UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE CONTADURIA Y ADMINISTRACION EL MUESTREO ESTADISTICO Y SU APLICACION EN LA AUDITORIA DE ESTADOS FINANCIEROS SEMINARIO DE INVESTIGACION CONTABLE QUE PARA OBTENER EL TITULO O E LICENClADO l!!N CONTADUH.IA PRESENTAN SILVIA CHACON HERNANDEZ ERNESTO DURAN TRINIDAD DIRECTOR DEL SEMINARIO C. P. ANGEL QUIROZ GONZALEZ 1 9 8 3 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. EL MUESTREO ESTADISTICO Y SU APLICACION EN LA f.lJDITORIA DE ES fAOOS FINANCIEROS INDICE INTRODUCCIOI'\ I.- AUDITORIA DE ESTADOS FINANCIEROS l . - Generalidades 2. - Normas de auditoría, Pruebas selectivas y Juicio estadístico 3. - Evidencia del muestreo estadístico en los papeles de trabajo del auditor. II. - INTRODUCCION AL MUESTREO ESTADISTICO 1 . - Generalidades 2. - El muestreo con bases estadísticas 3. - Planes de muestreo y técnicas de selección 4. - Selección de métodos de muestreo apropiados S. - Ventajas y desventajas en la aplicación del muestreo estadístico en la auditorfa de estados financieros lll.- PLANES DE MliESTREOtPLICABLES b. l.A A[lDJ!ORIA !JF ES fAOOS FINANCIEROS Y EJEMPLOS DE SU &.PLICACTON l. - Muestreo de atributos 2. - Muestreo de variables 2. - Otn;s tipos de muestreo CONCLUSIONES APENDICE ~IELIOGRAFIA lNTRODUCCION ',:-. A medida en qÚ~ faS "p~¡~~;~~~i :ue realizan las empresas van incrementándose, se hace necesari~ la utilización de técnicas, métodos, sistemas y recursos para poder controlar y administrar mejor estas operaciones y así poder colalx>rar en el crecimiento de estas empresas. Así pues, la auditoría, entendida ésta como el examen cuidadoso que realiza un contador püblico independiente sobre las operaciones que realiza una entidad, con el fin de opinar sobre la razonabilidad que gua!:. dan las cifras de los estados financieros, es una herramienta de control muy va liosa dentro de todas las actividades de las organizaciones. De esta forma en el área financiera y de control, el dictámen del contador pCtblico sobre los estados financieros de una empresa es un - gran elemento que determinará confianza sobre los resultados obtenidos de esa organización como consecuencia del curso de sus operaciones du - rante un período dado. El auditor a su vez, se tiene que auxiliar de todos los elementos disponibles y confiables que le permitan fUndamentar su opinión que expresará sobre la razonabilidad de las cifras de los estados finan - cieros que fueron preparados por la administración de la empresa. Uno de éstos elementos, el cual reviste de gran importancia - por las numerosas ventajas que tiene, es el uso del muestreo estadfs­ tico, del cual hablaremos ampliamente al través de los capftulos del presente trabajo. Como todos sabemos, el trabajo del auditor de estados financie­ ros requiere de hacer pruebas selectivas que sean representativas de la materia a revisión. ya que sería imposible e innecesario que verifi - case la totalidad de las operaciones. Además, aún haciéndolo llegarfa a una conclusión similar, si no igual de la obtenida a través del uso de pruebas selectivas. fodo auditor ha utilizado el proceso de muestreo. Sin embargo. lo conoce bajo un nombre diferente "prueba o comprobaciones". FJ ob.ieto principal del enfoque estadístico es el proporcionar un - rt!sultado más objetivo de una muestra, junto con un medio de medir h.i confiabilidad de la estimación asf obtenida. Muchos auditores equivocadamente se refieren al muestreo es- tadístico como muestreo al azar. No se deben confundir estos dos términos; el primero se refiere a todo el proceso de realizar una pru~ ba con una base científica, mientras que el último es simplemente un método que selecciona la muestra que se va a usar en forma subjetiva. Por ejemplo, si se hace una prueba para averiguar si todos los - cheques se han endosado adecuadamente, se debe determinar primero el tamafto de la muestra; después, seleccionar y examinar los artículos de la muestra, y finalmente, calcular el número probable de los cheques que no han sido endosacbs adecuadamente. Todo el proceso se denomi­ naría muestreo estadístico. En cambio, si la selección de los cheques individuales que van a eicaminarse, se hiciera usando tablas de números al azar, se llamaría correctamente muestreo al azar. Este término incluye cualquier procedimiento aceptable de selección de probabilidad, tal como un método de muestreo sistemático. Cuando se llega a una conclusión después de examinar únicamente un número limitado de artículos, obviamente se debe correr cierto rie~ go. Los artículos seleccionados para la muestra pueden no ser perfec­ tamente representativos, y por ello la muestra no producirá una imagen precisa del verdadero estado de las cosas. También esta claro que mientras menores artículos se elijan, esto es, mientras menor sea el tamafto de la muestra, mayor será el riesgo que se corre y de la misma manera, mientras mayor número de artículos se elijan del total, mayor confiabilidad se puede tener en los resultados de la muestra. Aunque es cierto todo lo anterior, el auditor en general, no tiene forma dci medir el efecto del tamaño - de la muestra. Los métodos estadísticos son sumamente útiles cuando se re-- quiere una decisión en situaciones que incluyan una gran masa de de­ talle, en donde únicamente se pueden probar muestras relativamente ¡icqueñas, por ejemplo en las pruebas del inventario físico, en las pru~ bas de precio y ampliaciones del inventario; en las pruebas de cuentas por cobrar, incluyendo confirmaciones, particularmente cuando con­ sisten de numerosas cuentas relativamenre pequeñas; en el examen de comprobantes de gastos; en las pruebas de ingresos, particularmente en compañi.1 s de servicios públicos u otras organizaciones similares en donde los ingresos provienen de una multitud de pequeñas transac - ciones, pago de reclamaciones de una compañfa de seguros, pago de - pensiones y otros fondos, etcétera. En los siguientes capítulos de este trabajo se encontrarán des-­ cripciones sobre los diversos planes y técnicas de muestreo estadísti­ co y sus aplicaciones en los problemas tfpicos de la auditoría de esta­ dos financieros. . ·~<:- ·.~· .; ... -;;- ", A UDITbRiA DE< EST.ADOS. FINA NC JE ROS ------~-----~--~---~------------------- AUDirORIA DE ESTADOS FINANCIEROS A fin de dejar asentados los principios básicos de la auditoria de estados financieros, presentamos a continuación un conjunto de considerandos im­ portantes sobre ésta dentro de su campo de acción, de tal forma que poda - mos conocer de una forma general la esencia misma de la auditoría y asr poder comprender mejor la utilización de las herramientas que como el muestreo estadístico contribuyen al mejor logro de los objetivos de la - auditoria. Así pues, podemos definir a la auditorfa de estados financieros como el - examen cuidadoso que realiza un contador público independiente sobre los estados financieros de una entidad a fin de expresar una opiníón sobre la razonabilidad con la que se presentan la situación financiera, los resulta­ dos de la operación y los cambios en la situación financiera, de conformi - dad con principios de contabilidad generalmente aceptados; o bien, como la investigación hecha por un contador público independiente en los libros, re­ gistros, bienes y transacciones de una entidad económica, realizada confor­ me a técnicas especiales, con el objeto de fundamentar su opinión respecto a la razonabilidad con que los estados financieros, preparados por la Admi­ nistración de dicha entidad, presentan la situación financiera, los resulta - dos de su operación y los cambios en la situación financiera, de acuerdo - con principios de contabilidad generalmente aceptados. - 2 - Objetivos de la Auditoria de estados financieros.; - Juzgar la situación y las !Jolíticas administrativas y contables adopta- das por la Administración de una entidad económica; - Opinar en forma independiente sobre la razonabilidad con la que se pre- seman la situación financiera, los resultados de la operación y los cam- bios en la situación financiera,de conformidad con principios de contabi- lidad generalmente aceptados. Como se puede apreciar, el trabajo profesional de auditoria, tiene una finali- dad y unos objetivos definidos que se desprenden de su propia naturaleza, el auditor es llamado como un técnico independiente y de confianza para opinar sobre los estados financieros formulados por la empresa, a efecto de que su ' opinión sea una garantfa de credibilidad respecto a esos estados financieros, para las personas que van a utizarlos como base para la toma de decisiones. En vista de lo anterior, el trabajo de auditoria tiene una finalidad y un obje- tivo que no dependen ni de la voluntad personal del auditor, ni de la voluntad personal del cliente, sino que se desprenden de la misma naturaleza de la ac- tividad profesional de la auditoria. Esta característica obliga también a - que el trabajo profesional de auditoría se realice dentro de determinadas normas de calidad. Importancia de la Auditoría de Estados Financieros~ Las cifras mostradas en los estados financieros de una entidad son el - 3 - reflejo fiel del desarrollo de las operaciones durante un período determi - nado y a una fecha dada. Estas son responsabilidad de la administración de la entidad, pero - para que éstas sean dignas de confianza y representativas de la situación financiera de la empresa, es necesario que sean dictaminadas por un Co~ tador Público Independiente, ya que de esa forma se dá seguridad de que esas cifras presentadas en los estados financieros, sobre las que diver­ sas personas tomarán importantes decisiones, son dignas de confianza y presentan con propiedad la situación financiera y los resultados de sus operaciones, de conformidad con principios de contabilidad generalmente aceptados y no son resultado de estimaciones o invenciones de quien los prepara. Cabe hacer hincapié de que estos estados financieros dictaminados por co!!. tador público independiente servirán en gran medida en el desarrollo de la propia entidad, ya que ésta se verá directamente afectada por las decisio - nes que sobre ellos tomen diversas personas relacionadas íntimamente - con la compañia como son los bancos al otorgarle o negarle algíin présta­ mo, los inversionistas al invertir o no en dicha empresa, los trabajadores al conocer y estar de acuerdo con su participación en la utilidad, etcétera, y en gran medida la entidad misma al conocer sus errores y tratar de co­ rregirlos. - 4 - El Contador Públic0 como Auditor Independiente: El contador público cuando actúa como auditor independiente, repre - sení:a una parte importante en el conjunto de la.s diferentes personas invo - lucradas en múltiples ocupaciones dentro de Ja función económica y finan­ ciera. y oor tanto rcrwnece a una verdadera categorfa profesional ya que rc.~une los requisitrn; que exige toda profesión, destacándn entre otros: - Respeta las normas de conducta establecidas por su profesión y aplica el conjunto de conocimientos técnicos especializados; - Se reconoce su opinión debido a la confianza e interés público; Existe una institución (Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A. C.) dedicada a la revisión, reestructuración y actualización de las normas de la profesión; - Tiene establecidas ciertas cualidades profesionales que regla.mentan su admisión a dicha institución y al mismo tiempo a la actividad in­ dependiente, etc. El trabajo de auditorfa tiene como finalidad inmediata suministrar al - !)ropio auditor elementos de juicio suficientes para fundamentar de una ma­ nera objetiva y profesional la opinión que va a dar sobre los estados finan­ cieros sometidos a su examen. - 5 - Para ello se ayudará de ciertas técnicas propias de la auditoria que son los recursos particulares de investigac i(1il que el auditor utiliza para obtener la información que necesita y para comprobar la información que otros le han suministrado o él mismo ha obtenido como son: - Estudio General: Es la apreciación que el auditor hace en base a su juicio profesional y experiencia de los datos y características generales de la empresa, sus estados financieros y aspectos importantes de la misma. - Análisis: Consiste en la clasificación y agrupación de los distintos elementos individuales que forman un todo, de tal forma que los grupos constituyan unidades homo­ géneas y significativas - Inspección: Es el exámen físico de bienes materiales o de documen - tos con el objeto de cerciorarse de la autenticidad de un activo o de una operación registrada o pre - sentada en los estados financieros de una entidad. - Confirmación: Es la comprobación de la autenticidad de activos, - operaciones, etc., mediante el dicho por escrito de una persona independiente de la empresa exa­ minada, y que se encuentra en condiciones de co­ noc<.:!r t: informar de una manera válida sobre ella. - 6 - - Investigación: Consiste en la obtención de informaciones a través de comentarios y entrevistas que hace el auditor con funcionarios y empleados sobre la propia em - presa. - Certificaciones o Declaraciones: Es la modalidad de poner por - - escrito y darle autenticidad con la firma de los interesados al resultado de las investigaciones que hace el auditor. - Observación: Es la técnica de cerciorárse personalmente de fer - ma abierta o discreta, de la manera como el personal de la empresa realiza ciertas opera­ ciones. - Cálculo: Técnica para cerciorárse de la corrección numérica de las partidas que se reflejan en los estados finan - cieros de la empresa. Ahora bien, al conjunto de estas técnicas de auditoría que se aplican en el examen de una partida, ciertos hechos o circunstancias relativos a los estados financieros examinados, y mediante las cuales el contador público obtiene las bases para fundamentar su opinión, se llama procedimiento de auditorfa. - 7 - 2. - NORMAS DE AUDITORIA, PRUEBAS SELECTIVAS Y JUICIO ESTADISTICO. Normas de Auditorfa: La auditoría como actividad profesional de un Contador Público, implica el ejercicio de una técnica especializada y la aceptación de una responsa­ bilidad pública, ya que desempeña sus labores mediante la aplicación de una serie de conocimientos especfficos que forman el cuerpo técnico de su actividad. Es debido a ese carácter profesional de responsabilidad social por lo que la profesión desde su inicio ha establecido la existencia de normas que definan las cualidades o requisitos mínimos de calidad relativos a la per­ sonalidad del auditor independiente, al trabajo que desempeña y a la in­ formación que rinde como resultado de dicho trabajo. Las normas de auditoría generalmente aceptadas por el Instituto Mexica­ no de Contadores Públicos son las siguientes: a) Normas personales b) Normas de ejecución del trabajo c) Normas de información y dictamen - 8 - tfornic.:; Personales. - Se refieren a las cualidades que el auditor debe reunir para poder asumir, dentro de las exigencias que el carác­ ter profesional de la auditoria requiere, un trabajo de este tipo. Den­ tro de estas normas existen cualidades que el auditor debe tener pre­ adquiridas antes de poder asumir un trabajo profesional de auditoria y cualidades que debe mantener durante el desarrollo de toda su actividad profesional. Estas normas personales son: - Entrenamiento técnico y capacidad profesional. - El exámen de- - berá ser hecho por una o varias personas que tengan un entrena­ miento adecuado y una sólida capacidad profesional como audito­ res. - Cuidado y diligencia profesionales. - Se ejercitará el debido cui - dado profesional en la ejecución del exámen y en la preparación del informe o dictamen. - Independencia. - En todos los asuntos relacionados con el traba­ jo encomendado el o los auditores deberán mantener una actitud mental independiente. Normas de ejecución del trabajo. - Se refieren a los elementos bási­ cos fundamentales en la ejecución del trabajo, que constituyen la espe­ cificación narticular. por lo menos al mfnimo indispensable, de la exi­ gencia de cuidado y diligencia profesionales. - 9 - Las normas de ejecución del trabajo son: -Planeación y supervisión. - El trabajo de auditoría debe planear­ se adecuadamente y los ayudantes, si los hay. deben ser supervi­ .. '.dns ap" opiadamente. -Estudio y evaluación del control interno. - Deberá efectuarse un estudio apropiado y una evaluación adecuada del sistema de con­ trol interno existente, como base de confianza para determinar la extensión de las pruebas a las que deberán concretarse los proce­ dimientos de auditoría. -Obtención de evidencia suficiente y competente. - Al través de la conjugación de diversas técnicas de auditorra como son la inspec­ ción, la confirmación, la investigación, la observación, etcétera, el auditor deberá obtener evidencia suficiente y competente que sean una base razonable para expresar una opinión respecto a los estados financieros que se examinan. Normas de información y dictamen. - Son las que regulan la cali­ dad y requisitos mínimos que deben contener el informe o dictamen del auditor, ya que éste, como resultado final del trabajo de auditoria, reviste la característica especial de que es, en la mayoría de los casos, la única parte de dicho trabajo que va a estar al alcance del público y del cliente. - 1 o - Las normas de información y dictámen son: La aclaración de la relación con estados o información finan - ciera y expresión de opinión. - El dictámen contendrá una ex­ presión de opinión con respecto a los estados financieros, toma - dos en conjunto, ó una aseveración en el sentido de que no puede expresarse una opinión. Cuando no se pueda expresar una opi­ nión en general, deberán indicarse las razones. Además, en todos los casos en que el nombre del auditor esté relacionado - con estados o información financiera, debera expresarse de ma - nera clara e inequívoca la naturaleza de su relación con dicha in - formación, su opinión sobre la misma y en su caso, las limita - clones importantes que haya tenido su examen o salvedades que se deriven de ella. Las bases de opinión sobre los estados financieros. - Estas ba­ ses son principalmente: a)el cumplimiento con principios de con - tabilidad generalmente aceptados, ya que el informe o dictámen debe indicar si los estados financieros se presentan de acuerdo con principios de contabilidad generalmente aceptados; b) unifor­ midad en la aplicación de principios de contabilidad generalmen­ te aceptados, ya que el dictámen expresará si tales principios han sido observados uniforme y consistentemente con el periodo ante­ rior; y, c) revelaciones informativas adecuadas, debido a que el auditor, al opinar sobre estados financieros, debe observar que la información presentada en los mismos y en las notas - . ll - relativas, es adecuada y suficiente para su razonable interpreta- ción. Por ello, en caso de excepciones, elauditor de~ mencio- , ,·'·, nar claramente en qué consisten las desvia~iones y}lef~cto cuan­ tificado sobre los estados financieros. Pruebas selectivas de auditoría: Las normas de auditoría generalmente aceptadas relativas a Ja ejecución del trabajo establecen como obligación del auditor el obtener, mediante la aplicación de sus procedimientos de auditoria, la evidencia compro- batoria suficiente y competente para suministrar una base objetiva para que pueda expresar su opinión acerca de la razonabilidad de las cifras que arrojan los estados financieros, sin embargo, lo anterior no Impli- ca que el auditor tenga la necesidad de revisar en forma exhaustiva la totalidad de las operaciones de la compañia, ni el total de las partidas que forman los saldos de las cuentas que componen esos estados finan- cieros. El hecho de que las operaciones de las empresas sean de carácter repe- tltivo y que los medios de control interno proporcionen, en mayor o me- nor grado, confianza sobre su registro, provocó la evolución de la far - ma en que se efectúa la auditoria. De la revisión exhaustiva los conta- dores públicos pasaron a la prueba selectiva de auditoria que es la téc - nica mediante la cual se obtienen conclusiones sobre las características de un conjunto numeroso de partidas o universo, mediante el examen de - 12 - un grupo parcial de ellas llamado muestra. El surgimiento de la prueba-selectiva; la generalización de su uso en . '. J•: .- . ' la auditoría y la aceptación de ~Úa'.6~'ilne~k·1assiguientes ventajas: '.·;·>-~:.::_:_'/ . - Economía. - Existen ahorros en costos al utilizar la prueba selec- tiva en comparación con el examen exhaustivo, debido a la reduc- ción de tiempo. - Oportunidad. - El ahorro de tiempo se refleja también al permitir al contador emitir su informe en fecha más cercana a la de los es- tados financieros. - Minuciosidad en la revisión. - El examen exhaustivo de muchas - partidas semejantes hace prácticamente imposible la minuciosi- dad por la monotonía del trabajo y la formación inconsciente de hábitos al irlo efectuando, pero al reducirse el número, se hace posible que cada partida sea examinada, procesada y analizada de una forma más completa y satisfactoria. Con el uso de la prueba selectiva. en lugar de llevar a cabo una revisión exhaustiva, el auditor tiene que resolver tres problemas principales que son: a) el tamaño de la muestra: o sea ¿cuánto debe examinar del uni- verso?; b) la selección de la muestra: o sea ¿cuáles son las partidas que va a examinar?; y, c) la evaluación de los resultados: o sea ¿cómo va a interpretar los resultados obtenidos ele la muestra para llegar a conclusiones sobre la totalidad de las partidas? - 13 - Juicio Estadístico: El auditor, corno ya dijimos antes, debe tener una capacidad profesio­ nal y un entrenamiento adecuado para realizar su trabajo de auditoria. Basado además en su experiencia práctica que le permita interpretar re­ sultados y en su capacidad para formarse un juicio equilibrado y maduro, que le permita estimar objetivamente todos los elementos, tanto favora - bles como desfavorables que van a influir en su apreciación, el auditor puede determinar la muestra a examinar. Pero en este tipo de determinación en forma tradicional de la prueba se­ lectiva, que se denomina también "a base de criterio", se corren los si­ guientes riesgos que pueden ocasionar un resultado parcial o equívoco en su trabajo. Estos son: - El criterio de cada auditor varia respecto a los demás; - El criterio de una misma persona puede variar de acuerdo con su estado de ánimo. - No se puede calcular objetivamente el grado de error posible en los resultados obtenidos, ya que la apreciación es fundamental­ mente subjetiva. Por esto, para obtener un resultado más preciso, objetivo y confiable es importante que el auditor se auxilie de métodos estadísticos en la deter- - 14 - minaclün de la muestra; o sea que para evitar ese tipo de errores el - auditor deberá basar su opinión sólo en las poblaciones de donde se ex­ trajeron las muestras y deberá permitir que cada elemento de la pobla - ci(>n o universo tenga una probabilidad conocida o igual de ser seleccio­ nado, asegurándose de que ninguna configuración particular modifique el can'icter aleatorio de la muestra y evitándo que inclinaciones perso­ nales influyan en la selección de los elementos para la muestra. 3. - LOS EVIDENCIA PAPELES DE 1 5 DEL MUESTREO TRABAJO DEL EST ADISTICO AUDITOR. EN Como ya se indicó en los puntos anteriores, el auditor deberá cumplir en forma satisfactoria con las normas de auditoría generalmente aceptadas. Así pués, en relación con la obtención de evidencia suficiente y compete!!_ te, el auditor deberá siempre dejar plasmada esta evidencia en sus pape­ les de trabajo. La Comisión de Normas y Procedimientos de Auditoría del Instituto Mexi­ cano de Contadores Públicos, A.C., en su Boletín B, define los papeles de trabajo como "el conjunto de cédulas y documentos en donde el auditor re - gistra los datos e informaciones obtenidos en su examen, los resultados - de las pruebas realizadas y, en muchos casos, la descripción de las mis­ mas". Además, este Boletín señala que "éstos constituyen el resumen de la labor realizada; sirven como base para fundamentar la opinión que el - auditor va a emitir; pueden ser, posteriormente, fuentes de aclaraciones o ampliaciones de información y son la única prueba que el mismo auditor tiene de la solidez y calidad profesional de su trabajo". Y añade, que estos papeles de trabajo "son propiedad exclusiva del auditor y deben in­ cluir el análisis, la comprobación y las conclusiones sobre los renglones o partidas específicas de los estados financieros, los cuales reunidos re~ p a 1 dan la opinión sobre dichos estados financieros en su conjunto". 16 Todo lo anterior, señala la importancia que tiene un adecuado diseño de papeles de trabajo. Así, cuando se apliquen pruebas selectivas en -- cualquier examen de auditoría, los papeles de trabajo, además de los - datos que deben contener de acuerdo con el examen realizado, deben in- cluir y registrar en forma permanente los siguientes datos: - La descripción del sistema de muestreo elegido; - La descripción del sistema seguido para seleccionar las parti­ das individuales que integran la muestra; - La descripción de los procedimientos de auditoria aplicados a las partidas que integran la muestra; - ·Los resultados obtenidos de la aplicación de los procedimientos de auditoria, los cuales incluirán cuando menos la clasificación del tipo de errores encontrados y el número de errores de cada tipo localizado; - La tabulación de los resultados obtenidos en la muestra; - Las fórmulas y cll.lculos empleados para la estimación de esos resultados; y, - La interpretación de dichos resultados con base en los datos - anteriores. Es conveniente además, que estos papeles de trabajo sean diseñados y llenados de tal manera que en cualquier momento pueda ser reconstruido el proceso total seguido en la prueba selectiva, con objeto de poder de-­ mostrar la objetividad de los procedimientos y la solidez de las conclu - siones. - 1 7 - Asimismo, es importante enfatizar que deben quedar claramente ex­ plicadas las bases elegidas para las estimaciones de nivel de confian­ za, precisión y tasa de ocurrencia. De estos términos hablaremos ampliamente en el Capftulo II del presente trabajo. CAPITULO INTRODUCCION AL MUESTREO ESTADIST 1cO. 18 INTRODUCCION AL MUESTREO ESTADISTICO l. - GENERALIDADES Muestreo y prueba son términos usados comúnmente para descri- bir lo. mismo, a saber: el proceso para obtener información acerca - del conjunto de una población o universo (el total de alguna cosa), exa minando sólo una parte del mismo. Asf como cualquier persona con sólo tomar un vaso con agua de llmón puede saber si a la jarra de agua le hace falta azúcar o limón, el auditor se puede formar una opinión acerda de un grupo de artfcu- los (registros, asientos, comprobantes, etcétera) con base en el exa- men de unos pocos de los artículos. Ello quiere decir que, si la - muestra es rea !mente representativa, su opinión sobre el resto de - los artfculos será tan válida como la opinión de aquella persona sobre el resto del contenido de la jarra. En este concepto radica el seer~ to de la prueba. La muestra deberá ser representativa del conjun- to. Asimismo, para que la muestra sea representativa, cada ele-- - 1 9 - mento del universo deberá tener una probabilidad conocida o igual de ser seleccionado. Además, las pruebas deberán estar exentas de sesgo. Esto no es tan evidente como parece, cada uno de nosotros tiene algo de par­ cialidad innata, por ejemplo, si se les pide a 100 personas que selec­ cionen un número del 1 al 10, muy pocas personas seleccionarán ya sea el namero 1 6 el 10. Por ello, el auditor deberá basar sus opiniones sólo en las pobla - cienes de donde extraiga las muestras y permitir que cada elemento de la población tenga una probabilidad conocida o igual de ser selecci~ nado, asegurándose de que ninguna configuración particular de la población modifique el carácter aleatorio de la muestra y evitándo - que inclinaciones personales Influyan en la selección de elementos - para la muestra. Finalmente, podemos afirmar que en la mayoría de los examenes que realiza un auditor independiente para expresar una opinión acer­ ca de los estados financieros de un cliente, es muy probable que haya cuando menos una prueba que podría realizarse más efectivamente utilizándo técnicas de muestreo estadistico. 20 2 . - E L Mu Es T R E o c o N B As Es Es TA o l s T l c A s El Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. a través de la Comisión de Normas y Procedimientos de Auditoría en su Bole- tfn F-02, se refiere al muestreo estadístico de la siguiente manera: " ... El muestreo estadístico es aquel en el que la determinación del tamaño de la muestra, la selección de las partidas que la integran y la evaluación de los resultados, se hace por métodos matemáticos - basados en el cálculo de probabilidades. " O sea, el muestreo estadístico es un conjunto de procedimientos que usan las leyes de probabilidad para tres propósitos: a) determi - nar objetivamente el tamaño de la muestra; b) seleccionar objetiva - mente las partidas para la muestra; y, c) evaluar objetivamente los resultados de la muestra. De tal forma que los procedimientos que no abarquen la evaluación de los resultados de los muestreos por me - dio de las leyes de probabilidad, no son procedimientos. de muestreo estadístico; es decir, los tres propósitos deben llevarse a cabo para que exista el muestreo estadístico. Cualquier otro procedimiento de muestreo que emplee un criterio 21 diferente al utilizado en el muestreo estadístico se llama muestreo de criterio. El muestreo de criterio incluye muestreos en que el auditor emplea su discernimiento para seleccionar ciertas partidas de muestra y muestras al azar, sin someterlas a una evaluación esta­ dística. Los muestreos de criterio, aunque no son necesariamente menos precisos que los muestreos estadísticos para la estimación del universo, carecen de dos características importantes: 1) una - estimación anticipada del tamaño de la muestra requerida sobre una base objetiva, y 2) una evaluación objetiva de los resultados de las muestras, usando las leyes de probabilidad en ambos casos. Ahora bien, para que el muestreo estadístico sea aplicable en - auditorfa y se obtengan resultados confiables, se requiere que se reú­ nan las siguientes condiciones: a) Mas i vi dad en los datos a examinar. - Las conclusio­ nes se basan en la teoría de las probabilidades y ésta ún.!_ camente se justifica en partidas numerosas. b) H o m o gen e ida d de las partidas a examinar. - Esta - característica es necesaria para garantizar que la mues­ tra obtenida es representativa del universo. e) Que la selección de la muestra sea aleatoria. - Se de- - 22 be evitar que las inclinaciones personales influyan en la obtención de los elementos que integran la muestra, ya que todas las partidas deben tener igual oportunidad de formar parte de ella. Para aplicar el muestreo estadfstico no es necesario dominar las matemáticas o tener conocimientos de estadística avanzada, pero es conveniente conocer en forma genérica los fundamentos del Cálcu - lo probabilfstico ya que los postulados que rigen el Cálculo probabi­ lfstico constituyen las bases técnicas del muestreo estadístico. A medida que el auditor profundice en los conocimientos matemáticos y estadísticos relativos al muestreo. se encontrará en mejor posibili~ des de entender su esencia y dar mayor versatilidad a sus aplicacio­ nes. 23 3. - PLANES DE MUESTREO Y TECNlCAS DE SE----------------------------------------------- LECCION. La decisión de utilizar el muestreo estadístico y el diseño, ejecu- ción y la evaluación del plan de muestreo estadístico en una auditoría, estará determinada por la finalidad u objetivo que persiga el auditor a través de la prueba de auditoría. Además de los recursos con - que cuenta el auditor, las características específicas en cuanto al r~ gistro y distribución de la población o universo determinarán la cla - se de técnica de selección que éste debe emplear para obtener su - muestra a fin de cumplir satisfactoriamente con el plan de muestreo. Sea cual fuere el plan o método que el auditor utllice, sus papeles de trabajo deberán contener con exactitud la evidencia de cómo se for- mó la muestra. A continuación mencionamos los planes de muestreo empleados - con mayor frecuencia en el campo de la auditoria. A). - Muestreo de Atributos: A este procedimiento se le d~ nomina comQnmente muestreo de estimación de frecuencia o muestreo de atributos mediante examen, es uno de los mli.s utilizados en la aud.!_ torra y probablemente el más versátil. Su finalidad es conocer cuán tas veces ocurre o no un evento determinado ( como por ejemplo, una 24 factura extra viada, un egreso sin autorización, etc.). Este evento puede ser una cierta clase de error u otro atributo de la población, y este tipo de muestreo es aplicable cuando el propósito de una prueba de auditoría puede lograrse mediante una respuesta de "si o no", " bueno o malo", "Blanco o negro", etc. B). - Muestreo de Variables: A este tipo de muestreo tam-­ bién se le conoce con el nombre de muestreo de variables mediante - examen o estimación y es utilizado para determinar "cuánto valen los elementos", generalmente el auditor aplica este método de muestreo cuando desea saber el valor de una población determinada que esté - compuesta por elementos que tienen características variables, como pueden ser unidades monetarias, kilogramos, litros, etc. . Por ejemplo se puede utilizar para obtener el valor estimado en unidades monetarias de todo un inventario mediante sólo una muestra del mis­ mo. Esta forma de muestreo dispone de cuadros y métodos de es - timación especiales para su aplicación. En el capítulo tercero de este trabajo hablaremos más ampliamen - te tanto del muestreo de atributos como del muestreo de variables, ya que consideramos que éstos son los de mayor utilización en la audito­ ría. 25 C). - Muestreo de suspensión o continuación: Este tipo de - muestreo permite al auditor evitar muestrear en exceso y reducir la extención de sus pruebas cuando los resultados de las muestras pr~ liminares revelan relativamente pocos errores o ninguno, o sea que los resultados de las pruebas son evaluados en forma progresiva me- diante cuadros especiales de suspensión o continuación. Estos cua dros nos proporcionan una manera rápida para determinar el riesgo implícito en aceptar los resultados obtenidos con muestras reducidas. En los casos en que es aplicable este tipo de muestreo permite adop­ tar decisiones de auditoria con base en muestras más pequeñas, que aquéllas requeridas que se utilizan por ejemplo en el muestreo de - atributos. D). - Muestreo de Descubrimiento: También llamado mues treo exploratorio, es un método diseñado para un propósito especifico y limitado. se utiliza en aquellos casos en que la comprobación de un sólo error o irregularidad haría necesario emprender una investiga- - ción exhaustiva u otra comprobación similar. El muestreo de des - cubrimiento se utiliza para contar con un grado elevado de probabili - dad de demostrar que ciertos eventos existen en una población cuando ocurren con determinada tasa mínima. El empleo de este método en la auditoria es muy reducido ya que se utiliza únicamente cuando el - objetivo es encontrar determinadas anomalfas o irregularidades como 26 son por ejemplo, un fraude, graves violaciones al control interno, - trampas deliberadas, etc. Esta forma de muestreo hace necesa- rio el uso de cuadros especiales que indican las probabilidades de - encontrar por lo menos una ocurrencia en una muestra dada. E). - Muestreo dirigido: El muestreo dirigido se aplica a aquellas situaciones en las que el auditor hace uso de su propio - criterio en lugar de utilizar una muestra estadística, para determi - nar tamaños de muestra o métodos de selección. El muestreo di­ rigido ha sido y seguirá siendo una de las herramientas má.s Otiles con que cuenta el auditor pero siempre que éste comprenda las U - mitaciones de dicho muestreo y lo utilece cuidadosamente a fin de alcanzar sus objetivos específicos de auditoria, una vez considera­ das todas las circunstancias y consecuencias del caso. Por supue~ to, para utilizar correctamente el muestreo dirigido es necesario que se entiendan los principios básicos del muestreo estadfstico, a fin de que la decisión de utilizar uno u otro sea la más adecuada. Las técnicas de selección de muestras que se emplean con mayor frecuencia se describirán en los párrafos siguientes. A). - Muestreo por narneros aleatorios: También llamado de selección aleatoria irrestricta, es una técnica en donáe los elemen - 2 7 - tos de la muestra son extraídos completamente al azar del univer­ so completo o de estratos seleccionados del universo. Esta téc­ nica es la más ampliamente utilizada y requiere del empleo de una tabla de números aleatorios (Véase apéndice). El muestreo por números aleatorios funciona mejor cuando cada uno de los elemen­ tos del universo posee un número de serie. B). - Muestreo por intervalos: También conocido como · muestreo sistemático, es aquél que permite seleccionar los eleme_!! tos de la población que formarán parte de la muestra, de tal manera que haya un intervalo uniforme entre cada elemento muestreado. O sea que de acuerdo con este método se selecciona cada "enésimo" elemento, empezándo con un punto de partida aleatoria. Es im-­ portante en la selección por intervalos, asegurárse de que los ele­ mentos del universo no estén ordenados de tal manera que los re - sultados sean sesgados, que ninguno de los elementos del universo haya sido retirado, y que el comienzo sea verdaderarre nte aleato­ rio. C). - Muestreo estratificado: El muestreo estratificado es una técnica conforme a la cual los elementos del universo se separan en dos o más clases llamados estratos y cada uno de dichos estratos se muestrean o prueban en forma independiente. Conviene u ti 1 i - zar este tipo de muestreo cuando entre los artículos muestreados -- 28 existen amplias diferencias en cuanto a las características que se van a medir. La estratificación se utiliza más frecuentemente para muestrear artfculos cuyos valores monetarios varfan dentro de am­ plios limites. D). - Muestreo por conglomerados: En este tipo de mues­ treo el universo se divide en grupos o "conglomerados" de elementos, ya que en determinadas circunstancias la colocación de los archivos o el volúmen de éstos, no permite seleccionar otro método de mues - treo. Después, los elementos comprendidos en los conglomerados Geleccionados pueden ser examinados en su totalidad o ser muestrea- dos a su vez para reducir la prueba. El muestreo de conglomera - dos que ha de seleccionarse estará determinado por la naturaleza·y el tamaño de la población. En general, los resultados más pteci- sos con el muestreo de conglomerados se obtendrán cuando cada - conglomerado contenga tanta variedad de elementos como sea posi­ ble, y cuando los conglomerados tengan entre sí la máxima simili­ tud posible. Una variante del muestreo de conglomerados es aquél que re­ cibe el nombre de muestreo polietápico. En él los conglomerados seleccionados se muestrean en lugar de ser examinados en su tota - Iidad. Cuando en el muestreo de conglomerados es usado con - planes de muestreo de atributos o variables, la confiabilidad de la muestra deberá ser evaluada en forma matemática. 29 E). - Muestreo mecanizado: En este tipo de muestreo, el equipo electrónico de procesamiento de datos es utilizado en la se-­ lección y registro de artículos para prueba. Al efectuar sus pruebas, el auditor normalmente realiza las si­ guientes tareas: 1) determina el alcance de las pruebas y la natura­ leza de las pruebas que se habrán de emplear ; 2) prepara las ho­ jas de trabajo; 3) selecciona los elementos de la muestra;4) regis­ tra los datos en las hojas de trabajo; 5) calcula, compara y anali­ za los elementos de la muestra; 6) tabula las excepciones; 7) eva - lúa los resultados; y, 8) extrae conclusiones de estos resultados. En circunstancias apropiadas, y con un plan adecuado, la compu­ tadora puede efectuar todas estas actividades (y en términos gen~ rales las llevan a cabo con gran rapidéz y precisión), excepto por lo que se refiere a aquellas cuestiones de criterios relativas a la determinación del alcance de la prueba del auditor, la evaluación de los resultados y la formulación de las conclusiones pertinentes. Además existe la ventaja de que los listados impresos por la com­ putadora pueden ser utilizados por el auditor, como parte de sus papeles de trabajo. 4.- SELECCION DE METODOS. DE _ MUESTREO A A A A A e A A A A e a o Como se mencionó en el inciso 3 anterior, existen una serie de métodos de muestreo estadistico que el auditor puede utilizar. Sin embargo, no existe una fórmula precisa para seleccionar el método de muestreo a utilizar, y éste deberá ser seleccionado - tomando en cuenta el objetivo que se persiga y considerándo ade- más la significación, complejidad y efecto de los aspectos que se someterán a exámen. Existen cuando menos una veintena de pruebas que el auditor deberá realizar para formarse una opinión acerca de la función total O partida examinada, sin embargo no todas estas pruebas requieren un plan de muestreo estadístico, evidentemente en algunas de ellas una simple revisión de los registros puede bastar para lograr cum- plir con el objetivo de la auditoria. Por lo tanto, como menciona el Boletín F-02 de la Comisión de “ Normas y Procedimientos de Auditoría, en su párrafo 25 . «UNO de los requisitos básicos en la aplicación de cualquier plan de -- muestreo, es la plena identificación de los objetivos que se persi- e guen". ±~~--~g~-~Q9lQl.J_...f>_E _ _ .I_Q.Q2E __ QÉ _ ~l:J-~~Ig_q_q_ APROPIADOS ------------ orno encionó l i iso terior, isten a rie e étodos e uestreo t dístico e l auditor ede tili ar. in bargo, o iste a DSrmula recisa ara ci nar l étodo e uestreo tili ar, ste berá r i ado c ando enta l jeti o e ersiga si erándo e- ás ifi ación, plejidad cto e s ectos e eterán en. xisten ndo enos a i tena e r ebas e l ditor berá lizar ara arse a i ión erca e l f ción t tal o artida inada., i bargo o t as tas r ebas requieren n l n e uestreo t dístico, i t ente nas e ll s a ple isi n e l s istros ede astar ara rar - lir n l jeti o e ditoría. or l t to, o enciona l oletín -02 e l omisión e or as r cedi ientos e uditoría, árrafo " . . uno e s uisitos sicos l li ción e alquier l n uestreo, s l l na i tifi ción e l s jeti os e ersi- n". 81 Es responsabilidad del auditor al efectuar un trabajo profesional el utilizar, siempre que sea aplicable, el muestreo estadístico, pla­ neándo y considerándo todos los aspectos necesarios para la mejor utilización del muestreo estadístico, tales como los problemas es­ tadísticos involucrados en el diseño, selección y evaluación de las - muestras, definición de errores u otras características de interés para fines de las muestras, especificándolos objetivos de las mues­ tras .en términos de confianza y precisión, en relación con dichos ob­ jetivos, aplicándo la definición de errores u otras características de interés al examinar las partidas que integran la muestra y lo que es más importante la evaluación de los resultados del muestreo estadfs - tico y su interrelación con otra información obtenida en las demás fases de la auditoria. Como resultado de lo anterior podemos concluir que los objetivos que persiga el auditor determinarán el método de muestreo que debe­ rá utilizar con la finalidad de hacer más objetivo y completo su traba­ jo, lo cual redundará en un mayor profesionalismo y calidad en el de­ sarrollo y resultado de su trabajo. 5.- VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LA APLICACION. DEL MUESTREO ESTADISTICO EN LA AUDITORIA DE A A A A A A A A A A e e ESTADOS FINANCIEROS. El muestreo estadistico, como herramienta del auditor para - obtener suficiente material de evidencia que sirva de base para expre- sar su opinión, conlleva ciertas ventajas y desventajas que deberán ser consideradas al aplicar el muestreo con bases estadísticas a la audito- ría de estados financieros. A continuación se mencionan las princi - pales ventajas y desventajas de la aplicación del muestreo estadístico: Ventajas la: La prueba es objetiva y se puede soportar tal objetividad sobre la base del tamaño de la muestra requerida, método de selección de la muestra y evaluación de la frecuencia de error en los valores dentro del universo. Esto es necesa - rio cuando los alcances aplicados en la auditoría requieran ser justificados. Se pueden evaluar los resultados en términos de la desviación de la proyección de la muestra, referida al re- _sultado que se hubiera obtenido de un examen total del universo. Hacemos notar que si se necesita una proyección matemática de la frecuencia de error en el universo o de su valor, el resultado 32 ~~~-YE-~I~l~§_y_QÉll_Y..~~I-~~-~-~~-h~-~1lJ.9_1_Q!_Q~­ !?E__1=:__~!:!E..§_~~g_9 _ _g§_~~!?.!.~I.!.9-9_E_~-~~-~!!.PJ1:..Q.~!_~-Q§ DOS NCIEROS. l uestreo t dístico, o r ienta el ditor ara tener fi iente aterial e i encia e a e ase ara pre- r inión, n leva i rtas ntajas sventajas e berán r si eradas l licar l uestreo n ases t dísticas dito- ra t os cieros. ti ación encionan s r l- ales ntajas sventajas e li ción el uestreo t dístico: entajas. : a r eba s jetiva ede portar l jeti i ad bre ase el año e uestra uerida, étodo e l ción e l uestra al ación e encia e rror s alores ntro el iverso. sto s - í ndo s ces li dos ditoría uieran r ti dos. e eden aluar s lt os inos e sviación e e ción e uestra, ri a l - . lt do e biera t nido e n en tal el iverso. ace os otar e i ecesita a e ción atemática e encia e rror l i erso e alor, l a 33 solo se podrfa obtener mediante la aplicación de un mues - treo estadístico. 2a: Con el muestreo estadístico se ahorra tiempo y dine­ ro, ya que cuando los universos a examinar son extensos, g~ neralmente las muestras determinadas por medios estadisti - cos son inferiores a las que se obtienen aplicando el criterio del auditor Onicamente. Sin embargo, un menor costo no debiera ser la razón principal para utilizar el muestreo es­ tadístico. El interés primordial del auditor deberá ser el obtener el mejor y el más efectivo resultado que otorga el - muestreo estadístico; es decir, al auditor le interesará tanto lo eficáz como lo eficiente. 3 a: La utilización del muestreo estadístico como coadyu­ vante de la formación del criterio profesional del auditor. Se puede decir que el muestreo estadfstico es un instrumen­ to útll al juicio profesional del auditor al eliminar la selec­ ción parcial, tendenciosa o anticientffica, pero de ninguna - manera lo sustituye; aunque se puede pensar que el juicio - del auditor es suprimido debido a que el muestreo estadís­ tico determina el tamaño de la muestra, razón por la cual el auditor no puede intervenir en la selección de las partí- 34 das especificas que integran la muestra, la cual es completa­ mente al azar, sin embargo el auditor debió ejercer anticipa - damente un juicio profesional con el fin de determinar el tam~ ño del universo, la unidad de muestreo, los parámetros a uti­ lizar, diseñar el p Ian de muestreo y finalmente evaluar los r~ sultados de la aplicación del muestreo estadfstico . Como - colorario de lo anterior, a continuación mencionaremos la -­ opinión del Comité Americano de Procedimientos de Auditoría en su publicación de febrero de 1962 (Véase Statement of Audi­ ting Standars -SAS 320 A.03) "Aún cuando el muestreo es­ tadfstico proporciona al auditor una medida de precisión y coE_ fiabilidad las técnicas estadísticas no le definen los valores individuales requeridos para obtener una satisfacción en tér­ minos de la auditorfa. La especificación de la precisión y confiabilidad necesari'l en una determinada prueba es una fun­ ción de la auditorfa, y debe basarse en el juicio, de la misma manera como. se basa una decisión con respecto a la satisfac­ ci·:'m requerida para efectos de la auditorfa". Desventajas. 1 a: El muestreo estadfstico es complejo y técnico, ya que el auditor debe saber aplicar perfectamente las fórmulas y ta­ blas estadfsticas que se emplean en la utilización del mues-- treo estadístico . Esta desventaja, se puede decir, ha sido superada, con el empleo de programas computarizados en - tiempo compartido. 2 a : El muestreo estadfstico no permite seleccionar parti- das grandes o poco usuales, esto se puede superar si se es- tratifican las partidas poco usuales, grandes o sospechosas. Aunque debe indicarse que el muestreo estadfstico no limita al auditor para que examine partidas no ind uidas en la muestra, y además es recomendable que el auditor debiera examinar - cualquier grupo de partidas de la muestra que su criterio le indique que deberá examinar, aunque esto no forma parte de la proyección estadística. 3 a : El método estadfstico no es apropiado para universos pequeños. Aunque es un requisito para la apllcación del -- muestreo estadístico la masividad del universo, la experien - cia ha demostrado que también es útil para efectuar pruebas en universos medianos. Como se menciona anteriormente, la mayoría de las posibles desventajas han sido superadas o se deben considerar solo en situacio - nes especiales, por lo cual en el futuro se prevee una mayor aplica- - ción del muestreo estadístico en la auditoría. CO CAPITULO HL PLANES _ DE MUESTREO - APLICABLES A LA _AUDITO-= 1] IA DE ESTADOS FINANCIEROS .Y EJEMPLOS DE SU APLICACION Ekk_l'i.~~--Q_~--J.Y!.~J!:~_t..ll.§..Q __ tE..1J.9_A_~~g§ _ _A_ __ 1=_.i __ ~~Q1I..9~ Bl~ __ Qg __ ~ªIk_I2.Qª_....f_U~-~~.91EJ~ .. Q~~-~-1•:J.§:_~Eb..9J> __ QJ!_J> APLICACION ----------- - 36 - PLANES DE MUESTRBO APLICABLES A LA AUDfTORIA DE ESl ADOS --- FINANCIEROS Y EJEMPLOS DE SU ,t..PLICACION 1. - MUESTREO POR A TR lB UTOS ---------------------------------- l ndudablemente, el muestreo de atributos (llamado tambit:n - muestreo de atributos mediante examen o estimación de frecuencia), es entre los planes de muestreo de que dispone el auditor uno de los más ampliamente utilizados. En una prueba de atributos el audi - tor se propone contar y evaluar igualmente cada error de un cierto tipo, no se le atribuye ningún valor monetario al resultado obtenido de la aplicación de un plan de muestreo de atributos. El uso típi- co que se le dá a un muestreo por atributos es en pruebas de cump!!_ miento donde el auditor juzga que el sistema de control interno de-- hería aplicarse a todas las partidas y, por tanto, está dispuesto a considerar de igual relevancia a todo error del mismo tipo. El muestreo por atributos puede aplicarse en diversas pruebas de auditoría como son: a) Pruebas de comprobantes b) Pruebas de sistemas de facturación c) P.ruebas de registros de entregas o despad10 ;37 d) Pruebas de sistemas de nómina de haberes y otros relaci?.. dos con el personal e) Pruebas de respaldo de listas de saldos (por ejemplo, las facturas de los proveedores que respaldan las listas de sa_! dos de cuentas por pagar) f) Pruebas de corte ("cut offs") g) Pruebas de precios y cálculos de listas de inventarios h) Pruebas de aumentos del activo fijo i) Pruebas de los cómputos de depreciación Pasos a seguir para la correcta aplicación de un muestreo de atributos. - 1.- Determinar los objetivos de la prueba: El auditor deberá decidir si lo que hace falta es una prueba - de cumplimiento para determinar la confiabilidad de los con-­ troles internos y procedimientos que utiliza el cliente, o una prueba sustantiva para determinar la validéz de los importes monetarios que aparecen en los estados financieros, o una -­ prueha con ambos propósitos. Si lo que se comprobará se- - 3 8 - rá el cumplimiento de los controles internos, el auditor debe:­ rli determinar qué controles tienen real importancia para Jos estados financieros, es decir, cuales son los controles nece­ sarios para proporcionar datos confiables para los estados fi - nancieros. 2.- Definir el Universo: A 1 definir el universo el auditor determina el cQmulo de datos acerca de los cuales debe llegar a una conclusión. La defi­ nición del universo se deduce a menudo directamente de la de- terminación de los objetivos de la prueba. Definir el univer so para un muestreo de atributos implica tomar los siguientes pasos: a) Definir el sistema que se someterá a la prueba de cumpli - miento. - Las oruebas de cumplimiento pertenecen a un sistema dado de control interno. El ~uditor no deberá hacer evaluaciones del total de los sistemas sino de ca - da sistema en particular, por tanto el auditor deberá -­ estar conforme con la relativa homogeneidad de las part_! . das que forman un universo dado y ante todo deberá con~ cer los controles en vigor antes de definir el universo. b) Definir la unidad de muestreo. - Siendo la unidad de mues­ treo aquellos elementos individuales que componen el - universo, ésta puede consistir de documentos, entradas, - 3 9 - partidas en un renglón de los estados financieros, ere. Cada unidad de muestreo constituye una uni&td en e 1 universo (que por su parte se define como la totalidad de las unidades de muestreo). También aquí, al defi­ nir la unidad de muestreo deberá tomarse en cuenta el objetivo de la prueba. c) Determinar el documento de origen y los documentos que serán sometidos a prueba. - Normalmente la unidad de muestreo especifica el documento de origen para la pru~ ba. El auditor deberá elaborar un programa de audi - toría específico para pasar de la unidad de muestreo a - los documentos que se someterán a la prueba considerá!!_ do si se encuentra intacta la fuente de selección, o si se halla disponible el universo entero y como están archiv~ dos los documentos. d) Determinar que el marco y el universo son equivalentes. - Esto significa que tanto el universo que se ha determina - do para examinar y el universo de donde se han extraído las muestras son esencialmente equivalentes. Por eje~ plo si se desea llegar a conclusiones acerca de todos los comprobantes emitidos en 1982, ese seria el universo; y el auditor elige al azar comprobantes de una gaveta de - archivo, éstos serán el marco. Si los comprobantes de la gaveta representan la totalidad de los comprobantes - - 4 o - emitidos, entonces el marco y el universo son equiva ·­ lentes y no hay problema. e) Definir el período que cubre la prueba. - Generalmente las pruebas de cumplimiento son utilizadas por el audi- tor en la revisión intermedia de la auditoría, por tonto en estos casos el auditor podrá describir el reriodo de prueba como aquel que comienza 31 principio del año y llega basta la fecha del trabajo intermedio. De ser asi puede que no sea necesario efectuar más esas pruebas durante el período restante tomando en cuenta los resul­ tados de las pruebas del periodo intermedio, las respue~ tas a las preguntas relacionadas con el periodo restante, la extensión del período restante, la naturaleza y cantidad de transacciones o saldos en cuestión y, otros factores que el auditor estime de importancia para tal efecto. Con es to el período sometido a prueba con el muestreo se redu ce considerablemente. f) Estimar el tamaño del universo. - Solo se necesita una a pro - ximación general del tamaflo del universo para calcular el tamaflo de la muestra. Para universos de más de 10, 000 unidades de muestreo se puede suponer simplemente que el universo es infinito, pero el auditor necesitará una e~ timaclón razonable del tamaño del universo cuando sean 41 menos de J, 000 unidades de muestreo. 3.- Determinar el método para .seleccionar la muestra: Para que se aplique cualquiera de las fórmulas de muestreo estadístico, programas de tiempo compartido o tablas, es menester que la muestra elegida sea una muestra de probabi - lidad. En una muestra de probabilidad, cada unidad de mues­ treo en el universo tiene una probabilidad conocida (genera lmen - te igual) de ser elegida. Estas muestras posibilitan al auditor a hacer estimaciones válidas pues están basadas en las le)'es de probabilidades. Como vimos en el capitulo anterior, existen varias técnicas de selección que pueden utilizarse para selecci~ nar la muestra, los cuales fueron descritos ampliamente en el mismo capítulo. 4.- Definir las condiciones posibles de error: En las pruebas de cumplimiento, puede considerarse que un - error es toda imprecisión o equivocación u otra desviación del sistema establecido por el cliente en lo que se refiere al con­ trol interno y que tenga significad ón en auditoria, que no haya sido detectado ni corregido por el sistema del cliente. La definición del error debe ser lo suficientemente precisa de tal manera que tanto la persona que diseña la prueba como la per- - 4 2 - sona que la efectúe, esten de acuerdo acerc;i de lo que efectí- vn mente constituye un error. Pero la definición de un error no debe ser demasiado estrecha, pero sí lo suficientemente - amplia como para que las unidades de muestreo no aplicables sean las menos posible, pero siempre de acuerdo con objeti­ vos de auditoria realistas. 5.- Computar el tamaño de la muestra: Al determinar el tamaño de la muestra, se debe: a) ~finir el nivel de confianza* apropiado. - El nivel de con­ fianza mide el riesgo de muestreo que se corre al llevar a cabo una prueba. El auditor corre dos tipos de riesgo de muestreo, que son el riesgo "alfa" (aquel en que se afi¿ maque no se cumple con un control interno adecuado o que las cifras no son razonablemente correctas,y sí se cumple o sí lo son) y el "beta" (aquel en que se afirma que el CO!!_ trol interno o las cifras son adecuadas y razonablement~ - correctas y, realmente no lo son), además existe el error del no muestreo. El nivel de confianza es una manera de medir el riesgo del muestreo y está relacionado inversa - - mente tanto con el riesgo alfa como con el beta. Técnica mente, el nivel ele confianza es igual a 1 (uno) menos el - riesgo alfa, es decir, con un nivel de confianza del 953 -­ hay un riesgo alfa del Sfo y el riesgo beta será igual a 1/2 de riesgo alfa, asi, con un nivel de confianza del 95%, ·~Véase definición en el glosario de términos del apéndice. - 4 .3 - existe un riesgo beta del 2. Sfo. El auditor deberá - usar su criterio para elegir un nivel de confianza apro­ piado y deberá tratar de relacionar el riesgo de audito­ ría que corre a 1 llevar a cabo la prueba, con el riesgo del muestreo. Por ejemplo, si la prueba es especial­ mente riesgosa o importante deberá utilizar un nivel de confianza mayor para minimizar el riesgo de muestreo, y si la prueba es relativamente segura, puede utilizarse un nivel de confianza menor. Mientras más confie el - auditor en una sola prueba, más importante es esa prue­ ba para su opinión sobre el conjunto; por ello, lo impor­ tante a considérar cuando se fije el nivel de confianza p~ ra una prueba de cumplimiento no es tanto el control in­ terno en sí mismo, sino "cuanta importancia tiene la - prueba en opinión del auditor". En muestreos de atri­ butos. cada uno de los atributos puede tener diferentes - factores de riesgo, por tanto, cada atributo puede tener un nivel de confianza diferente, teniendo los atributos -­ críticos un nivel de confianza más alto y otros un nivel - menor. b) Definir un porcentaje conservador de la frecuencia esperada de un acontecimiento en el universo. - A este factor tam bién se le denomina "porcentaje estimado de error", "ro~ centaje de frecuencia esperada", etc. Este factor se re resume existen en el universo, no en la muestra. Esto se debe a que la frecuencia de errores en la muestra variará de mues- tra en muestra, pero en el universo la frecuencia siem- pre es fija. Este porcentaje lo determina el auditor - en base a su criterio, previo estudio de las caracteristj- cas propias de la compañía, y en base también a los re-- sultados de estas pruebas en el año anterior. c) Determinar el porcentaje de tolerancia máxima de error - en el universo. - El porcentaje de tolerancia máxima de error se puede describir como el nivel de errores que llevarían al auditor a reconsiderar la naturaleza, la pe- riodicidad o el alcance de las pruebas sustantivas plani- ficadas, O a tomar otras medidas. Al determinar el PTME, el auditor considera no solamente la naturaleza - del error sino también las pruebas sustantivas programa das y la confianza en el sistema. El PTME no puede - ser inferior al porcentaje conservador de frecuencia espe rada. d) Determinar si se usará una estimación a intervalo (de dos - límites), o una de límite superior. - A1 diseñar un plan de muestreo, el auditor deberá decidir si usará una prue- ba de uno o de dos límites. El método que se espera - . . ,·, -. ' . ' fierea .la frecuencia de errores que se presu~e isten en el niverso, no uestra. sto be n ue la frecuencia e res uestra ariará e ues- uestra, ero l i erso encia - re s . ste rcentaje t ina d ditor ase rit rio, r vio t dio e s racterfsti - s r pias e pañia, ase bién s - - lt os e tas r ebas l 11ño terior. e) eter inar l rcentaje e ncia áxi a e rror l iverso. l rcentaje e ncia áxi a e rror ede scribir o l i el e res e rían l ditor nsiderar t raleza, e- i i ad l ce e s r ebas st ntivas l ni- as, o ar tras edidas. l t r inar l E, l ditor nsidera ente aturakza el rror o bién s r ebas st ntivas program~ as nfianza l a. l E ede r f rior l rcentaje servador e encia esp~ a. ) eter inar i sará a ación r alo e s i ites), a e ite perior. l i ñar l n e uestreo, l ditor berá ecidir i sará a r e- a e o e s i ites. l étodo e era - 45 - utilizar en la evaluación deberá ser el mismo que se - utilice para determinar el tamaño de la muestra. Las declaraciones de confianza pueden hacerse en base a li- - mites de precisión tanto superior como inferior (llamados estimaciones a intervalos -de dos límites-), o sólo sobre la base del limite superior. Una declaración sobre la base del límite superior podrá expresarse asf: "se pue­ de estar 95% seguro de que el porcentaje de error en el - universo es menor que 5%"; y, una declaración sobre la estimación a intervalos (de dos límites) podría expresar­ se asr: "se puede estar 903 seguro de que el porcentaje de error en el universo fluctúa entre el 1% y el 5%". Se puede usar el enfoque del limite superior para ciertos atributos y el de intervalo (de dos limites) para otros. No hay desacuerdo acerca de las estadísticas que se aplican, pues ambos enfoques tienen su utilidad. En la práctica, el sistema del lfmite superior es el más utilizado ya que este se aplica para los casos en que el sistema de control interno es excelente y por tanto la prueba de cumplimiento reviste mayor importancia. 6.- Llevar a cabo el nlun de muestreo: Una vez que se haya diseñado el planeamiento para el muestreo, se elig~ la muestra de acuerdo con el método establecido en el plan y se hace la auditoria de las partidas. El auditor deter- - 4 6 - mina si cada partida seleccionada contiene algún error defi­ nido y resume el número de errores que ha encontrado para cada definición. Si .bien resulta relativamente sencillo lle­ var a caho un muestreo bien diseñado, existen algunos pro-­ blemas que podrían surgir en su ejecución y que a continua - ción comentaremos: a) Documentos anulados. - Cuando el número elegido al - azar representa un documento anulado, según el clien­ te, el auditor deberá asegurarse que realmente fue - - anulado y que se hizo debidamente, así como obtener - una explicación apropiada del cliente sobre la causa. Si la partida fue bien anulada, deberá reemplazarse por un número al azar adicional. Esto ocurre porque, en la mayoría de los casos, se define el universo como "t~ das las partidas efectivamente emitidas". b) Documentos no utili:zados. - A veces, el documento el.!:_ gido no ha sido utilizado, ya sea porque el cliente ha - cambiado la secuencia numérica o porque ha pasado por alto un número. El auditor deberá comprooor que en realidad no ha sido utilizado y reemplazarlo por otro al azar. c) Documentos faltantes. - Dado que uno de los propósitos de la prueba es comprobar que las transacciones regís- - 4 7 - tracias están respaldadas por documentos, el documen­ to que falta constituye un error y siempre deben'l dejar - se constancia de ello. El auditor norinalmente consi- derará atributos tales como "factura faltante" o "docu­ mento faltante" como condiciones de error. d) Errores en la determinación de secuencias en el universo. - Cuando se utiliza el muestreo de nümeros al azar, mu­ chas veces se hace una estimación de Ja secuencia nu-- mérica antes de emplear los documentos. Por ejemplo. al elegir facturas para la prueba de un año entero. el -­ auditor puede estimar el uso durante los últimos tres - meses en el periodo intermedio para hacer la selección a ese momento. Si el universo real resulta ser menor que la secuencia numérica estimada, se usarán números al azar extra para elegir las partidas que reemplacen a los números al azar correspondientes a documentos no usados por el cliente. Si el universo real resulta ser mayor que la secuencia numérica estimada, el auditor puede : a) ha-- cer una selección entera mente nueva para la secuencia nu - mérica correcta, o b) llevar a cabo la prueba sobre una - base estratificada, oc) definir nuevamente .al universo es­ tadístico y llevar a cabo el saldo de la prueba sobre una - base de criterio. alcance del error. La elección casi siempre depende del - 4 8 - e) Cambios en las definiciones de error. - Mientras lleva a cabo la prueba, el auditor puede llegar a la cond usión de que más atributos deberían haber sido considerados errores. No hay inconveniente en agregarlos a los - papeles de trabajo junto con los factores estadrsticos - apropiados. Si esto se hace después de la prueba de a.! gunas unidades de muestreo, el auditor debería reexa­ minarln s para evaluar si constituyen errores en ellas dentro de las definiciones de errores adicionales. Sin este paso la prueba sería incompleta. También puede darse cuenta el auditor de que algunos de los atributos - definidos como errores no figuraban dentro del sistema de control interno del cliente. Estos deberán conside­ rarse deficiencias del sistema, mas no desviaciones del cumplimiento. f) Contar los errores. - Aunque esto debería ser sencillo, su~ len surgir problemas debido a la falta de claridad en la - definición de una unidad de muestreo o de un error. Por ejemplo, supongamos que la unidad de muestreo es la fa~ tura y que la definición del error es "las facturas enume­ radas en el comprobante no están adheridas al comproba!!_ te". Si las facturas no adheridas al comprobante fueran 100 o solamente 1, el error que resultaría para los fines estadísticos sería solamente uno. Esto se fundamenta - en el nrincinio según el cual cada unidad de muestreo puede - 49 - tener solamente un error de cada tipo de error defini - do. Desde el punto de vista del auditor, el número exacto de facturas faltantes debería determinarse sola­ mente cuando los datos estuvieran a la mano y 9uando la respuesta afectara la conclusión del auditor. g) Suspender la prueba íntegra antes de completarla. - Suele suceder que el auditor se encuentra con un gran número de errores en la primera parte de una muestra. Pare- ce ser obvio que aunque el resto de la muestra no arro­ jara ningún error, la conclusión serfa no confiar en el sistema. El auditor debería decidir si continOa la - prueba o no. Si la suspende, no llegará a ninguna con - clusión estadística acerca del porcentaje de errores en el universo. En cambio, si solamente se necesita sa- her si se puede considerar al universo como aceptable, no vale la pena continuar con la prueba de cumplimiento. Una vez llegado a la conclusión que el universo es inacep_ table, el auditor debería reconsiderar el alcance de las pruebas sustantivas. h) Evaluaciones intermedias. - Se puede terminar y evaluar una prueba estadística en cualquier momento, siempre y cuando la selección sea al azar en el punto de evaluación (es decir, que los nümeros al azar se usaron de acuer- do con el orden original tomado al azar). Pero, si la - 50 - evaluación es para decidir si continuar la prueba o no, resultará una muestra en secuencia si se procede con la prueba~- En vista de que las muestras en secuencia no pueden ser evaluadas fácilmente, los auditores general - mente no utilizan este método. i) Partidas no aplicables. - A veces una partida elegida no es aplicable a una definición de error dada. Por ejem - plo, una partida de gastos seleccionada puede no ser - - aplicable cuando la prueba es para "reporte de recep-­ ción faltante"'. En este caso, la partida no se cuenta como parte de la muestra y disminuye en uno el tamaño real de la muestra. Si hay varias de estas partidas (y vale la pena someter este atributo a prueba), debe- rran ser sustituidas por números extras. Este proble- ma se puede reducir con definiciones amplias de los - errores, por ejemplo, "no hay constancia de que las - mercancías o los servicios recibidos hayan sido apro­ bados". D::! esta manera la partida de gastos estaría aprobada y todas las partidas serian de aplicación. Además de estos problemas que surgen en el desarrollo del plan de muestreo, el auditor deberá. tener todo el cuidado y concentración en su trabajo ya que existe también un riesgo ajeno al muestreo que está directamente ocasionndo por el - 51 - error personal del auditor. Se llama error ajeno al muestreo ya que se trata de aquel que pudiera cometer el auditor al no captar los errores habidos en la prueba o al equivocarse en la auditoría al efectuar una prue­ ba. Por ello, es necesario que el auditor realice su trabajo con el mayor cuidado, reciba las instrucciones precfsas y el~ ras, tenga una supervisión adecuada y sea revisado continua­ mente por personas debidamente capacitadas, ya que este tipo de error ajeno al muestreo no es medible. Las pruebas de~ rían diseñarst: y llevarse a efecto de tal manera que sea mfn.!:_ mo el error ajeno al muestreo y siempre que se pueda elegir - entre dos pruebas, el auditor deberá elegir la que dé menos - lugar a errores ajenos al muestreo'. 7.- Interpretar los resultados del muestreo: llna vez que el auditor haya terminado con el examen de los d~ ros de respaldo y haya determinado cuántos errores existen de cada tipo, debe interpretar los resultados. Para hacer esto debe contestar la pregunta ¿qué significan estos resultados?, y considerar ¿que se haría si esto fuera el resultado de un exa·- men del 100%?. Como se ha mencionado antes, la cstima·- ción C;!Stadistica es un sustituto del examen del 100% pero sine Igualmente: le da unn indicación al auditor del porcentaje de - errores que hay en el universo. Siempre, sea la prueba de tipo estadístico o de criterio, los resultados deberán ser inter· - 5 2 - pretados. El proceso de iríterpretaciór1del9sresu1til,'Ci9~consiste ha.si- camente en: a) Calcular el porcentaje de error enla rnú~stia. b) Para el muestreo estadístico, calcular el lrmlte (o, los límites) de precisión en el nivel de confianza de- finido. c) Determinar si los resultados se deberían considerar aceptables, inaceptables o indeterminados. d) Determinar las causas posibles de los errores (pri~ cipalmente en situaciones inaceptables o indetermina - das). e) Llegar a conclusiones de auditoria acerca de la signi- ficaci6n de los errores. f) Llegar a conclusiones de auditoria acerca de la confia~ za que merece el sistema. Para calcular el porcentaje de error en una muestra, se debe dividir el nQmero de errores por el tamaño de la muestra, y ' 1 - 5 3 - se calcula cada tipo de error por separado. El porcentaje de error que se encuentra en la muestra es sólo una estima - ci6n del porcentaje de error en el universo. Con el muestreo estadístico,- el auditor calcula el límite superior e inferior de error en un cierto nivel de confianza; el mismo nivel de e o n - fianza que se utilizó para determinar el tamaño de la muestra deberá emplearse para evaluar los resultados de la muestra. Una vez calculados los límites superior e inferior (6 solamen - te el superior si asr se hubiera diseñado la prueba), el audi- tor deberá determinar si el resultado puede interpretarse co- mo una condición aceptable para cada atributo. Si el pareen- taje de tolerancia máxima de error es mayor que (6 igual que) el limite superior, la condición deberá considerarse "acepta- ble"; y si éste se halla entre los dos límites, la condición deberá considerarse "indeterminada" 6 "inaceptable. Cuándo una condición se considera inaceptable o indeterminada, e 1 auditor deberá establecer si los errores indican un deterioro en el control interno que pueda: 1) afectar significativamente los estados financieros; y /o 2)requerir una modificación de 1 plan y del programa de auditoría; y /o 3) requerir una recomen- elación a la gerencia del cliente. En algunos casos, puede ser deseable pasar a una muestra de variables para determinar el impacto monetario potencial de los errores. 54 8. - Documentar las pruebas de cumplimiento: Los papeles de tralajo deberán documentar el plan de mues - treo y los resultados de la muestra, incluyendo las conclusio- nes a que se llegaron. La descripción en los papeles de tra - bajo del plan de muestreo deberá incluir los siguientes puntos: a) Una descripción del sistema que se someterá a prueba b) Los objetivos de la prueba c) Cómo se efectuó la prueba d) La definición del universo y de la unidad de muestreo, con una explicación de cómo se cercioró el auditor de que el marco y el universo eran equivalentes e) El método de selección f) La definición de las condiciones de error sometidas a prueba g) Para cada definición de error, el nivel de confianza, el F .)r­ centaje de Tolerancia Máxima de Error, la frecuencia - conservadora de error esperado y si la prueba fué de uno o de dos límites h) Cómo se calculó el tamaño de la muestra. Al finalizar el trabajo, los papeles de traoojo deberán contener - 5 5 - constancias del número de errores encontrados en la muestra, del número real de unidades de muestreo sometidas a prueba, y de si los resultados de la prueba han sido considerados acep­ tables, inaceptables o indeterminados. En los casos en que los resultados han sido considerados ina - ceptables o indeterminados, los papeles de trabajo deberán - documentar los tipos de errores, las posibles causas, las áreas que podrían estar afectadas, la acción adicional que se Lomó y la conclusión a que se llegó . Finalmente, los papeles de - trabajo deberán contener conclusiones generales acerca de la confianza que merece el sistema. - 56 - CASO PRACTICO DEL MUESTREO DE ATRIBUTOS APLICADO A LA AUDITORIA DE ESTAOOS FINANCIEROS Prueba de cumplimiento: Compulsa de Egresos La Compañía SAP, SA,es una empresa industrial que tiene un volúrnen Importante de compras de materias primas, y de suministros, así - como de partidas de gastos de venta y de administración. Las exis tencias y las cuentas por pagar tienen un efecto significativo sobre los resultados de operaciones y sobre la posición financiera. Los con- troles internos sobre las compras y sobre las salidas de caja se cons_! dcraban excelentes, de modo que el auditor deseaba confiar en gran - medida en los aspectos significativos del control. El documento de origen para la prueba fue el asiento en el registro de egresos. El auditor comprobó los cheques cancelados, los compro-· bantes, las facturas, etc. El universo se definió como "todos los - asientos en el registro de egresos para compras y gastos", los cuales se hallaban sujetos al mismo sistema de control interno. Los pagos por concepto de publicidad se hallaban sometidos a controles distintos y por eso requerían una prueba por separado. Se decidió que corre~ pondfa que esta prueba por separado fuera dt: criterio. Los pagos de la nómina también se hallaban por separado . El periodo de la prue- :.- se definió como el año entero porque la: mayoria de las pruebas sustantivas relacionadas con gastos, pasivos y egresos no se llevarían a cabo hasta el fin de año. Los errores se definieron ampliamente, de tal manera que cada de- finición de error se aplicará a todas las unidades del muestreo. El nivel de confianza, tasa máxima de ocurrencia y la precisión se esta- blecieron en base a la experiencia de años anteriores y al resultado satisfactorio del estudio y evaluación del control interno existente en el área sujeta a revisión. Sistema sujeto a revisión.- Egresos, compras y gastos. Objetivos de la prueba.- Comprobar que: 1)Los datos de soporte para el pago regis- trado se encuentran disponibles. 2) La documentación de origen se coteje y apruebe satisfactoriamente. 3) La distribución contable de las facturas es Correcta. 4) Las transacciones estan adecuada mente registradas en todos los registros conta - bles. Documento_ origen.- Asientos en el registro de egresos 57 ha :~e efinió o l 1io. entero que la ayorfa e s r ebas st ntivas l i adas n astos, sivos resos o ll rían bo asta l e o. os res fi i ron plia ente , e t l anera e da - i i i n e rror li ará t as l s i ades el uestreo. l i el e nfianza, t sa áxi a e u rencia l r cisión sta­ l i ron ase periencia e os teriores l lt do ti ctorio el t dio al ación el ntrol i t r o istente l rea jeta isión. i t a jeto i i n. - gresos, pras astos. bjetivos e l r eba. - omprobar e: l os atos e porte ara l go is­ t o cuentran i onibles. ) a entación e ri en teje r ebe ente. ) a i ción ntable e s t ras s c rrecta. ) as t ci nes t n cuada ente ist das t os l s istros t - les. ocumento ri n. - sientos l istro e ' 58 Documentos a revisar. - Cheques pagados, comprobantes, asientos en el registro de egresos, factura, orden de compra, repoit19 de al­ macén de material recibido. Unidad de muestreo. - Cada uno de los registros de egresos Universo. - Todos los asientos en el registro de egresos por concep­ to de compras y gastos que no sean: publicidad, pagos por concepto de nóminas y beneficios al personal. Tamaño aproximado del universo. - 15,000 Cómo se determinó el tamaño del uni\rerso. - Secuencia numérica de - los cheques. con estimación para el resto del periodo. Período que abarca la definición del universo: - Todo el ejercicio COf!!. prendido del lo. de enero al 30 de septiembre de 1983. ¿Qué medidas se tomaron para satisfacerse de que el universo y el mar­ co de referencia son equivalentes?. - El número de cheques utilizados para identificar las unidades de muestreo y pruebas de conciliaciones bancarias que condujeron a satisfacerse de que los registros de egresos representan todos los cheques expedidos. 1. 2. 3. 4. s·. 6. 7. 8. 9. 10. 59 Determinación de los parámetros a utilizar. - Atributo a revisar No se localiza el cheque pagado No se localiza el comprobante La factura no se halla adjunta a 1 compro- bante cuando puede ubicarse al compro-- bante. El reporte de mercancía recibida no se - encuentra anexo al comprobante o las fac turas antes indicadas. - No se encuentra anexa al comprobante la orden de compra o autorización para la - compra para las facturas antes indicadas No concuerdan las cantidades entre factu- ras, órdenes de compra y reporte de meE_ cancía recibida. Factura sin el sello fechador de auditoría Incorrecto código, factura sin crnµobante Comprobante no aprobado para su pago Comprobante sin sello de "pagado" PARA METROS nivel ______ tasa-de--·farñaño Razón por la cual se eligieron confi preci error - de la 1 os anza. sióñ espercdl muestra parámetros respectivos 953 3/Zi 53 123 Los parámetros seleccionados son los mismos rara todos los atributos tomando en cuenta: 1) Que los resultados de la prue ba en ejercicios anteriores ha~ sido satisfactorios, 2) Que el estudio y evaluación - del control interno en el área de cuentas por pagar es satisfacto­ rio. 3) Que los controlt!s internos es tablecidos en el área siguen sien do los mismos dentro de la com= pañfa, asi como el personal del cliente. 60 Determinación del tamaño de la muestra. - En el apéndice de este - trabajo se muestra el cuadro "A", el cual índica los tamaños de mues­ tra adecuados, en base a varios tamaños de universos, grados de con­ fianza, precisión y tasas de error esperadas. Para seleccionar el - tamaño de muestra en nuestro ejemplo, procederemos~ buscar en el cuadro A. 4 una tasa de error esperada igual o menor al 5% y un nivel de confianza del 95%, leyendo en sentido descendente en la columna de precisión del 3%, hasta encontrar la línea que indica el tamaño del uni­ verso de 15, 000, encontraremos que el tamaño de la muestra será de 123. Debe señalarse que el tamaño de muestra obtenido mediante este proce­ dimiento es sólo un tamaño de muestra examinada. Selección de la muestra. - La muestra se seleccionará mediante el uso de tablas de números aleatorios, mostrados en el apéndice "E" de este trabajo. Tamaño requerido para la muestra. - 123 partidas ·61 En caso de una primera auditoría, o en caso de que los procedimientos de la compañía hubieren variado en relación con la revisión anterior, - es necesario identificar cada uno de los atributos sujetos a revisión y - evaluar el efecto que dicho cambio tuvo sobre cada uno de ellos y sobre esa base determinar los parámetros a utilizar en cada atributo. Resultados de la auditoria de las partidas seleccionadas. - No. de No. de erro Tasa real de erro Interpretación atribu- res encontra res hallados en la del to dos m rru:sria muestra* resultado l o o Aceptable 2 3 1.6 Aceptable 3 o o Aceptable 4 8 3.9 Inaceptable 5 o o Aceptable 6 o o Aceptable 7 8 3.9 Indeterminado 8 9 4.7 Inaceptable 9 1 0.5 Aceptable 10 o o Aceptable * Se obtiene de dividir el nQmero de errores encontrados en la muestra entre el nQmem de unidades de muestreo. 62 Debido a que la interpretación del resultado es "inaceptable" o "inde­ terminado', a continuación se elabora un resumen de errores signifi­ cativos observados, con la finalidad de llevar a cabo una evaluación - más completa. Resúmen de errores importantes detectados: Tipo de error: El reporte de mercancía recibido .no se encuentra anexo al comprobante. Posibles causas: Las mercancfas no fueron recibidas, o la copia del reporte de recepción esta mal archivado Areas que afecta: de ventas. Inventarios. cuentas por pagar y costo Procedimientos alternos aplicados: Examen de los regis­ tros del departamento de recepción, trabajo adicional sus­ tantivo sobre el corte de formas y sobre la valuación de los inventarios. Conclusión sobre la uesviación: Las mercancías pudieron ser recibidas, se debe básicamente a un problema de arcl1..! va. l\•Iencionar al contralor como una deficiencia de control interno. - 63 - Tipo de error: Falta de sello de auditoría a las facturas. Posibles causas: Los cálculos no fueron revisados, o se omitió la evidencia (firma) a pesar de haberlos revisado. Areas que afecta: Ninguna Procedimientos alternos aplicados: Aparentemente, se­ gún el Gerente de Contabilidad, se trata sólo de una omi­ sión de las firmas, ya que no se detectaron errores de - cálculos en la prueba. Conclusión sobre la desviación: Es proba ble que los cá 1- culos se revisan y los estados financieros muestran la si - tuación financiera en forma razonable. Mencionar al Con tralor como una deficiencia al control interno. Tipo de error: Codificación de la factura incorrecta Posibles Causas: Todos los errores ocurrieron en el pe­ ríodo de dos meses en que el empleado que registra las cuentas por pagar estuvo de vacaciones. - 64 - Areas que afecta: Clasificación de gastos, Activo Fijo. Procedimientos alternos aplicables: Se revisaron todas las codificaciones de ese perfodo. La prueba de criterio de tas partidas corregidas y otras partidas fueron hechas por el auditor. Conclusión sobre la desviación: Los estados financieros corregidos presentarán razonablemente la situación finan­ ciera de la compañía. Mencionar al Contralor la deficien cia al control interno respecto a la supervisión del perso­ nal temporal. Conclusión sobre la prueba "Compulsa de egresos". - Con base en el re­ sultado satisfactorio del traba.jo efectuado descrito en el programa anexo, y n los procedimien~os alternos que aplicamos en las circunstancias men­ cionadas anteriormente, podemos concluir que la compañfa mantiene un - control interno adecuado a sus necesidades en el área de cuentas por pagar. Preparó Revisó Autorizó 65 2.- MUESTREO DE VARlABLES --------------------------------- Este tipo de muestreo es utilizado por el auditor cuando desea estimar el valor de una población compuesta por características va ria - bles, las cuales pueden ser pesos, kilogramos, metros, etc., o sea, - se trata de responder a la pregunta ¿Cuánto?. El uso primordial del muestreo de variables en la auditoria de t:s- tados financieros es en las pruebas sustantivas para asegurár.i;e de ·-Iu corrección de los saldos. El muestreo de variables es aplicable en pruebas como son: a) Estimación del valor de las cuentas porcobrar b) Estimación del importe de las cuentas incobrables o de cobro dudoso. e) Estimación del valor de los inventarios d) Comprobación de porcentajes de utilidad bruta e) Conversión de inventarios del método PEPS a UEPS 66 Pasos a seguir para la correcta aplicación . de un muestreo de variables. - l.- Determinar los objetivos de la prueba: El objetivo primordial en un muestreo de variables deberá ser el verificar la razonabilidad de los saldos de cualquier cuenta espe­ cífica o partida de los Estados Financieros de una entidad, nor­ malmente cuantificables en términos monetarios. En cuanto a la aplicación de procedimientos de auditoría, el mue~ treo de variables se utiliza a menudo como una técnica para la in­ vestigación de problemas, además, el muestreo de variables de-­ berá utilizarse frecuentemente cuando una muestra de atributos - haya producido resultados que se interpretan como "lndetermina - dos" o "inaceptables". 2. - Determinar el tipo de plan de muestreo de varia- 1bles: Existen dos técnicas fundamentales para la aplicac i6n de un muestreo de variables, las cuales a continuación se explican: a). - Método de proyecci6n directa - Con este método el audi - tor lleva al cabo la estimación de una cifra del universo to­ tal, estimando el valor promedio del universo y multiplicá!!_ 67 dolo luego por el total de las partidas que integran el uni - verso. Las ventajas de la aplicación de este método son princi­ palmente que se puede utilizar cuando se carece de un v~ lar en libros, y además sólo se necesita un juego de datos valuados, facilitándo así los cálculos. La principal de~ ventaja de este método, radica en que en la mayoría de - los casos, se obtiene un tamaño de muestra mayor que con los otros métodos. Este método es aplicable sobre la base de estratificación del universo o sin ella. b). - Método de estimación por proporción o diferencia - En es­ te método el auditor medirá las diferencias promedio entre el valor determinado por el auditor y el valor de los regis-­ tros contables en la muestra, y proyectará este valor sobre todo el universo. Este método se considera más eficiente que el de proyección directa, y se recomienda utilizarse, -­ excepto que no exista un valor en libros para comparar con­ tra el valor determinado por el auditor para cada unidad de muestreo; que el auditor no pueda satisfacerse en relación con la acumulación de los saldos a revisar; Y/,> que existan 68 pocas diferencias entr(;l los valores determinados por el auditor y los librps en la muestra. 3. - Definir el Universo: Se puede decir que los pasos a seguir para definir el universo en la aplicación del muestreo de variables, son los mismos que para una aplicación del muestreo de atributos. El auditor de- berá definir la unidad de muestreo, satisfacerse de que el marco de referencia y el universo son equivalentes y determinar el ta­ maño del universo; lo cual en este plan de muestreo de variables adquiere mayor relevancia que la determinación del documento de orfgen y los documentos con que se efectúa la prueba en el mues­ treo de atributos. Con el fin de estimar un valor por medio del muestreo de varia - - bles, es necesario tener una estimación lo más real posible del número de partidas que integran el universo, ya que es de primo!:_ dial importancia para proyectar los resultados de la muestra al - total del universo. 4. - Calcular el tamaño de la muestra: El tamaño de la muestra se encuentra afectado por tres factores los cuales mencionamos a continuación: 69 a). - La precisión deseada - El resultado del muestreo de va­ riables será una declaración de confianza y precisión, la cual suele expresarse en términos monetarios, por lo - cual también está vinculada con la importancia o significa - ción, lo que nos indica que el auditor deberá decidir respe~ to a lo que es significativo, influido por la naturaleza de las cuentas revisadas, el importe de las mismas, su efecto en los estados financieros, el grado de control de la adminis­ tración de la compañfa, etc. b). - El nivel de confianza - Los factores que influyen en la de­ terminación del nivel de confianza son los mismos que se utl Uzan en el muestreo de atributos, los cuales ya fueron des­ critos en el desarrollo del muestreo de atributos. c). - La dispersión de los datos en el universo - Este factor se refiere a la desviación estándar de los datos en el universo, ya que esta dispersión influirá en la determinación de la -- muestra. Por ejemplo, supóngase que tenemos dos juegos de 3 cubiertos cada uno. En el primero, los cubiertos es- tán valuados en $ 700. 00, $ l, 100. 00 y $ 1, 200. 00; es de­ cir, un total del $ 3, 000. 00 y un prom(.)dio de $ 1, 000 por - cada uno. En el segundo juego los cubiertos se valúan en $ 200.00, $ 400.00 y $ 2,4.00.00 arrojándo también un to~ 70 tal de $ 3, 000. 00 y un promedio de $ 1, 000. 00 cada uno. Pero en el primero, la diferencia de valores fué solamente de $ 600. 00 a $ l, 100. 00 (una amplitud de $ 500. 00 ), y en el segundo los valores variaron de $100.00 a $2,300.00 (estoesunaamplitudde $2,300.-) Aunque ambas poblaciones tienen idénticos valores prome­ dios y totales, la segunda población tiene una mayor dis - persión que la primera. Los tamaños de muestra nece- sarios para proporcionar igual nivel de confianza en dife-­ rentes poblaciones, se incrementan de acuerdo al aumen­ to de la dispersión, por lo que es indispensable obtener - - una estimación de la dispersión de la población antes de - que se pueda tomar una determinación definitiva, por lo - que se refiere al número de elementos que se habrán de - seleccionar para ser examinados. Debido a lo anterior, se hace necesario en este tipo de muestreo, la utilización de muestras preliminares, las - cuales pueden ser seleccionadas estadfsticamente o al - azar, tomándolas del universo total . Esta muestra - preliminar permitirá al auditor estimar los parámetros - a utilizar sobre una base más realista, y de esa manera verificar la equivalencia entre la muestra preliminar y la 71 final. Un método adecuado para reducir la dispersión de los da - tos en el universo, es la técnica' de selección de la mues­ tra llamada "estratificación" (véase Capitulo II), el - cual consiste en dividir el universo en dos grupos llama­ dos estratos y sacar una muestra al azar de cada uno de ellos, se aplica el método de proyección directa para cada estrato y posteriormente se combinan los resultados. 5. - Ejecutar el Plan de Muestreo: Una vez que se ha calculado el tamaño de la muestra final, se - procede a seleccionar la muestra por el método de números - - aleatorios. Debido a que la muestra preliminar es sólo una indicación aproximada de la dispersión de los valores en el uni - verso, será necesario evaluar la muestra final de la misma fo!_ ma en que se evaluó la preliminar, con el objeto de-verificar - que las dos muestras son equivalentes. En caso de que des-- pués de ésta comparación resulte que la dispersión en la mues­ tra final sea mayor que en la muestra preliminar, será necesa - rio extender la prueba con el fin de lograr la precisión deseada. Cuando resulta que el auditor debe ampliar su prueba, éste de- berá llevar a cabo una adecuada planeaci6n de la misma. Si la prueba es dificil de extender, como por ejemplo las pruebas 72 físicas de inventarios o confirmación de sa!Llos de clientes, etcétera, puetie convenir aumentar arbitrariamente el tama­ ño de la muestra con el objeto de obtener alguna protección contra la dispersión, o también pudiera ser factible una mue~ tra mayor que la indicada por la muestra prdiminar, identifi - cándo las muestras adicionales como extras y utilizarlas al - azar si se requiere. 6. - Interpretación de los resultados : Como se puede observar, en el procedimiento empleado an-. teriormente al determinar la muestra preliminar, la desviación estándar es un factor primordial, sin embargo, debido a que las muestras preliminares son reducidas, la disminución estándar en ellas nnrmalmente tiene poca precisión y se hace indispensable evaluar los resultados de las muestras preliminar y final con el objeto de determinar la verdadera precisión obtenida con el nivel de confianza deseado. A continuación se muestran algunas - pautas para la evaluación de los resultados de la muestra princi­ pal: a). - Se debe utilizar el mismo nivel de confianza que se utilizó para determinar el tamaño de la muestra preliminar. b). - Es necesario lograr la precisión deseada utilizc'indo el ni- 73 vel de confianza definido. En ca so de que la muestra indique que esto no se ha logrado, normalmente será .., necesario extender la prueba arnpliándo las un~d.G1es - de muestreo. c). - Si el valor de los registros contables del cliente se en- cuentra dentro del intervalo de precisión, ese valor ti~ ne el respaldo de los resultados estad[sticos de la pru~ ba, en caso contrario las evidencias estadísticas no re~ paldarán ese valor, por lo tanto el auditor deberá invcs tigar las posibles causas de la diferencia, y, t!n su ca - so, proponer los asientos de ajustes a los registros CO!!_ tables que sean necesarios. d). - Determinar la desviación estándar de la muestra final - de la misma forma en que se determiné> para la muestra preliminar. Es lmport::1nte mencionar que las unit.lndcs de muestreo seleccionadas para la muestra final, deben ser ordenados exactamente como fueron seleccionados. e). - Proceder a ajustar la desviación estándar de la misma - forma en que se ajustó la muestra preliminar. f). - Una vez que se tienen los elatos de promedio y desviación estándar por unidad, y debido a que la muestra final es el reflejo del universo, sólo resta multiplicar estos dat:>s 74 por el namero total de partidas que integran el universo, y así obtener el promedio y la desviación estándar del - universo. 7. - ;Jocumentación del plan de muestreo: E 1 auditor deberá evidenciar en sus papeles de trabajo a través de : una descripción del plan de muestreo tal y corno fué ejecutado, así como los resultados de la aplicación . Requisitos mrnimos que deberán plasmarse en los papeles de - trabajo del auditor para dejar evidencia de su trabajo; a). - Objetivos de la prueba, b). - Definición de la unidad de muestreo y del universo, c). - Forma de cerciorarse de la equivalencia entre el marco de referencia y el universo, d). - Forma de selección de la muestra, e). - Nivel de confianza y precisión deseadas, f). - Tamaño de la muestra preliminar. g). - Evaluación de la muestra preliminar, h). - Ta maño de la muestra final, i). -. j); - . .· ·':, '. . ·. Evalua616ri est~cifsti~~d~ ia muestra· final, y ConCIG~i~,~~~ ~~l ~~Ji~~;· ~bb;e ·la p~u~ba. ·· ".".;_,·.·:···' ' .. ' '···;•"',··· ' •' 76 Cl\SO PRACTICO DEL MUESTREO DE VARIABLES APLICADO A LA AUDITORIA DE ESTADOS FINANClEROS Antecedentes. - La Compañia industrial SAP. St\,ha solicitado una - auditoría de sus estados financieros al 31 de diciembre de 1983, con el fin de obtener la opinión de un contador pCiblico independiente acer­ ca de la razonabilidad que guardan las cifras de los estados financie- ros a esa fecha. Uno de los aspectos de mayor interés para la Di- rección es conocer la razonabilidad del valor de sus inventarios a - esa fecha. El inventario cuenta con un total de 10, 000 artfculos, cuyo valor en li­ bros arroja una cifra de$ 2'000, 000. 00 Los parámetros determinados para llevar a cabo la prueba fueron de­ finidos en base al estudio y evaluación del control interno existente en el área de inventarios. Sistema a revisar; - Inventarios (estimación de los valores de las - existencias al 31 de diciembre de 1983). Objetivos de la prueba. - Verificar que el inventario no contiene ci- fras slgnificativnmente erróneas (originadas por una incorrecta va- 77 - luación). Unidad de muestreo. - les de inventarios. Partidas de cada renglón delos listados fina - El universo se define como. - Todas las partidas de los listados fina- les de inventarios al 31 de diciembre de 19>13. Tamaño del universo. - 10, 000 unidades Cómo se determinó el tamaño del universo. - Cantidad de páginas mu_! tiplicadas por los renglones menos aquellos renglones no utilizados. Medidas tomadas para satisfacerse de que el universo y el marco de re- ferencia son equivalentes. - Se efectuaron pruebas selectivas de los - listados finales de inventarios, comparándolos con Jos registros contables de inventarios perpétuos. Cómo se seleccionó la muestra. - Mediante la utilización de tablas de nümeros aleatorios (véase apéndice) Parámetros a utilizar. - Precisión T 2.53 Nivel de confianza = 95% Determinación de la desviación estándar. - 1.- Se seleccionó por métodos aleatorios una muestra preliminar de 48 artículos, 2.- Se ordenaron los artículos muestreados en secuencia aleatoria - original en 8 grupos de 6 unidades de muestreo y se estableció el valor mínimo y máximo de cada una, (representado por las letras "A" y "B" respectivamente). lo. 20. 30. 40. 50, 0. 70. 80. —— 310 $2204 $29) $220 5204 ¿290B 52504 $260 240 320 200 130A 250 290 230 310 2204 280 190A 290 390B 250 270 3608 270 230 3.20 410B 330 250 400B 2204 400B 440B 350B 260 260 160A 300 260 310 280 300 220 300 230 380 260 3.- Se obtiene la amplitud (diferencia entre el valor mínimo y máximo) en cada grupo y el promedio de las aplituces nor grupos Grupo (B-A) lo. $ 180 20. - 220 Promedio $ 1,540 : 8 = $192,50 30. 160 o o o 5192.50 (amplitud media) 40. 260 Bo. 310. 60. 130 70. 140 - Zo. 140 ¿1,540 2 78 ~terminación e sviación t dar. . - e i nó or étodos l torios a uestra r l inar e ~rrrculos. . - e naron s tf los uestreados n encia l atoria orig~nal r pos e i ades e uestreo t leció .- l Ior íni o áxi o e da na. ntado or s tras " " cti ente). . o. o. o. o. /60. o. 0. $310 A 90 30 $ 20A :,;290G S 60A ~2ó0 0 0 300 l .SO 90 50 0 A 0 0 0 70 08 0 0 08 0 50 20A 4 3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 ~füO 0 0 0 e ti ne plitud i r ncia tre l alor fni o é1ximo) da r po l edio e s aplitud~s ~nr r pos rurm . o. o. 0. So. 0. o . . \lo. - ) 1 0 0 0 0 0 0 0 r edio l , 540 -= 2. 50 .~192. .. 50 plitud edia) 79 4. - Cálculo de la desviación estándar estimada. Amplitud media $192.50 Factor d2 * = 2. 534 = $ 75. 97 = Desviación estándar 5. - I::eterminación de la relación, precisión requerida a desviación - estándar requerida. Debido a que la confiabilidad requeri- da es de+ 2.53 y el valor promedio es $ 200. 00 por artículo, el monto del error de muestreo para cada artículo es de $ 5. 00 (± 2.53 X $ 200.00). 6. - Calcular la relación numérica entre el error de muestreo reque- rido y la desviación estándar. Error de muestreo por articulo = Desviación estándar $ 5.00 $75. 97 = 0.067 Resultado que redondeado y convertido a décimas es O. 07 7. - Determinación del tamaño de la muestra. - Consultar el cuadro "C" y seleccionamos la sección que se refiere al tamaño de muestra de 10, 000 (C.#). Localizamos la columna vertical que repre- senta el nivel de confianza de 95% y leyendo hacia abajo hasta - llegar al renglón horizontal que representa la razón de error de muestreo . a desviación estándar del O. 07 El namero que - aparece en Ja intersección es el tamaño de muestra a utilizar (728). * Véase cuadro G - 8 o - 8. - Completar la selección aleatoria de las 680 partidas adiciona - les. Primera muestra 4 8. Segunda muestra 6 8 O Total de muestra 7 2 8 Evaluación estadística del error de muestreo. - Una vez obtenida y examinada la muestra final, es necesario elevar los resultados del - trabajo a la población total, con el grado de confianza estimado. De­ bido a que el tamaño de la muestra final está basado en un error de - muestreo estimado,~ el verdadero error de muestreo encontrado puede ser bastante diferente del estimado. Esto hace necesario volver a calcular el error de muestreo basándonos en los resultados de la mues tra final. Considerándos: 1). - Al sumarizar las 728 partidas de la muestra, obtuvimos un valor total de $ 141 048. 50, o sea, un valor prome­ dio de $ 193. 75 2). - Ordenar nuevamente las partidas de la muestra, con la misma secuencia con la que fueron seleccionadas, sepa- ' 8 1 rándolas en 121 grupos de 6 y 1 grupo de 2 partidas, el cual puede ser ignorado. 3). - Calcular la amplitud (diferencia entre mínimo y máximo) entre cada grupo, asf como el promedio de las 121 amp~ tudes. Suponiéndo que la amplitud promedio de los 121 grupos sea de $168.00 (de acuerdo con el procedimie!!_ to mencionado en el punto 2 y 3 de la determinación de la desviación estándar que describimos anteriormente). 4). - Calcular la nueva desviación estándar estimada (véase punto 4 de la determinación de la desviación estándar de! crito anteriormente). $ 168. 00 2.534 5). - Dividir el error de muestreo estipulado (2."5%'de'$200.00 es igual a $ S. 00) entre la desviación estándar estimada con la finalidad de obtener la nueva razón de error de mues - - treo a desviación estándar estimada. $ 5.00 $ 66.30 O. 07 que nos indica que los resultados en la muestra pre- 82 liminar (véase punto 6 de la determinación de la desvia­ ción estándar antes descrito) concuerdan con los resul­ tados de la muestra final, por lo que se concluye que no es necesario efectuar un muestreo adicional. 6). - Con el objeto de obtener la nueva estimación de error de muestreo y debido a que no será necesario un muestreo adicional, multiplicamos la razón de error de muestreo ( O. 07 ) por la desviación estándar ( $ 66. 30) y nos resu_! ta la nueva estimación de error de muestreo de $ 4. 64 7). - Por tanto, el valor promedio de los artículos inventaria- - dos será de$ 193. 75 + $ 4.64, o sea, entre $ 198.39 y $ 189.11 8). - Proyectando los resultados de la muestra final al inventa - rio total de 10, 000 artículos, podremos establecer con un 953 de confianza que el valor total del inventario se loca­ liza entre $ 1'891, 100 y $ l '983, 900. O sea, el valor del inventario es de $ l '937, 500. 00 $ 46, 400.00. Por tanto, para efectos de auditoria, nuestro ajuste al va­ lor del inventario al cierre del ejercicio sería de $ 62, 500 ( $ 2'000,000.00 menos $ 1'937,500.00 ). 83 Sin embargo en el caso de que los resultados de la muestra preliminar y final no concuerden, el método a seguir sería 1) ampliar la muestra, o bien 2) volver a calcular el error de muestreo para obtener la amplitud de valores correcta, reevaluar los objetivos de auditoria y convenir acerca de la posible aceptación de un error mayor. Conclusión sobre la prueba de valuación de inventarios. - Con base en el resultado satisfactorio del trabajo efectuado, descrito anterior­ mente, podemos concluir que el valor de los inventarios al 31 de di­ ciembre de 1983 es razonablemente correcto. 84 En esta parte del trabajo desarrollaremos ejemplos de la aplica-­ ci6n de los otros tipos de muestreo que como ya se mencionó en el ca­ pftulo U son menos utilizados por el auditor que el muestreo de varia­ bles y de atributos, ya que su uso en la mayoría de las ocasiones estéi condicionado a la presentación de ciertas situaciones específicas y po­ co comunes. Muestreo de Suspensión o Continuación. - Como ya sabemos,este plan de muestreo facilita al auditor reducir la extensión de sus pruebas en el caso de que sus muestras preliminares revelen pocos o ningún error. Para efectos de la aplicación del muestreo de suspensión o continuación, se utilizan cuadros de muestreo que se basan en universos de 200 a más de 2, 000 unidades, y los que rebasan los 2, 000 se consideran universos infinitos. Para efectos prácticos de este trabajo, se utilizan sólo aque- llos cuadros que se consideran de mayor uso. Caso Práctico Suponiéndo que en transcurso de su revisión, el auditor determinó que el control interno en el á.rea de egresos - 8 5 - es débil en cuanto a la elaboración y autorización de los cheques, es necesario verificar que no existan pagos duplicados, mediante la re­ visión de la autorización de los cheques, evidencia de que el bien o el servicio se haya recibido, que todos los cheques estén respaldados por la documentación que reúna requisitos fiscales, y, que los egresos se efectúen de acuerdo con las políticas de la compañia. - Unidad de muestreo: los cheques expedidos durante el año. - Universo: 25, 000 cheques - Frecuencia máxima tolerable: En base al juicio del auditor, éste determina que si los errores no exceden del 53 , su efecto de _auditoría no seria importante. - Nivel de confianza deseado: 953 - Precisión: ± 3. s3 - Determinación de la muestra: Se revisarlin 60 partidas se­ leccionadas al azar (mediante el uso de tablas de m1meros aleatorios). Desarrollando el ejemplo con los datos obtenidos, al llevar a cabo el - exámen de las 60 partidas de la muestra se contemplan los siguientes r~ sultados: Tamaño de la muestra 60 NOmero de errores detectados* o 1 2 * Tomados del cuadro B. 5 86 Probabilidad de quela tasa de error en el universo de más de 2, 000 sea menor que el 53 95.82 % 81. 74 % 58. 93 3 De esta manera, si la muestra que se tomó originalmente no revela des- viación alguna, el auditor tendrá una seguridad del 95. 82 % de que la ta- sa de error del universo sea realmente menor del 5 3. En caso de que la prueba revele un error, tendrá una seguridad de un 81. 74 % de que la tasa de error del universo sea realmente menor del 5%, y asf sucesivamente. En caso de que se encuentren en la muestra un nt1mero tal de errores o desviaciones que hagan dudar de la razonabilidad de su prueba, el audi - tor deberá ' ampliar su tamaño de muestra. Sin embargo, esta ampli~ ción sólo deberá hacerse, como regla general, hasta haber muestreado un total equivalente a 3 veces el tamaño de la muestra inicial ( 180 partí- das para este caso), ya que cuando se alcance este namero de partidas, será muy diffcil obtener resultados convincentes de este tipo de muestreo, 87 lo cual originarra que se tuviera que recurrir a la determinación de la muestra mediante los cuadros del muestreo de atributos, (examinado en el primer inciso de este capítulo). Muestreo de Descubrimiento. - Como ya se explicó anteriormente, es­ te plan de muestreo es utilizado cuando el auditor quiere determinar si se ha presentado un tipo especial de .discrepancia importante o verificar si existe una grave deficiencia en el control interno. Caso Práctico Supóngase que el auditor quiere de- terminar si existen empleados ficticios en la nómina de una empresa. 121 total de empleados registrados en la nómina es de 10, 000, y desea en­ contrar al menos uno de éstos que sea ficticio; suponiéndo que en toda la nómina no existen más de 50 empleados ficticios. ¿Cuántos emplea- dos deberá el auditor examinar para tener cuando menos un 953 de cer­ teza de que en la muestra seleccionada se encontrará un empleado que no sea real?. Para efectos de este tipo de muestreo, el cuadro O indica al auditor cuál es el correspondiente grado de probabilidad en lo que se refiere a ciertas poblaciones seleccionadas, de que su muestra incluirá por lo menos, un elemento que se busca, suponiéndo que aparece en la población con al- 88 guna frecuencia o tasa estipulada. Recurriéndo al cuadro D. 2, ·el cual corresponde a un tamaño de pobla - ci6n de 10, 000 unidades, se observará que para un tamaño de muestra de 600 empleados a revisar, existirá un 95. 9% de seguridad de que la muestra incluirá al menos uno de esos 50 emple~dos ficticios. Los tamaños de muestra dados son máximos, por lo que al menos un caso semejante puede ·encontrarse en cualquier etapa del ex<'imen de los 600 empleados. Cuándo el auditor descubre a cua !quier emplea - do ficticio, puede suspender su revisión de la muestra e investigar a fondo la causa de la irregularidad. En caso de que el auditor no de- tecte errores en la muestra de los 600 empleados, puede determinar que existe una probabilidad del 95. 9% de que existen menos de 50 des - viaciones de ese tipo en la nómina. En este caso, el auditor puede utilizar el cuadro F. 6 para evaluar la tasa máxima de error en lapo­ blación total cuando la muestra no revela ningún error. A continuación se presenta la evaluación de la Tasa Mf'ixima de Error en la población total. El cuadro F. 6 indica que para una población de 10, 000 partidas, un ni - vel de confianza del 95% , y una muestra de 600 partidas, la tasa de error máxima en la población estará entre el O. 63 (en una muestra de 500) y 89 el O. 3% (para una muestra de 1, 000 ) . Por lo tanto, existen 95 posibilidades entre 100 de que la tasa de error máxima en la población o universo no exceda del 0.63. e o·NC.LU.·S l. O·N Es - 90 CONCLUSIONES Como resultado del trabajo desarrollado en los Capítulos anteriores, podemos concluir que: A) Los resultados de la auditoria de estados financieros son más eficientes con el uso del muestreo estadístico en sus pruebas, sobre todo en aquellos casos en que se cumple - con los requisitos de homogeneidad y masividad de los un_!_ versos a revisar~ B) El muestreo estadístico representa una herramienta vali~ sa para el auditor al desarrollar su trn suposición que se decide aceptar o recha - zar en vista de los resultados observados en la muestra . La amplitud dentro de la cual se espera - encontrar la media del universo, con el - grado de certeza especificado en el nivel de confianza. Una lista de todos los elementos del uni- - verso. La suma de los valores de la población di­ vidida entre el número de elementos de la misma. Un valor que divide una serie ordenada, en forma tal que por lo menos la midad de los elementos son iguales o mayores que dicho valor, y cuando menos la mitad d~ dichos elementos son iguales o menores que el mismo. -9 7 - I\·loda El valor en torno al cual tienden a concen - trarse fos elementos, el valor más frecue!!_ . . . te o más co[J}~n e~ una distrlbuciOn de fre- cuencia. Muestra El conjunto de elementos de un universo que se seleccionan para examen. Muestreo La selección y e 1 análisis de un nCimero fi - nito de elementos a fin de obtener informa- ción acerca del universo del que fueron se- leccionados. Muestreo aleatorio simple Método por el cual se seleccionan, entera-- mente al azar, los elementos de la muestra, de entre todos los que pertenecen al univer- so. Este procedimiento brinda a cada ele- mento del universo igual oportunidad de ser seleccionado al extraerse la muestra. Muestreo científico Un procedimiento de muestreo en el que el diseño y la selección de la muestra se efec- túa de acuerdo con la teoría matemática, en especial la teoría de las probabilidades. Muestreo estadístico Nivel de calidad aceptable Nivel de confianza Número de aceptación Ordenamiento Parámetro - 98 - La selección, con una base científica. y el análisis de un número finito de elementos con el objeto de obtener información ncerca del universo del que fueron seleecionm.los. La calidad considerada convenienre para los fines de aceptar o rechazar una población, - mediante el uso de un plan formal de mues- treo. Es una estimación del grado de certeza de que la media del universo se encontrará de!!. tro del intervalo de confianza. El máximo número de elementos defectuo- sos tolerado en un plan de muestreo de acep-. tación. La disposición de valores numéricos del me- nor al mayor, o viceversa. Una medida calculada sobre la base de un - universo o que describe a éste. Un parám~- tro es el valor de la característica en esru- dio obtenida de un censo del 1003. ' Período de muestreo Población ,'reci sión Probabilidad (Nivel de probabilidad) Procedimientos de estima­ ción Promedio - 99 - El lapso de tiempo cubierto por la mues - tra. Véase universo La amplitud dentro de la cual se encon- trará la media del universo, con el grado de certeza especificado por el nivel de CO!!_ fianza. La razón de la frecuencia de ciertos even - tos a la frecuencia de todos los eventos p~ sibles en una serie o conjunt:o. O sea, el número de veces que puede ocurrir un eve!!_ to de una manera especifica, en compara - - ción con el número de veces que puede ocurrir en todas las formas posibles. Los métodos usados para estimar el volúmen o extensión del universo por medio de mues- tras. Un valor típico que tiende a resumir o des- cribir la masa de datos. El promedio sir- ve de base para medir o evaluar valores - PTME Riesgo de muestreo Riesgo del no muestreo Selección aleatoria Selección aleatoria con prueba subjetiva - 100 - extremos.o desusados; Porce!ltá,j~;~e· tolerancia máxima de error. . véa:~e Precisión. Siempre que una decisión o una conclusión esté basada en un resultado muestra!. exis tirán riesgos concomitantes Je que la de- cisión sea incorrecra. Aquél en que incurre el auditor al decidir no realizar muestreo en una prueba, cuan- do realmente era necesario. Una selección que esrá regida totalmenlt! por las leyes del azar y en la que cada uno de los elementos de la población deberá te- ner igual oportunidad de ser escogido. La selección de elementos 'll azar realizada por un auditor, cuando, para prueba, escoge uno de ellos sin base científica, pero deseo- nociendo de antemano cuáles sen'ín sus atri- butos. Sesgo Tabla de intervalos de tolerancia - 1o1 - La existencia de un factor selectivo que In - . . fluirá_: en l¡(d~~er111inación del contenido de la fu¿e'si:ríi'erf uriá forma particular. Una tabla que se utiliza para evaluar resu..!_ ta dos muestra les cuando la tas'.' de error - que revela el muestreo difiere de la tasa de error esperado que se consideró al determl_ nar inicialmente el tamaño de la muestra. l".'.lblas de números aleatorios Tablas de dígitos dispuestos de tal manera que 1 amaño muestra! promedio ( rMP) rendencia central el auditor puede usarlas con toda confianza - para la selección de muestras, con la certeza de que han sido mezclados concienzudamente (es decir, dispuestos en forma aleatoria). El tamafio medio (esperado) de la muestra - que es necesario en un plan de muestreo de - aceptación antes de que se adopte la decisión de aceptar o rechazar. Un valor singular que representa la masa to- tal de observaciones. Entre las medidas de tendencia central se encuentran la Media arit mética, la Mediana y la Moda. Unidad muestrnl ,Unidad para muestreo Universo Universo finito Universo infinito Variabilidad - 102 - _La unidad seleccionada para examen . Si inicialmente se selecciona un grupo o con - glomerado, entonces éste es la unidad - - muestral. Los elementos singulares del conglomerado se denominan unidades ele­ mentales. Unidad del universo sujeto a examen, extraída para su inclusión en una muesrro . El conjunto o totalidad de los elementos o - unidades acerca de los cuales se desea obte­ ner información. Llamado ta mbién población o campo. Universo constituido por un número limitado de elementos. Universo que contiene un número ilimitado de elementos. Una medida concebida para describir la di - seminaclón o dispersión de una distribución de frecuencias. Variable - 103 - La característica cuantitativa de un elemen­ to de la población. oUllU• ño de •• PO• hlu. dón 50 100 1 ;o 200 i ){J :;110 ;;o 400 4;0 500 5í0 60U 650 700 ;50 soo 550 900 9)(1 lOi!U 1100 120U 1300 HOO liOO- lGüU 1700 1500 1900 2000 ¡250 1;00 275U JOútJ 12;0 3500 ;;;o 4000 '\250 '1500 i7>0 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 Fu1:sTt: T.\\t.'.!\'(JS DC . i.t\l[Sl"RA V.\RA -1 Ó4 - CUADROS DE MUESTREO Cu.ulru A. 1 Et.: MUE~TR~O DE. ATlllJ:IU·J'OS .. TASA u1: l.1lROR t:,l\l'J~llADA. N1VF.L DF. COJ-;f'L.\.Sl.A DE 90 % _, :-;o M.\YOR IJI! , '" - 'º Tamnño de. m_!'Cstra _corre1rondfontC a un pC..rc<:nloje· de- préds.Uut clt• n1Ú!óo "o - lt;CUOS I -··----··· -~-o.so 0.75 1.00 1.25 1.so 1.75 :!.110 48 4i 45 4; 41 38 ;e, 9; 90 &4 77 70 63 ;~ HO 129 116 10.¡ 91 80 7ú 182 165 145 12> 105. 92 :;.; zz; 197 169 'l·H 121 lOL ~0 26~ 227 191 ·: • 1 ;q -- i;:¡· · ioéi 9! :;uu , .. 21ll 1-· HO~;c: ._lis-:. 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Í_,227 16& 129 1626 830 493 323 \2:!8 169 130 1653 837 495 324 228' 169 130 1676 843 .¡97 325 228 169 130 1697 848 499 326 229 169 130 1716 853 500 327 - -,-, ;229 169 130 ---.-------------·--··----- Lockhced-Georgia Company, Grupo de Anfüsis Matcm:ltico. -AVIZCIUN o VARA EL _MULSTHEO DE ATRIHUIOS. CVASA DE FEROR LSPERADA NO 2SAYOR DE 2 s% : o, CINIVILO DE CONHIANZA DE 90% : : e . - pa por . Tumaño de muestra correspondiente a un purcentaje de: precisión de:inás o “menes: ción 0.56 075 > AO OA 1.50 E 9366 1734 457 EN 10000 1750 561 110606 1775 565 12006 1502 2 13000 1823 579 314000 1842 $853 15U06 1858 85% 1600u 1873 590 17000 1886 593 15060 1897 895 19000 1908 $98 260084 1918 906 21500 1938 904 23000 1955 908 27500 1969 911 30000 1981 914 52500 1991 916 5>U00 2000 9185 57300 2007 919 40000 2014 921 42500 2020 922 4S5UUO 2026 923 47590 2036 924 50600 2035 925 55uU9U 2042 927 60006 2049 926 . 65600 2054 929 70000 2059 930 75096 2063 931 80000 2066 931 85000 2069 932 90000 2072 933 95000 * 2075 953. 1640000 2077 354 110000 2081 934 120000 2054 935 130000 2087 936 140000 2089 936 150000 2091 937 160000 20935 937 170000 2095 95 150000 2096 937 190000 2098 935 200000 2099 935 250000 2103 939 300000 2106 930 350000 2108 940 4U0000 2110 940 450000 2111 940 500900 2112 941 Fersre: Véase la primera página del cuadro A.1, ”a rumu- 10 de - 105 f:mulro A. J (< C;11tim1c:;;.·J·un 1 T.\!'-1.\.:':05 ui.: Ml"J:l'TRA l'.\~A. &L MUJ.!'JT1u:o U . 'fl\1 U 10!•. 'l'.~S.o\ ni: nown LSI•ERJ.1)}. 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EL ESTMEO E A.TRIBUTOS, T SA PE ERROR l::SYER A. 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A. 3 ( c nti:iuaciún) T.\M.\:ÑOS D& MUESTRA l'AR.A &L MUESTREO DE ATJtlDUrus. TASA DE ERROR J:SPE.RAOA NO MAYOR UE 33 Nn'F.L DE cosFl."--~u t 3 urna- -o de a l'°"' iiño e uHlra corr~pondienle n rcentu.jc e tt i. &ón e naáli enot: bla· riün ().50. 1. 0 1.50 2.00 2.50 . 5 . 0 9500 3 ; 7 m 9: IZ+ 2 8 10000 2 95 9 8 3 + 1 3 l IOUU H8 7H 9 3 + 3 12000 '194 8 HO 9; IH :; b 13000 )3; 2 0 ¡ ; + 3 8 JiOOO 2 71 5 Hl 9i + 3 15000 03 +8 3" 1 -1 1 + 103 8 16000 2 31 0 42 -1 5 J 3 17000 57 2 12 4 5 3 ¡;¡ 18000 80 4 i3 + 5 3 &i 19000 01 6 H 4 5 3 7 20000 21 7 7 H 1 125 3 8 22500 63 0 Hi 5 '25 103 ¡;; 25000 97 3 5 195 1:15 3 &i 27500 26 5 5 5 5 3 30000 50 7 H 5 5 3 S 32500 71 8 H 5 5 3 7 35000 89 0 16 9 5 3 7 37500 05 1 346 5 5 3 7 40000 19 Z 6 5 2) 3 +2500 32 3 -+7 5 5 3 45000 9H 3 17 6 5 3 47;oo 53 ... +7 6 5 3 s; 50000 63 5 17 6 5 3 55000 79 6 7 6 2i 3 60000 92 7 '17 6 5 1 3 Si 65000 04 8 S 6 5 J 3 70000 0H 8 348 6 5 3 S7 75000 22 79 8 6 5 3 80000 30 9 8 6 2:n 3 85000 37 0 H 6 5 3 s: 90000 0H 0 HS 6 2i '\ Si 95000 48 0 6 6 l i 4 7 100000 ;on 1 H& 6 2; 4 6 0 00 ; 2 1 HS 6 2i 10'1 0 0 69 2 18 6 5 104 0 0 75 2 19 6 25 + HOOOO 80 3 H JS6 2; IOi 0 00 85 3 H 6 5 4 0 0 89 3 19 6 5 4 s; 0 0 92 3 i9 6 5 104 Si 0 0 95 -f '19 6 125 1 Si 0 93 -f 319 6 :; lOi S7 0 0 00 4 H9 6 5 1 :soooo 10 4 19 6 5 4 6 0 0 17 5 3'19 6 1 5 4 Si 0 0 21 S5 H9 6 125· 104 Si 0 0 25 785 '19 6 5 1 7 HOOOO 27 6 '!9 6 5 4 7 ; 0 30 6 9 6 101 7 uENn: éase r era gina el adro .1. - 11 o Cuarlro A. Tantos US 1 MUESTRA PARA EL ONMU2STPEO DEA TRISUJOS. Vasa DE FIRO ISPERADA NG MAYOR DE 350 NIVEL DL CONFIANZA DJ. 45 Ll . Tamaño de mvesira correspondiente a un porcentaje de. precisión de más o. menor. 0.50 cd, .00 1. 1.50 49 7 45 97 91. 83 145 132. 115 191 169 142 236 204 166 281 236 187 314 2 205 367 294 221 305 320 236 449 35435 249 459 368 261 529 390 271 567 411 281 605 430 250 642 445 298 ó 675 466 306 =u 714 482 313 30 749 495 320 250 TES 513 326 JUDU 817 527 331 ¡Tue 882 554 342 Low 946 576 35] uo 1007 601 359 Suv 1066 621 366 4 1125 640 373 lo.v 1175 658 379 Pue 1231 674 384 Inu 1263 689 389 Ft 1335 703 393 e 1351 717 397 1496 746 406 o. 1603 772 414 1702 794 420 . 1795 814 426 O o. 1882 831 430. 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OÍ AE Gus Ar. ano ¿306 ear, 2 Di - 112 Cuidro A. S Vauaior PEOMUISTRA PARA EL-AUESTREO .DE ATEIBUTOS, Tasa VE NiwEz DE CONFIANZA ve 90 % ERROR USPERADA NO MAYOR” DE 5 % J.00 +6 92 154. 175 249 245 73 505 333 359 555 +09 41 Gas: 473 495 511 329 546 562 597 620 046 670 692 413 712 420 731 427 749 435 766 439 782 444 $18 455 548 465 875 475 £99 +79 921 485 940 491 VEY] 4095 972 499 0RG 503 999 506 101) 509 1022 512 1041 . 517 105£ 521 1075 525 1085 528 1097 530 1107 533 1116 535 3124 537 264 267 276 281. 292 294 295 298 299 300 301 305 306 307 305 305 310 188 194 196 197 199 199 - 201 186 138 138 139 139 140 14D 140 140 103 103 103 CANTE: Véase la primera página del cuadro Al, ¡ ~,.. 1lt• h 1u ... 1.1 .•• C"iun i .. ..;:11 ~. ';' .. -::. 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TASA UF. CRROR l.SJ>l..RADA NO MA\"OR DE S 3 Nt\'EL DE COSTJ.\SZ.\. DE 90 3 . 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DE CONFIANZA DE 95 To Taumna- ño de : : ta o : Tamaño. de: muestra" correspondiente asun porcentaje de precisión” de más 0 menos: ción 1.00 : 3.50 4.00 50 48 37 34 100 94 59 53 150 138 74 64 200 180 85 pj 256 219 93 78 500 257 99 s2 350 293 104 86 400 328 108 88 450 360 111 90 500 392 114 92 550 422 117 94 600 451 119 95 650 479 121 97 700 505 122 98 750 531 - 124 98 $00 556 125- 99 550 579 126 100 900 602 127 101 950 624 128 101 1000 645 129 102 1100 686 131 103 200 723 132 104 1300 759 133 103 1400 792 134 105 1500 823 135 105 1600 852 136 106 1700 $80 136 106 1500 906 137 107 1900 930 138 107 2000 954 138 107 2256 1007 139 108 2500 1054 .140 109 2750 1096 141 109 3000 1134 - 141 109 3250 1165 142 1o 3500 1199 142 110 3750 1227 143 110 4000 1253 143 110 4250 1276 143 111 4500 1298 144 111 4750 1315 2 144 111 5000 1336 697 418 144 11] 5500 1570 706 421 145 111 6000 1399 714 423 145 111 6500 1424 721 426 145 112 7000 1447 726 425 145 112 7500 1467 731 430 146 - 112 AU00 , 1485 736 431 146 112 5300 1502 740 432 146 - 2 29000 1517 743 434 146 2 Fuente; Véase la primera página del cuadro A.l. - 114 Cuu1lro A. 6 TA~IA~US E .E.ST.R.A RA L . Ut.!ffRtO ll .\ JUBl'TOS. 'f.-\S.\ I. l::~JtOf. t: rl. DA AYOR E 3 NIVEL E .:OXFJ .."\Z..\ E 3 a- o e la p~ 11maiiiu c:·nllleStra·.co rétipondlcnte - n port."ir-ntaje d~ pre:ci~hin- e ás o enos: blu- i n . 0 1.50 2.50 3.00 . 0 . 0 8 47 42' -10 7 H 0 1 89 . 7-1 66 9 J 5(1 8 126 99 86 4 4 0 0 160, 118.· 100 5 .,, 0 9 191 ' 134 111 3 8 3UO 7 216 - 180_' :- 147 120 9 S2 0 3 2-H 198i>, 159 128 4 6 -1 0 6 267 21r::. -155 lH 8 8 0 0 269 . - 226 177 139 1 0 0 2 309 238 18'1 IH 4 0 1 2 327 2'19 190 148 7 4 0 -151 344 259 196 151 9 5 0 9 360 266 201 154 clZl 7 0 ; 5 375 276 206 157 2 8 0 1 389 283 210 159 4 8 soo 6 402 290 213 161 5. 9 fi 0 9 415 296 217 163 6 0 0 2 426 302 220 165 7 1 0 4 437 308 223 167 8 1 00 5 '147 313 225 168 9 2 00 6 466 322 230 171 1 3 1: 0 3 483 330 234 173 2 4 00 9 .¡99 337 238 175 3 4 HOO 2 513 344 2-11 1i7 4 5 00 3 526 3-19 214 178 5 JOS 00 8)2 538 3H 246 179 6 6 liOO 8 0 549 359 2-19 181 6 6 rnoo 6 559 363 251 182 7 7 00 0 568 367 253 183 8 7 00 4 5i7 371 2H 184 8 7 HJ 07 596 379 258 185 9 6 2;00 54 612 365 261 167 0 9 50 96 626· 391 263 188 1 9 00 llH 638 395 266 189 1 9 50 66 619 400 267 190 2 10 00 99 658 403 269 191. 2 0 50 27 666 406 270 192 3 0 00 53 674 409 272 192 3 0 50 76 681 411 273 193 3 1 00 98 687 414 274 194 4 1 .¡¡50 18 69 416 275 194 4 1 0 36 7 8 275 194 4 1 00 lliO 6 1 277 19,5 H 1 00 9 4 3 278 196 5 1 00 24 1 6 279 196 5 2 7000 IH7 6 6 280 197 5 2 :-;oo H 7 1 0 281 19i 6 2 suoo' H 5 6 1 281 197 46 2 ~;oo 02 0 2 282 198 6 112 9ll00 17 3 4 282 -· 198 16 112 ucsrc: v.;asc t. r era gina el adro .l. - 115 - Cuadro A, 6 (continuación) TAMAÑOS BL MUESTRA PARA EL MUESTREO DE ATRIBUTOS, 'ÑASA DE ERROR ISPERADA 50 MAYOR DE o 5% Te NIVEL DE CONFIANZA DE 95 7o . e Tamaño de ravesira correspordiento a un porcentaje de precisión Je más o ción 1.00 O OSO 300 9500 1530 TT 435 283 2 0 a “108 35000 1543 750 2 2. 436 : 283 . e 2: 198 1000 1565 OB 438 : E A A 12000 1583 19 419 . . 185 co 199.0 13000 1600 763. os 340 265 . Ll 199. 14000 1614 766 A 44 - e: 199 - 15000 1626 760 442 186 > AAA 16000 1637 7u Zo 443 2600 “200 7000 1647 774 0 44 : 287 2 25200 18000 1656 776 des 444 27 5 200 19000 1664 777 | 445 287 200 20000 1672 779 446 25 200 22500 1637 7820. 447 85 200 25000 1700 785 448 285 201 27500 4 - 787 448 1 1)| 30009 1720 789 449 289 201 32500 1727 791 449 269 201 35000 1734 792 450 259 201 37500 1740 793 450 289 201 40000 1745 794 45] 259 ! 201 148 - 113 42500 1749 795 451 289 201 148 13 45000 1753 706 451 290 201 148 113 47500 1757 297 451 290 201 148 113 50000 1760 798 452 290 201 148 113 55000 1766 799 452 290 202 148 113 60000 1770 800 452 290 202 148 : 113 65000 1774 801 453 290 202 145 113 70000 1778 801 453 290 202 148 13 75000 1781 802 453 290 . 202 148 113 80000 1784 802 453 290 202 148 113 85000 1786 803 453 290 202 148 113 90000 1788 803 453 291 202 148 113 05000 1790 804 . 45% 291 262 148 15 100000 1792 804 454 291 202. 148 115 110000 1794 805 454 291 . 202 148 113 120000 1797 805 454 291 202 148 113 130000 1799 805 454 291 . 202 148 113 140000 1801 806 454 291 - 202 143 113 150000 1802 806 454 29] 202 M8 113 160000 1804 806 454 291 7 202 148 113 170000 1805 807 454 291 202 . 1448 13 180000 1806 807 455 291 202 148 113 190000 1907 807 455 291 202 148 113 200000 1808 807 455 291 202 148 M3 250000 1811 808 455 291 202 148 113 300000 1813 808 455 29] 202 143 114 350000 1815 809 455 291 . 202 145 114 400600 1816 B09 455 29... 202. 148 114 450000 1817 309 455 291 0. 7 202 148 114 500000 1818 809 455 291 202 148 114 Fuente: Véase la primera página del cuadro A.l. " : lIro CAMA SGOS PE OMULSTRA PARA TL MUESTREO. DE E SUSPENSIÓN o. CONTINUACIÓN. Pr OBARILIDAD DE QUE LA TASA DE ERROR EN UN : Tamaño, DE UNIVIRSO. NE 200 SEA MENOR DE: Tamaño de la Número iuostra de urro- premáa res hc mada lados A A A AO 25 y B3.82. 89,87 93.70 96,10 97.60 98.53 99.11 1 19,97 63,04 73.39 B1. 24 87.01 91.14 94.05 a o 55,78 65.75 74,13 60.6h %; se 50.35 59.79 z7 Ta” 90.46 - 94.79 97.18 98,16 99.19 99,57 — 99.11 ” 1 63.77 76.32 Bhk.g9 y0.T2 94.39 26,67 95. 06 z 61.53 12.82 81.12 B7.65 Si. ci 60.21 70.55 NE _ ,. $59.32 CS 2 9h.55 — $7.Lk 98.81 99.5 99.75 99.69 99.95 a 75.02 B5.74 92.15 95,80 97.81 98,88 99,4k 23 62.20 75.52 84.B6 91.00 94,82 97.10 $. 50,99 65.20 76.18 84.77 90.50 % 55.17 67.11 7117.59 5 59.08 e 0: 97.05 98.81. 99.53 93.81 99.93 99.97 99.99 :1- 93.63 91.95 96.20 98.26 99.23 99.67 99.86 E 57.49 75,LB 85,66 92.36 96.11 98.09 99.09 E 65.93 78.88 87.61 93.12 96.33 L 58.18 72.02 82.35 89.12 o $1.23 65.34 76,71 e á 58.98 o. 98.147 99,48 — 93.83 99.94 99.98 99.99 100.00 1 69. Bh 95.716 98.31 99.35 99.716 99.91 99.97 a 68.89 83.93 92.30 96.53 98.51 99.39 99.716 a €2,16 78,21 B8,Lt 9h.25 97.30____098.79 E 56.1B 72.88 Bú4.Lo 91.61 95.15 o 51.58 57.90 80.30 88.70 6 63.28 76.23 1 5B.99 e 0 99.26 99.159 99.94 99.98 100.00 100.00 100.00 1 gu.06 97.93 99.31 99.18 99.93 99.98 99.99 zo 78.49 — 90.62 96.2h 98.59 99.50 99.83 99.9h ms 52.39 T1I97 87.31 OL AM 97.66 99.09 09.66 19.59 70.17 81.19 92,34 96.51 98.56 - 66.89 81.27 90.31 95.36 6,00 78. 5h 88 61.43 75.99 59.09 Jiu 984.55 99.66 99.92 99.98 — 100.00 100.00 100.00 100.00 B9.12 96.716 99.0B 99.75 99.9% 99.98 100.00 100.00 :65.86 86.05 94.91 98.35 99.50 99.85 99.96 99.99 53.95 83, th 93.31 97.59 99.18 99, Th 99.92 62.62 $1.36 91.50 96.74 93,81 99.60 61.63 79.66 50.Lk 95.93 98.41 60.86 78.2% B9.21 95.15 60.24 11.03 88.10 59.12 75.98 59.29 o ja mn e l s ty a r a n e caer. Adaptación de Tables of Probabilities or. Use in Stop —or— Go Sempling, realizada con la autorización del Auditor CGincral del Departamento, de: la: Fuerza Atrea de los Estados Unidos. 116 C.ut11l u. l · ... ~.u.:.·os u1: .!\tllf.Srt:.\ l·.\ A r. UESTREO r.NSIÓN c0STl:-OUACJÓN, l'Clb nTLTU.\D oc E SA E OR N TA..'1AJ?~ ·--1. ~9.97 ,04 ,39 81. 4 .0l . 4 .05 ,._, , 78 . 76 .13 eo 84 ·,., .. '.:'. '·'./·.-:-- ~º· J~ ~2.78 5~ 43,64 . '68.68 . .82.65 90,46 . 79 .18 6.48 .19 ,57 ,17 .::/. ··:;;~; . ,77 ,32 84.99 9 72 ,39 9 ,67 5. .r . 3 .82 6 .42 8 . 5 ;: .00 ; .;·.~-~:/:.·-<-'. 60.21 ,55 10;66 --~ ; ; ' . so 2 ---~- 51;11" 76.30 ee.62 4.Sb 9 .44 6.61 ,45 ,15 , 9 ,95 ·' - ~-:: -·;;-.- 56,26 .02 8 , 74 .15 ,80 .81 .88 9 4 -- .'.- . _;~ -;:.'/. ·_: ~' :_ '· .20 ,52 <.86 .00 .82 .10 .99 .20 .48 . TI 2º·~º .. .47 b .71 7, ' .08 .. o :~~7.8ó · -•82,44 92,70 ,05 8.81 9.B 9.81 .93 ,97 ,99 ... 68,45 5 .63 .95 ,20 . 6 ,23 ,67 .86 2 .49 4.48 .G6 . 36 .ll .09 ,09 ' .23 .88 .64 .12 ,33 .lB .02 , 5 l!ii.42 5 .23 .34 .74 ~8.98 64.12_, .. 87,30 95,57 8. 7 ,48 7.83 , L ,96 , 9 0. 0 52,57 77,07 9.84 5,76 .31 ,35 9, 76 ,91 ,97 .89 .93 .30 ,53 ,51 ,39 9,76 ·- 6 .16 .24 8 .44 4.25 . 0 28.12 .88 64 .61 . 75 5 .58 6 .90 Bo.30 .70 G .28 .23 T :!8·22 o 69.61, 91.07 97.~o ,26 9. 79 ,94 .96 0.00 0.00 l.00.00 ·&1.05 84.03 94.06 .93 ,31 ,78 .93 ,98 ,99 55,96 .49 .62 9 4 .59 ,50 .83 9 , 4 ., .;i2 73.97 .11 04. lL 2 .66 it~~ n:~~ 4 ,59 1 .11 4.19 . 34 ~ .89 .27 .31 , >6 ... 4,oo 1~·~4 8,21 -7 .43 ,99 P. ,09 10.:~I o 75,13 93.9, 8 5 ,66 ,92 ,98 0.00 0.00 0.00 0.00 l . 68.94 6 .42 6,76 . 8 . 75 ,94 ,98 0.00 0.00 2 . 6 .05 ,97 .35 ,50 .65 99.96 ,99 3 6 ,9; 3.44 . 31 , 5 .18 9. 7L ~~:~ • . 2 Bl. b .BO . 7• 8.81 5 .63 1 .66 9 .44 ,93 . 1 G 6o.86 .24 8 .21 , 5 6o.24 .o 6 .10 6 . 72 .98 9 ,29 t · > "': .\ti'1ptaci1in <· 'l'ablcs f robizb l{tie• (or .ll.!C t p - r- o a pling, 1cali da n t ri ci n el uditor :, ,, • .,¡ .07 C 0 lOo _______________ co~~J~ 2~7Ó~· ~~:&~ i;:i~ i~~~ .lO .52 .04 1'--_-,--_...,,,,..,....,...-.,,...,,....-.,90=-.~L1,,.--,9M5'. 7 6"9--9~ar.•o~a---;;,99'.'1'5--,,9·9•. 7 6'3--,,,99".~arr,-~99,93 _ _,,,~~:~~~;- 65.15 80.35 89. 3 .51 -23 .64 .34 . 9 H-~ 71.~ 9.H B9.M ~-" M.M M.~ .39 .46 5.n .98 .56 .10 . 30 f·<.:1§... -¡1c-¡:5"-.6~9r-,8Z;4;.:·.;:6.;c8-_,;Q.O:<'.'J7~4--9~4;.;.?6:;,0- 1 .26 .11 1 H6.60 .12 .93 .71 9.ól - ~9.85 .94 .96 99.~ .06 .70 . " -76 . 0 .29 .52 .31 .72 7.41 4.42 4.93 .59 .52 .71 4 4.39 .30 60. 1 6.46 3-'• 5 .22 .81 .58 b .23 G 60.10 1 1 ~ -mr:-25-95.53 9ll~9if:101 99.6< 9~9'."9"'a--n;c-;,...--.,-f: 56 ,,_.~ 9 ~ 5 -.99 0.00 56,96 19.38 ;o.&J .20 .46 .41 9 .78 .92 .97 53.01¡ .85 . 1 .70 7 7 .78 .50 .80 -f--~~---~~~--~~'~º~-~29'---'r.~,9~·~"~3--~r.l~:~~~~~-~~~~:~~ 7 ~ _ _,.~r~~:~~~~~~ 7 .98 Q.10 94. 91.0'- 5 . 35 .65 . )4 ::0.lal 60.8' ""L. 2 8 .lO ~b. 71 5 . 6 68.5~, 90.22 97.01 .10 ,73 .92 99. 8 .99 ] .00 0.00 l 63.53 51¡,57 J¡.02 1.82 .24 . 74 .92 -91 .99 61.23 80.64 l. 3 6.44 .61 .t.8 .81 .94 .85 8 6 .23 . 9 .90 4 8.91 1 .13 b . :n .81 ~;: :i .67 ~f.. 77 8. 2 .52 . 76 .62 6.l.i;' .69 . 0 . 38 l. 3 .:>6 1 .11 .16 . 1 1 9 .62 c:e r dro .l. $ Cuadro 1,3 MUFarRa PARA EL MULSTRLO DE-SUSPENSIÓN O CONTINVACIÓN. PROBAMILIDAD, DE QUE LA TASA DE ERROR EN UN E on . ¿trariaño DE UNIVERSO pE GUO SEA MENOR BE: Poiañe Pa, de le Número. enmado os : : Ln A o 5Jde . ( : . Ea > 4 5% Té B£ xt 10É —=T a , gs GS Bash 88.04 92.28 95.05 96.84 97.99 — 98,73 . 1: o 61.00 71.12 T9.02 85.00 B9.43 — 92,64 . 54,37 63.89 72.01 78.70 e : 58,33 AAA E 86.13 $313 95.05 "97.Tb DO.fe 99.20 99.59 ev Lo 61.11 73.37 82.25 89.4% 92,61 95.35 97.12 e - 59.32 70.10 78,64 85,11 B9.85 : 5 58.29 "6b,05 76.16 o y si,é2 ERx->->PIgTAA 92.43 96.10 98.01 98.99 99.9 99.715 99,87 ” aq 71.35 B2.36 89.47 93.87 96.51 98.05 98.93 Sas 59.11 72.07 B1.51 88.15 92.62 — 95.51 q L9.s0 62.41 13.13 81.45 87.59 Sn — ! 53.11 54,89 74,29 0 A o 57,09 A 0 a 52.65 —TT.To 09.64 95.22 57.81 95.01 99.55 99.80 99.91. — 99.9 : ai Di 64.20 79.36 88.63 93.95 96.86 98,41 99.21 99.62 a 54, 60 70.32 81,62 89.10 93.17 96.55 98,14 E] 62.51 4-76 83.18 _B9.98 _ 9t,02 Ps 55.13 68.29 78.30 85.74 e 49.81 62.26 72,84 . Leo A 56.70 ATT 57.19 82.35 92.69 97.00 98.78 99.51 99.51 99.92 99.97 99.99 A 71.76 85.142 92.83 96,61 98.14 99,30 99.69 99.87 2. 64.29 78,98 88.34 93.91 96.87 98.46 99.27 -3 58.53 13.35 83.89 90.75 94.91 97.31 4 53.83 Eb. 39 719.60 87.50 $2.68 os ao 49.85 — 63.97 75.53 8k.20 TE 60.00 72.69 E : s6.%0 50 o. $2.45 €6,05 94,08 95.1% 29.33 99.16 99.92 99.97 99-99 — 109.00 UN 55.87 78.04 89.88 95,58 98.15 99.25 99,70 99.89 99.96 2 52.26 712.57 85.54 92.85 96.65 98,49 99.35 99.73 ca 19.72 68,146 81.79 $0.17 gh.98 97,56 98.86 -4 65.17 78.52 87.60 93,2 95.4) 5 62.43 75.64 85.18 91.47 é 60.08 3.07 82.90 , 58.01 70.75 B- 56-16 309 o 66.68 89.03 96.13 98.85 099.64 99-89 99.97 99.99 100.00 100,00 1 62.12 83.15 93.10 97.33 99.01 99.65 99.88 99.96 99.99 2 60.05 719.39 90.1 95.75 98,24 99.30 99.73 99.90 3 58.81: 76.73 839.00 ob.24 97.60 95.85 2 d 57.95 TS. TU €6.c6 9. 96.5 90,42 5 57.31 73.17 B4,L2 91.56 95.70 6 56.90 71.91 83.02 90.50 7 56,53 10,86 81.80 8. A 56.22 69.97 9 _ 55.97 20 0 a 13:95. 93.32 38.31 99.58 99.90 39.9 99.99 "100.09 100,00 100,00 1 cc 72,80 90.kk 96.94 $9.08 — 99.7k 99.93 99.98 100.00 100.00 2 Te 21 89 .0l HS 95 98.62 99-36 s9. -56 99.96 99.92 z 50.0 Fu.1S 3 5.27 98.23 99.3 99. 99.9 ho: 54.26 75.1% or 94,62 97.93 99.23 99.713 5 51.62 76.16 88.02 9i.53 97.69 99,09 6. 60.43 TT.17 88.13 94.35 97.52 E 62.87 78.16 88.33 9u.2r_ Bb 65.03 79.11 BE.59 9: 50.22 66.98 80,03 10 53.08 68.76 11 55.600 1: Víse cuadro B.l,: - 118 cu~dro 11. 3 \"· ''.'+ 1·1 ~11·1 ~rn.-. JIARA l:L l!JSJJ\l.O DE SUSJ'l..SSJÓS O CO~·JJNllACJÓS. rnoDADIUO,'\O DE QUE LA TAS¡\ OE ERROR TA!\.IA.~0 DJ: UNl\'[RSO J>E 600 S.E.A :.iu-;oR lJE: S tJN r.:··;c:llc- }\'úma,.. .. J .. a •• ~ :: .'.'"!:.: d~·crro· • ·,,:mi- 11:1 ha·. ·· . rJ.zJ.: Uadoi :·: ' .. ·.··.;.iL -A.'. 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Tamaños DE OSIVESIRA Pana El MUESTRO Tu cOn BuiciÓn y MUUEENSIÓN O CUNTIAUSCIÓN, Proramiinsp DE QUE LA TASA EL LKROR EN UN TAMAÑO. Dl cExIvitiso DE OGUD sra MENOR PE: Tamaño de la Númcro muestra de ciro- l e exami- res ha A nada Hados A AA A 1% st 4 % et ox 10% 150 o 82, 3. ze 2 99.49 -. 99.91 99.99 100,00 100.00 100.00 100.00 100,00 1 63." 96.26 99.19 99.81 99.97 99.99 100.04 100.00 100.00 2. a 86,86 96.30 99.08 99.79 99.96 09.99 100.00 100.00 3 a 679. 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TU 11.0 55.15 PibsTE: Véase cuadro BL 122 Cuuclro B. 5 : ~.,.,.:..os: 1u; Ul::STJIA f'AIL'\ J::L MUr.s·rnEO DE susrJ:NSFÓN o COSTJN'UACIÓS, P1tonAD1L11J.11n DE QUE LA TASA DE F.RROR t:N' N 'J"A~.\~O ne "uN1\'r.RSO DI: J 00 F.A ENOK C! .::maño .~1:úmcro .:(' l ~·.: .• rstra Je erro-: ,·\ ... "'JJÜ• ras hd- ·.>í'c .'. ·:.::da l/ados· ·:..i:L··· ·:..A· __!!... ~ ~ _J:L _Jl'L 2!_ ..!!?!... -- 40 o ;:~:.' 33,64, ·"sbs.···· 71;i5 J..ll .68 ,00 4.fJ .68 ,88 .65 ].· .. .. ·, ,63 70,70 6.60 .62 .10 . T 2, ·, ;;:, ;;:. ~· . .. ~:. .12 . 5 .62 78.30 . 3 ·: .. >. \:.'.~~::~· ~8.07 50 o · •.• \',';,;~f·E~T ' 64.51 T9.03 6 ,68 .80 .62 .59 8.bl 9.n , ~j l•' .63 1 3 1. 74 BB.oo .25 .08 . ;> 6.2J .62 1 .14 .64 2:.l.i. .3 ,, -~n ~/~~-~:\;:· . ' ,95 1.60 T . T 4 .· ' t•O o .. •,;.~6_.29, .. • 71,34 84.81 92.00 .e2 .83 .88 .43 ,71 ,85 'l. . ";-'·;~: 54.00 TO. TO .74 .96 .49 .24 . T .81 . " .93 Tl. 6 8 .90 T.61 .19 .19 l ·24 12.s• .86 8¡.o~ 3.u 4.•1 . 72 5•. :¡6.16 'º .o. 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Fuente; Lockhced-Ceorgia Company, Gmpo de Análisis. M - 125 - Cuadro C. l TAMAÑOS DI:: M Ul:STRA PARA EL MCJo:STREO llJ: VAIUADJ.ES •H~Ón Je rror naucr.lrco n -·- _ ._!!J~o- e m c"lra ecesario u.ru n ivel e Cianu J>Orcicnto) e: lc~,·iuciún ,. .. hi 11r 75 110 115 !10 5 !111 9 ·------- nnu1ño e In P<>hluciún: 5 UUO . 1 3630 3SH 4028 4221 25 75 50 U.02 1992 225; 2514 2876 º 9 52 42 u.o:; 1137 IBS . 1577 7S 1 03 31 979 . 4 710 852 1029 121i4 23 18 67 u.o; 1i9 581 711 890 76 12 33 ll.Uo H> -11') 517 651 0 57 IH o.o~ 2-., ,, 31 S 390 498 8 5 1065 u.u& 19?' 21S 30; 390 6 1 9 .(JQ 159 195 .244 31t 4 0 1 O.lf• 129 160 199. 257 7 9 6 iT.TI- IU~ 166 215 9 1 1 '1 11.1c 91 :··,.:.:º;: ·,::...:140· 152 '1 0 2 o.n ib .. 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B .- -- ~zc.- ·· 44 º·"º 9 JI n 17 24 · .. 34 .42 f' rsn:: ckhccd·Georgia o pony, Crup¿ e nfüsis tc .átia:>. - 126 - Cuuclro C. 2 T AAIA..qOS DE MUESTRA l'ARA EL MUESTREO DE VAJUADLES u.1.ón Lle error e mues1reo o Tamaño de 111ucstru nccc1'ario puro un nivel de r.on(imi:r.a (en porclenlo) de: t'5Vh1ción cs. tándn.r 75 80 85 90 95 911 99 1'u1nuño de Ju poblución: 7 000 0.01 4579 1909 5233 5562 5922 6199 6332 0.02 2247 2589 2977 3141 1049 4614 1922 0.03 1216 1418 1733 2104 2652 3236 3590 0.04 740 896 1093 1363 l7R8 2281 2604 U.05 193 601 741 938 1261 1654 192i U.06 350 429 532 679 926 1238 ¡.¡;9 ü.Ui 261 320 399 512 706 955 JI H 0.08 201 218 310 399 553 75; ')03 0.09 160 198 247 319 415 611 713 O.JO 130 161 202 261 365 503 606 0.11 108 134 168 217 304 421 )lJ'J 0.12 91 113 141 184 257 357 ~ ;; 0.13 78 96 121 157 221 307 --, ,,_ 0.14 67 83 105 136 191 266 32'3 0.1; 59 73 91 119 167 233 .21;; O.lb 52 61 80 105 147 206 250 0.17 46 57 71 93 131 183 223 0.18 il 51 64 83 117 164 199 0.19 37 16 57 75 10; 147 179 0.20 33 41 52 68 95 133 162 0.21 30 38 47 61 87 121 148 0.22 28 34 43 56 79 111 IH 0.23 25 31 39 51 72 101 124 0.21 23 29 36 i7 67 93 114 0.2; 22 27 33 H 61 86 105 0.30 15 19 23 30 43 60 73 0.35 11 14 17 23 32 H 51 0.40 9 11 13 17 24 3i 12 Tamaño de la población: 8 000 O.O! 4987 S381 5772 6175 6622 6970 7139 0.02 2311 27H 31H 3666 136; 5028 n96 0.03 1243 1187 1788 2186 2784 3434 3836 0.04 750 910 1115 1397 1847 2378 2730 o.o; 497 608 7~1 954 1290 1705 1992 0.Ub 352 132 537 688 942 1266 1498 0.07 262 322 i02 517 715 971 1H8 0.08 202 219 312 102 559 765 918 0.09 161 198 248 321 118 617 713 O.JO 131 161 202 262 3.67 508 613 O.JI 108 134 168 218 306 424 513 0.12 91 113 HZ 184 259 360 136 0.13 78 97 121 157 222 308 375 0.14 67 83 105 136 192 267 325 0.15 59 73 92 119 168 23'1 28~ 0.16 52 64 81 105 118 207 2;f 0.17 46 57 72 93 131 181 224 0.18 11 51 61 83 117 164 200 0.19 37 16 57 75 106 148 180 0.20 33 41 52 68 95 IH 163 0.21 30 38 47 61 87 121 Hil 0.22 28 34 43 56 79 111 135 0.23 25 31 39 51 72 102 124 0.24 23 29 36 47 67 93 114 0.25 22 27 34 44 61 86 105 0.30 15 19 23 30 i3 60 71 0.35 11 1'I 17 23 32 44 51 0.40 9 11 13 17 24 31. 42 F'uENTE: Vé:ase cuadro C.l. R Lo. ;- WUesireo - , : . . . . CMC es Tumaño de muestra necesario pura +n nivel de confianza (en porciento) de: vtindar 75 - 80 Bs 90 95 98. - 99 — +. —— ma. —— Tamaño de la población: 9 000 6754 7292 . M8... 7925 0.01 5358 e 0.02 2420 3863 4647 2.0. 406. 5834 0.03 1265 2254 2896 2. 03606: 4052 0.04 758 1424 1396 2460 -* 2838 0.05 50) 967 0313 - 1746 2049 U.U6 354 694 954 1289 1529 0.07 263 521 722 985 1177 0.05 203 404 563 774: 930 0.09 161 323 451 623 751 0.10 131 263 369 511 618 0.11 109 219 307 427 517 0.1 21 185 260 361 439 0.13 78 156 222 310 376 0.14 68 136 192 268 327 0.15 59 . 19 168 235 286 0.16 52 105 148 207 292 0.17 46 93 131 184 224 0.18 41 83 118 165 201 0.19 37 75 106 148 181 0.26 33 68 96 134 163 0.21 300 61 87 122 148 0.22 -28 56 79 111 135 0.23 25. 51 73 102 124 0.24 23 47 67 94 114 0.25 22 44 6 86 105 0.36 15 30 43 60 74 0.55 11 23 32 44 54 0.40 9 17 24 34 42 , Tamaño de la población: 10 000 0.01 5697 6217 6745 7302 7935 8441 3690 0.02 2487 2912 3412 4036 4900 5751 6238 (1,03 1283 1544 1572 2312 2992 3756 4243 0.04 765 932 1147 1447 1937 2529 2930 0.05 503 617 766 977 1332 1780 2097 0.v6 355 437 545 700 965 - 1308 1556 0.07 264 325 406 524 728 995 1192 0.08 203 251 314 406 567 780 939 0.09 161 199 250 324 453 627 757 0.10 131 162 203 264 370 514 622 0.11 109 154 169 219 308 429 520 0.12 92 113 142 185 260 363 441 0.13 78 97 . 122 158 223 311 378 0.14 68 84 105 137 193 269 328 0.15 59 73 92 119 168 235 267 0.16 52 64 81 105 148 208 253 0.17 46 57 72 93 132 184 225 0.18 41 51 64 83 118 165 201 0.19 37 46 58 75 106 148 181 0,20 33 41 52 68 96 134 164 0,21 30 38 ' 47 61 87 122. 149 0.22 28 34 43 56 79 111 136 0.23 25 31 40 51 73 102 124 0.24 23 29 36 47 67 94 114 0.25 22 27 . 34. 4 62 36 105 0,30 15 19 23 . 30 43 60 74 0.35 11 14 Y 23 32 44 54 0,40 0 11 ' ca > 17 24 34 42 Fuente: Véase cuadro C.l, - 127 Cuudro C. 3 TAMA.F:OS DE MUESTMA PARA l.:J. MUESTREO DE VAlllAJU . .ES iuún de error le muc~trco u 11maño e n1ueMra cceaario ra tm ivel e c fiu z.a (tm rciento) e: csviociún ~t.· ttin nr 5 0 85 0 5 98 9 año e blación: 0 . 1 58 5815 6275 54 7292 7718 25 . 2 20 2821 3288 63 47 H06 34 . 3 65 1518 1833 54 96 606 S2 . 1 8 922 1132 24 896 60 38 o.o; 1 613 7'9 7 1313 46 49 lÍ. ó 1 435 541 4 4 89 29 .Ui 3 324 404. 1 2 5 77 . 6 3 250 313 4 3 0 U.O'! 1 199 249 3 1 3 1 . 0 1 162 203 3 9 1 8 . 1 9 IH 169 9 7 7 7 O.E 91 113 142 5 0 1 9 . '3 97 121 $ 2 0 6 . 4 84 10; 6 2 8 7 .J; 73 92 19 8 5 6 O.l<> 61 81 5 8 7 52 . 7 1 57 72 3 1 4 4 O.IS 51 64 S3 8 5 1 . 9 i 46 58 5 6 8 1 . 0 n 41 52 8 6 4 3 . 1 38 47 1 7 2 H . 2 S 3-f 43 6 9 1 5 . 3 31 39 3 2 "1 . 4 ; 29 36 "17 7 4 lH . 5 27 H ..... 2 6 5 . 0 15 19 23 0 0 1 .35 14 17 ...... 1 . 0 11 13 7 a año e blación: 0 0 . 97 17 45 02 35 SHI 8 90 . 2 "187 12 '02 "1036 00 51 38 0. 83 14 872 12 92 56 43 . '1 5 2 47 147 37 29 30 . 5 3 7 6 7 32 80 l 7 .U6 5 7 5 0 5 08 56 . 7 " 5 "106 4 8 5 92 o.os 3 1 4 6 7 0 9 . 9 1 9 0 4 "153 7 7 . 0 1 2 3 1 0 4 2 . 1 9 IH 9 9 8 9 0 . 2 2 3 "12 5 0 3 1 . 3 7 2 S 3 1 S . 4 8 4 5 7 3 9 8 . 5 3 2 9 8 5 87 . 6 1 5 !"18 8 3 . 7 6 3 2 4 5 . 8 64 3 8 5 1 . 9 6 5 6 8 lSl . 0 1 8 6 4 4 . 1 "17 2 '19 . 2 8 3 9 1 6 . 3 0 2 4 . 4 3 9 "17 7 'H 4 . 5 2 7 """ 86 5 . 0 5 0 H . 5 4 17 4 ."10 9 13 4 t::NTF.: éase dro .l. on o MULSIALRO UL VARIABLES ón de error : 7 muestreo a o " Eo - : . , » »viación ess Tamaño de muestra necesorio pura sn nivel de confianza (en porciento) de: túmdar TB BB O A 9 e» a A, e eos mm — EA Tamaño de la población: 32509 0.01 6429 00. A o 3851 A UE 10515 0.02 2617 : Z A E ? BZ AA E 0.03 1316 3182 : ” : 0.04 776 2015 0.05 505 1369 : U.U6G 359 984 -: 0.07 265 738 0.08 204 573 0.09 162 457 0.10 131 373 0.11 109 310 0.42 92 262 0.13 78 -224 0.14 $8 193 0.15 50 169: 0.16 52 149 . 0.17 46 132 0,18 41 1s 0 0.19 37 196 -* 4,20 34 96 0.21 30 ET 0.22 28 0 0.23 25 TE. 0.35 23 67 0.23 22 62 0.30 15 43 0.35 11 32 0.40 9 . 24. z o Tamaño de la población: 15 000 7000000 0,01 032 8701. 9651 10788 A EPS 0.02 2712 * 3850 4663 5856 7115 : 7875 0,03 --1340 1996 2505 3323 04104. 494] 0.04 785 - 1192 1520 2079 2761. 3245 0.05 512 786 1010 1394 1893. - 2254 0.06 359 335 710 . 997 - 1467 1641 0.07 246 412 533 746 1030 1242 0.08 205 317 +12 576 801 970 0.09 162 252 327 460 640 777 0.10 132 205 266 375 523 035 0.11 109 370 221 313 435 524 0.12 92 143 186 263 367 +47 0.13 78 122 159 224 314 383 0,14 68 105 137 "194 2 311 0.15 59 . 92 120 169 23 290 0.16 52 81 105 199 209 245 0.17 46 72 94 132 156 226 0.18 41 54 84 113 166 202 0.19 37 58 75 106 149 152 0.20 34 52 68 96 153 164 0.21 30 4 62 87 122 140 0.22 23 43 56 49 112 136 0.23 25 40 51 73 102 125 0.24 23 36 47 67 94 115 0.25 22 34 44 62... 87 106 0.30 15 23 --31 43 74 0.35 11 Y 23 :32 54 0.40 q 13 17 24 42 Muestre: Véase cuadro €.l. - 1 28 - Cumlro C. 4 TAMAÑOS rt: MUEs1·1tA l'Alo\A, t:t.. M11L~HU.O t JU.Alll.l::.S Tu nfio dt• u<"slrn nc('.etmrio ¡ú~~~~-~~,~~~~·~-~~~i~~~~:..:_-- 75 uo 85 90 9:; 911 .,., -- 'f111uuüu t! l~t pur.JucUua; ) 2 500 o.oi 7099 7796 sm 9432 101 ;6 IOHh . 17 309~ 366Z i390 513: 625 778 997 69 1646 :1w1 0.06 8 .¡.¡¡ 551 710 4 JHT- l(1U,. . 5 327 .. 409 529 8 1016 !''' O.OS 4 252 . 316 109 3 793 fJ~; U. 9 2 200 251 326 1 7 63) 7ü' O.JO 1 163 ··204 265 3 519 63t• . 9 13;. ' 169"_·.' . 220 0 431 ;¿ j .12 IH JH' 186 2 lM. .¡.¡:¡ . 3 97 122 159 1 51; 3&1 O.H 6 Si .105 137 3 271 Bt• .J; 9 73 > 92 120 .-:?;7" 2S~ . 6 "(\.¡ 81 _. 'Tó;~· 9 zos --- 2H . 7 . 57 72: 93 185 216 O.IS SI 64· 83 1& 165 202 . 9 16 SS 75 06 _l-f9 .. 18~ 0, 0 H 41 52· 68 96 ·• 134. 164 0.21 0 38 47 62 bi 12:2 ¡.¡r1 . 2 8 H .43 - 56 79 -:111; 136 o.n 5 31 4() Sl 73 . 102_ p· _, .24 3 29 ' 36 47 i .9-f 11' O.:?t; 27 H "" $7' 106 . 0 19 23 30 ~u._· ¡..¡ .3; H 17 23 ;z 45 54 . <) 11 13 17 H 42 11mnf:o e u 1•ohlndim: 5 0 . ';032 7811 1 88 117-16 122'i3 . 2 12 322) 0 -1 63 56 il 15 7; . 3 140 1628 6 05 23 '1294 -fl . 4 8; 961 l 2 520 70 48 O.O'i 2 630 786 10 B 4 93 4 . 6 ~;9 443, ;i\ 6 97 ll 7 ' 1 . 7 66 n¡¡ 2 3 6 30 -12 . 8 $ 253 7 4 2 6 1 0 . 9 2 201 2 7 0 MO 7 . 0 2 163 5 6 5 sn 6~5 . 9 13; 1 ú 1 311 -13> •1 . 2 2 IH H 6 3 7 -H7 . 3 S 97 2 9 H 4 3 O.H 8 84 5 7 194 :rn 3~1 . 5 73 2 0 9 >7 0 . 6 64 5 49 9 >1 . 7 57 2 86 6 . 8 51 &! ! 8 6 2 . 9 46 8 6 9 &2 . 0 41 2 6 ;; (\4 . 38 7 2 '1 . 2 8 34 3 79 2 6 . 3 ) 31 3 2 5 . 4 29 7 4 5 . 5 27 2 7 IOCi 19 31 H 60 . 5 14· 17 3 32 45 . 0 9 11 7 34 Fl«STt:: éase adro C.l. - 129 - CuuJru C. 5 TAMAÑOS Df. MUI:.STHA l'ARA Ll. MUJ.::Sl'ltl:.O J>1: V.\RIAUU:s 1.ón de error 1nue&trco a Tnmuño de muestra neccsnrio JIUru un nivel ele cor.riamza (en 1mrcici1.10) de: •11vinción e6- tándar 75 110 85 90 95 'JU 99 Tumuño de lu tmlJludún; 20 000 0.01 7966 1J020 10176 11501 131;) H605 15366 0.02 2840 HOS 4114 5056 6489 8072 9065 0.03 1370 1673 2065 2614 3518 4625 5385 0.04 795 977 1217 1560 2144' 2894 3433 0.05 516 637 796 1027 1428 19H 23-12 0.06 362 447 560 725 iOl4 139•) 16S7 0.07 267 330 41> 536 755 1047 121i~ o.o~ 205 254 319 415 583 612 <)~(J 0.09 163 201 253 329 464 647 7S7 O.JU 132 163 206 267 "' 528 64: O.JI 109 1.35 ___ --iio ____ 222 .. - 3¡f-·-·--43¡¡------,·;.¡ 0.12 92 114 113 187 2M 3i0 451 U.13 79 97 122 159 225 316 ;~:; 0.14 68 84 )06 138 195 273 ,_ .... 0.1; 59 73 92 120 170 238 291 0.16 52 64 81 0_6 _________ H9 210 256 0.17 46 57 72 94 133 186 2:?7 O.IS 41 51 6i Si 118 166 7.ll3 0.19 37 46 58 75 106 H9 I~' 0.20 H 41 52 68 69 135 - 16~ 0.21 30 38 47 62 S7 123 1 ;u 0.22 28 34 i3 56 80 112 1)7 0.23 25 32 "º 52 73 10~ I '" _, 0.24 23 29 36 "17 67 94 11 5 0.25 22 27 34 H 62 Si J(I(, 0.30 15 19 23 31 --71-,----6-0·------·74 0.3; 11 14 17 23 ;z 45 54 0.40 9 11 13 17 24 H 42 Tamaño ele lu tmh1ación: 25 000 0.01 8655 9914 Jl 329 12995 15145 lil03 11;1 5:; 0.02 2923 3528 4291 5325 6939 87Rl ?%l> 0.03 1390 1702 2108 2684 3646 4849 ;691 0.04 801 967 1231 1565 2191 2981 3555 0.05 519 641 803 1038 1448 199> 23'>~ 0.06 363 449 563 no- 1024 --l-4Í9 171Íi 0.07 268 331 416 5fl 761 10;9 1284 0.08 206 255 320 416 587 819 99; 0.09 163 202 254 330 466 651 79~ O.JO 132 lM 206 268 379 530 M6 0.11 109 136 171 222 314 440 537 0.12 92 114 144 187 2M 371 of)'; 0.13 79 97 122 160 226 317 387 0.14 68 84 106 138 195 274 3H O.IS 59 73 92 120 170 2>9 292 0.16 52 65 81 .106 150 210 i57 0.17 46 57 72 94 133 186 2Zfi 0.18 41 51 64 84 119 166 203 0.19 37 46 SS 75 106 150 183 0.20 34 42 52 68 96 135 165 0.21 30 35 47 62 -·¡¡7 m 150 0.22 28 34 43 56 80 112 137 0.23 25 32 40 52 73 102 125 0.24 23 29 36 47 67 94 115 0.25 22 27 34 44 62 87 106 0.30 15 19 23 31 43 61 74 0.35 11 14 17 23 32 45 55 0.40 q 11 13 17 24 34 42 fVtNTJ:: Vtase c;uadro C.l. - 130 - Cundro C. 6 TAMAÑOS DE J.lUtSTRA PAR.A C.L MUt::STREO UE VARIABLt:S tazóu de error de 1nues1rco o 'fomario de mucura nccc1u1rio para w1 nlvcl de c.-oníinnza (en ¡Jorcicnlo) de; deniudún e!>· tá.ndur 75 80 85 90 95 98 99 Tamaño de w poLlación 1 30 000 0.01 9185 1225S 1'1228 16846 19303 20655 0.02 2981 4417 5521 7276 9327 10677 0.03 HOZ 2138 2733 3737 SOll 5915 0.04 806 1242 1602 2224 3041 3642 0.05 m so; 1015 1462 2020 2437 0.06 36-+ 5b5 734 1031 1432 1736 0.07 26S 417 St3 765 1066 1295 º·ºº 206 321 417 S89 823 1002 0.09 163 2S4 331 467 6H 797 O.JO 132, 206 269 380 5"' ,. 649 0.11 . :· 101) 171 222 315 441 ;;9 0.12 .. 92. 144 167 265 372 454 0.13 79 123 160 226 3li 38!> 0.14 68_' 106 138 195 274 33; O.IS .S9. 92 120 170 239 292 0.16 52 81 106 150 210 257 0.17 46. 72 94 133 187 228 O.IS n: 64 84 119 167 204 0.19 37 SS 75 107 150 183 0.20 H 52 68 96 135 165 0.21 30 62 87 lB 150 0.22 28 56 80 112 137 0.23 26 52 73 102 12S 0.24 23 -ti 67 94 115 0.25 22 '*" 62 87 106 U.lU i; 31 43 61 7.¡ 0.3S l1 23 32 4S SS 0.40 9 17 24 34 42 < ;¡;;.;,¡;.ño de la pobluclón: 40 000 0.01 9946 11646 13648 ' 16141 19597 23004 24950 0.02 3057 372; 4586 S767 ¡745 10113 11íZO 0.03 H19 "1746 2177 2797 3857 5229 6222 0.04 811 1002 1255 . : . ·1623 2266 3120 3756 0.05 523 647 812 IOH H80 2055 2488 0.06 365 452 565 73~ 1040 HSO 1761 0.07 269 333 419 )45 769 1076 1309 o.os 206 2S6 322 419 592 829 1010 0.09 163 202 255 332 469 658 803 0.10 132 164 207 269 .381 535 653 0.11 --110 136 171 223 315 .¡43 541 0.12 92 lH lH 188 266 373 456 0.13 79 97 123 160 227 3:8 38Q O.H 68 84 106 138 196 27; 336 0.15 59 73 92 120 171 240 293 O.ló S2 6i SI 106 150 211 258 0.17 46 57 72 94 133 187 229 0.18 41 51 64 84 119 167 204 0.19 37 46 58 75 107 150 183 0.20. ;.¡ 42 52 68 96 135 166 0.21 30 38 47 62 87 123 150 1.22 28 3f 43 56 80 112 137 0.23 26 32 "º 52 73 103 125 0.24 23 29 36 47 67 94 115 0.25 22 27 H 44 62 87 106 0.30 15 19 24 31 43 61 74 0.3~ 11 H 17 23 32 <15 55 0.40 9 11 13 17 24 3'I 42 FUENTE: Véase cuadro C.l. uzón de error ecmucsirco a Tarnaño de muestra necesario para un nivel de confianza (en porciento) de: EL MUESTHLO DE VARIABLES esviución en- tándar 75 Ho 85 90 95 y3 Tamaño de la poblición: $0 000 10466 12366 14648 17555 21725 25993 28506 3104 3796 4693 5959 8057 160651 312450 1429 1761 2201 2837 3933 5370 6422 814 1007 1263 1636 2291 3170 3827 $24 649 316 1060 1491 2076 2519 365 453 569 741 1045 1460 1777 269 354 420 547 72 1081 1318 206 256 322 420 594 832 1016 163 202 255 3312 470 660 806 133 164 207 270 382 536 655 110 136 171 223 316 444 543 92 114 144 188 266 374 457 79 98 123 160 227 319 390 68 84 106 138 196 275 337 59 73 92 120 171 240 293 $2 65 81 106 150 ¿11 255 46 57 72 94 133 187 229 41 51 64 34 119 167 204 37 46 58 75 107 150 184 34 42 52 68 96 135 166 30 38 47 ó6l 87 127 150 28 34 43 56 80 11 137 26 32 40 52 73 103 126 23 29 36 47 67 94 115 22 27 34 44 61 87 106 15 19 24 31 43 61 74 11 14 17 23 32 45 55 q 11 13 17 24 34 42 Tamaño de la población: 60 000 10845 12897 15400 18650 2342] 28459 31498 . 3137 3844 4768 6080 12989 , 1436 1772 2217 2864 6562 . 817 1010 1268 1645 3877 . 525 650 $818 1064 2540 0.06 366 453 516 743 1787 0.07 269 334 420 548 1324 0.08 207 256 322 420 1019 0.09 163 203 255 335 808 0.10 133 164 207 270 656 0.11 110 136 171 223 544 0.12 92 14 144 158 457 9.13 79 98 123 160 390 0.14 68 84 106 138 337 9.15 59 73 92 121 294 0.16 52 65 81 106 258 0.17 46 57 72 94 229 0.18 41 51 64 84 204 0.10 37 46 58 73 134 0,20 34 42 52 68 166 0.21 30 38 47 62 150 0.22 28 34 43 56 137 0,23 26 EY] 40 52 126 0.24 23 29 * 36 47 115 0.25 22 -27 34 44 106 0.30 15 19 - 24 ES 74 0.35 1 14... 17 23 55 0.40 9 qa. :13. 17.0 4 Fuente; Véase cuadro C, 1. - 131 Cuadro C. 7 TAt.lAAos DE MUESTRA rA'f\A ~l. U.ESTlU::O J?. RIADUS aLÓn t• ror o sunr,lrco n arnaño e ues ra u etmrJo .ur"n n ivel 1Jc confian~a rt'icnto) c1 ""viudún P.· .ndnr 5 80 5 0 5 98 99 nntuño e In tmb1ución: SO 0 0.01 4 6 3 6 648 li b 725 993 506 0.02 '1 96 93 59 57 l0 Sl 12 0 0.03 129 61 01 37 33 70 22 0.04 1 07 63 36 91 70 27 o.os 5 4 9 8 6 60 91 76 19 0.06 5 3 9 1 15 li 0 77 0.07 9 34 -IZO 17 72 81 18 0.08 6 '6 2 0 '1 2 16 0.09 3 2 5 32 0 0 6 O.JO 3 1 7 0 2 6 H 0.11 ! 0 6 1 3 6 4 3 0.12 2 4 lH 8 6 4 1 7 0.13 9 8 3 0 7 9 0 0.11 8 4 6 8 6 5 7 0.15 9 2 0 1 10 3 0.16 52 5 6 0 2 1 --·-m 0.17 6 2 4 3 7 9 0.18 SI '1 81 9 7 + 0.19 7 '16 r; 7 0 4 o.zo "12 >Z 8 6 5 6 0.21 0 7 2 7 1~3 0 0.22 8 i 3 6 0 2 7 0.23 6 0 3 6 0.21 3 9 6 7 7 4 Il 0.25 2 H 4 2 7 6 0.30 9 4 1 4 0.35 H 7 '15 S) 0.40 9 7 H H '12 a año e blnción: 0 0 0.01 '15 897 4 0 650 21 '159 498 0 02 37 44 63 80 8279 11013 989 .0.03 36 72 17 64 3985 5467 62 0 04 7 10 68 45 2309 3203 77 0 05 5 0 8 8 64 1499 2090 40 . 6 6 3 70 3 1049 M67 87 . 7 9 4 0 8 774 1085 24 . 8 7 6 2 0 595 835 19 . 9 3 3 > 3 471 661 8 O.JO 3 4 7 0 382 537 6 . 1 0 6 1 > 316 44S 4 O.IZ 2 1'1 '11 8 266 374 7 0. 3 9 3 0 227 319 0 . 4 8 6 8 196 275 7 0. 5 9 3 2 1 171 HO 4 . 6 2 5 6 150 211 8 . 7 '16 4 133 187 9 O.IS 1 4 119 167 4 . 9 7 6 8 5 107 150 84 . 0 4 2 B 96 136 6 . 1 0 8 '17 2 87 123 HO . 2 3 ) 80 112 7 . 3 6 32 "º 2 73 103 6 . '1 3 9 6 7 67 94 5 . 5 7 i H 62 87 6 . 0 5 9 4 31 '13 61 4 . 5 1 H '17 23 .. '32 ,:,' ; '. 45 . 0 11 13 . 25 34 '12 UENTI:: éase adro . J. u1.c'in tlt• f'rror e rnut'!'tlr••o u ,.,,·iudt'u1 r.to· 11indur 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Ü.06 0.07 u.o~ 0.09 O.JO O.JI 0.12 0.13 O.H 0.1 > U.16 0.17 0.18 0.19 0.20 O.ZI 0.22 0.23 0.24 0.25 0.30 0.35 0.40 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0,08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 O.ZI 0.22 0.21 0.24 0.25 0.30 0.35 0.40 75 ll132 3160 14'11 818 526 366 270 207 16i 133 110 92 79 68 59 52 -16 '11 37 3'4 31 28 26 23 22 IS 11 9 11358 3178 1445 819 526 366 270 207 164 lH 110 92 79 68 59 52 -.,6 41 37 34 31 28 26 :?1 22 15 11 9 Fuoaru un nh·cl de ronfiunz.u (en pon:iento) de: 00 ~ " % ~ • 13306 3880 1779 1012 6Sl 454 334 256 203 161 136 114 98 84 73 65 57 51 46 42 38 34 32 29 27 19 14 11 13629 3907 1785 1014 6~2 454 334 256 20:; 164 136 114 98 84 73 19 14 . 11 •. 15986 4823 2229 1272 819 571 421 323 255 207 171 114 123 106 92 81 72 64 58 52 47 43 40 36 34 2'! 17 13 16455 4865 2238 1275 821 572 '121 323 255 207 171 144 123 106 .92 81 ·.·· .. 72 :6i •. ·:ffi~ . 47, ·43 . 40 36 3-1 21 17 13 'runmño ele la pohlnchín: 70 000 19Sl6 6169 2883 1652 1066 744 548 421 333 270 223 188 160 138 121 106 94 84 75 68 62 56 52 47 44 31 23 17 24804 8446 4024 2322 1504 I052 776 596 472 383 317 266 22; 196 171 150 133 119 107 96 88 80 73 67 62 43 32 25 Tamaño de la población: 80 000 20221 6238 2898 16S7 1068 7'!5 549 421 333 . 270 22'1 188 160 138 121 106 94 84 75 68 62 56 52 47 44 31 23 17 25954 8S75 4053 2332 l 508 !UH 777 596 472 383 317 266 227 196 171 150 133 119 107 96 88 80 73 67 62 43 32 25 30527 11342 5540 3228 2101 1473 1088 836 663 538 145 37-f 319 276 240 211 187 167 150 136 123 112 103 94 87 61 45 34 32287 11576 SS9S 3247 2109 1477 1090 838 663 538 445 375 320 276 ZofO 211 187 167 lSO 136 123 112 103 94 87 61 45 34 34052 13403 6666 3913 2556 1795 1 328 1021 SIO 6;¡ 5H '!SS 391 337 294 259 229 205 184 166 151 137 126 115 106 74 55 42 36257 13732 6747 3941 2568 1801 1331 1023 811 658 54 5 458 391 337 294 259 229 205 184 166 151 137 126 115 106 7"I SS 42 - 133 - CuuJro C. 9 TA.MAÑOS DE MUESTRA PA.ILA. EL ML"ESTREO DE VARIABLES Ta1naño de n1úestrn. neceeurio para un nh•cl de C"Oníiu.nzn (en J>orcicnlo) ele: ·---·-- 75 80 85 90 95 'J8 99 Tnmaiio J1~ Ju pnhJ.ución: 90 000 0.01 IJ540 13892 16840 20805 26924 33803 3Sl79 0.02 3192 3928 4898 6293 6678 11765 13999 0.03 1-448 1790 2245 29JO 4076 5639 6810 0.04 820 1016 1277 1661 H39 3261 3962 005 527 653 822 1070 1511 2115 2;;; 0.06 367 '155 572 746 1055 1480 1su; 0.07 270 335 421 549 778 109:! 1' ;.¡ o.os 207 • 256 323 421 597 838 102; 0.09 164 203 H6 333 472 664 81: 0.10 133 164 207 270 383 539 6;9 0.11 JIU 136 171 224 317 446 $ii 0.I z 92 114 144 188 266 375 4;9 0.13 79 98 123 160 227 320 391 0.14 68 84 106 138 196 276 ·ns 0.15 59 73 92 121 171 240 294 0.16 52 65 81 106 150 211 259 0.17 '16 57 i2 94 133 167 22Q 0.18 '11 51 64 84 119 167 20; 0.19 37 46 58 7) 107 150 18-l 0.20 34 42 52 68 96 136 166 0.21 31 38 47 62 88 123 Hi 0.22 28 34 43 56 80 112 137 0.23 26 32 40 52 73 103 126 0.24 23 29 36 47 67 94 115 0.2; 22 27 34 44 62 87 106 U.30 15 19 l4 31 43 61 74 0.35 11 14 17 23 32 i) ;; 0.40 9 11 13 17 25 34 i2 Tarnaiio de In población: 100 000 O.DI 11690 14ll0 17161 21298 27755 35122 39870 0.02 3204 3945 '1924 6337 ó76~ ll921 1-1220 0.03 1450 1793 2250 2919 4094 5674 6862 O.O-! 821 1017 1279 1664 2345 3273 3980 o.o; 527 653 822 1071 1514 2120 2;&4 0.06 367 455 573 747 IU56 1482 1~09 0.07 270 335 421 550 778 1093 1336 0.08 207 257 323 422 597 839 1026 0.09 164 203 256 333 473 664 81 c O.JO 133 165 207 270 383 539 6iQ O.JI 110 136 171 224 317 '146 ;.¡; 0.12 92 ll4 144 188 267 375 459 0.13 79 98 123 160 227 320 391 0.14 68 84 106 138 196 276 336 0.15 59 73 92 121 171 2'11 294 0.16 52 65 81 106 150 212 259 0.17 46 57 72 94 133 187 229 0.18 41 51 6'1 84 119 167 20; 0.19 37 46 58 7; 107 150 IS-! 0.20 34 42 52 68 96 136 166 0.21 31 36 47 62 Bk IZ3 1 51 0.22 28 34 43 56 80 112 137 0.23 26 32 40 52 73 103 126 0.24 23 29 36 47 67 94 11; 0.25 22 27 3'1 ·14 62 87 IOó 0.30 15 19 24 31 43 61 7.¡ 0.35 11 H 17 23 32 '15 5; 0.40 9 11 13 17 2; 34 42 ____ ,. __ l't•CNTE: Véase cuadro C.l. muesirco tunes ñ ia para un nivel de confianza (e iento) de: desviación es- Tamuño de muestra necesurio p E de confianza (en pore ) tándar 75 . B0 85 90 95 98 99 Tamaño de la población: 500 000 12896 15905 19892 25671 35676 48847 58543 3285 4074 5126 6675 9424 13178 16045 1467 1819 2292 2939 4233 5944 7261 826 1025 1292 1686 2390 3361 4111 529 : 657 828 1081 1532 2157 -2639 308 456 575 751 1065 1500 1836 270 336 423 552 783 1103 1350 207 257 324 423 600 : 845 1034 164 203 256 334 474 668 818 133 165 208 271 384 541 663 0.11 110 136 172 224 318 447 548 0.12 92 115 144 188 261 376 461 0,13 79 98 123 161 228 321 393 0,14 68 84 106 139 196 21 339 0.15 59 74 93 121 171 241 295 0.16 52 65 81 106 151 212 259 0.17 46 57 72 94 133 188 230 0.18 4] 51 64 e4 119 168 205 0.19 7 46 58 75 107 150 184 0.20 4 42 $2 68 97 136 166 0.21 31 38 os AS 62 88 123 151 0.22 28 4 43 56 80 112 137 0.23 26 32 40 52 73 103 126 0,24 23 29 36 47 67 94 116 0.25 22 27 34 44 62 87 107 0.30 15 19. 24 31 43 61 74 0.35 u 14 17 23 32 45 55 0.40 9 11 13 17 25 34 42 Tamaño de la población: 1 000 000 0.01 13064 16163 20296 26318 36995 51356 62184 0.02 3299 4091 5153 6720 9513 13354 16307 0.03 1469 1322 2297 2998 4251 5980 7314 0.04 827 1026 1294 1689 2396 3373 4128 0.05 530 657 823 1052 1535 2161 2646 0.06 368 457 576 752 1066 1502 1839 0.07 271 336 423 , 552 784 1104 1352 0.08 207 257 324 423 600 846 1035 0,09 164 203 256 334 475 - 663 816 0,10 135 165 208 271 : 385 542 - 663 0.11 110 136 172 224 318 448 548 0.12 92 "115 144 188 261 376 461 0.13 79 " 98 123 161 228 321 393 0.14 68 84 106 139 196 277 339 0.15 59 74 93 121 11 241 295 0.16 52 65 81 106 151 212 259 0.17 46 57 72 94 133 188 230 0.18 41 51 64 84 119 168 205 0,19 7 46 58 75 107 150 184 0.20 4 0. 42 52 68 97 136 * 166 0.21 31 38 47 62 88 123 151 0.22 28 34 43 56 80 112 137 0.25 26 32 40 52 73 103 126 0,24 23 29 36 47 67 94 116 0.25 22 27 34 44 62 87 107 0.30 15 19 24 31 43 61 74 0.35 11 34 17 oo. 23 32 45 55 0.40 Q 11 13 17. 25 34 42 PuenTE: Wéase cuadro C.l. - 134 Cuadro C. 10 TAMARos DE MUESTJVt. PARA EL MUes1·Rrn DE VARJABLES Cuzún de rrror le nrne~lrco 11 a ra o de n1u~tra nece11urio pa n ivel dt~ confinn:r.a (en porci nlo) e: 1le"v iucit'nt C§· tñmlur 75 80 5 5 8 9 nño lle In blación: 0 0 0.01 96 05 92 25671 35676 847 43 0.02 88 '1074 26 6675 24 13178 16045 0.03 H 7 19 92 89 33 44 61 0.04 6 25 92 86 90 1 11 0.05 9 7 8 1081 32 2157 ·2639 0.06 68 '156 5 1 65 00 36 0.07 0 6 3 2 3 1103 50 0.08 7 7 4 '123 0 5 34 0.09 4 3 6 4 '1 8 8 O.JO 3 5 8 271 4 1 3 . 0 6 2 4 8 7 8 . 2 5 4 8 7 6 1 . 3 3 1 8 1 3 O.H 6 9 6 77 9 O.IS 4 3 121 1 1 5 . 6 2 ; 6 IS! 212 9 . 7 '16 i 3 188 0 . 8 '11 SI 84 9 168 S . 9 37 6 S 5 7 0 4 . 0 3i 2 5 8 7 6 6 . 31 '17 8 3 lSl . 2 3'1 H 6 2 7 . 3 0 3 3 6 . 4 6 7 7 4 6 . 5 H 7 . 0 IS "1 3 61 4 0.35 11 H 7 5 SS º·"'º 7 5 '1 "'2 a año e l blación: l 0 0 . 61 163 296 348 95 Sl 56 184 . 2 99 91 Sl 3 20 Sl3 354 307 . 3 H 9 822 97 98 51 S 80 14 . 4 827 26 94 89 96 73 28 . 5 SJO 7 8 &2 35 61 '16 . 6 8 7 6 2 66 02 39 . 7 1 6 3 2 '1 04 52 . 8 207 7 '1 '123 0 6 35 . 9 16'1 3 6 4 5 8 8 . 0 lH 5 8 1 5 S 2 3 . 110 6 2 H 8 H S 8 . 2 2 • 5 IH 8 7 6 1 . 3 79 3 161 8 1 3 . 4 68 Si 6 9 6 7 9 . 5 59 1 71 1 S 0.16 52 ! l SI 212 9 . 7 1 2 4 3 8 0 0.18 41 'I 4 9 !Í 5 0.19 37 '16 5 7 0 4 . 0 34 8 7 136. 6 0.21 ll 7 2 3 1 . 2 zs 4 H 6 2 7 . 3 26 3 6 . 4 6 7 7 6 0.25 22 4 H 2 7 0.30 3 0.35 11 1 7 3 . 0 9 J . 4 2 F r:Nn: Véase adro .l. - 135 - Cuadro D, 1 TA..,lAÑOS DE MUESTltA l'ARA EL MUESTREO DE DESCUDR1Ml!.NTO. PORCENTAJE DE PR.OBADlLJriADES DE HA.U.AR UN ERRUK 51 t:L NÚMEP.0 TOTAL DE ERRORES EN. EL UNIVERSO ES "EL QUE~ SE 11'.'fDlCÁ . Tama. ño da 14 Población de 500 . Población de 1 000 muestra Número da errores ·>: {-Nüm'éro ·de Crrures- 2 s JO 20 ••'<.-..:5·•,: ,...-.-· - '10 ' 20 :, 30 ' . ~ .-,·· . 55 90;7> ''• .... ;:,,-. 65 94~2 75 • 96.4 .. 90.7 85 97~8 93.3 100 99.0 96.0 125 94.5 99.7 '93.3 98.3 150 97.3 99.9 96.3 99,3 200 92.3 99.4 98.9 99.9 250 96.9 99.9 94.5 99.7 300 99.0 97.2 99.9 350 91.0 99.8 98.7 400 96.0 22.3 99.4 450 99.0 95.0 99.B 500 96.9 99.9 550 98.2 Tanuo- ño d1 la Población de 2 000 P oblacicin de S 000 muestra Número de enoreJ Número da crrrores JO 20 30 so 25 so 75 wó· 90 90.3 J.00 92.6 125 96.2 92.3 l.50 90.5 98.J. 90.0 95.4' 200 95.9 99.5 95.4 98.4 250 93.2 98.2 99.9 92.4 97.9 99:4 300 96.2 99.3 95,5 99.J. 99.8 350 97.9 99.7 97,4 99.6 99.9 400 98.9 99.9 98.5 99.8 450 92.2 99.4 90.6 99,l. 99.9 500 94.4 99.7 92.9 99.5 550 96.0 99.8 94.6 99,7 600 97.2 99.9 95.9 99,8 650 98.l. 97.0 99.9 700 98.7 97.7 99.9 FUENTE: Ad>pt:lci6n de Tab1': of Probabililu?< for Usa in Exploratory Samplin¡;, realizada con la autoriz;ici6n del Auditor Ge. ncral del Departamento de la Fuerz;i Atrea de ]05 F•tados Unido>. TAMAÑOS NE MUESTRA PARA EL, MUESTREO DE, DESCUBRIMIENTO. PORCENTAJE DE PRODADILIDADES DE HALLAR UN ERHOR Si UL . NÚMERO TOTAL DE ZRRORES EN LL UNIVERSO ES El. QUE SE INDICA . ode la 0 Población de 10000. 0 Población de 15 000 a o mesestra " Número de errores E ¿Número de ersores.: o $0 . A 100 200 _ : : e 400. 125 A 92.1 A 150 95.3 € 200 98.3 20. 93.3 250 92.1 99.4 96.6 300 95.3 99.8 98.3 350 93.2 97.2 99.9 99.1 400 95.4 98.3 - 99.6 45o 90.1 906.9 99.0 q . 99.8 500 92.4 97.9 99.1 ¿92.2 96.7 99.9 550 94.1 98.6 99.7 94.0 97.6 99.9 600 95.5 99.1 99.8 o 95,k 98.3 700 97.4 99.6 99.9 90.9 97.2 99.2 800 99.5 99.8 93.6 98.14 99.6 900 99.1 99.9 99.5 99.0 99.8 1000 99.5 %. 99.) 99.9 Tama- : ño de la Población de 20 000 Población de 25 000 muestra Número de errores Número de errores 2 30 75 10U 200 EU 75 100 200 250 92.0 300 95.2 91.1 350 97.1 0,1 Lo0 98.3 96.1 450 ÓN 99.0 97.4 500 l 92.1 9. 98.3 600 . 95.3 99.8 91.2 9.2 700 93.1 97.2 99.9 o 94.2 99.7 Bo 95.3 98.3 _— 91.3 95.2 99.9 900 90.0 %.9 99.9 . e 93.6 97:5 99.9 1000 92.3 97.9 99.L 95.3 98.3 1200 95.5 99.0 99.8 91.5 97.5 99.3 t 1400 97H 99.6 99.9 o 94) 98.7 99.7 1600 98.5 99.8 : o 96.3 99.3 99.9 1800 99.1 99.9 97.6 99.6 99.9 Fuente£:- Véase cuadro D.l. - 136 - Cuadro D. 2 TAMA~OS DE UESTRA r AA L UESTREO E S UBRIMIENTO. oP. E.NTAJE t r B . .\DILl .DE.S E Ll..Ait N lUlOR I CL Ó EllO ·T~TA.L DE EP.ROJlE$ t X:L 1\'ERSO S L Ut I I A Tama· ño d.Za oblación de lO 0 Poblacid d lS 0 0 w:stra ú ero e res Nú~ero: de· IJrrorc_s-. so 75 JOO 0 so . .::.!l... 100 2 0 25 .l. 0 5.3 0 8,3 .3 0 .1 .4 96.6 300 .3 .8 - .;:;,.._."' 98.3 0 .2 .2 9.9 90.6 .1 0 .4 .3 93.4 .6 0 .l. 96 99.0 95 3 .8 0 .4 .9 .4 92.2 .7 9.9 0 4.l .6 .7 .94.o .6 .9 0 ° "' .1 .8 5,4 .3 0 ,4 .6 .9 .9 7,2 .2 0 8.5 .8 .6 8.4 .6 0 .J. .9 5.5 .0 .8 1000 .5 96.8 .4 .9 cnna- 110 <Ü l blación e 0 0 oblación e 5 0 uestra úmero <Ü! res . úrnero a res su 0 V su 0 200 0 .0 0 .2 1.l 0 .J. :z4.l 400 8.3 6.1 0 9.0 7.4 0 .1 9.4 .3 0 .3 .8 ..2 9.2 0 .1 .2 .9 4.2 .7 800 5.3 .3 .3 6.2 .9 0 .0 96.9 .0 3.6 ;5 .9 J.0 0 .3 .9 .4 5.3 .3 l. 00 ,5 .0 .8 1.5 7.5 29·3 00 ,4 .6 .9 .4 .7 9.7 00 .5 .8 6.3 9.3 9.9 00 .1 .9 7.6 .6 .:z ~·uwTE:- v¿ase adro .l. TAMAÑOS DE MUESTRA PARA EL MUESTREO DE DESCUBRIMIENTO, PORCENTAJE * DE PROBABILIDADES DE HALLAR UN ERROR Ss] El. NÚMERO TOTAL DE ERRORES EN EL' UNIVERS e ño de la Población de 35000 000 + Población de s00Go _ a muestra Número de errores a ¿ Número: de-errores:.* 50 23 100 pa h00 90.0 . 50 IA . 500 94,k. + . 600 96.9. 91.1 97.4 Boo : E 90.1 99.0 %6.1 99.2 900 o 92.6 99.5 97.4 99.6 1000 94.5 99.7 98.3 99.8 1100 :" 50.9 95.9 99.8 98.8 99.9 1200 92.7 97.0 99.9 91.2 99.2 99.9 1300 94.2 97.7 99.9 92.8 99.5 1400 5.3 98.3 : 94.2 99.7 1600 90.4 .0 99.1 91.3 96.1 99.9 1800 92.9 98.1 99.5 93.6 97.5 99.9 Tama fio de la Población de 100 000 Población de 200 000 muestra Número de errores : Número de errores 200 300 500 1 000 300 500 1 000 2 000 250 91.9 91.9 300 95.1 95.1 350 97.1 97.0 oo 98.2 98.2 500 91.9 99.4 91.9 99.3 600 95.1 99.8 95,1 99.8 700 97.0 99.9 97.0 99.9 800 91.0 98.2 08.2 900 93.4 98.9 98.9 1000 95.1 99.4 91.9 99.3 1200 91.1 97.3 99.8 95.1 99.8 1400 94.1 98.6 99.9 97.0 99.9 1600 96.0 99.2 91.0 98.2 : 1800 97.4 99.6 93.14 98.9 2000 08.2 99.8 95.1 99.3 Fuente: Véase cuadro D., - 137 - Cuudro D. 3 TAMA.~OS E UU"C!tA k.A L l::ST.REO E S UBRIMIENTO. MCE.NÍAJE E l'ft0 BI lll l::S LI.AR N l!.Oll sr r. ERO 'I TAL E J::S l:L U_NlVERS~ ~s EL.Qti~ .sE,lJ'.IDICA" Tamd- ;,bliicicln de SO 000 rlo de Id oblación z S 0 0 ·,:: uestra úmero e res ' ,, :··~· -: •• • 0 "" N~mero · df1 ar:rorcs _ su 75 0 200 2!;;_,/ JOO · 200 300 .·.,.·:·· - . , -_ ·,~_ ··~ 4 0 90.0 "-.·(/-">';,_.::· 91 l. 450 92.5 93 4 0 4.4 95 1 0 . .1 .4 700 ·98.3 94.l. 98.6 800 .l. 99.0 9 .1 .2 0 .6 ,5 .4 ,6 0 .5 .1 .3 .8 0 9 ,9 ,9 .8 .8 .9 00 .7 .0 .9 91.2 .2 .9 00 94.2 .7 ,9 .8 .5 0 9 .3 8,3 .2 ,7 oO .4 97 .1 ,3 .1 .9 0 2.9 .1. .5 .6 .5 .9 2000 94.7 98.8 99,7 95,3 98.3 'f rtUJ· f "1 oblación JOO 0 ob!dción e 0 0 uestrd úmero e c oret úmero e errorts 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 .9 L9 0 .1 .1 0 .1 21·º 400 98.2 .2 0 .9 .4 .9 .3 0 ,1 .8 25.l. .8 0 .0 .9 .0 .9 ªºº .0 .2 9 .2 9ÓO .4 .9 .9 0 .1 .4 .9 ,3 00 .1 .3 .8 .l. .8 00 4.l .6 2 ·9 .0 .9 J. 0 6.0 9.2 .0 .2 J. 00 .4 .6 93.4 .9 00 98.2 .8 .1 .3 UENTE:. Vé:isc cuadro 0.1. - 138 - Cundro E. 1 TABLA DE. NÚMEROS ALEATORIOS ---·-- ---- -- (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (11) (!I) 1 28421 19536 53416 5'1372 73856 28615 20700 16252 68585 2 5i911 59323 50557 77755 84369 23111 58515 02165 14715 3 63100 53705 15932 99669 71654 16630 0300i 18553 09789 4 46511 86218 40032 6143'1 29290 42725 "18752 58421 39937 5 99458 03617 19903 98882 02453 96452 49989 00259 53730 6 79818 37331 313 37 09522 32702 00410 01708 33560 32859 7 22275 00966 99204 04547 18495 03670 34143 10387 82045 8 40310 Oi425 56131 48921 53050 10%-1 77063 28178 54979 9 52i80 74786 40199 11627 52012 73161 06900 6)501 31758 10 62126 37642 08337 81002 98160 54599 62161 23456 30140 01330 16874 77593 19334 78293 14846 03300 22287 49084 57530 28608 05350 61101 67890 50261 59590 2H36 25044 01849 84858 92705 89919 83278 11730 89591 40686 45319 30094 24828 36689 22976 93136 4H01 29661 11442 65458 51692 40936 78378 84085 64331 23446 06276 01123 15499 27217 58636 76792 78131 87139 63739 91618 36888 51753 09737 46502 52303 71797 44822 19431 70412 67275 76229 •17588 11067 91765 61811 03594 85004 12867 87941 34642 81332 27116 27504 33280 69446 28807 71697 08!;70 59169 50795 29431 26400 . 62834 96415 88036 87683 03073 81166 21 29071 13194 10054 o"z895 92934 03798 51933 59254 86074 22 44823 42245 31176 24518 23321 68006 51107 07477 26966 23 82269 74761 1'1787 93349 04880 75140 21922 78il2 75183 2f 77567 26333 12764 00444 51485 78876 11654 -13704 98771 25 14057 28319 94858 94322 72854 56482 68676 02650 11886 26 55738 73524 84238 92630 63579 91545 7H28 -14497 25812 27 35047 25559 95459 93113 59825 55122 64030 55484 84212 28 83696 06300 83331 52563 16380 11814 43953 19950 65497 29 42026 62153 90812 40326 05076 93758 28305 21579 60650 30 80765 28101 39109 48668 56882 50403 73678 35H1 72211 31 83897 95241 71783 05835 75423 66995 5'1650 35000 99083 32 2HH 89672 29754 08566 47533 41710 41672 16118 63491 33 90366 55498 41019 64446 20472 72420 86011 93552 '16393 34 93738 32930 97381 58921 73671 95789 70337 5H91 100)5 35 76371 08824 98489 41679 26965 93940 82349 21024 H312 36 21H7 63280 31121 34506 97683 85287 15322 13587 20410 37 12282 88691 52602 62957 88013 99810 45860 80799 13590 38 11696 25139 59072 363-20 70634 70601 19876 H628 31642 39 61159 08093 55810 09316 08048 74'163 11360 22835 15340 40 74688 38618 03844 11178 03287 07514 35976 93450 80974 41 55120 94773 33677 14312 78798 56745 82835 46357 90662 42 46315 22908 17095 27126 89408 07869 52375 07274 4Zi32 43 37678 00120 33822 65398 10"33 325H 30387 07931 92211 44 33146 08851 76918 55383 87203 60556 51556 22Jl2 94550 45 650-!5 35530 61016 23356 10178 52087" 79336 23674 17293 16 55750 54542 19512 65206 24426 "19163 98160 06790 63643 47 52\.19 15538 71874 70696 93357 36305 50239 30416 66474 48 27493 48414 11337 18147 2"1396 11077 31008 33072 87478 49 21770 59189 67181 69056 13691 27690 69883 08479 89323 50 15600 39508 74592 37635 78656 55703 74206 05610 91507 51 32538 45334 96852 71615 36052 5394 3 94033 53542 10016 52 12978 98892 82388 53640 42389 83592 95JJ2 94987 88935 53 47130 58198 03842 24500 70593 32506 87770 11671 64983 54 27769 15158 65336 05371 25979 08921 99019 i5132 31913 55 54691 2'1901 01007 25851 67200 75679 237.41 85129 58609 FUENTE: Lockheed.Gcorgia Company, Grupo de Análisis Matemático. - 139 - Cuadro E. 2 TABL\ DE NÚMEROS ~EA.TORIOS -------··- (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (U) (9) ;5 97998 85049 +3598 52551 25255• 79671 57697 87618 79050 57 31232 47948 54059 17902 58705 84566 07427 51966 7618ó ;¡, 85975 02926 42521 22762 98955' 94218 04975 16177 29190 ;9 40433 34130 24118 90941 65119 70469 46797 ·H634 10916 60 26208 04624 91057 33665 89853 24706 90978 79731 28042 61 19925 78883 90273 0;382 54341 39612 76223 27066 8>678 b2 16640 07711 65004 996H 20737 61695 16210 66í73 07784 6; 71'57 82213 20738 94462 22377 46235 465í0 80601 35683 64 808S4 ;5733 "16900 87393 03096 81015 96302 02713 95120 65 07358 11255 71734 10254 33066 85111 29493 82093 54722 66 13921 44221 56051 49705 99863 5756:! 61894 90026 4;;73 67 20480 46038 61258 04600 68623 8236? 80279 57265 SM03 6S 80320 05600 80658 65007 08970 HOl9 Si ;1& 13627 55902 69 77361 60767 75141 39591 13032 78418 82492 94034 02160 70 87641 84023 44421 69067 06707 20018 92551 35811 97574 71 88687 30780 05562 19877 45369 03220 55;50 29035 78670 7:! 32966 64353 87268 07323 34080 74249 56H3 41483 27097 73 37404 40157 52Hl 76790 84637 4i825 93079 70958 0351; 74 42852 17038 58973 88518 50297 33326 688H 90047 88787 75 47147 21552 55991 96765 26166 61397 59640 21620 39490 76 21105 07666 40467 06594 40461 21932 81315 10451 57200 77 88884 13374 08120 88918 70273 75250 88833 24744 6~940 78 09789 21241 45533 43452 74300 33845 91322 65295 94935 79 72408 94799 12409 33938 78050 99545 92796 38554 29800 so 81782 91956 40321 95351 94394 37900 7H97 33781 51961 Sl 77496 81391 93950 75558 57888 79321 52382 16074 06744 s~ 42968 34321 74785 05085 90877 61761 39962 46439 29838 83 72173 58221 76076 31912 51677 594!1 04070 11851 26429 Sf 53754 85932 73654 '5953 20001 64589 95016 72183 03361 85 67422 18H6 07952 41940 52139 17593 58681 40449 95232 86 08176 21038 09919 16759 71185 52277 92198 35191 58186 87 94051 87946 461B 46834 04413 06910 18479 1555'1 41775 SS 59198 02207 06115 4H77 06344 40852 4284'1 50400 90857 89 83104 77228 98284 63067 86863 26666 58001 23960 096'\9 90 76094 30034 02797 79076 11273 60000 88238 37179 52447 91 11287 31742 52287 57154 39634 '11966 92251 60927 13427 92 88949 52739 H627 23430 36799 34356 57176 25737 23647 93 62349 '82429 61666 07621 42637 18932 98362 97583 479.18 9.¡ 41320 33848 87386 27609 92117 10283 12383 353)5 12666 95 79170 -16966 67876 61943 62277 61873 08895 92036 51991 96 59990 71862 48990 94897 09443 3;313 67802 02297 92686 97 64503 30312 3H3l 90379 13152 54723 81172 18740 98994 98 85524 15883 39212 46932 52545 71272 59111 93492 67903 99 55923 42057 46377 29594 42285 46905 92838 00472 40872 100 13963 50628 31367 31405 17201 55278 97099 84665 01251 101 77462 14129 48799 21898 64178 08595 43821 08861 97515 102 03504 08078 69563 64747 93797 40409 52694 33499 78071 103 81763 90269 257í2 15675 80018 36961 84416 77958 81755 104 25445 26239 62411 94729 56515 74785 38433 64804 42712 JO) 67251 93506 110i9 24210 28854 48499 62976 75733 08547 106 10868 43031 23230 69820 34490 39126 89057 30320 54901 107 09945 84443 440)3 68660 67361 67957 19917 25611 79545 108 88743 70307 02784 38513 33279 83555 28687 35888 94389 109 13944 267-11 90606 81284 83046 46602 72332 89355 86151 110 52121 6'1326 "18492 97508 34705 09508 68667 68159 20807 Fut,.TE: Véase cuadro E.1. - 140 - Cuadro E. 3 TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) '.l 83467 01526 10090 42315 38282 36753 60462 38576 60503 5;95¡ 19683 58814 87731 34783 5703) 33688 26856 96128 ¡; 77650 84741 181 JO 93014 44553 "10486 88563 80050 '19535 ,. ·~ 27888 38816 08137 26610 07982 06646 59185 01787 24388 . - " 51361 45611 72937 33456 02601 63326 1H76 84815 17343 IG 67015 93624 210;0 88865 36428 13012 65276 51408 8H01 li 3833; 65356 24289 01456 39866 63502 39225 27609 20526 IS 60019 94601 00227 31289 399.¡5 80451 66637 66667 31322 lQ 17881 3S255 31024 63869 56702 13978 90461 96783 75021 :ti 14;9; 41036 61-146 24521 11959 92058 4875-1 65205 36683 :1 532l 78423 5353564 42882 62001 45796 38729 63231 81130 52304 53 85461 05141 93125 79070 51897 89562 71895 13679 11127 05 97566 35625 16565 05703 25974 65282 89341 10763 04335 T 79107 55544 06966 66954 68684 530621 31929 73796 70423 3 25623 78937 73908 36182 93553 11660 05215 34775 GETZ 72 63642 24385 32117 45846 91307 60481 21789 90053 19214 73 36276 74692 94349 56390 00509 76640 81975 22287 17066 74 22563 43526 51437 48484 36123 88269 45242 83021 55440 E 74417 19626 73568 49750 71104 58649 533126 47665 5414 76 15635 05621 25848 35010 05563 24193 4650 23 47 7 70415 02654 06540 95571 70087 37317 10840 68334 3166] 7 44400 56344 65647 37943 08989 33011 83502 77420 62420 79 39137 94455 06879 18688 61710 70208 353328 61231 64667 $5 17850 39524 48873 29103 45691 965308 090636 89182 97414 51 81830 91209 07513 62922 99296 36809 33704 $6411 57294 Ss. 55161 59897 90477 16455 53399 26990 34971 66176 Ul552 S5 95310 29379 73194 97616 73507 17467 597t6 01311 99574 $4 52937 91890 06328 46400 54858 39351 15767 89747 1599 355 38604 11152 05457 42039 30951 20543 46501 22787 19800 8% 39552 40092 50172 64004 08995 48042 55744 94061 60950 57 : 37262 54043 45868 80843 00680 21382 053515 3,719 74535 £5 343097 60970 10760 94993 37116 45053 21451 37960 85253 159 . 93035 59965 85851 76718 49034 13995 65054 16409 $42939 ny 09823 41970 35156 54021 35351 12915 50461 8972 20425 91 56405 93435 11992 85052 5U38+ 25484 96235 14209 41933 192 0S-+47 31359 78099 78820 72157 36919 84514 71701 52809 195 96687 46089 69917 16249 42244 29211 04456 79712 70415 194 53306 38698 59851 14292 00275 71190 37760 19570 65515 193 33992 43781 25970 32386 30578 40816 47489 47561 56596 156 64910 45227 61523 49396 57847 86540 81454 03749 38510 197 84276 48557 08025 27764 09836 15475 34094 45594 73510 195 92842 30923 99268 67954 33749 63653 61265 62224 24515 199 42066 95698 50660 52666 8229+ 32050 39831 14577 45432 200 04868 73620 41955 97000 78261 68080 05508 30542 93005 01 90123 10780 99833 21320 53781 72839 02744 49125 27800 02 78843 60912 36113 48313 07261 38875 40819 505339 72470 205 46373 46335 71855 23508 67633 13159 44208 4570+ 61541 204 26521 62594 93958 75067 98997 30372 26406 17902 60911 205 70951 07226 35039 59735 01012 47340 28065 12775 58797 206 51751 61699 50152 51241 42274 21739 94764 23671 24402 ¿07 04934 08257 15832 67069 89691 21758 4500u 64056 25930 205 70130 80921] 45776 51529 48197 73319 10210 57440 09765 249 20743 41728 48656 21941 99485 86556 44493 03922 019336 210 53631 61248 58601 08603 09591 27676 21951 37271 30665 211 56122 46889 15737 22199 45703 40656 23365 48570 45199 112 74459 40133 52250 80861 84131 51398 20747 87480 80555 215 07140 96196 84457 * 85603 31835 54344 03011 33347 TAZA 214 27660 57315 92275 88555 41356 16351 32284 65486 31034 115 90221 50174 70542 10716 24643 35420 81890 60057 97415 216 73990 85631 99388 90582 11811 50970 21444 72044 96921 217 7115 48465 60382 15760 90353 83443 16631 63520 50964 218 24158 06750 04261 40188 09449 78552 44535 66548 61389 219 96844 34287 40340 16588 80500 76754 595348 48892 85257 220 45151 29638 59320 75952 27850 05184 96297 31972 20845 Fuente: Véase cuadro E]. - 141 Cuutlro E. 4 T.AFIU DE NÚ~lEROS EA10HJOS ----~· ··- ~-- l) ( ) ( ) (4) ( ) (6) (1) (8) (9) 630 '.Hill 1 3 29053 814 6i 53 84 6 ; 92 ;~ti;) 423 ;;& 4 882 001 796 729 31 !1 130 ::;04 467 ; 41 23 070 897 562 895 679 l 27 5 6 625 565 703 974 8282 41 i63 3; 107 885 4 9 6 954 684 3 21 9:9 796 ll-1:.; ..¡ 623 937 908 182 ó53 660 218 7¡ 1;&7:: ,: 642 '3 117 HS 6 307 481 7b9 053 4 310 379 5194 616 507 467 716 1 374 <;4 ;1 37 2890 328 -1 0 h 858 3;4 Si67 -17 -:-1; 9 5 604 ¡;2 457 039 951 543 5'll 787 8 0 86 5 552 032 172 004 OS 95 04: 8 '.'H 61 9;ll Si . 62 043 868 843 680 382 h 1~ ;; 9 535 SS 397 970 760 993 ll6 8053 4Si 960 S5 9 503) 65 BH 718 034 7399~ 650~4 409 8 293 90 823 97979 156 8 021 H 1 91; bü-161 b i27 4:s ·91 05 8435 992 052 0884 81 BS 209 953 2 84 7 7; 9 0 9 6820 157 919 514 701 809 9; 687 089 917 49 2 4 2ll Hll 712 415 4 306 698 5851 292 9275 li 0 760 570 815 3 992 781 970 386 578 ! 16 489 561 S96 l-16 910 227 523 396 847 540 454 '19 510 ¡ ¡ 276 557 028 764 836 473 094 594 810 l'iS 842 923 268 954 749 653 bl 63 Z224 Z4Sl 3 1~9 0 6 ; 98 660 6 6 294 0;0 31 5 7 4 ;.¡;: :oo 868 20 9 5 0 0 261 8 080 508 542 603 836 3 4 1 347 i::-t~~ : 4 i 60 8 313 275 5 356 51 264 8486 lluW 2 5 221 174 542 716 643 429 890 057 i 15 ! 6 990 8631 3 8 582 1 970 4 4 0 4 921 1 7 7215 465 382 6760 355 443 31 520 8 964 : s 258 750 261 1 8 449 552 535 548 H 9 9 8 4 287 340 5 8 5 0 754 8 892 257 :!~O 151 638 320 952 850 184 297 972 845 l' ENTE: éase adro .l. - i42 - Cuadro E. 5 TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS (l) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 21 70072 38025 29642 86220 57027 8t735 45337 95387 96024 22 32600 23026 75836 867Zl 98019 5003; 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48474 87íl3 20579 89270 286)3 243 29851 55630 85786 06606 28616 H512 71950 18338 '18474 244 41644 86199 57655 52087 52599 14342 76237 67297 226'17 245 89725 40356 93747 03821 92241 12974 92692 19252 39899 246 29993 03781 43510 66728 39389 32521 17723 80769 71990 247 52217 18197 95876 12640 64099 97316 31115 '10507 59405 248 l 5HO 71474 07287 27174 8262; 83666 22034 51480 28722 249 80748 11396 41885 2092; 29324 23982 40830 47195 93075 2;0 47624 51739 84511 06372 08280 31569 70620 71705 19320 251 91572 98053 74704 '19966 50002 '19165 10480 81610 80526 252 90929 15040 20784 00096 48256 95547 37503 '10011 74572 253 53140 97774 43946 3$420 92088 58972 36675 44816 09031 254 96869 07249 10133 56029 33056 50377 09239 71216 31489 255 09766 13659 70759 32949 67151 39502 95905 96126 20796 256 Z389i 08857 14100 97177 48701 31222 74954 39642 30222 257 18799 35299 17750 93704 66'130 75108 01083 51333 36690 258 04776 '11246 02500. 06149 86785 05836 75091 22970 51292 259 08094 26536 69573 63835 76031 23369 . 24142 20238 04744 260 18066 14693 35357 35682 41889 59485 94718 06634 32495 261 87506 37792 16146 150il 32779 41657 46160 55720 96250 262 73814 86598 0)876 6901i 82880 05648 56474 10605 95929 263 09504 206'17 76120 91219 35315 63673 85923 15065 21079 264 98956 31677 11598 962H 68756 12446 34165 36765 28446 265 94638 07128 2835'1 53029 89517 06785 8169~ 84673 42048 266 3020'1 43359 40012 24811 20682 -46165 95956 30759 18598 267 '12750 72779 58539 06413 66097 33213 84153 16551 60754 268 16306 12683 70926 28517 24803 03860 20865 32308 84808 269 65200 56156 02014 96397 06474 52003 86022 94091 49250 270 22613 92214 35771 85273 50176 62156 38890 77412 57984 271 22251 82694 96942 96'142 55582 95212 90903 10722 38227 272 43756 73285 58797 83755 '17688 33795 48636 39692 32209 273 57947 63267 79682 41905 52235 42496 35104 32815 68132 274 90007 09891 61759 18667 74613 22302 91688 81325 94389 275 17398 31795 81042 72446 93972 31141. 47007 53102 89678 FUENTE: Véase cuadro E.1. - 143 - Cunclro E. 6 TAJ\LA nr. N{JMEROS ALEATORIOS -------- (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 76 44550 37051 67185 68119 89520 23372 35238 51634 12899 77 33326 77350 43)36 86064 39052 98392 83561 47396 89673 78 17385 80265 10734 79830 09757 64121 58621 48287 31249 79 05078 39061 00366 92206 38310 84524 47965 51012 4193; 80 71994 60902 95404 10422 ~2763 23332 80148 67459 00743 81 88998 91886 62024 08054 29057 03632 91404 96614 6623S 82 98158 94923 14511 89071 18524 62120 25866 39953 20790 83 99131 82991 70786 95574 97026 89542 59943 27;Q8 45842 84 73442 84315 61312 38077 88324 40188 43290 05389 62235 85 06691 06939 32233 12370 -15576 71460 90222 44530 31081 86 21919 36926 561;6 03613 39778 22877 61583 41012 52583 87 50533 58327 41148 71537 28938 53131 09586 85713 67840 88 66535 46089 81657 55010 34707 23697 57138 60514 27286 89 54124 97777 11690 99997 33252 85330 82571 00781 60435 90 06350 41528 48181 25391 29996 00843 00760 56421 23734 91 12006 36271 23704 75672 50449 59349 91418 92291 33498 92 56465 12448 40316 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77019 37971 12974 05693 99950 03471 ·BO 31018 59182 01291 06293 64125 17160 35663 44572 24615 ·Bl 92757 64602 97311 98596 61065 34166 94862 79251 73561 432 06064 63242 00496 30742 61046 36014 . 39790 5671JR 93320 iB 27516 58838 19452 14723 61146 509B 40598 87405 46497 ·Hi 63641 38350 03799 99049 t>576i 47386 32577 96205 27017 435 59459 49401 63399 79451 2845: 71165 84030 29266 83632 436 12524 26981 87720 94864 83416 85454 89968 33524 46374 .¡37 20903 70518 72853 52332 05769 64085 71560 73713 58817 438 00591 84293 53521 66790 63043 42908 89205 86140 i7071 432 52131 70036 18588 00834 43439 86752 54268 84082 30900 ""º 32219 76193 65106 12704 11849 197.99 74323 62163 82546 FUENTE: Véase cuadro E.I. - 146 - Cuadro E. 9 TADl.A DE NÚMEROS At.EATORJOJ (l) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Hl 8132Z 13260 51898 38914 66748 77668 54991 65473 89095 442 93539 66631 73648 65770 34756 91424 42Z74 79755 91126 H3 35896 80363 28375 55585 56951 30891 95384 99240 0303& 1H 34339 26147 03112 95964 70771 01627 15219 95720 99156 H5 04967 01836 9Z242 12718 74400 61622 67899 29048 36226 H6 71401 74409 33730 l 16Z5 32326 67985 96237 91048 85187 447 '16407 76843 69934 63612 31819 43290 39507 5390Z 4296-1 4.¡5 15982 26397 30263 00635 60445 74845 34176 10064 15794 Hll 65233 66655 61030 87972 62692 62155 10412 96501 89535 HO 12856 27939 43506 15287 12099 53908 73740 57996 85711 451 07594 74393 90689 79968 53113 23403 46601 74947 454% 45~ 35037 17006 92022 03716 21489 35375 64255 54396 8924ú 1;3 41605 38114 90006 88940 20087 77394 85239 37548 05338 454 31778 l5HI 31492 43974 49278 20155 69593 4175'1 90830 455 57611 04510 8H54 22073 90418 41438 01323 48961 19714 456 02839 89852 66287 19416 77920 00651 87823 85021 75645 457 41113 26670 90618 99996 96700 95933 47845 66261 63522 458 94302 40550 77083 86012 52261 68910 77025 9342> 00693 459 76752 04404 28918 34824 05822 59131 64947 40865 20760 ·160 05332 98762 5'1280 48531 27467 21709 18460 76060 58731 461 56122 12525 49809 00461 53546 17026 210i3 51306 48025 462 86281 80712 64926 58Z31 96109 27109 54940 32165 35696 463 11053 65903 28188 12355 01347 29040 26128 37931 14863 464 21503 62215 65593 54796 47883 81601 "5761 00873 62751 ' 465 02199 69937 95267 52956 83601 71161 67968 98"35 94836 466 49877 453H 30303 74687 93910 85669 049H 7835-t 61372 467 85348 12866 04182 95172 99592 41104 94224 37916 21308 468 07833 02386 16101 61922 88046 23885 61777 77930 48975 469 79803 41426 86878 14028 50459 59797 16567 73997 51358 4i0 08053 31187 61283 45174 24i82 78183 26878 85609 38651 -171 99546 75869 80577 61H6 51329 85211 78973 0025'* 75098 4i2 17508 64259 57535 65105 12558 51941 87813 74895 54429 473 03567 79922 07132 35781 88299 32955 30369 38216 90828 4H 95699 66521 47392 54347 37263 92800 21619 15368 18272 475 0184Z 32900 03112 31177 63789 98546 00225 78453 34087 476 23147 58575 57436 50718 68612 63875 20556 64619 71657 477 42885 79702 47228 27277 06946 23'190 18284 56979 25580 -178 16i 55 38681 80542 23936 46851 11078 10030 97799 98081 479 32633 81825 39938 02020 43421 66"'36 71515 53'176 14300 180 11804 n3n '\8251 17976 43884 03739 15629 27029 38253 431 17605 13769 82639 44457 i57'13 56723 7776'1 60899 62874 . 482 41862 98520 81980 17286 46i26 67518 36258 22801 61976 483 32903 3'1369 0582'1 3548'1 468'11 '15476 01212 85809 77217 484 20967 90731 64318 96284 8'1180 77835 28401 90007 01893 455 92522 966-H 31876 77319 20021 54231 64901 2038'1 47067 486 77918 35585 19004 19469 48313 23577 25139 04809 19233 487 10793 37356 53923 12284 33734 77661 54987 05605 62758 488 84348 73917 85501 52060 39606 74854 297Z5 04093 50652, 489 11477 91136 92203 03121 03892 50519 85220 05'177 31847 490 07270 17738 43188 43033 76742 49856 61116 65204 62977 191 60130 94972 78880 75571 15166 64292 23379 59436 61715 •192 56165 32923 06201 78740 07997 96575 16007 43660 14321 493 35758 78435 46064 74336 93087 41336 98930 99210 26306 49'1 36284 88982 97882 01019 29443 10266 60158 76032 66553 495 24668 55799 75000 80819 93144 68387 38165 32440 21396 FUENTE: Véase cuadro E.l. - 147 - Cuadro E. 10 TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 82703 47912 i8519 63751 44367 21914 32128 29005 10501 67597 09253 31950 10150 91687 82381 34373 33229 58586 59483 192i7 66722 91316 27133 41881 96906 08811 36517 01766 963'12 93265 71087 78884 1'1372 81326 64600 78211 89888 72857 38305 26181 05126 5102R 26011 62841 99199 07491 55803 73478 60181 66371 57151 03'132 14422 00857 62116 99866 31903 36089 69615 242 51 66348 32160 41040 79282 48850 40912 96429 94022 53767 30337 79925 10980 55625 70286 62849 18899 95802 73273 )3573 75000 77712 84092 82748 60427 09262 12025 32676 12640 11323 99364 79567 78518 10972 20034 17445 31916 38240 02010 32434 99416 451 33 67349 96198 38042 65663 83524 47259 OS669 356)3 19847 28962 88890 91047 02716 52829 69090 63498 63444 561) 57 75163 91955 72417 21900 63738 69033 53322 31698 27362 40890 71212 17292 63876 79366 88144 82582 43256 45149 801'18 62980 21945 60693 09273 91490 46349 11663 44458 40195 89529 95637 24989 05873 64851 36836 60276 08508 60332 85600 59712 714'15 37·446 21400 86360 51929 38134 78100 28219 90787 43759 10248 80811 50003 29772 19117 3'1860 06931 59827 57280 62785 73899 63102 30436 97780 11956 381'68 15254 99219 07506 29968 !1992 98138 80584 15245 50619 16548 93525 5"172 69214 54322 28772 37942 83368 37418 04569 8H46 65367 21171 97304 23027 51876 42416 39245 12415 98897 1119'1 60393 3562S 02745 56778 43260 15566 05776 58786 59261 95083 05648 62113 55508 25224 86838 64450 607H 05.f736 68777 85183 58i59 531 16086 6091> 44665 57732 08855 90334 63258 41799 19529 532 33837 47722 06433 62980 23081 1'51 IS 91801 61255 36256 533 58601 1731> 90811 18282 62049 91810 . 62967 48257 57262 5H 68096 8129S 72932 17493 09888 19iH 24950 21055 -11024 535' 65117 44595 98761 4460'1 67956 23815 98935 81H8 '45136 556 91250 63757 96'428 78334 57042 10681 8142-1 51884 36137 537 12695 63681 73843 68878 71124 88305 24020 57596 74813 538 63619 72691 37971 39345 38337 13801 03911 20103 78682 539 56308 01708 92914 15248 17553 3316i 96016 27290 •62280 540 23565 27102 338'19 31135 78068 89192 60230 02355 40150 511 79094 48622 30'116 35805 12175 81607 05387 950'13 77219 542 87316 76732 82888 15125 91964 8BI7 48146 15158 09510 m 17368 11992 22549 74374 34137 34018 51166 90357 91015 544 11800 95011 60539 39858 37726 32298 28879 082'19 26818 5H 15855 81878 29481 97487 43615 81858 56987 02370 02920 516 00627 36967 32012 82-113 22283 82972 09137 45260 83923 517 96199 928H 57438 22971 75227 11306 6'1867 99910 58961 5"8 4171" 13106 65160 16533 56260 03385 38827 37898 52871 549 78716 72110 38892 89156 33828 59096 74488 10431' "12679 550 67686 5"1002 94263 97303 58425 32012 10739 51728 59960 FUENTE: Véase cuadro E.!. ma· e Id stra 50 80 90 100 120 140 150 160 180 200 250 300 400 500 6oo 700 800 900 ,ooo 50 80 90 100 120 140 150 160 180 200 250 300 400 500 6oo 700 800 900 1,000 148 Cuadro F. l LiMJTES DE PRECISIÓN REVISADOS CON BASE EN LA TASA DE ERROR H.4,u.ADA. EN LA MUBS'JRA TASA DE ERROR DE LA MUESTRA: 2 °t'o Limite inferior .2'f,, .4 .5 .5 .7 .8 .8 .8 ,9 1.0 l.2 .2';i. .3 .4 .4 .5 .6 .7 .7 .a ·.9 l.l 500 Limite superior 8.~ 6.6 6.1 5.8 5.2 4.8 4.6 4.5 4.3 4.0 3.7 l0.2';i. 7.5 6.9 6.5 5.8 5.4 5.1 5.0 4.7 4.4 4.o Tamaño del universo: 1 ººº 2 000 10 000 Línúte inferior .2'f,, .4 .4 .4 ,b .6 .1 ,7 .8 .8 . l.O 1,2 l.3 1;4 .is .3 .3 .3 .4 .5 .5 .6 .7 .7 .9 l.l. 1.2 Límite superior 9.1';i. 6.8 6.4 6.o 5.5 5.1 4.9 4.8 4.6 4.3 Límite Límite inferior superior Limite Limite inferior superior Nfrcl de confian:.a: 90 '% .l';i. .3 .4 .4 ,5 9.2Í 6.9 6.5 6.1 5.6 .111 .3 .3 .4 .5 .5 .6 .6 . ;7 ..•• 7 9.3';i. 7.0 6.6 6.2 5.7 5.3 5.1 5.0 4.8 4.5 ~·- ~.~-;~_·;'. . fü .... '.i!~f ~1li~~ilf ,.••. . _____ ., .9 i·.o· l;l. 1.2 l..3 4.3 3.8 3.5 3.3 3.1 io.4S 1 .. 1. 7.2 6.8 6.1 5.7 5.4 5.3 5.1 4.7 4.4 3.8 3.1+ 1.:1( i.5· l..5 ·1.6 .. 2.9 ··2.8 2.7 2.6 1.3 1.4 1.4 1.4 Nivel' de confion:·c 9) o/,. .is .2 .'3·"·· .3 .4 ·,4 .5 .5 .6 .6 .•.a· l.o l..l. 1.2 l.3 1.3 l.4 l.5 io.GS 7,8 7,3 6.9 6.3 5.8 5.6 5.5 5,2 4.9 4.6 4.0 3.6 3.4 3.2 3.0 2.9 2.8 .is .2 ···.2c· .3. ;3 .4. .4 .5 .5 .6 •. 7 .9 J..O J..l l.2 l..2 1..3 l..3 l.,3 3.0 2.9 2.9 2.8 l0.15S 7,9 7,4. 7.0 .6.4 6.o 5,7 5.6 5.3 5,0 4.8 4.2 3.8 3.5 3.3 3.2 3.1 3.0 3.0 50 000 + Lfrnile Límite inferior~ .1% .3 .3 .4 .5 .5 .6 .6 .7 .1 . ;9 l..O l..l l.2 l..3 l.3 l,4 1.4 1.4 .is .2 .2 .2 .3 .4 .4 ,5 ,5 .6 ,7 .9 1.0 l.l l.l. l.2 l.2 l.3 l.3 9,J'{, 1.0 6.6 6.2 5,7 5,3 5.1 5.0 4.8 4.5 4.3 3.8 3.5 3.3 3.2 3.1 3.0 2.9 2.8 10.~ B.o 7.4 7.0 6.4 6.o 5,7 5.6 5.4 5.0 4.8 4.2 3.8 3.6 3.4 3.3 3.2 3,1 3.0 FUENTE: Adoptación realizada con base en el libro Handboolc of Sampling for Auditing and Accounling del Dr. Hcrbert Arkin, c~n outorización de Mc·Gr.lw·Hill Book Company. Copyright © 1963 McGraw-Híll !ne. El cuadro F de Arkin, que empic1.a en la p~gina 427 de su obr.i, presento límites de prcci;i6n para ohJs ta'2s de error y otrns tamaños de universo. - 149 CuaJ.ro F. 2 Lf P.UTES DE l'RECISIÓN REVISADOS CON BASE EN LA TA.SA DE ERROR HALLADA EN LA MUESTJl.A TASA DE ERROR DE LA MUESTRA: 3 3 Tamaño del universo: o- 500 1 000 2 000 JO 000 50 ººº + l 1.5 1.7 1..9 2.1 11.1,; l.0.6 10.3. 9.6 9~3 12.3'1> 11.7 11.3 10.5 10.1 -FUENTE: Véase el cuadro F.1. 50 ººº + Limite Limite inferior superior l.;~ 1.9 2.0 .-2.2 2.4 p,; 1.5 1.6 1..9 2.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.7 2.8 3.1 3,3 3.4 3.5 3.6 3,7 3.8 12.$ 1.1..7 u.3 10.6 10.l MIIRUN REVISADOS CON BASE EN LA TASA DE ERROR HALLADA EN LA MUESTRA aa me TASA DE ERROR PE LA MUESTRA: 10 % Tamaño del universo: : 10 000. .-50 000 + Limite superior -Limite inferior - superior” Límite. Limite superior Nivel de confiariza: 90%. 2 000 Límite inferior 1 009 Límite inferior superior Límite Límite * inferior .eoq(oR o. + A o ; : € F U A ES . . . . . «a D N O O O A I D 4 9n9a > m a n a e 7.9 250 300 Lo0 500 600 -dddd C A U N O 29 co cn 00 i n m a d d d d y o D N 700 800 900 L,000 Nivel de confianza: 95 % . o. . + . *o o. + o . » 0 0 H m a n o 2 I 3 0 M O N A A A E E a E | v a m a r N O A D O N N E : N O O O F O M O D + 0 0 + F 3 m M m m a y Q U O NU e l A A o o E | D a m a a j a a a A A T O M O n a JT M M S cu a n a d a a d a D A M A m u W e r e D o e n a n m a nd 0 3 0 R e m el * m r i 2 y 250 300 400 500 600 700 Boo 900 [000 FurnTE: Véase el cunizu 1.1. - 151 Cuadrn F. 4 Lbc.::::::: :;r :'1..t".::$~N EVIS DOS N BASE N SA E OR JU.u. DA 1-;N 1-\ UESTRA SA E OR DE >IUCSTRA: 10 d año el in rso: amo- :•· l 0 0 10 ººº 0 0 de la Umiu -·- i ite i ite U ita i ite i it U ite i ite i ite a inferior !::.~--- f rior erior f rior perior i f ri i riDr f ri r peri r_ -- ivel e nfi11n= YO 50 4.31 :~.:..\ 4.~ 19."f't, 4.1~ 19.st, ti.~ 19.st, 4.~ 19.9' 80 5.5 5,3 17.1 5.2 17.2 5.1 17.3 5.1 17.3 90 5.8 :-: .. ~ 5.6 16.5 5.5 16.7 5;4 ¡ 16.8 5.4 16.6 100 6.o ·: - 5.8 16.1 5.6 16.2 5.6 16.4 5;5 16.4 -.... 120 6.4 :..::: .. : 6.1 15.4 6.o 15.5 5,9 15.7 5.9 15.7 140 6.8 . ' 6.4 14.B 6.3 15.0 6:2 15.2 6;2 15.2 --·-150 6 9 .. ~ 6.6 14.4 6.4 14.6 6.3 14.8 6.3 14.B -- ..... 16o 7.0 ::. .. ~ 6r7 14.4 6.5 14.6 .6.4 14.B .. 6~4' 14.B 180 7,3 ::.6 6.9 14.l 6.7 . 14.3 6.6 14.4 . 6.6 14.5 200 7,5 15 .. 3 7.1. 13.8 6.9 14.o 6.8 14.2 6.B 14.2 0 ,9 12.6 7.5 13.2• 7.3 13.5 7.1 13.7 7~1 13-7 0 1.6 12.8 7.5 13.1 7.4 13.3 7,3- 13.3 400 8.2 12.2 7,9 12.5 7;7 12;8 ·7~7 12.8 0 8.5 ll.B 8.2 l.2.2 B.o 12.4 7;9 12.5 0 B.4 11.9 8.1 12.2 8~1 12.2 0 8.6 11.7 8.3 12.0 8.2 12.l 0 8.7 11.5 8.4 11.8 8.3 ll.9 0 8.8 11.3 8.5 11.7 8.4 11.8 ooo 8.9 11.2 8.6 11.6 8.5 11.7 ivel e nfümt4: 5 50 3."f't, 21.2' 3.SJ 21.~ 3.4~ 21."f't, 3.$ 21.~ 3.31. 21.~ 80 4.9 18.o 4.6 18.4 4.5 l.8.6 4 4 18.7 4.4 lB.8 90 5.2 17.4 4.9 17.8 4.8 17.9 4.7 18.l 4.7 18.l 100 5.4 16.8 5.2 17.3 5.0 17.4 4.9 17.6 4.9 17.6 120 5.9 15.9 5.6 16.4 5.4 16.6 5.3 16.B 5.3 16.8 140 6.2 15.3 5,9 15.B 5.7 16.o 5.6 16.2 5.6 16.2 150 6.4 15.0 6.o 15.5 5.9 15.7 5.7 15.9 5.7 15·9 l6o 6.6 14.7 6.2 15.3 6.o 15.5 5.9 15.7 5.B 15.7 180 6.B 14.3 6.4 14.8 6.2 15.l 6.1 15.3 6.o 15.3 200 7.l 13.9 6.6 14.5 6.4 14.B 6.3 15.0 6.2 15.0 0 -7.6 13.l 1.0 13.B 6.8 14.l 6.6 14.4 6.6 14.4 0 7.4 13,3 1.1 13.7 6.9 13°9 6.9 14.o 0 7.9. 12.6 7.5 13.0 7.3 13.3 7,3 13.4 0 1.9 12.6 7.6 12.9 7,5 13-0 oo B.l 12.2 7.8 12.6 7.7 12.7 0 8.3 12.0 e.o 12.4 7,9 12.5 o 8.5 ll.B 8.l 12.2 a.o 12.3 0 ·e.6 u.6 8.2 12.l 8.1. 12.1 l, 00 8.3 ll.9 8.2 12.0 crrrE: éase l wi.;."\J F. l - 152 - Cuadro F. 5 LÍJ\UTES DE J1 RECIS1ÓJ'l REVISADOS CON DASE EH LA TASA DE ERHOR HALLADA f.N LA MUESTRA TASA DE ERROR DE U MUESTltA: 15 3 Tmnafio del uni\1erso: 500 1 000 2000 JO 000 50 000 + de la Límite U mi te Limite Limite Limite Limite Limita Límite Limite Límite stra inferior superior inferior superior inferior superior inferior superior inferior ruperior Niwl de confianUJ: 90 % 50 7 ·'*' 25.Jt; 7·7Í 25.Gi 7.Gi 25.7i 7.51. 25.&t. 7.5'1. 25.gt,. 80 9.4 22.5 9.l. 22.8 9.0 23.0 8.9 23.l. 8.9, 23.2 90 9.7 21..9 9,5 22.3 9.3 22.6 9.2 22.6 9.2 22.6 100 10.l 21..4 9.8 21..8 9.6 22.0 9.5 22.l. 9.5 22.2 120 l0.6 20.6 10.2 2l.0 lO.l 21.2 10.0 21.4 9.9 21.4 140 ll.O 20.0 10.6 20.5 10.5 20.7 10.3 20.B 10.3 20.9 150 ll.2 19.7 10.8 20.2 10.6 20.4 L0.5 20.6 10.5 20.6 160 ll.4 19.5 u.o 20.0 10.8 20.2 10.6 20.4 10.6 20.4 lBo ll.7 19.1 11.2 19.6 ll.O 19.9 10.8 20.0 10.8 20.l. 200 ll..9 18.7 ll..5 19.3 ll.2 19.6 ll.l. 19.8 ll.l l.9.8 250 12.5 18.o 11.9 18.7 ll.7 19.0 ll.5 19.2 ll.5 l.9.2 300 12.3 18.2 12.0 18.5 u.a 18.8 u.8 1.8.8 400 12.8 17.5 12.5 17.9 12.2 18.2 12.2 18.2 500 13.2 17.0 12.8 17.5 12.5 l.7.8 12.5 l.7.9 6oo 1.3.l 17.2 12.8 17.5 12.7 l.7.6 700 1.3.3 16.9 12.9 1.7.3 12.9 17.4 800 13.4 16.7 13.1 l.7 .l. 13.0 l.7.2 900 13.6 16.6 13.2 1.7.0 13.l l.7.1 ,ooo 13.7 16.4 13.3 l.6.9 13.2 17.0 Nivel de con(ianUI: 95 3 Bo 8.Gi 23.gt, 8.Jt; 24.$ 8.l~ 24.~ 8.~ 24.~ 8.~ 24.71 90 9.0 23.2 8.7 23.7 8.5 23.9 8.4 24.o 8.4 24.1 100 9.3 22.6 9.0 23.l. 8.B 23.3 8.7 23.5 8.7 23.5 120 9,9 21..7 9,5 22.2 9.3 22.4 9.2 22.6 9.1 22.7 140 10.4 20.9 9.9 21.5 9.7 21.8 9.6 22.0 9.5 22.0 150 10.6 20.6 io.1 21.2 9.9 21.5 9.7 ''2i.7 9,7 21.7 160 10.8 20.4 10.3 20.9 10.l 21.2 9.9 21.6 9.9 21.5 lBo 11.0 19.9 10.6 20.5 10.3 20.8 10.2 21.0 10.l 21.l. 200 ll.4 19.4 10.9 20.1 10.6 20.4 10.4 20.7 10.4 20.7 250 12.0 18.6 l.l.4 19.4 l.l..l. 19.7 10.9 20.0 10.8 20.0 300 11.8 18.8 ll.5 19.2 ll.2 l.9.5 ll.2 l.9.5 400 12.4 18.o 12.0 18.5 ll.7 l.8.8 ll.7 l.8.9 500 1.2.4 18.o 12.1 18.4 12.0 l.8.4 6oo 12.7 17.6 12.3· 18.o, l.2.3 1.8.1 700 12.9 17.3 l.7.8 12.5 1.7.8 Boa 13.1 17.1 l.7.6 12.6 l.7 .6 900 J.3.3 16.9 l.7.4 l.2.8 l.7.5 l,000 17.3 12.9 l.7 .4 FUENTE: Véase el cuadro F.l. Toma· rlo de la muestra 30 40 50 6o 70 eo 90 100 150 200 300 400 500 1,000 30 4o 50 60 70 Bo 90 100 150 200 300 400 500 1,000 153 Cuadro F. 6 LbUTCS DE PRECISIÓN R.EVJSADOS CON DAS!; EN LA TASA DE ERkOR JIA.LLADA EN LA MUl:STR..I\ !A~ DE ERROR DE LA MU.t.STRA: 0 'fo . 500 7~2'> 5.4 4.3 3.5 3.0 2.6 2.3 2.0 1.3 .9 9.~ 6.9 5.5 4.6 3.9 3.4 3.0 2.6 1.7 1.2 . ··l ººº ··umitc :~süperior 9-4~ 7.1 5.7 . 4;7 4.o 3.5 3.1 2;8 1.8 l~.3 .... :~. . 'I'a1na1io del univcno: 2 ººº Límite Superior 9~4i 7 .l. 5.7 4.8 4~1 3,6 3.2 ·2.9 1.9 1.4 .9 --~T-' ·. · .. •· .5 - . !0000 Líinite ·wpmor ... Fu>;NTE: v.:a.c el cuadro F.l. _:,·.:·':'.'./\{}~\~·::.:·. · Cu~tlro G FA~TORES PÁR; ~.STl>IAR. L.~ DtS~lACIÓN ·. EST.\NDAI CON. nE'sPi:"CToromcdio Jlactor d, 1'ama· no de · ~- 5 6 7 - - - 8 9 10 ·---.-· -: .- 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 fluF.Nrn: Departamento de Defensa de los fütadns Unidos, De· fc11sc Coutracl 1\1ulit ~'tmwal. ·•50000 + .Limite sr1perior 7.4'/, 5.6 4.5 3.8 3.2 2.8 2.5 2.3 1.5 l..l .8 .6 .5 .2 BIBLIOGRAFIA - 1 54 - BIBLIOGRAFIA NORMAS Y PROCEDIMIENTOS DE AUDITORIA, Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A. C. EL MANUAL DEL CONTADOR PUBLICO, Instituto Mexicano de Conta­ dores Públicos, A. C. EL MUESTREO ESTADISTICO EN AUDITORIA, Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C.; C. P. Roberto Alvarez. LA APLIC.ACION DEL MUESTREO ESTADISTICO EN EL EXAMEN DE ES rADOS FINANCIEROS. Tesis: Espinoza Martínez Julio Guillermo; UNAM. Facultad de Contaduría y Administración. MUESTREO ESTADIST[CQ APLICAOO A LA AUDITORIA, Fowler Newton, Enrique. COLECCIONES DE AUDITORIA, University North Western. 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