Reescribiendo, en lenguaje actual, la proposición I.26 (tercer criterio de congruencia de triángulos):

1.26 Si dos triángulos tienen dos ángulos de uno respectivamente iguales a dos ángulos del otro y un lado de uno igual a un lado del otro, a saber, el lado adyacente a los ángulos iguales, o el lado opuesto a los ángulos iguales, entonces los dos triángulos son congruentes. (ALA).

Demostración.

Caso 1.. Clic para ver su demostración.

Hipótesis: Sean ABC y DEF dos triángulos tales que
   =
y = respectivamente,
y
supongamos que BC = EF ( los lados respectivamente iguales, son adyacentes a los ángulos iguales).

Tesis:
Los lados restantes AB = DE y
AC = DF respectivamente, y
= .

Demostración.

Por reducción al absurdo.

P1.
Sabemos que:
.

Si AB no fuera igual a DE, entonces uno de ellos es mayor.

P2.
Supongamos que AB > DE, por la Proposición I.3 , podemos construir un segmento BG igual a DE, y unimos G con C.

P3.
Puesto que BG = DE y BC = EF respectivamente, y = , entonces, por la Proposición I.4 , la base AC es igual a la base DF, y los triángulos GBC y DEF son iguales, y los ángulos restantes iguales a los ángulos restantes, a saber aquellos opuestos a los lados iguales.

Por lo tanto, =.

P4.
Por hipótesis = .

Por lo tanto, = , el ángulo menor es igual al mayor, lo cual es imposible.

P5.
Por lo tanto, AB = DE.
Y por hipótesis sabemos que BC = EF.  
Por lo tanto,
AB = DE y BC = EF respectivamente,
y = .
Por la Proposición I.4 , concluimos que la base AC es igual a la base DF, y el ángulo restante es igual al ángulo restante .

Por lo tanto, en el Caso 1,

.

 

Caso 2. Clic para ver su demostración.

Hipótesis: Supongamos que
  =
y = ,

pero, que el lado respectivamente igual, es opuesto a los ángulos que son iguales, digamos AB = DE.

Tesis:
Los lados restantes AC = DF y
BC = EF respectivamente, y
= .

P1.
Sabemos que
  =
= ,

y que AB = DE.

Si BC no fuera igual a EF, entonces uno de ellos es mayor que el otro.

P2.
Supongamos que BC > EF, por la Proposición I.3 , podemos construir el segmento BH = EF, y formamos el segmento AH.

P3.
Como BH = EF y AB = DE, y estos lados contienen ángulos iguales, por la Proposición I.4 , tenemos que la base AH es igual a la base DF, el triángulo ABH igual al triángulo DEF, y los ángulos restantes igual a los ángulos restantes, a saber aquellos opuestos a los lados iguales.
Por lo tanto, = .

P4.
Pero, = .

Por lo tanto, .

Pero, el ángulo es un ángulo exterior del triángulo AHC.
Por la Proposición I.16 tenemos que >.
Entonces tenemos a la vez que es igual y mayor que .
Esto es una contradicción.

P5.
Por lo tanto, BC = EF.
Además, por hipótesis, sabemos que AB = DE.
Por lo tanto, AB = DE y BC = EF respectivamente, y ellos contienen ángulos iguales.
Entonces, por la Proposición I.4 , la base AC es igual a la base DF, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF, y el ángulo restante es igual al ángulo restante .

Por lo tanto, AC = DF y BC = EF, y = .

Por lo tanto, en el Caso 2,

.

Q.E.D.