Hipótesis: Sean el triángulo ABC y las bisectrices internas de los ángulos en A, B y C respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Sea I el punto de intersección de las bisectrices .
P2.
Sean X, Y y Z los pies de las perpendiculares de I sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente.
P3.
Por el Lema II.6.c, al estar I en la bisectriz , entonces
.
P4.
Por el Lema II.6.c, al estar I en la bisectriz , entonces
.
P5.
Por (1) y (2), tenemos que I satisface .
P6.
Por el Lema II.6.c, concluimos que I también está en la bisectriz .
Q.E.D.
El punto de concurrencia de las bisectrices internas de un triángulo, denotado por I, se conoce como incentro.
La distancia de I a cada lado del triángulo se conoce como
inradio y es denotada por r.
Resulta que la circunferencia con centro I y radio r, está completamente contenida en el triángulo y es tangente a los lados BC, CA, AB en los puntos X, Y, Z.
Esta circunferencia recibe el nombre de incírculo.