Hipótesis: Sea un triángulo ABC.
Sean el circuncírculo del triángulo ABC con centro y radio
y el incírculo con centro
y radio
.
Sea la distancia
.
Tesis: |
Demostración.
P1.
Construimos la bisectriz interna del ángulo y la prolongamos hasta intersectar el circuncírculo en el punto L.
Sea .
P2.
Construimos la bisectriz interna del ángulo . Sea
.
Construimos el inradio IY perpendicular a AC.
Por lo tanto, el ángulo es recto.
Por lo tanto, el triángulo AIY es un triángulo rectángulo.
P3.
Construimos un diámetro LM .
Construimos los segmentos BL y BM.
El triángulo LBM es un triángulo rectángulo, y por el
Teorema II.8.j el ángulo es recto.
P4.
Por el
Teorema II.8.c, tenemos que
.
P5.
Por el mismo teorema, también
.
P6.
Por la
Proposición I.32, sabemos que el ángulo exterior del triángulo ABI en el vértice
cumple que
.
P7.
Pero también , . Por lo tanto,
.
P8.
Por lo tanto, por la
Proposición I.6, el triángulo LBI es isósceles.
Por lo tanto, .
P9.
Por el
Teorema II.9.a, sabemos que la potencia de es
, y por el
Teorema II.9.c, sabemos que la potencia se puede escribir como
.
Por lo tanto,
.
P10.
En los triángulos rectángulos LBM y AIY se cumple que
.
Por lo tanto,
.
Por lo tanto, .
Q.E.D.