1.7 Dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los mismos extremos en el mismo lado de un mismo segmento, no se juntan en dos puntos distintos.
Hipótesis: AB
un segmento dado, y los segmentos AC
y CB levantados del mismo lado de AB
a partir de los extremos de éste. AC
y CB se juntan en el punto C.
Demostrar que no es posible levantar sobre el segmento AB a partir de los extremos de éste, y sobre un mismo lado de AB, otros dos segmentos iguales a AC y CB respectivamente, y que se junten en un punto D distinto de C. |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al absurdo.P1.
Supongamos que podemos levantar sobre AB
a partir de sus extremos y del mismo lado que los primeros, otros dos segmentos AD
y DB tales que AD =
AC y DB =
CB, pero que se juntan en un punto D, donde D
es distinto de C.
Entonces,
P2.
AC =AD
y tienen el mismo extremo A.
P3.
CB=DB
y tienen el mismo extremo B.
P4.
Por el Postulado 1, unimos C
con D.
P5.
En el triángulo
, sabemos que AC =AD,
en consecuencia, por la Proposición
I.5, se cumple que
.
P6.
Pero,
P7.
Por lo tanto,
.
Por lo tanto,
P8.
Por otro lado, en el triángulo BCD
tenemos que:
.
P9.
Por lo tanto,
.
Por (1) y (2) y transitividad, concluimos que
.
P10.
Luego, en el triángulo BCD, sabemos
que CB=DB,
entonces por la Proposición
I.5, concluimos que
.
Pero, ¡ (3) y (4) es imposible!.
Por lo tanto, no es posible levantar sobre AB, otros dos segmentos iguales a los primeros, y que se junten en un punto distinto al de los primeros.
Por lo tanto, dos segmentos iguales respectivamente a otros dos con los mismos extremos en el mismo lado de un mismo segmento, no se juntan en dos puntos distintos.
Q.E.D.