UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
y 
UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN 
NICOLÁS DE HIDALGO 
INSTITUTO DE FíSICA y MATEMÁTICA 
POSGRADO CONJUNTO EN CIENCIAS 
MATEMÁTICAS UNAM-UMSNH 
Álgebras de Weyl y Problema de Bernstein 
T E S 1 S 
Que para optar por el grado de Maestro en Ciencias Matemáticas 
Presenta: 
VíCTOR RUFINO BECERRIL SOMERA 
mathvick06@gmail.com 
Director: Doctor en Matemáticas Roberto Martínez Villa 
Centro de Ciencias Matemáticas 
mvilla@matmor.unam.mx 
MORELIA, MICHOACÁN - AGOSTO DE 2014. 
 
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i
Resumen
Buscando generalizar los resultados de [11] y [12] en esta tesis iniciamos
el estudio de álgebras más generales que las G-álgebras y las G-álgebras
homogéneas, esto nos lleva a estudiar la dimensión de Gelfand-Kirillov, op-
tamos por presentar esta dimensión en la generalidad de Krause-Lenagan
en [3] teniendo en cuenta la posibilidad de aplicarla mas tarde al estudio
de álgebras no noetherianas. Estudiamos también las propiedades básicas
de las álgebras casi conmutativas, es decir álgebras filtradas cuyo anillo
graduado asociado es conmutativo, estas álgebras se caracterizan por ser
cocientes del álgebra envolvente de un álgebra de Lie de dimensión fini-
ta. También abordamos las álgebras de Weyl, con la lectura del texto de
Coutinho [13], y estudiamos nociones fundamentales como la categoría de
módulos holonómicos. Intentamos ilustrar la fuerza y la belleza de esta
teoría con una aplicación al análisis, para ello hemos elegido el problema
planteado por Gelfand en el Congreso Internacional de Matemáticas que
tuvo lugar en Amsterdam en 1963. El problema mencionado pertenece
al análisis funcional y utiliza en particular la teoría de distribuciones, así
que incluimos esta tesis con resultados básicos de esta parte del análisis.
El trabajo culmina con la demostración dada por Bernstein en [6].
Palabras clave: G-Álgebras Homogéneas, Dimensión de Gelfand-Kirillov,
Álgebras de Weyl, Distribuciones, Problema de Bernstein.
ii
Abstract
Looking for generalize the results of [11] and [12] in this thesis began
the study of more general algebras that G-algebras and homogeneous
G-algebras, this leads us to study the Gelfand-Kirillov dimension, we op-
ted this dimension present in most of Krause-Lenagan in [3] taking into
account the possibility of applying it later to study not noetherianas alge-
bras. We also study the basic properties of almost commutative algebras,
ie filtered algebras whose associated graded ring is commutative, these
algebras are characterized as the quotient of the enveloping algebra of a
Lie algebra of finite dimension. We also address Weyl algebras, reading
the text of Coutinho [13], and study key concepts such as the category
of holonomic modules. We try to illustrate the power and beauty of this
theory with an application to the analysis, we have chosen the problem
proposed by Gelfand in the International Congress of Mathematics which
took place in Amsterdam in 1963 The above problem belongs to the fun-
ctional analysis and used in particular the theory of distributions, so we
included this thesis with basic results of this part of the analysis. The
work culminates with the demonstration given by Bernstein in [6].
Keywords: Homogeneous G-algebras, Gelfand-Kirillov Dimension, Weyl
Algebras, Distributions, Bernstein’s Problem.
iii
Introducción
Dado un anillo conmutativo R se le puede asociar a este un objeto geométrico SpecR
(espectro máximo de R), el conjunto de ideales primos (máximos) de R y dotar a
SpecR con la topología de Zariski, a un ideal I de R le corresponde la variedad D(I)
(un cerrado en la topología de Zariski) de todos los ideales primos (máximos) que
contienen a I. Obtenemos de esta manera una generalización de la geometría alge-
braica afín. A D(I) le asociamos su dimensión de Krull (la máxima longitud en de las
cadenas de ideales primos que contienen a I). En caso de que R sea un anillo gradua-
do positivamente (como el anillo de polinomios), consideramos el espectro primo, de
ideales primos graduados (homogéneos) de R y obtenemos de esta manera el análogo
a la geometría proyectiva. Tenemos también el proceso de localización, en particular
la localización en un ideal primo, lo cual corresponde a fijarse en las propiedades de la
variedad en un punto, por ejemplo si es suave, o el tipo de singularidad que tiene en
ese punto. El ser suave corresponde con la propiedad de que el localizado sea un anillo
regular, dependiendo del tipo de anillo puede tener una singularidad tipo Gorenstein
o Cohen Macaulay.
Tomemos tres familias importantes de anillos conmutativos: regulares, Gorenstein y
Cohen Macaulay, cada uno de ellos tiene asociada su dimensión de Krull. Los anillos
regulares de dimensión uno corresponden con las curvas suaves.
Los anillos regulares se caracterizan por tener dimensión global finita y los Gorenstein
son aquellos en los que el anillo tiene dimensión inyectiva finita.
Se han hecho muchos esfuerzos por aplicar ideas similares a anillos no conmutativos,
es decir; se ha intentado fundamentar una geometría álgebraica no conmutativa, en la
que a un anillo no conmutativo se le asocie un objeto geométrico, una dimensión que
corresponda a la dimensión de Krull y un proceso de localización, en este esquema los
anillos graduados corresponderían con la geometría proyectiva. La tesis de Gabriel
[10] puso los simientes de esta teoría.
La teoría de anillos clásicos ha buscado seguir un programa análogo al de la teoría de
anillos conmutativos: estudiar anillos primos, el anillo total de cocientes, el proceso
de localización, una teoría de la dimensión que generalice la de Krull etc.
También hubo intentos de considerar análogos no conmutativos al de los anillos regu-
lares, Gorenstein y Cohen Maculay. Auslander introdujo una noción que hoy se conoce
como regular de Auslander, siendo las álgebras de Weyl un ejemplo importante de
un anillo no conmutativo regular en el sentído de Auslander.
La geometría no conmutativa ha tenido un nuevo impulso a partir del reciente interés
en los grupos cuánticos (ver Mannin, [15]). Una versión es la de Alain Connes [1] en la
que se busca estudiar los objetos no conmutativos que surgen de la física y otra es la de
iv
Michael Artin que intenta hacer un programa paralelo al de la geometría conmutativa
por ejemplo clasificando las curvas no conmutativas, empezando por las suaves. Con
este fin Artin y Schelter introducen las nociones de regular y Gorenstein que son más
simples de trabajar que las dadas por Auslander. En cuanto a la dimensión, ellos
utilizan la dimensión de Gelfand-Kirillov, así curvas no conmutativas suaves serían
anillos regulares de Artin Schelter de dimensión de Krull uno.
Levandosky ha considerado la familia de las G-álgebras o álgebras con una base de
Gröebner, esta familia incluye las álgebras de Weyl y el álgebra envolvente de una
álgebra de Lie de dimensión finita, en los artículos [11], [12] se consideran versiones
homogéneas de estas álgebras y se demuestra que ellas son regulares de Artin-Schelter.
Buscando generalizar los resultados de [11], [12] en esta tesis iniciamos el estudio
de álgebras más generales que las G-álgebras y las G-álgebras homogéneas, esto nos
lleva a estudiar la dimensión de Gelfand-Kirillov y la familia de las álgebras casi
conmutativas, para ello seguimos el libro de Krause y Lenagan. Optamos por presentar
esta dimensión en la generalidad que ellos consideran teniendo en cuenta la posibilidad
de aplicarla mas tarde al estudio de álgebras no noetherianas. Estudiamos también
las propiedades básicas de las álgebras casi conmutativas, es decir álgebras filtradas
cuyo anillo graduado asociado es conmutativo, estas álgebras se caracterizan por ser
cocientes del álgebra envolvente de una álgebra de Lie de dimensión finita.
Un segundo objetivo de la tesis es el estudio de las álgebras de Weyl, el cual iniciamos
con la lectura del texto de Coutinho, y estudiar nociones fundamentales como la
categoría de módulos holonómicos. Intentamos ilustrar la fuerza y la belleza de esta
teoría con una aplicación al análisis, para ello hemos elegido el problema planteado por
Gelfand en el Congreso Internacional de Matemáticas que tuvo lugar en Amsterdam
en 1963: Consideremos un polinomio
f(x1, . . . , xn) ∈ R[x1, . . . , xn],
y sea Ω ⊆ Rn la región donde f es no negativa en el interior y cero en la frontera.
Para cualquier número complejo λ = λ1 + iλ2 con ℜ(λ) > 0 se puede definir una
función continua fΩ(λ) : Rn → C mediante
fΩ(λ)(a) =



f(a)λ = eλ log f(a) si f(a) > 0,
0 si f(a) ≤ 0
ya que zc = ec log (z) está bien definido para todo z ∈ C, z 6= 0. De esto se sigue que
para cualquier complejo λ con ℜ(λ) > 0, la función fΩ(λ) es localmente integrable y
v
considerada como distribución mediante
〈fΩ(λ), g〉 =
∫
Rn
f(η)λg(η) dη con g ∈ D(Rn).
En estas condiciones la función
fΩ : λ 7→ fΩ(λ) de C+ = {λ ∈ C : ℜ(λ) > 0} a D′(Rn)
es una función analítica pues la derivada compleja de 〈fΩ(λ), g〉 para g ∈ D(Rn) está
dada por
∫
Rn
log(f(η))f(η)λg(η) dη.
Consideramos el caso en que ℜ(λ) < 0 y sea a0 ∈ ∂Ω, entonces si tomamos {aj}
∞
j=1
con aj ∈ Ω tal que aj → a0, tenemos
|f(aj)
λ| =
1
e−λ1 log(f(aj))
→ +∞ cuando aj → a0.
El objetivo es continuar analíticamente la distribución definida por fΩ como una
función analítica de λ a todo el plano complejo.
El problema mencionado pertenece al análisis funcional y utiliza en particular la teoría
de distribuciones asi que incluimos en esta tesis resultados básicos de esta parte del
análisis. Nuestro trabajo culmina con la demostración dada por Bernstein en 1972
para ello utilizamos el esquema de demostración propuesto en los textos de Coutinho
y Krause-Lenagan y completamos los detalles.
Índice general
1. Crecimiento de Álgebras 1
1.1. Dimensión de Gelfand-Kirillov de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Álgebras y Módulos Graduados y Filtrados . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Álgebras Casi Conmutativas 19
3. Álgebras de Weyl 27
3.1. Forma Canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Desigualdad de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Distribuciones y el Problema de Bernstein 39
4.1. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Problema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
vii
Capı́tulo 1
Crecimiento de Álgebras
En este capítulo definimos la dimensión de Gelfand-Kirillov y vemos que no depende
de la elección del espacio generador, para ello definimos una relación de equivalencia
sobre el conjunto de funciones f : N → R. También introducimos los conceptos de
álgebras y módulos graduados y filtrados así como la graduación asociada a una fil-
tración dada, y definimos el importante concepto de filtración estándar la cual será de
gran utilidad en el ultimo capítulo. Finalmente damos al álgebra graduada asociada
grgr(A)(A) una condición que nos garantice que la dimensión de Gelfand-Kirillov sobre
los A-módulos sea exacta.
Sea k un campo. Una k-álgebra A (con elemento unitario 1) generada por {a1, . . . , am}
tiene el subespacio generador V de dimensión finita, es decir; el k-espacio vectorial
generado por a1, . . . , am donde cada elemento de A es una k-combinación lineal de
monomios formados con elementos a1, . . . , am. Así, si V 0 = k, y para n ≥ 1, V n denota
el subespacio generado por los monomios en a1, . . . , am de longitud n, entonces
A =
∞
⋃
n=0
An, donde An := k + V + V 2 + · · ·+ V n.
Observemos que si A es de dimensión finita como espacio vectorial, entonces A = An
para algún n, y la función dV (n) = dimk(An) se vuelve una función constante. En
general esta función es una función monótona creciente y sus propiedades pueden ser
usadas para distinguir entre varias k-algebras.
Observemos también que la función dV misma es muy especifica, pues esta depende
de la elección del subespacio generador V . La dependencia puede ser removida intro-
1
2 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
duciendo una relación de equivalencia conveniente. Esto lo hacemos en la siguiente
definición.
Definición 1.1. Tomemos Φ como el conjunto de las funciones f : N → R las cuales
son eventualmente monótonas crecientes y valuadas positivamente, esto es, para las
cuales existe n0 = n0(f) ∈ N, tal que
f(n) ∈ R+ y f(n+ 1) ≥ f(n) para todo n ≥ n0.
Para f, g ∈ Φ definimos f ≤∗ g si y sólo si, existen c,m ∈ N tales que
f(n) ≤ cg(mn) para casi todo n ∈ N,
y f ∼ g si y sólo si f ≤∗ g y g ≤∗ f . Para f ∈ Φ la clase de equivalencia G(f) ∈ Φ/ ∼
es llamada el crecimiento de f . Denotamos al orden parcial sobre el conjunto Φ/ ∼
inducido por ≤∗ como ≤.
Observación 1.2. Si f y g son funciones polinomiales, entonces claramente f y g
tienen el mismo crecimiento si y sólo si deg(f) = deg(g). Para un número real γ ≥ 0
denotamos al crecimiento de la función pγ : n 7→ nγ por Pγ.
Lema 1.3. Sea A una k-algebra finitamente generada con subespacios generadores V
y W . Si dV (n) y dW (n) denotan las dimensiones de
∑n
i=0 V
i y
∑n
i=0W
i, respectiva-
mente, entonces G(dV ) = G(dW ).
Demostración. Como
A =
∞
⋃
n=0
(V 0 + · · ·+ V n) =
∞
⋃
n=0
(W 0 + · · ·+W n),
existen enteros positivos s y t tales que
W ⊆
s
∑
i=0
V i y V ⊆
s
∑
j=0
W j.
Así dW (n) ≤ dV (sn) y dV (n) ≤ dW (tn), de aquí dV ∼ dW .
Ejemplo 1.4. Sea A = k〈x, y〉 el álgebra libre en dos generadores. Entonces el subes-
pacio V = kx + ky es un espacio generador para A, y la función que describe el
crecimiento del álgebra está dada por
dV (n) = dimk(
n
∑
i=0
V i) = 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1
3
La mayoria de las álgebras consideradas en este trabajo tienen un crecimiento poli-
nomial, es decir la función de crecimiento dV (n) es un polinomio. Para determinar
algunas de las propiedades de estos polinomios el siguiente lema nos será útil, en el
usamos la siguiente:
Notación.
(
x
d
)
=
x(x− 1)(x− 2) · · · (x− d+ 1)
d!
.
Lema 1.5. Sea Q el campo de los números racionales
a) Si 0 6= f ∈ Q[x] es un polinomio de grado d, entonces existen números racio-
nales a0, . . . , ad tales que
f(n) = ad
(
n
d
)
+ ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
1
)
+ a0
para todo número natural n.
b) Las siguientes propiedades de la función f : N → Q son equivalentes.
i) Existen a0, . . . , ad ∈ Q y un entero m ≥ 0 tal que para todo n ≥ m
f(n) = ad
(
n
d
)
+ ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
1
)
+ a0
.
ii) Existen a0, . . . , ad ∈ Q y un entero m ≥ 0 tal que para todo n ≥ m
f(n+ 1)− f(n) = ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a2
(
n
1
)
+ a1
c) Si f(n) es expresado como en a) y si f(n) ∈ Z para todo n suficientemente
grande, entonces ai ∈ Z para i ∈ {0, 1, . . . , d}.
d) Si f(n) es expresado como en a) y si f(n) ∈ Z y f(n+1)− f(n) ≥ 0 para todo
n suficientemente grande, entonces ad es un entero positivo.
Demostración. a) Es evidente para d = 0; de modo que asumamos que se cumple
para d − 1 ≥ 0. Como
(
x
d
)
es un polinomio de grado d con coeficiente lider 1/d!, y
4 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
como f(x) = bdx
d+ . . . , se sigue que f(x)− d!bd
(
x
d
)
es un polinomio de grado d− 1.
Así
f(x)− d!bd
(
x
d
)
= ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
1
)
+ a0, ai ∈ Q,
por la hipótesis de inducción, la afirmación se sigue definiendo ad = d!bd
b) La conocida identidad combinatoria
(
n+ 1
j
)
−
(
n
j
)
=
(
n
j − 1
)
para todo 0 <
j < n muestra que i) implica ii).
Para el reciproco, asumamos que f(n+1)−f(n) tiene la forma establecida para todo
n ≥ m (observemos que
(
n
d
)
= 0 si n < d). Definamos
g(n) = ad
(
n
d
)
+ ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
1
)
+ a0
donde a0 es elegido de tal modo que g(m) = f(m). Ahora
f(n+ 1)− f(n) = g(n+ 1)− g(n) para todo n ≥ m,
de modo que f(n) = g(n) para todo n ≥ m, como se pedia.
c) Sea n0 > d tal que f(n) ∈ Z para todo n ≥ n0. La afirmación es inmediata si
d = 0; así que asumamos que es cierta para d− 1 ≥ 0. Como
g(n) = f(n+ 1)− f(n) = ad
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
0
)
∈ Z para todo n ≥ n0,
los enteros a1, . . . , ad son enteros por inducción. Como f(n) y todos los coeficientes
binomiales son enteros, a0 también lo es.
d) La prueba es com en c). Si d = 0 entonces a0 es positivo. Supongamos que para
d− 1 ≥ 0, como
g(n) = f(n+ 1)− f(n) = ad
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
0
)
∈ Z para todo n ≥ n0,
entonces g(n) ∈ N y g(n+1)− g(n) = f(n+2)− f(n+1)− f(n+1)+ f(n) > 0 para
todo n suficientemente grande, y como deg(g) = d−1 tenemos que ad es positivo.
No podemos esperar que otros coeficientes además de ad sean enteros positivos, para
esto la función f(x) =
(
x
1
)
− 1 provee un contra ejemplo sencillo.
1.1. DIMENSIÓN DE GELFAND-KIRILLOV DE ÁLGEBRAS 5
Ejemplo 1.6. Consideremos el álgebra conmutativa de polinomios A = k[x1, . . . , xd].
El espacio vectorial V = kx1+ · · ·+kxd es un subespacio generador para A y podemos
verificar que
dim(V n) =
(
n+ d− 1
d− 1
)
el cual es un polinomio en n de grado d− 1. Como dim(V n+1) = dV (n+ 1)− dV (n),
tenemos de la parte b) del lema anterior que dV es un polinomio en n de grado d;
de modo que G(A) = Pd. De hecho las partes c) y d) del lema muestran que los
coeficientes de dV son enteros y que que el coeficiente líder es positivo.
1.1. Dimensión de Gelfand-Kirillov de Álgebras
Para nuestros propósitos habremos de estudiar un concepto llamado superdimensión,
este útil concepto es el del límite superior
ĺım sup log f(n)/ log n,
en lo que sigue vamos a usar la notación logn f(n) en lugar de log f(n)/ log n.
Lema 1.7. Sean f, g ∈ Φ. Entonces
(a)
ĺım sup logn f(n) = ı́nf{ρ ∈ R|f(n) ≤ nρ para casi todo n}
= ı́nf{ρ ∈ R|G(f) ≤ Pρ}.
(b) Si G(f) = G(g), entonces ĺım sup logn f(n) = ĺım sup logn g(n).
Demostración. (a) Denotemos por r, s y t los tres números desplegados y listados en
el mismo orden. Si alguno de ellos es infinito, entonces también lo son los otros, pues
f(n) ≤ nρ si y sólo si log f(n) ≤ ρ log(n) lo cual sucede si y sólo si log f(n)/ log(n) ≤ ρ.
Si f(n) ≤ nρ para casi todo n, entonces G(f) ≤ Pρ, de aquí
{ρ ∈ R|f(n) ≤ nρ para casi todo n} ⊆ {ρ ∈ R|G(f) ≤ Pρ},
por lo tanto t ≤ s.
Ahora dado ǫ > 0 tenemos que logn f(n) ≤ r+ǫ para casi todo n, o equivalentemente
f(n) ≤ nr+ǫ, de donde s ≤ {r + ǫ|ǫ > 0} = r, y así s ≤ r. Falta probar que r ≤ t,
así que asumamos que r > t y definamos ǫ = r−t
3
. Entonces G(f) ≤ Pt+ǫ y de aquí
6 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
f(n) ≤ (mn)t+ǫ para algún número natural m y para casi todo n. Si n es elegido
suficientemente grande de modo tal que satisfaga mt+ǫ ≤ nǫ, entonces f(n) ≤ nt+ǫ
para casi todo n, contradiciendo el hecho de que una cantidad infinita de numeros
logn f(n) son mayores que
ĺım sup logn f(n)− ǫ = r − ǫ = r +
t− r
3
= t+
2
3
r −
2
3
t = t+ 2ǫ.
(b) Es inmediato de (a).
Definición 1.8. La dimensión de Gelfand-Kirillov de una k álgebra A es
GKdim(A) = sup
V
ĺım sup logn dV (n),
donde el supremo es tomado sobre todos los subespacios V de dimensión finita de A.
Observación 1.9. Fue mostrado en el Lema 1.3 que para una k-álgebra finitamente
generada B con subespacio generador V de dimensión finita, el crecimiento de B es
independiente de la elección particular de V . Así
GKdim(B) = ĺım sup logn dV (n)
en este caso. Como todo subespacio de dimensión finita de una k-álgebra A general (no
necesariamente finitamente generada) puede ser visto como el subespacio generador
de una subalgebra B de A finitamente generada, la definición de la dimensión de
Gelfand-Kirillov de A puede ser reescrita como
GKdim(A) = sup
B
{GKdim(B)|B ⊆ A, con B finitamente generado}.
Lema 1.10. Si B es una subalgebra o es imagen homomorfa de una k-álgebra A,
entonces GKdim(B) ≤ GKdim(A).
Demostración. Para subalgebras la afirmación es consecuencia inmediata de la defi-
nición de la dimensión de Gelfand-Kirillov. Para un espacio cociente Ā de A notemos
que cualquier conjunto de representantes para los elementos base de un subespacio V̄
de Ā de dimensión finita, forma una base para un subespacio V de A de dimensión
finita, que satisface dim(V̄ n) ≤ dim(V n) para todo número natural n.
Proposición 1.11. Si A1 y A2 son k-álgebras, entonces
GKdim(A1 ⊕ A2) = máx{GKdim(A1),GKdim(A2)}.
1.1. DIMENSIÓN DE GELFAND-KIRILLOV DE ÁLGEBRAS 7
Demostración. Del Lema 1.10 es claro que
γ := {GKdim(A1),GKdim(A2)} ≤ GKdim(A1 ⊕ A2),
y esta desigualdad se cumple incluso si γ = ∞. Supongamos entonces que γ es finito,
sea W un subespacio de dimensión finita de A1 ⊕ A2, y sean U y V la proyección
canónica de W1 a A1 y A2, respectivamente. Entonces
W ⊆ U ⊕ V, y W n ⊆ (U ⊕ V )n = Un ⊕ V n.
Dado cualquier número natural ǫ > 0, se sigue del Lema 1.5 que
dU(n) ≤ nγ+ ǫ
2 y dV (n) ≤ nγ+ ǫ
2
para casi todo n. Como n
ǫ
2 > 2 para n suficientemente grande,
dW (n) ≤ dU(n) + dV (n) ≤ 2nγ+ ǫ
2 < n
ǫ
2nγ+ ǫ
2 = nγ+ǫ
para casi todo n. Así ĺım sup logn dW (n) ≤ γ por el Lema 1.10, y de aquí
GKdim(A1 ⊕ A2) = sup
W
ĺım sup logn dW (n) ≤ γ.
lo cual termina la prueba.
Con el fin de hacer menos árido el contenido de este trabajo damos un par de ejemplos
de álgebras no conmutativas con dimensión de Gelfand-Kirillov no cero.
Ejemplo 1.12. El álgebra de Weyl An = An(k) es el anillo de polinomios en 2n
variables x1, x2, . . . , xn, y1, . . . , yn con coeficientes en k sujeto a las relaciones
xixj = xjxi, yiyj = yjyi, y xiyj − yjxi = δij,
donde δij es la delta de Kronecker. Por conveniencia definimos A0 = k. Esta álgebra
posee una base de Poincaré-Birkhoff, es decir una base ordenada en la cual los ele-
mentos de An se escriben de modo uńico, a saber B = {xαyβ : α, β ∈ N} y donde
xα = xα1
1 x
α2
2 · · · xαn
n para α = (α1, . . . , αn).
Se puede demostrar además que GKdim(An) = 2n, lo cual es muy útil en relación
con los modulos sobre An como podremos ver en la parte final de este trabajo.
8 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
Ejemplo 1.13. Consideremos un álgebra de Lie g de dimensión finita y de base
X1, . . . , Xm. Se define al álgebra envolvente U(g) del álgebra de Lie g como el álgebra
libre en generadores X1, . . . , Xm módulo las relaciones
XiXj −XjXi − [Xi, Xj],
puede mostrarse en este caso que GKdim(U(g)) = dimkg. Como en el ejemplo ante-
rior es un resultado conocido que U(g) posee una base de Poincaré-Birkhoff (vea [8],
capítulo 2).
Si A es una k-álgebra finitamente generada con subespacio generador V que contiene
al 1, y M es un A-módulo derecho finitamente generado con espacio vectorial F de
dimensión finita que genera a M como un A-módulo, entonces
M =
∞
⋃
n=0
FV n.
Al igual que como en el Lema 1.1 se puede verificar que el crecimiento G(dV,F ) de la
función dV,F (n) = dimk(FV
n) no depende de la elección particular de los espacios V
y F ; por lo tanto se define a G(M) := G(dV,F ) como el crecimiento del módulo
M , definimos también
GKdim(M) = ĺım sup logn dV,F (n).
Adicionalmente podemos definir la dimensión de Gelfand-Kirillov cuando M no es
un módulo finitamente generado sobre el álgebra A como sigue.
Definición 1.14. Sea A una k-álgebra, y sea M un A-módulo derecho. La dimen-
sión de Gelfand-Kirillov de M esta dada por
GKdim(M) = sup
V,F
ĺım sup logn dimk(FV
n),
donde el supremo es tomado sobre todos los espacios V de A de dimensión finita que
contienen al 1 y todos los subespacios F de M . Alternativamente,
GKdim(MA) = sup
B,N
GKdim(NB),
donde el supremo es tomado sobre todas las subalgebras B de A finitamente generadas
y todos los B-submódulos N de M finitamente generados .
1.2. ÁLGEBRAS Y MÓDULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 9
Es claro de la definición que GKdim(A), la dimensión de Gelfand-Kirillov de A como
una k-álgebra, y GKdim(AA), la dimensión de Gelfand-Kirillov de A como un A-
módulo derecho, coinciden.
Definición 1.15. Sea A una k-álgebra. La dimensión de Gelfand-Kirillov es exacta
para A-módulos derechos si
GKdim(M) = máx{GKdim(L),GKdim(N)}
para cualquier sucesión exacta corta 0 → L→M → N → 0 de A-módulos derechos.
1.2. Álgebras y Módulos Graduados y Filtrados
Frecuentemente las álgebras son dotadas con una filtración natural y puede ser obte-
nida alguna información pasando al álgebra graduada asociada y entonces trasladar
los resultados de regreso al álgebra original. Esto es particularmente útil si el álgebra
es filtrada por subespacios tales que el álgebra graduada asociada es conmutativa.
A pesar de que graduaciones sobre grupos generales han sido estudiadas (ver Van
Ostaeyen [2]), nos concentraremos en graduaciones exclusivamente con los grupos
Z o N. Adicionalmente nos restringiremos a las graduaciones por subespacios de
dimensión finita.
Definición 1.16. Una graduación A = {Ai}i∈Z de la k-álgebra A es una sucesión
de k-subespacios Ai de A tal que
A =
⊕
i∈Z
Ai y Ai · Aj ⊆ Ai+j para todo i, j ∈ Z.
Un álgebra con graduación A es llamada A-graduada o simplemente graduada; esta
es finitamente graduada si cada una de las componentes Ai son de dimensión finita.
Los elementos de An son llamados elementos homogéneos de grado n. La componente
A0 es una subalgebra de A que contiene al 1A y por tanto al campo base k.
Ejemplo 1.17. Consideremos el álgebra libre en generadores x1, . . . , xn entonces la
familia
Ai = {
∑
j
cjX
i
j : X
i
j es una palabra de longitud i en x1, . . . , xn}
es una graduación de k〈x1, . . . , xn〉.
10 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
Ejemplo 1.18. Sea Q una gráfica finita orientada, con conjunto de puntos Q0 y
conjunto de flechas Q1, construimos el anillo denotado por kQ como sigue:
kQ = {
n
∑
i=1
ciγi : c1, . . . , cn ∈ k y γ1, . . . , γn son caminos orientados de Q}
podemos ver inmediatamente que kQ es un k-espacio vectorial, démosle ahora un
producto kQ× kQ → kQ mediante definir
(γ, γ′) 7→







γγ′ si el fin de γ′
es el inicio de γ
0 si no
y extendiendo
(
∑
i
ciγi,
∑
j
cjγj) 7→
∑
i,j
cicjγiγj,
veamos que esta álgebra tiene identidad definida por
∑
i∈Q0
τi,
donde τi es el camino trivial. Ahora podemos ver claramente que kQ es una álgebra
graduada por longitud de caminos.
Definición 1.19. Sea A una k-álgebra graduada con graduación A = {Ai}i∈Z, un
módulo derecho M es A-graduado o simplemente graduado si existen subespacios
Mi tales que
M =
⊕
i∈Z
Mi y MiAj ⊆Mi+j para todo i, j ∈ Z.
Si cada Mi es de dimensión finita, entonces M se dice ser finitamente graduado.
Los elementos de Mn son llamados homogéneos de grado n.
Sean A una k álgebra finitamente graduada y M =
⊕
ZMi un A-módulo derecho
finitamente graduado. Definimos
A(n) =
n
⊕
i=−n
Ai, dA(n) = dimkA(n), y
M(n) =
n
⊕
i=−n
Mi, dM(n) = dimkM(n)
1.2. ÁLGEBRAS Y MÓDULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 11
Lema 1.20. Sea A una k-álgebra finitamente graduada, y sea M un A-módulo derecho
finitamente graduado. Entonces
(a) Si V es un subespacio de dimensión finita que contiene al 1 y E es un subespacio
de M de dimensión finita, entonces G(dV,E) ≤ G(dM), y de aquí GKdim(M) ≤
ĺım sup logn dM(n).
(b) Si A es finitamente generada como álgebra y MA es finitamente generado, en-
tonces G(M) = G(dM) y de aquí GKdim(M) = ĺım sup logn dM(n)
Demostración. (a) Como V y E son de dimensión finita, existe un número natural p
tal que V ⊆ A(p) y E ⊆M(p). De aquí
EV n ⊆ EA(pn) ⊆M(pn+ p) ⊆M(2pn)
para cualquier entero n ≥ 1. Por lo tanto, dV,E(n) ≤ dM(2pn), y se sigue la afirmación.
(b) Para un entero positivo p suficientemente grande, el espacio vectorial V = A(p)
genera a A y contiene al 1, y E =M(p) genera a M como un A-módulo. Por el inciso
(a) solo hace falta mostrar que M(n) ⊆ EV n para todo número natural n > 0, y
para esto es suficiente mostrar que M−n +Mn ⊆ EV n. Empezaremos por mostrar
que Mn ⊆ EV n. Como los subespacios EV m, m ∈ {0, 1, . . . }, proveen una filtración
exhaustiva deM ,Mn ⊆ EV r para algún entero positivo r. Cada elemento 0 6= x ∈Mn
es por lo tanto una suma de monomios no cero v0v1 · · · vs con elementos homogéneos
v0 ∈ E, vi ∈ V, i ∈ {1, . . . , s} donde s ≤ r.
Asumimos que cada monomio tal ha sido acortado tanto como es posible; esto es,
asumimos que
v0v1 6∈ E =M(p) y vivi+1 6∈ V = A(p) para i ≥ 1,
o equivalentemente que |deg(vivi+1)| > p para i > 0. Como x ∈Mn
deg(v0v1 · · · vs) = deg(v0) + deg(v1) + · · ·+ deg(vs) = n > 0,
al menos uno de los elementos vi debe tener grado positivo. Asumamos que deg(vi) >
0, y que aun deg(vi+1) ≤ 0 para algún i. Entonces
|deg(vivi+1)| ≤ máx{|deg(vi)|, |deg(vi+1)|} ≤ p, por definición de V y E,
lo cual es una contradicción (si i = s podemos considerar vs−1vs en este caso). Así
todos los vi tienen grado positivo, de modo que se sigue que n ≥ s+1, y por lo tanto
v0v1 · · · vs ∈ EV n, y de aquí Mn ⊆ EV n. Un argumento simétrico nos proporciona
M−n ⊆ EV n.
12 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
Definición 1.21. Una Z-filtración de la k-álgebra A es una sucesión de k-subespacios
· · · ⊆ Ai−1 ⊆ Ai ⊆ Ai+1 ⊆ · · · , i ∈ Z,
tal que
1 ∈ A0, Ai · Aj ⊆ Ai+j para todo i, j ∈ Z, y A =
⋃
i∈Z
Ai.
La filtración es llamada finita si cada Ai es de dimensión finita, y es llamada dis-
creta si Ai = 0 para todo i < n0, para algún entero n0 ≤ 0. El espacio vectorial
gr(A) =
⊕
i∈Z
Ai/Ai−1,
equipado con una multiplicación derivada de la regla
[x+ Ai−1] · [y + Aj−1] = [xy + Ai+j−1]
es llamada el álgebra graduada asociada.
Observemos que si el álgebra graduada asociada de una k-álgebra filtrada discreta A
es finitamente generada, entonces A misma es finitamente generada.
Ejemplo 1.22. Vamos a considerar un par de filtraciones para el álgebra de Weyl
An (Ejemplo 1.12), la primera es conocida como la filtración de orden. Conside-
remos los conjuntos Cr = {
∑
α fαy
α} con |α| ≤ r y fα ∈ k[x1, . . . xn]. Podemos ver
claramente que
Cr ⊆ Cr+1 para todo r ∈ N
que An =
⋃
i∈NCr y CiCj ⊆ Cr+j se sigue de la relación xiyj − yjxi = δij.
La segunda es conocida como la filtración de Bernstein. Consideremos Br =
{
∑
cαβx
αyβ} con |α|+ |β| ≤ r, nuevamente es claro que
Br ⊆ Br+1 para todo r ∈ N
mientras que nuevamente de la relación xiyj − yjxi = δij (para mayor detalle vea el
capítulo 7 sec. 2 de [13] o el capítulo 3 de este trabajo) se sigue que An =
⋃
i∈NBr y
que BiBj ⊆ Bi+j.
Es posible construir una filtración para el Ejemplo 1.13 de modo similar a como
se construyo la filtración de Bernstein del ejemplo anterior a partir de la base de
Poincaré-Birkhoff para esta, que como se puede ver fue fundamental. Queda señalar
1.2. ÁLGEBRAS Y MÓDULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 13
que aunque la filtración de orden y la de Bernstein del ejemplo anterior son parecidas,
son en realidad distintas, puesto que la filtración de orden tiene en grado cero al anillo
de polinomios k[x1, . . . , xn] mientras que la de Bernstein solo tiene al campo en grado
cero.
Veamos adicionalmente que toda álgebra graduada es filtrada. Supongamos que A =
⊕
i∈ZAi es un álgebra graduada. Consideremos los espacios vectoriales Fk =
⊕
i≤k Ai.
Claramente Fk ⊆ Fk+1 y la unión es A, como
FkFm =
⊕
i+j≤k+m
AiAj,
y AiAj ⊆ Ai+j, tenemos FkFm ⊆ Fk+m. De este modo Fk es una filtración de A.
Definición 1.23. Sea A una k-álgebra filtrada por subespacios Ai, i ∈ Z, y sea M
un A-módulo derecho. Una filtración de M es una sucesión de subespacios
· · · ⊆Mi−1 ⊆Mi ⊆Mi+1 ⊆ · · · , i ∈ Z,
tal que
MiAj ⊆Mi+j para todo i, j ∈ Z y M =
⋃
i∈Z
Mi.
La filtración es finita si cada uno de los espacios vectoriales Mi son de dimensión
finita y es discreto si Mi = 0 para todo i ≤ n0, y para algún entero n0. El k-espacio
vectorial
gr(M) =
⊕
i∈Z
Mi/Mi−1,
con una estructura de gr(A)-módulo derivada de la regla
[m+Mi−1] · [a+ Aj−1] = [ma+Mi+j−1],
es llamado el módulo graduado asociado gr(M)gr(A).
Nuevamente observemos que si el módulo graduado asociado de un módulo discre-
tamente filtrado es finitamente generado, entonces el módulo original es también
finitamente generado.
Lema 1.24. Sea A una k-álgebra finitamente generada con una filtración {Ai}i∈Z, y
sea M un A-módulo derecho filtrado con filtración {Mi}i∈Z. Entonces
GKdim(gr(M)gr(A)) ≤ GKdim(MA).
14 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
Demostración. Sea W un subespacio de dimensión finita de gr(A) que contiene al 1,
y sea F un subespacio de dimensión finita de gr(M). Entonces existe un espacio de
dimensión finita V de A que contiene al 1 y un subespacio de dimensión finita E de
M tales que W ⊆ gr(V ) y F ⊆ gr(E). Entonces
FW n ⊆ gr(E)gr(V )n ⊆ gr(E)gr(V n) ⊆ gr(EV n).
Como
gr(EV n) =
⊕
i∈Z
((EV n ∩Mi) +Mi−1)/Mi−1
∼=
⊕
i∈Z
(EV n ∩Mi)/(EV
n ∩Mi−1) ∼= EV n,
y como dimk(EV
n) < ∞, se sigue que dimk(FW
n) ≤ dimk(EV
n) para todos los
enteros no negativos n, luego el resultado se sigue de la definición de la dimensión de
Gelfand-Kirillov.
Proposición 1.25. Sea A una k-álgebra con filtración finita {Ai}i∈Z tal que gr(A)
es finitamente generado, y sea M un A-módulo con una filtración finita discreta
M = {Mi}i∈Z tal que gr(M)gr(A) es finitamente generado. Si dM(n) := dimkMn
para n ∈ N, entonces
G(gr(M)) = G(M) = G(dM) = G(dgr(M)),
y de aquí en particular
GKdim(gr(M)gr(A)) = GKdim(MA) = ĺım sup logn dM(n).
Demostración. Por hipótesis existe un numero natural q tal que Mi = 0 para todo
i < −q. Así
gr(M)(n) =
n
⊕
i=−n
Mi/Mi−1
∼= Mn,
como k-módulos, para todo número natural n ≥ q, impicando que dM ∼ dgr(M),
y consecuentemente que G(gr(M)) = G(dgr(M)). Por el Lema 1.20 (b) tenemos que
G(gr(M)) = G(dgr(M)). Se sigue de la hipótesis que A es un álgebra finitamente
generada y queM es un A-módulo derecho finitamente generado. Sea V un subespacio
generador de dimensión finita para A que contiene al 1, y sea E un subespacio de
1.2. ÁLGEBRAS Y MÓDULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 15
dimensión finita que genera a M como A-módulo derecho. Existe un número natural
p tal que V ⊆ Ap y E ⊆Mp. Así
EV n ⊆MpA
n
p ⊆MpAnp ⊆M2pn para todo n ≥ 1,
de modo que
dV,E(n) ≤ dM(2pn); de aquí G(M) ≤ G(dM).
y de la prueba del Lema 1.24, se sigue que G(gr(M)) ≤ G(M), pues
G(gr(M)) ≤ G(M) ≤ G(dM) = G(dgr(M)) = G(gr(M)).
Poniendo todo esto junto se sigue la afirmación.
Lema 1.26. Sea A una k-álgebra con una filtración {Ai}i∈Z, y sea M un A-módulo
derecho fintamente generado, M = EA, donde E es un subespacio de dimensión finita
de M . Entonces gr(M)gr(A), el módulo graduado asociado con la filtración {EAi}i∈Z,
es finitamente generado.
Demostración. Sea x + EAi−1 ∈ EAi/EAi−1 un elemento homogéneo de gr(M). Si
los elementos e1, . . . , en constituyen una base para el espacio vectorial E ⊂ EA0,
entonces x =
∑n
j=1 ejai,j con aij ∈ Ai. De aquí
x+ EAi−1 =
n
∑
j=1
(ej + EA−1)(aij + Ai−1),
mostrando que los elementos ej + EA−1, 1 ≤ j ≤ r, generan a gr(M) como un
gr(A)-módulo.
Definición 1.27. Sea A una k-álgebra con filtración {Ai}i∈Z, y sea M un A-módulo
derecho finitamente generado, M = EA, para un subespacio de dimensión finita E
de M . La filtración {EAi}i∈Z es una filtración estándar de M .
Como en la Proposición 1.25, el comportamiento del crecimiento de dos filtraciones
finitas discretas con módulos graduados asociados finitamente generados es esencial-
mente el mismo para cualquier A-módulo, mientras que A sea finitamente filtrado y
gr(A) sea finitamente generado. De hecho, dos filtraciones del A-módulo derecho M
están siempre cercanamente relacionadas, y ellas son equivalentes en el siguiente
sentido.
16 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
Definición 1.28. Sea M = {Ni}i∈Z y N = {Ni}i∈Z dos filtraciones del A-módulo
derecho M , donde A es una k-álgebra filtrada. Entonces M y N son equivalentes
si existe un número natural n tal que
Ni ⊆Mi+n y Mi ⊆ Ni+n para todo i ∈ Z.
El siguiente bien conocido resultado es explícito.
Proposición 1.29. Sea A = {Ai}i∈Z una filtración finita y discreta de la k-álgebra A,
y sean M = {Mi}i∈Z y N = {Ni}i∈Z dos filtraciones finitas y discretas del A-móduo
derecho M . Si grM(M)gr(A) es finitamente generado, entonces existe un número na-
tural n tal que Mi ⊆ Ni+n para todo i ∈ Z.
Demostración. Como todas las filtraciones asumidas son discretas, existe un natural
q tal que
As = 0 y Ns =Ms = 0 para todos los enteros s < −q.
Como grM(M)gr(A) es finitamente generado, existe un entero r ≥ q tal que
grM(M)(r) =
r
⊕
j=−q
Mj/Mj−1
es un subespacio generador de dimensión finita. Como Mr es de dimensión finita,
existe un número natural n tal que Mr ⊆ Nn−q. Así, si −q ≤ i ≤ r, entonces
n− q ≤ n+ i y consecuentemente
Mi ⊆Mr ⊆ Nn−q ⊆ Nn+i.
Ahora para el mismo r fijo, sea i > r y asumamos que Mj ⊆ Nj+n se cumple para
j < i. Como grM(M)(r) genera a grM(M) como un gr(A)-móduo derecho, tenemos
que
Mi/Mi−1 =
r
∑
j=−q
(Mj/Mj−1)(Ai−j/Ai−j−1),
y de aquí que
Mi =
r
∑
j=−q
MjAi−j +Mi−1 ⊆
r
∑
j=−q
Nj+nAi−j +Ni−1+n ⊆ Ni+n.
E inductivamente tenemos el resultado.
1.2. ÁLGEBRAS Y MÓDULOS GRADUADOS Y FILTRADOS 17
Corolario 1.30. Sea A una k-álgebra filtrada finita discreta, y sea M un A-módulo
derecho. Entonces dos filtraciones finitas discretas de M son equivalentes siempre que
sus módulos graduados asociados sean gr(A)-módulos derechos finitamente generados.
En particular se sigue del precedente corolario y del Lema 1.26 que cualquier filtración
del tipo de arriba, de un A-módulo finitamente generado es equivalente a la filtra-
ción estándar. En conexión con esto presentamos un útil resultado que necesitaremos
después.
Lema 1.31. Sea A = ⊕∞
i=0Ai una k-álgebra, generada como un álgebra por A1, y
sea M = ⊕∞
i=0Mi un A-módulo derecho graduado con un sistema de generadores
homogéneos {mλ}λ∈Λ que satisface que deg(mλ) ≤ n0 para algún número natural n0.
Entonces
Mn+j =MnAj para todo n ≥ n0 y todo 0 ≤ j ∈ Z.
Demostración. Sean n ≥ n0, y m ∈ Mn+1. Entonces m =
∑
λ∈Λ0
mλaλ para un
subconjunto finito Λ0 de Λ, y los elementos aλ ∈ A pueden ser asumidos como ho-
mogéneos de grado n+ 1− deg(mλ). Como el álgebra A es generada por A1 y como
deg(aλ) > 0 (pues deg(mλ) ≤ n0 ≤ n) para cada λ ∈ Λ0, cada aλ es suma de térmi-
nos de la forma b′b con b ∈ A1 y otro elemento b′ ∈ A que es homogéneo de grado
n−deg(mλ). Así m ∈MnA1, de donde Mn+1 =MnA1, y de esto se sigue la afirmación
por inducción.
Teorema 1.32 (Tauvel). Sea A = {Ai}i∈Z una filtración finita discreta de la k-
álgebra A, tal que la álgebra graduada asociada grA(A) es finitamente generada y
noetheriana derecha. Entonces
GKdim(M) = máx{GKdim(N),GKdim(P )}
para toda sucesión exacta 0 → N →M → P → 0 de A-módulos derechos finitamente
generados.
Demostración. Como MA es finitamente generado, M = EA para algún subespacio
de dimensión finita E. Sea M = {EAi}i∈Z la resultante filtración estándar. Por el
Lema 1.26 el módulo graduado asociado gr(A) es finitamente generado y de aquí
noetheriano pues gr(A) es noetheriano por hipótesis. Las filtraciones inducidas
N = {Mi ∩N}i∈Z y P = {(Mi +N)/N}i∈Z
nos da la sucesión exacta
0 → grN (N) → grM(M) → grP(P ) → 0
18 CAPÍTULO 1. CRECIMIENTO DE ÁLGEBRAS
de gr(A)-módulos. Como grM(M) es noetheriano, ambos grN (N) y grP(P ) son fini-
tamente generados. Notemos que todas las filtraciones son finitas y que
dM(n) = dimk(Mn) = dimk(Mn ∩N) + dimk((Mn +N)/N)
= dN (n) + dP(n)
para cualquier número natural n. Se sigue del Lema 1.7(y de la prueba de la Propo-
sición 1.11) que
ĺım sup logn dM(n) = máx{ĺım sup logn dN (n), ĺım sup logn dP(n)}.
Ahora la Proposición 1.25 nos da
GKdim(MA) = GKdim(grM(M)gr(A)) = ĺım sup logn dM(n)
= máx{ĺım sup logn dN (n), ĺım sup logn dP(n)}
= máx{GKdim(grN (N)gr(A)),GKdim(grP(P )gr(A))}
= máx{GKdim(NA),GKdim(PA)}.
Capı́tulo 2
Álgebras Casi Conmutativas
Habiendo desarrollado en el capítulo anterior algunas propiedades generales de la
dimensión de Gelfand-Kirillov ahora nos dirigimos al estudio de una clase especial
de álgebras llamadas casi conmutativas. Estas son aquellas que tienen una filtración
tal que el álgebra graduada asociada resulta conmutativa. Definimos el número de
Bernstein e(M) de un módulo M a partir del polinomio de Hilbert-Samuel y hacemos
ver que una vez fijada la filtración para A este no depende de la filtración elegida para
M . Es importante adelantar que cuando A es casi conmutativa y M es finitamente
generada sobre A, el número e(M) acota la longitud de las cadenas de submodulos
propios de M .
Definición 2.1. Una k-álgebra A es casi conmutativa si existe una filtración
A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ Ai ⊆ · · · ⊆
∞
⋃
i=0
Ai = A
tal que
(i) A0 = k.
(ii) A1 es de dimensión finita y Ai = Ai
1 para todo i ≥ 1.
(iii) El álgebra graduada asociada
gr(A) =
∞
⊕
i=0
Ai/Ai−1
es conmutativa.
19
20 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS CASI CONMUTATIVAS
Proposición 2.2. Sea A una k-álgebra la cual es casi conmutativa con respecto a
la filtración A = {Ai}
∞
i=0. Entonces grA(A) es un álgebra conmutativa finitamente
generada noetheriana.
Demostración. Como un álgebra gr(A) es generada por A1/A0, y cada Ai/Ai−1 es
finitamente generado por las palabras de longitud i, existe un morfismo de k-álgebras
graduadas del álgebra simétrica S = S(A1/A0) sobre gr(A). La afirmación de que
gr(A) es noetheriano se sigue del Teorema de la Base de Hilbert pues S es noetheriano.
En el siguiente capítulo consideraremos al álgebra de Weyl como un ejemplo de ál-
gebra casi conmutativa, más ahora mismo damos un resultado que nos caracteriza a
estas álgebras.
Teorema 2.3. Una k-álgebra A es casi conmutativa si y sólo si esta es imagen
homomorfa del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita
sobre el campo k.
Demostración. Supongamos que A es casi conmutativa con respecto a la filtración
{Ai}i∈N, con A0 = k y A1 un subespacio generador de dimensión finita para A y
que el álgebra graduada asociada gr(A) es conmutativa. Sean x, y elementos de A1.
Entonces
0 = [x+ A0] · [y + A0]− [y + A0] · [x+ A0]
= [(xy − yx) + A1] ∈ A2/A1,
es decir xy − yx ∈ A1. Así el espacio vectorial de dimensión finita es dotado con una
estructura natural de álgebra de Lie g. De la propiedad universal del la envolvente
U(g) y del hecho que A es generado por A1 = g obtenemos que el encaje canónico de
g en A puede extenderse a un único morfismo de k-álgebras de U(g) en A.
De manera recíproca supongamos que existe un morfismo de k-álgebras φ del álgebra
envolvente universal U(g) de un álgebra de Lie de dimensión finita g en A. Si Un,
n = 0, 1, . . . , denotan el n-ésimo subespacio de filtración usual de U(g), entonces los
subespacios An := φ(Un) dan una filtración discreta de A. Observemos que
A0 = φ(U0) = φ(k) = k
y A1 = φ(U1) es un subespacio generador de dimensión finita para A pues U1 es uno
para U(g). Para cada n la función φ induce un morfismo de k-módulos de Un/Un−1 en
21
An/An−1, y estos morfismos combinados dan un morfismo suprayectivo de k-módulos
graduados
gr(φ) : gr(U(g)) → gr(A).
Por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (vea Dixmier [8], capítulo 2), gr(U(g)) es
isomorfo al álgebra simétrica sobre el espacio vectorial g, por lo que el resultado se
puede seguir si es posible demostrar que gr(φ) es un morfismo de anillos. Para esto
sea
u = [u+ Um−1] y v = [v + Un−1]
elementos homogéneos no cero de gr(U(g)) de gradosm y n respectivamente. Entonces
u · v = [uv + Um+n−1],
y tenemos que
gr(φ)(u · v) = [φ(uv) + Am+n−1]
= [φ(u)φ(v) + Am+n−1]
= [φ(u) + Am−1] · [φ(v) + An−1]
= gr(φ)(u) · gr(φ)(v),
lo cual termina con la prueba.
Sea A una k-álgebra la cual es casi conmutativa con respecto a la filtración A =
{Ai}i∈N, y sea M el A-módulo derecho con filtración finita M = {Mi}i∈N tal que el
módulo graduado asociado grM(M) es finitamente generado. Para valores suficiente-
mente grandes de n, la función
dM(n) = dimkMn
= dimk(M0 ⊕M1/M0 ⊕ · · · ⊕Mn/Mn−1)
= dgrM(M)(n)
es un polinomio en n con coeficientes racionales, llamado el polinomio de Hilbert-
Samuel de M (con respecto a las filtraciones A y M). Si dM(n) es escrito (Lema 1.5)
como
dM(n) = ad
(
n
d
)
+ ad−1
(
n
d− 1
)
+ · · ·+ a1
(
n
1
)
+ a0
entonces e(M) = eA,M(M) := ad es llamado el número de Bernstein de M .
Se sigue de la Proposición 1.25 que GKdim(MA) es el grado de dM. De modo que,
mientras el aspecto del polinomio dM(n) puede depender de A y M, el grado del
22 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS CASI CONMUTATIVAS
polinomio de Hilbert-Samuel de M no depende de las filtraciones elegidas para A y
M , siempre que sean como las especificadas en la Proposición 1.25. Notemos que el
número de Bernstein también puede ser obtenido como
(coeficiente lider de dM(n)) · (GKdim(M))!
Dadas dos filtraciones M = {Mi}i∈N y N = {Ni}i∈N de M tales que los módulos
grM(M) y grN (M) son finitamente generados, entonces M y N son equivalentes por
el Corolario 1.30. Así existe un número natural q tal que
Nn ⊆Mn+q y Mn ⊆ Nn+q para todo n ∈ N.
Si eM(M) y eN (M) son los respectivos números de Bernstein, entonces para valores
suficientemente grandes de n tenemos que
dN (n) = eN (M)
(
n
d
)
+ (términos de grado < d)
=
eN (M)
d!
nd + (términos de grado < d)
≤ dM(n+ q) = eM(n)
(
n+ q
d
)
+ (términos de grado < d)
=
eM(M)
d!
nd + (términos de grado < d),
y de esto obtenemos que eN (M) ≤ eM(M). Un argumento simétrico nos proporciona
la desigualdad opuesta, de modo que eN (M) = eM(M). Así el número de Bernstein
no depende de la filtración particular elegida para M . Consecuentemente, debere-
mos denotar el número de Bernstein simplemente por e(M). Aunque se debe hacer
referencia a la filtración de A.
Sea A una k-álgebra casi conmutativa, y sea
0 → L→M
φ
→ N → 0
una sucesión exacta corta de A-módulos finitamente generados. Sabemos del Teorema
de Tauvel (Teorema 1.32) que
GKdim(M) = máx{GKdim(L),GKdim(N)},
23
pero la prueba del teorema muestra que se puede decir mas. Si M = {Mn}n∈N es
una filtración estándar de M o de hecho cualquier filtración para la cual el módulo
graduado asociado es finitamente generado, y si
L = {L ∩Mn}n∈N y N = {φ(Mn)}n∈N
son las filtraciones inducidas de L y N respectivamente, entonces
dM(n) = dL(n) + dN (n) para todo n
según la prueba del Teorema 1.32 (Tauvel). Como dM, dL, dN son polinomios en n,
la exactitud de la dimensión de Gelfand-Kirillov para A-módulos finitamente genera-
dos se sigue fácilmente, y la parte (c) del siguiente teorema se cumple también. Sin
embargo, la filtración L inducida sobre L por la filtración estándar M sobre M no
es necesariamente una filtración estándar.
Teorema 2.4. Sea A una k-álgebra casi conmutativa, y
0 → L→M
φ
→ N → 0
una sucesión exacta corta de A-módulos derechos finitamente generados. Entonces
(a) Existen filtraciones estándar L, M y N de L, M y N respectivamente, tales
que dM(n) = dL(n) + dN (n) para todo n ∈ N.
(b) GKdim(M) = máx{GKdim(L),GKdim(N)}.
(c) Una de las siguientes relaciones se cumple
GKdim(L) < GKdim(M) = GKdim(N), e(M) = e(N).
GKdim(N) < GKdim(M) = GKdim(L), e(M) = e(L).
GKdim(L) = GKdim(M) = GKdim(N), e(M) = e(L) + e(N).
Demostración. Como las funciones dL, dM, y dN son polinomios en n para valores
suficientemente grandes de n, es claro que (b) y (c) se siguen de (a). Sea A = {Ai}i∈Z
la filtración de A con respecto a la cual es A es casi conmutativa, sea E un subespacio
generador de dimensión finita de M , y definamos
Mn := EAn, Ln := L ∩Mn y Nn := φ(Mn) = φ(E)An
Aunque M = {Mn}n∈N y N = {Nn}n∈N son filtraciones estándar para M y N respec-
tivamente, L = {Ln}n∈N , no es en general una filtración estándar para L. Procedemos
24 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS CASI CONMUTATIVAS
a construir una nueva filtración estándar para M tal que ambas filtraciones inducidas
sean también estándar, lo cual concluirá el argumento. Notemos que para cada n
tenemos la sucesión exacta
0 → Ln →Mn → Nn → 0
de k-módulos; de modo que obtenemos la sucesión exacta
0 → grL(L) → grM(M) → grN (N) → 0
de gr(A)-módulos derechos graduados. Como gr(A) es un anillo noetheriano, y como
grM(M) es un gr(A)-módulo finitamente generado, por el Lema 1.26, grM(M) es
noetheriano; por lo tanto grL(L) es finitamente generado por digamos
L0 ⊕ L1/L0 ⊕ · · · ⊕ Lm/Lm−1.
Entonces
Ln/Ln−1 = (Lm/Lm−1) · (An−m/An.m−1) para todo n ≥ m,
por el Lema 1.31; de esto
Ln = LmAn−m + Ln−1,
y consecuentemente
Ln = LmAn−m para n ≥ m,
inductivamente. Notemos que Lm es un espacio generador de dimensión finta para L.
Ahora elegimos nuevas filtraciones para M, N , y L mediante definir
M∗
0 =Mm, N
∗
0 = φ(Mm) = φ(M∗
0 ), L
∗
0 = Lm,
y para n ≥ 1,
M∗
n =M∗
0An =Mn+m,
N∗
n = N∗
0An = φ(M∗
n),
L∗
n = L∗
0An = LmAn = Lm+n = L ∩Mm+n = L ∩M∗
n .
Estas son filtraciones estándar, y las filtraciones de L y N son inducidas por la nueva
filtración para M .
25
Corolario 2.5. Sea A una k-álgebra casi conmutativa, y sea M un A-módulo finita-
mente generado con GKdim(M) = d y número de Bernstein e(M). Sea
M =M0 ⊃M1 ⊃ · · · ⊃Mi ⊃Mi+1 ⊃ · · · ⊃Mn
una cadena estrictamente descendente de submodulos con
GKdim(Mi/Mi+1) = d para 0 ≤ i ≤ n− 1.
Entonces
(a) e(M/Mi) =
∑i−1
j=0 e(Mj/Mj+1).
(b) n ≤ e(M).
Demostración. (a) Obtenemos el resultado de la tercera parte del inciso (c) del Teo-
rema 2.2 e inducción sobre i.
(b) Por el Lema 1.5 (d) el número de Bernstein de un módulo no cero es un entero
positivo, de modo que
e(Mj/Mj+1) ≥ 1 para j ∈ {0, . . . , n− 1}.
Así que
n ≤
n−1
∑
j=0
= e(M/Mn) ≤ e(M)
por la parte (a) y Teorema 2.2 (c).
Capı́tulo 3
Álgebras de Weyl
En este capítulo generamos la herramienta necesaria para aplicarla al problema pro-
puesto por Bernstein en el congreso de Amsterdam en 1963. Empezamos por definir
el álgebra de Weyl An, vemos que posee una base de Poncaré-Birkhoff y usamos este
hecho para probar que An es casi conmutativa. Damos a conocer una cota inferior de
la dimensión de Gelfand-Kirillov para los An-módulos y definimos como holonómicos
a aquellos módulos que alcanzan la cota inferior. Adicionalmente vemos que forman
una categoría abeliana. Construimos también un módulo holonómico que es esencial
en la prueba del problema planteado por Bernstein.
A traves de este capítulo k denotara un campo de característica cero y k[X] el ani-
llo de polinomios k[x1, . . . , xn] en n indeterminadas conmutativas sobre k. El anillo
k[X] es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre k. Su álgebra de operadores
lineales es denotada por Endk(k[X]). Recordemos que las operaciones de álgebra en
el anillo de endomorfismos son la adición y la composición de operadores.
Una clase muy importante de álgebra casí conmutativa es el álgebra de Weyl
An = An(k), esta será definida como una subalgebra de Endk(k[X]).
Sean x̂1, . . . , x̂n operadores de k[X] los cuales son definidos sobre un polinomio f ∈
k[X] por la formula x̂i(f) = xi·f . Similarmente, ∂1, . . . , ∂n son los operadores definidos
por ∂i(f) = ∂f/∂xi. Estos son operadores lineales de k[X]. La n-ésima álgebra de
Weyl An es la k-subalgebra de Endk(k[X]) generada por los operadores x̂1, . . . , x̂n y
∂1, . . . , ∂n. Por conveniencia escribimos A0 = k.
Notemos que para n ≥ m, la acción de los operadores de Am sobre k[X] es bien
definida. Así Am es una subalgebra de An de modo natural.
27
28 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
De acuerdo con nuestra definición, los elementos de An son combinaciones lineales
sobre k de monomios en los generadores x̂1, . . . x̂n, ∂1, . . . , ∂n. Sin embargo debemos
ser cuidadosos cuando representemos los elementos de An porque esta álgebra no es
conmutativa. Esto es rápidamente verificado como sigue. Consideremos el operador
∂i · x̂i y apliquemoslo al polinomio f ∈ k[X]. Usando la regla para diferenciación de
un producto, tenemos ∂i · x̂i(f) = xi∂f/∂xi + f . En otras palabras
∂i · x̂i = x̂i · ∂i + 1
donde 1 es el operador identidad. Es mejor reescribir esto usando conmutadores. Si
P,Q ∈ An su conmutador es el operador [P,Q] = P ·Q−Q ·P . Así la expresión de
arriba se convierte en [∂i, x̂i] = 1. Similares cálculos muestran que
[∂i, x̂j] = δi,j · 1 y [∂i, ∂j] = [x̂i, x̂j] = 0, (3.1)
donde 1 ≤ i, j ≤ n y δi,j es la delta de Kronecker: esta es igual a 1 si i = j y cero en
otro caso. Mas aun notemos que esta álgebra que acabamos de definir es isomorfa al
álgebra definida por generadores y relaciones del Ejemplo 1.12.
Una observación final. Hemos denotado al operador multiplicación por xi por el sím-
bolo x̂i. De ahora en adelante, deberemos seguir la convención estándar y escribir xi
para ambas, la variable y el operador correspondiente. Esto nos dará una notación
menos cargada, los resultados a través de este capítulo fueron tomados en su mayoría
de [13].
3.1. Forma Canónica
En esta sección construimos para el álgebra de Weyl una base como k-espacio vec-
torial. Esta base es conocida como base de Poincaré-Birkhoff-Witt. Si un elemento
de An es escrito como una combinación lineal de esta base entonces decimos que este
está en su forma canónica. Por supuesto, para comparar dos elementos en su forma
canónica es suficiente comprar los coeficientes de sus combinaciones lineales.
Es fácil describir la base de P.B.W (para abreviar Poincaré-Birkhoff-Witt) si usamos
notación en multi-índice. Un multi-indice α es un elemento de Nn; digamos α =
(α1, . . . , αn) . Ahora xα significa el monomio xα1
1 · · · xαn
n . El grado de este monomio
es la longitud |α| del multi-índice α, a saber |α| = α1+ · · ·+αn. Notemos que el par
(α, β) de multi-índices en Nn es en si mismo, un multi-índice en N2n, de modo que
toma sentido hablar de su longitud. Definimos el factorial de un multi-índice β ∈ Nn
como β! = β1! · · · βn!. Empezamos este capítulo con un ingenioso lema.
3.1. FORMA CANÓNICA 29
Lema 3.1. Sean σ, β ∈ Nn y supongamos que |σ| ≤ |β|. Entonces δβ(xσ) = β! si
α = β, y cero en otro caso.
Demostración. Vamos a analizar ∂βi
i (xαi
i ) pues el resto de los términos conmutan
(funcionan como constantes), así observemos que
∂βi
i (xαi
i ) = ∂
βi−1
i (
∂xαi
i
∂xi
) = αi∂
βi(xαi−1
i ),
vamos obteniendo αi(αi − 1) · · · , de modo que sucede lo siguiente
si βi > αi para algún i entonces δβ(xσ) es cero,
si βi ≤ αi tenemos
αi(αi − 1)(αi − 2) · · · (αi − βi + 1)xαi−βi
y entonces
∂β1
1 ∂
β2
2 · · · ∂βn
n (xα1
1 · · · xαn
n ) = 0 si algún βi > αi
en resumen si ∂β(xα) 6= 0 entonces αi ≥ βi para todo i, de donde |α| ≥ |β| y de la
hipótesis obtenemos |α| = |β|, y de aquí que α = β.
La siguiente proposición nos proporciona la base de P.B.W.
Proposición 3.2. El conjunto B = {xαδβ : α, β ∈ Nn} es una base de An como un
espacio vectorial sobre k.
Demostración. Veamos que los elementos de B generan el álgebra de Weyl como
espacio vectorial. Consideremos un monomio en los generadores de An. Usando las
relaciones de (3.1), se puede ver que si f ∈ k[X] entonces ∂i · f − f · ∂i = ∂f/∂xi.
Que nos permite llevar todas las potencias de las x′s del lado izquierdo de las ∂′s.
Mediante hacer esto, el monomio termina escrito como una combinación lineal de los
elementos de B.
Ahora la unicidad. Consideremos una combinación lineal finita de elementos de B,
digamos D =
∑
cαβx
α∂β. Debemos mostrar que si algún cαβ es no cero, entonces
D 6= 0. Pero D es operador lineal de k[X]. De aqui D 6= 0 si y sólo si existe un
polinomio f para el cual D(f) 6= 0. Construimos un polinomio tal.
Sea σ un multi-índice, el cual satisface que cαβ 6= 0, para algún índice α, pero que
cαβ = 0 para todos los índices β tales |β| ≤ |σ|. Ahora del Lema 3.1
D(xσ) =
∑
cαβx
α∂β(xσ) = σ!
∑
α
cασx
α.
30 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
Este es no cero porque al menos uno de los coeficientes cασ es no cero por la elección
de σ. Así f = xσ es el polinomio que funciona.
Es tiempo de introducir del grado de un operador. Sea D ∈ An, el grado de D es la
mas grande longitud de los milti-índices (α, β) ∈ Nn × Nn para el cual xα∂β aparece
con coeficiente no cero en la forma canónica de D. Este es denotado por deg(D).
Como con el grado de un polinomio, usamos la convención de que el polinomio cero
tiene grado −∞. Un ejemplo será útil: el grado de 2x1∂2 + x1x
3
2∂1∂2 es 6.
Si D,D′ ∈ An están escritos en su forma canónica, entonces también lo está D +D′,
y uno puede concluir que deg(D + D′) ≤ máx{deg(D), deg(D′)}. Notemos que si
deg(D) 6= deg(D′) entonces tenemos la igualdad en la fórmula de arriba. La fórmula
deg(DD′) = deg(D) + deg(D′) también se cumple, pero la prueba es más difícil,
porque An es no conmutativo. De ahora en adelante denotamos por ei el multi-índice
cuyas entradas son todas cero, excepto la i-ésima entrada, la cual es 1.
Teorema 3.3. El grado satisface las siguientes propiedades; para D,D′ ∈ An
(1) deg(D +D′) ≤ máx{deg(D), deg(D′)}.
(2) deg(DD′) = deg(D) + deg(D′).
(3) deg[D,D′] ≤ deg(D) + deg(D′)− 2.
Demostración. El inciso (1) ha sido probado. Probamos (2) y (3) al mismo tiempo
por inducción sobre deg(D)+deg(D′). Si alguno deg(D) o deg(D′) es cero entonces el
resultado se cumple. Supongamos que deg(D), deg(D′) ≥ 1 y que (2) y (3) se cumplen
siempre que deg(D)+deg(D′) < r. ElijamosD,D′ ∈ An tal que deg(D)+deg(D′) = r.
De (1) vemos que es suficiente probar (2) y (3) para cuando D y D′ son monomios.
Supongamos primero que D = ∂β y D′ = xα con |α|+ |β| = r. Si βi 6= 0, entonces
[∂β, xα] = ∂i[∂
β−ei , xα] + [∂i, x
α]∂β−ei .
Por inducción tenemos que
deg([∂β−ei , xα]) ≤ |α|+ |β| − 3
y que deg([∂i, x
α]) ≤ |α| − 1. De aquí podemos usar la hipótesis de inducción otra
vez para concluir que deg(∂i[∂
β−ei , xα]) y deg([∂i, x
α]∂β−ei) son ≤ |α| + |β| − 2. Por
lo tanto deg([∂β, xα]) ≤ |α|+ |β| − 2. Pero
∂βxα = [∂β, xα] + xα∂β.
3.2. DESIGUALDAD DE BERNSTEIN 31
Como deg(xα∂β) = |α|+ |β| y deg([∂β, xα]) ≤ |α|+ |β| − 2, concluimos que
deg(∂βxα) = deg(xα∂β) = |α|+ |β|.
Ahora sean D = xσ∂β y D′ = xα∂η. Si |α| = |β| = 0 el resultado es como lo anterior.
Supongamos que no es el caso. Hemos visto que ∂βxα = xα∂β+P , donde P = [∂β, xα]
tiene grado ≤ |α|+ |β| − 2. Entonces
DD′ = (xσ∂β)(xα∂η) = xσ(∂βxα)∂η = xσ+α∂β+η + xσP∂η.
Por la hipótesis de inducción deg(xσP∂η) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2. Por lo que
deg(DD′) = deg(xσ+α∂β+η) = deg(D) + deg(D′).
Estos cálculos muestran que
DD′ = xσ+α∂β+η +Q1,
donde deg(Q1) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2. Similarmente, tenemos que
D′D = xσ+α∂β+η +Q2,
donde deg(Q2) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2. De aquí [D,D′] = Q1 −Q2, y de este modo
deg([D,D′]) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2,
lo cual concluye la inducción.
3.2. Desigualdad de Bernstein
Con el fin de usar la herramienta desarrollada en los anteriores capítulos, damos una
filtración particular para An, esta es conocida como la filtración de Bernstein. Esta
usa el grado de un operador en An. Denotamos por Br al conjunto de operadores de
An de grado ≤ r. Estos son espacios vectoriales de An. Es claro de la Proposición 3.2
que
1 ∈ k = B0 ⊆ B1 ⊆ B2 ⊆ · · ·
también es claro gracias a la Proposición 3.2 que An = ∪i∈NBi, mientras que
Bi · Bj ⊆ Bi+j para todo i, j ∈ N,
nos lo proporciona el Teorema 3.3 (2).
Ahora podemos abordar el álgebra graduada Sn := gr(An), asociada a la filtración
de Bernstein B = {Bi}i∈N.
32 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
Teorema 3.4. El álgebra graduada Sn es conmutativa y de aquí An es un álgebra
casi conmutativa.
Demostración. Para i = 1, . . . , n, sean yi = x̄i y yi+n = ∂̄i, haremos la prueba en dos
pasos.
(1) Sn es generada por y1, . . . , y2n como una k-álgebra.
Es suficiente probar esto para los elementos homogéneos de Sn. Pero un elemento
homogéneo de Sn es de la forma d̄ = [d+Br−1], para algún elemento d ∈ An de grado
r. Ahora d es combinación lineal de monomios xα∂β con |α|+ |β| ≤ r. Si |α|+ |β| = r,
entonces
xα∂β = [xα∂β +Br−1] = (yα1
1 · · · yαn
n )(yβ1
n+1 · · · y
βn
2n ).
Así d̄ es combinación lineal de monomios en y1, . . . , y2n de grado r, como queriamos
probar.
(2) Sn es un anillo conmutativo.
Como Sn es generado por y1, . . . , y2n solo necesitamos mostrar que estos elementos
conmutan en Sn. Para i ∈ {1, . . . , n} tenemos que yiyi+n = xi∂i = [xi∂i + B1] y
yi+nyi = ∂ixi = [∂ixi +B1]. Como ∂ixi = xi∂i + 1, tenemos que
∂ixi = xi∂i.
Así yiyi+n = yi+nyi. También podemos ver que yi conmuta con yj cuando i 6= i + n,
pues los correspondientes elementos en An conmutan.
De hecho se puede probar que Sn es isomorfo al anillo de polinomios sobre k en 2n
variables. Los dos pasos en la prueba del anterior teorema nos permiten definir un
morfismo de anillos suprayectivo
φ : k[z1, . . . , z2n] → Sn por la regla zi 7→ yi,
como los y′s tienen grado 1 en Sn, φ es un morfismo graduado de k-álgebras y envía
base en base en cada grado, de donde obtenemos la inyectividad.
Sea M el An-módulo An. Vamos a calcular el polinomio de Hilbert dB para la fil-
tración de Bernstein B de An, así debemos determinar la dimensión de Br. Por la
Proposición 3.2 los monomios xα∂β con |α|+ |β| ≤ r forman una base para Br como
k-espacio vectorial. De modo que es suficiente contar los elementos de esta base. Para
hacer esto debemos contar las soluciones no negativas de la ecuación
α1 + · · ·+ αn + β1 · · ·+ βn ≤ r.
3.2. DESIGUALDAD DE BERNSTEIN 33
El cual como un ejercicio en combinatoria puede verse que existen
(
2n+ r
2n
)
soluciones tales. De aquí,
dB(t) =
(
2n+ t
2n
)
,
como polinomio en t tiene grado 2n y coeficiente líder 1/(2n)!. Por lo tanto
GKdim(An) = 2n y eB(An) = 1
.
Observación 3.5. Sea M un An-módulo no cero, si M es generado por u1, . . . , us
entonces la filtración Γ de M definida por Γn =
∑s
i=1Bnui es una filtración estándar
como en la Definición 1.27.
Lema 3.6. Sea M un An módulo finitamente generado con filtración Γ con respecto
a B. Supongamos que Γ0 6= 0. La k-transformación lineal
φ : Bi → Homk(Γi,Γ2i)
la cual envía a ∈ Bi a la transformación lineal φa(u) = au es inyectiva.
Demostración. La afirmación del lema es equivalente a que aΓi 6= 0 siempre que
0 6= a ∈ Bi. Probamos esto por inducción sobre i. Si i = 0, entonces B0 = k y la
condición se convierte en Γ0 6= 0. Lo cual es cierto por hipótesis.
Supongamos que si 0 6= b ∈ Bi−1 entonces bΓi−1 6= 0. Sea a un elemento no cero de
Bi. Si aΓi = 0, entonces a 6∈ k. Por el inciso (3) del Teorema 3.3 [a, ∂i] es un elemento
no cero de Bi−1. Como aΓi = 0, concluimos que
[a, ∂i]Γi−1 ⊆ a∂iΓi−1.
Pero ∂iΓi−1 ⊆ Γi, de aqui [a, ∂i]Γi−1 = 0, lo cual contradice la hipótesis de inducción.
El siguiente teorema proporciona una cota inferior para la dimensión de Gelfand-
Kirillov de los An-módulos.
Teorema 3.7 (Desigualdad de Bernstein). Si M es un An-módulo finitamente gene-
rado no cero , entonces GKdim(M) ≥ n.
34 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
Demostración. Elijamos un conjunto de generadores para M y sea Γ la filtración
estándar obtenida por dar a cada uno de estos generadores el grado cero como en la
Observación 3.5. Entonces Γ0 6= 0. Sea dΓ(t) el correspondiente polinomio de Hilbert.
Por el Lema 3.6, Bi puede ser encajado en Homk(Γi,Γ2i). En
dimkBi ≤ dimk(Homk(Γi,Γ2i)).
Pero Homk(Γi,Γ2i) tiene dimensión dimkΓi ·dimkΓ2i. Por lo que para i suficientemente
grande tenemos que dimkBi ≤ dΓ(i)dΓ(2i).
Por otro lado, dimkBi =
(
i+ 2n
2n
)
es un polinomio en i de grado 2n. Por lo tanto,
como polinomio en i, dΓ(i)dΓ(2i) debe tener grado ≥ 2n. Pero el grado de dΓ(i)dΓ(2i)
es 2GKdim(M). Así GKdim(M) ≥ n.
Un An-módulo finitamente generado es holonómico si este es cero o si tiene di-
mensión de Gelfand-Kirillov n. Por el teorema anterior esta es la mínima dimensión
posible de un An-módulo no cero. Hasta este punto sabemos que k[x1, . . . , xn] es ho-
lonómico, también sabemos que An mismo no es holonómico ya que tiene dimensión
2n. Veamos que se puede decir mas de esta clase de módulos sobre An. Del teorema
anterior, Lema 1.10 y Proposición 1.11 se sigue que;
1) Submodulos y cocientes de An-módulos holonómicos son holonómicos,
2) Sumas finitas de An-módulos holonómicos son holonómicos.
es decir, los módulos holonómicos forman una categoría abeliana. Del hecho que An es
un álgebra casi conmutativa de la Proposición 2.2 y del siguiente lema obtenemos que
estos módulos son noetherianos, mientras que el Corolario 2.5 nos dice que también
son artinianos. De todo esto la categoría abeliana de módulos holonómicos es una
categoría de longitud finita y en consecuencia Krull-Schmidt, esto es; todo objeto se
escribe en forma única como una suma de inescindibles. Uno de los objetivos en la
teoría de módulos sobre An es conocer a los módulos irreducibles y mas en general a
los inescindibles. Aunque esto en general no se sabe se tienen algunos métodos para
construir familias de módulos holonómicos (vea [13] capítulo 10).
Lema 3.8. Sea M un An-módulo no cero y consideremos la filtración estándar
{V n}i∈N de An, donde V es el subespacio generado por {1, x1 . . . xn, y1, . . . , yn} el
cual es un subespacio generador. Suponga que existen c > 0, e ∈ Z y una filtración
M0 ⊆M1 ⊆ · · · ⊆Mr ⊆Mr+1 ⊆ · · · ⊆M con MrV
s ⊆Mr+s,
3.2. DESIGUALDAD DE BERNSTEIN 35
tal que
dimk(Mr) ≤ e ·
(
r
n
)
+ c ·
n−1
∑
i=0
(
r
i
)
para todo r. Entonces M como un An-módulo tiene longitud finita acotada por e.
Demostración. Sea N cualquier An-submodulo finitamente generado de M , y sea N0
un subespacio generador de dimensión finita para N . Definamos Nr = N0V
r. Existe
un entero m talque N0 ⊆Mm; de modo que
Nr ⊆MmV
r ⊆Mm+r para cada r ≥ 0.
de aqui y de la conocida identidad
(
n+ 1
j
)
=
(
n
j − 1
)
+
(
n
j
)
obtenemos
dimk(Nr) ≤ dimk(Mm+r) ≤ e ·
(
r +m
n
)
+ c ·
n−1
∑
i=0
(
r +m
i
)
≤ e ·
(
r
n
)
+ b ·
n−1
∑
i=0
(
r
i
)
para algún entero positivo b. Así GKdim(N) ≤ n y e(N) ≤ e. Por el Corolario 2.5
cualquier cadena de submodulos de N tiene a lo mas e factores de dimensión de
Gelfand-Kirillov n. Como la dimensión de Gelfand-Kirillov de cualquier An-módulo
no cero es al menos n por el Teorema 3.7 se sigue que N tiene longitud finita acotada
por e. Ahora N es un submodulo finitamente generado arbitrario de M ; de modo que
M debe tener longitud finita que no excede a e.
Observemos que este teorema no asume que M es finitamente generado, de hecho
podemos ver que M es un An-módulo de dimensión n cuyo numero de Bernstein no
excede a e, y mas aun M es finitamente generado.
La importancia del lema anterior radica principalmente en la construcción de un
módulo holonómico particular, ya que en la demostración del teorema de Bernstein
(en el capítulo 4 de este trabajo) haremos uso de que este módulo holonómico es de
longitud finita. Construimos este módulo a continuación. Sea k(X) = k(x1, . . . , xn) el
campo de funciones racionales. Podemos extender la acción de An sobre el anillo de
polinomios k[X] al campo de funciones racionales. Las x′is continúan actuando por
36 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
multiplicación. La acción de ∂i sobre la función racional f/g es definida por la regla
de diferenciación de cocientes, a saber
∂i(f/g) = (∂(f)g − f∂i(g))/g
2.
Cálculos de rutina nos llevan a ser que esta acción satisface las propiedades requeridas.
Supongamos que un polinomio p es elegido en k[X]. Sea k[X, p−1] el conjunto de
funciones racionales de la forma f/pr, donde f es un polinomio. Notemos que la
derivada parcial de f/pr tiene denominador p2r. De aquí estas funciones racionales
son preservadas por diferenciación parcial y por multiplicación polinomial. En otras
palabras, k[X, p−1] es un An-submodulo de k(X). Empezamos con un polinomio p ∈
k[X]. Sea s una nueva variable y k(s) extensión trascendental simple de k. Vamos a
construir un modulo de dimensión n sobre el anillo An(k(s)), donde k(s) es el campo
de funciones racionales sobre s. El generador de este módulo será denotado por ps.
Este es un símbolo formal, sobre el cual actúa ∂j por
∂j · p
s = sp−1∂p/∂xj · p
s.
Se sigue de la fórmula que An(k(s))p
s es un An(k(s))-submodulo de k(s)[X, p−1]ps.
Ahora definimos un automorfismo τ de k(s)[X, p−1]ps por la fórmula
τ(sips) = (s+ 1)ip · ps.
Notemos que este es An(k)-lineal, pero no An(k(s))-lineal, más aún tiene inversa
ϕ(sips) = (s − 1)ip−1 · ps. Cambiaremos nuestra notación haciendo F = ps. Así la
acción de An(k(s)) sobre k(s)[X, p−1]F se puede escribir para a ∈ k(s)[X, p−1] como
∂i(aF ) =
∂a
∂xi
F + sa
∂p
∂xi
p−1F,
mientras que ϕ(siF ) = (s− 1)ip−1F .
Lema 3.9. El An(k(s))-módulo M = k(s)[X, p−1]F tiene longitud finita.
Demostración. Esto es establecido por mostrar que M tiene una filtración del tipo
del Lema 3.8. Supongamos que deg(p) = d como polinomio en x1, . . . , xn, y para cada
r ≥ 0, definamos
Γr = {gp−rF : g ∈ k[X] con deg(g) ≤ (d+ 1)r}.
3.2. DESIGUALDAD DE BERNSTEIN 37
Veamos que Γ = {Γr}i∈N es una filtración para M compatible con la filtración están-
dar de An(k(s)). Supongamos que deg(g) ≤ (d+ 1)r. Como
gp−r = (gp)p−(r+1) y deg(gp) ≤ (d+ 1)r + d < (d+ 1)(r + 1),
se sigue que Γr ⊆ Γr+1. La multiplicación por xi incrementa el grado de g en 1, así
xi(gp
−rF ) = xigpp
−(r+1)F ∈ Γr+1.
Sea gp−rF ∈ Γr, de modo que deg(g) ≤ (d+ 1)r, y consideremos
∂i(gp
−rF ) =
∂(gp−r)
∂xi
F + sgp−r ∂p
∂xi
p−1F
= (
∂g
∂xi
p−r − rgp−r−1 ∂p
∂xi
)F + sg
∂p
∂xi
p−r−1F
= (
∂g
∂xi
p+ (s− r)g
∂p
∂xi
)p−r−1F.
El grado de la expresión en el parentesis es menor o igual que (d+ 1)(r + 1), y así
∂i(gp
−rF ) ∈ Γr+1.
Si gp−rF es un elemento arbitrario de M con deg(g) = l, entonces
gp−rF = (gpl)p−r−lF ∈ Γr+l; de modo que M = ∪∞
r=0Γr.
Ahora, dimk(Γr) no puede exceder al número de monomios en x1, . . . , xn de grado a
lo mas (d+ 1)r, que es
dimk(Γr) ≤
(
(d+ 1)r + n
n
)
≤ (d+ 1)n ·
(
r
n
)
+ c
n−1
∑
i=0
(
r
i
)
,
para algún entero positivo c. Así M tiene dimensión n y longitud finita, gracias al
Lema 3.8.
El siguiente corolario es el eje crucial en la demostración del teorema de Bernstein
ya que nos permite relacionar ideas de la teoría de distribuciones con la herramienta
que hemos generado hasta ahora.
38 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS DE WEYL
Corolario 3.10. Sea p ∈ k[X]. Existe un polinomio B(s) ∈ k[s] y un operador
diferencial D(s) en el anillo de polinomios An(k)[s] tal que
B(s)p−1F = D(s)F
Demostración. El An(k(s))-módulo k(s)[X, p−1]F es de dimensión n y de longitud
finita por el Lema anterior. Como An(k(s))F es submodulo de k(s)[X, p−1]F este
tambien es de dimensión n y de longitud finita. Así la sucesión descendente
An(k(s))F ⊇ An(k(s))pF ⊇ An(k(s))p
2F ⊇ . . .
debe estabilizarse. Esto significa que existe r > 0 tal que
prF ∈ An(k(s))p
r+1F.
Aplicando ϕr+1 a ambos lados de la expresión obtenemos
p−1F ∈ An(k(s))F.
Ahora, multiplicando por los denominadores concluimos que existe un polinomio
B(s) ∈ k[s] tal que B(s)p−1F ∈ An(k)[s]F , que es justo lo que queríamos probar.
Capı́tulo 4
Distribuciones y el Problema de Bernstein
Para beneficio del lector damos un breve panorama sobre la teoría de distribuciones
esperando que esto pueda clarificar mejor las ideas usadas en el planteamiento del pro-
blema de Bernstein. Los primeros enunciados son para la existencia de las funciones
de prueba, abordamos la convolución como un recurso para probar una bien conocida
propiedad de las distribuciones definidas por medio de integrales, para luego abordar
de lleno este importante concepto del análisis funcional, y llegar mejor preparados al
problema de Bernstein. Donde hacemos uso de resultados clave desarrollados en los
capítulos anteriores.
La teoría de distribuciones libera al calculo diferencial de algunas dificultades que
surgen por la existencia de funciones que no son diferenciables. Lo que se hace es ex-
tenderlas a una clase de objetos (llamados distribuciones o funciones generalizadas,
para los siguientes resultados ver [9]) la cual es mucho mas grande que la clase de
funciones diferenciables a los cuales el calculo aplica en su forma original.
Para un subconjunto abierto Ω ⊆ Rn denotaremos por Cn(Ω) al espacio de las fun-
ciones continuas n-veces diferenciables complejo valuadas en Ω, con n un entero no
negativo, definimos
C∞(Ω) =
∞
⋂
n=0
Cn(Ω)
Definición 4.1. Si u ∈ C(Ω) entonces el soporte de u, denotado supp u es la cerra-
dura en Ω del conjunto {x ∈ Ω : u(x) 6= 0}, esto es supp u es el subconjunto cerrado
mas pequeño de Ω tal que u = 0 en Ω \ supp u.
39
40 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
Definición 4.2. Denotemos por Cn
0 (Ω) al espacio de todas las u ∈ Cn(Ω) con soporte
compacto. Los elementos de C∞
0 (Ω) son llamados funciones de prueba.
Lema 4.3. Existe una función no negativa φ ∈ C∞
0 (Rn) con φ(0) > 0.
Demostración. Sea
f(x) =



e−1/x si x > 0
0, si x ≤ 0.
veamos que f ∈ C1(R) pues en cero tenemos
f(h)− f(0)
h
=
e−1/h
h
y he1/h → ∞ cuando h→ 0.
Por inducción tenemos
f (n)(x) =



Pn(
1
x
)e−1/x si x > 0
0, si x ≤ 0.
para algun polinomio Pn. Esto es claro cuando x 6= 0, nuevamente veamos que sucede
en el origen
f (n)(h)− f (n)(0)
h
=
1
h
Pn(
1
h
)e−1/h → 0, cuando h→ 0
así obtenemos f ∈ C∞(R). De aquí
φ(x) = f(1− |x|2), con |x|2 =
n
∑
j=1
x2j ,
tiene las propiedades requeridas.
Ahora mediante cambiar los escalares obtenemos una función no negativa
ϕ(x) = φ((x− x0)/δ)
positiva en x0 y con soporte la bola de radio δ alrededor de x0.
Teorema 4.4. Si f, g ∈ C(Ω) y
∫
fφ dx =
∫
gφ dx, para todo φ ∈ C∞
0 (Ω)
entonces f = g.
4.1. CONVOLUCIÓN 41
Demostración. Si h = f − g, tenemos
∫
hφ dx = 0, para todo φ ∈ C∞
0 (Ω).
Tomando partes real e imaginaria hallamos que h puede ser asumida como real valua-
da a condición que φ se tomada como real valuada. Si h(x0) 6= 0, entonces podemos
tomar ϕ ∈ C∞
0 (Ω) no negativa con ϕ(x0) 6= 0 y soporte tan cercano a x0 que hϕ tenga
un signo constante, de donde su integral no es cero lo cual resulta una contradicción.
De aquí h = 0 idénticamente.
4.1. Convolución
Si u y v están en C(Rn) y alguna de las dos tiene soporte compacto, es decir, segun la
Definición 4.2 está en C0, entonces la convolución u∗v es la función continua definida
por
u ∗ v(x) =
∫
u(x− y)v(y) dy con x ∈ Rn,
notemos que si tomamos a x − y como nueva variable de integración obtenemos
u ∗ v = v ∗ u. Por otro lado si u ∈ C1 y v ∈ C0, con alguna de las dos de soporte
compacto, podemos derivar bajo el signo de la integral a u ∗ v,
∂i(u ∗ v) = (∂iu) ∗ v, para todo i ∈ {1, . . . , n},
y entonces u ∗ v ∈ C1.
Por la conmutatividad de u ∗ v podemos derivar sobre el factor v en caso de que
v ∈ C1. Si u ∈ Cj y v ∈ C l se sigue que u ∗ v ∈ Cj+l y que
∂α+β(u ∗ v) = (∂αu) ∗ (∂βv) si |α| ≤ j, |β| ≤ l.
Elijamos ahora una función φ ∈ C∞
0 (Rn) con
∫
φ = 1 y φ ≥ 0. Para δ > 0, definimos
φδ(x) = δ−nφ(x/δ).
Entonces φδ ∈ C∞
0 (Rn) y
∫
φδ = 1. El conjunto {φδ : δ > 0} es llamado una iden-
tidad aproximada. Bajo estas condiciones estamos preparados para probar un útil
lema.
Lema 4.5. Si f ∈ C0, entonces f ∗ φδ → f , cuando δ → 0, de manera uniforme.
42 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
Demostración. Dado que f ∈ C0 para todo ǫ > 0 existe δ1 > suficientemente pequeña
tal que
|f(x− y)− f(x)| ≤ ǫ para |y| ≤ δ1R.
Tomemos R de modo que supp φ ⊆ {x : |x| ≤ R}. Como para todo δ > 0 se cumple
f(x)
∫
φδ(y)dy = f(x) · 1, obtenemos
|f ∗ φδ(x)− f(x)| = |
∫
|y|≤δR
(f(x− y)− f(x))φδ(y) dy|
≤
∫
|y|≤δR
|(f(x− y)− f(x)|φδ(y) dy
≤ ǫ
∫
Rn
φδ(y)dy = ǫ, para δ ≤ δ1
De donde se sigue el resultado.
Definición 4.6. Decimos que una función f : Rn → C es localmente integrable si
f ∈ L1(K) para cada conjunto compacto K ⊆ Rn.
Un resultado más general del mismo tipo pero menos elemental que el Teorema 4.4
es el siguiente
Teorema 4.7. Si f, g son funciones localmente integrables en Ω y
∫
fφ dx =
∫
gφ dx, para todo φ ∈ C∞
0 (Ω),
entonces f = g, casi en todas partes en Ω.
Para esto necesitamos antes el siguiente lema.
Lema 4.8. Si f ∈ Lp, para 1 ≤ p < +∞, entonces f ∗ φδ → f en Lp (en particular
existe una subsucesión {δn} que tiende a cero, tal que la convolución f ∗φδn converge
a f casi en todas partes).
Demostración. Usaremos la Desigualdad de Jensen (vea [14] pagina 61), a saber; si
γ es una función convexa sobre E, cumple que
γ(
∫
D
λ(t)χ(t) dt) ≤
∫
D
λ(t)γ(χ(t)) dt,
donde χ(D) ⊆ E y
∫
D
λ(t) dt = 1.
4.1. CONVOLUCIÓN 43
Para lo que sigue; la primera desigualdad es como en el Teorema 4.4, la segunda por
Jensen y la ultima es un cambio de variable y = δt para φδ(y) = δ−1φ(y/δ)
|f ∗ φδ(x)− f(x)|p ≤ [
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|φδ(y)dy]
p
≤
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|pφδ(y) dy
=
∫
Rn
|f(x− δt)− f(x)|pφ(t) dt.
De lo anterior, usando Teorema de Fubini y la notación f δt(x) = f(x− δt), tenemos
‖f ∗ φδ − f‖pp ≤
∫
‖f δt − f‖ppφ(t) dt→ 0,
que el limite es cero se sigue de la convergencia dominada y de que la traslación es
continua en Lp.
Esto también se sigue del hecho que C0 es denso en Lp, 1 ≤ p < +∞:
Si g ∈ C0, entonces
‖gδ − g‖pp =
∫
K
|g(x− δ)− g(x)| dx→ 0, δ → 0
por convergencia dominada. Ahora, aproximamos f ∈ Lp con g ∈ C0, es decir ‖f −
g‖p < ǫ. La desigualdad de Minkowski, implica
‖f δ − f‖p ≤ ‖f δ − gδ‖p + ‖gδ − g‖p + ‖g − f‖p ≤ 2ǫ+ ‖gδ − g‖p ≤ 3ǫ,
si δ es suficientemente pequeño.
Demostración. (Del Teorema 4.7). Definamos h = f − g y asumamos que
∫
hφ = 0
para todo φ ∈ C∞
0 (Ω). Podemos escribir
Ω =
∞
⋃
n=1
Kn con compactos K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Ki ⊆ . . .
y podemos tomar ψn(x) ∈ C∞
0 (Ω) tal que ψn(x) = 1 para todo x ∈ Kn, entonces
hψn ∈ L1(Rn) y
hψn ∗ φδ(x) =
∫
Rn
h(y)ψn(y)φδ(x− y) dy
es igual a cero pues y 7→ ψn(y)φδ(x− y) está en C∞
0 (Ω). Pero hψn ∗ φδ → hψn en L1
según el Lema 4.8. Así h = 0 c.t.p. en Kn, y por lo tanto en Ω.
44 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
4.2. Distribuciones
Definición 4.9. Una distribución u en Ω es un funcional lineal sobre C∞
0 (Ω), tal que
para todo compacto K ⊆ Ω existen constantes C y l tales que
|u(φ)| ≤ C
∑
|α|≤l
‖∂αφ‖∞ (4.1)
para todo φ ∈ C∞
0 (Ω) con supp φ ⊆ K.
Denotamos las distribuciones sobre Ω por D′(Ω). Si el mismo l puede ser usado para
todo K, decimos que u tiene orden ≤ l. Estas distribuciones son denotadas D′
l(Ω). El
mas pequeño l que puede ser usado es llamado el orden de la distribución. D′
F = ∪lD
′
l
son la distribuciones de orden finito.
Que u es un funcional lineal sobre C∞
0 (Ω) significa por supuesto que u es una función
de C∞
0 (Ω) a C tal
u(aφ+ bψ) = au(φ) + bu(ψ) con a, b ∈ C y φ, ψ ∈ C∞
0 (Ω).
La razón para la notación tradicional D′(Ω) es porque Laurent Schwartz uso la no-
tación D(Ω) en lugar de C∞
0 (Ω), en lo que sigue usaremos esta notación tradicional.
Definición 4.10. ϕj → 0 en D(Ω) si y sólo si, para todo j, supp ϕj está contenido
en un compacto fijo K ⊆ Ω y ‖∂αϕj‖∞ → 0, cuando j → ∞, para todo α.
Teorema 4.11. Un funcional lineal u sobre D(Ω) es una distribución si y sólo si
u(ϕj) → 0 cuando ϕj → 0 en D(Ω).
Demostración. ⇒) Se sigue del hecho que para todo compacto K existen constantes
C y l tales que
|u(φ)| ≤ C
∑
|α|≤l
‖∂αφ‖∞
para todo φ ∈ C∞
0 (Ω) con supp φ ⊆ K.
⇐) Por contrapositiva, supongamos que la condición 4.1 no se cumple. Vamos a
probar que u(ϕj) 6→ 0, aunque ϕj → 0 en D(Ω). Que 4.1 no se cumple implica que
existe un compacto K y para C = l = j una función ϕj ∈ D(Ω) con supp ϕj ⊆ K,
tal que
|u(ϕj)| > j
∑
|α|≤j
‖∂αϕj‖∞,
como esta condición no cambia si ϕj es multiplicado por un factor constante, no hay
restricción en asumir que u(ϕj) = 1. Por lo que obtenemos ‖∂αϕj‖∞ ≤ 1
j
, si |α| ≤ j.
Así ϕj → 0 en D(Ω) a pesar que u(ϕj) no converge a cero.
4.2. DISTRIBUCIONES 45
Ejemplo 4.12. Supongamos que f es una función localmente integrable en Rn. En-
tonces la función
uf : ϕ 7→
∫
Rn
f(x)ϕ(x) dx
define una distribución de orden cero.
Para ver esto, primero notemos que uf está bien definida pues ϕ tiene soporte com-
pacto (está en D(Ω)). Además:
|uf (ϕ)| = |
∫
f(x)ϕ(x) dx|
≤
∫
K
|f(x)ϕ(x)| dx, con K = supp ϕ,
≤ ‖ϕ‖∞
∫
K
|f(x)| dx.
De aquí, y por la Definición 4.9 uf ∈ D′
0.
De este ejemplo y por el Teorema 4.7 podemos ver que las funciones que definen
la misma distribución están en la misma clase de equivalencia. Podemos identificar
también medidas arbitrarias con distribuciones de orden cero.
Teorema 4.13. Una distribución u ∈ D′
l(Ω) puede ser únicamente extendida a un
funcional lineal sobre C l
0(Ω) tal que para todo conjunto compacto K ⊆ Ω esxiste una
constante C tal que
|u(ϕ)| ≤ C
∑
|α|≤l
‖∂αϕ‖∞, (4.2)
para todo ϕ ∈ C l
0(Ω) con soporte en K.
Demostración. Sea ϕ una función fija en C l
0(Ω). Sea {Φδ} ⊆ C∞
0 una identidad
aproximada y hagamos ϕn = ϕ ∗ Φ 1
n
, entonces para n ≫ 0, todos los ϕn tienen
soporte en un compacto fijo K ⊆ Ω y si |α| ≤ l, entonces
‖∂α(ϕ− ϕn)‖∞ = ‖∂αϕ− (∂αϕ) ∗ Φ 1
n
‖∞ → 0, cuando n→ ∞.
De aquí, si u tiene una extensión que satisface 4.2, entonces u(ϕ) = ĺım
n→∞
u(ϕn). Esto
prueba la unicidad de la extensión y hace natural definir
u(ϕ) = ĺım
n→∞
u(ϕn).
46 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
El limite existe pues u(ϕn) es una sucesión de Cauchy:
|u(ϕn)− u(ϕm)| = |u(ϕn − ϕm)| ≤ C
∑
|α|≤k
‖∂α(ϕn − ϕm)‖∞ → 0
cuando n,m → 0. Ahora si aplicamos 4.1 a ϕn y tomamos límite cuando n → ∞
concluimos que 4.1 es valido para todo ϕ ∈ C l
0 con soporte en el interior de K.
Como funcional lineal de C0
0(Ω) puede ser identificado con una medida sobre Ω (esto
es consecuencia del Teorema de Representación de Riesz-Markov como puede verse
en la pagina 40 de [14]), hemos identificado a D′
0(Ω) con el espacio de medidas en
Ω. Por ultimo si una función integrable f es primero identificada con la medida fdx
como se acostumbra en teoría de integración, y fdx es entonces identificada con una
distribución, el resultado será por supuesto el mismo que si identificamos a f con una
distribución directamente, de todo esto obtenemos el siguiente:
Corolario 4.14. Medidas y distribuciones de orden 0 coinciden.
Terminamos esta sección con un par de definiciones que nos serán de utilidad en el
teorema principal, pero antes damos las nociones en las que estas se inspiran.
Si u es una función continua tal que ∂iu está definida en todos lados y es continua,
obtenemos de la fórmula de integración por partes
∫
(∂iu)φ dx = −
∫
u∂iφ dx, para todo φ ∈ C∞
0 (Ω),
de modo similar, si f es una función continua entonces
∫
(fu)φ dx =
∫
u(fφ) dx, para todo φ ∈ C∞
0 (Ω)
donde fφ es otra función de prueba si f ∈ C∞(Ω). La siguiente definición es por lo
tanto una extensión adecuada de lo anterior.
Definición 4.15. Si u ∈ D′(Ω) definimos
(∂iu)(φ) = −u(∂iφ), φ ∈ C∞
0 (Ω), (4.3)
y si f ∈ C∞(Ω) definimos
(fu)(φ) = u(fφ) φ ∈ C∞
0 (Ω), (4.4)
Observemos de la Definición 4.9 que (4.3) y (4.4) definen distribuciones ∂iu y fu.
4.3. PROBLEMA DE BERNSTEIN 47
4.3. Problema de Bernstein
En lo que sigue ocuparemos la notación 〈f, g〉 para la imagen de g ∈ D(Ω) bajo la
distribución f ∈ D′(Ω). Dado un conjunto abierto Λ ⊆ C, decimos que una función
α : Λ → D′(Ω) es analítica si
λ→ 〈α(λ), g〉
es analítica sobre Λ para cada g ∈ D(Ω).
Consideremos un polinomio
f(x1, . . . , xn) ∈ R[x1, . . . , xn],
y sea Ω ⊆ Rn la región donde f es no negativa en el interior y cero en la frontera.
Para cualquier número complejo λ = λ1 + iλ2 con ℜ(λ) > 0 se puede definir una
función continua fΩ(λ) : Rn → C mediante
fΩ(λ)(a) =



f(a)λ = eλ log f(a) si f(a) > 0,
0 si f(a) ≤ 0
zc = ec log (z) está bien definido pues z = f(a) > 0 y así log(z) es el logaritmo natural.
De esto se sigue que para cualquier complejo λ con ℜ(λ) > 0, la función fΩ(λ)
es localmente integrable y considerada como distribución (gracias al Ejemplo 4.12)
mediante
〈fΩ(λ), g〉 =
∫
Rn
fΩ(λ)(a)g(a) da con g ∈ D(Rn).
En estas condiciones la función
fΩ : λ→ fΩ(λ) de C+ = {λ ∈ C : ℜ(λ) > 0} a D′(Rn)
es una función analítica, la derivada compleja de 〈fΩ(λ)〉 para g ∈ D(Rn) está dada
por
∫
Rn
log(f(a))fΩ(λ)(a)g(a) da.
Consideramos el caso en que ℜ(λ) < 0 y sea a0 ∈ ∂Ω, entonces si tomamos {aj}
∞
j=1
con aj ∈ Ω tal que aj → a0, tenemos
|f(aj)
λ| =
1
e−λ1 log(f(aj))
→ +∞ cuando aj → a0.
48 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
El objetivo es continuar analíticamente la distribución definida por fΩ como una
función analítica (distribución-valuada) de λ a todo el plano complejo. En una publi-
cación de 1963 en el Amsterdam Congress [7], I.M Gelfand perfecciono esta cuestión
pidiendo adicionalmente que uno muestre que los polos están sobre un número finito
de progresiones aritméticas.
En 1972, Bernstein produjo una hermosa demostración cuyo resultado depende solo
de la teoría de módulos sobre el álgebra de Weyl An. Preparamos aquí una versión
de esta prueba. Para ello haremos uso de los resultados previos de distribuciones.
Antes de iniciar haremos algunos comentarios que creemos importantes y que forman
parte de la estrategia en la prueba.
Primeramente usamos que cierto conjunto de funciones S es un módulo sobre el
álgebra An(C[ω]) la cual no es el álgebra de Weyl An(C(ω)) puesto que esta se ha
definido sobre un campo. Aunque es muy parecida a esta, el hecho esencial es que
An(C[ω]) es un subanillo de An(C(ω)) con generadores x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n sobre el
anillo de polinomios C[ω]. La razón de usar este anillo es porque el Corolario 3.10
nos permite trabajar a este nivel mas sencillo.
Luego del hecho que podemos escribir el producto de la función f−1 por la distribución
fΩ(λ) como la distribución fΩ(λ−1) vemos que extender fΩ de C0 a C−1 es equivalente
a extender a f−1fΩ(λ) de C1 a C0, para lograr esto explotamos que existe una relación
entre los módulos C[X, f−1, ω]f−rF y C[X, f−1, ω] · fΩ por medio de sus generadores
y a través de un morfismo φ de An(C[ω])-módulos.
Finalmente en este punto es fundamental la fórmula
B(s) · (f−1F ) = D(s) · F,
que provee el Corolario 3.10, puesto que B(s) ∈ C[s] y D(s) ∈ An(C)[s], más clara-
mente este resultado nos permite relacionar la expresión
f−1fΩ(λ) = fΩ(λ− 1, )
propia de la definición de fΩ(λ) como distribución con la acción de An(C[ω]) sobre la
función fΩ y por medio del morfismo φ.
Teorema 4.16 (Bernstein). La función fΩ se extiende como una función meromor-
fa de λ al plano complejo entero, con polos yaciendo sobre una cantidad finita de
progresiones aritméticas {λi −m : m = 0, 1, 2, . . . }.
Demostración. Sea r el entero no negativo que provee el Corolario 3.10, también de-
finamos 1 ω = s − r y G = f−rF . Sea N el An(C[ω])-submodulo C[X, f−1, ω]G de
1con s como en el Lema 3.9 y f el polinomio elegido para el símbolo formal F = fs
4.3. PROBLEMA DE BERNSTEIN 49
M = C(ω)[X, f−1]F (este ultimo es módulo sobre An(C[ω]) por restricción). Obser-
vemos que
∂i ·G = ∂i(f
−rF ) =
∂(f−r)
∂xi
F + sf−r ∂f
∂xi
f−1F
= −rf−r−1 ∂f
∂xi
F + sf−1 ∂f
∂xi
f−rF
= (s− r)f−1 ∂f
∂xi
f−rF
= (s− r)f−1 ∂f
∂xi
G
= ω
∂f
∂xi
f−1G,
de modo que ω y G se comportan como los s y F del Lema 3.2 respectivamente.
Para cualquier número real t consideremos el semi-plano derecho
Ct = {λ ∈ C : ℜ(λ) > t}.
Sea
S = {θ|θ : Ct → D′ para algún t ∈ R, θ analítica}
y consideremos dos elementos de S como iguales si ellos coinciden en algún semi-plano.
Entonces S es un espacio vectorial sobre C, y ahora hacemos a S un An(C[ω])-módulo
mediante definir las siguientes acciones:
(ω · θ)(λ) = λθ(λ),
(∂i · θ) =
∂
∂xi
θ(λ),
(xi · θ)(λ) = xiθ(λ),
λ en el dominio de θ;
la derivada parcial de la distribución
θ(λ);
el producto de la distribución θ(λ) y
la función h(xi, . . . , xn) = xi.
Previamente hemos definido a fΩ, como función en S por
〈fΩ(λ), g〉 =
∫
Rn
fΩ(λ)(a)g dη, λ ∈ C0, g ∈ D
con dominio en C0, y ahora usamos este símbolo para denotar todas las restricciones
de fΩ a los semi-planos Ct, t ≥ 0. Para fΩ ∈ S con dominio Ct definimos f−1fΩ con
50 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES Y EL PROBLEMA DE BERNSTEIN
dominio Ct+1 por
(f−1fΩ)(λ) = fΩ(λ− 1).
esto es motivado por el hecho que
∫
Rn
f−1fΩ(λ)g da =
∫
Rn
fΩ(λ− 1)g da = 〈fΩ(λ− 1), g〉
para todo λ ∈ Ct, t ≥ 0, y cualquier función de prueba g ∈ D.
Según la definición de derivada de una distribución, vemos que para λ ∈ Cs, s ≥ 1,
esta se escribe como
∂
∂xi
fΩ(λ) = λ
∂f
∂xi
fΩ(λ− 1).
El objetivo es extender el dominio de fΩ de C0 a C−1, y vamos a lograr esto mediante
extender el dominio de f−1fΩ de C1 a C0, aunque la extensión no permanecerá en S,
pues esta puede tener polos.
Veamos que existe un morfismo de módulos
φ : N = C[X, f−1, ω]G→ C[X, f−1, ω] · fΩ ⊆ S
dado por
φ(c(η, f−1, ω)G)(λ) = c(η, f−1, λ)fΩ(λ),
lo anterior está bien definido ya que S es un An(C[ω])-módulo. Observemos que
φ(∂i ·G) = ∂i · φ(G):
φ(∂i ·G)(λ) = φ(ω
∂f
∂xi
f−1G)(λ)
= λ
∂f
∂xi
f−1fΩ(λ)
= λ
∂f
∂xi
fΩ(λ− 1) λ ∈ C1
=
∂
∂xi
fΩ(λ) λ ∈ C1
= (∂ifΩ)(λ) λ ∈ C1
= (∂iφ(G))(λ), λ ∈ C1.
Sean B(ω) ∈ C[ω] y D(ω) ∈ An(C)[ω] como en el Corolario 3.10. Entonces
B(ω) · (f−1G) = D(ω) ·G
4.3. PROBLEMA DE BERNSTEIN 51
de modo que
B(λ)fΩ(λ− 1) = B(λ)(f−1fΩ)(λ)
= φ(B(ω)f−1G)(λ)
= φ(D(ω) ·G)(λ)
= D(λ)fΩ(λ).
Así
〈B(λ)fΩ(λ− 1), g〉 = 〈D(λ)fΩ(λ), g〉 = 〈fΩ(λ), D
#g〉
se cumple para todo λ ∈ C1 y para todo g ∈ D, donde D# denota el operador
diferencial adjunto del operador diferencial D(λ)2. El lado derecho es definido sobre
C0 y nos da una función analítica para cada g ∈ D; de modo que fΩ puede ser
extendida a C−1 mediante hacer
〈fΩ(λ− 1), g〉 =
1
B(λ)
〈fΩ(λ), D
#g〉.
Iterando el proceso mostramos que fΩ puede ser extendida al plano complejo entero,
con polos en λi −m, m ∈ {0, 1, 2, . . . }, donde B(λi) = 0.
2esto es posible de la definición de derivada parcial de una distribución, Definición 4.15.
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