II.9 Algunas propiedades de las
circunferencias.
Potencia de un punto.
Veremos que si P es un punto cualquiera
en el plano de una circunferencia dada, y una recta por P
intersecta a la circunferencia en A y B,
entonces el producto de los segmentos dirigidos
es constante.
El término segmento dirigido significa que .
El producto de dos segmentos dirigidos sobre una línea es positivo
o negativo de acuerdo a si los segmentos se toman en una misma dirección
o en dirección contraria.
Definición. La potencia de un
punto con respecto a una circunferencia, es el producto de sus distancias
dirigidas a cualquier par de puntos de la circunferencia que sean colineales
con él.
Es decir, la potencia de un punto P
con respecto a una circunferencia es el producto de los segmentos dirigidos ,
donde A y B
son las intersecciones de la circunferencia con una línea que pasa
por P. Así, la potencia de un punto P
será negativa si P está
dentro de la circunferencia, será positiva si P
está fuera de la circunferencia, y será cero si P
está sobre la circunferencia.
Empezaremos demostrando dos de los Teoremas de Euclides:
La Proposición III.35 trata
sobre el producto de los segmentos dirigidos en que dos cuerdas de una
circunferencia se cortan una a la otra .
Esta proposición afirma que el producto
es constante, para cualesquiera dos puntos A
y B de la circunferencia que sean colineales
con P y donde son
segmentos dirigidos.
Esto significa que
Y la Proposición III.36 compara
una secante y una tangente dibujadas desde el mismo punto P.
En esta proposición se demuestra que si el punto P
está fuera de la circunferencia, su potencia es igual al cuadrado
de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.
También demostraremos que la potencia de un punto P
respecto a una circunferencia con centro O
y radio ,
se puede expresar como ,
donde es la
distancia de P al centro O
de la circunferencia.
El número
es positivo cuando el punto P está
fuera de la circunferencia, es cero cuando P
está sobre la circunferencia, y es negativo cuando
P está en el interior de la circunferencia.
Eje radical.
El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico
de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias son
iguales.
Demostraremos que dicho lugar geométrico es una recta.
Circunferencias coaxiales.
Si un conjunto de circunferencias es tal que la misma línea es
eje radical de todo par, se dice que las circunferencias son coaxiales.
El eje radical de los pares de circunferencias se llama eje radical
del conjunto coaxial.
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