Reescribiendo, en lenguaje actual, la proposición I.8 (segundo criterio de congruencia de triángulos):
1.8 Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, entonces los dos triángulos son congruentes. (LLL ).
Hipótesis:
y
son triángulos tales que
BA = ED, AC = DF y BC = EF.
Tesis: |
Demostración.
Para demostrar la tesis aplicaremos el método de superposición.
Si el triángulo es superpuesto sobre el triángulo
, de tal manera que,
P1.
el punto B es colocado sobre el punto E y el segmento BC sobre el segmento EF, entonces el punto C coincide con el punto F, puesto que BC = EF.
Ahora, no puede suceder que los lados BA y AC no coincidan con los lados ED y DF.
P2.
Porque si BA y AC no coincidieran con ED y DF respectivamente, serían
P3. como dos segmentos EG y GF tales que
pero que se juntan en un punto G distinto del punto D.
P4.
Pero, según la Proposición I.7,
los segmentos EG y GF no pueden ser construidos de la manera que se indica en el paso P3.
P5.
Por lo tanto, no es posible que si la base BC es sobrepuesta a la base EF, los lados BA y AC no coincidan con los lados ED y DF.
Por lo tanto estos lados coinciden, así que el ángulo coincide con el ángulo
, y por la noción común 4, tenemos que
.
Por lo tanto, si los triángulos y
tienen los tres lados de uno respectivamente iguales a los tres del otro, entonces también tienen iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales, y por lo tanto los triángulos son iguales,
.
Q.E.D.