Reescribiendo la proposición I.13, en lenguaje actual:

1.13 Si un segmento trazado sobre otro forma ángulos, entonces se forman dos ángulos rectos o dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos.

Hipótesis: Sea AB el segmento trazado sobre el segmento CD.

Tesis:
Demostraremos que

Demostración.

Sea AB el segmento trazado sobre el segmento CD, formándose los ángulos adyacentes y .

Entonces, puede suceder dos casos: que los ángulos y sean iguales o que no lo sean.

P1.
Caso I. Si los ángulos son iguales (y son adyacentes).

Es decir, si y son adyacentes, entonces por la Definición I.10, cada uno de ellos es un ángulo recto.

Por lo tanto,

P2.
Caso II. Si los ángulos no son son iguales (y son adyacentes).
Es decir, si .

P3.
Entonces, por la Proposición I.11, construimos la recta BE a partir de B en ángulo recto a CD.
Por lo tanto, los ángulos y son ángulos rectos.

P4.
Puesto que

P5.
Por la Noción común 2, sumando en ambos lados , tenemos la igualdad (1)

P6.
Por otro lado,

P7.
Por la Noción común 2, sumando en ambos lados , tenemos la igualdad (2)

P8.
Y por la Noción común 1, cosas que son iguales a una misma cosa, son iguales entre sí, es decir, igualando (1) y (2) obtenemos:
.

Pero, los ángulos y son ángulos rectos.

Por lo tanto,

.

Por lo tanto, si un segmento trazado sobre otro forma ángulos, entonces se forman dos ángulos rectos o dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos.

Q.E.D.