Reescribiendo la proposición I.42 en lenguaje actual:
I.42 Construir un paralelogramo de igual área a la de un triángulo dado en un ángulo dado.
Hipótesis: Sea ABC el triángulo dado, y sea D el ángulo rectilíneo dado.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por la Proposición I.10, podemos bisecar el segmento BC en el punto E.
Y por el Postulado 1, unimos A con E, construyendo la recta AE.
P2.
Por la Proposición I.23, podemos construir sobre la recta EC y en el punto E un ángulo CEF igual al ángulo D.
P3
Por la Proposición I.31, podemos dibujar AG por A paralela a EC, y dibujar CG por C paralela a EF.
P4.
Por lo tanto, FECG es un paralelogramo.
P5.
Por la Proposición I.38, el área del triángulo ABE es igual al área del triángulo AEC, pues sus bases son iguales, BE = EC, y están en las mismas rectas paralelas BC y AG.
P6.
Por lo tanto, el área del triángulo ABC es el doble del área del triángulo AEC.
P7.
Luego, por la Proposición I.41, el área del paralelogramo FECG es también el doble del área del triángulo AEC, porque tienen la misma base y están en las mismas rectas paralelas.
P8.
Por la Noción común 1, el área del paralelogramo FECG es igual al área del triángulo ABC, y tiene el ángulo CEF igual al ángulo dado D.
Por lo tanto, el paralelogramo FECG ha sido construido con área igual a la del triángulo dado ABC, en el ángulo CEF que es igual al ángulo dado D.
Q.E.D.