Hipótesis: Sean ABC un triángulo y sus lados.
Sea el ángulo opuesto al lado .

Tesis:
Demostrar que

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

P1.
Trazamos la altura desde el vértice A y llamamos D al pie de la altura. Existen dos posibilidades para el pie de altura D: que D esté dentro del segmento BC o que D esté en la prolongación de BC.
Primero, supongamos que D está dentro de BC = .

P2.
Sea = BD , y por lo tanto DC = .
Tenemos formados dos triángulos rectángulos: y

P3.
Por el Teorema de Pitágoras, Proposición I.47, en el triángulo , tenemos que .
Y por este mismo teorema, en el triángulo , obtenemos .
Desarrollando la ecuación (1), obtenemos: .
Y sustituyendo la ecuación (2) en (3), nos queda: .

P4.
Como .
Despejando , obtenemos: .
Sustituyendo el valor de en (4), tenemos .

Caso 2. Clic para ver su demostración.

P1.
Trazamos la altura desde el vértice A y suponemos que D, el pie de la altura, está fuera del segmento BC = .

P2.
Sea = BD , y como BC = , entonces CD = .
Tenemos formados dos triángulos rectángulos: y .

P3.
Por el Teorema de Pitágoras, Proposición I.47, en el triángulo , tenemos que .
Y por este mismo teorema, en el triángulo , obtenemos .
Desarrollando la ecuación (1), obtenemos:
.
Y sustituyendo la ecuación (2) en (3), nos queda: .

P4.
Como .
Despejando , obtenemos: .
Sustituyendo el valor de en (4), tenemos .

Q.E.D.