Hipótesis: Primero, consideramos dos circunferencias no concéntricas cuyos centros son O y O' y cuyos radios son y
.
Y sea P un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencias.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sabemos que P tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencias, esto es ,
y por el
Teorema II.9.c, la ecuación anterior podemos escribirla como
.
Por P, dibujamos PM perpendicular a la línea de los centros OO'.
P2.
En el triángulo rectángulo POM, por la
Proposición I.47, se cumple .
Por la misma Proposición, en el triángulo rectángulo
PO'M se cumple .
P3.
Sustituyendo en (1), las igualdades que obtuvimos en (2) y (3), nos queda
.
Restando , de la ecuación anterior tenemos
.
pero, ,
Por lo tanto, el punto M que está en la línea de los centros OO' satisface
.
Observamos que esta relación que satisface M no depende del punto P.
P4.
Demostraremos que M es el único número tal que .
Supongamos que N es un punto cualquiera que también tiene esta propiedad, con , entonces
.
Pero, y
.
Por lo tanto, sustituyendo (**) y (***) en la ecuación (*) tenemos
.
P5.
, implica que N coincide con M.
P6.
Por lo tanto, si un punto P tiene potencias iguales con respecto a dos circunferencias no concéntricas, entonces P está en la perpendicular por M a la línea de los centros, donde M satisface la relación .
Observamos que cuando arrastramos O' hacia O, el punto M se aproxima al punto al infinito en OO' y la recta PM tiende a la línea al infinito.
Por lo tanto, el eje radical de dos circunferencias concéntricas desiguales se define como la línea al infinito.
Inversamente,
demostraremos que si P está en la perpendicular en M a OO', donde M satisface la relación , entonces su potencia con respecto a estas circunferencias son iguales.
Sea M un punto en la línea de los centros OO', tal que
y como
, entonces
.
Sumando
en ambos lados de la ecuación anterior, tenemos
.
Por la
Proposición I.47, sabemos que
y que
.
Sustituyendo estas igualdades en (A), nos queda
,
lo cual significa que la potencia de P con respecto de estas dos circunferencias son iguales.
Q.E.D.