La afirmación de esta proposición incluye tres partes, el inverso de la
Proposición I.27, y los dos inversos de la
Proposición I.28.
En la demostración de esta proposición, por primera vez aplicamos el
Postulado 5, todas las veintiocho proposiciones anteriores son independientes de él.
Reescribiendo la proposición I.29 en lenguaje actual:
I.29 Una transversal a dos rectas paralelas forma con éstas ángulos alternos internos iguales entre sí, un ángulo externo igual al interno no adyacente del mismo lado, y los dos ángulos internos del mismo lado suman 180º.
Hipótesis: Sea EF la transversal a las rectas paralelas AB y CD .
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al absurdo.
Afirmamos que
=
,
que =
,
y que .
Porque, si el ángulo no fuese igual al ángulo
, entonces uno de ellos es mayor que el otro.
P1.
Supongamos que .
P2.
Sumamos en ambos lados de la desigualdad anterior, entonces
.
Por la
Proposición I.13, sabemos que .
P3.
Por lo tanto, ,
pero estos ángulos son ángulos internos del mismos lado, cuya suma es menor que dos ángulos rectos, entonces si la rectas AB y CD se prolongan indefinidamente, según el
Postulado 5, se intersectan.
P4.
¡Pero esto no puede ser!, pues por hipótesis AB y CD son paralelas.
Por lo tanto, el ángulo no puede ser distinto del ángulo
.
P5.
Por lo tanto, =
.
P6.
Ahora, por la
Proposición I.15, tenemos que .
P7.
Por lo tanto, por la Noción común 1, .
P8.
Sumamos en la igualdad anterior, y por la Noción común 2, tenemos
.
Por la
Proposición I.13, sabemos que .
P9.
Por lo tanto, .
Por lo tanto, una recta al caer sobre dos rectas paralelas hace los ángulos alternos internos iguales entre sí, el ángulo externo igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado, y la suma de los dos ángulos internos del mismo lado igual a dos ángulos rectos.
Q.E.D.