En clases anteriores, hemos estado trabajando con puntos y rectas notables de un triángulo.
Nuestro objetivo en la clase de hoy, es descubrir la relación que existe entre el ortocentro H, el centroide G y el circuncentro O de un triángulo dado.
Observa la construcción mostrada en el marco derecho, al mover los vértices del triángulo ABC, los puntos H, G y O también se mueven.
Pero, parece que quedan alineados.
Y, si probamos con distintos triángulos,
digamos un triángulo rectángulo, un isósceles o un escaleno, ¿cómo se verán estos puntos?¿Seguirán alineados?
¿Será cierto, que siempre H, G y O están en una misma recta?
¿Qué sabemos sobre estos puntos?
Sabemos que dado un triángulo ABC su ortocentro H es el punto de concurrencia de sus alturas (teorema II.6.g), que su centroide G es el punto de concurrencia de sus medianas (teorema II.6.b) y que su circuncentro O es el punto de concurrencia de sus mediatrices (teorema II.6.f).
También sabemos que existe (teorema II.6.h y teorema II.6.b) una pareja de razones entre ciertos segmentos:

Una entre los segmentos AH y OA´, a saber , lo cual nos dice que los segmentos AH y OA´son proporcionales.

Y la otra, entre los segmentos AG y GA´, . Lo cual nos dice que los segmentos AG y GA´ son proporcionales.

Además, las rectas Ae y dA´son paralelas, por ser ambas perpendiculares al lado BC, y la recta AA´es una transversal a ellas. Entonces, ¿que podemos decir de triángulos AHG y GA´O?.
De aquí, ¿ podemos concluir que los puntos H, G y O son colineales?.
Si aún no has descubierto las razones por las cuales H, G y O están en una misma recta, te invito a que estudies cuidadosamente el Teorema II.7.a.