Hipótesis: Sea un triángulo ABC.
Sean el circuncírculo del triángulo ABC con centro y radio y el incírculo con centro y radio .
Sea la distancia .

Tesis:
Demostrar que
.

Demostración.

P1.
Construimos la bisectriz interna del ángulo y la prolongamos hasta intersectar el circuncírculo en el punto L.
Sea .

P2.
Construimos la bisectriz interna del ángulo . Sea .
Construimos el inradio IY perpendicular a AC.
Por lo tanto, el ángulo es recto.
Por lo tanto, el triángulo AIY es un triángulo rectángulo.

P3.
Construimos un diámetro LM .
Construimos los segmentos BL y BM.
El triángulo LBM es un triángulo rectángulo, y por el Teorema II.8.j el ángulo es recto.

P4.
Por el Teorema II.8.c, tenemos que
.

P5.
Por el mismo teorema, también
.

P6.
Por la Proposición I.32, sabemos que el ángulo exterior del triángulo ABI en el vértice cumple que
.

P7.
Pero también , . Por lo tanto, .

P8.
Por lo tanto, por la Proposición I.6, el triángulo LBI es isósceles.
Por lo tanto,
.

P9.
Por el Teorema II.9.a, sabemos que la potencia de es , y por el Teorema II.9.c, sabemos que la potencia se puede escribir como .
Por lo tanto,
.

P10.
En los triángulos rectángulos LBM y AIY se cumple que
.
Por lo tanto,
.
Por lo tanto, .

Q.E.D.