Hipótesis: Sean A y C dos puntos fijos.
Tesis: |
Demostración.
Sea B un punto del conjunto, es decir, .
Demostraremos que cualquier punto B' del circuncírculo del triángulo ABC satisface que y que AC es su diámetro, con lo cual cada punto del circuncírculo es elemento del conjunto.
Luego, veremos que todos los puntos del conjunto son solamente los puntos del circuncírculo del triángulo ABC .
P1.
Construimos el circuncírculo del triángulo ABC. Los puntos A y C dividen a la circunferencia en dos arcos, en uno de ellos se encuentra B.
P2.
Sea B' cualquier punto del circuncírculo.
Si B' y B se encuentran en el mismo arco AC, por el Teorema II.8.c, satisface que . Por lo tanto,
. Por lo tanto, los puntos B' del arco AC donde se encuentra B son puntos del conjunto.
P3.
Si B' y B están en arcos distintos, por el
Teorema II.8.b, tenemos:
.
Por lo tanto, . Por lo tanto, los puntos B' del arco AC donde no se encuentra B también son puntos del conjunto.
P4.
En ambos casos, por el
Teorema II.8.b tenemos , y
.
Por lo tanto, y
. Lo cual indica que los puntos A, O y C son colineales. Y en consecuencia, AC es diámetro del circuncírculo del triángulo ABC.
Ahora, demostraremos que los puntos del conjunto son los puntos del circuncírculo del triángulo ABC
P5.
Supongamos que B' es un punto del conjunto, es decir, y que se encuentra del mismo lado que el punto B con respecto a la recta por A y C.
Si B' no está sobre el circuncírculo del triángulo ABC, sea B'' el punto de intersección de AB' con el circuncírculo.
P6.
Por el Teorema II.8.c, tenemos que .
Por lo tanto, .
Pero esto no puede ser, porque tendríamos que dos rectas rectas CB' y CB'', cortadas por una transversal AB', las corta con ángulos correspondientes iguales, y por la Proposición I.28, tales rectas debían ser paralelas, pero no es así pues tienen el punto C en común.
P7.
Por lo tanto, dados A y C dos puntos fijos, el conjunto de puntos B que cumple que es una circunferencia de diámetro AC.
Q.E.D.