UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CIENCIAS DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY T E S 1 S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: MATEMATICA P R E S E N T A: ARACELI GUZMÁN TRISTÁN DIRECTOR DE TESIS: DR. ALE.JANDRO ILLA.NES ME.JÍA UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. t, ft .·.·_;· / . : ·_. ' ~L & ..... C. ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA Jefa de la División de Estudios Profesionales de la Facultad de Ciencias Presente Comunicamos a usted que hemos revisado el trabajo escrito: "Dendroides y La Prooiedad de Kel ley" realizado por Ara ce l i Guzman Tris t~n con.número de cuenta 9429998-2 • quién cubrió los =éditos de la carrera de Matem.§ticas Dicho trabajo cuenta con nuestro voto aprobatorio. Director de Tesis Propietario ~Ó~~~~or Propietario Suplente Suplente Atentamente Dr. Alejandro Illanes Mejía - 1,~·,..¡,/ .. 1 ,.. .,,4 /., ' ¡// 1/ 'V~1""""'~~t ·· .. M. en c. Verónica Martlnez de la Vega y Mansilla Dr. Janusz Jerzy Charatonik ~ Dra. Isabel Puga Espinosa ¿/[~;b"¿,,.~.,,____ .O-/~~·:::> Mat. Vlctor N~umann Lara ~tttE :.¡,\f ICH,J DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY ARACELI GUZMA:S- PARA ELHOIM - · . ;..' ·,_ .;_·-- . ·~ ... ~. · · ··· -- -·--· .. ' "' "' " "·~- - --- --· - . Quiero agradecer a todas las personas que me han ayudado tan solo con el hecho de estar a mi lado: Principalmente agradezco a Vero y Alejand'ro la amistad, la disposición, la paciencia, el apoyo y toda la dedicación que han tenido conmigo. A mi ma', mi pa' y mis hermanas Lurdes, Ale y Esme por todo el amor y la confianza que han puesto en mi aún sin explicaciones. A July por ser tan tierna y traviesa y a todos los que se me quedan en San Luis. A mis amigos Dalia, Alexandra y Paul por darme todos esos extraños viernes y por escucharme tanto. A Elho por enseñarme todo lo que cree, por recibir todo lo que le doy y por todos los distintos días que vivimos con Bilbo. A Ana, Enrique, Any y Olen por darme una segunda familia. Por último agradezco a mis amigos del instituto por compartir todo lo que cuesta e implica el querer ser Matemáticos. Introducción Preliminares ÍNDICE GENERAL l. Propiedades básicas de los Dendroides 2. Descomponibilidad 3. Arcos i'vla."Ximales en Dendroides 4. Propiedad del Punto Fijo 5. Dendroides con la Propiedad de Kelley 6. Ejemplos importantes de Dendroides Referencias · · '<' . 1 5 11 19 29 35 39 61 67 I INTRODUCCIÓN Un continuo es un espacio topológico, métrico, compacto, conexo y no vacío. Un subespacio de un continuo que también es continuo se llama subcontinuo. En esta tesis trabajaremos con cierto Üpo de continuos llamados dendroides, los cuales cumplen con muchas propiedades interesantes en la Teoría de Conti- nuos. Una idea aproximada de dendroide es la siguiente: Un dendroide es un continuo tal que él y todos sus subcontinuos cumplen que siempre hay una y sólo una forma de viajar de un punto a otro. Tenemos como ejemplo los siguientes dendroides. La idea original de esta tesis consistía en elaborar una monografía sobre den- droides, es por ello que en los primeros cuatro capítulos nos concentramos en demostrar sus propiedades más importantes. 2 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELL 0 EY En el Capítulo 1 daremos algunas propiedades básicas de estos espacios, por ejemplo veremos que no contienen curvas cerradas, que son únicamente arcoco- nexos y que todos sus subcontinuos son a la vez dendroides. En el Capítulo 2 veremos que todo dendroide se puede ver como unión de dos de sus subcontinuos propios, lo cual no sucede por ejemplo con el siguiente continuo: En el Capítulo 3 mostraremos que si damos una cadena creciente de arcos en un dendroide, siempre existe un arco que contiene a todos los de la cadena y que no está propiamente contenido en ningún arco. En el Capítulo 4 veremos que toda función continua de un dendroide en sí mis- mo deja un punto fijo. Cabe mencionar que Jos capítulos 2, 3 y 4 resultan ser muy similares a los capítulos 7, 4 y 2 de (11], (10) y (8), respectivamente. Se dice que un continuo X tiene la propiedad de Kelley si para cada punto p E X, cada subcontinuo A de X tal que p E A y cada sucesión en.-Y, {Pn}~=l que converge a p, se tiene que existe una sucesión de subcontinuos de X, {An}~=l que converge a A y tal que Pn E An para cada n E N. Decimos además que un dendroide X es suave si existe un punto p E X tal que para toda sucesión {xn}~=l convergente a un punto x E X, la sucesión de INTRODUCCIÓN 3 los arcos que unen a p con cada Xn es convergente y converge al arco que une a p con x. En la página 258 de su libro de Hiperespacios [12), S.B. Nadler, Jr. en el ejemplo (5.10) asegura que el dendroide tiene la propiedad de Kelley. A primera vista, uno pensaría que Nadler está en lo correcto. Sin embargo, si tornamos el punto p, la sucesión {Pn}::"=i y el continuo A como en el siguiente dibujo · 4 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY podemos darnos cuenta que esta afirmación es falsa. Este hecho fue observado por Czuba quien probó algo todavía más fuerte, a saber: (1) Si un dendroide tiene la Propiedad de Kelley, entonces es suave. Este teorema ocupa el capítulo 5 de nuestro trabajo. Si usted compara las 20 hojas necesarias para la prueba y las 2 hojas que usó Czuba podría pensar que la diferencia sólo se debe a que en esta tesis, hemos hecho un desarrollo más completo. Sin embargo, esto no es así. Aunque la afirmación de Czuba es cierta, algunos pasos de su demostración son incompletos y otro de plano falso {la afirmación del renglón 25 de la página 3 de [2], en donde afirma que X debe contener una copia de la curva del sen(~)). Por estas razones , en este trabajo tuvimos que tomar sólo algunas de las ideas de Czuba y entonces construir una demostración co~pleta y bien justificada de la afirmación (1). De esta manera, el capítulo 5 es la parte más importante y original de este trabajo. Por último, en el Capítulo 6 encontramos algunos ejemplos de dendroides especiales por sus propiedades . . · PRELIMINARES En esta parte del trabajo daremos los conocimientos necesarios para abordar el estudio de las propiedades a las que nos dedicaremos en cada uno de los siguientes capítulos. Los resultados que aquí se exponen no incluyen una demostración de los mis- mos, ya que éstas alargarían el trabajo y nos alejarían de nuestros propósitos. Cada uno de ellos puede consulterse en (6) con mayor desarrollo. Comenzamos con algunas definiciones. Un continuo es un espacio métrico, compacto y conexo. Los hiperespacios de un continuo ,y con los que trabajaremos se definen por: 2x = {A ~ X : A es cerra~o y A # o} y C(X) ={A E 2x : A es conexo} . A estos espacios se les da una métrica definida de la siguiente manera: Dados E: > O y A E 2''\'" definimos: N(i;:, A)= {x E X : existe a E A tal que d(a, x) < i;;} donde des la métrica del continuo X. Es fácil comprobar que N(é,A) = U{B~(a): a E A} y, entonces N(i;:,A) es abierto en X. La métrica de Hausdorff para 2x se define entonces por: H(A, B) = inf{é >o: A e N(i;:, B) y Be N(E:, A)}. 5 6 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE l O, B.(x) n An #-o para casi toda n (todas salvo un número finito)} y limsupAn = {x e X: para toda ES> o, BE(x) n An =1- o para una infinidad de números n}. Por ejemplo: Para n E N, hacemos { [O, 2] X Hl }, An= (1,3] X {ñ}, sin par, sin impar. Entonces liminf An = [l, 2) x {O} y limsupAn =[O, 3) x {O}. 1 A1 1 A2 2 1 A3 3 A As 1 2 3 0.1'. Puede demostrarse (cap. 2, [6]) que una sucesión {An}~=I en 2X converge con Ja métrica de Hausdorff a un A E 2x si y sólo si lim inf An =A= limsup An. Cuando esto sucede lo denotamos por An ~ A . También se puede ver que el límite cumple las siguientes propiedades. PRELIMINARES 7 Si {.4n}::"= 1 y {Bn}::"=i son sucesiones en 2", tales que An -+A y Bn --+ B, entonces: 0.2. (An U En) --+ A U B 0.3. Si An e Bn para una infinidad de números n, entonces A e B 0.4. Si An n Bn # P para una infinidad de números n, entonces A n B # o. 0.5. Un resultado importante del hiperespacio {2x, H) es que es completo, com- pacto y arcoconexo. No sólo eso, sino que además si nos restringimos al hiperes- pacio (C(Xº), H), éste también resulta ser completo, compacto y arcoconexo. Las funciones de Whitney son una manera de medir el tamaño de los elementos de 2x y constituyen una herramienta muy importante para estudiar la estructura de los hiperespacios. 0.6. Una función de Whitney es una función continuaµ: 2x -+IR tal que: (1) µ({x}) =O para toda x E X y {2) Si A e B ,¡. A, entonces µ(A) < µ(B). Se ha demostrado que éstas funciones existen (cap. 4, [6]). Gracias a ellas podemos definir otro tipo de arcos en 2x: Sean A, E E 2x tales que A e B #- A. Un arco ordenado de A a B en 2x es una función .continua a: [O, 1] --+ 2x tal que a{O) = A,a(l) =By sis< t, ·entonces a(s) e a(t) #- a(s). La existencia de arcos ordenados entre cualesquiera dos elementos de 2x está determinada por el siguiente teorema (cap. 5, [6]): Sean A, E E 2X, tales que A C B #- A. Entonces existe un arco ordenado en 2x de A a E si y sólo si toda componente de B intersecta a .4. 8 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY 0.7. Además si hablarnos de dos elementos A,B E C(X) tales que A e B #A. Entonces siempre existe un arco ordenado en C(X) de A a B (cap. 5 , [6)) . Por último, enunciamos los siguientes resultados de los que haremos cita más adelante. Lema 0.8. De los golpes en la Frontera (cnp. 5, [6)) . Si X es un continuo, U es un subconjunto abierto propio y no vacío de x: y D es una componente conexa de V. Entonces D n Fr(U) #o. Lema 0.9 (cap. 1.1, (11]). Todo continuo X es segundo numerable. Lema 0.10 (cap. 1.3, (11)). Sean X un continuo y Z un subcontinuo de X. Si X\Z = A U B, donde A y B son abiertos_ ajenos en X, entonces Z U A y Z Ú B son subcontinuos de )( . Lema 0.11 (cap. 1.5, (11)). Sea X un continuo. Si D es un subcontinuo propio de X, entonces existe un subcontinuo propio C de)( tal que C # D y De C. Teorema 0.12 (Teorema 3.11, (4)). Si un espacio S es conexo en pequeño en todo_punto, entonces es localmente conexo. Teorema 0.13 (Teorema 4 .2, (3)). Un espacio topológico X es l~calmente conexo si y sólo si las componentes conexas de cada subconjunto abierto son abiertas en .X . Teorema 0.14 (Teorema 3 .15, (4]). Sea X un continuo localmente conexo, en- tonces )( es arcoconexo. PRELIMINARES 9 Teorema 0.15 (Teorema 3.16, [4]). Todo conjunto abierto conexo en un conti- nuo localmente conexo es arcoconexo. Lema 0.16 (Corolario 8.15, [7)). Sean X un espacio métrico completo y {Fn}::"=i una familia de subconjuntos cerrados de .Y tales que X = LJ{Fn : n E N}. Entonces alguna Fn tiene un punto interior. l. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS DENDROIDES Definición 1.1. Sean X un espacio topológico, Y un conjunto arbitrario y p: X -4 Y una función suprayectiva. Se define la topología de identificación en Y determinada por p, como {U e Y: p- 1 (U) es abierto en X} y se denota por r(p). Definición 1.2. Sean X y Y dos espacios topológicos. Una función continua y suprayectiva f : )( ~ Y es una identificación si la topología de Y es igual a la topología de identificación determinada por f. Lema 1.3. Sean (X, /3) y (Y, r) dos espacios topo_lógicos. Si f: X -4 Y es una función continua, cerrada y suprayectiva; entonces J es una identificación. Demostración. Debemos demostrar que T = r(f). s;;; ) Sea U E r. Como f es continua tenemos que ¡-1 (U) es abierto en X. Entonces U E r(f). Por lo tanto, r s;;; r(f). ;¿ ) Sea U E r(f), entonces ¡-1(U) es abierto en X, por lo que X\J-'(U) ¡-1 (Y\U) es.cerrado en X. Además como fes cerrada y suprayectiva tenemos que J(J- 1 (Y\U)) = Y\U es cerrado en Y. Por !o tanto, U es abierto en Y; es decir, U E r. o Lema 1.4. Sea f: X -4 Y una identificación entre espacios topológicos X y Y. Si X es localmente conexo, entonces Y es localmente conexo. 11 t( 12 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Demostración. Sea U e Y un conjunto abierto. Por el Teorema 0 .13 basta demostrar que las componenetes conexas de U son abiertas en x:. Sea J{ una componente conexa de U, entonces K ~ U. Tomamos un punto x E ¡-1 CJ<). Como fes continua, tenemos que ¡-•cu) es abierto en X. Además como K ~U podemos concluir que x E ¡-1 CK) ~ ¡-1 CU). Sea Cz la componenete conexa de x en el abierto ¡-•cu). Como X es localmente conexo, tenemos que Cz es abierto en }(. Además como C,, es conexo y f continua, llegamos a que JCCz) es un conexo que contiene a f(x) y tal que JCCz) ~ U. Por lo que JCx) E K n JCCz) · Como K es una componenete de U , tenemos que J(Cz) ~ J\, y como f es suprayectiva concluimos que X E e% e ¡-•cx). Por lo tanto ¡-1 (K) es abierto en X. Como fes una identificación, concluimos que I< es abierto. O Corolario 1 .5. Sean X y Y continuos y f : X -+ Y una función continua y sv.prayectiva, si X es localmente conexo, entonces Y es localmente conexo. Demostración. Sea U un subconjunto cerrado de ,Y. Como ,y es compacto, entonces U es compacto. Por la continuidad de f tenemos que JCU) es compacto en Y. Además Y es de Hausdorff, entonces f(U) es cerrado en Y. Como U fue un subconjunto cerrado arbitrario en X podemos concluir que f es una función cerrada. Por el Lema 1.5 tenemos que f es una identificación y por el Lema 1.4 llegamos a que Y es localmente conexo. O Lema 1.6. Sea X un continuo, entonces X e.o conexo por trayectorias si y sólo si X es arcoconexo. Demostración. <= ) Si X es arcoconexo, en particular es conexo por trayectorias. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS DENDROIDES 13 =>) Sean p, q dos puntos distintos en .Y. Como X es conexo por trayectorias, existe una función continua f: (O, l] -t X tal que f(O) = p y f(l) = q. Por con- tinuidad de f tenemos que f([O, 1]) es un subconjunto compacto y conexo de X; es decir, f([O, 1]) es un subcontinuo de X. Como [O, l] es un espacio localmente conexo podemos concluir por el Corolario 1.5 que /([O, l]) es localmente cone- xo. Así, por el Teorema 0.14, f([O, l]) es arcoconexo. Como {p, q} E f([O, l]), entonces existe un arco °': [O, 1] -t /([O, l]) e X tal que a(O) = p y a(l) =. q. Además, p y q fueron puntos arbitrarios en .Y , entonces .Y es arcoconexo. o Definición l. 7. Un continuo x: es unicoherente, si para cualesquiera dos sub- continuos A y B de )( tales que A U B = X se tiene que A n B es conexo. Se dice también que X es hereditariamente unicoherente si todos sus subcon- tinuos son unicoherentes. Definición 1.8. Un continuo X es un dendroide si es conexo por trayectórias y hereditariamente unicoherente. Veamos ahora algunas propiedades importantes de los dendroides. Lema 1.9. Todo dendroide es arcoconexo. Demostración. Sea .)( un dendroide, entonces .Y es un continuo conexo por tra- yectorias y por el Lema 1.6, X es arcoconexo. o Lema 1.10. Si .X es un dendroide, entonces X no contiene curvas cerradas simples. 14 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Demostración. Supongamos que ,y contiene una cun·a ce rrada simple .4; es de- cir, A es la imagen de un homeomorfismo h : S 1 -+ .Y. Entonces, A es un subcontinuo de X. Sean p, q E A puntos distintos, entonces h-1 (p), h-1 (q) E 5 1 y son puntos distintos, estos dividen a 5 1 en dos subarcos B y C que comienzan en 1i-1 (p) y terminan en 1i- 1 (q); es decir, S 1 = BU C. Como hes homeomor- fismo, podemos concluir que A= h(51 ) = h(B) U h(C) donde h(B) y h(C) son subcontinuos de A . Sabemos que }( es un dendroide, entonces es hcreditaria- mente unicoherentc, por lo que A es unicoherente y h(B) n h(C) es conexo. Por otra parte, B n C = {h- 1 (p), ¡,- 1 (q)} implica que h(B) n h(C) = {p,q} lo cual es disconexo y nos lleva a una contradicción . Por lo tanto .Y no contiene curvas cerradas simples. O Lema 1.11. Si X es un de11droide y {a, b} E X, con a#- b, entonces existe un único arco en ,y que los une, el cual vamos a denotar por ab. Demostración. La existencia de un arco que une a con b se sigue del Lema 1.9. Supongamos ahora que existen dos arcos distintos de a a b que llamaremos A 1 y A2. Entonces, {a, b} e .4 1 y {a, b} e A 2 • Por tanto {a, b} e A 1n.42 y entonces, .4 1 U .42 E C(X). Como X es hereditariamente unicoherente y A 1 U A 2 E C(X) se sigue que A 1 n .42 E C(X). Además, A 1 n A 2 e .4.1 , entonces A 1 n .42 es un subarco de .4 1 que ·contiene a los puntos {a, b}, así que .41 n.42 = A 1 • Del mismo modo podemos probar que A 1 n A 2 = A,. Entonces, A 1 = A2 lo cual es una contradicción; por lo tanto existe un único arco que une a con b. o Lema 1.12. Sean X un dendroide y p, q dos puntos distintos en X. Entonces pq = n{A E C(X): {p, q} E A} . PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS DENDROIDES 15 Demostración. 2 ) Tenemos que pq es un subcontinuo de .Y que contiene a {p, q}. Entonces, pq E {A E C(X) : {p, q} E .-1.}, por lo tanto n{A E C(X) : {p,q} E A}~ pq. ~ ) Para cada A E C(X) tal que {p, q} E A se tiene que {p, q} E A n pq, entonces A U pq E C(.Y). Corno X es hereditariamente unicoherente podemos concluir que Anpq E C(X) . Entonces Anpq es un subarco de pq el cual contiene a {p, q} , de modo que .-l n pq =pe¡. Entonces pq ~ .4 para toda A E C(X) tal que {p , q} E A . Por lo tanto, pq ~ n{.4 E C(X): {p,q} E .-1}. O Lema 1.13. Sea X un dendroide y {A0 : et E J} una familia de subcontinuos de X. Entonces n{.40 : et E J} es compacto y conexo. Demostración. Como cada A., es un subcontinuo de .Y en particular es cerrado, así que n{A 0 : °' E J} es cerrado. Además n{A0 : et E J} ~ X y X es compacto, entonces n{A0 : °'E J} es compac~o. Por otra parte, llamemos A= n{A 0 : °'E J} y veamos que: (1) Si A= 0, entonces A es conexo. (2) Si A = {p} para algún punto p E X, tenemos que A es conexo. (3) Si A consta de al menos dos puntos. Sean {p, q} E A con p f= q. Entonces {p,q} E A;:. para toda°' E J. Por el Lema 1.12 tenemos quepq ~ n{A0 : °' E J} . Como p, q fueron puntos arbitrarios en A podemos concluir que A es arcoconexo. Por lo tanto, n{A0 : °'E J} es conexo. o Lema 1.14. Todo subcontinuo de un dendroide X es un dendroide. 16 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Demostraci6n. Sea A un subcontinuo de .Y. Para ver que· A es un dendroide basta ver que A es conexo por trayectorias, ya que .4 es por definición un continuo hereditariamente unicoherente. Sean entonces {p, q} dos puntos distintos en .4. Dado que A es un subcontinuo de X y contiene a {p, q}, tenemos que .4 E {B E C(X) : {p,q} E B}. Además, por el Lema 1.12 podemos concluir que pq = n{B E C(X) : {p, q} E B} e A; es decir, A es conexo por trayectorias. Por lo tanto A es un dendroide. O Definición 1.15. Un continuo X se llama hereditariamente arcoconexo si todos sus subcontinuos son arcoconexos. Lema 1.16. Un continuo .Y es un dendroide si y s6/o si dados dos puntos en X existe un único arco que los une y X es hereditariamente arcoconexo. Demostraci6n. =>)Si X es un dendroide por el Lema 1.11 se tiene que dados dos puntos en X existe un único arco que los une. Además por el Lema 1.14 sabemos que todos los subcontinuos de ,y son dendroides así que X es hereditariamente arcoconexo. <== ) Como X es un continuo arcoconexo, basta ver que X es hereditariamente unicoherente. Para esto~ sea A un subcontinuo de .Y tal que A = B U C donde B y C son sÜbcontinuos de X. Veamos que C n B es conexo: (1) Si C n B =o, entonces C n Bes conexo. (2) Si C n B = . {p} para algún punto p en X, entonces C n B es conexo. (3) Si C n B contiene al menos dos puntos. Sean {p, q} dos puntos distintos en Cn B. Por hipotésis existe un único arco D que une p con q. Además PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS DENDROIDES 17 .Y también es hereditariamente arcoconexo, entonces B y C son arcoco- nexos. Como {p,q} E B, entonces De By analogamente De C. Por lo que De B n C; es decir, B n Ces arcoconexo, y entonces conexo. Por lo tanto .Y es hereditari¡\mente unicoherente. Entonces, .Y es un dendroide. o Definición 1.17. Una dendrita es un continuo localmente conexo que no con- tiene curvas cerradas simples. Teorema 1.18. Un espacio topológico .Y es una dendrita si y sólo si X es un dendroide localmente conexo. Demostración. <= ) Si X es un dendroide localmente conexo, entonces por el Lema 1.10 tenemos que X ño contiene curvas cerradas simples. Por lo tanto X es dendrita. => ) Si X es dendrita, entonces X es un continuo localmente conexo y por el Teorema 0.14 tenemos que X es arcoconexo. Basta demostrar entonces, que .Y es hereditariamente unicoherente. Sean A y B subcontinuos de X y supongamos que A n B es disconexo. Como A n B es cerrado en .X, entonces existen dos cerrados H y K tales que A n B = H U K y H n I< = o. Como X es un espacio normal, podemos concluir que existen dos abiertos U y V en X tales que H e U, J( e V y Un V = o. Entonces A n (X\(U U V)) y En. (X\(U U V")) son compactos en X . Además A n (X\(U U V)) n E = (A n B)\(U u V) = o. Así que, de nuevo por la normalidad de .X podemos concluir que existen dos abiertos 1'V y Z tales que (A\(U u V)) e W, (B\(U U V)) e Z y W n Z = o . Tenemos entonces que U u V u 1'V es abierto y A e U u V u Hl. Sea G la componenete conexa de 18 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY U U V U l-V que contiene a A. Como }( es localmente conexo podemos concluir que Ges abierto y así, por el Lema 0.15, G es arcoconexo. Análogamente tenemos que si F es la componente conexa de U U V U Z que contiene a B, entonces F es arcoconexo. Sean p un punto en H y q un punto en K. Como H n J( = o tenemos que p # q. Como p e H e A e G y q E J( e A e G, entonces existe un arco A 1 e G que une p con q. Luego como p EH e Be F y q e K e Be F, entonces existe un arco .'he F que une p con q. Si tuvieramos que A1 = A2, tendríamos que .41 = .42 e G n F e (U U V U l-V) n (U u V u Z) e U U V; pero U U V es disconexo, así que A 1 = A 2 e U ó A 1 = A2 e V, pero p E H n ...-11 e Un A1 y q e K n A1 e V n Ai, lo cual es una contradicción. Por lo que A 1 # A 2 . Como A 1 y A 2 son arcos distintos que comienzan y terminan en los mismos puntos concluimos que A 1 UA2 contiene una curva cerrada simple, lo cual es una contradicción. Por lo tanto A n B es conexo. Entonces X es un dendroide. o 2. DESCOMPONIBILIDAD En este capítulo analizaremos la propiedad que tienen todos los dendroides de ser descomponibles lo cual definimos como: Definición 2.1. Un continuo .Y se llama descomponible si contiene dos subcon- tinuos propios .-l. y B tales que X = A U B. Un continuo es indescomponible si no es descomponible. Lema 2.2. Un continuo .Y es indescomponible si y sólo si todos sus subcontinuos propios tienen interior vacío. Demostración. ~ ) Supongamos que todos los subcontinuos propios de X tienen interior vacío y que }( es descomponible. Entonces, existen dos subcontinuos propios A y B de X tales que X= A U B. Por lo que X\B ~A. Como B es un subconjunto prop.io de x: tenemos que X\B es abierto y no vacío; lo cual implica que 0 =¡6 X\B e Aº. Por lo que A es un subcontinuo propio de X que tiene interior no vacío, lo que contradice nuestra hipótesis. Por lo tanto, X es indescomponible. => ) Supongamos ahora que X posee un subcontinuo propio A cuyo interior es no vacío. Se tienen los siguientes casos: (1) X\A es conexo. En este caso tenemos que X\A E C(X). Como Aº es un abierto no vacío que está contenido en A podemos concluir que Aº n X\A = 0. Por lo que A y X\A son subcontinuos propios de X que cumplen que .Y = A U X\A. Por lo tanto, X es descomponible. (2) X\A es disconexo. 19 -20 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Entonces, existen subconjuntos H y /( abiertos, ajenos y no ,·acíos de X tales que X\.4 = HU /C Por el Lema 0.10 tenemos que A UH y A U /( son subcontinuos propios de X, y además X = (X\A.) U A = (HU K) U A= (A u H) U (A u K) . En ambos casos llegamos a que .Y es descomponible, lo cual es una contradicción. Por lo tanto todos los subcontinuos propios de X tienen interior vacío. o Definición 2.3. Sea .Y un continuo y p un punto en .Y, definimos la composante de p en X como el conjunto de todos los puntos x E X: tales que existe algún subcontinuo propio de .Y que contiene a p y a x. Lema 2.4. Sea J( una_ composante de algún punto p en un continuo .Y. Entonces I< es un subconjunto denso y conexo de X. Demostraci6n. Es claro que K es la unión de todos los subcontinuos propios de X que contienen a p, por lo que K es unión de conexos con el punto p en común, entonces J( es conexo. Supongamos ahora que K no es denso en )(; es decir J( 'f. .Y. Entonces K es un subcontinuo propio y no vacío (contiene a p) de ,y. Por el Lema 0.11 sabemos que existe un subcontinuo propio H de X tal que K e H y K 'f. H. Entonces Hes un subcontinuo- propio de .Y que contiene a p, por lo que He /(, lo cual es una contradicción. Por lo tanto K es denso en )(. o Lema 2.5. Si X es un continuo descomponible, entonces X es composante de alguno de sus puntos. 0ESCOMPONIBILIDAD 21 Demostración. Sean A y B subcontinuos propios (y no vacíos) de X tales que X=AUB. Si tuvieramos que A n B = o tendríamos que X es disconexo, lo cual es absurdo. Por lo tanto .4 n B # o. Sea pues x E A n B y K la composante de x. Como A y B son subcontinuos propios de .Y que contienen ax, podemos concluir que A e ¡.,: y B e K, de donde .Y = A U B e J(. Por lo tanto K = X. Así que .Y es la composante de X. o Definición 2.6. Si X es un continuo y {p, q} e X, decimos que X es irreducible con respecto a p y q si no existe ningún subcontinuo propio de X que contenga a ambos puntos. Lema 2.7. Sean)( un continuo y p un punto en X. Entonces ,y es irreducible respecto a p y algún otro elemento de X si y sólo si la composante de p es un subconjunto propio. Demostración. =>) Si ¿y es irreducible con respecto a p y q, entonces no existe ningún subcontinuo propio de)( que contenga a {p,q}; es decir, q no está en la composante de p. Por lo que la comp~sante de p es un subconjunto propio de X. -<==) Si la composante de p es un subconjunto propio de X, entonces existe q E X tá.l que q no está en la composante de p. Entonces q no está en la unión de todos los subcontinuos propios de X que contienen a p; es decir, no existe ningún subcontinuo propio de X que contiene a {p, q }. O 22 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEV Corolario 2.8. Si un continuo)( es irreducible con respecto a {p, q}, entonces las composantes de p y q son subconjuntos propios de }( y distintos entre sí. Demostración. Por el Lema 2. 7 sabemos que las composantes de p y q son sub- conjuntos propios de .Y. Si sus composantes fueran iguales tendríamos en particular que p estaría en la composante de q . Por lo que existiría un subcontinuo propio [{ de X que contiene a {p, q}. Lo cual no es posible ya que .Y es irreducible con respecto a {p, q}. Por lo tanto, sus composantes son subconjuntos propios y distintos entre sí. o Corolario 2.9. Si )( es un continuo descomponible y no irreducible, entonces .Y posee exactamente una composante. Demostración. Por el Lema 2.5 sabemos que x: es composante de alguno de sus puntos. Como x: no es irreducible, por el Lema 2. 7 concluimos que X no posee composantes propias. Por lo tanto, .Y mismo es su única composante. O Lema 2.10. Si ,y es un continuo descomponible e irreducible, entonces X posee exactamente 3 composantes. Demostración. Sea)( un continuo descomponible e irreducible respecto a {p, q }. Por el Lema 2.5 tenemos que ~Y es composante de alguno de sus puntos y del Corolario 2.8 obtenemos que las composantes de p y q son subconjuntos propios de X y distintos entre sí. Tenemos entonces 3 composantes de X distintas entre sí. Mostraremos que no puede haber más. DESCOMPON!BILIDAD 23 Sea r un punto arbitrario en X y I< su composante. Supongamos que [( #- .'i:. Entonces existe y E .'i:\K. Como )( es descomponible, existen dos subcontinuos propios A y B tales que X = A U B . Ninguno de estos subcontinuos puede contener a ambos p y q , ya que .'i: es irreducible respecto a este par, por lo que podemos asumir que p E A y q E B. Supongamos además que r E A. Dado que .4 es subcontinuo propio de)( y contiene ar, tenemos que A e J{ y como p E A, entonces p E IC Supongamos por un momento que I< también contiene a q . Entonces existe un subcontinu.o propio D que contiene ar y a q. Además recordemos que {p, r} e A. Como y~!(, ningún subcontinuo propio de X contiene a {r, y}, por lo que y rf; A y y ) Sea .Y un continuo indescomponible. Por los Lemas 2.11 y 2.1-l podemos tomar tres composantes I y ó x ;::: y cuando sus imágenes bajo h- 1 respetan estos órdenes. \ :, _3_o ____________________ D_E_r_•o_R_O_ID_E_s_v_L_A_P_R_o_P_l_E_D_A_D_D_E_K_E_L_L_E_Y_ X a h o 1 Definición 3.2. Sea X un dendroide, se dice que un arco et contenido en X es un arco maximal si et no está contenido propiamente en ningún otro arco de .Y. Teorema 3.3. (Teorema de Reducción de Brouwer). Sea Y un espacio segundo numerable y/Cuna familia no vacía de subconjuntos cerrados de Y con la propiedad de que para cada sucesión creciente I n}. Claramente En es conexo y con1pacto, por tanto E,. es un subcontinuo de ,Y. Por el Lema 1.14 sabemos que En es un dendroide, entonces por el Corolario 2.16 En se puede escribir en la forma: En = An U Cn, donde An y C,. son subcontinuos propios de E,. . Como {bm : m > n} e An U C,., podemos suponer que {m EN: bm E Cn} es infinito. Veremos entonces que bn E An \Cn. Supongamos por el contrario que bn E Cn. Dada x E LJ{b,.bm : m > n}, tenemos que x E bnbm para alguna m EN. Como {k EN: bk E Cn} es infinito, entonces existe m' > m E N tal que bm' E C,.. Como C,. es arcoconexo (Lema 1.14), entonces bnbm• e c .. , como b,.bm e bnbm'• entonces X E bnbm e Cn. Hemos probado que LJ{bnbk : k > n} e C,. y como Cn es cerrado, concluimos que Cn =En· Esto es una contradicción que nace de suponer que b,. E C,.. Por lo tanto, bn E An \C,. . Por el Lema 3 .1 existe p E Cn tal que bnP n Cn y ec .. . Veremos ahora que E,. = b,.p U C,.. {p} y p E bnY para toda Sea x E LJ{b,.bm : m > n}. Como {m E N : bm E C,.} es infinito, x E b,.bm para alguna b.,. E C,., por la forma en que elegimos a p, p E bnbm. Entonces, x E ARCOS MAXIMALES EN DENDROIDES 33 bnpUpbm. De manera que x E bnpUCn. Por tanto U{bnbm: m > n} C bnpUCn y, como este conjunto es cerrado, podemos concluir que Bn = bnP U Cn. Como {m EN: bm E Cn} es infinito y Cn es cerrado, entonces b E Cn. Por el Lema 3.1 existe q E Bn tal que aq n Bn = {q} y q E ay para toda y E B,.. Aseguramos que q = bn. Tomemos 1n > n tal que bm E Cn· Tomamos el orden natural del arco abm que cumple con que a < bm. Por hipótesis, ab,. C abm. Así que b,. E En, q E abn. Por la elección de p, tenernos que p E bnbm . Por tanto, a ::S q ::S bn < p ::S bm. Si ocurre que q E C"' entonces bn E qbm e Cn. Esto es una contradicción pues ya habíamos probado que bn í/; Cn· Por tanto q í/; Cn· Como q E B,. = bnP U C,., entonces q E bnP· Esto prueba que b,. ::S q. Por tanto, bn = q. Ya que be B,., por la propiedad que define a q, concluimos que b,. = q E ab. Hemos probado entonces que b,. e ab para toda n e N. Por tanto ab,. e ab para toda n E N. Dada k E N, existe una m E N tal que m > k y Cm = bn para alguna n E N. Entonces ack e acm = abn e ab. Esto muestra que ack e ab para toda k E N. De manera análoga existe g E X tal que aka C ga para toda k e N. Querernos ver que el arco gb contiene a todos los arcos akck. Primero .veremos que a· E gb. Para esto, basta mostrar que ga n ab = {a}. Supongamos por el contrario, que existe un punto x E ganab\{a} . Entonces xa e ga n ab. Como a 0 E ga - {a} y b0 e ab\{a}, entonces existe un punto y E ax n a 0 a n ab0 \ {a}. Esto es una contradicción puesto que a 0 a n ab0 = {a}. Con esto hemos probado que a E gb. 34 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Entonces ac1: e ab e gb y aka e ga e gb. Por tanto a1:ck e gb para toda k EN. Como}( es un espacio separable, podemos aplicar el Teorema de Reducción de Brouwer (Teorema 3.3) a la familia JC, entonces JC contiene un elemento ma."Ximal '"Y- o Corolario 3.5. Sea)( un dendroide, dados a, b E .Y, existe un arco maximal -y tal que a, b E -y . Demostración. Si a f' b, entonces este corolario es consecuencia directa del Teo- rema 3.4. Si a= b, entonces tomemos e E ,y - {a}. De esta manera, el arco deseado se puede encontrar aplicando el Teorema 3.4 al arco ac. o 4. PROPIEDAD DEL PUNTO FIJO Definición 4.1. Sea X un espacio topológico. Decimos que X tiene la propiedad del punto fijo si para toda función continua f: X -t X se tiene que existe un punto x E )( tal que f(x) = x. Teorema 4.2. Sea X un dendroide. Entonces X tiene la propiedad del punto fijo. Demostración. Supongamos que .Y no tiene la propiedad del punto fijo; es decir, existe una función continua f: X -t X tal que f(x) #- x para todo punto x E X. Definimos h : X -t lR por: h(x) = d(x, f(x)) donde des la métrica del espacio X. Entonces h es continua. Como .Y es compacto, h alcanza su mínimo en algún punto x 0 E .Y. Supongamos que h(x0 ) = 2e-. Entonces (1) d(x, f(x)) ;::: 2e- para toda x E X. Afirmación: Existe una sucesión {an}::"=i tal que para cada n EN, a 1 , a 2 , ••• , ª" cumplen las siguientes condiciones: (ln) Para cada i < n, d(a,, a;+i) = ~- (2n) Para cada i < n si p E a;ai+1 y a;# p # ai+¡, entonces d(a,,p) < ~­ (3n) a1an = LJ{aiai+l : i E {1, 2, ... , n - 1} }. (4n) Sin> 1, entoncesª" E aif(an) y a1 # ª" # J(an). Demostración. Por inducción sobre it. Parn n = 1, sea a 1 E X entonces las condiciones (ln), (2n),(3n), (4n) se cumplen por vacuidad. Supongamos que se cumplen las condiciones para n. Demostraremos entonces las condiciones para el caso n + l. 35 36 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Sea g : anf(an) -+ lR tal que g(x) = d(an, x) . Entonces g es una función continua definida en el compacto anf(an)· Como g(an) = O y g(f(an)) ~ é tenemos que, por el Teorema del Valor Intermedio, existe un punto z E an/(an) tal que g(z) = ~· Tomamos entonces el primer punto en el orden natural del arco anf(a .. ), yendo deª" a f(an). con esa propiedad y lo llamamos ªn+l· Veamos que an+t cumple con las propiedades requeridas. Primero observemos que an+l cumple que: (6) Gn+l E a .. J{an) Y ª" 'f. Gn+l 'f. f(an). (7) d(a .. ,an+1) = ~· (8) Si p E ª"ªn+I y ª" # p #ª"+"entonces d(an,p) < ~· Tenemos entonces que: (l(n + 1)) Para cada i < n + 1, d(a;, a;+1) = ~· (2{n + 1)) Para cada i < n + 1, si p E a;ai+ 1 y a; # p 'f. a;+l, entonces d(a;,p) < ~· Además de (6) y (4n) se sigue que: (9) ª'ª" n ªnªn+l = {an}· Por lo que (3{n-;- 1)) se cumple. Luego, por (1) y por (8) tenemos que para todo p E ª"ª"+" d(a,., /(p)) ~ d(p, f(p))-d(a .. , p) > ~· Entonces ª"ª"+inf(anan+i) = 0. Como /(a .. )J(an+i) e f(anan+1), se tiene que (10) Gnan+I ÍJ f(an)f(an+l) = l?l. Consideremos el arco a 1f(nn+i) · Por (6) tenemos que an+l E a .. J(an) y por (4n) tenemos ªn+I E anf(a .. ) e atf(an) e aif(an+1) u J(a .. +i)f(an). Si ªn+l '/. a¡f(an+1) tendríamos que a..+1 E f(an)f(an+i), lo que contradice (10) . Por lo tanto se satisface (4(n + l}} y la afirmación se cumple. PROPIEDAD DEL PUNTO FIJO 37 Formamos entonces la siguiente sucesión de arcos para la cual, por el Teorema 3.-t existe un arco abe X tal que a 1an C ab para toda ne N. Observemos el arco a 1b. Como a 1a 2 e a 1a3 e a 1 a~ e ... y todos ellos están contenidos en a 1b, si consideramos el orden natural en a 1b, donde a 1 < b, tenemos que a 1 < a 2 < a3 < a.1 < .... De manera q11e la sucesión {an};;"= 1 debe converger a un punto a 0 E ab. Esto contradice (ln). Por lo tanto X tiene la propiedad del punto fijo. o 5 . DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY Definición 5.1. Un dendroide X es suave en el punto p si para cada sucesión {xn}~=t• convergente a un punto x en X, la sucesión de los arcos {pxn}~=l converge a px en C(.Y). Un dendroide .Y es suave si es sum·e en alguno de sus puntos. Por ejemplo, el siguiente dendroide es suave en p. p Sin embargo, transformando un poco este dendroide obtenemos el siguiente dendroide que no es suave en p, tomando la sucesión {xn}::"=t -r x. p X Definición 5.2. Sea x un punto de un continuo X, definimos T(x) como el conjunto de puntos y E .Y tales que cada subcontinuo de X el cual tiene a y en su interior, también contiene a x. Por ejemplo, en el siguiente dendroide tenemos que: 39 40 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY ~ x T(x) Definición 5.3. Un continuo X tiene la propiedad de Kelley si para cada p E X, cada subcontinuo A de X tal que p E A y cada sucesión {Pn};:"=1 en X tal que lirnpn = p, se tiene que existe una sucesión de subcontinuos {An}~ 1 de)(, que converge a A y tal que Pn E An para toda n E N. En la Seccion 6 encontramos un ejemplo de un dendroide que no tiene la propiedad de Kelley. Definición 5.4. Sean ab un arco en el continuo)( y U1 , U2 ,. • • ,Um una sucesión finita de subconjuntos de 2(. Decimos que ab es del tipo (U1 ,U2, ... , Um) y es- cribimos ab E (U1 ,U2, . .. Um) si e.xiste una suces ión finita de puntos a¡ ,a2,. .. , am en )( que satisfacen las siguientes condiciones: (1) ª" E ab n Un , para toda n E {l, 2, . . . , m} (2) a < ª• < a2 < . . . < am < b -en el orden natural del arco ab. Lema. 5.5. Para cada par de puntos x , y de un dendroide X tenemos que y E T(x) si y sólo si existe una sucesión {Yn};:"= 1 tal que lim y,. =y y x E lim YnY· Demostración.=>) Para cada n EN, sea I N, se tiene que Yn E J<. Como _y es dendroide y K es un subcontinuo, entonces [( es también un dendroide, además K contiene a {yn, y} para toda n > 1V. Entonces YnY C J( para toda n > N . De donde x E lim YnY C K . O Lema 5.6. Para todo punto x en un continuo X se tiene que T(x) es un sub- continuo de Jy. Demostración. (1) Veamos que T(x) es cerrado: Sea y e Fr(T(x)). Para cada e > O, se tiene que B,(y) n T(x) =F 0, entonces existe una sucesión {Yn}::"=i en X que converge a y y tal que Yn E T(x) para toda n E N. Sea I< un subcontinuo de X tal que y E Kº, entonces existe N E N tal que para toda n > N se tiene que Yn E Kº, y como Yn E T(x), se concluye que x E K. Por lo tanto y E T(x) y T(x) es cerrado. (2) Demostraremos que T(x) es conexo: Supongamos que T(x) no es conexo, entonces existen cerrados ajenos y no vacíos H y K en X tales que T(x) = HU K. Como x E T(x), entonces x E H ó x E /(, supongamos que x E H . Como X es un espacio métrico, tenemos que Jy es normal, por lo que existen dos abiertos 42 DENDROIDES V LA PROPIEDAD DE KELLEV ajenos U y V en X tales que H e U, K e V. Para cada w E Fr(V) se tiene que w 1:. T(x), entonces existe un continuo Cw tal que w E e;;, y x 1:. Cw· Como X es compacto y Fr(V) es cerrado, entonces Fr(F) es compacto, además {C;;, : w E Fr(V)} es una cubierta abierta de Fr(V), entonces existe una subcubierta finita {e;;,,, e:;,,, ... , e:;,.}. Sea E= VUCw1 U ... UCw. = VuCw 1 U . .. UCw.· Paracadai E {l,2, . . . , n}, sea E; la componente conexa de E que contiene a Cw; . Aseguramos que E = E 1 U E 2 u ... U En. Es claro que E1 U E2 U ... U En e E y Cw, U ... l,J Cw. C E 1 U E2 U . .. U En . Sean v E \ !" y Zu la componente conexa de V que contiene a v. Por el Teorema de los golpes en la frontera (0.8), Zv n Fr(V) # o. Como Fr(V) e LJ{C;;,; : i E {l, 2, . . . , n} }, entonces Zv n Cw; # P para alguna i E {l, 2, .. . , n}. Así que Zv U Cw; es conexo y está contenido en E. Por lo tanto Zv e E;. Por tanto V C E 1 U E2 U ... U En. De manera que E = E 1 U E2 U ... U En . Esto muestra que E tiene a lo más n componentes. Sean C 1 , C 2 , ••• , C, las componentes conexas de E donde s :S n. Sea y E K e V, entonces y E C; para alguna i E { 1, 2, .. . , s}. Definimos w = V n (X\Ci) n (X\C2) n - - . n (X\C;-1) n (X\C;+1) n - .. n (X\C.). Sea w E 1-V, entonces w E V e C 1 u C2 u ... U C, y w '/:: (C1 U C2 U .. . U c,_1 U C;+1 U ... u C,), por lo que w e C;. De donde 1-V e C; y y E iv. Como iv es intersección finita de abiertos, entonces iv es abierto, de donde, y E 1-V C Ci y como y E T(x), podemos concluir que x E. C; C E lo cual es una contradicción. Por lo tanto T(x) es conexo. Así que T(x) es un subcontinuo de X. o DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 43 Observemos que x E T(x) para todos los puntos x en un dendroide .Y. Vimos además que todos los subcontinuos de los dendroides son dendroides. Por lo que T(x) es, en particular, arcoconexo. Por lo tanto xw ~ T(x) para todos los puntos w E T(x). Definición 5. 7. Decimos que un dendroide X tiene la propiedad (*) si para cada par de puntos x y y de .Y, tenemos que si T(x) n xy of. {x}, entonces y E T(x) (y como T(x) es un subcontinuo y x E T(x), tenemos que xy e T(x)). Lema 5.8. Si un dendroide X tiene la propiedad de Kelley, entonces tiene la propiedad (*) . Demostración. Sean {x,y} E X dos puntos tales que T(x) nxy of. {x}, entonces existe un punto z E X ta.! que z of. x y z E T(x) n xy. Por el Lema 5.5 existe una sucesión {zn}~=t en .Y que converge a z y tal que x E Iim ZnZ· Como X tiene la propiedad de Kelley y z E zy podemos concluir que existe una sucesión {Bn};:;, 1 en C(X) tal que lim Bn = zy y Zn E B,. para toda n EN. Sea [( E C(X) tal que y E Kº. Como y E Kº y limB,. = zy, entonces (ver 0.1) existe N 1 E N tal que para toda n > JV1 se tiene que Bn n I<º of. 0. Así que, para toda n > N 1 tenemos que En U K E C(X), por lo que U{B,. : n > Ni} U K es un subcontinuo de X . Com·o y E K, entonces LJ{Bn: n > N 1 } U K U zy es un subcontinuo de }(. Además, para cada m > N 1 , tenemos que z, Zm E LJ{E .. : n >Ni} U K U zy, entonces zzm e LJ{En: n > N 1 } U K U zy para toda m > 1V1 • Como x of. z y z E xy podemos concluir que x lf. zy, por lo que existe r¡ > O tal que x '/. N(r¡, zy). Además, lim Bn = zy, entonces existe N 2 E N tal que para toda n > N 2 se tiene que En C N(r¡, zy) . Entonces U{Bn : n > N 2 } C N(r¡, zy). 44 DENDROIDES V LA PROPIEDAD DE KELLEY Por lo que, LJ{Bn: n > N 2 } e N(r¡, zy), y como x rj. JV(r¡, zy), entonces x ~ LJ{Bn : n > N2}· Sea JV = max{1V1 , 1V2 }, entonces para toda m > 1V tenemos que zzm e LJ{Bn: n > N}UKUzy y que x ~ LJ{Bn: n > N}. Como x E limzmz, podemos concluir que x E LJ{Bn: n > N} U J( U zy, pero x rj. LJ{B,. : n > N} y x rj. ::y , por lo tanto x E K . Así que, y E T(x) y entonces, X tiene la propiedad (*) . o Teorema 5.9. Sea X un dendroide. Entonces X es una dendrita si y sólo si para cada par de puntos x, y en X tenemos que T(x) n xy = {x} y T(y) nxy ={y}. Demostración. =>) Sean x, y E .-Y y supongamos que existe z 'f= y tal que z E T(y) n xy (el caso z # x se resuelve simétricamente). Como z 'f= y se tiene que existe un abierto U en X tal que z E U y y ~ U. Además como X es localmente conexo existe un abierto y conexo V tal que z E V y V e U. Tenemos entonces que V es un subcontinuo de X con z en su interior y como z E T(y), entonces y E V e U lo cual es una contradicción. Por lo tanto T(x) n xy = {x} y T(y) n xy = {y}. <=) Supongamos que )( no es dendrita, entonces X no es conexo en pequeño en alguno de sus puntos (ver 0 .12), supongamos que ese punto es x. Tenemos entonces que existe un abierto U en X tal que para _todo conexo K. con x E I< C U se tiene que x rj. Kº. Sea I< la componente conexa de U que tiene a x, entonces x ~ Kº. Corno K e Kº U Fr(K), concluirnos que x E Fr(K) . Así que para cada n EN, existe Xn E B-k(x) n (X\K). Notemos que limxn = x. Como U es abierto podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que Xn E U para toda n E N. Además como C(X) es compacto (ver 0.5), también podemos suponer que la succ.>ión de arcos {xnx}~ 1 converge a algún elemento de C(X). DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 45 Veamos que XnX n (.Y\U) i= o para cada n E N. Para esto, supongamos que XnX n (.Y\U) = o para alguna n E N, entonces x,.x C U. Como J{ es la componente conexa de x en U y x E XnX e U, entonces XnX e I<. Así que Xn E J{ lo cual es una contradicción. Por lo tanto XnX n (X\U) i= o para toda ne N. Para cada n EN, elegirnos z,. E xnxn(A .. \U). Como X\U es compacto, podernos suponer que la sucesión {zn};;'= 1 converge a algún punto z E .Y\U. Corno x E U, entonces x i= z y z e limx,.x n (X\U) e limx,.x, de donde, por el Lema 5.5 se tiene que x E T(z). Además por el Lema 5.6, T(z) es un subcontinuo de .Y que contiene ax y a z, por lo que por el Lema 1.14, tenernos que xz e T(z). Tenernos entonces que {z} i= xz e xz n T(z), lo cual es una contradicción. Por lo tanto ,y es dendrita. o Teorema 5 .. 10. Si .Y es una dendrita, entonces .Y es suave en todos sus puntos. Demostración. Sea {an}~=l una sucesión en X tal que liman= a. Demostrare- mos que lirn ban = ba para todo b e X .. Sea e: > O. Corno .Y es localmente conexo, existe un subconjunto abierto y conexo I< de X tal que a e I< e B~ (a) y corno lirn ª" = a, podernos concluir que existe JV e N tal que para toda n > N se tiene que ª" e J{. Además a E K, entonces ab n K i= o. De donde, ab U I< es conexo. Así que ab U 1( es un subcontinuo de .Y. Sean> N. Como a,., b E ab U J(, e,;tonces a .. b e ab U K e N(e:, ab). Además, como a,. E B§(a) y a'! E K, entonces J( e B!(a) e B,(an) y I< n a .. b # o. Así que, I< U anb es un continuo tal que a, b E K U anb. Entonces ab C I< U anb C N(2e:, anb). Por lo tanto, H(ab, anb) < 2e: para toda n > N. De donde anb converge a ab. o 46 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Lema 5.11. Un dendroide X es suave si y sólo si para cada par de puntos x,y en X, tenemos que T(x) nxy = {x} ó T(y) nxy ={y}. Demostración. =>) Supongamos que X es suave en el punto p E .Y y que xy n T(x) =f. {x} y xynT(y) =f. {y}. Notemos que x =f. y. Sea:: E T(x), entonces por el Lema 5.5 existe una sucesión {::n}~=• en X tal que lim::n =;:;y x E limzn=· Como .Y es suave en p, tenemos que limpzn = p;:;. Además, para cada n E N, tenemos que ZnZ C ZnP U p;:; y lim(::np U pz) = p;:; (ver 0.2), de donde: (2) X E lim ZnZ C pz, para toda Z E T(x). Análogamente podemos concluir que y E pw para toda w E T(y). De aquí se obtiene que T(x)npx = {x} y T(y)npy = {y}. Sea r el único punto en X tal que yr n px = {r} = xr n py. Entonces xy = xr U ry. Como x E xr e px podemos concluir que {x} ,¡, xynT(x) = (xrUry) nT(x) = (xrnT(x))U (rynT(x)) = {x} U (yr n T(x)). Además y E ry C p?J, entonces {y} =f. xy n T(y) = (xr U ry) nT(y) = (xrnT(y)) u (rynT(y)) = {y}U (xrnT(y)). Así, llegamos a que yrnT(x) ,¡,o y xrnT(y) ,¡,o. Por lo que existe z E yrnT(x). Como z E T(x) ~ y z E yr C py, entonces por (2) tenemos que x E pz C py. Análogamente llegamos a que y E px. De donde x = y, lo cual es una contradicción. Por lo tanto T(x) nxy = {x} ó T(y) n.,,,y ={y}. <=) Si tuvieramos que xy n T(x) = {x} y xy n T(y) = {y} para todos los puntos x,y E .Y. Por el Teorema 5.9, tendríamos que .Y es una dendrita y, por el Teorema 5.10, .Y es suave en todos sus puntos. Supongamos entonces que existen x 0 , y 0 E X tales que x 0 y 0 n T(x0 ) =f. {x0 }. Definimos A =. {x E X : xy0 n T(x) =f. {x}}. Afirmación. Si z, w E A, entonces wyo s;;; zy0 ó zy0 e wy0 • Demostración. Supongamos que w, z E A y que wy0 <;l zy0 y zy0 <;l wy0 , DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 47 entonces w f/. zy0 • Sea r E X el único punto tal que wr n zy0 = {r} = zr n wy0 • Entonces wz = wr U rz. Como w E A, entonces wy0 n T(w) # {w}, por lo que existe x # w tal que x E wy0 n T(w). Como z E A., existe y # z tal que y E zyo n T(z). Así que, xw C WYo n T(w) y zy C zyo n T(z). De manera que xw y rw son subarcos no degenerados de y0 w. Entonces { w} # xw n wr e (wy0 n T(w)) n wr e T(w) n wr e T(w) n wz. Similarmente, {z} # yz n zr e (T(z) n zy0 ) n zr e T(z) n zr e T(z) n zw. De donde, T(w) n wz # {w} y T(z) n zw # {z}, lo cual contradice nuestra hipótesis. Por lo tanto la afirmación es cierta. Sean µ: C(X) -+ [O, 1) una función de \Vhitney (ver 0.3) y f: A ~ [O, l] dada por f(x) = µ(xy0 ). Sea t 0 = sup{f(x) : x E A}. Entonces existe una sucesión creciente {f(xn)}~=• que converge a to y tal que Xn E A para toda n EN. Dado que para toda n E N tenemos Xn, Xn+t E A, entonces por la Afirma- ción anterior tenemos que XnYo ~ Xn+tYo ó Xn+tYO e XnYO· Si tuvieramos que Xn+1Yo s; XnYo para alguna n E N tendríamos que J(xn+1) = µ(xn+tYo) < µ(XnYo) = J(x,.). Pero la sucesión {f(xn)}::"=t es creciente, por lo que f(xn+1) ;::: f(xn)· Esto muestra que XnYo ~ Xn+1Yo para toda n E N . Tenemos entonces una cadena Por el Teorema 3.4 sabemos que existe un arco ma.ximal ab e X tal que XnYo e ab para toda n E N. 48 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Así que, tomando el orden inducido por el intervalo (O, 1) en el arco ab tenemos que x 1 ;::: x 2 ;::: x 3 ;::: . . .. Entonces, tenemos una sucesión decreciente en un arco, de manera que {xn}~=l com·erge a algún punto x E ab, XnYa e xy0 para toda n e N, lim XnYa = XYa y ta = lim tn = lim µ(XnYa) = µ(xya). Veamos que A e XYa· Sea z e A, entonces para cada n e N se tiene que zya e XnYa ó XnYa e ZYa · Si tuvieramos que XnYo e zya para toda n E N, tendríamos que f(xn) = µ(XnYa) :5 µ(zya) = f(z) para toda n E N . Por lo que ta :::; f(z). Pero por definición de t 0 , f(z) :::; ta. De manera que f(z) = ta. Es decir, µ(zy0 ) = to. Ya que XnYa e zya para toda n E N, xya = limXnYa e zya . Así que XYa e ZYa y µ(xya) = µ(zua). Por tanto XYa = zya. Así que z E XYa· Por otra parte, si existe n E N tal que zya ~ XnYa, como XnYa ~ xyo , tenemos que zy0 ~ xya y entonces, z E XYa· Por lo tanto A C xya. Mostraremos que x es un punto de suavidad de X. Supongamos que x no es un punto de suavidad, entonces existe una sucesión {zn}~=l que converge a algún punto zen X y tal que limx=n #- xz. Como C(X) es compacto (ver 0 .5), podemos suponer que la sucesión {zzn}~=l converge a algún subcontinuo de .Y. Además xz e limxzn #- xz, entonces existe un punto w E limxzn tal que w i xz, así que w #- z. Como XZn e xz u ZZn para cada n E N, tenemos que w E lim XZn e zx u lim ZZn y w i zx, entonces w E lim ZZn y por el Lema 5.5, z E T(w). De donde, wz e T(w). Seas el único punto en X tal que yasnzx = {s} = zsnxya . Entonces YasUzx es un subcontinuo de .Y. Demostraremos que w e xya. Para esto, supongamos que w i xy0. Sea r E X el único punto tal que wr n (yas U zx) = { r }. Entonces wz = wr U rz. Si r = w, tendríamos que w e yas U zx, pero w i zx y w i xya ::> y0s, por lo tanto r # w . Concluimos entonces que {w} #- wr C wz. Como wz e T(w) y wr e wy0, entonces {w} #- wr = wrnwz e wy0nT(w), por DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 49 lo que w E A. Pero A e xy0 , por lo que w E xy0 , contrario a nuestra hipotésis. Por lo tanto w E xy0 • u X Además como w r/:. zx y w E xy0 = xs U syo e zx U sy0 , entonces w E sy0 • De donde, s r/:. wy0 • Pero s E xy0 y xy0 = xw U wyo. Entonces s E xw. Como w E xy0 y s E xw, tenemos que w E sy0 , así que ws n xz {s}. Entonces s E wz. Sea e: > O tal que s, w r/:. B.(x). Entonces existe a E A e xy0 tal que a E Be(x). Obtenemos entonces x < a < s < w < Yo en el arco xy0 y T(a) n ay0 # {a}. Como zw e T(w) y sw e zw, entonces s E T(w). Por lo que sw e T(w) n xw. Además a E A, entonces existe q #·a tal que q E ay0 n T(a), de donde aq e ay0 n T(a). Como a < q ::; Yo y a < w < yo, podemos suponer que q < w, de manera que q E T(a) n aw\{a}. Por tanto T(a) n aw # {a}. Por otra parte, s E T(w) n aw\{w}, así que T(w) n aw o¡6 {w}, lo cual es una contradicción con la hipótesis. Por_ lo tanto x es un punto de suavidad en X y entonces X es suave. o 50 DENDROIDES V LA PROPIEDAD DE KELLEY Lema 5.12. Sean X un dendroide y {wn};:"=1'{xn};:"=1 sucesiones en X tales que limwn = w y limxn = x, supongamos además que y E limwnXn y y'/= w. Entonces existe una sucesión {Yn}::"=t en x: que converge a y tal que Yn E WnXn para toda n E N. Demostración. Para cada n E N sea fn: WnXn -t IR dada por fn(:::) = d(:::, y). Cotno WnXn es compacto, concluimos que fn alcanza su mínimo en algún punto y,. E WnXn, para cada n EN. Veamos ahora que limyn =y. Sea E: > O, por hipótesis tenemos que y E lim WnXn, entonces (ver 0.1) existe ¡V E N tal que, para toda n > N, se tiene que WnXn n B~(y) '/= o. Sean > N, entonces existe =n E WnXn n B.(y), por la minimalidad de Ín en Yn tenemos que d(y, Yn) :5 d(z .. , y) < E:, entonces Yn E B.(y) para cada n > N. Por lo tanto Jim Yn = y lo cual concluye la prueba. o Lema 5.13. Sean y 'f= w puntos en un dendroide X y {wn};:'= 1 una sucesión en ¿y que converge a w. Supongamos que w .. ~ yw para ninguna n E N y que y E lim ww ... Entonces existe una sucesión {y .. };:"= 1 en ¿y que converge a y, tal que Yn E w .. w y YnWn n yw = 0 para toda n EN. Demostración. Por el lema anterior, tomando la sucesión {x .. }::"=1 como la suce- sión constante {w}, tenemos que existe una sucesión {y~}~=I que converge a y y tal que y~ E w .. w para toda n EN. Sean A = { n E N : y~ ti. wy} y B = {n EN : y~ E wy}, entonces A U B = N. Definimos la sucesión {Yn}:':'=t como: DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 51 caso 1: n E A. Sea y,. = y;, . Veamos que, en este caso y,.w,. n yw = o. Para esto supongamos que y,.w,. n yw # o, entonces existe un único punto s,. E .Y tal que WnSn n yw = {sn}· Así que, Yn E WnW = WnSn u SnW e WnSn u yw. Pero Yn ti. yw, entonces Yn E WnSn \{sn}, lo cual implica que WnYn n yw =o contrario a lo que supusimos. Por lo tanto YnWn n yw =o. caso 2: n E B. Sea rn el único punto en X tal que rnwn n wy = {rn}· Como Wn ti. yw, Wn # rn. Sea Yn tal que Yn E (B;',(rn) n rnwn)\ {rn}· Como Wnrn n wy = {rn}, entonces Yn E Wnrn \{rn} e X\wy, así que YnWn n yw =p. Ya hemos formado entonces una sucesión {Yn}::"=i• veamos_ que limyn =y. Sea e > O. Como wy es un arco, existe z E wy\ { w, y} tal que diámetro (yz) < ~ · Entonces y !f. zw. Ya que limy;. = y, existe Al E N tal que para toda m > Al, y:,. E B¡(y), Y:n ~ z~ y ~ < i· Sin> l'vf y n E A, entonces Yn =y;,, c!e manera que Yn E B.(y). Sin > l'vf y n E B, entonces WnW = Wnrn U rnw y y;, ti. Wnrn\{rn}, por lo que v:. E rnw. Tenemos entonces que rn E yy;,. Además y;. ti. zw, así que 52 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY y:, E yz. De modo que rn E yy~ e yz. Como diámetro (yz) < ~. tenemos que d(rn.Y) <~·Y como d(rn.Yn) <*<~.concluimos que d(y,yn) 11'!. Por lo tanto lim Yn = y. o Lema 5.14. Sean x, y, z puntos en un dendroide X tales que z E xy. Suponga- mos además que y zy E (Un+l• Un+2, . .. , U.). Entonces xy E (Ui. U2, ... , U.) . Demostración. Tenemos que ·xznzy = {z}. Entonces xy = xzUzy. Como zx e (U1, U2, . . . , Un). entonces existen puntos a 1 , a2, . . . , an en X tales que a¡ E U,nxz para toda i E {1, 2, .. . , n} y x < a 1 < a 2 < ... < a,. < z, en el orden del arco xz. Luego, como zy E (Un, Un+'• .. . , U.) , existen puntos bn, bn+i • . .. , b .• en X tales que b¡ E U;nxz para toda i E {n,n+l, ... ,s} y z < bn < bn+l < .. . < b. XnYn n xy = o y XnYn E (U1, U2, .. . , Um) para toda n E !\!. Demostración. Dado que y E T(x), por el Lema 5.5 existe una sucesión {y:,};:"=1 que converge a y tal que x E lim y:,y. Si existieran una infinidad de números nk tales que y~. E xy, entonces lirn v:..v = {y}, lo cual es una contradicción. Entonces, podemos suponer que y:, 'i- xy para toda n E N. Por el Lema 5.13 existe una sucesión {x:,}~=t que converge ax tal que x:, e y:,y y x:,y:, n xy = !<> para toda n E!\!. Como xy e (Ui. U2 , ... , Um), entonces por el Lema 5.15 existen dos subsucesiones {y,.. }~1 y {x"• }~1 de {y:,}~ 1 y {x:,}~=I• respectivamente, tales que xn.Yn. e (Ui. U2 , ••• , Um) para toda k E N. Entonces definimos Yk = Yn. y Xk = xn., formando así las sucesiones {Yk}%"=1 y {xk}~1 que tienen las propiedades que requerimos. o DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 55 Lema 5.17. Sean .Y un dendroide, z # x e .Y y U 1 ,U2 ,. •• ,Um abiertos en X tales que zx e (U1 ,U2 , . • • ,Um), entonces existe una vecindad Z de z tal que para todo ve Z se tiene que vx E (U1 ,U2 ,. • . ,Um)- Demostración. Supongamos que para toda vecindad V de z existe un punto Zv en x: t a l que zvx it. (U1, U2, ... , Um)· Entonces existe una sucesión {zn}~=l que converge a z tal que ZnX ~ (Ui. U2 , • • • , Um) para toda n EN. Aplicamos el Lema 5.15 a la sucesión {zn}~=•• y a la sucesión constante x y obtenemos una subsucesión {z ... }~1 tal que =n.x E (U1, U2, . .. , Um) para toda k e N obteniendo una contradicción con la elección de Zn•· Esto prueba la existencia de la vecindad Z. o Teorema 5.18. Si un dendroide X tiene la propiedad(~), entonces X es suave. Demostración. Supongamos, por el contrario, que X no es suave. Por el Lema 5.11, existen x,y e X tales que T(x) n xy # {x} y T(y) n xy # {y}. Como X tiene la propiedad (*), y E T(x) y x E T(y) . Ya que T(x) y T(y) son subconti- nuos de .,Y, tenemos que xy e T(x) nT(y). Sean U y V abiertos de X tales que x e u, y e v y un V= o. Probaremos primero la siguiente afirmación. Afirmación. Sea e> O y supongamos que z e X es talque zx e (U,V,U,V, . . . , U) (2n + 1 veces) para alguna ne N. Entonces existe r E X tal que d(r,z) w,y n xy =F {y}. Como X tiene la propiedad (*),tenemos que z 1 E T(y). Por el Corolario 5.16, existen dos sucesiones {v.}~ 1 y {y.}~ 1 que convergen a z 1 y a y, respectivamente, y que cumplen que y. E z 1 v., v.y. n z 1 y = 0 y v.y. E (U, V, U, V, .. . , U, V) (2n + 2 veces). 58 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Como w 1 E xy, w 1 #- y y lim y, = y, podemos suponer que y, max{Ni, N 2 } se tiene que XnxnV #-o y x,.. E U. Sean> max{N1 , 1V2 }, entonces xn E U y existe w E x,..xnV, entonces Xn < w < x, por lo que XnX E (U, V, U). Vamos a construir inductivamente, sucesiones {en}::"=t y {rn}~=I de númer~s positivos y puntos de ,'\:, respectivamente, tales que: y para toda z E B,. (rn), zx E (U, V , U, V, . . . , U) (2n + 1 veces) . DENDROIDES CON LA PROPIEDAD DE KELLEY 59 Hacemos r 1 = Xn . Por el Lema 5.17 existe c 1 > O tal que, para toda z E B., (r1 ), zx E (U, V, U). Supongamos que ya hemos construido éi, .;2 , .. ., "" y ri, r2, .. ., rn. Como rnx E (U, ·v, U, F, .. . , U) (2n+l veces), por la afirmación que probamos, existe rn+l E .Y tal que d(rn, rn+t) < én y rn+!X E (U, V, U, l'", •.. , U) (2n + 3 veces). Por el Lema 5.17 existe én+I tal que B,.+ 1 (rn+1) C B •• (rn) y zx E (U, V, U, V, ... , U) (2n + 3 veces) para toda z E B,.+i (rn+d· Esto termina la construcción de {cn}::"=1 y {r,.}::"=i· La sucesión {rn}~=l tiene una subsucesión convergente {r"• Hº=i que converge a algún punto r E )(. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la sucesión de los arcos {xr"• }~1 también es convergente y que converge a algún subcon- tinuo A de ,y, entonces {x, r} E A. Como . .. e B •• (rn) e B •• _, (rn-d ... e B., (ri), entonces r E n:,1 B,;(r;). De donde, TX E {U, V, U, V, u, ... , U) (2n + 1 veces) para toda n E N. Sean e = H(V, V) > O y f: [O, l] -+ rx e X un homeomorfismo. Entonces existe ó > O tal que para cualesquiera s, t E [O, l] con Is-ti < ó se tiene que d(J(s), f(t)) < é . Sea m. E N tal que ~ < ó y sean s 0 = O, s1 = ~ ... ., Sm-1 = m,;;-t, Sm = ~ = l. Como rx E (U, V, U, V, .. . , U) (2m. + 1 veces), existen t 1 , t2, ... , t2m+l E [O, l] tales que O < ti < t2 < . . . < t2m+1 < 1, f(t;) E U si i es impar y f(t;) E V si i es par. Ya que 2m+l > m, hay más puntos t; que intervalos [O,;!,-],[~,;?¡-], . . . , ¡m,;;-1 , ¡;}]. Entonces existe j E {l, 2, ... , 2m.} tal que t;,t;+1 E [~. ;;;-,i¡ para alguna i E {O, 1,. . .,m - l}. Entonces el ar- co f(t;)f(t;+i) intersecta tanto a U como a V y, por la elección de ó, el arco f(t;)f(t;+i) tiene diámetro menor que .;. Esto contradice la elección de e y prueba que X es suave. o ESTA 'l'.ESIS NO SALE . DE ·LA BI:B,L[O~CA 60 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Corolario 5.19. Si un dendroide X tiene la propiedad de Kelley, entonces X es suave. Demostración. Dado que X tiene la propiedad de Kelley entonces por el Lema 5 .8, .'( tiene la propiedad (*). Entonces, por el teorema anterior, .Y es suave. O · ...... - t.r 6. EJEMPLOS IMPORTANTES DE DENDROIDES En este capítulo veremos ejemplos de algunos dendroides que resultan de in- terés en la teoría de continuos. Comenzaremos con varias definiciones. Definición 6.1. Un punto p en un continuo)( se llama punto terminal de X si cada vez que p está en un arco A. e )(, entonces p es un punto extremo de A, es decir, A = pq para algún punto q E)(. Definición 6.2. Un punto p en un continuo .Y se llama punto de ramificación de X si existen tres arcos distintos A, B y C en X tales que A n B = {p}, A ne= {p} y Ene= {p}. Definición 6.3. Un continuo X se dice que es contrafble si existen una función continua H: Jy x [0, l]--+ X y un punto p E X tal que H(x, O) = x para toda x E X y H(x, 1) = p para toda x e X. Vayamos ahora sí a los ejemplos: 61 62 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE KELLEY Dendroide con una cantidad no numerable de puntos terminales. Dendrita con una cantidad no numerable de puntos terminales. EJEMPLOS IMPORTANTES DE DENDROIDES Dendroide con una cantidad no numerable de puntos de ramificación. Un dendroide que no es contraíble además de no tener la propiedad de Kelley. 63 64 DENDROIDES Y LA PROPIEDAD DE K ELLEY X1 Un dendroide que no es suave en p. Dendroide tal que todo punto en el arco ab\ {a, b} es punto de ramificación. .· ..... ........ ____ ... ...,... . . .. . EJEMPLOS IMPOIITANTES DE DENDROIDES - Dendroide Contraíble. (ver [9)) Dendroide tal que para toda E: > O existen A, B E C(X) tales que A n B = 0 y H(A, X), H(B, X) , SMM, 1993. [!l) T . Maékowiak, Contractible and nonselectible dendroids, Bull. Polish Acad. Sci. l'vlath. 33 (1985), 321-324. [10] V. ~lartínez, El Hiperespacio de Continuos con la topología producto, Tesis de Licencia- tura, UNAM, 19!>8. [11) A . Mercado, Propiedades Topol6gica. de Continuo•, Tesis de Licenciatura, UAC, 1998. [t2) S. Nadler, Jr.,Hyperspace• of set., Marce! Dekler, New York, 1978. 67