Hipótesis: Sea ABC un triángulo cualquiera.

Sea AD la altura desde el vértice A.
Supongamos que los lados del triángulo tienen longitudes , y y que la altura AD tiene longitud .

Tesis:
Demostrar que

Demostración.

Existen dos posibilidades para el pie de altura D: que D esté dentro del segmento BC o que D esté en la prolongación de BC.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

Si D está dentro del segmento BC

P1.
Hagamos , entonces .

P2.
Entonces , por el Teorema II.3.a,
.

Caso 2. Clic para ver su demostración.

Si D está fuera del segmento BC.

P1.
Supongamos que B está entre D y C.
Hagamos .
Tenemos formado un triángulo rectángulo ABD de base y altura .

P2.
Hagamos .
Tenemos formado un triángulo rectángulo ADC de base y altura .

P3.
Por lo tanto, y por el Teorema II.3.a,
.

Q.E.D.