Hipótesis: Sean el triángulo ABC y las bisectrices internas de los ángulos en A, B y C respectivamente.

Tesis:
Demostrar que

son concurrentes.

Demostración.

P1.
Sea I el punto de intersección de las bisectrices .

P2.
Sean X, Y y Z los pies de las perpendiculares de I sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente.

P3.
Por el Lema II.6.c, al estar I en la bisectriz , entonces.

P4.
Por el Lema II.6.c, al estar I en la bisectriz , entonces .

P5.
Por (1) y (2), tenemos que I satisface .

P6.
Por el Lema II.6.c, concluimos que I también está en la bisectriz .

Q.E.D.

El punto de concurrencia de las bisectrices internas de un triángulo, denotado por I, se conoce como incentro. La distancia de I a cada lado del triángulo se conoce como inradio y es denotada por r.
Resulta que la circunferencia con centro I y radio r, está completamente contenida en el triángulo y es tangente a los lados BC, CA, AB en los puntos X, Y, Z.
Esta circunferencia recibe el nombre de incírculo.