La construcción muestra una de las muchas formas en las que un hexágono ABCDEF, inscrito en una circunferencia, puede ser arreglado.
Hipótesis: Supongamos que los puntos L, M y N, son puntos de intersección de los lados opuestos AB con ED, CD con FA, y BC con EF, respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
Demostraremos que los tres puntos de intersección L, M y N son colineales.
P1.
Sean V y W las intersecciones de los lados AB con EF, y AB con CD, respectivamente.
Prolonguemos los lados EF y CD, de tal forma que se intersecten en un punto U.
P2.
La recta que contiene los puntos L, D y E intersecta los lados (o prolongaciones) del triángulo UVW, por el
Teorema II.7.f (parte directa del Teorema de Menelao) se cumple que .
P3.
De manera análoga, aplicando el
Teorema II.7.f a la terna de puntos A, M y F sobre los lados del triángulo UVW, tenemos .
P4.
Nuevamente, los puntos B, C y N están en una línea que intersecta los lados (o prolongaciones) del triángulo UVW, por el
Teorema II.7.f, se cumple .
P5.
Las cuerdas EF y CD de la circunferencia se intersectan en el punto U, por el
Teorema II.9.a se cumple .
Por lo tanto,
.
P6.
Las cuerdas AB y EF de la circunferencia se intersectan el el punto V, por el
Teorema II.9.a, se cumple .
Por lo tanto, .
P7.
Las cuerdas CD y AB de la circunferencia se intersectan en el punto W, por el
Teorema II.9.a, se cumple .
Por lo tanto, .
P8.
Multiplicando las ecuaciones (1), (2) y (3) miembro a miembro, obtenemos
.
Reordenando los factores, nos queda
Nuevamente, reordenando factores
Como estamos considerando segmentos dirigidos, entonces
Considerando las igualdades (4), (5) y (6), obtenemos
.
Por lo tanto, ,
de aquí, por el
Teorema II.7.g (Recíproco del Teorema de Menelao), los puntos L, M y N son colineales.
La línea en que están L, M y N es llamada la línea de Pascal.
Q.E.D.