Reescribiendo la Proposición I.5 en lenguaje actual:

 1.5 En todo triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales, y si los lados iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán también iguales.

Hipótesis: ABC es un triángulo isósceles,
                    donde AB = BC.

Tesis:
Demostrar que

y que
.

Demostración.

P1.
Por el Postulado 2, sean BD y CE las prolongaciones de los lados AB y AC, respectivamente.

P2.
Sea F un punto arbitrario sobre BD.

P3.
Por la Proposición I.3, podemos trazar sobre AE un segmento AG tal que
AG = AF.

P4.
Construimos, por el Postulado 1, el segmento FC. Formamos el triángulo .

P5.
Construimos, por el Postulado 1, el segmento GB. Formamos el triángulo .

P6.
Según la Proposición I.4, como
AF = AG   y  AB = AC
y el ángulo   es común a ambos triángulos,  entonces

P7.
En particular, los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales. Por lo tanto,

(1)


y

P8.
Por otro lado, tenemos formados otros dos triángulos, y , que tienen como base común el lado BC.
Además,
AF = AB + BF   y   AG = AC + CG,
pero    AF = AG, y por hipótesis AB = AC.
Por lo tanto , BF = CG.
Pero, también sabemos que,  FC = BG .

Por lo tanto, BF = CG   y   FC = BG, y , y la base BC es común a ambos triángulos.

P9.
Por lo tanto, nuevamente la Proposición I.4, los triángulos y son iguales, los ángulos restantes de un triángulo son iguales a los ángulos restantes del otro, a saber aquellos opuestos a los lados iguales.
Por lo tanto,

(2)


y

P10.
Por (1), sabemos que      .
Pero,

y
.
Por lo tanto,
       .
Y por (2), sabemos que .

Por lo tanto,
    ,
que son los ángulos que están en la base del triángulo ABC.

También por (2) sabemos que , que son los ángulos que están por debajo de la base del triángulo ABC.
Esto es, que
.
Por lo tanto, en todo triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y si los lados iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán también, iguales entre sí.

Q.E.D.

La Proposición I.5 es la primera que tiene una demostración larga y era conocida en las Universidades de la Edad Media por el "Pons asinorum", o el puente de los asnos. El nombre le viene de la forma de su dibujo y de que los alumnos malos les costaba pasar de esta proposición como a los asnos les cuesta cruzar un puente.