Hipótesis: Sean el triángulo ABC , el ángulo y P un punto de la bisectriz interna del ángulo
.
Tesis: |
Demostración.
Caso 1. Clic para ver su demostración.
Primero, demostraremos que si P está en la bisectriz interna del ángulo entonces
,
donde Z y Y son los pies de las perpendiculares de P sobre AB y CA.
P1.
Sea Z pie de la perpendicular de P sobre AB y Y pie de la perpendicular de P sobre AC .
P2.
Los triángulos y
tienen el lado AP en común y dos ángulos iguales.
P3.
Por la Proposición I.26, criterio de congruencia ALA, los triángulos son iguales, .
P4.
Por lo tanto, .
Q.E.D.
Caso 2. Clic para ver su demostración.
Ahora, demostraremos que si PZ = PY entonces P está en la bisectriz interna del ángulo.
Demostremos que P está en la bisectriz interna del ángulo .
P1.
Sea P un punto dentro del ángulo del triángulo
tal que
, donde Z y Y son los pies de las perpendiculares de P sobre AB y CA respectivamente.
Construimos AP.
P2.
Entonces los triángulos rectángulos tienen dos pares de lados iguales, PZ = PY y AP es lado común.
P3.
Por la
Proposición I.47, Teorema de Pitágoras, el otro par de catetos son iguales. Y por la Proposición I.8, criterio de congruencia LLL, los triángulos son congruentes.
P4.
Por lo tanto, los ángulos son iguales.
P5.
Por lo tanto, P está en la bisectriz interna de .
Q.E.D.