Hipótesis: Sean ABC un triángulo y sus lados.
Sea el ángulo opuesto al lado
.
Tesis: |
Demostración.
Caso 1. Clic para ver su demostración.
P1.
Trazamos la altura desde el vértice A y llamamos D al pie de la altura. Existen dos posibilidades para el pie de altura D: que D esté dentro del segmento BC o que D esté en la prolongación de BC.
Primero, supongamos que D está dentro de BC = .
P2.
Sea = BD , y por lo tanto DC =
.
Tenemos formados dos triángulos rectángulos: y
P3.
Por el Teorema de Pitágoras,
Proposición I.47, en el triángulo , tenemos que
.
Y por este mismo teorema, en el triángulo , obtenemos
.
Desarrollando la ecuación (1), obtenemos: .
Y sustituyendo la ecuación (2) en (3), nos queda: .
P4.
Como .
Despejando , obtenemos:
.
Sustituyendo el valor de en (4), tenemos
.
Caso 2. Clic para ver su demostración.
P1.
Trazamos la altura desde el vértice A y suponemos que D, el pie de la altura, está fuera del segmento BC = .
P2.
Sea = BD , y como BC =
, entonces CD =
.
Tenemos formados dos triángulos rectángulos: y
.
P3.
Por el Teorema de Pitágoras,
Proposición I.47, en el triángulo , tenemos que
.
Y por este mismo teorema, en el triángulo , obtenemos
.
Desarrollando la ecuación (1), obtenemos:
.
Y sustituyendo la ecuación (2) en (3), nos queda: .
P4.
Como .
Despejando , obtenemos:
.
Sustituyendo el valor de en (4), tenemos
.
Q.E.D.