Hipótesis: Sea ABCD un cuadrilátero convexo, tal que
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Contrarrecíproca, es decir, demostraremos que
Si el cuadrilátero convexo ABCD no es cíclico, entonces .
P1.
Sea ABCD el cuadrilátero convexo y sea O un punto tal que el triángulo es semejante al triángulo
.
Por lo tanto, .
P2.
En los triángulos y
los ángulos
son iguales y por (1),
, los lados correspondientes son proporcionales. Por el Teorema de semejanza LAL, los triángulos
y
son semejantes.
Por lo tanto, .
P3.
Por otro lado, el
Teorema II.8.g y el
Teorema II.8.h nos dicen que:
Es decir,
.
P4.
Por lo tanto,
Por lo tanto, si el cuadrilátero ABCD no es cíclico entonces .
Por lo tanto, por (2), sabemos , y por (1) que
.
Sustituyendo en (5) los valores de OC y OB, concluimos que
.
Por lo tanto, si el cuadrilátero ABCD no es cíclico, entonces .
Q.E.D.