Reescribiendo la proposición I.39 en lenguaje actual:
I.39 Triángulos con áreas iguales y que tienen la misma base y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
Hipótesis: Sean ABC y DBC dos triángulos con áreas iguales y que tienen la misma base BC y están del mismo lado.
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por reducción al absurdo.
P1.
Por el Postulado 1, podemos unir A con D, formando así la recta AD.
P2.
Si AD no fuese paralela a BC, entonces, por la Proposición I.31, podemos dibujar AE que pasa por A paralela a BC .
P3.
Por la Proposición I.37, el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo EBC, pues tienen la misma base BC y están en las mismas paralelas.
P4.
Pero el área del triángulo ABC, por hipótesis, es igual al área del triángulo DBC.
P5.
Por lo tanto, por la Noción común 1, el área del triángulo DBC es también igual al área del triángulo EBC, pero esto significa que el área del triángulo mayor es igual al área del triángulo menor, lo cual es imposible.
Por lo tanto AE no es paralela a BC.
P6.
Por lo tanto, AD es paralela a BC.
Por lo tanto, triángulos con áreas iguales y que tienen la misma base y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
Q.E.D.