UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS 
 INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES 
FÍSICA DE ALTAS ENERGÍAS, FÍSICA NUCLEAR, GRAVITACIÓN Y FÍSICA 
MATEMÁTICA 
 
 
“EL USO DE MÉTODOS DE MUCHOS CUERPOS PARA EL CÁLCULO DE 
ESPECTROS TIPO MESÓNICOS.” 
 
 
TESIS 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
MAESTRO EN CIENCIAS (FÍSICA) 
 
 
 
PRESENTA: 
OCTAVIO AUGUSTO RICO TREJO 
 
 
 
 
DR. PETER OTTO HESS BECHSTEDT 
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES  
DR. TOCHTLI CUAUHTLI YÉPEZ MARTÍNEZ 
INSTITUTO DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 
DR. ROELOF BIJKER 
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES 
  
 
CIUDAD DE MÉXICO, MÉXICO, MARZO DEL AÑO 2025 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
EL USO DE MÉTODOS DE MUCHOS CUERPOS PARA EL
CÁLCULO DE ESPECTROS MESÓNICOS.
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
PRESENTA:
OCTAVIO AUGUSTO RICO TREJO
DIRECTORES DE TESIS:
DR. TOCHTLI CUAUHTLI YÉPEZ MARTÍNEZ
DR. PETER OTTO HESS BECHSTEDT
COMITÉ TUTOR:
DR. TOCHTLI CUAUHTLI YÉPEZ MARTÍNEZ
DR. PETER OTTO HESS BECHSTEDT
DR. ROELOF BIJKER
Ciudad de México 2024
A mis papás y mi abue, Victoria, Ismael y Paz
A mi querida Areidi
A la memoria de mis suegros
Agradecimientos
A mis papás, Victoria Trejo e Ismael Rico, gracias a ellos obtuvimos un logro más en esta
vida. Los amo.
A mi querida Areidi Yaret, mi neniz, por todos estos años de amor y comprensión a pesar
de tantas cosas que la vida nos ha puesto enfrente. Gracias por ser mi compañera de vida y por
estar a cada momento detrás de mí y no dejarme caer.
A mi abue, María de la Paz, por darme desde niño tantas cosas y aunque a veces sea difícil,
yo poder corresponderle de la misma manera. Te amo abue.
A mis amigos, a ver si no se me olvida nadie: A Ulises, a Jacque, a Emma, a Abboud y a
Martha, a mi estimado Enrique, a Barry, a Miguel, a Cynthia y a Daniel, a Sofía, a Dieguito, a
Osiris, a Toya, a Izumi, a Israel, a Victor, a Marco, por supuesto a Saul; a todos aquellos que me
apoyaron en algún momento.
Por supuesto, a mis colegas más cercanos y asesores, Peter Hess, Tochtli Yépez, Osvaldo Ci-
vitarese y a todos los estimados miembros de mi comité sinodal que ayudaron a que este trabajo
cumpliera con la calidad que es debida.
Sobre todo también a mi padrino Francisco, a mi querido tio Juan Carlos y a mi tía Betty, a
Arturo, a Lupita, a Polo, a toda mi familia de esa parte. Siempre me han hecho sentir como en
casa.
Al antiguo Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT), ahora Secretaria de
Ciencias, Humanidades, Tecnología e Innovación (SECIHTI) por permitirme y facilitar la reali-
zación de este posgrado.
Por último y al igual que hace tres años, a mí mismo, por obtener un logro más en esta larga
trayectoria académica, gracias por todo y ten por seguro que vamos por más. Hasta la victoria
siempre.
II
Índice general
Agradecimientos II
Introducción V
1 Fundamentos teóricos del modelo. 1
§1.1 QCD a bajas energías y potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
§1.2 Metodología del cálculo de los espectros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1.3 Base de oscilador armónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§1.4 Transformación de Bogoliubov y método de BCS. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§1.5 Métodos para el tratamiento de muchos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§1.5.1 La Random Phase Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§1.6 Método de Bohr-Mottelson para el cálculo de anchos de dispersión. . . . . . . 11
2 Hamiltoniano efectivo y su análisis a bajas energías. 14
§2.1 Transformación del Hamiltoniano a la base efectiva de quarks. . . . . . . . . . 15
§2.1.1 Término de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§2.2 Transformación de Bogoliubov y Hamiltoniano de cuasipartículas . . . . . . . 18
§2.3 Ecuaciones BCS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§2.4 Formación de estados tipo mesónicos con la RPA . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Resultados del cálculo de los espectros 26
§3.1 Parámetros del modelo y soluciones de cuasipartícula. . . . . . . . . . . . . . . 26
§3.2 Cálculo y análisis de los estados tipo mesónicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§3.3 Subespacio JP = 0− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§3.4 Subespacio JP = 0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§3.5 Subespacio JP = 1− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§3.6 Subespacio JPC = 1++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§3.7 Subespacio JPC = 1+− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III
ÍNDICE GENERAL IV
4 Conclusiones 38
A Apéndices 40
§A.1 Término de energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§A.2 El estado fundamental |BCS⟩ y |RPA⟩. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§A.3 Términos en la base de cuasipartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Introducción
En el contexto de la física de partículas, teoría cuántica de campos y la física nuclear y
subnuclear, se han hecho innumerables esfuerzos e investigaciones en materia de identificación
teórica de estados hadrónicos. Uno de ellos fue el desarrollo de la teoría de la cromodinámica
cuántica (QCD, de sus siglas en inglés) que estudia las interacciones fuertes entre las partículas
con color que conforman a los mesones y bariones, es decir, los quarks. Esta teoría ha tenido
un considerable éxito en la comprensión e identificación de los estados hadrónicos partiendo de
principios fundamentales de teoría cuántica de campos.
Resultados experimentales han clasificado en dos grandes grupos a los quarks conocidos hasta el
momento: quarks ligeros, que son los quarks up (u), down (d) y strange (s), y quarks pesados,
que son los quarks charm (c), top (t) y bottom (b). Estas partículas, además de diferenciarse
por su masa también tienen asociados diferentes números cuánticos, a los quarks ligeros es fácil
diferenciarlos por el llamado isoespín, que es la simetría asociada entre los quarks u y d y que
el quark s carece. En el Cuadro 1 se muestran los valores de hipercarga (Y), isoespín (T ) y carga
eléctrica asociada al grupo de quarks ligeros.
Sabor (Y,T) Carga
up (1
3 ,1
2 ) 2/3
down (1
3 ,1
2 ) -1/3
strange (−2
3 ,0) -1/3
Cuadro 1: Quarks ligeros clasificados por Sabor, Hipercarga e Isospin (Y,T) y Carga eléctrica
En la física de partículas es común categorizar los regímenes de energía de la teoría en dos par-
tes: el régimen de alta energía y el régimen de baja energía. Por una parte, está el régimen de
alta energía, dada la característica de la libertad asintótica, el cual está bien estudiado de ma-
nera teórica dado que la interacción entre las partículas en este régimen de energía es pequeña
y se puede proceder con la teoría de perturbaciones. Por otra parte, el régimen no perturbati-
vo, como su nombre lo indica, dado que la constante de interacción es grande, no permite este
V
INTRODUCCIÓN VI
mismo método en su análisis. Esta característica ha llevado a los investigadores a desarrollar
métodos para describir las características de los estados formados por quarks a bajas energías.
Algunas de estos métodos son: Modelo de quarks [1], los cálculos de redes (LGT, Lattice Gauge
Theory por sus siglas en inglés) [2–9], las ecuaciones Dyson-Schwinger [10–13], modelos efec-
tivos [14–25], modelos basados en la implementación de grupos de simetría [26–30], entre otros.
La gran cantidad de métodos desarrollados para el estudio de las propiedades del régimen no
perturbativo de la QCD son consecuencia de la dificultad inherente del cálculo de dichas propie-
dades. Uno de los métodos más exitosos entre los ya mencionados es la LGT. Como cualquier
método, tiene ventajas y desventajas; por un lado, las simulaciones numéricas en los últimos
años han probado tener control sobre los parámetros y errores estadísticos del modelo que se
esté estudiando, además de ser capaz de ser aplicable a sistemas de altas temperaturas, lo que
permite estudiar hasta cierto punto el plasma de quarks y gluones (de sus siglas en inglés, QGP).
Por otro lado, es conocido que las simulaciones de la LGT requieren una gran potencia compu-
tacional, proporcional al tamaño y la fineza de la red. Además, conforme la red se hace más
fina y el tamaño del espacio considerado aumenta, la cercanía con el límite continuo puede in-
ducir errores de discretización. Como un método alternativo a la LGT para el cálculo de las
propiedades del espectro hadrónico de baja energía, numerosos trabajos dirigidos a la creación
de modelos efectivos han tomado como punto de partida el Hamiltoniano de la QCD en la norma
de Coulomb, donde los cálculos realizados han logrado reproducir a grandes rasgos los estados
experimentales reportados. [14–21].
En otro trabajo [16], se tomó el Hamiltoniano de la norma de Coulomb [31] como punto de
partida para proponer un modelo efectivo que consideró que las partes referentes a interacciones
entre los gluones y los quarks constituyentes podían ser absorbidas en un potencial confinante.
Como conclusión se encontró que existía una relación entre el fenómeno de confinamiento y
el modelo de quarks. El problema del modelo se reduce a la diagonalización del Hamiltoniano
efectivo asociado a él. Para ello se utiliza una amplia variedad de métodos, uno de ellos es el
uso de técnicas de muchos cuerpos provenientes de la física nuclear [32, 33] como las aproxi-
maciones de campo medio de partículas y cuasipartículas (la teoría BCS) así como el método de
colectividad Random Phase Approximation (de sus siglas, RPA). A lo largo de los años, se ha
probado el alcance de estos métodos por separado para la reproducción de diferentes espectros
hadrónicos [34–41], en este trabajo se muestra la efectividad de ambos métodos en conjunto
para la construcción de dichos espectros, eligiendo la base del oscilador armónico como la ba-
INTRODUCCIÓN VII
se de las funciones de onda de los quarks, cuya ventaja principal es que es una base ya confinada.
Es importante destacar que el término cinético es diagonal en la base de partícula libre, mientras
que en la de oscilador armónico no. El primer paso en el trabajo después de hacer la elección de
la base es diagonalizar éste término considerando únicamente la representación J = 1
2
Después, para diagonalizar el término de interacción se considera una transformación canónica
de la base de partículas efectivas a una de cuasipartículas usando el método de Bogoliubov, esto
para cuantificar la interacción entre los quarks. Posteriormente, se resuelven las ecuaciones BCS
para dotar de energía a las cuasipartículas así como al gap de energía creado.
Una vez obtenidas las energías de cuasipartícula, reescrito el Hamiltoniano en la base de cuasi-
partículas y ordenado de forma normal, se utiliza la RPA para considerar las interacciones entre
pares resultado del cambio de la base de partículas a la de cuasipartículas efectivas. Finalmente,
utilizando el método propuesto por Bohr-Mottelson para la física nuclear [33], se puede con-
siderar que los estados obtenidos de la RPA pueden llegar a interactuar entre ellos hasta cierto
grado por medio de una interacción residual y con ello, asignar una energía promedio y una an-
chura; dicho método ya fue previamente probado con un modelo sencillo basado en la simetría
SO(4) [30] que calculó una distribución de estados y les asoció un ancho de dispersión.
El trabajo está organizado de la siguiente manera: En el capítulo 1 se presenta el Hamiltoniano
del modelo y se hace una descripción breve de los métodos utilizados para el cálculo de los
espectros de estados tipo mesónicos. En el capítulo 2 se presenta el tratamiento del Hamiltoniano
efectivo para pasar de la representación de partículas efectivas a la de cuasipartículas, así como la
aplicación de la RPA para construir los estados tipo mesónicos. En el capítulo 3 se presentan los
resultados para los espectros obtenidos con el modelo y se explican los aspectos más detallados
de cada uno. Finalmente, en el capítulo 4 se detallan las conclusiones.
Capítulo 1
Fundamentos teóricos del modelo.
En la introducción se mencionó la existencia de dos regímenes de energía en la QCD; el régi-
men perturbativo y el no perturbativo, asímismo se describieron las características que presenta
la constante de interacción para cada uno. Este trabajo considera el régimen no perturbativo co-
mo su punto de partida y dado que la teoría de perturbaciones no es aplicable por la naturaleza
grande de la constante de interacción, numerosos esfuerzos se han realizado en el desarrollo de
técnicas que permitan explorar de manera teórica diferentes características de las partículas co-
mo son: energía, interacción, etc.
A continuación, se hace una descripción a grandes rasgos de algunos aspectros de la teoría de
QCD, así como la motivación detrás de la elección del potencial de interacción. El primer aspec-
to relevante observado y que debe tenerse en cuenta es que no se toma como punto de partida la
formulación Lagrangiana de la teoría de QCD como usualmente se hace, sino que se trabaja con
el Hamiltoniano de QCD bajo la norma de Coulomb [31], ya que en otros trabajos [22, 42] se
encontró que esta representación de la teoría permite describir estados de partículas únicamente
con grados de libertad efectivos. No se pretende en este trabajo el suponer que un Hamiltoniano
con una interacción efectiva es capaz de reemplazar a toda la estructura de QCD a bajas ener-
gías, sin embargo, al utilizar una cuantización en la base de oscilador armónico y expresar el
Hamiltoniano en dicha base, éste exhibe aspectos similares de la teoría de muchos cuerpos que
están ausentes en otro tipo de modelos y como se describirá mas adelante, la elección de la base
lleva a tener soluciones finitas que se pueden calcular, hasta cierto punto, analíticamente.
1
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 2
1.1. QCD a bajas energías y potencial efectivo.
El Hamiltoniano de QCD en la representación de la norma de Coulomb es [31]:
HQCD =
∫ {
1
2
[J −1Πtr ·J Πtr +B ·B]− ψ̄(−iγ ·∇+m)ψ −gψ̄γ ·Aψ
}
dx
+
1
2
g2
∫
J −1ρc(x)
〈
c,x
∣∣∣∣
1
∇ ·D (−∇2)
1
∇ ·D
∣∣∣∣c‘y
〉
J ρc′(y)dxdy. (1.1)
En este Hamiltoniano, Πtr y B son los campos cromo-electromagnéticos transversos en la norma
de Coulomb y ψ representan los campos de quarks. Los términos g y g2 refieren a los términos
de interacción quark-gluón y el término de interacción de la densidad de carga de color. El
término ρc(x) es la densidad total de carga de color, en particular en QCD este término contiene
la contribución de quarks-antiquarks y gluones. Explícitamente,
ρc(x) = f abcAb(x) ·Πc(x)+ρc
m(x). (1.2)
En la Ec. (1.2) se incluye la densidad de carga de color de los campos masivos ρc
m(x)=ψ†(x)T cψ(x)
con T c los generadores de color del grupo SU(3) y la parte que contiene al campo gluóni-
co Ab(x). Finalmente, el último término de la Ec. (1.1) es la llamada QCD Instantaneous
Color-Coulomb Interaction (QCD-IcCI) que incluye el inverso del operador de Faddeev-Popov
(∇ ·D)−1 y su determinante J −1 = det(∇ ·D), donde D la derivada covariante.
En el régimen de bajas energías, las interacciones entre quarks son las más representativas, por
lo que en este trabajo solo consideramos los grados de libertad de quarks. Los efectos de la parte
gluonica, provenientes de la QCD-IcCI, pueden ser representadas por un potencial confinante
tipo de Cornell [16], el cual como se mencionó en la introducción V (|x−y|) =− Vc
|x−y| +VL|x−
y|. Con esto, se propone que el Hamiltoniano efectivo de QCD a bajas energías sea
H E f f
QCD =
∫
{ψ̄(−iα ·∇+βm)ψ}dx− 1
2
∫
ρc(x)V (|x−y|)ρc(y)dxdy.
= K +HCoul. (1.3)
El modelo propuesto en este trabajo para el cálculo de los espectros, tipo mesónicos, toma como
base las funciones de onda del oscilador armónico. La cuantización de los operadores de campos
fermiónicos ψ†(x) en dicha base es:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 3
ψ†(x) = ∑
τ,Nlml ,σc f
R∗
Nl(x)Y
∗
lml
(x̂)χ†
σ q†
τ,Nlml ,σc f . (1.4)
La elección de la base del oscilador trae ciertas ventajas respecto a la base de partícula libre:
Se esperan mejores resultados, a nivel de los espectros teóricos, dado que la base refleja el
confinamiento de las partículas.
A pesar de no ser una base relativista, el proceso de resolver el Hamiltoniano añade las
correcciones relativistas necesarias para describir correctamente la teoría.
Los elementos de matríz son analíticos, y en todo caso, fáciles de calcular.
Introducir un corte Ncut en la dimensión base del oscilador armónico y en función de él
estudiar el comportamiento del espectro tipo mesónico y de los parámetros del modelo,
conlleva a una renormalización donde no tenemos infinitos o divergencias y podemos ana-
lizar la física con dimensiones de la base no muy grandes.
En el siguiente capítulo se entrará en detalles de la forma que adquiere el Hamiltoniano de la
Ec. (1.3) al tomar la base de funciones del oscilador, así como todos los números cuánticos
involucrados. En la sección (1.3) se explicarán con detalle dichos números cuánticos.
1.2. Metodología del cálculo de los espectros.
Como ya se mencionó anteriormente, el punto de partida para la construcción de los espectros
tipo mesónicos es considerar el Hamiltoniano de la Ec. (1.3) tomando a las funciones de onda
en la base del oscilador armónico. Podemos resumir cada paso del trabajo como sigue:
Primero, utilizar la Ec. (1.4) para rescribir el Hamiltoniano de la Ec. (1.3) en términos de
la segunda cuantización con los operadores q†
τ,Nlml ,σc f .
El siguiente paso es transformar la base de quarks q† a una base de quarks efectivos Q†
que ya estén dotados de una masa pequeña. El resultado de la transformación es lo que
llamamos la prediagonalización del término cinético K. Por simplicidad, consideraremos
que las masas de los quarks up y down son menores que la masa del quark strange mu,d <
ms. El término coulombiano HCoul que contiene a las interacciones entre las partículas
también es reescrito en los términos de la nueva base de quarks efectivos.
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 4
El siguiente paso es analizar poco a poco el Hamiltoniano resultante, para ello primero se
utiliza una transformación de Bogoliubov para llevar los operadores de la base efectiva de
quarks a operadores de cuasipartícula, con la cual el Hamiltoniano reescrito en orden nor-
mal tiene la siguiente estructura: H00 +H11 +H20 +H02 +H31 +H13 +H22 +H40 +H04,
donde los subíndices indican el número de operadores de creación y aniquilación, respec-
tivamente. Utilizamos el método de muchos cuerpos de Bardeen-Cooper-Schiffer (BCS)
para analizar los términos de operadores de un cuerpo con la finalidad de diagonalizar el
término H11 y anular el H20 +H02. Esto conlleva a las ecuaciones BCS cuyas soluciones
darán los números de ocupación, gaps de energía y las energias de cuasipartícula.
Una vez que obtenemos las energías de las cuasipartículas, los términos residuales H31 +
H13+H22+H40+H04 deben ser tratados con otro método de muchos cuerpos para analizar
sus interacciones. El método escogido por nosotros es la RPA la cual describe operado-
res de fonones, en este caso, pares de quarks y cuyo vacío considera las correlaciones
de dichos pares. Con éste método se pueden analizar los términos H22 +H40 +H04. Los
términos H31 +H13 quedan fuera del alcance de esta aproximación.
Las soluciones obtenidas del método RPA tienen los numeros cuanticos de estados tipo
mesónicos JP = 0±,1±. Estas energías en cada subespacio son analizadas en función de los
parámetros del modelo (masa mu,d , masa ms, VC y VL) con la finalidad de tener espectros
representativos que podamos comparar tanto en energías como en densidad de estados con
los reportados en un rango de energías desde 0 hasta 2 GeV.
Como completez al modelo, el análisis de dichos espectros muestra en algunos casos una
ligera mayor densidad de estados teóricos que experimentales, por lo que para definir un
estado representativo que pueda ser comparado con el experimento hemos considerado
analizar el ancho de dichos estados, para ello se utilizó el método de Bohr-Mottelson para
determinar los anchos de dispersión de un estado específico alrededor de un estado elegido
como representativo.
1.3. Base de oscilador armónico.
Utilizando los métodos convencionales de teoría de campos, los campos ψ†(x) y ψ(x) pue-
den ser cuantizados al expandirlos en términos de los operadores de creación y aniquilación,
donde, los coeficientes corresponden a las funciones de onda del oscilador armónico:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 5
ψ†(x) = ∑
τ,Nlml ,σc f
R∗
Nl(x)Y
∗
lml
(x̂)χ†
σ q†
τ,Nlml ,σc f . (1.5)
El símbolo τ =±1
2 representa las componentes superior e inferior de la representación de Dirac,
N es el número cuántico del oscilador, l,ml son respectivamente el momento angular orbital y
su proyección, finalmente σc f son las proyecciones de espín, color y sabor del operador. Al
expandir los campos fermionicos en términos de los operadores de creación y aniquilación en
las componentes de τ , la representacion de los campos ψ†(x) y ψ(x) será:
ψ†(x) = ∑
τ,Nlml ,σc f
R∗
Nl(x)Y
∗
lml
(x̂)χ†
σ
(
q†
1
2 ,Nlml ,σc f
+q†
−1
2 ,Nlml ,σc f
)
(1.6)
ψ(x) = ∑
τ,Nlml ,σc f
(
q1
2 ,Nlml ,σc f
+q−1
2 ,Nlml ,σc f
)
R∗
Nl(x)Y
∗
lml
(x̂)χσ . (1.7)
Los operadores q† y q de las Ec. (1.6) y (1.7) están escritos sobre la representación desacopla-
da de momento angular y espín (lml,
1
2σ). Aplicando una transformación, se puede llegar a la
representación de momento angular total ( jm) tal que:
q†
τ(N,l
1
2 ) jm,c f
= ∑
mlσ
(
lml,
1
2σ | jm
)
q†
τNlml ,σc f , (1.8)
donde
(
lm,
1
2σ | jλ
)
es el coeficiente de Clebsch Gordan de la transformación. Con esta repre-
sentación de los operadores, la parte cinética del Hamiltoniano pasará a ser:
K = ∑
jτiNili
∑
mc f
K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
q†
τ1(N1l1) jmc f
qτ2(N2l2) jmc f
, (1.9)
donde los elementos de matriz K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
están dados explícitamente en el apéndice A.1 y
su derivación se puede encontrar en [22].
Por otro lado, el término de interacción QCD-ICCI en esta base de operadores será:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 6
HCoul =−1
2 ∑
NiliJiL
V L
{NiliJi}
[
[q†
(N1l1)J1
⊗q(N2l2)J2
]0,L,(11),(00)]
⊗ [q†
(N3l3)J3
⊗q(N4l4)J4
]0,L,(11),(00)
]0,0,(00),(00)
0,0,0,0
. (1.10)
La derivación de este término se puede encontrar en [24]. En el siguiente capítulo se retomarán
las Ec. (1.9) y (1.10) para trabajar con ellas en el marco de la teoría de BCS, el cual se presenta
en la siguiente sección.
1.4. Transformación de Bogoliubov y método de BCS.
Uno de los modelos de bajas energías que tuvo mayores contribuciones al desarrollo de la
teoría de los fenómenos colectivos fue la teoría de Bardeen-Cooper-Schrieffer (de sus siglas
BCS) desarollado para explicar el fenómeno de la superconductividad inspirados en el método
variacional de Hartree-Fock para determinar el estado base de la función de onda de los porta-
dores de carga. La forma que adquiere el estado base de una partícula dados sus operadores de
creación y aniquilación q†
k , qk en el formalismo de la BCS es
|BCS⟩= ∏
k>0
(uk + vkq†
kq†
k̄
)|0⟩, (1.11)
donde uk y vk representan a los parámetros variacionales. El producto de la Ec. (1.11) la mitad
del espacio de configuraciones dado el subíndice k > 0, puesto que para cada estado k se ge-
nera un estado conjugado con k̄ < 0. En esta configuración, las partículas en la base de BCS
construyen un espacio de partículas con configuración (k, k̄). Los parámetros variacionales por
su parte, representan la probabilidad de que un cierto estado (k, k̄) esté o no esté ocupado. Estos
parámetros mantienen la normalización de los estados:
|uk|2 + |vk|2 = 1. (1.12)
La Ec. (1.11) contiene únicamente coeficientes para k > 0, los coeficientes para k < 0 están da-
dos en términos de los coeficientes de k > 0 tal que uk̄ := uk y vk̄ :=−vk. Por otro lado, es más
conveniente trabajar con una representación con simetría temporal y usar la representación de
espacios covariantes y contravariantes, donde los operadores qk̄ pasen del espacio de configura-
ciones k̄ al k añadiendo una fase.
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 7
El método de BCS considera una transformacion de Bogoliubov:
β †
k = ukq†
k + vkqk
βk = u∗kqk + v∗kq†
k , (1.13)
donde los operadores de cuasipartícula satisfacen las relaciones de anticonmutación:
{
βk,βk′
}
= 0;
{
βk,β
†
k′
}
= δkk′ . (1.14)
Los operadores βk son una linealización de los operadores de partículas q†
k y qk, esta representa-
ción nos permitió obtener la forma para el estado base de |BCS⟩ escrito en términos de cuasipar-
tículas no interactuantes. Una desventaja de esta representación es que el número de partículas
ya no es conservado dada la mezcla de operadores de creación y aniquilación, es decir:
⟨BCS|q†
kqk|BCS⟩ ̸= 0 (1.15)
Esa variación del número de partículas obliga a introducir un término de corrección λ tal que se
cumpla la condición de conservación del hamiltoniano
H ′ = H −λ N̂, (1.16)
donde H es el Hamiltoniano en el esquema de muchos cuerpos. Para este caso, consideraremos
que H está conformado por un término cinético y un potencial constante para la parte de las
interacciones entre las partículas.
H = ∑
k1,k2
εk1k2q†
k1
qk2
+
1
4
V ∑
k1k2k3k4
q†
k1
q†
k2
qk3
qk4
. (1.17)
Si consideramos que el estado base así como los estados excitados están bien definidos en la
base de cuasipartículas, el Hamiltoniano del sistema está dado por
Hb = ⟨BCS|H ′|BCS⟩+ ∑
k>0
Ekβ †
k βk = E0 + ∑
k>0
Ekβ †
k βk, (1.18)
y las cuasipartículas están sujetas por la condición βk|BCS⟩= 0 para todo valor de k. Las energías
de cuasipartícula Ek estará dada por la relación:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 8
Ek = ⟨BCS|βkH ′
BCSβ †
k |BCS⟩−E0
=
√
ε̃2
k +∆2
k , (1.19)
donde ε̃k y ∆k son respectivamente la energía de la partícula antes de la transformación de Bo-
goliubov y el llamado gap de energía. El significado físico del gap en la teoría de BCS remite
a la energía obtenida por las partículas al asociarse en pares -y formar la cuasipartícula-. Este
gap va disminuyendo su valor conforme la temperatura aumenta (o la energía ) y al desaparecer,
la cuasipartícula se destruye puesto que Ek = ε̃k. Si los elementos de matriz del potencial de
interacción de las partículas V son reales, el gap de energía está dado por [32]:
∆ =V ∑
k>0
(ukvk) (1.20)
Cuando la interacción entre pares de partículas empieza a disminuir tal que V −→ 0, entonces el
gap ∆ −→ 0 de igual manera.
1.5. Métodos para el tratamiento de muchos cuerpos.
Es bien sabido que utilizando una descripción adecuada de las partículas y una interacción
efectiva del sistema estudiado, se puede crear un modelo que explique las propiedades básicas
del estado base de dichas partículas. En el caso de la física nuclear por ejemplo, la descripción
de nucleos con un alto número de nucleones requirió de un análisis colectivo en lugar de un aná-
lisis individual de cada partícula y con ello crear métodos para el tratamiento de muchos cuerpos.
En esta sección se estudiará el método para el tratamiento de muchos cuerpos conocido como
la Random Phase Approximation (RPA) que considera la existencia de correlaciones de una
particula y un agujero para formar pares, en el vacío de esta aproximación.
1.5.1. La Random Phase Approximation.
Como ya se mencionó antes, la descripción de las interacciones por medio de la colectividad
de las partículas proveé una manera aproximada de simplificar un Hamiltoniano de un sistema
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 9
complicado. En el esquema de partículas fermiónicas, se puede definir el operador de fonones
Γ
†
ν de la RPA como
Γ†
ν = ∑
mi
Xν
miq
†
mqi −∑
mi
Y ν
miq
†
i qm, (1.21)
donde los índices m e i de la Ec. (1.21) representan a los índices de las partículas por encima
y por debajo del nivel de Fermi, respectivamente. ν representa el ν-esimo estado excitado, Xν
mi
es la amplitud de probabilidad asociada con el par ph y el nuevo par de operadores q†
i qm, dado
el orden de los índices, representa a la aniquilación de pares en el vacío con Y ν
mi su amplitud de
probabilidad.
En este contexto es necesario, al igual que con la BCS definir un nuevo estado fundamental
|RPA⟩ tal que cumpla la condición
Γν |RPA⟩= 0 (1.22)
.
El estado base |RPA⟩ que cumple esta condición es
|RPA⟩= |0̃⟩+∑
ν
∑
mim′i′
Zν
mim′i′
[
[q†
mqi]⊗ [q†
m′qi′ ]
]
|0̃⟩. (1.23)
En la Ec. (1.23) el estado |0̃⟩ representa al vacío de las partículas q† y Zn
mim′i′ es una matríz de
coeficientes definida por Zν
mim′i′ =Y ν
mi(X
ν
m′i′)
−1. En el Apéndice A.2 se da una breve descripción
de la construcción del estado |RPA⟩ aplicado a nuestro modelo, ya que por el momento no lo
utilizaremos explícitamente, sino solo la condición de la Ec. (1.22).
La ecuación de movimiento H|RPA⟩ = Eν |RPA⟩ para algún Hamiltoniano H en el formalismo
de la RPA es equivalente a tomar el doble conmutador del operador fonónico y su conjugado
⟨RPA|
[
Γν , [H,Γ†
µ ]
]
|RPA⟩= ERPA
ν δν ,µ (1.24)
De la Ec. (1.24) tiene la siguiente forma matricial
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 10
(
A B
B∗ A∗
)(
Xν
Y ν
)
= ERPA
ν
(
1 0
0 −1
)(
Xν
Y ν
)
. (1.25)
Las matrices A y B están definidas como:
Amim′i′ = ⟨RPA|
[
q†
i qm, [H,q†
m′qi′ ]
]
|RPA⟩, (1.26)
Bmim′i′ =−⟨RPA|
[
q†
i qm, [H,q†
i′qm′ ]
]
|RPA⟩. (1.27)
Una característica del estado base propuesto en la Ec. (1.23) es que el estado fundamental per-
manece sin cambios cuando el operador Γ
†
ν es tal que la amplitud Y ν
mi = 0; dicho de otro modo,
las correlaciones del vacío sobre los estados excitados son omitidas en ese caso y las Ec. (1.26)
y (1.27) se reducen a sólamente la primer ecuación. A esto se le conoce como el método Tahm-
Dancoff Approximation (TDA).
Se puede realizar una aproximación conocida como la Quasi-boson approximation (de sus siglas
en inglés, QBA), que consiste en asumir que el valor esperado del conmutador en el lado derecho
de las Ec. (1.26) y (1.27) en la base de RPA es aproximado al valor esperado en la base del
modelo de partícula independiente |0̃⟩
⟨RPA|
[
q†
mqi,q
†
m′qi′
]
|RPA⟩ ≃ ⟨0̃|
[
q†
mqi,q
†
m′qi′
]
|0̃⟩= δm,m′δi,i′ . (1.28)
Los coeficientes Xν
mi y Y ν
mi cumplen una relación de ortogonalidad entre los diferentes estados
excitados a los cuales se puede acceder con la RPA en la QBA:
⟨ν |ν ′⟩= δνν ′ ≃ ⟨0̃|[Γµ ,Γ
†
µ ]|0̃⟩= ∑
mi
(Xν
mi)
∗Xν ′
mi − (Y ν
mi)
∗Y ν ′
mi (1.29)
Es importante y necesario mencionar que la QBA no preserva el principio de Pauli, dado que hay
términos en el conmutador de la expresión ⟨RPA|
[
q†
mqi,q
†
m′qi′
]
|RPA⟩ que fueron despreciados.
Para efectos de este trabajo, dado que los estados representan partículas tipo mesónicas, la vali-
dez de la aproximación queda determinada por los resultados obtenidos teóricamente del cálculo
de las energías de dichos estados.
El resultado de aplicar todo este método será la obtención de las matríces Amim′i′ , Bmim′i′ y las
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 11
amplitudes de probabilidad (también eigenvectores) Xν y Y ν , y cómo resultado de ello un es-
pectro de energías determinado por los valores de ERPA
ν .
En algunos casos, éste método será suficiente para determinar bien un espectro de energías tipo
mesónicas, para algunos otros casos donde la complejidad del espectro sea mayor para la clasifi-
cación de los estados y no exista una clara correlación entre los estados calculados y los estados
experimentales, se utilizará el método propuesto por Bohr y Mottelson para asociar algunos es-
tados que pudieran interactuar entre sí y formar un ancho de dispersión respecto a un estado de
referencia. En la siguiente sección se entrará en detalles de dicho método.
1.6. Método de Bohr-Mottelson para el cálculo de anchos de
dispersión.
En la sección anterior se explicó que las ecuaciones provenientes del método RPA determina
un energías. Es razonable pensar que hasta cierto orden de energía, estados que estén próximos
con algun otro pueden interactuar con dicho estado y generar una ensanchamiento alrededor
de él. La intención es describir cómo la amplitud de un canal particular |a⟩ puede estar dis-
tribuído a través de muchos estados estacionarios de un sistema complejo. En analogía con la
física nuclear, el estado |a⟩ podría describir, por ejemplo, la configuración de un solo nucleón en
una órbita definida de un átomo mientras los demás nucleones forman el estado base del sistema.
Consideremos un arreglo de eigenestados |α⟩ del Hamiltoniano de QCD en la base de RPA
(etiquetado como H0) que interactuan con un solo eigenestado |a⟩ bajo efectos de una interacción
residual Vint , tal que el Hamiltoniano completo sea:
H = H0 +Vint , (1.30)
las consideraciones anteriores se engloban como:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 12
H0|a⟩= Ea|a⟩
H0|α⟩= Eα |α⟩
⟨a|Vint |a⟩= 0
⟨αi|Vint |αi′⟩=Vαi,αi′ = 0 ∀ i, i′
⟨a|Vint |αi⟩=Va,αi
=Vαi,a =C C ∈ R, (1.31)
conduciendo a la representación de los eigenvalores del Hamiltoniano en la Ec. (1.30) en forma
matricial


Eα Va,α1 Va,α2 Va,α3 · · · Va,αN
Va,α1 Eα1 0 0 · · · 0
Va,α2 0 Eα2 0 · · · 0
Va,α3 0 0 Eα3 · · · 0
...
...
...
...
. . .
...
Va,αN
0 0 0 · · · EαN


. (1.32)
Cualquier eigenestado del Hamiltoniano puede ser escrito como:
|E⟩= ca(E)|a⟩+∑
i
cαi
(E)|αi⟩ (1.33)
La Ec. (1.33) junto con la condición de normalización de los estados ⟨E|E⟩ = 1 determinan
completamente las amplitudes cαi
(E) y ca(E):
cαi
(E) =−ca(E)
Va,αi
(Eαi
−E)
(ca(E))
2 =
(
1+∑
i
(Va,αi
)2
(Eαi
−E)2
)−1
, (1.34)
Las amplitudes ca(E) describen la distribución de las propiedades del estado a a través de todo
el espectro E. Finalmente, el valor promedio de la energía y el ancho del estado de referencia |a⟩
cuando E ≈ Ea son:
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MODELO. 13
Ē = Ea(ca(E))
2 +∑
i
Eαi
(cαi
(E))2 (1.35)
Γ = 2σ
= 2
(
(Ea − Ē)2(ca(E))
2 +∑
i
(Eαi
− Ē)2(cαi
(E))2
) 1
2
(1.36)
Es importante mencionar que el alcance de este método está limitado a que existan estados lo
suficientemente cercanos entre sí y que puedan interactuar. Cuando se presenta un espectro de
estados casi equidistantes, es difícil discernir razonablemente sobre qué estados pueden interac-
tuar entre sí.
En el siguiente capítulo se detallarán las aplicaciones de cada uno de estos métodos descritos
para el cálculo de los espectros y posteriormente, en el capítulo 3 se presentarán los resultados
obtenidos y se entrará en discusión con respecto al éxito que tienen al replicar los espectros
experimentales.
Capítulo 2
Hamiltoniano efectivo y su análisis a bajas
energías.
En el capítulo anterior hicimos una descripción de la teoría requerida para obtener las ener-
gías asociadas al Hamiltoniano de la Ec. (1.3) bajo un tratamiento de la teoría de muchos cuerpos.
En este capítulo se aplicarán con detalle los métodos descritos anteriormente para cada parte del
Hamiltoniano, con el objetivo de obtener un espectro de energías tipo mesónico que pueda ser
comparado con datos experimentales.
H E f f
QCD =
∫
{ψ̄(−iα ·∇+βm)ψ}dx− 1
2
∫
ρc(x)V (|x−y|)ρc(y)dxdy.
Como ya mencionamos, es más conveniente para el cálculo numérico reescribir los campos ψ†
y ψ en términos de la base de oscilador armónico. Lo anterior implica que el término cinético no
es diagonal, por lo que hay que realizar una diagonalización del término cinético identificando
quarks efectivos, esto se consigue reescribir los quarks q†
k y qk en términos de una nueva base de
quarks efectivos Q†
k y Qk. Posteriormente, se aplican de forma progresiva los métodos descritos
en el capítulo anterior que son: la BCS, la RPA y de ser necesario, el método de Bohr-Mottelson
para la determinación de anchos de dispersión.
A nivel de los quarks efectivos, se realiza una transformación de Bogoliubov para pasar estos
quarks efectivos a una base de cuasipartículas, en donde se consideran los siguientes términos
del Hamiltoniano: H00 +H11 +H20 +H02 y se utilizan las ecuaciones de BCS en esta base para
obtener la energía de dichas cuasipartículas así como el gap proveniente de la interacción. Una
vez obtenidas las energías de cuasipartícula, se utilizará la RPA con los términos: H22 +H04 +
14
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 15
H40, para determinar el espectro de estados tipo mesónicos sobre cada subespacio JPC.
2.1. Transformación del Hamiltoniano a la base efectiva de
quarks.
En el capítulo 1 se mostró que el operador cinético K de la Ec. (1.9) tiene una representación
sobre la base de operadores de creación y aniquilación de quarks.
K = ∑
jτiNili
∑
mc f
K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
q†
τ1(N1l1) jmc f
qτ2(N2l2) jmc f
.
Evidentemente, este operador no es diagonal en esta base y debe ser diagonalizado. A este pro-
ceso lo llamaremos prediagonalización.
En la introducción también se mencionó que los quarks ligeros (u, d y s), son distinguibles
por su valor de isoespín, esto es los quarks u,d con isoespín T = 1
2 ; y el quark s con isoespín
T = 0. Dada esta distinción, el término de masa mT
0 de los coeficientes de la Ec. (1.9) serán
mT
0 = mu,dδ
T,
1
2
+msδT,0. El primer paso para realizar la prediagonalización es introducir una
transformación general de operadores de creacion y aniquilación a una base de operadores efec-
tivos de la siguiente forma:
q†
τ,N,(l
1
2 ) jm,c f
= ∑
λπk
(
α
j,T
τ(Nl),λπk
)∗
Q†
λπk jmc f
δ
π,(−1)
1
2−τ+l
, (2.1)
donde el índice λ = ±1
2 refiere a las componentes de pseudoespín, k recorre todos los ni-
veles orbitales y π es la paridad, todos ellos en la nueva base de quarks efectivos. El va-
lor de λ = 1
2 está asociado con estados de energía positiva (quarks efectivos) mientras que
λ = −1
2 se asocia con estados de energía negativos (antiquarks efectivos), es decir, identifi-
camos Q†
1
2 πk jmc f
−→ b†
πk jc(Y,T ),m jmcmT
y Q†
− 1
2 πk jmc f
−→ d†
πk jc(Y,T ),m jmcmT
.
Algunas cosas importantes para ser mencionadas son:
La paridad del lado izquierdo en la Ec. (2.1) está dada por (−1)
1
2−τ+l mientras que la
paridad del lado derecho está dada por el índice π . En otras palabras, se garantiza que
los operadores de partícula efectiva Q†
λπk jmc f
son una combinación lineal de estados con
paridad bien definida.
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 16
Los elementos de la transformación dependen del tipo de quarks involucrados mediante el
isospin T para distinguir entre los quarks u, d y s.
Al realizar esta transformación a la base de operadores efectivos, los elementos de matríz K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
de la Ec. (1.9) quedan diagonalizados de la siguiente forma:
∑
τiNili
α
j,T
τ1(N1l1),λ1π1k1
K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
α
j,T
τ2(N2l2),λ2π2k2
= ελ1π1k1 jc(Y,T )δλ1λ2
δπ1π2δk1k2 . (2.2)
donde ελ1π1k1 jc(Y,T ) son las energías de las partículas después del proceso de prediagonalización.
Finalmente, el término de energía cinética en la base de quarks efectivos es reescrito en terminos
de los nuevos operadores efectivos y la energía de partícula efectiva, de la siguiente forma:
K = ∑
πkγ
ελπkγ ∑
µ
(
b†
πkγµbπkγµ −dπkγµd†
πkγµ
)
, (2.3)
donde se ha introducido una notación corta para las representaciones γ = (J,c,(Y,T )) para de-
notar los números cuánticos de espín total, color, hipercarga e isoespín y µ = (m,mc,Tz) como
sus proyecciones.
En el apéndice A.1 se muestra como los elementos de matríz K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
contienen al tér-
mino (
√
B0) que está asociado con la anchura de la base del oscilador. Este valor lo acotamos
entre 0,45 f m ≤ (
√
B0)
−1 ≤ 1 f m considerando un posible tamaño de un hadrón.
2.1.1. Término de interacción
El término de la QCD Instantaneous Color-Coulomb Interaction reescrito en la base de los
quarks y antiquarks está dado por la Ec.(1.10):
HCoul =−1
2 ∑
NiliJiL
V L
{NiliJi}
[
[q†
(N1l1)J1
⊗q(N2l2)J2
]0,L,(11),(00)]
⊗ [q†
(N3l3)J3
⊗q(N4l4)J4
]0,L,(11),(00)
]0,0,(00),(00)
0,0,0,0
,
donde los términos [q†
(Nili)Ji
⊗q(N jl j)J j
]0,L,(11),(00) refieren al acoplamiento existente entre quarks
y antiquarks y donde la notación {0,L,(11),(00)} corresponde al pseudoespín cero, momento
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 17
angular total L, color (11) y sabor (00), es decir, correspondientes a las densidades de las in-
teracciones de color (11). Vale la pena mencionar que por el hecho de hacer distinción entre
isospín T = 1
2 y T = 0 de los quarks, las representaciones de sabor serán identificadas en su
representación de hipercarga e isospín. En este sentido, es necesario reescribir los términos del
acomplamiento en términos de los números Y,T,MT :
[q†
(N1l1)J1
⊗q(N2l2)J2
]
0,L,(11),(00)
0,ML,MC,0
= ∑
Y1T1,Y2T2
(−1)
1
3+
Y1
2 +T1
√
2T1 +1√
3
δT1T2δY1Y2
×
[
q†
(N1l1)J1Y1T1
⊗q(N2l2)J2Y2T2
]0,L,(11),00
0,ML,MC,0
(2.4)
Finalmente, al aplicar la transformación a operadores efectivos, el término de interacción ad-
quiere la siguiente forma:
HCoul =−1
2 ∑
L
∑
λiqi
VL
(λiqi)
([
Fλ1q1,λ2q2;γ f0
Fλ3q3,λ4q4;γ̄ f0
]γ0
µ0
+
[
Fλ1q1,λ2q2;γ f0
Gλ3q3,λ4q4;γ̄ f0
]γ0
µ0
+
[
Gλ1q1,λ2q2;γ f0
Fλ3q3,λ4q4;γ̄ f0
]γ0
µ0
+
[
Gλ1q1,λ2q2;γ f0
Gλ3q3,λ4q4;γ̄ f0
]γ0
µ0
)
, (2.5)
donde los operadores Fλ1q1,λ2q2;γ f0
,µ f0
y Gλ1q1,λ2q2;γ f0
,µ f0
están dados por:
Fλ1q1,λ2q2;γ f0
,µ f0
=
1√
2
{
δλ
1, 1
2
δλ
2, 1
2
[
b†
q1
⊗bq̄2
]γ f0
µ f0
−δλ
1,− 1
2
δλ
2,− 1
2
[
dq1
⊗d†
q̄2
]γ f0
µ f0
}
(2.6)
Gλ1q1,λ2q2;γ f0
,µ f0
=
1√
2
{
δλ
1,− 1
2
δλ
2, 1
2
[
dq1
⊗bq̄2
]γ f0
µ f0
−δλ
1, 1
2
δλ
2,− 1
2
[
b†
q1
⊗d†
q̄2
]γ f0
µ f0
}
, (2.7)
donde, los elementos de matríz VL
(λiqi)
= VL
(λiπikiJi(Yi,Ti))
están en términos de los numeros cuán-
ticos de la base efectiva Y,T,MT .
VL
(λiπikiJi(Yi,Ti))
= ∑
τiNili
VL
(NiliJi)
α
J1,T1
τ1(N1l1),λ1π1k1
α
J2,T2
τ2(N2l2),λ2π2k2
α
J3,T3
τ3(N3l3),λ3π3k3
×α
J4,T4
τ4(N4l4),λ4π4k4
δτ1τ2δτ3τ4δ
π1,(−1)
1
2−τ1+l1
δ
π2,(−1)
1
2−τ2+l2
×δ
π3,(−1)
1
2−τ3+l3
δ
π4,(−1)
1
2−τ4+l4
× (−1)
1
3+
Y1
2 +T1
√
2T1 +1√
3
δT1T2δY1Y2(−1)
1
3+
Y3
2 +T3
√
2T3 +1√
3
δT3T4δY3Y4 , (2.8)
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 18
donde los elementos de matríz VL
(NiliJi)
están escritos en la base del oscilador armónico:
VL
(NiliJi)
= ∑
JN′
rNrlrNRLR
3
√
8
√
(2 j1 +1)(2 j2 +1)(2 j3 +1)(2 j4 +1)
√
2L+1(2J+1) (2.9)
× (−1)L+ j2+ j4−J+1
{
l1 L l2
j2
1
2 j1
}{
l3 L l4
j4
1
2 j3
}{
l2 J l4
l3 L l1
}
× (N′
rlr,NRLR,J|N1l1,N3l3,J)(Nrlr,NRLR,J|N2l2,N4l4,J)∫
d3rΨ∗
N′
rlrlr
(r)V (
√
2r)ΨNrlrlr(r).
El Hamiltoniano dado por las Ecs. (2.3) y (2.5) será analizado mediante la implementación
de métodos de muchos cuespos como se mencionó en el capítulo anterior. El primer paso es
hacer la transformación de Bogoliubov, con el objetivo de diagonalizar la parte del potencial
coulombiano. Al aplicar la transformacion de bogoliubov y tomar el Hamiltoniano en orden
normal, los terminos H11, H20 y H02 se consideran mediante las ecuaciones BCS el cual ya
utiliza cuasipartículas y nos dará energías de cuasiparticulas y gaps, como se mostrará en la
siguiente sección.
2.2. Transformación de Bogoliubov y Hamiltoniano de cuasi-
partículas
En el capítulo 1 se mencionaron los aspectos más importantes de la teoría de BCS aplicables
al modelo implementado en este trabajo, uno de ellos fue la implementación de la transforma-
ciones de Bogoliubov para transformar el Hamiltoniano a una nueva base con operadores de
cuasipartícula. Los operadores de creación de cuasipartícula están dados por
B
†
kiπi,γiµi
= ukiπi,γi
b†
kiπi,γiµi
− vkiπi,γi
dkiπi,γiµi
D†kiπi,γiµi = ukiπi,γi
d†kiπi,γiµi + vkiπi,γi
bkiπi,γiµi , (2.10)
mientras que los operadores de aniquilación están dados por
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 19
Bkiπi,γiµi = u∗kiπi,γi
bkiπi,γiµi − v∗kiπi,γi
d†kiπi,γiµi
Dkiπi,γiµi
= u∗kiπi,γi
dkiπi,γiµi
+ v∗kiπi,γi
b†
kiπi,γiµi
. (2.11)
Donde los operadores de la base efectiva se pueden escribir de la siguiente forma
b†
kiπi,γiµi
= u∗kiπi,γi
B
†
kiπi,γiµi
+ vkiπi,γi
Dkiπi,γiµi
d†
kiπi,γiµi
= u∗kiπi,γi
D†kiπi,γiµi − vkiπi,γi
Bkiπi,γiµi . (2.12)
donde se sigue utilizando la notación corta γi = (JiCi(Yi,Ti)) para los números cuánticos y
µi = (MJi
MCi
MTi
) para las proyecciones magnéticas, además que los coeficientes variaciona-
les ukπγ y vkπγ son reales.
Como se mencionó en la sección 1.4, la BCS consiera un nuevo vacío |BCS⟩ que considera
correlaciones entre los quarks (Ec. (1.11)) donde se cumplen la siguientes relaciones
Bkπγµ |BCS⟩= 0. (2.13)
Dkπγµ |BCS⟩= 0. (2.14)
El siguiente paso es reescribir las expresiones de las Ecs. (2.3) y (2.5) en términos de operadores
de cuasipartículas y ordenar de forma normal.
El término cinético será
K = ∑
κ=kπγ
εκ ∑
µ
{
(u2
κ − v2
κ)(B
†
κµBκµ +D†κµDκµ)+2uκvκ(B
†
κµD†κµ +DκµBκµ)
}
+∑
κ
εκ(2v2
κ −1)Ωκ , (2.15)
donde el término Ωk está relacionado con la degeneración de cada estado de cuasipartícula con
números κ = kπγ . La parte asociada a la interacción es más larga, dado que debemos hacer las
transformaciones de los operadores de las Ec. (2.6) y (2.7) a la base de cuasipartícula. Cada uno
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 20
de estos términos reescritos en la base de cuasipartículas serán:
[
b†
q1
⊗bq̄2
]γ f0
µ f0
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2−µ2b
†
k1π1γ1µ1
bk2π2γ2µ2
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2−µ2
(
u∗k1π1γ1
B
†
k1π1γ1µ1
+ vk1π1γ1Dk1π1γ1µ1
)
×
(
uk2π2γ2Bk2π2γ2µ2 + v∗k2π2γ2
D†k2π2γ2µ2
)
.
[
dq1
⊗d
†
q̄2
]γ f0
µ f0
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2+µ2dk1π1γ1µ1d†k2π2γ2µ2
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2+µ2
(
uk1π1γ1Dk1π1γ1µ1 − v∗k1π1γ1
B
†
k1π1γ1µ1
)
×
(
u∗k2π2γ2
D†k2π2γ2µ2 − vk2π2γ2Bk2π2γ2µ2
)
.
[
dq1
⊗bq̄2
]γ f0
µ f0
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2−µ2d
†
k1π1γ1µ1
bk2π2γ2µ2
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2−µ2
(
uk1π1γ1Dk1π1γ1µ1 − v∗k1π1γ1
B
†
k1π1γ1µ1
)
×
(
uk2π2γ2Bk2π2γ2µ2 + v∗k2π2γ2
D†k2π2γ2µ2
)
.
[
b†
q1
⊗d
†
q̄2
]γ f0
µ f0
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2+µ2b
†
k1π1γ1µ1
d†k2π2γ2µ2
= ⟨γ1µ1, γ̄2µ̄2|γ f0 µ f0⟩(−1)γ2+µ2
(
u∗k1π1γ1
B
†
k1π1γ1µ1
+ vk1π1γ1Dk1π1γ1µ1
)
×
(
u∗k2π2γ2
D†k2π2γ2µ2 − vk2π2γ2Bk2π2γ2µ2
)
.
(2.16)
Dado que la BCS trabaja al nivel de pares de cuasipartículas, en la siguiente sección se detallará
el tratamiento de los términos H11, H20 y H02 y diagonaliza el término H11 y simultaneamente
anula el H20 +H02 las condiciones a las que están sometidos al aplicarse sobre el estado base de
BCS. Los términos H22,H04,H40 serán tratados con el método de la RPA.
2.3. Ecuaciones BCS.
La aplicación de la transformación de Bogoliubov a las particulas efectivas fue, como ya se
mencionó, con la intención de diagonalizar una parte del elemento de interacción del Hamilto-
niano HCoul de un cuerpo. Al haber realizado la transformación a la base de cuasipartículas, el
siguiente paso es encontrar las energías de cuasipartícula para cada tipo de sabor de los quarks
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 21
por separado y para esto, las ecuaciones BCS permiten encontrar los valores de la energía de
cuasipartícula así como el gap de energía asociado a las interacciones. Como ya se mencionó,
la BCS es capaz de analizar los términos del Hamiltoniano H11 y H20 +H02 después de haber
realizado el ordenamiento normal de las Ec. (2.15) y (2.5). En el trabajo [43] se puede consultar
a detalle dicho ordenamiento normal. A grandes rasgos, los términos H11 y H20 +H02 tendrán
las siguientes estructuras:
El término H11 ∝ ε(B†
kπγBkπγ +D†kπγDkπγ)+V (B†
kπµBk′π ′µ ′
+D†kπµDk′π ′µ ′), que conten-
drá terminos referentes a la energía cinética y a la potencial, se diagonalizará en la base de
BCS y es proporcional a la energía de cuasipartícula.
El término H20 +H02 ∝ ε(B†
kπγD†kπγ +DkπγBkπγ)+V (B†
kπγD†k′π ′γ ′ +DkπγBk′π ′γ ′) el cual
mediante el método BCS se debe anular de forma simultanea al diagonalizarse el H11.
Los términos están dados en el apéndice A.3 explícitamente. Con estas dos condiciones, las
ecuaciónes BCS se escriben [43]
Σκ1Zκ1 +∆κ1Wκ1 = Eκ1 (2.17)
−∆κ1Zκ1 +Σκ1Wκ1 = 0 (2.18)
donde la energía de cuasipartícula está dada por Eκ1 , para cada estado con números cuánticos
κ = kπγ y los términos de autoenergía, el gap, la energía de cuasipartícula y los eigenvectores
Zκ1 y Wκ1
Σκ1 = εκ1 +V̄ Σ
κ1κ2κ3κ4
(u2
κ2
− v2
κ2
) (2.19)
∆κ1 = V̄ ∆
κ1κ2κ3κ4
(uκ2vκ2) (2.20)
Eκ1 =
√
Σ2
κ1
+∆2
κ1
(2.21)
Zκ1 =
{
u2
κ1
− v2
κ1
}
(2.22)
Wκ1 =
{
2uκ1vκ1
}
. (2.23)
Las energías de cuasipartícula para cada sabor de los quarks (u, d y s) se obtienen al resolver
simultaneamente las Ec. (2.17) y (2.18). Los elementos de matríz V̄ Σ
κ1κ2κ3κ4
y V̄ ∆
κ1κ2κ3κ4
están
dados por
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 22
V̄ Σ
k1π1J1Y1T1, k2π2J2Y2T2, k2π2J2Y2T2, k1π1J1Y1T1
=−1
2 ∑
L
∑
λi
(
1
2
)√
8(2L+1)
9
(−1)L+J2−J1
2J1 +1
×
{
∑
τiNili
V L
{NiliJi}α
J1,T1
τ1(N1l1),λ1,π1,k1
α
J2,T2
τ2(N2l2),λ2,π2,k2
α
J3,T3
τ3(N3l3),λ3,π3,k3
α
J4,T4
τ4(N4l4),λ4,π4,k4
× δτ1τ2δτ3τ4 δ
π1,(−1)
1
2−τ1+l1
δ
π2,(−1)
1
2−τ2+l2
δ
π3,(−1)
1
2−τ3+l3
δ
π4,(−1)
1
2−τ4+l4
}
×(δπ1π4)(δk2k3δπ2π3)(δJ2J3δJ1J4)(δT1T2δT2T3δT3T4)(δY1Y2δY2Y3δY3Y4)
×2(δλ1+
1
2
δλ2+
1
2
δλ3+
1
2
δλ4+
1
2
−δλ1− 1
2
δλ2+
1
2
δλ3+
1
2
δλ4− 1
2
), (2.24)
y por
V̄ ∆
k1π1J1Y1T1, k2π2J2Y2T2, k2π2J2Y2T2, k1π1J1Y1T1
=−1
2 ∑
L
∑
λi
(
1
2
)√
8(2L+1)
9
(−1)L+J2−J1
2J1 +1
×
{
∑
τiNili
V L
{NiliJi}α
J1,T1
τ1(N1l1),λ1,π1,k1
α
J2,T2
τ2(N2l2),λ2,π2,k2
α
J3,T3
τ3(N3l3),λ3,π3,k3
α
J4,T4
τ4(N4l4),λ4,π4,k4
× δτ1τ2δτ3τ4 δ
π1,(−1)
1
2−τ1+l1
δ
π2,(−1)
1
2−τ2+l2
δ
π3,(−1)
1
2−τ3+l3
δ
π4,(−1)
1
2−τ4+l4
}
×(δπ1π4)(δk2k3δπ2π3)(δJ2J3δJ1J4)(δT1T2δT2T3δT3T4)(δY1Y2δY2Y3δY3Y4)
×4(δλ1+
1
2
δλ2+
1
2
δλ3− 1
2
δλ4− 1
2
+δλ1− 1
2
δλ2+
1
2
δλ3− 1
2
δλ4+
1
2
), (2.25)
y estos elementos de matriz están en función del sabor de cada uno de los quarks, por lo que
dichas ecuaciones son dependientes del estado de las partículas.
Con los resultados de las ecuaciones BCS, el resultado será un espectro de cuasipartículas Eκ con
sus respectivos gaps ∆κ y sus números de ocupación u,v. Este espectro al ser de cuasipartíclas,
conservan los números cuánticos de la partículas anteriores, por lo tanto no son un espectro
observable, además, sólo el estado fundamental presenta gap. A pesar de lo anterior, el espectro
de cuasipartículas constituye el punto de partida para construir mediante dos cuasipartículas y
sus interacciones H22,H04 y H40 un espectro tipo mesónico mediante la aplicación del método
RPA.
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 23
2.4. Formación de estados tipo mesónicos con la RPA
Una vez realizada la BCS, el Hamiltoniano tiene la siguiente estructura:
H
QCD
RPA = H11 +H22 +H40 +H04, (2.26)
Donde llamamos H
QCD
RPA al Hamiltoniano que vamos a trabajar en la RPA, el cual incluye al
término H11 que es el operador número en la base de cuasipartículas, así como el término de
creacion y aniquilacion de pares de cuasipartículas H22 y los terminos de creación y aniquilación
de dos pares de cuasipartículas H04 y H40, respectivamente. El Hamiltoniano de la Ec. (2.26)
será analizado y diagonalizado con el método de la RPA con una base de fonones construidos
mediante la creación y aniquilación de pares como se definen a continuación
Γ̂
†
n;Γµ = ∑
a,b
Xn
ab;Γ[B
†
aD
†
b̄
]
Γ
µ
−Y n
ab;Γ(−1)φΓµ [Db̄Ba]
Γ̄
µ̄ , (2.27)
donde el término (−1)φΓµ = (−1)J−MJ(−1)T−Tz es la fase requerida por los operadores para
garantizar que el estado base mantenga su forma escalar, además de introducir la notación corta
[B†
aD
†
b̄
]
Γ
µ
= ([B†
πakaγa
⊗D
†
πbkbγ̄b
]
JP(00)Y T
MJ0Tz
). Como se describió en la sección 1.5.1 en la Ec. (1.24),
la ecuación de movimiento del Hamiltoniano de la Ec. (2.26) en esta base de operadores está
dado por el doble conmutador:
⟨RPA|
[
Γ̂n′;Γµ
,
[
H
QCD
RPA , Γ̂
†
n;Γµ
]]
|RPA⟩= ERPA
n;Γ δn,n′ . (2.28)
La Ec. (2.28) provee el cálculo de la energía ERPA
n;Γ asociada a la n−ésima excitación de un
estado tipo mesónico con números cuánticos n,Γ = n,T (JP), donde todos los estados tipo me-
sónicos construídos con esta RPA tienen color (00) y donde la información de la hipercarga está
contenida en el isoespín T . El n−ésimo estado RPA está definido en términos del operador fo-
nónico como |n;Γµ⟩RPA = Γ̂
†
n;Γµ |RPA⟩. Además, el vacío está construido tal que la condición
Γ̂n;Γµ |RPA⟩ = 0 se cumpla. El estado base de la |RPA⟩ contiene correlaciones de pares en el
vacío, para esta RPA, el vacío correspondiente es el vacío de cuasipartículas o el vacío |BCS⟩, es
decir,
|RPA⟩= |BCS⟩+∑
n,Γ
∑
a′b′ab
Z
n,Γ
a′b′ab
[
[B†
a′D
†
b̄′ ]
Γ ⊗ [B†
aD
†
b̄
]
Γ̄
]Γ0
µ0
|BCS⟩. (2.29)
Para mayores detalles del planteo de este estado base de RPA, ver el apéndice A.2.
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 24
Al realizar el doble conmutador de la Ec. (2.28) y aplicarlo sobre el estado RPA de la Ec. (2.29),
el primer término del Hamiltoniano H
QCD
RPA (el término H11) dará como resultado la energía del
par B
†
aD
†
b̄
, por lo que el resto de los términos H22 +H04 +H40 adquieren la siguiente forma:
⟨RPA|
[
Γ̂n′;Γµ
,
[
H
QCD
22+40+04, Γ̂
†
n;Γµ
]]
|RPA⟩
=−1
2 ∑
L
∑
λiπikiJiYiTi
V L
{λiπikiJiYiTi}∑
µ0
(−1)Γ0−µ0
Γ̂0
×⟨RPA|
[
Γ̂n′;Γµ
,
[
F12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
+F12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
+G12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
+G12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
, Γ̂
†
n;Γµ
]]
|RPA⟩.
(2.30)
Donde la expresión completa para los operadores F12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
, F12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
,
G12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
y G12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
está en el apéndice A.3. Una vez realizado el doble con-
mutador entre el Hamiltoniano y los operadores de fonones, la ecuación dinámica de la RPA se
puede escribir en forma matricial como sigue
(
A B
B∗ A∗
)(
Xn
Y n
)
= ERPA
n
(
1 0
0 −1
)(
Xn
Y n
)
. (2.31)
donde a su vez, A y B son matrices dadas por los siguientes conmutadores:
Aa′b′;Γ′µ ′; a,b;Γµ = ⟨0̃|
[
[Db̄′
Ba′ ]Γ
′
µ ′ ,
[
H
QCD
RPA , [B†
aD
†
b̄
]Γµ
]]
|0̃⟩ , (2.32)
Ba′b′;Γ′µ ′; a,b;Γµ =−⟨0̃|
[
[Db̄′
Ba′ ]Γ
′
µ ′ ,
[
H
QCD
RPA ,(−1)φΓµ [Db̄Ba]Γµ̄
]]
|0̃⟩, (2.33)
La matríz de la Ec. (2.31) es diagonalizada mediante el método de Cholesky. Los eigenvalo-
res de la Ec. (2.31) representarán un espectro tipo mesónico. Vale la pena aclarar que la Ec.
(2.31) construirá un espectro de pares para cada subespacio de n,Γ = n,T (JP) con T = 0, 1
2 ,1 y
JP = 0±,1±, es decir, realizaremos una RPA por cada subespacio.
En el siguiente capítulo se analizarán los espectros RPA para cada uno de los subespacios n,Γ =
n,T (JP) y se compararán con los datos experimentales, a fin de analizar posibles relaciones entre
CAPÍTULO 2. HAMILTONIANO EFECTIVO Y SU ANÁLISIS A BAJAS ENERGÍAS. 25
la teoría y el experimento [1].
Capítulo 3
Resultados del cálculo de los espectros
En el capítulo 2 se presentó paso a paso los métodos utilizados para analizar el Hamiltoniano
efectivo propuesto y con el cual hacemos el cálculo de los espectros tipo mesónicos. Nuestro
Hamiltoniano tiene ciertos parámetros, los cuales son: las masas de los quarks mq, ms, los po-
tenciales de Coulomb VC y lineal VL. Los resultados de los cálculos realizados que se presentan
en este capítulo corresponden a haber hecho un análisis de estos parámetros con la finalidad de
que con los mismos valores para todos los subespacios n,T (JP), se tuviera la mejor relación
posible con los datos experimentales, es decir, no se ajustan los parámetros del modelo a cada
subespacio ni a un estado en específico salvo el pión fundamental.
En la sección 3.2 se muestra de forma específica la implementación del método para calcular
anchuras mediante una interacción residual (descrita en la sección 1.6) que, al igual que el resto
de los parámetros, se ajustó de manera global sin intención de ajustar una anchura específica.
De las secciones 3.3 a la 3.7 se presentan los resultados para cada subespacio dados los parame-
tros de la siguiente sección y se analizarán las energías, la densidad de estados hasta 2 GeV en
cada subespacio y la posibilidad de aplicar el calculo de anchos si la densidad es mayor que la
experimental.
3.1. Parámetros del modelo y soluciones de cuasipartícula.
Como se mencionó anteriormente, los cuatro parámetros por considerar para realizar los
cálculos son: La masa inicial para cada sabor de quark mq con q = u,d y ms, así como los
parámetros del potencial de interacción de las partículas, el potencial de Coulomb VC y el poten-
cial lineal o string tension VL. Los valores elegidos para éstos parámetros están señalados en el
26
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 27
Cuadro 3.1.
mq[GeV ] ms[GeV ] VC VL[GeV 2]
0.05 0.140 1.501 0.152
Cuadro 3.1: Valores para los parámetros de masa mq (q = u,d quarks), ms (s-quarks) y los pará-
metros Vc y VL para los potenciales de Coulomb y lineal.
Estos parámetros se utilizaron para calcular las energías de prediagonalización y posteriormente,
introducirse en el cálculo de la BCS para obtener las energías del espectro de cuasipartícula y
sus correspondientes gaps de energía. Los valores de esta energía de cuasipartículas Eκ y los
gaps ∆κ para el estado fundamental se muestran en el Cuadro 3.2. Vale la pena mencionar que
sólo el estado base de cuasipartícula presenta gap, por lo que los demás estados excitados son
idénticos a los estados de partícula efectiva obtenidos mediante la prediagonalización.
Eq[GeV ] ∆q[GeV ] Es[GeV ] ∆s[GeV ]
0.799 0.6368 0.798 0.6223
Cuadro 3.2: Valores para la energía de cuasipartícula Eq y el gap ∆q (q = u,d quarks), la energía
Es y el gap ∆s (s-quarks)
Los parámetros VC y VL desempeñan un papel crucial en la cantidad de estados teóricos obtenidos
en la región hasta 2 GeV, a esto nos referimos con la densidad de estados por cada subespacio.
Mientras el parámetro de Coulomb afecta la energía tanto del estado base como del primer esta-
do excitado, en cada subespacio, el parámetro de la string tension VL afecta al resto del espectro,
aumentando la energía de todos los estados excitados. Como nota adicional, se probaron muchas
combinaciones de parámetros. Los que se muestran en el Cuadro 3.1 son los que hasta cierto
punto generaron mejor concordancia con la parte experimental y al hacer una comparación de
éstos con otros trabajos [44], éstos son del mismo orden.
3.2. Cálculo y análisis de los estados tipo mesónicos.
Lo primero que se hará será mostrar un espectro obtenido directamente del cálculo RPA, en
este caso el espectro de π , específicamente la figura 3.1. Al compararlo con la parte experimental
es evidente que tenemos una mayor cantidad de estados que los observados experimentalmen-
te. Aprovechamos este subespacio de piones para indicar cómo y cuando aplicamos el cálculo
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 28
de anchuras, es decir, cuando observamos una región de energías en el espectro con un mayor
número de estados que la parte experimental y el cómo corresponde a la implementación de un
estado representativo en ese rango de energías y sus estados vecinos. Una vez identificado eso
aplicamos el método de anchos descrito en la sección 1.6. Como mencionamos en la Sección
3.1, el método para calcular las anchuras requiere una interacción residual Vint que mezcle un
estado representativo con estados en su vecindad cercana, todos estos estados siendo soluciones
del Hamiltoniano RPA en cada subespacio n,Γ.
La expresión del Hamiltoniano diagonalizado con la RPA denotado como H0 tiene la siguiente
estructura:
H0 = ∑
n
EnΓ̂
†
n;Γµ Γ̂n;Γµ
, (3.1)
donde las En son las energías RPA, los operadores Γ̂n;Γµ , Γ̂
†
n;Γµ son los operadores de pares de
fonones, con lo que se crea un operador número de pares.
Por lo que los anchos que aparecen en las Figura del lado derecho de la Figura 3.1 se determi-
naron mediante las Ec. (1.35) y (1.36). El valor para el parámetro de interacción se eligió como
Vint = 70MeV , el cual es pequeño comparado con las energías de cuasipartículas, las energías de
estados tipo mesónicos RPA y esto es debido a que de haber sido grande esta interacción debió
considerarse desde el principio.
Al inicio de las secciones 3.3 y 3.4 se presentan subespacios representativos en donde podemos
mostrar cuándo y cómo aplicar el cálculo de anchos, es decir, cuando observamos mayor den-
sidad en la parte teórica que en la experimental, se puede aplicar ese cálculo de anchuras (ver
figura 3.1) y cuando la densidad es igual o menor que la experimental no hay necesidad de apli-
car dicho método (ver figura 3.3). Posteriormente mostramos los espectros en su forma final una
vez hecho el análisis que mencionamos y lo hacemos para todos los subespacios n,Γ.
3.3. Subespacio JP = 0−
En esta sección se utilizará como estado representativo del subespacio n,T (JP) = n,T (0−)
al π , cuyos espectros teórico y experimental se muestran en la Figura 3.1
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 29
Experimento Teoría
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
En
er
gi
a 
[M
eV
]
Estados π
Experimento Teoría
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
π(140)
π(1300)
π(1800)
Ē(138)
Ē(1050)
Ē(1603)
 
Anchuras
Figura 3.1: A la izquierda, se muestra la distribución de estados del espectro RPA comparados
con los resultados experimentales y al lado derecho, se muestran los resultados teóricos (trián-
gulos) incluyendo el cálculo de anchos (barras verticales) en aquella región donde se observa
mayor densidad de estados, mientras que en la parte experimental (círculos) se incluye el valor
de la anchura (barras verticales) reportada experimentalmente [1].
En la figura 3.1 se puede observar que en la parte teórica se obtuvieron, con los paráme-
tros indicados en la sección 3.1, cuatro estados tipo mesónicos dentro del rango de los 2 GeV ,
mientras que en la parte experimental se reportan tres estados de piones. Se puede observar en
la parte teórica y experimental una brecha dominante entre el primero y segundo estado, por su
parte entre el segundo y tercer estado existe una brecha de menor tamaño y, en la parte teórica,
entre el tercero y el cuarto estado una brecha de menor tamaño. Es ahí en esta región donde se
observa la brecha más pequeña, en la parte teórica, donde se hace interactuar al tercer y cuarto
estado con la interacción Vint para obtener el centroide de energía asociado a estos dos estados
y la correspondiente anchura. Este procedimiento que acabamos de describir del tamaño de bre-
chas y la densidad de estados en cierta región del espectro, se implementó en cada subespacio
siempre y cuando observáramos dichas características teóricas con respecto al experimento.
Una vez incluido tanto en la parte teórica como en la parte experimental la anchura de los es-
tados se obtiene la figura del lado derecho en la figura 3.1, la cual muestra cierta concordancia
entre los estados teóricos y experimentales para este subespacio específico. En esta figura no po-
demos hacer directamente una relación teórica-experimental, además de que no era el propósito
fundamental de este trabajo analizar estados específicos, sino más bien mostrar una metodología
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 30
que incluye la aplicación de métodos no perturbativos de muchos cuerpos con la finalidad de
explorar un Hamiltoniano motivado de la QCD a bajas energías y con él posibles relaciones o
concordancias con los datos experimentales.
En la figura 3.2 se muestran los subespacios JP = 0− correspondientes (de izquierda a derecha)
a Isoespín T = 0, 1
2 ,1.
η K π
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
En
er
gí
a 
[M
eV
]
η(547)
η(958)
η(1295)
η(1405)
η(1475)
η(1760)
K(497)
K(1482)
K(1630)
K(1830)
π(140)
π(1300)
π(1800) 
Ē(607)
Ē(1237)
Ē(1474)
Ē(1595)
Ē(1675)
Ē(1818)
Ē(614)
Ē(1191)
Ē(1434)
Ē(1706)
Ē(138)
Ē(1050)
Ē(1603)
  
Subespacios JP = 0−
Figura 3.2: Espectros de energía para los estados JP = 0−, correspondientes a etas (T = 0),
kaones (T = 1
2 ) y piones (T = 1). Al igual que en la figura 3.1, los círculos representan datos
experimentales, los triángulos las soluciones RPA y las barras verticales representan las anchuras
tanto teórica como experimental.
El subespacio con T = 0, es decir etas, en la parte teórica se obtuvieron 6 estados RPA por de-
bajo de los 2 GeV , en acuerdo con el número de estados reportados experimentalmente, por lo
que no se hizo ningun cálculo de anchuras en este subespacio. En el subespacio T = 1
2 , es decir
kaones pseudoescalares, observamos que los primeros tres estados RPA muestran separación de
energías bien definidas y al igual que en el caso del pión de la figura 3.1, el cálculo de anchuras
correspondió únicamente al rango de mayor energía.
En global, la figura 3.2 muestra para los diferentes subespacios de isoespín T = 0, 1
2 ,1 y, algunas
características semejantes entre la parte teórica y experimental. Nuestro modelo no puede espe-
cificar ninguna relación directa entre los estados teóricos y experimentales, a lo más podemos
inferir posibles relaciones.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 31
3.4. Subespacio JP = 0+
En esta sección, el estado representativo del subespacio n,T (JP) = n,T (0+) será el f0, cuyos
espectros teórico y experimental se muestran en la Figura (3.3).
Experimento Teoría
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
En
er
gi
a 
[M
eV
]
Estados f₀
Experimento Teoría
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
f₀(500)
f₀(980)
f₀(1370)
f₀(1500)
f₀(1710)
f₀(2020)
Ē(589)
Ē(1217)
Ē(1489)
Ē(1595)
Ē(1668)
Ē(1818)
 
Anchuras
Figura 3.3: Distribución de estados teóricos y experimentales para el f0. Se utiliza la misma
notación descrita en la Figura 3.1
En la figura 3.3 del lado izquierdo, se puede observar que en la parte teórica, con los mismos
parámetros de la sección 3.1, se obtienen 6 estados RPa tipo mesónicos por debajo de los 2 GeV ,
mientras que en la parte experimental también se reportan 6 estados f0. En ambos espectros es
notorio la existencia de una brecha dominante entre el primero y el segundo estado, mientras
que entre el segundo y tercer estado existe una brecha de menor tamaño en comparación con
la primera. Al ir a energías más altas, entre las energías de 1300 y 1700 MeV se observa una
disminución de las brechas de energía entre la parte de estados calculados y reportados. Final-
mente, por encima de la región de 1800 MeV se muestra un único estado experimental. Dado
que la densidad de estados es equivalente para la parte teórica y experimental, no fue necesario
hacer el análisis de anchuras, por lo que en la figura del lado derecho de la figura 3.3 se muestran
únicamente las energías RPA comparadas con los valores experimentales.
Como análisis final del subespacio n,0(0+) correspondiente a estados f0 podemos ver que tam-
bién, al igual que en el caso de los piones, hay cierta similitud entre la parte teórica y experi-
mental.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 32
En la Figura 3.4 se muestran los espectros de los subespacios (de izquierda a derecha) con
isoespín T = 0, 1
2 ,1 correspondientes a f0’s, kaones y a0’s, respectivamente.
f₀ K₀* a₀
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
En
er
gí
a 
[M
eV
]
f₀(500)
f₀(980)
f₀(1370)
f₀(1500)
f₀(1710)
f₀(2020)
K₀*(700)
K₀*(1460)
K₀*(1950)
a₀(980)
a₀(1450)
a₀(1950)
Ē(589)
Ē(1217)
Ē(1489)
Ē(1595)
Ē(1668)
Ē(1818)
Ē(554)
Ē(1390)
Ē(1849)
Ē(589)
Ē(1217)
Ē(1649)
  
Subespacios JP = 0+
Figura 3.4: Espectro de energía para los estados JP = 0+. Los valores experimentales y teóricos
siguen la misma notación descrita en la figura 3.2
En la figura 3.4 se muestra por completez el subespacio de estados f0’s descrito anteriormente.
A su derecha se muestra el subespacio con T = 1
2 , donde se encuentran similitudes entre los es-
pectros teórico y experimental. En este caso se requirió la determinación de anchuras, en la parte
teórica, tanto en la región intermedia como en la región de mayor energía. Por último, se muestra
el espectro del subespacio con T = 1, donde el primer y segundo estado teórico muestran una
brecha grande y entre el tercero y segundo estado una brecha menor. Al comparar los estados
teóricos y experimentales, observamos que el espectro teórico tiene características similares a
las mostradas por los datos experimentales, pero un corrimiento global del espectro a regiones
de menor energía.
De manera global en este subespacio JP = 0+ mostrado en la figura 3.4 nuevamente se muestran
algunas características similares entre la parte teórica y experimental, recalcando que los pará-
metros son los mismos que en la sección 3.1 y que entre estos tres subespacios T = 0, 1
2 ,1, no se
ajustó ningún estado específico, es decir, se buscó la mayor relación posible entre la parte teórica
y experimental como se mencionó anteriormente.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 33
3.5. Subespacio JP = 1−
Como ya se ha descrito en las secciones previas los resultados teóricos y en cuyo caso la nece-
sidad o no de incluir anchuras, a partir de esta sección mostraremos simplemente los resultados
finales. Por lo tanto, en la figura 3.5 se muestran todos los espectros correspondientes a los
subespacios con T = 0, 1
2 ,1, es decir, omegas, kaones y rhos.
ω K* ρ
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
En
er
gí
a 
[M
eV
]
ω(782)
ω(1420)
ω(1640)
K*(892)
K*(1410)
K*(1680)
ρ(770)
ρ(1450)
ρ(1570)
ρ(1700)
ρ(1900)
Ē(893)
Ē(1573)
Ē(1794)
Ē(923)
Ē(1526)
Ē(1736)
Ē(893)
Ē(1552)
Ē(1667)
Ē(1766)
Ē(1899)
  
Subespacios JP = 1−
Figura 3.5: Espectro de energía para los estados JP = 1−. Los valores experimentales y teóricos
siguen la misma notación descrita en la figura 3.2
Al igual que hemos descrito las figuras de las secciones anteriores, empezamos de izquierda a
derecha donde, el espectro correspondiente a omegas tanto en la parte teórica como experimental
el primer y segundo estado muestran una brecha dominante y entre el segundo y el tercero de
menor tamaño. En el caso teórico la brecha observada es más grande que la brecha observada
en la parte experimental. Sin embargo la parte experimental presenta una anchura grande para el
estado ω(1420). Por su parte el segundo estado y el tercer estado muestran una brecha de energía
muy parecida entre la parte teórica y experimental, simplemente el segundo y tercer estado están
corridos hacia energías mayores, pero dentro del rango de anchuras reportada experimentalmen-
te.
Al centro de la figura, el subespacio T = 1
2 correspondiente a los kaones, nuevamente presen-
ta características similares entre la parte teórica y la parte experimental, es decir, el primer y
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 34
segundo estado teóricos y experimentales muestran una brecha de energía dominante, mientras
que el segundo y tercer estado teórico y experimental una brecha de menor energía. Además, la
distribución de los estados también muestra similitudes entre la parte teórica y experimental.
Finalmente, en la parte derecha de la figura se muestran los espectros del subespacio T = 1 la
densidad de estados teórico y experimental fue muy parecido, en la región de mayor energía
fue necesario la determinación de una anchura y un centroide. En general el subespacio T = 1
muestra nuevamente características semejantes a la parte experimental, es decir, una brecha muy
dominante entre el primer y segundo estado, mientras que el segundo, tercero y cuarto estado,
brechas de energía pequeñas y finalmente un estado cercano a los 1900 MeV . Al observar de
forma global los resultados teóricos en este subespacio pareciera que los estados teóricos estu-
vieran desplazados hacia energías superiores.
De forma global la figura 3.5 vuelve a mostrar semejanzas teórico-experimentales para todo el
subespacio JP = 1− tanto en la densidad de estados, la distribución de energías e incluso las
brechas de energía entre algunos estados.
3.6. Subespacio JPC = 1++
En las ultimas dos secciones de este capítulo se analizarán los subespacios JPC = 1++ y
JPC = 1+−, es decir, adicionalmente se considerará a la conjugación de carga para el análisis de
los espectros. Los subespacios n,T (JPC) = n,T (1++) con T = 0, 1
2 ,1 corresponden, respectiva-
mente, a los estados f1, K1 y a1, cuyos espectros se presentan en la figura 3.6.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 35
f₁ K₁ a₁
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
En
er
gí
a 
[M
eV
]
f₁(1170)
f₁(1415)
f₁(1595)
K₁(1270)
K₁(1400)
K₁(1650)
a₁(1260)
a₁(1640)
Ē(873)
Ē(1574)
Ē(1732)
Ē(835)
Ē(1492)
Ē(1676)
Ē(802)
Ē(1278)
Ē(1640)
     
Subespacios JPC = 1+ +
Figura 3.6: Espectro de energía para los estados JPC = 1++. Los valores experimentales y teóri-
cos siguen la misma notación descrita en la figura 3.2
Como hemos realizado el análisis con los espectros anteriores, primero tenemos el subespacio
con T = 0 en donde el espectro teórico mostró tres regiones bien definidas para los resultados
RPA, pero, cada una de estas regiones con una cierta densidad de estados, por lo que en cada
región fue necesario determinar un centroide y una anchura, con lo cual podemos observar tres
estados teóricos y tres estados experimentales, cada uno con su correspondiente anchura. Sin
embargo, la distribución de los estados teóricos difiere considerablemente de la distribución de
estados experimentales, esto es un indicador que el modelo tiene ciertas limitaciones.
En el caso del subespacio con T = 1
2 nuevamente observamos discrepancias entre la parte teórica
y la parte experimental, principalmente entre el primer y segundo estado, donde la parte teórica
muestra una brecha de energía mayor que la observada en la parte experimental, pero una mejor
concordancia entre el segundo y tercer estado de este subespacio.
Por último el subespacio con T = 1 en la parte teórica volvió a mostrar tres regiones de energía
muy evidentes apareciendo una mayor densidad de estados únicamente en la región de mayor
energía, por lo que se tuvo que determinar un centroide y su correspondiente anchura. Al compa-
rar la parte teórica y experimental de este subespacio observamos las siguientes características:
La parte experimental muestra anchuras grandes, en particular el primer estado experimental al
considerar su anchura observamos que el primero y segundo estado teóricos se encuentran en las
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 36
cercanías de ese rango de energías, mientras que el tercer estado obtenido de forma teórica está
dentro del rango del segundo estado experimental incluyendo su anchura.
En global, la figura 3.6 muestra que el primer estado teórico de cada uno de los subespacios
descritos tiene una energía considerablemente menor a la reportada en los datos experimentales,
pero al aumentar la energía aparecen ciertas similitudes entre la parte teórica y la experimental.
Esta discrepancia evidente, podría disminuirse al incorporar los términos H31 y H13 en un futuro
análisis, también hay que mencionar que éste modelo se enfocó en estados de baja energía,
tal es que el único estado que se fijó fue el π(140), por lo que es probable que el modelo tenga
dificultades de describir correctamente aquellos subespacios cuyo primer estado esté en un rango
de energías más grande. Esta discrepancia se analizará en otros trabajos.
3.7. Subespacio JPC = 1+−
En el subespacio JPC = 1+− se presentan los resultados correspondientes al subespacio
n,T (1+−) correspondiente a la Figura (3.7).
h₁ b₁
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
En
er
gí
a 
[M
eV
]
h₁(1170)
h₁(1415)
h₁(1595) 
b₁(1245)
Ē(873)
Ē(1574)
Ē(1732)
Ē(802)
Ē(1278)
Ē(1640)
 
Subespacios JPC = 1+ −
Figura 3.7: Espectro de energía para los estados JPC = 1+−. Los valores experimentales y teóri-
cos siguen la misma notación descrita en la figura 3.2
Del lado izquierdo de la figura 3.7 se observa el subespacio correspondiente a los h1’s. Para el
caso de los estados con T = 0 la densidad de estados es parecida, pero con respecto a la dis-
CAPÍTULO 3. RESULTADOS DEL CÁLCULO DE LOS ESPECTROS 37
tribución de los estados observamos que la parte teórica muestra una brecha de energía entre
el primero y segundo estado mayor a la reportada experimentalmente. Pero entre el segundo y
tercer estado teórico y experimental la brecha de energía es parecida.
En el subespacio con T = 1 la parte teórica mostró tres secciones bien definidas donde, en la
región intermedia y en la región de mayor energía fue necesario determinar un centroide y su
anchura. En este subespacio la parte experimental sólo reporta un estado, mientras que nuestro
cálculo teórico muestra tres posibles estados. Este subespacio en un análisis global de todos los
subespacios, en un rango de energía tan amplio como lo son 2 GeV sólo muestra un estado ex-
perimental, lo cual para nuestro modelo es muy difícil de reproducir.
En global, la figura 3.7 al igual que en la figura 3.6 evidencía los alcances del modelo y del
cálculo, es decir, si uno trata de ajustar el régimen de menor energía como lo es el pión, aquellos
subespacios donde el estado fundamental se encuentra a una energía alta, la concordancia cada
vez es menor. Esto puede podría corregirse modificando el conjunto parámetros según cada
subespacio, pero nuestro análisis no tenía dicha finalidad y se trabajó con el menor número de
parámetros posibles.
Capítulo 4
Conclusiones
A lo largo de este trabajo presentamos los resultados obtenidos del cálculo de espectros de
estados tipo mesónicos con energías por debajo de los 2 GeV. A diferencia del tratamiento con-
vencional al trabajar en la base de partícula libre para la determinación de las funciones de onda,
se eligió la base de oscilador armónico. Dado esta elección, fue necesario realizar la prediago-
nalización del término cinético con el cual obtuvimos partículas efectivas y posteriormente, se
realizó una transformación de la base de partículas efectivas a una de cuasipartículas aplicando
el método de la BCS con una transformación de Bogoliubov.
Uno de los objetivos principales del trabajo fue tomar un Hamiltoniano motivado de la QCD
y analizarlo mediante los métodos de BCS y RPA para describir estados tipo mesónicos par-
tiendo de la interacción entre cuasipartículas. De los aspectos exhibidos en los resultados se
puede considerar que la estructura general de los espectros tipo mesónicos obtenidos median-
te las soluciones de las ecuaciones RPA en los subespacios n,T (JP) existen posibles relacio-
nes teóricas-experimentales tanto en la densidad de estados, la distribución de los estados y las
brechas entre ciertos estados en ciertas regiones de energía del espectro. Asimismo este trabajo
mostró los alcances y limitaciones del modelo, siendo el caso más notorio el subespacio JP = 1+.
Trabajar en la base de cuasipartículas pudo ser un impulsor de las similitudes que se encontra-
ron, dado que las cuasipartículas ya son bastante energéticas y esto es debido a los gaps de la
BCS. Otro aspecto que puede estar influyendo en que los resultados obtenidos muestren ciertas
similitudes con la parte experimental fue considerar correlaciones de quark-antiquark en el vacío
de la BCS así como correlaciones de pares de quark-antiquark en el vacío de la RPA. Otro punto
por recalcar es el uso de un conjunto de parámetros para todos los subespacios, es decir se utilizó
38
CAPÍTULO 4. CONCLUSIONES 39
el menor número de parámetros posibles. Dicha elección de parámetros generó espectros en los
subespacios JP = 0−,0+,1− con varias similitudes entre la parte teórica y experimental, pero no
tantas en el subespacio JP = 1+.
Este trabajo puede servir como punto de partida para analizar otros sistemas como lo es la des-
cripción de estados bariónicos partiendo de estados de cuasipartícula así como estados bariónicos
que interactúen a través de estados tipo mesónicos obtenidos en este trabajo mediante la RPA.
Con ésto podríamos incluir los términos H31 y H13 justamente mapeando dos operadores de crea-
ción y dos operadores de aniquilación a la base de estados de fonones obtenidos en este trabajo
y el operador de creación y aniquilación restante corresponderían a los operadores de cuasipar-
tícula, es decir, construiríamos una teoría donde los grados de libertad serían las cuasipartículas
y los estados tipo mesónicos o de fonones. Este es un trabajo que apenas se está analizando.
Apéndice A
Apéndices
A continuación se hará mención de varios de los elementos utilizados en este trabajo, particu-
larmente, algunos aspectos de los elementos del Hamiltoniano de cuasipartículas y los elementos
de matriz del Hamiltoniano de la prediagonalización.
A.1. Término de energía cinética
El término de energía cinética en los términos de la base del oscilador armónico está dado
por
K = ∑
jτiNili
∑
mc f
K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
q†
τ1(N1l1) jmc f
qτ2(N2l2) jmc f
, (A.1)
donde los elementos de matríz son:
K
j,T
τ1(N1l1),τ2(N2l2)
=



k
j
N1N2
si l1 = j+ 1
2 , l2 = j− 1
2 , τ1 ̸= τ2
k
j
N2N1
si l1 = j− 1
2 , l2 = j+ 1
2 τ1 ̸= τ2
mT
0 si (N1l1) = (N2l2), τ1 = τ2 =+1
2
−mT
0 si (N1l1) = (N2l2), τ1 = τ2 =−1
2
0 en todos los demás casos



,
y el término k
j
NN está definido por
k
j
NN =
√
B0
(√
N − j+ 3
2
2
δN,N+1 +
√
N + j+ 3
2
2
δN,N−1
)
. (A.2)
40
APÉNDICE A. APÉNDICES 41
El parámetro (
√
B0)
−1 representa al ancho del oscilador armónico en las funciones de onda. En
el contexto de la QCD, su tamaño represent la escala del confinamiento de la teoría, similar al
corte de energía utilizado en la base de momentos.
APÉNDICE A. APÉNDICES 42
A.2. El estado fundamental |BCS⟩ y |RPA⟩.
Un paso crucial en el procedimiento, tal como se mencionó en la sección 2.2, resultado de la
transformación de la base de partícula efectiva a la de cuasipartícula es reemplazar el vacío de
partículas |0̃⟩ de una base por el vacío de BCS:
|BCS⟩ ≈ |0̃⟩+ ∑
k1π1γ1
zk1π1γ1
[
b†
k1π1γ1
⊗d†
k1π1γ̄1
]γ0
µ0
|0̃⟩ (A.3)
Por otro lado, recordando que el estado base RPA fue originalmente definido en el capítulo 1 tal
que cumpliera la condición Γν |RPA⟩ = 0. La manera para construir el estado |RPA⟩ explícita-
mente a partir del vacío |0̃⟩ usando el teorema de Thouless [32], el cual muestra que se puede
obtener una representación para el estado base de un sistema desde cualquier otro, por medio de
un operador eẐ tal que:
|φ⟩= eẑ|φ0⟩= N0
[
exp
(
∑
mi
Zmiq†
mqi
)]
(A.4)
Donde N0 es una constante de normalización y Zmi es una matríz antisimétrica. Es importante
recordar que los estados q†
m,qi representan al par de partícula-agujero. Para nuestro caso de
cuasipartículas, al considerar únicamente la aproximación lineal de la matríz exponencial y en
lugar de generar un par ph se generan dos, el estado base de RPA es:
|RPA⟩= |BCS⟩+∑
n,Γ
∑
a′b′ab
Z
n,Γ
a′b′ab
[
[B†
a′D
†
b̄′ ]
Γ ⊗ [B†
aD
†
b̄
]
Γ̄
]Γ0
µ0
|BCS⟩
= |BCS⟩+∑
n,Γ
∑
a′b′ab
Z
n,Γ
a′b′ab ∑
µ
(−1)φΓµ
√
dim(Γ)
[B†
a′D
†
b̄′ ]
Γ
µ
[B†
aD
†
b̄
]
Γ̄
µ̄
|BCS⟩ (A.5)
con
√
dim(Γ) =
√
2J+1
√
2T +1, (−1)φΓµ = (−1)J−MJ(−1)T−Tz y Z
n,Γ
a′b′ab =
√
dim(Γ)
×Y n
a′b′;Γ(X
n
ab;Γ)
−1.
APÉNDICE A. APÉNDICES 43
APÉNDICE A. APÉNDICES 44
A.3. Términos en la base de cuasipartículas
La expresión explícita de los factores F y G de la Ec. (2.5) en la base de cuasipartículas es:
F12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
=
1
2 ∑
mJ1 mJ2 ,c1c2,MT1 MT2
⟨J1m1,J2 −m2 | LML⟩⟨(10)c1,(01)c̄2 | (11)C⟩1
(−1)T1−MT1
√
2T1 +1
δMT1 MT2
(−1)J2−mJ2 (−1)χc2 (−1)χ f2
× ∑
mJ3 mJ4 ,c3c4,MT3 MT4
⟨J3m3,J4 −m4 | L−ML⟩⟨(10)c3,(01)c̄4 | (11)C̄⟩1
(−1)T3−MT3
√
2T3 +1
δMT3 MT4
(−1)J4−mJ4 (−1)χc4 (−1)χ f4
{
− (δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2) (δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
B
†
k3µ3
Bk2µ2 Bk4µ4)
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2) (δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4) (B
†
k1µ1
D† k4µ4 Bk2µ2 Dk3µ3)
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2) (δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4) (B
†
k3µ3
D† k4µ4) (B†
k1µ1
Bk2µ2)
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2) (δ++Vk3Uk3 −δ−−Uk3Vk3) (B
†
k1µ1
Bk2µ2) (Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2) (δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4) (B
†
k3µ3
D† k2µ2 Dk1µ1 Bk4µ4)
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2) (δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4)(D
† k2µ2 D† k4µ4 Dk1µ1 Dk3µ3)
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2) (δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4) (B
†
k3µ3
D† k4µ4) (D† k2µ2 Dk1µ1)
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2) (δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4) (D
† k2µ2 Dk1µ1) (Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2) (δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4) (B
†
k1µ1
D† k2µ2) (B†
k3µ3
Bk4µ4)
−(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2) (δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4) (B
†
k1µ1
D† k2µ2) (D† k4µ4 Dk3µ3)
+(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2) (δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4) (B
†
k1µ1
D† k2µ2) (B†
k3µ3
D† k4µ4)
+(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2) (δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4) (B
†
k1µ1
D† k2µ2) (Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2) (δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4) (B
†
k3µ3
Dk1µ1 Bk2µ2 Bk4µ4)
−(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2) (δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4) (D
† k4µ4 Dk1µ1 Bk2µ2 Dk3µ3)
+(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2) (δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4) (B
†
k3µ3
D† k4µ4) (Dk1µ1 Bk2µ2)
+(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2) (δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4) (Dk1µ1 Bk2µ2) (Dk3µ3 Bk4µ4)
+δ23
{
δ++++(Uk2Uk3)Uk1Uk4 +δ++−−(Uk2Vk3)Uk1Vk4 +δ−−++(Vk2Uk3)Vk1Uk4 +δ−−−−(Vk2Vk3)Vk1Vk4
}
B
†
k1µ1
Bk4µ4
+δ23
{
δ++++(Uk2Uk3)Uk1Vk4 −δ++−−(Uk2Vk3)Uk1Uk4 +δ−−++(Vk2Uk3)Vk1Vk4 −δ−−−−(Vk2Vk3)Vk1Uk4
}
B
†
k1µ1
D† k4µ4
+δ14
{
δ++++(Vk1Vk4)Vk2Vk3 +δ++−−(Vk1Uk4)Vk2Uk3 +δ−−++(Uk2Vk3)Uk1Vk4 +δ−−−−(Uk2Uk3)Uk1Uk4
}
D† k2µ2 Dk3µ3
−δ14
{
δ++++(Vk1Vk4)Vk2Uk3 −δ++−−(Vk1Uk4)Vk2Vk3 +δ−−++(Uk1Vk4)Uk2Uk3 −δ−−−−(Uk1Uk4)Uk2Vk3
}
B
†
k3µ3
D† k2µ2
+δ23
{
δ++++(Uk2Uk3)Vk1Uk4 +δ++−−(Uk2Vk3)Vk1Vk4 −δ−−++(Vk2Uk3)Uk1Uk4 −δ−−−−(Vk2Vk3)Uk1Vk4
}
Dk1µ1 Bk4µ4
−δ14
{
δ++++(Vk1Vk4)Uk2Vk3 +δ++−−(Vk1Uk4)Uk2Uk3 −δ−−++(Uk1Vk4)Vk2Vk3 −δ−−−−(Uk1Uk4)Vk2Uk3
}
Dk3µ3 Bk2µ2
−δ23
{
δ++++(Uk2Uk3)Vk1Vk4 −δ++−−(Uk2Vk3)Vk1Uk4 −δ−−++(Vk2Uk3)Uk1Vk4 +δ−−−−(Vk2Vk3)Uk1Uk4
}
D† k4µ4 Dk1µ1
−δ14
{
δ++++(Vk1Vk4)Uk2Uk3 −δ++−−(Vk1Uk4)Uk2Vk3 −δ−−++(Uk1Vk4)Vk2Uk3 +δ−−−−(Uk1Uk4)Vk2Vk3
}
B
†
k3µ3
Bk2µ2
+ δ14δ23
{
δ++++(Vk1Vk4)(Uk2Uk3)−δ++−−(Vk1Uk4)(Uk2Vk3)−δ−−++(Uk1Vk4)(Vk2Uk3)+δ−−−−(Uk1Uk4)(Vk2Vk3)
}
.
(A.6)
APÉNDICE A. APÉNDICES 45
F12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
=
1
2 ∑
mJ1 mJ2 ,c1c2,MT1 MT2
⟨J1m1,J2 −m2 | LML⟩⟨(10)c1,(01)c̄2 | (11)C⟩1
(−1)T1−MT1
√
2T1 +1
δMT1 MT2
(−1)J2−mJ2 (−1)χc2 (−1)χ f2
× ∑
mJ3 mJ4 ,c3c4,MT3 MT4
⟨J3m3,J4 −m4 | L−ML⟩⟨(10)c3,(01)c̄4 | (11)C̄⟩1
(−1)T3−MT3
√
2T3 +1
δMT3 MT4
(−1)J4−mJ4 (−1)χc4 (−1)χ f4
{
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k1µ1
B
†
k3µ3
Bk2µ2 Bk4µ4
−(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)B
†
k1µ1
D† k4µ4 Dk3µ3 Bk2µ2
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ++Uk1Uk2 +δ−−Vk1Vk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)B
†
k3µ3
D† k4µ4 B
†
k1µ1
Bk2µ2
+(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k3µ3
D† k2µ2 Dk1µ1 Bk4µ4
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)D
† k2µ2 D† k4µ4 Dk1µ1 Dk3µ3
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(D
† k2µ2 Dk1µ1)(Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ++Vk1Vk2 +δ−−Uk1Uk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)(B
†
k3µ3
D† k4µ4)(D† k2µ2 Dk1µ1)
−(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
Bk4µ4)
−(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(D† k4µ4 Dk3µ3)
+(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ++Uk1Vk2 −δ−−Vk1Uk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
D† k4µ4)
−(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k3µ3
Dk1µ1 Bk2µ2 Bk4µ4
−(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)D
† k4µ4 Dk1µ1 Bk2µ2 Dk3µ3
+(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(Dk1µ1 Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ++Vk1Uk2 −δ−−Uk1Vk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)(B
†
k3µ3
D† k4µ4)(Dk1µ1 Bk2µ2)
−δ23
{
δ+++−(Uk2Uk3)Uk1Vk4 +δ++−+(Uk2Vk3)Uk1Uk4 +δ−−+−(Vk2Uk3)Vk1Vk4 +δ−−−+(Vk2Vk3)Vk1Uk4
}
B
†
k1µ1
Bk4µ4
+δ23
{
δ+++−(Uk2Uk3)Uk1Uk4 −δ++−+(Uk2Vk3)Uk1Vk4 +δ−−+−(Vk2Uk3)Vk1Uk4 −δ−−−+(Vk2Vk3)Vk1Vk4
}
B
†
k1µ1
D† k4µ4
+δ14
{
δ++−+(Vk1Vk4)Vk2Uk3 +δ+++−(Vk1Uk4)Vk2Vk3 +δ−−−+(Uk1Vk4)Uk2Uk3 +δ−−+−(Uk1Uk4)Uk2Vk3
}
D† k2µ2 Dk3µ3
−δ14
{
δ+++−(Vk1Uk4)Vk2Uk3 −δ++−+(Vk1Vk4)Vk2Vk3 +δ−−+−(Uk1Uk4)Uk2Uk3 −δ−−−+(Uk1Vk4)Uk2Vk3
}
B
†
k3µ3
D† k2µ2
−δ23
{
δ+++−(Uk2Uk3)Vk1Vk4 +δ++−+(Uk2Vk3)Vk1Uk4 +δ−−+−(Vk2Uk3)Uk1Vk4 −δ−−−+(Vk2Vk3)Uk1Uk4
}
Dk1µ1 Bk4µ4
−δ14
{
δ++−+(Vk1Vk4)Uk2Uk3 +δ+++−(Vk1Uk4)Uk2Vk3 −δ−−−+(Uk1Vk4)Vk2Uk3 −δ−−+−(Uk1Uk4)Vk2Vk3
}
Dk3µ3 Bk2µ2
−δ23
{
δ+++−(Uk2Uk3)Vk1Uk4 −δ++−+(Uk2Vk3)Vk1Vk4 −δ−−+−(Vk2Uk3)Uk1Uk4 +δ−−−+(Vk2Vk3)Uk1Vk4
}
D† k4µ4 Dk1µ1
−δ14
{
δ+++−(Vk1Uk4)Uk2Uk3 −δ++−+(Vk1Vk4)Uk2Vk3 −δ−−+−(Uk1Uk4)Vk2Uk3 +δ−−−+(Uk1Vk4)Vk2Vk3
}
B
†
k3µ3
Bk2µ2
+δ14δ23
{
δ+++−(Vk1Uk4)(Uk2Uk3)−δ++−+(Vk1Vk4)(Uk2Vk3)−δ−−+−(Uk1Uk4)(Vk2Uk3)+δ−−−+(Uk1Vk4)(Vk2Vk3)
}
.
(A.7)
APÉNDICE A. APÉNDICES 46
G12;Γ0 µ0F34;Γ̄0 µ̄0
=
1
2 ∑
mJ1 mJ2 ,c1c2,MT1 MT2
⟨J1m1,J2 −m2 | LML⟩⟨(10)c1,(01)c̄2 | (11)C⟩1
(−1)T1−MT1
√
2T1 +1
δMT1 MT2
(−1)J2−mJ2 (−1)χc2 (−1)χ f2
× ∑
mJ3 mJ4 ,c3c4,MT3 MT4
⟨J3m3,J4 −m4 | L−ML⟩⟨(10)c3,(01)c̄4 | (11)C̄⟩1
(−1)T3−MT3
√
2T3 +1
δMT3 MT4
(−1)J4−mJ4 (−1)χc4 (−1)χ f4
{
+(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4)B
†
k1µ1
B
†
k3µ3
Bk2µ2 Bk4µ4
+(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4)B
†
k1µ1
D† k4µ4 Dk3µ3 Bk2µ2
−(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4)(B
†
k1µ1
Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4)(B
†
k3µ3
D† k4µ4)(B†
k1µ1
Bk2µ2)
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4)B
†
k3µ3
D† k2µ2 Dk1µ1 Bk4µ4
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4)D
† k2µ2 D
† k4Dk1µ1
µ4 Dk3µ3
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4)(D
† k2µ2 Dk1µ1)(Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4)(B
†
k3µ3
D† k4µ4)(D† k2µ2 Dk1µ1)
+(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4)B
†
k3µ3
Dk1µ1 Bk2µ2 Bk4µ4
−(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4)D
† k4µ4 Dk1µ1 Bk2µ2 Dk3µ3
+(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4)(Dk1µ1 Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4)(B
†
k3µ3
D† k4µ4)(Dk1µ1 Bk2µ2)
+(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ++Uk3Uk4 +δ−−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
Bk4µ4)
−(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ++Vk3Vk4 +δ−−Uk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(D† k4µ4 Dk3µ3)
+(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ++Vk3Uk4 −δ−−Uk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ++Uk3Vk4 −δ−−Vk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
D† k4µ4)
−δ23
{
δ+−++(Vk2Uk3)Uk1Uk4 +δ+−−−(Vk2Vk3)Uk1Vk4 ++δ−+++(Uk2Uk3)Vk1Uk4 δ−+−−(Uk2Vk3)Vk1Vk4
}
B
†
k1µ1
Bk4µ4
−δ23
{
δ+−++(Vk2Uk3)Uk1Vk4 −δ+−−−(Vk2Vk3)Uk1Uk4 +δ−+++(Uk2Uk3)Vk1Vk4 −δ−+−−(Uk2Vk3)Vk1Uk4
}
B
†
k1µ1
D† k4µ4
+δ14
{
δ−+++(Uk1Vk4)Vk2Vk3 +δ−+−−(Uk1Uk4)Vk2Uk3 +δ+−++(Vk1Vk4)Uk2Vk3 +δ+−−−(Vk1Uk4)Uk2Uk3
}
D† k2µ2 Dk3µ3
−δ14
{
δ−+++(Uk1Vk4)Vk2Uk3 −δ−+−−(Uk1Uk4)Vk2Vk3 +δ+−++(Vk1Vk4)Uk2Uk3 −δ+−−−(Vk1Uk4)Uk2Vk3
}
B
†
k3µ3
D† k2µ2
+δ23
{
δ−+++(Uk2Uk3)Uk1Uk4 +δ−+−−(Uk2Vk3)Uk1Vk4 −δ+−++(Vk2Uk3)Vk1Uk4 −δ+−−−(Vk2Vk3)Vk1Vk4
}
Dk1µ1 Bk4µ4
−δ14
{
δ−+++(Uk1Vk4)Uk2Vk3 +δ−+−−(Uk1Uk4)Uk2Uk3 δ+−++(Vk1Vk4)Vk2Vk3 −δ+−−−(Vk1Uk4)Vk2Uk3
}
Dk3µ3 Bk2µ2
−δ23
{
δ−+++(Uk2Uk3) Uk1Vk4 −δ−+−−(Uk2Vk3) Uk1Uk4 −δ+−++(Vk2Uk3) Vk1Vk4 +δ+−−−(Vk2Vk3) Vk1Uk4
}
D† k4µ4 Dk1µ1
−δ14
{
δ−+++(Uk1Vk4) Uk2Uk3 −δ−+−−(Uk1Uk4) Uk2Vk3 −δ+−++(Vk1Vk4) Vk2Uk3 +δ+−−−(Vk1Uk4) Vk2Vk3
}
B
†
k3µ3
Bk2µ2
+δ14δ23
{
δ−+++(Uk1Vk4) (Uk2Uk3)−δ−+−−(Uk1Uk4) (Uk2Vk3)−δ+−++(Vk1Vk4) (Vk2Uk3)+δ+−−−(Vk1Uk4) (Vk2Vk3)
}
.
(A.8)
APÉNDICE A. APÉNDICES 47
y
G12;Γ0 µ0G34;Γ̄0 µ̄0
=
1
2 ∑
mJ1 mJ2 ,c1c2,MT1 MT2
⟨J1m1,J2 −m2 | LML⟩⟨(10)c1,(01)c̄2 | (11)C⟩1
(−1)T1−MT1
√
2T1 +1
δMT1 MT2
(−1)J2−mJ2 (−1)χc2 (−1)χ f2
× ∑
mJ3 mJ4 ,c3c4,MT3 MT4
⟨J3m3,J4 −m4 | L−ML⟩⟨(10)c3,(01)c̄4 | (11)C̄⟩1
(−1)T3−MT3
√
2T3 +1
δMT3 MT4
(−1)J4−mJ4 (−1)χc4 (−1)χ f4
{
− (δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k1µ1
B
†
k3µ3
Bk2µ2 Bk4µ4
+(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)B
†
k1µ1
D† k4µ4 Dk3µ3 Bk2µ2
−(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ+−Uk1Vk2 + δ−+Vk1Uk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)B
†
k3µ3
D† k4µ4 B
†
k1µ1
Bk2µ2
+(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k3µ3
D† k2µ2 Dk1µ1 Bk4µ4
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)D
† k2µ2 D† k4µ4 Dk1µ1 Dk3µ3
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(D
† k2µ2 Dk1µ1)(Dk3µ3 Bk4µ4)
−(δ−+Uk1Vk2 + δ+−Vk1Uk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)B
†
k3µ3
D† k4µ4 D† k2µ2 Dk1µ1
−(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)B
†
k3µ3
Dk1µ1 Bk2µ2 Bk4µ4
−(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)D
† k4µ4 Dk1µ1 Bk2µ2 Dk3µ3
+(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(Dk1µ1 Bk2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ−+Uk1Uk2 − δ+−Vk1Vk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)B
†
k3µ3
D† k4µ4 Dk1µ1 Bk2µ2
−(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ+−Uk3Vk4 + δ−+Vk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
Bk4µ4)
−(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ−+Uk3Vk4 + δ+−Vk3Uk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(D† k4µ4 Dk3µ3)
+(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ−+Uk3Uk4 − δ+−Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(Dk3µ3 Bk4µ4)
+(δ+−Uk1Uk2 − δ−+Vk1Vk2)(δ+−Uk3Uk4 − δ−+Vk3Vk4)(B
†
k1µ1
D† k2µ2)(B†
k3µ3
D† k4µ4)
+δ23
{
δ+−+−(Vk2Uk3)Uk1Vk4 +δ+−−+(Vk2Vk3)Uk1Uk4 +δ−++−(Uk2Uk3)Vk1Vk4 +δ−+−+(Uk2Vk3)Vk1Uk4
}
B
†
k1µ1
Bk4µ4
−δ23
{
δ+−+−(Vk2Uk3)Uk1Uk4 −δ+−−+(Vk2Vk3)Uk1Vk4 +δ−++−(Uk2Uk3)Vk1Uk4 −δ−+−+(Uk2Vk3)Vk1Vk4
}
B
†
k1µ1
D† k4µ4
+δ14
{
δ−+−+(Uk1Vk4)Vk2Uk3 +δ−++−(Uk1Uk4)Vk2Vk3 +δ+−−+(Vk1Vk4)Uk2Uk3 +δ+−+−(Vk1Uk4)Uk2Vk3
}
D† k2µ2 Dk3µ3
−δ14
{
δ−++−(Uk1Uk4)Vk2Uk3 −δ−+−+(Uk1Vk4)Vk2Vk3 +δ+−+−(Vk1Uk4)Uk2Uk3 −δ+−−+(Vk1Vk4)Uk2Vk3
}
B
†
k3µ3
D† k2µ2
−δ23
{
δ−++−(Uk2Uk3)Uk1Vk4 +δ−+−+(Uk2Vk3)Uk1Uk4 −δ+−+−(Vk2Uk3)Vk1Vk4 −δ+−−+(Vk2Vk3)Vk1Uk4
}
Dk1µ1 Bk4µ4
−δ14
{
δ−+−+(Uk1Vk4)Uk2Uk3 +δ−++−(Uk1Uk4)Uk2Vk3 −δ+−−+(Vk1Vk4)Vk2Uk3 −δ+−+−(Vk1Uk4)Vk2Vk3
}
Dk3µ3 Bk2µ2
−δ23
{
δ−++−(Uk2Uk3) Uk1Uk4 −δ−+−+(Uk2Vk3) Uk1Vk4 −δ+−+−(Vk2Uk3) Vk1Uk4 +δ+−−+(Vk2Vk3) Vk1Vk4
}
D† k4µ4 Dk1µ1
−δ14
{
δ−++−(Uk1Uk4) Uk2Uk3 −δ−+−+(Uk1Vk4) Uk2Vk3 −δ+−+−(Vk1Uk4) Vk2Uk3 +δ+−−+(Vk1Vk4) Vk2Vk3
}
B
†
k3µ3
Bk2µ2
+δ14δ23
{
δ−++−(Uk1Uk4) (Uk2Uk3)−δ−+−+(Uk1Vk4) (Uk2Vk3)−δ+−+−(Vk1Uk4) (Vk2Uk3)+δ+−−+(Vk1Vk4) (Vk2Vk3)
}
.
(A.9)
Bibliografía
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