Reescribiendo la proposición I.31 en lenguaje actual:

I.31 Trazar por un punto una recta paralela a otra recta dada.

Hipótesis: Sea A un punto dado, y BC la recta dada.

Tesis:
Construir una recta que pasa por A paralela a la recta BC.

Demostración.

P1.
Tomemos un punto D sobre la recta BC. Y construimos el segmento DA.

P2.
Por la Proposición I.23, podemos construir sobre el segmento DA y en el punto A, el ángulo igual al ángulo .

P3.
Prolongamos la recta AF en línea recta con EA.

P4.
Puesto que la recta DA es transversal a las dos rectas BC y EF hace los ángulos y alternos internos iguales entre sí. Por lo tanto, por la Proposición I.27, concluimos que la recta EAF es paralela a BC.

Por lo tanto, la recta EAF que pasa por el punto A es paralela a la recta dada BC .

Q.E.D.