Reescribiendo la proposición I.20, en lenguaje actual:
1.20 En todo triángulo la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el tercero.
Hipótesis: Sea ABC un triángulo.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Prolongamos el lado BA, hasta el punto D.
P2.
Por la
Proposición I.3 , podemos construir AD tal que AD = AC.
P3.
Unimos el punto D con el vértice C.
P4.
Como AD = AC, por la
Proposición I.5 , tenemos que .
P5.
Por la Noción común 5, el todo es mayor que la parte, entonces en el triángulo BCD, tenemos que: .
Por lo tanto, .
P6.
Luego, en el triángulo BCD por la Proposición I.19, tenemos que DB > BC.
P7.
Pero, DB = BA + AD y AD = AC.
P8.
Por lo tanto, .
P9.
Por lo tanto,
.
Similarmente, podemos demostrar que la suma de AB y BC es mayor que CA, y que la suma de BC y CA es mayor que AB.
Por lo tanto, en cualquier triángulo la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el lado restante.
Q.E.D.