Hipótesis: Sean P un punto y una circunferencia con centro O y radio .
Y sea la distancia de P a O.

Tesis:
Demostrar que
.

Demostración.

P1.
Sabemos por el Teorema II.9.a, que la potencia de P respecto a una circunferencia es , y que este valor es constante.

P2.
Construimos un diámetro CD que pasa por P .

P3.
Si P está fuera de la circunferencia , por el Teorema II.9.a, entonces

Como PA y PB son segmentos dirigidos con el mismo signo, entonces es positiva.

P4.
Si P está dentro de la circunferencia, por el Teorema II.9.a, tenemos que:
.
Como PA y PB son segmentos dirigidos con signo contrario, entonces es negativa.

P5.
Sabemos que si P está sobre la circunferencia la potencia de P vale cero, esto también coincide con , pues en este caso .

Q.E.D.