Hipótesis: Sean P' y Q' puntos sobre las tangentes en P y Q de una circunferencia de centro O y radio , P' y Q' del mismo lado de la línea PQ y tales que
.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Prolongamos las rectas tangentes PP' y QQ'.
Sea S su punto de intersección.
P2.
Por el
Teorema II.9.b y el
Teorema II.9.c , la potencia de S con respecto a la circunferencia es .
En consecuencia, . Por lo tanto, el triángulo
PSQ es un triángulo isósceles.
P3.
Como y
, entonces
.
Por lo tanto, el triángulo Q'SP' también es isósceles.
P4.
Por P' y Q', construimos perpendiculares a PP' y QQ'.
Sea V su punto de intersección.
P5.
El triángulo Q'SP' es isósceles, entonces por la
Proposición I.5 , los ángulos debajo de la base son iguales entre sí, por lo tanto, .
P6.
Y como los ángulos y
son ángulos rectos, entonces en el triángulo P'VQ' sus ángulos en la base
y
son iguales.
Por lo tanto, por la
Proposición I.6 , en el triángulo P'VQ', lados VP' y VQ' son iguales.
P7.
Los lados VP' y VQ' son perpendiculares a las rectas PP' y QQ' en P' y Q', respectivamente.
Por lo tanto, podemos construir la circunferencia con centro en V y radio VQ', que es tangente a las rectas PP' y QQ' en P' y Q'.
P8.
Por lo tanto, existe una circunferencia tangente a PP' y QQ' en P' y Q'.
Q.E.D.