Reescribiendo la proposición I.35 en lenguaje actual:

I.35  Los paralelogramos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.

Hipótesis: Sean ABCD y EBCF paralelogramos sobre la misma base BC y en las mismas paralelas AF y BC.

Tesis:
Demostrar que:
las áreas de los paralelogramos ABCD y EBCF son iguales.

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

Primero, consideramos el caso en que el punto D permanece entre A y E.

P1.
Como ABCD es un paralelogramo, por la Proposición I.34, tenemos que AD = BC. Y por la misma proposición, en el paralelogramo EBCF, también se cumple que BC = EF.
Por la Noción común 1, tenemos que
AD = EF.

P2.
Como el segmento DE es común a los segmentos AE y DF, entonces por la Noción común 2, tenemos que AE = DF.

P3.
Por la misma Proposición I.34, en el paralelogramo ABCD también AB = DC.

P4.
Por lo tanto, los dos lados EA y AB son iguales a los dos lados FD y DC, respectivamente, y por la Proposición I.29, el ángulo es igual al ángulo , el ángulo externo es igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado .

P5.
Por la Proposición I.4, se sigue que la base EB es igual a la base FC, y el triángulo es igual al triángulo .
Por lo tanto, EB = FC
y = .
Y en consecuencia, sus áreas son iguales.

P6.
Substrayendo el área del triángulo de cada uno de los triángulos, por la Noción común 3, el área del trapecio ABGD es igual al área del trapecio EGCF.

P7.
Sumando el área del triángulo a cada una de las áreas de los trapecios, por la Noción común 2, el área del paralelogramo ABCD es igual al área del paralelogramo EBCF.

Por lo tanto, los paralelogramos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.

Q.E.D.

Caso 2. Clic para ver su demostración.
Ahora trataremos el caso en que el punto E permanece entre A y D.

P1.
Como ABCD es un paralelogramo, por la Proposición I.34, tenemos que AB = DC y son paralelas. La recta AF es una tranversal a ellas.

P2.
Por la Proposición I.29, el ángulo es igual al ángulo , el ángulo externo es igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado. Por lo tanto, = .

P3.
Como ABCD es un paralelogramo, por la Proposición I.34, tenemos que AD = BC. Y por la misma proposición, en el paralelogramo EBCF, también se cumple que BC = EF.
Por la Noción común 1, concluimos que
AD = EF.

P4.
Como el segmento DE es común a los segmentos AD y EF, entonces por la Noción común 3, tenemos que AE = DF.

P5.
Por lo tanto, los dos lados AE y AB son iguales a los dos lados DF y DC, y el ángulo es igual al ángulo , entonces por la Proposición I.4, se sigue que la base EB es igual a la base FC, y el triángulo es igual al triángulo .
Por lo tanto, EB = FC
y = .
Y en consecuencia, sus áreas son iguales.

P6.
Sumando el área del trapecio BCDE a cada una de las áreas de los triángulos, por la Noción común 2, el área del paralelogramo ABCD es igual al área del paralelogramo EBCF.

Q.E.D.