Hipótesis: Sea AB un segmento y P un punto de la mediatriz de AB.

Tesis:
Demostrar que

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

Primero, demostremos que si P está en la mediatriz del segmento AB, entonces
PA = PB.

P1.
Sea P un punto de la mediatriz del segmento AB, y sea M el punto medio de AB.

P2.
Formamos los triángulos rectángulos .
Estos triángulos tienen dos lados iguales (AM=MB y PM es común) y los ángulos entre los lados que se comparan son rectos.
Por la Proposición I.4, criterio de congruencia LAL, los triángulos son congruentes, esto es, .

P3.
Por lo tanto, PA = PB.

Q.E.D.

Caso 2. Clic para ver su demostración.

Ahora, demostremos que si P es un punto que satisface que PA = PB, entonces P está en la mediatriz de AB.

P1.
Sea el pie de la perpendicular de P sobre el segmento AB.

P2.
Entonces los triángulos rectángulos tienen dos pares de lados iguales, PA = PB y PM´ que es lado común.

P3.
Por la Proposición I.47, Teorema de Pitágoras, los otros dos catetos son iguales, esto es, AM´= M´B.

P4.
Es decir, es el punto medio del segmento AB. Por lo tanto, P está en la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento AB. Es decir, P está en la mediatriz del segmento AB.

Q.E.D.