UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA 
DE MEXICO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
APLICACION DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO 
AL ANALISIS DE MECANICA DE FRACTURA 
T E s 1 s 
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE 
INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA 
(AREA MECANICA) 
P A E S E N T A 
GABRIEL DOMINGO \._YIESCA LOBATON 
DIRECTORES: 
DR. LUIS HECTOR HERNANDEZ GOMEZ 
MEXICO, D. F. 
ING. UBALDO MAROUEZ AMADOR 
TESIS CON 
FALLA DE ORIGEN 
11194 
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titular de los Derechos de Autor.  
 
A Dios. 
A mis papás. 
A mis hermanos. 
A todos mis amigos. 
De modo especial, a mi abuelo, 
lng. Aurelio Lobatón Garza 'Íl' 
en agradecimiento a su ejemplo y cariño. 
AGRADECIMIENTO 
A la Facultad de Ingeniería de la UNAM, particularmente a mis profesores. 
Al Instituto de Investigaciones Eléctricas. 
De modo especial, a todos en el Departamento Mecánico del IJE, por su apoyo y amistad. 
Muchas personas intervinieron en la realización de esta tesis. Agradezco profündamentc el 
apoyo que de una manera u otra me brindaron, especialmente al Dr. Luis Héctor Hernándcz 
Gómez, y al Ing. Ubaldo Márquez Amador. 
ÍNDICE 
INDICE 
SIMBOLOGÍA 
INTRODUCCIÓN 
CAPÍTULO 1 
¡¡¡ 
vi 
1 
CONCEPTOS GENERALES DE MECÁNICA DE FRACTURA 6 
1.1 ORÍGENES DE LA MECÁNICA DE FRACTURA. 7 
1.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS FALLAS FRÁGILES 
Y DÚCTILES. 9 
1.3 MODOS DE CARGA 10 
1.4 TRATAMIENTO ENERGÉTICO DE LA 
MECÁNICA DE LA FRACTURA. 11 
1.5 CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO DE ESFUERZOS EN LA 
VECINDAD DE LA PUNTA DE LA GRIETA. 14 
1.6 CARACTERÍSTICAS DE LA ZONA PLÁSTICA. 17 
1.7 LA INTEGRAL J. 20 
1.8 RELACIÓN ENTRE K, G y J. 22 
1. 9 CURVAS DE RESISTENCIA. 24 
1.1 O IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS NUMÉRICO EN 
MECÁNICA DE LA FRACTURA. 25 
1.11 REFERENCIAS. 27 
¡¡¡ 
INDICE 
CAPÍTUL0.2 
CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO 
DEL ELEMENTO FINITO 29 
2.1 ORÍGENES DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 30 
2.2 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO. 3 J 
2.2. l DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. 33 
2.2. 1. 1 TIPOS DE ELEMENTOS. 34 
2.2.1.2 NODOS. 37 
2.2. 1.3 TAMAÑO DE LOS ELEMENTOS. 38 
2.2.2 SELECCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE 
INTERPOLACIÓN. 39 
2.2.3 DEFINIR LAS ECUACIONES DEL MÉTODO 
DEL ELEMENTO FINITO PARA ANÁLISIS DE 
ESFUERZOS. 42 
2.2.4 ENSAMBLAR LAS ECUACIONES DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS DE LA RED. 45 
2.2.S SOLUCIÓN DEL SISTEMA .lE ECUACIONES 
RESULTANTE. 46 
2.2.6 SOLUCIÓN DE VARIABLES SECUNDARIAS. 46 
2.2.7 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS. 46 
2.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO. 47 
2.4 VISIÓN Y PERPECTIV AS DEL MÉTODO. 47 
2.5 REFERENCIAS. 49 
CAPÍTUL03 
ESTABLECIMIENTO Y VALIDACIÓN DE LA METODOLOGÍA s1 
3. l GENERALIDADES. 52 
3.2 EL PROGRAMA ANSYS. 52 
3.3 DESCRIPClÓN DE LA METODOLOGÍA. 53 
3.4 REALIZACIÓN DE MODELOS DE ELEMENTOS FlNITOS 
PARA ANÁLISIS DE MECÁNICA DE FRACTURA. 54 
iv 
INDICE 
3.5 CONSIDERACIONES AL MODELAR 
. LA PUNTA DE GRIETA. 58 
3.6 EVALUACIÓN DEL CAMPO DE ESFUERZOS. 60 
3.7 CÁLCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS. 61 
3.8 VALIDACIÓN DE LA METODOLOGÍA. 62 
3.8.1 PRUEBA FOTOELÁSTICA DE FRACTURA. 62 
3.8.2 DETERMINACIÓN DE K1c SEGÚN ASTM. 72 
3.9 EXACTITUD EN CÁLCULOS DE FRACTURA. 77 
3. IO CONCLUSIONES. 78 
3.11 REFERENCIAS. 79 
CAPÍTUL04 
APLICACION DE LA METODOLOGIA AL ANALISIS DE 
TUBERIAS AGRIETADAS AXIALMENTE so 
4.1 GENERALIDADES. 81 
4.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 84 
4.3 MODELADO. 85 
4.3. I GEOMETRÍA. 85 
4.3.2 DISCRETIZACIÓN DE LA PUNTA DE LA GRIETA. 87 
4.3.3 DISCRETIZACIÓN DEL RESTO DEL MODELO. 87 
4.4 CARGAS Y CONDICIONES DE FRONTERA. 89 
4.5 OBTENCIÓN DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE 
ESFUERZOS. 91 
4.6 SUBMODELADO. 93 
4.7 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS. 95 
4.8 CONCLUSIONES. 97 
4.9 REFERENCIAS. 99 
CONCLUSIONES. 101 
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SIMBOLOGÍA 
Trayectoria cualquiera alrededor de la punta de la grieta. 
Derivadas parciales en X, Y y Z. 
Posición de referencia en el sistema de coordenadas local de un elemento. 
Ángulo; valor en coordenadas polares. 
Energía potencial total. 
Esfuerzo nominal aplicado. 
Esfuerzo crítico que provocará la propagación de grieta inestable en una 
placa plana. 
Esfuerzo de fluencia ("yielding stress"). 
Esfuerzo local en el punto de coordenadas (ij). 
Esfuerzo tangencial crítico para propagación inestable. 
Esfuerzo tangencial en cuerpos cilíndricos ("hoop stress"). 
Esfuerzo aplicado a una distancia infinita de la zona agrietada. 
Esfuerzos cortantes en X. Y, y Z. 
Energía de superficie del material. 
Matriz. 
Matriz de rigidez del material. 
Matriz de rigidez para todo el modelo. 
Matriz de rigidez, para cada elemento. 
Modelo de desplazamientos. 
Matriz renglón (vector). 
Matriz renglón traspuesta. 
Matriz de deformaciones unitarias. 
Matriz de esfuerzos. 
Vector de fuerzas nodales. 
Vector de desplazamientos nodales. 
Vector ensamble de los vectores de fuerzas. 
Matriz de ensamble de los vectores incógnitas. 
Vector de desplazamientos. 
Semilongitud de grieta. 
Semilongitud efectiva de grieta. 
Espesor de placa. 
Flexibilidad (Compliance, inverso de la rigidez). 
Temperatura de detención de grieta (Crack arrest lemperature). 
Desplazamiento de apertura de grieta (Crack opening displacement). 
Zona de influencia frente a Ja punta de grieta (corrección de zona plástica 
de Dugdalc). 
Diferencial de superficie. 
Diferencial de volumen. 
vi 
E 
F 
FIS 
FTE 
FTP 
G 
Ge 
H 
J 
Je 
K 
K1 
K1a 
K1d 
L 
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N1 (N2) 
NDT 
p 
q 
q1 (q2) 
R 
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U-1 
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Uo 
Uu 
Un 
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Ut 
u,v,w 
UI CU2J 
w 
Wp 
w 
x.r.z 
X1 (X2) 
y 
Simbología 
Módulo de Young. 
Trabajo desarrollado por las cargas externas. 
Factor de intensidad de esfuerzos K. 
Punto de transición a fractura elástica (Fracture transicion elastic). 
Punto de transición a fractura plástica (Fracture transicion plastic). 
Energía de propagación de grieta. 
Energía de propagación de grieta crítica. 
Espesor de pared en tuberías o recipientes cilíndricos. 
Valor de la integral J. 
Valor crítico de la integral J. 
Factor de intensidad de esfuerzos. 
Factor de intensidad de esfuerzos, modo de apertura. 
Tenacidad de detención o relevo de grieta. 
Tenacidad a la fractura dinámica. 
Longitud de línea nodal 
Factor de corrección para análisis de fractura en cilindros. 
Funciones cualesquiera que representen la variación de una propiedad en el 
espacio. 
Temperatura de transición dúctil-frágil (Nihil Ductil Transición). 
Carga aplicada constante. 
Valor considerado del desplazamiento de un elemento. 
Valor considerado del desplazamiento para el nodo 1, (o 2). 
Radio curvatura en cilindros. 
Resistencia total a la propagación de grieta. 
Coordenada radial. 
Corrección de zona plástica de Irwin. 
Vector de tracción. 
Energía de superficie elástica causada por la formación de una grieta. 
Energia potencial total del sistema. 
Energía potencial del sistema cuando aún no se introduce la grieta. 
Disminución de energía elástica debida a la introducción de la grieta. 
Valor de desplazamiento real de un nodo. 
Energía potencial elástica. 
Energía elástica total. 
Desplazamientos en dirección X, Y,Z respectivamente. 
Valor real puntual del desplazamiento en el nodo 1, (o 2). 
Ancho de placa. 
Energía potencial debida a fuerzas de cuerpo o de superficie. 
Densidad de energía de deformación. 
Valor de las fuerzas de cuerpo o volumen. 
Posición del nodo 1 (o 2) respecto a un sistema local de coordenadas. 
Factor geométrico de un cuerpo agrietado. 
vii 
INTRODUCCIÓN 
La presencia de grietas en componentes estructurales es un problema que ba preocupado a 
los ingenieros desde la antigüedad. Aunque hay pocos datos registrados, revisiones de la 
historia de la mecánica de materiales muestran los primeros estudios en los que este tipo 
de problemas se presentó. Así, de acuerdo con Timoshenko [I. I], Leonardo da Vinci 
realizó en el siglo XV estudios para determinar la resistencia de cables de acero, 
enunciando que esta dependía de la longitud de los mismos. Revisando este trabajo a la 
luz de los conocimientos actuales, se ha especulado sobre cómo pudo el inventor 
renacentista llegar a este resultado, pues la resistencia no depende de la longitud del 
cable. Se ha expuesto que como la cantidad de material si es función de la longitud, al 
haber más material la probabilidad de que se presente algún defecto en el cable y 
provoque su fractura aumenta. Considerando la calidad de los cables disponibles en la 
época esta opción ha sido aceptada como una explicación razonable [1.2]. 
La práctica de la ingeniería ha mostrado que la presencia de grietas es un problema 
inevitable, y ha pasado a ser una consideración más en el diseño y operación de equipos, 
suponiendo y tolerando desde un principio la presencia de pequeños defectos que con el 
tiempo crecerán. Para esto se evalúa la integridad estructural de tal modo que estos no 
alcancen un tamaño crítico durante su vida útil. 
La aparición de grietas en una estructura se debe general mente a una de las siguientes tres 
causas o a alguna combinación de ellas: 1) Defectos en los componentes, ya sea 
debidos al proceso de construcción seguido (diseño y fabricación), o a defectos inherentes 
del material. 2) Problemas durante su operación, debidos a errores en el montaje, 
manejo o mantenimiento, a fallas en los sistemas de seguridad, o simplemente a 
corrosión, envejecimiento o desgaste. 3) Por imprevistos tales como problemas en su 
transportación o almacenamiento, sobrecargas por fatiga no consideradas, cargas dinámi-
cas de magnitud imprevisible debidas a sismos, huracanes, explosiones, impactos de 
distinto origen, etc. [I.3]. 
Para abundar un poco en la problemática que surge debido a la presencia de grietas en 
componentes estructurales, considérese el caso de un componente que falla en una planta 
termoeléctrica. Al costo de reemplazo o arreglo del componente deberá añadirse el costo 
derivado de tener que detener la generación de energía en tanto se efectúa la reparación. 
De acuerdo a un estudio realizado por el National Bureau of Standards (NBS) 
estadounidense en 1982, se estima que anualmente se gastan 120 mil millones de dólares 
debido a problemas directa o indirectamente relacionados con fracturas [1.4]. 
Con respecto a la seguridad, puede considerarse por ejemplo el accidente ocurrido en 
Cleveland en 1944 con un tanque de gas LP. La secuencia de eventos comenzó con la 
ruptura del recipiente, provocando el escape de una considerable cantidad de gas que se 
incendió, causando su explosión y la de tuberías subterráneas que levantaron por 
completo el pavimento en las calles, creando una esfera de fuego que alcanzó los 850 
Introducción 
metros de altura. 79 casas, 2 fábricas y 217 coches fueron destruidos en tanto otras 35 
casas y 13 fábricas resultaron seriamente dañadas. Lo peor fue que la explosión mató a 
130 personas e hirió gravemente a otras 300 [1.5]. Ejemplos más recientes de este tipo 
de accidentes en México son los ocurridos en San Juanico (1984) o en el Sector Reforma 
en Guadalajara (1992), entre otros. 
Hasta hace poco, cuando se descubría una grieta en un componente estructural se 
procedía inmediatamente a repararlo o reemplazarlo, manteniendo así las condiciones de 
seguridad. Hoy en día, nuevos requerimientos en economía y protección, junto con 
nuevos avances tecnológicos han provocado un cambio radical en el trato dado a este 
problema. 
Dos factores importantes han modificado los criterios de seguridad provocando este 
cambio. En primer lugar, el perfeccionamiento de pruebas no destructivas que permiten 
la detección de defectos que de otra forma pasarían inadvertidos. En segundo, la 
presencia de una grieta no necesariamente indica que el componente halla llegado al fin 
de su vida útil, ni que esté cerca de él, o que su operación represente algún peligro. Así 
puede efectuarse un balance entre el costo de reparación y remplazo contra la posibilidad 
de falla, si se mantiene en operación. 
Para evaluar que tan crítica es una falla se han desarrollado dos nuevos conceptos: La 
Tolerancia al Daño, que cuantifica el tamaño y tipo de defectos que pueden permitirse 
en un componente estructural garantizando una operación segura, y la Vida Residual, 
lapso de tiempo que podrá seguir en uso antes de que una fractura alcance un tamaño 
crítico que exija su reparación o remplazo. 
La determinación de la Tolerancia al Daño y de la Vida Residual esta basada en gran 
parte en la tecnología de Ja mecánica de fractura. Aunque no es el único factor que 
interviene al asegurar la integridad estructural de un componente, juega un papel 
fundamental. 
Quizá el más importante campo de aplicación de estas tecnologías en nuestro país esta en 
el sector de generación eléctrica. La mayoría de las plantas que operan en la actualidad 
fueron instaladas en la década de los sesenta, y fueron diseñadas para aproximadamente 
25 años de vida útil, plazo durante el cual se amortizarían los costos de construcción y se 
obtendrían suficientes ganancias para remplazarla. Sin embargo, los criterios actuales de 
economía exigen un mejor aprovechamiento de los recursos. 
Según se ha observado, los componentes que realmente alcanzan el fin de su vida útil al 
fin del periodo especificado en una planta de potencia pueden reducirse casi al 10% del 
total [1.6], Jo que representa un gran potencial de ahorro, pues esto permite renovar las 
plantas evitando la necesidad de construir otras nuevas para remplazarlas. Lo anterior 
exige el empleo de tecnologías ele análisis como la mecánica de la fractura que permitan 
evaluar con certeza la vida remanente de cada componente y planear su remplazo 
2 
Introducción 
oportuno, pues de lo contrario podrían provocarse problemas que redujeran la 
disponibilidad de la planta. 
Conviene subrayar la importancia que tiene el diseño en la prevención ele fallas 
estructurales. Los requerimientos en ligereza y economía, así como las aplicaciones cada 
vez más complejas y en ambientes más adversos, llevan hoy a la tecnología a fronteras 
nunca antes alcanzadas, que utilizan al límite las propiedades de los materiales. Este 
diseño de frontera exige una cada vez mejor comprensión del comportamiento de defectos 
en los materiales, sean estos reales o hipotéticos, generando criterios que permitan 
disminuir los márgenes de seguridad sin aumentar el riesgo. Esto amplía aún más el 
campo de aplicación de la mecánica de fractura. 
Por otra parte, el determinar si una grieta presente en un componente es crítica utilizando 
la mecánica de la fractura involucra consideraciones matemáticas que frecuentemente 
complican la obtención de resultados e incluso la hacen imposible cuando se tratan 
geometrías complejas. Esto ha provocado que se recurra al empleo del análisis numérico, 
que permite aplicar los conceptos de mecánica de fractura a problemas complejos de 
modo práctico. Entre estos destaca hoy por su versatilidad el Método del Elemento 
Finito. 
Aunque fue creado hace relativamente poco, el desarrollo del método del elemento finito 
ha ampliado su rango de aplicación corno ninguna otra herramienta de análisis de su tipo. 
Las áreas en las que hoy se empica van desde el análisis estructural hasta el de tluidos o 
transferencia de calor. Su empleo requiere utilizar equipo de cómputo para efectuar la 
gran cantidad de cálculos que el método exige, obteniendo así resultados con una 
precisión difícilmente alcanzable por otros medios, y constituyéndose en un auxiliar de 
diseño indispensable en las industrias aeroespacial, automovilística y de energía entre 
otras, además de emplearse como una de las más efectivas herramientas de análisis de 
fallas. 
El objeto de esta tt!sis es desarrollar una metodología práctica para efectuar el análisis de 
estructuras agrietadas utilizando los conceptos ele Mecánica de Fractura y del Método del 
Elemento Finito. Consecuentemente se ha dividido en cuatro capítulos: 
El primer capítulo busca explicar los principales conceptos de mecánica ele fractura 
empleados. Comienza presentando la evolución de la mecánica de fractura en el presente 
siglo y luego revisa los conceptos fundamentales para su estudio. Para este efecto explica 
el tratamiento energético a partir de la teoría de Grifith y las características del campo de 
esfuerzos en la vecindad de la punta de grieta. Asimismo, se estudian los principales 
parámetros de fractura: El factor de intensidad de esfuerzos, la energía de propagación de 
grieta y la integral J. Junto con esta última se enuncian los conceptos básicos para el 
tratamiento de problemas no lineales. Finalmente introduce al concepto de las curvas de 
resistencia, muy aplicadas en análisis y diseño por fractura. 
3 
Introducción 
En el capítulo 2 se revisan las características del método del elemento finito mediante una 
revisión general, analizando las etapas a seguir durante su aplicación, y explicando 
brevemente sus fundamentos teóricos, todo enfocado desde le punto de vista del análisis 
de esfuerzos. 
La metodología planteada para modelar problemas de mecánica de fractura utilizando el 
método del elemento finito y su validación se detallan en el tercer capítulo, proponiendo 
una serie de pasos generales a seguir y evaluando numéricamente dos casos 
experimentales: El ensayo fotoelástico de una placa plana agrietada en un extremo y 
sujeta a esfuerzos de tracción y una prueba de ASTM para la determinación de la 
tenacidad a la fractura empleando probetas compactas de acero. A partir de estas 
aplicaciones se analiza la precisión y convergencia del método propuesto. 
Finalmente, en el último capítulo se analiza con la metodología el caso de una tubería con 
una grieta axial, describiendo las principales consideraciones dictadas por la mecánica de 
la fractura para este caso, las distintas complicaciones que se presentan y las etapas 
seguidas para su análisis con el método del elemento finito. 
4 
Introducción 
REFERENCIAS 
[1.1) Timoshenko, S.P., 1983. History of Strengrh of Mareria/s, Dover publications lnc., 
New York. (Publicado originalmente por Me Graw Hill book co. inc., N. Y., 1953) 
[1.2] Kanninen, M.F., Popelar, C.H., 1985, Advanced Fracture Mechanics. Oxford 
engineering science series, Oxford University Press. 
[1.3] Houbaert, Y., Janssens, B.,1994. Curso dr Análisis de Fallas. F.i. UNAM, IMT, 
UAQ. Querétaro,Qro., Junio, 1994. 
[1.4] Duga, J.J. et al, 1983. 771<' economic c'.ffecrs 1¡{ Fracture in rhe Unired States, 
Baltelle's Columbus Laboratories report to the National Bureau of Standards. 
[1.5] Atallah, S., 1979 U .S. History '.1· wor.1·r LNG disaster, firehouse. 
[1.6] Instituto de Investigaciones Eléctricas, 1993, Vida Residual, editorial boletin IIE, 
Mayo/Junio 1993. 
5 
1 
CONCEPTOS GENERALES DE 
MECÁNICA DE FRACTURA 
Se estudian los principales conceptos de 
mecánica de fractura. Se comienza 
presentando la evolución de la mecánica de 
fractura en el presente siglo y luego revisa 
los conceptos fundamentales para su estudio. 
A continuación se explica el tratamiento 
energético ¿¡ partir de la teorl,1 de Grifith y 
las c.'lracte.rísticas del campo de esfuerzos en 
la vecindad de la punta de grieta. Asimismo 
ae estudian los principales parámetros de 
fractura: El factor de intensidad de esfuer-
zos K, la .razón de energía liberada G, y la 
integral J. .Junto con esta última se 
enuncian los conceptos básicos para el trata-
miento de problemas no lineales. Finalmente 
se introduce al concepto de curvas de resis-
tencia. 
6 
Mecánica de la Fractura 
1.1 ORÍGENES DE LA MECÁNICA DE FRACTURA. 
Conforme la ingeniería ha ido avanzando a través de la historia, surgen nuevas y distintas 
aplicaciones que implican consideraciones de diseño cada vez más complejas. Durante la 
segunda mitad del siglo pasado. la cada vez mayor utilización de metales en las más diversas 
aplicaciones comenzó a evidenciar deficiencias en los criterios de diseño, presentándose en 
ciertos casos fallas catastróficas cuya frecuencia indicaba que había aún amplios campos por 
investigar e incógnitas a resolver. Así, en Inglaterra comenzó a llamar la atención el 
elevado numero de fallas en componentes metálicos como ruedas de ferrocarril. o grandes 
recipientes a presión que ocurrían repentinamente y sin ningún aviso previo; esto condujo a 
investigaciones tendientes a explicar mejor el comportamiento de los materiales. 
En 1913 C.E. lnglis ( 1.1 J es el primero en enfocar el problema de las grietas presentes en 
todas las estructuras. ya sea debido a esfuerzos durante su vida útil o incluso ocasionadas 
durante su fabricación. Propone analizarlas considerándolas como elipses degeneradas en 
segmentos de recta y evalúa las concentraciones de esfuerzos en la punta de la grieta. 
encontrando en ella una singularidad en la que los esfuerzos teóricos tendían a valores 
infinitos. 
En 1921 A. A. Grifith, comienza a dar forma a la hoy llamada mecánica de la fractura. 
enfocando el problema desde un punto de vista energético. Con fundamento en el trabajo de 
lnglis [ 1.1] propone que el mecanismo de fractura es controlado por un balance de energías 
en el que se involucra la energía necesaria para crear nuevas superficies de grieta en la 
estructura. y la energía potencial debida a las cargas aplicadas. Concluye que para una 
estructura con un tamaño de grieta dado. existe un valor de carga crítico que de alcanzarse 
ocasionará una propagación de la grieta. y prueba su teoría experimentando con esferas de 
vidrio que aseguraban un comportamiento de fractura frágil [ 1.2]. 
Más adelante Westergaard, en 1939, aplicando un análisis con variable compleja, encuentra 
funciones que describen el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta [ 1.J). 
Poco después, durante la segunda guerra mundial, repetidas fallas estructurales inutilizaron 
más de 700 barcos del tipo "Liberty", partiendo materialmente en dos a 145 de un total de 
2500 fabricados. De la revisión de las fallas, que se presentaban sin previo aviso (incluso 
estando el barco en puerto) y a bajas temperaturas, se concluyó que incluso metales 
considerados como dúctiles llegaban a comportarse frágilmente bajo determinadas 
condiciones. Esto provocó un gran impulso en el estudio de fallas frágiles y de mecánica de 
la fractura, principalmente en Estados Unidos [ 1.4, 1.5]. 
En 1948, G. R. lrwin [1.6], apoyándose en el trabajo de Westergaard, deriva el factor de 
intensidad de esfuerzos, K (en honor a su ayudante J. A. Kies). demostrando que existe una 
relación parabólica entre el tamaño de grieta y el esfuerzo aplicado. Así surge la teoría de 
Grifith-lrwin de propagación de grieta, o mecánica de la fractura lineal elástica, que 
generaliza las ideas de Grifith y permite aplicarlas a metales y a otros materiales de gran 
aplicación en ingeniería. También Orowan llegó por su lado a resultados similares al mismo 
tiempo [l. 7]. 
7 
Mecánica de la Fractura 
En 1968 J.R. Rice [1.8] desarrolla el concepto de la integral J basándose también en un 
análisis energético. Poco después J. W. Hutchinson [ 1. 9] mostró como este tipo de concepto 
podía utilizarse para obviar la necesidad de describir el crecimiento lento y estable de una 
grieta así como el comportamiento no lineal y elastoplástico en la extensión de grieta. El 
artículo de Rice [l. 8] se convirtió así en la base de todos los desarrollos posteriores en 
comportamiento no lineal de grieta, debido a que utiliza un parámetro de fractura de 
carácter universal que puede implementarse en programas de cómputo. 
En los años 70, con la evolución en diseño de reactores nucleares, comienzan a utilizarse 
conjuntamente el planteamiento energético (Grifith) con el análisis del campo de esfuerzos 
en la punta de la grieta (Westergaard) para aplicaciones en ingeniería [ I. 1 O]. 
En los '80 surge la mecánica de fractura probabilistica, que abarca dos categorías generales; 
en la primera se tratan casos en los que no se presenta un tamaño de grieta dominante, por 
lo que el estudio se hace para una distribución de tamaños de grieta a manejar 
estadísticamente para obtener el tiempo esperado de falla. La segunda se enfoca a 
determinar Ja probabilidad de ocurrencia de cadenas de eventos, en alguna medida inciertos, 
necesarios para que se presente la falla. Esto conduce a obtener métodos de diseño más 
eficaces que permiten utilizar menores márgenes de seguridad [ 1.1 O, 1 .11] debido a que se 
reduce la incertidumbre de las condiciones de carga y operación involucradas en las 
suposiciones de diseño. 
Para cálculos de mecánica de fractura, fundamentalmente del factor de intensidad de 
esfuerzos, se han desarrollado diversas soluciones fundamentadas en la descripción detallada 
de cómo se desarrolla el estado de esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta, obtenida 
por Williams [1.12] y por Karp y Karal [1.13] entre otros. Sin embargo estas soluciones 
analíticas están planteadas para geometrías que no ofrecen complicaciones matemáticas. En 
el caso de estructuras reales, los campos de esfuerzos y condiciones de frontera complican el 
análisis. De aqui que se requiera un análisis numérico para su solución. 
Entre los primeros en utilizar el método del elemento finito en la obtención del factor de 
intensidad de esfuerzos están Chan et al en 1970 [1.14] quienes emplearon elementos 
convencionales en la punta de la grieta y que debieron por esto emplear un complicado 
procedimiento para extrapolar el valor de K1 a partir de los desplazamientos de las 
superficies de grieta. Pronto otros investigadores como Byskov [ 1.15] comenzaron a 
introducir elementos especiales. Esto se volvió innecesario al descubrir Henshell y Shaw 
[1.16] en 1975 el llamado elemento con nodo desplazado (quarter-point element) que es un 
elemento convencional cuyos nodos internos adyacentes a la punta de la grieta se desplazan 
hasta la cuarta parte de la línea nodal, y que representa adecuadamente la singularidad del 
campo de esfuerzos. Su uso se generalizó gracias a a su simplicidad. Finalmente Barsoum 
[ 1.17] introdujo la utilización de elementos isoparamétricos en 1976. 
En la actualidad la mecánica de la fractura es una disciplina de ingeniería avanzada cuyos 
campos de aplicación se amplían cada vez más, y a la que se enfocan hoy gran cantidad de 
recursos de investigación. 
8 
Mecánica de la Fractura 
1.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS FALLAS FRÁGILES 
Y DÚCTILES. 
El comportamiento de un material al fallar puede clasificarse en dos tipos principales: falla 
frágil y falla dúctil. A continuación se describen brevemente las características más notables 
de los materiales frágiles y de los dúctiles. 
Los materiales dúctiles, como los metales tenaces, presentan deformaciones importantes 
antes de fallar. Observan dos rangos definidos en la curva esfuerzo-deformación: En el 
primero, llamado zona elástica, pueden mantener un comportamiento esfuerzo-deformación 
lineal obedeciendo a la ley de Hooke. Pasado el limite elástico, el comportamiento cambia y 
de seguir aumentando la carga, el material sufre una deformación plástica no recuperable, en 
tanto absorbe energía, hasta llegar a un límite en el cual finalmente falla. 
Un material frágil, como el hierro fundido, el vidrio, o aceros de muy alta dureza a 
temperatura ambiente, es aquel que se deforma muy poco antes de fallar (baja tenacidad), 
suele fallar en dirección normal al esfuerzo de tracción y observan un comportamiento 
esfuerzo deformación elástico hasta valores de esfuerzo muy cercanos al de fractura. Es el 
caso de falla más critico, pues en un material de este tipo, se provocan concentraciones de 
esfuerzos que, al no poderse redistribuir, se acumulan en puntos fijos minando la resistencia 
del cuerpo. Cuando se sobrepasa en algún punto el esfuerzo máximo ocurre una rápida 
propagación de grieta, con velocidades del orden de 1800 m/seg. (prácticamente 
instantánea). Esto sucede tras una absorción de energía mucho menor a la que se presenta 
cuando hay deformación plástica. Esto explica el especial énfasis puesto en asegurar un 
comportamiento dúctil o bien en disminuir la probabilidad de una falla frágil. 
El comportamiento dúctil o frágil de un material depende también de la temperatura. Un 
material dúctil a temperatura ambiente puede sufrir una falla frágil si se somete a bajas 
temperaturas, y de manera análoga, un material frágil se comportará de modo dúctil si su 
temperatura sobrepasa cierta temperatura de transición, conocida como NDT (Nihil Ductil 
Transition), temperatura de transición dúctil-frágil. 
Una forma de garantizar el comportamiento dúctil de un material y eliminar por tanto la 
posibilidad de una falla frágil, es limitando su temperatura de operación, para lo que se 
utilizan gráficas de temperatura contra esfuerzo. En ellas se muestra la variación debida a la 
temperatura del esfuerzo necesario para la fractura. 
Cuando se analiza un material sin grietas (figura 1.1 ), el esfuerzo de fractura aumenta al 
disminuir la temperatura hasta llegar a un valor de NDT. La presencia de grietas provoca 
una disminución del esfüerzo de fractura. que será menor si el tamaño de las grietas 
aumenta. Se produce así una familia de curvas que muestran un gran incremento en el 
esfuerzo de fractura al elevarse la temperatura por encima del NDT. La última curva de esta 
familia se conoce como temperatura de detención de grieta CA T, y marca la temperatura a 
la que se detiene la propagación de falla frágil para varios niveles de esfuerzo aplicado. 
Tiene tres puntos importantes: 1) El limite inferior de esfuerzos por debajo del cual la 
energía proporcionada no será suficiente para propagar la grieta. 
9 
Mecánica de la Fractura 
l'thnorrt tdUl:'no• dt 
(ndun dtbldo wi lui 
prntmi11 dr Erlrhu 
dtnU1¡ort11nuu\11 
1 Jmllt dt> hfUl'N.11• (~H Loel) 
por dtL11jD ele nft \'11lor l• 
en~ .. Da 1e propa1:a. 
--11o·c 
(t.a1prNtun1 JUU°lt LI tt111I 
Lt i:ritt• an n propw,ca) 
~DT (sin ¡:rida) NOT (tu11ndu h11y trith•l 
Ttmprns1m·>1 "(' --
Figura 1.1 Gr{lfica de lemperaluras de lransición del acero 11.18, 1.191 
2} El punto de transición a fractura elástica (FTE) marca la máxima temperatura para que 
haya fractura debido a esfuerzos puramente elásticos. 3) El punto de transición a fractura 
plástica (FTP). por debajo del cual las fracturas son del tipo plástico únicamente. 
Estas curvas están disponibles en la literatura, y permiten ya sea restringir las temperaturas 
de operación a valores superiores a la temperatura de transició:i a comportamiento frágil 
NDT, o bien utilizarlas como un criterio aproximado para seleccionar un material en base a 
elegir aquel con menor NDT. 
1.3 MODOS DE CARGA. 
Los cuerpos agrietados se encuentran sometidos a estados de esfuerzos triaxiales, cuyo 
análisis resulta complicado y laborioso. Para simplificar su estudio se ha propuesto 
descomponer el caso general en tres casos simples de carga mostrados en la figura 1.2, que 
se denominan: 
t?1 
~ 
MnJn 11 
e.le: d~-:.!Uumlcnlo 
Figura 1.2 Modos de cnrga 
de dc~rr.1micnto 
10 
Mecánica de la Fractura 
Modo I) De apertura: En el cual la carga es aplicada perpendicularmente al plano de 
la grieta, tendiendo a separar sus superficies. 
Modo II) De deslizamiento: En este caso las cargas se aplican paralelamente al plano 
de la grieta y perpendicularmente al frente de esta. 
Modo III) De desgarramiento: Las cargas son aplicadas paralelamente al plano de la 
grieta y al frente de la grieta. 
De Jos tres casos anteriores, el modo I es el más crítico, pues la rigidez de la estructura 
es menos sensible a cualquiera de los otros modos. Debido a esto, la mayoría de los 
estudios de mecánica de fractura se han aplicado especialmente a este caso. 
1.4 TRATAMIENTO ENERGÉTICO DE LA MECÁNICA 
DE FRACTURA. 
El enfoque energético de mecánica de la fractura propuesto por Grifíth es el que más 
aplicación tiene, además de ser el que mejor se acopla al análisis con elemento finito, objeto 
de esta tesis. Para este efecto se considera una placa infinita de material elástico, sometida a 
tracción, en la cual se introduce una grieta central de longitud 2a (ver figura l .J). 
m 
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 
cr~ 
Figur:1 l.J Placa infinitn de espesor unitario: 2a<<W 
La energía potencial del sistema es: 
{/ == u .. + u .. + 11 y - ¡: ( l. 1) 
donde: U es la energía potencial total del sistema 
Uo es la energía potencial del sistema cuando aún no se introduce la grieta 
u,, es la disminución de energía elástica debida a la introducción de la grieta 
Ur es el cambio en la energía de superficie elástica causada por la formación 
de la grieta 
F es el trabajo desarrollado por las cargas externas 
11 
Mecánica de la Fractura· 
Analizando los parámetros anteriores. Grifith obtuvo que: 
2 2 
{/ =- 7tU Om 
·a E 
donde: a es la mitad de la longitud de grieta 
(1.2) 
cr m es el esfuerzo aplicado a una distancia infinita de la zona agrietada 
E es el módulo de Young 
Por otra parte: 
donde:2a 
ye 
(/y = 2(2a ·y,.) 
es la longitud de grieta 
es la energía de superficie del material. 
( 1.3) 
A continuación se supone que los extremos de Ja placa están fijos en el momento en que se 
introduce la grieta, lo que implica que las cargas no realizan trabajo alguno, y por lo tanto 
F=O. Sustituyendo (1.2) y (1.3) en (1.1) se llega a: 
U=(/ _ mi'cr:, +4c 
" E l'f,. 
(1.4) 
Nos interesa conocer el mínimo de energía necesario para que se presente Ja falla, por lo que 
Ja función anterior se deriva con respecto a la semilongitud de grieta, a, considerando Uo 
constante: 
.!!._(- 7tCI~ll~ +4cty") = 0 
da E 
=4 _ 27tcr~a =O 
Y,. E 
(1.5) 
simplificando, para condiciones críticas puede expresarse: 
7tcr~a _
2 E - Y. (1.6) 
La ecuación (1.6) describe una condición inestable para una grieta en un material cuyo 
comportamiento es exclusivamente frágil, dado que no se involucró Ja energía consumida 
por deformación plástica. La expresión a Ja izquierda de Ja igualdad suele designarse como 
G, razón de energía liberada. y representa la energía presente en el sistema que de liberarse 
podría causar una propagación de grieta. 
12 
Mecánica de la Fractura 
La energía contra la que se compara G, como criterio energético para que haya propagación 
de grieta es R=2yc, que abarca tanto la energía necesaria para crear nuevas superficies de 
grieta como la requerida para formar nuevas zonas plásticas en la punta de la grieta que se 
propaga. Cuando se analizan materiales frágiles no hay deformación plástica, por lo que R 
sólo contempla la energía para crear nuevas superficies de grieta. Por otro lado, si el 
material es dúctil ésta última energía resulta pequeña comparada con la energía plástica, lo 
cual explica la mayor cantidad de energía requerida para propagar una grieta. 
Así, Grifith definió que la propagación de grieta ocurrirá si hay suficiente energía en la placa 
para que al liberarla se provea una energía igual o mayor a la resitencia que opone la grieta a 
crecer. Por tanto, existe un valor crítico G(" que de alcanzarse provocará la propagación 
inestable de falla. Este valor es Gc=R, y se considera el criterio energético de falla. 
Al obtener la ecuación (1.6) se supuso que los extremos de la placa quedaban fijos. Esto 
implica que la carga externa no realiza trabajo alguno y que la energía para propagar la 
grieta se obtendrá de una liberación de energía elástica de la placa. Si los extremos de la 
placa quedan libres. al moverse debido a la aplicación de la carga ésta realiza un trabajo F, 
que deberá añadirse a la ecuación ( 1. 1 ). de modo que para una grieta de espesor unitario, la 
condición de propagación es: 
(i=.!!._(F-11)=~(/'dv _dllt) 
da H da da 
(1.7) 
donde Ut es la energía elástica total en la placa de espesor B: 
111 = f Pv = f Ci'' ( 1.8) 
y donde P es la carga aplicada constante 
e es la flexibilidad ( compliance, inverso de la rigidez). 
Así, dependiendo si se consideran extremos fijos o carga constante se calcula: 
Ci=~(ºll) 
H fJa ,. 
ó 
u= p' ne 
2H Da 
( 1.9) 
( 1.1 O) 
En conclusión, para un caso con extremos fijos, G representa la energía elástica. Si los 
extremos están libres. a carga constante, O representa la energía debida a la carga externa. 
El resultado es el mismo y por tanto G puede calcularse siempre a partir de la energía 
elástica. 
13 
Mecánica de la Fractura 
A continuación se deduce gráficamente la energía de 
propagación de grieta: Considérese una placa 
agrietada de tamaño infinito y espesor unitario, con una 
grieta transversal en el centro de magnitud 2a (ver fig. r, 
1.3). La placa se somete a un esfuerzo de tracción cr y 
se fijan sus extremos. En Ja figura 1.4 se muestra el 
diagrama carga-desplazamiento de Ja placa; Ja energia 
elástica de la placa esta representada por el área OAB. 
Si Ja grieta se propaga una cantidad da, la rigidez de la 
placa disminuirá (línea OC). Jo que significa que algo 
de carga será relevada ya que Jos extremos están fijos. 
En consecuencia, la cantidad de energía elástica en Ja pla-
ca disminuirá hasta una magnitud representada por el 
área OCB. Se concluye que Ja propagación de grieta 
j Carga 
D 
R 
1 
=,el Grieta dt! longitud n 
1 
1 1 '-r Gricla de longitud 
l ¡ a+da 
1 1 
B F 
----. Elongación 
Figurn J .4 
Gráfica carga vs elongación 
desde a hasta a+da resulta en una descarga de energía elástica de magnitud igual al área 
OAC, representada en Ja ecuación ( 1.9). Si la propagación de grieta ocurre a carga 
constante Ja elongación aumenta en un valor 6.v. El trabajo realizado es igual al área AEFB, 
con un aumento en el contenido de energía elástica desde OAB hasta OEF, dado por OAE 
(ecuación 1.1 O). Esta energía debe ser proporcionada por Ja carga. Como el área AEFB es 
dos veces OAE, permanece una cantidad de energía equivalente a OAE. Despreciando el 
pequeño triángulo AEC se llega a que OAC=OAE. Esto implica que Ja energía disponible 
para la propagación de grieta en ambos casos es la misma. 
1.5 CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO DE ESFUERZOS 
EN LA VECINDAD DE LA PUNTA DE LA GRIETA. 
El análisis del campo de esfüerzos en la punta de Ja grieta para el modo de carga 1 considera 
una placa plana lineal elástica que puede analizarse mediante alguna función que satisfaga su 
ecuación correspondiente, de modo que los esfuerzos y desplazamientos resultantes se 
acoplen a las condiciones de frontera del problema. 
. .,,_ -""' 
Figura 1.5 Coordenadas en la l'ccindad de punta de grieta 
14 
Mecánica de la Fractura 
La función encontrada por Westergaard ha probado acoplarse a los requerimientos 
anteriores. Partiendo de funciones complejas, utilizando las expresiones siguientes se 
obtienen los valores de esfuerzos elásticos para la región que rodea la punta de la grieta, 
considerando un sistema de coordenadas polares (r, 9) con origen en ella (ver figura 1.5): 
(1.11) 
Estas ecuaciones muestran el incremento en el valor de esfuerzos al disminuir la distancia r 
entre un punto cualquiera y la punta de la grieta. Al considerar valores de r cercanos a cero 
se presenta un incremento en el esfuerzo, siendo en el límite una singularidad, es decir, el 
esfuerzo se vuelve infinito. Esto no ocurre en la realidad pues la punta de la grieta puede 
soportar cierto nivel de esfuerzo, pero impide utilizar la ecuación ( 1.11) para analizar 
problemas con grietas. Sin embargo, a partir de estas ecuaciones se puede establecer el 
factor de intensidad de esfuerzos K = Y cr"' & . que sustituido en las ecuaciones anteriores 
permite expresarlas co1110: 
K 
º" = =/(9) {1.12) 
v2rrr 
Analizando la ecuac1on anterior se puede concluir que K es un parámetro dentro de la 
ecuación ( 1. 12) cuyo valor reflejará las condiciones de esfücrzo presentes alrededor de la 
punta de la grieta, y aunque también depende de la geometría Y, da una relación práctica 
entre el tamaño de grieta, la magnitud del esfuerzo aplicado y las condiciones de esfuerzo 
resultantes en la zona. Asi mismo puede observarse que para un valor crítico Kc la grieta 
comenzará a propagarse. 
Es importante entender la diferencia entre K y Kc. K es el valor de un coeficiente en una 
ecuación que describe el campo de esfuerzos elásticos en la proximidad de la punta de Ja 
grieta y esta relacionado con la carga aplicada. en tanto Kc es un valor particular de K para 
el cual se presenta la pro1mgación inestable de la grieta y permite predecir qué carga la 
provocará. En el caso especifico del 111odo 1 de carga. se ha obtenido el valor de Kc para 
distintos materiales. denominando a este valor tenacidad a la frac! ura ó Kll', pará111etro que 
se considera una propiedad del material, aunque de alguna manera depende también de la 
geometría. 
Se utilizan los r érminos K11c, o K111e, en referencia a los modos de carga 11 y [{[ 
respectivamente. También se designan K1.i comn tenacidad a fractura dinámica, modo 1 de 
carga, o K1o, tenacidad de relevo de grieta, modo l. Los valores de K se ven afectados por 
distintos factores. 
15 
Mecánica de Ja Fractura 
Otras consideraciones importantes relativas a K1c son: 
1.- K1c es un valor puntual. El parámetro obtenido en pruebas será un promedio de los 
valores puntuales obtenidos a Jo largo de toda la grieta. 
2.- K1c se evalúa en modo de carga I y para deformación plana. Para esfuerzo plano se 
maneja el valor K1c. 
El uso del factor K1c debe hacerse con precaución, debido al amplio rango de valores 
publicados en Ja literatura. En caso de duda debe investigarse bajo qué condiciones y en qué 
tipo de material se obtuvo el valor, pues por ejemplo, para el acero AISI 4340, según la 
fuente se encuentran valores entre 3 7 y 88 Ml'a.¡;;; [ 1.20]. Este parámetro es sensible a Ja 
velncidad de Ja deformación unitaria (strain-rate) ya que al aumentar esta, el factor de 
intensidad de esfuerzos crítico disminuye. Esto explica el hecho de que las estructuras 
agrietadas soporten menos carga en condiciones de impacto que en condiciones cuasi 
estáticas [ 1.21] 
Una suposición importante en las ecuaciones de esfuerzo ( 1. 12) fue que el radio en Ja punta 
de Ja grieta es cero. Esta condición no es estrictamente verdadera, aunque su tamaño real es 
pequeño. Al concentrarse esfuerzos en esta región, se presenta siempre alguna deformación 
plástica alrededor de la punta de la grieta. 
Para estos casos, Jrwin [ 1.22] argumenta que Ja grieta se comporta como si fuera mayor de 
lo que en realidad es. Por tanto sustituye el tamaño de la grieta fisica a por otra a,1=a+rp*, 
donde rp * es Ja llamada corrección de zona plástica de 1 rwin y depende del valor de a, del 
esfuerzo aplicado y del esfuerzo de cedencia del material. Al utilizar esta corrección debe 
corregirse también el valor de K para incluir también a rp* . El valor de rp* debe afectarse 
por un factor de corrección cuando se utiliza en deformación plana.(fig. 1 .6). 
figura J .(1 Corrección de zona plúslica de lrwin 
16 
Mecánica de la Fractura 
Alternativamente, Dugdale [ 1.23] utiliza un criterio distinto para encontrar la extensión del 
la zona plástica en la punta de la grieta, que arroja resultados semejantes a los obtenidos de 
un análisis que considere una distribución continua de dislocaciones. Supone que el 
esfuerzo de fluencia en la zona frente a la punta de la grieta fisica d (en la que aún no hay 
grieta y que aún puede soportar el esfuerzo de fluencia) tiende a cerrar la grieta, 
comportándose como otra K que, para cierto valor de d, compensa la concentración de 
esfuerzos en la punta y hace desaparecer la singularidad. En base a lo anterior se elige el 
valor de da partir de K y de O}"' (fig. 1.7). 
o 
1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 11 1 ¡ -
o 
Figura 1.7 Corrección de zona pliistica de Dugclale 
1.6 CARACTERÍSTICAS DE LA ZONA PLÁSTICA. 
Analizando las ecuaciones que describen la condición de esfuerzos en la vecindad de la 
punta de la grieta para varios valores de r y B y aplicando algún criterio de fluencia, 
usualmente el de Tresca o el de Von Misses, pueden obtenerse gráficas que describan la 
forma de la zona plástica en la punta de la grieta. El tamaño y geometría de estas zonas 
varían ligeramente según el criterio aplicado (figura 1.8). 
Figura 1.8 Zona ph\stica segím criterios de nuencia 
17 
Mecánica de Ja Fractura 
Debe aclararse que se presenta un error al obtener estas geometrías: Al limitar el esfuerzo 
con el esfuerzo de fluencia el material debe soportar una carga adicional fuera de la frontera 
supuesta. La corrección de este error no es sencilla, y varios investigadores han tratado de 
lograrlo, obteniendo diversas geometrías. Destacan los resultados de Tuba [ 1.24] que según 
Broek (1.25] se acercan más a los resultados experimentales. (fig. 1.9). 
El tamaño de la zona plástica se ve seriamente afectado por 
el espesor de la placa, pues con él cambia el estado de 
esfuerzos presente en su sección transversal. Para observar 
esto último conviene repasar un poco los dos casos de 
estado de esfuerzos bidimensionales a saber, esfuerzo plano 
y deformación plana, por lo que a continuación se explican 
brevemente: 
El esfuerzo plano se presenta en una placa muy delgada, que 
queda sujeta a esfuerzos biaxiales y coplanares a ella. y que no 
soporta ningún esfuerzo en dirección normal al plano principal 
que deba tomarse en cuenta. 
. 
a/0'1 1 :O.• 
:O.~ a 
=0.156 
=0.75 
Figura 1.9 
Zona plústica según Tuba 
Por otra parte, la deformación plana se desarrolla en elementos estructurales gruesos, en Jos 
que por simplicidad se utiliza el plano transversal de una región representativa para ser 
analizados. El mayor espesor provoca que, debido a Jos efectos de Poisson y a las 
restricciones de desplazamiento debidas a la presencia de material en dirección normal al 
plano analizado, se presenten esfüerzos triaxiales, Jo que restringe el desplazamiento en 
dirección normal al plano, que valdrá cero. 
Cuando se analiza una placa gruesa agrietada se presenta una combinación de esfuerzo plano 
y deformación plana, ya que la superficie (en Ja que no hay restricción de deformaciones en 
Ja dirección del espesor) se comporta siempre a esfüerzo plano, en tanto Ja zona central 
trabaja a deformación plana. Entre estas regiones definidas se presenta una transición. Así. 
los puntos de isoesfuerzos que delimitan la zona de deformación plástica trazan una 
geometría característica (fig. 1.1 O). 
Figura 1. IO Gcomc1ría de la zona phislica 
18 
Mecánica de Ja Fractura 
Como puede observarse en la figura 1.8, el tamaño de la zona plástica resulta 9 veces 
menor en Ja zona de deformación plana comparado con Ja de esfuerzo plano. La menor 
cantidad de deformación plástica implica una menor capacidad de absorber energía. Así, el 
valor más crítico del factor de intensidad de esfuerzos Kc se presenta en condiciones de 
deformación plana en el centro de la placa, Jo que implica que se requiere una carga menor 
para iniciar la propagación de grieta. Como criterio, se espera esfuerzo plano si el tamaño 
de la zona plástica es semejante o del mismo orden de magnitud que el espesor de placa. Se 
espera deformación plana si el tamaño de Ja zona plástica en esfuerzo plano en la superficie 
no es mayor a 1/10 del espesor de placa. 
D 
KJc -----------------""----
... e, B 
Figura 1.11 Gráfica Kc vs espesor J l.11 J. 
De acuerdo a lo anterior, las condiciones más críticas se presentan cuando se genera un 
estado de deformación plana. Es en este caso en el que al factor de intensidad de esfuerzos 
crítico K1c al inicio de la propagación de grieta se Je denomina Tenacidad de Fractura. Es 
menor al factor de intensidad de esfüerzos crítico en condiciones de esfuerzo plano, como se 
muestra en la gráfica de K1c vs B. Al efectuar pruebas mecánicas para determinar K1c se 
utilizan las superficies libres resultanles para asegurar que el espécimen se comportó bajo 
deformación plana. (ver tig. 1. 11) 
El estado de esfuerzos que predominó en un caso de fractura puede deducirse analizando las 
superficies libres resultantes de la fractura. El caso de esfuerzo plano. y la consiguiente 
presencia de deformación plástica. origina superficies cortadas a 45º debidas a que los 
esfuerzos principales son co11antes. Cuando se presenta deformación plana la falla ocurre en 
planos normales a la dirección del esfuerzo aplicado, pues al no haber deformación plástica 
los esfuerzos principales son los normales. En casos intermedios se presenta una 
combinación de l0s dos tipos de superticie mencionados. 
K1c se obtiene a partir de pruebas mecánicas generalizadas, entre las que pueden 
mencionarse como principales la de ASTM E-399-78 (American Society for Testing 
19 
Mecánica de Ja Fractura 
Materials), la ASTM E-813-81 
[1.26, 1.27, 1.28]. 
o la BSI BS 5447 (British Standards Institute) 
1.7 LA INTEGRAL J. 
La mecánica de fractura lineal elástica, que conjunta las teorías de Grifith e lrwin, aunque 
resulta de gran utilidad en casos puramente frágiles, no puede aplicarse a casos no lineales 
que presenten deformación plástica considerable en la punta de la grieta. Surge así la 
necesidad de un enfoque más general que permita analizar estos casos: Ja mecánica de 
fractura elastoplástica. Esta ha logrado predecir el inicio de propagación de grieta 
apoyándose principalmente en dos conceptos: La integral J y el desplazamiento de apertura 
de grieta COD. 
AJ igual que G, el concepto de Ja integral J se basa en un balance de energía. Al deducir G se 
utilizó la ecuación: 
ll=U11 +ll
0
+U,-F (1.1) 
considerando únicamente un comportamiento lineal elástico. La mecamca de fractura 
elastoplástica postula que este balance es válido en tanto haya comportamiento elástico, 
aunque este deje de ser lineal. De aquí se concluye que dentro de ciertos límites es posible 
modelar el comportamiento plástico de un material usando este comportamiento no-lineal 
elástico. 
La necesidad de un parámetro que permita evaluar el cambio en la energía potencial respecto 
al tamaño de grieta cuando el comportamiento es no lineal llevó al desarrollo de Ja integral J. 
El primero en definirla fue Elsheby [ 1.29), quien la evalúa con Ja expresión: 
J, 2u d .!= wdu-T- s 
r " (ix 
(1.13) 
Donde: ro es una trayectoria cualquiera alrededor de la punta de la grieta 
T es el vector de tracción 
u es el vector de desplazamiento 
w es Ja densidad de energía de deformación 
La dirección y se considera normal a la linea de grieta. 
20 
Mecánica de la Fractura 
Figura 1.12 
Trayectorias de integración 
r. 
Básicamente J es una integral definida en Ja zona 
que rodea la punta de la grieta que contabiliza el 
cambio de energía potencial al crecer la grieta. 
Puede demostrarse que para cualquier contorno 
cerrado J=O, lo que implica que J es igual para 
cualquier trayectoria r. Además, las superficies de 
grieta S 1 y S2 se encuentran libres de esfuerzos. 
El que la integral J sea independiente de la 
trayectoria permite calcularla a lo largo de una 
trayectoria lejana a la punta de la grieta. Esta 
trayectoria puede seleccionarse de modo que sólo 
incluya cargas y desplazamientos elásticos (ver 
figura I. 12). Así puede obtenerse la energía de 
propagación de grieta elastoplástica a partir del 
cálculo elástico a lo largo de un contorno para el 
que se conocen cargas y desplazamientos [ 1.31]. 
La integral J puede aplicarse tanto al rango lineal 
elástico como al rango no-lineal elástico. Por definición, para el primer caso J=G, en tanto 
que su cálculo para el segundo caso se basa en la ecuación ( 1.13). Por lo tanto, el concepto 
de la integral J es compatible con la mecánica de fractura lineal elástica. 
Por analogía con G, la integral J puede considerarse como una energía de propagación de 
grieta elastoplástica, y es de esperarse que haya un valor crítico J.- que señale el inicio de 
propagación de grieta. 
Los primeros en aplicar J a problemas que involucran grietas fueron Cherapanow ( 1.30] y 
Rice [ 1.8], quienes probaron que J es igual al cambio de energía potencial respecto a la 
extensión de grieta da, expresándola como: 
.1 = _ nu,. 
Da 
(1.14) 
Para casos lineales elásticos la integral J es igual a G, y puede obtenerse a partir de el factor 
de intensidad de esfüerzos. Su aplicación a casos no-lineales parte de su medición a partir 
de un diagrama carga-desplazamiento (figura 1.13) semejante al utilizado al obtener G. 
Despreciando también el área AEB se deduce que J es independiente de las condiciones 
externas: Resulta igual si se considera que los extremos de la placa están fijos o si se supone 
que hay carga uniforme, por Jo que puede escribirse: 
21 
Mecánica de la Fractura 
Figura l. IJ 
Gnífica carga .. dcsplaza111ic1llo 
(rn') (i)v) 
.f= ºª /'=-()a" 
(1.15) 
La figura 1. 13 es equivalente a la 1.4 y también representa la energía de propagación de 
grieta como el área entre las líneas de comportamiento carga-desplazamiento para tamaños 
de grieta a y a+da. Graficando esta área puede obtenerse la cantidad de energía necesaria 
para lograr una propagación de grieta de magnitud da. La integral se enuncia: 
¡ -( ov) _ J ( iJv) di' 
' - Da ,. -
11 
oa ,. 
( ''( Dv f ov 1-----dv . - ºªJ.- 11 füJ. 
( 1.16) 
Las principales limitaciones de J se deben a que resulta válida para un material con 
comportamiento no lineal. pero elástico. y por tanto reversible. La deformación plástica en la 
realidad no es reversible, y la energía disipada no puede convertirse en otras formas de 
energía. Sin embargo puede suponerse un comportamiento no lineal elástico para un material 
real en tanto no ocurra ninguna descarga y que la deformación plástica sea pequeña, lo que 
implica que, en principio, J es aplicable sólo al inicio de la propagación de grieta, y no 
durante su crecimiento. 
1.8 RELACIÓN ENTRE K, G Y J. 
La mecánica de la fractura ha logrado deducir el factor de intensidad de esfuerzos, capaz de 
describir el estado de esfuerzos presente en la punta de la grieta. K se define: 
K = y u,¡;¡:¡¡ (l. 17) 
22 
Mecánica de la Fractura 
Para el enfoque energético de Grifith se obtuvo el parámetro G, designado como razón de 
relevo de energía, que cuantifica la cantidad de energía disponible en la placa para provocar 
un posible crecimiento inestable de grieta. G suele definirse como: 
, 
Ci =~era 
E 
( 1.6). 
Posteriormente Rice [l. 8] generaliza el criterio de Grifith para casos elásticos no lineales 
mediante la integral J de Eshelby [ 1.29] definida como: 
i 
<Ju 
.!= wdy-T-d,· 
r Dx 
( 1.13) 
ó 
,/ = - illl,. 
Da 
(1.14). 
Es importante hacer notar que cada uno de los parámetros anteriores se obtiene a partir de 
distintas consideraciones conceptuales. Sin embargo, en condiciones lineal elásticas existe 
una equivalencia entre estos. Estos tres parámetros de fractura pueden relacionarse para el 
caso de deformación plana de la siguiente manera: 
.! =Ci = (1-v') K' 
¡~ 
( 1.19). 
Así, J1c puede relacionarse en deformación plana con G1ey K1c mediante la ecuación: 
. (1-v')' 
.!,,. = c,,,. = ---K,,. 
¡;; 
(1.20), 
siempre que sea válida la suposición de que el material se comporta de modo elástico y 
lineal. En caso de que se presente deformación plástica considerable, la relación anterior 
deja de cumplirse, con lo que el criterio de falla recae en el valor de J, cuyo cálculo 
involucrará relaciones no lineales de alta complejidad. Debe hacerse notar que ( 1.20) no es 
en forma estricta una igualdad. sino una equivalencia: Indica que las condiciones K1c, G1c y 
J1c se presentan simultáneamente cuando va a iniciarse la propagación de grieta. 
Para casos de esfuerzo plano se utilizan la relación ( 1. 19) modificada, siendo la relación 
correspondiente: 
. K' 
(1=.f=-
1~ 
( 1.21) 
23 
Mecánica de la Fractura 
También la relación ( 1.20) se modifica de modo análogo para así obtener una expresíi1 ·1 que 
pueda utilizarse para relacionar los tres parámetros criticos en casos de esfuerzo plano. 
Los parámetros anteriores, K, G y J se ven afectados en distinto grado por el medio 
ambiente, siendo la temperatura, la radiación y la corrosión los más importantes. Así, a 
mayores temperaturas corresponden mayores valores de Kc dependiendo del material. 
Respecto a la radiación, conforme aumenta la absorción de neutrones Kc se decrementa, y 
aunque dentro de ciertos rangos el efecto es despreciable conviene verificar cada caso 
específico. Por último la propagación de grietas debida a esfuerzos y corrosión es una de las 
principales causas de que se alcancen tamaños de grieta críticos, por lo que debe tomarse 
muy en cuenta la posible exposición de zonas agrietadas a ambientes corrosivos. 
1.9 CURVAS DE RESISTENCIA. 
La resistencia de grieta R se ha considerado hasta ahora independiente del tamaiio de la 
grieta asumiendo que se tratan problemas de deformación plana. Sin embargo en caso de 
esfuerzo plano la evidencia experimental prncba que esto no es así. A continuación se 
anexa una explicación del uso del concepto resistencia a la apertura de grieta para manejo de 
problemas en esfuerzo plano. 
Debido a las condiciones particulares de esfüerzo plano es necesario, para poder propagar 
la grieta, proporcionar cantidades extra de energía para asi crear zonas plásticas nuevas 
alrededor de la punta conforme esta avanza. La cantidad de energía va variando conforme 
aumenta el tamaño de la grieta. 
º'. i Oc 
Figura 1.14 
Curvas de rcsislcncia 
R:G1c 
CIJcínnn:ic¡,¡n pl:m:i) 
-[>O 
En la figura 1.14, cuando el espécimen se somete a un esfuerzo cr; la grieta comienza a 
propagarse lentamente. De cualquier modo, la propagación es estable y la falla no ocurre 
24 
Mecánica de la Fractura 
aún. Si el esfuerzo se mantiene a un valor constante cr; la grieta sólo se propaga un poco 
(ti.ai) y, de mantenerse constante el esfuerzo, la energía absorbida al formar la nueva zona 
plástica logra relevarlo y la propagación se detiene (punto C). Aunque ahora la grieta es 
mayor, se requerirá incrementar el esfuerzo para que la propagación continúe. El esfuerzo 
puede alcanzar un valor crítico crc que lleva la grieta a un tamaño ac para el que la 
propagación se vuelve inestable y la falla ocurre. 
Debe aclararse que este criterio representa una condición necesaria pero no suficiente para 
que se dé la propagación inestable, de modo que aunque debe satisfacerse para que esta 
ocurra, al cumplirse la falla no necesariamente se propagará, hasta que el material llegue al 
punto en el que no pueda sufrir ya mayor deformación plástica. 
Para que la propagación comience deberá antes satisfacerse el criterio energético. Durante 
la propagación lenta ocurre la condición de equilibrio exacta: G=R (de ser G<R la 
propagación se detiene; si G>R la propagación se vuelve inestable). Por tanto, para que 
ocurra la propagación inestable de la grieta (punto D), se deben cumplir dos condiciones: 
G=R y 
ílG iJR 
ila na 
(121) 
Este criterio podrá utilizase si primero se logra obtener una expresión analítica de R. Esto 
ha sido intentado por diversos investigadores. Sin embargo su delimitación exacta es dificil 
por ser el criterio energético un criterio necesario, pero no suficiente para la propagación de 
grieta. Las curvas experimentales con que se cuenta hoy en día permiten ya determinar 
dentro de ciertos límites mejores valores para predecir los niveles de esfuerzo necesarios 
para propagar, estable o inestablemente, grietas en placas planas. 
1.10 IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS NUMÉRICO EN 
MECÁNICA DE LA FRACTURA. 
Para aplicar los conceptos ele mecánica de la fractura a problemas reales es necesario 
poder determinar en casos específicos los valores de los parámetros ele fractura a utilizar. 
El parámetro al que se recurre con más frecuencia es K1. 
Hay dos distintos enfoques para obtener el valor ele K1 al analizar un problema particular. 
El primero, aplicable a geometrías sencillas, consiste en comparar el caso con la gran 
cantidad de soluciones analíticas que se encuentran en la literatura, y tratar de determinar 
si las consideraciones y restricciones de alguna solución pueden adaptarse al caso real. 
Desgraciadamente los métodos analíticos resultan en la práctica de poca utilidad, pues 
requieren ele satisfacer las condiciones de frontera de modo exacto, lo que sólo sucede en 
cuerpos y placas infinitos. Se han hecho esfuerzos para desarrollar procedimientos de 
análisis que permitan aplicar soluciones analíticas a condiciones de frontera más 
generalizadas, pero siguen siendo muy limitados. 
25 
Mecánica de la Fractura 
La necesidad de aplicar los conceptos de mecánica de fractura a problemas con 
geometrías complejas, que no pueden cumplir con las condiciones de frontera establecidas 
para soluciones analíticas, ha llevado al desarrollo de numerosas soluciones numéricas 
que aplican diversos métodos para obtener el valor del factor de intensidad de esfuerzos. 
Por su versatilidad destaca entre ellos el método del elemento finito, que permite analizar 
complicadas geometrías, problemas tridimensionales e incluso contempla aplicaciones a 
problemas elastoplásticos, soluciones no lineales, etc., casos de gran complejidad que 
frecuentemente no pueden analizarse de otra forma. Este ha tenido muy amplia 
aceptación y en la actualidad en diversos paquetes se han implementado procedimientos 
de cálculo para incrementar su potencial de aplicación en mecánica de fractura. 
Otros métodos numéricos alternativos se han desarrollado para tratar problemas con 
grietas, entre los que puede mencionarse por ejemplo el del elemento frontera, que 
discretiza sólo la frontera del dominio de estudio, requiriendo así de menos elementos; 
Sin embargo diversas limitaciones restringen su uso. La tendencia más marcada es 
utilizar problemas de elemento finto para evaluar la energía de propagación de grieta 
mediante la integral J. 
26 
Mecánica de la Fractura 
1.11 REFERENCIAS. 
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Mecánica de la Fractura 
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28 
2 
CONCEPTOS GENERALES DEL 
MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 
Se .revisan las caracteristicas del método del 
elemento finito aplicado al análisis de 
esfuerzos mediante un planteamiento general, 
describiendo las etapas a seguir durante su 
aplicación, y explicando brevemente sus 
fundamentos teóricos. Finalmente se estudian 
las ventajas y desventajas que presenta el 
método asi como el estado del art:e y 
tendencias actuales de desarrollo. 
29 
Método del elemento finito 
2.1 ORÍGINES DEL MÉTODO DEL ELEMENTO 
FINITO. 
Las teorías actuales de mecáníca de sólidos, de fluidos y otras más explican los fenómenos 
observados con modelos matemáticos representados, principalmente, con ecuaciones 
diferenciales que relacionan variables de interés aplicando principios físicos como el 
equilibrio, la conservación de la energía, la energía de deformación, el comportamiento 
elástico, etc. 
Desgraciadamente, este tipo de tratamiento (cuya utilización parte de los avances logrados 
por la escuela de elasticidad francesa -Navier, St. Venant, etc- en la primera mitad del siglo 
XIX), de probada efectividad, lleva con frecuencia a sistemas complejos de ecuaciones cuya 
solución se vuelve casi imposible excepto para casos de geometrías sencillas. 
Esto ha llevado al desarrollo de metodologías alternas que permitan tratar problemas cada 
vez más complejos simplificando en lo posible el análisis matemático mediante una mejor 
concepción fisica. Entre estas metodologías destaca actualmente el Método del Elemento 
Finito, que aplica una serie de avances cuyo desarrollo se describe a continuación. 
En el periodo de 1850 a 1880 surgen los conceptos de análisis de estructuras, desarrollados 
entre otros por Maxwell [2.1 ], Castigliano [2.2], y Mohr [2.3], los cuales asentaron las bases 
para el tratamiento matricial de distintos teoremas en forma conjunta, como el equilibrio y la 
conservación de la energía. 
Más tarde Lord Rayleigh [2.4] a partir de la mecánica de sólidos obtiene soluciones más 
reales al estudiar deformaciones en columnas y ejes, minimizando la energía resultante. La 
misma técnica fue posteriormente perfeccionada por Ritz ( 1909), según menciona [2.5]. 
Utilizando múltiples funciones independientes Ritz logró el análisis de problemas más 
complejos, aunque su método llevaba a un número de ecuaciones cada vez mayor conforme 
el problema se complicaba. En la siguiente década la falta de herramientas de cálculo 
apropiadas impidió un mayor avance. 
Hacia 1920 los trabajos de Maney (EU) [2.6] y Ostenfeld (Dinamarca) [2.7] utilizan por 
primera vez desplazamientos como incógnitas en problemas sencillos. Por otra parte, Hardy 
Cross introduce en 1932 su método de la distribución de momentos, que sirvió como base 
de análisis los siguientes 25 años [2.8]. 
Publicaciones de Courant [2. 9], Me Henry [2.1 O] y Henrikoff [2.11] introducen aspectos 
claves. Particularmente Courant, matemático, por primera vez propone descomponer un 
problema continuo en pequeños elementos y analizarlos por separado, método para el que 
vislumbra diversas aplicaciones. 
En 1950 Argyris y Kelsey, previendo la utilización de computadoras, conjunta los teoremas 
de energía con el tratamiento matricial de pequeños elementos, publicando varios artículos 
en el "Aircrall Engineering Journal" y luego en su libro [2.12]. 
30 
Método del elemento finito 
El método del elemento finito se establece por primera vez en el artículo presentado por 
Turner, Clough, Martin y Topp (1956) (2.13], a quienes se reconoce como sus creadores, 
donde reportan su aplicación al análisis de esfuerzo plano, utilízando elementos triangulares 
y rectangulares, y representando con matrices de rigidez el comportamiento de cada 
elemento. La primera aplicación fue para la industria aeroespacial, a la que estaban 
estrechamente vinculados los autores. Posteriormente, en un articulo publicado en 1960, 
Clough emplea por primera vez el nombre de Método del elemento finito (2.14]. 
Durante la década de los 60's se desarrollaron aplicaciones para distintos principios por 
Besseling (2.15], Mclosh (2.16] (que demuestra que el método es una variación del proceso 
Raleigh-Ritz), Janes (2.17], Gallager [2.18], Pian (2.19], Fraeijs de Veubeke (2.20], 
Herrrnan [2.21 ], Prager (2.22,2.23], Tong y Pian (2.24] y Tong (2.25]. 
Durante este periodo se comienza a implementar el uso de computadoras y a definir 
paquetes de software como: NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis), ASKA (Automatic 
Sistem far Kinematic Analysis, basado en trabajos de Argyris), SAP (Structural Analysis 
Program, desarrollado por un discípulo de Clough), ABAQUS, ANSYS, y COSMOS entre 
otros. 
Las primeras publicaciones: Zienkiewicz y Cheng 1956, Visser 1965 y Wilson y Nickell 
1966 mostraron aplicaciones para transferencia de calor, surgiendo inmediatamente después 
otras para mecánica de fluidos. 
El rango de utilización se amplió cuando otros investigadores (Szabo y Lee 1969, o 
Zienkiewitcz 1971 ). mostraron que las ecuaciones elementales de mecánica estructural, 
transferencia de calor y mecánica de fluidos podían también derivarse por métodos como el 
Galerkin o el de aproximación por mínimos cuadrados. Esto mostró que el MEF podía 
aplicarse a cualquier ecuación diferencial. 
2.2 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO. 
La idea básica del Método del Elemento Finito (MEF) es representar un problema complejo 
como un gran sistema de ecuaciones lineales a resolver mediante métodos numéricos con la 
ayuda de la computadora. 
Parte de que cualquier campo puede ser modelado numéricamente subdividiéndolo en 
regiones o modelos discretos, llamados elementos finitos. cuyo comportamiento individual 
se describe utilizando una serie de funciones definidas para cada elemento y elegidas de 
modo que aseguren la continuidad del comportamiento descrito a lo largo de todo el 
continuo. 
En otras palabras, es dividir el cuerpo en un sistema equivalente de cuerpos más pequeños 
que se analizan por separado, de modo que al ensamblarlos se obtiene una representación 
del modelo original. 
31 
Método del elemento finito 
Para análisis estructural, según las condiciones de frontera y los parámetros a calcular surgen 
diversos enfoques del método. Se conocen como: 1. Método de desplazamientos: En el 
que los desplazamientos son las incógnitas, y que se emplea para determinar las 
deformaciones máximas que puede sufrir un cuerpo para ciertos valores de esfuerzo máximo 
determinado. 2. Método del equilibrio: Donde se busca determinar el valor de los esfuerzos 
a que se sujeta un cuerpo al aplicarle diversas excitaciones externas. 3. Método mixto: En 
el que se conocen algunos esfuerzos y algunos desplazamientos, y se buscan sus valores en 
determinados puntos en el cuerpo. 
El método puede resumirse en siete pasos básicos que se explican a continuación: 
1.- Discretizar el continuo: Es dividir el cuerpo en partes pequeñas llamados 
elementos finitos. Debe seleccionarse cantidad, tipo y tamaño de los elementos. 
2.- Selección de los polinomios de intepolación: Se definen las incógnitas y la forma 
en que se espera se distribuyan en cada elemento. 
3.- Definir las ecuaciones de los elementos: expresar la ley constitutiva en forma de 
ecuaciones generales de tipo matricial aplicables a cualquier elemento del 
cuerpo. 
4.- Ensamblar las ecuaciones de los elementos y definir las condiciones de frontera: 
Crear matrices de rigidez, de fuerzas y de desplazamientos para todo el cuerpo 
analizado a partir de las matrices de cada elemento. Para incluir el efecto que 
causan determinadas situaciones externas se incluyen condiciones de frontera. 
5.- Solución de las incógnitas: Las matrices creadas en el paso anterior definen un 
gran sistema de ecuaciones que se resuelve utilizando algún método numérico 
como el de Gauss-Jordan. Para el caso de problemas de análisis de esfuerzos 
generalmente se obtienen los desplazamientos nodales. si se emplea el método de 
despl.azamientos. 
6.- Solución de variables secundarias: Es obtener resultados adicionales, a partir de 
los resultados obtenidos en el paso anterior. En nuestro caso se calculan los 
esfüerzos y las deformaciones unitarias. 
7.- Interpretación de los resultados: Obtener gráficas, dibujos o tablas que permitan 
visualizar mejor los resultados. 
La exactitud de los resultados se incrementa con el número de elementos, por lo que la 
cantidad de datos a manejar y el tamaño de los sistemas de ecuaciones generado hacen 
indispensable el uso de computadoras para efectuar las operaciones. 
A continuación se desarrolla más extensamente cada uno de los puntos anteriores, 
cxplicandolos para el caso especifico del análisis de esfuerzos. 
32 
Método del elemento finito 
2. 2. 1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. 
La discretización del continuo es el primer paso en la aplicación del MEF. Consiste en 
limitar el cuerpo y definir la forma en que se dividirá, de modo que se obtenga una 
representación adecuada del problema real. 
Limitar el continuo en ocasiones es dificil. Determinar su tamaño en zonas donde la variable 
de interés varía en distancias cortas o cuando en una región tiende a infinito exige definir un 
contorno de influencia cuya magnitud resulte representativa. 
El procedimiento para dividir el total comienza creando regiones que a su vez se subdividen 
en zonas más pequeñas, creándose una malla o red de elementos finitos. Los elementos se 
e.nlazan en los nodos, que son puntos en los que se registrará el cambio en las propiedades y 
se transmitirá de un elemento a otro. (figura 2.1 ). 
12 15 
Figura 2.1 
Discrctización. Regiones (A) y elementos (8) 
El analista debe determinar básicamente dos puntos: 
-Tipo de elemento a utilizar 
-Tamaño de los elementos (densidad de la malla) 
JU 
Esta decisión no depende de un procedimiento bien determinado sino de la comprensión del 
problema y del juicio ingenieril desarrollado. 
La subdivisión del total en partes puede ser vista según dos interpretaciones diferentes: 
En la primera, el total se visualiza como un ensamble de elementos-bloques, interconec-
tados en sus puntos nodales. Los elementos se asumen continuos y se les asignan las 
propiedades del material que los compone. Es el caso, por ejemplo, de una armadura 
isostática en la que cada viga es un elemento independiente unido a los otros mediante 
pernos o articulaciones. 
33 
Método del elemento finito 
La segunda interpretación implica que el continuo se subdivide en zonas (elementos) 
mediante lineas imaginarias o planos imaginarios. Las incógnitas se monitorean en puntos 
llamados nodos. Esto permite aplicar procedimientos variacionales asumiendo un conjunto 
de modelos de desplazamiento, cada uno de los cuales se aplica a una sola región. Un 
ejemplo de esto podria ser el análisis de una viga que se divide en elementos imaginarios 
para analizar por separado pequeñas regiones simples, influenciadas por otros elementos 
vecinos. 
Para cualquiera de las dos interpretaciones se debe poder definir el comportamiento de cada 
elemento según su geometría y las propiedades del material, de modo que la función general 
pueda aplicarse a cualquier elemento del ensamble. 
2.2.1.1 TIPOS DE ELEMENTOS 
Dependiendo de la representación deseada y del análisis a 
realizar los programas actuales permiten elegir entre una 
gran cantidad elementos. A continuación se enlista una 
clasificación básica según los tipos y formas más comunes. 
Dependiendo del programa utilizado y de la aplicación 
pueden definirse elementos especiales cuyas características 
aumenten las posibilidades y exactitud de análisis. 
A) Unidimensionales 
Utilizados cuando las características y comportamiento 
del sistema se definen en una sola dimensión. Se 
representan con una línea, aunque en la realidad el 
elemento tendrá una sección transversal uniforme. Su 
ventaja principal reside en la reducida capacidad de 
computadora que requieren, por lo que permiten obtener 
resultados rápidamente. Como ejemplo de aplicación esta 
el caso de elementos estructurales sujetos exclusivamente a 
tracción y compresión. 
B) Bidimensionales 
con dos nodos: 
,,---------------,-\ 
: ·- . 1 l 
l l 1 
' ' ' ·-- --:-:""::.~-~-~-- ~--~-.'. 
curvo con ,;.;~ ·~~d~ 
(~~~~~:~i::~i~~~XD 
,-.,,e:, 
ClllVO C~U C~atro .. nodOS · 
Figura 2.2 
Elementos unidimensionalt:s 
Utilizados en problemas cuyo dominio de estudio esta definido en dos dimensiones. Los hay 
de diversos tipos y aunque se representan con figuras planas se considera que poseen un 
espesor constante. Frecuentemente se utilizan modelos bidimensionales para representar 
problemas en tres dimensiones, como esfuerzo plano o para deformación plana, o como 
sucede en el caso de los elementos axisimétricos. Los principales tipos son: 
34 
Método del elemento finito 
con lres IHKlus con seis nodos 
Figura 2.3 
Elementos triangulares 
Triá11¡.[1i/os 
Conformados por tres nodos primarios corno 
mínimo, tienen corno principales ventajas la 
facilidad con que representan prácticamente 
cualquier superficie, y la poca capacidad que 
demandan a la comput .. dora en tiempo y memoria. 
Debido a esto llevan a análisis más rápidos que 
aquellos que utilizan otros tipos de elemento. Por 
otro lado, debe tenerse cuidado pues su uso puede 
limitar la exactitud de los resultados, debido a que 
las deformaciones constantes tienden a crear esfuer-
zas constantes en el interior del elemento, que afec-
tan los esfuerzos nodales aplicados a elementos vecinos. (fig. 2.3) 
Rectá11g11/os 
Aunque utilizan más tiempo y memoria y no son 
tan flexibles al representar geometrías 
complicadas, suelen ser los más utilizados ya que 
obtienen resultados más exactos y facilitan la 
visualización del problema. Suelen tener 4 
nodos, aunque éste número aumenta al incluir 
nodos secundarios o internos. (fig. 2.4) 
E/e111e11/os axisimélricos 
Se emplean para modelar volúmenes de 
revolución de sección constante en el plano r-z. 
Hay elementos axisimétricos unidimensionales, o 
bidimensionales, tanto lineales como de orden 
superior (fig. 2.5). 
z 
C) Tridimensionales 
Figura 2.4 
Elementos rectangulares 
Aunque hay una gran cantidad de problemas de 
ingeniería que pueden ser representados mediante 
elementos de una o dos dimensiones. se presentan 
problemas que por su falta de simetría, por poseer 
secciones transversales no constantes o por no 
poderse representar con elementos axisimétricos 
deben analizarse necesariamente en tres dimensio-
nes. De hecho cabe subrayar que el MEF representa 
Fig 2.5 
Elcmcnlo uxisimétrico 
hoy en día el único método de análisis disponible 
para estos casos. Los tipos de elementos utilizados 
son: 
35 
Método del elemento finito 
Tetraedro 
Pueden modelar cualquier geometría y requiere menos tiempo y memoria que otros 
elementos tridimensionales, pues se puede definir con sólo 4 nodos primarios. Sin embargo 
al utilizarlos la discretización se complica, la visualización y la interpretación se vuelven 
complejas, además de aumentar el número de elementos necesarios para representar una 
zona, por lo que son poco usados (fig. 2.6). Tienen los mismos problemas que los 
triángulos y su uso puede limitar la exactitud. 
con 4 nodo:-o 
Figura 2.6,. T.itra;,¡¡~,;" 
Hexaedm 
También conocidos como ladrillos, bloques o paralelepípedos, son los más utilizados pues 
permiten una mejor comprensión de la malla. Tienen 8 nodos primarios, pudiendo complicar 
su forma para obtener elementos curvos de tipo cascarón y adaptarse a formas más 
complejas (fig. 2. 7). 
Figura 2. 7. Elementos lipo bloqnc o ladrillo de 8 nodos 
Pentaedm 
O prisma, utilizado para cuerpos de tipo prismático, y 
aplicaciones especiales. Es de poca utilización pues involucra 
mayor complejidad en el ensamble, además de que a veces 
puede requerir más tiempo y memoria de la computadora. 
Puede tomar diversas formas según la base que se use, 
aumcnlando al mismo tiempo el número de nodos. Así puede 
haber prismas triangulares, pentagonales, etc. (tig. 2. 8). En 
ocasiones se forman colapsando en una linea alguna cara del 
hexaedro o ladrillo. 
Figura 2.11. Pcnlacdro 
36 
Método del elemento finito 
En términos generales, la forma de los elementos debe ser lo más simétrica posible, para 
asegurar la exactitud de cálculo al utilizar las funciones de forma. Así, los triángulos deben 
tender a triángulos equiláteros, los rectángulosos deben aproximarse a cuadrados, y los 
elementos tridimensionales debe procurarse sean figuras geométricas regulares. 
2.2.1.2 NODOS 
Los nodos son uniones o puntos de evaluación de 
propiedades. Dependiendo de Ja complejidad que 
requiera la geometría y el comportamiento de la 
incógnita de un elemento pueden utilizarse distintos 
tipos de nodos: 
a,b y e son nudos inlemos 
a)Externos, situados en las fronteras del elemento y 
que a su vez se clasifican en: 
-primarios, que delinen los extremos o aristas del 
elemento 
-secundarios. Éstos permiten representar mejor la Figur.i 2.9 
frontera del elemento y considerar varios tipos de Nodos en un cle111c1110 ripo l:idrillo 
comportamiento en las incógnitas. Si la linea nodal 
queda definida sólo por sus nodos primarios, representará una linea recta. La inclusión de 
un nodo secundario permitirá representar una geometría y un comportamiento de la 
incógnita cuadráticas (definida por tres puntos); de igual manera, dos nodos secundarios 
permiten representar cúbicas, y así sucesivamente (figura 2. 9 y 2.1 O) 
b )Internos. utilizados en elementos bidimensionales y tridimensionales, se sitúan dentro de 
los planos nodales, y permiten representar el comportamiento de la incógnita como 
superficies curvas (figura 2. 9). 
Figurn 2.JO 
Comportamientos lineal y cnadnltico de In incógnif:I en dos elementos distintos 
-X 
37 
Método del elemento finito 
Los posibles desplazamientos en cada nodo dependen de sus grados de libertad. Un grado 
de libertad es un desplazamiento independiente que se prevé puede ocurrir en un nodo. 
Generalmente, los grados de libertad se definen paralelos a los ejes principales en el caso de 
desplazamientos. Así, un nodo limitado a moverse en dirección X tendrá un solo grado de 
libertad. Las rotaciones se consideran también como grados de libertad independientes y se 
definen como giros alrededor de los ejes principales. 
Asi se determina que el máximo número de grados de libertad para un nodo en el espacio es 
de 6: 3 grados por variaciones respecto a los tres ejes principales y otros otros 3 grados por 
rotaciones respecto a los mismos ejes. 
Se debe tomar en cuenta también que la consideración de grados de libertad innecesarios, 
aunque no afocta el resultado, aumenta en cambio la capacidad y tiempo demandados a la 
computadora. 
2.2.1.3 TAMAÑO DE LOS ELEMENTOS 
Respecto al número de elementos que deben conformar una malla, y por tanto su tamaño, 
se deben considerar dos puntos: 
• Por un lado, la exactitud del método aumenta al considerar más elementos. En 
las regiones en que se presentan concentraciones de esfuerzos se hace necesario 
utilizar una malla más fina. para incrementar la exactitud de la representación. 
De hecho, la posibilidad de refinar la malla en regiones que exijan mayor 
exactitud es una de las grandes ventajas del método. 
• Por otra parte, cualquier computadora tiene un límite de memoria utilizable. 
Entre más elementos se usen, mús memoria se necesita. Así, el equipo marca un 
límite en este aspecto. Además, el tiempo requerido por la computadora para 
efectuar las operaciones aumenta con el número de elementos utilizado, y con él 
el costo computacional. 
Resumiendo, para determinar el número de elementos a utilizar debe definirse una solución 
de compromiso entre exactitud y memoria-tiempo disponible. 
38 
Método del elemento finito 
2.2.2 SELECCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE 
INTERPOLACIÓN. 
Cuando el MEF se emplea para análisis de esfuerzos se utilizan Jos puntos nodales para 
evaluar los desplazamientos y a partir de estos obtener esfuerzos o deformaciones unitarias, 
para lo que se requieren distintos modelos de desplazamiento según el comportamiento 
esperado. 
El comportamiento individual de cada uno de los elementos en que se subdividió el continuo 
y la manera en que un efecto se transmitirá en el interior del elemento y hacia los otros 
elementos, proporcionará después los distintos resultados para cada región. 
Para esto se definen las llamadas funciones o modelos de desplazamiento, que relacionan el 
valor de cada variable con su posición relativa a un nodo o a un origen común. Suelen ser 
polinomios o funciones trigonométricas; por su fácil manipulación matemática normalmente 
se prefieren los primeros. También se conocen como polinomios de interpolación o 
funciones de forma. Su tamaño y complejidad depende de los grados de libertad y 
condiciones de continuidad considerados. 
El método, finalmente, obtendrá soluciones aplicando los valores calculados con estas 
funciones de desplazamiento, pues una vez conocidas las incógnitas en los nodos, utilizará 
estos polinomios de interpolación para estimar los valores que adquieren en el interior de 
cada elemento y proporcionar soluciones continuas. 
Para asegurar la convergencia del método y Ja obtención de resultados cercanos a la realidad 
se debe procurar que los modelos de desplazamiento cumplan con dos caracteristicas: 
A) Que sean compatibles, esto es, los modelos deben de ser continuos dentro del 
elemento y sus desplazamientos iguales a los de elementos adyacentes, 
asegurando con esto la continuidad del modelo. 
B) Que sean elementos completos, es decir, deben incluir los desplazamientos de 
cuerpo rigido del elemento y los estados de deformación que sufra. 
Como ejemplo de lo anterior, a continuación se obtendrá un polinomio de interpolación para 
el caso unidimensional. 
Considérese un elemento unidimensional con dos nodos. 1 y 2, para el que se desean definir 
dos funciones N 1 y N2 que representen la variación de una propiedad (p.e. del 
desplazamiento) a lo largo del elemento. A continuación se grafican el valor del 
desplazamiento contra la posición entre los nodos. (figura 2.11) 
39 
Método del elemento finito 
1 2 rj X x)J 1 '"-=·I 
Elernen10 en 1:uonJenada1 globalea 
IJ incJCÓ!'l'ila·•.\ u, 
"1 - ·Cl 
1 2 1 2 
lntcrpol1ef6n lineal del dc1plaznmienrn dentro del elemento 
Figura 2.11 
La notaCión utilizada será: 
u r valor real del desplazamiento en el nodo 1. 
u2 valor real del desplazamiento en el nodo 2. 
q 1 valor interpolado del desplazamiento para el nodo l. 
qi valor interpolado del desplazamiento para el nodo 2. 
Xr posición del nodo 1 respecto a un sistema global de coordenadas. 
X2 posición del nodo 2 respecto al sistema global de coordenadas. 
La característica principal del polinomio N esta dada por el valor que asigna al 
desplazamiento en cada nodo: 
N1(X1)=l 
N1(X2)=0 
Nz(X1)=0 
Nz(X2)= 1 
Todas las ecuaciones se formulan para un sistema local de coordenadas cuyo origen, en este 
caso, se encuentra en el centro del elemento. Este sistema especifica la posición en términos 
de I; , definida como: 
2 
1;=--(X-X,)-1 (2.1) 
x,-x, 
tal que asigna los valores + 1 y -1 a las posiciones extremas del elemento (posiciones de los 
nodos 1 y 2 respectivamente). Así cualquier punto dentro del elemento queda definido con 
un valor 1; entre 1 y -1. Considerando lo anterior, se definen las funciones de forma como: 
N,(1;)= l-1; (2.2) 
2 
N'( i:)=
1+i; 23) .., ( .. 
• 2 
40 
Método del elemento finito 
Función de (onn:i N l Función de íorma N2 
ln1crpnlod1\n U!lantlo N 1 y Nz 
Figura 2.12 
que varían entre O y 1, permaneciendo continuas a lo largo de todo el elemento. Por último, 
debe cumplirse que las derivadas de estas funciones a ambos lados de un punto sean iguales. 
Utilizando las funciones descritas puede ahora expresarse el desplazamiento: 
u.= N,q, + N2q2 (2.4) 
O, en forma matricial: 
Un=Nq (2.5) 
Donde: 
{N}=(N, N,] 
{q}=[q·] 
q, 
a {q} se le conoce como el vector desplazamiento del elemento. 
Obtener el vector {N} para elementos bidimensionales y tridimensionales se complica, al 
aumentar el número de nodos y por tanto de funciones necesarias para cumplir con los 
requisitos mencionados. 
Sin embargo, las funciones de forma están ya calculadas y definidas para los principales tipos 
de elementos. Así, al utilizar un programa de elemento finito basta especificar el tipo de 
elemento utilizado y el tipo de función con que se desea calcular su comportamiento 
(polinomio lineal, cuadrático, cúbico o función trigonométrica) con lo cual el programa 
asigna las funciones predeterminadas. 
41 
Método del elemento finito 
Las funciones se sustituyen en las ecuaciones que describen el comportamiento del cuerpo, 
como se verá a continuación, con lo que se garantiza que los efectos registrados en cada 
elemento afecten a los elementos que lo rodean simulando adecuadamente el 
comportamiento real del cuerpo estudiado. 
2.2.3 DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MÉTO-
DO DEL ELEMENTO FINITO PARA ANÁLISIS 
DE ESFUERZOS. 
Se debe definir una ley constitutiva que describa la respuesta (efecto) en un sistema debida a 
la aplicación de una excitación (causa) y la exprese en términos de ecuaciones matriciales 
generales aplicables a cualquier elemento del cuerpo. para derivar estas ecuaciones se 
recurre a dos métodos principalmente: El de energía y el de residuales. 
1. Métodos de energía: Entre otros están el de la energía potencial mínima [2.29], 
el de energías complementarias, el principio de Reissner's o formulaciones 
híbridas (2.32]. 
2. Métodos de residuales: Por ejemplo los métodos de colocación, subdominios, 
mínimos cuadrados [2.32] y de Gallerkin (2.28]. Se busca conocer la 
aproximación o error y minimizarlo para así obtener soluciones más exactas. 
A continuación se deducen las ecuaciones del método del elemento finito para problemas de 
análisis de esfuerzos a partir de Ja minimización de la energía potencial. 
Con base en Ja primera ley de la termodinámica según la cual "la energía no se crea ni se 
destruye, sólo se transforma"[2.3J), se establece el principio de mínima energía potencial 
para el caso de un sistema con energía cinética igual a cero: "De todas las posibles 
deformaciones que un cuerpo elástico puede sufrir, aquellas que satisfacen sus 
condiciones de frontera logr;in que el cuerpo este en equilibrio y 111i11imizan la energía 
potencial" (2.34 ]. 
La energía potencial se compone de: 
n = Up + Wp (2.6) 
donde: n => Energía potencial total. 
Up => Energía potencial elástica. 
Wp => Energía potencial debida a fuerzas: 
-De cuerpo 
-De superficie 
42 
Método del elemento finito 
n queda definida como: 
n = fJf dlJp(ll, V, w)- fff(xu+ Yv+;V }IV - JJ( t,11 +t_..V+t,W )úS (2.7) 
V V S 
en donde el primer término representa las fuerzas elásticas, el segundo las fuerzas de cuerpo 
o volumen (gravedad, magnéticas, etc.) y el tercero las fuerzas de superficie. 
Expresando los términos de la ecuación anterior en forma matricial: 
Densidad de energía volumétrica: 
du=J_{eY{cr}dV (2.8) 
2 
Para expresar todo en términos de deformaciones unitarias, considerando que: 
se llega a: 
{cr}=[E]{e} 
du = J_{eY[ E]{e}dV 
2 
Fuerzas de cuerpo o volumen: 
(2.9) 
(2.10) 
definiendo al vector de desplazamientos como: {uY =[11 v w] 
y al vector de fuerzas de cuerpo: {X}=m 
se puede escribir: 
Fuerzas de superficie: 
definiendo: 
se llega a: 
(xu+ :Yv+~w)dv = {u}"{x}dv (2.11) 
{1'} = [ :: J 
( txu+t ... v+t,w)ús = {uY {T}dS (2.12) 
Sustituyendo las expresiones anteriores en (2. 7) y simplificando: 
n = _!_ JJJ({e}'[E){e}-2{11}" {x}}iv -IJ {11}"{r}ds 
2 V S 
(2.13) 
43 
Método del elemento finito 
a 
Dx 
o o 
[B]= o a o 
ay 
Definiendo el operador B: 
o o a 
iJz 
y como: {s}=[: : : ] y {11Y=[11 v w] 
se puede hacer: {s}={11Y(B) (2.14) 
a la matriz { 11} se le conoce como matriz de desplazamientos. 
Sustituyendo en (2.13) las expresiones anteriores e introduciendo el modelo de 
desplazamientos [N]: 
n = _!_ Jff({11Y[R]'[1~·J[H]{11}-2{11Y[NY{x})dv- Jf {uY[NtfT}dS (2.15} 
2 I' R 
Minimizando la función anterior con respecto a {11}' (esta minimización se realiza utilizando 
el análisis variacional para obtener, más que un valor único, una familia de funciones para las 
condiciones estacionarias): 
nn = fff[H]'[E][B]{11}d11+ Jff[Nr[x]dv- fJ[Nf {T}dS= o (2.16} 
V I' S 
Asumiendo que las fuerzas de cuerpo son despreciables, la expresión (2.15} puede dividirse 
en dos componentes: 
(7<) = fJf[ sn E][ H]du 
V 
{.f} = -Jf[ N]'{T}dS 
R 
Ordenando (2.1 S) se llega a la matriz de rigidez: 
(7<]{11} = Lr} 
(2.17) 
(2.18) 
(2.19) 
El procedimiento anterior lleva a plantear ecuaciones que describan el comportamiento del 
elemento, expresadas en forma matricial de tipo: 
[k]{q}={Q} (2.20} 
44 
Método del elemento finito 
donde [k] es la matriz de propiedades del elemento, { q } el vector de incógnitas en los nodos 
del elemento y { Q} como el vector de parámetros de fuerza en los nodos. Para el caso 
específico de análisis de esfuerzos, [k] es la matriz de rigidez, { q} es el vector de 
desplazamientos nodales y { Q} el vector de fuerzas nodales. 
2.2.4 ENSAMBLAR LAS ECUACIONES DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS EN LA RED. 
Como se mencionó, todos los elementos finitos obedecen a ecuaciones matriciales. El 
número de incógnitas en la ecuación matricial de un elemento es igual al número de puntos 
nodales en el elemento por el número de grados de libertad en cada uno. 
La ecuación matricial del modelo es un ensamble de las ecuaciones matriciales de todos los 
elementos por lo que el número de incógnitas N puede llegar a ser de cientos o miles, que 
forman un gran sistema de ecuaciones que describe el comportamiento de todo el cuerpo. 
Éstas ecuaciones ensambladas toman la forma: 
:t[K]{r}= :t{u} (2.21) 
1 
donde [K] es la matriz de propiedades de todo el modelo, { r} es un ensamble de los vectores 
incógnitas y { R} de los vectores de fuerzas. 
La matriz de rigidez tiene dos propiedades notables: Es singular (su determinante vale cero) 
y es una matriz banda, es decir, los valores distintos de cero se agrupan en una banda 
paralela a la diagonal principal. 
Los programas de elemento finito cuentan con algoritmos para numerar eficientemente 
nodos y elementos (método de Cuthill Mckee) y asi reducir el ancho de banda necesario. 
Esto disminuye la capacidad y tiempo exigidos a la computadora. 
Para ver el efecto que causan determinadas situaciones externas se requiere incluir 
condiciones de frontera, esto es, valores conocidos de las incógnitas (condiciones de 
frontera "geométricas") en determinados puntos, como p.e. desplazamientos. Estos valores 
se incluyen modificando la ecuación global del cuerpo en los nodos afectados, con lo que se 
obtienen las ecuaciones de ensamble modificadas. expresadas ahora con una testa: 
(2.22) 
Esto disminuye el rango de la matriz de rigidez y elimina la singularidad, permitiendo así 
solucionar el problema. 
45 
Método del elemento finito 
2.2.5 SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES 
RESULTANTE. 
Una vez ensambladas las tres matrices globales, de fuerzas, de rigidez y de desplazamientos, 
se forma con ellas un gran sistema de ecuaciones lineales simultáneas. La creación de este 
sistema y su presentación mediante Ja ecuación matricial ya enunciada es la principal 
característica del método. Esto permite emplear algún método numérico como el de Gauss-
Jordan o algún otro algoritmo semejante para resolver el sistema. 
Como ya se mencionó, el tamaño de este sistema esta restringido por la memoria y 
capacidad del sistema de cómputo, y a su vez limita, corno ya se vio, el número de 
elementos. De ahí Ja importancia de aplicar algún algoritmo que reduzca el ancho de banda 
de la matriz de rigidez y asi aprovechar mejor la computadora. Posteriormente se soluciona 
el sistema, obteniendo Jos valores de desplazamiento en cada nodo del modelo. 
2.2.6 SOLUCIÓN DE VARIABLES SECUNDARIAS. 
Una vez obtenidos Jos desplazamientos nodales, estos pueden usarse para obtener resultados 
adicionales a partir de la relación de estos con las deformaciones unitarias, de acuerdo con la 
ecuación: 
{E}= {11}'(H) (2.13) 
y los esfuerzos: 
{cr} = [E){g} (2.9} 
Posteriormente, pueden combinarse estas soluciones para encontrar Jos esfuerzos principales 
y, de acuerdo con algún criterio de falla, establecer los puntos criticos. 
2.2.7 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS. 
Este punto se refiere a obtener gráficas, dibujos o tablas que permitan visualizar mejor los 
resultados obtenidos. Quizá es el aspecto más espectacular del método, pues a partir de los 
resultados obtenidos, y aprovechando las capacidades gráficas y de manejo de datos de las 
computadoras actuales es posible obtener, impresas o en pantalla, diversas gráficas que 
permiten revisar con precisión el comportamiento del cuerpo bajo las condiciones impuestas, 
para detectar puntos críticos o zonas sobrediseñadas. Otras opciones muestran la 
estructura deformada de acuerdo a lo calculado, comparándola con la original. También es 
posible obtener animaciones que representan la posible distribución de diversos fenómenos 
corno la secuencia de los desplazamientos en aplicaciones estructurales, o por ejemplo el 
comportamiento de las temperaturas respecto al tiempo en problemas de transferencia de 
calor. 
46 
Método del elemento finito 
2.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO. 
Ventajas del método: 
-Las propiedades del material en elementos adyacentes pueden ser diferentes, lo 
que permite aplicar el método a estructuras compuestas de varios materiales. 
-Las formas irregulares pueden obtenerse por aproximación con elementos de 
caras planas o modelarse exactamente con elementos de caras curvadas. Así el 
método no se limita a geometrias simples. 
-El tamaño de los elementos puede variar, por lo que la malla se expande o refina 
según se necesite para aumentar la exactitud al representar regiones críticas. 
-Puede manejar condiciones de frontera discontinuas, o comportamientos no 
lineales. 
-Permite modelar problemas que involucran tres dimensiones. 
-Su aplicación abarca diversos niveles, desde investigación de alto nivel hasta 
diseño práctico de componentes mecánicos. 
Desventajas: 
-Se requiere usar una computadora debido a la cantidad de operaciones que se 
deben realizar. La capacidad de la computadora puede limitar la exactitud 
-Es un método muy exacto pero su costo y la inversión necesaria no siempre 
permiten justificar su uso en aplicaciones sencillas 
2.4 VISIÓN Y PERSPECTIVAS DEL MÉTODO. 
El uso de minicomputadoras y "mainframes" ha disminuido de manera dramática en los 
últimos años debido al surgimiento de estaciones de trabajo y computadoras personales 
(PC's) de cada vez mayor capacidad. Ha habido muy pocos cambios en la teoría del análisis 
por elemento finito, enfocando los avances al desarrollo de programas más sencillos y a 
optimizar la eficiencia de modelado. Gracias a que las bases teóricas clc.:I método han 
quedado bien establecidas, la experiencia en análisis por el MEF se valora mucho [2.35]. 
El modelado sólido (salid modeling) y el automallado (automeshing) han ayudado a reducir 
el tiempo de construcción de modelos. Con el refinamiento adaptativo de malla (adaptative 
mesh refinement) es posible evaluar el error en la discretización del mallado, utilizándolo 
para automáticamente corregir la densidad de la malla hasta alcanzar la exactitud deseada. 
La mayoría de los paquetes de elemento finito utilizan elementos tipo H que asumen 
desplazamientos lineales o cuadráticos. Nuevos elementos tipo P tratan de aumentar el 
orden de la función de forma a niveles superiores al cuadrático, aunque presentan problemas 
para considerar no-linealidades del material o cargas externas, colocándolo en desventaja al 
compararlo con sistemas que incluyan refinamiento de malla y mallado automáticos. 
En una linea de aplicación directa a casos de ingeniería, la manufactura, se procura 
interconectar paquetes de dibujo por computadora (CAD. Computer Aided Design) con 
47 
Método del elemento finito 
programas de MEF. utilizando el formato !GES como standard al pasar la información de 
un programa a otro. Esto lleva a un nuevo proceso de diseño que permite la conección 
inmediata con programas de manufactura controlada por computadora (CAM, Computer 
Aided Manufacturing). Definiendo al método de elemento finito como "análisis de 
ingeniería auxiliado por computadora" (CAE, Computer Aided Enginneering), se da forma a 
la cadena CAE-CAD-CAM que integra en tres pasos todo el proceso de análisis-fabricación 
de elementos de máquinas. Esto implica una importante reducción de tiempos y costos, que 
sumada con la obtención de resultados cada vez más exactos incrementan notablemente la 
competitividad de la empresa que lo aplica. 
En aplicaciones a fluidos se encuentran restricciones de aplicación, pues muchos problemas 
resultan ser no lineales, haciendo que los cálculos exigidos a la computadora se compliquen 
demasiado. Sin embargo, la mayoría de las limitantes debidas al cómputo están hoy 
desapareciendo. 
Los nuevos desarrollos se esperan en aplicaciones a fluidos, a conseguir entradas 
paramétricas de datos, al modelado de sólidos, a refinamiento adaptativo del mallado, a 
optimizar diseños y a nuevas formulaciones [2.35]. 
48 
·-' 
Método del elemento finito 
2.5 REFERENCIAS 
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[2.29] Desai Ch.S., Abe! J.F. 1972. /11trnd11ctio11 tofi11ile eleme11/ melhod. Van Nostrand-
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[2.30] Desai Ch.S. 1979. Eleme11tmyji11ite efeme11t met/111d. Prentice Hall, New Jersey. 
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[2.37] Davies, A.J. 1980, Theji11ile elemenl method, ajirsl aproach. Clarendon Prcss, 
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(2.38] Hcrnández Gómez L. H. 1992. Crack i11ilialim11111der shock loudi11g. Tesis doctoral, 
Oxford University. 
50 
3 
ESTABLECIMIENTO Y VALIDACIÓN 
DE LA METODOLOGÍA 
Se detalla la metodología propuesta plan-
teando una secuencid general a seguir y 
enfatizando aquellos puntos que requieren de 
especial atención. Para confirmar la validez 
de la metodología se evalúan numéricamente 
dos casos expei.~imentales: El ensayo fotoelás-
tico de una placa plana agrietada en un 
extremo y sujeta al modo de carga de 
ape.rtu1:a, y una prueba de ASTM para evaluar 
la tenacidad a la fractura del acero en la 
que se empleó una probeta compacta con una 
muesca tipo "keyhole". A partir de en tos 
ejemplos se analiza la p1:ecisión y conver-
gencia de la metodología p.ropuest.:i. 
51 
Establecimiento y validación de la metodología 
3.1 GENERALIDADES. 
Los primeros capítulos de esta tesis se enfocaron a la descripción de los conceptos 
teóricos de la mecánica de fractura y del método elemento finito aplicado al análisis de 
esfuerzos. Toca ahora conjuntarlos definiendo la metodología a seguir para realizar 
análisis de mecánica de fractura, describiendo los pasos fundamentales y enfatizando 
aquellos que requieran atención especial en orden a obtener resultados más exactos. 
Una vez descrita la metodología se comprobará su validez, evaluando sus resultados con 
los obtenidos en pruebas experimentales. Los casos a examinar serán una prueba de 
fractura por fotoelasticidad realizada en el Instituto de Investigaciones Eléctricas [3.1] y 
una prueba para determinar la tenacidad a fractura de materiales según el método estándar 
de la ASTM, realizada en la Facultad de Ingeniería de la UNAM [3.2]. 
Para poder realizar un análisis de mecánica de fractura es fundamental determinar los 
parámetros de fractura. Entre estos parámetros, el factor de intensidad de esfuerzos (FIS) 
permite determinar que tan crítica es una fisura y hasta que punto puede tolerarse su 
propagación. Calcular analíticamente estos parámetros resulta difícil y en ocasiones 
imposible, lo que hace necesario recurrir al análisis numérico, campo en el que destaca el 
método del elemento finito cuya aplicación es el objeto de esta tesis. En este caso se 
empleará para el análisis el programa ANSYS. 
Cabe destacar que en la aplicación del método del elemento finito a problemas de fractura 
es muy importante modelar adecuadamente la singularidad del campo de esfuerzos en la 
punta de la grieta. Para ello, deben emplearse elementos especiales en esta zona, para 
poder así obtener una representación exacta de los parámetros de fractura, en especial del 
factor de intensidad de esfuerzos. 
3.2 EL PROGRAMA ANSYS. 
Desarrollado a principios de los años 70 por el doctor John A. Swanson, ANSYS es un 
programa de elemento finito de aplicación general con gran prestigio y difusión en la 
industria, principalmente en las áreas aeroespacial, de automóviles, construcción, 
electrónica, médica, metalúrgica, generación de energía, estructuras marinas, 
transportación, etc. y en los organismos de investigación científica internacional. 
ANSYS permite, con un solo programa, realizar análisis tanto en dos como en tres 
dimensiones de áreas como [3.3]: 
Estructural: análisis estáticos, dinámicos (transitorios, frecuencia natural, respuesta 
armónica, vibración aleatoria, espectro de respuestas), cinemática y pandeo; 
Térmica: en estado estable, transitorios, cambios de fase, análisis térmico estructural; 
Campos Magnéticos: estáticos o variables con el tiempo; 
Flujo de Fluidos: en tuberías, visualización, distribución de presiones; 
Acústica; 
52 
Establecimiento y validación de la metodología 
Análisis combinado: magnético-estructural, tluído-estructural, piezoeléctricos, etc. 
La versión empleada en esta tesis incluye los últimos avances en el método del elemento 
finito [3.3], como son el modelado sólido a través de una interfase gráfica con menús tipo 
windows y manejo de geometrías primitivas y álgebra booleana, mallado automático, 
amplia capacidad de graficación incluyendo animación, cortes, contornos, visualización 
en tres dimensiones, trazo de flujo de partículas, o gráficas XY para presentaciones, etc. 
Modelado de fenómenos no lineales, análisis de fractura y de fatiga, refinamiento 
adaptativo de malla, etc. 
El programa ANSYS ofrece un sistema de ayuda al usuario mediante un equipo de 
especialistas dedicados a resolver problemas complejos cuya solución presente grandes 
dificultades. En esta tesis se trabajó con la revisión 5.0A13, de las últimas disponibles, 
lanzada al mercado a fines de 1993. Esta instalada en una computadora con procesador 
3860, 8 Mb en RAM y 180 Mb de memoria. La capacidad de la computadora limitó en 
algunas ocasiones las posibilidades de análisis impidiendo utilizar mayores refinamientos 
de malla. 
3.3 DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA. 
A continuación se describen las etapas a seguir para aplicar la metodología que se 
propone; posteriormente se profundizará en cada una señalando las consideraciones que 
se requieren. 
l. El primer paso para aplicar la metodología es definir la geometría del cuerpo 
analizado, incluyendo las condiciones de carga, la ubicación y geometría de la 
grieta, y las propiedades mecánicas del material. 
2. Se procede a su discretización, creando una red de elementos y nodos. Esto, 
como se vio en el capítulo 2, implica seleccionar el tipo de elementos a 
utilizar y su tamaño, que deberá ser menor en puntos de interés, 
concretamente alrededor de la ubicación de la grieta, y en las zonas de 
concentración de esfuerzos. La malla se refinará progresivamente partiendo 
de una malla inicial burda hasta obtener una representación adecuada 
3. Modelar la punta de la grieta requerirá de especial atención. Esto involucra 
describir una región, formada con elementos especiales, donde se refinará de 
modo especial la malla y que será el punto de mayor interés para el cálculo 
del FIS. 
4. A continuación deben incluirse las cargas y condiciones de frontera a las que 
se sujeta el cuerpo. 
53 
Establecimiento y validación de la metodología 
5. Definido el modelo de elemento finito y sus condiciones de frontera, se 
procede a efectuar el análisis estático, obteniendo los esfuerzos y 
desplazamientos resultantes. 
6. Los resultados obtenidos deben presentarse convenientemente para facilitar su 
interpretación, pudiéndose obtener una amplia gama de gráficas y 
representaciones que muestren la distribución y magnitud de los 
desplazamientos y esfuerzos. 
7. Por tíllimo se procede a calcular el PIS a partir de un planteamiento 
energético y evaluando la convergencia lle los resultados. 
3.4 REALIZACIÓN DE MODELOS DE ELEMENTOS 
FINITOS PARA ANÁLISIS DE MECÁNICA DE 
FRACTURA. 
Este es el paso más crítico y delicallo de toda la metodología, pues el modelo describe la 
geometría del cuerpo analizado y sus condiciones lle carga. De él dependerá en forma 
importante la exactitud de los resultados obtenidos [3.4). 
Con el objeto de aprovechar de modo óptimo la capacidad del equipo de cómputo 
conviene simplificar el modelo al máximo, aprovechando condiciones de simetría y 
aplicando el criterio ingenieril para simplificar el análisis. Esto permite disponer de más 
memoria para después refinar la malla en regiones críticas y aumentar ahí la exactitud de 
los resultados. 
Los modelos de elemento finito son un conjunto de distintas entidades. Estas entidades 
son: Para definir la geometría; puntos, lineas, áreas, y volúmenes. Y para definir la 
malla; nodos y elementos. Existe una jerarquía entre estas entidades, pues por ejemplo, 
para representar un volumen se necesita contar con áreas, líneas y puntos que lo 
delimiten; esto también implica que, por ejemplo, una vez definido un elemento no podrá 
borrarse alguno de sus nodos sin antes eliminar el elemento. 
Cada entidad puede graficarse en pantalla conforme se va definiendo, facilitando al 
analista visualizar la geometría conforme la crea. Además se asigna un número a cada 
componente con el objeto de facilitar su manejo durante la generación del modelo, pero 
sobre todo para permitir su identificación durante la solución y después de ella. 
Los programas de elemento finito de la última generación ofrecen una gran cantidad de 
opciones para construir el modelo. Pueden dividirse en dos procedimientos distintos, 
generación directa y modelado sólido, que pueden combinarse a lo largo del proceso 
54 
Establecimiento y validación de la metodología 
según se requiera. La figura 3.1 presenta una clasificación de las distintas opciones, 
agrupadas en el orden en que suelen emplearse. 
DE"NIR LA POS1CION DE LOS 
NODOS SEGUN LA GEOMEmlA 
_CD 
CONECTAR lOfi NODOS Y 
1 D~INIA LD5 E~~·~~ 
---- - 1 
__ y __ _ 
EMooeu.oo so~~] 
DEFINIR :~;~U·E·T~_j !_ - ~ [ -~EF!N·l:-:-~-;~~~AIA 
OETAUE A. OETAlLE CON OPERACIONES 
~--,---· BOOLEANAS 
r~==~=~ ~~.:..==:::r­
... 
DlSCRETIZACION }-· .. 
0L08AL --L--
--"'"~- - _ ... 
l.~_R_~J l~N M~~~J 
Figura 3.1 
ii.... DISCRETIZACIDN 
--,,,. POR 
SUBMOOELAOO --¡---
ci!~I-~ 
Opcinnt:s al crt!ar el mmldo de dt:m1:mto finito 
1. En la generación directa el analista, en base a la geometría, define los nodos uno a 
uno, llevando el control de su ubicación. Posteriormente establece conexiones entre 
ellos para así formar los elementos. El proceso resulta tedioso y lento, sobre todo en 
modelos grandes, lo que aumenta la probabilidad de ocurrencia de error humano. Por 
otro lado permite el control exacto de la geometría de la malla y de su refinamiento. 
Actualmente se utiliza principalmente en casos en los que se requiere definir 
situaciones muy especiales, prefiriéndose en general el modelado sólido. 
2. El modelado sólido consiste en definir primeramente la geometría, a partir de la cual 
un algoritmo se encarga de crear los nodos y elementos. El analista puede definir 
características especiales en la malla si así lo requiere. Actualmente suele preferirse 
esta opción por sus ventajas, destacando entre ellas su rapidez y la reducida 
probabilidad de error [3.5]. 
La diferencia básica entre los dos procedimientos esta en el papel que desempeña la 
geometría en cada uno: En la generación directa es un auxiliar que facilita la ubicación de 
los nodos, pero puede incluso prescindirse de ella y proceder directalllente a generar los 
nodos si se conocen bien sus coordenadas. En el lllOdelado s6lido los nodos se generan a 
partir dt: la geometría, que resulta así indispensable. 
55 
Establecimiento y validación de la metodología 
Al optar por el modelado sólido la geometría puede definirse de dos formas: En Ja 
primera, se ubican puntos respecto a algún sistema de coordenadas predefinido y luego se 
unen para generar líneas, áreas y volúmenes. La geometría se va construyendo detalle a 
detalle de modo análogo al empleado en un paquete de dibujo por computadora. Así un 
volumen queda definido por las áreas que Jo limitan, las cuales son en realidad superficies 
delimitadas por líneas que a su vez requieren puntos para ser definidas. Mediante una 
gran variedad de comandos se pueden manipular las entidades creadas e incluso 
duplicarlas o reflejarlas, permitiendo así ahorrar tiempo. 
En Ja segunda, se crean superficies o volúmenes simples a partir de Jos cuales, utilizando 
el álgebra booleana, se van construyendo geometrías más complejas. Esto permite 
trabajar directamente con áreas y volúmenes, mientras Ja computadora se encarga de 
crear todos los puntos y lineas necesarios, de modo que el analista pueda generar varias 
geometrías simples y posteriormente sumarlas, restarlas, encontrar sus intersecciones, 
unirlas, cte. Posteriormente se detalla el modelo añadiendo o eliminando superficies o 
volúmenes. Es un concepto diferente que ahorra mucho tiempo y facilita pasos 
subsecuentes como Ja creación de regiones de interés en los cuales refinar Ja malla. 
Definida la geometría por modelado sólido, el paquete genera automáticamente los nodos 
y elementos. Esto facilita retinar la malla a partir de una primera aproximación, hasta 
llegar al punto en que un mayor refinamiento no cambie los resultados de forma 
significativa. Esta discretización o mallado puede ser libre o en mapa. 
En el mallado libre la computadora efectúa el trabajo sin intervención del analista, 
colocando los elementos de acuerdo con características previamente definidas como p.e. 
el tamaño o cantidad de elementos en algún punto o línea, el tipo elementos a utilizar y 
su forma. Comienza discretizando los bordes, procediendo hacia el centro de la figura, 
generando mallas semejantes a la de la figura 3.2a 
El mallado en mapa genera mallas más uniformes al utilizar únicamente elementos 
cuadrados (figura 3.2b). Este procedimiento utiliza menos elementos optimizando así el 
empleo de Ja memoria, pero requiere que se cumplan ciertas características: la figura 
debe ser regular y deben limitarla sólo cuatro líneas. Crear una malla en mapa para 
geometrías complicadas consume mucho tiempo, lo que no siempre se justifica. 
Para facilitar el mallado adecuado de zonas críticas se puede recurrir a mallar por 
regiones, esto es, a separar zonas de interés y discretizarlas por separado, pudiendo así 
controlar mejor las características de la malla en la región; posteriormente con elementos 
mayores se conectan las distintas zonas de modo que quede discretizado todo el cuerpo. 
La malla puede finalmente optimizarse de modo que represente al cuerpo con la exactitud 
requerida utilizando un mínimo de elementos y disminuyendo por tanto tiempos y costos 
de cómputo. 
56 
Establecimiento y validación de la metodología 
Figurn 3.2 
a) Mallado lihrn. h) Mallado en mapa 
Una opción que puede ayudar a obtener mayor exactitud es el submodelado. En 
ocasiones, la malla creada no permite obtener exactitud en regiones de interés porque 
resulta muy burda. Sin embargo, puede ser suficientemente exacta para representar al 
resto del modelo. Generar una malla más fina, puede requerir demasiado tiempo o 
exceder la capacidad disponible en memoria. L'l alternativa es el submodelado. Este se 
basa en el principio de St. Venant según el cual si una distribución de fuerzas dada se 
remplaza por un sistema estático equivalente, la distribución de esfuerzos y 
deformaciones sólo se altera cerca de la región de aplicación de la carga. 
De acuerdo a lo anterior, el submodelado consiste en generar un modelo independiente, 
con una malla más fina, que represente sólo la región de interés. Para ello se requiere 
seguir los siguientes pasos: l) Crear y analizar una primera malla de todo el modelo. 2) 
Crear el submodelo. 3) "Cortar" el modelo e interpolar los desplazamientos resultantes en 
los nodos localizados en las superficies de corte. Estos valores se sustituyen en el 
submodelo y le sirven como condiciones de frontera. 4) Analizar el submodelo. 5) 
Verificar el submodelo. El submodelado sólo es válido si la superficie de corte esta lejos 
de zonas críticas, pues de lo contrario el corte afectará los resultados. 
Cuando se trata de generar modelos para mecánica de fractura conviene utilizar el 
modelado sólido con mallado libre, pues la presencia de la grieta dificulta crear mallas en 
mapeo requiriéndose demasiado tiempo, lo que no siempre se justifica. Es conveniente 
modelar por separado las regiones que presentan distribuciones de esfuerzos complejas 
para controlar mejor las características de la malla. Trabajar en tres dimensiones con 
orientaciones y geometrías de grieta complejas puede obligar a utilizar la generación 
directa, y en ocasiones, el submodelado. 
57 
Establecimiento y validación de la metodología 
Entre los últimos avances en programas de elemento finito se encuentra el refinamiento 
adaptativo de la malla, el cual, basado en una geometría descrita por modelado sólido, 
genera y refina la malla utilizando un algoritmo predefinido que puede incluso 
modificarse de acuerdo a los criterios del usuario. Sin embargo aún no permite definir 
elementos especiales, lo que limita su aplicación en problemas de mecánica de fractura. 
3.5 CONSIDERACIONES AL MODELAR LA PUNTA DE 
LA GRIETA. 
El objetivo fundamental de Ja metodología es Ja conjunción de los criterios de mecánica 
de fractura y del método del elemento finito. Lograr una representación adecuada de la 
singularidad en la punta de la grieta al modelarla con elementos finitos es su punto 
medular, y requiere utilizar consideraciones especiales. 
Con el fin de obtener la mejor representación posible del campo de esfuerzos en la punta 
de la grieta debe buscarse el mayor refinamiento posible de la malla en la región, sobre 
todo frente a la grieta, procurando aumentar el tamaño de los elementos en otras zonas de 
poco interés para optimizar el empleo de Ja memoria. 
Para poder representar Ja singularidad de esfuerzos en la punta de la grieta los elementos 
que la rodeen deben ser elementos especiales llamados singulares o desplazados, 
ilustrados en la figura 3.3, y cuya principal particularidad es tener desplazados sus nodos 
internos (L y N) hasta la cuarta parte de Ja línea nodal, Jo que permite representar la 
singularidad en Ja punta de Ja grieta [3.6]. Conviene crear un área circular que permita 
una mejor descripción de los esfuerzos y deformaciones en la vecindad de la punta de la 
grieta controlando las características de la malla en la región. 
Figura 3.3 
Elt!m~nto con nodo clt!splaz.mlo (<los climc::nsiont!s) y ~u distrihuci<ín t:n la punta de grida 
El tratamiento de la punta de la grieta cambia según se trate de un modelo bidimensional 
o tridimensional. Para el primer caso queda representada por un punto (fig. 3.4a). Si el 
modelo es tridimensional, entonces Ja punta de la grieta esta formada por todo un frente 
de grieta, que se representa con una línea (fig 3.4b). 
58 
Establecimiento y validación de la metodología 
Para el modelado en dos dimensiones se recomienda utilizar elementos triangulares 
planos de 6 nodos. La primera fila de elementos alrededor de la punta de la grieta debe 
estar formada por elementos singulares dispuestos como se ve en la figura 3.3. Para 
especificar esto ANSYS utiliza el comando KSCON que permite elegir el nodo que 
representará la punta de la grieta y asigna elementos especiales para representarla, 
definiendo su tamaño y características. 
Otras consideraciones importantes son: La punta de la grieta debe coincidir con el origen 
del sistema de coordenadas (fig. 3.4a). El tamaño de los elementos singulares debe 
medir aproximadamente un octavo de la semilongitud de la grieta "a" y no deben 
distorsionarse; deben tomar la forma de triángulos isósceles. 
y,v y,v 
(•) (b) 
Figura 3.4 
Sistema., de coordenadas en la punta de grieta. a)2D. h)JD. 
Para modelos de tres dimensiones se complica el procedimiento, pues no hay aún un 
comando análogo al usado en casos bidimensionales que simplifique la colocación 
adecuada de los elementos singulares. El tipo de elemento que se recomienda utilizar es 
el ladrillo de 20 nodos, que para modelar la punta de la grieta debe tomar la forma de un 
prisma triangular (Figura 3.5), colapsando una de sus caras en una línea; esta línea debe 
ser la que este en contacto con la punta de la grieta. 
Figura 3.5 
Elem~nto .~;ingular en tres dimensiones y su Uistrihucicín en la punta <.le grieta 
59 
Establecimiento y validación de la metodología 
El tamaño de los elementos se calcula de modo análogo al caso bidimensional, con la 
consideración adicional de no exceder una proporción de 4: 1 en ninguno de sus lados. Si 
el frente de grieta es curvo, el tamaño de los elementos a lo largo del frente de grieta 
dependerá del grado de curvatura en la zona. Debe utilizarse mínimo un elemento cada 
15 a 30 grados a lo largo del frente de grieta circular y todas las lineas nodales deben ser 
rectas, incluido el eje del frente de grieta. 
El cálculo de los parámetros de fractura es un paso posterior a la solución del campo de 
esfuerzos, a partir de la cual se obtienen mediante un planteamiento energético. 
3.6 EVALUACIÓN DEL CAMPO DE ESFUERZOS. 
Las condiciones de carga se aplican directamente a los nodos y elementos creados, y 
pueden ser puntuales, de superficie o de volumen. Las condiciones de frontera son 
sujeciones, anclajes, y otras limitaciones al movimiento del cuerpo. Si se representó sólo 
parte del modelo deben añadirse las restricciones que simulan la simetría en las caras 
donde esta se conecta con el resto del cuerpo original. 
Es posible definir para un mismo cuerpo diferentes condiciones de carga, pudiendo 
comparar posteriormente los comportamientos obtenidos para cada caso específico. Esto 
permite observar el comportamiento del cuerpo en distintas condiciones para determinar 
cuáles son las más críticas. 
Una vez definido el modelo y aplicadas las condiciones de frontera se procede a evaluar 
el campo de esfuerzos, de lo que se encarga la computadora. Puede efectuarse una 
revisión de los elementos para asegurar que su forma permitirá obtener un margen 
reducido de error. 
La solución debe finalmente procesarse para obtener las deflexiones nodales así como la 
magnitud y distribución de los esfuerzos. Esto incluye crear representaciones que 
permitan una mejor _visualización de los resultados, pudiendo además obtenerse gráficas 
que describan el comportamiento de un parámetro con respecto a otro. Podrán 
reconocerse las geometrías características de la zona plástica en la vecindad de la punta 
de la grieta. (ver figuras 1.8 y 1.9). 
Son especialmente útiles para el análisis las gráficas que muestran las distribuciones de 
esfuerzos en el cuerpo y las detlexiones comparadas con la geometría original. 
60 
Establecimiento y validación de la metodología 
3.7 CÁLCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE 
ESFUERZOS. 
Para poder calcular el FIS el origen del sistema de coordenadas debe estar en la punta de 
la grieta, con el eje X en la misma dirección que la cara de la grieta, según la figura 3.4. 
El método es aplicable a problemas lineal elásticos con materiales isotrópicos 
homogéneos en la zona de grieta. 
El programa ANSYS cuenta con un algoritmo para calcular el factor de intensidad de 
esfuerzos en función de los desplazamientos de Ja superficies tras la punta de grieta. Se 
debe primero definir los nodos a utilizar como base de cálculo en Ja obtención del FIS, 
para lo que deben señalarse tres nodos adyacentes a la punta de la grieta que describan su 
geometría. El resultado se ve afectado por los nodos elegidos pues a distintas distancias 
de la punta de grieta se presentan distintos desplazamientos. La distancia que separa los 
nodos seleccionados también afecta el análisis. 
En este punto el criterio del analista indicará cuáles nodos deben seleccionarse para 
obtener una mejor respuesta. En ocasiones resulta conveniente comparar las variaciones 
en el resultado para distintas selecciones de nodos, a fin de contar con más datos para el 
análisis de convergencia. 
Finalmente, es posible obtener un calculo estimado del error que se espera tenga el 
análisis. Este cálculo, de tipo energético, puede utilizarse como base para determinar la 
necesidad de repetir el análisis. El cálculo es influido, entre otras cosas, por el tamaño 
de los elementos, así como por la forma de aplicación de carga y su distribución. Se 
obtiene un niímero positivo que cuantifica el error de energía. Aunque el valor que 
representa ausencia de error es cero, resulta difícil alcanzarlo, pudiéndose considerar 
aceptable un valor de 1 O. 
61 
Establecimiento y validación de Ja metodología 
3.8 VALIDACIÓN DE LA METODOLOGÍA. 
Con el objeto de validar la metodología propuesta, esta se empleará para analizar dos 
casos experimentales, analizando la convergencia de los resultados obtenidos con los 
valores encontrados en laboratorio. 
Como se mencionó, los casos analizados son: El análisis de una placa agrietada mediante 
fotoelasticidad y una prueba de ASTM para determinar la tenacidad a fractura. 
3.8.1 PRUEBA FOTOELÁSTICA DE FRACTURA. 
Algunos materiales transparentes no cristalinos son ópticamente isotrópicos cuando se 
encuentran libres de esfuerzos, pero se comportan corno cristales ópticamente 
anisotrópicos cuando se someten a una carga, manteniendo este comportamiento en tanto 
esta no se retira, y retornando a su estado inicial en cuanto la carga desaparece. A esto 
se le conoce como doble refracción temporal [3. 7]. 
En 1853 Maxwell desarroIJó tres leyi:s que establecen una relación entre la carga aplicada 
a un material de este tipo y su comportamiento óptico (3.8], mismas que constituyen la 
base para la determinación experimental de los esfuerzos mediante fotoelasticidad. 
Maxwell notó que los cambios en los índices de refracción de estos materiales eran 
linealmente proporcionales a las cargas aplicadas y por lo tanto a los esfuerzos y 
deformaciones resultantes. Lo anterior se comprueba observando un modelo fotoelástico 
a través de un instrumento llamado polariscopio en el cual se forman una serie de franjas 
para distintos niveles de esfuerzo. 
Para realizar la prueba se usa una placa de material fotoelástico con la geometría a 
analizar, la cual se monta en el polariscopio para observarla. Durante una etapa de 
calibración se determinan los valores de esfuerzos para cada una de las franjas. 
Posteriormente se obtienen impresiones del modelo sometido a cargas equivalentes a las 
que se desea analizar, pudiéndose así obtener el perfil dt: la distribución de esfuerzos 
presente y cuantificarlos. 
En seguida se presenta un caso experimental fotoelástico según se describe en [3.1]. Se 
busca evaluar el F!S en una placa de acero agrietada (E=l.92 GPa, v=0.3) cuyas 
características geométricas se muestran en la figura 3.6 y que se carga con 15, 187.5 N 
mediante los barrenos circulares. 
62 
Establecimiento y validación de la metodología 
50,00 
130.00 
7.00 
130.00 
Figura 3.6 
Modelo fotodástico. Ai.:otacinnes en mm. Espesor 3 mm. 
Para el análisis fotoelástico se emplelÍ un polariscopio circular, cargando un espécimen de 
material fotoelástico con la misma geometría que la placa de acero y el mismo módulo de 
Poisson, lo que aseguraba la adecuada semejanza entre los campos de esfuerzos 
utilizados. Utilizando posteriormente una fórmula de escalación propuesta por Dally 
[3.9], basada en la teoría 7t de Buckingham y en relaciones adimensionales, se escalaron 
los resultados a fin de obtener valores para la placa de acero. Se tomaron impresiones 
claras y oscuras de dos casos de carga distintos. 
Después se compararon los resultados obtenidos con los de dos análisis analíticos 
descritos por [3.7] y contra un análisis de elemento finito realizado con un programa de 
elemento finito llamado B!ST/\T, de CISE [3.10], cuyos resultados se muestran en la 
tabla 3.1. 
Al analizar el mismo modelo empleando el programa ANSYS se creó una malla con 265 
elementos y 831 nodos que representara la mitad superior de la probeta, aprovechando las 
simetrías geométricas y de carga (figura 3. 7). Se emplearon elementos planos 
rectangulares de 8 nodos, que se adaptaron para modelar la punta de grieta 
degenerándolos en triángulos especiales con nodos desplazados. Se utilizó la 
consideración de esfuerzo plano pues el espesor de placa no es considerable. 
La placa se sometió a una fuerza repartida en el barreno de carga de acuerdo a una 
distribución senoidal. En la práctica la probeta se sujeta a un cilindro mediante un 
63 
Establecimiento y validación de la metodología 
Figura 3.7 
Discrclizacióu del modelo folocl:íslico 
AHS'JS 5.9 A l.3 
RUG :3 J.994 
l.3:22:40 
PLOT tlO. l. 
'~~~E~~~ 
21.' =.1 
DIST=Cil.07J.5 
XF =llil.0J.8 
YF =llil.06:> 
PHEClSE HIDDEH 
WIND=2 
21.' =.1 
..,DI ST=Cil. QQ79l!:l!: 
..,XF =-0.QQl!:33G 
*YF =llil.0051.:>4 
PHEClSE HIDDEH 
64 
Establecimiento y validación de la metodología 
barreno y se carga por medio de él. En este punto es conveniente aclarar que no hay un 
criterio de aceptación general que indique cómo distribuir una carga aplicada de esta 
forma. Para modelar este efecto se eligió distribuir uniformemente fuerzas en dirección 
Y con un máximo a 90° y cargas nulas a cero y 180°, según se observa en la figura 3.8. 
Para representar la restricción provocada por la mitad del modelo que no se representó se 
limita el movimiento vertical en la línea inferior. Finalmente, para evitar que se presente 
una singularidad en la matriz de rigideces se coloca una restricción en dirección 
horizontal en la esquina inferior izquierda. 
La figura 3.9 muestra la malla con las cargas y restricciones aplicadas. Para llegar a ella 
se requirieron varios pasos de optimización a partir de una malla inicial burda, hasta 
obtener un error estimado de 14.102. En la zona de aplicación de carga se definieron 15 
nodos para repartir la carga según se explicó. 
En la figura 3.10 se muestra la distribución de esfuerzos en la punta de grieta. Se puede 
observar la formación de los perfiles descritos en la sección l. 6. Nótese la zona 
descargada (esfuerzo mínimo) en la superficie libre de la grieta y el punto de esfuerzo 
máximo en la punta. El tamaño de zona plástica puede encontrarse comparando los 
esfuerzos obtenidos con el esfuerzo de fluencia del material. Por último puede advertirse 
el refinamiento especial de la malla utilizado en la punta de la grieta, según lo descrito en 
la sección 3.5. 
La tabla 3.1 muestra los resultados a los que se llegó en cada caso. Puede observarse que 
el programa ANSYS obtuvo un valor mayor al esperado. Esta diferencia en los resultados 
se debe a tres causas principalmente, dos atribuibles a errores en la experimentación y la 
otra a la necesidad de un mejor análisis que lleve a suposiciones adicionales capaces de 
explicar la disimilitud. 
Tahla 3.1 
Comnaración entre los rei;ultados de 13.1 l v los de ANSYS 
ANÁLISIS K1 fMPa.Jiñl 
Ensayo foto elástico f3. ll 14,384 
Modelo analítico 1 [3.71 16 821 
Modelo analítico 2 [3.71 18,762 
Método del elemento finito lBISTAT) f3.10l 16,908 
Método del elemento finito íANSYS) 20,958 
En primer lugar, el error experimental puede esperarse debido a las pocas franjas 
obtenidas· ya que no se contaba con espejos parciales para multiplicarlas. Debido a esto 
las franjas resultan muy anchas y su centro queda indefinido. Como no se empleó ningún 
instrumento para encontrar estos centros los resultados pueden haberse aproximado menos 
a la realidad. 
65 
Establecimiento y validación de la metodología 
Figura 3.8 
Aplicación de la carga en el barreno de la probcla 
ANSYS 5.0 A 13 
AUG :3 .1994 
l.3: 2:;: 96 
PLOT NO. 3 
~{;'~t!:r;:~~~ 
u 
F 
ZU :.1 
*DI ST=li!, 01::i7l.Z 
KXF :9,016843 
ttYF :e. 11141.5 
PRECISE HIDDE" 
66 
Establecimiento y validación de Ja metodología 
Figura J.'J 
Cargas y condiciones de fronlera en el modelo folochislico. 
AHSYS 5.0 A 13 
AUG 3 1994 
13:23:::>0 
PLOT HO. 2 
J=~~~E~~~ 
u 
F 
zu =J. 
PlST=l0.0715 
:KF :0.010 
YF :Gl.965 
PREC[SE HIDDEN 
MJND:2 
zu =1 
•PIST=lil.007922 
H:KF =-0.002336 
tfYF :Gl.lil05154 
PREC[SE HIDDEN 
67 
- - E Ags 
  
        
  
lástico,
Estableci111iento y validación de la metodología 
Figura :l. IO 
Esfrn.:rzos en el modelo fotocl;Ísli . 
68 
Establecimiento y validación de la metodología 
En segundo lugar, el análisis con el programa BJSTAT no incluye el uso de elementos 
con nodo desplazado en la punta de la grieta que simulen la singularidad del campo de 
esfuerzos. 
En tercer lugar debe notarse que al efectuar el análisis experimental se utilizó un material 
que se supuso siempre frágil. En el programa de elemento finito aquí empleado esta 
consideración no es válida pues debido .al espesor de la placa cabe esperar se presenten 
condiciones de esfuerzo plano y por lo tanto existe cierta cantidad no despreciable de 
deformación plástica, lo que requiere de cierta energía adicional cuya adición al realizar 
el análisis de ANSYS pudo llevar a un aumento en el valor de Kl. 
Considerando el punto anterior se procedió a corregir el cálculo por elemento finito 
introduciendo una corrección semejante a la de lrwin (sección 2.5) según la cual la grieta, 
si el tamaño de zona plástica no es despreciable, se comporta como si fuera mayor de lo 
que en realidad es. 
elemento Zona plástica 
,, .. / 
,/ 
grieta física 
Figura 3. l I 
Corrección de la punta de grieta 
Se debió calcular el tamaño esperado de la zona plástica, para lo que se empleó la 
fórmula siguiente, enunciada por [3.11]: 
K 2 9 r,, = --2-cos2 (3.1) 
27t<J' ys 
Así, sustituyendo los datos correspondientes la zona plástica mide 0.7 mm. Como la 
magnitud de los elementos singulares se calcula como 1/8 del tamaño de grieta, 
considerando que la grieta mide 7.00 mm. se deduce que éstos elementos miden 0.87 
mm., por lo que el nodo desplazado queda a 0.22 mm. de la punta de grieta (1/4 L) y es 
el más cercano al centro de la zona plástica, por lo que la punta de la grieta corregida se 
ubicará en él, asumiendo así la presencia de una grieta mayor (fig. 3.11). 
69 
Establecimiento y validación de Ja metodología 
Se procedió a analizar Ja variación de los resultados debida al cambio en el tamaño de 
grieta considerado para verificar la convergencia. Se analizaron diversas combinaciones 
que mostraron una disminución en el valor obtenido del factor de intensidad de esfuerzos, 
misma que se explica debido a que introducida la corrección el parámetro ya no incluye 
la energía absorbida en la formación de la zona plástica. Se encontró así que se 
presentaba convergencia en ambos casos, con o sin corrección, hacia los valores 
K1=17,205 MPa.¡;;; y K1=20,958 MPa.,¡;;; respectivamente. 
Para comprobar que el tamaño de los elementos era adecuado se multiplicó la densidad de 
malla en un modelo adicional de 862 elementos y 2,644 nodos para el que la variación en 
los resultados fue inferior a 1 %. La figura 3.12 muestra la malla obtenida en este nuevo 
paso de refinamiento. 
Tahla 3.2 
1 Análisis ele converJ,?enc1a a consuforar a mna plástica 
Ki fMPa.,¡;;;l descripción 
20,958.00 nodos en las esquinas de los orimeros elementos 
20,961.00 tomando nodos más aleiados 
17 205.00 corrección de la punta de grieta 
18,815.00 corrección, con nodos mas lejanos 
70 
Establecimiento y validación de la metodología 
I 11 /f\ \ 
.._}' ~ r,~ $\--- , ., ~ 
'.j ~ 
~ 
-1' k r 
~ 
\'; ~ Á>;¡¡ 
['¡ J 
~/ 1 :.- I - \¡ 1 I /y 
- I' 
7\ -- [/' -- / -
~ 
~1 - --_,. ..---
J l\ \ -_,,-7 I / xo, ._ 
-.,¡ /)' ." 
I \ -1 -
~' 
~ G 
Figura 3.12 
Segunda discrclización modelo fo1oeJ{1stico 
AtlS'i'S 5.0 A l.3 
il!UG 3 J.994 
l.3: .LZ: 0<;1. 
PLOT NO. 1 
~~Ji~E~~~ 
21.1 ::;.l 
DIST=lfa.0715 
XF =Q.0.18 
YF =0.06::i 
PRECISE HIDDEH 
WJND=2 
21.1 =.l 
ttDIST=lfa.01246 
t<XF =-9. 673E-lfa 
*YF =0.00638"1 
CENT:ROID HIDDE 
71 
Establecimiento y validación de la metodología 
3.8.2 PRUEBA PARA LA DETERMINACIÓN DE KIC 
SEGÚN EL MÉTODO DE ASTM. 
La ASTM (American Society far Testing and Materials) ha desarrollado una prueba 
específica, ANSI/ASTM E-399-78 [3.12], para evaluar la tenacidad de fractura de un 
material sometido al modo I de carga y en condiciones de deformación plana. Aunque 
hay otras pruebas como la del BSI (British Standards Institute) BS 5447: 1977 [3.13], 
estas son muy semejantes a la de ASTM, siguiendo un procedimiento similar y 
empleando probetas semejantes. La prueba se ha ido modificando a través del tiempo 
para incluir nuevas especificaciones, designando cada versión con los últimos dos dígitos 
del año en que se expidió. 
Las pruebas ASTM y BSI consideran varios tipos de probeta distintos, entre los que 
destacan las siguientes: Probeta a flexión cargada en tres puntos, probetas compactas a 
tensión, y probetas en forma de "C". También especifica diversas muescas: tipo 
"chevron", tipo "straigth through", o tipo "keyhole" (fig. 3.13). El procedimiento 
comienza maquinando la muesca en la probeta, la que a continuación se somete a cargas 
cíclicas que formen una grieta inicial por fatiga. Finalmente, aplicando una carga de 
tracción o de flexión se provoca la fractura. 
Como puede deducirse del procedimiento, la prueba requiere de equipos sofisticados, 
incluyendo una máquina de pruebas con gran sensibilidad y respuesta instantánea al medir 
fuerzas y desplazamientos, y con capacidad de producir cargas cíclicas para crear la 
grieta por fatiga, así como un extensómetro especial que mida el desplazamiento relativo 
entre las caras de la grieta. Todos los equipos anteriores deberán conectarse al mismo 
equipo de registro que tendrá suficiente exactitud y velocidad de respuesta para 
monitorear adecuadamente cargas y desplazamientos. 
En 1984 se efectuó en los laboratorios de ingeniería mecánica de la UNAM la prueba de 
ASTM según la versión ANSI/ASTM E-399-78 [3.12]. El reporte de la misma y de sus 
resultados, incluidos en [3.2], se utilizan a continuación como un segundo punto de 
validación para el método por análisis de elemento finito aquí analizado. 
La prueba se realizó en una probeta compacta a tensión en la que se maquinó una muesca 
tipo keyhole cuya geometría y dimensiones se muestran en la figura 3.13. El material 
fue acero AISJ 9840 (E=2.I GPa y v=0.3) y se sometió a tratamiento térmico de 
templado y revenido, obteniendo un esfuerzo de fluencia igual a cry•= 1,449 MPa. Se 
obtuvo una grieta por fatiga de 2.6 mm. Al efectuar la prueba los parámetros más 
notables son la magnitud de la carga de fractura, 38, 710 Newtons y la velocidad con que 
esta se aplicó, 408.33 Nis. 
72 
  
  
| bhe— 25.4 —».] 
p— 234 —»> 
  
   
  
  
             
 
  
      
  
4 
AE a L- 
Detalle A j 12.4 a a a o 
t 
60.9 | 
h h 
212.4 — 
—Y is L 
21127 
y 
a 
Medio modelo (simétrico) Detalle A, Muesca tipo keyhole. 
Figura 3,13 
Dimensiones de la probeta ASTM según [3.2]. Dimensiones en mm. 
Para evaluar el problema con ANSYS se creó una malla de 768 elementos y 1,652 nodos 
representando sólo la parte superior de la probeta, y empleando elementos especiales 
desplazados en la punta de la grieta y elementos isoparamétricos de 8 nodos para el resto 
del modelo. La malla se muestra en la figura 3.14, y reporta un error de 14,49. 
La figura 3.15 muestra una nueva malla con mayor refinamiento, que mostró una 
variación ménima en los resultados, que tuvieron convergencia con los obtenidos con la 
malla anterior, cuyos resultados se consideraron por tanto válidos. En la figura 3.16 se 
presentan acercamientos en la vecindad de la punta de grieta en los que se muestra el 
campo de esfuerzos principales máximos. Pueden otra vez observarse los perfiles de 
esfuerzo descritos en la sección 1.6, figuras 1.8, 1.9 y 1.10. Se incluyen además las 
gráficas de esfuerzos de toda la placa y del modelo deformado, 
73
Establecimiento y validación de la metodología 
t==-:6~ 
1 ---¡ -23.4~ 1 
etnlle 'v "-$ \ / 
'-~ ·+-
 D 12.7 
JJ2.4 
~2.4 
¡, .'J 
<DI 
-::-.... '· .f.1r::º \ 
40°]~¡_..:~ 1 -· \ / --D 4.0 
edio odelo (si étrico) llc1i11lc . ue 11 Li o L-yhole. 
i ura . 3 
i ensiones e  r heta  tín fJ. 1. i ensiones  m. 
ara aluar l l a n SYS  ó a alla e 8 l entos  , 2 dos 
t do lo l  arte erior e l  r beta,  pleando l entos eciales 
s l zados  l  nta e l  rieta  l entos i r étricos e  dos ara l r st  
el odelo. a alla  uestra  l  ra . 4,  orta  rror e .49. 
a i ra . 5 uestra a eva alla n ayor i iento, e ostró a 
ri ci n íni a  s lt dos, e i r n vergencia n s t nidos n  
alla terior, os lt os  si eraron or t  áli os. n  ra . 6  
r s ntan ientos   ci dad e  nta e ri ta  s e  uestra l 
po e erzos ri cipales áximos. eden tra ez servarse s erfiles e 
erzo escritos   i n .6, ras . , .   . 0. e en ás s 
r fi as e erzos e a  l ca  el odelo f r ado. 
 
Establecimiento y validación de la metodología 
Figura J.14 
DiscrcJi1,1ció11 de la probcla co111pacla, ensayo ASTM. 
74 
UALIDACIOH 
Establecimiento y validación de la metodología 
AHS'/S 5.0 ~ 13 
AUG 3 J.994 
15:37:55 
PLOT HO. 5 
ELEMEHTS 
TYPE HUM 
Zl.I =.l 
.. DIST::Gl.004B5 
*XF ::-0.113E-93 
*'IF =0.0012:86 
CEHTROID HIDDEH 
WI1'4D::2 
Zl.I =.l 
,,......,_.._,'-- T··t.:'A!~~;>.¡jj1~~Jl,Uxl r-~"--'--1-l :~}ST~g: ~~U~o3 
Figura J.15 
Scgundn discrctizcición prol>c1a compacta: ensayo ASTM. 
*'IF =0.003984 
CEHTROID HIDDEH 
Wl1'4D::3 
Zll :.l 
DIST;:;Q.017353 
XF =Gl.00655 
YF ::Ci!.0152:5 
CEHTROID HIDDEH 
75 
Establecimiento y validación de la metodología 
Figura ].16 
Esfuerzos en la probeta compacta: ensayo ASTM. 
76 
Establecimiento y validación de la metodología 
En la tabla 3.3 se muestran los resultados obtenidos, cuya diferencia representa un error 
de 7.35%, quedando la solución obtenida por ANSYS del lado conservador. 
Tahla 3.3 
N y Comnaración <le resultados nrueha ASTM y A S S 
ANÁLISIS VALOR DE K1c íMParrn1 
Ensayo ASTM según f3.21 67.48 
Análisis con ANSYS según metodología oroouesta 72.44 
De acuerdo con [3. 2] el tipo de fractura resultante en la probeta de experimentación 
presentaba labios de corte oblicuo de magnitud despreciable, lo que permite asegurar que 
el tamaño de la zona plástica es mínimo, predominando el caso de deformación plana. 
Esto muestra coherencia con las conclusiones obtenidas en el punto 3.8.1, pues al no 
presentarse esfuerzo plano la zona plástica es despreciable y se hace innecesario efectuar 
corrección alguna, pudiendo considerar el resultado obtenido como válido. 
3.9 EXACTITUD EN CÁLCULOS DE FRACTURA. 
En este punto, para dar una idea de la exactitud obtenida con la metodología propuesta, 
es conveniente señalar que esta en las predicciones de cargas de fractura es relativamente 
baja a consecuencia de las variaciones en las propiedades de los materiales. Al examinar 
los resultados obtenidos en pruebas se observa que el cálculo del factor de intensidad de 
esfuerzos crítico basándose en datos puntuales presenta una considerable dispersión. Por 
otro lado, al utilizar un valor promedio para los cálculos se obtendrá un valor intermedio 
cuya exactitud será también reducida. Basado en estos argumentos, Broek comenta [3.7]: 
"Cualquier análisis de fractura que muestra resultados convergentes en 
un 10% para los esfuerzos de fractura esta probablemente 
proporcionando la mejor solución posible. SoíJSticaciones costosas para 
obtener mejores resultados pueden ser ineficientes. Ya sea que el análisis 
usado sea tan simple como un análisis de falla o tan complicado como un 
análisis elastoplástico por elemento finito, la consistencia en las 
predicciones dentro de un ma1·gen de 10% es 1rnís significativo que la 
exactitud absoluta en un solo caso." 
Apoyados en lo anterior, put.!de deducirse que los análisis realizados, mostrando errores 
de 7% a 2% que se mantenían iguales aiín refinando la malla, están proporcionando un 
alto grado de exactitud. 
77 
Establecimiento y validación de la metodología 
3.10 CONCLUSIONES. 
La metodología propuesta logra el objetivo fundamental de obtener un análisis de 
mecánica de fractura por el método del elemento finito, obteniendo una buena 
representación de la vecindad de la punta de grieta, con perfiles de isoesfuerzos correctos 
de acuerdo a lo esperado, y calculando el factor de intensidad de esfuerzos con 
precisión. 
Al comparar los resultados obtenidos con resultados experimentales se prueba que se 
están estimando valores reales y que el método es confiable, si bien debe aclararse que 
como cualquier método numérico sus resultados están sujetos a interpretación y deben 
aceptarse después de un análisis crítico. 
Gracias a la aplicación de un programa de elemento finito de la última generación la 
metodología resulta mucho más versátil y rápida que otras utilizadas anteriormente. La 
metodología en general permite varias opciones en todos los pasos críticos, en especial en 
lo referente a la generación del modelo y a su discretización. 
Se comprueba que los resultados obtenidos se aproximan a los exactos dando la diferencia 
cierto factor de seguridad, por lo que puede afirmarse que el cálculo esta del lado 
conservador. 
Es importante destacar la importancia del espesor del modelo en el análisis, y la 
posibilidad planteada en la metodología de evaluar cuándo el caso amerita utilizar 
correcciones para aumentar la precisión del resultado obtenido. Esto exige del analista 
una buena concepción del fenómeno de fractura y de la influencia de factores como el 
espesor, el método de carga o las restricciones de desplazamiento, los cuales influyen de 
modo importante en los resultados. 
Para optimizar el manejo de la memoria es importante la creación de regiones de interés 
para el refinamiento adecuado de la malla, lo que no sólo implica reducir el tamaño de 
elementos en zonas críticas sino también reconocer zonas que permitan utilizar elementos 
más grandes. Como se muestra, la mejora en exactitud de mallas muy refinadas no 
siempre se justifica, pues mallas menos refinadas obtienen resultados muy semejantes, 
requiriendo menores tiempos y costos. 
78 
Establecimiento y validación de la metodología 
3.11 REFERENCIAS. 
[3.1] Hemández, L.H. 1988. Cálculo de factores de intensidad de e~ji1erzos por el 
método del elemento finito. Informe parcial del proyecto 2496 "Análisis de mecánica de 
fractura" Instituto de Investigaciones Eléctricas. 
[3.2] Cisneros, Y.M., 1984. Tenacidad a la.fractura. Tesis de licenciatura, Universidad 
Nacional Autónoma de México. 
[3.3] Swanson Analisis Systems !ne. 1992. The ANSYS program. doc. MPB-A3-5/92 
[3.4] Zahavi E. 1992. The jinite element method in machine design. Prentice Hall, New 
Jersey. 
[3.5] Swanson Analisis Systems !ne. 1992. ANSYS 5.0 User's Manual Set, docs 
R300:50-1 a R300:50-4 
[3.6] Henshell, R.D., and Shaw, K.G. 1975. Crack-Tip Finite Elements are 
Unnecesary, international Journey.for Numerical Ml'lhods in Engeering, 9, pp.495-507 
[3.7] Broek, D. 1982. Elementary engineeri1111 fracture mechanics. Martinus Nijhoff 
publishers, third revised edition. p. 404. 
[3.8] Maxwell, J.C. 1853. On the equilibrium of Elastic Solids, Trans. R. Soc. 
Edinburgh, vol. XX, part 1, pp. 87-120. 
[3.9] Dally. J.W. 1991. Experimemal stress analysis, Mac Graw Hill, Singapore. 
[3.10] CISE 3090 1986 Topical report. Cmnputer codes fbr twn and three dimensional 
static stress analysis: Bistat-3 and Tristm-3. Applied mathematics section and Mechanical 
engineering section. 
[3.11] Tuba, !.S. 1966. A method of elastic plastic plane stress and strain analysis, J. 
Strain Analysis pp. 115-122 
[3.12] ANSI/ASTM. 1978. Standard test method.filr p/ane strainfrac111re touglmess of 
metals, ANSI/ASTM 399-78 
[3.13] British Standards Institution. 1977. Methods of test .fiJr plane strain fracture 
touglmess (lúe) <¡fmetallic materials, BS 5447: 1977 
ESTA TESIS NO fJEBf 
SALJR DE LA BIBLIOTEGA 
79 
4 
APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA AL ANÁLISIS DE 
TUBERÍAS AGRIETADAS AXIALMENTE 
Se utiliza la metodología para el análisis de 
cilindros agrietados axialmente y sujetos a 
presión interna, específicamente al caso de 
tuberías agrietadas, describiendo de modo 
general el problema y su peligrosidad, las 
conside-raciones dictadas por la mecánica de 
fractura pa.ra el caso y las etapas seguidas 
para crear y analizar el modelo de elementos 
finitos tridimensional apropiado. 
80 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
4.1 GENERALIDADES. 
En esta sección se aplica la metodología propuesta a un problema concreto, 
específicamente al análisis de un cuerpo cilíndrico con una grieta pasante orientada 
axialmente. Es un problema muy general pues puede aplicarse a una tubería conduciendo 
fluidos a presión, a un recipiente a presión, a un cañón militar o incluso puede ser un 
primer acercamiento al análisis de la vasija de un reactor nuclear. 
Una de las fallas más severas en el caso de gaseoductos es la presencia de una grieta 
axial. Esta puede propagarse varios kilómetros deformando las paredes de una tubería, 
adquiriendo una especial peligrosidad cuando transporta materiales inflamables, pudiendo 
provocar cuantiosos daños materiales en zonas aledañas que se suman al costo de la 
tubería rota. 
El caso más crítico en este tipo de falla es cuando ocurre por medio de una fractura 
frágil, y aunque el mecanismo de separación puede ser también dúctil dependiendo de la 
temperatura, en última instancia se suele considerar también frágil desde el punto de vista 
ingenieril pues la falla se asocia a muy poca deformación plástica y se propaga a alta 
velocidad. Se han reportado velocidades de propagación de grieta entre 600 y 1000 mis 
en casos de falla frágil y de 100 a 300 mis cuando el mecanismo de separación fue dúctil. 
Las condiciones necesarias para detener la propagación de este tipo de fallas dependen 
principalmente de la naturaleza y compresibilidad del material transportado en la tubería 
[4.1]. Si se trata de agua, aceite, o algún otro líquido incompresible, la fuga ocasionada 
por la fractura provoca una inmediata caída de presión que reduce el esfuerzo tangencial 
causando una disminución en el factor de intensidad de esfuerzos siempre y cuando la 
reducción en el esfuerzo tangencial compense el incremento del FIS provocado por el 
aumento en el tamaño de la grieta. 
Cuando el medio transportado es un gas Ja posibilidad de que la propagación de grieta se 
detenga depende de la velocidad a la que corre la grieta y de la velocidad acústica del gas 
(y de su onda de descompresión). Si la velocidad de propagación es igual o mayor que la 
velocidad de la onda de descompresión del gas, el efecto de reducción en el esfuerzo 
aplicado en la punta de la grieta no existe. Tomando en cuenta que la velocidad de onda 
acústica del gas natural es de 400 mis se deduce que una falla frágil propagándose a 600 
mis no podrá pararse, en tanto que una falla dúctil con velocidad de 300 mis podrá 
detenerse posiblemente. 
La propagación de una grieta axial en una tubería de gran diámetro, transportando gas 
licuado, alcanza un comportamiento uniforme en el que avanza a velocidad constante y 
que puede ilustrarse con el modelo de la figura 4.1. Según [4.2], se presentan 4 zonas en 
las que los esfuerzos y deformaciones subsecuentes son: 
81 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
ID o 20 APROX 2D 
IV 111 
deformación 
rircunferencmJ 
diAmctro extemo 
dc:fonn-.ción 
lnngiEUdinnl 
tliñmetro externo 
>4D 
Distribución de deformaciones en la pared superior lle un-.i tubcrfu tlur:.inle In 
propagación de la fracturo a velocidad consranle 
Figura 4. 1 (tomada do 14.2)) 
l. "En una secc10n alejada más de 4 diámetros de la punta de grieta los 
esfuerzos presentes, debidos a la presión interior en la tubería son biaxiales. 
11. Al acercarse a la punta de la grieta (2 diámetros), la aceleración radial de la 
pared del fondo de la tubería provoca que esta se deforme, adquiriendo una 
sección transversal ovalada. 
III. En la zona que se halla inmediatamente frente a la grieta el espesor 
disminuye antes de que la pared falle sin que haya una deformación 
tangencial importante. 
IV. Finalmente, atrás de la punta de la grieta, la reacción deJ gas en expansión 
que se fuga empuja las aletas que se forman en direcciones tanto radial como 
circunferencial, y la porción del fondo de la tubería hacia abajo. La presión 
del gas decrece hasta cero en una distancia aproximada de dos diámetros." 
82 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
(..........._) ___ )
A. i'irc-.i Je inkiaciún onles Je fu ruptura 
(.........._) _ ~ __ )
R: Area de Iniciación "º" un11 grieta rnn longiluJ 101al de 11> 
(_)_~_> _) 
C: árc.1 Je inici:1ciún CTln unn incla con /.,nti1uJ /ulal Je 41 > 
PORMA [JE U\ TllílERIA C>llRANTF. LA INICfACION Y f'KfWAllAf'ION 
DE U\ 1:AACTIJRA 
Se suceden tres etapas antes de 
que se alcance un comportamiento 
uniforme en la propagación de la 
grieta, mismas que pueden 
observarse en la figura 4.2. 
Cuando la grieta alcanza un 
tamaño total igual al diámetro de 
la tubería se presenta la 
configuración mostrada en la 
figura 4.28, con cierto 
abultamiento que va aumentando 
hasta que, al llegar la grieta a una 
longitud cercana a 4 veces el 
diámetro, las dos puntas de grieta 
se encuentran suficientemente 
alejadas para que su influencia 
mutua sea mínima. La presión 
del gas empuja las paredes 
formando las aletas tras la punta 
Figura 4.2 (lomada de [4.2]) de la grieta y desplazándolas hasta 
formar un canal en U cuya geome-
tría permanece constante en la subsecuente propagación a velocidad constante. Se cree 
que esta deformación de las aletas tras la punta de la grieta es la que provee la fuerza 
principal que provoca la propagación de la grieta. 
El estudio del problema descrito, del mecanismo de separación y de los esfuerzos 
involucrados se encuentra fuera del alcance de este trabajo. Experimentos dedicados a 
ello han demostrado que las deformaciones transitorias, presiones y desplazamientos 
ocurridos durante la iniciación, propagación y paro de estas fracturas son extremadamente 
complejos, siendo hoy un importante campo de investigación en la frontera del 
conoc1m1ento. En los últimos 25 años se han destinado gran cantidad de recursos en 
diversos laboratorios para el análisis de este problema, desarrollando tres líneas de 
trabajo: El primero comprende la realización y análisis de pruebas a escala natural como 
(4.2-4.6) entre otros. El segundo utiliza pruebas a escala como [4.7], y finalmente, 
aplicando métodos de análisis numérico [4.8]. 
Sin embargo, el inicio de este tipo de falla, cuando la grieta no ha comenzado su 
propagación inestable, involucra la presencia de una grieta axial de tamaño aún no crítico 
y cuya severidad es evaluada aplicando los conceptos de la mecánica de fractura lineal 
elástica para determinar el factor de intensidad de esfuerzos presente. En este punto 
ocurre cierto abultamiento alrededor de la grieta, pero la deformación en la pared de la 
tubería esta limitado aiín por la rigidez estructural de la tubería. De acuerdo con las 
mediciones obtenidas, la grieta debe crecer hasta 1.5 veces el diámetro antes de que la 
83 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
fuga de gas provoque alguna caída de presión observable [4.2]. Estos serán los 
principales puntos a considerar en el modelado del problema por elemento finito. 
En estas condiciones el esfuerzo principal máximo esta en dirección tangencial. Este 
somete al material en la punta de la grieta a una carga muy semejante al modo I o de 
apertura, que como se mencionó en el capítulo l es el más crítico. Sin embargo, debido 
a la curvatura y a la presión que actúa en la pared interna tras la punta de la grieta, el 
comportamiento es algo más complejo. Por otro lado, los esfuerzos longitudinales 
presentes crean un estado de esfuerzos biaxial en la pared de la tubería. 
Dependiendo del tamaño de grieta, dd diámetro y espesor de la tubería y de la presión 
interna, se presenta un valor del factor de intensidad de esfuerzos que puede compararse 
con un valor análogo a la tenacidad a la fractura del material, aunque no idéntico debido 
a que, como se explicó, el modo de carga no es estrictamente el l. Como el caso de 
fractura frágil considerado en la evaluación de K1c es el más crítico, al utilizar este valor 
afectado por un factor de corrección MF se obtiene, para las condiciones de operación, 
una evaluación del caso más drástico que puede presentarse, cubriendo otras posibilidades 
como el caso de falla dúctil o casos intermedios y asegurando así Ja confiabilidad del 
resultado obtenido, permitiendo así determinar el tamaño crítico de grieta que podrá 
tolerarse. 
Al realizar el análisis del elemento finito para este problema no sólo se ilustrará la 
aplicación de la metodología propuesta sino que además se profundizará en el 
procedimiento a utilizar para casos tridimensionales, mostrando las complicaciones que 
un análisis de este tipo implica. Los resultados se compararán con soluciones analíticas 
propuestas en la literatura abierta. 
4.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
El caso general de un cilindro agrietado sometido a pres1on interna puede modelarse 
considerando scílo una parte de la estructura original, pues existen condiciones de simetría 
tanto geométricas como de carga con respecto al plano de la grieta y perpendicularmente 
a este, permitiendo así reducir el problema al análisis de la sección sombreada en la 
figura 4.3. 
En cuanto a las cargas y condiciones de frontera a aplicar, las superficies ubicadas donde 
se cortó el modelo original deberán simular la presencia del resto de la geometría. Por 
otro lado, el cilindro estará sujeto a presión interna. En el extremo libre del cilindro 
también se tienen superficies de corte y se debe simular el efecto causado en ellas. Esto 
se explicará con mayor detalle posteriormente, una vez generado el modelo. 
84 
Aplicación de Ja metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Sección a modelar 
planos de simetría 
Figura 4.3 St:eción a analizar. 
El caso específico que se analiza es un cilindro de 20" cédula 40. Sus dimensiones son, 
según [4.9]: 
Diámetro exterior = 20" = 0.508 m. 
Diámetro interior = 18.814" = 0.478 m. 
Espesor = 0.593" = 15 mm. 
considerando una longitud de grieta igual a la mitad del diámetro medio: 0.2465 m. 
Estará sometido a una presión interna de 36. 7 MPa, y las propiedades mecánicas del 
acero son: Módulo de young E=2.1 GPa y módulo de Poisson de v=0.3. 
4.3 MODELADO 
4.3.1 Geometría 
La sección a analizar se subdivide en 6 zonas básicas según se muestra en la figura 4.4. 
Las secciones A y B modelarán la vecindad de la punta de Ja grieta, y por tanto se 
discretizarán con un mallado más fino. Las secciones C y D son de transición pues 
enlazan las secciones A y B con el resto del modelo por lo que también requerirán 
atención especial. Gracias a su geometría y a que no presentan cambios bruscos en el 
campo de esfuerzos, las zonas E y F podrán discretizarse fácilmente con una malla no 
muy fina. Final mente, debido a la simetría de B y D con A y C bastará crear y discretizar 
dos de ellas. Posteriormente, reflejándolas, se obtienen las olras dos. Esto se logra 
cambiando el signo de alguna coordenada en todas las entidades que se desea duplicar, 
logrando una copia simétrica del original. 
Se comenzará entonces modelando la sección A, para lo que se requerirá subdividirla 
nuevamente a fin de controlar mejor la discretización de la punla de la grieta. Los 
volúmenes resultantes se discretizarán y copiarán posteriormente. Esto facilita el 
procedimiento y mejora el aprovechamiento de la computadora pues se requiere de más 
recursos para generar una malla que para copiarla o reflejarla. Debido a que el ancho de 
banda de la matriz de rigidez es afectada por Ja diferencia entre los números asignados a 
cada elemento (ver capítulo 2, sección 2.2.4), conviene reflejar inmediatamente cada 
85 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Figura 4.4 Suhdivisión de la sección de tubería :malizada 
malla creada, en lugar de discretizar toda la sección A-C y luego copiarla. Con esto se 
reduce la memoria requerida para los cálculos posteriores. 
De acuerdo a las especificaciones descritas en la sección 3.5 (ver capítulo 3), los 
elementos especiales que modelarán la punta de grieta no deben estar excesivamente 
distorsionados, lo que limita el número de elementos a colocar alrededor de la línea que 
describirá la punta de la grieta. Por otro lado al discretizar las superficies comunes a las 
secciones A y C se requerirán más elementos, por lo que se necesita una zona intermedia 
discretizada con elementos con forma tetragonal que conecten los elementos especiales en 
la punta de la grieta con el resto del modelo. 
De acuerdo a lo anterior, los volúmenes 
en los que se subdivide la sección A se 
obtienen creando primero dos secciones 
cilíndricas que se enlazan mediante 
operaciones booleanas, para obtener los 
volúmenes de intersección deseados como 
muestra la figura 4.5. Posteriormente se 
1Jiminan los volúmenes excedentes. 
Repitiendo el procedimiento se obtienen 
los volúmenes 1, 2 ,3 y 4, adyacentes al 
volumen C (Figura 4.6) cuya geometría 
resulta conveniente para posteriormente 
discretizarlos, refinar las mallas obtenidas 
o incluso recurrir al submodelado. 
Fig. 4.5 Divisi<ín Ud volumc:.m A 
86 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
4.3.2 Discretización de la punta de la grieta 
El volúmen situado en la punta de la grieta deberá discretizarse con especial atención, 
creando y colocando adecuadamente los elementos con nodo desplazado. Este volumen 
comprende dos partes: una que se modelará por generación directa con elementos 
especiales (volumen 1) y otra que servirá de base a la anterior y la comunicará con el 
resto del modelo (volumen 2). 
Se discretiza primero el volumen 2, colocando 
así los nodos que formarán las caras anteriores 
de los elementos especiales. A continuación 
se colocan dos nodos en los extremos del 
frente de grieta y a partir de ellos y de los del 
volumen 2 se controla la ubicación adecuada 
del resto de los nodos, desplazando los nodos 
intermedios a la cuarta parte de las lineas 
nodales, de acuerdo con la figura 3.5. 
l'igura 4.6 División <Id volumen A 
Los elementos a utilizar serán Jos bloques de 
20 nodos, definidos de modo que formen 
prismas. Para esto se señalan los nodos que 
formarán sus esquinas, así como cuáles deberán considerarse como nodos secundarios. 
Utilizando un mismo nodo para indicar dos esquinas se obtienen Jos elementos con la 
forma deseada. Al asignar los nodos 
desplazados como nodos secundarios el 
programa da un aviso de la ubicación 
anormal de estos, aclarando que esta es 
correcta si se busca indicar una 
singularidad. 
Una vez creados todos los elementos 
especiales se procede a copiar sus nodos 
simétricamente con respecto al eje 
longitudinal del cilindro. En seguida se 
copian lambién Jos elementos, discretizando 
así la punta de grieta de la sección B. (Figura 4. 7) 
4.3.3 Discretización del resto del modelo 
Figura 4.7 
Elementos en el frente <le grieta 
Una vez creada la malla que modelará la vecindad de la punta de la grieta, se procederá a 
discretizar los volúmenes adyacentes a ella. Esto tiene la finalidad de ir creando zonas de 
transición entre los volúmenes que requieren de gran cantidad de elementos finitos y otras 
en las que se requiere usar elementos grandes. 
87 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Así pues, para conectar la zona en la punta de la grieta con el resto del modelo se deberá 
crear una región intermedia formada por los volúmenes 3 y 4, y aunque podría 
discretizarse con elementos tipo ladrillo de 20 nodos, deformados como prismas para 
obtener un mallado en mapa, esto haría necesario recurrir de nuevo a la generación 
directa, haciendo el proceso mucho más lento. Debido a lo anterior resulta conveniente 
discretizar el volumen 3 por mallado libre utilizando elementos con forma de tetraedros. 
Es importante que antes de discretizar esta zona intermedia se discreticen las dos 
adyacentes pues de lo contrario la ubicación de los nodos en la superficies comunes no 
corresponderá entre un volumen y otro, lo que impediría conectarlos. Por otro lado, 
debido a su geometría, discretizar el volumen C en mapa presenta también 
complicaciones, por lo que se hace necesario contar con un volumen 4, que pueda 
discretizarse primero para que sirva de base al discretizar los volúmenes 3 y C. 
Discretizar el volumen C requiere concatenar las dos áreas que forman la esquina opuesta 
a la punta de grieta (figura 4.8), así · 
como las líneas que la forman para 
permitir su discretización con 
elementos con forma hexagonal. 
Concatenar dos o más áreas o líneas es 
crear entre ellas un tipo especial ele 
unión que permita considerarlas como 
una sola durante la cliscretización de 
una entidad geométrica de mayor 
jerarquía. Esto es necesario debido a 
que para poder crear una malla por 
mapeo el programa requiere que esta 
esté delimitada por máximo cuatro 
líneas en el caso ele áreas, o dr. seis áreas Figum 4.8 
si se discretizan volúmenes. Discwtizacicln Jd volumon e 
Finalmente, discretizar las secciones E y F resulta sencillo gracias a su geometría, 
debiendo cuidarse que sus nodos coincidan con los de las otras secciones. Uniendo los 
nodos coincidentes se obtiene el modelo de elementos finitos completo. 
Así, se obtuvo un modelo ele 392 elementos con 1,581 nodos, de entre los cuales 250 se 
concentraron en la sección A para modelar la punta de la grieta, esto es, el 63 % del total 
de elementos. La figura 4.9 muestra un acercamiento a las zonas que rodean la punta ele 
la grieta, aunque también se muestran algunos elementos de las secciones E y F. 
88 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Figura 4.9 
Discn::tizaci6n lle la Vl!cinda<l dt.! la punta d~ grieta 
4.4 CARGAS Y CONDICIONES DE FRONTERA. 
En la figura 4.10 se muestra el modelo completo con las distintas cargas y condiciones 
de frontera consideradas. Se observan, en amarillo las restricciones al movimiento, en 
rojo la presión hidrostática en las paredes interiores del cilindro y en azul la carga axial 
resultante. 
Las restricciones a aplicar son: Debido a que se esta analizando sólo una secc10n del 
modelo completo, para describir el comportamiento de todo el cuerpo se debe restringir 
el desplazamiento perpendicular a las superficies de corte, dejando libre la superficie de 
la grieta. 
A fin de evitar una singularidad en la matriz de rigidez, se hace necesario que haya por lo 
menos una restricción de movimiento en cada una de las direcciones principales. Las 
superficies comunes al resto del modelo generan restricciones en direcciones axial y 
circunferencial, pero se hace necesario colocar una más en dirección radial. Para evitar 
que esta afecte a la zona de interés en la punta de la grieta se colocará en la esquina 
opuesta a la superficie de la grieta. El punto A en la fig. 4.10 indica la posición de la 
restricción adicional en dirección radial. 
89 
Figura 4.10 
Cargas y condiciones 
de frontera aplicadas 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Fig. 4.ll 
Cargas y condiciones 
de frontera en la 
punta de grieta 
.'. 
,,.~\;l ':.1·,~1~-!,;;,·íj;, "> . ~ 
Figura 4.12 
Esfuerzos en la punta de grida. 
90 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
Hay dos distintas cargas a aplicar: la primera es la presión a la que esta sometida la 
superficie interior del cilindro. La segunda esta relacionada con la carga resultante en 
dirección axial y se coloca en la superficie opuesta a la ubicación de la grieta. Su 
magnitud es igual a Ja fuerza de reacción en dicho extremo libre. Esta carga se distribuye 
uniformemente en toda la sección transversal de la pared del cilindro en su extremo libre. 
Debido a que se utilizó la generación directa al discretizar Ja punta de la grieta, las 
restricciones y cargas en esta zona deberán aplicarse directamente a Jos elementos. La 
figura 4.11 muestra en un acercamiento las cargas y restricciones aplicadas en la vecindad 
del frente de grieta. Por otro lado, para el resto del modelo, es posible aplicar fácilmente 
las restricciones y cargas en las áreas afectadas. Posteriormente el programa, al 
comenzar la solución, las transfiere a los nodos y elementos. 
4.5 OBTENCIÓN DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE 
ESFUERZOS. 
La obtención del FIS requerirá primero generar el modelo de acuerdo con las condiciones 
enunciadas en el capítulo 3. De esta manera se logra que los elementos especiales 
modelen adecuadamente el comportamiento de la singularidad presente en la punta de la 
grieta. 
Se define un sistema de coordenadas en el centro del frente de grieta de acuerdo a Jo 
indicado en la figura 3.4b y se especifica cuáles nodos definirán la superficie libre de 
grieta, nodos en función de los cuales se calcula el FIS. Como se mencionó en el 
capítulo 3, hay varias posibilidades al elegirlos, y en este caso es conveniente ahondar un 
poco en esta decisión. 
En el modelo tridimensional, el espesor de la pared del cilindro esta modelada por varias 
capas de elementos, por lo que puede calcularse un factor de intensidad de esfuerzos en 
cada capa. La variación de resultados dependiendo de cual de ellas se elija puede 
conducir a resultados inexactos. Para comprender estas variaciones obsérvese la 
distribución de esfuerzos presente en la zona de acuerdo a las figura 4.12, 4. 13 y 4.14. 
Debido a la presión interna ejercida sobre las paredes del tubo se presentan mayores 
esfuerzos en la cara interior de la pared de grieta, Jos que disminuyen a un mínimo en el 
exterior. El punto más crítico estará por tanto en la cara interna. Esto puede confirmarse 
obteniendo el valor del factor de intensidad de esfuerzos para las dos superficies, interior 
y exterior, así como para otra capa en el centro del cilindro. La comparación puede 
observarse en la tabla 4.1: 
91 
Figuras 4.13 y 4.14 
Esfuerzos ea la Punta 
de grieta 
Figura 4.15 
Esfuerzos ea el 
submodelo 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberias agrietadas axialmente 
92 
Aplicación de la rnetodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialrnente 
TABLA 4 1 
Capa de nodos utilizados calcular el FIS Factor de intensid:id de esfuerzos calculado 
con ANSYS 
Nodos en la pared exterior 2.24 íGPa ,¡¡;;l 
Nodos en la mitad del espesor de pared 2.27 fGPa ,,¡¡;; l 
Nodos en la pared interior 2.29 fGPa ,,¡¡;;] 
Como puede observarse, aunque la variación en los resultados resulta pequeña (2.2%), el 
valor obtenido en la cara interna es mayor, y es por tanto el valor más crítico, 
concluyéndose que, para el caso específico de recipientes cilíndricos el valor buscado es 
el que se presenta en la parte interna. La experiencia ha mostrado que en estos casos, 
generalmente las grietas se originan en la superficie interna y se propagan hacia el 
exterior (4.10]. 
4.6 SUBMODELADO 
Debido a limitaciones en la memoria de la computadora, a que se generaron archivos de 
hasta 40 rnegabytes en los análisis, y a que Ja versión con que cuenta en el IIE sólo puede 
manejar problemas en los que el ancho de la matriz banda no exceda 500 componentes, el 
análisis antes mencionado estuvo limitado, pues mayores refinamientos de malla no 
podían ser soportados por el equipo. Debido a esto se recurrió al submodelado, cuyos 
principios básicos se explican en la sección 3.4. Entre las ventajas del submodelado, 
además de optimizar el manejo de la memoria, eslán el ahorro de tiempo y la posibilidad 
de analizar por separado zonas de interés, en nuestro caso la punta de la grieta, sin 
necesidad de construir nuevamente todo el modelo. 
El análisis por submodelado, con base en los resultados ya obtenidos, consistió en la 
reconstrucción de la zona A, utilizando los mismos volúmenes mostrados en la fig. 4.6 
pero con un mayor refinamiento. La punta de la grieta, representada en el modelo 
original con 12 elementos especiales, quedó representada en el submodelo con 24, lo que 
sumado a un mayor refinamiento en los volúmenes 2 a 4 requirió de 998 elementos, casi 
cuatro veces los empleados para la misma zona en el modelo original, y 2,357 nodos. 
Esto implica que el análisis conjunto de modelo y submodelo abarca un total de 1,140 
elementos y 3,343 nodos. El submodelo con la malla refinada se muestra en la figura 
4.16, así corno con la distribución de esfuerzos obtenida (fig. 4.15). 
Realizado el nuevo análisis la variación de Jos resultados fué prácticamente nula, corno se 
observa en la tabla 4.2, presenlándose una variación de tan sólo 0.9%. Tomando en 
cuenta lo comenlado en el punto 3.9 sobre la exactitud en los resultados, se concluye que 
el resultado obtenido en el primer análisis es salisfactorio. Adicionalmente se comprobó 
93 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
f:UDHODELO CILINDRO 20",CEDULA 40 CON GRIETA AXIAL 
Figura 4. lú 
Submodelo de la punla de grieln 
ANS','S 5.0 A l.3 
AUG :3 1994 
.l.6.:02:35 
PLOT NO. 2: 
ELEMENTS 
TYPE HUM 
XV =-0.604023 
YU =Cil.?66044 
zu =0.2J.98"16. 
DlST=0.150:>B4 
XF =Pa.061625 
YF =Cil.229365 
A-ZS=-0.J.71.E-,¡jS 
PRECCSE HIDDEN 
94 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
la posibilidad de aplicar submodelado a casos complejos, aumentando en forma 
importante la capacidad del equipo con que se cuenta. 
Por último, se aprovechó la mayor cantidad ele elementos en el submoclelo para ampliar 
los resultados ele la tabla 4.1, confirmando así que el valor crítico del FIS se encuentra en 
la pared interior. 
Tahla 4.2 
Capa de nodos utilizados para calcular el FIS Factor de intensidad de 
esfuerzos 
Pared externa. Submoclelo 2.1 [GPa .Jm l 
Cuarta parte del espesor de pared. Submodclo. 2.14 [GPa .Jm1 
Mitad del espesor ele pared. Submoclelo 2 .22 íGPa .Jm l 
Tres cuartas parles del espesor ele pared. Submodelo 2.28 [GPa .Jm1 
Nodos en la pared interior. Submodelo 2.31 [GPa .Jm1 
Nodos pared interior. Modelo original 2.29 íGPa .Jm 1 
4.7 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS 
Pueden encontrarse en la literatura diversas fórmulas para encontrar el factor de 
intensidad ele esfuerzos que nos ocupa. La premisa básica para el análisis de recipientes 
cilíndricos a presión agrietados es, según [4.12]: 
"Un recipiente cilíndrico a presión puede ser tratado como una 
placa plana (del mismo material, espesor y con la misma grieta 
pasante del recipiente) cargada a tensión colocando un 
esfuerzo nominal cr en la placa que sea un múltiplo MF del 
esfm•rzo tangencial CJ"r: 
cr=MFCTT (4.1) 
Donde MF esta en función de la longitud de grieta a, del radio 
del rcci¡>ieute, R y del espesor de pared H." 
Entre las distintas expresiones para calcular MF, destaca la obtenida por Folias [4.11], 
cuya validez se apoya en los resultados obtenidos en importantes programas de 
experimentación a escala real realizados por Duffy, Eiber, Maxey y Kiefner [4.12-4.15], 
y que se enuncia a continuación: 
M, .. = l+l.61~ (4.2) 
RB 
95 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
El factor de corrección, obtenido por Folias, corrige la ecuación del FIS para el caso de 
tuberías agrietádas, según la ecuación: 
K,·=MFcrT.JP?. =- I+l.61-- ita P R ( a' ) 
B RB 
(4.3) 
Donde: CfT Esfuerzo tangencial 
A continuación se listan algunas otras soluciones encontradas en la literatura, comparadas 
con la solución obtenida: 
TABLA4 3 
Fórmula FIS Fuente 
·~ a' 
2.78 [4.11] 
MF= 1+1.61- GPa.¡;;; UH 
~· a' ( R ) 
2.73 [4.11] 
Mr = 1 +1.61-, 50tanh-- GPa.¡;;; R- 50H 
Resultado obtenido con 2.26 -
ANSYS GPa.¡;;; 
~I a' a"' 2.25 [4.16] 
M,..= 1+1.255---0.0135-,-
2 GPa.¡;;; UH R·H 
R 1.7 [4.17] 
MF= GPa.¡;;; ? 
F ª 
1.58 (4.18] 
MF = 1-0.81..JRH GPa.¡;;; 
El resultado obtenido muestra convergencia con la ecuación de Folias y con otras más. 
Cabe mencionar que debido a la complejidad que presenta la distribución de esfuerzos las 
soluciones obtenidas por fórmula son en cierta medida empíricas, y su exactitud esta aún 
sujeta a verificación. Sin embargo, los resultados de Folias y de Wanhill son los más 
utilizados. 
Estos resultados pueden utilizarse para calcular diversos parámetros que permitirán 
evaluar la criticidad de la fractura modelada, el daño causado a la tubería original y las 
consecuencias que se esperan. Partiendo del factor de intensidad de esfuerzos obtenido, y 
lomando las consideraciones enunciadas al principio, de las dos fuerzas principales que 
causan la propagaci6n de la fractura, la originada por la presión interna (esfuerzo 
tangencial) y la provocada por la fuga de gas empujando las aletas tras la punta de grieta, 
en el inicio de la propagaci!Ín sólo interviene la primera, pues como se mencionó la 
96 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
deformación en la superficies de grieta aún no permite una fuga importante del fluido 
transportado. 
En estas condiciones, el factor de intensidad de esfuerzos obtenido permite encontrar el 
máximo esfuerzo tangencial y la correspondiente presión máxima que soportará la tubería 
sin que el esfuerzo en la punta de la grieta provoque una propagación inestable. Con este 
resultado pueden establecerse las condiciones de operación límite con las que podría 
seguir operándose la tubería. 
Otra posible aplicación involucra el empleo de MF, pues según [4.12]: 
" ..• El esfuerzo tangencial crítico para la extensión de grieta en 
el recipiente a presión, O"T* puede entonces ser descrito en 
términos de cr*, el esfuerzo nominal para extender la grieta en 
una placa plana: 
O"T* =cr*/MF. 11 • 
El resultado obtenido con ANSYS puede ser una referencia al elegir entre las distintas 
expresiones para calcular Mr- y obtener así un factor de intensidad de esfuerzos crítico 
aplicable al análisis mediante macánica de fractura lineal elástica, si bien deberá cuidarse 
el aspecto relacionado con la velocidad de aplicación de carga en la prueba en la que se 
determine K1c. 
4.8 CONCLUSIONES 
La aplicación práctica de la metodología muestra la importancia de la concepción física 
del problema para su correcto análisis y para interpretar los resultados. El problema que 
se estudia es aún objeto de investigaciones y su complejidad ha impedido obtener aún 
resultados concluyentes y definitivos. 
Esto obliga al analizarlo a recurrir a documentos publicados en revistas especializadas 
pues aún son pocos Jos libros que profundizan en este campo, lo que me permitió 
observar la importancia y trascendencia de la comunicación entre investigadores mediante 
publicaciones periódicas que permiten mantenerse actualizado con los últimos avances 
científicos a nivel internacional. 
Por otro lado, la complejidad de problema y el nivel de avance en las investigaciones 
realizadas al respecto complican la comparación de los resultados obtenidos pues como se 
mencionó, las soluciones analíticas disponibles en la literatura están aún sujetas a 
verificación, aplicandose con certeza en casos muy específicos. 
Esto permite apreciar la posibilidad de emplear herramientas como el método del 
elemento finito como auxiliar en la investigación y obtención de resultados prácticos. Sin 
97 
Aplicación de la metodologia al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
embargo, y debido a lo anterior, el problema involucra un grado de complejidad 
apreciable. 
Al requerirse necesariamente un análisis en tercera dimensión la aplicación del método se 
complica en forma significativa. El correcto manejo de Ja geometría, de sistemas de 
coordenadas y de las gráficas creadas es indispensable para lograr la representación 
adecuada de Ja realidad, en este caso en un grado mucho mayor que cuando se analizan 
problemas bidimensionales, exigiendo del analista una mayor capacidad ele abstacción 
espacial. 
Por otro lado, Ja complejidad de Ja geometría y de las mallas requeridas complican la 
discretización, que debe ahora realizarse por etapas obligando a subdividir el modelo, y a 
plantear toda una estrategia que permita la colocación adecuada de Jos elementos 
cumpliendo simultáneamente con las limitaciones dictadas por la capacidad de Jos equipos 
con que se cuenta. 
La aplicación ele las restricciones y cargas debe realizarse con cuidado, pues implica 
comprender el comportamiento ele estructuras cilíndricas, ele cascarones y de recipientes 
con pared gruesa, obligando al analista a profundizar en los conceptos fundamentales de 
diseño y análisis ele recipientes a presión. 
Una revisión ele la literatura referente al problema muestra Ja importancia que adquiere la 
aplicación ele análisis numéricos para encontrar soluciones ingenieriles en el diseño y 
también en el análisis de estructuras ele este tipo, en los que Ja exactitud de Jos resultados 
esta ligada tan estrechamente con aspectos corno la seguridad y economía de grandes y 
costosos sistemas y equipos. 
98 
Aplicación de Ja metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
4.9 REFERENCIAS 
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[4.3] Fearnehough, G.D., Jude, D.W. and Weiner, R.T., 1971, The Arrest of Brittle 
Fracture in Pipelines, Practica! applications of fracture Mechanics in Presure Vessels 
Technology, Proc. Instn. Mech. Engrs., London, pp. 156-162 
[4.4] Hood, J.E., and Jamieson, R.M., 1973. Ductile Fracture in Large-Diameter Pipe. 
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[4.5] Shoernaker, A.K., McCartney, R.F., Pipe Deforrnation During a Running Shear 
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99 
Aplicación de la metodología al análisis de 
tuberías agrietadas axialmente 
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engeneering science series 15. 
100 
CONCLUSIONES 
El presente trabajo se enfoca al análisis de cuerpos agrietados, procurando dar a la 
metodología propuesta el mayor rango de aplicación y flexibilidad posibles mediante la 
aplicación de la mecánica de fractura lineal elástica y del método del elemento finito, 
pudiendo analizar prácticamente cualquier estructura, independientemente de su 
geometría o de las condiciones de carga a las que este sujeta. Sin embargo el análisis 
encuentra su principal aplicación en aquellas estructuras cuyos materiales tiendan a 
comportarse frágilmente bajo las condiciones de operación normales. 
La aplicación de la mecánica de fractura amplía mucho su potencial gracias al empleo del 
método de elemento finito, pues la flexibilidad de este último permite analizar casos de 
geometrías complejas con diversas condiciones de carga y frontera, cuya solución 
analítica es difícil obtener. Es importante mencionar que hay problemas que hasta ahora 
sólo pueden ser tratados con el método del elemento finito. 
A pesar de la versatilidad que ofrecen los programas de elemento finito de la ultima 
generación, este tipo de análisis exige del analista el conocimiento de sus limitaciones, así 
como de las herramientas que ofrece el paquete manejado, pues si el modelado de un 
componente estructural puede ser de por si complejo, la inclusión de grietas en el 
problema lo complica aún más. Por otro lado, no puede perderse de vista el hecho de 
que, a pesar de su exactitud, versatilidad y capacidad de análisis, el método del elemento 
finito sigue siendo una herramienta. 
La aplicación del método del elemento finito a problemas reales involucra el empleo de 
muy diversos conocimientos. Para poder representar la geometría a analizar se requiere 
aplicar conocimientos de geometría descriptiva y de geometría analítica, haciéndose 
indispensable un buen conocimiento de los distintos tipos de sistemas de coordenadas, 
ejes, escalas y características de entidades geométricas diversas para permitir un manejo 
ágil de las herramientas de graficación del programa. 
Los programas de elemento finito son una aplicación mucho más sofisticada que cualquier 
paquete de dibujo, por lo que además de los necesarios antecedentes de geometría y 
dibujo técnico el manejo adecuada del programa involucra por lo menos el entendimiento 
básico de la parte matemática involucrada, que incluye conceptos de álgebra matricial, 
cálculo vectorial, lógica matenuítica y algebra de boole, por mencionar algunos. 
Como cualquier herramienta de análisis numérico, el empleo del MEF puede llevar al 
analista a resultados erróneos o poco realistas si no cuenta con buenas bases en la materia 
en cuya aplicación específica se emplea el método. Estas bases deben proveer la 
sensibilidad y criterios que permitan encontrar bases que garanticen la aplicabilidad de los 
n:sultados, o que en su caso lleven a una revisic\n más profunda del problema para 
obtener resultados reales. 
101 
Conclusiones 
Entre las bases necesarias en la aplicación que nos ocupa destacan la mecánica de sólidos, 
la resistencia de materiales y la mecánica de la fractura, sin las cuales el empleo del 
método se hace imposible, convirtiéndolo en una caja negra cuyos resultados no 
garantizan ninguna confiabilidad. 
Otros conocimientos con que debe contar el analista son aquellos relacionados con el 
manejo de archivos y memoria en la computadora. Debido a la cantidad de archivos 
necesarios durante el análisis es necesario saber identificar su importancia y determinar 
cuáles de ellos deben conservarse. 
El dominio exigido en el manejo del método del elemento finito no es suficiente para las 
aplicaciones que nos ocupan. Su aplicación a problemas de mecánica de fractura presenta 
exigencias que obligan a conocer bien sus posibilidades y limitaciones. Muchas de las 
opciones que ofrece el paquete han sido preparadas para el diseño mecánico, y no para 
análisis de daños detectados en estructuras. La comprensión de los conceptos de 
mecánica de fractura son los que proporcionan en este caso los criterios a seguir. Las 
decisiones respecto al planteamiento del problema, a la estrategia de modelado, y a la 
interpretación y evaluación de resultados que se deben tomar son realmente el centro de 
la aplicación y responsabilidad del analista. 
Aunque la aplicación de herramientas de análisis gráfico exigen una mayor capacidad de 
abstracción espacial, ofrecen grandes ventajas pues facilitan al analista la visualización 
del problema, tanto como un conjunto como en sus detalles, especialmente en problemas 
tridimensionales, permitiéndole efectuar cambios y adaptaciones, modificar las 
condiciones de carga o de frontera. También son un valioso auxiliar en la interpretación 
de los resultados, permitiendo identificar con facilidad zonas críticas y analizando 
problemas de diseño o aplicación a fin de dictar medidas correctivas necesarias. 
Los límites principales a los que esta sujeta la metodología propuesta atañen por un lado a 
la aplicación, y por otro a la capacidad. El alcance teórico de la metodología abarca el 
campo de la mecánica de fractura lineal elástica, aplicada principalmente al análisis de la 
criticidad de fallas detectadas o supuestas en componentes estructurales, pero no 
contempla casos no lineales ni dependientes del tiempo. Por otra parte, la capacidad del 
equipo de cómputo impide el tratamiento de problemas muy complejos que exijan gran 
capacidad de memoria o que generen anchos de banda mayores a 500 columnas en la 
matriz de rigidez. 
Al aplicar la metodología se hace necesario un periodo de refinamiento tanto en la 
aproximación utilizada para analizar el problema como para el modelado del mismo, cuya 
duración depende de la complejidad que represente el modelo. Esto repercute 
directamente en el tiempo y costo que un análisis de este tipo implica. 
A pesar de sus limitaciones por capacidad y velocidad, la posibilidad de contar con un 
paquete de elementos finitos del tipo de ANSYS en computadoras personales amplían 
mucho su difusión, pues además de disminuir de modo importante los costos involucrados 
102 
Conclusiones 
en su aplicación, dotan al analista de una mayor autonomía, abriendo a profesionistas 
independientes Ja posibilidad de emplear este tipo de recursos avanzados, antes limitados 
a grandes compañías y centros de investigación que contaran con gran capacidad de 
cómputo. 
Un aspecto interesante es la posibilidad de efectuar análisis paramétricos que puedan 
utilizarse para diversos casos particulares. Así por ejemplo, para el caso de tuberías 
agrietadas, pueden especificarse variables para especificar el radio de Ja tubería, su 
espesor, el tamaño de grieta y las propiedades del material, de modo que posteriormente, 
cambiando Jos valores especificados, puedan realizarse distintos análisis aprovechando Jos 
mismos criterios, lo que reduciría mucho los tiempos necesarios. 
Los análisis realizados en esta tesis probaron la utilidad de error estimado que calcula el 
programa, por lo que puede utilizarse como un criterio v<ílido para determinar hasta que 
punto debe refinarse la malla. Como se menciona en el capítulo 3, el grado de error se 
ve influenciado, aparte de por el tamaño de los elementos en las regiones críticas, por el 
tipo y distribución de las cargas aplicadas y por la distorsión de los elementos. 
La complejidad del método queda sin embargo justificada al analizar los resultados 
obtenidos y comparar las ventajas en tiempo y por tanto en costo que ofrece este tipo de 
herramientas contra otras opciones aplicables a problemas con grietas. Dependiendo de 
la complejidad del problema es posible obtener en relativamente poco tiempo resultados 
confiables sin necesidad de complejos análisis matemáticos. 
Aunque en ocasiones sigue siendo necesario recurrir a la experimentación al resolver este 
tipo de problemas, el empleo de técnicas como el método del elemento finito permiten un 
mejor planteamiento y planeación del trabajo, aumentando la eficiencia del trabajo 
experimental al proporcionar pautas específicas a seguir o puntos a aclarar. 
Entre los posibles trabajos a desarrollar para continuar este trabajo en un futuro se 
encuentran el análisis de estructuras más complejas, el análisis de propagación de grietas 
por fatiga o el acoplamiento con programas de CAD por medio de archivos con el 
formato !GES. 
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