Hipótesis: Sea ABC un ángulo seminscrito que subtiende el mismo arco que el ángulo central AOB.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el
Teorema II.8.o, sabemos que la tangente a la circunferencia en B es perpendicular al radio OB.
P2.
Prolongamos el radio OB para formar un diámetro BM. Por lo tanto, .
Por otro lado, por el
Teorema II.8.j, el ángulo es recto. Por lo tanto,
.
P3.
Por la
Proposición I.32, en el triángulo MAB tenemos que
.
P4.
Por lo tanto, .
P5.
Pero, el ángulo también puede expresarse como
.
P6.
Igualando (1) con (2) , obtenemos
Por lo tanto,.
P7.
Pero, el ángulo es un ángulo inscrito. Por el
Teorema II.8.b, tenemos que
.
De la igualdad (3) concluimos que .
Q.E.D.