Reescribiendo la proposición I.22, en lenguaje actual:

1.22 Construir un triángulo con tres segmentos iguales a otros tres dados. Necesariamente la suma de cualesquiera dos de estos segmentos debe ser mayor que el restante.

Hipótesis: Sean A, B, C los tres segmentos dados tales que la suma de cualesquiera dos de ellos es mayor que el restante.

Tesis:
Construir un triángulo a partir de tres segmentos iguales a los segmentos
A, B y C, respectivamente.

Demostración.

Dibujamos un recta DE que se prolonga indefinidamente en la dirección de E.

P1.
Por la Proposición I.3 , podemos construir DF, FG y GH tales que DF = A, FG = B, y GH = C.

P2.
Construimos el círculo DKL con centro en F y radio DF.

P3.
Construimos el círculo KLH con centro en G y radio GH.

P4.
Formamos el segmento KF que es igual al segmento FD.

P5.
Formamos el segmento KG, que es igual al segmento GH.

Afirmamos que el triángulo es el triángulo solicitado.

Como el círculo DKL tiene centro en F y radio FK, entonces FD = KF,
pero FD = A, por lo tanto KF = A.

Luego, el círculo KLH tiene centro en G y radio GH, entonces GH = GK.
Pero GH = C, por lo tanto KG = C.
Y tenemos que FG = B.

P6.
Por lo tanto,
.

Por lo tanto, los tres segmentos KF, FG, y GK son iguales a los segmentos A, B y C, respectivamente, y con ellos el triángulo ha sido construido.

Q.E.D.