Hipótesis: Sea ABC un triángulo. Sean A', B' y C' colineales.
Los puntos A', B' y C' son las proyecciones de P sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Si A', B' y C' son colineales, entonces
,
por ser ángulos opuestos por el vértice.
P2.
Por el
Teorema II.8.h, el cuadrilátero AB'PC' es cíclico, pues y son ángulos opuestos.
Y en el cuadriláterio B'A'CP, los ángulos y
son ambos rectos, entonces por el
Teorema II.8.f, los puntos A' y B' pertenecen a la circunferencia de diámetro CP.
Por lo tanto, el cuadrlátero B'A'CP es cíclico.
P3.
Por lo tanto, por el
Teorema II.8.i,Teorema II.8.i, aplicado a cada cuadrilátero, tenemos que
y
Igualando (2) y (3), por (1) tenemos que .
P4.
Sumando en ambos lados de (4), el ángulo , tenemos que
.
P5.
En el cuadrilátero cíclico A'BC'P , se tiene la igualdad .
P6.
Luego, por (5) y (6) tenemos que en el cuadrilátero ABCP se cumple la igualdad y son ángulos opuestos.
P7.
Por lo tanto, por el
Teorema II.8.h, el cuadrilátero ABCP es también cíclico.
Y por lo tanto, P está en el circuncírculo del triángulo ABC.
Q.E.D.