Reescribiendo la proposición I.11, en lenguaje actual:
1.11 Dado un segmento y un punto en él trazar a partir del punto un segmento perpendicular al dado.
Hipótesis: Sea AB el segmento de recta dado y C un punto en AB.
Tesis: |
Demostración.
Necesitamos construir un segmento CF en ángulo recto con AB a partir del punto C.
P1.
Tomemos sobre AC, cualquier punto arbitrario D.
P2.
Y por la Proposición I.3, sobre CB tomamos un punto E tal que CE = CD.
P3.
Por la Proposición I.1, construimos el triángulo equilátero sobre DE.
Por lo tanto, DF = FE = DE.
P4.
Construimos el segmento CF.
Afirmamos que la recta CF está en ángulo recto sobre AB a partir del punto C.
Porque,
P5.
En el triángulo ,
P6.
Y en el triángulo
, tenemos:
P7.
CD = CE, y CF es un lado común, y la base DF es igual a la base FE, por ser lados del triángulo equilátero .
Por lo tanto, según la Proposición I.8, los dos triángulos son iguales,
.
P8.
En consecuencia, .
Por lo tanto, y
son ángulos adyacentes iguales entre sí.
P9.
Y en base a la Definición I.10, cada uno de los ángulos y
es recto.
Por lo tanto, hemos trazado el segmento CF en ángulo recto al segmento AB a partir del punto C.
Q.E.D.