Hipótesis: Primero, consideramos tres circunferencias, cuyos centros A, G y D no son colineales.
Y sean sus radios respectivos.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sea P la intersección del eje radical de la primera y segunda con el eje radical de la segunda y tercera, entonces por el
Teorema II.9.d , tenemos
y
.
P2.
De la ecuaciones (1) y (2) obtenemos .
Por lo tanto, P tiene potencias iguales con respecto a las tres circunferencias, y entonces el eje radical de la primera y tercera también pasa por P.
P3.
Tratemos de llevar los centro de estas circunferencias sobre la recta que se muestra. Intentemos que los centros sean colineales.
Si los centros de las tres circunferencias son colineales, los ejes radicales son paralelos y distintos o dos de ellos coinciden y la línea común es paralela al tercero, o los tres coinciden.
En cada uno de estos casos especiales, las líneas son concurrentes en un punto al infinito.
El punto de concurrencia de los ejes radicales de tres circunferencias tomadas por pares, es llamado su centro radical.
En particular,
Si los centros de tres circunferencias forman un triángulo, existe exactamente un punto cuyas potencias con respecto a las tres circunferencias son todas iguales.
Q.E.D.