Hipótesis: Sean ABC y DEF dos triángulos tales que sus ángulos correspondientes son iguales.
Tesis: |
Demostración.
Demostraremos que . De manera similar se demuestra la otra igualdad.
P1.
Sean E´ y F ´ dos puntos sobre AB y AC respectivamente, tales que .
P2.
Por la Proposición I.4, criterio de congruencia LAL, tenemos que los triángulos son congruentes.
P3.
Por lo tanto, los ángulos son iguales.
Y como , entonces
.
P4.
Pero, los ángulos son correspondientes.
Por la Proposición I.28, concluimos que las rectas E´F´ y BC son paralelas.
P5.
Por el Teorema II.4.a, primer Teorema de Thales, tenemos que .
pero , entonces
.
Q.E.D.
Si dos pares de ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son semejantes.
Se trata de una consecuencia del teorema anterior y del hecho que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (Proposición I.32).
A esta proposición de semejanza de triángulos la llamamos Criterio de semejanza AA.