Este teorema es la Proposición III.36 del Libro III de Euclides.
Hipótesis: Sean A, B y C puntos sobre una circunferencia.
La tangente en C intersecta en un punto P a la prolongación de la cuerda AB.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sea PC la tangente por C a la circunferencia y sea la cuerda AB que prolongada se intesecta con PC en el punto P.
P2.
Construimos las cuerdas AC y CB .
P3.
En los triángulos PCA y PBC, tenemos que el ángulo es un ángulo seminscrito.
Y el ángulo es un ángulo inscrito.
Por el
Teorema II.8.p , sabemos que estos ángulos son iguales porque abren el mismo arco.
P4.
Por lo tanto,
Los triángulos PCA y PBC tienen un ángulo en común.
Por lo tanto, .
P5.
Por la igualdades (1) y (2) y por el
criterio de semejanza AA , entonces los triángulos PCA y PBC son semejantes.
Por lo tanto,
, y en consecuencia
.
Q.E.D.