Hipótesis: Sean A y C dos puntos fijos. Y sea B un punto del conjunto, es decir, el ángulo es constante.
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al absurdo, pero primero construimos el conjunto de puntos B que satisface la condición: ángulo es constante.
Supongamos que B es un punto en el conjunto.
P1.
Construimos el circuncírculo del triángulo ABC.
Los puntos A y C dividen a la circunferencia en dos arcos, en uno de ellos se encuentra B, por el
Teorema II.8.c, todos los puntos B del arco satisfacen que cada ángulo mide lo mismo.
Por lo tanto, los puntos del arco son puntos del conjunto.
P2.
Reflejamos el arco anterior con respecto de la recta AC.
Por el mismo
Teorema II.8.c, todos los puntos D de este arco también son elementos del conjunto.
Demostraremos que los puntos del conjunto son solamente los puntos de estos dos arcos.
P3.
Supongamos que B' es un punto del conjunto, es decir, , y que se encuentra en el mismo lado de B con respecto a la recta AC.
Si B' no se encuentra sobre el circuncírculo del triángulo ABC, sea B'' el punto de intersección de AB' con el circuncírculo.
P4.
Y por el
Teorema II.8.c , tenemos que .
P5.
Como B' es un punto del conjunto, también se cumple que .
Pero esto no puede ser, pues tendríamos dos rectas CB' y CB'', cortadas por una transversal AB' en ángulos correspondientes iguales, por la
Proposición I.28 dichas rectas debían ser paralelas, y este no es el caso pues tienen a C como punto común.
Q.E.D.