Este teorema es la Proposición III.1 del Libro III de Euclides.

Hipótesis: Sea ABL el círculo dado.

Tesis:
Encontrar el centro del círculo ABL.

Demostración.

P1.
Dibujamos el segmento AB que atraviese al círculo ABL.

P2.
Por la Proposición I.10, podemos bisecar AB en el punto D.

P3.
Por la Proposición I.11, podemos dibujar una recta DC desde D en ángulo recto a AB, y prolongamos DC hasta el punto E.

P4.
Bisecamos CE en el punto F.

Afirmamos que F es el centro del círculo ABL.
Porque si no lo fuera, podemos suponer que hay un punto G, , tal que G es el centro del círculo ABL y que no está sobre EC .
Porque si G estuviese sobre EC, tendríamos que EG=GC, y como EF=FC, necesariamente G=F, lo cual no puede ser.

P5.
Unimos GA , GD y GB.

P6.
Como AD = DB, y GD es un lado común, los dos lados AD y GD son iguales a los dos lados DB y GD respectivamente. Y la base GA es igual a la base GB, porque son radios , entonces por la Proposición I.8, los triángulos son iguales, .

P7.
Y por lo tanto, .

P8.
Por la Definición I.10, cuando una recta se levanta sobre otra creando ángulos adyacentes iguales entre sí, entonces cada uno de esos ángulos es recto.
Por lo tanto, el ángulo es recto.
Pero el ángulo es también recto.
Por lo tanto, , el ángulo mayor es igual al menor, lo cual es imposible.

Por lo tanto, G no es el centro del círculo.

De manera similar podemos probar que ningún otro punto, a excepción de F, no es el centro del círculo.

Por lo tanto, el punto F es el centro del círculo ABL.

Q.E.D.