Hipótesis: Sea ABC el triángulo y DE una recta paralela a la base BC.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Dibujamos BE.
P2.
Entonces los triángulos y
tienen la misma altura desde el vértice E, y según el Teorema II.3.c, la razón de sus bases es igual a la razón de sus áreas, así:
.
P3.
Dibujamos DC.
P4.
Entonces los triángulos y
tienen la misma altura desde el vértice D, por lo tanto la razón de sus bases es igual a la razón de sus áreas,
por lo tanto .
P5.
Los triángulos y
tienen a DE como base común, y como DE y BC son paralelas, las respectivas alturas sobre esta base miden lo mismo, así
.
P6.
Por lo tanto,
De (1) y (2) y de ecuación anterior obtenemos:
La relación
.
Esto es, si tenemos dos rectas paralelas, la proporción que hay entre las rectas transversales que las cortan se conserva, sin importar quienes son las rectas transversales.
Q.E.D.