Reescribiendo la proposición I.2 en lenguaje actual:
I.2 Dado un punto y un segmento construir a partir del punto un segmento igual al dado.
Hipótesis: Sean A
un punto,
y BC un segmento.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 1, construimos el segmento AB.
P2.
Por la Proposición I.1, podemos construir el triángulo
equilátero ADB, sobre el segmento AB.
P3.
Por el Postulado 2, sea AE la prolongación del segmento DA,
P4.
Nuevamente, por el Postulado 2, sea BF la prolongación del segmento DB.
P5.
Por el Postulado 3, construimos un círculo CGH,
con centro en B y radio
BC.
El punto G es la
intersección del CGH
con el segmento BF.
Y puesto que B es el centro del CGH, por la Definición I.15, tenemos que .
P6.
Por el Postulado 1, construimos el segmento DG.
P7.
Por el Postulado 3, construimos el GKL con centro en D y radio DG.
El punto L es la intersección
de GKL con AE.
P8.
Como el punto D
el es centro del GKL, por la Definición I.15, tenemos que
DL =
DG.
Pero, .
P9.
Y sabemos que DA =
DB, pues el triángulo ADB
es equilátero.
P10.
Entonces por la Noción común 3, tenemos que .
P11. Luego, por la Noción común 1, tenemos que .
Por lo tanto, el segmento de recta AL es igual al segmento de recta BC y el punto A es uno de los extremos de AL.
Q.E.D.