Este teorema es la Proposición III.20 del Libro III de Euclides.
Hipótesis: Sean ABC un círculo, el ángulo central , el ángulo inscrito
, y ambos ángulos subtienden el mismo arco de circunferencia
.
Tesis: |
Demostración.
Supongamos que el centro E del círculo está en el interior del ángulo inscrito .
P1.
Unimos A con E, y prolongamos este segmento hasta el punto F.
P2.
Como EA = EB, entonces por la
Proposición I.5, en el triángulo , tenemos que
.
Por lo tanto,
P3.
Por la
Proposición I.32,
pues el ángulo es un ángulo externo del triángulo
.
Por lo tanto, de (1) y (2) tenemos:
.
Es decir, el ángulo es el doble del ángulo
.
P4.
Por la misma razón, el ángulo es el doble del ángulo
.
Es decir,
P5.
Por lo tanto, todo el ángulo es el doble del ángulo
Es decir,
.
P6.
Ahora, sean un ángulo inscrito
y
un ángulo central.
Ambos subtienden el mismo arco de circunferencia
,
pero el centro E no está en el interior del ángulo inscrito.
P7.
Construimos el segmento DE y lo prolongamos hasta el punto G.
P8.
Similarmente podemos probar que el ángulo es el doble del ángulo
.
Puesto que es un ángulo externo del triángulo
, por la
Proposición I.32, tenemos
.
Por lo tanto,
.
P9.
Luego, el ángulo es el doble del ángulo
, pues
es un ángulo externo del triángulo
.
Por lo tanto,
.
P10.
Por otro lado,
pero,
y
Por lo tanto,
.
esto implica que,
Por lo tanto,
Por lo tanto, el ángulo central es el doble del ángulo
, es decir,
.
Por lo tanto, si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
Q.E.D.