Reescribiendo la proposición I.36 en lenguaje actual:
I.36 Los paralelogramos que tienen bases iguales y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
Hipótesis: Sean ABCD y EFGH paralelogramos cuyas bases BC y FG son iguales y están contenidas en las mismas paralelas AH y BG.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 1, podemos construir los segmentos BE y CH.
P2.
Puesto que BC es igual a FG y como EFGH es un paralelogramo, por la Proposición I.34, tenemos que FG es igual a EH. Luego, por la Noción común 1, concluimos que BC es igual EH.
P3.
Por lo tanto, BC y EH son iguales y también son paralelos, y los segmentos BE y CH unen sus extremos, por la Proposición I.33, tenemos que EBCH es un paralelogramo.
P4.
Por la Proposición I.35 el área del paralelogramo EBCH es igual al área del paralelogramo ABCD, pues los paralelogramos tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas BC y AH.
P5.
También por la misma Proposición I.35, el área del paralelogramo EFGH es igual al área del paralelogramo EBCH.
P6.
Y por la Noción común 1, concluimos que el área del paralelogramo ABCD también es igual al área del paralelogramo EFGH.
Por lo tanto, los paralelogramos que tienen bases iguales y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
Q.E.D.