Reescribiendo la proposición I.15, en lenguaje actual:
1.15 Si dos segmentos se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Hipótesis: Sean AB y CD los segmentos que se cortan en el punto E. Formándose dos pares de ángulos que son opuestos por el vértice, a saber, y
,
así como y
.
Tesis: |
Demostración.
Sabemos que los segmentos AB y CD, se cortan en el punto E.
P1.
Como el segmento AE se levanta sobre el segmento CD, según la Proposición I.13, se forman los ángulos adyacentes
y
, tales que
.
P2.
Nuevamente, como el segmento DE se levanta sobre AB, por la Proposición I.13, se forman los ángulos adyacentes y
,
tales que
.
P3.
Por lo tanto, por el Postulado 4 y la Noción común 1, podemos igualar (1) y (2) , obtenemos:
.
P4.
Por la Noción común 3, sustrayendo de ambos lados de la igualdad (3), el ángulo ,
tenemos que
.
P5.
De manera análoga, podemos demostrar que .
Por lo tanto, si dos segmentos se cortan entre sí los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Q.E.D.
Corolario. Si dos segmentos se cortan, entonces se forman ángulos en el punto de intersección, cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos.