Reescribiendo la proposición I.32 en lenguaje actual:
I.32 En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es la suma de los dos ángulos internos no adyacentes, y los ángulos internos del triángulo suman 180º.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo, y sea BC el lado prolongado a D.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Prolongamos el lado BC hasta el punto D, con lo cual tenemos el ángulo externo .
P2.
Por la
Proposición I.31 , podemos dibujar la recta CE que pasa por C paralela a AB.
P3.
Por la
Proposición I.29 , como AB y CE son paralelas, y AC es una transversal a ellas, tenemos que
=
.
P4.
Como AB y CE son paralelas, y BD es una transversal a ellas, entonces por la Proposición I.29, tenemos que el ángulo externo es igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado
.
Es decir, =
.
Por lo tanto,
,
pero
P5.
Lo cual implica , que es uno de los resultados que deseábamos probar.
P6.
Luego, sumando en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos
Por la Proposición I.13, se cumple que .
P7.
De
donde, .
Por lo tanto, en cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos y opuestos, y la suma de los ángulos internos del triángulo es igual a 180º.
Q.E.D.