Hipótesis: Sean A, C, E tres puntos en una recta. Sean B, D, F tres puntos en otra recta. Y sean L, M y N los puntos de intersección de las rectas AB con DE, CD con FA, y EF con BC, respectivamente.

Tesis:
Demostrar que
L, M y N son colineales .

Demostración.

P1.
La manera en que se ha dispuesto los tres puntos sobre una recta y los otros tres sobre la otra recta es totalmente aleatorio. Lo único que debemos cuidar es cómo formar con estos seis puntos un hexágono.

En el caso que se muestra en la construcción de la derecha, se unió A con B, B con C, C con D, D con E, E con F y F con A. Las rectas a las que hace referecia el Teorema, son las determinadas por los lados opuestos del hexágono.

P2.
Siguiendo el esquema que presentamos arriba, los lados opuestos del hexágono determinan las rectas que se intersectan, a saber, AB con DE en el punto L, CD con FA en el punto M, y EF con BC en el punto N.

P3.
Para no considerar puntos en el infinito, supondremos que las tres rectas AB, CD y EF forman un triángulo UVW.

P4.
Aplicamos, la parte directa del teorema de Menelao, Teorema II.7.f, a cada una de las siguientes ternas de puntos que están alineados y, las rectas que los contienen, cruzan los lados (o sus prolongaciones) del triángulo UVW:
a LDE y obtenemos ,

a AMF y obtenemos ,

a BCN y obtenemos ,

a ACE y obtenemos , y

a BDF y obtenemos

Dividimos el producto de (1), (2) y (3) entre el producto de (4) y (5), y obtenemos que el cociente es -1 .

.

Cancelando, obtenemos:
.

P5.


Por lo tanto, por el Teorema II.7.g, recíproco del Teorema de Menelao, obtenemos que L, M y N son colineales

Q.E.D.