Reescribiendo la proposición I.32 en lenguaje actual:

I.32 En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es la suma de los dos ángulos internos no adyacentes, y los ángulos internos del triángulo suman 180º.

Hipótesis: Sea ABC un triángulo, y sea BC el lado prolongado a D.

Tesis:
Demostrar que:

y que la suma de los ángulos
internos del triángulo suman 180ş,
esto es,

Demostración.

P1.
Prolongamos el lado BC hasta el punto D, con lo cual tenemos el ángulo externo .

P2.
Por la Proposición I.31 , podemos dibujar la recta CE que pasa por C paralela a AB.

P3.
Por la Proposición I.29 , como AB y CE son paralelas, y AC es una transversal a ellas, tenemos que
= .

P4.
Como AB y CE son paralelas, y BD es una transversal a ellas, entonces por la Proposición I.29, tenemos que el ángulo externo es igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado .
Es decir, =.

Por lo tanto,
   ,
pero

P5.
Lo cual implica , que es uno de los resultados que deseábamos probar.

P6.
Luego, sumando en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos

Por la Proposición I.13, se cumple que .

P7.
De donde, .

Por lo tanto, en cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos y opuestos, y la suma de los ángulos internos del triángulo es igual a 180º.

Q.E.D.