Este teorema es la Proposición III.22 del Libro III de Euclides.
Hipótesis: Sea ABCD un círculo, y sean A, B, C, y D los vértices de un cuadrilátero cíclico.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Unimos A con C y B con D. Así, tenemos los segmentos AC y BD.
P2.
Por la
Proposición I.32, sabemos que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180º, entonces
P3.
Por el
Teorema II.8.c, tenemos que , por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
P4.
Y también, , pues también son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
P5.
Por lo tanto, todo el ángulo es tal que
.
P6.
Sumando el ángulo en ambos lados
de la igualdad anterior, tenemos:
.
P7.
Por lo tanto,
.
P8.
De manera análoga, podemos demostrar que,
.
Por lo tanto, la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual a 180º.
Q.E.D.