Hipótesis: Sean R, Q , T, S, P, U los puntos de contacto de las seis tangentes AB, BC, CD, DE, EF, FA como se muestra en la construcción.

Tesis:
Demostrar que
las diagonales AD,BE, CF
son concurrentes.

Demostración.

P1.
Supongamos por simplicidad que el hexágono es convexo, así que las tres diagonales AD, BE, CF son secantes de la circunferencia inscrita (y que la posibilidad de paralelismo no existe).

P2.
Sobre las líneas EF, CB, AB, ED, CD, AF (prolongadas) tomemos los puntos P', Q', R', S', T', U' tales que .

P3.
Por el Teorema II.9.h podemos construir las circunferencias 1 (tangente a PP' y QQ' en P', Q'), 2 (tangente a RR' y SS' en R' y S'), 3 (tangente a TT' y UU' en T' y U').

P4.
Por el Teorema II.9.b y el Teorema II.9.c, sabemos que dos tangentes a una circunferencia desde el mismo punto tienen longitudes iguales. Por lo tanto, .
También, .

P5.
Tenemos, por adición,
.

P6.
Como y
.

P7.
Tenemos, por susbtracción, .

P8.
Por lo tanto, tanto A como D son puntos de igual potencia con respecto de las circunferencias 2 y 3; y su unión AD coincide con el eje radical de estas dos circunferencias.

P9.
Similarmente, BE está sobre el eje radical de las circunferencias 1 y 2.

P10.
Y CF está sobre está sobre el eje radical de las circunferencias 2 y 3.

P11.
Por el Teorema II.9.g, los ejes radicales de tres circunferencias no coaxiales, tomadas por pares, son concurrentes.
Por lo tanto, hemos exhibido las diagonales de nuestro hexágono, como los ejes radicales de tres circunferencias.
Por lo tanto, AD, BE y CF son concurrentes. Sea W el punto de concurrencia.

El punto de concurrencia de estas líneas es llamado el punto de Brianchon del hexágono.

Q.E.D.