Reescribiendo la proposición I.47 en lenguaje actual:
I.47 En los triángulos rectángulos el área del cuadrado sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados que comprenden el ángulo recto.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo rectángulo cuyo ángulo es recto.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por la Proposición I.46, podemos construir un cuadrado BDEC sobre BC, y los cuadrados GB y HC sobre BA y AC, respectivamente.
P2.
Por la Proposición I.31, podemos dibujar AL paralela a BD o CE por el punto A.
P3.
Por el Postulado 1, dibujamos AD y FC.
P4.
Sabemos que cada uno de los ángulos y
es recto, por la Definición I.22.
Luego, tenemos que la línea recta BA y en un punto A de ella, las dos rectas AC y AG no están del mismo lado y forman ángulos adyacentes iguales a dos ángulos rectos.
P5.
Por la Proposición I.14, concluimos que CA está en línea recta con AG.
Entonces GC es una recta
P6.
Por la definición de cuadrado, Definición I.22, y por el Postulado 4, sabemos que =
.
Sumamos el ángulo a cada uno,
.
Y por la Noción común 2, tenemos que todo el ángulo es igual a todo el ángulo
.
Esto es, .
P7.
Nuevamente, por la Definición I.22, el lado DB = BC y FB = BA.
Por lo tanto, los dos lados AB y BD son iguales a los lados FB y BC, respectivamente.
Y por el paso anterior, sabemos que .
P8.
Por lo tanto, por la Proposición I.4, tenemos que la base AD es igual a la base FC, y el triángulo ABD es igual al triángulo FBC.
Esto es, .
P9.
Ahora, por la Proposición I.41 tenemos que el área del paralelogramo BL es el doble del área del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están contenidos en las misma paralelas BD y AL.
Por lo tanto,
P10.
Por la misma Proposición I.41, el área del cuadrado GB es el doble del área del triángulo FBC, pues tienen la misma base FB y están en las mismas paralelas FB y GC. Por lo tanto,
P11.
Por lo tanto, el área del paralelogramo BL es igual al área del cuadrado GB. Esto es, .
P12.
Similarmente, si dibujamos AE y BK, también podemos probar que el área del paralelogramo CL es igual al área del cuadrado HC. Esto es, .
P13.
Por la Noción común 2, el área del cuadrado BDEC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados GB y HC.
Esto es,
.
Y el cuadrado BDEC está construido sobre BC, y los cuadrados GB y HC sobre BA y AC.
Por lo tanto, el área del cuadrado sobre BC es igual la suma de las áreas de los cuadrados sobre BA y AC.
Por lo tanto, en un triángulo rectángulo el área del cuadrado sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados que contienen el ángulo recto.
Q.E.D.