Reescribiendo la Proposición I.5 en lenguaje actual:
1.5 En todo triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales, y si los lados iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán también iguales.
Hipótesis: ABC es un triángulo isósceles,
donde AB = BC.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 2, sean BD y CE las prolongaciones de los lados AB y AC, respectivamente.
P2.
Sea F un punto arbitrario sobre BD.
P3.
Por la Proposición I.3, podemos trazar sobre AE un segmento AG tal que
AG = AF.
P4.
Construimos, por el Postulado 1, el segmento FC. Formamos el triángulo .
P5.
Construimos, por el Postulado 1, el segmento GB. Formamos el triángulo .
P6.
Según la Proposición I.4, como
AF = AG y AB = AC
y el ángulo es común a ambos triángulos, entonces
P7.
En particular, los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales. Por lo tanto,
(1) |
|
P8.
Por otro lado, tenemos formados otros dos triángulos, y
, que tienen como base común el lado BC.
Además,
AF = AB + BF y AG = AC + CG,
pero AF = AG, y por hipótesis AB = AC.
Por lo tanto , BF = CG.
Pero, también sabemos que, FC = BG .
Por lo tanto, BF = CG y FC = BG, y , y la base BC es común a ambos triángulos.
P9.
Por lo tanto, nuevamente la Proposición I.4, los triángulos y
son iguales, los ángulos restantes de un triángulo son iguales a los ángulos restantes del otro, a saber aquellos opuestos a los lados iguales.
Por lo tanto,
(2) |
|
P10.
Por (1), sabemos que .
Pero,
y
.
Por lo tanto,
.
Y por (2), sabemos que .
Por lo tanto,
,
que son los ángulos que están en la base del triángulo ABC.
También por (2) sabemos que , que son los ángulos que están por debajo de la base del triángulo ABC.
Esto es, que .
Por lo tanto, en todo triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y si los lados iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán también, iguales entre sí.
Q.E.D.
La Proposición I.5 es la primera que tiene una demostración larga y era conocida en las Universidades de la Edad Media por el "Pons asinorum", o el puente de los asnos. El nombre le viene de la forma de su dibujo y de que los alumnos malos les costaba pasar de esta proposición como a los asnos les cuesta cruzar un puente.