Hipótesis: Sea ABC un triángulo. Sean A', B' y C' colineales.

Los puntos A', B' y C' son las proyecciones de P sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente.

Tesis:
Demostrar que
el punto P está en el circuncírculo del triángulo ABC.

Demostración.

P1.
Si A', B' y C' son colineales, entonces
,
por ser ángulos opuestos por el vértice.

P2.
Por el Teorema II.8.h, el cuadrilátero AB'PC' es cíclico, pues y son ángulos opuestos.
Y en el cuadriláterio B'A'CP, los ángulos y son ambos rectos, entonces por el Teorema II.8.f, los puntos A' y B' pertenecen a la circunferencia de diámetro CP.
Por lo tanto, el cuadrlátero B'A'CP es cíclico.

P3.
Por lo tanto, por el Teorema II.8.i,Teorema II.8.i, aplicado a cada cuadrilátero, tenemos que
y

Igualando (2) y (3), por (1) tenemos que .

P4.
Sumando en ambos lados de (4), el ángulo , tenemos que .

P5.
En el cuadrilátero cíclico A'BC'P , se tiene la igualdad .

P6.
Luego, por (5) y (6) tenemos que en el cuadrilátero ABCP se cumple la igualdad y son ángulos opuestos.

P7.
Por lo tanto, por el Teorema II.8.h, el cuadrilátero ABCP es también cíclico.
Y por lo tanto, P está en el circuncírculo del triángulo ABC.

Q.E.D.