Reescribiendo la proposición I.43 en lenguaje actual:

I.43  En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos alrededor de la diagonal tienen áreas iguales.

Hipótesis: Sean ABCD un paralelogramo, y AC su diagonal, EH y FG paralelogramos alrededor de AC, y sus complementos BK y KD.

Tesis:
Demostrar que:
el área del complemento BK es igual al área del complemento KD.

Demostración.

P1.
Como ABCD es un paralelogramo, y AC es su diagonal, por la Proposición I.34, tenemos que el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo ACD.

P2.
Sabemos que EH es un paralelogramo y AK es su diagonal, y que FG es un paralelogramo y KC es su diagonal.

P3.
Entonces por la Proposición I.34, el área del triángulo AEK es igual al área del triángulo AHK. Por la misma razón, el área del trángulo KFC es igual al área del triángulo KGC.
Y por la Noción común 2, tenemos que el área del triángulo AEK junto con el área del triángulo KGC es igual al área del triángulo AHK junto con el área del triángulo KFC.

Esto mismo haciendo uso de la notación para denotar el área del triángulo ABC, lo escribimos así:

.

P4.
Y como el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo ACD, por la Noción común 3, concluimos que el área del complemento BK es igual al área del complemento KD.

Por lo tanto, en cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos alrededor de la diagonal tienen áreas iguales.

Q.E.D.