Este teorema es la Proposición III.22 del Libro III de Euclides.

Hipótesis: Sea ABCD un círculo, y sean A, B, C, y D los vértices de un cuadrilátero cíclico.

Tesis:
Demostrar que
La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual a 180º.

Demostración.

P1.
Unimos A con C y B con D. Así, tenemos los segmentos AC y BD.

P2.
Por la Proposición I.32, sabemos que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180º, entonces

P3.
Por el Teorema II.8.c, tenemos que , por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

P4.
Y también, , pues también son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

P5.
Por lo tanto, todo el ángulo es tal que .

P6.
Sumando el ángulo en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos:
.

P7.
Por lo tanto,
.

P8.
De manera análoga, podemos demostrar que,
.

Por lo tanto, la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual a 180º.

Q.E.D.