II.7.1 Introducción. |
II.7.a
Recta de Euler.
El ortocentro, el centroide y el circuncentro de un triángulo son colineales. Además, el centroide divide la distancia del ortocentro al circuncentro en la razón 2:1. |
II.7.b
Teorema.
El triángulo medial A´B´C´ y el triángulo ABC son semejantes, en razón 2:1. En particular, el circunradio del triángulo medial es la mitad del circunradio del triángulo ABC. |
II.7.c
La circunferencia de los nueve puntos. Los pies de las tres alturas de un triángulo ABC, los puntos medios de los tres lados y los puntos medios de los segmentos que van de los vértices al ortocentro, están en una circunferencia de radio (1/2)R, donde R es el circunradio del triángulo ABC. |
II.7.d
Teorema de Ceva.
Si en un triángulo ABC se toman puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF son concurrentes, entonces ![]() |
II.7.e
Recíproco del Teorema de Ceva.
Si en un triángulo ABC se toman puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF satisfacen ![]() |
II.7.f
Teorema de Menelao.
Si una recta intersecta los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) de un triángulo ABC en los puntos L, M y N respectivamente, entonces ![]() |
II.7.g
Recíproco del Teorema de Menelao.
Si L, M y N son puntos de los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) respectivamente, del triángulo ABC para el cual se cumple ![]() |
II.7.h
Teorema de la bisectriz.
Cada bisectriz en un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes. |
II.7.i
Teorema de Pappus.
Si A, C y E son tres puntos en una recta, B, D, F tres puntos en otra recta y si las rectas AB, CD, EF intersectan a las rectas DE, FA y BC respectivamente, entonces los tres puntos de intersección L, M y N son colineales. |
II.7.j
Teorema de Desargues.
Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto y si sus pares de lados correspondientes se intersectan, entonces los tres puntos de intersección son colineales. Es decir, los triángulos están en perspectiva desde la recta que contiene los puntos de intersección. |
II.7.k
Recíproco del Teorema de Desargues.
Si dos triángulos están en perspectiva desde una recta, entonces las rectas que unen dos pares de vértices correspondientes son concurrentes. Es decir, los triángulos están en perspectiva desde el punto de intersección de estas rectas. |
II.7.l Las medianas de un triángulo ABC son concurrentes. |
II.7.m Las alturas de un triángulo ABC son concurrentes. |
II.7.n Las bisectrices internas de un triángulo ABC son concurrentes. |
II.7.o Dado un triángulo ABC se tiene que la bisectriz interna de un ángulo y dos bisectrices externas de los otros dos ángulos concurren. |