Reescribiendo la proposición I.25, en lenguaje actual:
1.25 Si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos de los lados del otro, pero la base de uno es mayor que la del otro, entonces el ángulo comprendido por los lados iguales en uno es mayor que el del otro.
Hipótesis: Sean ABC y DEF los dos triángulos que tienen los lados AB, AC respectivamente iguales a los lados DE, DF, esto es AB = DE y AC = DF;
pero BC > FE.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sabemos que AC = DF y AB = DE y que BC > FE.
Afirmamos que: >
.
Porque si esto no fuera asÍ, tendríamos que:
.
P2.
Ahora, si =
.
Entonces AC = DF y AB = DE y
=
.
Por lo tanto, por la
Proposición I.4 , tendríamos que BC = FE, pero por hipótesis esto no puede ser.
P3.
Luego, si <
, entonces por la
Proposición I.24, tendríamos que BC < FE, lo cual también contradice la hipótesis.
P4.
Por lo tanto, hemos probado que no puede ser ni igual ni menor que
.
Por lo tanto, >
.
Por lo tanto, si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos de los lados del otro, pero la base de uno es mayor que la del otro, entonces el ángulo comprendido por los lados iguales en uno es mayor que el del otro.
Q.E.D.
Las conclusiones de esta proposición y la anterior son recíprocas una de la otra. Juntas dicen que si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, entonces la base en uno es mayor que la base en el otro sí y sólo sí uno de los ángulos contenido por los lados iguales es mayor que el otro.