Hipótesis: Sea ABCD un cuadrilátero convexo cíclico.

Tesis:
Demostrar que
el ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

El cuadrilátero ABCD es cíclico y sean AC y BD sus diagonales.

P1.
Por el Teorema II.8.c, se cumplen las siguientes igualdades:

por ser ángulos inscritos que abren el mismo arco.

Por lo tanto, si el cuadrilátero ABCD es cíclico entonces el ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.

Demostraremos el recíproco del resultado anterior.

Caso 2. Clic para ver su demostración.

Recíprocamente, si alguna de las igualdades de la (1) a la (4) es verdadera, entonces el cuadrilátero convexo ABCD es cíclico.

P1.
Sea ABCD el cuadrilátero convexo y supongamos que .
Por construcción, los puntos A y B están del mismo lado de la recta que pasa por C y D.

P2.
Construimos el circuncírculo del triángulo DAC. Los puntos C y D dividen a la circunferencia en dos arcos, en uno de ellos se encuentra A.

P3.
Por el Teorema II.8.c , todos los puntos X de este arco satisfacen que .

Ahora, supongamos que B' es tal que , y que B' está del mismo lado que A respecto a la recta que pasa por C y D. Demostraremos que B' está en el arco de circunferencia que contiene al punto A.

P4.
Si B' no está en el arco que contiene al punto A, sea B'' la intersección de DB' con el arco que contiene a A.

P5.
Por el Teorema II.8.c , tenemos que .
Por lo tanto, .
Pero esto no puede ser, pues tendríamos que dos rectas CB' y CB'', cortadas por una transversal DB', las corta en ángulos correspondientes iguales, con lo cual, por la Proposición I.28, tales rectas deben ser paralelas, pero este no es el caso, pues ambas tienen a C como punto común.
Por lo tanto, el punto B' está en el arco que contiene al punto A del circuncírculo del triángulo DAC.

P6.
Por lo tanto, el punto B que satisface , pertenece al circuncírculo del triángulo DAC.
Por lo tanto, el cuadrilátero ABCD es cíclico.

Q.E.D.