Reescribiendo la proposición I.44 en lenguaje actual:

I.44  Construir sobre un segmento dado en un ángulo dado un paralelogramo de igual área a la de un triángulo dado.

Hipótesis: Sean AB una recta dada, un ángulo rectilíneo dado, y C el triángulo dado.

Tesis:
Construir un paralelogramo de igual área a la del triángulo dado C sobre la recta dada AB en un ángulo igual al ángulo dado .

Demostración.

P1.
Por el Postulado 2, podemos prolongar la recta AB hasta el punto R. Luego, por la Proposición I.3, y la Proposición I.22, podemos construir sobre BR un triángulo BUV igual al triángulo dado C.
Por lo tanto, el área del triángulo BUV es igual al área del triángulo C.

P2.
A partir del triángulo BUV, por la Proposición I.42, podemos construir el paralelogramo BEGF de área igual a la del triángulo BUV en el ángulo que es igual al ángulo dado .

P3.
Por lo tanto, hemos construido el paralelogramo BEFG de área igual a la del triángulo C en el ángulo que es igual al ángulo dado , y lo hemos colocado de manera que BE esté en línea recta con AB.

P4.
Por el Postulado 2, podemos prolongar FG hasta el punto H, y por la Proposición I.31, podemos dibujar AH por A paralela a BG o EF.

P5.
Por el Postulado 1, unimos H con B. Creando la recta HB.

P6.
Como la recta HF es una transversal a las paralelas AH y EF, por la Proposición I.29, la suma de los ángulos y es igual a dos ángulos rectos. Por lo tanto, la suma de los ángulos y es menor que dos ángulos rectos.
Es decir, .

P7.
Y líneas rectas que se prolongan indefinidamente desde ángulos cuya suma es menor que dos ángulos rectos, por el Postulado 5, se intersectan.
Por lo tanto, HB y FE se intersectan.
Llamemos K a tal punto de intersección.

P8.
Dibujamos KL hasta el punto L paralela a EA o a FH. Prolongamos HA y GB hasta los puntos L y M.

P9.
Entonces HLKF es un paralelogramo, HK su diagonal, AG y ME son paralelogramos alrededor de HK, y LB y BF son los complementos.

P10.
Por la Proposición I.43, el área del paralelogramo LB es igual al área del paralelogramo BF.
Pero el área del paralelogramo BF es igual al área del triángulo C, pues así lo construimos.
Entonces, por la Noción común 1, el área del paralelogramo LB es igual al área del triángulo C.

P11.
Por la Proposición I.15, sabemos que el ángulo es igual al ángulo , y el ángulo es igual al ángulo D.
Entonces, por la Noción común 1, el ángulo también es igual al ángulo .

Por lo tanto, el área del paralelogramo LB es igual al área del triángulo C y ha sido construido sobre la recta AB, en el ángulo ABM que es igual al ángulo D.

Q.E.D.