Reescribiendo la proposición I.27 en lenguaje actual:
I.27 Si una transversal a dos rectas forma con éstas ángulos alternos internos iguales entre sí, entonces las rectas son paralelas.
Hipótesis: Sea EF la transversal a las rectas AB y CD tal que forma los ángulos alternos internos y
iguales entre sí.
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al absurdo.
Afirmamos que la recta AB es paralela a la recta CD.
Pues si esto no fuera así, es decir, si AB y CD no fuesen paralelas al prolongarlas se intersectarían, ya sea que la prolongación la hiciéramos en la dirección de B y D o en la dirección de A y C.
P1.
Supongamos que prolongamos AB y CD en la dirección de B y D, y que se juntan en un punto G.
P2.
Entonces, en el triángulo , el ángulo exterior
es igual al ángulo interior y opuesto
, pero según la
Proposición I.16, esto es imposible
Por lo tanto, AB y CD cuando son prolongadas en la dirección de B y D, no se intersectan.
P3.
Similarmente, podemos demostrar que las rectas AB y CD tampoco se intersectan cuando son prolongadas en la dirección de A y C.
P4.
Por la Definición I.23, líneas rectas que no se intersectan en ninguna dirección son paralelas.
Por lo tanto, AB y CD son rectas paralelas.
Por lo tanto, si una transversal a dos rectas forma ángulos alternos internos iguales entre sí, entonces las rectas son paralelas.
Q.E.D.