Hipótesis: Sean el triángulo ABC , su ortocentro H, su centroide G y su circuncentro O. Y sean A´, B´ y C´ los puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Trazamos el ortocentro H, el centroide G y el circuncentro O del triángulo ABC.
Sabemos, por el Teorema II.7.a, que H, G y O son colineales y que se satisface
.
P2.
Trazamos los puntos medios A´, B´y C´ de los lados BC, CA y AB, respectivamente y formamos el triángulo medial A´B´C´.
P3.
Por el Lema II.6.a, el triángulo medial A´B´C´ tiene sus lados paralelos al triángulo ABC.
Además,
.
Por lo tanto, el triángulo medial A´B´C´es semejante al triángulo ABC, en razón de semejanza 2:1.
Podemos afimar, que cualquier par de longitudes lineales correspondientes estarán en esta relación.
P4.
Como el triángulo medial A´B´C´ tiene sus lados paralelos al triángulo ABC, el ortocentro del triángulo A´B´C´coincide con el circuncentro O del triángulo ABC.
P5.
Los lados C´B´, C´A´ y A´B´ del triángulo medial, dividen al triángulo ABC en cuatro tiángulos de lados paralelos, y por la Proposición I.26, resultan ser congruentes.
P6.
Por lo que AC´A´B´ es un paralelogramo,
P7.
y BA´B´C´ también es un paralelogramo.
P8.
Por lo tanto las diagonales AA´ y B´C´ se cortan en el punto medio x ,
y las diagonales BB´ y C´A´ se cortan en el punto medio y.
Observamos que x y y son los puntos medios de los lados B´C´ y de C´A´, respectivamente.
P9.
Por lo tanto, las medianas de los triángulos ABC y A´B´C´coinciden, por lo que ambos triángulos tienen el mismo centroide G.
P10.
Por el Teorema II.7.a, el circuncentro N del triángulo medial A´B´C´ debe ser colineal con su centroide G y su ortocentro O.
Además, se satisface
.
P11.
De las ecuaciones (1) y (2), podemos deducir que el circuncentro N del triángulo medial A´B´C´, es el punto medio del segmento , es decir,
.
Como y
, entonces
.
Por otro lado,
.
Por lo tanto,
.
Por lo tanto, .
P12.
Además, como los triángulos ABC y A´B´C´son semejantes, en la razón de semejanza 2:1, cualquier par de longitudes lineales correspondientes están en la misma razón de semejanza. Por lo tanto, el circunradio del triángulo medial A´B´C´ es la mitad del circunradio del triángulo ABC.
Q.E.D.