Reescribiendo la proposición I.18, en lenguaje actual:
1.18 En todo triángulo al lado más grande se opone el ángulo más grande.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo tal que el lado AC es mayor que el lado AB.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Como AC > AB por la Proposición I.3 , podemos construir un segmento AD sobre AC, tal que AD = AB.
P2.
Unimos el punto D con el vértice B. Con lo cual formamos otros dos triángulos, y
.
P3.
Puesto que el ángulo es un ángulo exterior del triángulo BCD, entonces según la
Proposición I.16 ,
.
P4.
Pero el triángulo , es un triángulo isósceles, pues AB = AD, y por la
Proposición I.5 , tenemos que
.
Por lo tanto, también se cumple que , esto es,
.
P5.
Pero,
.
P6.
Por lo tanto, el ángulo es mayor que el ángulo
, esto es,
.
Por lo tanto, en cualquier triángulo el ángulo opuesto al lado más grande es el más grande.
Q.E.D.