Este teorema es la Proposición III.36 del Libro III de Euclides.

Hipótesis: Sean A, B y C puntos sobre una circunferencia.
La tangente en C intersecta en un punto P a la prolongación de la cuerda AB.

Tesis:
Demostrar que
.

Demostración.

P1.
Sea PC la tangente por C a la circunferencia y sea la cuerda AB que prolongada se intesecta con PC en el punto P.

P2.
Construimos las cuerdas AC y CB .

P3.
En los triángulos PCA y PBC, tenemos que el ángulo es un ángulo seminscrito.
Y el ángulo es un ángulo inscrito.
Por el Teorema II.8.p , sabemos que estos ángulos son iguales porque abren el mismo arco.

P4.
Por lo tanto,
Los triángulos PCA y PBC tienen un ángulo en común.
Por lo tanto, .

P5.
Por la igualdades (1) y (2) y por el criterio de semejanza AA , entonces los triángulos PCA y PBC son semejantes.
Por lo tanto, , y en consecuencia .

Q.E.D.