Reescribiendo la proposición I.45 en lenguaje actual:
I.45 Construir en un ángulo dado un paralelogramo de igual área a la de una figura rectilínea dada.
Hipótesis: Sea ABCD la figura rectilínea dada y el ángulo rectilíneo dado.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 1, unimos D con B, y creamos la recta DB.
P2.
Por la Proposición I.42, podemos construir un paralelogramo FH de área igual a la del triángulo ABD con el ángulo igual al ángulo
.
P3.
Luego, por la Proposición I.44, podemos construir sobre el segmento GH un paralelogramo GM de área igual a la del triángulo DBC en el ángulo igual al ángulo
.
Ahora, demostraremos que KFLM es un paralelogramo.
P4.
Puesto que el ángulo E es igual al ángulo
y también al ángulo
, por la Noción común 1, tenemos que:
.
Si sumamos a cada uno de estos ángulos el ángulo , entonces por la Noción común 2, tenemos que:
.
P5.
Pero, por la Proposición I.29, la suma de los ángulos y
es igual a dos ángulos rectos, por lo tanto,
.
P6.
En la línea recta GH en el punto H, las rectas KH y HM que no están del mismo lado forman ángulos adyacentes cuya suma es igual a dos ángulos rectos (igualdad anterior), por la Proposición I.14, concluimos que HK está en línea recta con HM.
P7.
Como la línea recta HG es transversal a las rectas paralelas KM y FG, por la Proposición I.29, los ángulos alternos y
son iguales entre sí. Esto es,
.
P8.
Si sumamos el ángulo a cada lado de la igualdad anterior, entonces por la Noción común 2, tenemos que
.
Por la Proposición I.29, tenemos que la suma de los ángulos y
es igual a dos ángulos rectos, por lo tanto
.
P9.
Entonces por la Proposición I.14, concluimos que FG está en línea recta con GL.
P10.
Sabemos que FK es igual y paralela a GH, y que GH es igual y paralela a LM, entonces por la Proposición I.30, y por la Proposición I.34, tenemos que FK es también igual y paralela a LM.
Y las rectas KM y FL están unidas a ellas en sus extremos, entonces por la Proposición I.33, las rectas KM y FL son también iguales y paralelas.
Por lo tanto, KFLM es un paralelogramo.
P11.
Como el área del triángulo ABD es igual al área del paralelogramo FH, y el área del triángulo DBC es igual al área del paralelogramo GM, por la Noción común 2, tenemos que el área de la figura rectilínea ABCD es igual al área del paralelogramo KFLM.
Por lo tanto, se ha construido, en un ángulo dado, un paralelogramo de igual área a la de una figura rectilínea dada.
Q.E.D.