Hipótesis: Los puntos L, M y N son puntos de los lados BC, CA y AB (o de sus prolongaciones)
del triángulo ABC, para el cual se cumple .
Tesis: |
Demostración.
P1.
Supongamos que las rectas AB y LM se intersectan en un punto N'.
P2.
Entonces, por el Teorema II.7.f, la parte directa del Teorema de Menelao, se cumple .
Y por hipótesis, sabemos que .
P3.
Por lo tanto, al igualarse esta ecuaciones, tenemos que .
De aquí que .
Y por lo tanto, la recta LM pasa por N.
Por lo tanto, L, M y N son colineales.
Q.E.D.
Nota:
Para verificar este teorema es necesario hablar de segmentos dirigidos y de razones negativas entre los segmentos.
Un segmento tiene dos sentidos. Si los extremos del segmento son A y B, diremos que AB es el segmento dirigido que va del extremo A al extremo B.
El mismo segmento recorrido del extremo B al extremo A será el segmento dirigido BA y la relación entre estos dos segmentos dirigidos está dada por la ecuación
AB = -BA.