Reescribiendo la proposición I.21, en lenguaje actual:
1.21 Si dos segmentos que parten de los extremos de uno de los lados de un triángulo se encuentran dentro de él, la suma de tales segmentos es menor que la suma de los lados restantes del triángulo, pero el ángulo que comprenden es mayor.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo. Desde los extremos del lado BC, construimos los segmentos BD y CD tales que se encuentran dentro del triángulo dado.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Los segmentos BD y DC se encuentran dentro del triángulo .
P2.
Prolongamos el lado BD hasta el punto E.
P3.
Por la
Proposición I.20 , sabemos que en cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el restante, por lo tanto, en el triángulo BAE, tenemos que,
.
P4.
Sumamos EC en cada lado de (1),
P5.
Por lo tanto, .
P6.
Y nuevamente, por la
Proposición I.20 , en el triángulo DEC, la suma de los lados DE y EC es mayor que DC.
Esto es, .
P7.
Sumando BD en cada lado de (4), obtenemos .
P8.
Por lo tanto, .
Retomando (3) y (6),
y
P9.
Concluimos que .
P10.
Ahora, en el triángulo DEC, por la
Proposición I.16, tenemos que el ángulo exterior es mayor que el ángulo interno
, es decir,
.
P11.
Por la misma Proposición I.16, en el triángulo BAE tenemos que, .
P12.
Por (7) y (8), concluimos que .
Por lo tanto, si dos segmentos que parten de los extremos de uno de los lados de un triángulo se juntan dentro de él, la suma de tales segmentos es menor que la suma de los lados restantes del triángulo, pero el ángulo que comprenden es mayor.
Q.E.D.