"" ;:.,. . ~,. __ .. ;. -~· :._.::;'.~ '!·~- : . .; -
¡::,. 
Demostración. Como cada conjunto An n En es :no vacío,,:dáda nE N, 
podemos· tomar un punto a 11 E An n B 11 • ·com~:A11·'n'B;.\(:';x elcual es 
compacto, existe un"a subsucesión (ank) de (an)~ corivergéntk''aialgúri-punto 
a E X. Por el Teorema 1.14, podemos decir que a E 'iim'sup'A11 A y 
también que a E limsupB11 =B. Por lo tanto, a E-Arl B. · · · · • 
. .. 
1 . .3.' CONVERGENCIA EN 2~--., ·.11 
. . ' -: .. ' . . -
Cm~bi11ando los ;eirei~a.S:l.15 y 1.17 tenemmieLsiguie•nte result~cÍo;el 
cual nos indica cómo, áYpartir de un abierto. o· ele un cerrado de X, podemos 
construir. ábiel"t6s"0o cer~ados en 2x, segt"Ín _sea el caso.: 
Teorern~ l~ :¡g:::fÍJ~dJ Ú' e X; 'Los: co~junt~s 
- ~ . '· - ·- . . , 
y K. = {A E 2'~: A n U # 0} 
son _abiertos o b·ien cerrados en 2x si U es abierto o cerrado en )(, respecti-
va·mente. 
Demostración. Supongamos que U es cerrado y veamos que 1i y K. también 
lo son. Supongamos que (Bn)n e 2x es la sucesión constante U. Para ver que 
1i es cerrado, sea A E cl2 x (11.). Entonces; A E 2x y existe (An)n e 1i tal 
que An -+ A. Como An E 11., resulta que An C U, para tocia n E N. Entonces 
An -+ .4, En -+ U y An e Bn, para toda n E N, así que, por el Teorema 
1.15, A e U. Luego A E 11., lo cual prueba que 1i es cerrado en 2x. 
Ahora veamos que K. = cl2x (K.) .. _Sea A E cl2x (K.). Entonces A E 2x y 
existe (An)n e K. tal que An-+ A:.·Entorices An-+ A, Bn-+ U y AnnBn -# 0 
para tocia n E N. Por tanto, de acuerdo éon el 'Teorema 1.17, A n U'# 0. Así 
A E K., lo cual prueba que K. es é_er,r3,:do :'en 2'.\· . 
Si suponemos que U es abNkt.C>:en'~Y{enio?~e~ . _.,. 
-- -. ':~-~--~:-;_?~;~;:~~:~~:, -~·::·:, .·-·/;;\" .. ·· .t:~· ~~~,: , .':: ~ ';-~_.·. 
-i,.-:;:l{.'.'."-~ , '· 7.- -
2x -11. = { .4E~~¡+.-'t$Jg,x;fs.1;;;.~:1:.\;,:~·-~rt- U')# 0 }. 
Notemos que X...,.. U es 'éerradp: ~Á.sí'que; por:ló que acabamos ele probar, 
2X - 1i es cerrado en 2x. Luego'1(es abierto·eú 2x\oe forma análoga se 
prueba que X<,· •. 
2X - K. = { A E 2X: A n u = 0 } ~{A E 2x : A e X - u} 
es cerrado en 2x. Luego K. es abierto en 2x y la prueba termina. • 
Terminamos esta sección mostrando una sencilla aplicación del resultado 
, anterior. Notemos el uso de la segunda parte del Teorema l. 7. 
Teorema 1.19. Dado A E 2x tal que A e U con U abierto en X, existe 
E > o tal que N(E, A) e u. 
12 CA.PÍTULO l. NOCIONES FUNDAMENTALES. 
Demostración. Consideremos, la familia 1-í = { I< E 2x: K C U}. Pode-
mos observar que A E 1-í y que 1-í es abierto en 2x, según el teorema anterior . 
. Entonces, existe E > o tal que B(t:, .-l) e 1-1.. ~!ostra.remos que N(t:, A) e u. 
Para esto, sea a E iV(t:, A) y consideremos el conjunto B ;,,,, A U {a}. Vamos a 
probar que B E B(E, A). En efecto, si b E B entonces b = a o bien b E A. En 
cualquier situación resulta que b E ;V(E, A). Esto prueba que B C ¡V(t:, A). 
Además A e iV(t:, .-!) e N(E, B), pues A e B. Por tanto, B E B(t:, A) y 
entonces B E 7-í. Esto implica que B e U, ele donde a E U. • 
1.4 La Función Unión. 
En esta sección definiremos la función unión, la cual nos será útil más ade-
·. Jante, especialmente en el capítulo 6. Para definir esta' función, supongamos 
primero que .C E 22-" y consideremos el conjuntó : · ' . ::, ·· 
L = LJtK)ry::~;f}h.\ · 
'.i.~ : ' 
También en• 
A continuación .. présenÚtnios;dos':pro.pie'.dacfesJund.amentáles de· la función 
~~::.:::'.~~: )*~X~i~~j}~~~~!~f !t~~lf ,,fü·;;\··•· 
Demostració.n .. DadaA.é2·~?cónsideí:enú:>s :la'. familia: A ·{A}. Clara-
mente a(A). ~'.A:•:' .• :.~~.;:: : ··~. ';:((L ·ó:,:~(''"~~::~:.~~~LP•~: ·' J~-. ;: 
·~ ~"<,>~~·~~:::.~,-:~ :-»< ,, • 
Teorema 1.22: Si ,e E C(2'') y ih C(...-\'.} f 0; ~iit~71ces a(,C) E C(X). 
1.5. · ELE;WENTOSDE CONTINUIDAD. 13 
Demostración. Sea ,C con las características mencionadas y supongamos 
que iT(.C) fj. C(X). Entonces, a(,C) no es conexo, por lo cual existen Al, [{ E 
2x cales que ·Al U l( = a( .C) y 1\1 n J( = 0. Tomemos un elemento B E 
I:, n C(X).·Como B es un subconjunto conexo de la unión de los conjuntos 
ajenos· 1\J y J(, sin pérdida ele generalidad, podemos suponer que B e Al. 
Consideremos ahora las farnilias: 
1i = { A E I:,: A e i\l } y JC = { .-1 E ,C: .4 n K =/: 0 }. 
Por el Teorema 1.18, 1i y IC son cerrados en 2x. Además,. 1i =/: 0 pues 
tiene a B. Tornemos un elemento b E J<. Como I< e a(,C), existe A E ,C tal 
que b E .4. Entonces A n J( =/: 0 y, por consiguiente, .4 E JC. Esto prueba 
que /(, =/: 0. Si existe un elemento A en 1i n IC, entonces, corno A n I< =/:. 0, 
podemos tornar un punto x en dicha intersección. Ahora bien, A e Al, ·así 
que x E i\J. Luego, x E lvl n J<. Esto contradice el hecho de que J.''Í y K.son 
ajenos. Por tanto, 7-l y /(, son ajenos. 
Notemos que 1-l u IC = .C ya que, por definición 1-l U IC e .C y, si torÍla:ajos 
A E I:, y .4 E 11., entonces A E 1-l u K,. Si A r:t 7-l, entonces A <t .i\IJ:. Como· 
A e a(C) = 1'1 u K resulta que A n K =/: 0. Luego A E J(, y, por lo.tanto, 
A E 7-l U K,. Esto muestra que 1i y /(, forman una separación de .C, lo 'cual es 
una contradicción. De esta manera, a(.C) E C(-Y). · • 
De acuerdo con el resultado anterior, si ,C E 0 2 (..-Y), entonces a(,C) E 
C'(X). Esto muestra que u¡c2cx> : C 2 (X) --+ C(X) está bien. definida. A 
dicha función se le conoce como la función unión en C 2 (X) .. 
1.5 Elementos de Continuidad . 
. En la presente sección daremos algunos resultados de Continuidad y Topo-
logía ele Conjuntos los cuales utilizaremos durante tocio este trabajo y que, 
aunqué bien conocidos, es bueno mencionar y tener presentes. Además; intro-
duciremos el concepto de semicontinuidacl superior e inferior. A continuación 
presentamos dos resultados sobre funciones continuas. · 
Teorema 1.23. Supongamos que )( y Y son espacios métricos y. que Y es 
compacto. Sea f: .-Y--+ Y una.función. Entonces, fes continua en a·E X si 
14 >NOCIONES FUND.4.MENTALES; 
y sólo si para tod~:;(ci;,)~·c:: j~ 'talq~e·iin;'a,yÍ·J(a;,) 
1J E. Y, se tiene'q·ue y:=. f (a). >' ... < . '<·< 
Demost~ación.·'(=>) Sea (an)ri un~ sucesión.en X tal que an 4 ay/(a,;)-:-+ 
y_para algún.punto y E Y .. Como fes continua·en a, tenemos que f(an)-:-+ 
f(n). Por lo tanto /(a)= y. 
(<==) Supongamos, por el contrario, que f no es continua en a E X. 
Entonces existe e > O tal que, para tocio c5 > O, existe b E B(c5, a) tal que 
f(b) l,l B(e, f(a)) . .-\hora, si tomamos Ón =~con n EN, existe b,. E B(!;,a) 
tal que f(bn) ~ B(e, j(a)). Ya que (J(b,.))n es una sucesión en Y, que es 
compacto, existe una subsucesión (b,..)k ele (bn)n tal que J(bn.) -+ y para 
alg(m y E }". Ahora bien, por la forma en que construímos la sucesión (b,.)n 
tenemos que b,.. -+ a. Entonces, por hipótesis, y = f(a). Pero entonces 
f (b,..) -+ f(a) así que existe k E N tal que J (bn.) E B(e, J (a)), lo cual es 
una contradicción. Por lo tanto j es continua en a. • 
Teorema 1.24. Supongamos que .Y y Y son espacios métricos y que Y es 
compacto. Sea f: ,Y -+ Y una función. Entonces, J es continua en a E )( si 
para toda (an)n C ,'( tal que an -+ a existe una subsuceS'ión (an.)k de (an)n 
tal que f(an.) -+ f(a). . 
Demostración. Supongamos, por el contrario, que f no es continua: en á.. 
Sea e la métrica de Y. Notemos que existe e > O tal que, para c5n = !; con 
n E N, podemos elegir un punto bn E B( !;, a) tal que e(J(a),f(bn)) ... ;::.e. 
Como bn -+ a, por hipótesis, existe una subsucesión (bn.)k de (bn),;:tal que 
f(b,..)-+ f(a). Por tanto, existe NEN tal que e(J(a), J(bn.)) <€,para todo 
k ;:: .N, lo cual contradice lo que habíamos supuesto. Esto prueba que fes 
continua en a. • ' _.:/ 
. ·- ·\<'. 
Definición 1.25. Sea J: X -+ Y una Junci6n entre lós ~espacios métricos 
(X, d) y (Y, e). Se dice que fes uniforrnemente\cOJ:ltinli~'Si3pari:i'.cada e> 
o, existe c5 >o tal que si x,y E.X y d(x,y) < t5,:enionces':'éCf(x)~}(y)) <e. 
. . :-··:r· -~-;~, '; · ... :; -, .~'.'' . ::•_.:,_¡.; 
Teorema 1.26; Si fes ima'¡unción continúa de ~n espacio métrico y com-
pacto A., a un espaC'io métnco B, entonces J es, uniformemente continua; 
1.5, ··ELEMENTOS DE CONTINUIDAD. .15 
El resultado anterior tiene como consecuencia el hecho de que toda fun-
ción continua, definida entre continuos, es uniformemente continua. Por tan-
to, para dicho tipo de funciones, las nociones de continuidad y continuidad 
uniforme son equivalentes. En el presente trabajo utilizaremos con frecuencia 
este resultado, sin dar siquiera la referencia al teorema anterior. 
A continuación diremos cómo, a partir de dos sucesiones en un espacio 
métrico y compacto, podemos encontrar dos subsucesiones convergentes de 
éstas, que posean el mismo conjunto de subíndices. 
Teorema 1.27. Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones en el espacio métrico y 
co·mpacto .'\. Entonces existen una sucesión de números naturales n 1 < n 2 < 
n3 < · · · y puntos a, b E .'\ tales que ank -+ a y bnk -+ b. 
Demostración. Como .Y es compacto, existe una subsucesion (a,.k)k de 
(an)n tal que ank -+a para algún a E)(. Ahora bien; para la sucesión (bnk)k 
en el compacto .X, existe a su vez una subsucesión. (bnk, )1 tal que bnk, -+ b 
para algún b E .Y. Hemos encontrado una sucesión de números naturales 
nk, < nk, < nk3 < · · ; y puntos a, b E .Y tales que an., -+ a y bnk, -+ b. • 
En el resto de la secc1on supondfe.mos que )( y Y son continuos con 
métricas d y e, respectivamente. . . 
Definición 1.28. Decimos que unafuncionf: X,-+ 2Y es 
1. semicontinua inferici~rnÉmte 'ese) en x 0 E X ;i.para todo e > O 
existe una vecindad u de Xo tal que J(xo) e N(e; f (x)) para todo X E U; 
··.'.·¡· 
2. semicontinua superiormente (Se) en x 0 E X: si·para todo e > O 
existe una vecindad U de x 0 tal qué f(x) e N(e, f (x0 )) para ~odox E U.· 
Diremos que J: X -+ 2 1' es SC (Í:espectivamEmte, SC)s(lo ¡,;~'e~ 'ca'dá 
. .. . ' ·.' '/,' ~ :· .. \. > .'. 
punto de .. Y. . , ..... ,. .;. , .. :,: ::;¡•.t;:.,c/· .. · 
Teorema 1.29. Una función f: X J-2Y es continua en x 0 -=.:x.~·ii·.Jij6lo si 
f es SC y Se en Xo. . · ' 
Demostración. Esta demostración es: inmediata, ya que J)~~')séy Se 
en xo si y sólo si para todo € :> o ·existe ó.•> o tal quetsiern'pre?que x E 
B(t5,xo) se tiene que f(x) e N(e,f(xo))y'f(x0) e ·N(e,f(x));.de donde 
H(f(x), f(xo)) <e. · · .. ••·· ~'::· • 
16 .:·.CAPÍTULO l:~ NOÓONESF.UNDA1WENTALES. 
La prueba del siguiente. t~i:iréma se sig~~. directamente• de. las respectivas 
definiciones> • ' ·~, ,·.~:> •:: :,:'. '.'.· . 
Te~,:~~.~~! l~fi.~!01;¡~;-:;t rj:s, > O. =Mte 8 > o tdl que P~m 
todo, x;E i;J(J;'.:xS y .iodo .y EJ(x0 ) eXiste z Ef(x)·'frLi que e(y, z) •<e: 
.·>,_-···e-~:.~.-·:.~, __ - ,-'. ---.: : ··: .-,, •. ,·· :,-.·'' :· -..... ;~-... _. _,· ---~-· ··--, 
2. se ,en ·xo E X si ~ sólo si para. todo E > 6 existe c5 > o Jal que para 
·todo x E B(ó, x 0 ) y todo z E f(x) existe y Ef(x0 ) tal que e(y; i) <e.· 
·- . . . . : . .,-, .. _., ..... -·.··" .,:.,;.,'"•",,.... '-: . ..-.;-__ · 
A continuación mostramos otra equivalencia,Cle lc:i. · se~ic6hti.nuldad' en · 
términos de los línlites superior e inferior: ' · •• · · ···.C.•.' • · >·· •,::; 
':·-· ";'- ,.,¡,, 
Teorema 1.31. Sea f: X~ 2 1
'. Ento~ce.s <( .;'.:'.\ .:~.·~.if~·:.~~~f.¿fi.::~o;;;_:;- .·.·. 
1. fes se en Xo E X si y sólo siJ(xofC liin infJ(:i;;)pciraitodii:sucesión 
( x n) ~n X que converge a· xü :' f ?F ;:~G ·';;,:·'.'''¿});]:~>·7,JJ;~f ~i~;;.'~[~'.;~.r;i~_·f ;:'.~: ·• \'. ·., 
2. fes se en xo E X si y sólo si lim supf(;::ií) ~f {x,b~)!.ªTª)to44 ·s.~cesión 
(xn)n en X que converge ax~. ·. ·• )'., )I}if{)~iL;~·J,':;·~15:fi)",~/:g~ .. d:{:·: · .. · 
Demostración. Probaremos sólo 1; en vista dé qUe la i>tüebade'2'es:similar; 
. -. , :i· --- ··- .. -"· -.-. ----;-:·; .... \.::>- -;-~T- ~-,,-- .. 
(=>) Supongamos que f es se en Xo E X y tómérii()s (x~);i;:q'X.tadque 
Xn -* Xo. Probaremos que dados z E f(xo) y E > o,·existe NJE'N;tai:que 
B(e, z) n f(xn) =F 0 para todo n 2: iV. Por la semicontinuida{idf~ribr;d~J: 
sabemos que existe 6 > O tal que f(x 0 ) e N(e, f (x)) para toda :i:;;e·:B(c5:'xor 
Además, ya que (xn)n converge a x 0 , tenemos que para estaó:existe;'Nfi:;<N 
tal que Xn E B(ó, xo) para cada n 2: N. Por tantof(x0 ) C N(e;J(x;,))~para 
todo n 2: N, y podemos afirmar que z E N(e, f(x~)) para cada>n};?:<N, 
Por lo anterior, existe Yn E f(xn) tal que Yn E B(e, z) y'concluirn6s·que · 
B(e, z) n f (xn) =F 0 para cada n 2: N. Por tanto z E lim infj(x;;:):,' '):+ '.:>> 
( <=) Supongamos, por el contrario, que f no es se en x~;i::::'~'.~E:iito'iic°es 
existe e > O tal que para toda t5 > O existe x E B(ó, x 0 ). tal'qué f(x0 ) <;t 
N(e,f(x)). Entonces cuando Ón =~con n EN, existe x~.E·~(!;,x0 ) :tal 
que f(xo) <;t N(e, f(xn)). Por lo tanto, para cada n E N podemos. elegii: 
un punto Zn E f(xo) - N(e, f(xn)). También, por la compacidad de ·j(x0 ), 
existe una subsucesión (z,.,)k de (zn)n que converge a alg1ín punto z0 E j(x0). 
- ' - - .. . 
1.5. ELElVIENTOS DE ·cONTÍNUIDAD. ·. · · •17 - ' .·, -
Por const~ucción x;.k -+xo~ Lu~goj(:i:ofC:liminfJ(xnk), por lo cual .;;o:E 
lim inf f(xnk). De esta Il"lanera, para.+ existe N 1 E N tal que B(~, zo) n. 
f(xnk) =I= f/J para todak ;:;'.•N1.\Com·o:i~~ -4!z~, para~. existe·N2.E Nial 
que zTlk E B(~, zo) para·toda'kc 2=:'Nl: Seari)V. =· max{N¡,N2} y m ;:::· N. 
Entonces existe y E B(~, z0) rif(xn}~) •y además e(zo, Znm) <~.de donde 
-. ~ · .. ·· ·:_, -. "> -.: ..... - ·~. "'··:.:~_.:i':·,,.,~:-(?~·>>.~:.,»::.'t~ .. ~-·~.~·.~;:"· {:~:~:·:;-,.. ._ - ,• : 
· .. ;~<fi~ ·.~r~·· .. ~,c~,;f'!.ig'.~;~:·f.~.~0 ·Y).di:+··~··~·· ~-........ , 
'ºº~1~j~:~ª~ª'¿~~~~;~t~1if ~}f~ll:~ir~llt~Ió.:t::,. :: 
. sultado: .\ i ·· .• : .· . ··. :.'~.~J¡;j;,:;;€.: }fe~:',~~;: f: ;. '·· · ( :. 
Teorerna}.32. Sea J: X _J.. Y '11.~a 'fui,_~i,6~ éóntinua• y suprayectiva. En-
tonces la función ¡-1 : y-+ 2" es se. 
Demostración. Notemos primero que la función ¡-1 está bien definida, 
pues J es continua y suprayectiva. Sean y E Y y (Yn)n C Y tales que Yn -+ y. 
En vista del Teorema 1.31, basta mostrar que limsupj-1 (yn) c¡- 1 (y). Sea 
X E lim sup .r- 1 (Yn). Entonces, por el Teorema 1.14, existen una sucesión 
de números naturales n 1 < n 2 < · · · y puntos Xm E ¡-1 (Ynm),·para cada 
·rn E N, tales que Xm -+ x. Por tanto Ynm = J(xm) -+ f(x). Como tambien 
Ynm -+y, tenemos que f(x) =y. Por tanto, x E ¡-1 (y) y el teorema queda 
demostrado. • 
Definición 1.33. Sea X un espacio topológico. Un conjunto G.s en )( es 
un subcon]'unto A de_,\:, el cual es igual a una intersección de una cantidad, 
a lo más numerable, de abiertos en .'C. Si además clx(A) = )(, decimos que 
A es ·un conjunto Gó-denso en X. 
-~hora mencionaremos, sin prueba, un resultado que se encuentra en (31, 
Corolario 4, p. 72]. Para una demostración detallada, se puede consultar (1, 
Teorema 2.13]. 
Teorema L34. Sean·x; Y continuos y f: X --¡. 2Y una fun~ión semiconti-
rma por a-rriba: Entonces.f es contin'!L.a en un co'.njunto G.s~denso e'.n X .. 
.• > ..• ' : ' ' .• ,• ' 
18 CA.PÍTULO l. NOCIONES FU1V'DA1'vl¡NTALES. ·· 
'f·,:·.': .·.~-.. ·' 
1.6 Las Funciones Inducidas~· 
. __ -_ ': ·.· 
.: .~~~:-~<~:' :~ :::: .·.- ,..,.,. --<--
Supongamos que f: X-+ Y es una fundón dontinu~.entre'io~'co.ntin'.uos'x 
y Y. Para cada A E C(X) consideremos el conjunto: ' ·. · · · ~<:~ ':i~ .1.,' ·· · 
C(J)(A) = { J(a): a E A}. 
Notemos que C(J)(A) = j(A), la imagen de .-1.. Como la imagen continua 
de un continuo es un continuo, tenemos que C(f)(A) E C(:l:'"). Por tanto, 
la asociación anterior define una función C(f): C(X) -+ C(Y) que se llama 
función inducida por f. Como uno suele esperar, la continuidad de f im-
plica la de C(f). Este resultado se prueba a continuación. En tal suponemos 
que los continuos )( y Y poseen métricas d y e, respectivamente. 
Teorema 1.35. Si f: X -+ Y es continua, entonces C(f) ·es continua. 
Demostración. Sea€> O. Como fes una función uniformemente·continua, 
existe ó > O tal que si d(a, b) < ó, entonces e(j(a), f(b)) < €. Sean A,·B E 
C(X) tales que H(A, B) < c5. Mostraremos que H(C(j)(A), C(j)(B)) < € 
o, lo que es .lo mismo, que C(j)(A) e N(€, C(j)(B)) y que C(J)(B) <C 
N(€, C(j)(A)). 
Para mostrar la primera contención, sea e E C(j)(A). Entonces- existe 
a E A tal que j(a) = c. Como A e N(ó, B), se tiene que a E: N(c5, B). Por 
tanto, existe b E B tal que d(a, b) < c5, lo que implica que, e(j(a), J(b)) < €. 
De esta manera, si y= f(b), entonces y E C(J)(B) es tal.que e(c,y) < €. 
Por tanto, c E N(€, C(J)(B)) y concluimos que C(j)(A) e N(€, C(j)(B)). 
Análogamente se demuestra que C(f)(B) e N(€, C(f)(A.)). Luego, C(J) es 
uniformemente continua y, por consiguiente, también es continua. 
• 
El resultado anterior nos permite considerar la: funcióri C 2 (j): C 2 (X) -+ 
C 2 (Y) inducida p01· C(j). i:'<"otemos que para A E C 2 (X): . 
. . ' - .:. 
,' C2 (J) (.A)~ { C(J)(A): A E ;_4j.< 
Además, la funéión, C2 (f)' tam:biéI1 es contiiiuá) p~r ~l resúltado ·1.35. 
' L •; •'' O • •, .. • O' ·,_ • ' • ' • •.. ' ' • • < • O ', ' ' - '' ,: ' O : ; : ' O' : :.. -~ '•! '. '.•, ' • < -
Supóngam6~ ;~1i8ia"~;u~·j/.y,{_.i .. i es:h;1a:··~~n~:i6ri;~o~~~riüa entre los 
espacios topológicos éoÍi1pactos, cóne~os y{Ha;,¡s¿lorff:Y' y z. Consideremos 
ahora que · · . <- · ?/':: · ·" 
1. 7. FUNCIONES DE- i-VHITNEY. 19 
- -. ' - - - . . . . 
C(Y) ='={A e Y: A es compacto, conexo y no' vacío} 
y 
C(Z) =: {A e Z: .A es compacto, conexo y no .vacío} 
Supónemos aquí que C(Y) y C(Z) poseen la topología de Vietoris ([26, 
Definición 1.1]). No es nuestra intención estudiar dicha topología. Únicamente 
diremos c¡ue es una topología en C(Y) que es igual a la topología inducida 
por la métrica de Hausdorff en C(Y), en el caso en que Y es métrico ([26, 
Teorem·a 3.1]). 
Notemos ahora que podemos hablar de la función inducida C(f): C(Y) -7 
C(Z) en donde, para cada A E C(Y), C(f)(A) = J(A). A continuación 
enunciaremos un Teorema sin prueba: 
Teorema 1.36. Si f: Y -'+ Z es una función .co.ntinúa.enlre los.espaCios 
compactos, conexos y Hausdorff y y Z, entonces láf~n~ión G'.(J): C(Y) 4 
C(Z) es continua: .• · •... ,. ' .' . ' ' ·.·.· .... · ...... ·· };~;;ú:·:f',::;R,-,;~~:; ;':!;'< :· 
El único lugar eri esté trabajo en donde se reqúei:frá.:ei 'i.1so'delresultadci 
anterior, es en eLTeofema 2.25. -~-~; '), ~. ~-:·. "' 
: ;,'·- ~:. ·.~ ~' -~_-.... ·- ·( - , 
1.7 Funciones de Whitney~ 
En esta sección presentamos una de las herramientas más importantes de 
la Teoría de Hiperespacios. Nos referimos a las funciones de vVhitney. En 
1932 H. \Vhitney construyó, en un artículo completamente ajeno a la Teoría 
·de Hiperespacios ([43]), una función w: 2x -7 [O, oo) con una serie de pro-
piedades. Posteriormente, en el año de 1942, .J. L. Kelley ([30]) utilizó, en 
el contexto de los Hiperespacios, dos propiedades de la función definida por 
\Vhitney . A partir de ese momento, la existencia de dichas funciones ha si-
clo de gran utilidad en la Teoría de Hiperespacios y, prácticamente cualquier 
artículo correspondiente a esta área, utiliza dichas funciones. Este trabajo 
no es la excepción. 
Definición 1.37. Una función de "\Vhitney en 2x es una función continua 
w: 2x -7 (O, oo) tal que: 
' . 
20 CA.P.ÍTULO .1.·· · NOCIONES•·FUND.4.MBNTALES. 
1. w({x}) =O para toda x E X; 
2. si A, B E-2x y A~ B, entorices~(:4) < ¿CB). 
Si en la definición anterior cambiarúos 2:'\" por C(X) obtenemos lá noción 
ele función ele \Vhitney en C(X).,De.aquLen.adelante.Ja letra w representaní. 
una función ele Whitney en 2::, rúient,ras c¡tié lá)etra µ representar<í. una 
función ele Whitney en C(.,\'.').-Naturahriente.si(:;; es uriafuncióii de\Vhitney 
en 2x, entonces la restricción de w a'.C(\.'j nós' da una función de vVhitnev 
en C(X). ', .. · · · · .. - - . - . • 
Es preciso mencionare¡ u~; .~~~l~~rá~tÍ¿~,J6~u;fmp1ma; d(la.S funciones 
de Whitney es qúe existen:y'qti~'son)ti.ndcfo'Éis_:cond11tias que satisfacen.las 
propiedades mencionadas en.·la'definióión'·antedor::'./;'./; .~\ - ' 
~~;;;.~i;tj~!J~~j{~~~tti~~/!~~1~.~~ ·2x .. u una 
-. . ~ .-... -._, -. ·-<:.:. '~- . .->. ;_: - _-~ - \'.V'·-'··~· .. <<? , -:::_;-~._,_:"' __ :~~~_:;--_~f~~-~-L~~2;~t, ~J;~}r:~{~~¡\j~~~~~~i~¡~:~:~~?< ~~T;';- ·-_...:.;. :~: :. --r>~ .-:: ->-- -~ -:_:-
No teri~os q i1e si w es unáfÚiición cfévyl:ii.til:e'y/ri'é)rmaÍi~a~i3,~éri2,'~, entonces 
~n~e~~t)o~t~·ri~:~s~t1ad~;;i~~~fr~%~1§~~~~i;~)~Et~Ifci~~~Í:~~á:·~~fi~ic~~~ 
Teórema .. ·1.·39•·.·To.da·fu~~:é~""d_~},~~i~f;~~¡Jf ~kY~:~fjEf,j{;~~l.e.'.~t{L' ... • ·· 
Demostración.: '.S:~a ~~:Ü«~:·r~'.i1'.Jf¿Ü~ª~J.~\rlii'~.A'¿y)'i-:5rádl{V:~~· ~trn w' = wc":xi 
es una fundón de'\Vhitfiev.:'iiorírializada:' "· . - "· - .. ' ·>· "· . . . • 
' ''".•";,.<.'.A', .... ~;~' :,~-~.< -~ ·,. :,;<.~,~--::. <,\.r-;: •C . .;: 
·,;·, 
1.8 
---·---·.· {_;· .. · .'.é.'S\~-'.-~}-\!~ :::!:._-;;: ).J:. 
· Con:flueticiil.:.·~ .. · ·_··.',:.··· ;;·: · 
.· ~- : 
. ·:.:.;_,-· 
En esta sección se mostrarfüi clh;ersos tipos de fu11ciones que más adelante 
nos permitirán probar. téo~emas ~éladoúados con·· la ·propiedad ele Kelley. 
Supondremos que f : X --+ Y es 'una.' fuñción continúa y suprayectiva, entre 
los continuos .x: y Y. .· 
1.s. CONFL_ÚENCIA.-. 21 
1.8.1 -:FtiriC:tones Confluentes. 
Definición i.40'. Sea f: X -+ Y una función continua y supra7¡ectiva. De-
cimos que'/ 'es confluente si ¡mm cada subcontinuo J{ de y y cada compo-
nente A. def- 1(Í<) se tiene que J(A) = K. Cuando se pide en cambio q·ue 
al menos una componente A. de ¡- 1 (1<) satisface que f(A.) = ]{, se dice que 
f es débilmente confluente. 
Observcrnos que toda función confluente es débilmente confluente. La 
noción de función confluente apareció definida por .J. J. Charatonik en el 
aüo de 196-l en [I]. En vista de que la diferencia entre las nociones tle 
función confluente y función débilmente confluente radica en que el conectivo 
universal es cambiado por el conectivo existencial, uno pensaría que la noción 
de función débilmente confluente también se debe a .J. J. Charatonik. Esto no 
es así. Dicha noción aparece, por primera vez, en 1971 en [32], y se le atribuye 
a A. Lelek. Ambos tipos de funciones han resultado de gran importancia en 
la Teoría tle Continuos. En su momento J. J. Charatonik confesó que no 
consideró. de importancia el estudio de las funciones débilmente confluentes. 
Hoy en día una buena cantidad de sus artículos involucran dicha noción. 
Ahora daremos una versión puntual de las funciones confluentes. 
Definición l.41. Una función f: _y -+ Y es confluente relativa' a un 
punto a E )\ si para cada subcontinuo Q de Y tal que f(a) E Q, la compo-
nente C de ¡-1(Q) tal que a E C cumple que J(C) = Q. 
Teoren:iá 1.42. Una función continua y suprayectiva f: X -+ Y es con~ 
fluente si y sólo si es confluente relativo. a cada punto de .'(. · 
Demostración. ( <=) Sean Q E C(Y) y C una componente de ¡-1 (Q): {/e-
remos que f(C) = Q. Para esto, sea a E C. Notemos que a E /-:- 1 (Q); Sea 
C,. la componente de ¡- 1 (Q) que contiene a a. Como f es confluente en a, 
tenemos que /(Ca) = Q. Si demostramos que Ca = C, entonces esta parte 
de la demostración quedaría terminada. Ahora bien, como a E C C ¡-1 (Q) 
y a E Ca e ¡-1(Q), se tienen las siguientes contenciones 
y ce CU Ca e ¡-1 (Q). 
i\lás aún, como C y Ca son son subconjuntos conexos de.'( que contienen 
a a, el conjunto CU Ca es conexo y también contiene a a. Por tanto, de .la 
> - • ~ ' .·,. - --;· _,_.- ' -•• '- - .- ' • ";- ·:-' -- • -
.,. ·_ . >~ ./·· . . .. _· .··--~ 
22 ' ·CA.PÍTULO"l.-- NOCIONES FJ!NDA.MENT.4.LES. 
c1efini~ión.c1e comp<Jnente,resulfa que e u e:ª'= 6,); 6.u bl-LiaFE:Ato~ces 
Ca cC y C e Ca; ¡)or lo que C := Ca . . Qe esta imúi'eni_cc)~¡;luímos que 
f(y) = Q. · . ._,, ·' ;,: .-;;:,_>~~;~~P: ~:_ . 
;_:, .. ..,;_, 
:·~º·\·· - Úc'-·'. :.~:~·'(-~J::{;r \"'':>- . :> :::: · 
~ ¡,_-_ ·J:,.-\. <:;«:.:;.: •,¡:,;.·-~ ,)_-,·,_,~---1_:_. ·','; ·.-~ . . ( ==>) Es inm~cliata. • " -. ·: . .- ~-.:;:-'.'.',;;:.·~.:·.~,);;'!:_:;.-·;:_~·:· Yt. ,·.:-_.:. ··~,,:· ·--·:: 
A contiuuacióu presentamos otra \"ersión pµntu.:iFclc).a noción'cle función 
corifluente. Notemos que, mientras c¡uc eri'l~~defli;ici"Óú\Úítei·io1:; la confluen-
cia se da en términos ele los puutOS del Cloinirio', ahonÍ Se !'!Xpresá en términos 
de los puntos de la imagen: .· : ;,: :~.\_.,:jh'. '. ~ \' -. . · · . 
Definición 1.43. Sea·¡: -X- . .'....+_.Y :,;_nafuiibi6-n•:conti1ma. y suprayectiva. De-
cimos q~te f es confluente en un punto:y EY;· si para todo subcontin·uo Q 
de ·y tal que y-E Q y toda~componerite!Cde";f:.:.. 1 (Q), res·ulta que f(C) = Q. 
Teorema 1A4. f es coriflueitte si y }oio[;/¡ es confluente en cada p·unto 
' , - ' ' ·'•• ._ -~, ' -de Y. - · · 
Demostración. ( =>) Tomemos un puntC> y'~ Y, un subcontinuo Q ·de Y tal 
que y E Q y una componente C de ¡-1 (Q). Como f es confluente, resulta 
que f(C) = Q. Por tanto, f es confluente en y. 
( <=) Supongamos que Q es un subcontinuo de Y y que C .es .una -com-
ponente ele ¡- 1(Q). Tomemos un punto y E Q. Como fes confluente en y, 
resulta que f(C) = Q. Por tanto, fes confluente. · . · • 
Notemos que, por los teoremas 1.42 y 1.44, f es confluente relativa a cada 
punto ele X si y sólo si f es confluente en cada punto ele Y. En cu~i.nto a una 
relación local entre las nociones anteriores, tenemos el siguiente teoreméÍ.. 
Teorema 1.45. Si f es confluente en un punto y E Y, entonces 1 es con-
fluente relativa a cada punto del conjunto ¡-1 (y). · 
Demostración. Sean a E ¡- 1(y), Q E C(Y) con J(a).E;.Q y. C.la compo-
nente de ¡- 1 (Q) tal que a E C. Es claro que f(a) =y E .. Q y, como J es .• 
confluente en y E Y, cada componente de ¡-t ( Q) cumple que" sú imageú. es 
Q. En particular J(C) = Q. Esto muestra quef es confluente rélati~a a cada 
punto de ¡-1 (y). .;'. · ·· · -· · · • 
En la parte (5) de (8, p. 377], J .. J. Charatonikafifriif~~e"cs claro que 
el recíproco del teorema anterior es cierto. Como mostÍ-ámÓs en el siguiente 
ejemplo, esto no es así: · · · .,, ' . · 
1.8 .. CQNFLUENCÍ-4..' 23 
Ejemplo 1.46. Existen una función continua y suprayéctiv()..j;' X. '7.Y y . . . . . . ·: ... r,. .. º·. .· ·. . 
un punto y E. Y ,taLque f es confluente relativa'ª cada punto del .conjunto 
¡- 1(y), mientras quef no es confluente en y. '. ... · ;'. 
Justifi~acióÍ:l.. ·sean X'== (O, 1) y Y= [o, H. Defl~imo~'{(:_'.f,~ Y c~mo 
..¡· signe '"· .. 
f(x) = {~'-X, [ 
·21 
si X E 0,,3J; ,-
si X E rn, l]: . 
;\'atemos que f manda el intervalo rn. 1] en el intervalo [~. ~] • de manera 
qué/(~)= ~y f(l) = k· Consideremos ahora, en X, el punto x = i y, en Y, el 
punto y= i· Entonces ¡- 1(y) = {x}. Supongamos que Q es un subcontinuo 
ele Y tal que y= J(x) E Q y sea C la componente de ¡- 1(Q) que tiene ax. Si 
~ r/= Q, entonces C = Q, así que J(C) = Q. Si t E Q, entonces ¡- 1(Q) posee 
a lo más dos componentes, dependiendo de si el punto ~ está en Q o no. Por 
tanto, C = Q o bien C = Q u rn. 1] . En cualquier situación tenemos que 
f(C) = Q. Esto muestra que fes confluente relativa a cada punto de ¡-1(y). 
Consideremos ahora el subcontinuo I< = [o, t] de 1'.-. Entonces y E K y 
D = {l} es una componente de ¡- 1 (K) tal que J(D) = {!} :/= K. Por tanto, 
f no es confluente en y. • 
Notemos que la función anterior no satisface la siguiente condición 
. (*) para cada subcontinuo Q de Y tal que y E Q y cada c"omponente C de' 
¡-1(Q) resulta que cn¡- 1 (y) =I= 0. . . ?''.)' 
···;-· 
En el siguiente resultado mostramos que, bajc::dá: ~oii~ÜC:ión anterior, el 
recíproco del Teorema 1.45 es válido. · , .. · ·· .,. .. ,<.i'.i/: ::«·'. 
;. 
Teorema 1.47. Sea y E Y y supongamos quef saÚsf(Lc~"(>r.)~i/Úconftuente 
relativa a cada punto del conjunto f,.;. 1(y). E_nton~~s,f.}e~.fo~jl~~nte_ en y .. 
Demostración. Sean Q un subcontinuo. d~ y"·g~k~\~ ;Q ~ 'c\iria compo-
nente ele ¡-1 (Q). Por hipótesis, existe.un puI1tq'xep:riJ~ 1 (y):Lüego fes 
Confluente relativa a X y C resulta serla compo'nente.de\j-:-~(Q)'que tiene a 
x. Por tanto, J(C) = Q. " · .:·'., ... :! '·:•·. • ., · '<-':>i ·· · • 
'~ _,,,,. _,.-7''-,.-o .,-_ k~.'J .~~>¡ .:_~~~:~ " 
Corolario 1.48. f es confi'Uente en ·'v.npuhto ~ E~Y, :Ú y dólb si f.sat-isface 
(*)y fes confi'Uente relativa a cada p'Unto.del conj_unio/:-!(y). 
24 CAPÍTULO l.· NOCIONES FUNDA.1VIENT.ALES. 
Demostración.· De acuerdo con los teoremas 1.45 y 1.47, basta ver que si 
fes confluente en y, entonces! satisface(*)· Tomemos entonces un sub-
continuo Q de Y tal que y E Q y una componente C de ¡-1 (Q). Corno J 
es confluente en y, tenemos que f(C) = Q, así que y E /(C). Por tanto, 
en ¡-1 (y) =;6 í/J. • 
1.9 Funciones .Abiertas. 
Definición 1.49. Sea,¡: _.y:...+ Y una función continua y .mprayectiva. De-
cimos que f es.abierta si para: cada abierto.A de. X se tiene que f(A.) es 
abierto en Y. · · ·;.;: .. , ;:~, · 
En [37, Teore~a 13\4j}'.~~?p"f{;~1:i~·¡l sig;ti~~te resultado .. 
. :_.º,.,·,~·:,{~/· ·.<;:~J- ,·-~:·~:~~- ,:·~:.;. ·,.:~;>.;."_;~.' :·:··.-/1~-);t<·. C·;_• .. : 
Teorema · 1 ~50.) T~a:i'jun'cióh" ati~tt~ ·~~::~ó'Ti]z?.Leiite; 
·:c .. ·. .··.f.l·,· ": · '>. ' .. :.'.·.;_:.~'.:~:-_~J:.j_:, ~.·~x:· 
Ahora daremos tmaf versi¿k. local ·de lá 'definición ·anterior. 
Definición. 1.51. Sea f: ,¿Y~ Y una ¡¡j_:/i~ióii conU;,.u.a y suprayectiva. De-
cimos que f. es interior en. u~ punto a de 'x' si para cada vecindad abierta 
U de a en X, se tidne que f(a) E inty(f (U)), ·· - · 
- . . 
ELsiguiente r~sulta'do relaciona las noéione~ i:ill~eriores: 
' . . . . 
Teorema 1.52. Una función continua y s-uprayeeti?J~ J: X -+ Y. es .abiúta 
si y sólo si es interior en cada punto de )(. . , . .. , .. . 
- :'. . " -
'Demostración. ( ~) Sean a E X y U una vecindad abierta de a'. Como j'es 
abierta, tenemos que f(U) es abierto y j(a) está claramente en inty(J(U)). 
Por lo tanto, f es interior en cada punto de )(~ · · ·.:~: · . 
' \ ._-
(<=) Ahora sea U un abierto en X. Veremos que 1Ó:J) es abierto en Y. 
Para esto tomemos un punto y E f(U). Entonces· existe u .E U tal que 
f (u) = y. Como U es-una vecindad abierta de u y f es interior en u, resulta 
que y = f(u) E inty(f(U)). Esto prueba que/(U) e inty(f(U)) y, como 
también Ja otra contención es v;ilicla, tenemos que f (U) es abierto en Y. • 
1.1 O;. FUNCIONES. AIONÓTONA.S. 25 
1.10·· FÜl1~iones Monótonas. 
Definició~ ·l~5:i}sea f : X --+ Y una función continua y suprayéct'iva. 
DeCimos'que:f .. éS,\monótona si ¡-1 (y) es conexo, para cad,a y E Y. 
El sigui~n¡·e·.:~~~ltadó aparece probado en (37, .:.J:'eórema \3.15¡. 
. : :~;:: ... -.?·~; ... :. ::·;~~r.~~. -"~ :- -.. ·:_·-· __ · . , ~ ._ ~ .• :<~:; :'~·~:~:~L'~~~Y-~:·:.·At<·-.--~~::_: __ ~: 
Teorema• 1':5:4· .:Las . .funciones monótonas, /SO'flic_o:riflué_n,t~s. \;, ·. ,> 
' 
•• ·:,:·;: o· •• •.:;.'-.~·.· • .".>.·.f.•.·.· .. ~:-_•' " ". .- ' ~ ~ ' .. ;~·.· -•;;;·· _,,,,_ :'-~:·.~'_:: .. '.~-•:'.o 
·. ·; ·, ,','·· ,_ ----~>,: ... ,._,. -_,. ·. .·. . ... , .. ~~---·'.--:~~4?;/[{,:·'.·,·"--~:~!:~;·_:-:~.~~,:.=--'::.·;··.··;,·. _:: 
Teoremai:L55;,Sea .f: X ..,-+Y:uno,;Junción contiriúii:yfsupr-ayectiva. En-· 
ton ces f. ~s. monotona si y. sólO .. si}; para ba~a··súbéonti"Ttuó Q)Ú }'º, ÚJ.. imagen 
inversa de,(¿' ?ajOf; · es,conex~ . . ··.,·· ¡j,t~.,.~",.>~··:"•);;;y-:.1· ·':· '.(;>~~-. , ; < .·.·.·.• •. 
-~ coritinuií.dón .mostramos: ~íí'"á''.~;;;~ióri.i!bi:á.1{ae' la;; nodóri de; furicion· 
monótoil.a: .. •''·'· ·:·/ ........ · .. ,. .• .•: ·'·¡~:··. :_· ;: .. ' .... . 
DeflniciÓ~ 1.56. S~a [Je~!; Y una función conti1"L~aiJ s.Jpráy~¿tivh. De-. 
éimo.s que I es monótóna'..eri'ií e ~y si para cada sübcontiiiuO,.Q(de y· tal. 
i¡-ÍJ.e f(p) E Q, la imagen'in_vérsa de Q bajo f, es conexa. }¡~ :/'. · · 
. Como. consecuencia 'i~II1~diata del Teorema 1.55 tenemos. el ·~iguie{ite: ~e­
sul tado. 
Teorema·l.57. Una función continua y suprayectiva f: )(--+Y es monótona 
,si y sólo si es monótona en cada punto de .Y. 
1.11 Arcos Ordenados y Conexidad 
por Trayectorias. 
En esta sección introduciren10s otra ele las herramientas básicas de la Teoría 
de Hiperespacios. Nos referimos a la noción de arco ordenado. Así como en 
el caso ele las funciones de \Nhitney, lo que realmente importa de un arco 
ordenado es su existencia, así como el hecho de que satisface las propiedades 
que enunciaremos más adelante. Dichas propiedades nos permiten,. a su 
vez, probar que los hiperespacios de un continuo dado .)(, son conexos por 
trayectorias (sin importar que .X lo sea). 
. . . . 
26 
' .,. ' . 
. C.4.PfTULO:l.' ·!Vocio1-VisPu&ri~4ÚENT.4LES .. 
1.11.1 Conexidacl PºI." Trayecto~ias~ '~·-: .·, 
E.n esta subsección, la letra Y representa un espacio t.opológico: 
Definición 1.58. Sean p, q E Y. Una trayectoria de·p a'q!eii .. Y;·es·una 
función continua h: [O, l] -+ Y tal que h(O) = p y h(l) == q. Si además 
h es·inyectiva, entonces h es un arco de p a q en Y. Deci:rnos qU-e~·:y es 
conexo por trayectorias (respecfruamente, conexo por arcos):si.: para. 
cada p, q E Y, existe una trayectoria (respectivamente, ·un arco) de .p á. q 'en 
y·. Si :v es un continuo, decimos que Y es hereditariamente ctinexo por 
trayectorias si cada subcontinuo de Y es conexo por trayectorias .• 
Notemos que todo arco ele p a q en Y es una trayectoria de p a: q ~n ·Y: Si 
Y es un continuo, entonces toda trayectoria de p a q en Y contiene un arco ele 
p a q en Y (ver [20, Teorema 9.B.4]). Por tanto, en un continuo, las nociones 
de conexidad por trayectorias y conexidad por arcos son equivalentes. 
Notemos también que, para cada p E Y, la función constante p es una 
trayectoria ele p a p en Y. i\!Iás aún, es fácil convencerse de que si existe 'Una 
trayectoria ele p a q en Y, entonces también existe una trayectoria cle.q a::p 
en Y. Además, si existen trayectorias de p a q, y ele q a r en Y, ento.nces 
también existe una trayectoria de p a r en Y. Por consiguiente, el conectarse 
por trayectorias en Y, define una relación ele equivalencia en.Y. · 
1.11.2 Arcos Ordenados. 
A continuación veremos la definición de arco ordenad.o)~ A::;;'pirtir~cle• este 
momento se denotará por I al intervalo cerrado (O, l]; '\:· ·; . · ·· . . 
Definición 1.59. Sean A, B E 2x tales que A C':B>}[f~:¿if~<:)'·:~;d~ri~clo de 
A a Ben 2x es una función continua,\: 1 ~.2·Y'·tai'qJ.~.X(of!i'#.'A, ,\(l)= B 
1J ,\(s) s;:; ,\(t) siempre que s < t. ' '}':~' y:~~'.'.'f?\$~~?:> . 
Si en la definición anterior cambiamos 2x por C( .... \'.},'obt~Ü~~6s la noeión 
de arco ordenado de A a B en C(X). · · · · \: .. ;k';~·t~> .·· . 
En (38, Teorema 1.8] se da la demostración clásica, de qu~ st;~;t;~}3 E C(X)' 
A =F B y A e B, entonces existe un arco ordenado dé 'A;c.afB::en;p(X). 
Posteriormente, en (1, Teoremas 1.22, 1.23] se da una d.emostración :nueva 
y más corta de este resultado. Cabe señalar que, para que: •. exista. un· arco 
. ' ·- . . ·.-.'· - . . . .- . -
i.11 .. AR.cos ORbEiVA.Dos r:.co1..SExinADPOR TRA.):"ECTORI.4.S.27 
ordenadodeA a Ben 2X;:n() b:~a~m~'que A esté confonido eniAdemá;. 
ele ·esto, se requiere que .cacla;componelite·de Binters(!cte a:A.y < :............. .• . 
De acuerdo con la Defini~¡¿~¿{\:s~;~d~~j¿o::~}<l~ri~J~'~:'.,~~(~le~:~A· 
(respectivamente, C(X.)) es,:en:particiii~u/una trayectéi'ri'a'dé~A::,;i.:~.eri2x 
(respectivamente, C(X)). · Utilizaiü'os este hecho pá.ra::·probá'i él)siguiente 
resultado. ; ·. ·,.· · . , ·.··>.::> ··<:·.:., ::;···''.:.<~_.· . .-.',.'. ·.· 
. ' ·. " .·.;? 
Teorema 1.60. G(X) es·cánexó'por trayectoria~: ·'' ·~«;. 
Demostración. Sean A, B E C(X). Como A. e X, e~iste ú11 arc'oordenaelo 
ele A. a X en C(X). De la misma manera, existe un arco onlen~do de B a X 
en C(X). En vista ele que conectarse por trayectorias define una .. relación ele 
equivalencia, existe. una trayectoria de A a B en C( .... Y). • 
Teorema 1.61. 2x es conexo por trayectorias. 
Demostración. Sean A, B E 2x y C una componente de A. Como A e .)(, 
existe un arco ordenado A.e: I -+ C(.Y) de C a X. Ahora bien, para cada 
t E I, definamos ,.\(t) = A U >-c(t). Entonces >-: I -+ 2x es una trayectoria 
ele A a X en 2x. En efecto, >..(O) = A U A.c(O) = A U C = A y A.(l) = 
AU-\c(l) = Au .... Y =.Y. Sólo falta probar que>- es continua. Para esto, sean 
t E I y (tn)n C I tales que tn -+ t. Por la continuidad de A.e, resulta que 
,\c(tn) -+ ,\c(t) y, por el Teorema 1.9, >.(tn) = AUA.c(tn) -+ AU-\c(t) = >.(t). 
Esto muestra que -\e es una trayectoria de A a )( en 2x. Procediendo ele 
manera similar, existe una trayectoria de B a )( en 2x. Como conectarse por 
trayectorias define una relación de equivalencia, existe una trayectoria de A 
a B en 2-'. Esto termina la demostración. • 
En vista de que, en un continuo, las nociones de conexidad por trayecto-
rias y conexidad por arcos son equivalentes, los resultados anteriores implican 
que, para cualquier continuo X, los hiperespacios 2x y G(X) contienen. un 
arco (sin importar si ,Y contiene un arco o no). 
Como consecuencia del siguiente resultado, en tocio conti'nuo ·podemos 
encontrar subcontinuos ele cualquier tamaño ele acuerdo a una función de 
\\'hitney. . _ . . : :· _. . . 
Teorema 1.62. Sean A un subcontinuode\Y yµ: C(X):::+ (o,Ü(X)) una 
función de Whitney. Entonces, para cada t E (tL(A), µ(X)], e;;isteB E C(X) 
tal q1te A e E y ¡.t(B) = t. . ' ·. . . .·e · . 
28 CAPÍTULO 1 ~·. ; NOCIONES .FUNDAlWENTALES; .··. 
-- .. 
Demostración. Sea ,\: I -+ C(X) un·•arco. orclénaclo de A a·~y, yct E 
[¡.t(A), ¡.t(X)]. Notemos que (µo ,\)(O) = ¡.t(,\(O)) = ¡.t(A.) y (µ:o ,\)(1) := 
µ(,\(1)) = ¡.i(X). Por tanto p.o>.. es una fundón continua de fsobre [µ(A), µ(X)] 
así que, por el Teorema del Valor Intermedio; existes E.Ita! que;(µo,\)(s) ~ 
t. Sea B = ,\(s). Entonces, Bes un·subcc:intinuo.de:X ,tal•que•·A C By 
¡.t(B) =t. . . . • 
.. ; . ) , ·' :-· . ' .:. 
A continuación, mostramos que si ~ui arco orde!Íado 'en 2x empieza en un 
elemento de C(X), entonces está, en realidad, er~ C(.\'.}. .. 
Teorema i:63. Si ,\ es ·un arco ordenado en 2x tal que ,\(O) E C(X), 
entonces ,\(t). E C(X) para toda t E J. 
Demostración. Sea t E [O, 1]. Consideremos el conjunto .C = {,\(s) E 
C(X) : s E [O, t]}. Como ,\ es continua, entonces .C es un subcontinuo de 2x. 
Además >..(O) E .en C(X), de manera que podemos aplicar el Teorema 1.22 y 
obtener que o-(.C) E C(X). Ya que ,\ es un arco ordenado, ,\(s) e ,\(t) para 
todas E [O, t]. De aquí que ,\(t) = o-(.C). Por tanto >..(t) E C(X). • 
Terminamos la sección con el siguiente resultado. 
Teorema 1.64. Supongamos que A un subcontinuo propio de ·x y que U es 
un abierto en X tal que A e U. Si B E C(.Y) 'és tal.•queAi;; B; entonces 
existe K E C(B) tal que A e; K e U. · ·· ' ~- ' · >" · · ··· 
Demostración. Consideremos la familia U {L E··:c(;,Yf L, e U}. Por 
el Teorema 1.18 sabemos que U es abierto en C(.X),.'Co!Ilo,:A;e.U;existe 
t: > O tal que Bccx> (e, A) e U. Sea ,\: I -+ C(X) un arcÓ•ór<:len?:do,de Á a 
B. Como ,\es una función continua, existe r5 >O tal .que'-si·ltl:<;-&)ntc:inces 
Hc¡x)(>..(t),,\(O)) = Hc¡x)(,\(t),A) <E. Tomemos to =i,fyseaJ<~ >.(to). 
Como t 0 > O y ,\ es un arco ordenado, sucede que A e;: K c·B::: Por tanto, 
K es un subcontinuo de B. Además, como ltol < c5 ento.nces H(>.(t~);.;4) < t:, 
por lo que: · 
K =,\(to) E Bccx>(t:, A) e U. 
De esta manera, J( e U. • 
1.12. CONJUNTOS SEPARA.DOS. . 29 
i.12 Conjuntos Separados. 
Recordemos que los subconjuntos A y B ele un espacio topológico Y, están 
separados si 
A n cldB) = clx(A) n B = 0. · 
En lo sucesivo, el símbolo Y = YdVi! inclicai·á :que Y1 y 1·2 son dos sub-
conjuntos no vacíos de Y y separados tales que Y = Yiü }·2. ·El siguiente 
resultado se prueba en [37, Proposición 6.3]. 
Teorema 1.65. Supongamos que Y es un espacio topológico conexo. Si C es 
un subconjunto conexo (respectivamente, cerrado) de Y tal que Y-C = AIB, 
entonces los conjuntos GUA y CuB son conexos {respectivamente, cerrados). 
Como consecuencia del resultado anterior, si .Y es un continuo y C es 
un subcontinuo de .Y tal que .X - C = A.IB, entonces los conjuntos A u C 
y B U C son subcontinuos de X. Este resultado se utilizará con bastante 
frecuencia en los siguientes capítulos. 
Definición 1.66. Sean Y un espacio topológico conexo y p E Y. Decimos 
que p es un punto de corte de Y si el conjunto Y - {p} no es conexo. ··.~ 
Si X es un continuo y p es un punto de corte de X, entonces .X·- {PV= 
AIB. En vista de que el conjunto {p} es cerrado, los subconjuntos ..4 y B'de 
.Y son abiertos en .X. Además, como A y B están sep~rados, resulta ·que A 
y B son ajenos. 
En [37, Teorema 6.6] se muestra que todo continuo posee al menos dos 
puntos que no son de corte. Niás aún, el [37, Teorema 6.17], se prueba que 
el arco es el único continuo que posee justo dos puntos que no son de corte. 
A continuación, escribimos dichos resultados en forma de teoremas. 
Teorema 1.67. Sean .Y un continuo y p un punto de corte de .Y. Si:· 
X - {c} = UjV. 
entonces existe un punto que no es de corte en U y otro .en; V. 
Teorema 1.68. Un continuo X es un arco si y sólo.·si .:Y tiene exactamente 
dos puntos que no son· de córte . . é · 
.·¡ 
... 
30 CAPÍTULO l. NOCIONES FUNDA1WENTA:LES; 
1.13 Continuos Descomponibles e 
Indescomponi bles 
. ..\ continuación. presentamos una manera ele clasificar a los continuos; 
Definición 1.69. Decimos que X es: 
1. descomponible si existen dos subcontinuos propios A y B de X tales 
que .Y= A u B, 
2. indescomponiblE! si• no es,descorr:ponible, 
3. hereditariamente de'scomponible (respectivamente, hereditaria-
mente indescomponible), si todo subcontinuo no degenerado de· X 
es descomponible {respectivamente, indescomponible). 
A primera vista, parecería que todo continuo puede escribirse como la 
unión de dos de sus subcontinuos propios. Esto no es así. En (37, 1.10]; por 
ejemplo, se construye un continuo indescomponible y, en (37, 1.23] se muestra ·. 
como obtener un continuo hereditaria.mente indescomponible. En (37;;2.9) s~ 
construye otro continuo indescomponible, llamado el continuo de Kriasté:r .. 
Dicho continuo, que denotaremos por !-\, tiene la propiedad de que todos·s·us 
subcontinuos propios y no degenerados son arcos. Además contiene urí único 
punto p con la propiedad de que todo arco en K que contiene a p, .lo tiene 
como punto extremo. Decimos que p es el único punto externo de .K: Todas 
estas afirmaciones se mencionan aquí sin demostración pues, más adelánte, 
se utilizarán sólo para motivar unos resultados. . . 
• ._·,, < 
En el siguiente teorema \"emos que los continuos indescomponibles'est~n 
caracterizados por la propiedad de que todos sus subcontinuos propi.os'derÍen 
interior vacío. . . . . · 
~ ·~-,:;. ·. 
Teorema 1. 70. X es indescomponible si·. y sólo si. todos sus subc~;..,_tin'Úos 
propios tienen interior va.cío. . . . . ..... ,• . . . . ·. / e >:,· ''/:·, 
Demostración. ( <=) Supongamos qUe ~Y!es descompor~ible y sea'.~ A, B.E 
C(X) - {X} tales que X= AUB.i'J"oter,;1os que X.-:BcA;,,Ahorabien, 
como B es cerrado y es un sub~o;i_ju;,:to ¡jropfo de X, ~esulta q~e 0 #: X.:.:..:B é: 
intx (.4). Esto contradice la. hipótesis de que todos los stibcontinuos propios 
de .X tienen interior· vacío. Por tanto, )( es·indescomponible. ·,,,. . 
1.14. CONEXIDAD LOCAL ),·eNPEQUE!VO. e 31 
(=>) Supongamos que existe 'un'subcontinuo propio A de x. tal que 
intx (A) =¡6 0. Consideremos el conjunto X - A~ Si .X~ A. es conexo, entonces 
clx(X - A) es un subcontinuo de X. Como intx(A) = X - clx(X - A), 
resulta que clx (.\ - A) es un subcontiriuo propio de X y; por consiguiente: 
X = A U clx (X - A) 
es la unión de dos de sus subcontinuos propios. Como esto· es una contra-
dicción, resulta que ,\ - A no es conexo. Entonces existen dos subconjuntos 
abiertos, ajenos y no vacíos H y /<( ele X tales que·)( - A =:HUI<. Por el 
Teorema 1.6-5, A U H y A U I< son subcontinuos propios de )(. Por taiito: 
X = (X - A) u A = (Hu I<) u A = (A UH) U (A U K) 
es la unión ele dos de sus subcontinuos propios. Como esto es una contradic-
ción, resulta que )( es inclescomponible.. • 
Corolario .L T1; .X es descomponible si y sólo si existe un subcontinuo propio 
de X con interio'l" no vacío. 
l.i4· Conexidad Localy en Pequeño. 
En estasec'cicS~ introducimos ;os conceptos de conexidad local y ele conexidad 
én ¡)equeño ql.1é; ··éomc:í :veremos más adelante, están relaéionados con las 
n0ci6ne"S--.de suav~~a~d, y la ¡)rópiedad de Kelley. , ... T • 
Definición l. 72. Un espacio y es localmente conexo· eh;p E Y~s~;~ara 
ca.da abierto U de Y tal que p E U, existe un abierto y/c~T,,.~:r;_o;x: tal que 
p E V e U. Se d-ice que Y es localmente conexo.sUo;(és~·e;:;.~éada)u·iio de 
sus puntos. • ·' . i~~· _!}:!Ú·~Jt~.~JJ~;i;¡~;ff }~~ ) •••... • :.· ·, . 
Definición l. 73. Un espacio Y es conexo ~ri.;pequeñ¡j:~e.11. P. E:'l:;;'..Si para · 
cada abierto U de Y tal que p E U, existe ti:iia''i)(icindad·'C-On~x'd'":V 1 de p tal 
que p E V e U. · ;.·~ _;;,):;-~:;; .. :.\;,';,:. ·. 
Observemos que la conexidad local en un punto,·impÚ~aJa.•C:onexidad en 
pequeño en dicho punto. El recíproco ele dicha afirmación no es .·cierto: En 
(24, Figura 3-9, p. 113], se muestra un continuo que es cone:X:ó en pequeño en 
un punto y no localmente conexo en dicho punto. Además, en (24,:Teorema 
:3-11] se prueba que, globalmente, la nociones anteriores son equivalentes. Por 
32 . .. CAPÍTULO .L 'NÓCIONES FUNb_'\lvIEl'IT.~L~S. 
<->· 
lo tanto; un espacio es.localmente coí1exo si y,sólo si es;conexó;ei1 pequeño 
en cada uno de sus puntos. . . ··. · · ·· · .· ··· ' · ,., · :·.: ., ,, . , .. 
Es comtin abreviar .la ex~resión '.'conéxo .. en pequefiC>•;(:órr;.·~ ·;,ciki~. Dicha 
abreviatura viene de la oración connected ·im kleine1i, con la c!tié se·conoce~ 
a estos espacios en los textos de habla inglesa. A continuación .probarernos 
una equivalencia ele .la conexidad en pequeño. 
Teorema l. 7 4. Un espacio Y es C'ik en un punto p E Y si y sólo si para 
cada abierto U de Y con p E U, existe un subconjunto abierto V· de Y· tal 
que p E V C U y, para cada q E F, existe un subconjunto conexo· A tal que 
p,q E A CU. 
Demostración. ( =>) Sea U un abierto de Y tal que p E U. Como Y es cik en 
p, existe una vecindad conexa V de p con p E V e U. Por tanto, p E inty.(V) 
el cual es un abierto y p E int)'(V) e U. Ahora, sea q E inty(V). Notemos 
que V es un conexo que contiene a {p, q} y está contenido en U. 
( ~) Sea U un abierto en Y con p E U. Por hipótesis existe un. abierto A 
en Y tal que p E A e U y, para todo q E .4, existe un subconjunto conexo 
Cq tal que p, q E Cq e u. Tomemos v· = UqeA Cq. Como V es la unión: ele 
conjuntos conexos que tienen en común al punto p, tenemos que V es conexo. 
Notemos que A e V y que A es un conjunto abierto que contiene a .p. Por 
tanto, p E int).-(V). Finalmente, como V = UqeA Cq y Cq e U para cada 
q E .4, tenemos que V e U. Esto concluye la demostración. · • 
Una manera de redactar el teorema anterior, en términos de epsilones y 
d~ltas, es la que se exhibe a· continuación. 
. . 
Teorema l. 75. Un espacio Y es cik en p si y sólo si pa;~ cada e > O, existe 
8 >'o tal que si X E B(ó,p), existeE e y conexo, é;o·np,x:eBcB(e,p).: 
. - , ~ _ ·- _ ·. ~o. • , _ _ . - e·< . , ; -. -~- ,'. _ -.. _ '.-. " ~ , ._ .•. -· - ., 
Terminamos la presente sección, enunciando una ma~erl~,e~~Í~al~nte de 
considerar la conexidad local. Una demostración de"dichó 'iesúltado puede 
verse en (20, Teorema 2.E.2] . . · .· '• , ,'.,:'.>f;:( · 
Teorema 1.76. X es localmente.Conexo sÍy s6lo si lacom~o~~~I~·~¿ ~~da 
abierto de X es abierta en .X. · · ·· · · · , , ·· · ·· 
1.15 . .4.LGUNOS CONTINUOS ESPECIA.LES. 33 
1.15 Algunos Continuos Especiales. 
En esta seceión presentamos una serie ele continuos que utilizaremos muy 
frecuentemente en las siguientes secciones. Tales continuos servirán en unas 
ocasiones como contraejemplos y, en otras, nos serán ele ayuda para ejem-
plificar ciertos conceptos. Cabe señalar que en lo sucesivo, cada vez que 
nos refiramos a un continuo introducido en esta sección, utilizaremos en la 
medida de lo posible, la notación como aquí se establece. 
l.15.1 Abanicos. 
Consideremos, en IR2 , los puntos p = (O, O) y p 0 = (1, O). Para cada n E N 
sea p,. = (1, ~).Dado n E Nu {O} sea pp,. el segmento de recta ele p a Pn· El 
abanico armónico estándar se define como el continuo 
U PPn· 
nE!'IU{O} 
p, 
~p, 
~!: 
P . . " Po 
Notemos que la. sucesión de arcos (pp,.)n E C(As) converge al arco PPo, 
que llamaremos la pata límite de .45 • 
El término abanico armónico se suele utilizar para referirse a cualquier 
espacio homeomorfo al abanico armónico estándar. Niientras el contexto sea 
lo suficientemente claro, en este trabajo, por abanico armónico entenderemos 
al abanico armónico estándar. 
Consideremos ahora el conjunto L = (1, 2] x {O}. Al continuo: 
·. ~: : . :. . 
3-l CA.PÍTULO Ú .;1VOCIOIVE$,FUNDAÚ~1VT'..4.LES .. 
lo llamaremos el abanico·armónicó~s~áÍldar.~~~ p:~t~aia.rg~d~:<~L, el 
cual es un continuo, lo llamaremos Zci paiá'~Cilargadadé .4.;./Córiio én E!Icaso 
anterior, mientras el contexto sea lo ·suficie-nteme1ite'darO, pC>~ Í·eferirimos i~l 
continuo A . .a simplemente como el abanico arrnón·ico cór(pata -alargada . .. ) . ' ... 
p, 
Dada n E_ N consideremos los puntos Qn (1-:f' ~. ()), p~ = (1, -~). 
Tn =(O,-~) y supongamos que p,.q,., QnP~ y p~r,;. soI1 los s~gmentos de.recta 
ele Pn_a qn,,de lzn a p~ y de p~ a Tn, respecti~;amente::'.AJ;corititiuo · 
A.d =A. u (u p,,q,. u q:p~-0 ~~~}\- :¿, 
· neN . _} 
lo llamarémps ~ba:IJ.i~?-~mp11i:~o~~st,án~ai-_ao~lado.,)vúentr,as el contexto 
sea lo suficiénte.rnénte,'C!faro·¡'ri.os ref~i·fréii1os. al 'contiriuo' Asd simplemente con 
el nombre dé. aba/,i·icÓ''a'imónic¿'I.doblado: '-·; ·. ' ' . - ' .. 
L1s.2 , D~·:.f~írCfs -i¡j~idales. _ 
» .• -- >._: !.; _~:· 
Consideremos ahór~-los'co~Jüi;tósC 
vE·f'(~:-~~~<1)):~rr~?: xe ca, 11} 
-_ . _- :' <·., :/:}.\ '., ' ·· .... 
y P ={O} x (-1, 1]. EnfC>lú:es'al c}:íntinÚÓ 
S ~-cla2(V) :: Vu P 
1.15. ALGUNOS CONTINUOS ESPECIALES. 35 
p, 
q, q, 
r, P! 
r, 
P.' 
, . ' ,. 
lo llamaremos el seno de ~- Al. subco!ltin? ?:· d~ S lo llamaremos la pata 
llmite de s. Si Pa = {O} X [-2, -1], entonc~s aJ. cont,inuo' 
.. Sa_~}s.q~~)\ b.)?: .. 
lo llamaremos el seno de .!. con p~t«it' al~~gada./ALsubcontinuo Pa de Sa 
lo llamaremos la pata alarg"°áda de Sa·. Consider.emos ahora el continuo 
Cv =SUR 
donde R es un arco con puntos extremos (1, sen(l)) y (O, -1) de manera 
que SnR = {(1,sen(l)),(0,-1)}. A Cv se lo conoce como el círculo de 
Varsovia. Xoternos que existe una función continua y suprayectiva q: S-+ 
Cv, a saber, la que identifica los puntos (1,sen(l)) y (O, -1) ele S. 
1.15.3 Peines y Seudopeines. 
Consideremos, en JR2 , los conjuntos .40 = [O, 1] x {O}, B = {O} x [O, 1] y, para 
cada n E N, sea An = [O, 1] x { !, } . Al continuo: 
36 CAPÍTULO 1,. lVOCIONES;ÚNDAME~V'Í'.4.LES.· 
P = (.--1.au B) u .(u .4,.)· · · · 
rien ....... 
se se llama el peine armónico estándar. En este. trabajo; a· P lo llámaremos 
simplemente como el peine. Hagamos A= Ao U B, ao = (1,0); bo =(O, O) y, 
para cada n EN, sean a 11 = (1, -!;) y b11 =(O, k)· Notem~s que: 
(1) A. es un subcontinuo de P; 
(2) para cada n E N, .411 es un arco en P que une los p;_,_ntos a,. y b,. de P . 
y, aclenuís, .411 n A = { b,.}; 
(3) los arcos A1, .42, ... , A,. •. · · , son ajenos 'c1oi;·aclos; . 
(4) An-+ Ao E C(.4), a11 -+. ao E: ~¡o;¡,~··--¡. bo E Áo y ao-# bo. 
Las propiedades anteriores el~ P ·nos 'pkrmiten hablar de continuos más 
generales y que, en Cierta forríia, se':compórtan como P. 
611.----'---~·__,····•A_,·~, -----ª1 
B 6,l,_____~--
631,_______ _ 
64t~~~~~~~~-=,~~~~~~-
A2 
ª2 
A3 ª3 .· 
A4 ª4 
6nl 
60~~~~~~~~~~~~~~~-
An ªn 
a· 
Ao o 
. - . . 
i.16. · GOLPES ENLAFRONTER.A.'· 37 
,>;.- ·_, __ : 
Definición l. 77 .. Un·seu.dopeine. es·un .¿o~ti·n:~o Ps talque· 
donde A y cada An satisfacen las condiciones (1)-(4) cambiando P por P. •. 
Por supuesto, el peine es un caso especial ele. un seuclopeine. ·El problema 
ele la determinación ele seuclopeines en un continuo, a siclo ele interés para A. 
Illanes quien, en [25, Teorema 2] probó el siguiente teorema: 
Teorema 1.78. Supongamos que .Y es un continuo hereditarianiente conexo 
por trayectorias y no localmente conexo. Entonces, ,Y contiene un seudopei-
ne. 
Para un seuclopeine Ps, si e E A,. para alguna n EN, denotamos por anc 
al arco ele an a e en Ps. En [25, Lema 4]- se prueba el siguiente resultado: 
Teorema l. 79. Supongamos. q'll;e: 
es un seudopeine. Si n. E N y c._E .An ~{a,.}, entonces: 
·.-···, ···. 
Ps ~ {c} =:(inc -{e}) U (Ps - anc) .. 
es una separación dePs - {e}. 
1.16 Golpes en la Frontera. 
En esta sección mencionamos, sin prueba, uno de los teoremas más impor-
tantes ele la teoría ele continuos. Nos referimos al· Teorema cle·los Golpes 
en la Frontera, que nos dice que las componentes ele un subconjunto de.,un 
continuo llegan hasta su frontera. 
Teorema 1.80. Sean .X un continuo y E un subconjunto propio y no vacío 
ele X. Si K es una componente de E, entonces clx(K) n frx(E) :¡6 0. 
38 CAPÍTULO l. NOCI01VES FUNDA.iWENTA.LES .. 
Una demostración de este resultado, puede verse en (37, _Teorema.5.6]. 
Con ayuda de este teorema, se puede probar la existencia de arcos ordenados 
en 2-', bi1jo las condiciones que previamente se indicaron. También con ayuda 
de este resultado, se prueba que todo continuo posee subcontinuos propios 
no degenerados, afirmación que, en una primera instancia, parece evidente. 
1.17 Composantes e Irredudbilidad.; 
' : ' ,, : .. · ... 
_,_;· . ,,. ,:-.-.:_': .:_·,- ;,- :; ,.;(;_ .· .. 
En esta sección, introduciremos las noéiones d_e cq!Tlposantes.de .il:ri co'ntlnuo, 
así corno la de irreducibilidad. Asimismo ver~inos-:iní·a: s'erie':~le-~res1Ílfados 
fundamentales.que involucran . estas_ .• n~ci~:~.~¡;1:.w.,\.'~jii:T;;_;·;_~~;;. ·:?<ii,', • · .·· · · · 
Definición .1 ;8 L Sean X un· continuo yip,_q :E'·•X_,;~EntOnces: ·•·· 
1. ~:';;~~~1,~~tJt:~:·~j~~~jjt~~~l~~~o~i+~o G d, X tal 
2. X es ir~educible si l~ es ~'T!tfe:;i;'1J.(;;z~'1~ii~~~<d_{,); •d~ su~ puntos; . 
,•. :'.,·\\,." .. :~:;,; . ,· ;~,.;· . ·~ 
3. p es ún punto de irI:"edúcibÍlidad <le'X, si X es irreducible entre p 
y algún otro punto de X; . .. · 
De acuerdo a la definición antedor, _,,y no es irreducible entre Pe Y q si y 
sólo si existe un subcontinuo propio de .X que contiene tanto a-p C()ffiO.a q. 
En (24, Teorema 2-10) se prueba el siguiente resultado. 
Teorema 1.82. Si )( es un continuo y p, q E X, entonces X co'T!ú~iie ·u·n 
subcontinuo irreducible entre p y q. ·· ·· 
Notemos, por ejemplo, que el arco X = (O, 1] _es -iÍ-~¡ad~i{;le ;egfle los 
puntos O y l. El abanico estándar, por ejemplo, no es irreducible~~ELcol}tinuo 
seno de~ es irreducible entre el punto (1,s~n(l)) y,S{l~~cit:{i~ltBli.ri.~¡)'.~e.'su 
pata límite. El círculo de Varsovia, por otro fado; i:io.eif;h~educible::,:, · · 
' -,,·,:·.-. -· ., ·-·',:_, ··-',;~"·::.~_(:,::-:·.:::·<'.''.-"·¡,-f. -
, • ··1·:_:- ~:.:. :-;",;;_;_~_ ·: :,}/;,,. úH~,/~.-~~;",:-·«-.: ~,;::~~~,:.:-::·¡)~: . ..·~ 
Definición 1.83. Sean X un continuo y p' E X;:'Dé_C'imOsJqúe'la compo-
sante de p en X es la unión de todos los'subcont'inuos:propios··de X que 
contienen a p :,:_; 
1.17. CÓ1Vli::OSA.1VTESB .JFfREJDUCIBILÍD.~D. . ·39 
_._._ ',.i_-, .•. • : . •• •.. -·--·-
Denotarernos,·pÓ~J<(X;p) a' l~'.c~mpos~nte de.]J ~n •• x~· Por .definición, 
K(X, p). es una uniÓ{1. de subconjuntos. propios; c~~raclos )·•conexos de X que 
: tienen .a p' ~oÍÍlo pllllto' corfiú~'. ~LU'~goi K(~"\p) es'.coli.e~C> .. N otemós que: . 
. I<(.Y,p)·== fx ~)·; :,f noesirr~C!l1~i~l.e ~nt~e p y ;i; }. 
Por tanto p esun punto~ de irre~l~cibil¡d!l.~ de·.,~ siy sólo si K(X, p) i= X. 
Las composantes de un continuo . están 'caracterizadas de cierto modo, 
dependiendo de si el continuo es. descornponible o indescomponible, como se 
muestra en el siguiente resultado: 
Teorema 1.84. Si X es un continuo, entonces: 
1) cada composante de .Y es un subconjunto conexo y denso en )(; 
2) el complemento de cada composante es conexo; 
3) si .'C es descomponible, entonces _,y tiene exacta·mente una o tres. com-
posantes. 1\!Jás precisamente, si .Y no es irreducible¡ entánces .X es 
la única composante de X, mientras que si X es irreducible, digamos 
entre los puntos p y q, entonces .X, I<(.Y,p) y K(X,q) son.las únicas 
co1nposantes de _,\:; .. 
4) si X es indescomponible, entonces X tiene una.cantidad no nu~erable 
de composantes, todas ellas son ajenas dos a• do_ . .S; '.y ·.tienen interior 
vacto. · ' 
A manera de referencia, 1) aparece proba~b e11 i'g~ t~C>re~~ 3~44 y 3.:·45 
de (24], 2) en el Teorema 11.4 de (37], 3) en el,TeÓ~effi'~üi.13 'd~ (37fy 4) en 
los teoremas 11.15 y 11.17 de (37]. · <' . ;. \>, •:· ;y, ~;·.,;;,;,: .. •á:;.;.;. ¿ 
En el siguiente resultado vemos que, ~~ co~~'i1~~·Ó ·¡4~!~~~~~b~ible; 
cualquier punto X Se puede aproxiniar,.por una sucésiÓn de pu~tos:que'se 
. ·-. ··~,-· ""'''· _,·::·-.!\'."~.,~~-.~.!~ .:_,. .. - '. 
toman en composantes distintas de J<(..-Y, x). · .•;,/,. :::;::·:.,:(.,;;'' ".\r:<;·.i:·,·.·. ,~. 
Teorema 1.85. Supongamos que )(.et; ún continuo. in~~s~~~/d.'ffibli::y \¡úe 
x E X. Entonces existe una sucesión (xn)n en _;.c, tal quéi~· ·.::::+ x· y;~para cada 
. n E N, :i:n rf. [\."(,\:, x). . · ' ·.e ' .· ~,,; .. .,., .• ' ·:' ,· .. : ·• 
.. . . ,' ·_, , 
40 . CAPÍTULO Í.''NOÓIONES FUNDAMENTALES. 
Demostración. Sea Kí una·compósante de X diferente de f{ = K(X, x). 
En vista de quéI<1 es den'so en X, existe\m punto X¡ E B(l, x)nK¡. Como X 
tiene una cantidad no rmu1erablede cornposantes, existe una composante J\'."2 
ele X diferente ele K 1 y ele K .. Aplicando ahora la clensiclacl de K 2 , existe un 
punt·o x 2 E B(~, x). De manera similar, podemos encontrar una composante 
K 3 diferente de K, 1<1 y K 2 y un punto :L·;1 E B(~, x). Procecliento ele esta 
manera, encontramos una sucesión (xn)n en X -I< que com:erge ax, ele forma 
que si n, m E N y n # m, entonces Xn y :e,,. se encuentran en composantes 
distintas ele X. • 
A continuación aplicamos las propiedades ele las composantes, para dar 
una demostración sencilla del hecho ele que los continuos conexos por trayec-
torias son clescomponibles. Recordemos que en el contexto de los continuos, 
la conexidad por arcos es equivalente a la conexidad por trayectorias. 
Teorema 1.86. Si un continuo )( es conexo por trayectorias, entonces )( es 
descompon-ible. 
Demostración. Si Jy es indescomponible entonces, por el Teorema L84, 
posee una cantidad no numerable de composantes. Entonc.és podemos con-
siderar dos puntos p y q en composantes distintas dé .X. Como Jy es conexo 
por arcos, existe un arco >.. ele p 'a q en .X. En· vista de que p y q se encuentran 
en composantes distintas, tenemos que >.. = .X. ·Entonces X es un arco y, por 
tanto, un continuo clescomponible. Esta contradicción termina la prueba del 
teorema. . · • 
1.17.l La Estructura del Complemento de una 
Composante. 
Supongamos que K(JY, p) es la composante del punto p de .Y. Nuestra inten-
ción es analizar el conjunto F =.X - I<(.X, p). De acuerdo con la propiedad 
2 del Teorema 1.84, F es conexo. Como ya hicimos ver, F es no vacío si y 
sólo si p es un punto de irreducibilidad de X. Pensemos pues, que pes un 
punto de irreducibilidad ele )(. Entonces F es un subconjunto conexo y no 
vacío de X. ¿Es F cerrado? En general la respuesta es negativa y, para ver 
esto, basta con pensar que .Y es indescomponible. Entonces F es la unión 
de las composantes de X diferentes ele K(X, p} y, por el Teorema 1.85, F no 
es cerrado. 
1.17. C01VIPOSANTES E IRREDUCIBILIDAD. 41 
Supongamos que B es el continuo ele Knaster (ver (37, 2.9]) y que pes el 
único punto extremo ele B. Sea A un arco tal que A n B = {p}. Entc:ínces el 
continuo .Y = A U B es descomponible, pero no hereditaria.mente descompo-
niblc, pues contiene al continuo inclescomponible B. El círculo de Varsovia 
es un continuo hercclitariamente clescomponible y no irreducible. Por tanto, 
posee sólo una componente. 
En el siguiente teorema mostramos que si .Y es hereditaria.mente desC()m-
ponible, entonces el cornplemento de las composantes es cerrado. 
Teorema 1.87. Si .Y es un continuó hereditariamente descomponible, ·en-' 
tonces el conjunto .'( - I<(.Y, p) es cerrado para cada p en .Y.. 
Demostración. Sea p E X. Hagamos F = X - I<(.Y,p). Si p no es.un 
punto ele irreclucibiliclad ele .Y, entonces F = 0 y, por tanto, F es cerrado. 
Supongamos, entonces, que p es un punto de irreclucibilidad de )( y que F 
no es cerrado. Entonces existe x E clx(F) - F. Fijemos un punto w E:F: 
Como x rt F, entonces x E K(.Y, p), así que existe un subcontinuo prop.io.A. 
ele .Y tal que x, p E .4.. 
Por el Teorema 1.82, existe B E C(X) tal que B es irreducible entre 
x y w. Como .Y es hereclitariamente clescomponible, en particular B es 
descomponible. Por tanto, existen dos subcontinuos propios C y D ele B 
tales que B = C u D. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que 
:1; E C. Notemos entonces que w rt C pues B es irreducible entre x y w y 
Ces un subcontinuo propio de B. Por tanto, w E D y, por la misma razón, 
x rt D. También sucede que w rt .4. pues w E F. Por tanto w rt A U C. Como 
X - D es un subconjunto abierto de .X que contiene al pu11to x E clx(F), 
existe z E (X - D) n F. 
Ahora bien, como .4. n B =? 0, resulta que A U B es un subcontinuo 
ele X. Además p, w E .4. U B y X es irreducible entre w y p. Por tanto, 
X= .-l. u B. En particular z E A u By, como z it•D,,sucede que z EA u C. 
Entonces .4. u C es un subcontinuo própio d~:X que tiene a p y z; De aquí 
que :; E K(X, p) e X - F. Esto contradice el hecho de que z E F. Por lo 
tanto, F es cerrado en .Y. "' · .··:·'>LV• • 
'~ -; '. ·1-:,:.·. . .. ,- - :. ' : : : -.~-.-
• ;- - ·,,." ,- ,_~-~ > -
Supongamos ahora que X es un"coritÚ1ÍJ.o.hereclitaricimente descomponi-
ble. Por el teorema anterior, el corrípler11ento.cle cada composante es cerrado 
42 
'._-.-, -,. 
en X. Es n~tural prég~ntarsesi e~ posible determinar coridiciones.:baj6 las 
cuales, dichos conípleméntosseán conji.mtos sencillos ·dé describir; por ej~m-
plo, conjuntos de ún sólo púnto.· ; . ' 
' _,·;:. ~ :. 
Para ilustrar lo anterior, consideremos el arco X1. = [O, 1]. Notemos: que · 
I<(X1 , O) = (O, 1), así que X 1 - K(X1, O) = {1} es cerrado en X~.:Si ahora 
X 2 es el continuo seno de ~y p = (1,sen(l)), entonces X 2 _:_ I((X:i;p),'és hi. 
pata límite de .Y2 y, por tanto, cerrado. en X 2 . Notemos ahora' que X 1 :·es cik 
en un punto ele X 1 - K(X1 , O), mientras que X2 no es cik en·ningúri.punto 
de X 2 - K(X2 ,p). Esto motiva el siguiente resultado. \.,;}.:Jj,> 
Teorema 1.88. Supongamos qLLe X es un continuo y que p es''ün'~'uhio'de 
irreducibilidad de X. Sea F =.X - X(K, p). Si existe un punto. y E p: t"al cjue 
.)( es cik en y, entonces F ={y}. ·· » .. :/' 
Demostración. Supongamos que F # {y}, entonces tomemos '~~··:~~nto 
x E F - {y}. Sea€ >O tal que x <f. B(€, y). Como X es cik en y, existe una 
vecindad conexa G de y contenida en E(~, y). Afirmamos que ·· 
1) x rf, clx(G). 
Para ver 1) nOteínos qtie, por él Corolario 1.6, 
.. ::~&~G}·~B(e,.~) e X-' {x}. 
Por tanto, 1) es dérto.<Afirrriam~s ;ahora qué . - - . " ~- . ' ' ,. -- _· 
2) clx(G) e F. 
Para ver esto supongamos,. por él contrario, que existe un punto a E 
clx(G) - F. Entonces a E K(X,p), por lo que existe un subcontinuo .propio 
A de X tal que a, p E A.. Como a Eclx(G) n A resulta que clx(C) U A es un 
subcontinuo de .Y que contiene a p y y.' En vista ele que y E F sucede.que 
X = clx(G) u A. Ahora bien, como .Y es irreducible entre p y x, tenemos 
que x rf. .-L A.demás, por 1), x íj, clx(G) . . Luego x rf. clx(C) U A= X. Esto 
es un absurdo que proviene de haber supuesto que 2) es falso. Por tanto; 2) 
ele cumple. 
De acuerdo con 2) 
K(-X;p) =X-Fe X - clx(G). 
1.17. · COlvIPOS.4.NTESBIRREDUCIBILID.4.D .. . 43 
Esto es un absu~do púes de acu~rdci ~onelTeoremal'.84incisoi), I<(X, p) 
es densa en X: Con esto terminamos l'a'.demostraéióri del teo'rema;· . . • 
.-,. '..:·- -~/-~~-·~ :·'.~:-- ".; ... ~,- ··_ . .!/'.:¡ -~·:·? :;' ,'. -~\~>-
".-\sí pu~s; si X es un continuo, y en éitciinpl~m-ento de mia.cbmp()sante de 
X podemos encontrar un punto 'y ele ~(;fi.é'xÍ.d~d:~n;peq;Iéño;':.Eí'utonces dicho 
complemento es cerrado e igual al con]iinto cuyo 'iínico ~le'[he!nto'és y. 
- .. - . ~- ·:->:··.'.· :,. -·'. ' - •/- ·-·.·:.;~~; ·:; ~('' ' 
Ahora mostraremos que si X e~ un ~o~~in~ot~l:qu~t>#-Y~K(X,p) es 
cerrado, entonces F se encuentra "en la orilla" de' ~y, Fonrializámos esto en 
la siguiente definición. . . .- :·-'"( i';.,:, · 
•:.,_..;_r·:· 
Definición. 1.89. Sea X un continuo. Unsubcoritin·uo F·'de·x.::es'terminal 
en X si para cada B E C(X) tal que B n F #.:©; ~~'(úehe(qiLX':J3:c F.o 
F e B. . . ·.• . . . . . )' ···:·f ¡:;%!:W:'0{'}·,~f ;-j;·;: :· . 
Notemos que X y cada conjunto de un sólo '¡jí.mto:sori:·::termiriales. en X. 
Para el continuo seno de ~su pata límite, que es el'có'mpl~rriéiit(í'::'.deuna de 
sus composantes, es terminal. . · · · ;·,·.; ::'::· f'.'~i?~i\;Z{~.'"j~\;. :· \ .: 
.~:_._ ·_/;:}~,~x~:~·;?~_~J:~~L:·~~?~:-::,~{/( . '. .. _, 
Ahora demostramos formalmente, que si el-coinpleri1ento'de¡i:uiá.ccimpo-
sante es cerrado, entonces es terminal. · ' ;·; 0
• 1:;{,\<:;X0t~[\;r'.' ·· 
Teorema 1.90. Supongamos que X es un contin:~o i/i/u~p·~~.ün puntó de 
irreducibilidad de X tal que el conjunto F =X - K(X;p)'esceif_ci.d'o··~n X. 
Entonces F es terminal en ~Y. · · · .. · ·.. · 
Demostración. Para ver que F es terminal en .X, se~· B 'e cU·ó· tal que 
B n F .-.-,6 Ql y B <t F. Mostraremos que F e B. Tomemos entonce.s un punto 
m E F y sean y E B n F y x E B - F. En vista de 'que x E I<(X;p), existe 
llll subcontinuo propio e de .)( tal que p, X E c. Como X E B ne; tene'mos 
que Bu C es un subcontinuo de .X que contiene a p y y. Dad() que y E F 
tenemos que X= Bue. Entonces m E BuC y como X es irreducible entre 
m y p, resulta que m. f/= C. Luego, m E B. Esto prueba que F e B. y; por 
tanto, F es terminal en X. . ·. .. • 
En el siguiente resultado resumimos los. teoremas :l:s:i,Y~'.ss y L90. 
Teorema 1.91. Supongarnos·· que X ~s ún:·~Jriú:n'ü:O "¡¡~iá'ditaria~ente des-
componible. Si p es un punto de irredÚcibilid.ad'.de'X'y r===·x .;_ K(X, p), 
entonces 
44 
'. ' .' . ·: : ~-' ' .- : ". '. 
· · : C.-\PÍTULÓ 1 > IVOCIONES,:FU1VDAÚENT.~LES. 
(1) F es un subcontiniio term?.nal en .x. . .. 
(2) Si existe un punto y E F tal que X es cik en y, ento~ces {=Tv{ 
' . .•. .. . 
Cabe señalar que el teorema anterior aparece por primera'yez eri[3,'Teo-
rema 3.1]. En este trabajo, hemos separado la: demostración: probando las 
partes que son posibles ele corroborar sin necesidad de suponer que· el conti-
nuo en cuestión es hereditarian1ente clescomponible. 
Capítulo 2 
La Propiedad de Kelley. 
2.1 Introducción. 
En este capítulo presentaremos la noc1011 de la propiedad de Kelley, que 
se define en tocios los puntos de un continuo. Asimismo, veremos algunos 
resultados básicos sobre esta propiedad, aclemcis de una versión local de ella. 
:\[ás adelante mostraremos, entre otras cosas, que los continuos localmente 
conexos tienen la propiedad ele Kelley. Posteriormente presentaremos una 
equivalencia de dicha propiedad, en términos de sucesiones, y después, en 
la Sección 2.5, una ligera variante de la propiedad de Kelley, definida para 
los subconjuntos cerrados ele un continuo. La mayoría de los resultados que 
aquí se presentan, se encuentran probados en [1]. En cada caso ciaremos las 
referencias pertinentes. 
En la literatura han aparecido una serie ele funciones cuva continuidad 
equivale al hecho de que el dominio de definición posee la Propiedad de Kelley. 
En las secciones 2.6 y 2. 7, presentaren1os algunas·de ellas. 
DeflniciÓ.ft>':Y.t:~}·~~j;ícis .' · · 
~ .. /l. :: .;.· ,-.,, '~ 
2.2 
.-\. lo largo cleÍ pres,ente ca,'p{tut<:>: la. ÍetÍ'a X representará un continuo con 
métrica d. 
Definición 2.1. Decimos que X tiene la propiedad de Kelley si para cada 
r. > O, existe ó = ó(e) > O tal que para cualesquiera dos puntos a y b de X 
45 
46 . CA.PÍTULO 2. LA. PROPIEDAD DE I\:ELLEY; 
. . , , ,.- . - : '·~·-'. 
con d(a, b) < 8 y para cada subcontinuo .-l. de X que contf!:n;~ al punto a, 
existe un subcontinuo B de X tal que b E B y H(A, B) <: €, · 
Esta noción fue introducida en 1942 por J. L. Kelley en el artículo (30). 
En dicho trabajo, la propiedad anterior se estableció como la/ "propiedad 
3.2". Algunos artículos hacen referencia a dicha propiedad como .J. L. Kelley 
originalnrnnte la enunció. Hoy en día es bastante común utilizar la expresión 
"propiedad de Kelley" en 1 ugar ele "propiedad 3.2". Para simplificar, otros 
artículos suelen utilizar la expresión "propiedad K". 
La definición anterior puede parecer un tanto desagradable. Lo que in-
formalmente nos dice es que si un punto se encuentra en un subcontinuo 
dado, entonces cualquier otro punto cercano a él, también se encuentra en 
un subcontinuo que está cercano al subcontinuo dado. En otras palabras, 
la propiedad ele Kelley establece una cierta preservación de cercanía entre 
puntos y subcontinuos. 
Si a es un elemento de un subcontinuo A de )( y b se encuentra muy 
cerca ele a, uno podría pensar que mediante un arco ordenado ele {b} a.)( 
en C(..-\."), siempre se puede encontrar un subcontinuo B de )( que contiene 
a by se encuentra tan cerca de A como queramos. Para el abanico armónico 
A, (ver sección 1.10), es fácil convencerse de que ésta es la situación. Sin 
embargo, para el abanico armónico con pata alargada Asa: la situación no es 
así. 
P, 
Notemos que para el punto Po = (1, O), la pata alargada L y un punto de 
L, que se encuentre muy cercano a p 0 , no es posible encontrar un subcontinuo 
2.2. DEFINICIÓN Y EJEAIPLOS. 47 
B de Asa que contenga a dicho punto y que esté cerca de L, _en _vista de que, 
mientras L crece "hacia la derecha"cle p 0 , todos los subcontinuos que tienen 
al punto cercano, crecen "hacia su izquierda". En térn1inos de la métrica de 
Hausclorff, los subcontinuos que contienen al punto se van alejando ele L. 
Así pues, mientras que el abanico armónico tiene la piopiedacl d~ Kelley, 
el abanico armónico con pata alargada, no la tiene. Procediendo de forma 
similar, nos podemos convencer de que el continuo seno de ~. tiene la: pro-
piedad de Kelley, mientras que el continuo seno de'~. con patá alargada, no 
la tiene. 
Los ejen1plos anteriores tambien nos indican que pequeños cambios én un 
continuo que tiene la propiedad ele Kelley, pueden ser suficientes para des-
truir esta propiedad (en vista ele que las respectivas patas alargadas, pueden 
considerarse tan pequeñas como sea necesario). ·· · 
También notemos que, en la definición anterior, el .núméró ó depende del 
número f. A continuación presentamos una versión puntual de)a propiedad 
de Kelley, en donde se involucra un número ó .el cual, en.esta ocasión, depende 
tanto de e como del punto dado. 'é'<' <.' . 
-· · .. :,·-.- ·~.--;?.:~;;·., 
Definición 2.2. Decimos que X tiene la propiedad éle-'Kelley en un 
punto a E X si para cada E > O existe ó ":"" ó(E>a)?">;'O:fi:di&r¡~~·e .si b E X, 
d(a, b) < t5 y si a E A E C(X), entonces existe;unf~úli'(;~niiii";,.i:o. B dé'X con 
b E B y H(A, B) < €. · · .-, ... , •• ,•'<"• :' · ' .•. 
La noción anterior se le atribuye a R. Wardle, y '~;1;/¿~ ~8r ~·riii;~~~•vez 
en 1977, en [ 42, II]. considerado el primero en el que se clésárrolla'm1 éstl.lclio 
sistemático de la propiedad ele Kelley. · · · . ·· · 
Lo que uno espera de las definiciones anteriores, es que la propiedad 
·de Kelley dacia por puntos, equivalga a la propiedad ele Kélley en forma 
global. Esto es verdadero y a continuación escribimos dicho resultado como 
un teorema. 
Teorema 2.3 . .-Y tiene la propiedad de Kelley si y sólo si X tiene dicha 
propiedad en cada uno de sus puntos. 
:\Iás adelante daremos una variante de la propiedad de KeU.ey y luego 
n1ostraremos un resultado que tiene como consecuencia el teorenia anterior. 
. ) ' 
48 -- cA?í:rui-6 2.'· _i'.~·p~ÓP,{ÉD~~-J)E: ;<I3LI;EY.- -
Cabe señalar que_ en [4~), R. \\7Úk1e s(s1~'c~~e11t~~ntÍ-e.lí~~~~~J~~e1 ;es~ltado 
anterior es cierto. ' -/ ;/ _ ·:,~ ,if <!~~. ;;:: .. ':'.:'~y"'- ' ;:'. --. 
En' él ~iguiente teorema mostramos qÚe: lo~_horii.~6Jiió~fi~irio~;~~~~ei~~~· la . 
propiedadcle·Kelley, en su versión local.•- --- · -- - :--.--·,J'.: i'< "> - -:;·,·--: 
.:- · · . ..(~_._ ."'<·:>: :--;~: __ ·-~-:-·.':··::;\::~~"-~;-~-:~.:~:r·t~{~1s.:\~·2/r~ .. ,,,:._Í/.:. 
Teorema 2.4. Sea f: X -r Y un homeomorfism;o én~i_é\[osj(continüos,X y 
Y. Si X tiene la propiedad de Kelley en un pu'nto a E x, .. e.fttori¿e;; y>tie~e 
la propiedad de Kellt:y en f(a). - ':.:: - .. - ->/•·· 
Demostración. Sea e > O. Como f es continua, por el Teo~~~·~ L35; fa 
función C(f) es cominua. Entonces existe e0 > O tal que si A; B E_ C(X) 
y H(A, B) < Eo, entonces H(C(f)(A), C(J)(B)) < e. Como X tiene la pro- -
piedad de Kellcy en a, para Eo, existe c5o > O tal que si b E B(80 , a) y 
a E A E C(X), entonces existe B E C(X) con b E B tal que H(A., B) <€o. 
En vista ele que f es abierta, el conjunto J(B(óo, a)) es un abierto en Y que 
tiene a /(a). Por tanto, existe c5 >O tal que B(ó, f(a)) e f(B(80 , a)). Tome-
mos un punto y E B(ó, f(a)) y un elemento Q E C(Y) tal que f(a) E Q. Sea 
b E B(80 , a) tal que f(b) =y. Notemos que A= ¡-L(Q) es un subcontinuo de 
X tal que a E A. Entonces existe B E C(X) tal que b E By H(A, B) < Eo. 
Notemos que L = f(B) es un subcontinuo de Y tal que y = f(b) E L. 
Además, por la elección ele Eo, resulta que -
H(Q, L) = H(J(A), J(B)) = H(C(J)(A), C(J)(B)) < €. 
Esto muestra que Y tiene la propiedad de Kelley en f(a). • 
Recordemos que una propiedad P es topológica, o bien un invariante 
to71ológ'ico, si cada vez que un espacio Z tiene dicha propiedad, cualquier 
espacio homeomot·fo a Z también tiene la propiedad. Combinando los dos 
últimos resultados, obtenemos el siguiente teorema. 
Teorema 2.5. La propiedad de Kelley es un ·invariante topológico. 
Naturalmente estamos interesados en determinar condiciones, -bajo las 
cuales, una función continua y suprayectiva f preserva la propiedad _de Kelley. 
Por supuesto, si pedimos que f sea abierta e inyectiva, _entonces j es un 
homeomorfismo y, por el teorema anterior, f preserva la propiedad de Kelley. 
;\lcís adelante veremos que es suficiente con pedir que f sea.-abierta;·: por 
ejemplo. - -
2.3. CONEXIDAD Y PROPIEDAD DE KELLEY 49 
2.3 Conexidad y Propiedad de Kelley 
En esta sección probaremos que si un continuo es locahnente conexo en un 
punto, entonces posee la propiedad de Kelley en dicho punto. Mostraremos, 
además, el resultado arnilogo con respecto a la conexidad en pequeño. Fi-
uahnente veremos que un continuo con la propiedad de Kelley es conexo en 
pequeño en cada uno de sus puntos ele corte (ver Definición 1.66). 
Teorema 2.6. Si X es localmente conexo en un punto a E .Y, entonces)( 
tiene la propiedad de K elley en a. 
Demostración. Sea t: > O. Tomemos un abierto. y conexo V de .Y tal que 
a E V e B(~, a). Como V es abierto, existe c5 > O tal que B(c5, a) e V. 
Consideremos b E B(c5, a) y A E C(.X) con a E A. Mostraremos que existe 
B E C(X) con b E E tal que H(A, B) < €. Tomemos B = clx(V) U A. 
Notemos que clx (V) y A son subcontinuos de _,,y que tienen al punto a, 
así que E es un subcontinuo de )(. A.demás b E E y, por el Corolario 1.6, 
clx(F) e B(t:, a). Por tanto 
B = clx(v·) u A e B(t:, a) uA e N(E, A) ... 
Por otra. parte, A e Be N(t:, B). De e~ta nía~~rapoderrios concluir que 
J-I(A., B) < t:, lo cual termina la prueba;· :" .. · ,.tf •--~· .r,,::•;•i . , . • 
Combinando este resultado.con el Tebr~riia.:~'2;3; t~Íi~riibs el siguiente re-
sulta do. .· · ... > .. ~ • '.~~-f (··.;;;r: ;~~J,.~;~f~}if .~J~~¡f~].Í;.· ,;;~'~ _./ ... . .. · · 
Corolario 2. 7. Los continuos localmenté"conécos'tienim~la propiedad de Ke-
lley. .· ...• _:~}\}[~.:.~0f T~:: ;:rr~'.\iA:;,~:~¿[i':~{1~c·1jf:'·'.i~~:.· ·... . •... 
Ahora bien, . con •respecto.•: a. la/ conexidad :·éri; péqueñ9/: que • abreviamos 
corno "cik", tenemos eLsiglíi~,np~·Xesülta(lo!,:;i'Fi~;~:';,.~. /~~·.-(:(/~~; .i:~ ·· -
Teorema 2.8. Si X es cike·ri"unpuntOa iJ.éX; entonces X tiene la propied'ad 
de E<elley en a. · ·.. . · · . . ·. 
Demostración. La pr.ueba de est~ resultado es una variante de la: 'd~da eri 
el Teorema 2.6. Sea E > O. De acuerdo con el Teorema 1.74, existe un abierto 
V de X tal que a E V C E(~, a) y, para cada b E v·, existé un--subconjunto 
conexo C ele X tal que a, b E Ce B(~, a). Como V es abierto, existe .c5 >O 
tal que B(ó, a) C V. Tomemos un punto b E B(c5, a) y A· E C(X) con a E A. 
. . . . . 
. . . . .- . 
50 . CAPÍTULO. 2. · L:4.'PROPIED.4.b1DE:;¡EJLLEY. 
Notemos que b E l~ así que existe un sub~onjmito:·~bn~~o(6•deS~~·tal q~~ 
a, b E e e BO, a). Sea B = clx(C) u A. . • l\rcítem,o~ .• ciu~.·~1.~(C)y' A. ·son 
subcontinuos de X que tienen al punto a, así qut:!:'B és•un'-subcontinuo'de X .. 
Además b E B y, por el Corolario 1.6, clx(C) e B(ii;éri)}P9~'tanto:i .;\>•, ·. 
B = clx(C) u A e B(e: a) u~4 ~·jSc~:·w)I}f}?{;><:·.·:· .. 
Por otra parte A e B e N(e, B). De esta máriei·a pddeñ1os~conCluil:" que 
H(A, B) <e, lo cual termina la prueba. '.->:'.·":· ,>··.)~>~~-~; • 
Es claro que si X es un continuo con la propieclad ele ¡(~ll~i·:~~ ~;ri punto a, 
entonces a no tiene por que ser un punto ele conexidad en. pequeño, •ni mucho 
menos un punto ele conexidad local. Por ejemplo, el·abanico ármónico tiene 
la propiedad de Kelley en todos sus puntos, en particular en aquellos que se 
encuentran en la pata límite cuando se le quita el (O, O), en donde el continuo 
no es ni localmente conexo, ni conexo en pequeño. Esto m~esfra que los 
respectivos recíprocos de los teoremas anteriores no son ciertos .. 
Observemos que el punto (O, O) en la pata límite del abanico aril1Ónico 
A., es un punto de corte de A 3 • Como mostramos a continuación sh1n.piinto. 
p, donde X tiene la propiedad de Kelley, es de corte en X, eritorices . .-'0es Cik 
en p. Este resultado, el cual es un recíproco parcial del Teorema'.2:s,:·aparece · 
originalmente en (3, Teorema 2.1]. ··• .,,. '•:·' ·;; 
Teorema 2.9. Supongamos que X tiene la propiedad de Kelz'd:Y·~~~;.t~~~to 
p E .Y. Si p es un punto de corte de .Y, entonces X es cik en ·p. . ·~ · · 
Demostración. Supongamos que e0 >O. Por el Teorema 1.75, bas~a'r>rob~r 
que existe 6 > O tal que si x E B(6, p), entonces existe E e X cónexo, 
con p, X E E e B (€o' p). Como {p} es un punto de corte de Xi existen dos 
subconjuntos abiertos, ajenos y no vacíos P y Q de X tales qtÍe X -Jp}= 
PU Q. Definamos 
p· =PU {p} y Q" = Qu {<¡}. 
Por el Teorema 1.65, p• y Q" son subcontinuos de X .. Tomerrios.puntos 
xo E P y YoE Q, Sea é1 > O tal que B(e¡;x0 )cP. Pódeitíos suponer, 
sin pérdida de generalidad, que €1 < €0 • Procediendo. de la misma .manera,. 
tenemos que existe. O < €2 <•eo, tal que,B(e2, Yo) e Q. . ' .'. ;1. · 
2.4.·· PROPIEDA.DDE KELLEYCONSUCESIONES 51 
Como PU B(Eo, p) es un abier:to en X, tal que p• e PU B(i:0 , p), por: el 
Teor:erna 1.19, existe Ea >O tal que 1V(E3 , P*) C PUB(Ea,p). De nueva cuenta 
podernos suponer:, sin pér:clicla de generalidad, que E3 < Ea- Procediendo de 
la misma rnaner:a, existe O < E4 <Ea talque N(t:4, Q*) e Q U B(Eo, p). 
Sea E= min{ E1, E2, Ea, E.¡}. Es clar:o que E< Ea- . 
Ahor:a bien, como )( tiene la Propiedad ele Kelley en p, entonces existe 
O < 8 1 < E tal que par:a cada x E X con d(x, p) < 81 existe D E C(X) con 
x E D tal que H(D, Q') < E. De la misma manera, existe O < ó2 < E tal 
que par:a cada x E X con d(x, p) < ó2 , existe D' E C(X) con :i; E D' tal 
que H(D'; P*) < E. Sea ó = min{ 81, 82 }. Entonces, par:a cada :1; E X con 
d(x,p) < ó existen D, D' E C(X) con x E D n D' tales que H(D, Q") <E y 
H(D', P*) <E. 
Tornemos x E B(ó,p) - {p}. Podernos suponer, sin perder generalidad, 
que x E P. Tomemos D E C(X) con x E D y H(D, Q•) < E. Entonces 
Q• e N(i:,D) y, como y0 E Q,c Q* e N(E,D), existe a E D tal que 
d(a, Yo) < E< Ea- Luegci a E B(Eo; yci) e' Q y, por lo tanto, D n Q =¡6 ©. 
Como D - {p} e Pu Q, entonces 
D - {p} = (P n (D - {p} )) u(Qn (D - {p} )) = (P n D) u (Q n D). 
Además PnD y QnD son abiertos en D y x E PnD. Entonces PnD =;6 0. 
i\Iás aún, Q n D =¡6 ©, y los conjuntos P n D y Q n D son ajenos, pues 
P n Q = 0. Luego, P n D y Q n D son una separación de D - {p }. Por tanto, 
aplicando el Teo1·erna 1.65, tenemos que E= (PnD)U{p} es un subcontinuo 
de :'(. Notemos que p, x E E. Ahora veremos que E e B(i:0 , p). Para esto sea 
e E E. Si e= p, es claro que e E B(i:0 , p). Si e f= p, entonces e E PnD. Como 
H(D, Q") <E, entonces De N(E, Q"). Ahora bien, 1V(E, Q') e (QuB(Ea,p)), 
por lo que D e Q U B(t:0 , p). Luego, e E Q U B(i:0 , p). Corno e ~ Q, pues 
e E P y P n Q = f/J, resulta que e E B(E,p). Esto prueba que E e B(t:0 ,p) y 
termina la demostración del teorema. • 
Corolario 2.10. Un continuo con la propiedad de Kelley es cik en cada uno 
de sus puntos de corte. 
2.4 Propiedad de Kelley con Sucesiones 
En esta sección, presentamos la forma clásica ele enunciar la propiedad de 
Kelley en términos ele sucesiones. En la literatura, dicho resultado aparece 
.52 CAPÍTULO 2. LA. PROPIEDAD DE KELLEY: 
porcprimera vez en (11, p. 74], sin demostración. En otros artículos se.Íia 
·ütilizado· esta equivalencia, y en ninguno de ellos aparece una pruébá··del 
.rnismo. i'viás aún, por conveniencia, la equivalencia aparece en más: dé ·una 
ocasión como la definición de la propiedad ele Kelley, en cuyo caso los autores 
simplemente omiten la definición original dacia en términos ele epsilones )· 
deltas. En este trabajo no presentaremos una prueba, y optamos por referir 
al lector a (1, Teorema 2. 7] en donde se da una demostración del mismo. 
Teorema 2.11. Para a E X, las s-iguientes afirmaciones son eqÚivaú.iit~s~ 
'· , __ ,_,;· ' 
1. X tiene la propiedad de .Kelley en a. · .. 
,"' :; '\ ~ .. ::1 ~:'º.'.t.<'.' 
2. Para todo .-J. E C(X) con a E A y para tod~ suce;i6ri.(~f)~;i~h;t~~tal. 
que an -+ a, existe una sucesión (A,.;)n en C(X) tal que'(;i,.i':e:;A~; para 
cada n EN, y An -+A. ·. . .. ·. . ::\<·ékf~E.¡t;h··r~~)r< .· 
En el artículo (12, Observación 1] aparece, sin prueba;c•~ótra:Lc~r~c'teriza-· · 
ción de la propiedad de Kelley en términos de sucesio'nes:·:'A\é:o'n.tinúación 
mencionamos y probamos dicho resultado. : ·;.:-.::.· ··::·y··-
Teorema 2.12. Para a E X, las siguientes afirmaciOnes so"!: equivalentes: 
1. )( tiene la prop·iedad de Kelley en a. 
2. Para cada € > O, cada A E C( ... Y) con a E A y para toda sucesion 
(an)n en .Y tal que an -+ a, existe una sucesión (An)n en C(X) tal que 
an E An, para cada n E N y, si (An.)k es una subsucesión de (An)n tal 
que An• -+ Ao, para algún A.0 E C(X), entonces .H(A., Ao) < €. 
Demostración. (=>)Sean€> O, A E C(X) con a E A y (an)n una sucesión 
en ,y tal que an -+ a. por el Teorema 2.11, existe (A,.)n C C(X) tal que 
an E An, para cada n E N, y An -+ A. Entonces si (A,.k)k es una subsucesión 
de (An)n, tal que .-l.n• -+ Ao, para algún Ao E C(..-Y), se tiene que Ao =A y, 
por tanto, H(A, Ao) =O < €. 
( '*=') Supongamos que X no tiene la propiedad de Kelley ·en a .. Entonces 
existe € > O tal que, para cada 6 > O, existen ª" E B(c5, a) y Ao:E C(X) con 
a E .40 tal que, para cada E.E C(X) con a0 E B, sucede~q\ll:!:.Ef(B,A_0)'~·e 
Tomemos n E N y sea Ón 
C(X) con a E An tal que 
~ Entonces existen a~ E B(ón, a) y An E 
? --.v. . 53 
Dada la compaddad ele C(X) podemos suponer;· sin p~1'der g~neralidad, 
que An -+.-l. para algún subcontinuo A ele ~Y: Aplicando 2 para el número~, 
el subcontinuo A de ,y que tiene a a, y la sucesión (an)n en :-Y que converge 
a a, se tiene que existe una sucesión (Bn)n en C( ... \:") tal que a,, E Bn, para 
ea<la n E N y, si (B,.k)k es nna subsucesión ele (Bn)n, que converge a algún 
subcontinuo E ele X, resulta que H(A., B) < f. 
Consideremos una subsucesión (Bnk )k de (Bn)n que converge a un sub-
contiuuo B de .Y. Notemos que la subsucesión (An.,)k de' (An)n converge a 
A.. Por tanto, existe N E N tal que si k 2:: N, entonces H(Bn~; B) < ~ y 
H(.-l.nk• A) < ~- Notemos entonces que, para un elemento k ?:. 1V,. Bnk es un 
subcontinuo de ,\: que tiene al punto an., y, además, · 
H(Bn,., Ank) < H(B,..,, B) +H(B,A) + H(A,An.) 
< f+f+f 
f. 
Como esto contradice ( *), tenemos que X tiene la propiedad de Kelley 
en a. • 
2.5 U na Variante de la Propiedad de Kelley. 
Ahora mostraremos una manera natural de hablar tanto ele la propiedad de 
Kelley en un subconjunto cerrado ele un continuo dado, como de la propiedad 
ele Kelley en los puntos ele dicho subconjunto. 
Definición 2.13. Sean X un continuo y .-!. E 2x. Decimos que .')C tiene la 
propiedad de Kelley en un punto a E A si para cada E > O, existe 
c5 = c5(é, a) > O tal que si b E X satisface que d(a, b) < t5 y K E 'C(X) con 
a E K, entonces existe L E C(X) con b E L tal. que H(K, L). < E.' · .. 
Definición 2.14. Sean X un continuo y A E 2x. Décimos que X tiene la 
propiedad de Kelley en A si para cada é >o; eXiste 8:;, é5(fh> O tal que 
para cada a E A.y b E X con d(a,b) < c5 y para todolCElC(X) con a E K, 
e:i:iste L E C(X) con b E L tal que H(K, L) < f. 
- - . . 
·,. •! ,."._ ,._, • :· 
54 CAPÍTULO 2. ··•· LA.·PROPIED.4.D DE]<ELLEY. 
Es claro que X tiene la propiedad de Kelleysi ysólo:si ~-\'.'. ti~ne la ~ropie­
dacl ele Kelley en cada subcontinuo de x, Esta ligerá ~;ariante de la propiedad 
ele Kelley, nos permite probar el siguiente resultaclci~·ql.Íe \Úiiizaremos más 
adelante (ver Teorema 3.4). ,,_ - - ~;.-~~" __ ,~;>_; ___ .,,:· >::\: -.,:.-·-:~ ·:---,~_,:;_~~ ,:·~~. · - -
Teorema 2.15. Sean X un contin'u~,; ~4 E ctx'):' E~th~ces X tiene la 
prop·iedad de Kelley en A si y sólo si X.tiepe la pfopiedad de Kelley e71. cada 
punto de A. ·· · · · · 
Demostración. ( =>) Es inmediata. 
( <==) Supongamos, por el contrario, que X no tiene la propiedad de Kel}ey 
en A .. Entonces existe e > O tal que, para tocia r5 > O, es .posible encontrar 
.a6 E Ay b6 E X tales que d(a6, bó) < ó .. Además e.xiste K6 e.C(:X) con a6 E 
K 6 tal que, para cada L 6 E C(X) con b6 e L 6, tenemos que.H(I<¿;Dj):?::. e. 
- .' : . ,' ' .. - ··. -. __ -._ :: ' ·<·: -. ~_;.:· • ..-"; :.; ' ·,• : ·- . ' -
En particular, si damos Ón = k cor:i 71. E ~. ~;d~tell an E _4;:i, bn·'~ _,y, tales 
que d(an,bn) < ón. Además existe I<,:,: .. eC(X) con ari•.~ .f<n.,t.ábque ; . : 
(*) para cada Le C(X) e:6·~ b~'.e i.;•tene~6gq;_¡~:Jí.(.il,'i)~·e.· . 
'.· - ' _ i; .. ~- --,. --·:- -:-/'.. --~ ''.<::;>---~l}(-~-.--!'(f:,·- 0 :?~·'.- ~ ;;~'.}''.·_,: :~'.~f .. :...-0:'..':)¡ __ , ,}::r~.::_:~~\~>;_·<;- <º: __ :.~:.~,'.''·:';):·:-.=~< '.~-.-' · 
Como X es compacto, por el Teo;erna ;i: 27/existe¿ substÍcesiori~s (Q.;,.,. )m 
V (bn,,.)m de (an)~ y (b.i)n\ respecti~·ament~; tales quºe a,¡,,. -'?'a y b~ -'? b · 
para algún par de plintos.a; b<e ~X. ,Como también A es compactó :i cada 
pullto. an,,. se· encÚentra en A, resultá ·qí1é a E A; · . . . 
Ahora bien, como C(X) es co~pa~to, podemos suponer que lá su·~~sión 
(Kn,,.)m converge a un elemento K 0 .E C(X). Notemos que an,,. 4 a·;1<;;,,. ~ 
](0 y an,,. E Kn,,. para cada m E N. Entonces, por el Corolario 1.16; 'resulta 
que a E Ka. .. 
Como X tiene la propiedad de Kelley en el punto.a de .4; pa~a<.~, e~iste 
r5 >O tal que si x E X y JE C(X) satisfacen que d(x,a) <ó Y.aE J, 
entonces existe ivl E C(X) con x E. ivI tal que H(J, ivl) < ~- · · · · 
Debido a que an"' _,, a y bn.,:. ;__:; b sabemos,. por l~ c~ritirlÜidad de la 
función d, que d(an,,., bn,,.) ---+, d(a, b),. Ahora bien d(an,,., bn,,.) < n~, ·para 
cada m E N, así que d(a""'' bn.;,) _,, Q, Por .tanto d(a, b) = O y de aquí que 
' ' 
2.6. LA. FUNCIÓN a .. - ,-: _-e - --.'-~~ /~~~-- : 55 
. . . '·-_:·· ·- _.· ~. ~ 
a = b. Esto n1uesfra' que b,.m. -:+.a. 
d(bn.., \a) < t5 pa:ra: cacla,m .?. Ni 
Por tanto, para 6, e;,Ístci i\Í'¡ E· N tal que 
.. ,._:·:.:>."·.' '"'• - - .-. ·.-:: :·_,~ _·_ ::,. -
- . - -"~:: ::· : - ··-~:~ .. '.:- : .: (· ·. :.. ' -- {. -
Ahora bien como I<í, -:+ K 0 , para~; existeN2 ~ Nt"1.i,c!i:'i:'eH(f<0,/\\,m) < 
~ para cáda :ni?:_ N 2 • T;;memos N = rriax{íV1 ,1W},Y.;s~a,·ij1:"2:{1y5;"9~fuo Ko 
es ún subcontinuo ele X que contiene a a y: d(b~¡~; a)~~<~e,:exisfotL s:C(X) 
con b,.m E L tal que H(J-(0 , L) < ~-Luego ~ ~·, \:;·,; ,)';;: J(,: ;k~' ' "');\ •, ·:,. ' · 
H( K._. L) ~ H(K •• , Ko) ~~¡~¡J,f ~it~·~~~;f\• 
Hemos encontrado un subcontiinio L 'dé>-y:·qu~; córitiene' al punto bnm 
y es tal que H(Anm•L) < é. Esto conti:a~liC:e•(*):Por'lo'tarito';·X tiene la 
propiedad de Kelley en .. 4. : ·''.-,··:: :·.:·~-- · -. · • 
Notemos ahora que el Teorema 2.3 es una consecuencia inmediata del 
teorema anterior. En efecto, X tiene la propiedad de Kelley si y sólo si Jy 
tiene la propiedad ele Kelley en cada elemento A E C(.,'() y, poi· el teorema 
anterior, esto equivale a decir que )( tiene la propiedad de Kelley en cada 
punto de cada subcontinuo de,,\:. Esto es, que .X tiene la propiedad de Kelley 
en cada uno de sus puntos. · 
2.6 La Función a. 
En esta sección estudiaremos una función, .la cual está bastante ligada a la 
propiedad de Kelley. Para cada a E X definimos 
ax(a) = {A E C(X) : a E A}. (2.1) 
A menos que entren en juego varios continuos, acordaremos llamar a 
ax (a) simplemente por a(a). En el siguiente teorema veremos que la asocia-
ción anterior define una función a: X-:+ C 2 (X). 
Teorema 2.16. Dado a E X se tiene que a(a) E C 2 (X). lvlás aún, a(a) es 
conexo por trayectorias. 
Demostración~ Sea a E X. Por definición a(a) e C(X). Además a(a) es 
·no vacío, pues .)\ E a(a). Notemos que: 
. ~ . . . ' ·. . ." . - ' " 
56 . C.4.PÍTUL0.2. ,LA.iPROPIEDAD,DEKELLEY. 
C(X) - o:(a) =. {A. E C(X) :'a tt A}~ { Á. E C(X): A°CLY:é__ {a}}. 
Como {a} es ce.rrado en .x,'se tiene q{1e X :7{ a} e~~~~i~;·i6 ~K·~{::;·E~~6n~cs, 
por el Teorema 1.18, C(X)-o:(a) es abierto en C(X). LÜegoi a(a);es cerrado 
en C(X). . · ' '.. ' .{ ·' · 
:~'' _. 
i\fostraremos ahora que o:(a) es conexo por trayectori~:: Pl:lrk esto, ·sean 
A, BE o:(a). Tomemos un arco ordenado ,\: I -t C(Xfde;>l'.a ,\.' .. Notemos 
que A(I) e o:(a). En efecto, si C E ,\(I) entonces existe t E I,'talque ,\(t) = C. 
Como ,\ es un arco ordenado, A = ,\(O) e ,\(t) = C, asLque G/E 'á(a) pues 
a E A. Esto muestra que existe una trayectoria de A'..i.,:;."\:"(en':o(ci). De 
manera similar, existe una trayectoria de B a X en a(a)/ComO'.éonectarse 
por trayectorias define una relación de equivalencia; existe. ii.iia. trayec'toria 
de A a B en a(a). De esta manera, a(a) es conexo pór,trayectorias y, por 
tanto, es conexo. ::,, .... ,,,,. • 
En el siguiente resultadÓ, prese~tamos unri.·se;~~ilI'i a.iüJ~bi6n del teorema 
an.terior. .. . .· .. · .. ,.: . : .. . so' 
•·· 
Teorema 2.17. Si p,x E X; enti:mces: 
\:.'.()={If EC(X) :.p,x EK f 
es un elemento de é~ (~Y-): ivJ6.; d'Ú;: i ~es ~o;,,e;p~ po,r trayectorias; 
(2.2) 
Demostració~. Pb~:'.cl~~~iáih~X:F' e C(_,Y)'. ~"'"den=::ás,· .r. es no. vacío pues 
contiene a X. Notemos que: .· 
:F = o:(p)n a(x) 
y, por el teorema anterior, o:(p) y a(x) ·s'ori. cerracÍós\~ri((;{X)'. Luego, :F 
es cerrado en C(X). Para mostrar que .'H. 'es con·exo :p'or'\rayectorias, sean 
A,B E :F. Supongamos que.-\: L-t C(X) .un· arco'ordenado de A. a X. 
Como p, X E :F, sucede que A es una trayectoria:de A, a'x én;.i°;' De manera 
similar, podemos construir una travectoria de E.a x·erí. :F.' Eri'vista de que 
conectarse por trayectorias define ~na relación de-equivalencia, .'.F es conexo 
por trayectorias. • 
2.6. LA FUNCIÓi'fa; 57 
A continuacióii ~taremos dos 'resultad()s. niás .acerca d~.l~ fu~ción °'· 
Teorema 2.18. 'L~f;_ncióno: X~ C2 (X)'es~sc; 
. . '-. ··.. '... ' :.¡·· ' ,.;_ . :: ,·_ 
Demostración. Seai1 a E X y (a;;.)n e X tales que a;:_-+ ci .. Por el Teorema 
1.31, basta probar que lim supa(an) e a(a); SeaÁ E limsupa(cin)- Entonces 
.-1. E C'(X) y, por el Teorema 1.14, existen:una sucesión'de .n(1meros naturales 
n 1 < n 2 < · · · y puntos .-1.,.. E a(ank), pciratoda~k EN, ta1e¡¡,qtteA.n•-+ A. 
Entonces tenemos que ªn• -+ a, An• · . ..:.+.A. y ci,;.: .E A;,,; pára to'cla· k E N. Por 
lo tanto, podemos concluir que a E A, lo cual significa·c[ue.A E a(a). Por 
tanto, lim supcv.(a.,.) e a(a). · . . .. . • 
El siguiente teorema relaciona.' la contin~ic11c1 de;JY~b_rl'la;pi:C>piedad de 
;:~:::a·:.~:. cl;:~:i: :e j~) DLB's(guie:;·~~- ~fl~a,~i~-~~:s ··~~~··equivalentes: 
l. a es·sc en a;: 
.:.·-. 
,;···: 
2. a 
3. X tien~ la.propiedad de Keltey en a. 
Demostradón. Veamos que 1 implica 2. Por el Teorema 2.18 tenemos que 
a esSC'en a. Como estamos suponiendo que a también es·SC ena, sucede 
que a es continua eu a, ele acuerdo con el Teorema 1.29. 
La prueba de que 2 implica 1 se dio también en el Teorema 1.29>' 
Para terminar la p1·ueba, veremos que las afirmaciones 1 y 3 son. equi-
valentes. Para ver que 1 implica 3, sea (an)n C )'( tal que an -+ a. Por el 
Teorema 1.31, a(a) e liminfa(an)· Entonces, para un elemento A E a(a), 
existe (An)n C C(X) tal que .4,. -+ A y A.n E a(an) para todo n É N. Luego, 
por el Teorema 2.11, podemos concluir que .X tiene la propiedad de Kelley 
en a. 
Ahora veamos que 3 implica l. Sea e > O. Entonces existe t5 = ó(a, e) > O 
tal que, para todo b E B(r5, a) y todo A E a(a), existe B E a(b) tal que 
H(A, B) < e. Es decir, existe t5 > O tal que para todo b E B(ó, a) se tiene 
que a(a) e N(e, a(b)). Por tanto, podemos concluir que a es SC en a y así 
queda demostrado el teorema. • 
58 CAPÍTULO 2. LA. PROPIEDAD DE KELLEY. 
. . . 
~or el Teorema 1.34, toda fundon sémicontinua p~r arriba , es continua 
en un conjunto ·c6-denso. Aplicando este. resultado a la función a, resulta 
que existe un subconjunto .4 de .}( que es Ga~clenso y, además, a es continua 
en cada punto de .4. De acuerdo con la equh:alecia entre las partes 2 y 3 del 
Teorerna 2.19, lo anterior implica c¡ue )\: tiene la propiedad de Kelley en cada 
punto de .4.. De esta manera, tenemos el siguiente resultado. 
Teorema 2.20. Todo continuo tiene la propiedad de I<elley en -un conj-unto 
G6-denso. 
2.7 Continuos Hon.i.ogéneos. 
- . . . 
El Teorema 2.20, nos permite exhibir una nueva Clase de cohtinuC>~ qi'.íe poseen 
la propiedad de Kelley. · · .::> · · 
Definición 2.21. Un espacio topolóf!ico Y ~s homogé'neo.si para cada par 
de p-untos p, q E Y existe un homeomorfismo:f: Y ~·Y tal que f(p) = q. · 
'·- . . 
La circunferencia es un ejemplo de. un continuo homogéneo.· Es conocido 
que cualquier continuo que a su vez es un .grupo topológico, es también 
homogéneo. Otros continuos homogéneos son más complicados de describir. 
Para un estudio sobre esta clase importante de continuos, referimos al lector 
a los artículos [40] y [33]. En relación con la propiedad de Kelley, tenemos el 
siguiente resultado. 
Teorema 2.22. Los continuos homogéneos tienen la propiedad de Kelley. 
Demostración. Sean X un continuo homogéneo y p E X. De a~uerdo al 
Teorema 2.20, X tiene la propiedad de Kelley en un punto q E X. Como 
)( es homogéneo, existe un homeomorfismo f: }( --+ ,Y tal que f (q) = p. 
Entonces, por el Teorema 2.4, X tiene la propiedad de Kelley en p .. Por 
tanto, por el Teorema 2.3, X tiene la propiedad de Kelley. • 
En [42, Teorema 3.1] se muestra el siguiente resultado. 
Teorema 2.23. Los contin-uos hereditariamente indescomponibles tienen la 
propiedad de Kelley. 
Una prueba detallada del mismo, puede verse en [1, Teorema4.8]. 
2.8. CONTINUOS NO MÉTRICOS. 59 
2.8 Continuos no Métricos. 
La propiedad de Kclley ha sido considerada para continuos que no tienen 
por que ser métricos. En dicha situación, pensamos que si .-Y es ·u_n. espacio 
compacto, conéxo y Hausclorff entonces . · 
C(X) = { .4 e X: A es compacto, cone.xo ynovacío} 
posee la topol~gía ele Vietoris ( [26, Definición . Ll]). L'a clefinició~ queda 
expresada entonces como sigue. 
Definición 2.24. Suponga1nos que ,\. es un espacio compacto, conexo y 
Hausdorff. Decimos que X tiene la propiedad de Kelley si para cada 
p'ILnto p E ,Y, cada subconjunto compacto y conexo I< de ,\. con p E I< y 
cada abierto U en C(.Y) con K E U, existe un abierto U en)( con p E U tal 
·que si q E U, entonces existe un subconjunto compacto y conexo L de .-Y con 
q EL y LE U. 
La noción anterior fue establecida por 'vV. J. Charatonik en [16]. En dicho 
artículo, el autor menciona que los Teoremas 2.18 y 2.19 permanecen válidos 
si suponemos que)( no es métrico y que, para ver esto, es suficiente con usar 
redes en lugar de sucesiones. En [34] I. Lonéar también estudia la propiedad 
ele Kelley para espacios no métricos y, utilizando límites inversos de siste-
mas inversos a-dirigidos, hace ver que los Teoremas 2.18 y 2.19 permanecen 
válidos sin necesidad de suponer que X sea métrico. Utilizando estas mismas 
ideas, I. Lonéar generaliza el Corolario 2. 7 para continuos no métricos. 
En las secciones 3 y 4 de [16], \V . .J. Charatonik prueba que existe un 
continuo no métrico y homogéneo, que no posee la propiedad de Kelley. Por 
consiguiente, en el Teorema 2.22, la hipótesis ele metrizabilidad es esencial. 
2.9 Retracciones. 
En [42, Teorema 2.9], R. vVarclle prueba que las retracciones preservan la 
propiedad ele Kelley. Una prueba detallada de este resultado puede verse en 
[1, Teorema 4.11]. Recordemos que, si Y y Z son espacios topológicos y Z e 
Y, entonces un retracto de Y en Z es una función continua r: Y -+ Z tal 
que r¡z es la función identidad. A la función r se le llama una retracción.ele 
60 
Y en Z. A cm1tinuatión, lllos"t'i~rii'os:·~ue los retractos pre~e~vanl~;~r~pied~d 
de Kelley, sin n(!cesidacLde suponer que el continuo en cuestión es métrico. 
Teorema 2,25 {[16, .T~8reriia 2.8]). Supongamos que X ~; ~n ~~pacio 
compacto, conexo y Háusdor.IJ. Si X tiene la propiedad de Kelley y Y es un 
retracto de X, imtorices Y tieiie la propiedad de Kelley. . 
Demostración. Sea r: )C -:.+ Y una retracción de .Y en Y . . Tomemos un 
µunto p en Y, un subconjunto compacto y conexo I< de 1·· tal que p E· J(, 
y un abierto U en C(Y) tal que I< E U. Por el Teorema.1.36, la fuiid6n 
inducida C(r): C(X) ~ C(Y) es continua. Aderniis, para cada A.·.·e·C(Y). 
':.~,;:·; ' '• ,_. 
C(r)(A) = r(A) =A 
. _..'. ·-".,_ ·. ~-. "•'. -: ... , . 
pues r¡y es la identidad. Entonces C(r) es una retracción de C(X:).:~n,C(Y). 
Utilizando esto y el hecho ele que U es abierto en C(Y),'resulta\qúe.V = 
C(r)-1 (U) es abierto en C(X). Además, p E J( E _V~ Como,x; tiene la 
propiedad de Kelley, existe un abierto V en X con p E V y .talque siq E V, 
entonces existe un subconjunto compacto y conexo L de.)( ta.l que q'e LE V. 
Sea U = V n Y y notemos que U es abierto en Y. Supongamos ahora que 
q E U. Entonces existe un subconjunto compacto y conexo L. de X tal que 
q E L E V. Luego, r(L) es un subconjunto compacto y conexo de Y tal que 
q E r(L) E U. Esto prueba que Y tiene la propiedad de Kelley.• • 
2.10 Funciones Refinables. 
En esta sección introducimos las funciones refinables y su relación con la 
propiedad de Kelley. 
Definición 2.26. Decimos que la función continua, g: :"'Y .-:+ Y entre los 
continuos X y Y es refina ble si para cada e > O existe una función continua. 
y suprayectiva f: X-:+ Y tal que cliarn(f- 1 (y)) <e, para cada: y EY y, si e 
representa la métrica de Y, entoncessup{e(!(x),g(x)):x.E'X.}~.'.<:},~'; · 
En [28, Teorema 2.1] H. Kato demostró el siguiente resultadó; ;:: ;··. , 
Teorema 2.27. Las funciones re.finables preservan l~ pr~pi:~ddr';ú?.if'elle~. 
Más adelante veremos que las funciones confluentes p~·ese~~;ri;¡~:~t;pie­
clad de Kelley (Corolario 3.5). Por cuestiones ·de tiempo, ·n.o'incluírriÓs en 
este trabajo una demostración del Teorema 2.27. · ·: .. :. 
2.11. TRES FUNCIONES ESPECIA.LES. 61 
2.11 Tres Funciones Especiales. 
En esta sección se presentarán tres funciones, definidas a partir ele un con-
tinuo X, cuya continuidad equivale a que X posea Ja propiedad de Kelley. 
Recordemos que Ja letra I representa el intervalo cerrado (O, 1] de la recta real. 
Consideraremos que p. es una función de \Vhitney normalizada en C(.Y). 
·Para cad~1 (ci., t) E x x :I,defüi'inios 
•• , 1·. >,; .. :, '."";' . . <:~ 
Fµ(a, t) ,,;,; {:4. E 'a(~): µ(A) = t }' 
Informalmente hablando, Fµ .retine a tocios aquellos. elementos de. a(a) 
·que "miden" t. 
La función Fµ fue definida en (30] por J. L. Kelley. En dicho artículo se 
prueba que si )( tiene Ja propiedad de Kelley, entonces Fµ es continua. En 
1977, R. \Varclle observó en (42] que Ja continuidad de Fµ implica que _,.y tiene 
la propiedad ele Kelley. Este resultado aparece probado por S. B. Nadler, Jr. 
en el libro (38, Teorema 16.14], publicado en 1978. Posteriormente, en [1] se 
hace un tratamiento diferente de la función F,... Primero se prueba que Fµ 
sien1pre es semicontinua por arriba, y después se ve que Ja semicontinuidad 
por abajo de Fµ, es equivalente a Ja propiedad de Kelley en .Y. 
En el presente trabajo enunciaremos sin prueba, los resultados de (1], 
clando en cada caso la referencia correspondiente. 
Teorema 2.28 ((1, Teorema 3.1]). Fµ(a, t) = a(a) n J.L~ 1 (t) pc,ira:c~da 
i~;r;~: :.~o ([i, Teor•ma K~;~l~i~f~iI~~'it~~~tc~'.t¡}e 
Teorema 2.30.·([1; La.5funcwmFµ':'X¡-;x,•,L:.~<.C (X) .• es 
·~ .. · ;::c:::i:~3:0,~¡:;n;:~rema 3.5]).-'·hn:if~t~~~~~~:.:~~i0t¡I;1~tl~i~~~dde 
Kelley en un punto. a E X si y sólo.si ta·Junci6ii':P:t ,i/s continua~ ~n' (a, t) 
para toda t E f. ; .,, ·.- ;~ ',t ··~·~./ ' ~ • . •, ·.\ ;: 
62 C.4.PÍTULO 2.' L:..\ PRÓPIED-..\D}rJETÍ{:ELLEY. 
Corolario 2.32 ([1, Corolario 3.1]). U~ continuo X tie/i·e la propiedad de 
]( elley si y sólo si la función Fµ. es continua. 
Con ayuda de la función Fµ. podemos ver. que los continuos hereditaria-
mente indescomponibles tienen la propiedad de Kelléy. Notemos que si X es 
hereditariamente indescomponible y A, B E C(X) son tales que A n B # 0, 
entonces A y B son cmnparables. En efecto, si esto no es así, entonces hacien-
do C = AUB resulta que .4 y B son dos subcontiuuos propios de C. Luego, C 
es descomponible, lo cual contradice el hecho de que .Y es hereditariamente 
indescomponible. 
Teorema 2.33. Si.'\: es hereditariam.ente indescomponible, entonces ... Y tiene 
la propiedad de Kelley. 
Demostración. Consideremos un elemento (a, t) E .X x I y una sucesión 
(a,., tn)n en X x I tal que (an, tn) ~ (a, t). i'viostraremos que Fµ. es continua 
utilizando el Teorema 1.23. Supongamos, por tanto, que Fµ.(an, tn) ~ A 
para algún A E C 2 (X). Veremos que A= Fµ.(a, t). Para esto, tomemos un 
elemento A E A. Como A= lim inf Fµ.(an, tn), existe una sucesión (An)n en 
C(X) tal que An ~A y, para cada n EN, An E Fµ.(lln, tn). Como An ~A y 
la función J.L es continua, sucede que tn = µ(An) ~ µ(A). También es cier.to 
que tn ~ t así que µ(A) = t. Por otra parte, como An ~ .4, an ·~<a .5/ 
a,. E An para cada n E N tenemos, por el Corolario 1.16, que a E .4. Luego. 
A E Fµ.(a, t). Esto prueba que A e Fµ.(a, t). ;;;.,./ ·.·. 
Para mostrar la otra contención, supongamos ahora q~e :Á .··~ .:¡;:~·(:~. t) . . 
Dada n E N, por el Teorema 2.29, Fµ.(an, tn) # 0 por. lo qll,~,~~.iste;~ji,¡ E · 
Fµ.(a,., t,.). Como C(X) es compacto, existe una subsucesión'1;i:./CI~'.~4~\.tal.que 
An• ~ B para algún BE C(X). Notemos que BE lims1;1pF~Jci;¡·;:ti:):·~iA; 
Veremos, a continuación, que B = .4. En efecto, comci A;.-¿·,·-::t: §f''.á::.i~··'.=:, a 
y ªn• E A,.. para cada k E N, por el Corolario 1.16, resulta. qúe ª. E:: .. Y~:C:'.Por. 
tanto A n B =P 0 y, en vista de que .X es hereditariamente indescomponible,' 
tenemos que A e B o bien B e A. . . . . .,· .. .·•1: · · ···•:: "'" _, ;;·:r· .. · 
. .\hora bien, por la continuidad de µ, tenemos que tn,. =:µ(.;~~) -4.:µ'('B)·. 
Como también t,.. _, t, resulta que µ(B) = t, así que µ(B) = µ(Af Tenemos 
entonces que A y B son dos elementos comparables y tafes que:µ.( A) = µ(B). 
Luego A= B. Entonces A E A y con esto Fµ.(A, t) e A. Tenemos entonces 
que Fµ.(a, t) = A. Luego, por el Teorema 1.23, Fµ. es continua y, por el 
Corolario 2.32, X tiene la propiedad de Kelley. • 
' ', . .: ' . '•·.. ' ,,':· :.'- .. 
2.11. TRES FU~V¿ICJNES ESPECHLES .. ··· 63 
2.11.2 . La ~l.lri~ióniF;'. 
Ofra función ~iue duin¡:il~ cor1 fa~ ant~~'mencionadas ¡:iro¡:>iedades es la llamada 
función·F;, ,defirÚda en.[i5r¡:ior•W; J: C!iélratoriik.· Para cada (A,t)• E C(X) X 
I, defiriirnos · · · ·.. · 
F,;(A, t) ~ {l.~~ E C(X)' A ) : ';f(~I\:f i :: :¡~~ ~ :: 
Como en la sección anterior, en .éste ti:ába}~ prese~~~r~n1.os. sir1 p~ueb~t. 
los resultados corres¡:>onclientes a ·1a;r\lncióI1: f;,;::.in,dica!j~o)eI1~'Cáda éaso la 
~~~{~~~~~:~~:~~~j;l~ílll'llf :11~;~~:~. 
las definiciones de Fµ y ¡:'¡,: Dié,h.?, ~es1:1ltcl:cl.c>~~.c>.~}:l}~~· C:,~~~~.~s,ta:c;;r;i;l.~donadas. 
~~if~·!:i!·f rf:lrl1~i~!l,f llli!!~f !º:,:· 
Teorema; 2;37. ([1,-\'I'eorei:na\3:9]}: .. [/n,conti·íiu~;; ... Wtiéne:;lii.?pi:~piedad. de 
k el ley; en ~n;;P,ú.nto,~'á;{ff.'t~'C,~·;;~ff¡ liflo'.':'Si;,:(a''f~;if,{pn . :;':F/,.) és/c(iijtin::Ua ;éri( A.; t) 
para todo.(A, t) E c;i,(ci) X;'•F··~· ·, .~·' . · ~ . · · ~ :: ·.,; :~' :~. ·., .. · · · 
·i:t:t~~~*;;zf~~·iz~·?u~~11r~···~~3~0:ng~~i~nt.i.nu·~·:.~~ .. ·.t~.~;;\·1~·~~ºpiedad de 
2.1i.3. ·La Función. Lµ-
Laterccra función q~e veremos, es la llamada función Lµ, definida en [l] por 
G. A.costa .. Para cada (A., t) E C(-Y) x I 'definimos:.. · · · · 
64 CAPÍ'Í'ÚLÓ .2. LA PROPIED:4.D'r5EkELLEY. 
L,i(.-l, t) =.{~{.·K EC .... (X):AcKyµ~l.:~)::= ..../.;f ,:::~.11;,~:~;>·· 
- - - ~ :·~.:-" - --
De. nue,·a cuenta; los .re~·{1ltadOs •. relacib.í~ci.dos cÓ~ lá funé:ión 2~; se enun-
cian a contin{1acióri sin.· demcistraéiór{;~iti:cüc~n'éio: eh: cá:Cía' caso· la·. referencia. 
: " ':"·-.':·~:,.-., ·<.:~-:-, /,·., '~.,..,_. ,..,.,'- ,;':.-->~'.:: . ..:.··· h ·,~:.}·;-·r~~:~~>-::>l 
Teorema 2 .39 ' ( [1, 'Téor,l:;~a~ :f.io] ).';ia~fu'riCi6iii LU· esta : bien definida y 
s1L imager~ ··s,e. ~ncü~n(ra e.·n p(~Y):> .. 1'.\
1
:. {..::~ ),,:;c,':ib:·:i.J:, ... ·.·· 
Por lo taut~ 'Lµ: c(x} ~ Í /.i; ·C(~Y). És;'fácil ver que si :A' E C(X) 
entonces:· 
L L~(A, O)= A yLµCA, Í) ~·x,.• 
2. Lµ(A, t) e Lµ(A, s) siempre qlle t, ;.E1 sean tales que t ::S s. 
3. Lµ(.4, t) = LJF;(A, t),para tod.~ t E I . .. 
. ... 
-- - .- __ 
Teorema 2.40 ([l, Teore~a 3,i2]). Si un ~onti.,;,uo X tiene la propiedad 
de Kelley en un punto a E X, entori.ces:la.funéión Lµ ·es. continua en. (A, t) 
paro. todo (A, t) E a(a) x J. · · .. '''" .. - :_. . . -
Corolario 2.41 ([1, Corolario ;_-4]j; j,i ~h continuo _,y tiene la p;opied~d 
de Kelley, entonces la función L~ es, co-i:firi~Q., •' · '·- - . _ - ''' ;~;: 
Recordemos que una contraccióli-enlm ~espacio topológico Y; ~~ mia 
función continua h : y X I '--+y para la cual -existe un plinto Yo' E y tal que 
h(y, O) =y y h(y, 1) = y0 ; para cada y E 'Y. En tal situación,'deciinos que el 
e::;pacio 1 · es contraíble. · 
El resultado anterior, combinado con la propiedad 1 enunciada previa-
mente, indica que si )( tiene la propiedad de Kelley, entonces la función Lµ 
es una contracción en C(.Y). En particular, esto implica que el hiperespacio 
C:(X) es contraíble. Originalmente .J. L. Kelley definió esta propiedad con 
el propósito de demostrar que es una condición suficiente para garantizar la 
contractibilidad de C(X) (y también la de 2x). Posteriormente, han apare-
cido una serie ele artículos en donde la propiedad de Kelley juega un papel 
2.11. TRES .FUNCIONES ESPECIALES. 65 
impm·tante. Hoy en día, esta propiedad es interesante por sí misma. Cabe 
mencionar que la prnpiedacl de Kelley no es una condición necesaria para 
garantizar la contractibiliclacl de C(X). En la página 64 de [1], se prueba que 
si .Y es el continuo seno de ~ con pata alargada, el cual no tiene la propiédad 
ele Kelley, entonces el hiperespacio C(X) es contraíble. 
Terminamos el presente capítulo mencionando dos ·resultados··, ~ue invo-
lucran a la propiedad Lµ- · 
Teorema 2.42 ([1, Teorema 3.13)). Si par~ cualquierfu.~ció';,,, de}'VhitrÍ:ey 
normalizada w C(X) -+ 1, la función Lµ es continua, ·entonces :x iierie ·la 
propiedad de K elley. . · · · , :; . · · 
Corolario 2.43 ((1, CÓrola.Í-io 3.6)) .. Un continuo )( ti~';,,_e-lri..pro~iedad 
de Kelley si y sólo si la función Lµ es continua, para cualquierfunCió:,,_ de 
Whitney normalizada µ: C(X) --+ I. 
. . 
66 CA.PÍTULO 2. LA PROPIEDAD DE r<ELLE1·. 
Capítulo 3 
Preservación de la Propiedad 
de Kelley. 
3.1 Introducción. 
En (:38], S. B. Nadler, Jr. preguntó si se puede dar una clasificación de las 
funciones continuas que preservan la propiedad de Kelley. Dicha pregunta es. 
tan general que, a la fecha, sólo se tiene una pequeña lista de ellas (por.éjem-
plo, las retracciones y las funciones refinables, de acuerdo. con los teoremas . 
2.25 y 2.27). En (8], J. J. Charatonik realizó la pregunta de S. RN,adl~r;~Jr; 
en su versión puntual. · · . . :;"::' .... · ·· 
. '~ -<~->' 
En este capítulo, presentamos un estudio detalláclod,el:a~tícÜi~-(S], ~on 
respecto a la preservación puntual de la propiedad de E.eÜey;~·: Coino con-
secuencia de los resultados de dicho artículo, se obtienen algu'rios teoreinas 
anteriormente conocidos, que involucran la preservación gfobal ·c1e;'1'a propie- · 
dad ele Kelley. · ... '' · . . · • 
3.2 Preservación Local. 
En la Definición 1.41 .presentamos una versión local ele la .:confluencia: con 
respecto a los puntos del dominio en el cual se encuentra definida.uná.ftÍnción. 
2\Iás adelante, en la Definición 1.43, hicimos algo similar;' p·e~o'con: respecto 
a los puntos ele la imagen de la función en cuestión·. Amba~ ·nociones se 
utilizarán en esta sección. 
67 
68 CAPÍTULO 3. PRESERV.4.~IÓlV.bE'LA'.P~OPIEDAD DE KELLEY. 
' - •• • .,e 
- "' - _. - ~ .. -
Supongamos ahora que f: ·){ ,....+ }~ es una función continua y suprayec-
tiva entre los continuos X y Y.' Pcir él Teorema 1.35, la función inducida 
C 2 (f): C 2 (X) -+ C 2 (Y) tambié¡;_ escontimrn. Además, podemos considerar 
las funciones a:x: X-+ C 2 (X) y CT)':'Y-+ C 2 (Y) en donde, para cada X E X 
y cada y E } ·: · · .. ' : · · 
ax(x) :=t-4 EQ(X) :_x EA}' y 
_ay C~)·~ t.8-~E:.'qCY'J: y E.~}3 } : 
Lo anterior nos lleva a c~~si~lerir el~~~~ient~:di~grkfma: 
C 2 (,Y) . c•u)'. c2c'n 
(>X l . lo/ 
_)( .. y 
•., ... .-
Teorerria 3.1 ([8, Pr~posiciÓn 11).•"Él dfograma anterior conmuta en un 
pÚnto x E }{, esto es, · ·. · · · · · 
C2U)(a,~(x)) = ay(f(x)) 
si y sólo si la función f es co·nfi1Lente relritiva a x. 
Demostración. (~)Por definición C 2 (f)(ax(x)) = {C(f)(A): A E ax(x)} 
y ay(f(x)) = {B E C(Y): f(x) E B}. Para mostrar que dichas familias 
son igualt~s, tomemos primero un elemento B E C 2 (f)(ax(x)). Entonces 
B = C(f)(.-1.) para algún A. E ctx(x). En vista de que x E A, tenemos que 
f(x) E B. Por tanto, Bes un subcontinuo ele Y que contiene a f (x). Entonces 
BE Cl'y(f(x)). Por tanto, siempre sucede que C 2 (f)(ax(x)) e ay(J(x)). 
Ahora tomemos un elemento B E Cl'\'(Í (x)). Consideremos la componente 
A de ¡-1 (B) que contiene ax. Notemos que A E ax(x). Como fes confluente 
en x, se tiene que f(.4.) = B. Ahora bien, C(f)(A) = f(A.), de donde B ·= 
C(J)(A). Esto muestra que BE C 2 (f)(ax(x)). . 
Lo anterior concluye la primera parte ele la prueba. 
3.2. PRESERVACIÓN LOC.4.L. 69 
(=>)Para ver que fes confluente relativa ax, sean BE C(Y) con f(x) E 
B. Notemos que B E ay(f(x)). Sea C la componente de ¡- 1 (B) tal que 
x E C. Notemos que f(C) e B. Como BE ay(f(x)) = C 2 (f)(ax(x)), existe 
A E o:x(x) tal que B = C(f)(A) = f(A). Xotemos que A es un subconjunto 
conexo de ¡- 1 (B) que contiene ax. Como C es la componente de ¡- 1(B) 
que contiene ax, resulta que A e C. por canto, B = f(A) e f (C). En vista 
de que la otra contención también es nilida, tenemos que f(C) =B. Por lo 
tanto, f es confluente en x; • 
Combinando los teoremas 3.1 y 1.42, tenemos el siguiente resultado, que 
aparece en la literatura por primera vez en (42, Teorema 4.2] y, posterior-
mente, en [S, Corolario 1]. 
Corolario 3.2. El diagrama anterior conm;if;_''si iJ:~Jzr~J:f~s dorifluente. 
,·:.:_.. 
Como mencionamos en la Introducció~, e~ (s]"~~ pl~~t~Ó:kproblema de 
saber, bajo qué condiciones, una función coritin'úa;:f,: 'X;:,;+:y:,definida entre 
continuos preserva la propiedad de Kelley efi:su 'yéí:síófíi6cii: Esto es,si X 
tiene la propiedad de Kelley en un punto a, eriti:m.ó~s se''tié'ne·:~ueX·'tiene la 
propiedad de Kelley en el punto f(a). . ·· · ... ; ,,'Y ·,¿s:> ·'·· 
Más adelante mostraremos que las funciones confluent:~'Jf~~~;~1W~1::~,rb- · 
piedad de Kelley (ver Corolario 3.5). A continuación vere~osque'lM'funé:io­
nes confluentes no preservan la propiedad de Kelley en su 've~sióh'focal.: · 
Ejemplo 3.3 ([8, Ejemplo 1)). Existe una función c~nft:Úe'.,;,te ~~~ '-n~ pr~-
serva la propiedad de Kelley, en su versión local. "· · · 
Justificación. Consideremos, en IR.2 , los conjuntos.· 
' . { ( l 1 )' . ' '. '} ' B={(-1,0)}u -2·;;- :n'EN ' 
y 
E' = {(1, O)} U { (~, -~) : n EN} 
así como a los segmentos de recta del punto (O, O) a los puntos de B. Sean x·0 
el continuo que se obtiene uniendo dichos segmentos de recta y,· X = ..-Y0 U As, 
donde As es el abanico armónico. 
70 C.4.PÍTUL0'3. ,PRE$ERV.¡CIÓN DE LAPROPIE~.4.D DEJ~ELLEY. 
(-1,0) 
Definamos ahora una función f : X -T JR2 de la siguiente manera: 
f(x,y) = {(x,y) 
(-x, -:Y) 
si (x, y) E As, 
si (x, y) E Xo. 
. ., ·. . :· - ... 
Hagamos Y =f(X). Consideremos, en Y, el arco.pp0 que une los puntos 
p = (O, O) YPo = (1, O). Notemos que Y= Xól..IA., en dondeXó es el .continuo 
que se obtiene uniendo los segmentos de recta del punto p. a los punt()s 'de 
· B'. -~demás f (As) =As Y f(.ÍY:o) = ..-Yb. - . . · ... -: .. -_._- <<<: -
- ." - .. '::.: 
Para hacer ver que f es confluente, tomemos un subcontinuo K.:J~-Y. 
Supongamos que p r/:. I<. Entonces K está contenido en ppo - {p }, en;'urio de 
los arcos PPn ele As o bien en uno ele los arcos que une al punto ií:con.'un 
elemento de B'. En la segunda y tercera situación, tenemos que J-: 1.(I<fes 
conexo. Por tanto, ¡(J-1 (K)) = K. En la primera situación, ¡-1 (J<) posee 
dos componentes I<1 y K2. Una de dichas componentes, digamos 1<1 .coincide. 
con [.¡_· y la otra se obtiene reflejando I<1 sobre el eje de las abscisas. Por · 
tanto, J(K1) = f(K2) = K. 
Supongamos ahora que p E K. Entonces: 
K = (K n A.) u (K n Xó)-
Notemos que ¡-1 (K n A.) = ICn A 5 , mientras que ¡-1 (K n .;"l(ó) es un 
subcontinuo ele .;Yo que tiene al. punto (O, O), cuya imagen bajo J es 1< n Xó. 
Por tanto, ¡-1 (I<) es conexo, así quef(J- 1 (K)) = K. Esto prueba que fes 
confl ueute. 
3.2. PRESERVACIÓN LOCAL; 71 
p, 
No es difícil convencerse ele que .Y tiene la propiedad de Kelley en el 
punto a = (~,O). Ahora bien, Y no tiene la propiedad de Kelley en f(a) = 
a, escencialmente por que Xb es un abanico armónico con pata alargada 
contenido en Y y que contiene a f(a). En efecto, si para cada n E N hacemos 
an = ( ~, - ~), entonces (Un) n es una sucesión en Y que converge a f (a) y tiene 
la propiedad ele que no es posible encontrar una sucesión (An)n en C(Y) con 
an E An, para cada n E N y .-ln --+ A, en donde A es el segmento ele recta en 
Y que une los puntos f(a) y Po· • 
Si en el ejemplo anterior, definimos Un = (-4, ~) para cada n E N, 
entonces (an)n es una sucesión en X que converge al punto a = (-4, O) y 
tiene la propiedad de que no es posible encontrar una sucesión (An)n en C(X) 
tal que a,. E .-l.,., para cada n E N, y An --+ A., en donde A es el arco en _,y 
qne une los puntos (-1, O) y a. Por consiguiente, )( no tiene la propiedad de 
Kelley en el punto a, que pertenece al conjunto ¡- 1 (f (a)). Como veremos a 
continuación, esta condición es justo la que destruye la preservación local ele 
la propiedad de Kelley. 
Teorema 3.4 ((8, Proposición 2]). Sea f: X --+Y .una función continua 
y suprayectiva entre los . continuos X y Y. Supongamos q'l!e f es confluente 
. . ,. . 
12 cAPíruLo3.· PREsE:R.Ú1óóiv oi'. iA.:Piio?iii>XD'·ÍJE;K:ELLÉY . 
• _· -: ' ' ·,,, . ' - ' .~: ,' . ' ' - . "~ : . ' • -- . .. • ~ ¡ i. -
en un ¡mnto 1)0 E };~ y'~ué X tiene la prop'Íedcul.de Kelley en cada puntó dé 
¡- 1 (yo); Ento:r1'.ces y tiene la'propiedad de Kelley en Yo· . ' ' 
Demostfación. Sea €,;'o. Entonces la fun~ión irÍ~lucida c(n: C(X) -+ 
C(Y) es continua, de acuerdo con e!Teorema L35. Por tanto existe e¡ > O 
. tal que, para cada K; LE C(X) ·con H(I<, L) < ei, se tiene que 
H(C(J)(I<), C(J)(L)) < e. 
:'\otcmós que ¡-1 (y0 ) E 2x. Como X tiene la propiedad de Kelley en cada 
punto ele ¡- 1 (yo), por el Teorema 2.15, resulta que X tiene la propiedad de 
Kelley en ¡- 1(yo). Por tanto, para e 1 >O, existe 81 =81 (e 1) >O tal que para 
carla a E ¡- 1(yo) y x E X con d(x, a) < 51 y cada K E C(X) con á E K, 
existe LE C(X) con x E L tal que H(K, L) < e1 . 
Por el Teorema 1.32 la función ¡-1 : Y ---+ 2x es SC. Por tanto, pa-
ra 81 , existe un subconjunto abierto U en Y tal que y 0 E U y ¡-1 (y) e 
N(ó1,J- 1 (y0 )) para tocia y E U. Sea ó >O tal que B(ó,y0 ) e U. Mostrare-
mos que c5 satisface la definición de que .y tiene la propiedad ele Kelley en 
Yo· 
Sean y E Y tal que d(y, y 0 ) < ó y P E C(Y) con y 0 E P. Como f es supra-
yectiva, exisr.e x E X tal que f(x) =y. Es claro que x E ¡- 1 (y). Notemos que 
JI E B(ó, y0 ) e U, así que ¡- 1 (y) C N(ó1 , ¡-1 (y0 )). En particular tenernos 
que x E N(c51 , ¡-1 (y0 )). Por tanto, existe x 0 E ¡-1 (y0 ) tal que d(x, x 0 ) < 81 • 
Es daro que f(x 0 ) = y 0 E P, por lo que x 0 E ¡-c 1(P). Esto nos permite 
considerar la componente I< de ¡- 1(P) tal que x 0 . E I<. Como fes confluente 
en y 0 , se tiene que f(I<) = P. Ahora bien, J(·I<) = C(J)(I<), por lo cual 
C(J)(I<) =P. 
Notemos que x 0 es un punto ele ¡-1 (y0 ); que .J(. es. un subcontinuo d~ :;Y 
con :i:0 E I< y que x es un punto de X tal que d(x,:i:0 ) <'ó1 .:;-Entoríc.es~'po~ la 
elección ele 81 , existe LE C(X) con x EL tal que H(K;L)<e 1: De'acuerdo 
con la elección de e1 , resulta que H(C(J)(K), C(J)(L)) <:e ... .... · , · · ·. 
Hagamos Q = C(f)(L). Notemos que Q es un subcontinu~ de Y tal que 
y = J(x) E Q y, también: ·. . " · 
3.2. P RESERV.4.CIÓl1i LOC.4.L . . ·· 73 
. H(P, Q) = H(C(f)(K), C(f)(L)) < €. 
Por tanto, Y tiene la propiedad de Kclley en Yo- • 
Como consecuencia del teorema anterior, .tenemos .el siguiente resultado 
que originalmente aparece probado ·en el ártículb (42; Teorema 4.3] y, poste-
riormente, en (8, Corolario 2]. · · 
Corolario 3.5. Sea f: .Y -+ Y una función continua y suprayectiva entre 
los continuos X y Y. Si X tiene la prop·iedad de Kelley y J es confluente, 
entonces Y tiene la propiedad de Kelley. 
Demostración. Sea y E Y. De acuerdo con el Teorema 1.42, f es confluente 
relativa a cada punto de Y. Entonces, por el Teorema 1.45, f es confluente en 
y. Como X tiene la propiedad de Kelley, en particular X tiene la propiedad 
ele Kelley en cada punto de ¡-1 (y), según el Teorema 2.3. Entonces, por el 
teorema anterior, Y tiene la propiedad ele Kelley en y. Aplicando de nuevo 
el Teorema 2.3, resulta que Y tiene la propiedad de Kelley. • 
Recordemos que la función f: X -+ Y del Ejemplo 3~3 .satisface las si-
guientes propiedades: 
l. es confluente en Un punto Yo .E Y, 
2. X no tiene la propiedad de l<elley en uno de :los puntos de ¡-1·(y0 ), 
3. Y no tiene la propiedad de Kelley en y 0 •. 
Por tanto, en el Teorema 3:4, la hipótesis.de que el continuo X debe tener 
la propiedad de Kelley en cada punto .de ¡-1 (y0 ) es esencial. Ahora, mostra-
remos que existe una función f: ;•'<' ¿ Y con las siguientes propiedades: 
l. no es confluente en un punto 'Yo E Y, 
2. X tiene la propiedad de Kelley en cada punto de ¡-1 (y0 ), 
3. Y no tiene la propiedad ele' Kelley en y 0 • 
74 CA.PÍTULÓ3. PRESER.V-.A.CIÓIV D.fJL'.4..•PR.O?_ÍEDAD~DE,KELLEY .. ·· 
Por t~nto; en el Teorem~ 3~6. la hi~ótesi~ el~ qll~ 1a'.r~ri6iÓn:}Ctebe ~er 
confluente en el purito YÓ también es eseriéíal/Pára ·definir af:consideremos, 
en IR.2 , el conjunto: +· '. .. ;,_;:: ::-'./;;·)· ;;éf. é, " · ¿:_: 
B, ~ { H·o)}ul(f~jif$,'1.:~~;~,fü 
así como los segmentos de recta del punto (o; Ofa lbs pi.1ntos de B. Sean X 1 
el continuo que se obtiene uniendo dichos segrrie~fos\Ie recta y X= X1 L:JA8 , 
donde A .. es el abanico annónico. · · . · 
Consideremos la función f: .)( ---+ IR2 que se define en el· Ejemplo 3.3; 
Notetnos que el continuo Y = J(,Y) es el mismo que se considera en el 
ejemplo men<:ionado. 
En esta ocasión .Y tiene la propiedad de Kelley. Consideremos los puntos 
!Jo= (t,O) y a= (-!,O). Notemos que f(y0 ) = f(a) = y 0 • Como mostramos 
en el Ejemplo 3.3, Y no tiene la propiedad de Kelley en y 0 • No es difícil 
convencerse de q11e f es confluente en el punto y 0 de -Y. Ahora bien, f no· 
es conHuente relativa en a, pues si Q es el arco en Y que une .los puntós yó: 
y (1, O). Entonces la componente C de ¡-1(Q) que tiene al punto ci es.'{ci} 
y f(C) # Q. Supongamos que Q es el arco en Y que une los puntosh/0 ; •• y 
(1, O). Entonces la componente C de ¡-1(Q) que tiene al punto;a ei>{ci};y 
J(C) # Q. Por tanto, f no es confluente en el punto y 0 de Y. Finalmente;· 
como X tiene la propiedad de Kelley, en particular, tiene Ja propiedad~·de. 
Kelley relativa a.((30]) cada punto de ¡- 1 (y0 ). ;¡_; .. / "(:: 
~.~-~-~~.t\·,~· ;;-~·' ,.,,\ .... -
Ahora bien, de acuerdo con los Teoremas 1.50 y 1.54, tant~ l~ furiciones 
abiertas como las monótonas son confluentes .. Por tanto;' si f:·::_,y' ---+'Y es 
3.2. PRESERVACIÓNLOC.4.L. 75 
una función continua y suprayectiva, por el Corolario 3.5, basta con pedir 
que f sea abierta o monótona para que se preserve la propiedad de Kelley. 
En el Teorema 3.8 veremos que basta con pedir que 1 sea abierta para que 
se preserve la propiedad de Kelley en su versión locaL · Para probar este 
resultado, requerimos del siguiente teorema: 
Teorema 3.6 ((8, Proposición 3]). Sea f: X --7 Y una función continua 
y suprayectiva entre los continuos X y Y. Si X. tiene la propiedad de Kelley 
en ·un punto a E X y f es interior y confluente_ relativa a a E ,Y, entonces Y 
t·iene la propiedad de Kelley en J(a). . ' 
. . . 
Demostración. Sean B E C(Y) y (bn)n c'.Vtalesqué J(a) .E By bn -~ 
j(a). Mostraremos que existe (Bn)n e C(Y) tal;que°Bn ::-?: By bn E Bn para 
oa:: ~.;;'.::::~:~~:ó:u:~.). •n X •'.ªl;(i~\~~~¡2 ~{(~l'ft t& ~~· oada 
Para mostrar lo anterior, para_baJX.A€:.~-~fcii'ri~'b~'.~~"~~.:JJW¿;1)':t!fque: 
d(c,
11 
a)= min{d(x;·cr{:'t E}:_i'f·bnfj}; .; :\. 
~ o:::i··~· ,'-, <;:'_e ;~ :.· ,: . .¿· ~, •. 
76 C.<PÍTULO 3. PRESER".A918& 1),~~~~ii~:,,~.f ~¿~ lff'~LE¿Y. 
·veremos que en -+ a. Sea e.::> O. '-C~rtio J '.e~ iii~~~ior en O:;~"J(a) ;E 
intdf(B(e, a))), y como bn -'7 J(a), e1itórices; existe N e N, tal 'que b,¡ e 
'inty(J(B(e, a))) e j(B(e, a)) para toda n ~ N'..De modo que; parac.aclá n ~. 
N, existe x,. E B(t:, a) tal que b,¡ = f(:r.:n)· Entonces d(cn, á) ~ cl(:Í:n, a) < e 
para toda n ~ 1V. Por tanto Cn -+ a. 
Con esto, podemos ver que 1) se satisface. 
Como .\'.' tiene la Propiedad de Kelley en el punto a, para la suces1on 
(e,.),., garantizada en 1), y la componente A de ¡- 1 (B) que tiene al punto 
a, resulta que existe (An)n~N C C(.Y) tal que A,. -+A y e,. E An para cada 
n ~ .Y. De acuerdo con la continuidad de la función inducida C(J) (Teorema 
i.:3;:,), tenemos que f(An) -+ j(A). Ahora bien, como f es confluente en a, 
resulta que J(.-l) = B. Entonces f (An) -+B. 
Consideremos (Bn)n. e C(Y) definida por Bn = J(A,.). Notemos que 
B,.-+ By b,. E B,. para cada n EN. Esto muestra que Y tiene la propiedad 
de Kelley en f(a). · · • 
La demostración del teorema anterior>:: sigue·,~l. ·esquema propuesto en 
[8, Proposición 3], en el cual la afirmaciónl)._:án~eriormente enunciada, se 
establece sin prueba. ·" .... ·· ., 
_··~.~'>_ ·:/;i,:'i~r~·., 
Combinando los resultados anteriores, t'enemó~ eFsiguiente teorema. 
,. ,";'> _."-;._. ·>:· .. -. :.,:;.-;_., . . ' 
Teorema 3.7 ([8, Corolario j]). Seaf :>.,y j ... Yunajunción continua y 
s1•prayectiva entre los continuos :)( y Y:'Si: f: es interior y éonfluénte en un 
punto a E X y, s·i la función ax: X -'7:C2 (X) es' continua en a, entonces el 
,qiguiente dfogram.a: ·· · · · 
C 2 (X) 
C 2 (/) 
-~ C 2 (Y) 
º-~T lo.y 
j\'.' ~ y 
conmuta en a y la función Cl'.y: .Y-+ C 2(Y) es continua en f(a). 
3.2. PRESERVACIÓN LOCAL. 77 
Demostración. Como f es confluente relativa a a, por el Teorema 3.1, el 
diagrama.conmuta. También, como la función ax es continua en a sabemos, 
por el Teorema 2.19, que .Y tiene la propiedad ele Kelley en a. Además, por 
hipótesis, f es interior y confluente relativa a a. Entonces, por el Teorema 
3.6, Y tiene la propiedad ele Kelley en el punto f(a). Por tanto, aplicando ele 
nuevo el Teorema 2.19, concluimos que la función ay es continua en f(a). • 
Supongamos ahora que f: .Y -+ Y es una función continua y suprayectiva 
entre los continuos .Y y Y. Si f es abierta, entonces por el Teorema 1.52, f es 
interior en cada punto ele .Y .. -\demás, por el Teorema 1.50, f es confluente ele 
donde, aplicando ahora el Teorema 1.42, sucede que f es confluente relativa 
a cada punto ele .Y. Tenemos entonces que f es interior y confluente en todos 
los puntos ele )\. Por tanto, con10 consecuencia inmediata del Teorema 3.6, 
tenemos el siguiente resultado. 
Teorema 3.8 ([8, Corolario 4)). Sea f: X -+ Y una función continua, y 
suprayectiva entre los continuos .-Y y Y. Si f es abierta y X tiene la propiedad 
de Kelley en un punto a E X, entonces Y tiene la propiedad de Kelley en 
f(a). - · . 
En otras palabras, las funciones abiertas presern~'n lapropi~dadde;Keiley · 
local. En el teorema anterior, la hipótesis de queJ:sea.uifa'fÚríción·ábierta 
no puede ser reemplazada por la ele que f sea una funcióniconfltiente, como 
nos lo muestra el Ejemplo 3.3. · .:k: :~·'. ··_.,, .. :º >'··.<-
~ .'-.'.. ;"··_, '. 
A continuación veremos que las hipótesis dei°~Teoreil1~~i6 sOii ésencia-
les. Para esto, notemos qne la función dada,~i1 :eLEj-érriplo":3.i3~atisface las 
siguientes condiciones: i ; •'·':: ::, : ;'.:;~ ,;, ,. ' 
l. es confluente y, por tanto, corifluente _relaÚ"iÍ. ai·~1~nt6 a= a, O); 
2. no es interior en a; 
" ' 
3. X tiene la pro¡:>iedadde'Kelley en a; 
4. Y no tiene lá'propiedad de Kelley en f(a). 
Por tárito, en el Teorema 3.6; la hipótesis de que f debe ser interior 
en a es esencial. Ahora, mostraremos que la hipótesis de que f debe ser . 
confluente relativa en a también es esencial. En otras palabras, mostraremos 
la existencia ele una función f: .-Y -+ Y con las siguientes propiedades: 
TS CA.PÍTULO 3 ... PRESERV:A.CIÓNDELA.PROPIEDAD DE KELLEY. 
. ' ·. ,' :::,:_·-::~ :~~· .... <., --- / 
l. no es confluente relátiva a un p1111to a; 
2 .. es 'interior eua; 
3. X Úene fa.;.;~opied'a:d ele Kellej; en ci., · 
4. i·· no· tiene la propiedad ele Kelley en f(a). 
Para ,·er esto, consideremos el continuo seno de ~. que denotaremos por .Y:, 
así con10 el círculo ele Varsovia, que denotaremos por }··. Sea f: .Y: -+ Y la 
función que identifica los puntos (1, sen(l)) y (O, -1) de X. Notemos que si 
P es la pata límite ele X, entonces f(P) = P. No es difícil convencerse ele 
que f es interior en el punto a = (O, O) <le la pata límite de .Y. Además, f 
no es confluente en a. Para ver esto, consideremos el arco, J<: en Y, que une 
los puntos a= J(a) y 0,sen(2)). Notemos que la componente Q ele ¡-1 (1<) 
que contiene al punto a; es el arco en X que une los puntos a y (O, -1). Más 
aún, f(Q) = Q S K. Esto muestra que f no es confluente en a. Ahora bien, 
el continuo .Y tiene la propiedad de Kelley en a, mientras que Y no tiene 
la propiedad de Kelley en a = f(a), escencialmente porque Y contiene un 
continuo seno ele ~ con pata alargada que, a su vez, contiene a f(a). Para 
mostrar esto, consideremos el subcontinuo I< ele Y antes descrito y tomemos 
una sucesión (an)n en Y - P que converge a f(a). Entonces, no es posible 
encontrar una sucesión (.411 ) 11 en C(Y) tal que a 11 E A 71 , para cada n E N, y 
.-\,, -+ I<. Por tanto, Y no tiene la propiedad de Kelley en J(a)., 
Uno podría preguntarse si la propiedad ele Kelley puntual es pr~s~t~ada . 
en la dirección opuesta, esto es, si el recíproco del teorell1a .3.6 Obie'n del 
Teorema 3.8 es cierto. La respuesta es negativa y la ilustramos 'en el siguiente 
ejemplo: · ·· 
Ejemplo 3.9 ([8, Ejemplo 2]). &1;iste una función abierta f: X-+ Y de 
un contin?Lo .Y a un continuo Y tal que Y tiene la propiedad de Kelley en· un 
punto Yo, y X no tiene la propiedad de Kelley en ningún punto def- 1 (y0 ): 
Justificación. Consideremos, en lR2 los puntos p = (-1, O), q,,,; (1, O),:Yo = 
(O, O) y, para cada n E N, hagamos 7Jn = (O,!;) y q11 = (O, -f¡). Dada n ,E.N 
sean PPn y<qqn los ·Segmentos de arco de p a Pn y de q a q71 , respectivamente. 
Supongamos que pq, PYo y QYo son los segmentos de arco de.p a q, d~ p a y 0 
y ele q a :IJo, respectivarüente. Definamos 
3.2 .. PRESERVACIÓNLOCAL. 
Y= PYo U Yo. 
. . - . . 
Hagamos X= Yu Yo ydeffnamos f: x.~ Y como sigue 
/ex,~)~··.{ (:i:,'Y). · 
. (-x,-y) 
si (x;y) EY, 
si (x, y) E.1'(¡. 
(3.1) 
Notemos que si (x, y) E Yó, entonces f(x, y) es el punto simétrico en IR2
, 
con respecto a y 0 • No es difícil ver que f es una función abierta. Además, 
Y tiene la propiedad de Kelley, pues es un abanico armónico. En particular, 
Y tiene la propiedad ele Kelley en y 0 • lVIostraremos ahora que X no tiene la 
propiedad de Kelley en el punto y0 que se encuentra en ¡-1 (y0 ). En efecto, 
la sucesión (Pn)n en .Y com·erge a Yo y tiene la propiedad ele que no existe 
una sucesión (An),, en C(.\.") tal que Pn E An, para cada n E N, y An ~ qyo. 
Esto termina la justificación. • 
Notemos que la función f del ejemplo anterior hace ver que el recíproco del 
Teorema 3.8 no es cierto .. -\sirnismo, dicha función hace ver que el recíproco 
del Teorema 3.6 no es cierto. En efecto, como f es abierta es, en particular 
interior en y 0 • Como las funciones abiertas son confluentes y, las funciones 
confluentes son confluentes relativas a tocios los puntos ele su dominio, tene-
mos que f es confluente relativa a y0 • Además Y tiene la propiedad de Kelley 
en y 0 , mientras que )( no tiene dicha propiedad en Yo· 
ESTA TESIS NO SAU. 
DE :LA BIBL10TECA 
SO CAPÍTULO 3. PRESERV:4.CIÓN DE L.4. PROPIED.4.D DE KELLEY. 
3.3 Homogeneidad Generalizada. 
El artículo [S] termina mostrando una aplicación de los resultados anteriores 
a la noción de homogeneidad generalizada. 
Definición 3.10. Sea AI una clase de funciones continuas definidas entre 
continuos. Decimos que ·un continuo.)( es A1-homogéneo, si para cada par 
de ptJ.ntos p y q en ){, existe una función continua y suprayectiva f: }•{ -+ .Y 
tal que f E M y f(p) = q. 
Por ejemplo si i\1 es la clase ele las funciones abiertas tenemos a los 
continuos abierto-homogéneos. 
~oremos que si i\l es la clase ele todos los homeomorfismos, entonces.obte,.. 
11emos la noción usual ele continuo homogéneo. A continuación prese_ntarnos . 
una generalización del Teorema 2.22. 
Teorema 3.11. Los continuos abierto-homogéneos tienen la propiedáct: de 
Kelley. 
Demostración. Sean)( un continuo abierto-homogéneo y p E .X. De acuer-
do al Teorema 2.20, X tiene la propiedad ele Kelley en un punto q E .X. 
Como }\: es abierto-homogéneo, existe una función abierta· f: .X -+ -.,y tal 
que f(q) =p. Entonces, por el Teorema 3.8, X tiene la propiedad de Kelley 
en p. Por tanto, por el Teorema 2.3, X tiene la propiedad de Kelley. • 
En el artículo [S], .J. J. Charatonik pregunta si los continuos _confluente-
homogéneos tienen la propiedad de Kelley. Dicha pregunta fue contest.acla en 
negati\"O por H. Ka.to en el artículo (29]. Posteriormente, A: Illánes mostró en 
(27] 1111 continuo monótono-homogéneo que no tiene la propiedad de Kelley. 
Sea i\J una clase de funciones continuas (por ejemplo, de. funciones abier-
tas. débilmente confluentes, confluentes, monótonas, etc). Decimos que Al 
preser"lla la prop'iedad local de K el ley si para cada f E i\l, si el dominio de 
f tiene la propiedad ele Kelley en un punto, entonces el contraclominio de 
f tiene la propiedad ele Kelley en la imagen ele dicho punto. Terminamos 
este capítulo comentando que una prueba similar a la dada en el teorema 
anterior, se puede realizar para demostrar el siguiente resultado: 
Teorema 3.12. Si i'vl preserva la propiedad local de Kelley, entonces todo 
continuo ,\[-homogéneo tiene la propiedad de K elley. 
Capítulo 4 
Suavidad. 
4.1 Un Poco de Historia. 
En este capítulo haremos un estudio del concepto de suavidad de un continuo. 
Dicha noción, históricamente, se definió para la clase de continuos llamados 
abanicos ([9)). Posteriormente se extendió para la clase de continuos llamados 
dendro·ides ([10]). ;-..Iás adelante, G. R. Gordh, Jr., extendió dicha noción 
para la clase ele continuos que contienen puntos de unicoherencia hereditaria 
([22]). Recordemos que un continuo ,Y es hereditariamente unicoherente en 
un punto p E _y si para cada par de subcontinuos A y B de _,y con p E 
A n B, resulta que A n B es conexo. Los dendroides son, por definición, 
continuos hereclitariamente unicoherentes en todos sus puntos. Por último, 
T. Maékowiak generalizó la noción de suavidad, dada por G. R. Gordh, Jr., 
para la clase de los continuos ([35]). 
Aunque hoy en día. la noción de suavidad, introducida para los abanicos, 
es bastante común, en este trabajo nos centraremos en la noción de suavidad 
como la definió T. Maékowiak. Como veremos en este capítulo, dicha noción 
está relacionada con la propiedad ele Kelley. También veremos que existen 
nna serie ele resultados, ciados en términos de la propiedad de Kelley, que 
permanecen v<ilidos en el contexto de la suavidad y que existe, incluso, una 
función semicontinua superiormente, cuya continuidad es equivalente a la 
suavidad del continuo. 
81 
82 CAPÍTULO 4. su~ 
4.2 Propiedades Fundamentales. 
.-\. lo largo ele este capítulo, la letra .Y denotan\ un continuo con m 
Definición 4.1. Dec-imos que X es: 
' ' ' 
1. suave en un punto p E X. ccm respecto a· uii~.~l.into x. E _, 
cada (xn)n CX q·ue .conv~rge.a:I: Y,cg.d_~.'{9;;e;,<¡J}';)fµl que; 
existe (Kn)n e C(X) eón p, x;;.~E.1<;.ipa.·ra'éada:'n•e•N•tál que . 
. /-'~:·:·.~·/,-·.-·:_, ... ,.,;,-, .. · ,· -:~·( .',.:,<·,';:;;; ·. 
• ~u:~~ en el pu~t~,f ~¡:~~~Íl~r~t~:t~f"'"'"º . " 
3. suave si es suave" en'algun·(J!:ae·:sus pii:Titos;~''· · · 
X. Si X " =•Ú< (~ ·t~~r t~i~~~rf ~!~ai ~' p <S un punto ¡, 
Consideremos los siguiente~ rio~juntós 
- - . ·- --- :.:-/-: _· .. ;._ -. 
I(X) 
L(X) 
K(X) 
'·~:;.:;' -·· ~ 
:,, -.. ~->:~:··. --~ -
{ p E}(: X é;'süave en p }, 
{ p E X: X es localmente conexo en p }, · 
{ p E X : · X. tiene. la propiedad de Kelley en p } . 
De acuerdo con el Teorema 2.11, si x: es suave en p, entonces ."<. 
propiedad de Kelley en p. En otras palabras, I(X) e K(X). Más 
mostraremos que I(X) e L(.X). Como ya hicimos ver, existen conti: 
tienen la propiedad de Kelley ·en puntos donde el continuo no es. lo• 
conexo. Por tanto, el que .. Y tenga la propiedad ele Kelley en ·p ne 
que .Y es suave en p. 
Para probar que I(X) e .[,(X), necesitamos de la sigui.:mté noci• 
Definición 4.2. Dadoun~sub:conj'!'nt~G-deX y.V.~ punt_o P..··e._c, el 
C(G,p) ={:ice xt~ii~teRe'.Ó(X) talq'l/.ép,:x E. Ry Re C 
se. llama·. la ·~onstitl.lye~té ar p en. G. ·· 
'1.2. PROPIEDADES FUNDA!VIENT.4.LES. 83 
No ternos que: 
C(~,p}=LJfR:~.C(X):pE Re G}. (4.1) 
Enton~es d(c;1) ~ft;~i··t'~'.ió'n:~1é~\1bconjyntos conexos de .. G que contie-
nen al puntó:p;:'P9!'}o'j:¡u'eC,.CGili>;es.G.í1 súbéoI?-jÜnto conexo ele G. 
'. :r .. / _,~-,J>..., ··~,; _, ,.,.~,, '.':.,·:-~ .. ·«".'·"'·· . 
Téorema'4.3y([3Si\'fé'o'reiha::3.1]) ~ 'Para un punto p de X; las siguientes 
afirmaciones son 'e(¡uivb.tentes: . .. ; . . . . ' ... 
:·:. ·. '<.:·_::· . -
1} X es suave én p. 
2} Par~ ~~da s·ubconfunto 
0
abierto;G de X con p É G, el conjunto C(G,p) 
es abierto en X. 
3) Para cada subcontinuo N de. X don p E.N y cáda. subconjunto abierto 
V de X tal que N e V, existe un subcc/njunto :abierló y conexo· U de X 
tal que N e u e V. · ··.· : .. ,¡' .>.<~i~·>· .. :;~.\~/• .;e'; ;:.,, > · 
,- ..... ·.. ·- ··'' •· •. , ••. ¡ ., .. -· 
4) Para cada subcontinuo N de X 'con p. E N y cada' subconjunto' abiérto 
V de X tal que N e V, existé un f!Ubcontin'uo'I<· dé X tal que N e 
intx(I<) e I< e V. 
Demostración. Para ver que 1) ::;.. 2), supongambs qÚe·X 'es suave en p 
y sea G un conjunto abierto de X con p E G. Tomemos un punto x E 
clx(X - C(G,p)). Entonces existe una sucesión (xn)n en X - C(G,p) que 
converge a x E ..-Y. Sea R un subcontinuo de )( tal que p, x E R.· Hagamos 
C = ,y - G. l'viostraremos que R n C =¡!: 0. Para ver esto notemos que, por la 
suavidad ele .Y en p, existe una una sucesión (Rn)n en C(..-Y) con p, Xn E R,., 
para cada n E N, tal que Rn -+ R. 
Ahora bien, ciada n E N, tenemos que Xn E X - C(G, p). Entonces 
Rn n C #- 0. Además, como G es abierto en X y Rn -+ R tenemos; por el 
Teorema 1.17, que R ne #- 0. Esto muestra que X .E .X...:.. C(G,p), lo cual'· 
implica que X - C(G,p) es cerrado. . ' · · 
Para probar que 2) => 3), supongamos que para cada abierto G de :.,.'\'.'.con · 
p E G, el conjunto C(G,p) es abierto. Tomemosüri subcontinuo N ele .X eón 
p E N y un abierto V de .X tal que 1VcV .. Hagamos U= C(V,p). Como 
hicimos ver, U es un subconjunto conexo. de V. Además, por hipótesis, U es 
abierto en X. CéJmo N es un subco'ntinuo de X que tiene apyeÚácontenicló 
eil 1' su~ed~,.por (4.1); q':1e :iVc U. · · · · · ·'' · 
.. -\ho1·<1. n16st,'far~~os q~e 3) => 4). Para esto, tomeII1os 1y·' E .C'.(Y) .con 
p É N ?t.1n' abierto V de. X tal que N e V. Como X es'.métricO; eíitoí1cés 
. X es noi·;-iial. /Pc5r' tanto, existe un subconjunto abierfo 'G'de x•i:áf que 
,V c.G e d,\-(G) e V. Además, por hipótesis, existeun subéonjmito abierto 
y conexo U de X tal que N e U e G. Si tomamos I<,,,;,, clx(U); tenemos 
qúe I< es un subcontinuo de X tal que · ' · . .. 
Ne U e intx(cix(U)) = intx(K) e K = clx(U) ~ci,,-CG) e V 
Así pues, Ne intx(K) e K e V. 
i\Iostraremós, por último, que 4) => 1). Sean· i'e X y (x~)n e X tales 
que Xn ~ x. Supongamos que 1W es un subcontinÚode X con p, x E 1W. 
?vfostraremos que existe (1Vín)n e C(X) tál que Al~ ::.:+ i'vl :.y p, x,. E 1vln, para 
cada n EN. Para esto, dada n EN, consideremos la:familia 
Mn = {A e 6(.-Y) ;,p;:zI~·;:= 14.} 
- = ".; 
Por el .Teorema 2.17, .1vt~ E (;'~(X) iJ.o(lo;:cl1i,~.:;~~ 'f;~rticular, :JVtn ,es un 
subconjunto compacto d.e C(X). EntonC,es~p§demos';hablaÍ-délpÜnto:en Mn 
más _cercano á M;con respecto, á·la rriéti:icá·~'éie{HaÚsCio~ff- :'Esto es;. existe 
i'vln E .1\J.in tal que _ . · . ·. ·_. •·. 'j!~~:h?:'.t~'.{'i; ;~~:;.~¡\~}~~j;: • ~;'. .. . 
H(Mn_, M) = mi~~ijc~;i~!J}i~.~;~;};·, , •· 
Veamos que la sucesión (Aln)~ con~érge a~:v;:;·,:~~~'i :> O. Nóteri1os que 
N(e, Al) es un abierto en X tal que ·1VI;c•N(e; 1W).<EntOnées, por hipótesis, 
exist.e K E C(X) tal que . -2,;'><: , > > '.. ;,e ' 
lvl ¿.-i-ritA~-.·(r<~f f~<1~:/2:'.~.~'!(~;·1~IS:.: ¡ 
,. ' -·~---·;' ;.~-: ,-:;)'., ·-,.~/ :.!,'.~::· 
Entonces l'vl e K e N(d; 1.C) y 1<}:::. iv(€, 1VI);p6rJrique ÍI(i'vl,K) <.e. 
- -.· -'~-, ~:::·· _-, - _:_:;._,, --.·-. .;-: ''.:"<?~--..>~-~-- :.:<·", -:;.:· ::.:1.-<i-- ·-- ;.-, 
Ahora bien, como<p,j; E M, resulta que p E~1<y, ade~ás; x E intx(K). 
Por tanto, existe N E N tal que si n' 2".: N;' entonces 'x;{ E· intx(K) e /C 
. ~-
-1.2. PROPIED.4.DES ÉUlVD.4.ÍWENT.4.LEs:. 85 
Esto implica qu.e K. ,E J'-'tn paracacla n ~ N. Por tanto, ele acuerdo con la 
definición c1e· 1\:f,i.~síi~ed~;'c1ii~· · · · ·· · ·· ·· > .. 
f¡(,\.In; M) ~ .ff(K, Ü) <E, 
para toda n ~ N. Esto prueba que 'i\ln :..-r .:H. • 
La demostración que acabamos ele dar, sigue básicamente el esquema 
mostrado en (35, Teorema 3.1], con excepción ele la prueba ele que 4) ~ 1), 
que aquí se presenta en términos bastante más elementales. Agradecemos a 
A. Illanes su ayuda en la obtención ele la misma. 
Corolario 4.4 ((35, Corolario 3.2]) . .((X) e L(X). 
Demostración. Sean p E I(X) y V un subconjunto abierto en .X tal que 
p E V. Entonces V es un subconjunto abierto en. _,y que contiene al ·sub.: 
continuo {p} de X que contiene a p. Entonces, por la:équivalené:ia· entre las 
afirmaciones 1) y 3) del Teorema 4.3, existe un subconjunto abiei:t'o y conexo 
U en X tal que {p} e U e V. Entonces p E L(X). • 
Consideremos el abanico armónico con pata alargada A~~. Sean q = (2, O), 
p 0 = (1, O) y, para cada n EN, Pn = (1, ~). Supongamos que L = (1, 2) x {O} 
es Ja pata alargada ele Asa· Entonces q E L(X) y, además, <i <j. I(X) pues no 
es posible encontrar una sucesión (An)n en C(X') con la propiedad ele que 
q, Pn E A,,, para cada n E N, y An :..-r L. Por tanto, el que un continuo sea 
localmente conexo en un punto, no implica que el·continuo es suave en .dicho 
punto. 
En resúmen, tenemos que las siguientes contenciones son ciertas: 
I(X) e L(X) .)'. /(X)c K(X); 
,; ·::.;~. 
Además las contenciones son, en general, propias~,;A.• coritinua~iÓri; pr¿;bamos 
que los continuos localmente conexos son.~ua~ºeiCen cadá.:unci~de sus puntos. 
_ · ;:-' ·c .. :_._~:,-.::-~· .. -·,---:··_;_,~- ·(~·:·-_- -·-~-_,._} /-- -.:-:-.:.:-~"-;:~·~-.., _,~:~·-•,·.'·~ · -~-·-~--~ · ;_-,.-.'· -~-, · 
Teorema 4.5 ((35, Corolario 3.3]).'I(X) ~,.)'f)iysólo s(X esi'ocÓ.l~e./ite 
conexo .. 
86 .. • < C.4.PÍTULd '4> SUA \íJDAD'. 
. . '~· .. - . . ·' . ·: ·." .- ' : : ~ . ; 
Demostración. (=>) Si J{X) = X entonces; por el Corolc{i:ic>'4A,' X :d= 
I(X) e L(X). Como también es cierto que L(X) e X; sucede que L(X) ~X. 
Entonces, .Y es localmente conexo. 
( <=) Supongamos que .Y es localmente conexo y sean p E X, N E C(.\.") 
con p E N y V un abierto en )\ tal que N e v·. Si U es la componente de 
V que contiene a JV, tenernos que 1V e U e V. :\dem<is, por el Teorema 
l. 76, U es abierto en .X:. Entonces, por la equivalencia entre las afirmaciones 
1) y 3) Teorema 4.3, X es suave en p. En otras palabras, p E I(.Y). Esto 
prueba que .Y e I(.Y). Corno la otra contención también es cierta, tenernos 
que I(X) =X. • 
4.3 Una Caracterización de la Suavidad. 
La noción de suavidad puede expresarse en términos de epsilones y deltas, 
ele la siguiente manera: 
Teorema 4.6 . . )( es suave en el punto p E _.y si :Y sólo si para toda e > O, 
existe ó > O tal que si x, y E X son tales qiie d(x, y) <. c5 y K E C(X) es tal 
que x, p E I< entonces existe L E C(Xrcon y~p EL y H(J<, L) < e. 
Demostración. (=> ). Sea X suave en el punto p E .... Y.y.st1pol1ga.fi1ps P()r el 
contrario que existe e > O tal que para toda ó. > ()~e~isten.x{y:e··~~/fales:l:lue 
d(x,y) < ó y un J< E C(X) con x,p E K, talesqueP.~ra:)o~o,L¿e·(;::'(:.:~)con 
y, p E L sucede que H~K, L) ~e. • ,.:' •,.,;;;;},(t'":;'.)'.~Y,{~fSf~:{{;.'.(;~¡;??::~! }. 
Por tanto, si Ón = -, con n E N, existen x;,; y~;·e :<::Y'.;fales""qi.Í~Jd(:¡;,;;y~) ;<. 
n ·.- . . . · .. ,,-~·:·· ... ~.···· ·;:·:: .. -'"'- ... ·.·-¡ -: · . -
c5,. y un Kn E C(X), con Xn,P E R.-n. tales qtlé,para,fódo';:L~":e~.C(X)i::ori 
y,,, p E Ln se tiene que H (K,,, Ln) 2:: e. .· ·. ,, "·· •;.' /''; !'' :'}i '·· ; ,'.; 
Como (I<n)n es una sucesión en el compacto ó;(p)':'é:iÜste::un~ s~bsu'césión 
U'--n,)r de (I<n)n tal que I<n. --+ Ko paraálgiin/<ci;E a(p), sin pérdida de 
generalidad podemos suponer que xn. -+ x0 para algún x 0' E:·'K0 (Cornlc1.rio. 
1.16). '• ·:~.·_;· .... ' ' 
Además H(I<,.,, L,..) 2:: e para todo Ln. E C(.X) con Y~., p E Ln. y ya que 
Yn. E B(ón., Xn,) observer:nos que Ynr --+ xc{también. Por lo tanto, p, Xo E f<o 
y Ynr --+ Xo. Por lo cual, existe (Ln.)r e C(X) tal que p, Ynr E Lnr para toda 
r E N y Ln. --+ I(u. . . . 
Corno I<n. -7 Ko, entonces para ~ existe r 1 E N tal que H(K.,;.,I<~) <. 
~ para cada r ~ r 1 y ya que L,.. ~. I<0 , para ~ existe r 2 E ·N tal que 
. . ' . ' 
4.4. EL CON.iUiVTO.S(P) .. -:·· .. - ·.-. ' 87 
:'Y-::; ·,1:,:l~"'.,,'q~~~)¡·d~ ,'°',;i.'i;.~n'~n,~r ~! ,,;~~m"'. ,, ~· m.x¡ ,, . ,, } . , 
~º~2f =s::::~:~:~;:;:~t :~:~·~{f~$iÍ~rjt~TI;Z~;.:d:; 
Debemos probar que existe uiia:.·sucesióiit(k~y;i:b'C_(:X') .. coii .P;x~·'.éKn para 
cada n E N tal. que Kn.-+J<:., . .',: -~)~;;~;!{?}i~;,1;?~~~g~jl;i;·;~?i:~~f);n~·.C: ,;,,.· · · • . 
En efecto, para cad~1 n E'N,: defií1inios?I<;;{0:e~:c(X.Vtal.ciue 
~·; .. : .· . ~·- · -~,:, · á'':~/:.; 1~¡·<'.·~;_:~!)/r ·.:·:./ ...... ·:~ 
H(K K ) - rriiii'{H(Á:i.8)<'.B e·':M';} : • 
' ~ . - '· ..... , ... , ~.;. -· .. ~:::·. ,-,/~~ :--~-~·.;'/· ,~-~ .' 
.·,: 
donde 
Mn ={A E C(X): p,x,¡ E A},. 
. -: . . ' 
del Teorema 2 .1 7. Por lo que p, Xn E I< n para toda n E N. 
Veamos que I<n -+ I<, para esto sea E > O. Por hipotesis, existe c5 > O 
tal que si x,y E X son tales que d(x,y) < ó, existe LE C(X) con y,p EL 
y H(K, L) < E, como Xn -r x, para c5 existe N 1 E N·tal que Xn E B(ó,x) 
para toda n 2:: N 1 . Por lo tanto, para todo n 2:: _N1 exlste Bn E C(.X) 
con Xn, p E Bn tal que H(I<, Bn) < E, de acuerdo con la propiedad de I<n 
tenemos que H(I<, Kn) ::::; H(K, Bn) < E. Por lo cual Kn -+ K, y de este 
modo termina la prueba. · • 
4.4 El Conjunto S(p). 
Dado un punto p E )(, consideremos el conjunto: 
. . .·· 
S(p) = {X E X: X es suave en p respecto a X}. 
' /· 
Por definición, X .es suave er1 p'si Y.sólosiX,essuav~ en p con respecto a 
cualquier punto de X. Enlanotación'quea.cabam()s.de establecer, esto queda 
expresadó diciendo que p E Í(X)?si.y;'s'ólo.s(S(p}~.~'\<\Por. tanto: 
. . . ~ . 
SS CAPÍTULá4; -SUAVIDAD. 
Combinándo esto con el Corolario 4.5, tenemos-que si p E )( es tal que 
S(p) = X, entonces X es localmente conexo en p. Supongamos ahora que 
p E X es tal que S(p) =F X. ¿Qué podemos decir acerca de la estructura del 
conjunto S(p)? En esta dirección tenemos'el siguiente teorema: 
Teorema 4:7. Sea p E X. Si x fj. S(p), entonces existen (xn)n C X y 
L E C(X) con las siguientes propiedades: 
1) p, X E L y Xn --+ x; 
2) para ninguna subs-uceS'ión (xnkh de (~~),. ;;Ú,posible :~ncónt~ar- (Lk)k e 
C(X) tal que p, xn• E Lk, para C<f:da'·k_~-_N;_ y'.L'i.:'h L., -- - - - " 
De~ostración. Como xfj..S(p), exis¡e¿·,:C-Uf)n'C: .x: y:,:L:e c(~Y) tales que 
u,, --+ x, p, X E L y no_ és posible enc'61ití:ár (i}In)~ e= :G'.CXf taLqú_e ú~ --+ L 
y p, Un.E lVln para cada n E~- '.Dada' ~;EN considerem(>s'el_ conj~-Ilt;o:_. -----· 
- • ·- • • -· • 1 ' • • • .'-~·.'-:;: ,:-. 
:~~-:,,;~{.A_;e_.(?(X): p, u,.{ EÁ}.; /< " _ ;,;. >-
Por el Teorema 2 :·17,' )\11~ es uz;;_ subconjunto 'comp~cto dé c(xf:-Entorices, 
existe kin E .1vt~ .tal qÚe - - -- - -- -
H(L, lvin) = min{ H(L, A): A E Mn }; 
Notemos que (kln)n es una sucesión de subcontinuos de _X tal que p, Un E l'vln, 
p~1ra cada n E N. Entonces, lvin no converge a L. Por tanto, existe Eo > O 
tal que, para cada iV E N, existen ;:::: 1V tal que H(ivin, L) ;:::: E0 • Luego, para 
JV1 = 1, existe n 1 ;:::: 1V1 tal que H(1vln,, L) ;:::: Eo. Para 1V2 = n 1 + 1, existe 
n".!. ~ 1V2 tal que H(1Wn,. L) ;:::: E0 • Procediendo de esta manera, es posible 
encontrar una sucesión de nÍlmeros naturales n 1 < n 2 < · · · < nk < · · · tal 
que H(AI,,., L) ~ Eo, para tocia k EN. 
Dada k E N hagamos xk = un•. Entonces Xk --+ x. Esto muestra que 
la. sucesión (xk)k en X y el subcontinuo L ele X satisfacen la condición 1) 
del teorema. Para ver que también satisfacen la condición 2), sea (xk,)r una 
subsucesión de (xk)k, y supongamos que es posible encontrar una sucesión 
(Lr)r en C(..-Y) tal que p, xk, E Lr, para cada r E N, y Lr --+ L. Entonces, 
para Eo >O existe r 0 EN tal que H(Lr0 , L) < Eo. Notemos que Lr0 E Mn.,
0
, 
así que, por la definición de i\Jnk,
0 
resulta que 
4.5. LA -FUNCIÓN ,pP~ ' .89 
Sin embargo; el nttmero nk, fue const~uid~:d~ mod'o ql.le'H(~W~t ,'L) ?:. Eo-
. . . o . . . -\ ... -.•_l-.•,•, -.''·:···· -~ ., ' ··,..·:·'' .·¡. ' '.-'·."-:'· "º" . 
De esta contradicción se tiene que (x...:)k y'L tambi~11 s~tisfac:é11'1a condición 
2) del teorema. De esta manera, la dén1ostradón' queda. terminada.. • 
O .• '•:.:.~·_'o,:.: A 'O ,.,. '', >-.!,' O '<' O 
4.5 La Función Fp. 
Recordemos que la fórmula (2.1) ele la Sección 2.6 define una.función a: X -t 
C 2 (.\'."), que es semicontinua superiormente, y cuya continuidad equivale al 
hecho ele que _'\ tiene la propiedad ele Kelley, de acuerdo a los Teoremas 2.18 
y 2.19, respectivameute. En esta sección, dado un punto p E .Y, definiremos 
una función Fp: X -+ C 2 (X) que resultará ser semicontinua por arriba y, 
cuya continuidad equivale al hecho ele que X es suave en p. 
Si p E X definimos, para cada x E X 
Fp(x) = {K E C(X) : p, x E K}. (4.2) 
Así pues, Fp asigna a un punto de x E .X la familia de todos los subcontinuos 
ele X que contienen a p y ax. Notemos que Fp(x) = :F en donde :F se defi_ne 
como en la fórmula (2.2) de la Sección 2.6. Entonces, por el Teorema 2.17, 
Fp(x) E C 2 (X) y, además, Fp(x) es conexo por trayectorias para cada x E X. 
Esto muestra que Fp es una función de X en C 2 (.Y). 
La función Fp: X -t C 2 (X) fue definida por vV. J. Charatonik en la 
Sección I de [17]. Posteriormente, se consideró en [13]. _A continuación, 
escribimos las propiedades básicas de dicha función. 
Teorema 4.8 ( [17, Proposición 1]). Para cada p ·e x; laJundión Fp es 
se. 
Demostración. Sean x E X, y (x,.) e X tales que 'x,. \; '~- Tomemos un 
elemento K E limsupFp(xn)- Por el Teorema 1.31, basta probar que K E 
Fp(x). Ahora bien, por el Teorema 1.14, existen una sucesión n 1 < n 2 < ... 
de números naturales y elementos Lk E FP(x,.k), para. cada·k E N, tales que 
Lk -t K. Como Xnk -t X y p, Xn. E Lk: para cada k. E N, por el Corolario 
1.16 tenernos que p, x E I<. Entonces K E Fp(x) y, ·de' éste modo; concluímos 
que Fp es semicontinua por arriba. · · . . ·· ·· · • 
Teorema 4.9 ((13, Teorema 7]). La función Fp es SC en un punto x E X 
si y sólo si x E S(p). 
90 eAPÍTUL0'4.' SUAVIDAD. 
Demostración. (=>)Sean (xn)n e X tal que Xn-'+ X y sea:J< E C(X) tal 
que p, x E K. Notemos que I< E Fp(x). Como Fp es Se enx, por el Teorema 
1.31, Fp(x) C lim inf Fp(xn)· Entonces I< E lim inf Fp(xn) y;· por el Teorema 
1.14, existe (Kn)n e e(X) tal que I<,. E Fp(x,.), pará cada ii EN y I<n-'+ I<. 
Por tanto, x: es suave en p con respecto a x.' 
(.;::) Sean (x,.) e X tal que Xn -'+ X y I< E Fp(x). Por hipótesis, existe 
uua sucesión (I<n)n C e(X) tal que I<,.._7.I<.,y\p,xn E J<,., para cada 
n E N. Entonces I<,. E Fp(xn), para cadan e:I·'\(~~.· por el Teorema 1.14, 
K E liminfFp(x,.). Por lo tanto Fp(x) Climinf.F~(x~,). De esta manera, por 
el Teore1na 1.31, Fp es se en X.. . . ..·. .. . • 
Combinando los teoremas anterfores te_nerl1_os, como consecuencia inme-
diata, los siguientes resultados: · . : . . ··: . 
Corolario 4.10 ((13, Corol~rio s]). Lá.J;;,i,,cioTiFP e-s continua en un punto 
x E X si y sólo si x E S(p). · · · · \,-
Corolario 4.11 ([i3, ·. c()ro~afi6 9J)l~~¡~ . .f~~i~~1'l_:f~;'.e~ continua si y sólo 
s·i .. Y es suave en p.- ··.¡·,~_:_·_:.-/.~""_,_ ___ ::,.~: ~.-.}·j~ -.~:'.;\· (:,~«· ·,; : . .:. 
Así pues, la función Fp es cóntinua si y s<S{~ ~t:~(p)·.Q: .,y . 
. . ,'.::~:. " .. ,, ;~:.·:· -
-::_:·. ;_. ·~·~::~~:_:--. _ .. ,:K1: '.'"'~.:~~ .. _.,-,,_ --
Recordemos que, por el ·Teorema 1.S4; ·. to'éla.':rtiIJ.cióll sÉmiicóritinua por 
arriba, es continua en un conjunto Gó-'denso,:~·j\"púe\an:dh este;'resultado'a la 
función Fp, resulta que existe un subconjunt~ A;de~\.-; qÚe ~s G°i-dens'a y, 
aclem;í.s, Fp es continua en A. De acuerdo córÍ er"cCirólái:io <f.io[;.4.'c: S(p). · 
Tenemos, por tanto, el siguiente resultado: . . · ·· ;-.. · . '..: ·· .·:· · 
. ',•.,'" . ~7~ ~i··1~~.:?:· ':,:./ .. 
Corolario 4.12. Para cualquier continuo X y un punto. ¿~alirui~°:r~p e:.x, 
el conjunto S(p) contiene un subconjunto Gó-denso de .X. · ··~ ;/:j;;:~'";:~· 
';·,· 
El resultado anterior nos habla sobre la estructura del :con]~ri¿i;'S.(p); 
especialmente en el caso en que S(p) =/=X. En efecto, si S(p) ;=';: x; eiit~í1ces 
no requerimos los resultados ele esta sección para mostrar qu~ S(p)-~bnÚ~ne 
un subconjunto G.¡-clenso ele X pues, en esta situación, S(p)'~~C\en~o e~·x 
y, como es abierto en X, es un conjunto Gó de X. Luego, S(p) es un conjtinto 
Ca-denso ele){. · ·;:.-.: · 
4.6. SUA VID.-\D PUNTUAL. 91 
4.6 Suavidad Puntual. 
En esta sección mostraremos la noción de suavidad puntual, así como una 
serie ele resultados fundamentales, con respecto a esta noción. Recordemos 
que, para un punto p ele )( definimos 
S(p) = { x E X: X es suave en p con respecto· ax}. 
. ', '. .. . 
Ahora bien, si fijamos urí: p11nto -x :e• X poclern~s consiclérar el' c6njunto 
(4.3) 
Definición 4.13" Deci;nos qu,;;x~es.puntualme.llte·.~.suave.en.x e X si 
i'V(x) # (/). Decimos, ademéis, que X es púntuáln:tente su'ave si lo es en 
cada -µno de sus puntos. 
Teorema 4.14. Todo continuo suave es puntualmente suave. · 
Demostración. Supongamos que ..-Y es suave. Tomemos un punto x E X. 
Como .Y es suave, existe un punto p E .Y tal que .X es suave en p. Entonces 
.Y es suave en p con respecto a x, o lo que es lo mismo, x E S(p). Entonces, 
por la fórmula (4.3), p E i.V(x). Esto muestra que liV(x) # (/). Como esto 
sucede para cada punto de .Y, tenemos que ,Y es puntualmente suave. • 
Utilizando los conjuntos H'(x) para cada x, podemos caracterizar al con-
junto I(X), ele los puntos iniciales de .-Y. 
Teorema 4.15. Si x: es un continuo, entonces 
:',' 
Demostración. ·Sea p E I(X).~~~'tdri~~s.X',;es<su~v~,en,~. r~specto a cada 
punto x E X, porlo que p E H/'(x) pa:rll. ca:éláx É x: L-uegCÍ p E fJ~~-X l'V(x). 
Si ahora p E nxex W(x) .. Entoncés ,X .·es suavé e11 p con ~especto a cada 
xE X, o bien p E l(X). • 
. . . 
92 <cA"PiTuI.o 4,:, suAvÍDAD, 
Utilizando el Corolririo4~12, tenemo; eisig.uiente teorC!Il1~>'·: 
Teorerná 4.l6 · ([13, Corolario 30]). El conjunt~ de puntos~~ los .cuales 
)~ . es pm:tualmente suave, contiene un subconjunto Gó-denso en .)(. 
Demostración. Consideremos el conjunto P = { x E X: lY(~) # 0} de los 
puntos en donde)( es puntualrnente suave. Elijamos p E X. Afirmamos que 
S(p) e P. Para ver esto, tomemos un punto z E S(p). Entonces, por (4.3), 
p E l·V(z). Luego, iV(z) # f/J y, por consiguiente, z E P. Esto muestra que 
S(p) e P. "Ctilizando esto y el hecho de que S(p) contiene un conjunto G 6 -
cleaso en.\: (Corolario 4.12), resulta que P contiene un subconjunto Gó-denso 
CH _\.. • 
4.7 Conexidad en Pequeño y Suavidad. 
En esta sección presentaremos algunas relaciones entre los conceptos de co-
nexidad en peqµeño (cik) y suavidad. Para esto, consideremos el conjunto 
P(X) = {p E X: X es cik en p}. 
Como mencionamos en la Sección 1.14, L(X) e .P(X) y, en general, dicha 
contención es propia. Además, por el Corolario 4A, 1(X) :e: L(X).: POr lo 
~:t::~~:e4~~e;~ ;~.~~:e;t(~:~.orema. • .. ';··j;~~···~;.$Li·~;:··~'.'. :}·;::'J'., 
También notemos que para el conjuntó S(p);·es•n'ái"ur'al ~;eg~ri~~rse si 
p E S(p). En el siguiente teorema vemos que, si"estÉ! es;et .. caso,•entonces" X 
es cik en p. · - . · · · 
Teorema 4.18. Si p E S(p), entonces p E.P(X)~ 
Demostración. Si p ~ P(X), entonces existe. un abierto U. de<X tal que 
p E U y, acle1mis, no existe una vecindad conexa de p contenida en U._-. Ec1ui-
valeutemente ningún subconjunto conexo ele u que contie~ea p," lo tiene en 
Sil interior. En vista ele que p E u, podemos considerar la componente e de. 
U tal que p E C. Entonces como sabemos, p ~ intx(C)',. así-que p E frx(C). 
Por lo tanto, existe (xn)n e X - e tal que Xn -7 p.' - -~:: )~-:;'.~,,_- ' '• •> '> 
Como p E S(p), para el subcontinuo I< = {p} d~ X qú'E)·úefle~py la 
sucesión (.r11 )n que converge a p, existe (I<n)n C C(X) tal qué x:;;,p-EJ<n, 
4.7. CONEXIDAD EN PEQUEÑOYSUA.V-IDA.D.· · 
para cada n E N y Kn .:.,.+:I<., • .\horn biei:i,.coino U•es un <l:biertO~en .,Y que 
contiene.a I<, por el TeoremaL19,.existe E.> O talque.1\i(i/I<) CU; Y 
en vista ele que Kn .~·.!<, .. existe in E N tal que .ff(K,;;;.Kf.<::\i:Luego 
I<m e N(e, K) e U. Comop E I<m y Ces la componente<:!~' U:i.Cil.lecontiene 
a p, sucede que I<m e C. Por lo cual 'xm E C. Como e~to es,ún,;:icoritradicción, 
podemos concluir que P.E F(x): · · ';;=;· · • 
Utilizando los conjuntos S(p) para cadapunto p, ppd~Jf~s ~3.ra~terizar al 
conjunto P(X), en una forma parecida a la dada en el Téorémá 4:15. 
- .'" - . . 
Teorema 4.19. Si)( es un .continuo, entonces. 
P(X) = n S(p). 
pEX 
Demostración. Supongamos primero que x E P(X) y tomemos un punto 
p E X. N[ostraremos que x E S(p). Para esto, sean (xn)n C X tal que Xn-+ x 
y K E C(X) con p, x E K. Dada n E N consideremos la familia 
Mn = { iH E C(X): Xn, X E .IV/}. 
Por el Teorema 2.17, Mn es un subconjunto compacto de C(X). Entonces 
existe .i\1n E Mn tal que . 
H(Ain, {x}) = min{ H(A, {x}): A E Mn }. 
Ahora veamos que Aln -+ {x}. Para esto sea E > O. Como X es normal, 
existe un subconjunto abierto U en X tal que x E U e clx(U) e B(E,x). 
Como )( es cik en x, existe una vecindad conexa V de x tal que x E V e U. 
Hagamos A= clx(V) y notemos que 
A e clx(U) e B(E, x) = N(e, {x} ). 
Entonces cada punto de A se encuentra a distancia menor que E de,x. Luego, 
{x} e N(e, A.). Por consiguiente, H(~.Jx}) <E. · ·· 
Como Xn -+ x, existe N·e N talque.xn .E V para cada n ~· N. Esto. 
implica que x, Xn E A para' cada n ·;::: ''N·o,. lo que es lo mismo, que A E 
. • . . • . . ! 
94 SU.4.VIDAD; 
.1\.1n siempré que n ~ N. Por tanto,:'.poí·:ladefinició~i de 1\1ñ,ésuc~de'cg1~ 
H(Mn, {x}) ::;H(V, {:i:}) <.e· para·cada n ~·N;.Esto'pruebaqueM;[.~ {x}. 
,·.· · - ..... :.:-.~.-.·,/-:·:·':'.L.=.''.'-~'{·~:..:~:-¡;~:,:---~.-.~,.:<----<~--·:· · -- "- '- _;: ·-"~·¡ -
cad;;~,º~ª ;~,·~::~~;:;~e~~ii,i z!S~·~:~1~~f 0'.~E%t~ri"8\ p,X,, .. E I<" ;•.pácá 
.. A,. = iyn~U '{" ,-"+·{x} ~A:== A .• 
POcs::::~:m::~~~=·f.~[~;i.·i~~r~~~i~dJc1~i .. Pª"'~"'"'· " E 
S(:1:) y, por el Teorema 4.18; :i E' P(X).:·;Esfo termina la demostración del 
teorema. . . . . ·, . ·» .. ·.·. . • 
En (13, Proposición 31] se afirma que 
L(X) = n S(p). (4.4) 
pEX 
De ser cierta dicha afirmación entonces, por el Teorema 4.19, sucedería que 
P(X) = L(X). Como señalamos en la Sección 1.14, un continuo puede tener 
puntos de conexidad en pequeño que no son de conexidad local. Por consi-
guiente, la igualdad (4.4) es falsa. La forma correcta de calcular npEX S(p) 
es como se indica en el Teorema 4.19. Como consecuencia de este resultado 
tenemos el siguiente teorema, que responde la pregunta de si p E S(p). 
Teorema 4.20. Sea un continuo X y un punto p E ,,"'\:. Entonces p E P(X) 
s·i y sólo si p E S(p). 
Demostración. Si p E P(X) entonces, por el teorema anterior, p E S(x) 
para cada x E X. En particular, p E S(p). Si, por otra part~, .p ·.~ S(p) 
entonces, por el Teorema 4.18, p E P(X). • 
En el siguiente resultado vemos que en lqs éontinuos,incl'~sé::omponibles 
(Definición 1.69), el conjunto S(p) es el complemento de 18'.éomposante de p 
en X, denotada por K(X,p). Remitimos al lector.á:·¡a'Sección;i.17 pandas 
nociones y resultados básicos sobre c6r.pposan,te!:i: '.: <:·;~;'. '< 
Teorema 4.21 ((13, Ob~ervación á3J).iSi;X esi~"iúsco.~ponibleyp E X, 
entonces 
S(p) ='X - I<(X;p) .. 
_4.8. PROPIEDAD DE KELLEY YSU.4.VID.4.D. 95 
Demostración. Veamos primero que X - K(X,p) e S(p). Sea x E X -
K(X,p): Éntonces X es irreducible entre p y x. Para ver que x E S(p) sean 
(xn)n e X tal que Xn -r x, y G E C(X) con p, x E G. En :;,risi:a de que X 
es irreducible entre p y x, tenemos que G = .Y. Dada n· E N, el conjunto 
Gn = X es un subcontinuo de .Y que tiene a p y x,, y, además la sucesión 
(Gn)n, así formada, converge a G. Luego, x E S(p). 
Ahora veamos que S(p) e X - K(X, p), o bien K(X, p) e X - S(p). 
Tomemos x E I<(X,p). Entonces existe un subcontinuo propioG de X.tal 
que p, x E G. Por el Teorema 1.85, existe una sucesión (x,.),, en )(..:... I<(.X, p) 
tal que Xn -r :i:. Por tanto .Y es irreducible entre p y cada Xn- Ahora bien, 
si x E S(p), entonces existe una sucesión (Gn)n en C(X) tal que G,, ·-r G 
y p, Xn E G,. para cada n E N. Notemos que, para n E N, ·.X es· irreducible 
entre p y x,,. Por tanto G,, =.Y y, entonces Gn -r .X. Por otro lado,:G,, -r G, 
así que G =.X. Esto contradice el hecho de que G es un subconjunto propio 
de X. Por tanto, x E X - S(p). • 
Como consecuencia del teorema anterior, tenemos el siguiente resultado. 
Corolario 4.22. Los contin·uos indescomponibles son puntualmente suaves. 
Demostración. Supongamos que .X es indescomponible y tomemos un pun-
to x E }(. Veremos que i-V(x) # ©. Para ver esto supongamos, -por el con-
trario, que HT(x) = ©. Tomemos un elemento p E X. Si X E S(p) entonces, 
por (4.3), p E i-V(x). Como esto es imposible, tenemos que x E X - S(p). 
De acuerdo con el Teorema??, X - S(p) e K(X,p). Luego, x E K(X, p). 
Esto muestra que x E I<(X, p) para cada p E )(. En otras palabras, todas las 
composantes ele X tienen en común al punto x. Esto contradice el hecho de 
que las composantes ele ;y: son ajenas dos a dos (parte 4 del Teorema 1.84). 
Por consiguiente, H"(x) # lil y X es puntualmente suave. • 
4.8 Propiedad de Kelley y Suavidad. 
Recordemos que 
K(X) = { p E X: X tiene la propiedad de Kelley en p} 
y 
P(X) = {p E X: X es cik en p }. 
96 cAPÍTÚLÓ'4.: suA.viiJAh ·. 
' . ..'. : ·-~-( ... :'~.·:_:-::·_:: __ ~ ~'::·.-, -~-~~-/::·~ ·~;· >-,., .· .. ~- - : 
Es Claro que K(X) = X si y sólo si. Xtié1ie ta propi~dád)lé''Kelley.' De 
a:cuerclo conladéfinición del conjunto S(p) tenemos C¡úe si p_ e 'S(p)/, entonces 
p E i'C(X)., Por tanto' '<: ·· '· :, <·:· 
. {:pe x;pE ::S:Ú)}'.¿)l~'t\'.:';:.{.:~:;t:. ···:·~ · , ·. (4.5) 
... ,::: _.,. _ • .,,.. • '.:·_.'.---·..: - 0 h'.,:~;:..~ ... ~-~~··;_.c-S::-~·~ -
Por el Teorema .4.20. , · ;'.'; · ..•. (: i(·,E ;~:; .!:' : : ,,,;<''< 
• { ~: e··~C.·=.',,1J.·.~-;~;~flf i:{4.cx:~,::~~fi;<~l;~.G~•f~),f~··P:(-Y) ( 4·5 ) 
Combinando· (4:5 )Y .. ( 4.6), te1~~m.os'el,siguieiit'e :resti~tado.< 
Teorema 4.23. f<-~) F)?<;~).}_~{~~:·~{\W/i~i~~~Í1.:'·\!~.it't?'.> . . . . 
Esto muestra una. prueba alternativa.'del;.Teorema,2:8.: ,Tenemos, ademas, 
el siguienté resultado'. ·- ·:·.' ·é. ;,;;;,,;:.··~ ;;J:;: .• ::.•f'', _ 
Teorema 4.24. Para cada continuc;L'f'(i;~l ;~~~P(X) ,P 0, se tiene que 
K(X) e ' ·n .. ·s(p)'., 
. pÉP(X) 
(4.7) 
Demostración. Sean X E K(X) y i E :~(X). Sean (xn)n e X tal que 
x,. -+ x y I< E C(X) con p, x E K. Como X tiene la propiedad de Kelley en 
X, existe (L,.)n e C(X) tal que Xn E Ln y Ln :---+ K. Notemos que ' 
p E IC=. lim inf Ln 
así que, por el Teorema 1.14, existe una sucesión (Pn)n en X tal que Pn :.:.._,, p y 
Pn E Ln. para cada n E N. Ahora bien, como p E P(X), por el Teorema 4.19, 
p E S(p). Entonces existe (1Wn)n e C(X) .tal que p,'p,. E.1Vln:y_:Afn. ~ {p}. 
~ .• :::_-:· .' < ¡ ~- - ' ,.· _. • 
Dada n EN, sea Kn =L,. u}dn. En vista deqtl~p~ e:L~nú~; resulta 
que f(,. es un subcontinuo de X. Además'·p,'xn E K,;:y;.por.eLTeorema 1.9, 
· " ·- - · · . . ;. . . · .:. 3 -,,". ·. ··.~,~:-r:_:, _.- Y;¿;~:\· ~-~-;~~ 
Kn = Ln Ui\lfn _,..:..,. K U {p} ~· J(°'., 
Esto prueba que.x.eS(p). • 
El siguienteteor~ma establece la relación ~ntre la propiedad de Kelley y 
la suavidad. · · 
4.8. PROPIED.4.Ú DE KELLEY y~ SU.4. VID.4.D. 97 
Teorema 4.2s. Un. continu·~ •. X •. con. la propiedad de• K~Uey es · s~,f v~ , en un 
tahto, ~iX· 
( <=) En vista de que 
Equivalentemente, S(x) =X, para cada ~E,P(ji);es.d~cir, X es.suave en 
todos sus puntos de conexidad en pequeño. · · · · · • 
Recordemos que un dendroide es un conÍ:inuo conexo :por trayectorias y 
hereditariamente unicoherente. Que un contin.uo :..Y·sea unfooherente quiere 
decir que siempre que ,\: sea igual a la unión de dos subcontinuos de ..-Y, sean 
éstos A y B, entonces sucede que A n B es conexo. 
En (21], S. T. Czuba estudió la clase de los dendroides y su relación con 
la propiedad ele Kelley. También, en (21, Corolario 5], S. T. Czuba probó el 
siguiente resultado, 
Teorema 4.26. Los dendroides con la propiedad de Kelley son suaves. 
Combinando los teoremas 4.25 y 4.26 tenemos el siguiente resultado. 
Teorema 4.27. Los dendroides con la propiedad de Kelley posee;;, uTI. punto 
de conexidad en pequeño. 
En general uno podría considerar el problema ele la caracterización de los 
continuos con la propiedad de Kelley que poseen un punto :ele conexidad en 
pequelio. De acuerdo con el Teorema 2.10, tocio continuo con la propiedad 
ele Kelley que contiene un punto de corte, posee un punto de conexidad en 
pequeiio. 
Terminamos el capítulo mostrando quela contendón inversa.de (4.7) no 
es cierta en general. · 
Ejemplo 4.28. Exi~te un continuo X tal que 
P(x) 7'0~ Ú.Qx, S~))_':J<(x) 
DS CAPÍTULO ·4. SUA. VIDA.D: 
Justificación. El continuo X se construirá en JR2 • Con,·enimós c{ú~'-siÚ,;v E 
1R2 , entonces el símbolo· uv denota el ·segmento ele· línea ele u· a v.: Conside-
remos ahora los puntós p = (0,0),a = (±,0),b =(~,O), e~ (l;O)y,;pará 
cada n E N, sean e,. = (1; 21,.) y sean a,., bn E qcn de manera que su primera 
coordenada es ± y ~. respectivamente. Sea: . · . ·· ... 
. '- -
i\otemos que X no tiene la propiedad de Kelley en b pu~~ para·Ia: sucesión 
(h2n)n que converge a b y el subcontinuo be ele X que co.ntiene a·: b, no es 
posible encontrar una sucesión (B2n)n en C(X) que coi1verga,a b'cy tenga la 
propiedad de que b2n E B 2 n, para cada natural ·n. . · ~:~· ~·'.. .. ' ·. · 
,·:..o,:_'i.'.,:·J- _,? ;'.-'·' 
Notemos que X es cik en c3, por lo que P(X)'::¡Í:,,rlJ. ~rcG:~(1~, P(X) = 
{q} U (X~ qc). Además, para cada p E P(X) es s~ncmo:ver que b E S(p). 
Por tanto, b está en la intersección de todos los.·conjuntos de la forma S(p) 
con p E P(X) y b no está en K(X). ' • 
b, 
e, 
~ ~ q 
a.~~ 
~~c.
P=(O.Ol a b e 
Capítulo 5 
Preservación de la Suavidad. 
5.1 Introducción. 
En esta sección mostraremos que las funciones monótonas preservan la sua-
vidad. Dicho resultado se demostró primero en el artículo (17, Corolario l] y, 
posteriormente en el artículo (13, Corolario 15]. En el primer caso se presen-
ta una demostración topológica del mismo y, en el segundo, la prueba es un· 
tanto n1ás conjuntista. En este capítulo presentamos ambas demostraciones. 
5.2 Primera Demostración. 
Supongamos que X es un continuo y sea p E X. En el capítulo anterior 
definimos una función Fp: .Y -+ C 2 (.Y) que es semicontinua por arriba y, 
cuya continuidad, equivale al hecho de que ... \ sea suave en p. (ver teoremas 4.8 
y 4.11). Como dicha función depende del continuo .Y, podemos suponer que 
F[ ... Y, p] es una notación extendida de Fw De esta manera, si f: .)( -+ Y es una 
función continua y suprayectiva y, además, p E .Y y q E Y, entonces podemos 
considerar las funciones F1 = F[X, p] y F 2 = F[Y, q]. También podemos 
considerar la función inducida C 2 (/): C 2 (X) -+ C 2 (}") y, por consiguiente, 
tenemos el siguiente diagrama: 
C 2 (X) 
C 2 (/) 
C 2 (Y) 
F1T T F2 
x: ~ y 
99 
100 CA.PÍTULO 5; PRESERv:4.CIÓN DELA SUAVIDAD. 
Teorema 5.L Sea f: X ....,.+ Y ;una función continua y snprayectiva entre 
loa continuos X y Y. Consideremos puntos p E )( y q E Y ele manera que 
q = j(p). Entonces el d-iag·r;ama anterior cÓ·nrriuta si y sólo:si j es monótona. 
•',,·,, 
~;· ., . . . ·. . ' . ~ en. p. 
Demostración .. (:;.)~~1p~ngamos ~1ne el diagrama cónmuta, esto es, 
. ' .,~ ¡ 
. : .. j,., .J" '•''· - · • .-.·. 
,.. Ó2 (f)(F't(~;)) :=. F2(f(;;)) 
k• cnal signifii,:~u~~· 
{ C_(J)(I<):J<. E e: ex) y)~. X E I.<} ==.=:<{ L E (;(Y): q, J(x) E L} (5.1) 
para ~ad} 2: .• ~ -~~.i_.\h~r~ bien, s~~ g ~ ~~; .un continuo t~l que q E Q, y 
sn¡)ongamos qué'¡;j1 (Q) ino es. éoríexó. Tomemos entonces un punto X en 
una compo~ente clef-1(Q)diférente .a la que tiene al punto p. Notemos 
ahora; que: · · · · 
Q E {LE C(Y): q,J(x) EL}. 
Pero por el contrario Q rf. { C(f) (I<) : I< E C(X) y p, x E I<} puesto que 
si suponemos que lo est<Í, entonces Q = C(J) (I<) para algün [( E C(X) con 
p, x E 1<, esto es, Q = f(K); pero I< e ¡-1(Q), entonces como K es conexo 
y ¡-1(Q) no lo es, tenemos que J( está contenido en una componente conexa 
de ¡- 1 (Q) la cual tiene a ambos puntos (p y x), lo cual es una contradicción, 
por lo tanto es cierto que Q rt: {C(J)(K) : K E C(X) y p, x E K} lo cual, 
a su vez, es nna contradicción a nuestra hipótesis. De esta manera podemos 
afirmar que ¡-1 (Q) es conexo, y así mismo, que f es monótona en p. 
(.:=)Supongamos ahora que f es monótona en p. Para ver que el diagrama 
ant1~rior conmuta, sea x E X y consideremos que A es el término izquierdo 
ele la ignalrlacl (5.1), mientras que l3 es el término derecho ele dicha igl1alclacÍ. 
Veamos que A e B. Sea C'(j)(K) E .A, entonces ICE (;'(~~)y;p,x ~K­
Por lo tanto C(f)(K) e C(Y), estci"és,C(J)(K) =.L.para:algl.ínLEC(Yr 
Ade1mí.s ya que C(f)(K) =f(K), entonces f(p) = q,J(x) ep(J)(K);.Por 
lo tanto C'(J)(K) E B. ·· · · · · · 
5.2. PRI1WERA DE1WOSTR.4.CIÓN. ·.101 
Ahora tomemos L E B, entonces q, f(x) E L E. C(Y). Como l es 
monótona relativa a p, entonces K = ¡- 1 (L) es conexo y además es ce-
rrado por la continuidad de f, por tanto I< = ¡-1 (L) es un continuo de.}( 
con p, x. E IC De este modo, L = f(K) = C(f)(K) está en A, concluyendo 
así la demostración de este teorema. • 
Ahora mencionaremos un resultado, el cual ·nos da una· condición para 
que una función definida entre continuos, presen;e la suavidad. en la imagen 
ele un punto. i\Iás adelante ciaremos otra prueba ele este resultádo, el cual 
apareció probado primero de esta forma en (17). · 
Teorema 5.2 ((17, Corolario!]). Sean .Y un continuo suave en u,n punto 
p y f : )( -¡. Y ·una función continua y suprayectiva de .Y· en un continuo 1'. 
Si f es monótona en p, entonces Y es suave en f(p). . 
Demostración. Por el Corolario 4.11, basta ver que la funciÓI}'F2 definida 
en el Teorema 5.1 es continua. Para esto, sean y E Y y una·sticesión·}(1/~);; e 
Y tal que Yn -¡.y y F2(y,.)-¡. A para algún A E C 2 (Y). Eiito'nce{porl.23, 
basta ver que A= F 2 (y). "· .Y! · ..'.~' •···•· ··· · 
Sea A E A, como .4 está en el límit~ i~ferior 'ae ii•'si}~:e~iZri~f~ti~j)j~;ppr 
el Teorema 1.14 existe una sucesión (An);;'c'C(Y)'ti.1.1<:1üe~Á~··~;F.2(y~);.para 
cada n EN y An-¡. A. '· '~fe.:·::.:':/~;.·.:~?:¡,;• '?\;; ••' 
• . ~ -:-: , _ '_",:.>. > .. :F .:J.~ó-~::·: ;~~-:"·;·._-::Ú(-.-~-~/?·.·.: \: >:~ ·t({f, ·;~:~~;;.:;;_:-,~{-.:_:·~eº·;·- ·./:-~ --.:,· 
~otemos también que f(p) y·y;;..éstán:-éri A;;!( ver el.".'Té.orem.:a>ª:!),· l\.¡ego 
entonces por 1.16, tenemos quef(p)iy E .•(así .{ e'p2 (y)'y;¡)'óí:'lo fanto 
A e F2 (y). . .... ;'"·: ·::.~·~·.: >.··~-- . 
. ,__,,. 
Para probar la otra contención procederemos como siguk: :Ya: que J es 
suprayectiva, tenemos que para cada n E N podemos toma~r un: punto x;,; E ..-Y 
tal que f(xn) = Yn· Como X es compacto, existe una stibsucésión' (x11~)~ de 
(x,.), la cual converge a algún punto x E ..-Y. Observemos que f (x,:,J) .,,;,, Yn~. 
Ahora bien, como f es monótona relativa a p, el diagrama del Teorerna.5.1 
conmuta, así que para cada k E N tenemos que: -
(5.2) 
Además, como x"• -¡. x,. entonces por la continuidad de f, tene.mos que 
J(xnk) -l- J(x). Pero J(xn.) =·y"• y la sucesión (Ynk) converge.a y, por 16 
102 CAPÍTULO 5. · PRESERVACIÓN DELASU.4.VIDA.D. 
tanto J(x) = y: Ahora bien, por la conmutatividad del diagrama, tenemos 
que 
(5.3) 
Como_\: es sua\·e en p, entonces por el Corolario 4.11, F1 es continua, por 
lo cual F 1 (xn.) ~.F1 (x):,También, en vista.de que J es continua, la función 
inducida C(f) es contim.1a, y por la n1isma razón la inducida de C(J), o sea 
C 2 (f) tambié1f lo es,. A~í que: . 
C~(Fi(xn.)) ~ C 2 (F1 (:i:)). (5.4) 
Usando (5:2); (5.3) ?·cs.4) tenemos que: 
F2(Y) ~ C 2 (Fí(x)) ::;;, limstÍp c:(f1(xn.)) = lim sup F2(Yn.) ... (a) 
·~· ', .7-:.5 .• ~.'- i. > : _. ··::::"' .. ~·<:;,::·1::'¡. -[ 
pero por elTeoré.má:'Lll, inciS0+2,x,eLTeoréma;l.l3, tene~osque• 
y de este ri10.do utiÚi~~d~'(a)y_(b)/afiriri8.ni6sque F2(y)cÁ. Por lo tanto 
A = · F2 (y), esto 'es F 2 es cóntinua;· 16 Cual, finalmente, nos permite' concluir 
queYessua~;eenf(p); · .. · · · · · . • 
5.3. Segunda·dernostración~ 
En· esta sección trabajaremos los resultados de (13], los cuales nos relacionan 
la suavidad ele un continuo .Y en uno de sus puntos y la Propiedad de Kelley 
en un. punto. A .continuación presentaremos un Teorema que nos da una 
relación bastante curiosa entre una función f definida sobre un continuo .X y 
S(p) para algún punto p E .Y. Pero antes, recordemos un resultado que nos 
servirá· para demostrar, dicho Teorema: 
Teorema 5.3. Sean A, B e X y f : . .-'( ~ Y una función suprayectiva. 
Entonces, j(A) - J(B) e j(A - B). 
Demostración. Sea y E f (A) - f(B). Entonces existe a :f: A tal que 
y = J(á.) y además, notemos que a <t B (pues de lo contrario y Ef(B), lo 
que sería absurdo). De manera que a E A - E.y y== J(a}E f(A ;__ B). 
Por tanto J(A) - J(B) e J(.4 - B). .. . . • 
103 
Teorema 5~4.SeanX un 'contin.J.~ X, p.E, X y f :.X¿ Y una función 
continu~ y suprayé'iúu~~ .'§.n.tqnces .. : < ··.· ~·· 
Demostial168t"I:~8i~0~~Rt?~itW1~~~~~:)~ue .• 
.,_ ;,~ .. ~·:·.:::r::·~; 'S',;:t::..J:<,<:>;: .. ~_::-.:~:_•; .1-!i-:_:::':·:: :;:/,.;" ;-.~~.-::.-:,,::¡, •.. , . 
. ······¡ (/-:S.'fJk~~y¿ f(p))~ ~:'Js-.~·::_·-C~Y ~ .. S(p) )) . 
(5.5) 
Y, como• fes slípr~yecti\'~i, pÓd¿inÓs t6I1cfi:iir que 
/.L}(_~i·-s(~)) 'e ¡(s(p)). 
• 
Teorema 5.5. Sea.f; X .::.+'Y una función continua y suprayectiva entre los 
continuos X y Y. Si f es monótona en un punto p E X, entonces: 
Y - J(X - S(p)) e S(J(p)). (5.6) 
Demostración. Para ver (5.6) probaremos la ·contenC:ic5h\respectiya entre 
sus complementos, es decir, probaremos que Y"":'·S(J(p)):c;.:¡(..,Y'.fS(p)). 
' .' - -·,. - . - . ~ ' 
·: ~--, _::· ;;::·· :. -~<:;:.: -::-.~-?.:~<<ic':~>'2·:;:··-~:z;~:·:J~>) /··:·· ·::, ·.: -
Sea y E Y - S(f(p)), entonces, por ~l Teorem8'.é4)\{.existenf(j¡,i)~. e Y 
tal que Yn -+ y y Q e C(Y) tal que y, f(p) ;(:~\cJ:~y'~tai;q~~~para·rniriguna 
subsucesión (Yn,)k es posible encontrar una sucesión"de~S,Übcontiniiéis (Q¡,)i.:. 
de Y tal que Yn •• f(p)·E Qk·YQk,;:~··.·: .• .t····0'/;:;~,t~~};t1~;;~~;\bj~f,.,;.·;·. 
Al suponer, por el contrario qué Y ~J(X ,..,:S(p)); te.!lemo{qiieff-::/(y) e 
S(p). Por lo. tanto, si pára'iilgúil.:x E X sucede cgÍe';f,(x)}i~},y',::entonces 
X E S(p). .· : {'.\;/ .. ·... . . ·. . ;,.:.~;;:;i't¡~;,~::1:·{;&'. . ·. > .. 
Ahorabi~n: par:¡ J~Ji:;; ;~ N, ~odemos to~~r u~ ~4;~'t,'.~,·~~ ~ J-~ 1 (Yn), 
como-(xn)11 es üriá.)mcesión en.un compacto, existe unasubsucesion .(xn.,)k 
convergente. a un- puntó x E X y entonces J(xn,J -+ J(x); pero f(x,.k) 
y,. • .::.+ y, por: lo tanto f(x) =y, esto es x E ¡- 1 (y). 
• Ade~ás, c¿rri~ fes monótona en p y f(p) E Q, al t(;ma.r·K ~- f..:. 1 (Q), 
tenemos. que· 1< es con.exo y ya que además es cerrado en un compacto, K es 
un subcontinuo en X, talque p, x E K (J(p), y E Q). También, ya que x E 
iD4 CAPÍTULO 5. PRESER\r.4.CION DE LA. SUA. VIDA.D. 
¡- 1 (y) e S(p), entonces existe una sucesión de subcontinuos (Kn1 ) 1 de X' tal 
que xn,. p E Kn, para cada l E N y I<n, -;. K. Así si definimos Qn, = f(Kn 1 ), 
tenemos que Qn, es un snbcontinuo de 1 ·y y,.1 ,f(p) E Qn,· Y como I<n, -+ I< 
y C(f) es continua, entonces C(f)(I(,.1 ) -:-+ C(f)(K), así que por definición 
de C(f), Q,.1 -+ Q, con 'Un,. f(p) E Q,,1 , lo cual es, una contradicción. Por lo 
tanto se cumple la contención relativa a los complementos, lo cual termina 
esta prueba. • 
A continuación presentaremos. la segunda. deme>.straci6n c1el'J:"eorema 5.2. 
Corolario 5.6. Sean X un continuo.suave en un puntop YI:·x-+ Y una 
función continua y suprayectiva de x· en un cÓntin.uo Y. SiJ es. monótona 
en p, entonces Y es. suave en f (p). . . ' <e; ,;.;:> '!\;: ) 
2
:::· , 
Demostráción. Por el Teorern~· 5:5; ,,teriem'bs.~J~:~1~i'.F,\;Í,(;,'\': •C\.S(p)) e 
S (! (p)). Pero, ya que X es suave en "¡), tenemos que¡$ (p));=,;;·':~\'.}:F'Ór. lo tanto 
···Y/c·icfc~)).;' .. :p:·:'°;:·,L••y0~.·~~~;}~~;;·r;;~~ .. w•···· · .· 
Como la otra contención es obvia, podemos concluir qu~ Y,-~ S(j(p)), esto · 
es, Y- es suave en f(p). . . . • 
Observemos que esta prueba es digamos más topológica, mientras que la 
primera requiere de un hecho algebraico como lo es el hecho de que el dia-
grama del Teorema 5.1 conmute. El siguiente corolario aparece por primera 
vez en el artículo de T. Muckoviack (35, Teorema 6.2), aunque nosotros lo 
probaremos justo como lo plantea el artículo (13), en el resultado 16. Dicho 
corolario, afirma que la imagen de los puntos iniciales de x: bajo una función 
continua, suprayectiva y monótona f, está contenida en el conjunto de los 
puntos iniciales de J(X). 
Corolario 5.7. Sea f : X ~ Y una función continua, sup·r:ayectiva y 
rnonótona. Entonces 
J(I(X)) e I(J(X)). 
Demostración. Si y E f(I(X)), entonceSextste~e'JCX:)·tal,,cl1Ú,J(p) ='.Y· 
Como X es suave en p, tenemos que S(p) .. =:~~:.~de,m~, corzio,'j'es.?"ionótona, 
por el Teorema 1.57 f es monótoña eni:;0 'A.plicaí'l'Cl.cr""e\\corolario·anterior, 
tenemos que Y es s~iave en f(p) = y. L,úegO; y:e',J(.Y) coriclúyendo de este 
rnodo la demostración. , ·. . · ··'·'.' ·'> ,:, " • 
5.4. CONTRA.EJEMPLOS. 105 
5.4 Contraejemplos. 
En esta sección, presentaremos ejemplos, los cuales muestran que las inclu-
siones: 
J(S(p)) e Y - f(X - S(p)) 
S(f(p)) e Y - J(X - S(p)) 
I(f (X)) e J (I(X)) 
no siempre suceden, que la monotoneiclad de f a un punto ~s ~ecesaria en 
el Teorema-5.5 y.que los conjuntos f(S(p)) y S(J(p)) no_ son comparables. 
Todos los ejemplos.se darán en el plano JR.2 • Dados a,b e.JR.2 co.nvenimos en 
denotar por ab al segmento ele recta que une a los puntos a Y;.b.> ·· 
Ejemplo S.S. Existen dos continuos X y Y, un punto p E X y~.,¡~Juri.Ción 
monótona f: X--+ Y tal que J(S(p)) % Y-f(X-S(p)) yf(S(p))"% S(f(p). 
Justificación. Sean p = {0,0), a= (~,O), b = (1,0), ~=ü,.:..:::1) y;·para 
cada n E N, sean Un = (~, 4 n~i) y bn ~ (1; 4~ ). DefinirriÓs . 
. . ' ~ - - . 
Y = pb Ü .-( LJ pbn U bnan) · 
. . nEN · .·. 
y 
-)(= acu Y 
~·· 
~:· 
P a 
e 
106 CAPÍTULO 5. PRESERV.4.CIÓNbEiJ.4.-'SU°:4.VIi>.4.D> 
. -.. .' / -
Definimos J: X -+ Y como la identidad en Y:y cinri6!i<<:'Qh~t'ri~te d en' 
ac. Esto es, si x E ac, entonces f(x) =a. Por tanto, ¡-1 (y) =;{y}si'y·~ a y 
¡-1 (a) = ac. -Esto muestra que f es monótona. . .. "'· ,._._.;: 
. .\hora bien. para mostrar que J(S(p)) et Y -f(X - scb)).'yj(SCp)J % 
S(f(p), es suficiente con hacer ver que a E J(S(p))n J(X - S(p)) -S(f(p)). 
Parn mostrar que a E f(S(p)), notemos que c. es· un elemento ele X tal que 
f (c.) = a. Afirmamos que e E S(p). Para mostrar esto, sea A. E C(.Y) tal· 
c¡11•.' p. e E A y sea (cn)n C .Y tal que Cn -+ c. Como p; e E A resulta que 
pa u oc e A . . .\demás, si tomarnos e > O tal que Bx (€,e) e ac-:{ a} entonces, 
como e,. -+ e, existe JV E N tal que e,. E Bx (€,e) para cada n ;::::: ;V. Luego 
e,. E ac - {a} e A para cada n ;::::: iV. Definamos An = .;-\: para cada n < iV y_ 
.-l,. = A para cada n 2::: iV. Entonces A 11 es una sucesión de subcontinuos de 
X tal que p, Cn E .-1,., para cada n E N, y A 11 -+ A. Esto prueba que e E S(p). 
Por tanto, a E J(S(p)). 
Para ver que a E f(,'\: - S(p)), notemos que a es un elemento de _,y 
tal que J (a) = a. Además a ~ S(p) en vista de que (an)n es una sucesión 
en .Y que converge a a y tiene la propiedad de que no existe una sucesión 
(A,.),. e C(.Y) tal que p, a,. E A para cada n E N y A,..-+ pa. Finalmente, · 
para ver que a ~ S(J(p)) basta con hacer notar que f(p) = p y que, por lo 
que antes probamos, a~ S(p) = S(f(p)). - • 
Ejemplo 5.9. Ex·isten dos contin'Uos X y Y, un.punto. p E X y una función 
contin'ILa y s-uprayectiua f: X -+Y tal que S(f(p)) .. c,tY.:....J(X - S(p)), 
I(J(X)) <,b J(I(X)) y S(J(p)) % J(S(p)f .-. . ... ·· 
Justificación. Utilizando los mismos puntos_ qi.i_~ definimós en el ejemplo 
anterior, sea ,·:: 
; i ··"·,. '~- -
';'"•'' 
X ~ pb \.Q~~f ::t~&~r;~ ~·'. : .. · • ·. · 
Snpongamos J: X --+_Y es :la coI1stante,Ci'~en·,ab1m,,ientras;que J es un 
homeomorfismo en X -ab. Por'la taii:té;,S~;;;:;,;;y(y,feshoriieom9rfci al abanico 
armónico que tiene por vértice a /(p) '!f pÓr.-pafa ·límite á. 'f(p )a. Entonces 
su (p >) = }--. 2L ';" -.: <:~ ,;(_;_ ~::.·-. / . 
. .\hora bien, en vista de qu~ S(f(~)) _-_;;;;,.Y, para probar que S(J(p)) % 
1· - J(X - S(p)), basta con veÍ" qüe:f(X _: S(p)) es rio vaCío,-lo é:ual se 
5.4. CONTRAEJEMPLOS. 107 
~·· 
ll; b ·.~ .. 
p a 
logra haciendo ver que X - S(p) es no Yacio. En efecto, es fácil ver que 
S(p) =(X - pb) u {p}. Así que S(p) i' 0. 
Z\'otemos ahora que l(X) ~ ,':.( _.::.. pb. Por tanto, f(I(X)) =i Y .-f(p)a. 
Luego, J(p) rf. J(I(X)r Por otro lado, como S(f (p)) = Y, teríemos que 
f(p) E I(Y) = J(f(X)). ··~- .. > ;: 
. · Ahora bien, como S(p)•;;,;(i~~ pb) U {p}, tenemos qu~·J("$cJfr = (Y -
J(p)a)U{f(p)}. Por tarito, a it. J(S(p)), En vista de que S(/(p)):d::y, resulta 
que a E S(f(p)). i·:·; · ·· .· .· • 
Ejemplo 5.10. Existen dos continuos X y Y, un punto p"e;,~ ?)una función 
continua y suprayectiva J: X -t Y que no es monótona en p: y es tal que 
Y - J (X - S(p)) 'Í: S(J(p)). . · .. ···. ;.;. . .. . 
Justificación. UtÜizamos la misma notación dei prirner'.eJ~rnpl<:) y, adicio-
1~almente, definimos d =(~.O) y, para cada n EN, Ci,;"~:(~; 4;.f Considere-
· mos ahora ·· · 
.,-. 
. -· . .,, 
X' = pb U (LJneN pbn) • ·X = X' u bd u (UneN b,.d,.¡) 
y 
Observemos que X es Úo!Ilel:>mo~fo ;a A., por lo cual X = S(p). Además 
X' e Y. Definimos f: X· -+CY- d7 manera que . 
l. f es la' iclenticlacl en X'; 
108 CAPÍTULO 5. PRESERVACIÓN DE LA.SUAVIDAD. 
~· a ... ·· .. ··• .·.·· ~··· · ... ·····22.·"··.········.·.b " •' .·.,. ,. . .. 2 
p .· . ·ª'.'\<.f 'b 
' . ~ 
2. dada n E N, ftbndn es uri.hcim~o~9rfi~~odel arco bndn al arco bnan, de 
n1anera que f(d,,.) =··a~;:.··:;·; ·:~~-:·),/-~· · 
3. Ílbdo es un horneomorfisrno d~l arco: b;~· en a{ arco ba, de manera que 
/(do)= a. · · · 
Notemos que f no es monótona en p, pues Q = pa es un subcontinuo de 
Y que tiene a /(p) y ¡-1 (Q) = paU {d} no es un conexo. Ahora bien, como 
S(p) =X, tenemos que Y -J(X -S(p)) =Y. Por tanto, si Y-j(X-S(p)) e 
S(f(p)), sucede que S(p) = S(J(p)) =Y. Esto indica que Y es suave en p, lo 
cual es falso. Por tanto, Y - J(X - S(p)) % S(J(p)). • 
Capítulo 
Suavidad 
Kelley en 
6 
y Propiedad de 
Hiperespacios. 
6.1 Introducción. 
En esta sección se describirán en detalle, los resultados que se encuentran 
en el artículo [18], así como una parte de los del artículo [14], en donde 
se generalizan los resultados del anterior. En [18] \.V . .J. Charatonik y vV. 
Makuchowski demuestran que, para cualquier cÓntinuo .X, la suavidad de 
alguno de sus hiperespacios,C(X) o bien 2x, implica que X tiene la propiedad 
ele Kelley. Asin1ismo se demuestra que, para cualesquiera dos continuos .X y 
Y, la suavidad de su producto cartesiano _y x Y implica la propiedad de Kelley 
en X y Y. En [18] .J. J. Chara.tonik y A. Illanes generalizan el concepto ele 
hiperespacio de un continuo y, posteriormente, muestran que los resultados 
anteriores pern1anecen vfüiclos en este contexto. 
6.2 Generalización de Hiperespacios. 
Dacio un continuo .x: y un subcontinuo P de X, denotaremos por C(P, .... Y) al 
subconjunto de C(.X) cuyos elementos son tocios los subcontinuos de _..y que 
contienen a P. 
Teorema 6.L Para cada subcontinuo P de ,Y, tenemos que C(P, X) E 
C 2 (X). Nlás aún, C(P,,..-Y) es conexo por trayectorias. 
109 
110 CAPÍTULO 6; • SUA \iID-4.D YP. DE KELLEY EN HIPERESP.4.CIOS 
Demostració~. E; claro qtie P E C(P, X), así que C(P, X) es no vacío; 
Tomemos ahora un. elemento I< ·E clccx¡(C(P, X)). Entonces existe .una 
sucesión (Kn)n en C(P,X)tal que I<n-+ K. Luego K·e C(X) y P CI<n 
para cada natural n por lo que, de acuerdo con el Teorema 1.15, p•:c.1C 
Esto muestra que C(P, X) es cerrado en C(X) .. ..\hora veremos que C(P, X) 
es conexo por trayectorias. Tomemos un elemento [-{ E C(P, JY) y sea .X un 
arco ordenado de I< a X en C(X). Entonces P e J..: e >.(t) para cada-_t E 
[O, 1]. Luego, ,\ e C(P, X). Por consiguiente, cada elemento ele C(P;.X) se 
puede conectar con X mediante una trayectoria en C(P, X). Esto implica que 
C( P, X) es conexo por trayectorias. En particular, C(P, X) es conexo. • 
Si P = {p} para algún punto p de ..-Y, denotaremos a C(P, JY) si~plemente 
como C(p, X). Notemos que C(p, X) es la constituyente .de. p ·en X (ver 
Definición 4.2). :· · ; : ' \ · - ·- -
Una manera natural ele generalizar_.'un poco la-noci'o~ ch:i.hiperespacio, y 
que es la que se presenta' en [i4];:éslá.'siguiente. 1/ ,·.Y: ::'Y:··:. 
Definición 6.2. Un hipere;~d~io de un contin~o• _....(¿_; er\;ü.;;_; ele':¡,¡_~nto_ de 
C(2x). - ·:. ,.,_. - . - -.. _;,_:,,,-. '.-_, .• ,:,-> 
En ot~as palab~as, 11.( ... Y) es un hiperespacio ele X si_?.i(~fS·Z~i(~ll-~üb~:ori~ 
tinuo de 2x. Para cada p E X el símbolo 1-l.(p, X) es el ;utl!ispacici c:l~ 7-l.(X) 
ele todos los miembros que contienen al punto p. _ < ·f '/(:~_~/!• ;; ; : ~ · .-
Algunos ejemplos de hiperespacios son los va conocidóitC(:-\'."); -- · -· 
., - - . ':- (: ·--.. ;.\é, .. ., -; . 
Cn(X) = {A E 2X : .4. tiene a lo más n componerit~s} 
Fn(X) ;== {A E 2x : A tiene a lo más n puntos} 
con la topología inducida por la métrica ele Hausdorff. Baj~· la.S. mismas 
cousideraciones, cada conjunto de· la forma C(P, X) es un hiperespacio -de. 
X. !\""otemos que C(X) = C 1(X), F 1 (X) es homeomorfo 'a X y Cn(X) e 
Cn+1(X) para cada n··E N. . - · :;:: 
• - - • • • .: ··:::,;,_·:,;:>_._·:·:~·,;,\·.::'·~·~Ir~:;~:,:~· 'x·_• • r 
Denotaremos como H 2 la métrica de Hausclorff de(hipérespá:ci0'·22• ·in-
ducida por la métrica de Hausdorff H para X. Una definición qÍie nos será 
ele gran utilidad es la siguiente: · · · .· · · · · 
,- :"::··- -: >·:. ::_.'.~:r -·:".:') ' '." : ., .' '. .· ,.:: • :;- -
Definición 6.3. Si 1i (X).' ~s ún hiperespaci~ de X •Y A, B E 1i(.,X) son tale; 
q~e A e EJ, enÚ~mces un arco·o~d~nad() de A~ B .enri.(X)es'u;,_a función 
continua,\: (o; l] --+ 1i(X).tál que ,\(O)= A; ,\(l) .=:BY ,\(s) s;; ,\(t) siempre 
que O ::; s <: t ::; l. En tal situación, decimos que ,\ erripiez1;t e1;1. A. · · 
Notemos que F 1 (X) e C(X). Más aún, todo ~~co C>r~leria<ló en 2x c¡ue 
~mpiezaen un elemento de C(X), está contenido en' C(X), de acúerdocon 
el Teorema 1.63. En tal situación, decimos que ·C(X) .está· completo . . En 
general, tenemos la siguiente definición. · . · 
Definición 6.4. Un hiperespacio 1i(X) de. X está coTTl.~Íeto ;i F 1(X) e 
ri.(X) y, además, todo arco ordenado en 2x qué empzeza .en· ~n elemento·de 
ri.(X) está contenido en 11.(X). , . , .. · 
A manera ele ejemplo, tenemos también que el hiperespado C,;(xrestá 
completo, mientras que Fn(.Y) y C(P, ..-Y) no lo están, en vista de que los 
arcos ordenados en 2x que empiezan en un elemento· de Fn(..-Y) no ·están· 
contenidos en Fn (X) y, además, F 1 (..-Y) no está contenido en C(P, xr 
En el siguiente resultado mostramos la relación entre la suavidad de un 
hiperespacio que está completo y la propiedad de Kelley. · 
· __ - __ , ·, 
Teorema 6.5 ([14, Teorema 2]). Si ri.(X) es un hiperespaciO f;[e,X Ju~, es 
suave y está completo, entonces X tiene la propiedad de Kelley.\ , .. 
··- '" , ... 
Demostración. Para probar este resultado utilizaremos!a ca~·a6't~riz~Ciód • 
de suavidad en términos de epsilones y del tas (ver Teoremá 4.6)':. Su:pÓ1igam'os · 
que ri.(X) es suave en un elemento PE ri.(X). '•• .,· ,,~,:.'·.,,;. .· 
Sea€ > O. Como 1-l(X) es suave en P, existe ó > O tal ~hE! s(.;i;.~{e;ri(-:Y) · 
son tales que H(A, B) < ó y A e C(ri.(X)) con P, A'.E':A.;ieritonces.existe 
B e C(rt.(X)) tal que P, B e a y H 2 (B, A) < ~: Sin p,erd'er:·g~neraÜdad, 
podemos pensar que 6 < ~- _;;:•r;J:: ·;~~.::;;~~~~i,. ·::,' 
Sean a, b E X tales que d(a, b) < J y .4 E. C'(ci;:.,~)'!;f'K,16stt~rer!los que 
existe B E C(b, X) tal que H(A, B) < €. Para esto~pusiclerare~os dos casos. 
Supongamos primero que P ~· .4. E~torices C(P, X) nC(A.) = 0. Para 
ver esto supongamos que, por el contrario, existe un elemento e en dicha 
intersección. Entonces P e C e ~4, ele donde. P e A. En vista ele que esto 
·112CA.PÍTULO 6. SUA.VID.4.b;);·p_ DE';f(:E.Li,EY·ÉNHIPERESP.4..CIOS 
. es. una . contr~dicción, los . subcoujuntos.;:~~r~~dbs C.c P?y)\). cL~) :lfo '.2-~; ~on ( 
· i:Í.jenos ... Poclemos suponer, por consiguie'rite'; cíuela:distanéia éntfeC(P;X) . 
y C(A.) es mayor que e. De esta rrianerá.:ten'ernós:que >• .. · ... · .... ··. . 
1) si P' E C(P, X) y A' E C(A), e11t-~pc·~~'~(.i;,, .41
). 
Consideremos, en 2x, arcos orcle~ados :X 1 ; ~2 y >.3 de {a} a A, ele A a X 
y ele P a X, respectivamente. Sea ._A.;.,,. ,\t,U ,\2 U >.3 • Como .4 E ,\ 1 n >.2 y 
X E ,\3 n (>. 1 u ,\2), resulta que A es Úu elemento de C(2x). iviás aún, ,\1 u ,\2 
es nn arco orclenaclo de {a} a X én 2X; En vista ele que 1l(.Y) está completo, 
{a} E 1l(X), de modo que ,\1 U ·,\2 ' e ·1-l.(X). De la misma manera, como 
P E 1-l.(X), tenemos que >.3 e 1-l.(X). Por tanto, A e 1-l.(X). · 
De lo anterior, tenemos que {a}•Y {b} son dos elementos de 1-l.(X) tales 
que H({a}, {b}) = d(a, b) < ó. Más aí1n;Ae C(?-l.(X)) y P,A. E A. Entonces, 
por la suavidad de 1-l.(X) en p,' existe B .E C(?-l. (X)) tal que .¡:>, { b} •E . . B y 
H~(A,B) < ~- ...... ': ¿·>:. ·>;.'; .... ~/ .. .... . 
Consideremos ahora el·conjtmt6 ?o '.~.B[l'1V(f,~{);/Afiri_na~Ós.;que · .. 
2~a=: ::::~•.b::~:::::~Ji7}~ªj'.~~l~¡¡~!~J~lf ii~~~~iÁ,,tal 
que H({a}, {b}) < 8 <f. Por tanto{b}:e/3ó:-.:t:)J~o.r~'il:)i~~•'/>,·~~;·u11~elemento> 
ele By, si P E Bo, entonces P. E j'V(§t-'i)iP<;>f lo"cíúeJ:[(-f'!~~'.}é~.f¡:i~rá:alg~n 
A' E ,\1. Esto contradice 1). Luego;':P .E:B.~60 .•_Esto prueba:2):: '· 
, : -. :·'··> , . :·--· .-... ;~.~~-:,. ·.~_-:.¡. "·,.·: -·,.- -.r,~· ;" . :.·-~:·. -;·- -.<·:: ;-_~ .... --·> . 
Supongamos ahora que C0 es l~·~;;ri;,p~~é~~~ ª<{b}. 
Sea C = cla(Co). Afirmamos que .. .. .· . · ... -' 
3) en fra(N(fr, >.1)) ~ 0. 
Para. ver e8to, notemos que cci e~ ÍJ.ii~ c8mponénte del si.ibcofijuntci propio 
y uo rn<.:io Bo del continuo !3. Entonces; por el Teorei'na:LSO; ch fr8 (Bó) ·~ 0. 
::"otemos que: ' . · · · · ·· · · . 
0 # 
e 
e 
e nfra(B~) . " 
g ~ ~~c~1~c~~ ~1: ~~B~ ~::~~ j~~/a:i~B 
en cls(N Ct· >.1)) n ds(B-N (f.,X1;) , 
Cnfrs(N(3,,\1)) . 
6.2 .. GENER.4LIZACIÓ1'(.p~,;fr{1~~SE~pI()S.: 
.. ;:,.;> ;.-'\;', ~, ·-
113 
Esto prueba 3)~ De a~ue~db.cori :~stÓ; pbd~~os tomar un elemento L E 
en frs(N(5,>.1)). Notemosq1Íe<' · •'.< · · 
.•. L··i~1f:,g:5: 1~'(f•/<l~·.·,····:· 
de donde existe K E A tal: que #.(I<, L) <;=~. f :. En vista ele que A = ,\ 1 U 
,\2 U ,\3 tenemos que I< E ,\1 U.,\2 U ,\3, Supongamos que K E ,\3. Como L E 
frs(N(f, ,\ 1)) tenemos que B(5; L)n'1y(f, ,\~) 7'= 0.Tomemos un elemento R 
en dicha intersección. ComoR E 1V(f;',\í}e:idste.-10 E ,\ 1 tal que H(.40 , R) < 
f. Luego ·· · ·· ·· · .· 
€ € € 
H(K, .40 )::; H(K, L) +H(L, R) +H(R,Ao) < 3 + 3 + 3 = t:. 
Tenemos entonces que I< es un elemento de C(P, .Y) y .40 es un elemento 
ele C(A) tales que H(K, A 0 ) < e. Esto contradice 1). Por tanto, K <t ,\3 • 
Supongamos ahora que K E ,\¡. Entonces L E N(f, ,\1), contradiciendo el 
hecho de que LE fr6 (N(5,...\i)). Por tanto K <t ,\1 y, de esta manera, resulta. 
que K E ,\2. Luego 
AcI<cNG,L). 
Definamos ahora B = LJ e, Como {b} E C n C(X), por el Teorema 1.22, 
resulta que BE C(X). Además b E B·yL CB; Por tanto 
existe A1 E ,\¡ 
Hemos probado.que:.D.c.JV(€;·)ly;;para cada DE C. Luego Be N(e, A). 
Por consiguient~~~'.H,<.4,'.j3):~l~F;\{N >c::·;·.i:: r ; : '. : .·· . . . . . . . 
114 CAPÍTULO 6. .SUA. \iID."4.DYP.'DE XEtLEY EN HI¡:>ERESP.4.Cios 
·:·_'.;/~: ~-,.... :>.,;:<··:· 
4) C(A) C1i(X). .~;.;. . . ···.·. ·:~ . ' .,,, ·' ' · ... 
Para ver esto, sea ME C(A)y fijemoit'.iI1·~~~iio ~·~!·,v.f:.To~1~in6~;Jri'~ic(). 
ordenado A de {.r.} a M en 'Í.~'. En vist·a ele que(H(:,,Y)~.estácofiipl~to; resulta . 
que {:z:} E 11.(X) y, por consiguiente,,\ c:'fi(X): En p~rtiCular Al E 11.(X). 
Esto prueba 4). · ·· · ' · · · 
!\" otemos que {a} y { b} son dos elementos ele 1i (X) tales que H( {a}, { b}) ·~ 
d(a, b) < ó. i\Iás aún, por 4), C(A) E C(1i(X)) y, además, P, A E C(A). En-
tonces, por lasuaddad de 11.(X) en P, existeB E C(1l(X)) tal que P, {b} E B 
y l-h(C(A),B) <~<f. Hagamos E= LJB. Como {b} E Bn C(X), por el 
Teorema 1.22, tenemos que B E C(X). Además b E B. Afirmamos que 
5) H(.-1, B) < f. 
Para ver esto, tomemos un punto x E A. Entonces {x} E C(A) e N(t:., B) 
por lo que existe B 0 E B tal que H(B0 , {x}) <f. Notemos que B 0 e E por 
lo que {x} C N(t:.,B0 ) e N(t:.,B). Por consiguiente, x E N(é,B) y, de esta 
manera, A e iV(t:., B}. Supongamos ahora que L E B. Como Be N(t:., C(A)) 
existe A.o E C(.-!.) tal que H(.40 , L) < t:.. Luego L e N(t:., Ao) e N(t:., A). 
Hemos probado que Le 1V(t:., A) para cada L E 13. Por tanto, B e 1V(t:., A). 
Por tanto H(A. B) < f. 
Por lo tanto, concluimos que x: tiene la propiedad de Kelley. • 
. ..\.hora bien, ya que los hiperespacios 2x y C(.Y) están completos, el si-
guiente resultado es consecuencia inmediata del teorema anterior. 
Corolario 6.6 ([18, Teorema 1)). Si el hiperespa~io 2x o C(X) es suave, 
entonces .\." tiene la propiedad de Kelley. 
6.3 Espacios Producto . 
...\.continuación presentaremos el segundo resultado dél ~~r~ículo (IS, Teorema 
~- .. . . ·~~ . 
Dado un número finito de espacios topológicos {~Y1;-Y2,/ ..• Y~}. recorde-
mos que la topología inducida por la métrica 'dn,. ~-:x:' defiriidá en el producto 
- - .. .. •=1 •.-- .... -;· ·;:: ·. ·' . . : -finito TI~ 1 -Y; como: . . . . ..... ·... . 
d (( ) ( ) ) 
•· .· .. ·" ·. dx;(Xi;Y1). 
Il!':: 1,,'\¡ X¡-¡, Yi i = ~i=l 2i 
, ., . •' 
· 6.3. ESPA.CIOSPRODÚCTO . . 115 
es. la mis~a• que•~a~opología producto/~í;que~la utiliz~reuibs ~~.~l,siguient~ 
teorema. · · · · ·· '· ·:·,·:··. :·' ······ ····.·.· · .· · ··· · 
-':-, 
Teorema: 6. 7. Si el producto cartesia~o X x.Y·d~ d},;. cb;.,_iinuó's no degéne-
rados, es.suave; entonces cada un~ X y Y 't·iene'ii' la propiedad 'de"Kelley. · 
. . 
Demostración. Supongamos que X x Y es suave en ei punto (p, q). Fijemos 
u.n punto q' E Y - {q} y sea 80 = d~·<:·q'J _ Para ver que X tiene la propiedad 
de Kelley, sea € > O. Por la suavidad de .Y x Y, existe 8 > O tal que si 
(x1,Y1),(x2,Y2) E X x Y satisfacen que p((x1,Y1),(x2,Y2)) < 8 y si A E 
C(X x Y) es tal que (p, q), (:r; 1, y 1) E A., entonces existe B E C(X x Y) tal 
que (p, q), (x2, y 2 ) E B y H(A., B) < ~- Sin pérdida de generalidad podemos 
suponer que {¡ < ¡ < ~-
Sean x E X, y E ·y, tales que dx(x,y) < 8 y K E C(x,X). Mostraremos 
que existe LE C(y,X) tal_ que H(K,L) <€ .. _Afirmamos q1:1e·· 
·\·:·:' 
1) existe un subconjunto finito.Z = {z1 ,z2 , '.." >, in}.de:K'tal.que, para 
cada k E K; existe i E { 1, 2, '. .. ,n} tal que d(k, zi): < .f; •" '. 
Para. ver e~to'notemos que la familiaU ~. {.8(~,zFz-~j<}:esuna 
cubierta abierta del conjunto compacto K. Entonces, existen z1 ,'z2 ,_ ••.• ,zn· E 
K tales que K C LJ~=I B (~, zi). Tomemos ahora Uf!- pünto k E K. Entonces 
existe i E {l, 2, ... , n} tal que k E B (~, .i;). Esto prueoa 1). ·· · 
Ahora bien, dado i E {l, 2, ... , n} sea 
P; =(X X {q}) U ({z;} X):•") U(/( X {q'})-
Es claro que P; es un subconjunto cerrado y no .vacío de X x Y. Como los 
conjuntos X x {q} y {z;} x Y son conexos y tienen en común al punto (z;, q), 
resulta que (X x {q}) U ( {z;} x Y) es conexo. Dicho conjunto y el conjunto 
conexo J( x {r¡'} tienen en con1ún al punto (z;, q'). Por tanto, la unión ele ellos 
es conexa. Esto muestra que P; es conexo. Notemos qüe (p, q), (z;, q), (z;, q') 
y (x, q') están en P;. Además 
(( ') (. ')) _ dx(y,x) + dl'(q',q') = ~ < ó. 
p y, q ' x, q - 2 . . 4 . . 2. 
116 CAPÍTULO 6. SU.4-\lID.4.D YP.éDEKELLEYE1YHIF:ERESPAq1os -
Tenemos entonces que (y!q') Y,(xiq'.).son•d~s elemenios de.-~;).~ic~~'.a··· 
distancia es menor que c5. Ademas P; E C(X x }") _tal'que (x;'q'),·(p; q).cE:P¡. 
Entonces, por la suavidad de X X y en (p, q), existe· Q{E C('.'Y x.J~) tál~que 
(y, q'), (p, q) E Q¡ y H(P,, Q;) <f. Afirmamos que::;:/ - ·· · :: · :·;e:; •, 0\;~.~.:." 
,-'-:: ;:~.~·~;¿~:_ :\..< > -;·.~~- ~:-:: . :_,;~<~~\~'.-~<' . 
2) Nxxd~, [{ x {q'}) n Nxx\·(~, X X {q}) = 0'.~, <:),'·,,:' ''\><· : .> 
En efecto, si esto no es así, entonces existehii·:~~ii{i>':(#{;·,#;i2~¡-~1~':d·úil1te'i-~ · 
sección en cuestión. Sean k E J( y Xo E X tales 'ciueó:p-((für;;'fng); (k; q')) <- ~ Y 
p((rn 1 , m 2 ), (;¡:0 , q)) < ~- Entonces, por Ja de¡;igilald~d,.cl,~Ijri~p:_gulo;.·tenémós 
que p((k, q'), (:I:o, q)) <e. Por otra parte, ·. · ?·.-·: •(; _:;;\_, .... "·, •. 
· .. >,' . .,·, -~-~-:;:;·>_,, , ·.::-~ -:'~ 
Jo cual es un absurdo. Por lo tanto 2) es é:ie~tc>:::,: .... 
. · _..,_:;'<:·-
Consideremos el conjunto I<¡ ~ Q~ n Nx'x?({K x {qi})'.. Note~os que 
(y,q') E Q,. Ademas (x,q') E I<.x{q'}yp((y,q'); (x,q')) < ó <¡.Entonces 
(y,q') E NxxY(t,K x {q'}). Luego (y,q') E J(¡; Sean·c; JacoIIl.ponente de 
K; que contiene a (y, q') yLi.=:.cl,'-'~y(C;). Entonces L; e Q; e Nx~y(f, P;). 
Notemos que K; es .un sub.conjunto propio y no '\/'ªcío de Q;. _Para ver 
esto, tomemos un punto k E !(.<'Entonces . 
. • , dx(P, k) . . . 
p((p,q), (k,q) = 
2 
+ óo >e. 
Por tanto, (p, q) ~ NxxY(f, /( x {q'} ). En particular, C#;'q);~ I<;,Teriemos 
entonces que C; es una componente del subconjuntO pro¡)ioy;ne>'vacío:K; ele 
Q;. Luego, por el Teorema 1.80, podemos tomar un~í)urito ·x¡ ~ (xi,·x~) E 
L; n frQ; (K;) =/= 0. \ ,j ,.\ : " ,· 
p(x::Jº <xÍ ~.~;. ~··f "<}~rl :;~~5:;Ji~/~~~i~ii}~f F¡~eiif; iru que 
w; E_ (~\'.;x {q}} UJ{z;} x_>rJ u,(K,:x.:{q} ) .• · ·. 
Su pongamos: que .l1J.,'~',Y;~_~{d}_'. ~gt~in6~}~~i;~.~;,_J4') : . • ... 
,·'.;.::• _:J ~.• '.,'?'.-t ,r'.: .. -C.:- .<:; ~:·':_· . ': 
6.3 .. ESPACIOS,PRODU(JTO. /· , , . ll'i'. 
Como p(xi, w;).'.'S ~·Y~U}i e:x ~ {<J} i:~~ult.~;qu'~ ~~E ivx,(y(~, ~x- ~ {q}). 
Luego ·· ' . ' · .. · ··.• '•.( ; ) '; ·~ ':::~/<;';: .~Y;,.' ;<~>' '. , > '' . • '. •· · 
,.Nxx1c(i;k;><}q'~),.:,R~;¿~EF~·;s~~:~'.t .. }ql).;.~.0 .. ·•.•···········.·· .. ···.···.··. 
Esto contradice 2). ,Suponga'inos'ali6ra.c:{l1e '1U; 'ev{' X { q'}. Entonces, como 
p(x;, w;) < ¡; res1ilta cii.le. x; ~·é:N,~~;;cf;'K::x; {i:]'} kAc!einás x; E L; e Q¡. 
;;~~:,}'. x~,~.1~~n;.d1?.~~;}~l«t~f~i~f t.'~~¡~~·,!~':,•·! 
(zi,w~). .·.::{ .i·;;,::·-.::;;-~:~·:',;~;:;:·;.· :~'-\:·:_:~ _.~., ·.- . .-'../;~::: .. =· ·- :· .. 
Supongamos que 7T: X X y --+ --~·, l~ ~r~;·e~c;;i~_,•S~br~~la'p~i:éra coorde-
nada. Notemos que: ' · ··''' ··;;• ,· .. :·:)'\"·· r.,:. ~-·> ' 
:>~~-\ . : "·-· ,.. ~; ·- ' -,., . -
" 'd~(f~}i;;~{' \. 
·p(x;,w;) =-=-='-'--_o..:__:.:.. T, ,,, ·.··.•4•c··-·-.C.~ 4 
entonces dx(~j ·=•l < ;f. 
.·;~ . -'':'-
- . -, ":' < ~- -.- '. ~ - -. -., -
De lo anterior tenemosque xt es .un punto de r.(Li) tal que: 
- --· .-.. 
dx(;L z;) < i .· (6.1) 
Consideremos ahora el conjunto: 
L = 7T(Li) U 7r(L2) U··· U 7T(Ln)· 
Dada i E {1, 2, ... , n}, 7T(L;) es un subcontinuo de X. Además, (y, q') EL; 
por lo que y E r.(L;). Esto muestra que Les un subcontinuo.de _,y que tiene a 
y. Haremos ver que H(I{', L) < E. Para esto, supongamos primero que l E L. 
Entonces l E 7r(L;) para alguna i E {l, 2, ... , n}. Luego, existe l' E Y tal que 
(l, l') E L;. Como: · 
L¡ C Nxx1·· ( ~,1( x {q'}) , . 
llS C.4. PÍTULO d.' 'SUA VTDAD y?.' DE J(ELLEY EN "HIPERESPA.ÓióS 
··', : .. -- .·_ .. 
cxist~•k E .. K.tal C:1i~e ;~((t;Í'), (k;(j')f <.,f ·Es'tó ·¡I1;¡Jü6~'(¡Íléd.~(i/~j ~'~,:-por 
lo cual l E Nx(E; K). De.esta iiiancra;L ~ 1Y_.'-(~,1<)> ·, ,; (: , , · · ; 
c~:?ZSf~jzf 1if~~~:~;¡¡~~•t~Jiilti{;Í~l1 ·~~~,;
1 
Adcirn1s,xi.: E :r.(Ei) .· CLi;~orlO: t<irito k/Ei1V,y (E.(L) y;•:de ésta:manera, 
, ~~º ~ie¿~~'ct<.~f i<rn!~~'.,.~:~.é~f;.q\Wf¿<{~·-f J/,rt}.€;J}:'~;t~;J.~1~:'/ ~-~e· ;'f, ti en~ la 
La prueba de q~fr:Y tie!l~ l~ pr'opieclricl cleK~He~>es tothlrnente análoga. 
' ' . - .. '. ' . 
Capítulo 7 
Propiedad de Kelley 
Hereditaria. 
7.1 Introducción. 
En este capítulo estudiaremos la clase de los continuos tales que todos sus 
subcontinuos poseen la propiedad de Kelley. Diremos que tales continuos 
tienen la prop·iedad de J( elley hereditaria. Esta noción fue introducida en 
[l] y, posteriormente, estudiada en forma sistemática en el artículo [3]. En 
lo sucesivo, describiremos en detalle algunos resultados de [3]. El más im-
portante de ellos es el Teorema 7.5, en el cual se caracterizan los continuos 
hereditariamente localmente conexos, en términos ele la propiedad de Kelley 
hereditaria generalizando, ele esta manera, un resultado de S. Czuba. 
7.2 Definición y Ejemplos. 
Definición 7. l. Un contin'Uo X tiene la propiedad de K elley heredita-
ria si cada subcontin'Uo de X la propiedad de Kelley. 
Es claro que si X tiene la propiedad de Kelley hereditaria entonces X 
tiene la propiedad ele Kelley. Recordemos que el abanico armónico A. tiene 
la propiedad de Kelley. Como As contiene un abanico armónico con pata 
alargada, resulta que A .• no tiene la propiedad de Kelley hereditaria. El 
continuo seno ele ~, por otro lado, tiene la propiedad de Kelley hereditaria. 
Notemos que si .'( es un continuo que contiene una copia homeomorfa 
119 
. . . . ~ - ' 
120 . CAPÍTULO 7. PROPIEDAD DEKELLEY:HEREDIT.4..RIA .. 
del cuadrado [O, 1)2, entonces X no tiene la propiedad de. Kelléy hereditaria, 
pues en dicho cuadrado podemos encajar una copia ele un abanico arinónico, 
Daría entonces la impresión ele que todos los continuos con lá. propiedad ·de 
Kelley hereditaria son flacos, es decir, tienen dimensión L ; Est'o nó es así 
pnPs, en vista de que los continuos hereditariamente indescomponibles .tie-
nen la propiedad de Kelley , dichos continuos tienen la propiedad de Kelley 
he1·ecli"taria. Además, en (5] R. H. "Bing probó que existen continuos heredita- . 
riamentc indescomponibles ele cualquier dimensión. Luego, existen continuos 
con la propiedad ele Kelley hereditaria de cualquier dimensión. · 
Supongamo:' ahora que _y es un continuo y que Ps es un subcontinuo de 
x:. Recordemos que P. es un seudopeine en )( si Ps tiene la forma 
(7.1) 
en donde 
a) A. es un subcontinuo de _,Y; 
·, ·:.:: - . ·' 
b) para c.acla n E N; a;.bn es un, arco· en X qu_e une los puntos an y bn de 
X y, además, anbn n A =:_{bn}; 
c) los arcos a1b~, a2,·~;; .. '.;a~b"~; .:son ajenos dos a dos; 
el) anbn--+ Ao E C(A), an;+. ao~EAo, bn--+ bo E .-'lo Y '70 i= bo. 
' . 
En el siguiente resultado; ·inostram~s que los seudop-~ine!i no tienen la: 
propiedad de Kelley he_reditaria_. · - . ·. '• 
: ..... 
Teorema 7.2. Si X es un continuo her.editariamenté conexo poi: tr.ayectorias. 
y Ps es un seudopeine. en· .Y, entonces Ps nó tiene la -p'.ropi~dcú,l de .K eÚey 
hereditaria. • ·., ,;;, ; :;•'..'<·(~¡ ;.~r;<:. ,,, ,, 
Demostración. Suponga~os que P. tiene la'.'form~cl~sbri_ta·~~j~:iY,'~~''aori~ .· 
de A. y cada conjunto anbn satisfacen a)-d) ... Supongamos, ad.emás;'._que P. 
tiene la propiedad ele Kelley hereditaria. Comcí.A.0 es Úi(súbcoritiiltíi(de ~\."', 
tenemos que A 0 es conexo por trayectorias o, equivalentemente, _cónexó pór 
arcos. Por tanto, existe un arco °': (O, l] --+ -40 ele a 0 a b0 • 
. . . : .. .. \; ... 
7.2. DEFIN1c}Ó1Y·Y·EJE;VIPLbs~ .• ~ · · 
•;v,',•, '.·•' :,:-:_'.' 
. 121;. 
. .;.;'.·"·'e'' 
Sean co '=:a(k} f'dci: ='.'ci( ~)'. ;poajo P; ti.en~_I~-p.ropi~dad de J<iúe}· ·eI1 ao . 
y ªn ~. ao;• existe .una sÚcesión'.'cDn)i..éíí. C(Ps)}al· c¡úe·a,; e:D~; para: cada 
-~ :-····. ·, ·-·. - . ',,,._ ? .. ~·--. -· .-.. · ·':'7" ... _-'0- -~ - ···: ',_- :;-;--·- - ,- _ _,-_ ; :-·»·· - ~--- 2 ":"' ·-. ·' ·-~-> ~"-:-: ., - . .- ""-~· •·:<- -~ :>·· 
Ti .E N,>Y ,9n :::;+;):t([O, 3]),<Xa f!U.~'.bo:7.:~(l),~Et; ~(((); 3]); ex1~.te E•?: O ,tal que , · 
. A<lem~J0~~f i'~1~~i~~~~k~~¡i{li~~~~~~~~j~iiji,~~;'~,~~\{t:~·· 
b,. E B(e; bo) y.H(.l)n;o,((D,, 3)))-:='·e1 ~an1c~c1a;~ ;:::~;'.:;:1z.firn1ar11osque ··· · .. 
1
:.:: ,:e •:.:.~~{:~:i'~!~ti~~~~f:Jtf [~,:f :~(~~?[~.·;¡)¡ .Pac lo 
que existe X .E a((O, ~]} taLqu~ d(bn~x);< . .::; Luego1x ea([O, 3]) nB(e, b,;,) y 
como · · .. < .. :~ -- .. " ,--~,-· \--F~~- ,··-~~\_~ . ..::~¿~-·::.::.,_¡~-· ·.-;·.::,;::·· · ·.,<'.:. 
·~:~;,,,.>r) .. :: :·:",;.;: .. ;::. ~-) ;-, .... ·. ,, 
d(.X;bo)· ~· .. a@; tf:) ;tA(l,~;kd)~~f~i-Ht= 2",, · · 
tenemos que x E a([Q,·~])QB(2e,~b~fcofitra'dii:i~ri~~ '(/.2).:'P~r tanto bn ftDn. 
de donde Dn e Ps .::.·. {b,:.}; Ahoia·bien, por ~l .Teoremá .1.79, ·. · 
·.·· ... ;js'~:)ibf;·g.(an;blt•~.·{bn;;-J;(;s, 2~~n·¡J)·,',, ...... · 
es una separación de P. - {b~}. Más aún, an E lJ~ 'A (anbn L :{bn}) y Dn es 
un subconjunto coriexo de Ps - {bn}· Luego Dn C anbn·~ {bn}.;Esto prueba 
1). . . . 
Como e = a(k) E o([O, ~]) y la sucesión Dn. "-+ ~([O, ~J), existe una 
sucesión (cn)n en Ps tal que e,. E D,., para cada n E N, y e,. ::...:+'c. Entonces, 
por 1), e,. E a,.bn - {b,.} para cada n ~ N. Por tarito;. dadan;:: 1V, podemos 
hablar de los subctrcos anCn y c,.bn de anbn. ' . 
Consideremos el conjunto 
Z = A u ( LJ c,.b,.) . 
n~,v , 
Como c,.bn C anbn -t Ao C A C Z y A es cerrado en P., resulta que Z 
es cerrado en P •. Es claro que Z :¡, 0. Además cada conjunto cnbn es conexo 
e intersecta a .-1 en b". Luego Z es conexo. Por tanto, Z es un subcontinuo 
122 CAPÍTULO 7. PROPIEDAD DE KELLEY HEREDITARIA. 
de P 5 • De donde, Z tiene la propiedad ele Kelley en e y, como (Cn)n>N es una 
sucesión en Z tal que Cn -:-+ e y los subcontinuos á((O, &D y c.((k;~]) ele Z 
contienen a c, existen dos sucesiones (En)n>N y (Fn)n>N ele subcontinnos de 
Z tales que c,. E E,. n F,,, para cada n 2:: N; En-+ CT((O, &D y F,. -:-+ a:([k, ~]). 
una demostración similar a la realizada para ver que 1) es cierto, se puede 
efectuar para mostrar que existe i''Í 2:: iV tal que F,1 U En C anbn - {bn} para· 
cada n 2:: 1,l. Afirmamos que: · 
' ' 
2) existe m 2:: .U tal que ninguno .de los conjuntos. Em,F.h'.Y. d',,,c;,; está 
contenido en la nnión ele los otros dos> ·· · · · ·. ,>:, .. f" '· · · 
En efecto, como ªº = O!(o) f/:. ~n&; ~])jº dó·~: c.(~)· f/:. o;(¡<l,ti)'~~i~t~.ó~ O 
tal que: /i ·. ~-· ' > \:··•<:.o;,. ·;: 
B(2ó, ao) na ( [~. ~] J='.0 =Bbó,.do) n ~([o.~]). (7.3) 
Aclemás, como Fn -:-+ a([k, m. En -+ CT([O, &D. Cn --+Coyª" ---(ao, ~xiste ' 
m 2:: Al tal que H(Fm, c.n&, ~])) < J, H(Em, a([O, &m < ó, d(c:;,;; co) < óy. 
d(ctm, ao) <J. Luego ao E a((O, &D e N(ó, Em) y do E a((~, Wtc N(ó,Fm)· 
Por tanto, existen u E Fm tal que d(u, do) < ó y v E Em tal que d(v; ao) < J. 
Si arn = C,.n, entonces: 
d(ao, co) $ d(ao, am) + d(am, co) = d(ao, am) + d(c,,.., co) <: Ó + Ó = 2J ·· 
luego c0 E B(2J, d 0 ) n a([O, &D. contradiciendo (7.3). c¡\hora bien si al71 E Em 
entonces, como Em C Z y amcm n Z = {c711}, resultá que cim ==· ~ lo.cual 
es una contradicción. Luego, am f/:. Em. De manera similar· ténernos que 
ª"' ~ F m. Por tanto, am E amCm - (Em U Fm). . 
Si LL E Em entonces, como Em e N(J, a((Od])),'exi,¿te X E O!([O, rn n 
B(6, u). De esta manera: 
d(x, do) :::;A(:z:, 1tt-i- ~(1i,d1>} <oL o'= 2~ 
lo que significa que x E a([O¡}]j'n B(2,ó, d) cdiitradiciendo (7.3). Entonces 
1L f/:. E,,.. Si 1L E amCm entonces, comú'u É z y a~c;.;. n z:::: {cm}~ resulta .que 
u = e,.,.. Por tanto · · '· · · · · ·· · · · · 
7.3. REsui'T.4.nos ;fJNDA~W;;iVT.4L_ES . . 123 
d(co, do) $ ;l(c~, cm)+ d(L, d~Y;L d(c(Jc,;,) + d(u, do) < ó+ i5 = 2i5. 
Luegoco E B(2i5, d0 ) no:([O, k]), cgntradiciendo (7.3). Por tanto u rt a;,,cm 
y, de esta manera u E Fm - (Em U a,,.cm). De manera similar, podemos 
demostrar que v E Em - (F.n U a;nCm). Esto prueba 2). · .. 
Tenemos entonces que Em, Fm v amcm son tres subcontir{uo~·.:d.e( arco 
a711 bm que tienen en común al punt~ Cm y satisfacen que ningu.no de estos 
tres conjuntos est1i contenido en la unión de los· otros dos. Como esto es 
imposible <le realizar en un arco, tenemos que P. no tiene la propiedad de 
Kelley hereditaria. • 
7.3 Resultados Fundamentales. 
En esta sección mostraremos que los continuos conexos por trayectorias que 
tienen la propiedad de Kelley hereditaria, son hereditariamente descomponi-
bles. Para esto, necesitaremos del siguiente resultado, el cual nos presenta 
una manera de detectar puntos de conexidad en pequeño en un continuo con 
la propiedad de Kelley hereditaria. · 
Teorema 7.3 ([3, Teorema 2.3]). Sea X un continuo coii.fr1 •. i/:r~pied~:d.'.d.e 
Kelley hereditaria. Si A E C(X) y/ es un arco en X con un p·unto extreTfl.O 
p son tales que A n -¡ = {p}, entonces A es cik en p. . .. 
Demostración. Si A.= {p}, no hay nada que probar. Supo~'ga.J¡Ci~·~~to'n'ces 
que A~ {p}. Sea B =A. u -y. Como B - {p} =(A':::: {p})Ü(y.:.:. {p}), 
cl(A - {p}) n (-1 - {p}) e A n ('Y - {p}) = 0, (A-:- {p}}r;i'cl(.Y·-:- {p}) e 
(A - {p}) n r = 0, A - {p} ~ 0 y 'Y - {p} ~ 0, tenernos que p es un punto de 
corte de B. Por hipótesis, B tiene la propiedad deKélley.',Pór:ebTeorema 
2.9, B es cik en p. ·· ., '.,'• ·<: ···;' · ·· · 
Para ver que A. es cik en p, sea € > O. Coino e''es ~~ik e!l p~ 'exi~t~ un 
subcontinuo i'vl de B tal que: ':<.' ,,. .. : '•• · ·· ·· '• ' 
... 
124 CAPÍTULO 7 . . PROPIEDAD. DE KÉLLEYHEREDIT.4.RIA. 
Por tanto A es cik en p. • 
Teorema 7.4 ([3, Teorema 2.4]). Si X es un continuo conexo por trayecto-
rias y con la propiedad de Kelley hereditaria, entonces _,y es hereditariamente 
des componible. 
Demostración. Como .Y es conexo por trayectorias, por el Teorema 1.86, 
X: es clescomponible. Para ver que )( es hereditariamente descomponible, 
sea A un subcontinuo propio y no degenerado de X. Si A es conexo por 
trayectorias entonces, aplicando de nuevo el Teorema 1.86, tenemos que A es 
clescomponible. Supongamos, por tanto, que A no es conexo por trayectorias. 
Entonces existen dos puntos p, q E A tales que ninguna trayectoria de p·a q 
en .Y está contenida en A . 
Como _,y es conexo por trayectorias, .Y es también conexo . p'or '.arcos. 
Luego, existe un arco 7: [O, l] -t X de p a q. Notemos que -y no essubconjtir!to 
de .4. Tomemo.s un puntc;i :...¡(t0)" ~ ~¡ - A y sea · · ·. · ·· .. ·· 
· ... t1 .~.:~¡·n{~í:ii[to';if-yW e.·AF ·; ... 
Entorices -y~·= 'Y([tti;· tf])'~~.iirici);~ó·~ri.jf;t~l q~e-y(t1 ) es Jn punt.o extrem~ 
de /'o y A n 10 ~ t;,: {-:-¡(ti)}:~:t;;.tégq/~()1- e(Teorema 7.3, A es cikeri. 7(t1). 
' ... ' :.,,;·:···,,.~ ,./">~'::>'.~-: ,::":( .. ~·~ .. ;,::·;~:.\' 
Tomemos un pt1nto d E ~4\;·{'Htl)}}y ~éa u un abierto en A tal que 
7(ti) E U y a rt cl .. 1(U). Como<A es\cik en -y(t1), existe un subconjunto 
conexo V ele A tal qlle 7(tire int.4.(Y) e V CU. Entonces clA(V) es un 
subcontinuo propio de A con interiór .. no vacío y; por el CorolarioL71, A es 
descomponible. Esto prueba que )( .es. hereditaria.mente descomponible. • 
7.4. EL TEOREMA. PRINCIPAL. 125 
7.4 El Teorema Principal. 
Recordemos que un continuo.'( es hereditariamente localmente conexo si cada 
uno de sus subcontinos es localmente conexo. En vista de que los continuos 
localmente conexos tienen la propiedad de Kelley (Corolario 2.7), tenemos 
que los continuos hereditariamente localrnente conexos poseen la propiedad 
de Kelley hereditaria. Xotemos, adeuuís, que todo continuo localmente cone-
xo es conexo por trayectorias ((37, Teorezna 8.2:3]). Por tanto, todo continuo 
hereditariamente localmente conexo tienen la propiedad ele Kelley hereditaria 
y es conexo por trayectorias. A continuación, mostni.remos que el recíproco 
de dicha afirmación también es cierto. Denotaremos por I al intervalo (O, 1] 
ele la recta real. Recorden1os que si .-1 es un subcontinuo de X y p E A, 
entonces I<(A, p) es la composante ele p en A (ver Definición 1.83). Recorde-
mos también que un subcontinuo F de .-1 es terminal en .-1 si para cualquier 
subcontinuo B de A que intersecte a F resulta que Fe B o Be F. 
Teorema 7.5 ([3, Teorema 1.1]). Un contin·uo .X es hereditariamente 
localmente conexo si y sólo si X tiene la propiedad de Kelley hereditaria y X 
es conexo por trayectorias. 
Demostración. Supongamos que .)( es conexo por trayectorias y tiene la 
propiedad de Kelley hereditaria. Entonces, por el Teorema 7.4, . .-'( es he-
reditariamente descomponible. Para demostrar que )( es hereditariamente 
localmente conexo, n1ostraremos priniero que )( es hereditariamente conexo 
por trayectorias y, posteriormente, que ;( es localmente conexo. Para tal 
efecto, analizaremos la estructura de los complementos de las composantes 
de ciertos subcontinuos de .'\. 
Supongamos que p, q E )( son tales que p :¡6 q. Por el Teorema 1.82, 
existe un subcontinuo A de x: irreducible entre p y q. Definamos: 
F = {y E A: A es irreducible entre p y y}. 
Observemos que F =A - K(A,p) y que q E F mientras que p ~F. Más 
aún, A es hereditariamente descomponible y,· por consiguiente, es posible 
aplicar el Teorema 1.91 al subcontinuo A. De esta manera, F satisface las 
siguientes propiedades 
i) F es un subcontinuo terminal en .4, 
126 CAPÍTULÓ 7. PROPTED.-1.DºcfJi KELLEYHEREDIT.4RIA. 
. "' · . . : . .., ., . '._ 
ii) si existe y E F tal que .-1. es: cik en ~' eri.t¿nces F ~{y}. 
Afirmarnos que: 
1) F = {q}. 
Para probar esto supongamos, por el cCJntr~rici, que F # {q}. Entonces, 
por i), F es un subcontinuo no degenerado de: A y, por ii), .-l no es cik en 
ning1mo de los puntos de F. Como X es cÓnexo'. por trayectol'ias o, equivalen-
tementE'. conexo por arcos existe un arco 01.: 1...:c+:)( ele p a q en .Y. Por la con-
r.i1111iclad de a y el Teorema 1.87, resulta qt1e. el conjunto { t E l: a(t) E F} 
es c:crrado en el intervalo compacto I, Además dicho conjunto tiene a l. Por 
tanto, podemos considerar: . ' ·. . 
t 0 = min{t E J:a(t).E F}. 
Sea x 0 = a(t0 ). Como p <P. F, tenemos que ,t()·;; o; Considerando un arco 
ordenado de {xo} a a([O, to]) en C(X), es posible'•.encontrar T¡ E [O, to) tal 
que diam(a([r 1 ,t0 ])) <l. Notemos que a(r1 ) <P,F.Afi,rrriamos que: 
(7.4) 
En efecto si, por el contrario, a([r1 , t 0 ]) e A entonces a([ri, to]) es un 
subcontinuo de A que intersecta a F en el punto a(t0 ). Como F es terminal 
en A, tenemos que a([r1 , t 0]) e F o bien F e a([ri, t0 ]). En el primer caso 
sucede que a{r1 ) E F, lo cual contradice la definición de t 0 • En el segundo 
ca.~o. como Fes un subcontiuuo no degenerado de A, existe u E F - {x0 }. 
Luego ·u E a([r 1 , t0 ]) por lo que existe t E [r1 , t 0 ] tal que a(t) =u. Notemos 
que a(t) E F así que, por la definición de t 0 , sucede que t = to. Entonces 
u = a(t) = a(t0 ) = x 0 • Esto es una contradicción. Por tanto (7.4) es cierto. 
De acuerdo con (7.4), existe s 1 E [r1 , to] tal que z1 = a(s1) E a(I) - A. 
En vista de que el conjunto { t E [s1 , t 0]: a(t) E A} es compacto y no vacío, 
pues tiene a to podemos considerar: 
· ·. t1<~ min{ t E [si.to]: a(tf E.A}. 
Sea x 1 = cii(t1).' Comó z 1 <P. A; tenemos que t 1 > s 1• Notemos que 
a([s 1 , t 1 ]) es un arco en X con x 1 C:orúo 'ú:!lo ·ae sus 'puntos extremos y tal 
. . 
. . . 
7.4. ··EL TEOREl'vlA PRINCIPAL: '127 .• 
que a([81, ti]) n A = {xi}. Entonces,.por el Teorema 7.3, A es cik en X¡c y, 
como A no es cik en ninguno de los puntos de F, resulta que x 1, ~ F ... Luego 
t 1 <:to. Considerando un arco orderíado ele {x0 } a a([ti, to]) en C(Xj; es . 
posible en.centrar r 2 e (ti, t 0 ) tal que diam(a([r2, t 0 ])) < ~- Notemos que· 
i·i < r 2 • Además, mediante una pruebasimilar a la dada para .. v'er é¡ue(!-4) 
es cierto, se puede demostrar c¡ue: . ,·• ·.· ;' 
·-, ... _-. ~ ' 
· ªW2, toD et .-1.. 
Por lo tan:to existe S2 E [r2, t~] tal que Z2 = a(82) E 
que 8 2 < t0 . Considerernos :ahora 
. . ... . ' 
t2 = min{ t E [82, to]: á(t)·eA} . .. .. 
y sea x2 ~ a(t2). De nuevo, por él Teorema i.3, Á es cik en x 2 por lo que 
t2 < to. Como t2 > 82 2': r2 > t 1 entonces t 1 < t2, por lo cual to - t2 <::: t 0 :-.t1 • 
En general, supongamos que r1, r2, ... , Tn, 8i, 82, ... , 8n y ti, t 2,. t~··h:an 
sido construíclos con las propiedades enummeradas adelante. Considerando ; 
un arco ordenado de {x0 } a a([tn, to]) es posible encontrar rn+i EÜ~/téift~l 
que diam(a([rn+l• to])) < n~i ·Como Tn < tn, resulta que Tn < r~2¡-i. ¡\demás~ 
mediante una prueba similar a la dada para ver que (7.4) es cierto,·se puede 
demostrar que '· · . 
.(7.6) 
Sea 8n+i E [rn+t. to] tal que Zn+i = a(sn+t) E a(J) :- A . . Notemos que 
8n+i <to. Consideremos ahora: 
.t;..+t:;;,;, n1inft E [8n+l• to]:. a(t) E A} 
y sea Xn+I = a(tn'.f-i)ii:·~~t6úC:~s.'sn+L5 t,;_;.{y; pbr el Te¿reITta 7.3/A es cik 
en Xn+1· Por tarit-O:_~;;i1::·<: .. tó:·Y;)idemás;.·t,t'<·.tn+Í· :: "·.':/:· 
De esta ~aii~r~j ci6li~~~Jíh16it;~5'suc~sio~~-~ (;n)~, 1(8·~)~'y (tn)n en I tales. 
que · · ,; ,., .<: .. e::. • :.::::•.;~. : ::· '"· ';\ "· ,+•.:/::'.. },•J 
. _-_.-\T.:}· :.·:,.,.·;:\.:ºe- -/c_:_;:~·): _co·:~. :--~~~--: ~~·-·.; .. ~; -'t:~r· ~:~~·-,~.· ,:~~/:>·- . -,,,·. 
a) (rn)n es estrictB.ine~t~ ~r~éiente y diarn(a([r~;t0])) < ~· paf.á cacl~ n E 
~ .. ' 
128 CAPÍTULO 7.·· PROP;EDAiYbE ;<ELLEY HEREDIT.4.RIA. 
b) (tn)n es estrictamente cred~nt~· y a,(tn)',E· a((s~, to)) C a((r,., to))· para 
cada n E N; · · · · ., · · · · · · ' · · 
·;:,;--
c) .-l es cik en Xn = ó;(tn)para cada n EN; 
d) a([t,., t 0 ]) \t A y ~(in) E A _:_ ~ para cada n E N. 
De acuerdocon a) y b), d(a(t,.), a(t0 )) < ~ para cada n EN. Por tanto 
r:r(tn) -+ a(to). Como la sucesión (tn)n es estrictamente creciente y acotada 
s11periormente, entonces es convergente. i1vlostrare1nos ahora que tn -+ t 0 • 
Para esto, supongamos que tn -+ ~- Como a es continua, por el Teorema 
1.23, n(tn) -+a(.;). Entonces a(.;)= a(t0 ) y, como a es inyectiva,.;= to. De 
esta 1nanera, t,. -+ to. 
Ahora bien, como F # {q} existe un punto y E F - {x0 }. Además como 
F es un continuo, por el Teorema 1.82, existe un subcontinuo C de F que es 
irreducible entre y y Xo. Como )( es hereditariamente descomponible y e E 
C(X), tenemos que C es descomponible. Entonces existen dos subcontinuos 
propios D y E de C tales que C = DuE. Notemos que DnE # 0. Además, 
sin perder generalidad, podemos suponer que Xo E D. En vista de que e es 
irreducible entre x 0 y y, y de que D es un subcontinuo propio de C, tenemos 
que y E E - D. De manera similar, resulta que x 0 E D - E. 
Notemos que (xn)n es una sucesión en A que converge a xo. Además D 
es un subcontinuo de A que tiene a x 0 y A tiene la propiedad. de Kelley en 
:r:o. Por tamo, existe (Dn)n e C(A) tal que Dn -+ D y Xn E. Dn para cada' 
n EN. ,.,, ::._~. :-·· 
Como X - D es un abie~to'en·:X qu~ tien~·a y;;efist.~i'i{:;':>fo:'.i~rque ·· 
B(r51, y) e X -D . . De manera siÍnilar existe 6:r::> o',talqÜe:,BXó2i'~o\c X ~E . . 
Por consiguiente, sió·= min{ó1;62}; ~f1:tonées :. V :~'.::?:\r:r,~ftt'tV';~.j:·r·: . . . 
. B(ó:xo)nE = 0 = B(ó?y)ói/}~.J .::,; ·", (T.7) 
Además como tn-+ to tenemos que [tn, t 0 ] -+'.{t0 f'El1tbncés; por la c~.n­
tinuiclacl ele C(a) (Teorerna 1.35, resulta que a((tn, i0 ]) 4 { &(t0 )} = {x0 }. 
También Dn -+ D por lo que, para~' existe N E N tal que H(a([tn, t 0 )), {x0 }) < 
~ y H(Dn, D) < ~ para cada n ::;:: N. · , 
7.4. EL TEOREMA PRJiYCIPA.L. 129· 
Supongamos· ahora que para alguna n ;::::: 1V resulta que Dn n F =¡!:. ·. 0. 
EntOnces, como Fes terminal en A y Dn E C(A), tenemos que Dn. e Fo bien 
F. e D,.. En el primer caso, resulta que x,, = a(tn) E F lo.cual contradice 
la segunda parte de d). En el segundo caso tenemos, en particular, que 
y E D,. e N(ó, D), así que existe y' E DnB(ó,y). Por tmito DnB(ó,y) =¡!:. 0, 
contradiciendo (7.7). Por tanto Dn n F = 0 para cada n 2: N. 
Consideremos ahora el conjunto 
·. Y .. a((t,v:~o)) ¿(;'U ·•(·•·n·u?:.·N··· .. D11). ·. 
" , ., ~. 
Como D~ ·~·.o:<::: e, 2,·}'",~,Y'1ós·. donjuntos a([tN, to)) y Cson cerrados 
en X, resulta que Y',e~'iirí,subconjunto cerrado de X. Es claro que Y =¡!:. 0. 
Más aún', como cá<la· co'Iijunto Dn es ci::mexo e intersecta al conjunto conexo 
a([t,v, t0 ]), resulta que: · · · · 
a([tN, to]) U C~L Dn) 
es conexo. Dicho conjunto intersecta al conjunto conexo C en x 0 , así que Y 
es conexo. Tenemos entonces que Y es un subcontinuo de )(. Entonces Y 
tiene la propiedad de Kelley. Por tanto, tomando un punto d 0 .E D n E y una 
sucesión (dn)n>N in Y tal que dn ---+ do y dn E Dn para cada n 2: 1V, existe 
(En)n?:.N e C(Y) tal que d,. E En, para cada n 2: N, y En---+ E. 
Como E 11 ---+ E, para ~ > O, existe i'd ;::: 1V tal que H(E, EM) < ~­
i'viostrare1nos ahora que: 
Para ver 
Com.o 
E,\f e Y - a([tN, toD· (7.8) 
esto supongamos que, pcn· el .~oritrario, EM n a([tN, to]) =¡!:. 0. 
". ,': 
;,:,::\·::-- ':><:. :_~~\ .. ;.,~t 
a([tN,:to].)C{\rf~/f;,~Ü},=B (~·~º} . ' 
tenemos que EMnB(~; :ió)"~,~;i'.A.4;íri,~C:E,~~\'.::N(~ 1E) por lo. que N(~, E)n 
-?( ~, x 0 ) =¡!:. 0. Tomemos un punto.:z: e~:di~ha intersección. Entonces d(i, e) :'S 
& para algún punto e E E y.d(z/x0 ) <: ~- De .aquí que · · 
-:¡ 
130 
··--·--
·:·; .. -:·-
·.·.·d(x~.'.~)··~:_d(~o.});fd(~,e)_f %~f%~&: n\ 
esto es d(xo, e)·. <8. L\:iego ·~· e•·En13(6/xci);·66ntradÍcieii:do (7:7)~:Esto-prueba {7.8). " .. -... -.-", ,_-.. _ .. ·.:., . ::·. < i:::·;' .. ': .-.· -. .. . ..- ', .. 
De acuerdo con (7.8), x 0 = a(t0 ). <t E,,r por lo que F % EM·. Ahora 
bien, por construcción, Y.:...- A e a([t,v, t 0 ]). Además EM e Y. Entonces, por 
(T.S), EM n (Y -A) = 0. Luego E,\{ e A. Si EM ne =¡6 0 entonces, en 
particular EM n F =¡6 0. Como F es terminal en A. y F ·% E,\1 , tenen1os que 
Eo11 e F. Luego d,,. E F de donde Drn n F =¡6 0. Esto contradice el hecho ele 
que Dn n F = (/) para cada n 2: N. Por consiguiente, EM n C = 0, de donde 
EM CU Dn. 
ó . . .• ·•··••· .. '. ·,·· ·•.' .· ó Como Dn e N( 2,D) para cada n 2:_-N, tef!.eI!los que~J::MC N(2,D). 
Además y E E e N(*, EM) por lo qu7 exü:;t~;_b ,E •,e,ú·::tal 9ue d(y, b) < ~­
Notemos que b E N(1: D), así que existe á'E:-D t_al;:queji(b; a)< 1· Por lo 
tanto ·· · "•··'· · . e•:::· .. ;~· .::-.o:.-:·. -~' .·.·_,'.•' .. 
.. . x1é·~\éW~--;·t~~j~{;~5:é:~·:::-~ ... ~<-·--··:.:·· 
d(a, y)::::; d(a, b) +;'~(6;y) <2+2 7" 8:,;{' 
Entonces a E D n B(8, y), contr~dicienclo (7:7). Estci_'prÜeba l).' 
Ahora µociemos demostrar que .Y es hereditariamente conexo por trayec-
torias. Para esto sean A E C(X) y p, q E A. con p =¡6 q. Por el Teorema 1.82, 
existe un snbcontinuo B de A que es irreducuble entre p y q. Probaremos 
que B es uu arco haciendo ver que cada punto x E B - ·{p, q} corta a B. 
Tomemos entonces un punto x E B - {p, q}. Aplicando ele nuevo el Teorema 
1.82. podemos encontrar subcontinuos C y D de B tales que Ces irreducible 
entrf) p y x y D lo es entre q y x. Por lo tanto CU D es un subcontinuo de 
B quE:' contiene a p y q, ele donde Cu D =B . 
. .\firmamos que C n D = {x}. Para ver esto supongamos que, por el· 
contrario, existe y E en D - {x}. Aplicando 1) a e, p y X se sigue que X es 
el único punto en C tal que Ces irreducible entre p y x. Por lo_timto C no es 
irreducible entre p y y. Así que existe un subcontinuo propio I< de C _tal que 
p, y E K. Aplicando ele nuevo 1) a D, q y x se sigue que x es el único·punto 
. . 
·· 7.4. EL·TEOREMA.PRli'lCIPA..L,· 
de D talqu~ ~ es ifr~dticible entre.q y x.Enforiées D no es irredud~lee~tre. ·. 
q y y y existe un subcontini'.10 propio L de n· tal que y, q E L.. . . · ·· .. ·.,, · 
)_ ' . :· ·.··. : '· 
. Como K es un subcontinuo propio ele C que tiene a p y C esiiredti:cible 
entre p y x, tenemos que x ~ J(. De manera similar, como Les un sul:icontinuo 
pi·opio de D que tiene a q y D es irreducible entre q y x, resulta que x f/: L. 
Luego, X f/: J< u L. Sin embargo, como I< y L son subconjuntos conexos que 
tienen a y, se sigue que J< U L es conexo. Entonces I< U L es un subcontinuo 
de B que tiene a p y q. En ,·ista de que B es irreducible entre dichos puntos, 
resulta que I<u L =B. En particular :r: E I<u L. Esta contradicción muestra 
qucCnD={x}. 
Ahora bien, como B =Cu D, entonces: 
B - {x} = (C - {x}) U (D - {x}). 
Más aún, p E C -{x},.q E D -.{x}: 
clx(C - {x})n (.l)_:{x}) e en (D--: {x}) = 0 
y 
(C - {x}) n clx(D - {x}) e D n (C - {x}) = 0, 
Por tanto, los conjuntos C - {x} y D - {x} forman ·una separación de 
B - {x}. Esto muestra que x es un punto de corte de B . . Tenernos entonces 
que cada punto de B - {x} corta a B. Luego, B tiene a lo más dos puntos 
que no lo cortan. Como, por el Teorema 1.67, B tiene al.ri1enos dos puntos 
que no lo cortan, resulta que B tiene exactamente dos puntos ·que no lo 
cortan. Luego, por el Teorema 1.68, B es un arco. Entónces :A· es: conexo 
por trayectorias, pues B es un arco de p a q en -4. Esto muestra. que ... ...'( es 
hereditariarnente conexo por trayectorias. · 
Supongamos ahora que X no es localmente conexo. Entonces, pór éí 
Teorema l. 78, .\: contiene un seudopeine Y. De acuerdo con el Teorema 7.2, 
Y no tiene la propiedad de Kelley. Esto contradice el hecho de que X tiene 
la propiedad de Kelley hereditaria. Por tantn, X es localmente conexo'. . 
Hemos probado que todo continuo hereditariamente conexo por .. trayec-
torias y con la propiedad ele Kelley hereditaria es localmente .conexo. : Por 
132 CA.PÍTÚLO 7, PROPIEDAD DE;<:ELLEY HEREDITARIA. 
tanto, si A es un subcónÚn~ocleix¡ ~~,~err1C>sqi.t~ A. eshereclitariamente cone-
x"o por tran;ctodas y A. tiene la propiedaci de'Kélléy hereditaria. Luego, A es 
localmcnt~. conéxo. Entonce~ .X es·· h'er¡{ritarÍamente locahi1ente conexo. • 
,•.;e 
Gtilizaudo límites in'~~r~~¿~~~~i:'~i~.f~~:~s:Inv·er~o~ c,'.::c1irigi.cÍos, L, Lonéar 
probó eu [34] que el resültaéio'•..;_nt?erior se.'satisfac'e si X es un continuo no 
métrico. .<. • ... , c-s_;'." ,........ • :> 
··. >"!.~i:l .< 
Recordemos que una' d~n:~i-'i~a es un dendroide localnient~. conexo. En 
(37, Corolario 10.6] se prueba que todo subcontinuo de. uria dendrita, .és _una 
dendrita. P•)r tanto, las dendritas son continuos heredit'ariamente locahnente 
conexos, por lo que tienen la propiedad de Kelley hereditaria, 
En (l] se pregunta si los dendroides con la propiedad ele Kelley hereditaria 
son dendritas. Este resultado se sigue del hecho de que los dendroides con la 
propiedad de Kelley son suaves (Teorema 4.26). En 1993, V. Neumann-Lara e 
I. Puga-E:;pinosa dieron otra demostración del problema anterior, utilizando 
la noción de puntos orilla. El resultado se muestra en [39]. Utilizando el 
Teorema T.5 podemos presentar una demostración más del mismo. En efecto, 
si .Y PS un dendroide y tiene la propiedad de Kelley hereditaria, entonces )(es 
uu continuo conexo por trayectorias con la propiedad de Kelley hereditaria. 
Luego, por el Teorema 7.5, X es hereditariamente localmente conexo. En 
particular .Y: es localmente conexo. Luego, .Y: es un dendroide localmente 
conexo o, equivalentemente, una dendrita. 
A continuación resumirnos lo anterior en el siguiente teorema: 
Teorema 7.6. Si)( es un dendroide, entonces .X tiene la propiedad de Kelley 
hereditaria si y sólo si X es una dendrita. 
' ' 
En las siguiente sección sólo se mencionarán algúnos.r~~ultádos sin.prueba 
los cuales se encuentran en el artículo (3]. 
7.5 La Propiedad de Kelley y -los,CXJ-odos. 
En el articulo [:3] se presentan oi:ros resultados que relacionan a la propiedad 
de Kelley hereditaria. Por cuestiones de tiempo, en este trabajo, presentare-
mos sin prueba algunos de ellos dando, en cada caso, la referencia respectiva. 
7.5. LA. PROPIEDAD DE KELLEY Y LOS oo-ODOS; 133 
Definición 7.7. Dada n E N, decimos que .un éontinuo ..-Y es: un n-odo 
(respectivamente, un oo-odo) si ..-Y contiene un subcontinuo B llamado el 
corazón de .Y, tal que el conjunto X: - B t'iene al ·menos n componentes 
(respectivamente, un mí.mero infinito de componentes). Decimos que .Y es 
atriódico si no contiene 3-odos. 
En el siguiente resultado, se involucra la estructura de un continuo que 
tiene Ja propiedad de Kelley pero no la propiedad de Kelley hereditaria. 
Teorema 7.8 ((3, Teorema 5.1]). Si un continuo X tiene la propiedad de 
J\elley pero no la propiedad de Kelley hereditaria, entonces .Y contiene un 
oo-odo. 
Como consecuencia de este resultado, tenemos el siguiente corolario. 
Corolario 7.9 ((3, Corolario 5.2]). Cada continuo atriódico. con la propie-
dad de Kelley, tiene la propiedad de Kelley hereditaria. . · 
Ahora bien, de acuerdo con el Teorema 2.22, lo~ co~'tiJ~()~''.hbdi~géneos .· 
tienen la propiedad de Kelley. Combinando este .. resultadó con el corolario 
anterior, tenemos el siguiente teorema. · , 
Teorema 7.10 ((3, Teorema 10.1]). Los continuos atri6dicos y homogéneos 
tienen la propiedad de Kelley hereditaria. · 
Recordemos que Jos solenoides son continuos homogéneos con Ja propiedad 
ele que todos sus subcontinuos propios y no degenerados son arcos. Por 
tanto, Jos solenoides tienen Ja propiedad de Kelley hereritaria. Además, son 
atriódicos. En (3, p. 161] se pregunta si el recíproco de Ja afirmación anterior 
es cierto. Al respecto, sólo se conoce que si .\. es un continuo homogéneo con 
la propiedad de Kelley hereditaria y ){ contiene un arco, entonces X es un 
solenoide y, por tanto, es atriódico. Dicho resultado aparece probado en (4, 
Corolario 3.6]. Por consiguiente, tenemos el siguiente resultado 
Teorema 7.11. Sea .Y un continuo homogéneo que contiene un arco. Enton-
ces }{ tiene la propiedad de K elley hereditaria si y sólo si X es un solenoide. 
134 CAPÍTULO 7. PROPIED.4.D DE KELLEY HEREDIT.4.RIA. 
Bibliografía 
[l] G. Acosta, Hiperespacios y la Propiedad de Keltey, Tesis de Lic~nciatura 
en i\fatenuíticas Aplicadas, Escuela· de' i\IatemáticM; CÓá.hi.tilá. México, 
1994. . . .. ; . .,, ;¿y:·,i .· '.? '' . ' 
121 ~~~;:~~·~: ~:'.r:.º:: 1;,:· :~;~~~14~~~~!;~JIJJ~~~t~,~~· .:" ·· 
(3] G. Acosta, A. Illanes;: Contmua:.which:have thé property;·offf<elley:here-
ditaril~, Top;6log~· ;::p~1·::,~0~.·'.;;·2~J?~;~~ j~f ~é~5::,·~~--::ilt:~;'~I~t'.~~?;:,Í~~;'.:W ···;· ·.:.•.•:. . "·· 
(4] G. Acosta y Janusz R> Prajs, Onhomogen~ous,c'o_nti'Tl1ia(c·oi¡tainfng ares, 
enviado para su publicación, i\fa.th; SóéX ::· ·--~~'.J;c;'.~~~f''.·f:ti#.''i".•' .;- ·· 
. :r. ::;~·· /}~,~\;~;· :j~f.r,~:ri~.~'. ... ~.~~~V 1.·1,.~:.= ·-):··_ -
(5] R. H .. Bfog, Concerning hereditarily indecdmpdsablé'. continua; Pac .. J.. 
Math., 1 (1951), 43-51.. · s·.: '·'''~J'~:('.1:/:;;,¡+\ •:.e·: .· .. 
[6] ~¿cB~;'~ka~o~i•,~~:'([;~'j)~;ij~g:';~.'0~~j~~(~'.f iiFf~::•· C .. R. 
(7] J. J. Charatonik, Confluent.mapping~and;J.nic'óher~'lice~of continua, 
¡s¡ ;~;~~:::::~n::.·(~::~r:;:~:
2
:x:~t11v~0n
1
j;;61f~Ze~Í{~¡}J~in~~,.-Bu11. 
Acad. Polon . • Sci.: 1vfath.Ast~on9m.,Phys.,. 31(11983}_;37,§;13~0; \; / 
(9] J .. J. Charatónik, Ó~ ;ans, rii~~ert~ticmes MXf~J:«~~;~%~~~$~",~I~t'.). 54 
(1967), F40. .. );~> ; :s~;;i~~j¿~(:)' 
(10] J. J. Charatonik y C. Eberhart, On smooth dendroid~/ FU.ii.'cl Math., 67 
(1970), 297-322 
135 
136 
[11] 
(12] 
' . ·. -~ . 
.J. J. Charatonik, W.J. Charaton{k, Fa·ris With;~heP.rope;typf Kelley, 
Topology and its Applications, 29 (198sr13~7S. . . . .. 
J . .J. Charatonik, W: J; .Chár'atoriik;· A. ÚlaI1és, 'Propertu·. of Kelley.for 
r;onft:uent retractable contiñúa/Tqpólogy ánd its Applic<~tions, 110 (2001) 
251-263. '' < ' . 
[ 1:3] .J. .J. Cha:ratonik {\v. J. Charatonik, Smoothness and. the propeTty of 
Kelley, Commerit. i\Iath. Univ. Carolinae 41 (1) (2000), 123~132: 
[l-1] ·.J. J. Charatori.ik, A. Illanes, Smoothness and the Property of K ell~.Y for 
Hyperspá.ces, por aparecer. 
(15] W .. J,.Chara:tonik, On the property o/ Kelley in Hyperspaces, Topology 
and its Applications, 1060 (1982) 7-10. 
(16] \V. J ... Charatonik, A hornogeneous continuum without. the .P_roperty. o/ 
.Kelley, Topology Apppl. 96 (1999), 209-216 .. ,
1
:' • •• •< ·;·,·.·.;~,,.·~ 
(17] w. J. Charatonik, Inverse lirnits of smooth cfntihua, biirnrn~~t. M~th. 
(18] 
(19] 
(20] 
Univ. Carolinae. 23. (1982), 183-191. ~·.-.?~~ ·'''·(<;,. ·.·' '\: .~ 
:q:·>:- .. r!·~~=i.o: ·;-.<::'.:", ,:.-·-~---. 
W .. J. Charatonik, W. Makuchowski, SmÓothness ofHyperspaces and 
Cartesian Products, Topology Proc. 24(1999)·37:93;\; - ·''" '.ti 
'.· .. " . - •. ;.:j·;_:,._, .·~-:~,~ .. _.,¡";~ <_:s,:: ~-; .. .¡.::::::..:::!.(;_ . 
A. N. Chavez, Funciones inducidas entre Ílip~respácfo~:Tesis:de•Licen~ 
ciatura en Matemáticas, Facultad de CienCias;Universid.iiCí.?Aiitori'orria 
del Estado de :!Yléxico, 2001. ' ·· ·'"·' ·· :.-,_.·~:·.yó:'_¿·-~:~.:-.? :" <I·~ _, ... e· 
;:":'.: .. ';,' ~ '-
e. o. Christenson y w. L. Voxman, A;pécts ó}á.,b'.iiófa~Y~'ÑÍ~~~~i''D~kk¡;r, ' 
l\fonogrnphs ancl textbooks in pure anél AppÚeéÍ~civiathéhíEí:tic~}\VoL ;39; 
Newyork, and Bassel, 1977. . . . . i,';,i;~?,:.0.:=~~J·~~~'f,;,~,t~izi~fj'.J~iw_i~;:~ ?i ( 
(21] S. T:.cztlba, On Dendroids With .fCelleys:Property,0~r,oc.<A.mer.:Math. 
Soc., 102(1988), 728-730. . ·. · >''f¡f~·'.~}~~:jf~t~f.~c¡;,'[,l'.~~(C;~~-~;{'.(,,'· .. ··• 
(22] G; R, Gordh, Jr.,.On decompositions,of;smóoth\continua,·F.und. Math. 
75 (1972), 51-60. ·' ' ' : <: ·', ."{ {%; >;".;:·~ >' f < .. ' 
(23] F. Hausdorff, Grundzuge .dú• 1Vfe~g~~l~h~~;;L~ipii·~i':rnú. ·· 
BIBLIOGRAj;-f.4 .· :137 
(24] J. G: Ho~ki,ngy G. S: ~oung, Topolbgy,.Do~;er Publications, New ~Órk, 
'1988 ''·,.'· ' '' ' '' ., ' 
(25] 
(26] 
A. m::ies, · Characterizing dendrites by' def~rrn'ation retractions, Topo-
logy·Próc: 21 (1996) 129-141. · · · .·, · · 
··i . ,.· •.. :.··· .. • 
A. !Üa!les y S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces : Pu.ndamentals and Recent 
Advances, Marce! Dekker, ?vionographs and textbooks in pure a!lél Ap.:· 
plied Mathematics, Vol. 216, NewYorkand Bassel, 1999. ; ... '" 
(27] A. Illanes, 1vlonotone homogeneo·us continua, an exampÚ>Top,6fogy 
Proc. 25 (2000), 189-200. ,:. ;,; ''' · · · 
(28] 
(29] 
H. Kato, Concerning a property of.J. L~ 'Kelley ari.d ~~fl~hbl~'.:ifl.cips, 
Math. Japonica, 31 (1986), 711::-719'.· · · ,,' ~ .:~i•c:k§·~::;;;{s::J )/ 
H. Kato, Generalized homogeneity ~f.coiiti'-n'ua and· ~-)qJ,~~t'Torii~/J. J. 
Charatonik, Houston J. Math.,;13;(1987)i,51~63. < < . •·,· .. ·;·· . ' 
(30] J. L. Kelley, Hyperspaces of a donii~'u~~. Trans. 'Am~r. ?-/rath:, vc>L 52 
(1942) 22-36. . 
(31] K. Kuratowski, Topology, vol. 2, Academic Press and PWN, 1968>> 
(32] A. Lelek, A clasification of mappings pertinent to ettrve theory,.J?ioc'.· To-, 
pology Conference, University of Oklahoma (Norman, Oklahoma, 1972);· 
David Kay, John Green, Leonard Rubín, and Li Pi Su, Editoi:s;-97~103, 
-:-:i. 
(33] W. Lewis, The Classification of homogeneous continu~; ·Sbo~how .J. 
~fath, 18 (1992) 85-121. '.·. • .. · .. ,·. ' .·· ' 
(34] 
(35] 
(36] 
(37] 
~uLn~~%o~~e /;~~~~1~~ ;[~~lley in nonme~7~f~r~2·~~~~~(~~,~f 2t,0."j()m.: 
T. Maékowiak, On smooth continua,~tmd. Math:<85;.(19?4),~'(9-95:. 
A. C. Mercado, Propiedades to~ojógi;~s-'de·;,~;;;t?if~~~;'.;'1}~¡i·:ydib¡~en-
ciatura en Matemáticas Aplicadas, Eséú'elá de 'Matein'aii;'.:ás;:":cc:iáhÜila 
México, 1998. . · · '·. ~>: \ ... 
' ".': .<··. 
S. B. Nadler, .Jr., Continuum Theo.¡.,J : An lntTodÍJ.cti'O'ii;'~~I. Dek.:: 
ker,~fonographs and textbooks in pure and Applied i\.Iath'emá.tics, Vol. 
158, New York, Bassel and Hong Kong, 1992. . . · · ... 
138 
[38] 
[39] 
[40] 
(-n] 
[42] 
BIBLid.cii.4:FiA . 
S. B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, 1'1I. Dekkei:, l\iro'n6~~~~h~ an:d text~· 
books in pure and Applied Mathematics, Vol. 49, New';York.and'Bassel, 
1918. '·'· '.:.•' ::; ·,·,.; ,, ,,·'.;· "" ':'¡;.,'/': ,. 
V. N eumann-Lara; !;Puga: EspiríOsa/ SJ~or~ 'poi;,.[; ~:z1·d~:~·~;..¿~~;·Proc. 
-:~er:~·rat11.:~ºc·,?~~·~,;;.?.~.~?·,0;75942.·. ':·•·· ···•·.·•.·., .... ) .~ff:'~:.~tix;~·.i;'.:.·{. :·.·.·· 
J. T. Roger•s;• Classifi;ing .h/J:rriogeneous continua, Top.;APP1:,'.'él1}(1992) 
341-352. ' ' . '.:i' .·· ,•, ' ,. :. ; . · .. ,·~ •. ,·,· :;,:>,t~ .. 
:, '. : .· .. \<· ... · , .. : :::·).;_. ·_:;: ,;<>~~ .... :·_-~>~.'-.-_-. ' . : . . "" - . ""·>'_-/'.·\'?~-- _i{;~~:·~~::~:(~~~:~'2,.· ... ,-·.;;::_\_ · .. -. 
L. Vietoris; Berciché zweiter Ordnung, Monatshcfte fur;·Matlíematik und. 
Physik; 32 {1922); .. 25s.72so: · · • ,•~/3~;::~,. '; •··•· 
R. w. Wardle, o':i a;~operty ;¡J.L. Kelley,• Ho1i~t.01CJ'.~;~I~~~:.tcl9T7) 
291-299. ' . : ';. :'' ··- .: _;·: .. -•.: 
[43] H. Whitney, RegulaC:,.familiesof curves,!., Pro.c.Nat.A~ad.Sci.,USA, 
18 (1932), 255-278. ' . ' '