Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Dinámica de supernovas relativistas T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: F́ısico PRESENTA: David Ramón Aguilera Dena DIRECTOR DE TESIS: Dr. Fabio De Colle Distrito Federal, México D.F. Junio, 2015 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. Dinámica de supernovas relativistas por David Ramón Aguilera Dena Tesis presentada para obtener el grado de F́ısico en la Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México Distrito Federal, México D.F.. Junio, 2015 Datos del jurado 1. Datos del alumno Aguilera Dena David Ramón 55 27 03 12 00 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias F́ısica 410023219 2. Datos del tutor Dr. Fabio De Colle 3. Datos del sinodal 1 Dr. Francisco Javier Sánchez Salcedo 4. Datos del sinodal 2 Dr. Erick Leonardo Patiño Jaidar iii 5. Datos del sinodal 3 Dr. José Alejandro Esquivel Salazar 6. Datos del sinodal 4 Dr. Diego López Cámara Ramı́rez 7. Datos del trabajo escrito Dinámica de supernovas relativistas 80 p. iv Agradecimientos Esta tesis marca el final de una época genial de mi vida, y de un montón de aprendizaje, pero también varios momentos dif́ıciles. Muchas personas estuvieron ah́ı para ayudarme en las buenas y en las malas, y a todos (mencionados o no) se los agradezco. Especialmente agradezco a mi mamá y a mis hermanas, porque fueron una fuente de inspi- ración y de apoyo, y sin ellas este trabajo jamás habŕıa terminado. Gracias por evitar que me vuelva (más) loco! Agradezco much́ısimo también el enorme apoyo y la infinita paciencia de mi asesor, Fabio, que me guió paso a paso a lo largo de la realización de este trabajo, y que me llenó de buenas ideas y me motivó para no abandonarlo todo y tirarme al vicio. Agradezco sus excelentes ex- plicaciones y su interés en mi trabajo y en mi aprendizaje. No pude haber deseado un mejor tutor. Debo mencionar también a mis profesores (de la Facultad y más allá), no nada más por toda la f́ısica que me enseñaron, sino también de ese je ne sais quoi que tienen algunos, por ser una fuente de inspiración y hacer que la experiencia de estudiar f́ısica valiera la pena cada segundo. Quiero agradecer en especial a Enrico Ramı́rez Ruiz y a William Lee, por ser mis primeros profesores de astronomı́a y mostrarme el lado mas lindo de la f́ısica. Una estrellita en la frente a mis amigos, realmente sólo por estar ah́ı, porque aprend́ı un montón de todos ellos, y porque me escucharon, aconsejaron y apoyaron en momentos dif́ıciles e hicieron que los buenos momentos se hicieran incluso mejores. Much́ısimas gracias también a mis sinodales por su súper rápida lectura de mi tesis, y sus valiośısimos comentarios: Dr. Diego López Cámara, Dr. Leonardo Patiño, Dr. Javier Sánchez y Dr. Alejandro Esquivel. Mil gracias también al Dr. Ary Rord́ıguez y al Dr. Pablo Velázquez por su interés en mi trabajo y valiosos comentarios. A todos los gigantes, también, por permitirme subir en sus hombros. Y finalmente, a la UNAM, por regalarme la mejor educación que podŕıa imaginar, y a los proyectos PAPIIT IA101413 y PAPIIT IA103315. v Índice general 1. Introducción 1 1.1. Supernovas y estrellas masivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Destellos de rayos gamma (GRBs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. La conexión GRB-supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Modelos anaĺıticos de la expansión de una supernova . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Radiación de sincrotrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Método numérico 23 2.1. Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Transporte radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Resultados de las simulaciones 33 3.1. Simulaciones de la hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Simulaciones de la emisión de sincrotrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Interpretación de las observaciones de SN2009bb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4. Conclusiones 59 A. Coeficientes de emisión y absorción para radiación de sincrotrón 61 vi Dinámica de supernovas relativistas por David Ramón Aguilera Dena Resumen Las supernovas se encuentran entre las explosiones más energéticas del universo. Las super- novas de colapso de núcleo representan el final del ciclo de vida de algunas estrellas masivas: en éstas se forma un núcleo inerte de hierro, que se vuelve inestable al alcanzar una masa cercana a la masa de Chandrasekhar (cercana a 1.4 M⊙), y desencadenan una energética explosión donde se libera una enerǵıa de alrededor de 1051 erg a lo largo de un corto periodo de tiempo, llegando a ser más luminosas que el resto de toda la galaxia que las alberga. Se ha encontrado que algunas de estas energéticas explosiones están vinculadas con destellos de rayos gamma (GRBs) que, después del Big Bang, son los eventos electromagnéticos más energéticos conocidos. El origen de los GRBs no es conocido con certeza, pero la relación entre estos eventos y el colapso de estrellas masivas está bien establecido. Existen algunas supernovas que comparten varias caracteŕısticas con los GRBs. Éstas se distinguen por ser más energéticas; lo cual se infiere a partir de su caracteŕıstica emisión en radio (producida por emisión sincrotrón en el frente de choque de la explosión), y se conocen como supernovas relativistas. Dicha sub-población de supernovas es el objeto de estudio de esta tesis; en particular la supernova SN2009bb, que fue la primera de su tipo confirmada. Es probable que las supernovas en esta población alberguen GRBs, aunque es dificil de determinar ya que la emisión en radio en supernovas asociadas con GRBs están dominadas por el GRB, y no se puede distinguir la emisión de sincrotrón de la supernova. De no ser aśı, se especula que tienen relación con estos eventos; podŕıa tratarse, por ejemplo, de GRBs fallidos. Se sabe que los GRBs son producidos por chorros colimados de material que se propagan con velocidades ultra-relativistas, por lo que la capacidad para detectar las supernovas relati- vistas que los albergan sin necesidad de detectar la emisión de rayos gamma puede servir como herramienta para detectar aquellos destellos que se encuentren colimados fuera de nuestra ĺınea de visión, lo que podŕıa ayudar a caracterizar las propiedades de los progenitores de destellos de rayos gamma, y entender mejor el proceso por el cual se producen. En esta tesis se aborda el estudio de la hidrodinámica de dichos eventos mediante simula- ciones numéricas hidrodinámicas, consistentes con relatividad especial, de su evolución y pro- pagación a través del medio circumestelar, moldeado por el viento de su estrella progenitora. Se estudia su variación como función de la enerǵıa y la densidad del medio circumestelar. Además de esto, se estudian las propiedades de la radiación de sincrotrón generada por el frente de choque de la supernova a lo largo de su evolución temprana, que abarca más o menos el primer año después de la explosión, mediante un código de transporte radiativo realizado durante la elaboración de esta tesis. El estudio de la radiación de sincrotrón es especialmente importante para estos eventos, pues es mediante su observación que es posible distinguir las supernovas relativistas del grueso de la población de supernovas clásicas, y porque a partir de esta radiación se pueden inferir propiedades de la supernova tales como su velocidad de expansión y la densidad del medio circumestelar. vii Esta tesis se divide en dos secciones: la primera parte se enfoca en el estudio de la hidro- dinámica de las supernovas relativistas, que abarca la distribución de masa y evolución del remanente temprano de estas supernovas, y desaceleración del frente de choque generado por la explosión. Se hace además hincapié en las diferencias que presenta la evolución de esta sub-clase de supernovas, respecto a las supernovas clásicas. La segunda parte abarca la producción y propiedades de radiación de sincrotrón en el frente de choque de la estrella, que es la caracteŕıstica observacional que las distingue de supernovas normales. Se hace hincapié en las diferencias entre los resultados numéricos y el modelo que fue utilizado para el estudio de la supernova SN2009bb, y se intenta reproducir su evolución espectral ajustustando las observaciones a alguna simulación. Se concluye que el uso de modelos sencillos, aunque útil para la caracterización de estos eventos, no es capaz de explicar las propiedades más detalladas de las supernovas relativistas, y que se requiere una exploración más a fondo por medio de simulaciones numéricas. Además, se reproduce aproximadamente el espectro de la supernova SN2009bb, y se hacen conclusiones de la enerǵıa necesaria en la explosión para producir la intensa emisión observada, y acerca de la densidad requerida en el medio circumestelar para reproducir la luminosidad de esta supernova, aunque este resultado es fuertemente dependiente de parámetros cuyo valor es desconocido. Se concluye que la supernova SN2009bb debió haber sido originada por una explosión alimentada por un motor central, y que no pudo haber sido completamente esférica. viii Caṕıtulo 1 Introducción Una supernova es una energética explosión que sucede al final de la evolución de algunas estrellas. Puede suceder en estrellas que tienen una masa inicial mayor a 10M⊙, o cuando una estrella enana blanca acreta demasiada masa (de modo que llegue a la masa de Chandrasekhar) de una estrella compañera. Durante la explosión se observa un repentino destello de luz cuya luminosidad puede llegar a exceder la de la galaxia anfitrionax. Existen varios tipos de superno- va, que se distinguen por sus caracteŕısticas espectrales y lugar de origen. Algunas decenas de supernovas han sido vinculadas con destellos de rayos gamma (GRB, por sus siglas en inglés), sugiriendo que éstos tienen un origen común. Esta conexión resulta de gran ayuda para enten- der el mecanismo de producción de los GRBs, y se ha especulado que entender esta conexión ayudará no solamente a entender más acerca de los procesos de emisión en GRBs, sino también a aumentar el número de GRBs observables, puesto que éstos han sido detectados únicamente por su emisión en rayos gamma, que está colimada dentro de un cono de ángulo pequeño. En este caṕıtulo introductorio se hace un breve recuento del estudio general de supernovas y GRBs, haciendo énfasis en una posible conexión entre ellos. Luego se presenta un modelo usado ampliamente para interpretar observaciones en longitudes de onda de radio de estas explosiones, presentando por separado la dinámica y la emisión, y notando las virtudes y los defectos del modelo, para finalmente enfatizar la necesidad de estudiar ciertos eventos con simulaciones numéricas para poder interpretar correctamente las observaciones. 1 1.1. Supernovas y estrellas masivas Las supernovas se observan como un repentino aumento de luminosidad de una estrella, que vaŕıa entre 1050 y 1052 erg s−1, con una duración de algunas decenas de d́ıas, y tienen un complejo sistema de clasificación basado en sus caracteŕısticas espectrales y curvas de luz. Aquellas supernovas en cuyo espectro no se observa la ĺınea Hα, a 656.3 nm, se clasifican como supernovas de tipo I, mientras que aquellas que śı la tienen se clasifican como supernovas de tipo II. A su vez, aquellas supernovas de tipo I que además presentan la ĺınea de SiII, a 615 nm, se clasifican como supernovas tipo Ia, y aquellas que no la tienen pueden ser de tipo Ib si presentan la ĺınea de HeI a 587.6 nm y de tipo Ic si tanto la ĺınea de HeI como la de SiII están ausentes. Por otro lado, las supernovas de tipo II se subdividen de acuerdo al comportamiento de sus curvas de luz: Aquellas que presentan una meseta en su curva de luz son de tipo II-P, mientras que aquellas que no la tienen se clasifican como supernovas tipo II-NP, y aquellas presentan un decremento lineal en su curva de luz, se clasifican como tipo II-L. En la figura 1-1 se dan ejemplos de curvas de luz de cada uno de los tipos de supernova mencionados [Schaeffer, 2003]. Figura 1-1: Curvas de luz de los distintos tipos de supernova [Filippenko, 1997] 2 Existen clasificaciones más detalladas, pero se ha encontrado que si se analizan con suficiente detalle la curva de luz y el espectro de cada supernova, todas presentan alguna peculiaridad. Esta clasificación, además, es anterior a los modelos de supernovas actuales, por lo que no refleja realmente el mecanismo que dio lugar a la explosión. La clasificación también puede hacerse en torno al mecanismo que dio lugar a la explosión, distinguiendo entre supernovas termonucleares (tipo Ia), y supernovas de colapso de núcleo (tipo II y Ibc). Las supernovas tipo Ia están asociadas con la explosión termonuclear de una estrella enana blanca, causada por la acreción de masa de una estrella compañera. Como las estrellas enanas blancas están compuestas de materia degenerada, cuando su masa se aproxima a la masa de Chandrasekhar (≈ 1.4M⊙) la presión en su interior es independiente de la temperatura, y la acreción de masa causa que la estrella se contraiga y aumente de temperatura. El aumento gradual de temperatura provoca reacciones nucleares en la estrella, que eventualmente se vuelve opaca a neutrinos y convectiva. Consecuentemente (aunque los detalles de este proceso aún son tema de debate) la estrella genera más enerǵıa de la que puede irradiar, y se desencadena la explosión. La envolvente de esta estrella debe tener muy poco hidrógeno para explicar la ausencia de ĺıneas en el espectro, y la presencia de ĺıneas de silicio sugiere que se llevó a cabo nucleośıntesis de elementos de masa intermedia en el proceso de explosión. Estas supernovas forman una clase muy homogénea; tienen espectros y curvas de luz muy similares entre śı, y tienen la misma relación entre el pico y la anchura a media altura de su curva de luz, por lo que han sido utilizadas ampliamente como candelas estándar para medir distancias [Schaeffer, 2003; Rosswog y Brüggen, 2007; Longair, 2011]. Las supernovas tipo II, y las tipo Ibc están asociadas al colapso del núcleo de una estrella masiva (con masa inicial ≥ 10 M⊙). Las estrellas de secuencia principal (estrellas jóvenes) están compuestas principalmente de hidrógeno, y se encuentran en un estado de estabilidad hidrodinámica gracias al balance entre la fuerza de gravedad y la presión, alimentada por la fusión de hidrógeno en helio, que se lleva a cabo en el núcleo de la estrella. Este proceso lleva a la formación de un núcleo de helio, el cual se contrae (por la ausencia de reacciones nucleares), hasta que alcanza la temperatura suficiente para fusionar el helio en elementos más pesados. Para estrellas suficientemente masivas, este proceso se repite varias veces, formando un núcleo de elementos cada vez más pesados. El resto de la estrella se estratifica, generando una 3 estructura como la que se ilustra en la figura 1-2. Los procesos que se llevan a cabo en el núcleo de la estrella no alteran apreciablemente su configuración, ya que la mayoŕıa de la enerǵıa es irradiada en neutrinos, y el resto de la estrella es transparente a ellos. Este proceso se detiene cuando se forma un núcleo de hierro, ya que éste es el elemento con mayor enerǵıa de amarre por nucleón, y su fusión no sucede espontáneamente ya que es endotérmica. Figura 1-2: Esquema de la estructura estratificada de una estrella masiva evolucionada (no se ilustra la escala de las capas, únicamente su distribución). Este núcleo inerte de hierro incrementa su densidad rápidamente. Siendo soportado única- mente por presión de degeneración de los electrones, se comprime hasta que alcanza la masa de Chandrasekhar y colapsa. Los detalles de la explosión dependen de la microf́ısica del núcleo de hierro, y de la estructura de la estrella progenitora, lo cual genera la variedad de caracteŕısticas observadas en este tipo de explosiones. Estrellas gigantes rojas dan lugar a supernovas tipo II-P, o a supernovas tipo II-L si su capa de hidrógeno no está extendida, mientras que las supernovas tipo Ibc corresponden a progenitoras tipo Wolf-Rayet. Estas estrellas se caracterizan por haber expulsado sus capas superiores de hidrógeno y helio en vientos masivos, y por tener una alta 4 velocidad de rotación (del orden de 200km/s). 1.2. Destellos de rayos gamma (GRBs) Los destellos de rayos gamma (Gamma-Ray Bursts, GRBs) son, después del Big Bang, los eventos electromagnéticos más energéticos que se han observado. Son destellos de radiación cuya distribución espectral alcanza su máximo en la banda de rayos gamma (desde decenas de keV hasta algunos MeV). Fueron descubiertos accidentalmente en la década de los 60’s por los satélites Vela del gobierno estadounidense, como parte del Tratado de Prohibición Parcial de Ensayos Nucleares, durante la guerra fŕıa. Tras el descubrimiento de estos destellos transitorios (con duraciones que van de centésimas de segundo a miles de segundos) se idearon cientos de modelos teóricos para tratar de dar explicación a las observaciones, y a la fecha no existe un consenso acerca de su origen y de su mecanismo de formación, aunque se ha progresado bastante en su entendimiento. Los GRBs tienen una fuerte variabilidad en escalas de tiempo tan cortas como ∆t ∼ 1 ms, lo cual puede ser explicado argumentando que éstos son originados por objetos compactos, que actúen como el motor central de la explosión. Los GRBs son detectados inicialmente en la banda de rayos gamma, pero también pre- sentan una luminiscencia residual que es observada desde rayos X hasta radio, después de la emisión principal en rayos gamma. Esta emisión es observada desde los segundos subsecuentes al GRB, hasta varios meses después de su ocurrencia, y se cree es principalmente producida por mecanismos diferentes al que produce los rayos gamma. La distribución espacial (figura 1-3) de estos eventos es isotrópica, por lo que se sospechaba que éstos deben tener su origen en escalas cosmológicas (en lugar de ser generados en nuestra galaxia). Esto fue confirmado con mediciones del corrimiento al rojo en la luminiscencia resi- dual del GRB 970508 [Metzger et al., 1997], y mediciones subsecuentes. El corrimiento al rojo t́ıpicamente vaŕıa entre z = 1−2 en los lGRBs, pero cabe destacar que se han observado GRBs con corrimientos al rojo mucho mayores. Se sospecha que el GRB 090429B tiene un corrimiento al rojo de z = 9.4 [Cucchiara et al., 2011], el valor más alto observado hasta ahora. Los GRBs tienen un espectro no-térmico, compuesto por dos leyes de potencia que están 5 Figura 1-3: Distribución espacial y fluencia de 2704 GRBs observados con BATSE . El plano galáctico se encuentra en la ĺınea horizontal central. (Gamma-Ray Astronomy Team, NASA) unidas suavemente alrededor de una enerǵıa máxima Ep. La causa de la forma del espectro es aún materia de debate, pero suelen estar bien descritos por la llamada función de Band, encontrada emṕıricamente [Band et al., 1993; Crider et al., 1997], y dada por N(E) =      A ( E 100 keV )α exp ( − (2+α)E Ep ) si E ≤ Eb A ( Eb 100 keV ) exp(β − α) ( E 100 keV )β si E ≥ Eb (1-1) donde Eb = (α−β)Ep (2+α) es la enerǵıa a la cual se hace la transición entre un régimen y otro. Los parámetros α y β vaŕıan entre un GRB y otro, pero el valor t́ıpico de α es −1, y el valor t́ıpico de β oscila alrededor de −2, y A es una constante de normalización que vaŕıa para cada GRB. Se encontró, además, que pueden distinguirse (al menos) dos poblaciones a partir de la duración de los GRBs (figura 1-4). Por convención, la duración es medida a través del parámetro T90, que es el tiempo en el que se reciben el 90% de las cuentas del GRB, quitando el 5% inicial y el 5% final. Las dos poblaciones se distinguen como sigue: aquellos que tienen un T90 de más de 2 s son llamados GRBs largos (lGRB, long Gamma-Ray Burst) y aquellos con T90 de menos de 2 s son llamados GRBs cortos (sGRB, short Gamma-Ray Burst) [Kouveliotou et al., 1993]. 6 Figura 1-4: Distribución bimodal de la duración de GRBs observados con BATSE. T90 es el tiempo durante el cual se detectaron el 90% de las cuentas, quitando el 5% de ellas desde la detección inicial y el 5% final [Kouveliotou et al., 1993]. T́ıpicamente, además de ser de menor duración, los sGRBs tienen espectros más duros; es decir, con una mayor proporción de fotones de alta enerǵıa. Se cree que estas dos poblaciones son generadas a través de mecanismos distintos. Esta idea es reforzada por aquellos GRBs cuyo lugar de origen ha sido identificado. Los lGRBs para los cuales se ha encontrado su galaxia anfitriona suelen estar asociados a galaxias con una alta tasa de formación estelar, sugiriendo que se originan en estrellas masivas. Además, algunos lGRBs cercanos han sido observados acompañando a supernovas de tipo Ibc (sección 1.3), por lo que se asocian a un flujo colimado relativista (con un factor de Lorentz Γ ∼ 300), formado durante el colapso del núcleo de estrellas masivas (& 25M⊙). Por otro lado, los sGRBs se han encontrado en galaxias eĺıpticas evolucionadas con poca formación estelar, y no se han detectado evidencias de una explosión de supernova en la vecindad de ninguno de ellos, por lo que se han asociado a objetos compactos, resultantes de la evolución de las poblaciones estelares; en particular, a la fusión de estrellas de neutrones binarias, o de una estrella de neutrones con un hoyo negro. De ser aśı, esto podrá confirmarse mediante observaciones de ondas gravitacionales generadas durante esta fusión. En ambos casos, se cree que el colapso del núcleo o fusión de objetos compactos da lugar a la 7 creación de un hoyo negro de masaMBH y un disco de acreción. Se espera que aproximadamente en el tiempo de duración del GRB la mayoŕıa de la enerǵıa gravitacional (∼ 1054 erg) del sistema sea irradiada en neutrinos térmicos de alrededor de 10 MeV, y otra fracción sea liberada en forma de ondas gravitacionales. Mientras tanto, el hoyo negro, con radio de Schwarzchild rg ∼ 106(MBH/3M⊙) acreta masa eficientemente del disco (con Ṁ entre 0.01 y 0.1 M⊙/s), lo cual genera la emisión de alrededor de 1051 erg en un jet bipolar altamente relativista, responsable de la creación de los rayos gamma observados. La enerǵıa total emitida en un GRB, asumiendo que es emitida isotrópicamente (Eiso), puede ser estimada si se conoce la distancia a la fuente, a partir de la enerǵıa de los fotones observaods mediante la ecuación Eiso = ∫ EN(E)dE × 4πd2L (1 + z)2 (1-2) donde dL es la distancia de luminosidad, z el corrimiento al rojo y N encontrada a partir de la ecuación 1-1. Si se asume que la emisión es producida por un jet colimado a un ángulo θj (t́ıpicamente de alrededor de 5◦), entonces la enerǵıa realmente emitida en rayos gamma EGRB está dada por EGRB = Eiso ∆Ω 4π ≈ Eiso ( θj 2 )2 . (1-3) Para los lGRBs, Eiso suele ser del orden de 1052 o 1053 erg, mientras que la enerǵıa corregida por el ángulo de emisión es del orden de 1051 erg [Rosswog y Brüggen, 2007; Gehrels et al., 2009; Gehrels y Razzaque, 2013]. 1.3. La conexión GRB-supernova Un GRB (Sección 1.2), es un destello intenso de radiación electromagnética con enerǵıas t́ıpicas por fotón de ∼ 100 keV. Estos destellos llegan a la Tierra algunas veces por d́ıa (aunque no todos pueden observarse), y se encuentran isotrópicamente distribuidos en el cielo. Se cree que estos eventos son producidos por pequeñas cantidades de materia aceleradas a velocidades ultrarelativistas, colimadas a una pequeña fracción de ángulo sólido, a manera de jets. La enerǵıa total en rayos gamma de un evento t́ıpico está en el rango de 1051erg. 8 Una supernova de colapso de núcleo, ya sea tipo Ibc o II (Sección 1.1), es generada tras el colapso del núcleo de una estrella masiva, al final de su evolución, que deja atrás una estrella de neutrones o un hoyo negro. En general, el colapso produce una expansión no-relativista del resto de la estrella, y estos eventos son visibles en todos los ángulos por decenas de d́ıas, en varias longitudes de onda. Si la envolvente de hidrógeno de la estrella progenitora fue perdida antes de la explosión, se trata de una supernova tipo Ibc; de lo contrario, se trata de una supernova tipo II. La enerǵıa cinética total de estos eventos también está en un rango de alrededor de 1051erg (aunque liberan la mayor parte de su enerǵıa, del orden de 1053 erg, en neutrinos). La similitud energética entre estos dos eventos llevó a creer que se encontraban conectados; incluso se predijo la existencia de dicha conexión antes de que fueran confirmada por primera vez [Colgate, 1968]. Además, los GRBs no se repiten, y se encuentran en regiones de formación estelar. Estos hechos apoyan la conjetura de que están relacionados con la etapa final de evolu- ción de estrellas masivas, y los modelos de GRBs de “bola de fuego”, que presumen que los rayos gamma se forman por la expansión de plasma relativista [Mészáros y Rees, 1997], proponen un escenario muy similar al que sucede en supernovas, aunque con velocidades considerablemente mayores. La conexión entre estos dos eventos se confirmó por primera vez con la observación de la supernova SN1998bw (figura 1-5a), el 25 de abril de 1998 [Kulkarni et al., 1998; Woosley y Bloom, 2006]. Esta supernova de tipo Ibc fue inusual en varios aspectos, incluido una lumi- nosidad inusualmente alta en frecuencias de radio. Esta supernova fue observada en la misma región y en tiempos cercanos al GRB 980425 (figura 1-5b) resultando poco probable que hayan sido eventos independientes. La emisión en radio es un indicador de la velocidad de expansión del choque de la explosión (Sección 1.4). Mediante esta emisión se infirió que la supernova SN1998bw deb́ıa tener una región con velocidad de expansión relativista. A partir de las componentes espectrales óptica y de radio de esta supernova, se infiere que existen dos componentes principales expulsados durante la explosión: La primera es una componente masiva, que inicialmente es ópticamente gruesa, con velocidades no-relativistas, en donde se produce la emisión en óptico de una supernova Ibc t́ıpica. La segunda es una región de baja masa, pero con alta densidad de enerǵıa y velocidades relativistas, que produce la intensa emisión en radio y puede estar relacionada con el mecanismo 9 (a) Emisión en óptico de SN1998bw, dentro de la galaxia espiral ESO 184-G82 (Imagen corteśıa del European Southern Observatory). (b) Curva de luz del GRB980425 en la banda de 50−300keV, observado con BATSE (Imagen corteśıa del Gamma-Ray Astrophysics Team, NASA). Figura 1-5: La primera detección de una supernova acompañada de un GRB, el evento SN1998bw/GRB980425 10 de producción de rayos gamma. Este efecto puede compararse con un látigo, donde sólo la punta (de poca masa) tiene densidad de enerǵıa y velocidad alta, mientras que el resto se mueve más lentamente pero está compuesto por la mayoŕıa de la masa del sistema [Tan et al., 2001]. Es entonces en el frente de choque con baja masa y velocidades relativistas en donde se genera la emisión en radio de esta supernova. Las inestabilidades y movimientos turbulentos en esta zona pueden amplificar el campo magnético local, y acelerar part́ıculas por procesos de Fermi. Los electrones en esta región producirán radiación de sincrotrón (Sección 1.5), que además traza la velocidad de expansión de esta región. La conexión entre la supernova SN1998bw y el GRB980425 fue controversial, pero varios estudios subsecuentes confirmaron el origen común de estos dos eventos. En particular, la aso- ciación entre el GRB 030329 y la supernova SN2003dh [Stanek et al., 2003] confirmó la conexión entre estos dos tipos de eventos. Ambas partes del evento anterior, SN1998bw y GRB980425, eran bastante peculiares entre las poblaciones normales de supernovas tipo Ibc y GRBs (aunque hay alta dispersión entre los parámetros observados en ambas poblaciones), pero el GRB030329 teńıa propiedades más homogéneas comparado con ambas poblaciones. Después de que se des- vaneció el brillo en óptico del GRB, las propiedades espectrales de este evento fueron muy parecidas a las de SN1998bw. Aunque la interpretación de los datos depende fuertemente del modelo utilizado, es claro de este evento que existe una conexión real entre GRBs y supernovas. Existen 36 casos observados hasta 2013 [Hjorth, 2013] de GRBs posiblemente asociados a supernovas, 12 de los cuales cuentan con una supernova identificada. En el resto de ellos se presenta un alto flujo en óptico, que se interpreta como una supernova asociada [Woosley y Bloom, 2006]. Casi todos ellos son GRBs largos y de espectro suave, y son cercanos (z < 1), con excepción del GRB130427A. La caracteŕıstica principal que tienen en común las supernovas asociadas a GRBs es que poseen una componente que se mueve con velocidades altamente relativistas (Γβ & 2). Aunque no todas son más energéticas o luminosas que el promedio, la mayoŕıa śı lo son. Además, todas ellas son de tipo Ibc, asociadas a estrellas progenitoras masivas de tipo Wolf-Rayet, con fuertes vientos durante su evolución pre-supernova, lo cual causa que pierdan su envolvente de hidrógeno. Suelen además tener ĺıneas anchas, causadas por altas velocidades de expansión. Casi todas las supernovas detectadas en GRBs han sido bastante brillantes, pero existen casos donde 11 se infiere su existencia, pero la magnitudMV máxima es menor que el promedio; particularmente cuando se observan en destellos de rayos X (XRF, X-Ray Flashes). Esto indica que existe una fuerte dispersión en los posibles brillos de la supernova asociada. A pesar de ello, las altas luminosidades exigen que, en algunos casos, la enerǵıa cinética de la supernova sea del orden de 1052erg, que excede el valor t́ıpico por un orden de magnitud. A partir del descubrimiento de la relación entre SN 1998bw y GRB 980425 se infirió que el frente de choque relativista podŕıa haber generado el GRB al inicio de su expansión, de acuerdo al modelo de GRBs de ”bola de fuego”, y luego desacelerado y producido la radiación de sincrotrón observada en radio. Por otro lado, las observaciones de la supernova SN2009bb [Soderberg et al., 2010] sugieren que la onda de choque que genera la emisión en radio es independiente del mecanismo que genera los rayos gamma (jets bipolares colimados). Esto se infiere ya que no se observaron rayos gamma coincidentes con esta supernova, pero su flujo en radio ha sido el mayor observado a la fecha, y su velocidad de expansión inferida a través de este flujo es relativista, además de otras caracteŕısticas que comparte con observaciones tard́ıas de GRBs más que con observaciones de supernovas tipo Ibc (figura 1-6). Sin embargo, esto puede deberse también a que la supernova SN2009bb no produjo rayos gamma, o a que los produjo pero no fueron detectados por ningún observatorio de rayos gamma. Es claro que no en todas las supernovas (incluso no en todas las de tipo Ibc) se producen rayos gamma. Si se asume que todos los GRBs tienen una supernova asociada, entonces es probable que exista una población distinta de supernovas tipo Ibc, a través de la cual es posible identificar progenitores de GRBs sin necesidad de detectarlos en las bandas de alta enerǵıa. Esto nos permitiŕıa (en el futuro) observar un mayor número de GRBs cercanos; a saber, todos aquellos cuya emisión está colimada fuera de nuestra ĺınea de visión. Incluso de no ser aśı, el estudio de supernovas relativistas tipo Ibc es relevante tanto para el campo de GRBs como el de supernovas. Se necesita una mayor cantidad de observaciones de este tipo de supernovas para conocer mejor la distribución e incidencia de esta sub-población de eventos, pero se puede inferir bastante estudiando más a fondo los casos ya observados, que es justamente la motivación de esta tesis. Comprender más a fondo la conexión entre estos dos eventos puede darnos información acerca del motor central detrás de supernovas relativistas y GRBs, y del mecanismo de producción 12 Figura 1-6: Propiedades de la emisión en radio de una muestra de supernovas tipo Ibc y GRBs cercanos (z . 0.1), destacando el caso de SN2009bb [Soderberg et al., 2010] 13 de los rayos gamma. Es posible incluso que los GRBs asociados a supernovas sean en śı una sub-población de los GRBs de larga duración, aunque comparten varias caracteŕısticas con los GRBs observados a distancias cosmológicas (cuyas supernovas asociadas no podŕıan observarse debido a la distancia a la que se encuentran). 1.4. Modelos anaĺıticos de la expansión de una supernova Existen varios modelos para estudiar la dinámica de las explosiones de supernova. T́ıpica- mente se utiliza un modelo sencillo que describe la interacción entre dos capas, una de ellas compuesta por la masa de la estrella expulsada por la explosión y otra de ellas la masa esta- cionaria del medio circumestelar. Este modelo está descrito en esta sección [Chevalier, 1982b], pero vale la pena mencionar que existe una amplia variedad de modelos, que se utilizan depen- diendo del autor y del caso estudiado. Entre ellos destacan las soluciones autosimilares de la expansión libre de un medio, como la de Sedov-Taylor [Sedov, 1946; Taylor, 1950; Zel’dovich y Raizer, 1967] para el caso no relativista y la de Blandford-McKee [Blandford y McKee, 1976] para el caso ultrarelativista (Γ ≫ 1), aunque existen otras soluciones autosimilares como la de [Chevalier, 1982a], que toma en cuenta la interacción de la supernova con el medio circumestelar y se reduce en algunos casos a la de Sedov-Taylor, y otros modelos como el de Chakraborti y Ray [2011], que abarca tanto el régimen relativista como el no-relativista, pero no es válido en el régimen trans-relativista (intermedio entre los dos). El modelo de Chevalier [1982b] es una aproximación clásica donde se considera la interacción hidrodinámica entre un gas que se expande uniformemente y un medio estacionario externo. Se supone que el gas en expansión, acelerado por la enerǵıa inyectada durante la explosión, tiene un perfil de densidad dado por ρSN ∝ r−n. (1-4) El medio estacionario a través del cual se expande la explosión se modela con un perfil de densidad ρMC ∝ r−s, donde generalmente s = 2, ya que el medio circumestelar es formado por el viento de la estrella progenitora. El valor de n es un parámetro libre, pero generalmente se tiene que n ≥ 7, puesto que se ajusta a las observaciones, y n = 7 es el valor encontrado por Colgate y McKee [1969] para este caso. 14 Si se supone además que la supernova se expande uniformememte (o sea, r/t constante), y que la dependencia temporal de ρ está dada por una ley de potencias (ρSN = Ar−ntα), se encuentra por conservación de masa que MSN = ∫ ρSNdV = ∫ Ar−ntα2πr2dr = 2πA n− 3 r3−ntα (1-5) por lo que necesariamente, como MSN es constante, debe satisfacerse que α = n− 3. De lo anterior, puede escribirse la densidad como ρSN = t−3 ( r tg )−n (1-6) donde g es una constante (que depende de la masa MSN ), y ρMC = qr−2 (1-7) donde q es otra constante (que para el caso de un viento de tasa de pérdida de masa constante Ṁ y velocidad vw es q = Ṁ/4πvw), y habiendo asumido que s = 2. Estas dos regiones interactúan en una capa que tiene dos componentes: el componente 1 que repesenta el material circumestelar chocado, y el componente 2 que representa el material chocado que proviene de la supernova. Si se asume que esta capa es delgada, entonces puede representarse su posición por el radio R, y su movimiento estará dictado por el gradiente de presión entre estas dos regiones, y la inercia de cada una, de modo que (M1 +M2) d2R dt2 = 4πR2(P2 − P1), (1-8) donde M1 y M2 son las masas de cada componente de la capa, P2 es la presión cinética del material de la estrella no-chocado, y P1 es la presión cinética del medio ambiente no-chocado, ambas calculadas en el sistema de referencia de laboratorio, como se ilustra en la figura 1-7. Estas variables pueden reescribirse en términos de las ecuaciones 1-6 y 1-7. La masa M1 es la masa circumestelar arrastrada por la supernova, desde el radio inicial de la estrella R0 hasta 15 Figura 1-7: Esquema de la explosión de supernova [Chevalier, 1981]. R, de modo que M1 = ∫ R R0 ρCMdV = ∫ R R0 qr−24πr2dr = 4πq(R−R0), (1-9) pero como se espera que R ≫ R0 al momento en el que la supernova es visible, se puede despreciar el término con R0 en la ecuación 1-9. La masa M2, a su vez, es la masa expulsada por la explosión que ha cruzado el choque de reversa; es decir, la integral de la densidad desde un radio que puede tomarse como r = umaxt, donde umax es la velocidad inicial de la expansión, la velocidad máxima que alcanza, hasta el radio R. De estas consideraciones resulta que M2 = ∫ R umaxt ρSN4πr2dr = 4π n− 3 [R3−n − (umaxt) 3−n]tn−3gn. (1-10) El valor de umax es desconocido, pero se espera que el término (umaxt) 3−n sea despreciable ante R3−n, ya que se espera que R > umaxt, y n > 7. 16 La presión de la región 1 será simplemente P1 = q R2 ( dR dt )2 , (1-11) y la presión de la región 2 P2 = t−3 ( R tg )−n(R t − dR dt )2 , (1-12) donde R t es la velocidad de expansión del material expulsado por la estrella y dR dt la velocidad con la que se mueve el choque, ambos calculados en el sistema de referencia de laboratorio. Estas consideraciones hacen que la ecuación 1-8 sea independiente de las condiciones iniciales del problema. Reescribiendo la ecuación 1-8 en términos de las ecuaciones 1-9, 1-10, 1-11 y 1-12, se obtiene que ( 4πqR+ 4π n− 3 R3−ntn−3gn ) d2R dt2 = 4πR2 [ t−3 ( R tg )−n(R t − dR dt )2 − q R2 ( dR dt )2 ] . (1-13) Asumiendo que la solución es de la forma R(t) = Atm, y encontrando los valores de A y m, se llega a que R(t) = ( 2gn (n− 4)(n− 3)q ) 1 n−2 t n−3 n−2 . (1-14) Esta solución describe la evolución temporal de la supernova, y a partir de ella puede obte- nerse información adicional importante, como las razones entre las cantidades pre y post-choque. Esta solución deja de ser válida una vez que la masa arrastrada por el choque M2 se hace mucho mayor a M1, y tampoco funciona si la supernova se expande con velocidades relativistas, como es el caso de las supernovas asociadas a GRBs, lo que sirvió como motivación para la realiza- ción de este trabajo. Aunque existen modelos donde se toman en cuenta estas complicaciones (de manera aproximada), aún aśı es valioso comparar con las simulaciones realizadas en este trabajo, para ver el efecto que tienen las aproximaciones hechas en cada modelo en distintas circumstancias. 17 1.5. Radiación de sincrotrón Las observaciones en longitudes de onda de radio en supernovas y GRBs apuntan a que el proceso de emisión en estos sistemas es causado por emisión de sincrotrón causada por electrones acelerados a velocidades relativistas por aceleración de Fermi en la onda de choque que se genera por la explosión; los cuales interactúan con el campo magnético de la estrella, amplificado por inestabilidades en el plasma, y con el campo magnético del viento de la estrella progenitora [Woosley y Bloom, 2006]. El flujo de radiación emitido mediante este proceso, está dado por la ecuación Fν = 1 + z d2L ∫ IνdA, (1-15) donde Fν es el flujo radiativo en la longitud de onda ν, z es el corrimiento al rojo de la fuente, dL la distancia de luminosidad de la fuente, e Iν es la intensidad de radiación de la fuente en esa longitud de onda. Ésta última se obtiene mediante la ecuación de transporte radiativo dIν dz = jν − ανIν . (1-16) jν es conocido como el coeficiente de emisión, αν es el coeficiente de absorción, y la ecuación se integra a lo largo de la linea de visión. Cabe añadir que el coeficiente de absorción contiene el efecto de absorción real y el de emisión estimulada. Una vez teniendo los coeficientes αν y jν (obtenidos en el apéndice A), puede integrarse la ecuación 1-16. Haciendo el cambio de variable dτν = ανdz, donde τν se conoce como la profundidad óptica, la ecuación queda dIν dτν = −Iν + Sν , (1-17) donde se definió la función fuente Sν = jν αν . Esta ecuación tiene como solución Iν(τν) = Iν(0)e −τν + ∫ τν 0 e−(τν−τ ′ν)Sν(τ ′ ν)dτ ′ ν , (1-18) 18 que puede aproximarse, asumiendo que Sν es constante y que Iν(0) = 0, por Iν = Sν(1− e−τν ). (1-19) La profundidad óptica es una medida de la probabilidad que tiene un fotón de atravesar el medio por el cual se mueve sin ser absorbido. Si τ > 1, se dice que el medio es ópticamente grueso u opaco, mientras que si τ < 1, se dice que el medio es ópticamente delgado o transparente. En el caso ópticamente grueso, la ecuación 1-19 puede aproximarse por Iν ≈ Sν , mientras que en el caso ópticamente delgado se obtiene que Iν ∝ jν . Los coeficientes de emisión y absorción para radiación de sincrotrón se obtienen asumiendo que los electrones en el choque tienen una distribución energética dada por una ley de potencias dada por N(E) = N0E −p, donde el ı́ndice espectral p tiene un valor t́ıpico entre 2 y 3. Los coeficientes están dados en las ecuaciones A-25 y A-24, pero es posible simplificar la notación en dichas ecuaciones definiendo la constantes c1, c5 y c6 [Pacholczyk, 1970], como c1 = 3e 4πm3c5 , (1-20) c5 = √ 3e3 16πmc2 Γ ( 3p− 1 12 ) Γ ( 3p+ 7 12 )( p+ 7/3 p+ 1 ) (1-21) y c6 = 1 32 ( c c1 )2 √ 3e3 4πmc2 ( p+ 10 3 ) Γ ( 3p+ 2 12 ) Γ ( 3p+ 10 12 ) , (1-22) mediante los cuales pueden reescribirse las ecuaciones A-31 y A-24 como jν = c5N0(B sinα) p+1 2 ( ν 2c1 ) 1−p 2 (1-23) y αν = c6N0(B sinα) p+2 2 ( ν 2c1 )− p+4 2 . (1-24) Para obtener el espectro de la fuente conviene ver cómo se comporta la ecuación 1-19 para 19 distintos valores de la profundidad óptica τν . Puede hacerse la aproximación de que τν = ∫ s 0 αν(z)dz ≈ ανs = c6sN0(B sinα) p+2 2 ( ν 2c1 )− p+4 2 (1-25) donde s es el grosor de la zona que emite. Si además definimos ν1 tal que τ(ν1) = 1, se obtiene que ν1 = 2c1(sc6) 2 p+4N 2 p+4 0 (B sinα) p+2 p+4 . (1-26) Puede reescribirse entonces la ecuación 1-19 como Iν = S(ν1)J(ν̂) (1-27) con ν̂ = ν ν1 , y con S(ν1) = c5 c6 (B sinα)− 1 2 ( ν1 2c1 ) 5 2 (1-28) y J(ν̂) = ν̂ 5 2 (1− exp(−ν̂− p+4 2 )). (1-29) En una supernova, la emisión de sincrotrón es producida en una delgada capa donde se aceleran electrones a velocidades relativistas, y se amplifica el campo magnético. Para encontrar esta emisión, en el modelo anaĺıtico utilizado para estudiar la supernova SN2009bb [Chevalier, 1998] se asume que la región que emite se puede aproximar por una región plana en el plano del cielo, con grosor s y área πR2, donde R es el radio de la fuente. El valor de s se define como aquél para el cual el volumen elegido πR2s pueda identificarse con el volumen que realmente emite, dado por 4 3πR 3f , donde f es la fracción del volumen real de la supernova en donde se efectúa la emisión. Se asume además que puede simplificarse el término B sin θ, reemplazándolo por B. Luego, si se conoce la distancia a la fuente D, la ecuación 1-15 puede reescribirse como Fν = ∫ IνdΩ ≈ IνΩ, (1-30) donde Ω es el ángulo sólido que abarca la fuente. En el ĺımite ópticamente grueso (z ≪ 1) se 20 tendrá que Fν = πR2 D2 c5 c6 B 1 2 ( ν 2c1 ) 5 2 , (1-31) y en el ĺımite ópticamente delgado (z ≫ 1) se llega a que Fν = 4πfR3 3D2 c5N0B p+1 2 ( ν 2c1 )− p−1 2 . (1-32) De este modo, la emisión en radio queda determinada por la dependencia temporal de p, R, B y N0. En las observaciones de supernovas, la pendiente del espectro se mantiene constante tanto en el régimen ópticamente grueso (donde Fν ∝ ν 5 2 ) como en el régimen ópticamente delgado (donde Fν ∝ ν− p−1 2 ), por lo que puede considerarse que el valor de p es constante a lo largo del tiempo de emisión, aunque vaŕıa de un caso a otro. Por otro lado, el valor de N0 puede determinarse considerando que la enerǵıa que acelera a los electrones en el choque es una fracción α de la enerǵıa almacenada en el campo magnético. De este modo α B2 8π = ∫ ∞ Emin N(E)EdE = ∫ ∞ Emin N0E 1−pdE, (1-33) donde se toma la enerǵıa mı́nima de los electrones que producen radiación de sincrotrón como Emin ≈ mec 2 = 0.51MeV, donde los electrones comienzan a ser relativistas. Esto resulta en que N0 = αB2(p− 2)Ep−2 min 8π . (1-34) El punto máximo del flujo Fp se da cuando las regiones ópticamente delgada y ópticamente gruesa se cruzan; es decir, cuando las ecuaciones 1-31 y 1-32 son iguales. A partir de ellas, y sustituyendo el valor de N0 a partir de la ecuación 1-34, puede eliminarse la dependencia del campo magnético o del radio en el punto de flujo máximo, de modo que R = ( 6cp+5 6 F p+6 p D2p+12 αf(p− 2)πp+5cp+6 5 Ep−2 min ) 1 2p+13 ( νp 2c1 )−1 (1-35) 21 si se elimina el campo magnético, o B = ( 36π3c5 α2f2(p− 2)2c36E 2(p−2) min FpD2 ) 2 2p+13 ( νp 2c1 ) , (1-36) si se elimina el tamaño de la fuente. Puede verse que R y B tienen una leve dependencia de los parámetros libres (f , α y Emin), y dependen más fuertemente de la frecuencia νp y del flujo Fp. La supernova SN2009bb tiene p = 3 y se encuentra a una distancia de 40 Mpc, de donde resulta que R = 2.9× 1016 ( Lν,p 1028erg s−1 Hz ) 9 19 ( νp 5 GHz )−1 cm, (1-37) asumiendo que α = 1 y f = 0.5, y que Lν,p = 4πD2Fp. A partir de esto, se puede calcular la velocidad media del choque como v = R ∆t = 3.4× 1010 ( ∆t 10 dı́as )−1( Lν,p 1028erg s−1 Hz ) 9 19 ( νp 5 GHz )−1 cm s−1, (1-38) o pueden trazarse ĺıneas de velocidad constante como se hace en la figura 1-6 (asumiendo algún valor para α, f y p). Es claro que en este caso nada previene que vp > c. Esta velocidad, sin embargo, se ha relacionado [Soderberg et al., 2010] con la velocidad de expansión transversal, de modo que R ∆t = Γβc (1-39) donde Γ = (1 − β2)− 1 2 es el factor de Lorentz del global del choque, pero esta identificación resulta algo arbitraria. 22 Caṕıtulo 2 Método numérico Debido a que las supernovas relativistas no pueden ser bien descritas mediante modelos anaĺıticos, en esta tesis se realizaron simulaciones numéricas de estos eventos para poder enten- der las propiedades de estos eventos que no son reproducidas por dichos modelos. Es necesario hacer simulaciones de hidrodinámica y de transporte radiativo, para poder estudiar su com- portamiento dinámico y relacionarlo con las observaciones de estos eventos. En este caṕıtulo se exponen los métodos numéricos utilizados. El trabajo fue realizado utilizando dos códigos numéricos; uno para resolver la hidrodinámi- ca de diferentes supernovas, y otro para calcular el espectro en radio causado por la emisión de sincrotrón de electrones acelerados en el choque que genera la explosión en el medio circumes- telar. Para estudiar la hidrodinámica se utilizó el código de hidrodinámica relativista especial de malla adaptiva Mezcal [De Colle et al., 2012], y para estudiar la emisión de sincrotrón se elaboró un código de transporte radiativo, que calcula el flujo de radiación a partir de los resultados hidrodinámicos del código Mezcal. En este caṕıtulo se presenta una descripción general del funcionamiento de ambos códigos numéricos. 2.1. Hidrodinámica Las simulaciones de supernovas muy energéticas, del tipo que se espera que puedan alojar GRBs, requieren resolver ecuaciones de hidrodinámica que sean consistentes con relatividad 23 especial (SRHD, Special Relativistic HydroDynamics), ya que durante una explosión de esta magnitud se inyecta una gran cantidad de enerǵıa al material de la estrella progenitora, lo que provoca la rápida expansión del gas que la conforma a través del medio circumestelar; y se espera que partes del gas sean aceleradas a velocidades muy cercanas a la de la luz (como puede verse en la figura 1-6). Las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un fluido ideal, considerando efectos de rela- tividad especial, pueden escribirse de modo que expresen las cantidades conservadas en el flujo [De Colle et al., 2012]; a saber, D = Γρ ~S = DhΓ~v τ = DhΓc2 − p−Dc2 (2-1) donde Γ = (1−β2)− 1 2 es el factor de Lorentz, ρ es la densidad en el sistema de referencia propio del fluido, h la entalṕıa espećıfica del fluido, p es la presión térmica del fluido en el sistema de referencia del fluido, ~v = ~βc el campo de velocidades en el sistema de referencia del laboratorio. La conservación de estas cantidades corresponde a la conservación de masa en reposo en el sistema de referencia de laboratorio, de momento y de enerǵıa. Las ecuaciones de un fluido ideal, en términos de estas variables, se obtienen de aplicar una transformación del Lorentz al tensor de enerǵıa-momento de un fluido ideal, el cual se obtiene escribiendo las ecuaciones en el sistema de referencia en el que el fluido está localmente en reposo, y están dadas por ∂D ∂t +∇ · (D~v) = 0 ∂~S ∂t +∇ · (~S~v + pI) = 0 ∂τ ∂t +∇ · (τ~v + p~v) = 0 (2-2) donde I la matriz identidad. Cabe destacar que a partir de estas ecuaciones se pueden recuperar las ecuaciones clásicas para un fluido cuando β ≪ 1. Es necesario introducir una ecuación de estado para encontrar la entalṕıa del sistema como 24 función de la presión y la densidad. La ecuación de estado para un gas relativista perfecto [Synge, 1971] está dada por h = K3(1/Θ) K2(1/Θ) , (2-3) donde Kn es la función de Bessel modificada de orden n, y Θ = p ρc2 . El cálculo de funciones de Bessel es muy costoso computacionalmente, por lo que Mezcal implementa una aproximación [Ryu et al., 2006], dada por h = 2 6Θ2 + 4Θ + 1 3Θ + 2 , (2-4) con la cual se acelera considerablemente el cálculo de la entalṕıa, y que aproxima la ecuación 2-3 con un error máximo del 0.5%. Se resolvieron las ecuaciones de SRHD utilizando el código Mezcal, un código SRHD de malla adaptiva; es decir, que resuelve con más detalle las áreas del dominio computacional en las que los gradientes de las variables son más grandes, dividiendo una celda del dominio en celdas más pequeñas (en dos celdas si el problema es unidimensional, cuatro celdas si el problema es bidimensional y ocho celdas si el problema es tridimensional), como se ilustra en la figura 2-1. De este modo no se gasta tiempo resolviendo las ecuaciones con mucha resolución espacial en aquellas áreas del dominio donde los cambios entre celdas son pequeños, y es mucho más detallado en las zonas donde hay cambios grandes en espacios más pequeños. Las ecuaciones 2-2 son un sistema de ecuaciones hiperbólicas. La solución implementada en Mezcal para una ecuación hiperbólica de forma ∂u ∂t +∇ · ~f = 0 (2-5) está dada por Un+1 i = Un i − ∆t ∆xi (F n+1/2 i+1/2 − F n+1/2 i−1/2 ) (2-6) donde xi representa la posición del centro de la celda i, con volumen ∆xi = xi+1/2 − xi−1/2, donde xi±1/2 representa la posición de las interfases entre las celdas xi y xi±1, y las cantidades Un i y F n+1/2 i±1/2 representan el promedio de la variable conservada u dentro del volumen de la 25 Figura 2-1: Ejemplo de una simulación en 3D donde se utiliza la malla adaptiva de Mezcal. celda, y el flujo promedio entre celdas, respectivamente, y están dadas por Un i = 1 ∆xi ∫ xi+1/2 xi−1/2 ui(t n, x)dx (2-7) y F n+1/2 i±1/2 = 1 ∆t ∫ tn+1 tn f(t, xi±1/2)dt. (2-8) La ecuación 2-6 es una solución a la ecuación 2-5, pero se introducen aproximaciones al momento de obtener el flujo (ecuación 2-8) entre celdas. Estas integrales se resuelven con una extensión relativista [Schneider et al., 1993] al método sencillo y computacionalmente eficiente de Harten, Lax y van Leer (método HLL, Harten et al. [1983]). 26 El ancho de cada paso de tiempo ∆t está calculado como el tiempo mı́nimo que tarda una onda en propagarse entre dos celdas del dominio computacional; es decir, ∆t = Ncmı́n i ( ∆ri vi + cs,i ) , (2-9) donde Nc es el número de Courant (tomado como 0.8 en las simulaciones), ∆ri es el ancho de la celda, vi la velocidad de la celda y cs,i es la velocidad del sonido en la celda, dada por cs,i = ∂p ∂ρ . (2-10) Después de encontrar los valores de las cantidades conservadas en el flujo (~S, τ y D), se obtienen los valores de las variables primitivas (ρ, ~v y p) en cada una de las celdas. Este paso es una de las causas por las que resulta mucho más complicado el cálculo del comportamiento de un fluido en el régimen SRHD, que en hidrodinámica newtoniana: no existe una relación sencilla y cerrada entre las variables conservadas y las variables primitivas, sino que éstas deben ser calculadas mediante una iteración no-lineal a partir de las variables conservadas. En resumen, se resuelve el sistema de ecuaciones 2-1 usando la relación entre la entalṕıa h y Θ = p/(ρc2), implementando el método Newton-Rhapson, y a partir del valor de Θ se calculan las demás variables. En el caso unidimensional (que es el caso utilizado en esta tesis), Mezcal genera archivos de salida con las variables primitivas del fluido, cada cierto número de pasos de tiempo, en formato ASCII. Estos archivos son analizados con el software gnuplot. 2.2. Transporte radiativo Como parte de la elaboración de esta tesis se desarrolló un código numérico para el cálculo de la emisión de sincrotrón, utilizando los resultados de las simulaciones hidrodinámicas producidas con Mezcal. Para hacer esto, es necesario integrar la ecuación de transporte radiativo (ecuación 1-16) a lo largo de la supernova, en dirección a la ĺınea de visión del observador, y luego integrar esta sobre toda la superficie de la onda de choque, para obtener el flujo total de radiación. Para hacer esto, es necesario conocer los parámetros αν y jν dentro del choque, y a partir de 27 ellos, integrar la ecuación 1-16. Como se trata de un caso relativista, se utilizaron versiones de αν y de jν que permitieran calcular la radiación recibida por el observador desde los parámetros de la simulación, medidos en el sistema de referencia de laboratorio. Se utilizaron los coeficientes de emisión y de absorción presentados en van Eerten et al. [2012], que toman en cuenta no sólo la forma clásica del espectro de sincrotrón, presentada en la sección 1.5, sino también el enfriamiento de los electrones por la emisión de radiación, y el efecto del cambio de sistema de referencia. Estas son de la forma jν = 9.6323 p− 1 3p− 1 √ 3e3 8πm2 ec 2 ξNn′B′ γ2(1− βµ)2 jf , (2-11) y αν = √ 3e3(p− 1)(p+ 2) 16πm2 ec 2 ξNn′B′γ(1− βµ)αf , (2-12) donde e es la carga del electrón, me la masa del electrón, p el ı́ndice espectral de la distribución de electrones acelerados, ξN la fracción de electrones acelerados, n′ la densidad de part́ıculas, B′ el campo magnético, γ el factor de Lorentz, β el módulo de velocidad y µ = cos θ, con θ el ángulo entre la dirección de movimiento y la posición del observador. Las cantidades primadas son medidas en el sistema de referencia propio del fluido. Las cantidades αf y jf reflejan la dependencia de αν y jν con la frecuencia. jf está dado por jf =              (ν ′/ν ′m) 1 3 , si ν ′ < ν ′m < ν ′c (ν ′/ν ′m) 1−p 2 , si ν ′m < ν ′ < ν ′c (ν ′c/ν ′ m) 1−p 2 (ν ′/ν ′c) − p 2 , si ν ′m < ν ′c < ν ′ (2-13) cuando ν ′m < ν ′c, y jf =              (ν ′/ν ′c) 1 3 , si ν ′ < ν ′c < ν ′m (ν ′/ν ′c) − 1 2 , si ν ′c < ν ′ < ν ′m (ν ′m/ν ′c) − 1 2 (ν ′/ν ′m)− p 2 , si ν ′c < ν ′m < ν ′ (2-14) 28 cuando ν ′c < ν ′m. Por otro lado, αf está dado por αf = 1 γ′m(ν ′)2      (ν ′/ν ′m) 1 3 , si ν ′ < ν ′m (ν ′/ν ′m)− p 2 , si ν ′m < ν ′ . (2-15) La frecuencia ν ′ está calculada en el marco de referencia propio del fluido, y las cantidades presentes en las ecuaciones 2-14 y 2-15 son la frecuencia de corte de sincrotrón ν ′m, dada por ν ′m = 3e 4πmec (γ′m)2B′, (2-16) con γ′m = ( p− 2 p− 1 )( ǫee ′ ξNn′mec2 ) , (2-17) donde ǫe es la fracción de enerǵıa e′ almacenada en los electrones acelerados; y la frecuencia de corte por enfriamiento ν ′c, estimada mediante el tiempo global de enfriamiento, y dada por ν ′c = 3e 4πmec (γ′c) 2B′, (2-18) con γ′c = 6πmecγ σT (B′)2t (2-19) donde σT es la sección eficaz de Thomson, y t el tiempo transcurrido. De acuerdo con la ecuación 1-19, entonces, deben existir seis posibles espectros, dependiendo de cuáles sean los valores relativos de νm, νc, y la frecuencia de autoabsorción νa. En la figura 2-2 se muestran 2 de estos casos [Sari et al., 1998], para dar más claridad al efecto de las ecuaciones 2-15 y 2-14. Los resultados de las simulaciones hidrodinámicas se guardan en tablas de datos para dis- tintos tiempos, que contienen los valores de las variables dinámicas en cada celda del dominio computacional; es decir, ρ′(r), p′(r) y v(r). Sin embargo, para calcular el flujo Fν deben encon- trarse las variables de las que dependen los coeficientes de emisión y de absorción. Para esto, se asumió que la enerǵıa está dada por e′ = 3p′ (es decir, se asumió un ı́ndice adiabático Γ = 4/3), 29 Figura 2-2: Dos posibles espectros de sincrotrón, incluyendo efectos de enfriamiento [Sari et al., 1998]. y que una fracción η de enerǵıa está almacenada en el campo magnético, de modo que B′ = ηe′. (2-20) Las demás variables, β y n′, se obtuvieron trivialmente a partir de las variables de la simulación hidrodinámica. Utilizando estas ecuaciones, y haciendo las suposiciones necesarias, se llegó a una forma en la que jν y αν dependen únicamente de los resultados de las simulaciones hidrodinámicas. A partir de ellos, se calcula la intensidad espećıfica Iν , integrando la ecuación 1-16 a lo largo de la dirección z, que representa la dirección hacia el observador. Para evitar obtener valores negativos de Iν , la ecuación de transporte radiativo se intregró usando un método de integración impĺıcita, dado por In+1 ν = Inν + jnν∆z αn ν∆z + 1 , (2-21) 30 donde el ancho ∆z está dado por el ancho de las celdas de la simulación hidrodinámica, y la región de integración se restringió a la vecindad del frente de choque, que es en donde se encuentran los electrones acelerados. Para hacer el cálculo de Iν a lo largo de todo el ángulo sólido ocupado por la estrella, se remapearon los valores de las variables de la simulación unidimensional a un dominio bidimen- sional, caracterizado por la dirección z hacia el observador, y una dirección perpendicular a ésta, x. A partir de esto se calcularon los coeficientes jν(z, x) y αν(z, x), y integró la ecuación de transporte radiativo a lo largo del eje z, para un número de posiciones en el eje x (que se tomó generalmente como 300). Los mapas bidimensionales de αν y jν se ilustran en la figura 2-3. 3x1015 4.5x1015 6x1015 7.5x1015 1.5x1015 4.5x1015 7.5x1015 1.5x1015 1.5x1015 4.5x1015 7.5x1015 Eje x (cm) Eje x (cm) E je z ( c m ) 10-20 1.3x10-19 10-16 4.7x10-14 cm-1erg cm-3 s-1 Hz-1 Figura 2-3: Ejemplo del remapeo, y cálculo de las funciones jν (izquierda) y αν (derecha) en una simulación Finalmente, se integró la ecuación para el flujo, aprovechando la simetŕıa axial del problema, resultando en que Fν = 1 + z d2L ∫ IνdA = 1 + z d2L 2π ∫ Iν(x)xdx (2-22) a lo largo de toda la estrella. Se utilizó un método de integración de primer orden dado por ∫ Iν(x)xdx ≈ ∑ n Inν (xn)xn∆x (2-23) donde xn es la posición de la celda, y ∆x el ancho. Para cada simulación se realizó este proceso 31 a lo largo de 300 frecuencias dentro del rango de observación del Very Large Array, o VLA, con el cual se ha observado la radiación de sincrotrón de varias supernovas. 32 Caṕıtulo 3 Resultados de las simulaciones A partir de los resultados de las simulaciones hidrodinámicas se estudió la evolución tem- prana de una supernova relativista y su interacción con el medio circumestelar. Se estudió con detalle su evolución durante los primeros segundos, mientras la explosión atraviesa la estrella y llega al medio externo, su interacción con la interfase estrella-medio circumestelar, y su evolu- ción temprana. Subsecuentemente se estudió su evolución durante un periodo de alrededor de un año. Los resultados de dichas simulaciones se presentan en la primera sección de este caṕıtu- lo, haciendo un recuento de las diferencias entre supernovas con distintas enerǵıas cinéticas y térmicas, y entre medios cirumestelares de distinta densidad. Se hace énfasis en las diferencias entre los resultados de las simulaciones relativistas, y el modelo presentado en el caṕıtulo 1, que funciona para supernovas con velocidades no-relativistas. Subsecuentemente se presenta el cálculo de la emisión de sincrotrón del choque generado por la explosión, realizado sobre los resultados dinámicos, y cuyo método se encuentra detallado en el caṕıtulo anterior. Se presenta el efecto que tienen en la emisión distintos escenarios de explosión, y se hace un análisis comparativo entre los resultados de estas simulaciones, y el modelo de emisión presentado en el caṕıtulo 1. La sección final de este caṕıtulo está dedicada a la comparación entre las observaciones realizadas a supernovas relativistas, y los resultados de las simulaciones. 33 3.1. Simulaciones de la hidrodinámica Se realizaron simulaciones en una dimensión de una explosión de supernova (considerando que el problema era esféricamente simétrico) con el método descrito en la sección 2.1. La con- dición inicial en la simulación fue una estrella tipo Wolf-Rayet, cuya estructura fue ajustada a partir de los resultados simulaciones de modelos de evolución estelar, corteśıa de Alexander Heger [Heger et al., 2000; Woosley y Heger, 2006]. La estrella utilizada tiene alto momento an- gular, producido por una velocidad de rotación de 200 km/s en su etapa de secuencia principal. Además, tiene metalicidad solar, y una masa inicial de 25 M⊙. Este tipo de estrella, que ha perdido sus capas exteriores debido a la eyección de un viento masivo, por lo que no tiene ni hidrógeno ni helio en su envolvente, t́ıpicamente es considerada como progenitora de supernovas tipo Ibc y GRBs. La estructura inicial de la densidad de la estrella se muestra en la figura 3-1. 10 -15 10 -10 10 -5 1 10 5 10 10 10 8 10 9 10 10 10 11 10 12 10 13 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) Figura 3-1: Condiciones iniciales de las simulaciones: Distribución de densidad, como función del radio, de una estrella tipo Wolf-Rayet. Simulaciones originales corteśıa de Alexander Heger. El medio circundante a la estrella progenitora fue modelado con un viento de velocidad constante, de manera que la densidad del viento ρw está dada por ρw = Ṁ 4πvwr2 , (3-1) 34 donde Ṁ es la tasa de pérdida de masa, vw la velocidad con la que el viento es expulsado, y r la distancia al centro de la estrella. La velocidad del viento vw fue caracterizada por la llamada beta-law [Krtička y Kubát, 2011], que es la caracterización de la velocidad del viento más utilizada, y está dada por vw = v∞ ( 1− R∗ r )β , (3-2) donde R∗ es el radio de la estrella, v∞ la velocidad que tiene el viento al infinito o terminal (es decir, a una distancia lejana a la estrella, donde ya no está siendo acelerado), y β es un ı́ndice que regula qué tan rápido se alcanza la velocidad terminal, que vaŕıa entre 0.7 y 3 generalmente, pero cuyo valor no afecta apreciablemente el resultado de nuestras simulaciones. Se tomó un valor de la velocidad al infinito v∞ = 108 cms , y un valor de β = 3, que es lo que t́ıpicamente se asume alrededor de una estrella Wolf-Rayet. La mayoŕıa de las simulaciones de supernovas relativistas se realizaron inicialmente dentro de un dominio computacional entre 2.2 × 108cm y 7 × 1012 cm (salvo en los casos donde se indique lo contrario), con 100 celdas iniciales. Desde la región central de la estrella progenitora se inyectó un chorro de material con enerǵıa térmica y velocidad variables, y se dejó que la explosión evolucionara durante 25 s, con 18 niveles de refinamiento. En el caso de interés (cuando la explosión era suficientemente energética) estos 25 s iniciales fueron tiempo suficiente para que la enerǵıa inyectada en el centro de la estrella llegara al exterior de la estrella y comenzara su interacción con el medio circumestelar. El número de niveles de refinamiento elegido resultó en una resolución comparable a la de otros estudios numéricos (por ejemplo, López-Cámara et al. [2014]), lo que permitió resolver bien la estructura del choque. La figura 3-2 muestra la propagación de la explosión a través de la estrella. En este caso en particular, se inyectó una enerǵıa de 1053 erg, propagándose inicialmente con una velocidad de 0.6c en un viento formado por una tasa de pérdida de masa de Ṁ = 10−6M⊙ yr . Este caso tiene una enerǵıa dos órdenes de magnitud mayor a la enerǵıa t́ıpica de una supernova. En un caso más conservador, la propagación del choque es considerablemente más lenta. Se realizaron simulaciones de una supernova con enerǵıa t́ıpica de 1051 erg, pero éstas se realizaron con una duración de 150 s, para poder observar el momento en el que la explosión sale de la estrella. En la figura 3-3 se observa la expansión de una explosión con esta enerǵıa alrededor de un medio con viento de Ṁ = 10−6M⊙ yr y velocidad inicial de 0.4c. La explosión alcanza la orilla 35 10 -12 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 1 10 2 10 4 10 9 10 10 10 11 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) Condición inicial t = 0.75 s t = 1.50 s t = 2.25 s t = 3.00 s t = 3.75 s t = 4.50 s t = 5.25 s Figura 3-2: Densidad como función del radio, durante la propagación de la explosión en la estrella, con enerǵıa inyectada de 1053 erg y velocidad inicial de 0.6c, y medio circumestelar formado por un viento con Ṁ = 10−6M⊙ yr . 10 -12 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 1 10 2 10 4 10 9 10 10 10 11 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) Condición inicial t = 4.5 s t = 9.0 s t = 13.5 s t = 18.0 s t = 22.5 s t = 27.0 s t = 31.5 s Figura 3-3: Densidad como función del radio, durante la propagación de la explosión en la estrella, con enerǵıa inyectada de 1051 erg y velocidad inicial de 0.4c, y medio circumestelar formado por un viento con Ṁ = 10−6M⊙ yr . de la estrella después de aproximadamente 30 s. Como puede observarse en las figuras 3-2 y 3-3, la rápida expansión de la explosión a través 36 del fluido genera una discontinuidad o frente de choque, que se propaga a través de la estrella, y en el medio circumestelar. Al llegar al borde de la estrella, el choque se encuentra con un medio mucho menos denso, y con un gradiente de densidad más pronunciado, que baja más rápido que r−3, por lo que el choque se acelera [Tan et al., 2001], como puede verse en la figura 3-4. Después de acelerarse en esta transición entre la estrella y el viento, el choque comenzará a desacelerarse al interactuar con el medio circumestelar, cuya densidad va como r−2 (ecuación 3-1) 10-3 10-2 10-1 1 10 109 1010 1011 10-12 10-8 10-4 1 104 Γ β Radio (cm) D e n s id a d ( g c m -3 ) Figura 3-4: Aceleración del choque al salir de la estrella. Γβ mide la velocidad del choque, que claramente aumenta cuando éste alcanza el borde de la estrella, mostrado en rojo en la distribución inicial de densidad. Luego de ser acelerado por el gradiente de densidad, el choque continúa expandiéndose a través del medio, y aparentemente no es afectado por éste por un largo tiempo. De hecho, en principio, debeŕıa permanecer sin desacelerarse apreciablemente hasta que ha barrido una masa con enerǵıa de reposo comparable a su enerǵıa cinética ΓMejc 2, donde Mej es la masa expulsada. Para estudiar la etapa de evolución y desaceleración del choque después de los 25 segundos iniciales, se remapearon los resultados de las simulaciones a un dominio computacional de 1017 cm (salvo en los casos donde se diga lo contrario), con 2000 celdas iniciales, y se 37 dejó evolucionar la expansión del material por 3 × 107 s más; es decir, aproximadamente 1 año después de la explosión. En este régimen puede explorarse la desaceleración del choque a tiempos mayores, causada por su interacción con el medio circumestelar. En las figuras 3-5 y 3-6 se muestra la evolución de una supernova relativista en este régimen temporal; es decir, después de haber sido remapeada a un dominio más grande. En la simulación presentada en la figura 3-5 se inyectó una enerǵıa de E = 5 × 1052 erg, con una velocidad de v = 0.6c, y el viento alredor de la estrella está formado por una tasa de pérdida de masa de Ṁ = 10−5M⊙ yr . Cada curva representa la densidad como función del tiempo después de la explosión, y se encuentran separados logaŕıtmicamente en el tiempo. De aqúı puede verse que el remanente de supernova parece casi no haber desacelerado al interactuar con el viento de la estrella progenitora. 10 -22 10 -20 10 -18 10 -16 10 -14 10 -12 10 -10 10 -8 10 -6 10 10 10 11 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) t = 3 x 10 3 s t = 3 x 10 4 s t = 3 x 10 5 s t = 3 x 10 6 s Figura 3-5: Densidad como función del radio para una explosión con E = 5×1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y un viento con Ṁ = 10−5M⊙ yr . La simulación presentada en la figura 3-6 es un caso con una enerǵıa de E = 5×1052 erg, con una velocidad de v = 0.6c, y el viento alredor de la estrella está formado por una tasa de pérdida de masa de Ṁ = 10−6M⊙ yr ; es decir, únicamente cambia la densidad del medio circumestelar respecto a la presentada en la figura 3-5. 38 10 -24 10 -22 10 -20 10 -18 10 -16 10 -14 10 -12 10 -10 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) t = 3 x 10 3 s t = 6 x 10 4 s t = 1.5 x 10 5 s t = 3 x 10 5 s t = 6 x 10 5 s t = 1.5 x 10 6 s t = 3 x 10 6 s Figura 3-6: Densidad como función del radio para una explosión con E = 5×1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y un viento con Ṁ = 10−6M⊙ yr . A pesar de la aparente velocidad constante del choque, puede verse que el medio con menor densidad permite que el choque tenga una velocidad mayor. Esto se ilustra de manera más expĺıcita en la figura 3-7, donde se contrasta la evolución del parámetro Γβ como función del tiempo para tres casos, con enerǵıas y velocidades iguales, pero diferente densidad en el medio circumestelar. Puede verse que todos desaceleran siguiendo aproximadamente una ley de potencias con la misma pendiente, pero la velocidad inicial del choque (y por lo tanto la enerǵıa que arrastra el choque) es mayor, cuanto menos denso sea el medio circumestelar. Puede verse además que siguen siendo levemente relativistas incluso después de casi un año de la explosión de la supernova. Las simulaciones son menos sensibles a la velocidad inicial del material expulsado, como se ilustra en la figura 3-8. Aqúı, se presentan los resultados de cuatro simulaciones, todas con la misma enerǵıa de E = 5 × 1052 erg, y la misma densidad exterior, modelada por la tasa de pérdida de masa en el viento, de Ṁ = 10−4M⊙ yr , pero con velocidades iniciales del material inyectado de v = 0.7c, v = 0.6c, v = 0.5c y v = 0.4c. Como era de esperarse, las simulaciones con velocidad inicial mayor preservan una mayor velocidad mucho después de la explosión, aunque 39 1 10 10 4 10 5 10 6 Tiempo transcurrido (s) Γ β M=10 -4M O/yr M=10 -5M O/yr M=10 -6M O/yr Figura 3-7: Desaceleración del frente de choque como función del tiempo, ilustrada por Γβ vs t para tres supernovas con enerǵıa E = 5 × 1052 erg, velocidad inicial v = 0.4c, y vientos con Ṁ = 10−6M⊙ yr , Ṁ = 10−5M⊙ yr y Ṁ = 10−4M⊙ yr respectivamente. el comportamiento de Γβ parece estar dado por una ley de potencias, y los cuatro casos tienen aproximadamente la misma pendiente. La enerǵıa inicial de las simulaciones también tiene un efecto muy notable en su evolución. En la figura 3-9 se presentan dos simulaciones con velocidad inicial v = 0.6c y con un viento con tasa de pérdida de masa Ṁ = 10−5M⊙ yr , pero con enerǵıas iniciales de E = 5 × 1052 erg y E = 5 × 1051 erg respectivamente. Puede verse que la velocidad cambia mucho más en este caso, siendo mucho mayor la velocidad del caso más energético, tal y como se esperaba. A pesar de ello, la pendiente de la evolución de Γβ permanece constante para todos los casos. Es interesante observar, además, que en el caso de menor enerǵıa, que no es muy diferente a la enerǵıa que t́ıpicamente se infiere para supernovas “normales”, el remanente sigue siendo levemente relativista incluso a tiempos del orden de 106 s después de la explosión. A una escala del orden de 1017 cm se espera que la región formada por el viento de la estrella Wolf-Rayet se encuentre con la región del medio interestelar, con densidad t́ıpica de 1 cm−3, y que haya una discontinuidad de choque entre estas dos regiones. La interacción entre el remanente de supernova y esta interfaz no se toma en cuenta en este caso, pero puede tener un impacto bastante significativo en la morfoloǵıa del remanente [González-Casanova et al., 40 1 10 10 3 10 4 10 5 10 6 Tiempo transcurrido (s) Γ β v=0.6c v=0.7c v=0.5c v=0.4c Figura 3-8: Desaceleración del frente de choque como función del tiempo, ilustrada por Γβ vs t, después del remapeo, para cuatro supernovas con enerǵıa E = 5×1052 erg, velocidades iniciales de v = 0.7c, v = 0.6c, v = 0.5c y v = 0.4c, y vientos con Ṁ = 10−4M⊙ yr respectivamente. 1 10 10 3 10 4 10 5 10 6 Tiempo transcurrido (s) Γ β E=5x10 52 erg E=5x1051 erg Figura 3-9: Desaceleración del frente de choque como función del tiempo, ilustrada por Γβ vs t, después del remapeo, para dos supernovas con enerǵıa E = 5× 1052 erg y E = 5× 1051 erg, velocidad inicial de v = 0.6c, y vientos con Ṁ = 10−5M⊙ yr . 41 10 -24 10 -23 10 -22 10 -21 10 -20 10 -19 10 -18 10 -17 10 16 D e n s id a d ( g c m -3 ) Distancia al centro (cm) 10 -24 10 -23 10 -22 10 -21 10 -20 10 -19 10 -18 10 -17 10 16 D e n s id a d ( g c m -3 ) Distancia al centro (cm) 10 -23 10 -22 10 -21 10 -20 10 -19 10 -18 10 -17 10 16 10 17 D e n s id a d ( g c m -3 ) Distancia al centro (cm) 10 -19 10 -18 10 -17 10 -16 10 -15 10 -14 10 -13 10 14 10 15 D e n s id a d ( g c m -3 ) Distancia al centro (cm) M=10-4 MO/yr M=10-6 MO/yr M=10-4 MO/yr M=10-4 MO/yr M=10-4 MO/yr M=10-6 MO/yr M=10-6 MO/yr M=10-6 MO/yr t=3x104 s t=3x105 s t=7.5x105 s t=1.5x106 s Figura 3-10: Efecto de la densidad del medio circumestelar en la expansión. Densidad como función del radio para una explosión con E = 1052 erg, velocidad inicial v = 0.5c, y vientos con Ṁ = 10−4M⊙ yr y Ṁ = 10−6M⊙ yr . 2014]. Es por esto que las simulaciones hidrodinámicas se detuvieron antes de alcanzar esta distancia. Finalmente, en la figura 3-10 se presenta el efecto de la densidad del medio circumestelar en la posición del choque, contrastando un caso con E = 1052 erg, velocidad inicial v = 0.5c. La tasa de pérdida de masa de cada caso es de Ṁ = 10−4M⊙ yr y Ṁ = 10−6M⊙ yr , contrastando la posición del choque después de tiempos iguales. Es interesante observar de esta figura la morfoloǵıa del choque: pueden verse el choque de proa y el choque de reversa, que se encuentran bien resueltos por el código. Según el modelo de la sección 1.4, la evolución esperada del choque está dada en la ecua- ción 1-14. En este caso se esperaŕıa que la evolución de la velocidad del choque tuviera un 42 10 −15 10 −10 10 −5 1 10 5 10 10 10 11 D e n s id a d ( g c m − 3 ) Radio (cm) Condición inicial t = 22 s fit con n=69.8272 t = 22.5 s fit con n=34.4838 t = 22.5 s fit con n=20.9249 t = 25 s fit con n=17.1745 t = 33.1 s fit con n=12.1576 Figura 3-11: Evolución de la pendiente n del material expulsado, como función del tiempo, justo después de salir de la estrella, para una supernova con E = 1051 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−7M⊙ yr . comportamiento dado por v ∝ t− 1 n−2 , (3-3) ya que r ∝ t n−3 n−2 , pero este comportamiento no se observa en el régimen levemente relativista. Se hizo un análisis del comportamiento de la pendiente n de la parte externa de la explosión para dos casos: uno con la enerǵıa t́ıpica inyectada en una supernova, y uno de mayor enerǵıa. El caso de baja enerǵıa se presenta en las figuras 3-11 y 3-12. Como puede verse en la figura 3-11, el valor de n vaŕıa mucho mientras la supernova comienza a interactuar con el medio circumestelar, yendo de alrededor de 70 a 12 en un lapso del orden de 10s, pero después de algunas horas, como se ilustra en la figura 3-12, se estabiliza en un valor de alrededor de 9.1. En la figura 3-13 se presenta la evolución del factor Γβ como función del tiempo. Γβ ≈ β para valores pequeños de β, aśı que debeŕıa satisfacerse que, como Γβ es una ley de potencias en el tiempo, debeŕıa poder calcularse el valor de n a través de la ecuación 3-3. Se presenta además 43 10 −25 10 −20 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 10 5 10 10 10 11 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 D e n s id a d ( g c m − 3 ) Radio (cm) t = 43.8 s fit con n=10.7702 t = 101.5 s fit con n=10.1392 t = 204.6 s fit con n=9.9751 t = 1673.2 s fit con n=9.5832 t = 27586.6 s fit con n=9.4151 t = 1845765.8 s fit con n=9.0113 Figura 3-12: Evolución de la pendiente n del material expulsado, como función del tiempo, durante la etapa de desaceleración, para una supernova con E = 1051 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−7M⊙ yr . 44 0.1 1 10 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 Tiempo (s) fit con pendiente de 0.1473 Figura 3-13: Γβ como función del tiempo para una supernova con E = 1051 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−7M⊙ yr . el ajuste de Γβ como función del tiempo para este caso en particular. Como Γβ ∝ t−0.1473, entonces n = 8.7889, que es del orden del valor encontrado de ∽ 9.1. Incluso, el valor de la pendiente de la densidad podŕıa seguir bajando a tiempos mucho mayores, estableciéndose en el valor encontrado para la desaceleración en el régimen Newtoniano. Para ilustrar el caso más relativista se eligió presentar un modelo con E = 5 × 1052 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−7M⊙ yr . En la figura 3-14 se presenta el instante en el que el choque sale de la estrella. Puede verse que es imposible ajustar una ley de potencias a esta región, ya que la densidad cae demasiado rápido detrás del choque. Incluso durante la etapa de desaceleración, bastante tiempo después de la explosión, como se ilustra en la figura 3-15, el perfil de densidad del material expulsado por la explosión no es una ley de potencias a lo largo de una distancia suficientemente grande como para hacer una medida del valor de n. Si se toman únicamente los valores de la pendiente muy cercanos al choque, a lo largo de una región muy pequeña, se encuentra que n es del orden de 550. Podŕıa argumentarse que se trata de dos leyes de potencias cortadas en algún punto cercano 45 C!l.. L 1~ . r~ -- l - 0.1 ~~L- __ ~ __ ~ __ ~~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~ ____ ~ __ ~ __ ~ ____ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 10 -10 10 -5 1 10 5 10 9 10 10 10 11 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) t = 0 s t = 2.5 s t = 2.75 s Figura 3-14: Instante en el que el choque sale de la estrella, para una supernova con E = 5× 1052 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−6M⊙ yr . al choque, pero ni siquiera aśı puede ajustarse algún único valor para este parámetro. A pesar de ello se observa el mismo efecto que en el caso de baja enerǵıa: el perfil de densidad se hace menos inclinado al transcurrir el tiempo. Sin embargo, puede calcularse el valor esperado de n a partir de la desaceleración del choque, como en el caso anterior. En la figura 3-16 se presenta la evolución del factor Γβ como función del tiempo, y el ajuste de una ley de potencias a Γβ como función del tiempo para este caso. Como Γβ ∝ t−0.2205, entonces n = 6.5351. Nótese que el efecto obtenido es contrario al esperado considerando que la pendiente n aumenta dependiendo de la enerǵıa inyectada a la estrella. Puede verse que el modelo descrito en la sección 1.4 falla en este régimen de enerǵıas, puesto que el valor de la pendiente de la densidad aumenta muy fuertemente al aumentar la enerǵıa del choque, pero necesariamente estas explosiones desaceleran más rápido, por lo que el valor de n medido a través de la desaceleración debe disminuir. Todas las mediciones de ajustes de leyes de potencias se hicieron mediante un ajuste de mı́nimos cuadrados al logaritmo de las variables. Los puntos de la simulación utilizados en 46 10 -25 10 -20 10 -15 10 -10 10 -5 10 0 10 5 10 10 10 11 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 D e n s id a d ( g c m -3 ) Radio (cm) t = 43.8 s t = 101.5 s t = 204.6 s t = 1673.2 s t = 27586.6 s t = 1845765.8 s Figura 3-15: Evolución de la densidad, como función del tiempo, durante la etapa de desacele- ración, para una supernova con E = 5 × 1052 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−6M⊙ yr 47 1 10 1 10 2 10 4 10 5 10 6 Tiempo (s) fit con pendiente de 0.2205 Figura 3-16: Γβ como función del tiempo para una supernova con E = 1051 erg, velocidad inicial de v = 0.8c, y vientos con Ṁ = 10−7M⊙ yr . 48 cada ajuste se eligieron de modo que éstos representaran bien la región donde exist́ıa la ley de potencias, y se maximizara el parámetro R2 del ajuste. 3.2. Simulaciones de la emisión de sincrotrón Las simulaciones de emisión de sincrotrón se realizaron procesando los resultados de las simulaciones hidrodinámicas descritas en la sección anterior. El tiempo de las simulaciones hidrodinámicas se escogió para poder simular estos eventos al tiempo en el que son observados por observatorios como VLA, y las frecuencias elegidas también se encuentran en el rango de frecuencias que VLA observa. Considerando que se tomó la supernova SN2009bb como caso de estudio para esta tesis, todos los espectros están simulados para una fuente que se encuentra a una distancia de 40 Mpc [Soderberg et al., 2010]. Como puede verse de las ecuaciones 2-11, 2-12 y 2-17, existen 4 parámetros libres en las ecuaciones utilizadas para estas simulaciones; a saber, ξN , ǫe, η y p. Para casi todas las simu- laciones se tomó p = 3, siendo que este es el valor que se observó en la supernova SN2009bb, aunque algunas excepciones tienen un valor de p = 2.25, para ilustrar el efecto del cambio de este parámetro. Todos los demás parámetros se eligieron de manera idéntica para todas las simulaciones: η = 10−5, ǫe = 10−2 y ξN = 10−2. Estos valores se eligieron siendo que son los que comúnmente se obtienen en modelos de supernovas y GRBs, aunque su valor es bastante debatido. Además, de acuerdo con el método descrito en la sección 2.2, se dividió el dominio compu- tacional en 300 celdas en la dirección x, y se tomaron 100 frecuencias espaciadas logaritmica- mente para cada muestra, entre 0.1 y 106 GHz. La figura 3-17 muestra la emisión calculada para una supernova con enerǵıa inyectada de E = 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y vientos con Ṁ = 10−5M⊙ yr , después de aproximada- mente 10, 20, 52 y 81 d́ıas. Como se esperaba, de acuerdo con la sección 1.5, tanto la enerǵıa total recibida, como la frecuencia máxima decrecen como función del tiempo. Es interesante notar también que, utilizando estos parámetros, el flujo recibido es bastante bajo, menor a 1 mJy, incluso diez d́ıas después de la explosión. Esto indica que la emisión en 49 0.01 0.1 1 10 8 10 9 10 10 F lu jo ( m J y ) Frecuencia (Hz) 10 días 20 días 81 días 52 días Figura 3-17: Flujo de una supernova como función de la frecuencia, para diferentes tiempos, para una supernova con E = 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y vientos con Ṁ = 10−5M⊙ yr radio de una supernova de este tipo seŕıa dificil de detectar a esa distancia, incluso siendo una supernova relativista que alcanza valores de Γβ de hasta 5 en los primeros segundos después de la explosión, y tiene una β ≈ 0.6 después de los diez d́ıas de interacción con el medio circumestelar. La figura 3-18 muestra el efecto de densidad del medio circumestelar en la emisión de sincrotrón, al variar la tasa de pérdida de masa en las simulaciones. Se muestra la misma supernova que en el caso de la figura 3-17, contrastada con una simulación con la misma enerǵıa y velocidad inicial, pero un viento menos denso, con Ṁ = 10−6M⊙ yr . La frecuencia máxima se desplaza considerablemente, y el flujo recibido también es mucho menor. La frecuencia máxima de en el caso con Ṁ = 10−6M⊙ yr sale del rango de frecuencias de la simulación antes de los 81 d́ıas que se presentan en dicha figura. Para contrastar con esto, se presenta un caso más extremo en la figura 3-19. Se presenta el resultado de una simulación con E = 5 × 1052 erg, velocidad inicial v = 0.7c, y vientos con Ṁ = 10−4M⊙ yr . El flujo de esta supernova sobrepasa varias veces al flujo máximo observado para supernovas (incluso relativistas), por lo que este caso queda descartado, o al menos no ha sido 50 0.01 0.1 1 10 8 10 9 10 10 F lu jo ( m J y ) Frecuencia (Hz) 10 días 20 días 52 días 81 días 10 días 20 días 52 días81 días Figura 3-18: Comparación entre los flujos como función de la frecuencia, para supernovas con E = 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y vientos con Ṁ = 10−5M⊙ yr (ĺıneas sólidas) y Ṁ = 10−6M⊙ yr (ĺıneas punteadas) observado. Aqúı no se presenta la emisión después de más tiempo, ya que el choque sale del dominio computacional después de este tiempo. En seguida se presenta el efecto de la velocidad inicial en la emisión, en la figura 3-20. Puede verse que el flujo aumenta considerablemente, y la frecuencia máxima se desplaza a frecuencias más altas al aumentar la velocidad inicial del material de la explosión. Cabe mencionar que, como se está utilizando un modelo más complicado para estudiar la radiación de sincrotrón, descrito en la sección 2.2, donde se considera el enfriamiento de los electrones [van Eerten et al., 2012; Granot et al., 1999; Sari et al., 1998], el espectro en general puede ser más complicado que el descrito en la sección 1.5. La forma del espectro depende del valor de la frecuencia caracteŕıstica de sincrotrón νm, la frecuencia de enfriamiento de los electrones νc y la frecuencia a la cual comienza el proceso de autoabsorción νa. El flujo emitido por la fuente en la parte ópticamente gruesa es de la forma Fν,thick ∝ jν αν . En la parte ópticamente delgada, se tiene que Fν,thick ∝ jν . Analizando los resultados de las simulaciones, se encuentra que en la parte ópticamente delgada, el espectro va como Fν ∝ ν 1−p 2 , 51 0.1 1 10 100 10 9 10 10 10 11 F lu jo ( m J y ) Frecuencia (Hz) 10 días 20 días 51 días Figura 3-19: Flujo de una supernova como función de la frecuencia, para diferentes tiempos, para una supernova con E = 5×1052 erg, velocidad inicial v = 0.7c, y vientos con Ṁ = 10−4M⊙ yr . 0.01 0.1 1 10 8 10 9 10 10 F lu jo ( m J y ) Frecuencia (Hz) v=0.6c v=0.7c v=0.8c Figura 3-20: Comparación entre los flujos como función de la frecuencia, para supernovas con E = 1052 erg, vientos con Ṁ = 10−5M⊙ yr y velocidades v = 0.6c (ĺıneas sólidas), v = 0.7c (ĺıneas con cruces) y v = 0.8c (ĺıneas con puntos), después de aproximadamente 20 d́ıas. 52 igual que en el modelo descrito en la sección 1.5. A partir de esto se infiere que νm < νc, que era el régimen esperado. Sin embargo, en la parte ópticamente gruesa se tiene que Fν ∝ ν 5 2 en un rango muy pequeño de frecuencias, para algunos casos, y que en la mayor parte Fν ∝ ν2. El caso en el que Fν ∝ ν 5 2 , que se obtiene en el modelo de la sección 1.5, corresponde a cuando νa > νm. Para frecuencias menores a νm, en este caso, Fν ∝ ν2. De lo anterior se puede inferir que, en este caso, νa & νm. Finalmente, se presenta el comportamiento de la luminosidad máxima Lp como función de la variable ∆t νp (como se presenta en la figura 1-6). De acuerdo con el modelo de la sección 1.5 (espećıficamente en la ecuación 1-38), la velocidad de expansión de una supernova está dada por Γβc ∝ ( ∆t 10 dı́as )−1( Lν,p 1028erg s−1 Hz ) 9 19 ( νp 5 GHz )−1 cm s−1, (3-4) por lo que la evolución de Lp como función de ∆t νp debeŕıa reflejar la evolución de la velocidad del frente de choque de la supernova. En la figura 3-21 se presenta la evolución de la luminosidad como función de esta variable, desde un d́ıa después de la explosión, hasta 30 d́ıas después. Puede verse que la luminosidad aumenta considerablemente como función de la enerǵıa, pero también depende muy fuertemente de la densidad del medio ambiente: un medio ambiente denso producirá una luminosidad mucho mayor que un medio ambiente tenue. Esta variable es efectiva para distinguir supernovas dependiendo de su enerǵıa (y por lo tanto la velocidad), pero no es posible determinar su velocidad exactamente por medio de esta medición. Además, puede verse que varias de estas supernovas se interlapan en el diagrama, por lo que no es posible discernir una de otra con una sola observación. Esto es debido a que las supernovas modeladas presentan un complicado comportanmiento en este diagrama, y éste no está correlacionado con el parámetro Γβ, como se concluye a partir del modelo utilizado por Soderberg et al. [2010]. 3.3. Interpretación de las observaciones de SN2009bb Finalmente, se buscó alguna simulacion que reprodujera las observaciones de la supernova SN2009bb, y mediante ésta determinar su comportamiento dinámico. Esta supernova es la 53 10 25 10 26 10 27 10 28 10 29 10 30 10 0 10 1 10 2 L u m in o s id a d d e r a d io m á x im a ( e rg s − 1 H z − 1 ) (Dt/días)(np/5GHz) E=10 51 erg, v=0.8c, M=10 −5 M/yr E=10 52 erg, v=0.4c, M=10 −4 M/yr E=10 52 erg, v=0.5c, M=10 −5 M/yr E=10 52 erg, v=0.5c, M=10 −6 M/yr E=10 52 erg, v=0.5c, M=10 −4 M/yr E=5x10 52 erg, v=0.4c, M=10 −4 M/yr E=5x10 52 erg, v=0.4c, M=10 −5 M/yr E=7x10 52 erg, v=0.4c, M=10 −4 M/yr E=8x10 52 erg, v=0.4c, M=10 −4 M/yr E=10 53 erg, v=0.5c, M=10 −4 M/yr E=10 53 erg, v=0.6c, M=10 −6 M/yr Figura 3-21: Diagrama de la luminosidad como función del parámetro (∆t)(νp), para varios modelos. primera supernova relativista observada [Soderberg et al., 2010], y se determinó su naturaleza debido a su alta luminosidad en radio. La emisión transiente en longitudes de onda en el rango óptico de esta supernova fue detectada por el programa CHASE, y se determinó que su detonación fue en marzo 19±1 2009 UT. Subsecuentemente fue observada por los observatorios VLA y GMRT por un periodo de alrededor de 1 año. Soderberg et al. [2010] intentaron encontrar también emisión en las bandas de alta enerǵıa, pero no se encontró ninguna contraparte en las bandas de rayos X y rayos gamma, como se esperaŕıa del remanente de un GRB. Esto deja la posibilidad de que esta supernova esté dentro de una población intermedia entre supernovas “normales” y GRBs, o que el GRB generado durante la explosión simplemente no haya sido detectado. La cantidad de enerǵıa liberada durante la explosión es indicadora de que esta supernova de población intermedia debió moverse a velocidades relativistas, y debió haber sido generada por la repentina deposición de enerǵıa de un motor central, como un hoyo negro central o una estrella de neutrones. Encontron a través del flujo total de radio obtenido que la enerǵıa de la supernova deb́ıa 54 ser ESN ∼ 1053 erg, y estudiando la región cercana a la supernova, se encontró que, si el medio circumestelar hab́ıa sido formado por el viento de la estrella progenitora, ésta debió haber tenido una tasa de pérdida de masa Ṁ = (2.0± 0.2)× 10−6M⊙ yr . En las figuras 3-22 a 3-25 se muestran 4 simulaciones que, aunque no reproducen exactamente los espectros observados, son las más cercanas de entre una población de alrededor de 100 modelos distintos (sólo se muestran los primeros dos o tres espectros ya que después de ese tiempo las simulaciones se salen del dominio computacional). 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 (m J y ) (GHz) t=10 das Frecuencia F lu jo t=52 das t=81 das t=143 dasí í í í Figura 3-22: Emisión de un modelo con enerǵıa de E = 5× 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y un viento de Ṁ = 10−5M⊙ yr , comparado con las observaciones de la supernova SN2009bb. Las conclusiones que se pueden hacer a partir de esto son robustas, pero nos permiten constriñir los valores de la enerǵıa y la densidad del medio circumestelar de manera aproximada, y de este modo caracterizar mejor a la supernova 2009bb. Puede verse que todas se aproximan un poco a los resultados, aunque en todas la emisión decae mucho más rápido entre los primeros 10 d́ıas y después de 52. Esto puede deberse a que la fecha de explosión estimada es posterior a la fecha real, o que debe tomarse en cuenta el tiempo entre la explosión y el momento en el que la supernova se vuelve ópticamente delgada en óptico. A pesar de esto, puede constreñirse la enerǵıa entre 5×1052 erg y 1053 erg. Además, todos los 55 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 ( m J y ) (GHz) t=10 d as Frecuencia F lu jo í í í í t=52 d as t=81 d as t=143 d as Figura 3-23: Emisión de un modelo con enerǵıa de E = 1053 erg, velocidad inicial v = 0.7c, y un viento de Ṁ = 10−4M⊙ yr , comparado con las observaciones de la supernova SN2009bb. 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 ( m J y ) (GHz) t=10 d as F lu jo Frecuencia í í í í t=52 d as t=81 d as t=143 d as Figura 3-24: Emisión de un modelo con enerǵıa de E = 8× 1052 erg, velocidad inicial v = 0.4c, y un viento de Ṁ = 10−4M⊙ yr , comparado con las observaciones de la supernova SN2009bb. candidatos tienen un medio circumestelar mucho más denso al que se infirió para esta supernova: el valor inferido para la tasa de pérdida de masa fue de alrededor de 2× 10−6M⊙ yr , mientras que 56 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 (m J y ) (GHz) t=10 d as t=52 d as t=81 d as t=143 d as í í í í Figura 3-25: Emisión de un modelo con enerǵıa de E = 7× 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y un viento de Ṁ = 10−4M⊙ yr , comparado con las observaciones de la supernova SN2009bb. de las simulaciones se concluye que el valor es de alrededor de 10−4M⊙ yr . Como se ilustra en la figura 3-26, una supernova con las mismas enerǵıas térmica y cinética inyectadas produce un flujo mucho menor. Se encontró una diferencia importante entre los resultados numéricos y los resultados ob- tenidos con modelos anaĺıticos para la enerǵıa y densidad del medio ambiente de la supernova SN 2009bb. Esta discrepancia se debe a la limitada aplicabilidad de los modelos anaĺıticos de supernovas clásicas en el caso de supernovas relativistas. A pesar de que se logra reproducir aproximadamente la emisión de la supernova estudiada, es poco realista tener una enerǵıa in- yectada en una supernova del orden de 1053 erg. Sin embargo, el trabajo realizado prepara el terreno para un estudio más exhaustivo de supernovas relativistas, y resalta su importancia. 57 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 ( m J y ) (GHz) t=10 d as t=52 d as t=81 d as t=143 d así í í í Figura 3-26: Emisión de un modelo con enerǵıa de E = 5× 1052 erg, velocidad inicial v = 0.6c, y un viento de Ṁ = 10−5M⊙ yr , comparado con las observaciones de la supernova SN2009bb. 58 _. . -- - --- - .....•........ ::::0;._.::............... - -.. ' .... . ... .... .... .... . ...• .... ..... .... . .............. ..........•..• . .......... . . .••.••.••.••.••.••. . ................. . .... .. .. ........ .. .. ' . ........ ' . ........ ' . .............. Caṕıtulo 4 Conclusiones Las supernovas relativistas forman una población intermedia entre supernovas “normales” (con velocidades de expansión de alrededor de 0.1c) y destellos de rayos gamma. Son notables por su alta emisión en radio, más parecida a la de un GRB que a la de una supernova. Asumiendo que se trata de explosiones esféricas, se encuentra que sus propiedades no pueden ser explicadas por un modelo anaĺıtico sencillo, y su estudio está restringido al campo de las simulaciones numéricas. Sin embargo, se encontró que la emisión de sincrotrón en longitudes de onda de radio es un buen parámetro para distinguir supernovas relativistas de supernovas “normales”, aunque que es dif́ıcil sacar conclusiones sólidas aplicando los modelos anaĺıticos a las observaciones de esta radiación. La primera supernova detectada con estas caracteŕısticas fue la supernova SN2009bb, pe- ro sus caracteŕısticas no pueden ser completamente explicadas por ningún modelo dinámico existente, ni por el modelo de radiación utilizado para estudiarla. Las simulaciones aqúı presentadas logran reproducir algunas de las caracteŕısticas de esta supernova, pero es dif́ıcil creer que esta supernova fue realmente causada por una progenitora esférica, en la que se inyectaron 1053erg de enerǵıa. Sin embargo, esta emisión podŕıa haber sido causada por una explosión asimétrica, alimentada por un motor central, en donde se hubiese depositado suficiente enerǵıa en el material emitiendo dentro de nuestra ĺınea de visión como para producir la radiación observada. Además, cabe mencionar que las simulaciones de la emisión de sincrotrón realizadas en esta tesis sólo fueron estudiadas con un juego de parámetros microf́ısicos η, ǫe y ξN . La luminosidad 59 y la forma de las curvas de luz de estas supernovas dependen fuertemente de estos parámetros, por lo que las conclusiones hechas para la supernova SN2009bb podŕıan estar sujetas a cambios, dependiendo de los valores que se asuman de esos parámetros. Esto sólo sirve para resaltar la necesidad de continuar explorando diferentes escenarios por medio de simulaciones numéricas, para poder explicar la fenomenoloǵıa de eventos transitorios cuya enerǵıa provenga de un motor central. Entender bien estos eventos es de suma importancia, ya que podŕıa darnos mayor infor- mación acerca de los mecanismos que generan supernovas, GRBs, sus diferencias, y podŕıa ayudarnos a detectar GRBs que hayan sido emitidos fuera de nuestra ĺınea de visión. Además, es necesario entender mejor la relación entre GRBs y supernovas, para lo cual es necesario saber qué supernovas pueden albergar GRBs, y cuales no. Es probable que el caso de SN2009bb se trate de un GRB fallido, pero esto no se puede determinar hasta que se cuente con simulaciones numéricas adecuadas para ese caso. Es necesario realizar un estudio más profundo de supernovas relativistas, haciendo simulacio- nes en dos dimensiones de explosiones que no tengan simetŕıa esférica, y hacer una exploración del efecto de los parámetros η, ǫe y ξN en el espectro, además de mejorar la implementación de efectos relativistas en el código de radiación. 60 Apéndice A Coeficientes de emisión y absorción para radiación de sincrotrón Para encontrar los coeficientes de emisión y absorción para radiación de sincrotrón [Rybicki y Lightman, 2004; Pacholczyk, 1970] se considera un electrón con velocidad v en presencia de un campo magnético B. Este electrón girará alrededor de las ĺıneas de campo, y emitirá radiación a causa de esta aceleración. Una part́ıcula no relativista acelerada por un campo magnético emitirá radiación con frecuencia que corresponde a la frecuencia de giro alrededor del campo, pero para electrones relativistas, la frecuencia de emisión puede llegar a ser varias veces mayor que la frecuencia de giro de la part́ıcula. Las ecuaciones de movimiento del electrón están dadas por las ecuaciones siguientes: d dt (γmv) = q c v×B (A-1) d dt (γmc2) = 0. (A-2) Se concluye a partir de la ecuación A-2 que el factor de Lorentz del electrón γ es una constan- te, por lo que también lo será |v|. Al separar la velocidad en sus componentes perpendiculares y paralelos a las ĺıneas de campo magnético, v⊥ y v‖ respectivamente, se obtiene que 61 dv⊥ dt = q γmc v⊥ ×B, dv‖ dt = 0. (A-3) De lo anterior se obtiene que |v‖| es constante. Luego, como |v| y |v‖| son ambas constantes, se sigue |v⊥| debe ser constante también. Se sigue que la part́ıcula se moverá alrededor de una hélice con velocidad constante a lo largo de la dirección del campo magnético, y velocidad de rotación uniforme en el plano perpendicular a éste, con frecuencia de giro dada por ωB = qB γmc . (A-4) La pérdida total de enerǵıa, ya que se conoce la dinámica de la part́ıcula, estará dada por la formula relativista de Larmor Pe = 2q2 3c3 γ4[γ2a2‖ + a2⊥], (A-5) donde a‖ es la aceleración paralela a la dirección de movimiento de la part́ıcula, y a⊥ la ace- leración en la dirección perpendicular. Claramente, a‖ = 0, pero la aceleración en dirección perpendicular estará dada por el movimiento circular uniforme; es decir, a⊥ = ωBv⊥. Sustitu- yendo en la ecuación A-5, se obtiene que Pe = 2q2 3c3 γ4 q2B2 γ2m2c2 v2⊥, (A-6) o más sencillamente, Pe = 2 3 r2ecβ 2 ⊥γ 2B2, (A-7) donde re = e2 mc2 es el radio clásico del electrón y β⊥ es la componente perpendicular de la velocidad, en unidades de la velocidad de la luz. Si se cuenta con una distribución isotrópica de velocidades, se puede estimar la potencia total al promediar β2 ⊥ para una distribución isotrópica de ángulos de ataque α respecto a la dirección del campo magnético, quedando 〈β2 ⊥〉 = β 4π ∫ sin2 αdΩ = 2β2 3 . (A-8) 62 Figura A-1: Conos de emisión observables de un electrón De lo anterior se concluye que la potencia emitida es Pe = 4 3 σT cβ 2γ2UB (A-9) donde σT = 8π 3 r2e es la sección de dispersión de Thomson y UB = B2 8π es la densidad de enerǵıa magnética. La ecuación A-9 indica la potencia total emitida por un electrón por acción del campo magnético, pero para calcular el espectro de una fuente extendida, es necesario calcular la distribución espectral de una distribución de electrones, y a partir de ésta calcular los coeficientes de absorción y de emisión totales. Sin embargo, se pueden conocer varias generalidades de la emisión sin nececidad de hacer el cálculo a detalle. Como los electrones viajan a velocidades cercanas a la de la luz, la mayor parte de la radiación se emitirá dentro de un cono de apertura ∼ 1 γ , por lo que un observador recibirá pulsos de radiación en intervalos de tiempo del orden de ( ωB 2π )−1 . La duración aproximada de este pulso será el tiempo en el que este cono se encuentre dentro de la ĺınea de visión del observador, y representa un tiempo caracteŕıstico del sistema, que corresponde a la frecuencia caracteŕıstica de emisión. El esquema de la emisión se presenta en la figura A-1. Un electrón viajando alrededor de esta órbita satisface que γm ∆v ∆t = q c v×B (A-10) 63 y como |∆v| = v∆θ y ∆s = v∆t, queda ∆θ ∆s = qB sinα γmcv . (A-11) De la figura A-1 es claro que el ángulo que subtiende el electrón emitiendo dentro del campo de visión del observador es ∆θ = 2 γ , y la distancia recorrida es ∆s = 2a γ , por lo que a = v ωB sin θ , de donde finalmente se obtiene ∆s ≈ 2v γωB sinα . (A-12) Luego, como ∆s = v∆t, entonces ∆t = 2 γωB sinα . (A-13) El tiempo de llegada de la radiación al punto de observación será diferente para la radiación emitida en los puntos 1 y 2, de modo que la diferencia entre ∆t y ∆tA diferirán por un factor de ∆s c , obteniendo finalmente ∆tA = 2 γωB sinα ( 1− v c ) , (A-14) y como ( 1− v c ) ≈ 1 2γ2 , entonces la frecuencia caracteŕıstica será νS = ωc 2π = 1 2π∆tA = 1 2π γ3ωB sinα. (A-15) Un análisis detallado revela que, en realidad, la frecuencia caracteŕıstica es νc = 3 4π γ3ωB sinα, (A-16) y el espectro de emisión de un electrón es Pe(ν) = √ 3e3B sinα mc2 F ( ν νc ) , (A-17) 64 donde F ( ν νc ) = ( ν νc ) ∫ ∞ ν νc K 5 3 (ξ)dξ, (A-18) y K 5 3 (ξ) es la función modificada de Bessel del segundo tipo, de orden 5 3 . En sistemas como supernovas y GRBs se esperan distribuciones de electrones relativistas acelerados por procesos de Fermi, con un perfil dado por N(E)dE = N0E −pdE, (A-19) donde N0 es una constante, y p se conoce como ı́ndice espectral, y es también una constante, aunque se ha observado que vaŕıa entre diferentes eventos. Para una distribución como la dada por la ecuación A-19, la enerǵıa irradiada será Ptot = ∫ Pe(E)N(E)dE. (A-20) La distribución de electrones sigue un perfil térmico a bajas enerǵıas y decae a altas enerǵıas, de modo que la ecuación A-20 debe ser integrada únicamente alrededor de cierto rango de enerǵıas entre Emin y Emax. Estos ĺımites de integración se aproximan usualmente como de 0 a ∞, de modo que Ptot = √ 3e3 4πmc2 B sinα ∫ ∞ 0 N(E)F ( ν νc ) dE. (A-21) Sustituyendo el valor de ωB de la ecuación A-4 en la ecuación A-16, y utilizando que E = γmc2, resulta que νc = 3eB sinα 4πmc γ2 = 3eB sinα 4πm3c5 E2. (A-22) Sustituyendo las ecuaciones A-19, A-18 y A-22 en la ecuación A-21, y haciendo la integral mediante relaciones conocidas de las funciones de Bessel, se llega a que Ptot = √ 3e3N0B sinα mc2(p+ 1) Γ ( p 4 + 19 12 ) Γ ( p 4 − 1 12 )( 2πmcν 3eB sinα )− p−1 2 (A-23) Finalmente, asumiendo que la radiación se emite isotrópicamente, el coeficiente de absorción 65 será jν = Ptot(ν) 4π . (A-24) Además del proceso de emisión, se presenta un proceso de absorción en donde un electrón interactúa con un fotón dentro del campo magnético, causando que éste sea absorbido, y el electrón pase de un estado con enerǵıa E1 a un estado con enerǵıa E2. Esta absorción está tam- bién acompañada de un proceso de emisión estimulada, en el cual la probabilidad de emisión de fotones aumente en direcciones y frecuencias en las que ya haya fotones presentes. El coeficiente de absorción puede escribirse en función de los coeficientes de Einstein B12 y B21, que son una medida de la probabilidad de absorción y de emisión estimulada respectivamente. En este caso, deben considerarse las transiciones entre todos los posibles niveles energéticos, de manera que αν = hν 4π ∑ E1 ∑ E2 [n(E1)B12 − n(E2)B21]φ21(ν) (A-25) donde φ21(ν) es una función del perfil de absorción, que puede aproximarse como una función Delta de Dirac, y que desaparecerá de los cálculos. El coeficiente de Einstein A21 es una medida de la probabilidad de emisión, y se relaciona con los otros coeficientes de modo que A21 = 2hν3 c2 B21 (A-26) y además, para los coeficientes de absorción se cumple que B21 = B12, (A-27) ya que el peso estad́ıstico de ambos estados es el mismo. A las ecuaciones A-26 y A-27 se les conoce como relaciones de balance detallado. Además, el coeficiente de emisión se relaciona con el coeficiente de Einstein A21 mediante jν = P (ν,E2) 4π = hν 4π ∑ E1 A21φ21(ν). (A-28) Combinando las ecuaciones A-26, A-27 y A-28 con la ecuación A-25, y escribiendo expĺıci- 66 tamente a E1 como E2 − hν, se obtiene que αν = c2 8πhν3 ∑ E2 [n(E2 − hν)− n(E2)]P (ν,E2). (A-29) Puede sustituirse la suma sobre E2 como una integral sobre la función de distribución energética de los electrones N(E), y aproximando el integrando como el primer término de la expansión alrededor de hν se llega a que αν = − c2 8πν2 ∫ ∞ 0 dE P (ν,E)E2 ∂ ∂E ( N(E) E2 ) , (A-30) lo cual puede hacerse ya que E ≪ hν. Sustituyendo la ecuación A-17 en la ecuación A-30, se obtiene que αν = − √ 3e3B sinα 8πν2m ∫ ∞ 0 dE F ( ν νc ) E2 ∂ ∂E ( N(E) E2 ) , (A-31) y finalmente, sustituyendo las ecuaciones A-18, A-19 y 1-3 en A-31 e integrando, puede llegarse a que αν = √ 3e3 8πm ( 3e 2πm3c5 ) p 2 N0(B sinα) p+2 2 Γ ( 3p+ 2 12 ) Γ ( 3p+ 22 12 ) ν− p+4 2 . (A-32) 67 Bibliograf́ıa Band, D., Matteson, J., Ford, L., Schaefer, B., Palmer, D., Teegarden, B., Cline, T., Briggs, M., Paciesas, W., Pendleton, G., Fishman, G., Kouveliotou, C., Mee- gan, C., Wilson, R., y Lestrade, P. BATSE observations of gamma-ray burst spectra. I - Spectral diversity. Astrophysical Journal 413:281–292 (1993) Blandford, R.D. y McKee, C.F. Fluid dynamics of relativistic blast waves. Physics of Fluids 19:1130–1138 (1976) Chakraborti, S. y Ray, A. Baryon Loaded Relativistic Blast Waves in Supernovae. As- trophysical Journal 729:57 (2011) Chevalier, R.A. The interaction of the radiation from a Type II supernova with a circums- tellar shell. Astrophysical Journal 251:259–265 (1981) Chevalier, R.A. Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium. Astrophysical Journal 258:790–797 (1982a) Chevalier, R.A. The radio and X-ray emission from type II supernovae. Astrophysical Journal 259:302–310 (1982b) Chevalier, R.A. 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