Reescribiendo la proposición I.12, en lenguaje actual:

1.12 Dado un segmento y un punto fuera de él trazar un segmento perpendicular al dado que pase por dicho punto.

Hipótesis: Sea AB el segmento dado y C un punto que no está en AB.

Tesis:
Construir un segmento CH que pase por C y que sea perpendicular al segmento AB.

Demostración.

Necesitamos construir un segmento CH perpendicular al segmento AB que pase por el punto C.

P1.
Como C se encuentra en un lado del segmento AB, tomemos al otro lado de AB cualquier punto arbitrario D.

P2.
Construimos CD.

P3.
Por el Postulado 3, construimos con centro en C y radio CD, el círculo EFG.

P4.
Construimos el segmento EG.

P5.
Por la Proposición I.10, bisectamos EG en el punto H, y

P6.
Por el Postulado 1, construimos cada uno de los segmentos CG, CH y CE.

Afirmamos que CH ha sido construido perpendicular a AB a partir del punto C.

Tenemos dos triángulos:

P7. En el triángulo
P8. y en el triángulo .

P9.
Tenemos que GH = HE, y CH es lado común, y las bases CG y CE son iguales, pues son radios del círculo EFG que construimos en el paso P3.
Según la Proposición I.8, los dos triángulos son iguales:
.

P10.
Por lo tanto, los ángulos y son iguales y adyacentes.

P11.
Aplicando la Definición I.10, los ángulos y son rectos,

P12.
y por lo tanto, las rectas CH y AB son perpendiculares entre sí.

Por lo tanto, hemos trazado el segmento CH perpendicular a AB a partir de un punto C que no está sobre AB.


Q.E.D.