Hipótesis: Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, y sean AC y BD sus diagonales.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Dibujamos la línea AE, formando el ángulo tal que
.
P2.
La línea AE se intersecta con BD en el punto E.
P3.
Los los triángulos y
son semejantes,
pues por construcción
, y por el
Teorema II.8.c, los
ángulos
y
son iguales, por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. Esto es,
=
P4.
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente relación ,
P5.
También los triángulos y
son semejantes, pues por construcción
,
también por el
Teorema II.8.c, tenemos que por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
P6.
Así podemos establecer la siguiente relación,
P7.
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
.
Por lo tanto,
.
Por lo tanto, el producto de las diagonales de un cuadrilátero cíclico, es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
Q.E.D.