Este teorema es la Proposición III.35 del Libro III de Euclides.

Hipótesis: Sean AB y CD dos cuerdas de una circunferencia que se intersectan en un punto P.

Tesis:
Demostrar que .

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

P1.
Supongamos que P se encuentra en el interior de la circunferencia.
Construimos los segmentos AD y BC.

P2.
Por el Teorema II.8.c, los ángulos inscritos son iguales por abrir el mismo arco.
Por lo tanto, .
Por la misma razón, los ángulos inscritos son iguales.
Por lo tanto ,

P3.
Por lo tanto, por las igualdades (*) y (**) y por el criterio de semejanza AA , los triángulos PAD y PCB son semejantes.

Por lo tanto, lo cual implica que .

Caso 2. Clic para ver su demostración.

P1.
Ahora, supongamos que P se encuentra fuera de la circunferencia.
Entonces el cuadrilátero ABCD es cíclico.

P2.
Entonces, por el Teorema II.8.g, en el cuadrilátero cíclico ABCD tenemos que
.

P3.
Por otro lado, los ángulos son suplementarios.
Por lo tanto, .

P4.
Por lo tanto, de (1) y (2) obtenemos que los ángulos son iguales.
Esto es,
.

P5.
Nuevamente en el cuadrilátero ABCD, por el Teorema II.8.g, tenemos que .
Por otro lado, , por ser ángulos suplementarios.

P6.
Por lo tanto, de (5) y (6) obtenemos que .

P7.
Por lo tanto, por las igualdades (3) y (7) y por el criterio de Semejanza AA, criterio de semejanza AA, los triángulos PAC y PDB son semejantes.
Por lo tanto, , y en consecuencia .

Si el punto P se encuentra sobre la circunferencia, entonces A o B coinciden con P, así uno de los segmentos PA o PB tiene longitud cero.
Y en este caso la igualdad también es verdadera.

Q.E.D.