Hipótesis: Los triángulos PQR y P'Q'R' están en perspectiva desde una recta, es decir, sus pares de lados correspondientes se intersectan en tres puntos que son colineales.
Sea D el punto de intersección de las rectas QR y Q'R',
E el punto de intersección de las rectas RP y R'P'
y F el punto de intersección de las rectas PQ y P'Q'.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sabemos que los triángulos PQR y P'Q'R' están en perspectiva desde una recta, y los puntos D, E y F
son colineales.
Sea O el punto de intersección de las rectas PP' y RR'.
Para que el punto O sea el punto de fuga de los triángulos, necesitamos demostrar que la recta QQ`pasa por dicho punto.
Es decir, demostraremos que O, Q y Q' son colineales.
P2.
Los triángulos FPP' y RDR' están en perspectiva desde el punto E, pues las rectas que unen los puntos correspondientes concurren en el punto E.
P3.
Además sus pares de lados correspondientes se intersectan, a saber, PF y RD se intesectan en Q, FP' y DR' se intersectan en Q', y R'R y P'P se intersectan en O .
P4.
Por lo tanto, aplicando la parte directa del teorema de Desargues, Teorema II.7.j, a los triángulos FPP' y RDR', concluimos que los puntos Q,Q' y O son colineales.
Por lo tanto, el punto O es el punto de fuga de los triángulos PQR y P'Q'R'.
Q.E.D.