Reescribiendo la proposición I.46 en lenguaje actual:
I.46 Construir un cuadrado sobre un segmento dado.
Hipótesis: Sea AB el segmento dado.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por la Proposición I.11, podemos dibujar AC en ángulo recto a la línea AB desde el punto A.
P2.
Por la Proposición I.3, podemos dibujar sobre AC un segmento AD igual al segmento AB.
Por lo tanto, AD = AB.
P3.
Por la Proposición I.31, podemos dibujar DE paralela a AB por el punto D.
Por la misma razón, dibujamos BE paralela a AD por el punto B.
P4.
Pero, AB=AD, por lo tanto las cuatro rectas BA, AD, DE y EB son iguales entre sí.
Entonces, por la Proposición I.34, ADEB es un paralelogramo.
Ahora, demostraremos que el paralelogramo ADEB es también equiangular.
P5.
Como la recta AD es transversal a las paralelas AB y DE, por la Proposición I.29, la suma de los ángulos y
es igual a dos ángulos rectos. Es decir,
.
P6.
Pero el ángulo es recto, por lo tanto, el ángulo
es también recto.
P7.
Y por la Proposición I.34, en los paralelogramos los lados y los ángulos opuestos son iguales, por lo tanto, cada uno de los opuestos y
es también recto.
Por lo tanto, el paralelogramo ADEB tiene todos sus ángulos rectos.
Y como también se demostró que es equilátero,
por la
Definición I.22, tenemos que ADEB es un cuadrado.
Por lo tanto, hemos construido sobre el segmento AB un cuadrado.
Q.E.D.