Reescribiendo la proposición I.19, en lenguaje actual:
1.19 En todo triángulo al ángulo más grande se opone el lado más grande.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo tal que el .
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por reducción al absurdo.
P1.
Sabemos que .
Si AC no fuera mayor que AB, entonces
AC = AB o AC < AB.
P2.
Si AC = AB, entonces por la
Proposición I.5 ,
P3.
Tenemos que, =
.
En contradicción con la hipótesis.
Por lo tanto, AC no puede ser igual a AB.
P4.
Ahora, si AC < AB entonces por la
Proposición I.18,
P5.
Tenemos que, <
.
En contradicción con la hipótesis.
Por lo tanto, AC no puede ser menor que AB.
P6.
Por lo tanto, como AC no puede ser igual a AB y AC no puede ser menor que AB, entonces
AC > AB.
Por lo tanto, en cualquier triángulo el lado opuesto al ángulo más grande es el más grande.
Q.E.D.