Hipótesis: Sean el triángulo ABC , el ángulo y P un punto de la bisectriz interna del ángulo .

Tesis:
Demostrar que

donde Z y Y son los pies de las perpendiculares de P sobre AB y CA.

Demostración.

Caso 1. Clic para ver su demostración.

Primero, demostraremos que si P está en la bisectriz interna del ángulo entonces ,
donde Z y Y son los pies de las perpendiculares de P sobre AB y CA.

P1.
Sea Z pie de la perpendicular de P sobre AB y Y pie de la perpendicular de P sobre AC .

P2.
Los triángulos y tienen el lado AP en común y dos ángulos iguales.

P3.
Por la Proposición I.26, criterio de congruencia ALA, los triángulos son iguales, .

P4.
Por lo tanto, .

Q.E.D.

Caso 2. Clic para ver su demostración.

Ahora, demostraremos que si PZ = PY entonces P está en la bisectriz interna del ángulo.

Demostración.

Demostremos que P está en la bisectriz interna del ángulo .

P1.
Sea P un punto dentro del ángulo del triángulo tal que , donde Z y Y son los pies de las perpendiculares de P sobre AB y CA respectivamente.

Construimos AP.

P2.
Entonces los triángulos rectángulos tienen dos pares de lados iguales, PZ = PY y AP es lado común.

P3.
Por la Proposición I.47, Teorema de Pitágoras, el otro par de catetos son iguales. Y por la Proposición I.8, criterio de congruencia LLL, los triángulos son congruentes.

P4.
Por lo tanto, los ángulos son iguales.

P5.
Por lo tanto, P está en la bisectriz interna de .

Q.E.D.