Este Teorema es la Proposición III.31 del Libro III de Euclides.
Hipótesis: Sea ABCD un círculo. Sea BC su diámetro y E su centro. Unimos BA, AC, AD y DC .
Tesis: |
Demostración.
Demostraremos que el ángulo inscrito en el semicírculo CAB es recto, que el ángulo
inscrito en el segmento ABC, mayor que el semicírculo, es menor que un ángulo recto, y que el ángulo
inscrito en el segmento ADC, menor que el semicírculo, es mayor que un ángulo recto.
P1.
Construimos el segmento AE y prolongamos BA hasta el punto F.
P2.
Por la Proposición I.5, como , entonces
.
P3.
Nuevamente por la Proposición I.5, como , entonces
.
P4.
Por lo tanto, .
P5.
Por la Proposición I.32, el ángulo exterior al triángulo ABC es igual a la suma de los dos ángulos opuestos e internos. Por lo tanto,
.
P6.
Por lo tanto, por (1) y (2) tenemos que ,
y son suplementarios, entonces cada uno de ellos es un ángulo recto. Por lo tanto, el ángulo inscrito en el semicírculo es recto.
P7.
Como en el triángulo ABC, por la Proposición I.17, la suma de los dos ángulos y
es menor que dos rectos, y el ángulo
es recto, entonces el ángulo
es menor que un ángulo recto.
P8.
Como ABCD es un cuadrilátero cíclico, por el Teorema II.8.g, la suma de sus ángulos opuestos es igual a dos ángulos rectos y como el ángulo es menor que un ángulo recto, entonces el ángulo restante
es mayor que un ángulo recto.
Q.E.D.