Reescribiendo la proposición I.37 en lenguaje actual:

I.37  Los triángulos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.

Hipótesis: Sean ABC y DBC dos triángulos que tienen la misma base BC y están contenidos en las mismas paralelas AD y BC.

Tesis:
Demostrar que:
el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DBC.

Demostración.

P1.
Por el Postulado 2, podemos prolongar AD en ambas direcciones hasta E y F.

P2.
Por la Proposición I.31, podemos dibujar BE por el punto B paralela a CA, y dibujar CF por el punto C paralela a BD.

P3.
Luego, cada una de las figuras EBCA y DBCF es un paralelogramo, y por la Proposición I.35, sus áreas son iguales, pues comparten la misma base y están contenidos en las mismas paralelas.

P4.
Por la Proposición I.34, el área del triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo EBCA, pues el lado AB es una diagonal del paralelogramo.

P5.
Y por la misma Proposición I.34, el área del triángulo DBC es la mitad del área del paralelogramo DBCF, pues la diagonal DC lo biseca.

P6.
Luego, por la Noción común 1, el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DBC.

Por lo tanto, los triángulos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.

Q.E.D.