Hipótesis: Sea ABC un triángulo inscrito en una circunferencia de radio R.
Sean los lados del triángulo opuestos a los vértices A, B y C, respectivamente.
Demostrar que ![]() |
Demostración.
Si es necesario mueve los vértices A, B y C hasta conseguir un triángulo acutángulo.
P1.
Dibujamos el diámetro CJ y
la cuerda BJ.
P2.
Por el Teorema
II.8.j, el ánguloes
un ángulo recto, ya que es ángulo inscrito que subtiende
un diámetro.
P3.
Por el Teorema
II.8.c, el ángulo
es igual al ángulo
,
pues subtienden el mismo arco.
Y .
Por lo tanto, para sen(A), tenemos
P4.
Aplicamos el mismo procedimiento para sen (B). Así,
P5.
Y también para sen(C). Así,
P6.
Por lo tanto,
P7.
Para esta parte de la demostración mueve los vértices A, B y C hasta conseguir que el ángulo en A sea obtuso.
Supongamos que el triángulo es obtusángulo.
P8.
Dibujamos el diámetro CJ y la cuerda BJ.
Entonces el cuadrilátero ABJC es cíclico, y por el Teorema II.8.g, sus ángulos opuestos son suplementarios.
Por lo tanto, .
Y como , entonces
.
Por lo tanto,
Q.E.D.