Reescribiendo la proposición I.20, en lenguaje actual:

1.20 En todo triángulo la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el tercero.

Hipótesis: Sea ABC un triángulo.

Tesis:
Demostrar que la suma de cualesquiera dos lados del triángulo ABC es mayor que el lado restante,
esto es,
BA + AC > BC,
y  AB + BC > CA,
y   BC + CA > AB.

Demostración.

P1.
Prolongamos el lado BA, hasta el punto D.

P2.
Por la Proposición I.3 , podemos construir AD tal que AD = AC.

P3.
Unimos el punto D con el vértice C.

P4.
Como AD = AC, por la Proposición I.5 , tenemos que .

P5.
Por la Noción común 5, el todo es mayor que la parte, entonces en el triángulo BCD, tenemos que: .
Por lo tanto, .

P6.
Luego, en el triángulo BCD por la Proposición I.19,  tenemos que DB > BC.

P7.
Pero,   DB = BA + AD    y    AD = AC.

P8.
Por lo tanto, .

P9.
Por lo tanto, .

Similarmente, podemos demostrar que la suma de AB y BC es mayor que CA, y que la suma de BC y CA es mayor que AB.

Por lo tanto, en cualquier triángulo la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el lado restante.

Q.E.D.