Reescribiendo la proposición I.48 en lenguaje actual:
I.48 Si en un triángulo el área del cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.
Hipótesis: En el triángulo ABC el área del cuadrado sobre el lado BC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados BA y AC.
Esto es, .
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por la Proposición I.11, podemos dibujar desde el punto A, la recta AY en ángulo recto a la recta AC.
P2.
Y por la Proposición I.3, construimos AD igual a BA.
P3.
Por el Postulado 1, unimos D con C, formando la recta DC.
P4.
Como DA = AB, entonces el área del cuadrado sobre DA es igual al área del cuadrado sobre AB.
Esto es, .
P5.
Sumamos el área del cuadrado sobre AC a cada una de las áreas anteriores.
Entonces, por la Noción común 2, la suma de las áreas de los cuadrados sobre DA y AC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre AB y AC.
P6.
Puesto que el ángulo es recto, entonces por la Proposición I.47, tenemos que el área del cuadrado sobre DC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre DA y AC,
.
P7.
Pero, por hipótesis el área del cuadrado sobre BC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre BA y AC.
P8.
Por lo tanto, por la igualdad (1) y por la Noción común 1, el área del cuadrado sobre DC es igual al área del cuadrado sobre BC.
.
P9.
Así que el lado DC también es igual a lado BC.
Esto es, DC = BC.
P10.
Como DA = AB y AC es común, entonces los lados DA y AC son iguales a los lados BA y AC, respectivamente y la base DC es igual a la base BC, entonces por la Proposición I.8, concluimos que el ángulo es igual al ángulo
.
Esto es,
Pero, el ángulo es recto.
Por lo tanto, el ángulo también es recto.
Por lo tanto, si en un triángulo el área del cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.
Q.E.D.