UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACUL TAO DE CIENCIAS DUALIDAD Y LAS ECUACIONES GENERALIZADAS DE EINSTEIN T E s 1 s QUE PARA OBTENER El TITULO DE F I s I e o p R E s E N T A BENJAMIN GUTIERREZ GARCIA FACULTAD DE CIENCIAS UNAM FACULTAD DE CIENCIAS SECC!ON ESCOLAR ---· -···---------~- --------~-~----- UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. MAT. MARGARITA ELVIRA CHÁVEZ CANO Jefa de la División de Estudios Profesionales de la Facultad de Ciencias Presente Comunicamos a usted que hemos revisado el trabajo de Tesis: w~·_!'\~:d~j '{t.;,; =:.:':.JaCiOr!GS (;.?.,~í"31izaddS d~ Eiristein~ realizado por con nümero de cuenta • pasante de la carrera de rh i.:.l.. Dicho trabajo cuenta con nuestro voto aprobatorio. Atentamente ~•CIAS kr ......... ·.,. .... flSIU ~=~:.::~~-~-::-~.~-'--~·~:_-_~ __ -_ ----"":!',.--------------------""'!!!~!!!!!!!!1--~ Contenido Agradecimientos Introducción 1 Preliminares sobre la cuerda bosónica 1.1 Teoría clásica y la acción de Polyakov . 1.2 Cuantización . . . . . . . . . . . . .. 1.2.1 Cuantización covariante tradicional 1.2.2 Cuantización en el gauge del cono de luz 1.3 Espectro de la cuerda bosónica 1.3.1 Espectro de la cuerda abierta 1.3.2 Espectro de la cuerda cerrada 1.4 Interacciones 7 11 25 25 36 31 39 42 42 43 45 2 Cuerdas en espaciotiempos curvos 47 2.1 Acción de cuerda efectiva y modelo sigma no lineal 48 2.2 Invariancia de \Veyl . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Ecuaciones para los campos . El 'engrosamiento' de los diagramas de Feynman a 'diagramas de superficie' mejora considerablemente el comportamiento ultravioleta de la teoría. La teoría de cuerdas es finita en el límite ultravioleta. La tercera consecuencia importante es la introducción de la supersimetria. 15 Para la cuerda bosónica, el modo de vibración más bajo corresponde a un taquión. Esto indica que estatnos usando teoría de perturbaciones alrede- dor de un míni1no inestable. Ja supersimetría (Sl:SY) nos proporciona una solución muy económica a este problema. La irlea de simetría ha sido una guía fundamental en estos desarrollos, y en especial la simetría de gauge, que consiste en Ja invariancia del La- grangiano que describe nuestra teoría ante transformaciones continuas (que forman un grupo de Líe), cuyos parámetros son funciones del espaciotiempo. Ejemplos de simetrías de gaugc no rotas son el grupo abeliano U(l) que describe la interacción entre fotones y partículas cargadas y el grupo no abeliano SU(3)c que describe las interacciones entre quarks y gluoncs (y en- tre los mismos gluones). Ejemplos de simetrías rotas espontáneamente son el grupo SU(2).rU(l) del modelo GS\V para interacciones electrodébiles y Jos grupos de modelos de gran unificación SU(5), 50(10), cte. Una simetría de gauge requiere la existencia de campos de gaugc vectoriales no masivos (fotones, gluones, W's, Z, X. Y etc). El rompimiento espontáneo de simetría proporciona masa a algunos de ellos. El término invariancia de gauge fue introducido por Weil en 1919 (Eich- invarianz), y Jo uso en el misn10 sentido que invariancia de escala. Pos- teriormente, cuando la mecánica cuántica hizo su aparición, la invarian- cia de gauge fué definida como la transformación simultánea de la fase de la función de ona ,¡. -t w' = wcio(x)' y del potencial electromegnético Aµ = A;, = Aµ + 81,a.. Con esto en mente poden1os entender mejor lo que es una supersimetría. Supersimetría La supersimetría, o simetría entre fermiones y bosones, no ha sido obser- vada en la naturaleza hasta ahora. La supersimetría se introduce como una solución al problema fenomenológico de Ja jerarquía, que se resuelve gracias a las cancelaciones entre bosones y fermiones. Esto implica que los compañeros supersimétricos de las partículas conocidas del modelo estándar deben aparecer alrededor de energías de 1 TeV. A pesar de las diferencias que existen entre las simetrías que encontramos en la física de partículas (Isoespín, color, electrodébil, gran unificación, etc), todas ellas comparten algo en común: son simetrías internas. Esto significa que sus correspondientes transformaciones no afectan las propiedades es- pacio temporales de los estados sobre los que actúan. Por ejemplo, las rotaciones de isoespín pueden transformar un protón en un neutrón, una partícula con el misn10 espín, pero no en, digamos, un mesan 7r. En forma similar las transformaciones SU(5) pueden convertir un leptón en un quark, y otra vez observamos que el estado inicial y final tienen el mismo espín (y la misma helicidad). A diferencia de éstas simetrías internas, la SuSY transforma fermiones 16 Introducción en bosones y viceversa. Pueden convertir un escalar en una partícula espino- rial, ·o ésta en una vectorial. Estas transformaciones no son nada triviales, · ya que los campos dentro del supermultipletc tienen dimensiones distintas: m para el bosón y m 3 12 para el fcrmión. Q y Q obedecen \as siguientes relaciones: {Q, Q} = QQ + QQ = -2P,,¡,,, [Q,P,,] =O, (1) Donde P., (cuadrimomento) es el generador de traslaciones en el espacio, y ¡ 1, son las matrices de Dirac. P,, y Jos generadores de rotaciones 11'11w for- man, junto con los generadores Q, el álgebra graduada de la SUSY (álgebra de SuperPoincaré), que contiene a la de Poincaré como subálgebra (Se dice que un álgebra es graduada si contiene anticonmutadores así como con- mutadores, es decir, podemos graduar o distinguir a los operadores como, digamos, pares y nones). Debido a que Q es un operador espinorial, las a's en eiQa deben ser espinares también (de la misma manera que en las rotaciones, donde e;J.ff es el generador de rotaciones y O debe ser un vector). Además, debido a que los e'Qa con diferentes valores para °' obedecen relaciones de conmutación (a pesar de que Q obedece anticonmutadores), las entradas en a no son números ordinarios, ya que deben anticonmutar2 • Por tanto, estos no son los tipos de grupos de simetría considerados en el pasado, lo que explica porqué se pensaba que ninguna simetría podia relacionar bosones y fcrmiones. Versiones supersimétricas de varias teorías de gran unificación han sido construidas y estudiadas; a menudo son referidas como SUSY-GUTs. De he- cho, para las SUSY-SU(5), Ja convergencia de las constantes de acoplamiento es más exacta (dentro de los límites experimentales) que en GUT's ordinar- ias y a un valor un poco mayor (10 16 Ge V). Ese valor incrementado (además de nuevos canales de decaimiento) es la causa de que este modelo tenga una predicción para la vida media del protón mayor a la del modelo SU(5) original, la cual ya no está en conflicto con la cota experimental inferior (~ 1033 años). La existencia de nuevos canales de decaimiento con branch- ing ratios significativos (branching ratio es la proporción de cada canal de decaimiento) sugiere patrones únicos a buscar en futuros experimentos de decaimiento del protón, además de que éste modelo produce un mecanismo de Higgs natural. Una característica importante de estos modelos es la presencia de un tipo de bosón y un tipo de fermión con la misma energía, por lo que éstos aparece11 en pares con la misma masa ( es decir, en supermultiplete), ya que en cuálquier teoría cuántica SUSY el número de· grados de libertad fermionicos es el mismo que el de los bosónicos. Esta es la razón de que esperamos encontrar un compañero bosónico para cada leptón y quark, y uno fermiónico para cada bosón de gauge y Higgs. Hasta ahora no hay traza 2 Llarnados números de Grassman 17 de ninguno de ellos en los experimentos, pero dada la belleza teórica de la SUSY y todas sus bondades no se ha renunciado a ella, y han aparecido modelos de SlJSY rota, en donde los compañeros Sl:SY de los integrantes del modelo estándar son muy pesados para ser detectados en los aceleradores actuales. Sin embargo, se predice una masa de alrededor de 1 TeV para ellos, por lo que esperamos obsen·arlos en el LHC3 . Los compañeros de los fcrmiones fundamentales tienen espín cero y se lla- man squarks y sleptons, selectrón, squark, scalar-quar·k, etc. Los fermioncs de gaugc compañeros de los bosones de gauge tienen espín 1/2 y se nom- bran usando el sufijo "ino": photino, gluino, wino, bino, zino, etc.; colec- tivamente se denominan gauginos. El compañero J = 1/2 del Higgs es el Higgsino, del gravitino del gravitón. Los gauginos y higgsinos cargados se llaman charginos, y los neutros neutralinos. La existencia de un compañero SUSY para las partículas conocidas produce contribuciones de distinto signo en los loops de las correcciones radiativas a sus masas y valores de ex- pectación del vacío, eliminando efectos indeseables de la renormalización y produciendo de manera natural la jerarquía de las diferentes escalas en GUTs. Actualmente se piensa que los modelos SUSY-gauge y la SUGRA son sólo teorías efectivas del límite de baja energía de las supercuerdas ... La cuarta consecuencia importante de la teoría de cuerdas es la predicción del número de dimensiones del espacio target donde la cuerda perturbativa se propaga. La invariancia de Lorentz en el espacio target o invariancia conforme de la hoja de mundo fija las dimensiones espaciotcmporales (26 para la cuerda bosónica y 10 para las supercuerdas). Como nuestro mundo de baja energía es 4D, la teoría de cuerdas incorpora la idea propuesta por Theodor Kaluza y Osear Klein en los años veinte de modo naturai. Esta consiste en que es posible que nuestro espaciotiempo tenga más de las 4 dimensiones que observamos, siempre y cuando las dimensiones extra esten curvadas sobre sí mismas, comprimidas o compactificadas. Así estas di- mensiones compactificadas serían invisibles a simple vista, e incluso usando potentes microscopios (digamos un acelerador de partículas de la última generación) estas pasarían desapercibidas. La quinta consecuencia importante viene de la cancelación de anomalías espaciotemporalcs, es decir, efectos cuánticos que hacen que una teoría sea inconsistente. Las hay de gauge, gravitacionales y mixtas. Esto conduce a que solo existan cinco teorías de supercuerdas libres de anomalías en 10 dimensiones espaciotemporales: 3 El LHC, Large Hadron Collider, o gran colisionador de hadrones, es el acelerador que el Laboratorio Europeo de Partículas elementales (CER..'\) proyecta tener listo para el 2006, con una energía de centro de masa de 14 Te\", suficiente para observar supcr- compañcros. 18 Introducción • Tipo I 80(32} Esta es una teoría que contiene supercuerdas abiertas. Tiene una su- persimetría (N=l) en 100. Las cuerdas abiertas pueden transportar grados de libertad . es la constante de acoplamiento, entonces JA(>.)= f 8 (1/>.). Esta dualidad generaliza la dua- lidad eléctrica-magnética de la teoría de l\[a_' dilatón. Las principales aplicaciones que se revisarán son agujeros negros y soluciones cilíndricas de relath·iclad general. El primer capítulo es una breYe exposición de los conceptos básicos sobre la cuerda bosónica, necesarios para comprender como se obtiene el espectro de la cuerda cerrada, que es el origen de los campos de fondo que n1en- cionamos. El capítulo 2 aborda el problema de la propagación de una cuerda en presencia de campos de fondo no triviales. Veremos que al cuantizar la acción clásica de Polyakov aparece la anomalía de \Veyl, debido a que la invariancia conforme no se mantiene. El imponer ésta invariancia a nivel cuántico nos conduce a ciertas condiciones sobre los campos de fondo, y que constituyen las ecuaciones generalizadas de Einstein. El capítulo 3 presenta a la dualidad-T, comenzando por su descubrim- iento en las compactificaciones toroidales en cuerdas y su generalización a un modelo sigma (o modelo-a) con una isometría. También se describen las ecuaciones de fondo de las cuerdas y de donde provienen, para enten- der mejor el contexto en el que se presenta la dualidad-T, y se describe su extensión a teorías con tensores antisimétricos en general. Finalmente se describen las transformaciones de Buscher que nos permitirán obtener los duales de las soluciones que ya conoceremos en los subsecuentes capítulos. La aplicación de la dualidad-Ta las soluciones de baja energía de cuerdas se describe en el capítulo 4. Se aborda el tema de los agujeros negros en 2D. Se explica cómo se encontró una teoría de campo conforme que describe un agujero negro en 2D, originándose en un modelo Wess-Zumino-Witten 'gauged' con SL(2, IR)/U(l). También se muestra en detalle la importante propiedad de este objeto de intercambiar el horizonte por la singularidad, aún cuando es autodual, y por último se describe la geometría dual del agujero negro de Schwarzschild y se verifica que realmente sea una solución de las ecuaciones generalizadas de Einstein. En forma complementaria se calculan algunos escalares de curYatura de ambos espacios. También reviso brevemente el agujero negro BTZ, en relatividad general en 3D, obtengo su dual y describo algunos aspectos del mismo. El capítulo 5 presenta la aplicación de la dualidad-T para simetría cilíndrica. Se exponen las moth-aciones para emprender el estudio de esta configuración y se describe con algún detalle el espaciotiempo cilíndrico 24 Introducción Figura 3: Podemos ver que la teoría de cuerdas es más que sólo una teoría de cuerdas! más general. Posteriormente se aborda el espaciotiempo de Levi-Civita y su dual, se comparan en términos de sus geodésicas y de otros aspectos. Capítulo 1 Preliminares sobre la cuerda bosónica En este capítulo pretendo exponer una bre,·e introducción a los aspectos básicos de la teoría de cuerdas perturbativa (excelentes y extensivas intro- ducciones se pueden encontrar en [3),(6],[7] y [4]) en el caso bosónico, que no pretende ser exhaustiva. La idea es armar al lector con los conceptos básicos para compender el material subsecuente, en particular lo importante es en- tender de donde proviene el espectro de la cuerda bosónica y los can1pos de fondo G 1.,,, Bµv y es la normal a la superficie 81'1. Los extremos de la cuerda abierta . se•Il1iíeven libremente en el espaciotiempo. El término de superficie en la ecuación de movimiento también se anula si imponemos X"(r, l) = X"(r, O) • él" X"(r, l), hab(r,l) = hab(r,0) (1.33) (1.34) Es decir, los campos son periodicos. No existe una frontera; los extremos están unidos para formar un camino cerrado. La condición de frontera de cuerda abierta (1.31) y de cuerda cerrada (1.33) son las únicas posibilidades consistentes con invariancia de Poincaré en D dimensiones y con las ecuaciones de movimiento. Si relajamos la condición de invariancia de Poincaré entonces podernos tener una condición de frontera tipo Dirichlet: ax•· or = O en a = O, l. (1.35) Esta condición puede integrarse, y entonces especifica una ubicación en el espaciotiempo en la que la cuerda termina. La única forma en la que esto tiene sentido es si la cuerda abierta termina en un objeto físico: una D- brana (D viene de Dirichlet). Si todas las condiciones de frontera de la cuerda abierta fueran de Neumann, los extremos de la cuerda podrían estar en cualquier lugar del espaciotiempo, y esto significa que se encuentran presentes D-branas cubriendo el espaciotiempo. Sp no es la acción más general consistente con todas las simetrías de la teoría. Si pedimos que las simetrías se mantengan y que la acción sea polinomial en las derivadas, podemos generalizar ésta acción. lnvariancia global de Weyl, p = (r, a) = constante, requiere que la acción tenga un factor hªb adicional que cancele la variación de (-h) 112 . La invariancia de coordenadas y la de Poincaré permiten un término extra, X=~ f drda(-h) 112 R 4r. jM ( 1.36) 1.1 Teoría clásica y la acción de Polyakov 31 donde R es el escalar de Ricci en dos dimensiones construido a partir de hah· Bajo una redefinición de la escala local de \Veyl, tenemos, ( 1.37) La variación es una derivada total, debido a que (-h) 112 'i1 a Vª = 8a((-h) 112vª) para cualquier vª. La integral (1.36) es por tanto in\'ariante para una hoja de mundo sin frontera. Si existen fronteras se debe agregar un término extra de superficie. Como x es con1patible con las simetrías vamos a incluirlo en la acción, (1.38) Esta es la acción más general con invariancia (Dij fxW eyl) más in- variancia de Poincaré con estos campos y simetrías. Por el momento la discusión de simetrías es clásica, y estamos ignorando posibles anomalías cuánticas, las que consideraremos más adelante con detalle. La acción S~ se parece a la acción de Hilbert para la métrica, J (-h) 112 R, acopla en forma mínima a D campos escalares no masiYos X''. Sin embargo, en dos dimensiones, la acción de Hilbert depende únicamente de la topología de la hoja de mundo y no proporciona ninguna dinámica a la métrica. Para ver esto, recordemos que su variación es proporcional a Rab - ~habR. En dos dimensiones, las simetrías del tensor de cur\'atura implican que Rab = ~habR y por tanto esto se anula: la acción de Hilbert es invariante bajo cualquier cambio continuo de la métrica. Las invariancias locales de la acción Sp permiten una selección del gauge adecuada para la métrica de la hoja de mundo hab• que se conoce como gauge conforme. Podemos usar Ja invariancia ante reparametrizaciones para elegir coordenadas tales que localmente hab = n2 (-r, a) - T/ab· Se puede usar entonces la invariancia de Weyl para ver que hab = T/ab· Es fácil ver que el gauge conforme es una característica particular de dos dimensiones. En dimensiones d > 2, una métrica hab, simétrica, tiene d(d+ 1)/2 componentes independientes. La invariancia ante reparametrizaciones permite fijar d de ellos dejando d(d-1)/2 componentes. En dos dimensiones es suficiente para fijar el gauge conforme. Aún tenemos una simetría extra local, es decir, las transformaciones de Weyl, lo que permite eliminar el componente sobrante de la métrica. La solución general de la ecuación de onda {1.28) esta dada por una suma de "osciladores derechos" y "osciladores izquierdos", X"(-r, a)= X};{-r - a)+ x;:(-r +a) (1.39) Consideremos el caso de la cuerda cerrada primero. Los campos X 1'(-r, a) deben ser reales y deben satisfacer la condición de periodicidad Xµ(-r, a+ --------------"'"·~--..... ~.,,r-,-··~---·--~·-~·---------- 32 Preliminares sobre la cuerda bosónica l) = X"(r,a). Estas dos condiciones pueden resolverse explícitamente en términos .de las series de Fourier: X"_.!_ ,, '....JJ( _ ) fQ" ~ .!_ 1, • [-2i7rn(r - a)] R - 2 x +a JJ r a V '2 ~ na,. cxp l n~O X µ 1 ,, '....JJ( )~-, ~ 1 ,, [-2itrn(r+a)] L = -x + a JJ r +a - 2 -e>., cxp l 2 ""'º n (l.40) a~,&~ son los componentes de Fouricr que interpretamos como osciladores de las coordenadas. x" y p" pueden interpretarse como la posición y el momento del centro de masa de la cuerda. La condición de realidad implica que x" y p" son reales y (1.41) Es usual definir la convención a~ = a~ = ¡;if p1•. Los paréntesis de Poisson de los n~ pueden calcularse fácilmente a partir de los paréntesis de Poisson de X" y .'k:" en el mismo r y son, [¡Y'', Xv]PP = 1]µv [a::i, a~]PP = imc5rn+nTJ1'v [n::,, ó~jpp = Ü (1.42) (1.43) (1.44) por lo que los modos de Fourier a~ para n i= O son coordenadas de oscilador armónico. En el caso de la cuerda abierta la solución a la ecuación de onda con condiciones a la frontera de Neurnann es, , ~'""" 1 (-trinr 1 ntra X~ =x"+2a'p"r+iv2a' ~~a~exp -- 1 --Jcos-l- n-:FO (1.45) (Esto puede obtenerse a partir de la solución para la cuerda cerrada im- poniendo _...,;:'µ = O en a = O, l; los componentes izquierdos y derechos se combinan en ondas estacionarias). Por tanto, a diferencia del caso de la cuerda cerrada, existe sólamente un conjunto de modos en la cuerda abierta. En este caso se acostumbra identificar al momento del centro de masa con el modo cero a~ = V2Qip1•. Consideremos la invariancia de Poincaré en D dimensiones. Dado que las transformaciones de Poincaré son simetrías globales desde el punto de vista de la teoría bidimensional, están asociadas a corrientes conservadas. Usando el conocido proccdimicnte de Nother, la corriente asociada con la invariancia traslacional puede obtenerse a partir de, (1.46) 1.1 Teoría clásica y la acción de Polyakov 33 mientras la corriente asociada con la invariancia de Lorentz es (1.47) Estas corrientes se conservan (1.48) Y describen el momento lineal y angular en D dimensiones de la cuerda. El momento total conservado y el momento angular de una cuerda se obtienen integrando estas corrientes sobre a con T = O, por ejemplo, pi•= T1' dadX''(a) 0 dr y Jµv = r1' da(XµdXv - X"dXµ) O dr dT La ecuación de onda debe completarse con la restricción (1.27) Tab = 8aXµ8bX1, - ~habhcd8cXµ8dX,, = O En componentes, 1 ·,2 '2 Too =Tu = 2(X +X ) =O To1 = T10 = X - x' = o (1.49) (1.50) (1.51) (1.52) (1.53) Notemos que la traza se anula identicamente, hªbTab = O. El hamiltoniano de la teoría es, 11 • 1 1' - ' H= da(X-P-L)=--, da(X+X 2 ) 0 4rra 0 (1.54) que puede escribirse en términos de osciladores, para la cuerda abierta te- nemas, 1 '"" '"' ( ) J,' ntra mrra H = -- L-J L..,, C>n - º"' e-1 m+n T da cos-- cos-- 27rc:t' n m O l l - L L °'n ·a,,, e-l(n+m)r 1' da sinna sinma n;"O m,, 1 2 '""' O = 2°'º + L._¿°'" · °'-n r1>0 por lo qué obtenemos la condición de cascara de masa y -o,' p2 a' !v[ 2 = L °'n · °'-n n>O (1.57) (1.58) J\12 = ~ ~(CT-n · CTn + CTn · CT-n) (1.59) o:'~ n=l para cuerdas cerradas. . Un parte importante de los cálculos en cuerdas se llevan a cabo en una hoja de mundo euclidiana donde la métrica de la misma, hab, se reemplaza por Óab· Consideremos la hoja de mundo de una cuerda cerrada, el cilindro pararnetrizaclo por a E (O, 2;r] y r E (-oo, +oo]. Vamos a aplicar una rotación ele \Vick r -t -ir ele forma que(±= r ±a -t -i(r ± ia). En éste caso es útil introducir coordenadas complejas, z' = r - ia z' = r +ia (1.60) Podemos ahora mapear el cilindro en el plano complejo por (1.61) Al definir la teoría en el plano complejo podernos aplicar técnicas de análisis complejo, que son muy poderosas. Las líneas con tiempo constante r son mapeadas a círculos con centro en el origen. Las integrales sobre a son reemplazadas por integrales de contorno alrededor del origen. El pasado infinito se rnapea a z = O y el futuro infinito a z = oo. Las traslaciones en a se convierten en rotaciones y las traslaciones en el tiempo en dilataciones. Los índices complejos se suben y bajan con 1 hzz = h,, = 2' h., =hu =O, h'' = h'' = 2, hzz = hu (1.62) También observemos que d 2 z = 2 da dr (1.63) con el factor 2 que se obtiene del jacobiano de la transformación (d2z = ldet g¡112 da dr). En ésta notación la acción es s,, = - 2 1 j d 2 z 8X"BX,, ;ra' (1.64) 1.1 Teoría clásica y la acción de Polyakov 35 y la ecuación clásica de movimiento es 8DX,,(z, z) = O. (1.65) Esta.última ecuación se puede escribir como 8(BX1') = D(8X,,) =O (1.66) y de aquí se puede apreciar que ax1• es holomórfica y axµ es antiholomórfica (holomórfica en z). Bajo la continuación de Minkowski T--> i•, un campo holomórfico se vuelve una función sólo de T - a y el campo antiholomórfico una función de T + a. Por ello, podemos usar como sinónimos holomórfico = osciladores derechos antiholomórfico = osciladores izquierdos (1.67) En coordenadas complejas, las restricciones (1.51) son T:: =O. 1',. =O y la traza es T., = O. La ley de conservación 8ªTab = O toma la forma, 8,T,, + 8,,T,, = O 8,T,, + 8,T,, =O (1.68) Dado que T,, = O, éstas ecuaciones implican que T,,(Tu) es una función holomórfica (antiholomórfica). Por ello puede obtenerse su expansión de Laurent como T,,(z) = f: /:"~2 ; T:z(z) = (1.69) m=-oo Los coeficientes de la serie se denominana generadores de Virasoro y pueden obtenerse invirtiendo estas expresiones1 1 dz m+2y ( Lm = --.-z Zf z) e 27rtZ (l. 70) y en forma similar expresamos Lm. C es cualquier contorno que encierre el origen en dirección opuesta a las manecillas del reloj. Es lo mismo que la expansión de Fourier ordinaria en coordenadas w en r = O. El que la traza de T se anule es típico de una teoría con invariancia conforme. La ley de conservación (1.68) corresponde a la existencia de un conjunto infinito de cantidades conservadas. Es la simetría infinita generada por las corrientes j(z) = v(z)T(z)](z) = v(z)T(z)'(z) (1.71) Estas cantidades conservadas corresponden a simetrías residuales que so- breviven después de fijar el gauge conforme, bajo difcomorfismos óhab = 1 Usando el teorc1na de Cauchy, es un ejercicio estándar de FETI 36 Preliminares sobre la cuerda bosónica Dal:b = 8bE:a, y bajo transformaciones de \Veyl óhab = Ahat•· Aún después de fijar el gauge conforme es posible mantener la métrica plana combinando transformaciones de coordenadas y de \Vey\. La simetría residual nos s<.·ni útil para introducir el gauge del cono de luz más adelante. Reemplazando las expansiones en modos (1.40) en (1.70) obtenemos l 00 Lm = 2 L l>m-n · On n=-oo - 1 00 L1n == 2 L Óm-n • Ün (l. 72) n=-oo . Notemos que H = L 0 para cuerdas abiertas y I-I = Lo + L0 para cuerdas ·cerradas. La combinación de Lo+ Lo debe anularse de acuerdo con las ecuaciones de restricción. Esto implica que los dos términos en (1.56) contribuyen de igual forma. Los paréntesis de Poisson de los operadores de Virasoro pueden calcu- larse fácilmente a partir de los paréntesis de Poisson de los osciladores, y de aquí se obtiene el álgebra de Virasoro (l. 73) y de forma análoga para Lm. Esta es el álgebra que satisfacen los gene- radores de las simetrías residuales que preservan la condición del gauge conforme ( difeomorfismos infinitesimales de 8 1 ). Esta álgebra se modifica cuando aparecen anomalías cuánticas, como se verá mas adelante. 1.2 Cuantización Discutiremos la primera cuantización de la cuerda. Debemos tener presente que esto no es lo mismo que la segunda cuantización de la cuerda, que constituye la llaniada teoría de campos de cuerdas, la cual está basada en operadores que crean y destruyen cuerdas completas. Existen \"arios formalismos posibles para cuantizar la teoría de cuerdas y es útil revisar las características básicas de los mismos. Tenemos dos cuan- tizaciones covariantes. Una esta basada en las coordenadas X'-', que son consideradas los operadores cuánticos. La otra es la moderna cuantización por integral de trayectoria, que tiene una base geométric.:a más profunda y es más conveniente para calcular diagramas de lazos. El tercer formalismo es la cuantización en el gauge del cono de luz, que no es invariante de Lorentz en forma 1na11ifiesta, pero proporciona una teoría unitaria manifiesta, libre de fantasmas. En nuestro caso vamos a describir el primero y tercer for- malismos con cierto detalle. El último nos interesa para obtener en forma rápida la dimensión crítica y en espectro de la cuerda. Hablaremos de la formulación por integral de trayectoria en el siguiente capítulo cuando cal- culemos la anomalía de Weyl a primer orden, aunque lo haremos de una fonna práctica. 1.2 CuánÜzación 37 1.2:1 Cuantización covariante tradicional Una.fo1~ma estándar de ir de la teoría clásica a la cuántica consiste en reem- plazar los paréntesis de Poisson por conmutadores, sustituyendo [ ... ]pp ~ -i[, l Por tanto. de (1.44) obtenemos los conmutadores, [p", x"] = 71"" (o!!i, o~] = [O:~, a:;] = mÓm+n171 "" (o:::i, ñ~l =o (l. 74) (l. 75) (1.76) (1.77) Los operadores a::,, a:: pueden interpretarse naturalmente como oscila- dores de subida y de bajada para m >O ó n > O, respectivamente. El estado base jO; k > se define como el estado que es aniquilado por los operadores de bajada y es un eigenestado del momento del centro de masa, a::,¡o;k >=o, m >o v"lü; k >= k"lü; k > . (l. 78) (1.79) los osciladores a::. están relacionados con los operadores conYencionales del oscilador armónico por a::, = ..Jiñ a::,, °'~m = ..Jiñ a~!, para m > O. Observemos que jü; O > es el estado base de una cuerda individual con momento cero, no es el vacío de la teoría. Un estado en general puede construirse aplicando los operadores de creación a~,! al estado base !O; k >. El espacio de Fock definido de ésta manera no es positivo definido. Las relaciones de conmutación de los com- ponentes temporales, [a~,a~] = -1 (1.80) implican que el estado a~! IO; k > tiene norma negativa porque < üia~a~IO >= -1 (1.81) Estos estados se denominan fantasmas y conducen a un conflicto con la interpretación probabilística de la mecánica cuántica. Sin embargo, el espacio físico real es más pequeño. Aún no hemos im- puesto las restricciones que encontramos en la teoría clásica, es decir, la anulación del tensor de energía-momento Tab = O. Debemos implementar- las como operadores, corno condiciones subsidiarias en los estados. Habien- dolas implementado ya podemos esperar que los fantasmas se desacoplen del espacio de Hilbert físico. Recordemos que los modos de Fourier de Tab son los generadores de \"irasoro. 1 00 Lm = 2 L Om-n · On (1.82) n=-oo ·-~ 38. Preliminares sobre la cuerda bosónica <·" Ahora que·: los a:!, son operadores, debemos resolver las ambiguedades res- pecto aL.ordenámiento normal. Como a::,_" conmuta con a~ a menos que rn ;,; O, la única ambiguedad se origina de L 0 • Definimos, - 1 2 oc Lo = 2°'º + L: ª-n · C>n - A n=l (1.83) es decir, hemos colocado los operadores de bajada a la derecha y los de ·subida a la izquierda, e incluido una constante desconocida A de los conmu- tadores. En al teoría clásica, las condiciones de restricción son responsables de la anulación de los componentes de Fourier de '1',,b. L,,. - Lm = O, 'Vm. En el contexto cuántico esto pude extenderse en forma natural imponiendo la condición de que Lm aniquile los estados físicos. Antes de llevar esto a cabo, debemos detrminar el álgebra de los Lm. Debido al ordenamiento normal el cálculo debe hacerse con mucho cuidado. El álgebra que se encuentra es [6] [Lm,Ln] = (m - n)Lm+n + 1 c 2 m(m2 - l)Óm+n (1.84) ces denominada la carga central, y se original como un efecto cuántico. Aquí e= D, la dimensión del espaciotiempo. Esto significa que cada escalar libre contribuye con una unidad a la carga central. :tv!ás adelante determinaremos la contribución de otros campos. Ahora es más sencillo ver que aunque en la teoría clásica las restricciones son Lm = O, Vm, esto no puede implementarse sobre los estados 14> > debido a que (1.85) es decir, no podemos pedir que Lml4> >=O, Vm. Lo más que podemos hacer es demandar que sobre los estados físicos Lmlfísico >=O, rn 2 O (1.86) Para la cuerda cerrada también tenemos los Lm 's, y también satisfacen el álgebra de Virasoro y conmutan con los Lm 's. entonces imponemos las condiciones (1.86) para los Lm's y además (Lo - L 0 )jfísico >=O (1.87) (Esto requiere que A = A). El operador U, = ci<(Lo-Lo) genera traslaciones rígidas en a (es decir, satsface UJX"'(a,r)U. = X 1'(a+E,r)). Como ningún punto en 11na cuerda cerrada es privilegiado, debemos imponer (1.87). En la teoría clásica, la condición Lo da la masa de la cuerda en términos de osciladores. Aquí, para la cuerda abierta ex> Lo = a' ¡l'p,, + L ª-n . °'n = A. n=l (1.88) 1.2 Cuantización 39 Por lo que M 2 = pl'p,, y la." ~estfi~ciÓn'LolÍísico >= O implica que la masa de los estados físicos esta dada pcfr:" . ' .•. ?< '1 M 2 jfísicó >=<-,(N - .4.}lfísico > ' '·. ' .. ,,• ,', °' {l.89) donde hemos definido el número de nivel .V= L:m>O °'-m · °'m· Para la cuerda cerrada obtenemos a partir de las expresiones para L 0 y M 2 = MJ, + M'fr_ = 2_(J\' + iY - 2A) a' Ml_=MJ. La segunda ecuación es consecuencia de {l.87). {l.90) {l.91) La masa del estado base es determinada, tanto en la teoría de la cuerda abierta como de la cerrada, por las constantes de ordenamiento normal. Es- tas constantes se anulan en las expresiones para los operadores de momento angular y el álgebra de Poincaré se mantiene a nivel cuántico. Además, como [Lm, J'"'] = O, las condiciones de estado físico son invariantes bajo transfor- maciones de Lorentz y los estados físicos forman multipletes de Lorentz. Se puede demostrar un teorema de "no fantasmas" que establece que los fantasmas se desacoplan en 26 dimensiones si A = l. En este formalismo covariante sólo se pueden ver indicaciones de una simetda extra para estos valores. Se llega a la misma conclusión a partir de la cuantización en el gauge del cono de luz y de la cuantización por integral de trayectoria. En este trabajo solo revisaremos la primera de éstas. 1.2.2 Cuantización en el gauge del cono de luz Cuando fijamos el gauge conforme hab = T/ab vimos que aún existen simetrías residuales. Estas pueden utilizarse para elegir otros gauges. En el gauge del cono de luz, las ecuaciones de restricción de Virasoro pueden resolverse explícitamente y la teoría contiene únicamente estados físicos. No es co- variante en forma manifiesta pero no contiene fantasmas. Puede mostrarse que el espectro es equivalente al obtenido en la formulación covariante. En esta tesis obtendré el espectro a partir del gauge del cono de luz, por ser la forma más sencilla de hacerlo. Primero vamos a introducir coordenadas del cono de luz en el espacio- tiempo X'O + ''D-1 x+= J; Xº-xv-1 x- = v'2 {1.92} donde hemos escogido en forma arbitraria, en forma no covariante, xv-i Las coordenadas restantes ,'(i, i = 1, .. ., D - 2, son coordenadas trasversas. 40 Preliminares sobre la cuerda bosónica El gauge del cono de luz fija las simetrías residuales que sobreviven después de fijar el gauge conforme, y esta libertad residual se usa para escoger r o: ,y+. Recordemos que las parametrizacióncs que satisfacen V of.fl + 'V fJf.o o: hab pueden compensarse con un recscalamiento de \Veyl. Expresados en coordenadas del cono de luz (a± = T ± a) los difcomor- fismos que preservan el gauge satisfacen o+f.- = [)_f,+ = O, es decir, f.± = ..;±(a±). La simetría residual corresponde a la posibilidad de reparametrizar a+--> a+(a+), a- --t a--(a-), o infinitesimalmente, ¿;.±=a±+ t=_±(a±). En términos de r =Ha++ a-) y a= Ha+ - a-) r= ¡j = (1.93} (1.94) La primera ecuación establece que 7 puede ser una solución arbitraria de la ecuación de onda 8 2 a2 ( 8a2 - ()72 ) .¡. = O (1.95) Esta es la ecuación que las coordenadas del espaciotiempo X"(r, a) obede- cen (en el gauge conforme). Por tanto, la libertad de gauge corresponde al hecho de que podemos hacer una reparametrización de forma tal que 7 sea igual a una de las X". r = ;: + const. Esto se expresa usualmente como (1.96) clásicamente corresponde a escoger los osciladores a;:- = O para n ~ O. Ahora las condiciones de Vira.soro (X ± X')2 = O se expresan como ex- ± x'-) = - 1-(X' ± x'')2 2p+ (1.97) donde usamos el hecho de que los componentes diferentes de cero de la métrica de Minkowski son 1/+- = T/-+ = -l,r¡¡; = Ó¡;, y X'= p+. Esta ecuación puede resolverse para x- como función de X', de manera tal que en el gauge del cono de luz x+ y x- pueden eliminarse, dejando solamente osciladores transversos ,x•. Usando la expansión en modos de X' (1.98) la solución explícita de (1.97) es (1.99) ·1.2 Cuantización donde introducimos una constante de ordenamiento normal para o 0 • La condición de cascara de masa en el gauge del cono de luz se obtiene usando Ja identificación de o 0 con p-. Para n = O (1.100) Por tanto, (1.101) Tn-1 donde N = 2:::'=1 °'~n°'~ sólamente incluye contribuciones de los osciladores transversos. En el gauge del cono de luz todas las excitaciones de cuerdas son gene- radas por los osciladores transversos o~. El primer estado excitado es a~dO;k > (1.102) que es una representación vectorial de (D - 2) componentes del grupo de rotaciones transversas SO(D-2). Un vector polarizado en forma transversa, sometido a una transformación de Lorentz, adquiere una polarización lon- gitudinal en general, a menos de sea no masivo. Esto responde al hecho de que una partícula no masiva corresponde a una representación irreducible de SO(D - 2). Entonces, el gauge del cono de luz no puede proporcionar una teoría invariante de Lorentz a menos que el estado vectorial ( 1.102) sea no masivo, es decir, el parámetro a debe ser igual a l. Intentemos establecer una restricción sobre D. Primero consideremos un argumento heurístico que utiliza el resultado anterior de que A = 1 debido a la invariancia de Lorentz. La constante de ordenamiento normal puede calcularse directamente de D- 2 oc : +-- '"""' 11 •) ¿_ .... t1=l (1.103) La suma infinita sobre n arriba debe ser regularizada. Empleando la regu- larización de la función zeta obtenernos L::;"= 1 n = -1/12. Por tanto, D-2 A=l=- 2 - (1.104) lo que implica que D = 26. Este resultado, A = 1 y D = 26, son condi- ciones necesarias y suficientes para tener invariancia de Lorentz, y puede ser probado en forma más rigurosa por un estudio sistemático de los gene- radores de Lorentz Jlw, (1.105) 42 Preliminares sobre la cuerda bosónica Las relaciones de conmutación entre los Jiw pueden calcularse explícitamen- te en el gauge del cono de luz, y como resultado aparece una ano1nalía en [Ji-, Ji-¡. La invariancia de Lorcntz requiere que este conmutador se anule. El cálculo directo de este conmutador nos proporciona (1.106) con .ó. =ni(26-D) +..!:...(D-26+ 2(l-A)) m · 12 m 12 (1.107) Si pedimos que .Ó.M = O, Vm, obtenemos D-26 y A-1, como esperabamos. 1.3 Espectro de la cuerda bosónica Los estados de la teoría se generan actuando con los osciladores transversos sobre el estado base. Debemos distinguir entre la cuerda abierta y la cerrada. 1.3.1 Espectro de la cuerda abierta - El estado base es IO; k >. Su masa esta dada por el operador a' 1112 10; k >= -AIO; k >, y con~o A = 1, este estado es un taquión. La presencia de una taquión en el espectro significa que el vacío es inestable y la teoría puede ser inconsistente. Si se incluyen grados fcrmiónicos de libertad en la hoja de mundo en forma supersimetríca y si requerimos supersimetría en el espaciotiempo, el taquión desaparece. El primer estado excitado a'... 1 IO; k >, es un vector sin masa de D - 2 dimensiones perteneciente al grupo de rotaciones trasnversas SO(D- 2). La invariancia de Lo1·entz requiere que los estados físicos sean representaciones del pequeño grupo del grupo de Lorentz SO(D - 1, 1), el cual es SO(D - 1) para una partícula masiva y SO(D - 2) para partículas sin masa. El gauge del cono de luz tiene la desventaja de proporcionar los estados como multipletes de SO(D - 2), a pesar de que la demostración de invariancia de Lorentz. que es Yá!ida en D = 26, garantiza que los niveles masivos llenan completamente los multipletes de SO(D - 1). Los estados excitados más altos de la cuerda, que son masivos, efectiva- mente forman representaciones completas de SO(D-1). Se puede confirmar esto a mai~o para algunos pocos niveles, y en un ánalisis más completo ésta propiedad resulta de la existencia del conjunto completo de generadores de Lorentz. Los primeros estados con masa positiva ocurren en el nivel 1, y están dados por y a'._ 1 ~_¡jO;k > (1.108) ·~~~~~------------------------------------......... ~~~~ - 1.3 Espectro de la cuerda bosónica 43 Estos son D - 2 y (D - 2)(D - 1)/2 estados, respectivamente. La suma (D - 2)(D + 1)/2 es la dimensionalidad de una representación simétrica sin traza de SO(D - 1), que debe ser la rPspuesta completa entonces. En el nivel i\J2 = 2/u' los estados posibles son ( 1.109) un total de 24 + 576 + 2600 = 3200 estados. Estos se combinan para formar representaciones de 80(25). En forma similar, para a' l\tl2 = 3 se obtiene un total de 25650 estados. Los extremos de la cuerda abierta son puntos especiales, por lo que es posible asignarles grados de libertad no dinámicos. Por ejeinplo, se les puede asociar "cargas". un ·'quark" en un extremo y un "antiquark" en el otro, e introducir un grupo de simetría U(n) bajo el cual el "quark" y el "antiquark" se transforman en las representaciones n y ñ respectivamente. En este caso, una base ele estados de cuerdas \k; ij >, donde i, j = 1, ... , n, corresponde a los estados U(n) de un "quarkº' y un "antiquark". Ahora tenemos n 2 estados no masivos y los operadores co- rrespondientes contienen U(n) generadores >.f1, conocidos como factores de Chan-Paton. 1.3.2 Espectro de la cuerda cerrada El espectro de estados de la cuerda cerrada es fácilmente deducido del de la cuerda abierta. Las cuerdas cerradas en el gauge del cono de luz se describen por dos conjuntos de osciladores transversos, a~ y ó~. Además existe la restricción de que L 0 = L 0 , conocida como la condición de coincidencia de niveles. Por tanto el multip\ete de la cuerda cerrada con u'Al2 = 4(N - 1) esta dado por los productos tensoriales de los estados de cuerdas abiertas con ellos mismos, teniendo a' M 2 = N - l. El estado base es un taquión con u' M 2 == -4. El siguiente nivel es un conjunto de estados no masivos de la forma (l.110) con 80(24) números cuánticos correspondientes al producto tensorial de un vector no masivo de S0(24) perteneciente a los modos izquierdos con un vector no masivo de S0(24) proveniente de los modos derechos. Este estado puede descomponerse en forma natural en representaciones irreducibles del pequeño grupo 80(24): °'; éij \O· k >= al• a(l \O· k > + (a(i ¿yil - --1-cSií uk iik ) IQ· k > ) -1 -1 , -1 -1 , -1 -1 D _ 2 -1 -1 1 ' 1 . . k k + D _ 2 c5'1 u_ 1 0_:_ 1 )\O; k > (1.111) La parte de (1.111) que es simétrica y sin traza en i y j se transforma bajo S0(24) como una partícula no masiva de spin 2: el gravitón. La traza 44 Preliminares sobre la cuerda bosónica Ó;;n'._ 10:.dO; k >es un escalar no masivo, usualmente denominado el dilatón. Finalmente, la parte antisimétrica se transforma bajo S0(24) como un ten- sor antisimétrico de segundo rango. Uno puede también describir estados de cuerdas cerradas de masa positiva al cuadrado tomando los productos adecuados ele estados de cuerdas abiertas derechos e izquierdos. El espectro descrito anteriormente es aquel de las cuerdas cerradas orien- tables. También es posible restringir el espectro a estados correspondi- entes a una cuerda no orientada. Físicamente, la cuerda orientada posee una "flecha intrínseca" mientras la cuerda no orientada no tiene dirección. iVIatemáticamente, una cuerda no orientada es una cuerda cuya función de onda \ll(.Y''(a)) es invariante ante a ~ -a. La función de onda cuántica de una cuerda orientable no tiene tal restricción, por lo que deducimos que hasta ahora hemos descrito teoría de cuerdas cerradas orientables. Vamos describir el caso no orientado brevemente. El concepto de orientabilidad puede hacerse preciso definiendo un operador T que revierte la orientación de una cuerda, es decir, rt,'(••(a,r)T = Xµ(l - a,r). Dado que a~ -a intercambia osciladores izquierdos y derechos, el estado \w >de una cuerda no orientable debe ser simétrico bajo el intercambio de los dos conjuntos de osciladores. Por ejemplo, en el nivel no masivo el término del tensor an- tisimétrico debe ser removido, mientras que el gravitón y el dilatón deben conservarse. Para la cuerda abierta, la teoría no orientada contiene estados con un número de modos par, es decir, los estados itnpares están ausentes y en forma particular, no tiene estados no masivos. En términos de osciladores esto se expresa como rta:~T = (-l)nXµn~ T1 n~T = ó~ (cuerda abierta) (cuerda cerrada) (1.112) (1.113) Hemos ,·isto que es posible introducir grupos de gauge en la teoría de cuer- das abiertas, por ejemplo U(n). Clásicamente otros grupos son igualmente posibles si se consideran cuerdas abiertas no orientadas, en particular SO(n) y Sp(n). Todas las teorías de cuerdas bosónicas estan enfermas así como están formuladas, debido a que su espectro contiene al taquión. Este in- dica que uno esta haciendo teoría de perturl:>aciones alrededor de un vacío inestable. Es concebible que el taquión de la cuerda cerrada se condense en una forma análoga al mecanismo de Higgs: en el caso de un extre1no con simetría no rota para el potencial de Higgs en el modelo estándar existe un mínimo estable, donde el campo de Higgs adquiere un valor de expectación del vacío. Recientemente se ha tenido éxito en demostrar que taquiónes de la cuerda abierta be condensan en un mínimo estable, pero el destino de los taquiónes de la cuerda cerrada es aún un problema abierto. Para poder interpretar el espectro que obtuvimos, debemos considerar interacciones de cuerdas. ···~ 1.4 Interacciones 45 1.4 Interacciones En ésta sección vamos a exponer brevemente la noción de cuerdas que inte- ractuán. El caso más sencillo es el de la cuerda cerrada. Así como se hace en teoría de campo, las amplitudes de interacción se describen mediante un desarrollo perturbativo usando la técnica de diagramas de Feynman, sólo que ahora la extendemos a objetos de una dimensión. Hasta 1995 sólo era posible describir a la teoría de cuerdas mediante métodos perturbativos. La amplitud vacío-vacío A esta dada por ( 1.114) Para calcularla, debemos sumar sobre todos los diagramas de lazo. Para una cuerda cerrada esto significa que debemos sumar sobre todas las superficies orientables compactas. En dos dimensiones éstas superficies se caracterizan en forma completa por el número de Euler, es decir, el número de agujeros, X(~) = 2_ J d2a..fhn<2i 47f (1.115) ahora generalizamos la acción de Polyakov agregando el un término topológico así: S = Sp(X 1 , hab] + (1.116) donde cjJ(X1 ) es el campo escalar del dilatón, y vemos que el papel que juega corresponde al acoplamiento de las interacciones gravitacionales del lagrangiano en 2D de Einstein-Hilbert. Si definimos la constante de acopla- miento de la cuerda como g. = e, la ecuación (1.114) se generaliza a, A~ L g;: JI Dhab DXIeiSp[X',i. •• J )( (1.117) la amplitud definida en la cascara de masa corresponde a g =O y el resto (g 2: 1) corresponde a correcciones a g-lazos. Para definir funciones de correlación de operadores se requiere el concepto del operador de vértice, iv,... v,..(k) = f d2aVhW,..(a, rk k·X (1.118) donde VV,..(a, r) (con A un campo no masivo genérico del espectro bosónico) es un operador local asignado a un estado específico de la teoría. Por ejem- plo, para el taquión tenemos que WT(a,r) = 8 0 X 18ªX 1 , mientras que para el gra,·itón G con polarización E,;j es l'Va(a, r) = E,;j80 X;8" Xi. Los operado- res v" son in,·ariantes conformes, y por tanto m1is apropiados para definir 46 Preliminares sobre la cuerda bosónica amplitudes de dispersión. Entonces se puede obtener la amplitud de dis- persión de los operadores de vértice en función de los operadores invariantes, ''A· En· forma pcrturbativa, la amplitud esta dada por, N A(A1,k1; ... l\.n,kn) ~ L g-:. Nuestra suposición de localidad combinada con el análisis dimensional nos dice que la forma del lado izquierdo de (2.18) es, (2.21) No podemos determinar la constante de proporcionalidad A a partir de las propiedades generales, ya que precisamente tal constante es específica de la teoría. La normalización ;{¡¡ tiene origen histórico. El hecho de que podamos tener algo distinto de cero a la derecha de (2.21) establece que la simetría conforme es generalmente anómala en teoría de campo en dos dimensiones, y hemos logrado parametrizar esta anomalía potencial de una forma particularmente sencilla. De (2.21) podemos obtener la forma de la parte anómala de la acción efectiva misma. Primero integramos ambos lados con respecto a z (2.22) Ahora recordemos que el factor de escala conforme siempre compara a la métrica con otra métrica de referencia "'. 'Yab = e '°Yab• (2.23) (en el gauge conforme ..:Y es la métrica plana). Con esto en mente se verifica que (2.22) se satisface con w = 4~tr J d2f. .,/f (~i'ªbªª"' abq, + Jt2e"') + términos invariantes conformes (2.24) La suposición de que la anomalía es local nos permitió caracterizar la parte no invariante conforme de la acción cuántica efecti\-a mediante un parámetro adimensional, A, y un parámetro ditnensional 11 (que finalmente no juega ningún papel en nuestras consideraciones). Los términos en lV que depen- den de el factor dr. escala bidimensional, , se conocen como la acción de 54 Cuerdas en espaciotiempos curvos Liouville. Desde el punto de vista de la teoría de cuerdas, es incómodo que H' dependa de nuestra elección de métrica de la hoja de mundo después ele todo, y se han llevado a cabo muchos esfuerzos por deshacerse de ésta dependencia de varias fonnas. Como veremos más adelante, en el cálculo explicito ele la anomalía, el coeficiente ..\ no es cero aún en la teoría libre, y menos cuando introducimos interacciones. El hecho de que la integral de camino no es invariante de \'Veyl es genérico a la teoría ele campo conforme en 2D. 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 2.3.1 Expansión del producto de operadores y el álgebra de Virasoro Combinando (2.18) y (2.21) se puede ver que el valor de expectación de T,. no es analítico debido a la anomalía de Weyl (o anomalía conforme): (2.25) Sin embargo, es posible "mejorar" el tensor de energía -momento para hacer que su valor de expectación sea analítico. Podemos usar ciertas identidades conformes [8] para mostrar que, 'í1 ,R(2 > = v"(-28,8, + 8, a.<1>). (2.26) Esto significa que si definimos el componente zz del tensor· de energía - momento "n1ejorado" corno o ..\ 2 (8 2) T,, = T,, + 48 71" (28, - ,) , (2.27) entonces su valor de expectación es analítico (2.28) Dado el papel especial de las repararnetrizaciones analíticas, y el poder de la teoría de funciones analíticas, es muy conveniente tener operadores con valores de expectación analíticos. En el resto de la sección vamos a obtener una expansión del producto de operadores para este tensor de energía-momento "mejorado" e indicaremos como puede ser convertido en un álgebra de Vira.soro. Notemos que el valor de expectación (2.28) se refiere a una métrica de la hoja de mundo específica. La ecuación es válida, por supuesto, para cualquier elección de la métrica, y podemos, si es necesario, calcular la variación con respecto a la misma. La 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 55 variación de la acción clásica dentro de la integral de trayectoria genera un segundo factor del tensor de energía-momento en el valor de expectación. La variación, claro está, también act üa en las deri\·adas co\"ariantes y en la curvatura escalar y por eso se generan otros términos. Supongamos que Ja \"ariación es con respecto a lzz en un punto w, diferente del punto en que el T,.(z) original es evaluado. Esto resulta en una ecuación que in\"olucra una función de correlación diferenciada de dos T's. Después ele hacer Ja integral y reemplazar el tensor de energía-rno1nento con el '·1nejorado··. tene1nos que (r<º>r<º>) _ ~ 1 (T~~i) Dw(T~ºJ) . . " 1 ( ) zz ww - 2 (z _ w)~ + (z _ w) 4 + (z _ w) +termmos re 0 u ares 2.29 El resto de los términos son regulares en el sentido de que no tienen sin- gularidades cuando z se acerca a w. El coeficiente de la singularidad de mayor orden es precisamente la >. que caracteriza la ausencia de invarian- cia conforme per sé. Tal ausencia se manifiesta con10 un término anómalo en la expansión de corta distancia de un producto de tensores de energía- momento. (2.29) tiene el mismo contenido que la expansión del producto de o- peradores de energía-momento que encontramos en las teorías de campo conformes. De hecho puede usarse para generar el álgebra de Virasoro. Expandiendo a T~~l en una serie de Laurent tenemos, (2.30) Los coeficientes, Ln, son los famosos generadores de Virasoro. Integrando a lo largo de contornos elegidos en forma ingeniosa y haciendo uso de la estructura de singularidades de los diversos términos de la expansión pode- mos hacer que (2.29) nos de información acerca de los conmutadores de los Ln's, es decir, que satisfacen el álgebra: >. 2 (Lm, Ln] = (m - n)Lm+n + 12 n(n - l)óm,-n (2.31) Hasta ahora hemos ignorado al componente antianalítico T.,,, que es un objeto independiente y define otro conjunto de operadores, los Ln 's. Ellos también satisfacen el álgebra anterior pero conmutan con los Ln's. Finalmente podemos establecer cómo la restricción clásica sobre la nu- lidad de los componentes del tensor de energía-momento se implementa a nivel cuántico. Debido a las anomalías de \Veyl, en general podemos esperar complicaciones dado que la traza del tensor de energía-momento no es cero. A pesar de ello, si la anomalía tiene una forma simple local caracterizada por un único n1ímero e, aún podemos encontrar qué valores de expectación de los otros componentes independientes del tensor son analíticos. Con el fin de aplicar las ecuaciones de restricción restantes, nos gustaría hacer 56 Cuerdas en espaciotiempos curvos cero a Ta y T.,, lo que equivale a que Jos operadores Ln y Ln aniquilen a todos los estados. Sin embargo, esto no es consistente con el álgebra que los operadores satisfacen. Esta >ílgebra nos permite que la mitad de ellos sean cero. Los estados físicos se definen como aquellos que son aniquilados por L,. y Ln con n > O y no por los operadores de n negativa. Esto significa que Jos valores de expectación de los generadores de Virasoro, excepto quiza por Lo y L0 , son cero para estados físicos. En una teoría saludable sólamente Jos estados físicos contribuyen a los elementos de la matriz S. Por ello, si comenza1nos con una teoría bidimensional que sea invarian- te conforme a nivel clásico se debe estar consciente que la simetría con- forme será anómala, y la anomalía aparecerá en la traza del tensor de e- nergía-momento. En la siguiente sección vainos a calcular explícitamente la anomalía para una forma específica de Ja acción efectiva A[X, -y], con inte- racciones no triviales en ella. Lo que tratamos de mostrar en ésta sección es que aún cuando existe una anomalía, gran parte de la física que que- remos extraer de Ja teoría es válida. También tenemos al tensor de ener- gía-momento "mejorado", cuyos componentes poseen expansiones de corta distancia adecuadas, analíticas y anti-analíticas, de las que obtenemos un álgebra para Jos generadores de Virasoro y ésta nos perrnite definir estados físicos que dan valores de expectación cero de los componentes analíticos y antianalíticos del tensor de e.e. Aún con la presencia de anomalías, éstas no son catastróficas y en el caso de nuestro interés, dejarán intacta Ja física de las teorías de campo conformes en 2D. 2.3.2 Modelos Sigma La acción de Polyakov es invariante de \l'veyl. El único término que pode- mos agregar y continuar gozando de ésta simetría posee una función de acoplamiento del espaciotiempo antisimétrica en Jos índices: SAs = - 1 - J d2f. t:ªb 8aXµ8bXv B 1w 411"0<' (2.32) Aquí t:ªb es un símbolo de Levi-Civita antisimétrico en dos dimensiones. Es una densidad tensorial más bien que un tensor, por lo que no necesitamos un factor ..,/'Y para la medida invariante ante reparametrizaciones. En general podemos esperar que Ja renormalización haga aparecer todos Jos posibles términos de la misma (o menor) dimensión que Sp y SAs- En una hoja de mundo curva, podmeos escribir otro término más de dimensión dos: el término topológico: (2.33) Este ténnino es invariante ante reparametrizaciones y el acoplamoento (X) es una función escalar del espaciotiempo. Por utro lado, este término no 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 57 es invariante de \11/eyl. Como queremos que nuestra teoría clásica sea in- variante de \Veyl, la idea es ver a So actuar a ordenes mayores de lazo que donde ncttian los otros términos, y cancelar su variación a nivel de árbol con las a1101nalías de \Veyl a primer orden que generan los otros, y así suce- sivamente. Este papel de So es congruente con el análisis dimensional en el espacioticmpo. La función de acoplamiento (X) se transforman en forma covariante bajo transfor- maciones de coordenadas generales de espaciotiempo y además, como men- ciona1nos al principio, SAs es invariante ante "transformaciones de gauge" del espaciotiempo (2.37) 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 59 donde D.1, es alguna función vectorial. Es deseable arreglar la expans1on perturbativa de manera que estas simetrías del espaciotiempo sean mn· nifiestas. Esto significa que queremos calcular diagramas usando vértices y propagadores covariantes y debemos usar un procedimiento de regula- rización de las integrales de lazo diYergentes que sea compatible con la co\·ariancia general del espaciotiempo. Así cualquier contratérmino que encontremos tan1bién será covariante y la anomalía conforme será expresada de una forma invariante de coordenadas del espacioticmpo. La forma de logarlo es a través de un truco, llamada expansión covariante en campos de fondo. La idea básica es separar los campos bidimensionales en una parte ele '~fondo" y una parte "cuántica", X''(() = xg (t;) + n''(t;) (2.38) y después hacer que la integral de trayectoria sea sobre los n 1' •s únicamente (que es la razón por la que los llamamos campos cuánticos). Los campos de fondo ,-iven en la teoría en 2D y no deben confundirse con los campos de fondo descritos por las funciones de acoplamiento. Definimos una función de partición de fondo: r2[X0 , -y] = ! [Dn] exp ( -(A[Xo + n] - A[X0 ] - ! d 2t; o:i~t;) nµ(t;))) (2.39) El siguiente paso es expandir la acción clásica en potencias del campo cuántico, nµ, y derivar reglas de Feynman para los diagramas. Como es usual el propagador se obtiene del término cuadrático. Depende de los fondos Xf:'s, considerados funciones clásicas aquí. Los términos de orden cúbicos o de orden mayor en la expansión dan lugar a vértices de interac- ción dependientes de los fondos con aún más patas. S1[X0 , ") J puede verse como la funcional generadora de diagramas de lazo con todos los árboles externos an1putados. A primer orden, la cancelación de la parte divergente de la cantidad -logr2[X0 , -y] proporciona los contratérminos necesarios para la acción efectiva. A dos lazos debemos calcular todos los diagramas irre- ducibles de una partícula a segundo orden y también todos los diagramas a primer orden que involucran inserciones de los contratérminos obtenidos en el lazo. Quedan pendientes algunas cosas antes de proceder. Mientras ésta ex- presión diagramática conduce a una teoría de perturbaciones bien definida, y sin duda proporcionará resultados correctos, no es covariante manifiesta desde el punto de vista del espaciotiempo. La razón es que el campo cuántico n 1'(t;), es definido como una diferencia de coordenadas en el espaciotiempo (entre el valor del campo completo Xµ y el campo de fondo X/;(t;)) y por tanto no se transforma como un vector bajo transformaciones generales de coordenadas. Necesitan1os reemplazarlo con una Yariable de integración, en la integral de trayectoria, que sea un vector en el espaciotiempo. Una 60 Cuerdas en espaciotiempos curvos opc1on natural es un vector tangente a la geodésica del espaciotiempo que conecta los puntos ..-Y/; y x::; + n". Vamos a suponer que tal geodésica es única, >.''(t) y vamos a elegir ef parámetro afín t tal que >.µ(O) = X/,' (t;} y >.''(l} = Xb'(t;) +nµ. Ahora sea 11'' el vector tangente a >.''(t) en Xb', es decir 1¡1' = ).µ(O}, donde el punto indica derivada con respecto a t. La ecuación geodésica para >.µ(t) es _:\µ(t) + r::">.(t)A"(t) =o. (2.40) Es uso repetido de esta ecuación nos permite escribir la expansión de Taylor de >."(0} alrederor ele t =O, en términos de 7)µ y símbolos de Christoffel del espaciotiempo, (2.41) Los símbolos r de orden mayor denotan símbolos de Christoffel diferen- ciados, r~ .... O'n = v:., ... v:. __ ,r~n-l 3 se pueden derivar fórmulas que relacionen derivadas de orden mayor simetrizadas de símbolos de Christoffel con derivadas co- variantes del tensor de curvatura, pero no las vamos a obtener aquí. Una vez que estas relaciones en coordenadas normales han quedado es- tablecidas, podemos "covarianizar" la expansión de Taylor de un tensor arbitrario. En el sistema de coordenadas normales, la expansión de Taylor queda como - ~ 1 - T¡, 1 ••• 1," (Xo + r¡) = L.J 1(8.,1 ... 8.,m T,,. ... ,." (X0))1¡"1 ... r¡""' m=O ni. (2.46) reemplazando las derh·adas en los coeficientes de Taylor por derivadas co- variantes se generan términos que involucran derivadas (simetrizadas) de la conexión. Entonces podemos usar (2.45) y sus contrapartes de mayor orden, para reescribirlos en términos del tensor de curvatura y sus derivadas co- variantes. Por ejemplo, en el caso de un tensor de segundo orden obtenemos Esta expansión involucra únicamente tensores del espaciotiempo y derivadas covariantes, por Jo que es válida en cualquier sistema de coordenadas (siem- pre y cuando r¡ sea un vector), a pesar de que usamos coordenadas normales para derivarla. Es una expresión covariante general de T,..,()(0 + 7í) y pode- mos remover las barras de la notación. Ahora encontremos la expansión covariante ele Jos distintos términos de nuestro modelo sigma. Primero consideremos la acción de Polyakov. La métrica del espaciotiempo tiene una expansión particularmente siemple porque es simétrica y su derivada covariante es cero. En tal caso, (2.47) se reduce a: (2.48) Con el fin de expandir 8a(Xf; + 7r'') tomamos Ja derivada 8a en ambos lados de (2.42) y aplicamos (2.45) para obtener: (2.49) 62 _'. ~·-~'-·; ' Cuerdas en espaciotiempos curvos ,-, .. :. ' :··;··.: . ~ donde 'í1 aii" = a~~µ"+d~<~~)8~Xt11''. Combinando (2.48) y (2.49) tenemos Sp[¿~:J~r;i:~~,C~o:~c+·2:a' J d2 afi1ªbG,,.,(Xo)8aX/{'ílbrt +.. l / ¡•·· '·d·· 2{}4~.· .. , ..a~{c;~~(Xo)'íl a7J1''ílb7J" + Rµ>.uv8aX/i'8bXt{77"1¡"} 4wa · . .. ..·.· . . . + 3 :a' J d2 f.fi1ªb Rµ>.uv8aXf;77"r¡"'ílb7]" + 12~a' f d2 E.fi1ªb R,,,.,,.,r¡"77"'í1 aTJ"'ihr¡" (2.50) el término lineal en r¡'"' no nos interesa. Tenemos la libertad de elegir cualquier fondo )(/{ y si arreglamos que satisfaga las ecuaciones clásicas de 111ovimiento que se obtienen de Ja acción de Polyakov, el término lineal se anula. El primero de los términos cuadráticos en (2.50) involucra dos derivadas de los campos cuánticos, y por tanto es el término cinético de la teoría. Por otro lado involucra la métrica del espaciotiempo, que es una función del campo de fondo Xb', por lo que el propagador derivado de este ténnino será no trivial. El modo de librarnos de este obstáculo es introducir un ...-ielbein, e~(Xo), i = 1, ... , D, el cual refiere los vectores TJ" a un tnarco de refcncia local de Lorentz, (2.51) El ...-ielbein satisface (2.52) donde Ó;i es una métrica plana en D dimensiones. El término cinético es diagonal en el sistema de coordenadas r¡' (2.53) Aquí ('ílb)' = 8aTJ; + w;f8AXf;r¡i y w;f es la conexión de spin del espa- ciotiempo. La invariancia de coordenadas general en el espaciotiempo es una simetría interna SO(D-1, 1) desde el punto de vista del modelo sigma bidimensional y el campo A:f (X0 ) = w;f (X0 )8aZ/; se transforma como un potencial de gauge de Yang-Milis bajo transformaciones locales de Lorentz. Por supuesto, debemos romper la invariancia de gauge para definir el propa- gador para el 77;, pero el objetivo de la expansión en campos de fondo co- variantes es el mantener la covariancia de gauge en términos de los campos de fondo X/;. Algo que simplifica nuestro trabajo en forma considerable es el hecho de que los diagramas que involucran inserciones del potencial de gaugc Aa(Xo) tiene que combinarse para dar objetos covariantes de gauge (tales como el tensor de curvatura del espaciotiempo) para proporcionar una contribución distinta de cero. 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 63 Estas consideraciones, junto con la fortuna de que el propagador de la parte éJAr/éJAT/i de (2.53) es particulanuente simple, son buenas razones para cambiar las variables en la integral de trayectoria e integrar sobre los campos del marco de Lorentz local 1¡'. La medida de integración se define de fonna invariante ante can1bios de coordenadas en el espaciotie1npo para que el ca1nbio de variables de n'' a. r¡" y después a r¡i no la afecte. Regresemos a la expansión covariante de la acción. (2.50) incluye los términos de la expansión hasta prin1er orden en la curvatura espacioten1poral. Para diagramas de primer orden sólamentc usan1os los términos de segundo orden en 1¡; pero neccsitarc1nos el término cuártico para un cálculo a segundo orden más adelante. Usando el método que describimos arriba imnediata- mente generamos términos extra que involucran deri,·adas de la niétrica del espaciotiempo de orden mayor, pero el procedimiento se vuelve tedioso rápidan1ente. En nuestros cálculos no vamos a ocupar esos términos de orden mayor, pero si el lector se interesa en realizar cálculos más allá de pri1ner orden en la curvatura, tales ténninos son necesarios. Afortunada- mente existe una forma más sencilla de obtenerlos. En [ll] se describe un sencillo algoritmo recursivo que permite derivar cada orden sucesivo en la expansión covariante de Sp a partir del anterior, y se calculan términos hasta sexto orden en r¡". La expansión covariante de la acción del tensor antisimétrico hasta se- gundo orden en r¡' es SAs[Xo + 7r] = SAs(Xo) + 2 : 0 , J d 2 a,¡;y7ªb{B1w(Xo)a,.X/i"VbT/v + ~V'.AB,.v(Xo)éJ,,X/;éJbXoTJ.A} +- 4 l / f d 2 a,¡;y-yab { B 1w (Xo "V aTJ")V' bT/v + 2V' .ABµv(Xo)éJ,,X/;"V bT/v)TJ.A 71"0 +~ ['V.A V' uBµv(Xo) + B,.p(Xo)R~uv + Bpv(Xo)R~uv] DaXb'éJbXoTJ.AT/u} + .. (2.54) De nuevo, suponemos que el· campo de fondo satisface la ecuación clásica de movimiento y no consideramos los términos lineales. Es conveniente escribir la parte cuadrática en términos de la intensidad de campo del tensor antisimétrico H,.v.A == "V,,Bv).. + V'vB.A1, + "V.AB¡w· Debido a la invariancia ante transformaciones del tipo (2.37) la física en el espaciotiempo del campo tensorial antisimétrico sólo depende de su intensidad, la cual es invariante de gaugc. Despucs de integrar por partes y reacomodar términos en la parte cuártica de (2.54), la expresión toma la forma, 4 :. 0 , ! d 2 E,cªb{H,.;i(Xo)éJ.X/;V'bT/;rr + ~V',H,.viDaX/:DbX0r¡'r¡Í}. (2.55) El algoritmo de la referencia [11] puede aplicarse también para generar términos de orden nrnyo1· a partir de este. En particular la existencia de tal 64 Cuerdas en espaciotiempos curvos procedimiento recursivo asegura que a cada ordeu '"' la expansión covariantc sólo la combinación invariante de gauge H,..,).. aparece. El único término de orden mayor que usaren1os en uuestros cálculos PS cúbico en r/ e involuent la intensidad de campo sin derivadas: (2.56) La función de acoplamiento del dilatón es un escalar del espaciotiempo, por lo que la expansión de S 0 es muy sencilla, Sv[Xo + rr) = So(Xo) + ~ j d 2a.J'YR<2 >V'¡tfJ(Xo)11• 4,. +8~ j d2 a.,¡;;¡n<2 >'V.'V1..av· La contribución del diagrama anterior es J tfll l+(l+ + q+) {R a -:'(''ªª \"v}( ) 2rr 12(/ + q)2 '"' a• o , o q (2.61) Aquí l es el momento de lazo y q es el momento con el que insertamos 8+r/8+rr· La conservación del momento nos dice que el momento q se lo llevan los campos de fondo aa.Yb"s a la derecha del diagrama. R 1.., es el tensor de Ricci de la métrica del espacioliempo y como estamos trabajando en el espacio de mon1ento de la hoja de mundo tenemos una transformada de Fourier del producto de funciones dentro del paréntesis curvo. La integral de momento (2.61) es logarítmicamente divergente en forma superficial, pero el caracter tensorial de ++ del diagrama indica que el resultado debe tener el equivalente a dos factores de q+, y el diagrama es de hecho, finito. Esta es toda la idea de definir T_+ a partir de T++ via conservación. La integral es sencilla, por ejemplo, usando fórmulas de regularización dimensional estándar [14} se obtiene J á2l l+(l+ + q+) = _.!:. q+ (2.62) 2:rr F(l + q)2 4 q_ Habiendo obtenido la contribución a un lazo de (T++} de Sp ahora podemos usar la ecuación de conservación (2.60) para obtener (2.63) Esta es la anomalía conforme. La traza del tensor de energía-momento es diferente de cero aün si empezamos con una acción clásica invariante conforme y hemos descubierto a un lazo que el (T-+} anómalo depende de la curvatura del espaciotiempo. Si escogemos nuestra función de acoplamiento del espaciotiempo G 1..,(X0 ) tal que R,.v(X0 ) =O la anomalía desaparece, y eventualmente heramos algo así. La anomalía (2.63) no tiene ninguna potencia de a' enfrente. La in- serción del tensor de energía-momento y el término de interacción en el lagrangiano tienen ambos un ;:!-. enfrente y cada propagador tiene un a', por lo que los o/ se cancelan en el diagrama. Esto es de esperarse si a' es el parámetro que cuenta los lazos, porque a nivel árbol en tensor de energía-mon1ento tiene un 1, enfrente. Aün n¿ tenemos la ano;alía completa. Dos diagramas derivados de SAs también contribuyen. Uno tiene dos vértices que involucran la intensidad de ca1npo H 1..,>.: 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 67 Analizando las potencias, el grado superficial de divergencia es el mismo que en diagrama derivado para Sp, pero de nue...-o, el caracter ++del diagra111a nos dice que es finito. El cálculo es análogo al que ya hicimos, y muestra que este diagrama produce una anon1alía también, (2.64) El cual tiene la misma forma que (2.63) con el tensor de Ricci reemplazado por el cuadrado de la intensidad de campo del tensor antisimétrico. El otro diagrama derivado de SAs que contribuye a éste orden es, Esta vez la integral de lazo de momento es idéntica a (2.62) e inmediata- mente encontramos que la anomalía recibe la contribución: (2.65) que involucra una combinación antisimétrica (a diferencia de las anteriores que son simétricas) de derivadas en la hoja de mundo de los campos de fondo xt:. Los términos que acabamos de calcular, que forman la anomalía de \\ºeyl, pueden obtenerse de una forma muy distinta, lo que re,·ela la física que contienen desde otro punto de vista. Sucede que son lo~ mismos que las funciones beta del grupo de renorrnalización para S p y SAs. La función simétrica Gµ., y la función antisimétrica Bµv juegan el papel de constantes de acoplamiento en el modelo sigma no lineal y se puede hacer un cálculo de grupo de renormalización para obtener las funciones beta asociadas. Lo que se encuentra es que {J'¡f., es obtenida de la suma de (2.63) y (2.64) mientras que fJ,f., esta dada por (2.65). Una imagen muy interesante ésta tomando 68 Cuerdas en espaciotiempos curvos forma. La anomalía de \Veyl puede expresarse en términos de tensores del espaciotiempo construidos a partir de la curvatura y la intensidad del tensor antisimétrico, y puede identificarse con las funciones beta de los acoplanüentos de la teoría. Pero atín falta un elen~ento clave. Existe un tercer acoplamiento que se origina en el dilatón. Apareció en la acción clásica como un término 110 estándar que incluye la cun·atura de la hoja de inundo, y su influencia no es fácil de ver desde el punto de vista del grupo de renormalización. Sin embargo, los cálculos que resultaron la anomalía a un lazo pueden generalizarse para incluir el efecto del término del dilatón. Veremos que su presencia agrega piezas extra a los términos de la anomalía que corresponden a {J¡f., y fJ/!., más un nuevo tipo de anotua!ía, que puede verse como la generalización de la carga central del álgebra de Virasoro, y puede también interpretarse como la función beta del ac·oplamiento del dilatón mismo. Si sólamente consideramos teoría de campo en dos dimensiones, fJ¡f., y fJ/f., son la anomalía completa a un loop. En general son dos tensores inde- pendientes y si queremos que la anomalía se anule los dos deben igualarse a cero por separado. Existen excepciones a esto. Si la variedad del espa- cio target (el espaciotiempo) es una variedad de grupo el tensor de Ricci no se anula pero la anomalía de vVeyl de Sp puede cancelarse por una as- tuta elección de campo tensorial antisimétrico en SAs· El la literatura el acoplamiento de tensor antisimétrico se conoce como el término de Wess- Zumino. No tocaremos el tema de variedades de grupo dado que queremos estudiar teoría de cuerdas en un espaciotiempo general. 2.3.5 Acoplamiento de dilatón En la sección anterior establecimos las contribuciones de Sp y SAs a la anomalía de V.7eyl a un loop. Calculamos el valor de expectación de la traza del tensor de energía-momento en 2D, en presencia de campos de fondo en el cspaciotiempo, con una hoja de mundo plana. Ahora vainas a obtener la contribución de término de di!atón (2.33) de la acción clásica a la anomalía de Weyl. En So el dilatón del espaciotiempo está acoplado a la curvatura en 2D, pero podemos calcular la anomalía sin tener que hacer todos los cálculos en una hoja de mundo curva. Aunque el acoplamiento de dilatón se anula en el límite de una hoja de mundo plana, su variación con respecto a la métrica de la hoja de mundo no lo hace. En otras palabras, al incluir este término en la acción original en una hoja de mundo curva hemos cambiado el tensor de energía-momento en 2D aún en una hoja plana. Este tensor es siempre la· respuesta de la acción a una variación infinitesimal de la métrica y el acoplamiento del dilatón afecta ésta respuesta aún cuando el término en sí mismo en el lagrangiano se anula. Con algo de álgebra encontramos que esta adición al tensor de energía-momento es (2.66) ··~ 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 69 Debe ser lineal en n lugar de inten- tar hacer covariante la expresión en esta etapa. Ahora usemos la ecuación clásica de movimiento para X/,' para reescribirla. Como aün estamos traba- jando en una hoja de mundo plana la ecuación relevante de movimiento se deriva de Sp y SAs juntas, sin incluir a 5 0 : ox''' - r'' a \·Aa• , • ., - !_Hµ a VAª X"lªb O - ),.o a• O ,..'\.O 2 Au a,..'\O b O (2.69)' Si insertarnos ésta ecuación en (2.68) las cosas se combinan de tal forma que obtenemos un resultado covariante en el cspaciotiempo, D{.H>.µ.v}D0 Xtfob.Y,~lªb (2.71) 70. Cuerdas en espacioticmpos curvos Los objetos dentro del paréntesis curvo son f3if., y f3[:., con el efecto del dilatón incluido, G 1 2 f3,.., = Rµv - ;¡ H,.., + 2V' µ'V ., Óab· El tener invariancia conforme significa que la traza del tensor de energía-momento, evaluada usando la métrica 'Yab, se anula sin importar el factor de escala . Un requisito mínimo es que su primera variación con respecto de sea igual a cero. Si evaluamos la variación en una hoja de mundo plana forrnahuente tenemos una función de dos puntos de la traza del tensor de energía-1nornento. (2.73) Consideremos por el momento Ja parte de la teoría que es invariante de Weyl en forma clásica y posteriormente incluiremos el acoplamiento del dilatón. en tal caso la función de dos puntos en (2.73) es algo que se anula a nivel clásico y es distinto de cero sólamente porque la teoría es anómala. Usaremos .la conserYación del tensor de energía-momento para definir su valor en forma similar a corno definimos el valor de expectación de su traza. A nivel clásico las únicas funciones de dos puntos no nulas del tensor de energía-1nomento son (T++T++} y aquella con todos los subíndices menos. Es inmediato el cálculo de (T++T++}· Al orden más bajo en a' sólo un diagraina necesita ser evaluado, 2.3 .Ecuaciones para los campos de fondo 71 Es Ja misma historia que antes. El diagrama es superficialmente diver- gente pero la respuesta debe tener un caracter tensorial + + ++ y esto significa que en realidad, es finito. Es conveniente llevar a cabo una trans- formada de Fourier y calcular el diagrama en el espacio de momento. La conservación del momento nos dice que las dos inserciones D+rl8+r¡i deben tener momento opuesto. La integral de momento de lazo es relativamente simple: (0 (2.78) Esta función de dos puntos es la respuesta de T_+ a la variación del factor de escala métrica, evaluado en una hoja plana. Usando (2.78) podemos integrar (2.73) para obtener la traza del tensor de energía-momento D (T-+(~)).,..1 •• = - 48 oq, (2.79) El D'Alembertiano del factor de escala es la curvatura bidimensional de la hoja de mundo, y si usamos identidades conocidas [8] podemos reescribir la ecuación anterior como (2.80) De nuevo encontrarnos una anomalía pero esta contribución a la traza del tensor de energía-momento es de una forma diferente que las partes obtenidas en la sección anterior. Como el acoplamiento del dilatón, es proporcional a la curvatura en 2D y llamaremos al coeficiente de propor- cionalidad [3<1>. Esta anomalía únicamente depende de D, la dimensión del espaciotiempo, pero no parece involucrar los campos que viven en él. Claro que sólo obtuvimos esta anomalía a orden cero en n'. Para ver alguna dependencia en las funciones de acoplamiento del modelo sigma debemos ir a primer orden en n' y calcular diagramas a dos lazos. En esta etapa estarnos considerando la contribución a la anomalía de la parte invariante de Weyl a nivel clásico de la teoría, por lo que los vértices de interacción en los diagramas a dos lazos son aquellos derivados de Sp y SAs· Existen varios diagramas a dos lazos que podemos escribir pero sólo tres de ellos son relevantes para el cálculo de f3"'. R;¡klr¡í 1l1J"r¡i8a 1} 1 ª•"'ª···~··•'ª••' -- «·,;.;;- .. -··-..... ~·.,,,,,...,-----~------------------~ -~~ '• 2.3 Ecuaciones para los campos de fondo 73 Los vértices de estos diagramas vienen de los términos de interacción, en la expansión en campos de fondo, que escribimos en (2.50) y (2.54). To- dos los demás diagramas a dos lazos ya sea contribuyen sólo a !3ifv y f3,1!v o bien se demuestra que no son relevantes [8] por argumentos de simetría. En nuestro cálculo tenemos dos diagramas a dos lazos, que contribuyen a (T++T++>· Pueden tener subdivergencias que necesitan ser renormalizadas adecuadamente, por lo que tenemos diagramas de contratérminos que deben ser considerados, y así sucesivamente. No llevaremos a cabo los detalles aquí, pero siendo cuidadosos y sustrayendo las divergencias en forma que se respete la conservación del tensor de energía-momento en la hoja de mundo, cada diagrama al final proporciona una respuesta única y finita. El principio guía es la conservación del tensor de energía-momento, y nos permite definir cada diagrama sin ambiguedades. La estructura del momento de los tres diagramas anteriores restulta ser idéntica a la que teníamos en el caso a un lazo, q¡f q=, pero ahora tenemos coeficientes que dependen de los campos de fondo del espaciotiempo. Los índices de los vértices en las gráficas se con- traen de modo que proporcionan escalares en el espaciotiPmpo. Haciendo los cálculos de lazo, por tanto, debe resultar en un término que contenga al escalar de Ricci y otro con el cuadrado de H,,.,>., que también es escalar. El argumento de conservación que usamos para obtener (T_+T-+} a partir de (T++T++} depende solamente de la estructura del momento de un dia- grarna dado, pero no de su coeficiente. Si seguimos el argumento hasta el final encontratnos un nuevo conjunto de términos, que contienen a R y H 2 , sumados a f34'. Se puede verificar, contando vértices y propagadores, que los diagramas a dos lazos entran a orden o.' y es cuestión de detalle el obtene1· Jos números exactos enfrente. Ahora tenemos la contribución de orden o.' a f34' proYeniente de la métrica y el tensor antisimétrico del espaciotiempo, pero aún falta una pieza que proviene del dilatón mismo. Y es uatural porque sólo calculamos funciones de dos puntos de la parte im·ariante de Weyl clásica del tensor de energía- momento. También hay una contribución explícita del dilarón (2.67) a Ja 74 Cuerdas en espaciotiempos curvos traza del tensor de energía-momento que llamamos T'.'.iL. Recordemos que esta expresión tiene una potencia extra de a' co1nparada con el tensor de energía-momento clásico derivado de los términos invariantes de vVeyl en la acción, por lo que contribuye de dos formas a nivel de dos lazos. Una es a través de una función de dos puntos de T'.'.'.¡ consigo mismo a nivel árbol, y la otra viene de un diagrama a un lazo con una inserción de T.'.'.'.t. y una inserción de 8+r¡•a+rl. El único diagrama de árbol relevante al cálculo de /3ó, conecta dos vértices 'í71,)2 - 4'724>} (2.83) No pueden haber contribuciones extra a la anomalía de \Veyl a este or- den en la expansión perturbativa. La traza del tensor de energía-momento 2.4 Generalización de las ecuaciones de Einstein 75 es de dimensión de escalamiento dos y Jos únicos objetos que pueden dar una anomalía son operadores de dimensión dos. Al comenzar la sección de modelos sigma argumentamos que existían tínicamente tres estructuras independientes de dimensión dos en el modelo sigma bidimensional y Jos coeficientes /3¡/.,, fJ{j., y f3<1> son precisamente Jos coeficientes de esos objetos, Tª = __ 1_13c hªb8 X''8 X'' - _i_f3n Eªbo 'i\:''8 X'' - .!:.13"' R(2) a 2o:' µv a b· 2a' JJV a./ b 2 (2.84) Obtuvimos a f3<1> a orden o/ pero /3if., y f3{j., sólo a orden (u')º. Sin embargo, todos los coeficientes han sido calculados al mismo orden físico porque con- tienen segundas derivadas de las funciones de acoplamiento del cspacio- tiempo. 2.4 Generalización de las ecuaciones de Einstein En teoría de cuerdas queremos que el modelo sigma no lineal sea invariante de Weyl, por lo que debemos imponer Ja condición de que los coeficientes de Ja anomalía de Weyl se hagan cero: f3 = O. La parte de orden cero f3<1> no depende para nada de Jos fondos del espaciotiempo y está presente aún en el caso de espaciotiempo plano y vacío. De hecho se cancela por la contribución proveniente de Jos campos fantasma conformes que se necesitan para fijar la métrica bidimensional en la integral de trayectoria de cuerdas original. No discutimos los fantasmas aquí porque forman un sistema libre, completamente desacoplado de Jos grados de libertad que estamos buscando. Desde nuestro punto de vista su única virtud es que contribuyen con una parte constante de 13<1> que es - ~ en nuestras unidades. La parte de f3<1> de orden (a')º, por tanto, se elimina si escogemos el número de campos escalares en el modelo sigma (es decir, la dimensión del espacio- tiempo), igual a 26. Elegir D = 26 es todo lo necesario para eliminar la anomalía de \Veyl en una teoría libre bidimensional, pero en el modelo sigma no lineal general existen términos adicionales. La pregunta es si existe una configuración de la métrica, el tensor antisimétrico y el dilatón (en el espaciotiempo) tal que los tres coeficientes de Ja anomalía de \Veyl se anulen. Debemos tener en mente que calculamos estos coeficientes a primer orden en la serie de potencias de a.t. Realmente, Ja serie de potencias completa es la que se debe igualar a cero, estrictamente Ja función que aproxima. Mostraremos explícitamente la respuesta a esta pregunta en el contexto de nuestros cálculos a primer orden. Un procedimiento similar puede Jle,·arse a cabo incluyendo correcciones de orden mayor pero no llegaremos a tanto detalle en ésta tesis. Primero debernos atender un aspecto potencialmente problemático. En 1111 modelo sign~a no lineal general, f3<1> juega el papel de la carga central 76 Cuerdas en espaciotiempos curvos del álgebra de Virasoro. Esencialmente es el parámetro ..\ que discutimos anterionnente. encontramos que en una teoría de campo conforme genérica en 2D la acción efectiva depende ele la elección de la métrica bidimensional. Su variación con respecto al factor conforrne de la métrica es de la forma: un nú1nero, ..\, multiplicado por la curvatura en 2D, y éste coeficiente de n<2 > es precisamente lo que lla1namos !3"' en el modelo sigma. El asunto que nos preocupa es que mientras ..\ es simplemente un número que carac- teriza la teoría, 13"' en (2.83) tiene el aspecto de un operador que depende de la posición y del espaciotiempo. La métrica del espaciotien1po, el campo tensorial antisimétrico y el campo del dilatón son en general funciónes com- plicadas en el espaciotiempo. ¿Qué nos garantiza que f3"' es sólamente un número? La teoría resuelve este problema de forma interesante. Si querernos que el modelo sigma no lineal sea una teoría de campo conforme cuántica, debemos definitivamente imponer que /3'if., = /3{!., = O. De otra forma se presenta la anomalía conforme aún en una hoja de mundo plana. El hecho sobresaliente es que esta condición en sí implica que !3"' es una constante. Si /3ff.,(X0 ) es idénticamente cero entonces el su divergencia espaciotemporal también se anula. Por otro lado /3{:., = O se puede mostrar que la divergencia de /3'if., es en realidad igual al gradiente de !3"'; O = V" /3f;.,(Xo) = V .,f3"'(Xo) (2.85) . A partir de la nulidad de /3if., y /3/f., obtenemos que f3

.av y Hµv>. son objetos restringidos derivados de potenciales. Sin embargo, las condiciones de la anomalía de Weyl son mu- tuamente consistentes. Un inodo de entender esto es que todas ellas pueden derivarse de una misma acción del espaciotiempo. Mientras probamos ésta afirn1ación, veremos en fonna inás explícita con10 la invariancia conforme en la hoja de mundo conduce a la gravitación de Einstein en el espaciotiempo. Primero reor.µv = 2"J"ef>fi>.µv• \12. y

> ylq2 +m2 (3.1) donde <

es una constante que mide el rompimiento de simetría de gauge (valor de expetación del vacío). Ellos conjeturaron que la teoría poseía una simetría exacta que inter·cambiaba q por m. Una simetría que intercambia las cargas eléctricas y magnéticas debe intercambiar el cuanto fundamenta! e de carga eléctrica con un múltiplo del cuanto fundainental de carga magnética. Por ejemplo, en el caso de !\1ontonen-Olive la transformación es: 80 Dualidad T en teoría de cuerdas 47íC e (3.2) (donde c es la velocidad de la luz en el vacío) Y por tanto la constante de acoplamiento va a su recíproco. Tal simetría intercambia los campos eléctricos y nlagnéticos, de manera que un observador clásico vería la dua- lidad de las ecuaciones de Maxwell. Finalmente, esta simetría intercam- bia los cuantos elementales con excitaciones colectivas1 debido a que para acoplamiento débil, las cargas eléctricas actúan como cuantos fundamentales y las magnéticas como excitaciones colectivas. Esta es la razón por la que, para·el estudio de la dualidad, son importantes algunos objetos topológicos como los solitones, que precisamente representan excitaciones colectivas. En general la dualidad se entiende como la existencia de dos descripciones equivalentes de un modelo usando campos diferentes en cada una. Vamos a basar nuestra siguiente discusión en [23]. 3.2 Compactificaciones toroidales y dualidad R+-+ 1/R La solución más simple de (2.91) es el espaciotiempo plano de 26D con valores constantes para todos los campos. Para este caso tenemos una teoría libre bidimensional, la cual puede cuantizarse fácilmente resolviendo la ecuación de onda 8"8,.XM =O, los campos XM pueden escribirse como: (3.3) Xf/ y XJ'! representan modos de la cuerda moviéndose a la derecha e izquierda respectivamente, con la siguiente expansión de Fourier (la solución general de la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de Neumann): Xf/(r - u)= xt¡{ + pt¡f (r - a)+~ L ~a~ e-2in(T-u) n;éO xt((T +u) = xt;! + pt¡! (r +a)+~ L ~ii~ e- 2 •n(T+u) n;éO (3.4) x1¡{ y x';! son las coordenadas del centro de masa, pi){ = (1/V2ct')a!' y p1¡! = (1/.,/2ct')ii~1 son los momentos derechos e izquierdos respectivamente. Como se trata de una teroría libre, la cuantización asigna relaciones de 1 Estas excitaciones son efectos originados por el comportamiento colectivo de los objetos fundamentales del modelo y en la no linealidad de las ecuaciones que lo describen. 3.2 Compactificaciones toroidales y dualidad R++ 1/R 81 conmutación canónicas para los coeficientes de Fourier a{;'.,ó{1. 2 • con10 los osciladores de un oscilador armónico. El hamiltoniano da lugar a la fónnula de masa: J\1 2 =Nn+Nr,-2. (3.5) Donde iV n,L se refiere a los números de ocupación para los modos derechos e izquierdos y la condición para la asignación de niveles requiere .Vr, = Nn para que exista consistencia. Resalta el hecho de que el estado de "Yacía .. (/\' L = N n = O) es un taquión y el siguiente estado requiere un oscilador moviéndose a la izquierda como uno moviéndose a la derecha (i\-r, = _V n = 1). Debido a que a111bos osciladores llevan un índice que corre en el target space, el estado corresponde a un tensor arbitrario de dos índices a:Y, éi ~·1 JO) para el que la parte simétrica es la métrica G M N, la parte antisimétrica es BM N y la traza es el di latón . Podemos ver que no tienen 111asa y que siempre están presentes. El estado taquiónico se elimina utilizando supersimetría (Proyección GSO) y esto se verifica en la cuerda heterótica, en la que únicamente los n1odos derechos tiene un compañero fcrmiónico y la consistencia exige que vivan en un espacio de 10 dimensiones en lugar del espacio de 2GD de la cuerda bosónica. Los modos izquierdos son puramente bosónicos, pero el espacio de 26D que les corresponde tiene la peculiaridad de que las lG dimen- siones extra están compactificadas toroidalmente, y esto da lugar a esrados masivos vectoriales extra y corresponden a los campos de gauge del S0(32) ó del Es 0 Es. Para construir modelos de cuerdas realistas, es decir en menos de lOD, necesitamos Jle,·ar a cabo una compactificación de las dimensiones extra de la teoría. La compactificación más simple corresponde a que las dimensiones extra sean círculos y su generalización a más dimensiones. Veamos el caso del círculo. Esto significa que el espacio de lOD esta representado por el producto de un espaciotiempo plano de 9D y un círculo S 1 • Sabemos que un círculo es simplemente la recta real identificando todos los números que difieran en 27!" R, donde R es el radio de un círculo. Así que la diferencia con el espacio plano discutido arriba son las condiciones iniciales. La solución a las ecuaciones de onda es como en (3.4), pero ahora en Pn = m/2R-nR y p¡, = rn/2R+nR, mes un entero, reflejando el hecho de que el momento en la dirección compact.ificada está cuantizado con el fin de obtener una función de onda univaluada. El entero n, sin embargo, proviene del hecho de que la cuerda puede enrollarse Yarias veces en la dimensión compactificada y, -por tanto, nos referimos a él como el número de e11rollamiento (winding number). La fórmula de masa es entonces: Nn- Nr, =mn. (3.6) 82 Dualidad T en teoría de cuerdas Podemos resaltar varias características especiales de esta fórmula. En primer lugar, para n = O y variando m, obtene1110s una torre infinita de estados masivos con masas~ 1/ R; estos son los 'estados ele momento' estándar o de las compactificaciones de Kaluza-Klein en teoría de campo. En particular los estados sin masa con n = m = O y un oscilador en la dirección compac- tificada son campos vactoriales en las dimensiones extra dando lugar a una simetría de gauge Kaluza-Klein U(l)!, 0 U(l) 11 . Los estados con n #O son los estados de enrollamiento y provienen exclusivarnente de propiedades de la cuerda; representan estados de la cuerda cnrrollandose en el círculo, tienen una masa~ R. En segundo lugar, existen valores especiales de 1n y n que pueden dar lugar a estados masivos extra. En particular para ni = n = ±1 podemos ver que cuandc. el radio vale R 2 = 1/2 en unidades de a', existen estados sin tnasa con un sólo oscilador N 11 = 1, 1V1, = O ·correspondien- te a los vectores no masivos que en este caso generan SU(2)n x SU(2)L· Esto significa que el punto especial en el espacio de los 'moduli' del círculo R 2 = 1/2 es un punto con una simetría acrecentada. La simetría original de Kaluza-Klein U(l)n x U(l)L de la compactificación en un círculo pasa a una mayor simetría SU(2) 11 x SU(2)L· Este es un efecto muy típico de las cuerdas porque depende en forma crucial de la existencia de los modos de enrrollamiento (n =¡6 O). La tercera característica especial de esta compacti- ficación es que el espectro es invariante bajo las siguientes transformaciones de 'dualidad' [16]: 3.3 R +-+ _2__ 2R Tn Hn. (3.7) Efectos típicos de una transformación de dualidad T Esto también es una propiedad típica de las cuerdas. Intercambia pequeniis distancias con grandes distancias, y al mismo tiempo intercambia estados de momento (Kaluza-Klein) con estados de enrollamiento. Se puede demostrar que esta simetría se mantiene no sólo para el espectro sino también para las interacciones y por lo tanto es una simetría exacta de la teoría perturbativa de cuerdas. Extendamos la compactificación a dos dimensiones, es decir, que el es- paciotiempo de 26D es el producto de una espaciotiempo plano de 24D y la generalización bidimensional de un círculo, el toro T 2 • De nuevo la única diferencia con el espacio plano son las condiciones de frontera. Las dos dimensiones compactificadas se identifican con vectores en una red bidi- tnensional, definiendo el toro T 2 . A partir de las tres componentes indepen- dientes de la métrica compactificada Gll,G22 ,G12 y la única componente 3.3 Efectos típicos de una transformación de dualidad T 83 de BMN que es B 12 , podemos construir dos campos 'moduli' complejos: T = B12 + i VG U es el parámetro modular estándar de cualquier toro geométrico bidimen- sional y usualmente se identifica como el módulo de 'estructura compleja'. T representa el módulo de 'estructura de Kii.hlcr' (ya que T 2 es un espacio complejo de Kii.hler) y su parte imaginaria mide el tamaiio total del toro, debido a que ../G es el determinante de la métrica bidimensional. Juega el mismo papel que R jugo para el círculo unidimensional. Consideremos en detalle de donde proviene T. El térniino en la acción que involucra a B 12 es: trrB12 f d 2 z(8X 1BX2 - BX18X2) Esta integral es un derivada total, 8(X 18X2 )-8(X 1 éJX 2 ), o término topoló- gico, lo que quiere decir que no contribuye a las ecuaciones ele movimiento. Esto parece implicar que la teoría es independiente de B 1,, pero se debe tener cuidado porque X 1 •2 no son necesariamente periódicas en la hoja de mundo. Consideremos una hoja de mundo toroidal enrollada una vez sobre el espaciotiempo toroidal, X 1 = Re(z), X 2 = Irn(z)/ Jrn(U). El término que contiene al tensor antisimétrico se convierte en itrB12 , de forma que el peso de la integral de camino es e;,,812 , el cual es invariante bajo el corrimiento discreto, B12 ~ 8 12 + entero En términos de T y U podemos escribir los momentos izquierdos y derechos como: 2 1 ( ,, PL = 2u 2 T 2 ll n1 - n2 U) - T (rn2 + rn1 U)ll- Pk = 2~T2 1i(n1 - n2 U) - T"(rn2 + rn1 U)112 (3.9) La fórmula de masa, dependiendo de Pl + Pk, otra vez muestra que hay puntos de simetría ampliada para valores especiales de T y U. También muestra las siguientes simetrías: U aU+b ~---- cU+d T--'> aT+b cT+d T<-+U. (3.10) Donde a, b, e, d son enteros que satisfacen ad - be = l. La primera trans- formación es la simetría 'modular' estándar SL(2, :iZ)u del toro bidimen- sional y es independiente de la teoría de cuerdas; es decir, es puramente geométrica. La segunda transfromación es típica de las cuerdas: 5L(2, :iZ)T, 84 Dualidad T en teoría de cuerdas conocida como dualidad-T3 . Como ya sabemos, esta es una simetría siem- pre y cuando también transforme1nos el momento rri 1 , m 2 con arrollamiento ni, n 2 • La tercera simetría intercambia la estructura co1npleja U con la estructura de Kahler T y se designa como 'Simetría de Espejo' (mirror symmetry}. Si U y T parametrizan 1111 plano complejo SL(2, IR)/0(2), la simetría de dualidad implica que ellos pueden vivir únicamente en el do- minio fundamental definido por todos los puntos del producto de los espa- cios complejos SL(2, IR)/0(2)0SL(2, IR)/0(2) ~ 0(2, 2, IR)/(0(2) x 0(2)) identificados bajo el grupo de dualidad SL(2, Zl)u x SL(2, 2Z)T = 0(2, 2, 2Z). Esta es la situación que se generaliza a más dimensiones. En general, la compactificación en un toro d-dimensional tiene el espacio moduli M = O(d, d, IR)/O(d) x O(d) con puntos identificados bajo el grupo de dualidad O(d, d, Zl). Para la cuerda heterótica con 16 coordenadas extra moviendose a la izquierda M = O(d + 16, d, IR)/O(d + 16) x O(d) con una modificación similar al grupo de dualidad. Los momentos izquierdos y derechos PL,Pn viven en una red autodual uniforme de signatura (22, 6), la cual es usual- mente llamada Red de Narain J\22,6 . Esto generaliza la red J\2 ,2 definida por los enteros ni1 , m 2 ; n 1 , n 2 de (3.3). Se puede verificar fácilmente en este caso que la dimensión de M es d(d + 16), que corresponde al número de componentes independientes de Gmn, Bmn• A:,. con m, n = 1 · · · d; I = 1, · · · 16. Para d = 6 tenemos un modelo de cuerdas de 4D con un espacio moduli de dimensión 132. A esto debemos agregar el campo del dilatón el cual, junto con las componentes del espaciotiempo del tensor antisimétrico Bµ,,, pueden combinarse en un nuevo parámetro modular: S =a +ie"'. (3.11) El campo a..x1on a se define como V µa = €µvpu "íl" Epu. S parametriza de nuevo el coset SL(2, IR)/0(2). Es natural pensar que el campo S posee también la simetría de dualidad del tipo SL(2, 2Z); por analogía al caso de Ty U. 3.4 Dualidad-T abeliana Las transformaciones discretas que actúan sobre el espacio moduli de las teorías son usualmente conocidas cono transformaciones de dualidad. La dualidad que acabamos de estudiar en la sección anterior es conocida como dualidad-To Dualidad del Espacio Target {Target Space duality), debido a que es una dualidad entre diferentes datos geométricos en el espacio Tar- get. Así como la dualiad eléctica-magnética intercambia modos eléctricos con modos magnéticos, la dualiad-T también intercambia modos. Para la 3 Aunque la designación 'T' pudiera asociarse con el toro, el origen de esta etiqueta para esta transfonnacióu no tiene nada que ver con el toro. 3.4 Dualidad-T abeliana 85 transformación particular que acabamos de estudiar el intercambio se reali- za entre los modos de enrollamiento, con números cuánticos rn, y modos de momento Kaluza-Klein, con números cuánticos n. De hecho los modos de enrollamiento pueden ser considerados 1nodos magnéticos desde el punto de vista de la hoja de mundo, debido a que son sectores topológicos no triviales de instantones en la hoja de mundo. Siguiendo ciertos progresos en supergravedad, la dualidad 'r -t l/r' encontrada en compactificaciones toroidales que se describió en la sección anterior fué generalizada [l 7] para cualquier solución a las ecuaciones de fondo de cuerdas para la cual la métrica en la acción de la hoja de mundo tuviera al menos una isometría. En otras palabas, se probó que La dualidad T, o dualidad del espacio 'Target ', es una ¡n·opiedad general de los vacíos de cuerdas siempre y cuando exista al menos una ísornctría. La acción de la hoja de mundo para la cuerda bosónica en alguna solución de fondo con N isometrías que conmutan puede escribirse de la siguiente forma: S 4:°'' j d 2 z ( Q,..,(X0 ) DX''DX" +Qµn(Xo)ax 1•axn + Qnµ(Xa)axnax 1• +Qmn(Xo){)XmiJxn + ~n<2lq,(X0)) (3.12) Donde QMN := G.\fN+BMN y los índices latinos en minúsculam, n etiquetan las direcciones de la isometría. Dehido a que la acción (3.12) depende de las xm sólo a través de sus derivadas, podemos introducir a primer orden las variables Am y así agregamos un término extra a la acción Am(DA - D.4m) lo cual impone la restricción A m = axm. s -1-/d2 ( Q (X )8XµliX" 47fQ'.I Z Jl•V O ., (3.13) +Qµn(Xo)DX''BXn + Qnµ(X0 )8Xnaxµ +Qmn(Xo){)XmDX" + Am(DA - aAm) + ~, n<2 l(X0 )) Integrando sobre los multiplicadores de Lagrange Am llegamos a la acción original (3.12). Por otro lado, llevando a cabo la integración parcial y resolviendo para Am y A"', encontramos la acción dual S' que tiene la misma forma que S pero con el fondo dual dado por [17, 18] Qmn Qµv Qnµ Qµn (Q- 1 )mn Qµv - Qµm (Q- 1)"'" Qnv (Q-l)nmQmµ -Qµm (Q-1)~ (3.14) El dilatón debe transformarse de acuerdo a la siguiente relación con el fin de mantener la invariancia conforme [17, ?] t/J' = ó - logdetGmn· Es un 86 Dualidad Ten teoría de cuerdas efecto a primer orden. Por tanto, si Q y satisfacen lo.s ecuaciones (2.91}, Q y ' también lo harán. Estas ecuaciones se reducen a las trasforn1aciones de dualidad para compactificaciones toroidales usual<·;; [21] cuando CJm,. = Qµm =O y pueden mapear un espacio sin torsión (Q,.. 1, = Q,,.,.) a uno que si la tenga (Q~µ = -Q~m)· Para el caso de una sola isomctría (m = 11 =O) las ecuaciones (3.14) proporcionan las transformaciones de dualidad explícitas encontradas por Buscher en [17], y que son conocidas precisamente como las Transformaciones de Buscher que se detallaran en la siguiente sección, las cuales constituyen una especie de receta general de dualidad-T abeliana en cuerdas para obtener la solución dual a una ya conocida, dacia por lo menos una isometría. El formalismo de primer orden no se aplica para cada dirección de la isornetría debido a que no tenemos que llevar a cabo una transformación de dualidad para todas ellas. Podemos integrar sobre un subconjunto de multiplicadores de Lagrange Am y, para las restantes direcciones de la isometría integramos los correspondientes campos de gauge Am. Los índices m,n en las ecuaciones (3.14) corren sobre las variables con isometrías que han sido dualizadas. El grupo completo de dualidad incluye éstas transformaciones así como corrimientos en el campo tensorial antisimétrico B -t B +entero y es equivalente a SO(N, N, 7l}[22]. Veamos como se aplica este procedimiento en el caso sencillo en que el unico elemento de la acción es: (3.15) donde Qmn = Gmn + Bmn son la métrica y el tensor antisimétrico de la target space theory, y se interpretan como los acoplamientos en la teoría de 2D. xm son los campos escalares de la teoría 2D que corresponden a las coordenadas en el target space. Debido a que la acción depende de las variables xm solo a través de sus derivadas (existe una simetría abeliana global ,y:m -+ xm +constante), realízo una integración parcial sobre los términos con multiplicadores de Lagrange >.m y obtengo la variación con respecto a las variables A m y Am, (3.16) Esto conduce a la acción dual S, (3.17) Sustituyendo Am = axm y ;fm = [JXm y con la integración parcial obtengo, (3.18) 3.4 Dualidad-T abeliana La ,-ariación de la acción con respecto a Am y A"' es: óS Mm= QmnAm + 8>.m =O Entonces resolviendo para .4"' y .tfm tenemos: An = -Q;;;~a>.m .4n = Q;;;~a>.m Sustituyendo estos resultados en Ja acción original tenemos ... 87 (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) § = j d2 z [QmnQ;;;}8>.1Q¡;~8>.k - (Q;;;~a>.ma>.n - Q;;;~a>.ma>.n)] (3.23) § = f d2 zQ;;;~aX"'BX' (3.24) Por ejemplo, para dos isometrías (dimensiones O y 1) Q,,.n sería de la si- guiente forma (Expresando a Gmn y B,,.n por componentes): Qmn =(a ª::'s ol ol Y Ja matriz dual está dada por la inversa: -1 1 Qmn = det Qmn ( Gu - (Go1 - Bo1) Por tanto, Q;,.n = Q;;;~: - (Go1 + Boi)) Goo (3.25) (3.26) (3.27) Existe una interpretación equivalente del proceso de dualización que aca- bamos de describir ciada en [19]. En Ja acción original se fija un gauge reemplazando axm con DXm = axm + Am y el término f d2z Am(DA - DA"') se agrega a la acción. Este término extra impone que Ja intensidad F de los campos de gauge sea nula despues de Ja integración sobre los multiplicadores de Lagrange_Am. Esto implica que el campo de gauge debe ser de gaugc pura, Am = 8X"'. La imposición de un gauge puede hacerse ya sea eligiendo campos de gauge que se nulifiquen o tomando X"' = O (gauge unitario). En ambos casos esto reproduce la acción original. La teoría dual se obtiene integrando los campos de gauge, i.e. fijando el gaugc. Este procedimiento es el utilizado para generalizar las transformaciones de dualidad al caso de isometrías no abelianas [20]. 88 Dualidad T en teoría de cuerdas La existencia de esta dualidad implica una simetría global nocompacta a nivel clásico qne intercambia La., ecuaciones de rnovirnicnto de la teoría . original con las identidades de Bianchi de la teoría dual. Esta característica del proceso de dualidad descrito se aplica más también al electromagnetismo (24], el cual requiere la generalización a tensores anti- simétricos arbitrarios que se detalla en la siguiente sección. Para el caso de modelos-a bidimensionales en el contexto de la teoría de cuerdas, se encontró (?] que esta simetría es un SO(N, N). Una refe- rencia excelente para ir más allá en la relación entre simetrías globales y la dualidad-Y se constituye en [25]. Ahora aplicaremos lo que hemos aprendido sobre la dualidad-Y abeliana a un tensor antisimétrico cualquiera de rango j-1, T,-i D-dimensional [25], cuya acción se expresa como: (3.28) Existe invariancia bajo una forma general de transformación del campo de gauge A, la cual incluye a la simetría local definida por d !.1 y a la global dada por el corrimiento del campo por cualquier forma cerrada I<, lo que se expresa por óT1 _ 1 = d n,._ 1 + [{i con K; una forma armónica arbitraria. Esta es la simetría global que necesitamos para la dualización. Aprendimos que para dualizar necesitamos una simetría global, por lo que usaremos la definida por el shift de I<. Ahora, fijamos el gauge usando al tensor anti- simétrico de rango j, A; (que resulta ser el campo de gauge). Se construye una acción a primer orden sustituyendo dT en la acción por A; imponiendo la restricción dA; =O al agregar un multiplicador de Lagrange Av-;- 1 . So= J dºx (;2 (A;) 2 + Av-1-1 · (dA1)) (3.29) Tomando el caso mas sencillo definimos (3.30) Si integramos Ao-j-l obtendriamos la acción de la que partimos, pero si integramos los A 1 llegamos a la acción dual (3.31) Obsen·ese.que la constante de acoplamiento pasa de g a 1/g. De ésta forma podemos expresar la trausformacion dual R .(-t l/ R que estudiamos en las secciones anteriores a partir de la compactificación de dimensiones extras en cuerdas para múltiples dimensiones. Otro punto importante reside en el he- cho de que ahora consideramos teorías de campos tensoriales antisimétricos con un grupo de simetría de gauge U(l) compacto, en lugar de la recta real 3.4 Dualidad-T abeliana 89 (es decir, considerarnos coordenadas periodicas en donde se da la dualiza- ción) [26]. De modo similar al caso en 2D, los campos podrían redefinirse para absorver la constante de acoplamiento g, involucrandos1• entonces en la periodicidad de los mismos. En tal caso las dos variables duales están relacionadas por una dualidad de Poincaré: d/I. =· dB, y la dualidad in- tercambia ecuaciones de campo con identidades de Bianchi. Por ejemplo, para la Electrodinámica Cuántica (QED) en 4D, esto implica que la du- alidad intercambia campos elétricos y magnéticos, la cual es la dualidad original de las Ecuaciones de l'vlaxwell en el vacío que 1nencionamos ante- riorniente. De manera similar al caso bidimensional, podemos considerar a Ai corno el campo de gauge de la simetría global y al multiplicador ele Lagrange como el término que impone la condición de que la intensidad del campo sea nula. Podríamos ser más rigurosos e introducir acoplarnientos a corrientes externas en la acción de forma tal que la integral de camino sea una función de tal corriente [25]. La dualidad entonces se mantiene para cualquier función de correlación. Otra vez, como en el caso de dos di- mensiones, donde la transformación del dilatón se in1puso, si consideran1os espaciotiempos topológicamente no triviales, aparecería un término extra proporcional al número de Euler de la variedad, generalizando la transfor- mación del dilatón del caso bidimensional. Así como un campo de gauge se acopla naturalmente a una partícula puntual cargada mediante el término J Aµdx 1', el campo B 1,_ 1 se acopla naturalmente a un objeto de dimensión h - 2, es decir, una p-brana (p = h - 2) que representa el análogo de la carga eléctrica en QED. El campo tensorial antisimétrico Bh-i representa la generalización del acoplamiento de gauge A 1, para objetos multidimensionalcs (cuerdas, branas, etc) cargados. En mi opinión esta es una manera muy intuitiva de com- prender el origen y el papel que juega el tensor antisimétrico Bmn de Kalb- Ramond, que parece tener un origen un poco oscuro a primera vista. El caso en el que el tensor antisirnétrico de la acción (3.28) tiene un solo índice corresponde al electromagnetismo. Se observan las características principales de esta proceso, que podemos resumir en lo siguiente: •La constante de acoplamiento (o bien la escala geométrica de la teoría) va a su recíproco • El campo fundamental se intercambia por el multiplicador de Lagrange • Las ecuaciones de movimiento y las identidades de Bianchi se intercam- bian (intercambio de modos fundamentales y modos colectivos, e.g. cargas eléctricas y monopolos magnéticos) Para el caso de objetos multidirnensionales observamos que el campo dual Bd-h = Av-h-I se acopla a una brana magnética de dimensión D-h-2 90 Dualidad T en teoría de cuerdas análoga a un monopolo magnético. La dualidad entre cargas eléctricas y monopolos magnéticos se generaliza a una dualidad entre (h - 2)-branas eléctricas y (D - h - 2)-branas magnéticas [25]. 3.5 Transformaciones de Buscher Como ,-imos, el proceso para encontrar la solución de "fondo" dual a una solución de fondo dada ésta dado por las ecuaciones (3.14). En nuestro caso usaremos sólo una isometría global en la direccion Xº, lo que implica que m = n = O en tales ecuaciones. Así obtendremos las transforma- ciones explícitas encontradas por Buscher en [17), y podremos usarlas para el siguiente capítulo. De (3.14) tenernos, como caso particular para una isometría: Goo Go; 1 Goo Bo; - Goo Ga;Go; - Bo;Bo; G;; - --'--~'--.,,-----= Goo (3.32) ·Y porsupuesto si queremos que la teoría dual sea invariante conforme el dilatón debe transformarse como J, =

--, G •• = logl -uv, (4.2) El hecho interesante es que representa una teoría de campo conforme exacta que corresponde a un .modelo de \Vess-Zumino-Witten (\VZW) 1 • Este es un modelo sobre U:ná variedad de grupo G a nivel k. La acción de este modelo es k k S(g] = ,-I(g] + - 6 r(g], . ~7i íT (-1.3) en donde E es la hoja de mundo con coordenadas a, y métrica h,i, y e; = g- 1éJ;g, donde el campo ges un mapeo de la hoja de mundo a la variedad de grupo G; puede considerarse una matriz en la representación fundamental de G. La traza en (4.4) es una forma invariante del álgebra de Lie de G, y el término de Wess-Zumino, r(g], produce un fondo antisimétrico en la hoja de mundo E, después de integrar sobre la tercera coordanada de B. Explícitamente, en la representación matricial T para el álgebra de Lie, a,b,c = l, ... ,dimG, (4.5) y parametrizando g(X) E G en un conjunto de coordenadas XA(a;), .4 = 1, ... , dim G (es decir. X E álgebra, g E grupo y g ~ ex), tenemos S(XJ = J7r j d 2 [../h1i'1GAB(X)8,X 8 81X 8 +€'iBAB(X)8,X8 81X 8 ], (4.6) donde G An(X), BAB (X) están dadas por los invariantes izquierdos vielbeins, eA(X), CA= g- 1a..,,g = eaATa éJAe'j, - aBeA = eAe~f~b GAn = k1]abe'.:i.e~ kTr(cA(en, ec]) = oABBc + éJBBcA + 8cBAn, (4.7) El modelo WZ\V sin·e como punto de partida para generar otras teorías de campo conformes. Desde el punto de vista algebraico, esto se hace con un modelo coset. Dado un modelo \VZ\V con carga central ca, un subgrupo 1También conocido con10 modelo \VZN\V, donde la N viene de No\·ikov ·- 94 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas Hk' {de nivel k' apropiado y carga central cu) puede usarse para generar una nueva álgebra de Virasoro de carga central ca¡ 11 =ca - c 11 • Una formulación lagrangiana para este nlétodo se encontró haciendo local Ja simetría global (proceso conocido como "gauging". o hacer una simetría de gauge) obteniendo un subgrupo libre de anomalías~ H e C. El lagrangiano no contiene término cinético para los campos de gauge. En la ausencia de estos términos, la teoría de gauge es también conforme. La invariancia modular del modelo e garantiza invariancia modular para el espacio coset. El lagrangiano del modelo cosct reproduce la carga central CG/H y el espectro apropiado. El \VZVV "gaugcd" (es decir, que la simetría paso de global a local) tiene como campos básicos los correspondientes a la materia, y que aparecen en el modelo de G, y Jos can1pos de gauge. Uno puede reescribir el modelo "gauged" en términos de niriablcs del modelo-a no lineal. Esto se hace integrando sobre los campos de gauge. Por último, si la formulación es a un lazo, se necesita agregar a los campos de fondo el dilatón. Estos modelos representan una técnica para generar soluciones de fondo D-dimensionales curvas, independientes de d-coordenadas, a partir de espa- cios coset G / H y sus duales. La teoría de campo conforme exacta que describe un agujero negro en 2D es un modelo \.VZW "gauged" con el coset SL(2, IR.)/U(l)[30). Para obtener una signatura euclidiana, uno puede llevar a cabo el proceso de "gauging" para el subgrupo U{l) generado infinitesimalmente por: 8g = -y(Jg + gJ) (4.8) donde -y es un pequeño parámetro, g C SL(2, IR) y J = ( ~l ~). Para hacer gauge esta simetría, introducimos el campo de gauge abeliano A con, 8A = -8¡-y {4.9) La generalización invariante de gauge de Ja acción \VZ\V [30] en coordenadas locales complejas z, z es L'(g, A) = I(g) + 2~ f (d2 z(ATrJg- 18g + ATrJ[)gg- 1 +AA(-2 +TrJgJg-1 )), (4.10) donde I(g) es la acc10n no gauge del modelo SL(2, IR) WZW [31]. Es conveniente fijar la gauge "gauging away" un componente de g (de manera similar a una gauge unitaria). La invariancia de gauge puede fijarse en forma preéisa eligiendo el conjunto ( cos(} g = coshp + senhp sen(} ~~~~~~~~~~~~~~~ sen(}) -cos9 {4.11) 2 Una anomalía resulta cuando tenemos una simetría a nh·el clásico y al proceder a la cuant ización de la. t.L~ría la sirnetría no se mantiene. 4.2 Agujero negro en 2D 95 Corno el lagrangiano es cuadrático en A, la parte cuadrática es invetrtible y no derivable, por lo que podemos integrar A. Una corrección finita pro~·e­ niente de la medida de integración sobre .-l da lugar al campo del dilatón en el espacio target. Finalmente, la representación invariante conforme de la acción clásica para p y O es S(p, O) = ~ J d2xVhh'i (8;p8;p + tanh2 péJ,08;0)-_!_ J d2 zVh(p, O)R<2>. 4~ s~ ( 4.12) donde R(2 ) es la curvatura de la métrica en la hoja de mundo h;; y es el campo del dilatón. Hasta correcciones del orden de 1/ k, el campo del dilatón esta determinado por la ecuación de fondo (4.13) Donde Rab es el tensor de Ricci del espacio target. Con esto se obtiene = ln(cosh2 p) +a, (4.14) donde a es una constante. La carga central del modelo SL(2, IR)/U(l) es donde 6 c = 2 + -k-- = 2 + 12 + "-2 + o(<'-3 ) -2 (4.15) (4.16) También es conveniente absorver el factor total k/2 en la coordenada p. Definiendo r = p/<'-, uno tiene donde = ln(cosh2 ff) +a. Esta acción describe un modelo sigma con curvatura escalar 4€2 R(r) = cosh2 ET y una métrica descrita por el elemento de línea ds2 = dr2 + tanh2ff d02 €2 (4.18) (4.19) (4.20) En [29] sr propone una solución independiente de "- que tiene la forma: (4.21) 96 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas y el dilatón ti_ene la forma = log(sinhr/.B} donde {3(r) esta dada por {3(r) = 2(coth2 !_ - ~)- 1 /2 2 k (4.22} (4.23} La solución que nos interesa es aquella en el límite para k grande, es decir (4.24} De donde obtenemos el elemento de línea para que nos repre~enta un agujero negro Euclidiano (4.25} Para obtener un agujero negro Lorentziano (es decir, con signatura +-), debemos aplicar una rotación de Wick, es decir, definir O = it, de donde obtenemos ds2 = dr2 - tanh2 dt2 (4.26) Este es el agujero negro que pretendemos dualizar. Para ello debemos aplicar el procedimiento descrito en el capítulo anterior, es decir, aplicar las transformaciones de Buscher a esta métrica. Cuando tenemos la métrica en coordenadas de Kruskal como en (4.2), es difícil apreciar cual es la isometría que usaremos para aplicar la dualización que hemos aprendido. Esta métrica es claramente no diagonal. Este ele- mento de línea define tres regiones en el diagrama de Kruskal (Fig 3.1). La única isometría abelianan que vemos es la temporal, ya que es una métrica estática. Con el fin de verlo más claro podemos aplicar la parametrización a (4.2) por regiones uv::;0,0$uv:51 y uv;:::l: Región uv :5 O: u = senhre', v = -senhre-• entonces uv = -senh2 r y como du = ~:dt + ~~dr ... du = senhetdt + coshre'dr du = et(senhrdt + coshrdr) De forrna equivalente, aplicando dv = !/Jtdt + ~dr tenemos: dv = e-t(senhrdt - coshrdr) Con esta reparametrización obtenemos el elemento de línea para ésta región que es (4.26). Para las dos regiones restantes el cambio de variable es: Región O :5 uv :5 1: u= senhte', v = sentre-• ds2 = -dt2 + tanh2 tdr2 Región uv ;::: 1: u = coshre1 , v = coshre-1 ds2 = dr2 - coth2 rdt2 4.3 Agujero negro de Schwarzchild 40 97 En donde los elementos de linea se obtienen sustituyendo las parametrizacio- nes respectivas en la métrica con coordenadas de Kruskal. Ahora es sencillo obtener el dual de cada región por separado, usando la ison1etría t __, t+c. y por las transformaciones de Buscher el coeficiente del componente temporal pasa a su inverso. El resultado es Regiones original dual uv constance y sin tensor antisimétrico Brnn (es decir son .interacciones ele gauge y sin torsión H, ya que su derivada es cero). Aqui se pueden llevar a cabo dos clualizaciones, una abeliana, usando la isometría dacia por las traslaciones temporales (la métrica es estática) y otra en la simetría rotacional de la 98 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas Figura 4.1: Diagrama de Kuskal del agujero negro. Tenemos las regiones uv~o,o:::;;uv:::;l y uv2:::1. Figura 4.2: Diagrama de Kruskal donde se muestra el efecto de la trans- formación ·de dualidad: ésta intercambia regiones de gran curvatura y baja cun·atura, lo que se traduce en intercambiar el horizonte por la singularidad, a pesar de que este objeto es autodual. 4.3 Agujero negro de Sch'Warzchild 4D 99 parte angular, que genera un S0(3). La prescripción para transformaciones de dualidad-T no abeliana ha sido estudiada en diversos trabajos como [20]. En nuestro caso sólo nos interesa la isometría abeliana. Por ello aplicaremos las transformaciones de Buscher (3.32) a ésta métrica, de donde obtenemos la siguiente métrica dual a la de Schwarzschild: Y el dilatan se define como: M ' = - ln(l - 2-;:--) (4.28) (4.29) Para comenzar el análisis de este nuevo objeto primeron verifiquemos que es solución a las ecuaciones de fondo en cuerdas (2.91) que se trataron en el capítulo 2. El agujero negro de Schwarzschild es solución de las mismas ya que su torsión es nula, el dilatón es una constante y, Coordenadas x( up) xª = [rOt) ds2 = d r2 + r2 el 92 + r2 sin( O )2 d q,2 + (-1 + 2 rnr ) d t2 1-2~ T Ricci Covariante R(dn,dn) R a b = Todos los componentes son cero Escalar de Ricci R =O Vamos a verificar que éste objeto dual es una solución a tales ecuaciones. Con torsión nula e igualando la constante cosmológica A a cero, las ecua- ciones de fondo (2.91) se reducen a RMN + DMDN =o R - (D) 2 + 2DMDM =O (4.30) Para ver si nuestra métrica dual satisface estas ecuaciones vamos a recu- ·rrir al software MAPLE y a un conjunto de bibliotecas desarrollado para manejar tensores conocido como GRTensor (en el apéndice A se describe con detalle el uso de éstas herramientas para los cálculos que se presentan a continuación). Necesitamos calcular los componentes covariantes del tensor de Ricci y algunas deri,·adas covariantes (lo que implica el cálculo de los Símbolos de Christoffel no nulos de esta métrica), que son: 100 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas Símbolos de Christoffel de segundo orden (simetricos en los primeros dos índices} r,, r = - rn r(r-2m) r, t = - m r r(r-2m) r=- m r(r-2m) 1 rr = -:;: roo r = -r + 2m ro ,¡,=cos(B) sin((}) C¡,,¡, r = -(r- 2m)sin(B)2 r,¡,,¡, º=-sin(O)cos(B) Coordenadas Métrica Dual de Schwarzschild d t 2 d r 2 ds2 = - ---=~ + 111 + r 2 d B2 + r 2 sin((} ) 2 d t/>2 1-2- 1-2- r T El dilatón dual, como sabemos a partir de las transformaciones de Buscher, esta dado por 2M ' = - ln(l - ----;:- ) (4.31) Primero obtenemos su gradiente (es una función escalar) J( dn) [o -2r(r~2m)oo] Ahora obtenemos su derivada covariante, la cual es: J( dn, cdn) 4.3 Agujero negro de Schwarzchild 4D m2 -2------ r2 ( r - 2 m )2 o .la ;b = o o o 2 m(2r-3m) r 2 (r - 2m)2 o o o o -2~ r o El cálculo del tensor de Ricci.covariante nos conduce a: Ricci Covariante R( dn, dn) m.2 2 r 2 (r-2m)2 o o o _ 2 m (2r -3m) o Rab= r 2 (r - 2m)2 o o 2m r o o o o o o _ 2 sin((} )2 m. r o o o 2 sin((} )2 m r 101 Como se observa, la suma de ambos tensores es cero, por tanto la primera ecuación de (4.30) se satisface. Como siguiente paso calculemos los términos de la segunda ecuación a verificar de (4.30). Primero necesitamos el escalar de curvatura de Ricci R, Escalar de Ricci m2 R = -4------ r3(r-2m) A continuación calculemos el escalar D M DM al cual designaremos por como- didad como Jª; b. Para ello primero calculamos el gradiente contravariante del dilatón: J( up) Jª = [o, -2 ~ , o, o.] Para (D') 2 3 tenemos el resultado: 3 Estc operador se define como (Dµ')(Dµ'), y puede obtenerse también como (gµvDv'}(D"') = 91.v(Dv')' 102 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas b ( -2m ) c-2m) 4m 2 JaJ = r{r-2m) ~ = r 3 (r-2m) El cual identificamos con -R. Ahora calculemos la derivada covariante del vector contravariante Jª: J( up, cdn) 2 1n2 o o o r 3 (r-2m) o 2 m(2r-3m) o o Jª ;b = r 3 ( r - 2m) o o -2~ r3 o o o o -2~ r3 Ahora tomemos la traza de éste tensor, que es lo mismo que contraer sus índices, 2m2 2m(2r - 3m) 4m r3(r - 2m) + r 3(r - 2m) - 7 2m2 + 4mr - 6m2 4m r 3 (r-2m) - 7 -4m2 +4mr 4m r 3 (r-2m) -7 -4m2 + 4mr - 4m(r - 2m) r 3 (r - 2m) -4m2 + 4mr - 4mr + 8m2 r 3 (r - 2m) 4m2 r 3 (r - 2m) Notamos que la traza de Ji es igual a -R, es decir el escalar de Ricci con signo ·menos. Ahora va~os a sustituir estos elementos en la segunda ecuación de (4.30), R - (D)2 + 2DMDM =O R - (-R) + 2(-R) = 2R- 2R =O Con esto queda verificado que el espaciotiempo dual de Schwarzschild (4.28) es solución a las ecuaciones de Fondo de cuerdas (2.91)(sin torsión y A= O). 4.3 Agujero negro de Schwarzchild 40 103 Del escalar de curvatura de Ricci podemos obsen·ar que existen singu- laridades desnudas en r = O y r = 2111. R= 4J\!!2 (4.32} (r - 2M)r3 Por tanto podemos decir que este objeto dual no corresponde a un agujero negro. La existencia de singularidades que están ausentes de la métrica original nos indica que es un objeto distinto, es decir, una geometría distinta en base a los escalares (en fro1na local). El cálculo de escalares de curvatura adicionales nos garantiza que tam- poco se puede llegar a la nueva solución dual por medio de una transfor- mación conforme de la métrica original de Schwarzschild. Calcularemos (de nuevo con ayuda de MAPLE y GRTensor) cuatro escalares polino- miales invariantes del tensor de Riemann (Reales) llamados escalares CM {Carminati-A1cLenaghan) [37]. Uno de ellos ya la lo conocemos, es el escalar de Ricci, los demás están definidos por medio del tensor de Ricci sin traza Sab: R RI R2 R3 (I/4)S!Sg (-1/B)S!Sbs:; s!sbs:sc:i/16 También es útil calcular el escalar que resulta de la contracción completa del tensor de Riemann, es decir RabcdRªbcd. Para la métrica de Schwarszchild estos son: Escalar de Ricci R =0 invariante CM Rl Rl =O invariante CM R2 R2 =O invariante CM RS R3 = IJ Contracción Completa del Tensor de Riemann 104 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas 2 K =48~ rG Para la métrica dual de Schwarszchild estos escalares son: RS Rl Ricci scalar m2 R = -4 -,------- ( r - 2 m.) r3 invariante CM Rl m 2 ( 17 m 2 + 6 r 2 - 20 m r ) ( r - 2 m )2 rG invariante CM R2 R 2 = 3 ( 2 r - 3 m ) m 3 r 9 ( r - 2m) invariante CM R3 1 m 4 ( 641m4 +72 r• - 496 r 3 rn + 1284 r 2 m 2 - 1480rm3 ) = 4 ( r - 2 rn )4 r12 Contracción Completa del Tensor de Riemann K = 16 m 2 (3r2 - lümr +9m2 ) ( r - 2m )2 r6 Se observa que los mismos tipos de escalares para cada métrica son distintos. Así que podernos estar seguros de que tenemos una solución distina a la de partida despues de. aplicar las transformaciones de Buscher, en este caso. Esto sucede para otras métricas como ,·eremos más adelante en el caso de soluciones de las ecuaciones de Einstein con simetría cilíndrica conocidas como Espacio tiempo de Levi-Civita. Hemos visto que dos geometrías totalmente distintas están relacionadas por medio de las transformaciones de dualidad-T abeliana, así como radios grandes se relacionan con radios pequeños (y viceversa) por medio de ésta dualidad. ¿Cuál es el significado de ésta relación, o mejor dicho, de ésta simetría? nuis adelante, cuando se presenten las conclusiones de este trabajo hablaremos sobre la dirección a donde parece condicirnos la dualidad-T. 4.4 El agujero negro BTZ y su dual Bañados e 0 t.al. mostraron que existe una solución de agujero negro a la relatividad general en tres dimensiones con una constante cosmológica ne- gativa [33]. Este resultado es sorpendente porque las ecuaciones de campo de esta teoría requieren que Ja curvatura sea constante en forma local. Sin embargo, identificando ciertos puntos en un espacio de anti-de Sitter en 3D, 4.4 El agujero negro BTZ y su dual 105 se obtiene una solución de agujero negro con casi todas las características típicas de estos objetos. De hecho, se encontró una familia de parámetros de identificaciones no equh·a!Pntes que conducen a agujeros negros con masa ,,,¡y rnomento angular./. Aunque la curvatura es constante, las soluciones tienen superficies atrapadas. un horizonte de eventos y una temperatura de Hawking distinta de <.:ero. Cuando J # O también presentan una ergósfera, y un horizonte interno. Todas las soluciones son asintóticamente anti-de Sitter (sin identificaciones). Con una 1nodific.:ación sencilla se obtiene una solución exacta de las ecua- ciones de cuerdas. Sólo se necesita agregar un campo tensorial antisitnétrico H 1,.,P proporcional a la fornu1 de voltnnen de f¡wp· Esto obedece a que existe la construcción de vVZ\V para obtener una teoría de campo conforme que describe la propagación de una cuerda en un grupo de Lic. La métrica natu- ral del grupo es SL(2, R), precisamente la métrica de anti-de Sitter en 3D, por lo que el modelo \VZ\\. es una teoría de campo conforme exacta que describe la propagación de una cuerda en el espacio de anti-de Sitter. El campo H 1wp se necesita por el término de \\'ess-Zumino, y debe elegirse de forma que su conexión con torsión H,,.,P sea plana. Para obtener un agujero negro, se aplica el procedimiento de orbifold para obtener la teoría de campo conforme que describe la propagación de la cuerda en el espacio cociente. Esto filtra los estados que son invariantes bajo el grupo discreto, y agrega los estados de enrollamiento. Bajo dualidad T éste agujero es equivalente a la solución conocida como cuerda negra cargada [33]. Vamos a conside- rar algunas de las implicaciones de ésta equivalencia y su relación con el problema de la constante cosmológica. Revisemos primero la solución de agujero negro descubierta por Bañados, et.al, que por cierto recibe la denominación de agujero negro BTZ. El es- pacio de anti-de Sitter puede representarse como la superficie -x5 - xi+ x~ + x~ = -12 (4.33) con signatura plana ( - - - - ++) ds2 = -dx5 - dxi + dx~ + dx~ (4.34) Tiene curvatura R,,., = -(2/l2)g,'". Este espacio es invariante bajo S0(2, 2). Los seis vectores de Killing independientes consisten en dos rotaciones (en los planos (O, 1) y (2, 3)) y cuatro boosts de Lorentz. Una forma adecuada de parametrizar la superficie es escoger dos vectores de Killing que conmuten y hacer que dos de las coordenadas sean parámetros a lo largo de éstas direcciones de simetría. Si t y son parámetros a lo largo de dos rotaciones, la métrica toma una forma más familiar: r2 r2 ds2 = -(1 + [2)dt 2 + (1 + [2)dr2 + r 2dq} ( 4.35) 106 Dualidad-T y soluciones efectivas en cuerdas Para obtener el agujero negro, definimos i y O únicamente cubre la región x~ -x~ > O. Debido a que esto no es el espacio completo, sería más natural usar Ja coordenada radial p = f 2 que toma tanto valores positivos corno negativos. Por ahora continuaremos usando f para mantener consistencia con la notación estándar. El espacio de anti-de Sitter torna la forma ( •2) ("2 )-1 ds2 = 1 - ; 2 di2 + ;2 - 1 df2 + f 2 dÍ cerca del horizonte. ¿Cómo es el espaciotiempo cerca de r = O"? Como la curvatura es cons- tante, no puede existir una singularidad en ella. Cuando .J = O y A1 > O, la simetría traslacional cp tiene un punto fijo en el plano (1,2). Esto causa que la solución. cerca de r = O tenga geodésicas nulas incompletas. Sin em- bargo, cuando .J #- O, la simetría no tiene: puntos fijos y el espaciotiempo es completamente no singular. Esto es consistente con los teoremas sobre sin- gularidades, aunque el cspaciotic1npo tiene superficies atrapadas y satisface la condición de energía fuerte, porque existen curvas tipo tiempo cerradas (recordemos que continuar más allá de r = O consiste en que r 2 se vuelva negativo, por lo que

¡± + R + 4{'1V)2 - ~flµvpH1"'P] k 12 Las ecuaciones de movimiento obtenidas de esta acción son R 1,., + 2'71,"V., - ¡_Hµi.ufl.,'"' =O "Vµ(e-2 "' H 1.,,p) = O 2 ( 2 4 1 2 4'V - 4 "V) + k + R - 12 H =O (4.41) {4.42) Una propiedad especial en las tres dimensiones es que flµvp debe ser pro- porcional a la forma de volumen "-µvp· Si asurnimos que = O, entonces la segunda ecuación proporciona Hµvp = (2/1}"-µvp, donde l es una constante con dimensiones de longitud. Sustituyendo ésta forma de H en la primera ecuación, tenemos 2 Rµv = -[i91w (4.43) que es precisamente la ecuación de Einstein con una constante cosmológica negativa. La tercera ecuación de movimiento en (4.42) también se satisface si k = l 2 • Por tanto, toda solución de la relatividad general en tres dimen- siones con constante cosmológica negatiYa es una solución de la teoría de cuerdas de baja energía con = O, Hµvp = (2/l)"-µvp y k = 12 • En par- ticular, la familia de agujeros negros de dos parámetros que encontramos anteriormente (4.38) con r2 B,,,, = l' =O (4.44) donde H = dB. Un argumento anterior de Horowitz [34] donde se afirmaba que las soluciones en 3D de agujeo negro a (4.42) no existían, asumía que Hµvp = O. Strominger sugirió a Horowitz que un Hµvp =I O podría alterar el resultado [33]. Consideremos el T-dual de ésta solución. La dualidad mapea cualquier solución de baja energía a las ecuaciones para los fondos ( 4.42) con una simetría traslacional, a otra solución (bajo ciertas condiciones ambas solu- ciones corresponden a una teoría de campo conforme equivalente (22]). Dada una solución (g1..,, B 1..,, ) que es independiente de una coordenada, digamos x, entonces (gµ.,, f31..,, cP) es también solución, obtenida usando las transfor- nrnciones de Buscher (3.32). ApEcando ésta transformación a la simetría traslacional cp de la solución de agujero negro (4.44)(4.38) tenemos -2 ds = ( J2) 2 1 (r2 J2 )-l M - - dt2 + -dtdi.p + -di¡;2 + - - i\f + -- dr2 4r2 l r 2 l2 4r2 J ÍJ.,,, = 2r2 = -lnr (4.45) 4.4 El agujero negro BTZ y su dual 109 Para entender tnejor esta solución, vamos a diagonalizar la métrica. Sea l(i: - i) t = (ri - r~)l/2' entonces la solución queda como r 2 i - r 2 i: cp = c.l - r~)112• r 2 = lf -2 ( M) <-.z ( Q 2 ) _ 2 ds = - 1 - f dt + 1 - Mf dx + ( _ M)-1 ( _ ~)-1 l2df2 1 f 1 Mf 4f2 = _.!:,lnfl 2 ' (4.46) ( 4.47) donde M = rifz y Q = J/2. Esta es precisamente la solución de la cuerda negra cargada en tres dimensiones (34). Notemos que la carga de la cuerda negra es simplemente proporcional al momento angular del agujero negro. Los horizontes de la cuerda negra tienen la misma ubicación que en. el agujero negro r 2 ri. Como cp i es periodica, tanto i como i: serán en general periodicos. Para evitar curvas tipo tiempo cerradas, debemos ir al espacio cubierta. Como el dual de el agujero negro es una cuerda negra, debe ser posible dualizarla y recobrar el agujero negro. Esto es ligeramente sutíl, porque se ha demostrado que si se dualiza en i:, se obtiene una carga negra neutra con un boost (33). La carga Q es dual al momento en la dirección de simetría Px. Sin embargo, se puede aplicar la transformación de dualidad a cualquier simetría traslacional 8/8x + a8/8i. Si a < 1, entonces el dual es de nuevo una cuerda negra cargada. Si a = 1 el resultado es diferente. El vector de Killing 8/8i: + a¡ai tiene gauge (M2 - Q 2 )/Mf, de manera que es tipo espacio en todas partes pero asintóticamente nulo. Se puede \'erificar sin muchas dificultades que el dual de la cuerda negra con respecto a ésta simetría, es precisamente el agujero negro BT Z. Ahora consideremos algunos casos especiales. El dual de un agujero negro sin rotación J = O y M > O, es la cuerda negra neutra. Este objeto es simplemente el agujero negro "cruz" 5 1 . Para la solución de masa cero (l\I = J =O) y límite extrema! (IJI =MI), el dual aún esta dado por (4.4.5), pero la transformación a la cuerda negra deja de funcionar. Los duales no son cuerdas negras de masa cero extremales, sino más bien éstas soluciones superpuestas con una onda de frente plano. Asignando 1\1 = J = O en (4.45), e introduciendo nuevas coordenadas t = -v,

lewto- niana solamente requiere uno. En el caso de una descripción de estos dos sistemas (la esfora y el cilin- dro sólidos) considerando a la constante cosmológica A distinta de cero, la aparición de nuevos panimctros al pasar del modelo de Newton al de Einstein es más notoria (38]. De aquí se concluye que la descripción de Einstein de la Gravitación con simetría cilíndrica presenta una gran dife- rencia respecto a la descripción de >:ewton. Esta diferencia se manifiesta en la aparición de nuevos parámetros posteriores a la integración de las ecuaciones de campo. Actualmente existe un interés en la: interpretación física de estos parámetros y en la posibilidad de que proporcionene nueva información sobre la interacción gravitacional. por lo menos a nivel clásico. 5.2 Espaciotiempo con simetría cilíndrica general En 1917 Levi-Civita obtuvo una solución general de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de un espaciotiempo vacío, estático y cilíndri- camente simétrico (5.5). Esta métrica tiene dos parámetros independientes, cuyo significado físico ha sido recientemente clarificado (38]. El elemento de línea más general correspondiente a éste espaciotiempo esta dado por (5.5) donde f, µy l son funciones sólo de r, y los rangos de las coordenadas t, z y son: -oo $ t :5 oo, -ex> $ z $ CXJ, -0 $ $ 2tr, Usando MAPLE y GRTensor presentaremos las ecuaciones de campo para este espaciotiempo. Estas obedecen: Rµv =O (5.6) Para (5.5) las componentes no idénticamente nulas de la métrica son: 2e''DR-o0 = ( lDJ')' 2eµDR 33 = ( ID'!)' D' D" j'l' 2R11 = -¡t" + ¡t'- - 2- + -- D D n2 (5.7) ,, ,D' 2r22 = -µ - ¡t D ~-------------------------~· 5.2 Espaciotiempo con simetría cilíndrica general 115 Las primas indican derivada con respecto ar y D 2 = fl. Las ecuaciones de las geodésicas se derivan del lagrangiano d:c1' dx" 2L = 9µv-¡¡¡:-¡¡¡: (5.8) donde >. es un parámetro afín a lo largo de las trayectorias geodésicas, para las tipo tiempo >. resulta ser el tiempo propio. Como es sabido obteniendo la variación del lagrangiano anterior obtenemos las ecuaciones de Euler- Lagrange, d ( éJL) éJL d).. éJ:i;<> - OX 0 (5.9) Y las geodésicas están dadas por. :Í:º + q;.,.xP:i;'Y = O (5.10) Donde el punto indica derivación con respecto a >.. Para la métrica (5.5), el lagrangiano es: Y las ecuaciones de las geodésicas dadas por (5.10) resultan ser, .. lf'. Dt+ 15tr =O 27' + e-µu'i2 -1') + µ'(r + i 2 ) =o z+µ'ri =o Def, = fl' rJ, D Los momentos canónicos correspondientes al lagrangiano (5.11) son, 8L . Pt = - ai = ft, _ 8L _ µ· Pr = - or - e r, = _8L _ µ· Pz - o:i - e z, 8L · pq, = --. = l

. 8t , dpz _ 8L -O d>. - oz - ' dpq, = 8L =O d>. 8 ' (5.17) (5.18) (5.19) 116 Dualidad-T y soluciones cilíndricas Y las cantidades conservadas son, p,=E, Pz = P, Po=L, (5.20) donde E, P y L representan la energía total ele la partícula colocada en el campo gravitacional como prueba, el momento de la misma a lo largo del eje ele simetría z y su momento angular a lo largo del mismo eje, respecti- Yamente. Usando las ecuaciones (5.16)(5.20), obtenemos . El t = D2' Z =Pe'", · LJ 1> = n2' (5.21) (5.22) (5.23) En lugar de integrar (5.13), podemos usar el elemento de línea de ésta 1nétrica para obtener, (5.24) donde € = O, 1 ó -1 si las geodésicas son tipo luz, tipo tiempo o tipo espacio, respectivamente. Ahora calculemos las geodésicas circulares. Vamos a hacer las siguientes suposiciones, r = z =O, t·= o, ifi=O, (5.25) ·de modo que (5.13) resulta, f'i 2 - l'4>2 =o (5.26) La velocidad angular ele una partícula ele prueba en ésta geodésica es, ,¡, w= _,. t (5.27) Usando (5.26) podemos escribir esta velocidad angular como (5.28) Ahora Yamos a definir lo que es la velocidad normal de una partícula. Para un espaciotiempo estático, la velocidad normal ll"' se define como el cambio de desplaza1niento normal a rµ = (1, O, O, O) respecto a su desplazamiento paralelo a rµ, donde r 1' es un vector de Killing tipo tiempo, ciado por lF'' = [(-G00 ) 112 dx0 )- 1 V 1' (5.29) 5.3 Espaciotiempo de Levi-Civita y su dual 117 donde, V"= (O, dx 1 , d:c2~ dx3 ) (5.30) · Considerando la mét:rica (5:5).y~nuestros resultados para t..: (5.28), podemos escribir a HTP como (5.31) El tamano de W" esta(lado .. por WµWµ, y mediante la ecuación anterior lo calculamos, y resulta: ser;.. . . .. ' . H' = ~w (5.32) Ahora podemos escribir (5.24) usando la expresión para w de (5.28), ~ = f -lw2 t2 (5.33) sustituyendo el tamano del vector 11'µ (5.32) en la ecuación anterior, obte- nemas, (5.34) De aquí podemos ver que las geodésicas circulares pueden ser tipo tiempo (W < 1), tipo luz (H" = 1) o tipo espacio (H" > 1), respectivamente. 5.3 Espaciotiempo de Levi-Civita y su dual La solución general de para la métrica es conocida como la métrica estática de Levi-Civita (36], f = arl-n donde n y a son constantes. l = ~rl+n a (5.35) Vamos a verificar que ésta solución satisface las ecuaciones de fondo de las cuerdas (2.91), obviamente esto implica que automáticamente se cumplen las ecuaciones de Einstein en el vacío. Como en el caso de simetría esférica la torsión es nula así como la constante cosmológica A, y el dilatón es constante, por lo que las ecuaciones de fondo se simplifican a (4.30). Nuestra métrica toma la forma: Coordenadas x( up) xª=[trz] Elemento de Línea 2 2 r< 1 +n ) d 2 ds2=-ar(l-n) dt2 +r<1/2n -1/2) dr2 +r(l/2n -1/2) dz2 +------ a 118 Dualidad-T y soluciones cilíndricas Espaciotiempo de Levi-Civita, Simetría Cilíndrica Tensor de Ricci Covariante R( dn, dn) R a b = Todos los componentes son cero Escalar de Ricci R =0 Por tanto las ecuaciones (4.30) se satisfacen, como es de esperarse. Ahora Calculemos los escalares C lvf y el escalar RabcdRabcd, invariante CM Rl R1 =O CM invariant R2 R2 =0 invariante CM RS RS =0 Contracción Completa del Tensor de Riemann 1 -5 n 2 + n 4 + n 6 + 3 K = - --~~~~~---4 (rCl/2n>-t/2))2r4 A continuación estudiaremos el espacio dual a esta métrica. De acuerdo con las transformaciones de Buscher la nueva métrica cambiará en su término temporal (recordemos que usamos la isometría t ~ t + e que presentan éstas soluciones), investigaremos si satisface las ecuaciones de fondo de las cuerdas, y calcularemos los escalares anteriores. Coordenadas x( up) xª=[trz] Espaciotiempo de Le vi- Civita Dual, Simetría Cilíndrica 5.3 Espaciotiempo de Levi-Civita y su dual 119 r