II.1   Introducción.
  II.2   Congruencia de triángulos.

    II.2.a Ejemplo   Sea ABC un triángulo. Si sobre los lados AB y AC se construyen dos triángulos equiláteros ABC' y CAB', entonces BB'=CC'.

    II.2.b Ejemplo   La diagonal AC del paralelogramo ABCD lo divide en dos triángulos congruentes.

    II.2.c Ejemplo   Sea ABC un triángulo isósceles. Si AB=AC y A' es el punto medio de BC, entonces los triángulos ABA' y ACA' son congruentes.

    II.2.d Ejemplo   Sea ABC un triángulo isósceles tal que AB=AC entonces .

  II.3  Area de un triángulo.

    II.3.a Teorema   El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.

    II.3.b Teorema   El área de cualquier triángulo es la mitad del producto de cualquiera de sus bases por la altura correspondiente sobre la base considerada.

    II.3.c Teorema   Si dos triángulos tienen una misma altura entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón de las bases donde se levanta la altura común.

    II.3.d Teorema   Si dos triángulos tienen una base igual entonces la razón de sus áreas es igual a la razón entre las alturas que se levantan sobre la base.

  II.4  Teorema de Thales.

    II.4.a Teorema   Primer Teorema de Thales.
    Dado el triángulo ABC, sean D y E dos puntos de AB y AC respectivamente, tales que DE es paralela a BC, entonces .

    II.4.b Teorema   Recíproco del Primer Teorema de Thales.
    Si en el triángulo ABC los puntos D y E están sobre los lados AB y AC respectivamente, tales que , entonces DE es paralela a BC.

    II.4.c Teorema   Segundo Teorema de Thales.
    Sean las rectas AD, BE y CF paralelas y dos rectas transversales a éstas, entonces .

    II.4.d Teorema   Recíproco del Segundo Teorema de Thales.
    Si y dos de las tres rectas AD, BE o CF son paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.

  II.5   Semejanza de triángulos.

    II.5.a Teorema de semejanza AAA
    Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales y los triángulos son semejantes.

    II.5.b Teorema de semejanza LAL
    Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre éstos es igual, entonces los triángulos son semejantes.

    II.5.c Teorema de semejanza LLL
    Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

  II.6   Puntos y rectas notables del triángulo.

    II.6.a Lema  El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y de longitud igual a la mitad de tal lado.

    II.6.b Teorema Las medianas de un triángulo son concurrentes.

    II.6.c Lema  Un punto P está en la bisectriz interna de un ángulo sí y sólo sí P equidista de los lados del ángulo.

    II.6.d Teorema  Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes.

    II.6.e Lema  Un punto P está en la mediatriz de un segmento AB sí y sólo sí la distancia de P a cada extremo A, B es la misma.

    II.6.f Teorema  Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes.

    II.6.g Teorema  Las alturas de un triángulo son concurrentes.

    II.6.h Lema  Sea ABC un triángulo. Sean H su ortocentro, O su circuncentro y A´el punto medio del lado BC, entonces .

  II.7   Geometría del triángulo.

    II.7.a Teorema  Recta de Euler.
    EL ortocentro, el centroide y el circuncentro de un triángulo son colineales.
    Además, el centroide divide la distancia del ortocentro al circuncentro en la razón 2:1.

    II.7.b Teorema  El triángulo medial A´B´C´ y el triángulo ABC son semejantes, en razón 2:1.
    En particular, el circunradio del triángulo medial es la mitad del circunradio del triángulo ABC.

    II.7.c Teorema   La circunferencia de los nueve puntos.
    Los pies de las tres alturas de un triángulo ABC, los puntos medios de los tres lados y los puntos medios de los segmentos que van de los vértices al ortocentro, están en una circunferencia de radio (1/2)R, donde R es el circunradio del triángulo ABC.

    II.7.d Teorema  Teorema de Ceva.
    Si en un triángulo ABC se toman puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF son concurrentes, entonces .

    II.7.e Teorema  Recíproco del Teorema de Ceva.
    Si en un triángulo ABC se toman puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF satisfacen , entonces las rectas son concurrentes.

    II.7.f Teorema  Teorema de Menelao.
    Si una recta intersecta los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) de un triángulo ABC en los puntos L, M y N respectivamente, entonces
    .

    II.7.g Teorema  Recíproco del Teorema de Menelao.
    Si L, M y N son puntos de los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) respectivamente, del triángulo ABC para el cual se cumple , entonces L, M y N son colineales.

    II.7.h Teorema  Teorema de la bisectriz.
    Cada bisectriz en un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

      II.7.h.1 Teorema Para un triángulo ABC se tiene que las medianas concurren.

      II.7.h.2 Teorema Para un triángulo ABC se tiene que las alturas concurren.

      II.7.h.3 Teorema Para un triángulo ABC se tiene que las bisectrices intenas concurren.

      II.7.h.4 Teorema Para un triángulo ABC se tiene que la bisectriz interna de un ángulo y dos bisectrices externas de los otros dos ángulos concurren.

    II.7.i Teorema  Teorema de Pappus.
    Si A, C y E son tres puntos en una recta, B, D, F tres puntos en otra recta y si las rectas AB, CD, EF intersectan a las rectas DE, FA y BC respectivamente, entonces los tres puntos de intersección L, M y N son colineales.

    II.7.j Teorema  Teorema de Desargues.
    Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto y si sus pares de lados correspondientes se intersectan, entonces los tres puntos de intersección son colineales.
    Es decir, los triángulos están en perspectiva desde la recta que contiene los puntos de intersección.

    II.7.k Teorema Recíproco del Teorema de Desargues.
    Si dos triángulos están en perspectiva desde una recta, entonces las rectas que unen dos pares de vértices correspondientes son concurrentes.
    Es decir, los triángulos están en perspectiva desde el punto de intersección de estas rectas.

    II.7.aa Teorema  Ley de los cosenos.
    En un triángulo tenemos que:
    donde son las longitudes de los lados y el ángulo opuesto al lado .

    II.7.bb Teorema  Teorema de Stewart.
    Sean ABC un triángulo y , que divide al segmento en dos segmentos .
    Entonces, .

  II.8   Cuadriláteros cíclicos y ángulos en la circunferencia.

    II.8.a Teorema    Proposición III.1
    Para encontrar el centro de un círculo dado.

    II.8.b Teorema   Proposición III.20
    Si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.

    II.8.c Teorema   Proposición III.21
    Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.

    II.8.d Teorema   Sean A y C son dos puntos fijos sobre una circunferencia.
    Para cualesquiera dos puntos B y B' de la circunferencia se tiene que los ángulos son iguales o son suplementarios.

    II.8.e Teorema  Sean A y C dos puntos fijos. El conjuntos de puntos B que cumple que ángulo es constante, consta de dos arcos de circunferencia del mismo radio.

    II.8.f Teorema  Sean A y C dos puntos fijos. El conjuntos de puntos B que cumple que ángulo es recto, es una circunferencia de diámetro AC.

    II.8.g Teorema   Proposición III.22
    Si un cuadrilátero convexo es cíclico, entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios.

    II.8.h Teorema  Recíproco de la Proposición III.22
    Si un cuadrilátero convexo tiene dos ángulos opuestos suplementarios, entonces es cíclico.

    II.8.i Teorema  Un cuadrilátero es cíclico sí sólo sí el ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.

    II.8.j Teorema  Proposición III.31
    En un círculo el ángulo en el semircírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un ángulo recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un ángulo recto.

    II.8.k Teorema  Teorema de Ptolomeo.
    Si un cuadrilátero convexo es cíclico, entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

    II.8.l Teorema   Recíproco del Teorema de Ptolomeo.
    Si el producto de las diagonales de un cuadrilátero convexo es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, entonces el cuadrilátero es cíclico.

    II.8.m Teorema   Teorema de Simson.
    Si un punto se encuentra sobre el circuncírculo de un triángulo, entonces las proyecciones del punto sobre los lados del triángulo son colineales.

    II.8.n Teorema   Recíproco del Teorema de Simson.
    Si las proyecciones de un punto sobre los lados de un triángulo son colineales, entonces el punto se encuentra sobre el circuncírculo del triángulo.

    II.8.o Teorema   Proposición III.18.
    Si una recta toca a una circunferencia, y se construye la recta que va del centro al punto de contacto, la recta así construida será perpendicular a la tangente.

    II.8.p Teorema   Sobre la medida del ángulo seminscrito.
    Todo ángulo seminscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.

  II.9   Alguna propiedades de las circunferencias.

    II.9.a Teorema    Proposición III.35
    Si dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se intersectan en un punto P, entonces .

    II.9.b Teorema   Proposición III.36
    Si A, B y C son puntos sobre una circunferencia y si la tangente en C, intersecta en un punto P a la prolongación de la cuerda AB, entonces .

    II.9.c Teorema  
    La potencia de P con respecto a la circunferencia de radio es , donde es la distancia de P al centro. La potencia será positiva, cero o negativa dependiendo si P se encuentra fuera, sobre o dentro de la circunferencia.

    II.9.d Teorema   Eje radical.
    El lugar geomtétrico de los puntos P que tienen la misma potencia con respecto a dos circunferencias es una perpendicular a la línea de los centros.

    II.9.e Teorema   Fórmula de Euler.
    Sean e el circuncentro y el incentro, respectivamente, de un triángulo con circunradio e inradio ; sea la distancia de . Entonces .

    II.9.f Teorema   Teorema de Pascal.
    Si los vérices de un hexágono están sobre una circunferencia y los tres pares de lados opuestos se intersectan, entonces los tres puntos de intersección están alineados.

    II.9.g Teorema  
    Los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas por pares, son concurrentes.

    II.9.h Teorema  
    Si P' y Q' son dos puntos sobre las tangentes en P y Q de una circunferencia (ambos del mismo lado de la línea PQ) tales que PP'=QQ', entonces existe una circunferencia tangente a las rectas PP' y QQ' en P' y Q', respectivamente.

    II.9.i Teorema   Teorema de Brianchon.
    Si los seis lados de un hexágono son tangentes a una circunferencia, entonces sus tres diagonales son concurrentes (o posiblemente paralelas).

 
 
 
 
  II.10    Teorema XXXXXXX.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.
  II.6  .
  II.7  .
  II.8  .
  II.9   .