Reescribiendo la proposición I.24, en lenguaje actual:
1.24 Si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos de los lados del otro, pero de los ángulos comprendidos por los lados iguales es uno mayor que el otro, entonces la base en uno es mayor que la del otro.
Hipótesis: Sean ABC y DEF los dos triángulos que tienen los lados AB, AC respectivamente iguales a los lados DE, DF; esto es AB = DE y AC = DF; pero >
.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sabemos que
>
, y que los lados
AB = DE y AC = DF.
P2.
Aplicando la
Proposición I.23 , construimos en el punto D sobre el segmento DE, el ángulo tal que
.
Y por la
Proposición I.3 , podemos hacer DG igual a alguno de los lados AC o DF (que son iguales). Digamos DG = AC.
P3.
Como AB = DE, y AC = DG, y =
, entonces por la
Proposición I.4 , se sigue que las bases BC y GE son iguales.
.
P4.
Construimos los segmentos GE y GF.
Nuevamente, como DF = DG, por la
Proposición I.5, se sigue que
=
.
P5.
Por lo tanto, >
.
P6.
Por lo tanto, el ángulo es mucho mayor que el ángulo
.
P7.
Ahora, por la
Proposición I.19, puesto que en el triángulo EFG se cumplea que >
, y el lado opuesto al ángulo mayor es mayor, se sigue que
GE > FE, y por (1) sabemos que
GE = BC.
Por lo tanto, BC > FE.
Por lo tanto, si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos del otro, pero de los ángulos comprendidos por los lados iguales es uno mayor que el otro, entonces la base de uno es mayor que la del otro.
Q.E.D.