Reescribiendo la proposición I.40 en lenguaje actual:
I.40 Triángulos con áreas iguales y que tienen bases iguales y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
Hipótesis: Sean ABC y CDE dos triángulos con áreas iguales y que tienen sus bases BC y CE iguales, y están del mismo lado.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 1, unimos A con D, creando la recta AD.
P2.
Si AD no fuese paralela a BE, entonces, por la Proposición I.31, podemos dibujar AF paralela a BE.
P3.
Por la Proposición I.38, el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo FCE, pues sus bases son iguales y están contenidos en las mismas paralelas BE y AF.
P4.
Pero, por hipótesis, el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DCE.
P5.
Por lo tanto, por la Noción común 1, el área del triángulo DCE es igual al área del triángulo FCE, pero esto significa que el área del triángulo mayor es igual al área del triángulo menor, lo cual es imposible.
Por lo tanto AF no es paralela a BE.
P6.
Por lo tanto, AD es paralela a BE.
Por lo tanto, triángulos con áreas iguales y que tienen bases iguales y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
Q.E.D.