Este teorema es la Proposición III.18 del Libro III de Euclides.
Reescribiendo la Proposición en lenguaje actual:Todo tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que va del centro al punto de contacto.
Hipótesis: Sea DE la tangente a la circunferencia en el punto C. Sea F el centro del círculo. Construimos el radio FC.
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al absurdo.
Supongamos que FC no es perpendicular a DE.
P1.
Por la
Proposición I.12, desde el punto F podemos construir FG perpendicular a DE.
P2.
Por lo tanto, el ángulo es recto.
Por lo tanto, en el triángulo FCG, por la
Proposición I.17, tenemos que el ángulo es agudo.
P3.
Por la
Proposición I.19, sabemos que en un triángulo el lado opuesto al ángulo mayor, es mayor.
Entonces, FC es mayor que FG.
Es decir, .
P4.
Pero, .
Por lo tanto de (1), tenemos que FB es también mayor que FG.
Es decir, , esto implica que la parte menor es mayor que la parte mayor.
Lo cual no es posible.
Por lo tanto, FG no es perpendicular a DE.
Similarmente, podemos probar que ninguna otra recta es perpendicular a DE, excepto FC.
Por lo tanto, FC es perpendicular DE.
Q.E.D.