Este teorema es la Proposición III.20 del Libro III de Euclides.

Hipótesis: Sean ABC un círculo, el ángulo central , el ángulo inscrito , y ambos ángulos subtienden el mismo arco de circunferencia .

Tesis:
Demostrar que
.

Demostración.

Supongamos que el centro E del círculo está en el interior del ángulo inscrito .

P1.
Unimos A con E, y prolongamos este segmento hasta el punto F.

P2.
Como EA = EB, entonces por la Proposición I.5, en el triángulo , tenemos que .
Por lo tanto,

P3.
Por la Proposición I.32,

pues el ángulo es un ángulo externo del triángulo.

Por lo tanto, de (1) y (2) tenemos:
.
Es decir, el ángulo es el doble del ángulo .

P4.
Por la misma razón, el ángulo es el doble del ángulo .
Es decir,

P5.
Por lo tanto, todo el ángulo es el doble del ángulo
Es decir,
.

P6.
Ahora, sean un ángulo inscrito y un ángulo central. Ambos subtienden el mismo arco de circunferencia , pero el centro E no está en el interior del ángulo inscrito.

P7.
Construimos el segmento DE y lo prolongamos hasta el punto G.

P8.
Similarmente podemos probar que el ángulo es el doble del ángulo .
Puesto que es un ángulo externo del triángulo , por la Proposición I.32, tenemos .
Por lo tanto,
.

P9.
Luego, el ángulo es el doble del ángulo , pues es un ángulo externo del triángulo .
Por lo tanto, .

P10.
Por otro lado,

pero,

y

Por lo tanto,
.
esto implica que,

Por lo tanto,

Por lo tanto, el ángulo central es el doble del ángulo , es decir, .

Por lo tanto, si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.

Q.E.D.