Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias INTRODUCCION AL ANALISIS LOGICO: DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE ANALITICO. T E s 1 s Que para obtener el titulo de: M A T E M A T 1 C O Pre 1 e nt a: Víctor Manuel Martínez Gallardo México, D. f. 1917 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis está protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. I N D I C E INTRODUCCION •••••••••••••••••••••••••• · ••••••••••• I I LOGICA PROPOSICIONAL 1.1 LENGUAJE Y METALENGUAJE • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • i 1.2 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS ••••••••• ;.,. .3 1.2.1 LA NEGACION •••••••••••••••••• <... 4 1.2.2 LA CONJUNCION •••••••••••••••• :.· _5- 1.2.3 LA DISYUNCION •••••••••• ·•••• •• 5 . - - . - . ' 1.2.4 LA CONDICIONAL •••••••••••• :.;;;; 7 1.2.SLABICONDICIONAL : ••••••••••••• ::, ·9 EJERCICIOS ••••••••••••••••••••••.•• : ••••• : , •• 10 1.3 VALIDEZ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• lZ EJERCICIOS ••••• -.· •••••••••••••••••••••••••••• lB 1.4 PROPOSICIONES EQUIVALENTES •••••••••••••••••• 19 1.4.1 RECIPROCA DE UNA CONDICIONAL ••••••••••. 19 1.4.2 CONTRAPUESTA DE UNA CONDICIONAL .••••••• 20 EJERCICIOS •••••••••••••••••••••••••••••••••• 21 1. 5 ARGUMENTOS •••• ~ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 22 EJERCICIOS •••••••••••••••••••••••••••••••••• 24 1.6 TABLAS DE VERDAD •••••••••••••••••• : , ••• , •••• 25 1.6.1 TABLA DE VERDAD DE LA NEGACION •• ·.~···· 25 L6.2 TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCION •••••• 26 1.6.3 TABLA DE VERDAD DE LA-DISYUNCION •••••• 27 1.6".4 TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL ••••• 2B 1.6.5 TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL ••• 29 1.7 PRIORIDAD ENTRE LOS CONECTIVOS •••••••••••••• 29 EJERCICIOS •••••••••••••••••••••••••••••••••• 31 EJERCICIOS ••••• -••••••••••••••••••••••••••••• 34 l.B TAUTDLOGIA. CONTRADICCION Y .CONTINGENCIA .•••• 35 1.9 IMPLICACION TAUTOLOGICA .•...••...........•... 36 1.10 PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES •.....• 43 EJERCICIOS . . • • . . • • . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . • . . • 44 1.11 REGLAS DE INFERENCIA ......•...••............. 45 EJERCICIOS . . • . . . . . . . • • • . . • . . • • . • • . . • . . . . . . • • . 48 1.12 LOS ARBOLES DE VERDAD .••••....•..•.••••..•... 49 1.13 DEMOSTRACION DE LA INVALIDEZ DE ARGUMENTOS ... 57 II LOGICA DE PREDICADOS 2.1 TERMINOS Y PREDICADOS .. .. .... .. .. .. . . .. .. .. .. 59 EJERCICIOS . . . • . . . • . . . . • . . • . . . . . . • . • • • • . . • • . . . 60 2.2 CUANTIFICADORES • .. .. • • .. .. .. .. . . • .. . • • .. • . .. . 61 ' 2.3 LEYES DE LA NEGACION .. .. .. . • • • .. . .. .. .. .. .. .. 63 2.3.1 LEY DE LA DOBLE NEGACION ••.••......•••. 63 2.3.2 LEYES DE D' MORGAN .•..••••••..•.•....•. 64 2.3.3 NEGACION DE UNA CONDICIONAL ..•••..•••.. 65 2.3.4 NEGACIONES DE CUANTIFICADORES .•.....•.. · 65 EJERCICIOS • . • • • . . • . • • • • • • • . • • • . . . • . • • • . . . • • • . 69 2.4 VACUIDAD • • . • • • . • • • • • . . • . • . • • • • • . . • . • • . . • . . • . . 70 2.5 PROPOSICIONES CATEGORICAS •..••••...•.•.•...•. 71 2.6 TRADUCCIONES DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE ANALITICO • • • . • . . .. .. • .. . .. . • • . • • • . • . • • . • . . .. . 74 III DEMOSTRACIONES 3.1 DEMOSTRACIONES DIRECTAS .....•...•..•.•....•.• 84 3.2 DEMOSTRACIONES INDIRECTAS ..••..•.......•..••• 86 3.2.l DEMOSTRACION POR CASOS .•.•.•.•.•..•.••• 86 3.2.2 DEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA ....•.•. 89 3.2.3 DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO •. 91 EJERCICIOS • • . • . • . . . . . . • . . . . . • • . . . . . . . • . . • . . . . 94 APENDICE A: HEURISTICA • . . • . . . • • . .. . . . . • . • • • . • • • . . 95 APENDICE B: FORMULAS UNIVERSALMENTE VALIDAS EN LOGICA DE ler. ORDEN •..•..•......••.. 108 CONCLUSIONES •..••..•....••.•..•.•.•••..•...•..•.•. 115 BIBLIOGRAFIA •...•.•••...•••........•...•.•.•..•.•. 117 I N T R o D u c c I o N ES BIEN SABIDO QUE LA MAYORIA DE LOS ALUMNOS QUE SE ENFRENTAN POR PRIMERA VEZ A UN CURSO, YA SEA DE LOGICA O DE MATEMATICAS, SE ENCUENTRAN EN SERIAS DIFICULTADES POR LA GRAN VARIEDAD DE EXPRESIONES EMPLEADAS, T~ LES COMO "PARA TODO X", "EXISTE UN X TAL QUE •.. ", "TAL COSA ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA TAL OTRA", ETC., Y SU SIMBOLOGIA V x, 3 x, ----- , RESPECTIVAMENTE. INMEDIATAMENTE, EL ALUMNO SE DA CUENTA QUE EL LENGUAJE COMUN DIFIERE EN GRAN MEDIDA DEL LENGUAJE MATE~iATICO, EN EL .SE~ TIDO DE TENER EXPRESIONES MUY ESPECIFICAS Y UNA SIMBOLOGIA MUY PARTICULAR PARA ELLAS. EN REALIDAD, EL LENGUAJE DE LAS MATEMATICAS ES UN LENGUAJE PRECISO, DONDE NO APARECEN AMBIGUEDADES E IMPRECISIONES COMO EN EL LENGUAJE USUAL, Y SUS SIMBOLOS SON BIEN DETERMINADOS. ESTE TRABAJO PRETENDE PRESENTAR EL PROBLEMA QUE MUCHOS ESTUDIANTES TIENEN AL ENFRENTARSE A UN LENGUAJE FORMAL; ESTE PROBLEMA PROVOCA UN RE- CHAZO AL ANALISIS DE CONCEPTOS, PRINCIPIOS Y METODOS BASICOS EN MATEMATI- CAS¡ ENFRENTARLO CON UN LENGUAJE FGRMAL Y CON SU SIMBOLOGIA, TOCANDO AL- GUNOS TEMAS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LA LOGICA MATEMATICA Y LA MATEMATICA MISMA. EL MATERIAL ESTA ESTRUCTURADO DE TAL MANERA QUE CUMPLE CON LOS TE- MAS FUNDAMENTALES QUE SE ABORDAN EN LOS CURSOS DE LOGICA MATEMATICA I y II DEL PLAN DE ESTUDIOS DEL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES, PLANTEL NAU-- CALPAN (SE ANEXAN TEMARIOS). ):. II ASI MISMO, SE INCLUYEN OTROS TEMAS (ARBOLES DE VERDAD, OEMOSTRACION POR CASOS, OEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA, HEURISTICA Y FORMULAS UNIVER- SALMENTE VALIDAS EN LOGICA DE PRIMER ORDEN), QUE SERVIRAN DE APOYO PARA UNA VISION MAS AMPLIA DEL CONOCIMIENTO LOGICO-MATEMATICO. POR OTRO LADO, EL MATERIAL AQUI INCLUIDO PUEDE SER CONSIDERADO COMO AUXILIAR EN UN CURSO PROPEDEUTICO PARA LOS ESTUDIANTES DE PRIMER INGRESO A LA FACULTAD DE CIENCIAS, EN LAS CARRERAS DE MATEMATICAS, ACTUARIA, FISICA; COMO MATERIAL DE APOYO PARA LOS CURSOS DE LOGICA MATEMATICA QUE SE IMPAR- TEN EN EL COLEGIO DE .CIENCIAS Y HUMANIDADES, Y EN GENERAL, EN CUALQUIER CARRERA DONDE LAS MATEMATICAS JUEGUEN UN PAPEL MUY IMPORTANTE, CON EL FIN DE MOSTRAR AL ALUMNO LOS ELEMENTOS MINIMOS REQUERIDOS PARA ENTRAR AL BASTO MUNDO DE LA MATEMATICA (DEMOSTRACIONES, VALIDEZ, HEURISTICA, LEYES DE LA NEGACION, ETC.). LOS PRINCIPALES OBJETIVOS CON LOS QUE SE ELABORO EL MATERIAL SON QUE EL ALUMNO: lº MANEJE EL LENGUAJE FORMAL Y SEPA EXPRESARSE CON EL. TRADUCIR ENUNCIADOS OEL LENGUAJE NATURAL AL FORMAL E INVERSAMENTE. 2° CONOZCA LA VERDAD O FALSEDAD DE UN ENUNCIADO CON UNA INTERPRE- TACION DADA. CASO PARTICULAR SON LOS ENUNCIADOS. UNIVERSALMENTE VALIDOS QUE SON MUY UTILES EN LAS DEMOSTRACIONES. 3º SEPA NEGAR CORRECTAMENTE CUALQUIER PROPOSICION, EN PARTICULAR LA CONDICIONAL Y LAS CUANTIFICACIONES. ADEMAS, CONOCER ALGUNAS EQUIVALENCIAS LOGICAS. 4º ANALICE ARGUMENTOS, PARA SABER SI SON CORRECTOS O NO, INDEPEN- DIENTEMENTE DE LA VERDAD O FALSEDAD DE LAS PREMISAS Y DE LA CONCLUSION. 5° CONOZCA DIFERENTES METODOS DE DEMOSTRACION. ADEMAS, CONOCER LA DIFERENCIA ENTRE EL PROCESO DE DESCUBRIMIENTO DE UNA OEMOSTRA- CION (HEURISTICA), Y LA FORMALIZACION Y ORGANIZACION DEDUCTIVA DE ELtA, LO CUAL CONSTITUYE LA DEMOSTRACION PROPIAMENTE DICH~. COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES P L .A N T E L N A U C .A L P A N AREA DE MATEMATICAS TURNOS 01-02 TEMARIO. DE LOGICA MATEMATICA I I) PROPOSICIONES: - Proposición simple III - Proposición compuesta y términos de enlace (Disyunción, Conjunción, Condicional, Bicondicional y Negaciónl. - Simbolización de proposiciones. II) VALORES DE VERDAD: - Tablas elementales (Conj., Disy., Cond., Bicond., Neg.') - Proposiciones Tautológicas - Proposiciones Equivalentes - Proposiciones Contradictorias III) INFERENCIA LOGICA. - Argumento (Premisas, Conclusiones) - Reglas de Inferencia y Demostración Modus Ponendo Ponens, Modus Tollendo·Tollens, Doble Negación, Modus Tollendo Ponens, Simplificación, Adjunción, Silogismo Hipotético, Ley de Adición, Leyes de Margan. IV) DEMOSTRACIONES -Demostración directa -Demostración Condicional -Demostración por reducción al absurdo. TEMARIO DE LOGICA MATEMATICA II. l) CUANTIFICADORES - EL Silogismo ·- Término, P.redicado (simple y doble) - Nombre común - Proposiciones simples y compuestas, variables. - Cuantificador Universal y Cuantificador Existencial -Simbolizaciones - Relaciones entre proposiciones particulares y universales. II) ARGUMENTOS: - ~ey de Generalización y Ejemplificación Universales. - Ley de Generalización y Ejemplificación Existenciales. III) APLICACION. Demostracioón formal de argumentos y aplicación de leyes. ·l LOG ICA PROPOSICIONAL 1 LOGICA PROPOSICIONAL 1.1 LENGUAJE Y METALENGUAJE SIEMPRE QUE HABLEMOS ACERCA DE UN LENGUAJE USANDO OTRO, LLAMAREMOS AL PRIMERO EL LENGUAJE OBJETO (RELATIVAMENTE A ESA SITUACION) Y AL ULTIMO, EL METALENGUAJE. ASI, EN EL CASO DE UNA GRAMATICA GRIEGA ESCRITA EN CASTs LLANO, EL GRIEGO ES EL LENGUAJE OBJETO Y EL CASTELLANO EL METALENGUAJE~ LA DISTINCION ENTRE LENGUAJE Y METALENGUAJE ES SUTIL Y USUALMENTE NO ES IMPORTANTE, SALVO EN LA LOGICA, LA MATEMATICA Y EN FILOSOFIA DONDE SE REQUIERE MAYOR PRECISION DE LOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LAS ORACIO-- NES. POR EJEMPLO, SI HACEMOS CASO OMISO DE TAL DISTINCION, LOS SIGUIENTES RAZONAMIENTOS SERIAN VALIDOS: l) ROMEO AMA A JULIETA JULIETA ES UNA PALABRA (USO) (MENCION) POR TANTO, ROMEO AMA A UNA PALABRA 20 2) EL NUMERO 2 ES UN DIVISOR DEL DENOMINADOR DE 22 (MENCION) ~~ = ~~ (USO) POR TANTO, EL NUMERO 2 ES UN DIVISOR DEL DENOMINADOR DE i~ NOTAMOS QUE ALGO ANDA MAL EN ESTOS RAZONAMIENTOS, POSIBLEMENTE SEAN LAS PREMISAS O LAS CONCLUSIONES. EL PROBLEMA RADICA EFECTIVAMENTE EN LAS PREMISAS. EN EL PRIMER EJEMPLO, EN LA SEGUNDA PREMISA, JULIETA NO ES UNA PALA- BRA, SINO UNA PERSONA QUE ES AMADA POR ROMEO. SI DESEAMOS HABLAR DEL NOM- BRE DE JULIETA, NECESITAMOS EL NOMBRE DE SU NOMBRE. UNA MANERA DE DARLO, 2 ES EL DE USAR COMILLAS. ASI, "JULIETA" ES EL NOMBRE DE JULIETA, Y "JULIE- TA" SI ES UNA PALABRA. EN EL SEGUNDO EJEMPLO, LA FRACCION i~ ES EQUIVALENTE A ~~ ; ES OE- CI R, SE LE ESTA DANDO OTRO SIGNIFICADO. LA IGUALDAD DE LA SEGUNDA PREMISA SE REFIERE A LOS NUMEROS RACIONALES CUYOS NOMBRES (DISTINTOS),_ SON RESPE.!;;_ TIVAMENTE lO Y 2º 11 22 SE PUEDEN ACLARAR ESTAS SITUACIONES, NOTANDO LA DIFERENCIA ENTRE USO Y MENCION DE UN TE~MINO. ES DECIR, USAR UN TERMINO: REFIRIENDOSE A ALGO DISTINTO DE SI MISMO, Y MENCIONAR ESE TERMINO: HABLAR ACERCA DE EL. ESTO ES, DISTINGUIR ENTRE LOS NOMBRES Y LO QUE ESTOS NOMBRAN: DISTINGUIR LOS OBJETOS Y LOS NOMBRES DE LOS OBJETOS. EJEMPLO: SOCRATES ES MORTAL FORMULAMOS UNA PROPOSICION EN EL CUAL SE ATRIBUYE UNA PROPIEDAD A UNA ENTIDAD; LA ENTIDAD CUYO NOMBRE ES "SOCRATES". DECIMOS EN TAL CASO QUE -- "SOCRATES" ES USADO. EN CAMBIO, SI ESCRIBIMOS "SOCRATE5" ES UN VOCABLO DE TRES SILABAS, FORMULAMOS UNA PROPOSICION EN El CUAL SE ATRIBUYE UNA PRO~­ PIEDAD A UN NOMBRE: EL NOMBRE "SOCRATES". DECIMOS EN TAL CASO. QUE "SOCRA- TES" ES MENCIONADO. RESUMIENDO, EN EL ºLENGUAJE OBJETO, USAMOS LOS SIMBOLOS, PALABRAS, OR6 CIONES, ETC. PERO NO LOS MENCIONAMOS; EN EL METALENGUAJE USAMOS LOS SIMBQ LOS, PALABRAS, ORACIONES, ETC. DEL METALENGUAJE PARA MENCIONAR LAS EXPRE- SIONES DEL LENGUAJE OBJETO, PERO ,NO HACEMOS USO DE LAS EXPRESIONES DEL -- LENGUAJE OBJETO; EN LUGAR DE ESO, USAMOS LOS NOMBRES DE LOS SIMBOLOS DEL LENGUAJE OBJETO. 3 1.2 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS AL HACER USO DE-L LENGUAJE MEDIANTE ORACIONES, LO EMPLEAMOS DE MUY Dl VERSAS FORMAS, A SABER: PARA DAR ORDENES, PARA HACER PREGUNTAS, PARA EX- PRESAR DESEOS Y SENTIMIENTOS, PARA DESCRIBIR SITUACIONES Y/O OBJETOS,ETC. LAS ORACIONES SE CLASIFICAN EN DECLARATIVAS, INTERROGATIVAS, IMPERA- TIVAS Y EXCLAMATIVAS; DE UNA PREGUNTA, UNA EXCLAMACION O UNA SUPLICA, NO TIENE SENTIDO EL PREGUNTARSE SI SON O NO VERDADERAS. SIN EMBARGO, EN LAS AFIRMACIONES QUE SE HACEN ACERCA DEL MUNDO SI ES CONVENIENTE PREGUNTARSE SI SON VERDADERAS O FALSAS. DE ESTAS ORACIONES, LAS QUE INTERESAN PARTICULARMENTE A LA LOGl CA SON LAS DECLARATIVAS, YA QUE SU CARACTERI STI CA ES EL DE SER VERDADERAS O FALSAS. LOS TERMINOS "ORACION DECLARATIVA" Y "PROPOSICION", SE USAN IN- DISTINTAMENTE EN LA LOGICA EN EL MISMO SENTIDO. EJEMPLOS DE ORACIONES: 1) LA TIERRA ES UN PLANETA 2) EL NUMERO 20 ES DIVISIBLE POR 3 3) i EUREKA ! 4) EL NUMERO DOS ES EL UNICO PRIMO PAR 5) lQUIEN VIENE A CENAR? EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES, SON PROPOSICIONES VERDADERAS 1) Y 4), ES PROPOSICION FALSA 2)- Y, 3) Y 5) NO SE PUEDEN CALIFICAR¡ POR TANTO, ESTAS QUE NO SE PUEDEN CALIFICAR NO INTERESAN PARTICULARMENTE A LA LOGICA. DEFINICION.- UNA PROPOSICION ES UNA ORACION DECLARATIVA QUE PUEDE -- SER CALIFICADA CON UN VALOR OE VERDAD¡ A SABER: VERDADERO (V) O FALSO (F),. PERO NO AMBOS. HAY DOS CLASES DE PROPOSICIONES, LAS SIMPLES O ATOMICAS Y LAS COMPUE~ TAS O MOLECULARES. 4 LAS ATOMICAS SON LAS PROPOSICIONES DE FORMA MAS SIMPLE (BASICA). LAS MOLECULARES SON AQUELLAS QUE ESTAN FORMADAS POR DOS O MAS PROPOSICIONES ATOMICAS Y VAN UNIDAS POR MEDIO DE UN TERMINO DE ENLACE O CONECTIVO LOGl CO. LOS CONECTIVOS LOGICOS (BINARIOS) MAS USUALES SON: "Y", "O", "SI •.. ENTONCES •·· ", " •.• SI Y SOLO SI ... ", LLAMADOS CONJ~NCION, DISYUNCION, CONDICIONAL Y BICONDICIONAL, RESPECTIVAMENTE. EL CONECTIVO "NO", LLAMADO NEGACION, ES EL UNICO CONECTIVO UNARIO (MONADICO). EN SEGUIDA SE TRATARA CADA UNO DE ESTOS CONECTIVOS, SIN LLEGAR A PRQ FUNDIZAR MUCHO EN EL TRATAMIENTO, SALVO EN LA DISYUNCION Y EN LA CDNDICIQ NAL, POR TRATARSE DE CASOS QUE REQUIEREN MAYOR ATENCION. 1.2.1 LA NEGACION DEFINICION.- CUANDO A UNA PROPOSICION SE LE ANTEPONE EL CONECTIVO "NO'', SE FORMA LA NEGACION DE LA PROPOSICION. EN OCASIONES, LA NEGACION VA "DENTRO" DE LA PROPDSICION. LAS LOCUCIONES MAS EMPLEADAS PARA LA NEGACION SON: "NO", "NO ES CIERTO QUE", "NO OCURRE QUE", "NO ES EL CASO QUE". LOS SIMBOLOS MAS USUALES PARA LA NEGACION DE UNA PROPOSICION P SON: , P, -P, ...., P. EJEMPLOS: A) P= "HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO" NEGACION DE P= "NO HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO" NEGACION DE P= "NO ES CIERTO QUE HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO" B) Q= "SOCRATES ESl.:A MUERTO" NEGACION O~ Q= "SOCRATES NO ESTA MUERTO" NEGACION DE Q= "NO ES EL CASO QUE SOCRATES ESTA MUERTO" C) R= "LAS REFORMAS DEL RECTOR BENEFICIAN A LA UNAM" NEGACION DE R= "LAS REFORMAS DEL RECTOR NO BENEFICIAN A LA UNAM" NEGACION DE R= "NO ES CIERTO QUE LAS REFORMAS DEL RECTOR BENEFICIAN A LA.UNAM" 1 .2.2 LA CONJUNCION DEFINICION.- UNA CONJUNCION ES AQUELLA PROPOSICION COMPUESTA CUYAS COMPONENTES VAN UNIDAS POR MEDIO DEL CONECTIVO LOGICO "Y". EJEMPLO: "EL NUMERO 5 ES PRIMO Y EL NUMERO 15 ES MULTIPLO DE 3" SI LLAMAMOS P= "El NUMERO 5 ES PRIMO" Y Q= "EL NUMERO 15 ES MULTIPLO DE 3" 5 ENTONCES, SE TIENE: P Y Q, QUE PODEMOS SIMBOLIZAR COMO P ~ Q, P & Q, p • Q LAS COMPONENTES QUE FORMAN LA CONJUNCION, SE LLAMAN CONYUNTOS. EXISTE OTRO TIPO OE PROPOSICION QUE PUEDE SER CONSIDERADA COMO EQUIVA- LENTE A LA CONJUNCION, TIENE LA SIGUIENTE FORMA: ..... PERO ..... EJEMPLOS: A) "TE REGALO MIS DULCES PERO ME COMPRAS UN HELADO" ES EQUIVALENTE A: "TE REGALO MIS DULCES ! ME COMPRAS UN HELADO" B) "LAS MATEMATICAS SON INTERESANTES PERO DIFICILES" ES EQUIVALENTE A: "LAS MATEMATICAS SON INTERESANTES ! DIFICILES" C) "EL NUMERO 21 ES IMPAR PERO NO ES PRIMO" ES EQUIVALENTE A: "EL NUMERO 21 ES IMPAR 1 NO ES PRIMO" 1.2.3 LA DISYUNCION OEFINICION.- UNA DISYUNCION ES AQUELLA PROPOSICION COMPUESTA CUYAS - COMPONENTES VAN UNIDAS POR MEDIO DEL CONECTIVO LOGICO "0". EJEMPLO: "ENTREGO EL TRABAJO FINAL O REPRUEBO EL CURSO. SI LLAMAMOS P= ºENTREGO EL TRABAJO FINAL" Y Q= " REPRUEBO EL CURSO" ENTONCES SE TIENE P O Q, QUE PODEMOS SIMBOLIZAR COMO P v Q. LOS COMPQ HENTES QUE FORMAN LA DISYUNCION SE LES LLAMA DISYUNTOS. 6 UNA DISYUNCION PUEDE INTERPRETARSE EN DOS SENTIDOS: EN SENTIDO INCLg YENTE Y EN SENTIDO EXCLUYENTE. EN SENTIDO INCLUYENTE, LA DISYUNCION P O Q TIENE EL SIGUIENTE SIGNIFICADO: SE PRESENTA POR LO MENOS UNA COMPONENTE ~ QUIZA AMBAS (P V Q) EN EL SENTIDO EXCLUYENTE, P O Q TIENE EL SIGUIENTE SIGNIFICADO: SE PRESENTA UNA U OTRA COMPONENTE, PERO NO AMBAS A LA VEZ (P ºv Q) "'- ~ (P,.. Q) EJEMPLOS: A)"APRUEBO O REPRUEBO EL CURSO DE LOGICA" EXPRESA QUE UNA DE LAS DOS PROPOSICIONES ATOMICAS ES CIERTA Y LA OTRA NE~ CESARIAMENTE ES FALSA. ESTO ES, O St APRUEBA O SE REPRUEBA EL CURSO DE LQ GICA, PERO NO OCURREN AMBAS A LA VEZ. B)"SE BUSCA AL ASESINO X VIVO O MUERTO" EN ESTE CASO, TAMBIEN SE DA SOLO UNA DE LAS POSIBILIDADES. ESTOS EJEMPLOS NOS MOSTRARON EL SENTIDO EXCLUYENTE DE LA DISYUNCION. C) "PROHIBIDA LA ENTRADA A ESTUDIANTES O UNIFORMADOS" EXPRESA QUE SE LES PROHIBE LA ENTRADA A ESTUDIANTES, A UNIFORMADOS Y TAM- BIEN A LOS QUE SEAN A LA VEZ ESTUDIANTES Y UNIFORMADOS. D) "EL NUMERO 17 ES PRIMO O IMPAR" EXPRESA QUE EL NUMERO 17 ES PRIMO,,EL NUMERO 17 ES IMPAR O TAMBIEN QUE EL NUMERO 17 ES PRIMO E IMPAR A LA VEZ. ESTOS DOS ULTIMOS EJEMPLOS MUESTRAN EL SENTIDO INCLUYENTE DE LA DIS- YUNCION. EN LOGICA, SE EMPLEA EL SENTIDO INCLUYENTE DE LA DISYUNCION, POR --- CUESTIONES PRACTICAS. 1.2.4 LA CONDICIONAL DEFINICION. - UNA PROPOSICION DE LA FORMA "SI ..• ENTONCES .•• ", SE LLAMA UNA CONDICIONAL LA PROPOSICION QUE VA ENTRE "SI" Y "ENTONCES" SE LE LLAMA ANTECEDENTE Y LA QUE VA' DESPUES DE "ENTONCES", SE LLAMA CONSE-- ill!fil. EJEMPLOS: A) SI ESTUDIO MUCHO ENTONCES APROBARE EL EXAMEN B) SI VOY AL CINE ENTONCES ME DIVERTIRE MUCHO C) SI p2ES UN NUMERO PAR ENTONCES P ES UN NUMERO PAR D) SI x2 - 4 = O ENTONCES X= 2 O X= -2 7 PARA LA CONDICIONAL "SI ••• ENTONCES •.• "SE EMPLEAN VARIAS LOCUCIQ NES, A SABER: "SI P ENTONCES Q", "P IMPLICA Q", "P SOLO SI Q", "PES CONDICION SUFICIENTE PARA Q", "Q ES CONDICION NECESARIA PARA P", "NO P o Q". EJEMPLOS: A) ~ ESTUDIO ENTONCES APRUEBO MATEMATICAS B) ESTUDIO IMPLICA QUE APRUEBO MATEMATICAS C) ESTUDIO SOLO SI APRUEBO MATEMATICAS D) APRUEBO MATEMATICAS ~ ESTUDIO E) ESTUDIAR ES CONDICION SUFICIENTE PARA APROBAR MATEMATl CAS F) APROBAR MATEMATICAS ES CONDICION NECESARIA PARA ESTU.-- DIAR G) NO ESTUDIO Q APRUEBO MATEMATICAS UNA CONDICIONAL "SI P ENTONCES Q", SE PUEDE SIMBOLIZAR DE LA SIGUIE!! TE MANERA: P - Q o P ::> Q POR OTRO LADO, EXISTEN ENUNCIADOS DE LA FORMA "P A MENOS QUE Q". ESTOS SE CONSIDERARAN DE LA FORMA DE UNA CONDICIONAL, ASI: "SI NO Q EN-- TONCES P". 8 EJEMPLOS: A) "NO SE PUEDE PASAR AUTOMATICAMENTE A FACULTAD A MENOS QUE SE HAYA TERMINADO EL BACHILLERATO EN 3 AROS Y CON PROMEDIO MINIMO DE 8". ES EQUIVALENTE A DECIR: A'} "NO SE PUEDE PASAR AUTOMATI CAMENT¡:: A FACUL TAO SI NO SE HA TERMINADO EL BACHILLERATO EN 3 A~OS Y CON PRQ MEDIO MINIMO DE 8". SIMBOLIZANDO A), SE TIENE: P A MENOS QUE Q, DONDE P="NO SE PUEDE PASAR AUTOMATI.CAMENTE A FACULTAD" Y Q="SE HA TERMINADO EL BACHILLERATO - EN 3 AROS Y CON PROMEDIO MINIMO DE 8". ANALOGAMENTE. SIMBOLIZANDO A') SE TIENE: P SI NO Q POR SER EQUIVALENTES A) Y A'), SE TIENE: P 'A MENOS QUE Q ES. EQUIVALENTE A P SI NO Q, PERO ESTO ULTIMO LO - PODEMOS SIMBOLIZAR COMO N Q - P, QUE A SU VEZ ES EQUIVALENTE A : (NO NO Q)O P 'Y POR TANTO, Q O P. POR CONSIGUIENTE, "P A MENOS QUE Q" ES EQUIVALENTE A: "p O Q''. POR OTRO LADO, EXISTE UN TIPO DE PROPOSICION OE LA FORMA: "P AUNQUE Q" VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS PARA TRATAR DE DAR ALGUNA EQUIVALENCIA A LOS CONECTIVOS QUE HEMOS VISTO EN LAS PAGINAS ANTERIORES. EJEMPLOS: A) "DOY CLASES AUNQUE HAYA PARO" (C AUNQUE P) ES EQUlVALENTE A: "SI HAY PARO ENTONCES DOY CLASES", SIMBOLIZANDO, RESUh TA: p -e . POR TANTO, ES EQUIVALENTE A:,.., p V e, QUE ES EQUIVALENTE A: C v,,., P B) "ME HE DE COMER _ESA TUNA AUNQUE ME ESPINE LA MANO" ES EQUIVALENTE A: "SI ME ESPINO LA MANO ENTONCES ME HE DE COMER ESA TUNA" SIMBOLIZANDO: E-TES EQUIVALENTE A:"' E v T, EQUIVALENTE A: T VrJ E RESUMIENDO, UNA PROPOSICION DE LA FORMA:uP AUNQUE Q"' ES EQUIVA-- LENTE A : .. P v ,.; Q"' 9 1.2.5 LA BICONDICIONAL DEFINICION. - LA PROPOSICION BICONDICIONAL "P SI y SOLO SI Q". ES -- EQUIVALENTE A LA CONJUNCION DE LAS DOS CONDICIONALES SIGUIENTES: "P SI Q" Y "P SOLO SI Q"; LO QUE SIGNIFICA QUE P ES UNA CONDICION NECESARIA Y SU-- FICIENTE PARA Q. ES DECIR, P - Q ES EQUIVALENTE A (Q - P) ,. (P - Q) EL SIMBOLO - SE LEE "SI V SOLO SI" EJEMPLOS: A) "UN LIQUIDO ES UN ACIDO SI Y SOLO SI COLOREA DE AZUL EL PAPEL DE TORNASOL ROJO" (A-R) QUE.ES EQUIVALENTE A LA CONJUNCION DE: A') "SI UN LIQUIDO ES UN ACIDO ENTONCES· COLOREA DE AZUL EL PAPEL DE TORNASOL ROJO" (A -R) Y A") "SI UN LIQUIDO COLOREA DE AZUL EL PAPEL DE TORNASOL ROJO, ENTON- CES ES UN ACIDO" (R -A) B) "UN TRIANGULO ES EQUILATERO SI Y SOLO SI TIENE SUS TRES LADOS IGUALES" (E -T) QUE ES EQUIVALENTE A LA CONJUNCION DE: B') "SI UN TRIANGULO ES EQUILATERO, ENTONCES TIENE SUS TRES LADOS IGUALES" ( E - T) Y B' ')."SI UN TRIANGULO TIENE SUS TRES LADOS IGUALES, ENTONCES ES EQUI- LATERO" ( T -.;E) C) "X = 7 O X = -4 ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE x2 - 3X = 28" ES DECIR, "X=7 O X=-4 - x2 - 3X = 28", LO QUE EQUIVALE A LA CONJUNCION DE: C') "SI X = 7 O . X = -4 ENTONCES x2 - 3X = 28" V C'') "SI x2 - 3X = 28 ENTONCES X= 7 O X= -4" TERMINOLOGIA SINTACTICA A) ,.... P RECIBE EL NOMBRE DE NEGACION DE P; B) P ,.,, Q RECIBE EL NOMBRE DE CONJUNCION, CON P Y Q COMO CONYUNTOS; C) P v Q RECIBE EL NOMBRE DE OISYUNCION, CON P Y Q ·COMO DISYUNTOS; O) P -- Q RECIBE EL NOMBRE DE CONDICIONAL, CON P COMO ANTECEDENTE Y Q COMO CONSECUENTE; E) P- Q RECIBE EL NOMBRE DE BICONDICIONAL. EJERCICIOS l.- EXPRESE COMO CONJUNCION DE DOS PROPOSICIONES CADA UNA DE LAS PROPOSICIONES SIGUIENTES: A) X y Y SON FACTORES DE z. B) X ES PAR PERO NO ES MULTIPLO DE 4. C) PEORO Y JUAN TRABAJAN EN LA UNAM.' O) 5 ES UN NUMERO PRIMO E IMPAR. E) 3 NO ES PAR PERO ES DIVISOR DE 12. F) X ,.. +5 SI X = +12, (+12) 2 = +144 ~ +12 SI X = O, (0) 2 = o ~ o SI X = -4, (-4) 2 = +16 ~ -4 SI X = -1, (-1) 2 = +l ~ ..:1 COMO SE HABRA OBSERVADO, SE INCLUYERON VALORES POSITIVOS, NEGATIVOS Y EL CERO. POR TANTO, LA DESIGUALDAD SE CUMPLE EN PARTICULAR PARA ESOS NUMEROS ENTEROS, PERO NO ES SUFIC1ENTE COMO PA~ ASEVERAR QUE LA PROPO- SICION ES VALIDA; PARA ELLO,tSE PODRIA MOSTRAR DIRECTAMENTE QUE SE CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES. ES DECIR, ELABORAR UNA LISTA CON TODOS LOS NUME- ROS ENTEROS Y VER QUE LA DESIGUALDAD SE CUMPLE1 NO, PUES SABEMOS QUE ES . IMPOSIBLE TAL PROCEDIMIENTO YA QUE EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS ES INFINITO. POR TANTO, SE REQUIERE UNA DEMOSTRACION EN DONDE SE CONCLUYA INDIRECTAMENTE QUE LA DESIGUALOAl>SE CUMPE PARA TODOS LOS VALORES. 14 > X ENTONCES X2- X 2 0, FACTORIZANDO SE TIENE: X(X - 1) > 0, POR TANTO: X20 Y X-1>0 , ES DECIR Xe [1l,=0) o _ xX£0 Y X-1<0, ES DECIR X€ (-00, 0] yo POR CONSIGUIENTE, Xe [Co , 0 U [1,=0)f ES DECIR, X €zZ- (LA DESIGUALDAD SE CUMPLE PARA CUALQUIER NUMERO ENTERO X) SIN EMBARGO, SI CONSIDERAMOS QUE AHORA EL DOMINIO SEA EL CONJUNTO: - DE LOS NUMEROS REALES R, ENTONCES LA PROPOSICION NO ES VALIDA, PARA ELLO BASTA OBTENER UN SOLO VALOR DE LA VARIABLE QUE NO SATISFAGA LA DESIGUAL- DAD, POR EJEMPLO SI Xx = 2, ENTONCES 4 1Y 2 l 3 1 0 (CÓNTRADICCION) 4 16 4 o ASI, —x23 xo NO ES VALIDA, SI D=R: o EN EL ESTUDIO DE LA MATEMATICA, APARECEN CONSTANTEMENTE PROPOSICIO- NES CONDICIONALES, POR LO QUE CABE HACERSE LA SIGUIENTE PREGUNTA: ¿ CUANDO UNA CONDICIONAL SERA VALIDA ? o UNA CONDICIONAL SERA VALIDA SI NO "CONDUCE" DE LO VERDADERO A LO FALSO, ES DECIR, SI NO ES POSIBLE QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO Y EL CONSECUENTE FALSO. EJEMPLOS: A) SI X>10 ENTONCES X>5 (D= N) VEAMOS SI ES POSIBLE QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO Y EL CONSE-- CUENTE FALSO. : PARA QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO, SE REQUIERE QUE X SEA MAYOR QUE 10. : : SI x2 ~ NCES x - ~ º· Riz DO I E: ( ) ~ O, R NTO: 3: O - l.~ O , S CIR e: ( , <>e>) X~ O - 1 ~ O S CIR E: oo, O] P R NSIGUIENTE, € { (-....,,, O] [l,o.o)} S ECIR, E e AD PLE A LQUIER ERO ERO ) I BARGO, I ceN IDE OS E RA MINIO NJUNTO E S EROS LES , NCES POSICI N S LIDA, A O STA TENER O LOR E RI BLE E I A SI AL- D, R PLO I i , NCES l >.; l 16 :;- 4 C RADI CION) SI • x2 ~ X S LIDA, I = IR; DIO E ATEMATICA, ECEN S TE ENTE POSICIO- NES NDICI NALES, R E BE CERSE I TE UNTA: DO A DICI AL A LI A A DICI AL A LI A I UCE" E DERO .F LSO, S ECIR, I S SI LE E TECEDENTE DERO SECUENTE LSO. J PLOS: ) I >' 10 NCES > 5 ( D= I ) OS I S SI LE E TECEDENTE DERO NSE-- ENTE LSO. A E TECEDENTE ADERO, UIERE E AYOR E 0. 15 SUPONGAMOS QUE X ES CUALQUIER NUMERO NATURAL MAYOR QUE 10. POR - OTRO ~ADO, SE SABE QUE 10 ES MAYOR QUE 5 ( 10 > 5). POR TANTO, SE TIENE X>lO Y 10>5, ENTONCES POR TRANSITIVIDAD, X>5, QUE RESULTA VERDADERO. COMO NO EXISTE TAL POSIBILiDAD, LA CONDICIONAL ES VALIDA. B) SI X = 5 ENTONCES X > 2 SEA X CUALQUIERA. NUEVAMENTE VEAMOS SI ES POSIBLE QUE EL ANTECEDE~ TE SEA VERDADERO Y EL CONSECUENTE FALSO. PARA QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO SE REQUIERE QUE X SEA IGUAL A 5 ( X= 5). POR OTRO LADO, SE SABE QUE 5 > 2 POR TANTO, SE TIENE: X = 5 Y 5 > 2 POR CONSIGUIENTE, X> 2, QUE ES VERDADERO. COMO NO EXISTE TAL POSIBILIDAD, LA CONDICIONAL ES VALIDA. C) SI X> 3 ENTONCES X = 5 l EXISTIRA LA POSIBILIDAD QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO Y EL CONSE-- CUENTE FALSO ? . SI X = 8, SE TIENE: SI B> 3 ENTONCES 8 = S (V - F) POR TANTO, LA CONDICIONAL ES NO-VALIDA, YA QUE CONDUCE DE LO VERDA- DERO A LA FALSO. COMO SE VIO EN ESTE EJEMPLO, BASTA ENCONTRAR UNA INSTANCIA PARA DE- MOSTRAR QUE LA CONDICIONAL NO FUE VALIDA, ES LO QUE SE CONOCE COMO · "DAR UN CONTRAEJEMPLO". LAS INSTANCIAS SON LOS VALORES PARTICULARES QUE SE DAN A LAS VARIABLES. 16 CABE PREGUNTARSE AHORA l EN QUE CIRCUNSTANCIA SERA FALSA UNA CONDI- CIONAL ? POR EJEMPLO: "SI EL ORO SE SUMERGE EN AGUA REGIA, ENTONCES EL ORO SE DISUELVE", l CUANDO SERA FALSA ?, CLARAMENTE SERA FALSA CUANDO SE SQ MERJA· EL ORO EN EL AGUA REGIA Y EL ORO NO SE DISUELVA. ES DECIR! CUANDO EL ANTECEDENTE.ES VERDADERO Y EL CONSECUENTE ES FALSO . . POR TANTO, CUALQUIER CONDICIONAL "SI P ENTONCES Q" SE SABE QUE ES FALSA EN EL CASO DE QUE EL ANTECEDENTE SEA VERDADERO Y EL CONSECUENTE ·- FALSO, i.e., QUE LA CONJUNCION P ~ /Y Q ES VERDADERA. EN OTRAS PALA- BRAS, PARA QUE "SI P ENTONCES Q" SEA VERDADERA, "'(P"',..., Q) TAMBIEN TIE- NE QUE SER VERDADERA. RESUMIENDO, AL AFIRMAR UNA CONDICIONAL P - Q , SE AFIRMA QUE NO PUEDE OCURRIR QUE EL ANTECEDENTE P SEA VERDADERO Y EL CONSECUENTE Q FALSO. POR LO TANTO, LA CONDICIONAL ES VERDADERA EN LOS TRES CASOS SI-- GUIENTES: 1) 2) 3) P VERDADERA Y Q VERDADERA P FALSA P FALSA Y Q VERDADERA Y Q FALSA HAY TRES DIFERENTES CLASES DE OBJECIONES PARA ESTE CRITERIO. DE VER- DAD DE LA CONDICIONAL: la. NO SE REQUIERE QUE HAYA CONEXION LOGICA ENTRE El ANTECEDENTE Y EL CONSECUENTE. LA VERDAD O FALSEDAD DE LA CONDICIONAL DEPEND.[ RA DE LA VERDAD O FALSEDAD DEL ANTECEDENTE Y DEL CONSECUENTE. POR EJEMPLO: "SI SOCRATES ESTA MUERTO ENTONCES NO EXISTE UN - NUMERO PRIMO MAXIMO", ES UNA CONDICIONAL VERDADERA. ADEMAS, "SI SOCR;J\TES NO ESTA MUERTO, ENTONCES EXISTE UN NUMERO PRIMO MAXIMO", TAMBIEN ES VERDADERA, LO QUE PARECE QUE NUESTRO ANA- LISIS LOGICO ESTA YENDO CONTRA EL USO COMUN. 17 IMAGINEMOS QUE UN AMIGO SE ENCUENTRA EN UN GRAN PROBLEMA Y NO- SOTROS CREEMOS QUE NO LO PODRA RESOLVER. BURLONAMENTE PODEMOS DECIRLE: "SI RESUELVES EL PROBLEMA, ME COMERE MIS TENIS". AFIRMAMOS QUE EL CONSECUENTE ES FALSO INDUDABLEMENTE Y COMO - ACEPTAMOS LA CONDICIONAL EN SU TOTALIDAD, CON ELLO AFIRMAMOS AL MISMO TIEMPO LA FALSEDAD DEL ANTECEDENTE. POR OTRO LADO, SI SE TIENE QUE: "SI EL SOL BRILLA MAl'lANA, ENTONCES "LOS PUMAS" GANARAN". EN ESTE CASO, EL ANTECEDENTE ES INDUDABLEMENTE VER- DADERO Y COMO ACEPTAMOS TODA LA CONDICIONAL, CON ELLO AFIRMA- MOS AL MISMO TIEMPO LA VERDAD DEL CONSECUENTE. UN MECANISMO SIMILAR SE USA EN LOGICA MATEMATICA, SI SUPONEMOS QUE "F" REPRESENTE ALGUNA PROPOSICION FALSA, POR TANTO P PUf DE NEGARSE COMO P- "F" (FALSEDAD DEL ANTECEDENTE) . ANALOGAMENTE, SI SUPONEMOS QUE ''V" REPRESENTE UNA PROPOSICION VERDADERA, POR TANTO "V" - Q , ES UNA MANERA DE AFIRMAR Q (VERDAD DEL CONSECUENTE). 2a. SI PERMITIMOS UNA FALTA DE PERTINENCIA ENTRE EL ANTECEDENTE Y EL CONSECUENTE, ENTONCES LA CONDICIONAL "SI •.• ENTONCES •.. ; " SE CONVIERTE EN VERDADERA SI TIENE UN ANTECEDENTE FALSO O UN CONSECUENTE VERDADERO. PERO USUALMENTE NO AFIRMAMOS UNA CONDI- CIONAL SI YA SABEMOS LA VERDAD DEL CONSECUENTE O LA FALSEDAD DEL ANTECEDENTE". ES DECIR, DE ESTO EL LENGUAJE USUAL NO DICE NADA, PERO EL LENGUAJE q FORMAL _g, i LO EXPLICITA ! . EJEMPLO: "SI SE COLOCA ACERO EN ESTA AGUA, ENTONCES EL ACERO SE DISUELVE". i SI NO SE COLOCA, ES VERDADERO !. ESTO SEGU- RAMENTE RESULTA PARADOJICO EN EL SENTIDO DE SER CONTRARIO A LO QUE SE ESPERABA Y NO EN EL DE_ SER UNA ANTINOMIA. 3a. LA INTERPRETACION FUNCIONAL DE VERDAD DE "SI •.. ENTONCES NO TOMA CONOCIM.IENTO DEL MODO SUBJUNTIVO. POR EJEMPLO: "NINGUN CUBO DE AZUCAR FUE PUESTO EN ESTE VASO DE AGUA PURA ..- UBS A A A —TANTE, NO SERIA FALSO QUE sI UN CUBO DE AZUCAR HUBIERA SIDO PUESTO EN ESTE VASO. DE AGUA PURA, ENTONCES EL AZUCAR NO SE DI- SOLVERIA".- LA UNICA RESPUESTA ADECUADA Á ESTA OBJECIÓN ES AD- MITIR EL PUNTO Y REDUCIR LAS PRETENCIONES HECHAS PARA "——»" DEL SIGUIENTE MODO: “... —»....” SERA TOMADO COMO UNA APROXI- MACION SUFICIENTEMENTE BUENA DEL MODO INDICATIVO DE “SI... ENTONCES ..." POR SER MUY UTIL PARA PROPOSITOS LOGICOS. ESTA ULTIMA JUSTIFICACIÓN, HA PROBADO SER MUY EFECTIVA EN EL ANALISIS LOGICO PARA FINES PRACTICOS. : EJERCICIOS DEMUESTRE LA VALIDEZ O MUESTRE LA INVALIDEZ DE LAS PROPOSICIONES 1) X SIGUIENTES, DONDE EL DOMINIO D2Z (EXCEPTO EN 2) Y 3) DONDE D= R). + Y>X 2). x2 + 12 > 2xY 3) De 5) - 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) X SI s1 51 SI SI SI. SI $1 sI + (Y - X) = "X + Y = 8 ENTONCES 2 ES PAR 2 ES PAR ENTONCES X + Y = 8 X + Y = 8 ENTONCES 3 ES PAR X ES PAR ENTONCES 2X ES PAR 3 ES PAR ENTONCES X + Y = 8 2X ES PAR ENTONCES X ES PAR x2 ES PAR ENTONCES X ES PAR X= Y ENTONCES X AY XY = Z y Z. ES PAR ENTONCES z ES PAR 13) SI X A Y ENTONCES X=Y ' 18 EN LA ULTIMA HORA"· SUPONGAMOS QUE ESTO ES VERDADERO. NO os~ TANTE, IA LSO UE "SI BO E CAR li BI RA I STO . E SO E UA RA, NCES CAR O I- LVERIA". I A ESP ESTA ADA A JECION D- ITIR TO UCIR S CI NES HAS A - EL I TE MODO: " • . -· .• " A ADO O A PROXI- ACION FI ENTE ENA EL ODO I TI O E " .•• NCES ••• " R UY TIL A POSITOS GICOS. A I A I CION, DO UY TI A ALISIS I O A S CTICOS. E J E R c I c I o s UESTRE LI EZ UESTRE LI EZ E S POSI I NES I TES, NDE MINIO O~ Z E PTO ) ) ONDE = ~). 1) + > X ) y ? X ,3) ( - } Y 4} I NCES S R 5) SI S R NCES 8 6) SI V NCES S R 7) I S R NCES S R 8) I S ~NTONCES V ) I S R NCES S R 10) I S R NCES S R 1) SI =Y NCES ~ V ) SI V y S R NCES ·z S R ) I ~ V NCES 19 1.4 PROPOSICIONES.EQUIVALENTES DEFINICION.- DOS PROPOSICIONES P, Q SE LLAMAN EQUIVALENTES (P : Q) EN UNA INTERPRETACION CON DOMINIO D, SI SON VALIDAS, EN ESA INTERPRETA- CION. CON DOMINIO D, LAS CONDICIONALES SIGUIENTES: (SI P ENTONCES Q) y (SI Q ENTONCES P) ES DECIR, ( P = Q) SI SON VALIDAS (P - Q) y (Q - P) (D) EJEMPLOS: A) LAS PROPOSICIONES X = -5 y X + 7 = 2 (D= il) SON EQUIVALENTES ENTRE SI, YA QUE SON VALIDAS LAS CONDICIONALES: SI X = -5 ENTONCES X + 7 = 2 y SI X + 7 = 2 ENTONCES X = -5 POR TANTO, X = -5 X + 7 = 2 B) LAS PROPOSICIONES X = y y MX = MY (O= Z) (Me. Z), (D= il) NO SON EQUIVALENTES ENTRE SI, YA QUE SI 0•3 = 0•2 ENTONCES 3 = 2 (ES UNA INSTANCIA QUE CONDUCE DE LO VERDADERO A LO FALSO), PARA EL CASO DE LA CONDICIONAL SI MX = MY E~TONCES X =Y (NO-VALIDA). 1.4.lRECIPROCA DE UNA CONDICIONAL DEFINICION.~ LA RECIPROCA (INVERSA) DE UNA CONDICIONAL, ES LA CON- DICIONAL RESULTANTE DE ELLA AL INTERCAMBIAR El ANTECEDENTE Y EL CONSE-- CUENTE. 20 l.4.2CONTRAPUESTA DE UNA CONDICIONAL DEFINICION.- LA CONTRAPUESTA (CONTRAPOSITIVA) DE UNA CONDICIONAL ES LA CONDICIONAL QUE RESULTA DE NEGAR EL ANTECEDENTE Y EL CONSECUENTE DE LA RECIPROCA DE LA CONDICIONAL DADA. EJEMPLOS: A) B) SI X = 10 ENTONCES X ES PAR SI X ES PAR ENTONCES X = 10 SI X NO ES PAR ENTONCES X 1 10 SI X = 5 ENTONCES 3X + 2 = 17 SI 3X + 2 = 17 ENTONCES X = 5 SI 3X + 2 1 17 ENTONCES X 1 5 (CONDICIONAL DADA) (RECIPROCA) (CONTRAPUESTA) (CONDICIONAL DADA) (RECIPROCA) ( CONT¡\APUESTA) C} SI HOY ES DOMINGO ENTONCES NO HAY CLASES (CONDICIONAL DADA) SI NO HAY CLASES ENTONCES HOY ES DOMINGO (RECIPROCA) SI HAY CLASES ENTONCES HOY NO ES DOMINGO (CONTRAPUESTA) DE ESTOS EJEMPLOS SE INFIERE QUE LA CONDICIONAL DADA PUEDE SER VALI- DA Y NO SERLO SU RECIPROCA, LO QUE NO SUCEDE CON LA CONTRAPUESTA. ES DECIR, TODA CONDICIONAL ES EQUIVALENTE A SU CONTRAPUESTA. SIMBOLICAMENTE: P --:.... Q Q-P "'Q _,.,p (CONDICIONAL DADA) ( RECIPROCA) (CONTRAPUESTA) 21 POR LO ANTERIOR, ENTONCES P - Q ; tv Q _,,,, P, NOTESE QUE ESTA EQUIVALENCIA NO DEPENDE DE LA INTERPRETACION. VEAMOS, YA QUE P -Q ;..., P v Q POR TANTO, ,...., Q _,.., P - (...., (..-Q) ] v [...., P] - Q v,.., P (DOBLE NEGACION) = ...., p V Q (CONMUTATIVIDAD) ES DECIR, P - Q ; ...., P v Q ; "'Q - ,_,, P E J E R c I c I o s 1.- ESCRIBA LA RECIPROCA DE CADA CONDICIONAL Y VEA SI LA CONDICIONAL DADA Y SU RECIPROCA SON VALIDAS. A) SI XY= XY ENTONCES X + Y = X + Y B) X + Y = X + Y SI X = Y C) X Y SOLO SI X + Y = 10 D) X = 2 ES UNA CONDICION NECESARIA PARA QUE X2 = 4 2.- DEBAJO DE CADA CONDICIONAL ESCRIBA SU CONTRAPUESTA Y ORALMENTE PRU~ BE QUE SON EQUIVALENTES. A) SI HOY ES MARTES ENTONCES MARANA HAY EXAMEN B) SI X = 11 ENTONCES X NO ES PAR C) SI X NO VIENE ENTONCES Y ESTA ENFERMA D) SI X ES ORO ENTONCES X BRILLA 3.- DECIR SI LAS PROPOSICIONES SON EQUIVALENTES EN SU RESPECTIVA INTER- PRETACION. A) X = 7 - X ES PAR (D= IN) B) "HOY ES LUNES" = "MAflANA ES MARTES" (D= DIAS DE LA SEMANA) C) "X ES PADRE DE Y" - "Y ES HIJO DE X" (D= SERES HUMANOS) 22 ·1.5 ARGUMENTOS HEMOS VISTO CUANDO UNA PROPOSICION ES VALIDA, FALTA AHORA DETERMINAR ·UN CRITERIO PARA CUANDO SE TENGA UN CONJUNTO DE PROPOSICIONES, PARA ELLO. DEBEMOS DEFINIR ALGUNOS TERMINOS. DEFINICION.- UN ARGUMENTO ES UN CONJUNTO DE PROPOSICIONES DE LOS CUALES SE AFIRMA QUE HAY UNA (CONCLUSION), ~UE SE SIGUE DE LAS DEMAS (PREMISAS). SE EMPLEARA INDISTINTAMENTE EL TERMINO ARGUMENTO O RAZONAMIENTO. UN RAZONAMIENTO ES CORRECTO CUANDO PARA CUALQUIER INTERPRETACION, SI SUS PREMISAS SON VERDADERAS, ENTONCES. NECESARIAMENTE LO ES TAMBIEN LA CONCLUSION. EN NINGUN MOMENTO SE MENCIONA QUE DEBEN SER LAS PREMISAS VERDADERAS, SINO QUE, SI LO SON, LO SERA TAMBIEN LA CONCLUSION, SI NO LO SON, EL VA- LOR .DE VERDAD DE LA CONCLUSION PUEDE SER CUALQUIERA. ES DECIR, NO IMPOE TA EL CONTENIDO SINO LA FORMA. EJEMPLOS DE ARGUMENTOS CORRECTOS O VALIDOS: MODUS PONENS SI P ENTONCES. Q p Q MODUS TOLLENOO PONENS p V Q :. Q MODUS TOLLENS SI P ENTONCES Q ,..., g •• ""' p 23 EJEMPLOS DE ARGUMENTOS VALIDOS E INVALIDOS: VALIDO CON CONCLUSION FALSA VALIDO CON CONCLUSION VERDADERA TODAS LAS AVES PUEDEN VOLAR TODAS LAS AVES PUEDEN VOLAR LOS AVESTRUCES SON AVES LOS PAJAROS SON AVES :. LOS AVESTRUCES PUEDEN VOLAR :. LOS PAJAROS. PUEDEN VOLAR INVALIDO CON CONCLUSION VERDADERA INVALIDO CON CONCLUSION FALSA TODAS LAS AVES PUEDEN VOLAR TODAS LAS AVES PUEDEN VOLAR TODOS LOS PAJAROS PUEDEN VOLAR ALGUNOS MAMIFEROS PUEDEN VOLAR :.TODOS LOS PAJAROS SON AVES -~ALGUNOS MAMIFEROS SON AVES VALIDO CON CONCLUSION FALSA VALIDO CON CONCLUSION VERDADERA SI 2 ES PAR ENTONCES 4 ES IMPAR 4 ES PRIMO O 4 ES PAR 2 ES PAR 4 NO ES PRIMO :. 4 ES IMPAR ... 4 ES PAR UNA IDEA INTUITIVA DE VALIDf7 DE ARGUMENTOS SERIA LA SIGUIENTE: "QUE CONSIDERANDO VERDADERAS A TODAS LAS PREMISAS, LA CONCLUSION TENGA QUE SER NECESARIAMENTE VERDADERA". ASI, EN UN ARGUMENTO VALIDO, SI - LAS PREMISAS SON TODAS VERDADERAS, TENDREMOS LA CERTEZA DE QUE LA CO!! CLUSION ES VERDADERA. E J E R c I c I o s DECIR SI SON CORRECTOS LOS SIGUIENTES ARGUMENTOS: A) EL DIJO QUE VENDRIA SI NO LLOVIA ESTA LLOVIENDO EL NO VENDRA B) F(X) = f Xf ES CONTINUA EN CERO SI ES DERIVABLE EN CERO F(X) = I X 1 NO ES DERIVABLE EN CERO F(X) =fXI NO ES CONTINÚA EN. CERO. (TEOREMA: SI F(X) ES DERIVABLE EN Xo"1ENTONCES F(X) ES CONTINUA EN Xo) C) 4 ES PRIMO SI NO TIENE DIVISORES DISTINTOS DE 1 Y DE EL MISMO 4 SI TIENE DIVISORES DISTINTOS DE 1 Y DE EL MISMO (A SABER: 2) 4 NO ES PRIMO. D) 2 ES PRIMO SI NO TIENE DIVISORES DISTINTOS DE 1 Y DE EL MISMO 2 NO TIENE DIVISORES DISTINTOS DE 1 Y DE EL MISMO 2 ES PRIMO E) 1 ES PRIMO SI NO TIENE DIVISORES DISTINTOS DE 1 Y DE EL MISMO 1 NO TIENE.DIVISORES DIST'rNTOS DE 1 Y DE EL MISMO 1 ES PRIMO. Ff SI 4 ES PAR ENTONCES 16 ES PAR SI 16 NO ES PAR ENTONCES 18 ES PAR SI 4 ES PAR ENTONCES 18 ES PAR 24 25 1.6 TABLAS DE VERDAD UN METODO QUE SE EMPLEA PARA PROBAR SI UN ARGUMENTO ES CORRECTO, ES EL DE "HACER" SU TABLA DE VERDAD. POR LO QUE ANTES DE ABOCARNOS A LA VALIDEZ DE ARGUMENTOS, ES NECES~· RIO ELABORAR LAS TABLAS DE VERDAD DE LOS DIFERENTES CONECTIVOS LOGICOS. 1.6.1 TABLA DE VERDAD DE LA NEGACION SI UNA PROPOSICION P ES VERDADERA, SU NEGACION SERA FALSA. ANALOGA- MENTE, ·sI UNA PROPOSICION p ES FALSA, su tHO:GACION SERA VERDADERA. POR CONSIGUIENTE, LA TABLA DE VERDAD DE LA NEGACION ES: CONVIENE EN ESTE MOMENTO HACER LA SIGUIENTE OBSERVACION: UNA PROPOSICION CUALQUIERA TIENE DOS POSIBLES VALORES DE VERDAD; A SABER; VERDADERO (V) o FALSO (F). DOS PROPOSICIONES TENDRAN 4 POSIBLES COMBINACIONES DE VALORES DE -. VERDAD: VV, VF, FV, FF. EN EL CASO DE TRES PROPOSICIONES, HABRA 8 POSIBLES COMBINACIONES DE VALORES DE VERDAD: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF. EN GENERAL, SI SE TIENEN n PROPOSICIONES, EL NUMERO DE COMBINACIO- NES SERA IGUAL A zn • 26 1.6.2 TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCION SUPONGASE QUE UNA SERORITA ACABA DE CONCLUIR SUS ESTUDIOS DE SECRE- TARIA Y DESEA PONER EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS, POR LO QUE DESEA TRABAJAR EN UNA FABRICA, OFICINA, COMPARIA, EMPRESA, ETC. AL EMPEZAR A BUSCAR TRABAJO, RECURRE A LOS PERIODICOS Y EN LA SEC- CION DEL "AVISO OPORTUNO", LEE EL SIGUIENTE AVISO. EMPRESA IMPORTANTE "SOLICITA MUCHACHA JOVEN, ATRACTIVA, QUE TENGA DESEOS DE SUPERARSE, QUE SEPA TAQUIGRAFIA 1 - MECANOGRAFIA. PRESTACIONES LAS DE LA LEY, S~ GURO, SEMANA INGLESA, .•. " AQUI LO QUE SE REQUIERE PARA QUEDARSE CON EL EMPLEO, ES CUMPLIR CON CIERTAS CUALIDADES, ENTRE LAS QUE DESTACAN QUE SEPA TAQUIGRAFIA Y MECANQ GRAFIA; ES DECIR, QUE SEPA AMBAS. SI POR ALGUNA RAZON, NO SABE UNA DE - ELLAS, NO SE LE ACEPTARA EN EL PUESTO. POR TANTO; SE TIENEN 4 TIPOS POSIBLES DE CANDIDATAS AL PUESTO, A SABER: SABE TAQUIGRAFIA, SABE TAQUIGRAFIA, NO ~ABE TAQUIGRAFIA, NO SABE TAQUIGRAFIA, SABE MECANOGRAFIA NO SABE MECANOGRAFIA SABE MECANOGRAFIA NO SABE MECANOGRAFIA POR CONSIGUIENTE, SOLO EN EL PRIMER CASO SE ACEPTARA A LA CANDIDATA. SI CONSIDERAMOS "SABER" COMO VERDADERO, ."NO SABER" COMO FALSO, SE TIENE LA SIGUIENTE TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCION. 27 SI CONSIDERAMOS T= "TAQUIGRAFIA" y M= "MECANOGRAFIA" V, ADEMAS EL RE- SULTADO DE LA CONJUNCION "V" COMO ACEPTADA Y "F" COMO NO ACEPTADA. T M T /\ M V V V V F F F V F F F F POR LO QUE SE OBSERVA, QUE UNA CONJUNCION SOLO ES VERDADERA, CUANDO AMBOS VALORES DE SUS COMPONENTES SON VERDADEROS. O DE OTRA FORMA, ES FAb SA CUANDO AL MENOS UNA DE SUS COMPONENTES ES FALSA. 1.6.3 TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCION UN EJEMPLO PARECIDO NOS PUEDE SERVIR PARA ILUSTRAR LA DISYUNCION, . . SOLO QUE EN ESTA EMPRESA SE PIDEN MENOS REQUISITOS. VEAMOS EL ANUNCIO: EMPRESA IMPORTANTE "SOLICITA MUCHACHA JOVEN, ATRACTIVA, QUE TENGA DESEOS DE SUPERARSE, QUE SEPA TAQUIGRAFIA Q - MECANOGRAFIA. PRESTACIONES LAS DE LA LEY, S.!;_ GURO, SEMANA INGLESA, ••• " AQUI LO QUE SE REQUIERE PARA QUEDARSE CON EL EMPLEO> ES SABER CUAL- QUIERA DE LAS DOS .COSAS; ES DECIR, TAQUIGRAFIA O MECANOGRAFIA. SI SABE AMBAS, TENDRA MAS POSIBILIDADES DE QUE SEA CONTRATADA. 2B HACIENDO LAS MISMAS CONSIDERACIONES QUE SE HICIERON PARA LA CONJUN- CION, SE TIENE ENTONCES LA SIGUIENTE TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCION: T M V V V F F V F F T v M V V V F SE OBSERVA, QUE PARA QUE UNA DISYUNCION SEA VERDADERA, BASTA CON. QUE AL MENOS UNA DE SUS COMPONENTES SEA VERDADERA. ..· .... · .. , 1.6.4 TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL ·COMO YA SE HABIA MENCIONADO ANTERIORMENTE, UNA CONDICIONAL ES VALI- DA SI NO CONDUCE DE LA VERDADERO A LO FALSO. ES DECIR, UNA CONDICIONAL ES VERDADERA EN LOS TRES CASOS RESTANTES, A SABER: VERDADERO - VERDADERO FALSO - VERDADERO FALSO - FALSO ALGUNOS AUTORES DEFINEN LA TABLA DE VERDAD DE .LA CONDICIONAL DE LA SIGUIENTE MANERA: "UNA CONDICIONAL ES FALSA, CUANDO EL ANTECEDENTE .ES - . VERDADERO Y EL CONSECUENTE ES FALSO; EN LOS DEMAS CASOS ES VERDADERA". POR TANTO, SE. TIENE LA SIGUIENTE TABLA PARA LA CONDICIONAL: p P- V V V V F F F V V F F V 29 1.6.5 TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL ANTERIORMENTE SE HABIA VISTO QUE UNA BICONDICJONAL P ----Q ES EQUIVALENTE A LA CONJUNCION DE LAS CONDICIONALES P - Q y Q -- p, ENTONCES RESULTA SENCILLO ELABORAR SU TABLA DE VERDAD, YA QUE CONOCEMOS LOS VALORES PARA UNA CONDICIONAL Y PARA LA CONJUNCION. p P- P- -P V V V V V V V F F F F V F V F V F F F F V V V V L 7 PRIORIDAD ENTRE LOS CONECTIVOS ASI COMO EN LA ARITMETICA ELEMENTAL HAY NECESIDAD DE DAR PRIORIDAD O DE· DAR MAYOR POTENCIA A UNOS SIGNOS ARITMETICOS SOBRE OTROS, EN LA -- LOGICA MATEMATICA EXISTE TAMBIEN ESTA NECESIDAD SOBRE LOS CONECTIVOS LQ GICOS. ASI MISMO, ES IMPORTANTE TENER CUIDADO EN SEGUIR LAS INSTRUCCIO- NES· DE LOS PARENTESIS, PUES SI ESTOS SE OMITEN, LOS RESULTADOS SERAN D! FERENTES, COMO LO MUESTRA EL SIGUIENTE EJEMPLO DE LA ARITMETICA: ( 3 + 5 ) x 4 + B = 40 3 + ( 5 x 4 ) + B = 31 ( 3 + 5 X (4+8) = 96 3 + 5 X 4 + 8 ) = 63 LAS REGLAS DE LOS SIGNOS EN LA ARITMETICA SON LAS SIGUIENTES: 1º SE EFECTUAN· LAS OPERACIONES INDICADAS DENTRO DE LOS PARENTESIS 2° SE EFECTUAN LAS MULTIPLICACIONES 30 3° SE EFECTUAN LAS SUMAS SUPONIENDO QUE EN LOGICA SE TUVIERA .UNA PROPOSICION COMPUESTA COMO P v Q 11 R, NO ·SABRIAMOS DETERMINAR SI SE TRATA DE UNA DISYUNÓON O DE UNA CONJUNCION. EN CAMBIO, SI SE TUVIERA ( P v Q) 11 R, DIRIAMOS QUE SE TRATA DE UNA CONJUNCION. ANALOGAMENTE, SI TUVIERAMOS P v (Q 11 R), DIRIAMOS QUE SE TRATA DE UNA DISYUNCION. POR OTRO LADO, SI SE TUVIERA r-J P -- Q v R ¿ SERA NEGACION,· CONDICIONAL O DISYUNCION ? SI COLOCAMOS PARENTESIS EN DISTINTOS LUGARES, SE TIENE: rJ (P -Q v R), QUE ES UNA NEGACION; (_, P} - (Q v R), QUE ES UNA CONDICIONAL·; ( ....... P ~Q) v R, QUE ES UNA DISYUNCION. POR TANTO, SE OBSERVA QUE LOS PARENTESIS JUEGAN.TAMBIEN UN PAPEL IM- PORTANTE EN LA LOGICA MATEMATICA. EN EL CASO QUE NO SE TENGAN PARENTESIS EN.UNA PROPOSICION COMPUESTA COMO POR EJEMPLO: ~ P 11 Q --- R v S, NO SABRIAMOS A QUE TIPO DE PRQ POSICION SE TRATA; PARA EViTAR TALES DESCONCIERTOS, MENCIONAREMOS LAS -- PRIORIDADES ENTRE LOS CONECTIVOS. , EL CONECTIVO MAS FUERTE ES EL DE LA CONDICIONAL. EL MAS DEBIL ES EL DE LA NEGACION •. LOS CONECTIVOS DE LA CONJUNCION Y DISYUNCION TIENEN IGUAL FUERZA EN~RE SI, PERO RESPECTO A LOS DOS ANTERIORES, SE ENCUENTRAN EN UN TERRENO INTERMEDIO. ES DECIR, VIENDOLOS EN ORDEN DE MAYOR A MENOR FUERZA, SE TIENE: _PRIORIDAD ENTRE CONECTIVOS CONDICIONAL ( - ) · CONJUNCION, DISYUNCION (" , v ) NEGACION ( ,..., ) 31 POSIBLEMENTE SURJA LA. PREGUNTA: l QUE PRIORIDAD TIENE EL CONECTIVO DE LA BICONDICIONAL ? OBVIAMENTE, ES MAS POTENTE QUE CUALQUIER OTRO CONECTIVO ( RECORDE- MOS QUE ES LA CONJUNCION DE DOS CONDICIONALES ). AHORA SI ESTAMOS EN CONDICIONES DE DETERMINAR CUANDO UNA PROPOSICION ES UNA CONDICIONAL, DISYUNCION, CONJUNCION, .NEGACION, BICONDICIONAL. EJEMPLOS: A) p,,,.,,Q CONJUNCION B)"' P -Q CONDICIONAL C) ""(P V Q) NEGACION D) P-(Q-R} CONDICIONAL E) (P h Q) v R DISYUNCION F) p V (Q-,...,R) DISYUNCION E J E R c I ·c I o· s 1.- DECIR DE QUE TIPO DE PROPOSICION SE TRATA. A),.., P--:--;...., Q B) ..w (P -Q)" R C) P V (rv Q - R) D) P- Q V ""R E) P- Q-R F) P h (..., Q ~ R) G) ( "" P V Q) h R H) P V ,..., q 32 2.- COLOCAR EL (LOS) PARENTESIS DONDE CORRESPONDA, PARA QUE LA PRO- POSICION SEA LO QUE SE INDICA (EN CASO NECESARIO). A) DISYUNCION ,.., P -Q V R B) CONJUNCION PA,.,QvR C) NEGACION ""p A,.., Q O) CONDICIONAL P-Qv,.,,R E) BICONDICIONAL P_Q__.R F) NEGACION .vP-,...,Q G) DISYUNCION P -Q v R H) CONJUNCION P A ....,Q - R ES IMPORTANTE, ANTES DE EMPEZAR A ELABORAR TABLAS DE VERDAD QUE IN- VOLUCREN VARIAS PROPOSICIONES, LAS PRIORIDADES DE LOS CONECTIVOS, PARA IR LLENANDO.LA TABLA DE ACUERDO CON LAS REGLAS QUE SE MENCIONARON ANTE- RIORMENTE. EJEMPLOS: HACER LA TABLA DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES A) O YO ESTOY EQUIVOCADO Y TENGO LA RAZON O EL PROFESOR ES UN MEN- E R P Il.BQ.SQ. B) NO ES CIERTO QUE SI ESTUDIO MUCHO ENTONCES APRENDERE. E A C) SI &QNCLUYO EL BACHILLERATO EN TRES ANOS Y CON PROMEDIO MIN!MO B p ~. ENTONCES TENGO PASE AUTOMATICO A FACULTAD. SIMBOLIZANDO CADA UNA, SE TIENE: A) ( E A R) v P B).v(E-A) C) B A P - F F ··I A) B) E R p E r. R V p E A ,..J E-A V V V V V V V V F V V V F V V F V F V F V F V F V V F V F V V F F F F F F F F V F V V F V V * F V F F F F F F V F V V F F F F V F * C) B p F B r. P-F V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V F V V F V .F F V F F F V F V V F F F F V F * RESUMIENDO, LOS VALORES DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LOGICOS: A) UNA NEGACION ES VERDADERA SI Y SOLO SI LO QUE NIEGA ES FALSO. B) UNA CONJUNCION ES VERDADERA SI Y SOLO SI AMBOS CONYUNTOS SON VERDADEROS. C) UNA DISYUNCION ES VERDADERA SI Y SOLO SI AL MENOS UNO DE LOS DISYUNTOS ES VERDADERO. D) UNA CONDICIONAL ES VERDADERA SI Y SOLO SI O EL ANTECEDENTE ES FALSO O EL CONSECUENTE ES VERDADERO. 33 E) UNA BICONDICIONAL ES VERDADERA SI Y SOLO SI AMBAS PARTES TIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD. E J E R c 1 c 1 o s HACER LA TABLA DE VERDAD DE: l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. p 11 Q-P PvQ--R (P 1\ Q) v R P 11 (Q V R) p -- (Q --R) P/'.Q--R ,..., (P ,._ Q) ,-vpy,.._,q ...., p ,.. ....... Q ...., (P V Q) [(P -Q) "P] -Q MODUS PONENDO PONENS [(P -Q)/'. ....,q] - ,.,., P MODUS TOLLENDO TOLLENS P ,..,..,p LEY DE LA -CONTRADICCIDN "'(P V,...., P) P-P V p py,..,p ........(P ,._ ..._,, P) p - ""'("' P) CONTRADICCIDN TAUTOLOGIA LEY DEL TERCERO EXCLUIDO LEY DE NO CONTRAOICCION LEY DE DOBLE NEGACION 34 35 AL REALIZAR LAS TABLAS DE VERDAD DE ALGUNOS EJERCICIOS, SE OBSERVA QUE LOS VALORES QUE SE OBTUVIERON AL FINAL O BIEN ERAN TODOS VERDADEROS, O TODOS FALSOS, O VERDADEROS Y FALSOS. 1.8 . TAUTOLOGIA, CONTRADICCION Y CONTINGENCIA. DEFINICION.- UNA PROPOSICION QUE ES VERDADERA EN TODOS LOS CASOS, CUALQUIERA QUE SEA EL VALOR DE VERDAD DE SUS COMP.ONENTES, SE LLAMA -- TAUTOLOGIA. EJEMPLO: p - p V Q p P-P V V V V V V F V V F V V V F F V F * DEFINICION.- UNA PROPOSICION QUE ES FALSA EN TODOS LOS CASOS, CUALQUIERA QUE SEA EL VALOR DE VERDAD DE SUS COMPONENETES, SE LLAMA -- CONTRAD Ice ION. EJEMPLO: (P A Q) A r-JQ p A ,.., V V V F F V F F F V F v. F F F F F F F V * NOTA: LA NEGACION DE UNA TAUTOLOGIA ES UNA CONTRADICCION Y LA NEGACION DE UNA CONTRADICCION ES UNA TAUTOLOGIA. 36 DEFINICION.- UNA PROPOSICION QUE ES VERDADERA EN ALGUNOS CASOS y FALSA EN OTROS, DEPENDIENDO DEL VALOR DE VERDAD DE SUS COMPONENTES, SE LLAMA CONTINGENCIA (MIXTA O INDETERMINADA). EJEMPLO: [(P V Q),,.. .-v Q] - "' p p Q [(P V Q) ".-vQ ] -- fV p V V V F F V F V F V V V F F F V V F F V V F F F F V V V i__*-' __J ¡____** 1.9 IMPLICACION TAUTOLOGICA DEFINICION.- UN RAZONAMIENTO ES VALIDO SI Y SOLO SI LA CONDICIONAL CORRESPONDIENTE ES UNIVERSALMENTE VALIDA. lQUE ENTENDE~ POR CONDICIONAL CORREPONDIENTE Y UNIVERSALMENTE VA- LIDA?. LA "CONDICIONAL CORRESPONDIENTE" ES LA FORMADA POR LA CONJUNCION DE LAS PREMISAS DEL RAZONAMIENTO, QUE HARIAN EL ANTE.CEDENTE Y; LA CONCLU- SION DEL RAZONAMIENTO QUE HARIA EL CONSECUENTE. LA EXPRESION "UNIVERSAL- MENTE VALIDA" SIGNIFICA QUE ES VALIDA EN CUALQUIER DOMINIO .E INTERPRETA- CION. POR OTRO LADO, CUALQUIER TAUTOLOGIA ES UNIVERSALMENTE VALIDA, YA QUE EL VALOR DE VERDAD DE LA TAUTOLOGIA ES INDEPENDIENTE DEL VALOR DE VEB_ DAD DE SUS COMPONENTES. PO~ TANTO, UN RAZONAMIENTO ES VALIDO CUANDO LA CONDICIONAL CORRESPONDIENTE ES UNA TAUTOLOGIA (AUNQUE HAY OTROS CASOS DE RAZONAMIENTOS VALIDOS). POR EJEMPLQ: 1) TODOS los HOMBRES SON MORTALES 2) SOCRATES ES UN HOMBRE. SOCRATES ES MORTAL iES UN RAZONAMIENTO VALIDO Y SIN EMBARGO LA CONDICIONAL CORRESPONDIENTE NO ES UNA TAUTOLOGIA!. 37 EJEMPLOS: A) ARGUMENTO DE SDCRATES Y PLATON. 1) SOCRATES ND DESEA VISITAR A PLATON, SI PLATON NO DESEA VISITARLO A EL. 2) PLATON NO DESEA VISITAR A SOCRATES SI SOCRATES DESEA VISITARLO A EL, PERO SI DESEA VISITAR A SOCRATES SI ESTE NO DESEA VISITARLO A EL. 3) ¿ DESEA SOCRATES VISITAR A PLATON, ·O NO ? EN LA PRIMERA LECTURA QUE UNO HACE DE ESTE ARGUMENTO, RESULTA UN POCO EMBARAZOSO TRATAR DE SIMBOLIZARLO ADECUADAMENTE, POR LO QUE HAREMOS UNA REESCRITURA DEL MISMO. 1) SI PLATON NO DESEA VISITAR A SOCRATES, ENTONCES SOCRATES NO DESEA VISITAR A PLATON. 2) SI SOCRATES DESEA VISITAR A PLATON ENTONCES PLATON NO DESEA VISI- TAR A SOCRATES, Y SI SOCRATES NO DESEA VISITAR A PLATON ENTONCES PLATON SI DESEA VISITAR A SOCRATES . . 3) ¿ DESEA SOCRATES VISITAR A PLATON, :O NO ? SIMBOLIZANO OE LA SIGUIENTE MANERA: . . P.= "PLATON DESEA VISITAR A SOCRATES_" S = "SOCRATES DESEA VISITAR A PLATON" OBTENEMOS: 1) ~ p - ,.., s 2) (S-,..,PJ 11 (..vS-P) 3) s O 3 ') NS 38 VEAMOS LA IMPLICACION RESULTANTE Y SUPONGAMOS QUE LA CONCLUSION ES S. [("'P - NS) A (S - "' P) A ("'S--P)] - S; HAGAMOS SU TA- BLA DE VERDAD. p s [(r.1P - ""S) A (S _,.,,p) A (r..1S -P)] - S V V F V F F V F F F F V V V V V F F V V V F V F V V V V F F F V V F F F V V V F F V F V V F F V V V V F V V F V F F V F L_*,__*_J_* ----s•·•_j .... J SE OBSERVA QUE NO RESULTA TAUTOLOGIA, i .e., "SOCRATES DESEA VISITAR A PLATON", NO ES LA CONCLUSION DEL ARGUMENTO. SUPONGAMOS AHORA QUE LA CONCLUSION ES ,..,, S, ENTONCES ELABORANDO LA TABLA DE VEROAD Y CONSIDERANDO QUE YA SE OBTUVIERON LOS VALORES DEL ANTf CEDENTE, TENEMOS: p s [(""P _....,s) A (S _...,p) ,.. (,.Js - P)J _,..,,s V V F V F V F V V V F V F V F F F F . V V * QUE POR SER UNA TAUTOLOGIA, IMPLICA QUE LA CONCLÜSION DEL ARGUMENTO ES: "SOCRATES NO DESEA VISITAR A PLATON". POR LO TANTO, EL ARGUMENTO ES VALIDO (POR SER UNA TAUTOLOGIA LA CONDICIONAL CORRESPONDIENTE). 39 SI NINGUNA DE LAS DOS TABLAS TUVIERA SOLO V's, SIGNIFICARIA QUE LAS PRE- MISAS NO.ERAN BASTANTE FUERTES O SUFICIENTES PARA DECIDIR EL ASUNTO~ POR OTRO LADO, SI EN AMBAS TABLAS HUBIERAN APARECIDO SOLO V's, SIG- FICARIA QUE LAS PREMISAS ERAN CONTRADICTORIAS~ B) CRISIPO 1) O LO PRIMERO O LO SEGUNDO O LO TERCERO 2) NO LO PRIMERO 3 )· NO LO SEGUNDO POR LO TANTO, LO TERCERO. ESTA ES UNA FORMA DE ARGUMENTO QUE PUEDE SER REPRESENTADO COMO: . 1) o A o B o C 2) NO A 3) NO B POR TANTO, C LA CUAL A SU VEZ SE PUEDE SUSTIT.IJIR POR ORACIONES, COMO ENSEGUIDA SE MUESTRA: 1) O EL ANIMAL SE FUE POR ESTE CAMINO O POR ESE CAMINO O POR EL OTRO CAMINO. 2) NO POR ESTE CAMINO 3) NO POR ESE CAMINO POR TANTO, POR EL OTRO CAMINO. CRISiPO DIJO QUE INCLUSO LOS PERROS SON CAPACES DE ARGUMENTAR EN ES- TA. FORMA, PORQUE EL HABIA VISTO UN PERRO PERSIGUIENDO A UN ANIMAL, LLEGAR A .UNA TRIPLE DIVISION EN EL CAMINO, HUZMEAR EN DOS DE ELLOS (QUE EL ANI- MAL NO HABIA TOMADO) Y SIN HUZMEAR EL TERCERO, SE .ECHÓ A CORRER POR ESTE. *Cfr. DELONG,H. "A Profile of Mathematical Logic", pp 103-104 40 DEMOS LA FORMA DE IMPLICACION TAUTOLOGICA, PARA VER SI EL ARGUMENTO ES VALIDO O NO, Y HAGAMOS SU TABLA. A B c [{A v B v C) " (IV A) "(n1B)J - c V V V V F F F F V V V V F V F F F F V F V F V V F F F V V V V F F V F F F V V F F V V V V V F F V V F V F V V V F F V F F F V V V V V V V V F F F F F V F V V F '---*-' ***J '--- **_.J POR HABER RESULTADO LA TABLA UNA TAUTOLOGIA, EL ARGUMENTO ES VALIDO. C) PROTAGORAS VS EUATHLO LA SIGUIENTE ANTIGUA HISTORIA*, MUESTRA UN CASO EN EL CUAL LAS TABLAS DE VERDAD DE AMBOS ARGUMENTOS SON TAUTOLOGIAS. "PROTAGORAS HABIA SIDO CONTRATADO PARA ENSEflARLE A EUATHLO, RETORICA, DE.MANERA QUE PUDIESE SER ABOGADO, EUATHLO INICIALMENTE PAGO SOLG LA MITAD DE "UNA LARGA SUMA Y HABIAN ESTADO DE ACUERDO QUE EL EL SiGU.!':! DO PAGO SERIA HECHO UNA VEZ QUE EUATHLO HUBIESE GANADO SU PRIMER CASO EN LA CORTE. EUATHLO SIN EMBARGO, DEMORO SU PRACTICA POR ALGUN TIEMPO. PROTAGORAS PREOCUPADO ACERCA DE SU REPUTACION, AS! COMO POR LA NECESl DAD DE DINERO, DECIDID DEMANDARLO. *TOMADA DE: AMOR MONTAflO JOSE ALFREDO, "ANTOLOGIA DE' LOGICA MATEMATICA", COMUNICACION INTERNA No. 30, 1978, 2a. EDICION, OPTO. DE MATEMATICAS, FACULTAD DE CIENCIAS, p 110, 119. EN LA CORTE, PROTAGORAS ARGUYO AL JURADO: EUATHLD MANTIENE QUE NO DEBIA PAGARME, PERO ESTO ES ABSURDO, PUES SUPONGAMOS QUE GANA EL CASO; YA QUE - ESTA ES SU PRIMER~ APARICION EN. LA CORTE, ENTONCES DEBERIA PAGARME PUESTO QUE GANO SU PRIMER CASO; POR LA OTRA PARTE, SUPONGAMOS QUE PERDIO EL CASO, ENTO~ CES DEBIA DE PAGARME POR EL JUICIO DE LA CORTE. YA QUE EL DEBE O GANAR O PERDER EL CASO, DEBE PAGARME. 41 EUATHLO HABIA SIDO UN BUEN ESTUDIANTE Y PUDO CONTESTAR AL ARGUMENTO DE PROTAGORAS CON UNO SIMILAR: PROTAGORAS SOSTIENE QUE YO DEBERIA PAGARLE, PERO E~ TO ES LO QUE ES ABSURDO, PUES SUPONGAMOS QUE EL GA- NA EL CASO; PUESTO QUE NO HE GANADO MI PRIMER CASO, NO NECESITO PAGARLE, DE ACUERDO A NUESTRO ARREGLO. POR OTRO LADO, SUPONGAMOS QUE PIERDE EL CASO, ENTO~ CES NO TENGO QUE PAGARLE, POR EL JUICIO DE LA CORTE. YA QUE EL DEBE DE GANAR O PERDER EL CASO, NO TENGO QUE PAGARLE." SIMBOLIZANDO, SE TIENE: A = "EUATHLO GANA EL CASO" B = "EUATHLO GANA SU PRIMER CASO" C = "EUATHLO DEBE PAGAR A PROTAGORAS" ENTONCES: ARGUMENTO DE PROTAGORAS ARGUMENTO DE EUATHLO A - B tV A -"'s B c "' B -rJC IV A c A _ ..... c A v,...; A A v.vA . c _._,..,c .. 42 REALIZANDO LAS TABLAS DE AMBOS ARGUMENTOS SE TIENE: A B c [(A-B) h (B -c) A (""'A-C) t.(A v""A)) - c V V V V V V V F V V V F V V V V F V F F F F V F V F V F V F V F F V F F V F V F V V V F F F F V F F V F V F V F F .V V V V V V V V V V V V V F V F V F F F V F F V V V F F F V V V V V V V V V V V V F F F V V V F V F F V V V F .___*___. **__J ***J ****J A B e [(A - ... e) A (rvA _,..s) h ( .... s - .... c) ,. (A v .... A)] _ .... c V V V F F F F V F F F V F F ·v V F V V F V V V F V F V F V V V V V V V F V F F F F V V F V F F F V V F V F F V V V F V V V V V V V V V V F V V V F F V F F F F V F F V V F F V F V V F V F F F F V V F V V V F F V V F V V V V F V F F F V V F F F F V V . V V V V V V V V V V V V L__.*---1 ,..._J . ***J ****J RESULTA QUE POR SER AMBOS ARGUMENTOS TAUTOLOGIAS, SON VALIDOS; POR TANTO, ESTO IMPLICA QUE LAS PREMISAS JUNTAS SON CONTRADICTORIAS~ *Cfr. D.elong, H. ·.,A Profile of Mathematical Logic", pp 103-104 43 1.10 PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES DEFINICION.- DOS PROPOSICIONES SON LOGICAMENTE EQUIVALENTES SI PARA CUALQUIER DOMINIO E INTERPRETACION, LAS DOS SON VERDADERAS O LAS DOS SON FALSAS. ES DECIR, SI UNA ES VERDADERA, LA OTRA TAMBIEN LO ES. DEFINICION.- DOS PROPOSICIONES SON TAUTOLOGICAMENTE EQUIVALENTES SI PARA CUALQUIER ASIGNACION DE VALORES DE VERDAD A SUS BLOQUES~ LAS DOS TI~ NEN LOS MISMOS VALORES DE VERDAD. ES DECIR, SI AL ELABORAR LAS TABLAS DE VERDAD DE AMBAS PROPOSICIONES, ESTAS RESULTAN CON LOS MISMOS VALORES EN - TODAS LAS LINEAS. EJEMPLOS: A) P ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:rv(l>I P) B) P /'..rV Q ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:tV(rV P v Q) C) P - Q ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:"' P v Q D) P - Q ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:N Q - N P . ELABORANDO LAS RESPECTIVAS TABLAS DE VERDAD, SE TIENE: ~ p Q p "''"'Q '°" (...., p V Q) F V V F F F F V V V F V V V F F * * F V F F F V V F' F F V F V V * * p Q P-Q ""'p V Q "'Q - "'p v· V V F V F V F V F F F F V F F F V V .V V F V V F F V V V V V V * * *· * Un bloque puede ser una proposición simple o una compuesta, v.gr. (,.,, P - Q) ... "'R, estli formada por dos bloques: "'P - Q y por "'R. Incluso puede ser una expresi6n de este tipo: ~ x (Hx - Mx), (con cuantificadores_. que !¡e ver5n posteriormente). E J E R c I c I o s 1.l "'(P - Q) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A~ P",...., Q ? 2.l_,(p v-vQ) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:.-vP""" Q? 3.l P - (Q - R) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A~ P..-. Q - R 4.l P - Q ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A:"'Q - rv P? 5.l P v (Q,... R) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A~(P v Q) .... (P v R) 6. ¿ ,..,, ( P "" Q) ES LOGI CAMENTE EQUIVALENTE A~ ..v P v ,.., Q ? 44 7.l,..,, (..v P -Q v R) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A'"'P"..v(Q v R)? B.l,.,. (N Q -...vP) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A~ Q - P 9.l P ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A~ P v Q ? 10.lrJ (,.,,,p v Q) ES LOGICAMENTE EQUIVALENTE A: ,...,,,Q ""'P? SE HA VISTO QUE LAS TABLAS DE VERDAD PROPORCIONAN INFORMACION ACER- CA DE CUANDO UN ARGUMENTO ES CORRECTO; ES DECIR, SON UN METODO DEL CUAL NOS PODEMOS VALER PARA DECIDIR SI UN ARGUMENTO ES O NO CORRECTO. ESTE METODO NO ES MUY PRACTICO, YA QUE SI SE TUVIERAN CINCO O MAS PROPOSICIONES DIFERENTES EN UN ARGUMENTO, SE TENDRIA QUE ELABORAR UNA - TABLA DE VERDAD DE AL MENOS 25 = 32 RENGLONES iQUE YA RESULTA BASTA~ TE LABORIOSO! . PARA EVITARNOS EL HACER ESAS TABLAS DE VERDAD TAN GRANDES, EXISTEN OTROS METODOS·ALTERNATIVOS PARA DECIDIR CUANDO UN ARGUMENTO ES CORRECTO, A SABER: - METODO DE "LAS REGLAS DE INFERENCIA" - METODO DE "LOS ARBOLES DE VER.DAD" VEAMOS CADA UNO DE ESTOS METODOS A CONTINUACION. . ' 1 45 1.11 REGLAS DE INFERENCIA EL METODO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA CONSISTE EN LO SIGUIENTE: CON BASE EN LAS PREMISAS, SE VAN INFIRIENDO NUEVAS FORMULAS DE TAL MANERA· QUE SE PUEDA LLEGAR A LA CONCLUSION DESEADA. CABE ACLARAR QUE C~· DA NUEVA FORMULA QUE SE VA OBTENIENDO PROVIENE DE LA APLICACION DE ALGg NA REGLA DE INFERENCIA, POR LO QUE HAY QUE ESPECIFICARLA; ASI MISMO, -- LAS PREMISAS QUE SE USARON. LAS REGLAS DE INFERENCIA SON PEQUE~OS ARGU- MENTOS VALIDOS YA CONOCIDOS. EL PASO LOGICO DE LAS PREMISAS A LA CONCLUSIDN ES UNA DEDUCCION. LA CONCLUSION QUE SE OBTIENE SE DICE QUE ES UNA CONSECUENCIA LOGICA DE LAS PREMISAS. LAS PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA SON: MODUS PONENDO .PONENS (PP) P-Q p :. Q MODUS TOLLENDO PONENS (TP) p V Q ,..... p p V Q .-v·Q :. Q .-. p AOJUNCION {ADJ) p Q :. p,... Q MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) P-Q ,...., Q :. ,..J p SIMPLIFICACION {S) p ,.._ Q p "' Q ••• p :. Q LEY DE LA ADICION (LA) p .•. p V Q p _._ p V (CUALQUIER OTRA PROPOSICION) SILOGISMO HIPOTETICO (SH)* P-Q. Q-R :. p ----. R *TRANSITIVIDAD DE ~. SILOGISMO DISYUNTIVO (SO) p V Q P-R Q-s .':, R V S 46 SIMPLIFICACION DISYUNTIVA (SIM OIS) LEYES CONMUTATIVAS (LC) p V p ••• p LEYES DE D'MORGAN (LM) ..v( PvQ) ::.....,p""....,Q """ ( P"' Q ) :: r>J P V .....,Q LEYES BICONDICIONALES (LB) ••• p_.,..Q :. Q ____... p p V Q p .... Q :. Q V p :. Q ..... p PRUEBA CONDICIONAL (PC) SI ES POSIBLE DEDUCIR UNA PROPOSICION !l DE OTRA PROPOSICION P y UN CONJUNTO DE PREMISAS, ENONCES SE PUEDE DEDUCIR SOLO DEL CONJUNTO DE PREMISAS LA PROPO· SICION CONDICIONAL P - Q. .•.(p -Q) ... (Q-P) ES CONVENIENTE ACLARAR QUE PARA LA APLICACION DE ESTAS REGLAS DE INFERENCIA, BASTA QUE LAS PREMISA~NGAN LA MISMA FORMA, SIN CONSIDERAR PARA NADA EL CONTENIDO. NOTACION: 1) P -Q 1) P -+-Q 2) p ó 2) p / ••• Q ••• Q· SE USARAN INDISTINTAMENTE, AUNQUE EN LA SEGUNDA FORMA (QUE ES LA MAS EMPLEADA EN ESTE TRABAJO), HAY QUE TENER CUIDADO EN CONSIDERAR QUE LA CONCLUSION NO FORMA PARTE OE LAS PREMISAS. EJEMPLOS OE DEDUCCIONES: 1) P-Q 2) ,..,, R v P 3) "' Q 4) tv S - R / :. S v T 5) ,.,. p 6) rv R 7) s 8) S v T 1) "'(P v "'R) 2) Q y p 3) R- S TOL~ENOO TOLLENS 1,2 TOLLENDO PONENS 2,5 TOLLENDO TOLLENS 4,6 LEY DE LA ADICION 7 4) Q A s - T ,.. s !.·. T s),...,p,.. R LEYES DE MORGAN 1 6),.., p SIMPLIFICACION 5 7) Q TOLLENDO PONENS 2,6 8) R SIMPLIFICACION 5 9) s PONENDO PONENS 3,8 10) QAS ADJUNCION 7 ,9 11) TA s PONENDO PONENS 4, 10 12) T SIMPLIFICACION .11 47 NOTA: ESTE METODO DE.LAS REGLAS DE INFERENCIA NO ES EFECTIVO, PUES DEPEN- ·DE EN GRAN MEDIDA DE LA SAGACIDAD DE LA PERSONA PARA PODER ENCONTRAR LAS FORMAS PARA EL EMPLEO ADECUADO DE LAS REGLAS. POR OTRO LADO, EL METODO DE LAS TABLAS DE VERDAD, AUNQUE SI ES EFEf TIVO, ADOLECE DE UNA OBJECION: EN EL CASO EN QUE INTERVENGAN VARIAS PROPOSICIONES, SE VUELVE MUY LARGO EL PROCESO. 48 E J E R c I c I o s DEDUCIR A PARTIR DE LAS PREMISAS LA CONCLUSION DESEADA, HACIENDO USO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA. 1) p ~IVQ 2) Q 3) Pv.vR/.·.,...,R 1) P- Q 2) "'Q 3) P v R / :. R v S l) ..... (Pv,...,R) 2) Q y p 3) R-S 4) (Q " S) - T ,.. S 1) P-Q 2) R-Q 3) ""'P /.~ ,-.,R / .~. !') P-Q/.·. Q-P r,.,,s 1) rv P ._ ,v Q 2),...,Q- R 3) S ---..v("-'P---R) /.:,,,S 1),..., R 2) ""P V Q 3) Q -R 4).vP ._,,.,s !.'.¡V s 1) R _,..,p 2) (R,... S) v T 3) T -(Q. v U) 4) "' Q ;..f;.., u /.·. ,..,p 1) p -,vQ 2) R-NQ 3) s v r- R 4) (P -R) -s !:. "'(Q ,,._ U) 1) Y~ X~ X = Y V X <.Y 2) "":"' ( Y ..:. 1 v Y ~ X) / ••• X 4. Y "' X F Y 49 1.12 LOS ARBOLES DE VERDAD UNO DE LOS METODOS MAS EFICACES PARA DEMOSTRAR QUE UN ARGUMENTO ES CORRECTO, ES SIN DUDA ALGUNA EL DE LOS ARBOLES DE VERDAD. POR UN LADO, SABEMOS QUE UN ARGUMENTO ES CORRECTO SI Y SOLO SI LA IMPLICACION FORMADA POR LA CONJUNCION DE LAS PREMISAS COMO ANTECEDENTE, Y COMO CONSECUENTE LA CONCLUSION, ES UNA TAUTOLOGIA. ANTES DE VER EN QUE CONSISTE EL METODO DE LOS ARBOLES DE VERDAD, - PROBAREMOS LA SIGUIENTE PROPOSICION QUE NOS SERA DE UTILIDAD EN LA APLI- CACION ·oEL METODO. PROPOSICION.- SI Al, Az· .... , An ES UN CONJUNTO DE PREMISAS y SI C ES LA CONCLUSION OE UN ARGUMENTO, ENTONCES ~) A¡ " A2 .... A3 A •••• "An -:--- c ES TAUTOLOGIA sr y SOLO SI Ál A A2 A A3 "' ••• ·""An "'"'e ES UNA CONTRADICCION. DEMOSTRACION: SUPONGAMOS QUE Al A A2 A A3 A ••• /\ An - c ES TAUTOLDGIA. &) SI Ai ES FALSA PARA ALGUNA i = 1, 2, ..• , n ENTONCES A¡ A A2 A AJ A ••• A An"" ....... c SERA TAMBIEN FALSA. b) SI A; ES VERDADERA PARA TODA i ~ 1, 2, ••. , n ENTONCES POR SER Al A A2 A AJ. A ••• A An - e TAlJTOLOGIA, SIGNIFICA QUE e ES. VERDADERA Y POR TANTO ..v C ES FALSA. ES FALSA. F 42) SUPONGAMOS QUE A, a Ay AAA «+ ARA rv C ES UNA CONTRADIC a) SI Aj¡ ES FALSA PARA ALGUNA 4 =1,2,:3, .... n ENTONCES CAARAARA..o AA, ES FALSA. POR TANTO, A AAA AA AA E, ES VERDADERA QOO—_—_ a —— F V b) SI A, ES VERDADERA PARA TODA 1= 1,2, 3,..., n ENTONCES NA QUE AJAA¿AAZA... AA Ar ES CONTRADICCION, nu C DEBE SER - FALSA Y POR TANTO, CES VERDADERA. ASIPUES, AAA AA+ AA + Co ES VERDADERA N POR CONSIGUIENTE, LA FORMULA ES TAUTOLOGIA. - 30 (9) CO PUEDE TENER CUALQUIER VALOR, DE TODOS MODOS LA CONDICIONAL -ES ". VERDADERA, YA QUE EL ANTECEDENTE ES FALSO. | 50 ~) SUPONGAMOS E _ 1 ..... 2 "' 3 "' •.. An"' ,.., c S A CONTRADlf CION. o.) I i S SA A NA i l, 2, 3, • , NCES Al "' Az /\. 3 A •••• An S LSA. R NTO. l/\. Az A 3" .•• A - c S DERA ----" (*) '--~c___J ) I i S DERA A A i = 2, , . . , NCES YA UE l/\ Az" A3" .. n A N c TRADI CION, N c BE FALSA POR TANTO, ES ADERA. ES DERA V V V R NSIGUIENTE, ULA S LOGI . (*) DE ER LQUIER LOR, E OS ODOS ICIONAL ES ADERA, . E TECEDENTE S LSO. 51 AHORA VEAMOS EN QUE CONSISTE EL METODO DE LOS ARBOLES DE VERDAD: EL METOOO CONS~STE EN PARTIR DE LA NEGACION*DE LA CONCLUSION E IR - ADJUNTANDO LAS PREMISAS, DE TAL. MANERA QUE, A LO LARGO DEL CAMINO(RAMA), SE OBTENGAN CONTRADICCIONES, SI OCURRE TAL CASO, ENTONCES LA RAMA SERA CERR~ DA. EN CASO DE QUE NO HAYA CONTRADICCIONES, LA RAMA SERA ABIERTA Y POR LO TANTO, Al .... Az,.. AJ" ••. ,... An - c NO ES TAUTOLOGIA, APLICANDO LA PROPOSICION ANTERIOR. BASTA OBTENER UNA RAMA ABIERTA PARA QUE ELLA MISMA NOS DE LOS VALO- RES DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES EN LAS CUALES LA IMPLICACION Al ,... Az A AJA ... ,.. An - c NO ES TAUTOLOGIA. NOTACION: CUANDO SE TRATE DE CONJUNCIONES COMO PREMISAS, EMPLEARE- MOS EL SIGUIENTE DIAGRAMA p 1 PARA REPRESENTAR P " Q Q CUANDO SE TENGA UNA DISYUNCION, SE EMPLEARA EL SIGUIEN- TE DIAGRAMA A p Q PARA REPRESENTAR P v Q CUANDO HAYA NEGACIONES, ESTAS PASARAN DE IGUAL MANERA AL DIAGRAMA. EJEMPLO: P A ( rv Q v .R) CUANDO HAYA CONDICIONALES, SE TRANSFORMARAN EN DISYUNCIQ NES. EJEMPLO: p - IV Q,.. R = r\J p V ( N Q " R) /'-..... l'V p "'Q L *Cfr. pag. 63 52 POR TANTO, ALGO IMPORTANTE QUE HAY QUE CONSIDERAR AL APLICAR ESTE -- METODO, "ES TRANSFOR~.AR TODAS LAS PREMISAS A CONJUNCIONES O DISYUNCIONES. · EJEMPLO: CONSIDEREMOS EL SIGUIENTE ARGUMENTO Y VEAMOS SI LA - CONCLUSiON ES CONSECUENCIA LOGICA DE LAS PREMISAS. 1) "'py,..,Q 2) "'p -- R 3) Q 4) s-,...,R /.•.IV S COMO OBSERVAMOS, EXISTEN EN ESTE ARGUMENTO LOS ATOMOS PROPOSICIONALES P, Q, R, S, ESO SIGNIFICA QUE SI NOSOTROS ELABORARAMOS LA TABLA OE VERDAD CORRESPONDIENTE PARA VER SI EL ARGUMENTO ES CORRECTO, TENDRIAMOS QUE HACER 24 = 16 RENGLONES. PERO, EMPLEANDO EL METOD.O DE ARBOLES DE VERDAD, SE TIENE: s 1 Q /'-.... ¡1'J p ,vQ X NEGACION DE LA CONCLUSION 3a. PREMISA la. PREMISA ---(SE CIERRA PORQUE HAY UNA CON- TRADICCION: Q A tV Q) EN EL DIAGRAMA OBSERVAMOS QUE HA QUEDADO ABIERTA UNA RAMA, ES EN ESTA EN DONDE SE SEGUIRAN AGREGANDO LAS PREMISAS RESTANTES. LA PREMISA rv P - R ES EQUIVALENTE A~ P v R, y LA PREMISA S - ,y R _ES EQUIVALENTE A: rv S v,..., R CONTINUANDO CON EL 01AGRAMA: 53 --- NEGACION DE LA CONCLUSIDN 3a .. PREMISA la. PREMISA 2a .. PREMISA 4a. PREMISA X X COMO TODAS LAS Rl\."i;AS SE CERRARON, ES DECIR, SE :ENCONTRARON CONTRADI~ CIONES EN CADA UNA DE ELLAS, SIGNIFICA QUE: {.v P v IV Q)" ("' P - R) A (Q) A (S - rv R)" ""' (""' S) NO ES POSIBLE, POR TANTO, LA FORMA PROPOSICIONAL CORRESPONDIENTE AL ARGUMENTO ES TAUTOLQ GIA, i.e., ES CORRECTO. COMO SE PODRA OBSERVAR, EL METODO RESULTO MAS ECONOMICO Y MAS RAPIDO PARA DECIDIR SI El ARGUMENTO ERA O NO CORRECTO. CABE HACER AQUI LA ACLARACION QUE SE Pl'EDEN IR AGREGANDO LAS PREMISAS EN CUALQUIER ORDEN. PARA ASEGURAR QUE HAY RAMAS ABIERTAS, ES NECESARIO HA- BER INCLUIDO TODAS LAS PREMISAS, PERO ES POSIBLE QUE TODAS LAS RAMAS QUEDEN CERRADAS ANTES DE ACABAR DE INCLUIRLAS. POR OTRO LADO, PARA VER SI UNA FORMULA ES TAUTOLOGIA, SE NIEGA LA - FORMULA Y SE HACE EL ARBOL RESPECTIVO, SI SE CIERRAN TODAS ·LAS RAMAS, E~ TONCES LO SERA. EJEMPLO: ¿ ES P - {Q - P) TAUTOLOGIA? P -- {Q - P) • -v P v ( rv Q v P), POR i[ANTO SU NEGACION * SERA P ,..(Q A."" P) , HACIENDO El ARBOL RESPECTHO: *Cfr. pag. 63 f Q 1 rv P )( . .SE CIERRA PORQUE EXISTE LA CONTRAD1·CC10N DE P,.. ,.., P 54 POR TANTO, LA FORMULA P -- (Q - P) ES TAUTOLOGIA. EJEMPLO: ¿ ES CONSECUENCIA LOGICA DE LAS PREMISAS,LA CDNCLUSION ? ll rv c ,,... F - ,..., H 2) r..JN- H"F 3) ,...., W - (A - ,..., C) /.·.,...; W,,... A - N LA NEGACION DE LA CONCLUSION ES ,...., W ,... A ,,...,..., N rv W 1 A --NEG. CONCLUSION 1 ,...., N _____-¡--.___ C "'F .....,H -- la. PREMISA A A A N H N H N H X 1 X 1 X 1 -- 2a. PREMISA F F F ~X X W rvA "'C -- 3a. PREMISA X X X COMO TODAS LAS RAMAS SE CERRARON, EL ARGUMENTO ES CORRECTO. ELABORANDO LA TABLA DE VERDAD RESPECTIVA, SE NECESITARIAN 26 = 64 RENGLONES. Y HACIENDOLO POR EL METODO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA, SE TENDRIA LO SIGUIENTE: 1) N C,.. F - rv H 2) ,...., N - H,.. F 3)°.rv W - (A - "'C) /.·. N W "'A - N 4) rvW"A P 5) ,..., w s 4 6) A - "' C PP 3,5 7) A 8) N C s 4 pp 6,7 9) ,.,, c - ( F - N H) EX POR TAC ION* 1 10) F -- N H ll)rvFvrvH 12) rv( FA H) 13) N pp 8,9 EQUIV. LOG:>*10 LM 11 TT 2,12 14).....; W,.. A -- N P.C. 4, 13 55 NOTA: SE LLEGO A OBTENER LA CONCLUSION, PERO NO SIEMPRE ES FACIL, SE NECESITA MUCHA SUERTE Y PACIENCIA. EJEMPLO:lLA CONCLUSION ES CONSECUENCIA"LOGICA DE LAS PREMISAS? l)rvC,..F-rvH 2)rvN - H"F 3} "'W ~ (A --... ...., C) /.·. ru (N - .v H v F) LA NEGACION DE LA CONCLUSION ES .v N v (.v H v F) Y TRANSFORMANDO LAS PREMISAS A DISYUNCIONES: 1) (C vrvF) vrvH 2) N v (H ,.. F) 3) W v (,,...,A v rv C) ELABORANDO EL ARBOL, SE TIENE: *Cfr. pag. 110 **Cfr. pag. 43 ,,_, H A N H l. F X COMO SE PODRA OBSERVAR, QUEDARON RAMAS ABIERTAS; POR TANTO, NO.ES CONSECUENCIA LOGICA YA QUE BASTA TENER UNA SOLA RAMA ABIERTA PARA MOS- TRAR QUE LA CONCLUS.ION NO ES CONSECUENCIA LOGICA DE LAS PREMISAS. 56 ADEMAS, CUALQUIER RAMA ABIERTA PROPORCIONA UN CONTRAEJEMPLO. EN ESTE CASO, SE OBSERVA QUE LA RAMA ABIERTA NOS PROPORCIONA INFORMACION ACERCA DE LOS VALORES DE LOS ATOMOS, A SABER: SI CONSIDERAMOS LOS QUE NO TIENEN NEGACION COMO VERDADEROS Y LOS QUE LA TENGAN COMO FALSOS, ENTONCES: ATOMO: N C H F W A NOTESE QUE EL VALOR DE VALOR DE VERDAD: . F V V V V A PUEDE SER V o F. CON ESOS VALORES SE TIENE EL CONTRAEJEMPLO, i.e., LAS PREMISAS RESULTAN VERDADERAS Y LA CONCLUSION FALSA. 57 1.13 DEMOSTRACION DE LA INVALIDEZ DE ARGUMENTOS ASIGNACION DE VALORES. PARA MOSTRAR LA INVALIDEZ DE UN ARGUMENTO, EN LUGAR DE EMPLEAR LOS METODOS USUALES (TABLAS DE VERDAD, REGLAS DE INFERENCIA, ARBOLES DE VER- DAO}, SE ASIGNAN VALORES DE VERDAD A LOS ATOMOS SIMPLES OE LAS PROPOSICIQ NES, DE TAL MANERA QUE LAS PREMISAS RESULTEN VERDADERAS Y LA CONCLUSION FALSA. ESTE METODO DE ASIGNAR VALORES DE VERDAD TIENE INTIMA RELACION CON LAS TABLAS DE VERDAD, YA QUE VIENE A SER.LA DESCRIPCION DE UN RENGLON DE LA TABLA -Y BASTA PARA ESTABLECER LA INVALIDEZ DEL ARGUMENTO-. EJEMPLO: l ES INVALIDO EL SIGUIENTE ARGUMENTO ? 1) SI 2 ES PAR ENTONES ES PRIMO 2} SI 8 ES UN NUMERO COMPUESTO ENTONCES ES PRIMO POR TANTO, SI 2 ES PAR ENTONCES 8 ES UN NUMERO COMPUESTO. SIMBOLIZANDO, RESULTA: 1) P-Q 2) R-Q :. P-....R ASIGNANDO VALORES TAL QUE LAS PREMISAS SEAN VERDADERAS Y LA CONCLU- SION FALSA. LA CONCLUSION SE HACE FALSA AL ASIGNAR A f EL VALOR VERDADERO Y A E EL VALOR FALSO. LA PRIMERA PREMISA SE HACE VERDADERA AL ASIGNAR A g EL VALOR VERDADERO. COMO YA HAN SIDO ASIGNADOS LOS VALORES A LOS ATOMOS SIMPLES, SE OB- SERVA QUE TAMBIEN LA SEGUNDA PREMISA RESULTA VERDADERA. 58 POR CONSIGUIENTE, EL RAZONAMIENTO ES INVALIDO. EN ESTE CASO, EN LA TABLA DE VERDAD CORRESPONDIENTE APARECERA UN V~ LOR FALSO EN EL RENGLON DONDE P y Q SEAN VERDADERAS Y .R SEA FALSA. p Q R [(P-Q).., (R-Q)J- (P-R) V V V V V V V V ¡v V FI V V V EJ F V F V F F F V V . V F F F F V V F F V V V V V V V F. V F V v.' . V V . V F F V V F F V V F F F V V V V ~ * * .__ ____ * * ___J ELABORANDO SU ARBOL DE VERDAD, TENEMOS: LA PRIMERA PREMISA ES EQUIVALENTE A: "' P v Q , LA SEGUNDA PREMISA ES EQUIVALENTE··"A·:~rv R v Q , ·L_A CONCLUSION A ~ ,..J P v R • LA NEGACION DE LA CONCLUSION ES : P "" ,...., R p 1 ,. ... -R ---------P . Q ~R~ X --- NEGACION DE LA CONCLUSION --- la. PREMISA --- 2a. PREMISA COMO QUEDO ABIERTA UNA RAMA, SIGNIFICA QUE EL RAZONAMIENTO NO ES CORRECTO y p Q R , ES UN CONTRAEJEMPLO. V V F 11 LO GICA DE PREDICADOS 59 LOGICA OE PREDICADOS 2.1 TERMINOS Y PREDICADOS POR DEFINICION UN TERMINO ES UNA EXPRESION QUE NOMB~A O DESIGNA AL- GUN OBJETO. EN LA GRAMATICA TRADICIONAL EL SUJETO DE LA PROPOSICIDN ES EL TERMINO. EJEMPLOS: 1) BRASIL ES EL MAYOR PRODUCTOR DE CAFE DEL MUNDO 2) ~ ES UN NUMERO COMPUESTO 3) ! ESTA COMPRENDIDO ENTRE º--.t...l_ 4) X,Y,Z SON PRIMOS ENTRE SI 5) X+3 ES MAYOR O IGUAL QUE 2Y+4 EN ESTOS EJEMPLOS, LAS EXPRESIONES SUBRAYADAS SON LOS TERMINOS. EN LA GRAMATICA TRADICIONAL UN PREDICADO ES LA PARTE DE LA ORACION QUE EXPRESÁ LO QUE SE OICE DEL SUJETO. DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES, LOS PREDICADOS SON "ES EL MAYOR PRODUC- TOR DE CAFE DEL MUNDO", "ES UN NUMERO COMPUESTO.':, "SON PRIMOS ENTRE SI", "ES MAYOR O IGUAL QUE", RESPECTI'IAMENTE. PARA SIMBOLIZAR ESTE TIPO DE PROPOSICIONES SE EMPLEARAN LAS LETRAS MAYUSCULAS O PALABRAS PARA PREDICADOS Y CON MINUSCULAS LOS TERMINOS (EN EL CASO DE NOMBRES PROPIOS O CONSTANTES), O VARIABLES U OPERACIONES APL.!. CADAS A TERMINOS. POR TANTO, LA SIMBOLIZACION DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES ES: 1) M ( b), M SIGNIFICA "ES EL MAYOR PRODUCTOR DE CAFE DEL MUNDO. b SIGNIFICA "BRASIL". 60 SE PROCEDERA ANALOGAMENTE PARA LOS RESTANTES EJEMPLOS, ES DECIR, SIN ESPECIFICAR CADA SIMBOLIZACION; SE SOBREENTENDERA LAS LETRAS EMPLEADAS. 2} N (9} 3} C(x,0,1} 4} P(x,y,z} 5) M (x+3, 2y+4) EJERCICIOS: C SIGNIFICA " ..• ESTA COMPRENDIDO ENTRE .•• Y SIMBOLIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. l} X ES NUMERO PAR 2} JAIME ESTUDIA LOGICA 3} 15 ES UNA COTA SUPERIOR DEL CONJUNTO A 4} Y ES MAYOR QUE 10 5) ENRIQUE ES GUAPO 6} 12 ES MENOR O IGUAL QUE 15 7) B ES FACTOR COMUN DE 40 Y 96 8) JUAN ES MAS ALTO QUE PEDRO 9) X - Xo ES MENOR O IGUAL QUE 12 10) JACOBO ES INTELIGENTE 61 2.2 CUANTIFICADORES ,1 EXPRESIONES DE LA FORMA "TODO ES MORTAL", "ALGO ES BELLO", CONTIE- NEN PREDICADOS,. PERO NO CONTIENEN NOMBRES DE INDIVIDUOS ·o COSAS. EN REALIDAD, NO SE REFIEREN A NINGUN INDIVIDUO EN PARTICULAR, PUES SON PROPOSICIONES GENERALES. ESTAS SE PUEDEN EXPRESAR DE VARIAS MANERAS QUE SON LOGICAMENTE EQUI- VALENTES. VEAMOS LA PRIMERA PROPOSICION " TODO ES MORTAL " ES EQUIVALENTE A: " TODAS· LAS COSAS SON MORTALES ", ES EQUIVALENTE A: " DADA CUALQUIER COSA, ESTA ES MORTAL ". SI ACORDAMOS EN PONER "X" EN LUGAR DE "COSA", TENEMOS: "DADA CUALQUIER X, X ES MORTAL" INTRODUCIENDO UNA NUEVA NOTACION PARA DENOTAR "DADA CUALQUIER X" POR !,/- x , TENEMOS: .V- x M (x), DONDE M SIGNIFICA "ES MORTAL". LA EXPRESION "DADA CUALQUIER X", ES LLAMADA EL CUANTIFICADOR UNIVER- SAL, HENE VARIAS ACEPCIONES, A ~SER: "PARA TODO", "TODO", "CUALQUIERA", "PARA CADA", "CADA". LA PARTE QUE APARECE EN SEGUIDA DEL CUANTIFICADOR SE LLAMA CUANTIFI- CANDO. LA SEGUNDA PROPOSICION, 11 ALGO ES BELLO 11 , SE PUEDE EXPRESAR COMO: "EXISTE AL MENOS UNA COSA ·QUE ES BELLA", QUE ES EQUIVALENTE A~ "EXISTE AL MENOS UNA COSA TAL QUE ESA COSA ES BELLA". 62 NUEVAMENTE, SI EN LUGAR DE "COSA" PONEMOS "X", SE TIENE: "EXISTE AL MENOS UNA X. TAL QU,E X ES BELLA". INTRODUCIENDO UNA NOTACION PARA DENOTAR "EXISTE AL MENOS UNA X" POR 3 x , TENEMOS: 3 x B(x), DONDE B SIGNIFICA "ES BELLA". LA EXPRESION "EXISTE AL MENOS UNA X", ES LLAMADA EL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL, TIENE VARIAS ACEPCIO~ES, A SABER: "ALGO", "HAY", "EXISTE", "EXISTE ALGUN", "PARA ALGUN", "PARA CIERTO", "HAY AL MENOS UN "• "HAY ALGUN", "ALGUNOS", "ALGUN". CABE SERALAR QUE LA CUANTIFICACION UNIVERSAL DE UNA PROPOSICION ES VERDADERA EN UNA INTERPRETACION SI y SOLO SI TODAS sus INSTANCIAS DE su~ TITUCION SON VERDADERAS. UNA CUANTIFICACION EXISTENCIAL DE UNA PROPOSICION ES VERDADERA EN UNA INTERPRETACION SI Y SOLO SI HAY AL MENOS UNA INSTANCIA DE SUSTITUCION VERDADERA. 63 2.3 LEYES DE LA NEGACION ES BIEN SABIDO .QUE PARA NEGAR UNA PROPOSICION BASTA AGREGAR LA PALA- BRA "NO", O BIEN EN OCASIONES ,SE EMPLEAN LAS EXPRESIONES "NO OCURRE QUE" O "NO ES CIERl:O QUE". EJEMPLOS: 1) TODO ES RELATIVO NEGACION 1) NO TODO ES RELATIVO 2) LAS MATEMATICAS SON EXACTAS NEGACION 2) NO OCURRE QUE LAS MATEMATICAS SON EXACTAS NEGACION 2) NO ES CIERTO QUE LAS MATEMATICAS SON EXACTAS NEGACION 2) LAS MATEMATICAS NO SON EXACTAS 2.3.1 LEY DE LA DOBLE NEGACION CABE PREGUNTARSE lQUE OCURRE CUANDO NEGAMOS DOBLEMENTE UNA PROPOSI- CION?. VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS: ll NADA ES VARIABLE NEGACION 1) NO ES CIERTO QUE NADA ES VARIABLE NEG NEG 1) NO ES CIERTO QUE NO ES· CIERTO QUE NADA ES VARIABLE 2) LOS INTERVALOS SON ACOTADOS NEGACION 2) LOS INTERVALOS NO SON ACOTADOS NEG NEG 2) NO ES CIERTO QUE LOS INTERVALOS NO SON ACOTADOS 3) LUCIA ES MI NOVIA NEGACION 3) LUCIA NO ES MI NOVIA NEG NEG 3) NO ES CIERTO QUE LUCIA NO ES MI NOVIA 64 COMO SE OBSERVA EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES, LA NEGACION DE LA NEGA- CION DE UNA PROPOSICION TIENE EL MISMO SIGNIFICADO QUE LA MISMA PROPOSI- CION, i. e., SI P ES UNA PROPOSICION ENTONCES "-' (rJ P) ES EQUIVA- LENTE A; P. 2.3.2 LEYES DE D'MORGAN COMO SE PUDO OBSERVAR, NEGAR UNA PROPOSICION SIMPLE RESULTA MUY SE~ CILLO. SIN EMBARGO, CUANDO QUEREMOS DETERMINAR EL SIGNIFICADO DE LA NEGACION DE UNA PROPOSICION COMPUESTA (DISYUNCION, CONJUNCION), REQUIERE DE UN MAYOR CUl DADO. POR EJEMPLO: NEGAR LA PROPOSICION " a = O o b = O " POR TRATARSE DE UNA DISYUNCIDN, SIGNIFICA QUE AL MENOS UNA DE LAS PROPOSICIONES SIMPLES ES VERDADERA. NEGAR LA PROPOSICION SIGNIFICA QUE NINGUNA DE LAS PROPOSICIONES ES VERDADERA; ES DECIR, QUE AMBAS SON FALSAS. POR CONSIGUIENTE, LA NEGACION ES " a t- O y b t- O " EN GENERAL, SI P, Q SON PROPOSICIONES CUALESQUIERA, ENTONCES LA NEGACION DE 11 P o Q" ES "NO P y NO Q", i.e., ,.., ( P v Q) ES EQUIVALENTE A:"' P " r..1 Q ANALOGAMENTE, SI SE TUVIERA UNA CONJUNCION, POR EJEMPLO: " 2 ES PRIMO Y 2 ES PAR 11 • LA PROPOSICION DADA SIGNIFICA QUE AMBAS PROPOSICIONES SIMPLES SON VERDADERAS. SU NEGACION NIEGA QUE AMBAS SON VERDADERAS, POR CONSIGUIENTE, ASE- GURA QUE AL MENOS UNA ES FALSA. POR TANTO, LA NEGACION ES: 11 2 NO ES PRIMO o 2 NO ES PAR 11 • 65 EN GENERAL, SI P, Q SON PROPOSICIONES CUALESQUIERA, ENTONCES LA NEGACION DE "P y Q11 ES 11 NO P o NO Q'!, i.e., r.J ( P ,. Q) ES EQUIVALENTE A ~ ,....., P v ,..., Q 2.3.3 NEGACION DE UNA CONDICIONAL ESTABLECER LA NEGACION DE: "SI ES UN CIUDADANO, ENTONCES PUEDE VOTAR" LA PROPOSICION AFIRMA QUE CUANDO "ES UN CIUDADANO" ES UNA PROPOSI-- CION VERDADERA, ENTONCES "PUEDE VOTAR" ES TAMBIEN VERDADERA. LA_NEGACION DE LA PROPOSICON DADA IMPLICA, POR CONSIGUIENTE, QUE - AUN CUANDO "ES UN CIUDADANO" SEA VERDADERA, "PUEDE VOTAR" ES FALSA. POR LO TANTO, LA NEGACION ES : "ES UN CIUDADANO Y NO PUEDE VOTAR". EN GENERAL, SI P, Q SON PROPOSICIONES CUALESQUIERA, LA NEGACION DE "SI P ENTONCES Q" ES "P y NO Q'-', i. e., "-' ( P ___. Q) ES EQUIVALENTE A: P "' rv Q 2.3.4 NEGACIONES DE CUANTIFICADORES VEAMOS ALGUNAS .PROPOSICIONES USUALMENTE EMPLEADAS EN LA LOGICA DE PREDICADOS, Y SUS EQUIVALENCIAS RESPECTIVAS. EJEMPLO: 1) "NADA ES ESTABLE" ES EQUIVALENTE A: "NO E.XISTE X TAL QUE X ES ESTABLE" (,....3 x E (x) ), EQUIVALE A:"PARA TODA X, X NO ES ESTABLE" · ( Y. X ,..., E (x)). 66 2) "ALGO ES VARIABLE", EQUIVALE A: ."EXISTE X TAL QUE X ES VARIABLE". ( 3 x V (x)) •. 3) "TODO ES RELATIVO", EQUI·VALE A: "PARA TODA X, X ES RELATIVO" (Y X R (x)). 4) "NINGUNO ES REPRESIVO", EQUIVALE A: "NADIE ES REPRESIVO", EQUIVALE A : "NO EXISTE X TAL QUE X ES REPRESIVO" (,.... 3 x R (x)), EQUIVALE A: " PARA TODA X, X NO ES REPRESIVO" (V x "'R (x)). EN LOS EJEMPLOS 1 y 4 ANTERIORES, SE NOTA QUE HAY .CIERTA CONE- XION ENTRE EL CUANTIFICADOR UNIVERSAL Y EL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS PARA ILUSTRARLA: LA PROPOSICION "TODO ES MORTAL" ( >,/- x M (x)), SU NEGAC.ION SERA: "NO TODO ES MORTAL", LO QUE SIGNIFICA ENTONCES QUE "EXISTE ALGO QUE NO ES MORTAL" ( 3 x l'J M (x)). MOS: POR TANTO, SE TIENE: ,..,.; V x M (x) ES EQUIVALENTE A: 3 x rv M (x) ADEMAS, NEGANDO AMBAS Y APLICANDO LA LEY DE DOBLE NEGACION, OBTEN~ >.,/- x M (x) ES EQUIVALENTE A : ,.., 3 x ,..., M (x) (i.e. "TODO ES MORTAL" ES.EQUIVALENTE A: "NO EXISTE ALGO TAL QUE NO ES MORTAL") ANALOGAMENTE, SI LA PROPOSICION AHORA ES "NADA ES MORTAL" (V x "-'M (x)), SU NEGACION SERA: "NO ES.CIERTO QUE NADA ES MORTAL", SIGNIFICA QUE: "EXISTE ALGO TAL QUE ES MORTAL" ( 3 x M (x)) POR TANTO, TENEMOS: ""'~X "' M (x) ES EQUIVALENTE A: 3 X M (x) 67 ADEMAS, NEGANDO AMBAS Y APLICANDO LA LEY DE DOBLE NEGACION, SE TIENE: 'V x ,..,¿ M (x) ES EQUIVALENTE A~ ......,3 x·-M (x) EN GENERAL, SI EMPLEAMOS LA LETRA GRIEGA (J PARA REPRESENTAR CUAh QUIER PREDICADO, SE TIENE: 'f X (J (x) ES EQUIVALENTE A "-' 3 X ,...._, (J (x) 3 X ;, (x) ES EQUIVALENTE A ,..., V X rv (J (x) >.,f X ,...., (J (x) ES EQUIVALENTE A ""' 3 X ;, (x) 3 X ""';, (x) ES EQUIVALENTE A ......, >.,/ X (J (x) VEAMOS AHORA ALGUNOS EJEMPLOS DE PROPOSICIONES Y SUS RESPECTIVAS NEGACIONES, CON SU SIMBOLIZACION ANALITICA: 1) PARA TODA X~ X ES PRIMO ( >trfx Px) l') EXISTE X TAL QUE X NO ES PRIMO (3 x ru Px) 2) EXISTE X TAL QUE X ES UNA SUCESION ( 3 x Sx) 2') PARA TODA X, X NO ES UNA SUCESION (V x "'Sx) 3) PARA TODA X, X> 5 SOLO SI X ES PAR ( "'/x (X"> 5 - Px)) 3') EXISTE X TAL QUE X> 5 y X NO ES PAR (3x (x > 5 """' Px)) 4) PARA TODA X, SI X ES PAR ENTONCES X ES COMPUESTO ("'lfx (Px~x)) 4') EXISTE X TAL QUE X ES PAR y X NO ES COMPUESTO (3x (Px "'"'Cx)) 5) EXISTE X TAL QUE X BRILLA y X NO ES ORO (3 x (Bx ArvOx)) 5') PARA TODA X, SI X BRILLA ENTONCES X ES ORO (.Jo,fx {Bx - Ox)) 6) PARA TODO X RACIONAL, EXISTE Y ENTERO TAL QUE XY= ( ~ x ( Rx - 3 y ( Ey ,.. xy = 1) ) ) 6') EXISTE X RACIONAL TAL QUE PARA TODO Y ENTERO XY ~ ( 3 ~ {Rx ..... .Y.y ( Ey - xy ~ 1))) 68 7) PARA TODO X> O, EXISTE Y <. O TAL QUE PARA TODO Z, X+Y=Z " D - 3 y ( y <.O " ' O TAL QUE PARA TODA Y 0 "" >.,/- y (y <. 0 - 3 Z (X + y f- Z))) 8) EXISTE X TAL QUE PARA TODA Y SI X = Y ENTONCES Y > O 3 X ( Y Y (x = y - y > 0)) 8') PARA TODA X, EXISTE Y TAL QUE X = Y y Y :;t- O >,/-X (~y ( X = y A y:). O)) 9) PARA TODO E> O, EXISTE .S >O TAL QUE, PARA TODO X, SI 1 X - Al <. Ó ENTONCES 1 x2 - A2 I < E. VE.>0 3 cf>O (Yx(lx-al O TAL QUE PARA TODO d >O, EXISTE X TAL QUE IX - AlO .>.1-ó>O ( 3 X ( lx-a\<.Ó ... 1x2 - a21-4:. e)) 10) PARA TODA X, SI X=J ENTONCES EXISTE Y, TAL QUE XY=l8 .>.1- X ( X = 3 - 3 Y ( Xy = 18)) 10') EXISTE X TAL QUE X=J y PARA TODA Y, XYt-18 3 X ( X = 3 A lof- Y ( Xy "f 18)) EJ.ERCICIOS NEGAR LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y SIMBOLIZARLAS l) 5 NO ES UN NUMERO PRIMO 2) TODO LO QUE BRILLA ES ORO 3) ALGUIEN VIENE A.CENAR 4) NADA ES LEGAL 5) NINGUN ACIOO ES VOLATIL 6) TODOS LOS ELEMENTOS SON VISIBLES 7) NADIE ES PROFETA EN SU TIERRA 8) ALGUNOS ANIMALES SON CARNIVOROS 9) NINGUNA FUNCION ES RELACION 10) NO TODOS LOS PLANETAS GIRAN 11) HAY DAMAS.PRESENTES 12) EXISTE X TAL QUE O .c. X .c. 1 13) GANAREMOS EL CONCURSO SI ESTUDIAMOS MUCHO 14) PARA TODA X, EXISTE Y TAL X <.Y 15) EXISTE X TAL QUE X2 + 1 = O 16) PARA TODA X, X = 2 o X > 5 17) PARA TODA X, SI X> 2 ENTONCES x2 + 2X = 3 18) EXISTE X TAL QUE PARA TODA Y, X> Y 19) NO HAY UN NUMERO W TAL QUE PARA TODA. Y, Y = 5W 20) NO ES CIERTO QUE HAYA VIDA EN MARTE 69 2 .4 VACUIDAD LA CUANTIFICACION UNIVERSAL DE UNA CONDICIONAL SE CUMPLE POR VA- CUIDAD, SI EL ANTECEDENTE DEL CUANTIFICANDO NUNCA SE VERIFICA. EJEMPLOS: 1) PARA TODA X, SI X > X ENTONCES X > 3 .lo/- x (x > x - x > 3) ES EQUIVALENTE A: ,...3x (x>x "x ~ 3) 2) TODO UNICORNIO ES·AZUL .Vx (Ux ·- Ax) ES EQUIVALENTE A: .... 3 x (Ux A....., Ax) LAS PROPOSICIONES CON CUANTIFICADOR EXISTENCIAL SON LAS NEGACIONES DE LAS PROPOSICIONES DADAS Y SON FALSAS, POR TANTO LAS PROPOSICIONES - ORIGINALES SON VERDADERAS. 71 2.5 PROPOSICIONES CATEGORICAS LAS PROPOSICIONES DE ESTE TIPO PUEDEN CONSIDERARSE COMO ASERCIONES ACERCA DE CLASES, QUE AFIRMAN O. NIEGAN QUE UNA CLASE ESTE INCLUIDA EN -- OTRA, TOTAL O PARCIALMENTE. UNA CLASE ES UNA COLECCION DE TODOS LOS OBJETOS QUE TIENEN UNA PRO- PIEDAD COMUN. EJEMPLOS: 1) TODOS LOS POLITICOS SON MENTIROSOS 2) NINGUN NUMERO IRRACIONAL ES PRIMO 3) ALGUNOS NUMEROS RACIONALES SON ENTEROS 4) ALGUNOS ESTUDIANTES NO SON UNIVERSITARIOS LOS EJEMPLOS ANTERIORES MUESTRAN LAS CUATRO FORMAS TIPICAS DE LAS PROPOSICIONES CATEGORICAS, QUE ESQUEMATICAMENTE SE PUEDEN ESCRIBIR COMO: 1) TODO S ES P 2) NINGUN S ES P 3) ALGUN S ES P 4) "ALGUN S NO ES P DONDE S y P REPRESENTAN·PREOICADOS O CLASES. TALES PROPOSICIONES SE LES CONOCE COMO UNIVERSAL AFIRMATIVA, UNIVEE_ SAL· NEGATIVA, PARTICULAR AFIRMATIVA Y PARTICULAR NEGATIVA, RESPECTIVAMENTE. POR TANTO, LOS CUATRO TIPOS OE PROPOSICIONES CATEGORICAS QUE SE HAN DESTACADO EN LA LOGICA ARISTOTELICA SON EJEMPLIFICADOS DE ·LA SIGUIENTE. FORMA: 1) TODAS LAS SUCESIONES SON CONVERGENTES (A) 2) NINGUNA SUCESION ES CONVERGENTE (E) 3) ALGUNAS SUCESIONES SON CONVERGENTES (I) 4) ALGUNAS SUCESIONES NO SON CONVERGENTES (O) A AS Afflrmo y nEgO, QUE SIGNIFICAN AFIRMAR Y NEGAR, RESPECTIVAMENTE. AL SIMBOLIZAR ESTAS PROPOSICIONES POR MEDIO DE CUANTIFICADORES, SE TIENE LO SIGUIENTE: : A: "TODAS LAS SUCESIONES SON CONVERGENTES".,.ES EQUIVALENTE A: "DADA CUALQUIER COSA, Sl ELLA ES UNA SUCESION, ENTONCES ELLA ES CONVER GENTE". SI REEMPLAZAMOS LA PALABRA "COSA" Y "ELLA" POR "Xx", SE TIE- NE: "DADA CUALQUIER X, SI X ES UNA SUCESION, ENTONCES X ES CONVERGENTE" USANDO LA NOTACION CORRESPONDIENTE: MN x (Sx — Cx) E: "NINGUNA SUCESION ES CONVERGENTE", ES EQUIVALENTE A: "DADA CUALQUIER COSA, SI ELLA ES UNA SUCESION, ENTONCES ELLA NO ES CON- VERGENTE". HACIENDO LAS MISMAS CONSIDERACIONES, TENEMOS: "DADA CUALQUIER X, SI X ES UNA SUCESION, ENTONCES X NO ES CONVERGENTE". Xx (SXx —. ru Cx) 1: "ALGUNAS SUCESIONES SON CONVERGENTES", ES EQUIVALENTE A: "EXISTE AL MENOS UNA COSA TAL QUE ESA COSA ES UNA SUCESION Y ESA COSA ES CONVERGENTE",. ES EQUIVALENTE A" “EXISTE AL MENOS UNA X TAL QUE X ES UNA SUCESION y X ES CONVERGENTE". 3 x (Sx a Cx) O: "ALGUNAS SUCESIONES NO SON CONVERGENTES", ES EQUIVALENTE A: "EXISTE AL MENOS UNA COSA TAL QUE ESA COSA ES UNA SUCESION Y ESA COSA NO ES CONVERGENTE", EQUIVALENTE A: “EXISTE AL MENOS UNA X TAL QUE X ES UNA SUCESION y X NO ES CONVERGENTE". 3 x (Sx a ey Cx) 72 SE ACOSTUMBRA DENOTARLAS CON LAS LETRAS A, E, I, O y SE PRESUME QUE PROVIENEN DE LAS PALABR ~fflrmo n~gQ, E I N I AR EGAR, TI ENTE. L LI AR GSTAS POSICI NES R EDIO E ANTIFI DORES, I E I NTE: : " AS S ESI NES N NVERGENTES", ES I LENTE : " A LQUIER SA, I A S A CESION, NCES A S CONVE~ ENTE". I P Z MOS BRA SA" A" R ", I - NE: " A LQUIER "X, I S A CESION, NCES S VERGENTE" DO TACION RRESPONDIENTE: "'" x - x) : " IN A CESION VERGENTE", S I LENTE : A LQUIER SA, I A S A CESION, NCES A S N- RGENTE". CI DO S I AS NSI ERACIONES, EMOS: A LQUIER , I S A CESION, NCES S VERGENTE" . ...¡. ( Sx - rv Cx) I: NAS ESI NES N VERGENTES", S I LENTE : I E L ENOS A SA L E SA S A ESI N SA S NVERGENTE", S. I LENTE " " I E L ENOS A L E S A ESI N S VERGENTE". '3 x (Sx ,... Cx) : " NAS ESI NES N VERGENTES", S I LENTE : I E L ENOS A SA L E SA S A ESI N SA O S VERGENTE", I LENTE : " I E L ENOS A L E S A ESI N S VERGENTE". ( Sx ,.. ~ ex) 73 EN MUCHAS OCASIONES CAE UNO EN EL ERROR DE QUERER SIMBOLIZAR PROPO- SICIONES DEL TIPO I y O, DE LA SIGUIENTE MANERA. INCORRECTA: 3 x (Sx -ex) y 3 x (Sx ~ "'Cx), RESPECTIVAMENTE. PARA DESPEJAR LAS DUDAS AL RESPECTO, VEAMOS UN EJEMPLO DE PROPOSI- CION DEL TIPO I (PARA EL TIPO O,ES ANALOGO) SEA I: "ALGUNOS CENTAUROS SON INTELIGENTES" SUPONGAMOS QUE LA SIMBOLIZACION (?), FUERA CES: 3 x (Cx - Ix). ENTON- SIGNIFICA QUE "EXISTE AL MENOS UNA COSA TAL QUE: SI ES UN CENTAURO ENTONCES ES INTELIGENTE", LO CUAL NO AFIRMA QUE EXISTA UN CENTAURO (TAMPOCO AFIRMA QUE NO EXISTA), LO QUE AFIRMA ES LA EXISTENCIA DE UNA COSA QUE CUMPLE UNA CONDICIONAL. AHORA, ES POSIBLE QUE EXISTA UNA COSA TAL QUE NO ES CENTAURO; EN TAL CASO, 3 x (Cx - Ix) ES VERDADERA (YA QUE EL ANTECEDENTE ES FALSO). POR OTRO LADO, SI EXISTE ALGUN CENTAURO QUE NO SEA INTELIGENTE, EN- TONCES "ALGUNOS CENTAUROS SON INTELIGENTES", ES FALSO. POR TANTO, 3 x (Cx - Ix) NO ES LA SIMBOLIZA¡;ION DE "ALGUNOS CENTAUROS SON INTELIGENTES", YA QUE ES POSIBLE QUE UNA SEA VERDADERA Y LA OTRA FALSA. POR CONSIGUIENTE, "ALGUNOS CENTAUROS SON INTELIGENTES", SE SIMBOL! ZA COMO: '3 x (Cx A Ix) 74 ANTES DE HACER ALGUNOS EJEMPLOS DE SIMBOLIZACION CON CUANTIFICADORES ES NECESARIO HACER UNA OBSERVACION: UN ENUNCIADO DEL LENGUAJE FORMAL SIMBOLIZA UNA ORACION DEL LENGUAJE NATURAL_ SI Y SOLO SI SIGNIFICAN LO MISMO EN TODA INTERPRETACION; ES DECIR, PARA CUALQUIER INTERPRETACION EL ENUNCIADO DEL LENGUAJE FORMAL ES VERDADE- RO SI Y SOLO SI EL ENUNCIADO DEL LENGUAJE NATURAL ES VERDADERO. 2.6 TRADUCCIONES DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE ANALITICO (FORMAL). l) TODO PRIMO ES IMPAR 'f x (Px. - Ix) 2) ALGUNOS PRIMOS SON IMPARES 3 x. (Px. "' lx) 3) NINGUN PRIMO ES IMPAR >f x. (Px - "'Ix)_ :; rv 3 x (Px,.. lx) EN LOS EJEMPLOS SIGUIENTES, "x", "y", "z", "a", "b", REPRESENTAN ENTEROS CUALESQUIERA. 4) 1 ES MENOR QUE TODO ENTERO 't/ x { 1 < x) 5} PARA TODO ENTERO EXISTE UN ENTERO MAYOR V x (J y (x. <.y)) 6) EXISTE UN ENTERO QUE ES MAYOR QUE TODO ENTERO 3 x (~y (x >y)) 7) EXISTE UN ENTERO QUE ES MAYOR QUE TODO ENTERO DISTINTO DE EL MISMO. 3 X ( Ji/ y (X 'f Y - X > y)) 8) SI EL PRODUCTO DE DOS ENTEROS ES PAR, ENTONCES AL MENOS UNO DE - ELLOS ES PAR V x V y ( 3 z (xy = 2z) - 3 a (x = 2a) v 3 b (y = 2b)) 9) EL PRODUCTO OE DOS ENTEROS PARES ES SIEMPRE UN MULTIPLO DE 4 >,¡ x Ji/ y ( 3 z (x = 2z) ..._ 3 w (y = 2w) - 3 a (xy = 4a)) 75 10) TODO ENTERO PAR MAYOR QUE 4 ES LA SUMA DE DOS PRIMOS .\/-x (]y (x = 2y) ,..(x > 4) - 3 z,w (Pz,..Pw"-X = z+w)) PLOS: HACIENDO AUN MAS EXPLICITAS ALGUNAS TRADUCCIONES, VEAMOS OTROS EJEM- l)"TODO ES IGUAL A SI MISMO", SIGNIFICA QUE: DADA CUALQUIER COSA, ESTA ES IGUAL A SI MISMA PARA TODA x. x;.x i .e.. ~X (x = x) 2) "HAY UNA LANZA QUE PERFORA A TODOS LOS ESCUDOS", SIGNIFICA: EXISTE X TAL QUE X ES UNA LANZA y X PERFORA A TODOS LOS ESCUDOS. EXISTE X TAL QUE X ES UNA LANZA y PARA TODA Y, SI Y ES UN ESCUDO, ENTONCES X PERFORA A Y. 3 X (Lx ""'Y (Ey - Pxy)) 3) "HA Y UN ESCUDO AL CUAL NINGUNA LANZA PERFORA" , S IGN IFI CA: EXISTE X TAL QUE X ES UN ESCUDO y X NO ES PERFORADO POR NINGUNA LANZA. EXISTE X TAL QUE X ES UN ESCUDO y NINGUNA LANZA PERFORA A X. EXISTE X TAL QUE X ES UN ESCUDO y PARA TODA Y, SI Y ES UNA LANZA, ENTONCES Y NO PERFORA A X. 3 X (Ex ,. .. y. y (LX - rv Pyx)) 4) "SI UN PRODUCTO ES CERO, ENTONCES ALGUNO DE LOS FACTORES ES CERO" -CONSIDEREMOS EL CASO CUANDO SON DOS LOS FACTORES- PARA TODA X, PARA TODA Y, SI XY=O, ENTONCES X=O o Y=O V x 'tf y (xy = O - x = O v y = O) 76 5) "TODO LO QUE ES MENOR QUE TODO, ES MENOR QUE ALGO" PARA TODA X, SI X ES MENOR QUE TODO, ENTONCES X ES MENOR QUE ALGO. "X ES MENOR QUE TODO" SIGNIFICA QUE: PARA TODA Y, X< Y, i.e., V y ( X .c. y) "X ES MENOR QUE ALGO" SIGNIFICA QUE: EXISTE W TAL QUE X< W i .e., 3 w ( x < w) POR TANTO, V- x ( >.f y (x ,/- w (x < w)} 7) "El PAPA DE ROBERTO ES ,.-,AS FUERTE QUE EL PAPA DE CUALQUIER AMIGO DE ROBERTO" PARA TODA X, Y, Z, SI X ES EL PAPA DE ROBERTO y Y ES EL AMIGO DE ROBERTO y Z ES EL PAPA DEL AMIGO DE ROBERTO, ENTONCES X ES MAS FUERTE QUE z. ~ x .Y. y V z (Pxr" Ayr "Pzy - Fxz) 77 8) "EL NUMERO DE PRIMOS ES INFINITO (O NO HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO) PRIMERO ANALICEMOS " HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO", SIGNIFICA QUE: EXISTE Al MENOS UN NUMERO TAL QUE ES PRIMO Y MAXIMO, i .e., El.¡y ( Py - X :¡:..y) POR TANTO, "HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO" SE SIMBOLIZA COMO: 3 X (Px " .>f y (Py - x ~y)) PERO NUESTRA FRASE INICIAL INCLUYE UNA NEGACION: "NO HAY UN NUMERO PRIMO MAXIMO", POR TANTO, SE SIMBOLIZA COMO: ~ 3 x (Px ">,/-y (Py - x :¡:..y)) QUE ES EQUIVALENTE A: V x ( .v Px v 3 y (Py" rv (x '11:- y))) QUE ES EQUIVALENTE A: >fx [Px - 3 y (Py"' ~ (x::,. y))] 9) "TODO NUMERO PAR MAYOR QUE DOS, ES LA SUMA DE DOS PRIMOS" (CONJETURA DE GOLOBACH). PARA TODA X, SI X ES UN HUMERO PAR MAYOR QUE DOS, ENTONCES X ES IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS. PARA TODA X, ·SI X ES PAR y X ES MAYOR QUE DOS, ENTONCES X ES -- IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS. "X ES PAR" SIGNIFICA QUE: EXISTE UN NUMERO W TAL QUE X = 2W i.e., 3 w ( x = 2w) "X ES IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS", SIGNIFICA QUE: EXISTEN Y, Z PRIMOS TALES QUE X= Y+ Z, i.e., 3 y 3 z (Py ,.. Pz ,.. x = y + z) POR TANTO, V x ( 3 w ( x=Zw) ,.. x > 2 - 3 y 3 z ( Py" Pz ..-.. x=y+z)} ·10) "X ES NUMERO PRIMO" 78 POR DEFINICION, UN NUMERO PRIMO ES DIFERENTE DE l Y TIENE SOLO DOS DIVISORES: LA UNIDAD Y EL MISMO. POR TANTO, "X ES NUMERO PRIMO", ES EQUIVALENTE A: X.~ l y TODO DIVISOR DE X ES lo X PERO "TODO DIVISOR DE X ES lo X", EQUIVALE A: PARA TODA Y, SI Y ES DIVISOR DE X, ENTONCES Y ES IGUAL Al o Y ES IGUAL A X, i .e., ~y (y ES DIVISOR DE x - y = l v y = x) POR·OTRO LADO, "Y ES DIVISOR DE X", SIGNIFICA QUE: EXISTE UN NUMERO W TAL QUE X = YW i.e., 3 w (x = yw) POR TANTO, x 'I l ,.. '>.rl- y ( 3 w (x = yw) - y = l v y x) 11) "TODO PRIMO DISTINTO DE DOS ES IMPAR" PARA TODA X, SI X ES PRIMO y X ES DISTINTO D[ DOS, ENTONCES X ES' IMPAR. YA SE CONOCE LA SIMBOLIZACION DE "X ES PRIMO" y DE "X ES DISTI!! TO DE DOS", SOLO RESTA SIMBOLIZAR "X ES IMPAR", QUE SIGNIFICA: EXISTE UN NUMERO Z TAL QUE X= ZZ + 1, i.e., 3 z ( .x = Zz + l) POR TANTO,. litf x (x'll ,..l,/y (3 W (x=yw) -y=l V y=x) A x'IZ -3 Z (x=Zz+l)] 79 12) "TODO MULTIPLO DE TRES Y CINCO ES MAYOR QUE TODO NUMERO MENOR QUE DIEZ" PARA TODA X, SI. X ES MULTIPLO DE TRES Y CINCO, ENTONCES X ES MAYOR - QUE TODO NUMERO MENOR QUE DIEZ.· ANALIZANDO, "X ES MULTIPLO DE TRES Y CINCO", SIGNIFICA QUE: "X ES MULTIPLO DE TRES y X ES MULTIPLO DE CINCO", PERO "X ES MULTIPLO DE TRES", SIGNIFICA QUE: EXISTE Y TAL QUE X = 3Y , i.e., 3 y (x = 3y) ANALOGAMENTE, "X ES MULTIPLO DE CINCO" 3 z ( x = Sz) AHORA, "X ES MAYOR QUE TODO NUMERO MENOR QUE DIEZ", SIGNIFICA QUE: PARA TODA W, SI W ES UN NUMERO MENOR QUE DIEZ, ENTONCES X ES MAYOR QUE W i.e.. "'f w ( w > 10 - x > w) POR TANTO, ~ x [ 3 y (x=3y)"' 3 z (x=Sz) - >.,/- w (w <. 10 - x > w)] 13) "HAY UN UNICO NEUTRO MULTIPLICATIVO" EXISTE X TAL QUE X ES NEUTRO MULTIPLICATIVO y PARA CUALQUIER OTRO NEUTRO MUL~IPLICATIVO, ENTONCES SON IGUALES EXISTE X TAL QUE X ES NEUTRO MULTIPLICATIVO y PARA TODA Y, SI Y ES NEUTRO MULTIPLICATIVO, ENTONCES Y = X "X ES NEUTRO MULTIPLICATIVO", SIGNIFICA QUE: PARA TODA Z, ZX = Z i. e., V z < zx = · z > ANALOGAMENTE, "Y ES NEUTRO MULTIPLICATIVO" l,/- w ( wy = w) POR TANTO, 3. x ( ,,,¡. z (zx = z) A,,,,¡. y ( Y. w {wy = w - y = x)] existencia unicidad . 80 . "HAY UN UNICO OBJETO CON LA PROPIEDAD P" CONSIDERANDO EL EJEMPLO. ANTERIOR, LA SIMBOLIZACION ES: 3x (xes Pa my (y es Po y=x)) 15). “HAY UN CUADRADO TAL QUE ES EL DOBLE DE ALGUN. CUADRADO" EXISTE X TAL QUE X ES UN CUADRADO y X ES EL DOBLE DE ALGUN CUADRA= DO. "X ES UN CUADRADO", SIGNIFICA QUE: EXISTE UN NUMERO Y TAL QUE x= vt, ie, 3y(x=y?) "X ES EL DOBLE DE ALGUN CUADRADO", SIGNIFICA QUE: EXISTE OTRO CUA- DRADO Z TAL QUE X= 2Z, i.e., (3z(x=22) PERO, "OTRO CUADRADO Z",- SIGNIFICA QUE: EXISTE W TAL QUE Z= y? i.e., Jw(z = 2) POR TANTO, o 3x[3y (x= y?) a(3z (x= 22))] ¿PERO Z = W2, ENTONCES: C3x[3Iy (x= Y a dz a a (a > 22 a z=w2)] 16) "TODO ENTERO NO DIVISIBLE POR PRIMOS MENORES QUE SU RAIZ CUADRA | DA, ES PRIMO" PARA -TODA X, SI X ES ENTERO. NO DIVISIBLE POR PRIMOS MENORES QUE su RAIZ CUADRADA, ENTONCES X ES PRIMO. PARA TODA X, SI X ES ENTERO y PARA TODA Y, SI Y ES PRIMO y Y ES ME- NOR QUE LA RAIZ CUADRADA DE X ENTÓNCES X NO ES DIVISIBLE POR Y; ENTONCES X ES PRIMO. SOLO FALTA SIMBOLIZAR “X NO ES DIVISIBLE POR Y", QUE SIGNIFICA: NO EXISTE W TAL: QUE X= Wo de. 0 (a y) POR TANTO, Y x [ExaWy (Py a y tJ- y es - = x)) 5) " Y DRADO L E S BLE E LGUN.C RADO" 0 I TE TAL E S RADO S EL BLE E UN ADRA- DO. ES DRADO", I I UE: I TE N ERO L E X= Y2, .e., y ( x = y2) . S BLE E UN DRADO", I I UE: I TE RO A-. O DO L E = , ., Z ( X = 2z) RO, " TRO RADO Z", GNIFICA QUE: I TE L E ,; w2· ., 3 w ( z w2) POR NTO, x [ 3 y = 2) ,.. ( 3 z = z )] , PERO w2, TONCES: x [ 3 y ( = y 2 ) ,.. 3z 3 w (x = 2z ,... z = w2)] ) O ERO O I I I LE R I OS ENORES E SU IZ CUADR~ A, S I O" A ·T A , I S TERO. I I I LE R I OS ENORES UE SU IZ DRADA, NCES S I O. . A , SI S ERO A A , I S I O S E- R E IZ RADA E NCES NO S I I I LE R ; E S I O. l TA I BOLIZAR " O S I I i LE R ", QUE IFI A: ISTE L· E = YW , i.e. • N 3 w ( x = yw) R NTO, t.,/ X [Ex ,...Yy (Py,... ·Y ../ - ""'3 w ( wj) _ x] TA: sta aci6n s r adera · rit ética s oéida o I A E TOSTENES". . 81 17) "HAY UN UNICO INVERSO MULTIPLICATIVO" EXISTE X TAL QUE X ES INVERSO MULTIPLICATIVO y PARA TODA Y, SI Y ES INVERSO MULTIPLICATIVO, ENTONCES X = Y "X ES INVERSO MULTIPLICATIVO", SIGNIFICA QUE: PARA TODA Z, SI Z ES DIFE- RENTE DE CERO, ENTONCES ZX = 1, i . e. , 'f z ( z¡!O -- zx= 1) ANALOGAMENTE, "Y ES INVERSO MULTIPLICATIVO", "fw {w¡!O - wy=l) POR TANTO, 3 x ["ti- z {z¡IO ~zx=l)" ~Y ( \fw (w¡!O -wy=l) - x =y)] existencia unicidad 18) "TODO ENTERO NO PRIMO ES DIVISIBLE POR ALGUN PRIMO MENOR QUE SU RAIZ CUADRADA" PARA TODA X, SI X ES ENTERO NO PRIMO, ENTONCES X ES DIVISIBLE POR ALGUN PRIMO MENOR QUE LA RAIZ CUADRADA DE X PARA TODA X, SI X ES ENTERO Y X ES NO PRIMO, ENTONCES EXISTE ALGUN Y TAL QUE Y ES PRIMO y Y ES MENOR QUE LA RAIZ CUADRADA DE X y ADEMAS X - ES DIVISIBLE POR Y. FALTA SIMBOLIZAR "X ES DIVISIBLE POR Y", SIGNIFICA QUE: EXISTE ALGUN W TAL QUE X = YW, i .e., 3 w ( x = yw) POR l:ANTO, ,,,¡. x [Ex" NPx - 3 y (Py "' y< .[X),,.., 3 w (x = yw)] 82 19) "SI UN PRIMO DIVIDE A UN PRODUCTO, DIVIDE A UNO DE LOS FACTORES" -CONSIDEREMOS QUE EL PRODUCTO ESTE FORMADO POR DOS -FACTORES- PARA TODA X, SI X ES PRIMO y X DIVIDE A UN PRODUCTO, ENTONCES X Dl VIDE A UNO DE LOS FACTORES. "X DIVIDE A UN PRODUCTO", SIGNIFICA QUE: EXISTEN Y, Z TAL QUE YZ ES UN PRODUCTO y EXISTE w TAL QUE yz = xw • i.e. 3 y 3 z ( 3 w (yz = xw)) "X DIVIDE A UNO DE LOS FACTORES", SIGNIFICA QUE: X DIVIDE A Y o X DIVIDE A z. PERO "X DIVIDE A Y", SIGNIFICA QUE: EXISTE R _TAL.QUE Y = XR, i .e., 3 r ( y = xr) ANALOGAMENTE, "X DIVIDE A Z", .3 s ( z = xs) POR TANTO, ""° x [ Px ,.3y 3 z (.3 w (yz = xw)) -3 r (y= xr) v 3 s (z = xs)] 20) "HAY EXACTAMENTE bos ELEMENTOS CON LA PROPIEDAD P" EXISTEN X, Y TAL QUE X y Y SON DOS ELEMENTOS DIFERENTES CON LA PROPIEDAD P y PARA TODO Z, SI Z ES ELEMENTO CON LA PROPIEDAD P, ENTONCES ZsX o Z=Y POR TANTO, 3 x 3 y [ x .es P ..... y es P :..,, xf' y ""'~ z ( z es P - z=x v z=y)] 21) "DOS COSAS. IGUALES A UNA TERCERA, SON IGUALES ENTRE SI" DADAS CUALESQUIERA DOS COSAS X, Y, SI ESTAS SON IGUALES A CUALQUIER OTRA COSA, ENTONCES LAS PRIMERAS DOS COSAS SON IGUALES. Y x Y.y Ji z (x = z ... y = z - x = y) 83 22) "SI DOS CONJUNTOS TIENEN LOS MISMOS ELEMENTOS, ENTONCES SON IGUALES" PARA TODO CONJUNTOS X, Y, SI X, Y TIENEN LOS MISMOS ELEMENTOS, ENTONCES X, Y SON IGUALES "X, Y TIENEN LOS MISMOS ELEMENTOS", SIGNIFICA QUE: PARA TODO ELEMENTO z, SI z ESTA EN EL CONJUNTO X, ENTONCES z ESTA EN EL CONJUNTO Y, y SI z ESTA EN EL CONJUNTO Y, ENTONCES z ESTA EN EL CONJUNTO X, i. e., Ji¡f z [ ( z "- X - z E Y) ,.. ( z E Y - z E X)] , LO QUE ES EQUIVALENTE A POR TANTO, ~ z (z e X --- z E Y) ~X Ji/ Y [V- z (z .._X - z €: Y) - X = Y] EN ESTE CASO, PUEDE HACERSE NOTAR QUE EL CUANTIFICADOR ,.,,. Z DEBE OCURRIR DENTRO DE LOS PARENTESIS RECTANGULARES, YA QUE DE OTRO MODO, LA EXPRESION: Y. X -V Y -..t- Z [ (Z E. X - Z E Y) - X = Y] NO SIMBOLIZA QUE "SI DOS CONJUNTOS TIENEN LOS MISMOS ELEMENTOS, ENTONCES SON IGUALES"~ UN CONTRAEJEMPLO ES: X=ja,b} Y=fa,c\ z =fa) CON EL CUAL, SI (*) FUESE VERDADERO PARA LOS CONJUNTOS·, YA QUE a e: X - a E. Y, SE TE~DRIA QUE {a, b! = ͪ• e~ iCONTRADIC- CION ! . 111 DEMOSTRACIONES 84 D E M O S T R A C 1 O N E S 3. l DEMOSTRACIONES DIRECTAS VAGAMENTE .HABLANDO, UNA DEMOSTRACION ES CUALQUIER ARGUMENTO QUE SIB VA PARA CONVENCER A CUALQUIERA DE LA VALIDEZ DE UNA PROPOSICION, HAY DOS TIPOS DE DEMOSTRACIONES: LAS OIRECTAS Y LAS INDIRECTAS. LA DEMOSTRACION DIRECTA O OEDUCCCION DE UNA PROPOSICION P, CONSISTE EN UNA SUCESION DE PASOS P1 , P2, ••• , Pn , DONDE Pn ES P Y. PARA CADA i= 1, 2, •••• n • pi ES UN RESULTADO c.ONOCIDO, i.e.. CUYA VALIDEZ SE HA PROBADO ANTES O ES UNA CONSECUENCIA INMEDIATA DE UNA O VARIAS OE LAS PROPOSICIONES ANTERIORES. CADA PASO DE LA DEOUCCION DEBE IR ACOMPARADO DE UNA JUSTIFICACION. EJEMPLOS: A) x2 + Y2 ~ 2XY 1) (X - Y) 2 ~ O 2) {X - Y) 2 = X2 + 2X(-Y) + (-Y) 2 3) (X - Y) 2 = X2 - 2XY + Y2 4) x2 - 2XY + Y2 ~ O 5) x2 + Y2 ~ 2XY (CUALQ. ,NUM. ELEVADO AL CUADRA DO ES MAYOR O IGUAL QUE CEROj (TEOREMA CONOCIDO} (EFECTUANDO OPERACIONES EN 2) (1 y 3) (SUMANDO 2XY A AMBOS MIEMBROS EN 4) 85 8} LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES 180° A ll x + ..f. +y = 180º 2) (';(_ = x 3) ~ =y 4) ;;¡_ + ; + i 180º e ANGULO LLANO ALTERNOS INTERNOS ALTERNOS INTERNOS (l. 2 y 3) C) DEDUCIR "°" R DE LAS PREMISAS DADAS 1) "'PvQ 2) t'V Q 3) R __. p /.·. "' R 4) "' p TP 1,2 5) "' R TT 3,4 86 D) SI P ES. UN NUMERO PAR, ENTONCES P2 ES PAR. 1) P = 2n (DEFINICION DE NUMERO PAR, PARA ALGUNA n) 2) p2 = (2n)2 . (OBVIO) 3) (2n)2 = 4 n2 (ELEVANDO AL CUADRADO) 4) 4 n2 = 2 (2 n2) (FACTORIZANDO) 5) P2 = 2m (2, 3, 4 DONDE m ;, 2 n2) 3.2 DEMOSTRACIONES INDIRECTAS LAS DEMOSTRACIONES INDIRECTAS MAS EMPLEADAS EN MATEMATICAS SON: DEMOSTRACION POR CASOS, DEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA Y DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO. 3.2.1 DEMOSTRACION POR CASOS EL METODO DE DEMOSTRACION POR CASOS CONSISTE EN LO SIGUIENTE: .SI SE DESEA DEMOSTRAR UNA PROPOSICION P, BASTA DEMOSTRAR n COND.ICIONALES DE LAS FORMAS: SI P¡ ENTONCES p SI P2 ENTONCES p .. SI Pn ENTONCES p • TALES QUE LA DISYUNCION P1 V P2 V •••• v P 0 SEA VALIDA. 87 EJEMPLOS: A) DEMOSTRAR QUE ( -1 )º + 1 ~ O, n ENTERO. POR SER n ENTERO, ENTONCES n PUEDE SER CERO, PAR o IMPAR. POR TANTO, SI . n ES CERO, ENTONCES (-1)" + 1 ~ O SI n ES PAR, ENTONCES (-1)" + 1 ~ O SI n ES IMPAR, ENTONCES (-1)" + 1 ~ O SUPONGAMOS QUE n ES CERO, ENTONCES (-1)" + 1 (-1)º + 1 = 1 + 1 = 2 ~ o SUPONGAMOS QUE n ES PAR, ENTONCES n = 2k, PARA ALGUN ENTERO k POR TANTO, (-1)" + 1 = (-1) 2k + 1 = (-1)(-1)·····(-l) + 1 = +l + 1 = 2 ~ o '----- 2k veces __.. (NUMERO PAR DE VECES) SUPONGAMOS QUE n ES IMPAR, ENTONCES n = 2k + 1, PARA ALGUN ENTERO k POR TANTO, (-1)" + 1 = (-1)2k+l + 1 = (-1)(-1)·····(-l) + 1 = -1 + 1 =o~ o '-- 2k+l veces ----1 B) DEMOSTRAR QUE P v rv P ES SIEMPRE VERDADERA, DONDE P ES UNA PROPOSICION.CUALQUIERA. POR SER P UNA PROPOSICION, TIENE DOS POSIBLES VALORES DE VERDAD, A SABER: VERDADERA o FALSA. ES DECIR, SE TIENEN DOS CASOS. SI P ES VERDADERA, ENTONCES rv P ES FALSA Y POR LO TANTO LA DISYU!! CION P v ,v P. ES VERDADEf!A~ ... SI P ES FALSA, ENTONCES "-J P ES VERDADERA Y POR LO TANTO LA DI~ YUNCION .p v N P ES VERDADERA. 88 C) DAR VALORES DE VERDAD DE TAL MANERA QUE LA CONDICIONAL N P v Q - R SEA VERDADERA, DONDE P, Q, R. SON PROPOSICIONES CUALESQUIERA. UNA CONDICIONAL ES VERDADERA EN TRES CASOS: . 1 º) CUANDO EL' ANTECEDENTE Y .EL CONSECUENTE SON VERDADEROS 2°) CUANDO EL ANTECEDENTE ES FALSO Y EL CONSECUENTE ES VERDADERO ·3°) CUANDO EL ANTECEDENTE Y EL CONSECUENTE SON FALSOS VEAMOS CASO POR CASO: l~) SI EL ANTECEDENTE ES VERDADERO, SIGNIFIGA QUE N P v Q ES VERDA- DERO. ESTE A SU VEZ CONSTA DE 3 CASOS, A SABER: N P ES VERDADERO Y Q ES VERDADERA; POR TANTO; P ES FALSO Y Q ~ VERDADERA. "' P ES FALSO Y Q ES VERDADERA, POR TANTO, P ES VERDADERA Y Q - VERDADEIJA. "'·PES VERDADERA Y Q ES FALSA, POR TANTO, PES FALSA Y Q ES -- FALSA •. ADEMAS, EL CONSECUENTE R ES VERDADERO •. RESUMIENDO ESTOS VALORES EN UNA PEQUERAS TABLAS, SE TIENE: # tF itF p . R p Q .Q R . 2º) SI EL ANTECEDENTE ES FALSO, SIGNIFICA QUE N P v Q ES FALSO, LO . QUE IMPLICA QUE AMBAS COMPONENTES SON FALSAS. ES DECIR, N P 'ESº FALSA Y Q ES FALSA, POR TANTO,. PES VERDADE- RA Y Q ES FAl,.SA. ADEMAS, EL CONSECUENTE R ES VERDADERO. RESUMIENDO EN UNA TABLA LOS VALORES OBTENIDOS, SE TIENE: :¡+ 89 3°) CUANDO EL ANTECEDENTE ES FALSO, RESULTA POR EL 2º CASO QUE P ES VERDADERA Y Q ES FALSA. ADEMAS, EL CONSECUENTE R ES FALSO. RESUMIENDO LOS VALORES EN UNA TABLA: * r 1 ~ ··-:.·· POR TANTO, TODAS ESAS ASIGNACIONES DE VALORES DADASºA LAS PROPOSICIQ NES P, Q, R HACEN VERDADERA A: rv P v Q - R 3.2.2 DEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA LA DEMOSTRACION POR CONTRAPOSITIVA SE BASA EN EL HECHO DE.QUE SI SE QUIERE DEMOSTRAR UNA PROPOSICION DE LA FORMA "SI P ENTONCES Q", DEMO~ TREMOS "SI NO Q ENTONCES NO P ". ES DECIR, SUPONEMOS LA NEGACION DEL CONSECUENTE Y LLEGUEMOS A LA NE- GACION DEL ANTECEDENTE. PARA ILUSTRAR ESTE METODO, DEMOSTREMOS ~O QUE SE PIDE EN LOS SIGUIE~ TES EJEMPLOS: A) SI P2 ES UN NUMERO PAR, ENTONCES P ES PAR (D = Z) SUPONGAMOS QUE P NO ES PAR, ENTONCES P = 2k + 1, PARA ALGUN ENTERO k. POR TANTO, P2 '" (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 ( 2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1, DONDE m = 2k2 + 2~. POR LO TANTO, P2 NO ES PAR •. 90 B) SI x2 + 7X + 12 = O ENTONCES X 1 O SUPONGAMOS QUE X = O , SUSTITUYENDO EL VALOR EN LA ECUACION, SE - TIENE: x2 + 1x + 12 = (o) 2 + 1(0) + 12 = o + o + 12 = 12 r o VEAMOS EL SIGUIENTE ARGUMENTO: C) SI UNA FRACCION ES IRREDUCIBLE, ENTONCES NO TIENE DIVISORES SI UNA FRA~CION ES REDUCIBLE, ENTONCES TIENE DIVISORES POR TANTO, SI UNA FRACCION ES REDUCIBLE, ENTONCES NO ES IRREDU- CIBLE. SIMBOLIZANDO, SE TIENE: 1) I -- ,..., D 2) R - D / ••• R - .-v I 3) NEGACION DEL CONSECUENTE 4) ND PP 1,3 5) NR TT 2,4 (NEGACION DEL ANTECEDENTE) D) SEAN A, B NUMEROS REALES CUALESQUIERA SI A~B = O ENTONCES A = O o B = O SUPONGAMOS LA NEGACION DEL CONSECUENTE, i. e., ,..., (A=O o B=O), ES EQUIVALENTE A: A I O y B I O, POR TANTO, EL PRODUCTO DE DOS NUMEROS REALES DISTINTOS DE CERO, ES DISTINTO DE CERO. ES DECIR, A·B I O 91 3 .2.3 DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO (RAA) EL METODO DE R.A.A. CONSISTE EN SUPONER LO CONTRARIO DE LO QUE SE QUIERE DEMOSTRAR Y DEDUCIR UNA CONTRADICCION, ESTO ES, UN PAR DE PROPOSI- CIONES CONTRADICTORIAS ( Q y NO Q ). EJEMPLOS: A) DEMOSTRAR QUE .JT ES UN NUMERO IRRACIONAL. SUPONGAMOS LO CONTRARIO, ES.DECIR, QUE~ ES UN NUMERO RACIONAL, LO QUE SIGNIFICA QUE ES DE LA FORMA W , DONDE m y n SON NUMEROS - ENTEROS Y ADEMAS NO TIENEN DIVISORES COMUNES; ES DECIR, LA FRACCION ES 1 RREDUCIBLE. TA: POR TANTO, ~ = ....!!!_ , ELEVANDO AL CUADRADO AMBOS MIEMBROS, RESUb n 2 2 = __!!!__ n2 DESPEJANDO, m2 = 2 n2 , POR TANTO, m2 ES PAR, LO QUE IMPLICA QUE m ES PAR (ANTERIORMENTE DEMOSTRADO). COMO . m ES PAR, ENTONCES ES DE LA FORMA m = 2k, PARA ALGUN -- ENTERO k, POR TANTO, SUSTITUYENDO EL VALOR DE m EN" m2 = 2 n2, SE TIENE: (2 k )2 = 2 n2 , EFECTUANDO OPERACIONES Y DESPEJANDO, n2 = --1.JC 2 POR TANTO, n2 ES PAR, LO QUE IMPLICA QUE n ES PAR. RESUMIENDO, m ES PAR y n ES PAR, IMPLICA QUE TIENEN AL NUME- RO 2 COMO DIVISOR COMUN, LO QUE CONTRADICE EL HECHO DE QUE m Y n NO TIENEN DIVISORES COMUNES. POR TANTO, LO QUE SE HABIA SUPUESTO NO ES CO- RRECTO Y DE AQUI QUE ~ ES UN NUMERO IRRACIONAL. 92 B) EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS PRIMOS ES INFINITO. SUPONGAMOS QUE NO, ES DECIR, QUE HAY UN NUMERO FINITO DE NUMEROS·-- PRIMOS Y SEA P EL MAYOR NUMERO PRIMO; ENTONCES , EL PRODUCTO P1· P2·····• P DONDE CADA P; ES PRIMO, ES DIVISIBLE POR CADA -- UNO DE LOS FACTORES P1, P2, P CONSIDEREMOS EL NUMERO FORMADO POR Q = P¡· P2· • • P + 1 POR TANTO, Q NO ES DIVISIBLE POR NINGUNO DE LOS FACTORES P;• NI POR P, YA QUE QUEDA SIEMPRE RESIDUO l; POR TANTO, Q ES UN NUMERO PRIMO O ES DIVISIBLE POR ALGUN NUMERO PRIMO MAYOR QUE P. SI Q ES UN NUMERO PRIMO, ENTONCES POR SER Q > P, P No· ES EL MA- YOR NUMERO PRIMO. SI Q ES DIVISIBLE POR ALGUN NUMERO PRIMO MAYOR QUE P, ENTONCES P NO ES EL MAYOR NUMERO PRIMO. LA CONTRADICCION ESTA EN EL HECHO DE QUE SE HABIA SUPUESTO QUE P ERA EL MAYOR NUMERO PRIMO Y SE MOSTRO QUE SE ENCONTRO OTRO PRIMO MAYOR QUE P. VEAMOS EL SIGUIENTE ARGUMENTO: C) SI EL ANGULO ALFA ES IGUAL AL ANGULO BETA, ENTONCES EL ANGULO BETA ES IGUAL A 45° SI EL ANGULO BETA ES IGUAL A 45°, ENTONCES EL ANGULO THETA ES IGUAL A 90º EL ANGULO THETA NO ES RECTO POR TANTO, EL ANGULO ALFA NO ES IGUAL AL ANGULO BETA. SIMBOLIZANDO, TENEMOS: 1) o( = fi --- j3 = 45° 2) /3 = 45° --... {} = 90° 3) & -f. 90° / :. o( -f. j3 4) O(= .f3 5) ¡9 = 45° 6) {} = 90° 7) B -t- 90º"" B = 90º 8) O( -f. J3 D) NEGACION DE LA CONCLUSION pp 1,4 pp 2,5. ADJUNCION 3,6 (CONTRADICCION) R.A.A. 4, ... ,7 93 1) SI JUAN JUEGA COMO PRIMERA BASE y PEDRO JUEGA COMO LANZADOR co~ TRA NOSOTROS, ENTONCES EL "PUMAS" GANARA. 2) O EL "PUMAS NO GANARA O EL EQUIPO TERMINARA A LA CABEZA DE LA CLASIFICACION. 3) EL EQUIPO NO TERMINARA A LA CABEZA DE LA CLASIFICACION. 4) ADEMAS, JUAN JUGARA COMO PRIMERA BASE. POR TANTO, PEDRO NO LANZARA CONTRA NOSOTROS. S 1 MBQLI ZANDO: 1) J "p - 2) "1GVT 3) "'"'T 4) J /.:. rv P 5) p 6) ...,G 7) "'(J,... P) 8) ru J ·v ~ P 9) '""p 10) p,... rvP 11) p· G NEGACION DE LA CONCLUSION TP 2,3 TT 1,6 LM 7 TP 4,8 ADJ 5,9 R.A.A. 5, .•. ,10 OBSERVACION: BASTA ENCONTRAR UNA CONTRADICCION, YA QUE EN ALGUNOS CA-- COS HAY MAS DE UNA. 94 E J E R c I c I o s DEMOSTRAR DIRECTA O INDIRECTAMENTE 1) SI A = b o B = O ENTONCES A·B = O · (D = R) 2) SI X (X - 4) = O ENTONCES X = O o X = 4 3) ( -1 J" = 1 o -1 (n ES UN NUMERO ENTERO) 4) X = 2 o X -2 SI x2 - 4 = O 5) SI X > Y y Z ES CUALQUIER NUMERO REAL, ENTONCES X+Z > Y+Z 6) SI JULIO ELIGE A TOMAS COMO DIRECTOR DE LA CAMPA~A ELECTORAL ENTONCES GANARA LAS ELECCIONES. SI JULIO NO GANA LAS ELECCIONES, ENTONCES CONTINUARA COMO -- EDITOR DEL PERIODICO. SI CONTINUA COMO EDITOR DEL PERIODICO, ENTONCES PABLO SERA EL EDITOR ASOCIADO. POR TANTO, O PABLO SERA EL EDITOR ASOCIADO O JULIO NO ELIGE A TOMAS COMO DIRECTOR DE SU CAMPARA ELECTORAL. 7) N (P A Q) .vR-Q l'VP-R /:. R 8) IV R V l'V B T V S .,---. R B VtVS ,..,T !:. IV (T V S) A P EN.OIC ES 95 •. APENDICE A: H E U R I S T I C A LA HEURISTICA TENIA POR OBJETO El ESTUDIO DE LAS REGLAS Y DE LOS METODOS DEL DESCUBRIMIENTO Y DE LA INVENCION. LA HEURISTICA MODERNA TRATA DE COMPRENDER EL METODO QUE CONDUCE A LA SOLUCION DE PROBLEMAS, EN PARTICULAR LA3 OPERACIONES MENTALES TIPICA-- MENTE UTILES EN ESTE PROCESO. LA BASE SOBRE lA CUAL SE CONSTRUYE LA HEU- RISTICA ES LA EXPERIENCIA QUE RESULTA A LA VEZ DE LA SOLUCION DE LOS PRO- BLEMAS Y DE LA OBSERVACION DE LOS METOOOS QUE EMPLEA El INDIVIDUO. SEGUN PAPPUS*, LA HEURISTICA: "ENSEflA LOS METODOS DE ANALISIS Y SINTESIS". "EN ANALISIS, PARTIENDO DE LO QUE ES REQUERIDO, LO CONSIDERAMOS COMO ADMITIDO, SACAMOS LAS CONSECUENCIAS, DESPUES LAS CONSECUENCIAS DE - DICHAS CONSECUENCIAS, HASTA LLEGAR A UN PUNTO QUE PODAMOS UTILIZAR COMO PUNTO DE PARTIDA PARA UNA SINTESIS. PUES EN ANALISIS ADMITIMOS, COMO YA HECHO, LO QUE NOS PIDEN- QUE HAGAMOS, COMO ENCONTRADO LO QUE BUSCAMOS, COMO VERDADERO LO QUE HAY QUE DEMOSTRAR. BUSCAMOS DE QUE ANTECEDENTE SE PODRIA DEDUCIR EL RESULTADO DESEADO; DESPUES BUSCAMOS CUAL PODRIA SER EL ANTECEDENTE DE ESTE ANTECEDENTE, Y ASI SUCESIVAMENTE, HASTA QUE PASANDO DE UN ANTECEDENTE A OTRO, ENCONTREMOS FINALMENTE ALGUNA COSA CONOCIDA O ADMITIDA.COMO CIERTA. DICHO PROCESO LO LLAMAMOS ANALISIS, SOLUCIDN HACIA ATRAS O RAZONAMIENTO REGRESIVO. EN LA SJNTESIS, POR EL CONTRARIO, INVIRTIENDO EL PROCESO, PARTI- MOS DEL ULTIMO PUNTO ALCANZADO EN EL ANALISIS, DEL ELEMENTO YA CONOC.IDO * POLYA, G. "COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS", EDIT. TRILLAS, MEX.197B pp 133-134 96 O ADMITIDO COMO CIERTO. DEDUCIMOS LO QUE EN EL ANALISIS LE PRECEDIA Y - SEGUIMOS ASI HASTA QUE, VOLVIENDO SOBRE NUESTROS PASOS, LLEGAMOS FINAL- MENTE A LO QUE SE NOS PEDIA. DICHO PROCESO LO LLAMAMOS SINTESIS, SOLU- CION CONSTRUCTIVA O RAZONAMIENTO PROGRESIVO. HAY DOS TIPOS DE ANALISIS; EL PRIMERO ES ES EL ANALISIS DE LOS -PROBLEMAS DE DEMOSTRACION-, CUYO OBJETO ES· ESTABLECER TEOREMAS VERDADE- ROS; EL OTRO ES EL ANALISIS DE LOS -PROBLEMAS POR RESOLVER-, CUYO OBJETO ES DETERMINAR LA INCOGNITA. EN UN -PROBLEMA DE DEMOSTRACION-, SE NOS PIDE DEMOSTRAR O REFUTAR UN TEOREMA "A" CLARAMENTE ENUNCIADO. NO SABEMOS SI "A" ES VERDADERO ,O -- FALSO; PERO DE "A" DERIVAMOS OTRO TEOREMA "B'! LUEGO DE "B" OTRO TEOREMA "c'; Y ASI SUCESIVAMENTE HASTA LLEGAR A UN ULTIMO TEOREMA "L" YA CONOCIDO. SI "L" ES VERDADERO, "A" LO SERA IGUALMENTE, CON TAL DE QUE TODAS LAS DERIVACIONES SEAN REVERSIBLES. A PARTIR DE "L'! DEMOSTRAMOS "K" QUE PRECEDIA A "L" EN EL ANALISIS Y, ASI, REGRESANDO PASO A PASO, LLEGAMOS A DEMOSTRAR "B" PARTIENDO DE"¡;" Y, FINALMENTE, DEMOSTRAMOS "A" PARTIEN- DO DE "B'; ALCANZANDO NUESTRA META. POR LO DEMAS, SI "L" ES FALSO DEMOS-- TRAMOS QUE "A" ERA IGUALMENTE FALSO. EN UN -PROBLEMA POR RESOLVER-, SE NOS PIDE DETERMINAR UNA CIERTA INCOGNITA X QUE SATISFAGA UNA CONDICION CLARAMENTE ENUNCIADA. NO SABEMOS SI. DICHA CONDICION PU~DE SER SATISFECHA, PERO ADMITIENDO QUE UNA INCOG- NITA X SATISFACE.LA CONDICION IMPUESTA, PODEMOS DERIVAR OTRA INCOGNITA ! QUE DEBE SATISFACER UNA CONDICION RELACIONADA CON LA PRIMERA, OESPUES RELACIONAMOS ! CON UNA TERCERA INCOGNITA Y ASI SUCESIVAMENTE HASTA LLE- GAR A UNA ULTIMA INCOGNITA Z QUE PODEMOS DETERMINAR POR ALGUN METODO CO- NOCIDO. SI REALMENTE EXISTE UNA INCOGNITA Z QUE SATISFACE LA CONDICION IMPUESTA, IGUALMENTE EXISTIRA UNA INCOGNITA X QUE SATISFAGA LA CONDICION PRIMITIVA, CON TAL DE QUE TODAS LAS DERIVACIONES SEAN REVERSIBLES. DETER MINAMOS PRIMERO Z, DESPUES, CONOCIENDO Z, DETERMINAMOS LA INCOGNITA QUE PRECEDIA A ZEN EL ANALISIS; Y PROCEDIENDO ASI, PASO A PASO, LLEGAMOS A y, DE DONDE FINALMENTE DETERMINAMOS X LOGRANDO ASI LO PROPUESTO. 97 SI POR EL CONTRARIO, NADA SATISFACE LA CONDICION IMPUESTA A Z, EL PROBLE- MA RELATIVO A X NO TIENE SOLUCION". LOS PROBLEMAS.MÁTEMATICOS, SE PUEDEN CLASIFICAR EN: - PROBLEMAS DE "PROBAR" EJEMPLO: PROBLEMAS DE RESPUESTA SI-NO - PROBLEMAS DE "ENCONTRAR" EJEMPLO: HALLAR X TAL QUE X(X+A)=B2 EN LOS PROBLEMAS DE "PROBAR", LOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN E.L SON: HIPOTESIS (H), TESIS (T), CONDICION (H----. T), INCOGNITA:PROBAR. PARA EL PROCESO-SOLUCION DE ESTE TIPO DE PROBLEMAS, SE REQUIERE ENCONTRAR UN CAMINO (FORMAL), DE H HACIA T. EN LOS PROBLEMAS DE "ENCONTRAR", LOS ELEMENTOS CON QUE SE CUENTA SON: OAT~S ( dl' d2, .• , d 0 ); INCOGNITAS (x1, x2 , ... , xm). CONDICIONES SOBRE INCOGNITAS (c(x¡, •• xm)). SOLUCION: X = f(d¡' d2 •.•• ' dm) EL PROCESO-SOLUCION CONSISTE EN ENCONTRAR UN CAMINO DE LOS DATOS HACIA LA INCOGNITA, i .e., t d¡} - xj PROCEDIMIENTOS DE SOLUCION: A) POR PRODUCCION B) POR REDUCCION EJEMPLOS: A) POR PRODUCCION l) x (x + a) = b2 SI a = O ENTONCES x = ! b DATOS: a, b INCOGNITA: x SI a ~ O ENTONCES x (x + a) TIENE LAS MAGNITUDES DE UN RECTAN- GULO, QUE ES DIFERENTE DE UN CUADRADO bz· , POR TANTO, LA IDEA HEURISTICA ES: "ENCONTRAR DIFERENCIAS Y DISMI- NUIRLAS O SUPRIMIRLAS". 2) x2 + ax = b2 3) x 2 +ax+ (+) 2 = b 2 + (~ 4) (x ++)2 = b2 +(+)2 5) X + + = ! ~ b2 + (+)2 6) X=-+ ! ~b2 + (+)2 7) X=-+ ! J ª2 + 4 b2 -a±Ja2 +4b2 8) X = z OTRO EJEMPLO POR PRODUCCION DESARROLLANDO (1) AGREGANDO ( +) 2 A AMBOS MIEMBROS ( PRODUCCION .) FACTORIZANDO (3) · 98 EXTRAYENDO RAIZ CUADRADA (4) TRASPONIENDO TERMINOS (5) DESARROLLANDO EL CUADRADO (6) COMUN DENOMINADOR (7) LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES IGUAL A 180° ~- E ._ NUEVO OBJETO l) 2) PRODUCCION O CONSTRUCCION _fil!fil r ['\_ VISUALIZACION DE ANGULOS 3) ALREDEDOR DE P Y ANGULOS DENTRO DEL TRIANGULO. AHORA .UN EJEMPLO POR REOUCCION PROBLEMA DE LA TORRE DE HANOI PASAR LOS DISCOS EN EL ORDEN EN QUE SE ENCUENTRAN EN 1, AL 3, DIENOO USAR EL 2, Y NUNCA UN DISCO MAYOR SOBRE UNO MENOR. A . B l c 1 l 2 3 t 11 1 1 1) REDUCCION A TENER C HASTA ABAJO EN POSTE 3 -A-3 B-2 A-2 c-J 2) REPETIR OPERACION PARA B, EN LUGAR DE C (TENERLO EN POSTE 3 ARRIBA DE C). POR TANTO, SE TIENE: 99 PU- POR ULTIMO, SE TIENE QUE A - 3 Y SE TIENE LOS DISCOS COLOCADOS EN EL MISMO ORDEN QUE EN EL POSTE 1, PERO AHORA EN EL POSTE 3. 100 EN INNUMERABLES PROBLEMAS, SE TIENE INOBJETABLEMENTE QUE HACER LA PREGUNTA: ¿ CUAL ES LA INCOGNITA ?, O DE OTRA FORMA, ¿ QUE SE REQUIERE ?, ¿QUE ES LO QUE SE PIDE QUE SE ENCUENTRE ?, ¿ QUE QUIERO DETERMINAR?, l QUE ES LO QUE HAY .QUE DEMOSTRAR ?, ¿ QUE ES LO QUE HAY QUE MOSTRAR ?, ESTE PROPOSITO ES CON EL FIN DE LOGRAR FIJAR EN LA MENTE LA IDEA DE LO QUE SE PIDE COMO RESULTADO. AL TRATAR DE RESOLVER PROBLEMAS, HAY QUE OBSERVAR E IMITAR LO QUE OTRAS PERSONAS HACEN EN CASOS SEMEJANTES. ES DECIR, LA HABILIDAD PRACTICA SE ADQUIERE MEDIANTE LA IMITAC!ON Y LA PRACTICA. i LA PRAGTICA HACE AL MAESTRO!. LAS FASES POR LAS QUE ATRAVIEZA EL PROCESO DE "ATACAR" UN PROBLE- MA SON: PRIMERO COMPRENDER EL PROBLEMA; ES DECIR, VER CLARAMENTE LO QUE SE PIDE. SEGUNDO, CAPTAR LAS RELACIONES QUE EXISTEN ENTRE LOS DIVERSOS ELEMENTOS, VER LO QUE LIGA LA INCOGNITA CON LOS DATOS A FIN DE ENCONTRAR LA IDEA DE LA SOLUCION Y PODER TRAZAR UN PLAN. TERCERO, PONER EN EJECU- CION EL PLAN. Y POR ULTIMO, VOLVER ATRAS UNA VEZ ENCONTRADA LA SOLUCION, REVISARLA Y DISCUTIRLA. ES TONTO EL CONTESTAR A UNA PREGUNTA ~UE NO SE COMPRENDE. ES DEPLQ RABLE EL TRABAJAR PARA UN FIN QUE NO SE SABE CUAL ES. ANTE TQOO, EL E-- NUNCIADO VERBAL DEL PROBLEMA DEBE SER COMPRENDIDO; ES DECIR, SE DEBEN Sf PARAR LAS PRINCIPALES PARTES DEL PROBLEMA. LA HIPOTESIS Y LA CONCLUSION SON LAS PARTES PRINCIPALES DE UN -PROBLEMA POR DEMOSTRAR-; LA INCOGNITA, LOS DATOS Y LAS CONDICIONES SON LAS PRINCIPALES PARTES DE UN -PROBLEMA POR RESOLVER-. CONSIDERANDO EL PROBLEMA, SUBRAYEMOS LAS DIFERENTES PARTES, EXAMI- NEMOS LOS DIFERENTES DETALLES. DESCOMPONIENDO Y RECOMPONIENDO EL PROBLE- MA SON DOS MANERAS DE CONSIDERAR EL PROBLEMA. 101 SI CONSIDERAMOS EL P_ROBLEMA COMO UN TODO, QUIZAS LA IMPRESION NO SEA MUY PRECISA. SI LO CONSIDERAMOS POR PARTES POSIBLEMENTE UN DETALLE NOS LLAME LA ATENCION, DESPUES NOS CONCENTRAMOS SOBRE OTRO DETALLE Y MAS ._TARDE SOBRE OTRO Y ASI SUCESIVAMENTE. DIVERSAS COMBINACIONES DE DETALLES SE PUEDEN PRESENTAR Y AL CABO ÓE UN MOMENTO, MIRAMOS EL OBJETO COMO UN TODO, PERO DE UNA MANERA DIFERENTE. POR TANTO, SE HA DESCOMPUESTO EL TO- DO EN SUS DIVERSAS PARTES Y SE HA RECOMPUESTO EL TODO EN DICHAS PARTES MAS O MENOS DIFERENTE. ES IMPORTANTE CONSIDERAR EL ORDEN EN EL CUAL SE ABORDA EL PROBLEMA. NO DEBEMOS OMITIR NINGUN DETALLE, DEBEMOS COMPRENDER LA RELACIÓN QUE UNE A CADA UNO DE ELLOS CON EL CONJUNTO DEL PROBLEMA. NO ES CONVENIENTE EXA- MINAR LOS DETALLES SECUNDARIOS ANTES OE TENER LA SEGURIDAD EN CUANTO A LA EXACTITUD DEL RAZONAMIENTO GLOBAL. SI HAY ALGUNA FIGURA O "FORMA" RE- LACIONAOA CON EL PROBLEMA, DEBE ESCRIBIRSE Y DESTACAR EN ELLA LOS ELEME~ TOS. ES NECESARIO DAR NOMBRES A DICHOS ELEMENTOS, POR LO QUE ES CONVE-- NIENTE INTRODUCIR UNA SIMBOLOGIA ADECUADA, PONIENDO CUIDADO EN LA APRO- PIADA ELECCION OE LOS SIGNOS. EL ORDEN OE LOS SIGNOS Y LAS RELACIONES ENTRE ELLOS DEBEN SUGERIR EL ORDEN Y LAS RELACIONES DE LOS OBJETOS A LOS QUE CORRESPONDEN •. ANTE TODO, LOS SIMBOLOS NO DEBEN SER AMBIGUOS. ES INAQ MISIBLE QUE UN MISMO SIMBOLO DESIGNE DOS OBJETOS DIFERENTES A LA VEZ EN UN MISMO PROBLEMA. LOS SIGNOS DEBEN SER FACILES DE RECORDAR, CADA UNO DE ELLOS DEBE RECORDARNOS AL OBJETO CORRESPONDIENTE. LOS ·SIGNOS MAS FACILES DE RECORDAR SON LAS INICIALES OE LOS NOMBRES DE LOS OBJETOS. AL ABORDAR UN PROBLEMA CON FRECUENCIA SE OBSERVA QUE ESTE TIENE - CIERTA RELACION CON OTRO QUE YA HA SIDO RESUELTO ANTERIORMENTE, POR LO QUE CABE HACERSE LA SIGUIENTE PREGUNTA: ¿ EXISTE ALGUN PROBLEMA RELACIO- NADO ? O l HE RESUELTO ALGUN OTRO PROBLEMA PARECIDO ?. POR LO GENERAL, EN MAS DE ALGUNA OCASION HEMOS TOPAOO CON PROBLEMAS QUE ESTAN ESTRECHA- MENTE RELACIONADOS CON EL HUESTRO, O AL MENOS DEBEN TERNER CIERTOS PUN- TOS EN COMUN. 102 RESPECTO A LAS PREGUNTAS ANTERIORES, POSIBLEMENTE NO NOS LLEVEN A PROVOCAR EL ENCADENAMIENTO· CORRECTO DE LAS IDEAS, POR TANTO NOS HACE FAL- TA BUSCAR OTRO PUNTO DE CONTACTO. DEBEMOS CAMBIAR, TRANSFORMAR O MODIFI- CAR EL PROBLEMA; ES DECIR, ¿ PUEDE ENUNCIARSE EL PROBLEMA DE MANERA DIFE- RENTE?. CIERTAS CUESTIONES NOS PROPORCIONAN ELEMENTOS PARA VARIAR EL - PROBLEMA, TALES COMO LA GENERALIZACION, LA PARTICULARIZACION, LA ANALOGIA, EL DESCARTAR UNA PARTE DE LA CONDICION, EL SEPARAR LAS PARTES QUE LO COM- PONEN Y ANALIZAR CADA UNA, ETC. POR ULTIMO, UNA VEZ QUE SE HA OBTENIDO LA SOLUCION Y EXPUESTO CLA- RAMENTE EL RAZONAMIENTO, ES CONVENIENTE HACER UNA VISION RETROSPECTIVA DE LOS PASOS QUE NOS HAN LLEVADO A LA SOLUCION. ES DECIR, REEXAMINEMOS EL RESULTADO Y EL CAMINO QUE NOS CONDUJO A EL CON EL FIN DE CONSOLIDAR LOS CONOCIMIENTOS y DE SER POSIBLE ENCONTRAR UN PROCEDIMIENTO riAs CORTO QUE NOS CONDUZCA AL MISMO RESULTADO. POSIBLEMENTE,AL ESTAR VERIFICANDO CADA PASO NOS ENCONTREMOS CON ERRORES, SOBRE TODO SI EL RAZONAMIENTO ES LARGO Y ENREDADO; POR LO TANTO, ES RECOMENDABLE VERIFICAR. RESUMI~NDO, ALGUNAS DE LAS CUESTIONES QUE DEBEMOS TENER PRESENTE A LA HORA DE ABORDAR.UN EJERCICIO O PROBLEMA SON: ¿ CUAL ES LA INCOGNITA ?, l ES POSIBLE SATISFACER LA CONDICION ?, i DIBUJE UNA FIGURA !, ¿PUEDE UTILIZAR EL RESULTADO? , ¿ PODRIA ENUN- CIAR EL PROBLEMA EN FORMA DIFERENTE ?, ¿ PUEDO DESCOMPONER Y RECOMPONER SUS ELEMENTOS ? , lPUEDO UTILIZAR LA GENERALIZACION, PARTICULARIZACION Y ANALOGIA ? • ¿ CONOCE ALGUN PROBLEMA RELACIONADO CON. EL SUYO ? , EMPLEAR UNA NOTACION APROPIADA, HAY QUE EXAMINAR LA HIPOTESIS, DISTINGUIR LAS - DIVERSAS PARTES DE LA CONDICION, ¿ HA EMPLEADO USTED TODOS LOS DATOS ?, ¿ PUEDE COMPROBAR EL RESULTADO ? , REEXAMINE EL PROCESO Y EL RESULTADO. 103 VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS Y UTILICEMOS ALGUNAS CUESTIONES PLANTEADAS ANTERIORMENTE: SIMBOLIZAR: "TODO-NUMERO PAR MAYOR QUE DOS, ES LA ,5UMA DE DOS PRIMOS" lQUE ES LO QUE SE ·PIDE?, SIMBOLIZAR LA PROPOSICION. lTIENE ALGUNA FORMA?, SI, ES DE LA FORMA TODOS ES P, CUYA SIM-· BOLIZACION ES V x (x es S - x es P) SUBRAYANDO LAS PARTES ESENCIALES, TENEMOS: TODO NUMERO PAR MAYOR QUE DOS, ES LA SUMA DE DOS PRIMOS s p lPODEMOS ESCRIBIRLO DE OTRA FORMA?, V~AMOS: PARA TODO NUMERO, SI ESE NUMERO ES PAR Y ESE NUMERO ES MAYOR QUE DOS, ENTONCES ESE NUMERO ES IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS. DEBEMOS USAR UNA NOTACION ADECUADA. SI EN LUGAR DE "ESE NUMERO", EMPLEAMOS UNA "X", SE TIENE: · PARA TODO· X, SI X ES PAR y X ES MAYOR QUE DOS, ENTONCES X ES IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS. ANALIZANDO POR PARTES, SE TIENE: EL ANTECEDENTE: "X ES PAR Y X ES MAYOR QUE DOS" DE AQUI, SEPARAMOS "X ES PAR", QUE SIGNIFICA: "X ES DE LA FORMA 2k", ES DECIR, QUE EXISTE UN NUMf;RO k TAL QUE X = 2k, Y UTILIZANDO LA SIMBOLIZACION CONVENIENTE RESULTA 3 k ( X = "2k), POR OTRA PARTE "X ES MAYOR QUE DOS", LO SIMBOLIZAMOS COMO X> 2. POR TANTO, "X ES PAR Y X ES MAYOR QUE DOS", SE SIMBOLIZA AS!: 3 k ( X = 2k ) .-.. X > 2 104 ANALIZANDO AHORA EL CONSECUENTE: "X ES IGUAL A LA SUMA [)E DOS PRIMOS" RECOMPONIENDO, SE TIENE: DEBEMOS PRIMERO CONOCER LOS DOS PRIMO.S, POR TANTO, SUPONGAMOS QUE EXISTEN DOS. NUMEROS PRIMOS TALES QUE X ES IGUAL A LA SUMA DE AMBOS. UTILIZANDO UNA SIMBOLIZACION ADECUADA: ES DECIR, EXISTEN Y y Z PRIMOS TALES QUE X = Y + Z UNA FORMA DE DECIR QUE Z ES PRIMO SERIA P(Z), O BIEN Pz SIMBOLIZANDO, SE TIENE: 3 y (P(Y)) ..... 3 z (P(Z)) A X= y+ z POR TANTO, ESA ES LA SIMBOLIZACION DE "X ES IGUAL A LA SUMA DE DOS PRIMOS". Y VOLVIENDO A NUESTRO PROBLEMA INICIAL, RESULTA: :Ajx [3 k (x = 2k),.... x>2-3.y (Py),..3z (Pz) ,.._ x =y+ z] ANALICEMOS OTRO EJEMPLO: SIMBOLIZAR "X ES NUMERO PRIMÓ" ¿puEDO ENUNCIARLO DE MANERA DIFERENTE?. SI HACEMOS USO DE LA DEFI- NICION DE NUMERO PRIMO, TENDREMOS OTRA FORMA: "X ES NUMERO PRIMO", SIGNIFICA QUE "X SOLO TIENE DOS DIVISORES, LA UNIDAD Y EL MISMO; ADEMAS, X ES DIFERENTE DE l". SEPARANDO.LAS PARTES: "X SOLO TIENE DOS DIVISORES, LA UNIDAD Y EL MISMO", SIGNIFICA QUE "TODO DIVISOR DE X ES 1 o X". 105 ¿ QUE FORMA TIENE ? •. ES DE LA FORMA "TODO S ES P", CUYA SIMBO- LIZACION ES "' X (x es s - X es P). SUBRAYANDO LAS PARTES, SE TIENE: TODO DIVISOR DE X ES 1 o X s -p- ESCRIBIENDO DE OTRA MANERA: PARA TODO NUMERO, SI ESE NUMERO ES DIVISOR DE X, ENTONCES ESE NUMÉ_ RO ES IGUAL A l o ES IGUAL A X. UTILIZANDO UNA SIMBOLIZACION ADECUADA (CAMBIANDO NUMERO POR Y) PARA TODA Y, SI Y ES DIVISOR DE X, ENTONCES Y ES IGUAL A l o Y ES IGUAL A X. ------ (*) SEPARANDO PARTES, EL ANTECEDENTE: "Y ES DIVISOR DE X", SIGNIFICA QUE EXISTE ALGUN NUMERO k TAL QUE X= Yk, i.e., 3 k (X= Yk) SIMBOLIZANDO EL CONSECUENTE SE TIENE: Y = l o Y = X POR LO TANTO, (*) SE SIMBOLIZA : -'rJ- Y ( 3 k ( X = yk) - y = 1 V Y = X) SOLQ RESTA SIMBOLIZAR "X ES DIFERENTE DE l", QUE SE SIMBOLIZA COMO X ! l. POR TANTO, "X ES NUMERO PRIMO", SE SIMBOLIZA: x ! 1 .... V y [ 3 k. (x = yk) - y = 1. v y = x] 106 VEAMOS UN ULTIMO EJEMPLO: SIMBOLIZAR: "HAY EXACTAMENTE OOS ELEMENTOS CON LA PROPIEDAD P" PODEMOS ENUNCIARLO DE ESTA OTRA FORMA: EXISTEN DOS ELEMENTOS TALES QUE ESTOS SON DIFERENTES Y CON LA PRQ PIEDAD P Y PARA CUALQUIER ELEMENTO, SI ESTE TIENE LA PROPIEDAD P ENTON- CES ESTE ES IGUAL A ALGUNO DE LOS DOS PRIMEROS ELEMENTOS. lQUE FORMA TIENE?, TIENE LA FORMA 3 X, Y (X, Y son S y X, .Y son P), QUE ES UNA VARIANTE DE 3 X ( X es S y X es P) SUBRAYANDO SE TIENE: EXISTEN DOS ELEMENTOS TALES QUE ESTOS SON DIFERENTES Y CON LA PRO- S PIEDAD P Y PARA CUALQUIER ELEMENTO, SI ESTE TIENE LA PROPIEDAD P ENTON p CES ESTE ES IGUAL A ALGUNO DE LOS DOS PRIMEROS ELEMENTOS. USANDO UNA SIMBOLIZACION ADECUADA, POR EJEMPLO: X, Y, Z PARA LOS ELEMENTOS. ENTONCES, SE TIENE: (**) EXISTEN X, Y TALES QUE X y Y SON DIFERENTES y X TIENE LA PROPIEDAD P y Y TIENE LA PROPIEDAD P,_ y PARA CUALQUIER Z, SI Z TIENE LA PROPIEDAD P ENTONCES Z ES IGUAL A X o Z ES IGUAL A Y. SEPARANDO LAS PARTES SE TIENE: "X y Y SON DIFERENTES y X TIENE LA PROPIEDAD P y Y TIENE LA PROPI_s DAD P", SE SIMBOLIZA: X "f Y "' X es P "' Y es P. POR OTRO.LADO, LA.OTRA PARTE ES: "PARA CUALQUIER Z, SI Z TIENE LA PROPIEDAD P, ENTONCES Z ES IGUAL A X o Z ES IGUAL A Y" QUE TIENE LA FORMA V Z (Z es S - Z es P} SUBRAYANDO LAS PARTES, TENEMOS: 107 PARA CUALQUIER Z, SI Z TIENE LA PROPIEDAD P, ENTONCES Z ES IGUAL A s p X o Z ES IGUAL A Y. SIMBOLIZANDO, '>,/ Z ( Z es P - Z X v Z = Y) VOLVIENDO A NUESTRO PROBLEMA INICAL, ENTONCES (**} SE SIMBOLIZA: 3 x 3 y [ x 1 y ,... x es P "- y es P .-... V z z es P - z = x v z = y)] 108 APENDICE B FORMULAS UNIVERSALMENTE VALIDAS EN LOGICA DE ler ORDEN (LENGUAJE DE PREDICADOS). A (x), B (x) REPRESENTAN PREDICADOS O PROPOSICIONES ABIERTAS, D RE- PRESENTA UNA FORMULA 0 EN LA CUAL x NO OCURRE LIBRE. (EN D NADA SE AFIRMA ACERCA OE x) • A. RelaciOn entre V x y 3 x l)Vx A(x) ~"'3x .....,A(x) 2)"'\,'x A(x) - 3"x rv A(x) 3) 3 x A(x) ~,,,...¡x N A(x) 4),.., 3 X A(x) --.- V x rv A(x) 5) J,f-x A(x) - A(t), donde tes término libre para x en A(xh: B. Intercambio de cuantificadores l) 'o'- x A(x) - V Y A(y) * 2)3 x A(x) ,.__,,. 3 y A(y) * 3)Vx 'V-y A(x,y) ~Vy\fx A(x,y) 4)J x 3 y A(x,y) - 3y,3x A(x,y) 5) .V X A(x) -- 3 X A(x) ** 6)3x VY A(x,y) ->.i-y3x A(x,y) C. Relación de cuantificadores con conectivos 1) Vx [A(x} ,..,B(x)J-"'f-x A(x),.. 'Vx B(x) 2) 3 x (A(x)"' B(x)J - 3 X A(x)r- 3 x B(x) *** 3) 'trfx A(x} v Vx B(x) - >,¡- x [A(x) v B(x}] *** 4) 3 X [A(x) V B(x)] - 3 X A(x) V :3 X B(x) 5) J,fx [A(x) - B(x)] - (~x A(x) - "f'x B(x)] *** 6) [ 3 X A(x) - 3 X B(x}] - 3 X [A(x) - B(x)] *** * "y" no debe 'ocurrir 1 ibre en A(x), ni "x" debe ocurrir 1 ibre en A(y). ** Es universalmente válida por nuestra suposición de que el dominio de. variaciOn ·o universo de interpretación es no-vac~o. ***En las implicaciones " - ", el inverso es inválido. e 109 D. Doble cuantificaci6n E. Igualdad 1) -1# x. [>/x A(x) - A(x)] 1) >f x (x ~ x) 2) 3 x [3x A(x) -.A(x)] 3) .\/- x [ A(x) - 3 x A(x)] 2) V x V- y [x :::: y - (A(x)- A(x/y))] donde A(x/y} denota el resultado de reemplazar x en A(x), en cero 4) 3 x [ __ A(x) - V x A(x)] o mSs lugares por y. F. En estas formulas supondremos gue Des una fórmula en la cual x no ocurre libre. l) 'V-x A(x)) 8) 3 X (D -A(x)) - (D -- 3 x A(x)) 9) -'-.(Q-R)] -[(P,..Q)-R] 3) [PA (PAQ - R)] - (Q - R) 110 LEYES DE SIMPLIFICACION 1) P V P .,..._.... P 2) p,., p - p 3) P ""(P V Q) - P 4) P V (P "Q) - P 5) P ,..(Q v "'Q) -P 6) p V (Q A ,... Q) - p IDEMPOTENCIA ) ELIMINACION J ABSORCION 7) B) (P v Q)A(P v ,..,,Q) -P 1 SIMPLI FICACION (P" Q) V (PANQ) - P LEYES DE LA IMPLICACION 1) (P - Q) -"' P v Q 2) (P-Q)- rv(P,...,..,,Q) 3) (P - Q) - (t"Q - ,..,, P) CONTRAPOSITIVA 4) [P - (Q - R)] - [Q -(P - R)] INTERCAMBIO DE PREMISAS 5) P - (Q ......:..._ P) 6) ("' P -- P) -.- P 7) "'P -(P -Q) 111 112 DISTRIBUTIVIOAD - FACTORIZACION 1) P,., (Q v R) - (P A. Q) v (P" R) 2) p V (Q " R) -- (P V Q) ·A (P V R) 3) (P - Q "R) - [(P -- Q) A (P - R)] 4) (P -- Q v R) - [(P - Q) v (P - R)] 5) {P,.. {Q - R))- [(P,,.. Q) - (P"" R)] 6) (P v (Q - R))- [(P v Q - (P v R)] EN TODOS LOS CASOS DE IMPt:ICACIONES " - ", EL INVERSO ES INVALIDO. Algunas tautologfas de la forma A - D o A .., B -- D o bien A ... B ... C - D y que corresponden a reglas de inferencia usuales.· P, Q, R, P1 , Pj' Qi' ~j , son proposiciones simples. 1) [(P - Q) "' P] - Q MODUS PONENS 2) [(P - Q).-..tVQ] - IV p MODUS TOLLENS 3) [(P V Q) ,..,.,p] - Q [(PvQ),..,_,Q]~ P } MODUS TOLLENDO PONENS 4) [(P --Q) "(Q ---- R)] - (P - R) SILOGISMO HIPOTETICO 5) P-P v Q } LEY DE LA ADICION Q-Q V p 6) p ..... Q-P } SIMPLIFICACION p,.. Q-Q 7) [(P) "'(Q)] - (P" Q) ADJUNCION 8) [(P -Q) ..... (P - R)] - [P -Q,.. R] COMPOSICION 9) [(P - R) ...._(Q - S) ,.._ (P v Q)] - R v S SILOGISMO DISYU~TIVO 113 10) [(P-R)...,(Q-s) .... ("-'RvrvS)]- NP v "'º DILEMA DESTRUC TIVO. - 11) [(P...:..._ R)..., (Q - R) ,.,.(p v Q)] - R PRUEBA POR CASOS 12) [(P - R) ...._( N P - R)] - R CASO ESPECIAL DE PRUEBA DE CASOS 13) (P,..."' P) - Q DE UNA CONTRADICCION INFERIR CUALQUIER PROPOSICION 14) [(P - Q) ,.._ (P - ,..., Q)] - ..v P REDUCCION AL ABSURDO 15) [(P-R) .... (Q-s) ...... (P V Q) ..... /\J(PAQ),..(R V s) .....