Reescribiendo la proposición I.31 en lenguaje actual:
I.31 Trazar por un punto una recta paralela a otra recta dada.
Hipótesis: Sea A un punto dado, y BC la recta dada.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Tomemos un punto D sobre la recta BC. Y construimos el segmento DA.
P2.
Por la
Proposición I.23, podemos construir sobre el segmento DA y en el punto A, el ángulo igual al ángulo
.
P3.
Prolongamos la recta AF en línea recta con EA.
P4.
Puesto que la recta DA es transversal a las dos rectas BC y EF hace los ángulos y
alternos internos iguales entre sí. Por lo tanto, por la
Proposición I.27, concluimos que la recta EAF es paralela a BC.
Por lo tanto, la recta EAF que pasa por el punto A es paralela a la recta dada BC .
Q.E.D.