Reescribiendo la proposición I.33 en lenguaje actual:
I.33 Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos, son también iguales y paralelos.
Hipótesis: Sean AC y CD segmentos iguales y paralelos,
y sean AC y BD los segmentos que unen
los extremos A con C y B con D en las mismas direcciones, respectivamente.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Por el Postulado 1, unimos B con C. Por lo tanto, tenemos que la recta BC es una transveral a las rectas AB y CD.
P2.
Puesto que AB es paralela a CD, y BC es una transversal, por Proposición I.29, tenemos que los ángulos alternos y
son iguales.
Es decir, .
P3.
En los triángulos y
tenemos que los lados AB y CD son iguales, que BC es lado común, y que
, entonces por la Proposición I.4, tenemos que la base AC es igual a la base BD, el triángulo
es igual al triángulo
, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes, respectivamente.
Por lo tanto, ,
,
y
.
P4.
Ahora, demostremos que las rectas AC y BD son paralelas.
Puesto que la recta BC es transversal a las dos rectas AC y BD y forma con ellas, ángulos alternos iguales entre sí , , por la Proposición I.27, concluimos que AC es paralela a BD.
P5.
Por lo tanto, por el paso 3, y por el paso 4, tenemos que AC es paralela a BD.
Por lo tanto, AC y BD son iguales y paralelas.
Por lo tanto, los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos, son también iguales y paralelos.
Q.E.D.