Hipótesis: Sean el triángulo ABC y los puntos medios A´, B´y C´ de los lados BC, AC y AB respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Construimos dos de las tres medianas, BB´ y CC´ que se intersectan en el punto G.
P2.
Sean L y M los puntos medios de GB y GC.
P3.
Por el Lema II.6.a, tenemos que C´B´ y LM son paralelos
a BC,
y .
P4.
Por lo tanto, C´B´ y LM son paralelos y miden lo mismo.
En consecuencia, B´C´LM es un paralelogramo.
P5.
Como las diagonales de un paralelogramo se bisecan, tenemos que
y
.
Por lo tanto, la mediana BB´ se triseca en el punto G, y la mediana CC´ también se triseca en el punto G.
P6.
Igualmente la mediana AA´se triseca en el punto G. Es decir, que se G cumple la relación .
Q.E.D.
El punto G de concurrencia de las medianas de un triángulo se llama baricentro, centroide, o gravicentro.