Hipótesis: Sean P' y Q' puntos sobre las tangentes en P y Q de una circunferencia de centro O y radio , P' y Q' del mismo lado de la línea PQ y tales que PP'=QQ'.

Tesis:
Demostrar que
existe una circunferencia tangente a PP' y QQ' en P' y Q'.

Demostración.

P1.
Prolongamos las rectas tangentes PP' y QQ'. Sea S su punto de intersección, y formándose así el triángulo PSQ.

P2.
Por el Teorema II.9.b, la potencia de S con respecto a la circunferencia es :
En consecuencia, . Por lo tanto, el triángulo PSQ es un triángulo isósceles.

P3.
Como y , entonces .
Por lo tanto, el triángulo Q'SP' también es isósceles.

P4.
Construimos la bisectriz del ángulo , que cruza el lado P'Q' en T y al lado PQ en U.
Por el Teorema II.7.h, el lado opuesto P'Q' queda dividido en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes, es decir, .
Por lo tanto, .

P5.
Por P' y Q', construimos perpendiculares a PP' y QQ'.
Sea V el punto de intersección de las mismas. Formándose el triángulo P'VQ'.

P6.
El triángulo Q'SP' es isósceles, entonces por la Proposición I.5, los ángulos debajo de la base son iguales entre sí, por lo tanto, .

P7.
Y como los ángulos y son ángulos rectos, entonces en el triángulo P'VQ' sus ángulos en la base y son iguales.

P8.
Por la Proposición I.6, los lados VP' y VQ' son iguales. Por lo tanto, podemos construir la circunferencia con centro en V y radio VQ', que es tangente en P' y Q' a las rectas PP' y QQ'.

Q.E.D.