Hipótesis: Sean el triángulo ABC y las mediatrices de los lados BC, CA y BA respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sean las mediatrices de los lados BC y CA del triángulo ABC,
y O su punto de intersección.
P2.
Como O está en la mediatriz , por el Lema II.6.e, se cumple que
.
P3.
Y como O está en la mediatriz , por el Lema II.6.e, se cumple que
.
P4.
Por (1) y (2), concluimos que O satisface .
P5.
Por el Lema II.6.e, concluimos que O está en la mediatriz .
Q.E.D.
El punto de concurrencia de las mediatrices de un triángulo, denotado por O, se conoce como el circuncentro.
Como los vértices son equidistantes de O, la circunferencia de centro O y radio R (la distancia común a los vértices) pasa por los vértices.
La circunferencia se llama el circuncírculo del triángulo y el radio R es el circunradio.