Reescribiendo la proposición I.14, en lenguaje actual:
1.14 Dado un segmento y uno de sus puntos, si dos segmentos levantados a partir del punto no están del mismo lado del segmento y forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, entonces ambos segmentos están alineados.
Hipótesis: Sea AB el segmento dado y B un punto en él. Y sean CB y BD los segmentos levantados a partir de B, no colocados del mismo lado de AB, tales que forman los ángulos adyacentes y
, cuya suma es igual a 180º.
Es decir, .
Tesis: |
Demostración.
La demostración la haremos por Reducción al Absurdo.
P1.
Supongamos que BD no está alineado con CB.
P2.
Sea BE la prolongación en línea recta de CB.
P3.
Como el segmento AB se levanta sobre CE, entonces, según la Proposición I.13, la suma de los ángulos y
es igual a dos ángulos rectos.
Esto es, .
P4.
Y por hipótesis, la suma de los ángulos y
, también es igual a dos ángulos rectos.
Es decir, .
Por la Noción común 1, cosas que son iguales a una tercera, son iguales entre sí, es decir, igualando (1) y (2) , obtenemos
.
P5.
Por la Noción común 3, sustrayendo el ángulo en ambos lados de la igualdad (3),
obtenemos ¡¡ !!.
Pero esto no puede ser, pues supusimos que BD no estaba en línea recta con BC.
P6.
Por lo tanto, BD está en línea recta con BC.
Por lo tanto, dado un segmento y uno de sus puntos, si dos segmentos levantados a partir del punto no están del mismo lado del segmento y forman ángulos adyacentes igual a dos rectos, entonces ambos segmentos están alineados.
Q.E.D.