Reescribiendo la proposición I.30 en lenguaje actual:
I.30 Rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí.
Hipótesis: Sean las rectas AB y CD ambas paralelas a la recta EF.
Tesis: |
Demostración.
Afirmamos que las rectas AB y CD son también paralelas.
P1.
Sea GK transversal a las tres rectas.
P2.
Como GK es transversal a las rectas paralelas
AB y EF, por la
Proposición I.29, sabemos que
=
.
P3.
Nuevamente, puesto que la recta GK es transversal a las rectas paralelas EF y CD, por la Proposición I.29, sabemos que =
.
P4.
Por lo tanto, por la Noción común 1, tenemos que =
.
Y estos ángulos son ángulos alternos internos formados por la transversal GK a las rectas AB y CD.
P5.
Por lo tanto, por la
Proposición I.27, concluimos que AB y CD son rectas paralelas.
Por lo tanto, rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí .
Q.E.D.