Reescribiendo la proposición I.16, en lenguaje actual:
1.16 En todo triángulo, si uno de sus lados es prolongado, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos a él.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo y sea BC el lado prolongado al punto D.
Sea un ángulo exterior.
Tesis: |
Demostración.
Sean los ángulos interiores y opuestos a
.
P1.
Por la Proposición I.10 , podemos bisecar AC en el punto E. Por lo tanto, AE = EC.
Y formamos el segmento BE.
P2.
Prolongamos BE hasta un punto F de tal manera que, por la Proposición I.3, podemos hacer que BE = EF.
P3.
Por el Postulado 1, formamos el segmento CF.
P4.
Así, tenemos dos triángulos: y
, tales que los lados AE = EC y BE = EF, respectivamente. Y por la Proposición I.15 , los ángulos
son iguales.
P5.
Por lo tanto, según la Proposición I.4 ,
la base AB es igual a la base CF,
los triángulos ,
y los ángulos restantes son iguales respectivamente a los ángulos restantes, a saber, aquellos opuestos a los lados iguales.
P6.
Por lo tanto, .
Pero, por la Noción común 5, el todo es mayor que la parte, por lo tanto .
Que es lo mismo que .
P7.
Por lo tanto, .
P8.
Similarmente, si el lado BC es bisectado, entonces también podemos probar que el ángulo es mayor que el ángulo
. Pero, por la Proposición I.15 sabemos que
.
Por lo tanto, el ángulo es mayor que el ángulo
.
Por lo tanto, en cualquier trtiángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos internos y opuestos a él.
Q.E.D.