Reescribiendo la proposición I.6 en lenguaje actual:
1.6 Si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados subtendidos por tales ángulos, son también iguales.
Hipótesis: El triángulo es tal que,
.
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por reducción al absurdo.
P1.
Supongamos que , entonces uno de ellos es mayor.
Supongamos que AB >AC.
P2.
Según la Proposición I.3, podemos trazar sobre AB un segmento BD,
tal que BD = AC.
P3.
Por el Postulado 1, contruimos CD. Formamos el triángulo .
P4.
Luego, en los triángulos y
, tenemos lo siguiente:
DB=AC y BC es común. Entonces:
Por lo tanto, aplicando la Proposición I.4, concluimos que la base DC es igual al la base AB, es decir, DC = AB,
y el triángulo es igual al triángulo
. ¡lo cual es imposible!
P5.
Por lo tanto, no puede ser que . Por lo tanto, AB = AC.
Por lo tanto, si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados subtendidos por tales ángulos, son también iguales.
Q.E.D.