Reescribiendo la proposición I.28 en lenguaje actual:
I.28 Si una transversal a dos rectas forma con éstas un ángulo externo igual al ángulo interno no adyacente del mismo lado, o si los dos ángulos internos del mismo lado suman 180°, entonces las rectas son paralelas entre sí.
Hipótesis: Sea EF la transversal a las rectas AB y CD tal que hace el ángulo externo igual al ángulo interno y opuesto
, o la suma de los ángulos internos del mismo lado, a saber
y
, igual a 180°.
Tesis: |
Demostración.
Afirmamos que la recta AB es paralela a la recta CD.
P1.
Por hipótesis, =
.
P2.
Y por la
Proposición I.15,
=
,
entonces =
P3.
Pero y
resultan ser ángulos alternos internos iguales, por la
Proposición I.27, las rectas AB y CD son paralelas.
P4.
También, por hipótesis sabemos que la suma de dos ángulos internos del mismo lado, y
, suman dos ángulos rectos, es decir,
,
P5.
y por la
Proposición I.13, la suma de los ángulos , entonces
.
P6.
Por lo tanto, , y estos ángulos son alternos internos. Por lo tanto, por la
Proposición I.27, las rectas AB y CD resultan ser paralelas.
Por lo tanto, si una transversal a dos rectas hace el ángulo externo igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado, o los dos ángulos internos del mismo lado suman 180°, entonces las rectas serán paralelas entre sí..
Q.E.D.